Mecánica de Fluidos II ( PDFDrive ) - Gina Solorzano

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Escuela Técnica Superior de Ingenieros 
Aeronáuticos 
Universidad Politécnica de Madrid 
 
Mecánica de Fluidos II 
 
 
 
 
 
 
Jaime Beneyto 
Curso 2011-2012 
 
 
jaimebeneyto@gmail.com 
 
mailto:jaimebeneyto@gmail.com
Introducción 
 
 
Estos son los apuntes de la asignatura Mecánica de Fluidos II, de la ETSIA, tomados 
durante el curso 2011-2012. Es de suponer que seguirán siendo válidos para la 
asignatura homónima de la EIAE. 
 
La asignatura es la continuación de Mecánica de Fluidos I y se divide en dos grandes 
bloques. 
 
En el primer bloque se estudian casos particulares de las ecuaciones de Navier-Stokes 
que por falta de tiempo no se vieron en la asignatura precedente como son los 
movimientos con viscosidad dominante en su aplicación a la lubricación, a los cojinetes 
y a las capas líquidas delgadas, el flujo a través de medios porosos, la compresibilidad 
en líquidos y los movimientos no estacionarios en gases. En los temas de 
compresibilidad en líquidos y movimientos no estacionarios en gases se trabajará con 
sistemas de EDPs hiperbólicos que se resolverán mediante el uso de curvas 
características, por ello supone una gran ayuda estar familiarizado con la ecuación de 
ondas que se vio en Métodos Matemáticos II. 
 
Para los temas del primer bloque este archivo contiene apuntes tomados en clase, que si 
bien su calidad deja bastante que desear, sirven para saber en qué se enfatizó y el ritmo 
que se llevó. En clase también se resolvieron algunos de los problemas cuyos 
enunciados se colgaron en la página web del departamento y están intercalados con la 
teoría en orden cronológico. 
 
El segundo bloque es puramente teórico y se centra en la teoría de la capa límite y en la 
turbulencia. De esta última parte no hay problemas en el examen sino ejercicios de 
teoría o teórico-prácticos. Todos los archivos de esta parte aquí incluidos provienen de 
la web del departamento. 
 
Finalmente, se incluyen ocho exámenes resueltos por la cátedra desde el año 2008 así 
como diez teórico-prácticos de turbulencia y capa límite. El último examen, el de junio 
de 2012 (también septiembre 2012), es de tipo test, lo cual parece ser la nueva tendencia 
del departamento. De ahora en adelante es de esperar que los exámenes sean tipo test. 
 
La bibliografía de la asignatura consiste en los dos guiones de Amable Liñán conocidos 
de Fluidos I. Del primer tomo entran las lecciones 12, 13 y 16 a 21. Del segundo las 
lecciones 28 y 29 así como la lección XXVI para la teoría de la capa límite. 
Adicionalmente pueden usarse los libros “Fundamentos y Aplicaciones de la Mecánica 
de Fluidos” de A. Barrero y M. Pérez-Saborid y “Teoría de la Capa Límite” de H. 
Schlichting (este último es excelente para las partes de capa límite y turbulencia). 
 
 
 
 
 
