Aplicacion-de-la-proyeccion-conica-equivalente-de-Albers-para-la-Republica-Mexicana

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO 
FACULTAD DE FILOSOFÍA Y LETRAS 
COLEGIO DE GEOGRAFÍA 
APLICACIÓN DE LA PROYECCIÓN CÓNICA 
EQUIVALENTE DE ALBERS PARA LA 
REPÚBLICA MEXICANA. 
TESIS 
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE: 
LICENCIADA EN GEOGRAFÍA 
PRESENTA: 
MARIANA VALLEJO VELÁZQUEZ 
ASESOR: 
DR. JESÚS ABRAHAM NAVARRO MORENO 
México, D.F. Ciudad Universitaria, Septiembre 2015. 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
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reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el 
respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
 
 
Agradecimientos 
 
 
 
 
A la Universidad Nacional Autónoma de México por abrirme las puertas y permitir que 
encontrará mi vocación, por hacerme crecer como persona y como profesionista, y por ser el inicio 
de una nueva etapa en mi vida. 
Al Doctor Jesús Abraham Navarro Moreno por haber llegado a la Facultad justo cuando lo 
necesitaba. Por su infinito apoyo en mis decisiones, por brindarme su tiempo para el intercambio de 
ideas, correcciones y comentarios siempre acertados, por valorar mi trabajo y brindarme la 
oportunidad de apoyarlo en las clases que imparte y simplemente por ser el mejor asesor que pude 
haber encontrado. 
Al Doctor José Luis Palacio Prieto por enseñarme tantas cosas en tan poco tiempo, por 
continuar apoyándome y por permitirme seguir mi convicción. 
A mis sinodales: la Maestra Cecilia Gutiérrez Nieto por su tiempo y apoyo para agilizar el 
proceso de revisión, por sus observaciones para mejorar esta tesis y por ser la primer Profesora que 
me acercó a la Cartografía y me mostró lo grandiosa que ese esta ciencia. 
Al Profesor Frank Gustavo García Rodríguez por sus comentarios sobre esta tesis y sus 
palabras de apoyo sobre la importancia de la misma. 
A la Profesora Ana Elsa Domínguez Ceballos por confiar en mis capacidades y por sus 
anécdotas que siempre me hicieron repensar las cosas y tratar de ser mejor persona. 
Al Maestro José Mauricio Galeana Pizaña por su gran apoyo en la revisión de esta tesis, por 
tenerme tanta paciencia en sus clases de SIG y Fotointerpretación, y por revelarnos los misterios de 
la caja negra del SIG. 
También quiero agradecer a las dos maestras culpables de que el mundo tenga una geógrafa 
más, Miss Dorita y Miss Abby. Miss Dorita por permitirme colaborar en sus proyectos, porque me 
ayudó a darme cuenta la gran pasión que tengo por la Geografía y le doy gracias porque no me 
imagino sintiéndome tan plena en otra parte. Miss Abby gracias por convencerme de que esto era lo 
que quería, por su apoyo y por ser parte de esto. 
En general a TODOS mis profesores porque estoy parada sobre sus hombros. 
 
 
 
 
 
 
A ustedes 
 
 
 
 
Y obviamente quiero agradecerles, por ser quienes son y hacernos lo que somos. Porque 
llegar hasta aquí ha sido sencillo, hemos trabajado por esto durante 21 años y lo que falta. Esta tesis 
es resultado de años y años de preparación, de cantar con entusiasmo, de cantar cada tarde las tablas 
de multiplicar, de cocer lentejuela por lentejuela y pegar pluma por pluma en un disfraz, de repetir 
las letras que se salían del renglón, de tratar de entenderte cuando me hablabas de la silaba tónica, 
de escucharte repetir las reglas de acentuación cada que revisabas los cuadernos, de destruir el 
nacimiento para diseñar una maqueta de la selva, de construir una computadora que parecía real, de 
armar un sistema solar enorme… ¡Uff! tantas y tantas veces que vi tu lengua de fuera, perdí la cuenta. 
Luego, veo a la cocina y te veo a ti lijando, cortando, perforando, pintando lo que fuera mientras 
nosotras trabajábamos en el comedor. Ya sé lo que estás pensando, ¡Ay Mariana tú siempre te 
quedabas dormida, no hacías nada!, te equivocas, yo me encargaba de pensar ¡Dios, esto no se va a 
ver bien! Y luego por la mañana quedar sorprendida por la genialidad que habían hecho. Y tú, eres el 
mejor distractor del mundo y la mejor compañía. 
Saben que tengo una pésima memoria, pero hay cosas que no se olvidan y menos cuando 
son recuerdos tan buenos y especiales. Gracias por nunca cuestionar mis decisiones y siempre 
apoyarlas. 
¡Esto es por ustedes y para ustedes! 
Í n d i c e 
Introducción …………………………….…………………………………………………………………………………… 1 
 
Capítulo 1. Principios teóricos de las proyecciones cartográficas ………………………………… 5 
1.1. Perspectiva histórica del empleo de las proyecciones cartográficas …………………. 7 
1.2. Superficies, figuras y dimensiones de la Tierra …………………………………………………. 18 
1.2.1. Superficies de la Tierra …………………………………………………………………………… 19 
1.2.2. Figuras y dimensiones de la Tierra …………………………………………………………. 20 
1.3. Proyecciones cartográficas ……………………………………………………………………………….. 27 
1.3.1. Por las propiedades geométricas que conservan ……………………………………. 28 
1.3.2. Por la posición de la superficie de desarrollo con respecto al elipsoide …. 29 
1.3.3. Por superficie de desarrollo …………………………………………………………………… 31 
 
Capítulo 2. Proyecciones empleadas para la representación de la República Mexicana 37 
2.1. Proyección Cónica Conforme de Lambert …………………………………………………………. 39 
2.1.1. Características de la proyección Cónica Conforme de Lambert ………………. 39 
2.1.2. Construcción de la proyección Cónica Conforme de Lambert …………………. 41 
2.2. Proyección de Mercator …………………………………………………………………………………… 47 
2.2.1. Características de la proyección de Mercator …………………………………………. 48 
2.2.2. Construcción de la proyección de Mercator …………………………………………… 50 
2.3. Proyección Universal Transversa de Mercator (UTM) ……………………………………….. 55 
2.3.1. Características de la proyección UTM …………………………………………………..… 55 
2.3.2. Características de la proyección UTM para México ………………………………… 58 
2.3.3. Construcción de la proyección UTM ………………………………………………………. 58 
 
Capítulo 3. Proyecciones cartográficas equivalentes …………………………………………………… 67 
3.1. Importancia del conocimiento de las proyecciones equivalentes en Geografía … 69 
3.2. Características de las proyecciones equivalentes ……………………………………………… 72 
3.3. Métodos de cálculo de áreas de polígonos ……………………………………………………….. 78 
 
Capítulo 4. Adaptación de la proyección Cónica Equivalente de Albers a la República 
Mexicana ……………………………………………………………………………………………………………………… 
 
91 
4.1. La proyección Cónica Equivalente de Albers …………………………………………………….. 93 
4.2. Transformación de coordenadas geográficas y cartesianas ………………………………. 100 
4.3. Representación de México en proyección Cónica Equivalente de Albers …………. 117 
 
Conclusiones ………………………………………………………………………………………………………………… 121 
Bibliografía …………………………………………………………………………………………………………………… 125 
Anexos …………………………………………………………………………………………………………………………. 129 
 Índice de figuras 
 