El formato original de este archivo es pdf e incluye marcadores que sirven a modo de 
índice. Si lo has obtenido a través de la página de delegación en formato djvu y te 
interesa el archivo original ponte en contacto conmigo y te lo enviaré gustosamente. 
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ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS
Mecánica de Fluidos II Examen 28—06—02
Una esfera de radio R y peso W cae por el eje de un tubo vertical de radio R + h0 (h0 ¿ R) lleno de un líquido de
densidad ρ y viscosidad μ. Se trata de calcular la velocidad límite de caída de la esfera, U , suponiendo que los efectos
viscosos son dominantes en el movimiento del líquido en la ranura axilsimétrica que queda entre la esfera y el tubo.
Para obtener la solución conviene usar un sistema de referencia ligado a la esfera, como se muestra en la figura, y
proceder como sigue:
1.- Mostrar que el espesor de la ranura entre esfera y tubo es
h = h0 +
x2
2R
para distancias x tales que h¿ R.
Obsérvese que h es del orden de h0 cuando x es del orden de
√
Rh0.
2.- Estimar el orden de magnitud del cociente uc/U , donde uc es la velocidad característica del líquido en la ranura.
3.- Estimar, en términos de U , el orden de magnitud de la variación de presión p1 − p2 en la ranura, de longitud
característica
√
Rh0. Mostrar que p1 − p2 es mucho mayor que las variaciones de presión en el resto del campo fluido
(longitud característica R).
4.- Estimar, en términos de U , el orden de magnitud de los esfuerzos viscosos sobre la pared de la esfera.
5.- Estimar el orden de magnitud de la contribución a la fuerza vertical sobre la esfera de la variación de presión y
de los esfuerzos viscosos en la ranura (x ∼
√
Rh0) estimados en los apartados 3 y 4 respectivamente. Comprobar que
esta contribución es pequeña comparada con la debida a la diferencia de presiones p1 − p2 actuando sobre el resto de
la superficie de la esfera.
6.- Calcular la diferencia de presiones p1 − p2 en función de la velocidad U .
7.- Calcular la velocidad U de caída de la esfera.
8.- Dar el criterio para que los efectos viscosos sean dominantes en el movimiento del líquido en la ranura. Comprobar
si el criterio se cumple cuando el peso de la esfera es de 1 gramo, la relación h0/R ∼ 10−3 y el líquido es agua.
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ESCUELA TÉCNICA SUPERlOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS 
Mecánica de Fluidos II Examen 16- 9-02 
La figura adjunta es un esquema de una bomba volumétrica bidimensional que se emplea para bombear 
un líquido muy viscoso desde una región donde la presión es Pa a otra de mayor presión, Pa + Clp. 
Consiste en una caja de longitud L limitada superiormente por un pistón que tiene un movimiento 
vertical armónico. dejando una película de líquido de espesor 11{) (1- ~ sen w t), con 11{) « L. El 
líquido entra y sale de la caja por dos orificios provistos de válvulas antirretorno. La válvula de la 
izquierda se abre y la de la derecha se cierra cuando el pistón empieza a subir, y el estado de las 
válvulas se invierte cuando el pistón empieza a bajar. Suponiendo que el movimiento del líquido 
está dominado por la viscosidad y que las caídas de presión en las válvulas de entrada y salida son 
despreciables, se pide: 
l. Escribir la ecuación de Reynolds para la distribución de presión en la película. con sus condiciones 
de contorno en los extremos de la caja. Conviene escribir estas condiciones separadamente para 
los semiperiodos en que el pistón sube y baja, teniendo en cuenta los estados de las válvulas en 
cada caso. 
2. Calcular la distribución de presión en la película resolviendo el problema formulado en el apartado 
anterior. 
3. Calcular lafuerza que es necesario aplicar sobre el pistón para mantener su movimiento. Supon-
gan que la presión sobre la cara superior del pistón es Pa· Calcular el valor medio (durante un 
ciclo) de la potencia consumida para mover el pistón. 
-!. Calcular el r~ndimiento de la bomba, cociente entre la potencia util, igual a Clp por el valor 