Figura 1.1. Mapa de Eratóstenes ……………….………………………............................................... 8 
Figura 1.2. Mapa T en O ……….………………………………………………………………………………………… 9 
Figura 1.3. Mapa portulano del Atlántico Norte elaborada por Baptista van Deutecum, 
1594 .………………………………………………………………………………………………………………………………. 10 
Figura 1.4. Mapa de Martin Waldseemüller, 1509 …………………………………………………………… 12 
Figura 1.5. Primera triangulación elaborada por Cassini en 1744 ……………………………………... 13 
Figura 1.6. Proyección interrumpida de Goode ………………………………………………………………… 15Figura 1.7. Superficies y figuras de la Tierra ……………………………………………………………………… 19 
Figura 1.8. Semiejes de la elipse ………………………………………………………………………………………. 21 
Figura 1.9. Elementos del elipsoide …………………………………………………………………………………. 22 
Figura 1.10. Indicatriz de Tissot ……………………………………………………………………………………….. 29 
Figura 1.11. Proyecciones tangentes y secantes por la posición de la superficie de 
desarrollo ……………………………………………………………………………………………………………………….. 30 
Figura 1.12. Tipos de proyecciones acimutales por ubicación del centro de proyección ……. 31 
 
Figura 2.1. Proyecciones Cónica Conforme de Lambert, con los paralelos base a 20° y 60°N 
latitud ……………………………………………………………………………………………………………………………… 39 
Figura 2.2. Paralelos base en una proyección cónica secante ……………………………………….... 40 
Figura 2.3. Localización de coordenadas cartesianas en proyección Cónica Conforme de 
Lambert ………………………………………………………………………………………………………………………….. 45 
Figura 2.4. Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendate 
Accommodata (1569) ……………………………………………………………………………………………………… 47 
Figura 2.5. Proyección de Mercator ………………………………………………………………………………… 48 
Figura 2.6. Línea loxodrómica ………………………………………………………………………..………………… 49 
Figura 2.7. Localización de coordenadas cartesianas en proyección Mercator …………………. 53 
Figura 2.8. Zonas UTM ……………………………………………………………………………………………………. 56 
Figura 2.9. División de franja UTM ..……………………………………………………………………………….. 56 
Figura 2.10. Sistema de coordenadas UTM .……………………………………………………………………. 57 
Figura 2.11. Localización de coordenadas cartesianas en proyección UTM ………………………. 64 
 
Figura 3.1. Línea loxodrómica ………………………………………………………………………………………….. 72 
Figura 3.2. Proyecciones equivalentes con indicatriz de Tissot …………………………………………. 73 
Figura 3.3. Proyección sinusoidal …………………………………………………………………………………….. 74 
Figura 3.4. Proyección de Bonne ……………………………………………………………………………………… 74 
Figura 3.5. Proyección equivalente de Albers …………………………………………………………………… 75 
Figura 3.6. Proyección de Mollweide ………………………………………………………………………………. 75 
Figura 3.7. Proyección de Eckert IV ………………………………………………………………………………….. 76 
Figura 3.8. Proyección normal cilíndrica equiárea ……………………………………………………………. 76 
Figura 3.9. Polígono irregular y las coordenadas de sus vértices …………………………………….. 79 
Figura 3.10. Polígono y trapecios trazados para obtención del área ……………………………….. 81 
Figura 3.11. Método de cálculo de área …………………………………………………………………………. 84 
Figura 3.12. Cuenca del río Santa Clara, Chihuahua y tabulación de datos para la 
obtención del área ………………………………………………………………………………………………………… 85 
 Índice de figuras 
 
 
Figura 4.1. Proyección Cónica Equivalente de Albers ……………………………………………………… 93 
Figura 4.2. Comparación de la representación de México en proyección Cónica 
Conforme de Lambert y Cónica Equivalente de Albers ……………………………………………………. 94 
Figura 4.3. Comparación de la proyección Cónica Conforme de Lambert y Cónica 
Equivalente de Albers en territorios del Norte y del Sur de México ………………………………… 95 
Figura 4.4. Localización de coordenadas cartesianas en proyección Cónica Equivalente de 
Albers ...………………………………………………………………………………………………………………………….. 116 
Figura 4.5. Representación de México en proyección Cónica Equivalente de Albers con 
paralelos base a los 29° 30’ 00’’N y 17° 30’ 00’’N latitud y 102°W como meridiano central 117 
Figura 4.6. Representación de México en proyección Cónica Equivalente de Albers 
discontinua con seis meridianos centrales …………………………………………………………………….. 118 
Figura 4.7. Propuesta de cartografía nacional en proyección Cónica Equivalente de Albers 
escala 1:500 000 ……………………………………………………………………………………………………………… 119 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Índice de cuadros 
 
Cuadro 1.1. Elipsoides de referencia ……………………………………………………………………………….. 24 
Cuadro 1.2. Propiedades del elipsoide de referencia GRS80 …………………………………………….. 26 
Cuadro 1.3. Clasificación de las proyecciones acimutales según la posición de la 
superficie de desarrollo ………………………………………………………………………………………………….. 32 
Cuadro 1.4. Clasificación de las proyecciones cónicas según la posición de la superficie 
de desarrollo ………………………………………………………………………………………………………………….. 34 
Cuadro 1.5. Clasificación de las proyecciones cilíndricas según la posición de la superficie 
de desarrollo ………………………………………………………………………………………………………………….. 35 
 
Cuadro 2.1. Transformación de coordenadas geográficas a cartesianas en proyección 
Cónica Conforme de Lambert ……………………………………………………………………………………....... 45 
Cuadro 2.2. Deformación máxima de proyecciones cartográficas ……………………………………. 46 
Cuadro 2.3. Transformación de coordenadas geográficas a cartesianas en proyección 
Mercator ………………………………………………………………………………………………………………………… 53 
Cuadro 2.4. Transformación de coordenadas geográficas a cartesianas en proyección UTM 64 
 
Cuadro 3.1. Cálculo del área con la fórmula 2𝐴 = ∑ 𝑥𝑖 ( 𝑦𝑖−1 − 𝑦𝑖+1 )
𝑛
𝑖=0 ………………………. 80 
Cuadro 3.2. Cálculo del área con la fórmula 2𝐴 = ∑ 𝑦𝑖 ( 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖−1 )
𝑛
𝑖=0 ………………………. 80 
Cuadro 3.3. Cálculo del área por el método matricial ………………………………………………………. 82 
Cuadro 3.4. Transformación de coordenadas geográficas y cartesianas ………………………….. 82 
Cuadro 3.5. Cálculo de área de polígono en proyección UTM por el método matricial ……… 83 
Cuadro 3.6. Cálculo de área de polígono en proyección Cónica Equivalente de Albers por 
el método matricial …………………………………………………………………………………………………………. 83 
Cuadro 3.7. Longitud y promedio de la medida de las franjas trazadas en el polígono VI …. 86 
Cuadro 3.8. Valores numéricos de las constantes a, b, c, d para el cálculo de área por el 
método de Ahmed ………………………………………………………………………………………………………….. 87 
Cuadro 3.9. Comparativo de resultados de medida de superficie (km2) obtenidos por 
diferentes métodos ………………..…………………………………………………………………………………....... 88 
 
Cuadro 4.1. Comparación de coordenadas cartesianas de la ubicación de diez puntos en 
proyección Cónica Conforme de Lambert y Cónica Equivalente de Albers ………………………… 96 
Cuadro 4.2. Comparación del cálculo de superficie territorial continental e índice de 
densidad de población por estado en proyección CEA y CCL …………………………………………….. 98 
Cuadro 4.2. Transformación de coordenadas geográficas a cartesianas en proyección 
Cónica Equivalente de Albers …………………………………………………………………………………………… 116 
 
 
 
1 
I n t r o d u c c i ó n 
 
La Geografía es la ciencia del espacio geográfico, la cual junto con la Cartografía se 
consideran dos ciencias íntimamente relacionadas, dado que la primera se ocupa del análisis del 
espacio, mientras que la segunda se ocupa de su representación. El material cartográfico es una de 
las fuentes de información primordial para el desarrollo de estudios geográficos, ya que brinda 
información de la esfera del medio físico y de la esfera social que conforman el espacio geográfico, 
por ello son la herramienta principal de los geógrafos. 
La labor del geógrafo es analizar el espacio geográfico para representarlo por medio de 
mapas; el geógrafo es quien elabora el mapa y el usuario es quien interpreta el mapa y está sujeto 
a la información que se plasme en él. Es por ello que el mapa debe tener un alto grado de afinidad 
con la realidad, con el fin de que el usuario pueda tener una herramienta clara, confiable y precisa, 
ya que la representación equivocada de información espacial, conducirá a una interpretación 
errada. 
Para alcanzar tal propósito el cartógrafo/geógrafo emplea la proyección cartográfica, el 
sistema de coordenadas y la escala que conforman la base matemática indispensable para la 
elaboración de cartografía. De acuerdo con el tipo de mapa esta base matemática se adapta en 
función a la finalidad, ya sea únicamente para localizarun punto concreto o para satisfacer fines 
más precisos como la medición. 
Los mapas se dividen en básicos (referencia) y temáticos. En el primer tipo la base 
matemática se utiliza para el cálculo de distancias y áreas, por ello la representación de los 
fenómenos exige una mayor precisión. Para el segundo, la base matemática sólo se emplea como 
elemento de referencia, ya que su propósito es la visualización, interpretación y análisis de la 
información. 
En los mapas de referencia la base matemática asigna precisión y exactitud cuando se 
requiere realizar mediciones y cálculos aritméticos de elementos puntuales, lineales y areales que 
están contenidos en el mapa. Puede pensarse que el problema de proyectar a la Tierra en un plano 
está esencialmente resuelto, en parte es una afirmación acertada; sin embargo, para hacer uso de 
las proyecciones ya elaboradas, es necesario conocer los parámetros que deben usarse para adaptar 
 
Aplicación de la proyección Cónica Equivalente de Albers para la República Mexicana. 
Mariana Vallejo Velázquez 
 
 
 
 
2 
las proyección adecuada al área de interés; de manera que la dificultad no está en resolver las 
cuestiones matemáticas, sino en la elección de la proyección y parámetros apropiados que brinden 
al usuario un mapa adecuado al propósito del mismo. 
Hoy en día la tecnología de los sistemas de información geográfica (SIG) ofrece una amplia 
gama de herramientas que facilitan el análisis y la representación del espacio, pese a esto, el 
conocimiento teórico sobre cuestiones de la base matemática de la cartografía son indispensables 
para el adecuado uso de estas herramientas. Por consiguiente, el funcionamiento del SIG no 
depende de que tan bueno sea el software sino del conocimiento a priori de quien lo maneja. La 
elección errónea de la proyección cartográfica traerá consigo errores de interpretación y obtención 
de datos falsos. 
Existe una amplia diversidad de proyecciones que se elige con base en el propósito del 
mapa. De acuerdo a las propiedades que conserva se les clasifica en: equivalentes, conformes y 
equidistantes; o con base en la superficie de referencia en la que se proyecta la curvatura de la 
Tierra, las proyecciones se clasifican en: acimutal, cónica y cilíndrica. En el caso de México, las 
proyecciones utilizadas son la Cónica Conforme de Lambert y la Universal Transversa de Mercator, 
ambas son proyecciones conformes, lo que significa que los ángulos están correctamente 
representados. La proyección de Lambert se utiliza para mapas de escala pequeña, por ejemplo, 
para representar toda la República Mexicana, por otra parte la proyección UTM se elige para mapas 
de escala grande. Si bien son dos proyecciones que se adaptaron al territorio mexicano y han sido 
utilizadas para la elaboración de cartografía oficial, sus características de conformidad no siempre 
pueden dar los mejores resultados al aplicarse a estudios geográficos donde el cálculo de las áreas 
sea fundamental; en este sentido puede considerarse la adaptación de una proyección equivalente 
para México. 
Las escasas investigaciones sobre Cartografía en nuestro país, resulta en los pocos textos 
disponibles relacionados con esta ciencia. Aun cuando la Cartografía es fundamental para la 
Geografía, pocos son los geógrafos que dedican sus estudios a cuestiones de corte cartográfico. Con 
base en lo expuesto, el presente trabajo busca fomentar las investigaciones sobre Cartografía, 
especialmente sobre su base matemática. 
 
Aplicación de la proyección Cónica Equivalente de Albers para la República Mexicana. 
Mariana Vallejo Velázquez 
 
 
 
 
3 
Esta tesis se formula en el contexto del Plan de Estudios de la Licenciatura en Geografía de 
la Universidad Nacional Autónoma de México; está enfocada primordialmente a fortalecer las 
reflexiones de la materia de Cartografía Matemática, aunque también contribuye con los 
conocimientos de Laboratorio de Manejo de Mapas, Geodesia, Sistemas de Información Geográfica 
y Cartografía. Las tesis elaboradas bajo esta temática son escasas debido a que se consideran temas 
ya estudiados y de poca aplicación por parte de los geógrafos. 
Esta investigación es de gran utilidad para todas las ramas de la Geografía y para aquellas 
ciencias cuyo objeto de estudio es la superficie terrestre como la Topografía, Geología y 
Geomorfología, ya que las proyecciones utilizadas oficialmente para proyectar a México no 
conservan el tamaño proporcional de las áreas. Generalmente este tipo de disciplinas tienden al 
estudio de variables continuas, por lo cual la representación del fenómeno se hace con 
implantaciones cartográficas areales; para ello es necesario mantener en razón la dimensión del 
área real en la representación gráfica. 
El estudio del espacio incluye conocer sus límites y dimensiones. Las proyecciones 
equivalentes permiten conocer información dimensional de fenómenos representados con 
polígonos, por consiguiente las proyecciones con estas características se emplean para la 
elaboración de mapas con fines estadísticos -como de densidad-, mapas de catastro, comparación 
temporal de cambios de uso de suelo o cobertura vegetal, planeación o inventario de recursos. 
 La presente tesis se fundamente en la hipótesis siguiente: 
La cartografía equivalente aplicable a México puede formularse con base en la 
adecuación de la proyección Cónica Equivalente de Albers, con la cual se privilegian 
los territorios de latitudes medias y con una extensión más longitudinal (este-oeste) 
que latitudinal (norte-sur); asimismo, puede proponerse una escala de 1:250,000 
para escindir las cartas. 
Por ello, el objetivo general es: 
 Proponer una proyección equivalente para la República Mexicana. 
Para alcanzar este objetivo se plantearon cinco objetivos particulares: 
 Abordar los principios teóricos de las proyecciones cartográficas. 
 