medio del caudal bombeado, y la potencia calculada en el apartado anterior. 
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L 
P. Pa Pa + ~p 
L 
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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS
Mecánica de Fluidos II Examen 17—6—04
Una carcasa cilíndrica de radio R y longitud L (L ∼ R) rodea a un bulón infinitamente
largo de radio R1 (R − R1 ¿ R). La distancia entre los ejes paralelos de la carcasa y
bulón es e ∼ (R−R1). El bulón se desplaza longitudinalmente respecto a la carcasa
con velocidad U . En la película entre carcasa y bulón hay un líquido de densidad ρ y
viscosidad µ. La carcasa está tapada en sus extremos, permitiendo el deslizamiento del
bulón pero evitando la salida del líquido.
Se pide:
1.- Escribir la ecuación diferencial y condiciones de contorno que permiten determinar la
distribución de presiones, p (θ, x), en la capa líquida entre bulón y carcasa, suponiendo
que los efectos viscosos son dominantes.
2.- Obtengan la solución, p0 (x), cuando la excentricidad es nula (e = 0).
3.- A partir de la ecuación y condiciones de contorno del apartado 1, obtengan la ecuación
y condiciones de contorno que permiten determinar la corrección a la solución del apartado
2 cuando la excentricidad es pequeña pero no nula; e/ (R−R1)¿ 1.
4.- Obtengan la solución del problema simplificado del apartado anterior.
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R 
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46
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ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS 
AERONÁUTICOS 
Mecánica de Fluidos II Examen 10-9-ü4 
Una placa triangular se mueve en aire en reposo (presión p" y temperatura T", la 
misma que la de la placa) con velocidad constante -U con respecto al suelo. 
La placa es un triángulo equilátero de altura a y en su parte central tiene un 
agujero, también en forma de triángulo equilátero, de altura aj3 (véase figura). La 
placa está inclinada con respecto al suelo de modo que el vértice de su borde de ataque 
está situado a una altura h0 y el borde de salida a una altura h1 < h0 (h0 ,....., h1 y 
ho/a « 1). 
Suponiendo que el movimiento del aire entre placa y suelo es con efectos viscosos 
dominantes y a temperatura constante Ta, se pide: 
1.- Ecuación diferencial y condiciones de contorno que permiten determinar la 
distribución de presiones del aire en la región entre suelo y placa. 
2.- Simplifiquen la ecuación del apartado anterior cuando el parámetro 
Determinen en este caso la distribución de presiones sobre la placa. 
3.- Estimen el orden de magnitud de la extensión de las zonas en las que la solución 
del apartado anterior no es válida. 
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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS
Mecánica de Fluidos II Examen 19–09–2006
1. Un líquido de densidad ½ y viscosidad ¹ ‡uye por efecto de la gravedad alrededor de un hilo
vertical de radio a. El líquido forma una capa de radio exterior R sobre el hilo. Suponiendo
que el movimiento del líquido está dominado por la viscosidad, se pide:
(a) Distribución de velocidad y caudal Q en función de R y los demás parámetros del
problema.
(b) Simpli…car la expresión del caudal admitiendo que R À a.
2. Los resultados anteriores son válidos para un movimiento casi-unidireccional, para el que
el caudal, y con ello R, no son estrictamente constantes y uniformes. Procediendo por
analogía con la teoría de películas delgadas dominadas por la viscosidad, se pide:
(a) Escribir la ecuación de continuidad para un volumen de control limitado por dos
secciones horizontales in…nitamente próximas de la capa de líquido.
(b) Sustituir en esta ecuación la expresión simpli…cada del caudal para R À a y obtener
la ecuación hiperbólica que satisface R(x; t).
(c) Como aplicación de la ecuación anterior, determinar la solución para el caso en que
el caudal se disminuya bruscamente desde un valor Q1 a un valor Q2 < Q1, de forma
que los radios exteriores de la película estacionaria lejos aguas arriba y aguas abajo
de la transición sean R1 y R2 < R1.
 
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UNIVERSIDAD POLITECNICA DE MADRID 
ESCUELA TECNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONAUTICOS 
Mecánica de Fluidos 11 Examen final 8-6-99 
Por un plano inclinado un ángulo a (de orden unidad) desciende un líquido de densidad p y viscosidad Jl 
bajo la acción de la gravedad. El liquido procede de un canal bidimensional que acaba en x = O y del que 
sale un gasto volumétrico q 0 ( t}, conocido, por unidad de anchura perpendicular al plano del movimiento. 
El movimiento en la capa de liquido es con efectos viscosos dominantes. La superficie del plano inclinado es 
porosa, filtrándose una cantidad de liquido, por unidad de longitud de la placa, proporcional a la altura 
local, h, de la capa; esto es: la velocidad de filtrado normal a la placa es -f3h, donde f3 es una constante 
conocida. Se pide: 
1 o.~ Escribir la ecuación de Reynolds que permite determinar h (x, t } en la capa (x > O) , modificada para 
tener en cuenta la filtración. 
2°.- En el supuesto de que el gasto volumétrico que sale del canal sea q 0 = q 1 oonstante, determinar la 
solución estacionaria h(x), mostrando que existe un valor máximo de x a partir del cual ya no queda 
liquido sobre el plano inclinado. 
3°.- Supóngase ahora que el valor del flujo que sale del canal se reduce bruscamente, en un cierto instante 
t = O , a q 1 J 8 , de modo que el espesor de la capa ligeramente aguas abajo de la salida del canal, donde 
q = (pgh 3 sena)/ (3 Jl), se reduce a la mitad. Para analizar el transitorio que se propaga sobre la capa, se 
pide: 
a) Ecuación diferencial ordinaria de las líneas caractedsticas de la ecuación del apartado 1 o, y ecuación 
diferencial ordinaria que determina la evolución de h con el tiempo sobre una linea característica 
(observen que, a causa del flltrado. h no se mantiene constante a lo largo de las características). 
b) Integren la segunda ecuación del apartado anterior para obtener h( t) a lo largo de una 
característica, en función de su valor h 1 en el instante -r • 
e) Con ayuda del resultado del apartado b), integen la primera ecuacton del apartado a) para 
determinar las líneas características en la forma x( t- r, h 1 ) , donde x = O para t = -r . 
d) Representar esquemáticamente las líneas características en el plano x- t , mostrando que el 
transitorio consiste en un abanico de expansión en el que las líneas caracteri&lticas no son rectas. 
e) Determinar h (X, t} en el abanico de expansión. 
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ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS
Mecánica de Fluidos II Examen 02—03—1979
Un depósito cilíndrico de radio de la base R, contiene un líquido de densidad ρ y viscosidad µ. Inicialmente el depósito
está lleno hasta una altura H0. En su base tiene una matriz porosa de espesor h y permeabilidad K. A su vez, la parte
exterior de la matriz porosa está tapada con un disco de radio R, que en el instante inicial se separa, paralelamente
a sí mismo, una distancia h de la matriz porosa, descargándose el líquido al exterior por la zona que queda entre el
medio poroso y el disco. Supongan que se puede aplicar la ley de Darcy en el medio poroso y que los efectos viscosos
son dominantes a través de la capa líquida (supongan H0 ∼ R, h¿ R y KR2/h4 ∼ 1). Se pide:
1.- Orden de magnitud de las velocidades en el depósito y en la matriz porosa, relativas a la velocidad característica
en la capa líquida inferior.
2.- Estimar el orden de magnitud de los incrementos de presión motriz en el depósito, mostrando que son pequeños
frente a los incrementos de presión en la matriz porosa y en la capa líquida.
3.- Orden de magnitud de los incrementos espaciales de presión en la matriz porosa (tanto radiales como verticales) y
en la capa líquida.
4.- Orden de magnitud de la velocidades radial y vertical en la capa líquida y en la matriz porosa.
5.- Mostrar que las variaciones de velocidad vertical en la matriz porosa son pequeñas frente a esta velocidad vertical.
Determinar esta velocidad vertical en la matriz porosa, vpz, en función de la presión, p, en la capa líquida.
6.- Ecuación diferencial y condiciones de contorno que determinan la distribución de presiones en la capa líquida.
Observen que esta ecuación se reduce a una que da ϕ = ϕ (η), siendo
p− pf = ρgH · ϕ (η) con η = r
R
, siendo pf la presión en el fondo del depósito.
Escribir la ecuación diferencial que determina ϕ (η) y sus condiciones de contorno.
7.- Determinar la altura H de líquido en el depósito en función del tiempo. ¿Que necesitaría conocer de la función
ϕ (η) para determinar por completo H (t)?.
8.- Den el criterio para que los efectos viscosos sean dominantes en la capa líquida.
 