Aplicación de la proyección Cónica Equivalente de Albers para la República Mexicana. 
Mariana Vallejo Velázquez 
 
 
 
 
4 
 Describir las proyecciones utilizadas para México. 
 Exponer las características de las proyecciones equivalentes. 
 Reconocer la importancia de la conservación de áreas en cartografía para los estudios 
geográficos. 
 Establecer los parámetros de la proyección Cónica Equivalente de Albers para México. 
 
La tesis se compone de cuatro capítulos. En el primero se presenta la perspectiva de la 
evolución histórica del estudio de las proyecciones cartográficas, así como conceptos sobre 
Geodesia para llegar a la proyección de la Tierra en un plano de referencia y las características y 
propiedades de las proyecciones cartográficas. En el segundo se describen las tres proyecciones que 
emplea México para la cartografía oficial del país. En el tercero se analizan con mayor detalle las 
proyecciones equivalentes así como su empleo en estudios de corte geográfico, además se explican 
algunos métodos cartométricos para la obtención de áreas. Finalmente se realiza una propuesta 
para elaborar una cartografía equivalente para México. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Principios teóricos de las 
proyecciones cartográficas 
 
CAPÍTULO 1 
Aplicación de la proyección Cónica Equivalente de Albers para la República Mexicana. 
Mariana Vallejo Velázquez 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
 
Este primer capítulo se divide en tres subcapítulos, iniciando con la evolución de la 
Cartografía, el progreso que hubo en las técnicas, instrumentos y conocimientos que fueron 
empleados en la elaboración de material cartográfico. Desde la Antigua Grecia y los primeros 
intentos por representar al mundo conocido hasta el desarrollo de la tecnología satelital y la 
automatización de la producción de mapas que han favorecido la elaboración de cartografía cada 
vez más precisa. 
 
La segunda parte se enfoca a la descripción de la forma y dimensiónde la Tierra, que por 
ser irregular se ha establecido al elipsoide como la figura que más se asemeja a la Tierra. Así mismo, 
se describen los elementos de este elipsoide que es sobre el cual se sustenta la base matemática de 
los mapas y se enlistan los diferentes elipsoides que han sido propuestos. Para poder explicar lo 
anterior, se introducen conceptos sobre Geodesia y sobre el Marco de Referencia Geodésico de 
México. 
 
Una vez explicados los fundamentos básicos de Geodesia, se expone la teoría de las 
proyecciones cartográficas y su clasificación por la propiedad geométrica que conserva y por la 
superficie de referencia en la que se proyecta la esfera. De cada clasificación se explican las 
características de cada tipo bajo un panorama general de las proyecciones y sus aplicaciones. 
 
 
 
 
 
7 
1.1. PERSPECTIVA HISTÓRICA DEL EMPLEO DE LAS 
PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS. 
 
La confección de los mapas precede por mucho a la escritura (Raisz, 1985). Estas 
herramientas constituyen un lenguaje gráfico espacial que permite ubicar, relacionar y analizar los 
objetos que se encuentran en la superficie terrestre. La representación del espacio geográfico se ha 
hecho más compleja y detallada con el tiempo, diversos factores influyen en la evolución de la 
Cartografía desde los tipos de mapas elaborados, los usos y objetivos de los mapas, los instrumentos 
y las técnicas aplicadas, así como los conocimientos matemáticos y el desarrollo de tecnologías 
remotas, que en su conjunto han permitido desarrollar una cartografía cada vez más precisa. 
Las primeras representaciones espaciales que elaboró el ser humano se basaban en 
imágenes mentales desarrolladas a partir de las exploraciones que se llevaban a cabo, por ende, en 
un principio, las imágenes eran de zonas relativamente pequeñas y, posteriormente, las áreas 
fueron de mayor extensión. Las representaciones tenían un alto grado de subjetividad, la cual 
dependía de la forma de ver el espacio. Si bien estas representaciones no cumplían con la actual 
definición de mapa, si forman parte de los antecedentes de la Cartografía. 
Las primeras proyecciones cartográficas. 
Las civilizaciones antiguas como Babilonia, Grecia y Egipto desarrollaron conocimiento 
cartográfico que sigue vigente hasta nuestros días; por ejemplo, el desarrollo del sistema 
sexagesimal que fue ideado por los babilónicos, la propuesta griega de la formulación de una red de 
paralelos y meridianos y las técnicas de medición y cálculos geodésicos por los egipcios (Snyder, 
1997). Estas civilizaciones elaboraron mapas de gran escala con propósitos militares, catastro, 
ubicación de recursos y rutas comerciales, debido a la escala de trabajo no se consideraba la forma 
de la Tierra; Fue hasta los siglo VII y VI a.C. que Tales de Mileto habló sobre la esfericidad de la Tierra, 
no obstante, persistió por mucho tiempo la idea de una Tierra plana. Con las aportaciones de 
Aristóteles en el siglo IV, se acepta la idea de la esfericidad de nuestro planeta y a partir de entonces 
se realizaron intentos por obtener sus dimensiones. Cabe resaltar que la premisa de la Tierra en 
Aplicación de la proyección Cónica Equivalente de Albers para la República Mexicana. 
Mariana Vallejo Velázquez 
 
 
 
 
8 
forma de esfera era más filosófica que astronómica, ya que los griegos consideraban a la esfera una 
figura perfecta producto de los dioses (Raisz, 1985). 
Los primeros acercamientos científicos de la Cartografía griega se dieron durante el siglo IV 
con Dicarco de Mesina (350-290 a.C.), discípulo de Aristóteles, quien propuso trazar una línea que 
orientara a los mapas del mundo conocido -la porción este de Europa-, ésta tuvo una dirección 
oeste-este que pasaba por las Columnas de Hércules -estrecho de Gibraltar- y Rodas hasta Persia 
(Bagrow, 1985; Joly, 1979). Eratóstenes retomó 
esta idea y sugirió trazar líneas paralelas 
equidistantes a la trazada por Dicarco, añadió 
líneas perpendiculares para formar una malla 
rectangular (Figura 1.1). Posteriormente en el 
siglo VI, Anaximandro y Hecateo ubicaron 
lugares de interés en un rectángulo dividido en 
estadios -185 metros- que constituía un 
sistema de coordenadas. Fue Hiparco, astrónomo 
de la escuela de Rodas, quien ideó las primeras proyecciones cartográficas que permitían pasar de 
una superficie curva a una plana, la primera proyección consistió en trazar el paralelo de 36° en sus 
magnitudes verdaderas, construir una perpendicular sobre cada grado de longitud y dividir éstas 
perpendicularmente en grados de latitud. De esta manera, obtuvo una malla en la que los paralelos 
de latitudes altas eran de mayor extensión y de menor extensión lo de latitudes bajas, a esta 
proyección se le conoce como carta plana paralelogramática. Otra proyección que propuso Hiparco 
consistió en un sistema de meridianos concurrentes, cortando a los paralelos rectilíneos de longitud 
decreciente según su latitud. Así mismo, propuso proyecciones ortográficas y estereográficas para 
la elaboración de mapas celestes (Joly, op. cit.). 
El geógrafo y cartógrafo Marino de Tiro fue el primero en exponer sus ideas sobre las 
proyecciones cartográficas sobre cálculos matemáticos, a diferencia de Dicarco, propuso una red de 
meridianos y paralelos sujetos a fórmulas numéricas. El trabajo de Marino de Tiro se conoce por los 
escritos de Claudio Ptolomeo (Bagrow, op. cit.). Ptolomeo, quien elaboró trabajos detallados sobre 
Geografía además de proponer tres proyecciones cartográficas, en la primera perfeccionó la 
proyección de Hiparco, trazó los paralelos como círculos concéntricos equidistantes y los meridianos 
con líneas rectas que convergen en un punto, esta propuesta constituye un antecedente de las 
Figura 1.1. Mapa de Eratóstenes. 
Fuente: Raisz, 1985. 
 