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93
- ESCUELA TÉCNICA SUPERlOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS 
Mecánica de Fluidos II Examen 16-~02 
Un tubo semi infinito de área A contiene un líquido de densidad p en reposo y a la presión PO· El tubo está inmerso 
en el mismo líquido a la presión Pa < Po· El tubo tiene una placa con orificios situada en x = O y el extremo del tubo 
está situado en x = -L, siendo infinita la longitud hacia x >O. El área total de los orificios es Aa. 
En el instante inicial se pone en comunicación el líquido del tubo con el exterior abriendo instantáneamente el extremo 
situado en x = - L. Se trata de determinar la presión y velocidad del líquido en el t ubo en función de la posición x a 
lo largo del tubo y del tiempo t. Para ello supongan que el líquido se comporta como ideal en su movimiento y que la 
velocidad efectiva de propagación de las ondas en el conj unto líquido tubo es e constante. 
Como consecuencia de la apertura instantánea del extremo del tubo, se genera una onda que se propaga hacia el 
interior del tubo a la velocidad c. Cuando la onda llega a la placa perforada, x = O. se refleja hacia x < O y se propaga 
hacia .r > O (con la mis ma velocidad e), como consecuencia de la presencia de la placa. La descarga a t ravés de los 
orificios se puede considerar casi estacionaria y la velocidad en el tubo puede considerarse uniforme a distancia:> de la 
placa pequeñas frente a &. 
Supongan que 
Po - Pa = t: « 1 
pc2 
y que 
Para la Holución del problema basta con que den las velocidades y presiones en los puntos (1) y ( 1 ' ) situados en x = o-
Y .1: = 0.., respectivamente y t < L f c; el punto (2) situado en x = -L y t < 2Lj c; los puntos (3) y (3') situados en 
.1: = o- y x = Q-r respectivamente y L/c < t < 3Ljc; y el punto (4) situado en x = - L y 2Lj e < t < 4Lj e; del 
diagrama ;:¡; - t de la figura adjunta. Indiquen el valor de (p - Pa) / pc2 y el de tt/ e en las distintas regiones del plano 
:~; - t, para t < 3Ljc. 
Una vez resuelto el problema para o"' 1/t: , supongan que o - 1 y justifiquen porqué la solución correspondiente a 
est e caso es. en primera aproximación, la correspondiente a una onda que se propaga en el tubo a la velocidad e sin 
presencia de la placa perforada. 
L t - 0 - ---------- _.,. 
p - p. 1 p = po u • O p - po u-o ó 
O< t < L i c 
p • po u_ ~ p•po u• O d 
LfL/c -t" 
3Li c 
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~ -pa. = f'1. {-e- ~(J- {J +NE )] 
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97
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS
Mecánica de Fluidos II Examen 25—6—07
Un tubo de área transversal A está cerrado sobre si mismo en forma de circunferencia de
radio R (RÀ
√
A). El tubo tiene una válvula de área mínima AV situada en x = 0.
Inicialmente la válvula está abierta por completo y por el tubo circula un líquido de
densidad ρ con velocidad constante u0 y presión p0 también constante, ya que las pérdidas
por fricción se suponen despreciables.
A partir de un cierto instante, que consideraremos como el inicial, la válvula comienza a
cerrarse siguiendo la ley
AV
A
= 1− ct
2πR
para 0 ≤ ct
2πR
≤ 1 y AV
A
= 0 para
ct
2πR
> 1,
donde c es la velocidad efectiva de propagación de las ondas.
Se pide:
1.- Determinen la diferencia de presiones p1 − p2 entre dos secciones, -1- y -2-, situadas
inmediatamente aguas arriba y aguas abajo de la válvula respectivamente, en función de
la relación de áreas AV /A y de la velocidad u del líquido en estas secciones. Supongan
que el movimiento a través de la válvula es casi-estacionario.
2.- Determinan la velocidad adimensional u/u0 y las presiones p1/ρcu0 y p2/ρcu0 en fun-
ción del tiempo, durante el periodo de cierre de la válvula 0 < ct/2πR < 1.
3.- Determinen las presiones p1/ρcu0 y p2/ρcu0 en función del tiempo, una vez cerrada la
válvula, durante el periodo 1 < ct/2πR < 2.
La presión p0 es lo suficientemente alta como para que no se produzca la cavitación en el
líquido.
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2. 
100
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS
Mecánica de Fluidos II Examen 17—9—03
A) Un tubo de área A y longitud LÀ √A se cierra sobre sí mismo formando un anillo, como
se indica en la figura. El tubo contiene un tapón poroso de longitud ` ¿ L y permeabilidad
K. Diametralmente opuesta al tapón, hay una bomba ideal de potencia W que impulsa por el
circuito un líquido de densidad ρ y viscosidad µ. Suponiendo que los efectos de viscosidad del
líquido son despreciables fuera del tapón poroso y que la ley de Darcy es aplicable en el interior
del tapón, se pide:
1.- Determinar la relación entre la caída de presión a través del tapón poroso (p1 − p2) y el
caudal Q que circula por el tubo.
2.- Calcular el caudal Q en función de la potencia de la bomba y los parámetros del problema.
B) En un cierto instante se corta el paso de líquido a través de la bomba, que pasa a actuar
como una barrera y da lugar a ondas de compresión y de expansión que se propagan por el tubo
con una velocidad c. Suponiendo que el líquido no cavita, se pide calcular:
3.- Las presiones y velocidades detrás de las ondas generadas a ambos lados de la barrera en el
instante del cierre.
4.- Las presiones y velocidades detrás de las dos ondas que se reflejan en el tapón poroso cuando
es alcanzado por las ondas anteriores. Supongase que la ley de Darcy y la relación obtenida en
el apartado 1 siguen siendo aplicables, y que el parámetro α = 2ρcK/µ` es de orden unidad.
 