 
 
 
Aplicación de la proyección Cónica Equivalente de Albers para la República Mexicana. 
Mariana Vallejo Velázquez 
 
 
 
 
9 
proyecciones cónicas. La segunda era una proyección pseudocónica con paralelos concéntricos 
equidistantes y meridianos curvos, la última fue una proyección acimutal (Joly, op cit; Snyder, op. 
cit). Sin embargo, el trabajo cartográfico de Ptolomeo no era exacto ya que consideró la medida 
errónea de la Tierra obtenida por Posidonio. 
Así, los griegos fueron quienes constituyeron los primeros elementos de la Geografía 
Matemática y de la Cartografía (IbÍd). La producción cartográfica de esta etapa se caracterizó por el 
desarrollo de conocimiento matemático y astronómico, que si bien en un principio eran temas 
filosóficos, poco a poco se instauró el pensamiento científico como punto de partida. Los griegos 
desarrollaron amplio conocimiento cartográfico por ser una civilización que miraba hacia el mar, de 
modo requerían de mapas de rutas de navegación, a diferencia de los romanos quienes se 
interesaron por mapas de caminos ya que su actividad era más terrestre que marítima. Así, los 
griegos buscaron representar las costas del mundo conocido mientras que los romanos se enfocaron 
a mapas continentales a escalas más locales y regionales (Raisz, op. cit.). El inicio de la Cartografía 
Matemática desarrollada por los griegos favoreció la creación de mapas con mayor precisión. 
La Cartografía medieval y los portulanos. 
Con la caída del Imperio Romano en el año 476, se marca el inicio de la Edad Media (siglo V-
XV). El fin del Imperio Romano trajo consigo el declive del comercio marítimo e innumerables 
invasiones entre los territorios ahora independientes. Durante la Edad Media se retrocedió en el 
ámbito de la ciencia y la razón, ya que poco fue el desarrollo del conocimiento científico aunado a 
la destrucción de trabajos sistemáticos hechos por los griegos y 
romanos. Los mapas elaborados durante este periodo tuvieron una 
base filosófica y teológica más que matemática, para la elaboración 
de mapas no se consideraban la forma de la Tierra ni algún otroparámetro de medida o dimensión. El material cartográfico se 
redujo a representaciones gráficas sin base científica, los mapas 
distintivos de este periodo son conocidos como mapas T-O (Snyder, 
op. cit). Estos mapas representaban Europa, el este de Asia y el norte 
de África, la T simboliza el mar Mediterráneo y el río Don y Nilo, la 
O es el océano circular que contiene a los mares, los ríos y la tierra emergida (Figura 1.2). Los mapas 
Figura 1.2. Mapa T en O. 
Fuente: Raisz, 1985. 
 
 
 
 
Aplicación de la proyección Cónica Equivalente de Albers para la República Mexicana. 
Mariana Vallejo Velázquez 
 
 
 
 
10 
se convirtieron en un elemento artístico para ilustrar las teorías bíblicas sobre la naturaleza de la 
Tierra y, por lo tanto, la Iglesia era la encargada de su producción (Bagrow, op. cit.). 
En la etapa de la Baja Edad Media el obscurantismo llegaba a su fin. Robinson et al. (1987) 
identificó tres puntos de inflexión que favorecieron el desarrollo cartográfico científico durante esta 
etapa: el primero se refiere a las aportaciones de los árabes a la materia, ya que retomaron los 
conocimientos de los griegos, sobre todo aquellos trabajos relacionados con la astronomía, así como 
con la obtención de la medida de los arcos de meridianos con su principal exponente, el geógrafo 
Al-Idrisi. El segundo, fue el creciente interés por las tierras lejanas no exploradas y como 
consecuencia, el tercero que es el desarrollo de cartografía náutica a partir del siglo XIII. 
Los mercaderes, navegantes y comerciantes eran quienes demandaban y elaboraban cartas 
náuticas. Debido a que los viajes de exploración y comercio se fueron haciendo cada vez más 
duraderos y extensos, se requerían de mapas de ubicación y referencia. El material que se producía 
contenía las rutas comerciales, 
descripciones de los lugares 
recorridos y las costas. A 
finales del siglo XIV, 
cartógrafos profesionales 
como Petrus Vesconte, 
fueron los encargados de la 
elaboración de las cartas 
náuticas, mejor conocidas 
como portulanos (Bagrow, op. 
cit). La construcción de los 
portulanos se basaba en los 
rumbos (líneas loxodrómicas) 
-8, 16, 32 direcciones de la rosa 
de los vientos-, los cuales se trazaban a partir de puntos conocidos (Figura 1.3). Este tipo de mapas 
no contaba con ningún sistema de coordenadas de referencia, estaban orientados hacia el norte 
siguiendo la dirección de la aguja imantada de la brújula, por consiguiente, su verdadera orientación 
era el norte magnético (Joly, op. cit). 
Figura 1.3. Mapa portulano del Atlántico Norte elaborada por Baptista van 
Deutecum, 1594. 
Fuente: Bagrow, 1987. 
 
 
 
 
Aplicación de la proyección Cónica Equivalente de Albers para la República Mexicana. 
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11 
Los portulanos fueron los primeros mapas con orientación hacia el norte. Anteriormente no 
había un consenso sobre la orientación; sin embargo, durante la Edad Media muchos mapas se 
elaboraron orientados al oriente, incluso el término proviene del latín oriens que significa oriente. 
(Salitchev, 1981). 
En la Baja Edad Media, la cartografía se empleó como herramienta de ubicación y de control 
sobre la tierra. Los mapas que se elaboraron eran a escala local, con breves textos detallados sobre 
las características del área representada. Poco a poco resurgió el interés por las proyecciones 
cartográficas debido a su gran utilidad como la gran base matemática para la representación de la 
superficie terrestre. Por otra parte, la navegación marítima tuvo su gran auge por el interés de 
continuar conquistando nuevos lugares, como consecuencia, se requirieron de mapas a menor 
escala que brindarán un contexto más amplio de la región y mostraran con mayor precisión la 
ubicación de sitios estratégicos, pero principalmente como herramienta para la navegación. 
Inicio de la Cartografía Matemática. 
La transición de la Edad Media al Renacimiento cambió la perspectiva espacial. Desde el 
siglo XVI, el interés por las proyecciones cartográficas se incrementó, más que un interés científico 
y filosófico, fue el interés por representar los nuevos territorios descubiertos derivados de las 
grandes expediciones. Los trabajos de Ptolomeo -La Geographia y Almagesto- tuvieron una gran 
influencia sobre el desarrollo cartográfico de Europa; por ejemplo, en los trabajos de Mercator y 
Werner. Geographia es una guía geográfica para la elaboración de mapas con instrucciones básicas 
que fue retomado por cartógrafos europeos (Bagrow, op. cit). Para la segunda mitad del siglo XVI la 
Cartografía alcanzó un amplio desarrollo; los estudios sobre matemáticas, astronomía y física 
aumentaron. Durante el Renacimiento la Cartografía retomó su base matemática, aun cuando la 
trigonometría en su estado elemental comenzaba a ser aplicada. Se retomaron proyecciones 
desarrolladas previamente y también surgieron nuevas de acuerdo a los avances técnicos y nuevos 
conocimientos. 
El siglo XVI se caracterizó por los grandes viajes de Cristóbal Colón y Magallanes. La 
cartografía recuperó su carácter universal y se buscaba representar en un solo plano todos los 
continentes. Algunas nuevas proyecciones que surgieron fueron las globulares, las cuales 
permitieron representar ambos hemisferios unidos, y las proyecciones divididas en franjas o husos. 
Aplicación de la proyección Cónica Equivalente de Albers para la República Mexicana. 
Mariana Vallejo Velázquez 
 