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Medio poroso 
Bomba 
Medio poroso 
Válvulas 
Medio poroso
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101
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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID 
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS 
Mecánica de Fluidos 11 Examen 21-6-ü5 
Un tubo semi infinito contiene inicialmente aire en reposo a la presión p0 y temperatura T0 
(velocidad del sonido a0 ) . En el extremo del tubo hay un tapón poroso que inicialmente 
está tapado, evitando la comunicación del aire del tubo con el vacío exterior (véase figura) . 
El tapón poroso tiene una longitud e, permeabilidad K y se mantiene siempre a la tem-
peratura constante T0 . Se supone que es aplicable la ley de Darcy en el tapón poroso. 
En un instante inicial se pone en comunicación el gas del tubo con el vacío exterior a través 
del tapón poroso. Suponiendo que el proceso en el tapón poroso es casi estacionario, pero 
que no lo es en el resto del tubo, se pide: 
1.- Calcular el gasto, por unidad de área del tubo, a través del tapón poroso en función 
de lapresión p1 inmediatamente aguas arriba del tapón (x = 0). 
2.- Mediante el análisis de la onda de expansión generada en el tubo, escriban la ecuación 
que permite determinar la presión p1. 
3.- Supuesto conocido p1 de la ecuación del apartado anterior, den las ecuaciones de las 
líneas características que limitan la expansión en función de p1. 
4.- Escriban la ecuación del apartado 2 en forma adimensional utilizando como incógnita la 
relación p1 fp0 y obtengan la solución de dicha ecuación cuando el parámetro adimensional 
es pequeño frente a la unidad. 
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Índice general
1. Capa límite laminar 3
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Obtención de las ecuaciones de la capa límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1. Análisis de los órdenes de magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2. Ecuaciones de la capa límite bidimensional incompresible . . . . . . . . . 6
1.2.3. Algunas propiedades de las ecuaciones de la capa límite . . . . . . . . . . 7
1.2.4. Separación de la capa límite. Resistencia de fricción y de forma . . . . . . 9
1.2.5. Efecto de la succión y soplado en el desprendimiento de la capa límite . . 11
1.3. Capa límite sobre una placa plana. Solución de Blasius . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1. Succión/soplado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4. Soluciones de Falkner-Skan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5. Capa límite térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.1. Capa límite térmica sobre una placa plana paralela a una corriente uniforme 19
1.5.2. Capa límite térmica sobre una cuña . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6. Capa límite bidimensional compresible y estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.1. Convección forzada. Temperatura de recuperación . . . . . . . . . . . . . 23
1.6.2. Convección forzada. Analogía de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6.3. Convección libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.3.1. Número de Prandtl grande Pr � 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.3.2. Número de Prandtl pequeño Pr � 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.3.3. Número de Prandtl de orden unidad Pr ∼ 1 . . . . . . . . . . . 26
1.6.3.4. Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.3.5. Placa plana vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2. Introducción a los movimientos turbulentos 28
2.1. Origen de la turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2. Escalas de la turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3. Valores medios. Ecuaciones de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.1. Ecuación de la continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.2. Ecuación de la cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.3. Ecuación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.4. Ecuación de la energía cinética media y turbulenta . . . . . . . . . . . . . 31
2.4. Viscosidad turbulenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.1. Teoría del camino de mezcla de Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.2. Modelos de turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5. Flujos turbulentos esbeltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6. Turbulencia libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1
113
ÍNDICE GENERAL 2
2.6.1. Estela (bidimensional) lejana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6.2. Chorro (bidimensional) lejano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
114
Capítulo 1
Capa límite laminar
1.1. Introducción
En los movimientos a altos números de Reynolds los efectos viscosos son despreciables en la
ecuación de cantidad de movimiento. Del mismo modo, los efectos de conducción, en la ecuación
de la energía, son despreciables si el producto del Reynolds por el Prandtl es grande. Las ecua-
ciones resultantes son las ecuaciones de Euler. Esta simpli�cación lleva implícito el despreciar los
términos de mayor orden en las derivadas de la velocidad y de la temperatura, de modo que a
las ecuaciones de Euler no se le pueden imponer todas las condiciones de contorno.
Como consecuencia de lo anterior, las condiciones de contorno en el movimiento de un �uido
ideal en presencia de una pared se reducen a decir que la velocidad es tangente a la pared (si
no hay paso de masa a través de dicha pared) y no se puede imponer ninguna condición a la
temperatura del �uido en contacto con la pared. Sin embargo, dentro de la aproximación de un
�uido como medio continuo, se sabe que la velocidad de un �uido en contacto con una pared es
igual a la velocidad de la pared, y que la temperatura del �uido debe coincidir con la temperatura
de la pared (si a través de dicha pared no hay paso de masa, y en la super�cie no hay reacción
química ni evaporación ).
Figura 1.1: Capa límite adherida al per�l.
Para poder imponer todas las condiciones
de contorno, es necesario que los términos vis-
cosos y de conducción de calor sean tan impor-
tantes como los convectivos. Sin embargo, si
se utiliza la longitud característica ` del movi-
miento, el número de Reynolds ρU`/µ es muy
grande y estos términos serían despreciables.
Es evidente, por tanto, que cerca de las pare-
des (donde se deben imponer las condiciones
de contorno) la velocidad U (y también la tem-
peratura) sufre variaciones del orden de ella
misma en distancias δ � `. El orden de mag-
nitud de δ se determina de la condición de que los efectos viscosos (y los de conducción de calor)
sean tan importantes como los convectivos en esta región delgada, ya que estos términos deben
contar para poder imponer las condiciones de contorno. Esta zona, donde los efectos viscosos son
importantes, se denomina capa límite.
El primero en indicar la existencia de una zona en la que los efectos viscosos son importantes,
3
115
CAPÍTULO 1. CAPA LÍMITE LAMINAR 4
a pesar de que el Reynolds del movimiento sea alto, fue Prandtl en 19041. La idea de Prandtl de
una región donde los efectos viscosos son importantes, clari�có multitud de fenómenos que hasta
entonces no habían obtenido explicación satisfactoria. En particular explicó el porqué la teoría
de �uidos ideales (altos números de Reynolds) proporciona buenos resultados cuando se quiere
determinar la sustentación, o fuerza normal a la dirección de la corriente incidente, sobre un
obstáculo, y sin embargo esta teoría es incapaz de determinar la resistencia (o componente de la
fuerza en la dirección de la corriente incidente). También explicó el fenómeno del desprendimiento
de la capa límite en cuerpos romos (en general con gradientes adversos de presión), y como
consecuencia, la existencia de una resistencia de forma, que no depende de la viscosidad pero es
causada por ella.
Figura 1.2: Estela aguasabajo de un cilindro circular.
En los cuerpos fuselados la capa límite no
se desprende más que en la parte �nal del cuer-
po (como en el caso del per�l de la �gura 1.1),
formando una estela muy delgada que puede
tratarse como una super�cie de discontinuidad
tangencial. En este caso, la resistencia es prác-
ticamente toda ella debida a los esfuerzos vis-
cosos en la pared. Sin embargo, en un cuerpo
romo (�gura 1.2), la capa límite se desprende
generando una estela amplia, en este caso la
fuerza de resistencia es del orden de la presión
dinámica (ρU2) por el área frontal. Esta fuer-
za, aunque originada por el desprendimiento
de la capa límite, y por lo tanto por la viscosidad, no depende de dicha viscosidad.
Figura 1.3: Per�l con capa límite desprendida.
En un cuerpo fuselado en la que la corrien-
te no está su�cientemente alineada con su geo-
metría, puede desprenderse la corriente como
en el caso de un cuerpo romo. Este es el ca-
so del per�l de �gura 1.1 cuando el ángulo de
ataque es elevado (véase �gura 1.3).
En el movimiento de los �uidos alrededor
de cuerpos o en presencia de paredes, si el nú-
mero de Reynolds es muy alto, hay una capa
límite, de espesor δ, en las proximidades de la
pared y una región exterior donde los efectos
viscosos y de conducción de calor son despre-
ciables. En esta región exterior, las ecuaciones se reducen a las de Euler a las que no se les pueden
imponer todas las condiciones de contorno. La solución de Euler proporciona una velocidad tan-
gente a la pared y que varía a lo largo de ella. Esta región exterior de Euler se denomina así
porque es la corriente que se ve en el exterior de la capa límite.
1Prandtl, L., �Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung�, Proc. III Intern. Math. Congress, Heidel-
berg (1904).
La traducción al español puede encontrarse en �Versión Crítica en Español del Trabajo de Ludwig Prandtl
sobre el Movimiento de Fluidos con Viscosidad muy Pequeña�, Ingeniería Aeronáutica y Astronáutica, Nº 328,
Julio 1992, por M. Rodríguez y R. Martínez-Val.
116
CAPÍTULO 1. CAPA LÍMITE LAMINAR 5
1.2. Obtención de las ecuaciones de la capa límite
Para la obtención de las ecuaciones de la capa límite se va a considerar, por simplicidad, que
el �ujo es bidimensional e incompresible. Anticipando que la capa límite es una región delgada en
torno a la super�cie del cuerpo, conviene introducir para su análisis un sistema de coordenadas
curvilíneas ortogonales, llamadas coordenadas de capa límite, basadas en una familia de curvas
paralelas al contorno del cuerpo y sus trayectorias ortogonales. En estas coordenadas, x es la