 
 
 
12 
Las más destacadas fueron las propuestas por Mercator en 1569 y Ortelius en 1570 (Joly, op. cit), 
en éstas aparecía especificada la graduación de la longitud, que desde 1520 se comenzó a trazar en 
los mapas, mientras que la latitud ya se graduaba desde el año 1500 (Bagrow, op. cit.). La proyección 
de Mercator, fue la que se aplicó en la elaboración de cartas náuticas a partir de la segunda mitad 
del siglo XVI. Otra proyección que surgió a mediados del siglo XVI fue la sinusoidal, en las que las 
áreas se muestran en correcta proporción al igual que la escala a lo largo del meridiano central y de 
los paralelos, se considera que fue usada por primera vez en 1570. Surgió también la idea de 
proyectar a la circunferencia en poliedros como lo hizo Dürer, quien propuso proyectar a la Tierra 
en un tetraedro, dodecaedro e icosaedro (Snyder, op. cit.). 
Durante el siglo XVI, el contenido y la forma de los mapas se modificaron. Los avances 
tecnológicos tanto en el diseño de los barcos como en los instrumentos de observación y el 
desarrollo de la imprenta posibilitó la reproducción de mapas en serie. Para este momento, los 
navegantes abandonaron el rol de cartógrafos y ahora los matemáticos y astrónomos eran quienes 
dedicaban su vida a la ciencia cartográfica. Los viajes continuaron, el mejoramiento tecnológico 
permitió recorrer mayores distancias, nuevos territorios fueron descubiertos y por ende nuevos 
mapas se trazaron. Un ejemplo es el mapa de Martin Waldseemüller elaborado en 1509 (Figura 1.4), 
considerado como el primero en mostrar América como un continente separado de Asia (Bagrow, 
op. cit.). 
 
 
Figura 1.4. Mapa de Martin Waldseemüller, 1509. 
Fuente: Bagrow, 1987. 
 
 
 
 
Aplicación de la proyección Cónica Equivalente de Albers para la República Mexicana. 
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13 
La Geodesia, ciencia auxiliar de la Cartografía. 
Durante el siglo XVII, se inventó el reloj de péndulo (1658) y el sextante (1672), además del 
desarrollo del cálculo diferencial e integral y las tablas logarítmicas, lo que en su conjunto aportó 
conocimientos matemáticos para la Cartografía, que coadyuvó a aumentar las observaciones 
astronómicas de longitud y latitud, que eran determinantes para la ubicación de puntos con 
precisión, sobre todo el trazado de las longitudes se convirtió en la prioridad de los cartógrafos (Joly, 
op. cit.). La Geodesia y la Topografía formaron parte de la Cartografíay se convirtieron en ciencias 
auxiliares, los mapas elaborados partir del siglo XVII fueron elaborados con mayor exactitud. 
La idea de la esfericidad de la Tierra estuvo vigente por más de mil años. A mediados del 
siglo XVII, Jean Richer realizó un experimento que consistió en contar el tiempo del ciclo de un 
péndulo en dos diferentes lugares: Cayena y París. Resultó que el ciclo era más lento en Paris, por 
lo que la fuerza de gravedad en Cayena debía ser menor y por ende debía estar más alejada del 
centro de la Tierra. En 1687, Isaac Newton propone la teoría de la gravedad “dos objetos se atraen 
con una fuera igual al producto de sus masas dividido entre el cuadrado de la distancia que los 
separa”, su teoría la aplicó a la forma de la Tierra sugiriendo que las masas del planeta al girar 
actuaban sobre una fuerza centrífuga que le daba una figura achatada en los polos y alargada en el 
ecuador. 
En 1666 se fundó la Academia 
Francesa de Ciencias que tenía como 
objetivo principal el perfeccionamiento de 
las cartas náuticas determinando con 
precisión las dimensiones de la Tierra. 
Mapas de mayor escala y mayor precisión 
fueron logrados con el primer levantamiento 
geodésico de Francia realizado por Cassini y 
Jean Picard (Figura 1.5). El levantamiento 
terminó en 1720 por Picard y el hijo de 
Cassini, los resultados obtenidos 
demostraron que la medida de un grado en 
latitudes altas era menor que en latitudes 
Figura 1.5. Primera triangulación elaborada por Cassini en 
1744. 
Fuente: Bagrow, 1987. 
 
 
 
 
Aplicación de la proyección Cónica Equivalente de Albers para la República Mexicana. 
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14 
bajas, lo que probaba que la Tierra no era una esfera perfecta y por lo tanto su forma se asemejaba 
más a la forma alargada de un huevo (Burkard, 1962; Snyder, op. cit.). Sin embargo, esta aseveración 
contradecía la realizada por los ingleses quienes sostenían que la Tierra estaba achatada de los polos 
y no del ecuador. Para comprobar esto en 1735 la Academia de Ciencias envío una expedición al 
Ecuador y a Laponia para medir un grado meridiano, lo que concluyó la controversia dando la razón 
a los ingleses y comprobando lo dicho por Newton. 
Durante el siglo XVIII otros conceptos matemáticos –mínimos cuadrados, elipse y parábola- 
fueron aplicados en Cartografía. El cálculo fue otro de los desarrollos matemáticos que se dieron a 
finales de este siglo siendo el matemático, astrónomo y físico Johann Heinrich Lambert uno de los 
primeros en aplicar estas bases a la construcción de proyecciones. En 1772, Lambert propuso siete 
nuevas proyecciones como fueron la cónica conforme, cilíndrica equivalente, azimutal equivalente 
y transversa de Mercator, para esta última Lambert desarrolló las ecuaciones para una proyección 
esférica las cuales serían modificadas en su versión elíptica por Gauss en 1825 y Krüger en 1912. Las 
propuestas de Lambert fueron reconocidas por la ardua investigación que realizó sobre la 
representación de la esfera en un plano que mantuviera conformidad y equivalencia (Snyder, op. 
cit.). Así mismo, el cálculo diferencial se aplicó para obtener el factor de escala, con base en éste La 
Hire en 1701 y Parent en 1702 proponen proyecciones con mínimo error (Ibíd.). Otras proyecciones 
formuladas fue la de Murdoch en 1758 y Euler en 1777, ambas cónicas equidistantes. 
Desarrollo de la teoría cartográfica. 
Para 1800 más de treinta diferentes proyecciones se habían presentado; sin embargo, para 
la publicación oficial de mapas se ocupaban únicamente doce, entre ellas la desarrollada por 
Mercator en el siglo XVI, la de Bonne y tres de las siete propuestas por Lambert. A lo largo del siglo 
XIX, el rápido desarrollo de temas cartográficos se vio reflejado en el número de proyecciones, libros 
y artículos publicados. Entre las nuevas proyecciones presentadas se encuentran la proyección 
pseudocilíndrica más destacada en el siglo XIX: la equivalente de Karl B. Mollweide de 1805. Al 
mismo tiempo, Heinrich Christian Albers construyó una proyección cónica equivalente con dos 
paralelos base considerando como referencia a la esfera. En 1862 Foucaut presentó su proyección 
estereográfica equivalente que se caracteriza por un alto grado de distorsión en la forma de los 
continentes (Ibíd.). 
Aplicación de la proyección Cónica Equivalente de Albers para la República Mexicana. 
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15 
La principal contribución cartográfica en este siglo fue hecha por Gauss en 1822 y Nicolas 
Tissot, quienes propusieron un método para saber el grado de deformación que ocurría al pasar de 
la esfera al plano. El método consiste en una indicatriz con dos ejes que el grado de deformación de 
áreas o ángulos en diferentes partes de la proyección. 
Un hecho relevante fue el haber determinado al Observatorio de Greenwich como el 
meridiano 0° durante la Conferencia Internacional del Meridiano en celebrada en Washington D.C. 
en 1884 (Slocum et al., 2005). 
En el siglo XX incrementan los sistemas de coordenadas que no sólo consideraban la latitud 
y longitud sino la altitud elipsoidal lo que daba mayor precisión a la ubicación de puntos. Con esto, 
proyecciones como la de Albers, la cual fue concebida bajo la esfera, fueron adecuadas al elipsoide 
de referencia. 
Durante la primera mitad del siglo XX, la cartografía continuó su desarrollo, en 1905 Van der 
Grinten elaboró una proyección similar a la de Mercator pero con la retícula curveada y con menor 
deformación de las áreas. Un año 
después Max Eckert en 1906 
propone 6 proyecciones con 
diferentes propiedades, siendo la 
proyección Eckert IV la más 
conocida por su propiedad de 
equiárea. En 1916 John Paul 
Goode retoma y combina la 
proyección sinusoidal de 1570 y la 
de Mollweide de 1805 para crear 
una proyección discontinua de 
meridianos (Figura 1.6) (Snyder, op. cit.). En este siglo la proyección Universal Transversa de 
Mercator –que es una modificación de la proyección normal de Mercator- desarrollada en 1940 por 
Estados Unidos se convirtió en la más utilizada para la producción de mapas topográficos. 
 