distancia medida sobre la super�cie del cuerpo desde su borde de ataque o desde el punto de
remanso anterior, e y es la distancia normal al cuerpo. las coordenadas (x, y) no son cartesianas,
excepto si la super�cie del cuerpo es plana, pero se comportan como tales a todos los efectos si
y es pequeña frente al radio de curvatura < de la super�cie, que se supondrá del orden de la
longitud característica del cuerpo: < ∼ `.
En lo que sigue, u y v son las componentes x e y de la velocidad del �uido, ` es la longitud
característica del cuerpo, δ es el espesor característico de la capa límite, vc el valor característico
de la velocidad transversal a la capa y 4δp el orden de magnitud de las variaciones transversales
de presión. los valores de δ, vc y 4δp deben determinarse a partir de los balances entre los
órdenes de magnitud de los términos dominantes de las ecuaciones del movimiento. La velocidad
longitudinal debe variar a través de la capa límite desde cero en la super�cie del cuerpo a la
velocidad de deslizamiento ue (x) proporcionada por la solución exterior no viscosa de Euler. La
velocidad de deslizamiento es del orden de la velocidad U de la corriente libre, de modo que
u ∼ U en la capa límite. Las variaciones longitudinales de presión son 4`p ∼ ρU2, impuestas
por la solución exterior.
1.2.1. Análisis de los órdenes de magnitud
Analizando la ecuación de la continuidad
∂u
∂x
+
∂v
∂y
= 0, (1.1)
se obtiene
U
`
∼ vc
δ
⇒ vc ∼ U
δ
`
� U, (1.2)
de modo que las velocidades transversales en la capa límite son muy pequeñas comparadas con
las longitudinales.
Las estimaciones de órdenes de magnitud en la ecuación de cantidad de movimiento según x
permite obtener la estimación del espesor δ de la capa límite
u
∂u
∂x
+ v
∂u
∂y
U2
`
∼ Uvc
δ
= −1
ρ
∂p
∂x
4xp
ρ`
+ ν
(
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
)
ν U
`2
�ν U
δ2
. (1.3)
Con la estimación de la velocidad característica transversal vc dada en la ecuación (1.2), los
dos términos convectivos de la ecuación (1.3) son del mismo orden y del orden de U2/`. A su
vez, la difusión de cantidad de movimiento por efectos viscosos a lo largo de la capa límite es
despreciable frente a la difusión transversal a la misma, de modo que los términos viscosos son del
orden de νU/δ2. Dado que en la capa límite los efectos viscosos deben ser tan importantes como
el que más, el orden de magnitud del espesor de la capa límite debe ser tal que U2/` ∼ νU/δ2,
lo que proporciona
δ ∼
√
ν`
U
∼ `
√
ν
U`
∼ `√
Re
� `, (1.4)
117
CAPÍTULO 1. CAPA LÍMITE LAMINAR 6
que al ser el número de Reynolds de la corriente grande, el espesor resulta pequeño frente al
tamaño característico `.
Otro resultado que pone de mani�esto la ecuación (1.3) es que las variaciones longitudinales
de la presión impuestas sobre la capa límite por la solución exterior no viscosa (de Euler), en la
que 4`p ∼ ρU2, hacen que el término −1ρ
∂p
∂x sea tan importante como los términos convectivos.
Por tanto, las fuerzas de presión juegan un papel importante en el movimiento del �uido tanto
en la capa límite como fuera de ella.
Para determinar el orden de magnitud de las variaciones de presión transversales a la capa
límite, se analiza la ecuación de cantidad de movimiento según el eje y
u
∂v
∂x
+ v
∂v
∂y
Uvc
`
∼ v
2
c
δ
+O
(
U2
<
)
U2
`
= −1
ρ
∂p
∂y
4δp
ρδ
+ ν
(
∂2v
∂x2
+
∂2v
∂y2
)
ν vc
`2
�ν vc
δ2
, (1.5)
donde se ha incluido el orden de magnitud O
(
U2
<
)
de los términos debidos a la curvatura del
cuerpo que pueden llegar a ser importantes en la ecuación, incluso en el caso de curvaturas
moderadas < ∼ `. Los dos primeros términos del primer miembro de (1.5) son del mismo orden
v2c
δ ∼
U2
`
δ
` ∼
√
νU3
`3
, que a su vez es el mismo orden de magnitud que el término de difusión viscosa
transversal en esta misma ecuación ν vc
δ2
∼
√
νU3
`3
. Estos tres términos son despreciables frente
al término de la curvatura, del orden de U
2
` , con lo que el término de presiones, tan importante
como el que más, resulta
4δp ∼ ρU2
δ
`
� ρU2 ∼ 4`p. (1.6)
Este resultado indica que la presión en la capa límite no varía transversalmente a la misma y es,
por tanto, igual a la presión impuesta por la corriente exterior de Euler
p (x, y) = pe (x) , (1.7)
lo que simpli�ca considerablemente el problema a resolver, ya que la presión deja de ser una
incógnita en el estudio de la evolución de la capa límite.
Del análisis de los órdenes de magnitud de las ecuaciones de continuidad y cantidad de
movimiento se ha visto que el espesor característico de la capa límite y la velocidad característica
transversal resultan ser mucho menores que las correspondientes magnitudes a lo largo de la capa
límite, y que la presión, que ahora es un dato, varía únicamente a lo largo de la capa límite y no
a través de ella.
1.2.2. Ecuaciones de la capa límite bidimensional incompresible
De acuerdo con las estimaciones de órdenes de magnitud realizadas, el sistema de ecuaciones
que describe el movimiento de un líquido en la capa límite son la ecuación de la continuidad (1.1)
junto con la ecuación de cantidad de movimiento
u
∂u
∂x
+ v
∂u
∂y
= −1
ρ
dpe
dx
+ ν
∂2u
∂y2
. (1.8)
Este sistema de ecuaciones es parabólico. Contiene derivadas segundas de u respecto a la coor-
denada transversal y, lo que permite imponer tanto la condición de no deslizamiento u = 0 sobre
la pared como la condición de acoplamiento con la solución exterior