 
Figura 1.6. Proyección interrumpida de Goode. 
Fuente: Snyder, 1997. 
 
 
 
 
Aplicación de la proyección Cónica Equivalente de Albers para la República Mexicana. 
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16 
Una de las últimas proyecciones desarrolladas fue la pseudocilíndrica de Arthur H. Robinson 
en 1961. Se trata de una proyección compromiso, no es conforme ni equiárea, basada en valores 
tabulares y no en fórmulas matemáticas. En la proyección de Robinson se muestran los meridianos 
equidistantes y cóncavos al meridiano central, mientras que los paralelos son equidistantes entre la 
latitud 38° N y S, fuera de esta franja la distancia entre paralelos se acorta hacia los polos (Robinson 
et al., 1987). Por sus características fue utilizada por la National Geographic Society entre 1988 y 
1998 para la elaboración de mapas a pequeña escala. 
Por otra parte, el 9 de julio de 1959 se funda la Asociación Cartográfica Internacional (ICA 
por sus siglas en inglés), “organización no gubernamental de carácter científico que tiene como 
misión promover la disciplina y la profesión cartográfica en el contexto internacional”. La ICA, por 
sus siglas en inglés, se compone de comisiones y de grupos de trabajo encargados del desarrollo del 
conocimiento científico sobre temas relacionados con la Cartografía y las ciencias Geoespaciales, 
dentro de las comisiones se encuentra la Comisión de Proyecciones Cartográficas, encargada del 
desarrollo de conocimiento teórico y práctico de temas relacionados con las proyecciones 
cartográficas (ICA, 2013). 
La Cartografía automatizada. 
La segunda mitad del siglo XX se caracterizó por el desarrollo de las computadoras que 
facilitaron el desarrollo de nuevas proyecciones y su aplicación a diferentes territoriosdel planeta, 
ya que es posible la transformación de las proyecciones variando los parámetros de las mismas, 
como el meridiano central, paralelos tipo, sistema de referencia como el datum y el elipsoide. 
Proyecciones complejas propuestas siglos antes, ahora pueden ser desplegadas, utilizadas y 
modificadas en cuestión de segundos gracias al avance de programas computacionales. 
 Un ejemplo claro de ello es la Proyección Natural Earth. Natural Earth es un sitio web creado 
por Tom Patterson del US National Park Service que ofrece al público información geográfica en 
formatos raster y vector. Patterson desarrolló en 2007 una proyección pseudicilíndrica compromiso 
-no conforme ni equiárea- para mapas de pequeña escala. Para su construcción utilizó el software 
libre Flex Projector que permite modificar los valores y medidas de los meridianos y paralelos de 
diversas proyecciones cargadas en el software, de esta manera, Tom Patterson modificó 
Aplicación de la proyección Cónica Equivalente de Albers para la República Mexicana. 
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17 
iterativamente los parámetros de la proyección de Kavraiskiy VII y de Robinson para desarrollar su 
proyección (Savric et al., 2011). 
 Cabe mencionar que aun cuando los avances tecnológicos nos facilitan estos procesos, el 
usuario de estos programas de computadora no queda exento de tener un conocimiento teórico de 
cartografía matemática. 
 
 
18 
1.2. SUPERFICIES, FIGURAS Y DIMENSIONES DE LA TIERRA. 
 
El proceso de conocer la forma y tamaño del planeta Tierra comenzó desde que el ser 
humano ha habitado en él hasta la actualidad. Los cambios de paradigma a lo largo de este proceso 
son cuantiosos, si bien en un principio la idea sobre su forma esférica eran meras suposiciones 
filosóficas, las observaciones directas afirmaron esta premisa. Con el paso del tiempo, la invención 
de instrumentos de medición y el desarrollo de técnicas de observación cada vez más precisas 
permitieron acabar con suposiciones ideológicas y pasar al conocimiento basado en la razón y la 
ciencia. Desde 1799 hasta 1951 se determinaron 26 diferentes dimensiones de la Tierra, lo que 
sugiere una búsqueda constante de mayor precisión y el uso de diferentes técnicas (Snyder, 1987). 
En las últimas décadas, la tecnología satelital ha logrado una mayor precisión de la forma y 
dimensión de nuestro planeta; sin embargo, aun cuando las dimensiones sugeridas en los últimos 
años discrepan unas de otras por una diferencia mínima, la obtención de medidas continuará debido 
a los acelerados avances tecnológicos, pero, principalmente, a la dinámica que tiene la forma la 
Tierra. Debido a estos cambios continuos se debe mantener un monitoreo de la disposición de la 
masa que la compone, por lo tanto, de los cambios que ocurren en su forma, ya que todo esto 
repercute en los sistemas de referencia utilizados para la ubicación de puntos en la superficie 
terrestre. 
La masa inestable y poco homogénea que compone al planeta se traduce en su forma 
irregular, lo que imposibilita su representación y la determinación de sus dimensiones. Por ello con 
base en la superficie topográfica y geoidal, se han implementado el elipsoide y la esfera como las 
dos figuras geométricas regulares que más se asemejan a su forma, lo que permite establecer sus 
medidas y facilita su representación matemática. A continuación se describen estas superficies y 
figuras (Figura 1.7): 
 
Aplicación de la proyección Cónica Equivalente de Albers para la República Mexicana. 
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19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2.1. Superficies de la Tierra. 
La superficie topográfica y el geoide son superficies irregulares. La superficie topográfica es 
físicamente tangible, mientras que el geoide es una superficie teórica asociada a valores 
gravimétricos. Teóricamente, ambas coinciden en la curvatura ya que la fuerza de gravedad actúa 
dependiendo de la cantidad de masa y sus componentes. 
Superficie topográfica 
Es el relieve que compone a la superficie terrestre, que debido a su irregularidad no puede 
ser utilizada como superficie de referencia (Mass y Valdez, 2003). 
Geoide 
El geoide es una superficie dinámica equipotencial por presentar el mismo valor 
gravimétrico en todos sus puntos. Esta superficie no es físicamente tangible, sino que representa la 
fuerza de gravedad que actúa sobre la Tierra, por lo que presenta abultamientos y depresiones que 
obedecen a la acción de la fuerza de gravedad que se ejerce de manera proporcional a la cantidad 
de masa de los cuerpos, en este caso, la distribución de la masa continental y la diferencia de 
Figura 1.7. Superficies y figuras de la Tierra. 
Fuente: Caire, 2002. 
Aplicación de la proyección Cónica Equivalente de Albers para la República Mexicana. 
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20 
densidad de los elementos que la componen actúan de manera distinta, lo que resulta en una 
superficie ondulada (Burkard, 1962). La superficie geoidal teóricamente coincide con el nivel medio 
del mar prolongándolo hipotéticamente a través de los continentes, el cual presenta una diferencia 
aproximada de 100 metros entre el nivel más bajo y más alto (Slocum et al., 2005). De manera que 
el geoide es una superficie muy poco homogénea que forma una perpendicular con la línea de 
plomada. 
Así, la fuerza de gravedad y la masa actúan proporcionalmente, entre mayor masa tenga un 
cuerpo se ejercerá una mayor fuerza de atracción, por lo que los valores gravimétricos y los valores 
altitudinales guardan una relación directa. Por lo tanto, la forma de la Tierra se ha determinado por 
medio de los valores de las anomalías gravimétricas, definidas como la diferencia entre esta fuerza 
medida en un punto y el valor teórico de la gravedad 9.81 m/s2 (Burkard, op. cit.). 
1.2.2. Figuras y dimensiones de la Tierra. 
La esfera o el elipsoide es la base de las proyecciones cartográficas. Con los avances 
tecnológicos, principalmente satelitales, la esfera poco a poco ha dejado de ser la figura que 
representa a la Tierra. Para mayor precisión se emplea el elipsoide que es sobre el cual se realizan 
los cálculos matemáticos que no pueden hacerse sobre la superficie topografía o el geoide debido 
a su irregularidad. 
Esfera 
Los avances tecnológicos y los conocimientos científicos han comprobado que el planeta no 
es una esfera perfecta, sin embargo, se considera a la esfera como figura para representar a la Tierra 
para la resolución de problemas astronómicos, la navegación y para realizar cálculos geodésicos 
empleando trigonometría esférica (Caire, 2002). 
Por otra parte, en representaciones e imágenes de la Tierra a escalas pequeñas la Tierra es 
considerada esférica debido a que la proporción no permite visualizar el achatamiento, dado la 
diferencia de 23 kilómetros entre el eje mayor y el eje menor de la Tierra, comparado con el radio 
promedio de la misma calculado en 6 371 kilómetros es imperceptible. Por el contrario, los trabajos 
a mayor escala requieren de mayor detalle y debe considerarse sus dimensiones reales para lograr 
una representación fiel y precisa del planeta. 
Aplicación de la proyección Cónica Equivalente de Albers para la República Mexicana. 
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21 
Elipsoide 
Una vez que la teoría de Newton sobre la forma achatada de la Tierra fue comprobada, se 
requería de una figura matemática que la representara, para ello era necesario determinar sus 
dimensiones. 
La tecnología satelital y el adelanto en los instrumentos de medición han permitido 
comprobar que la forma de la Tierra es irregular, se caracteriza por su achatamiento en los polos y 
ensanchamiento en la línea teórica del ecuador, por lo tanto, la figura matemática que más se 
asemeja a la forma del geoide es el elipsoide de revolución, el cual surge de girar una elipse sobre 
su eje menor. Por lo anterior, sepuede decir que el elipsoide es la superficie de referencia más 
conveniente, desde el punto de vista matemático para representar a la Tierra. 
Una elipse se compone de dos constantes geométricas: el eje menor, que se extiende de 
polo a polo y el eje mayor que designa el ecuador, ambas determinan las dimensiones del elipsoide, 
por lo tanto, del planeta Tierra (Figura 1.8). La diferencia promedio entre la distancia del semieje 
menor y el semieje mayor de la Tierra es de 11.5 km. Existe una relación entre ambas medidas que 
da como cociente el achatamiento (f) del elipsoide, el cual indica en qué medida éste se asemeja a 
la esfera, entre más se acerque el resultado a cero mayor es la similitud que exista entre el elipsoide 
con la esfera, por lo que el valor del achatamiento de una esfera es cero (Burkard, op. cit.): 
 
 
 
 
 
 
 
 
El eje menor del elipsoide debe estar orientado paralelamente con el eje de rotación de la 
Tierra y su centro debe coincidir con el centro de masas de la Tierra (Caire, op. cit.); sin embargo, 
debido a la falta de datos precisos sobre la ubicación de este punto, los primeros elipsoides que se 
desarrollaron únicamente basaba su orientación en el eje de rotación. Con el paso del tiempo el 
a 
b 
Figura 1.8. Semiejes de la elipse. 
Fuente: elaboración a partir de Burkard, 1962. 
 
 
 
 
𝒇 =
𝑎 − 𝑏
𝑏
 
Donde: 
𝑓 = achatamiento 
𝑎 = semieje mayor (distancia del centro de la Tierra y un 
punto del ecuador) 
𝑏 = semieje menor (distancia del centro de la Tierra y un 
polo) 
 
(1.1) 
Aplicación de la proyección Cónica Equivalente de Albers para la República Mexicana. 
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22 
desarrollo satelital ha permitido calcular de manera precisa esta posición, con lo que se ha logrado 
ajustar elipsoides geocéntricos como el World Geodetic System (WGS70) y Geodetic Reference 
System (GRS80), que utilizan el centro de masa de la Tierra como origen de su orientación (Snyder, 
op. cit.). 
Al ser el elipsoide de referencia una figura regular y el geoide una forma irregular con 
abultamientos y depresiones, el elipsoide nunca se ajustará perfectamente al geoide por lo que los 
diferentes elipsoides buscan tener un mejor ajuste y precisión en un país, continente, región 
determinada e incluso el mundo entero. Esta diferencia que existe entre ambos se le conoce como 
altura del geoide u ondulación al geoide. El valor de esta altura determina el grado en que el 
elipsoide se adapta al geoide (Burkard, op. cit.). Entre los elementos que caracterizan 
matemáticamente al elipsoide están (Figura 1.9): 
 
 
Figura 1.9. Elementos del elipsoide. 
Fuente: elaboración a partir de Burkard, 1962. 
 
 
 
 
Aplicación de la proyección Cónica Equivalente de Albers para la República Mexicana. 
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23 
Excentricidad: proporción entre la semidistancia focal y el semieje mayor. 
 
 
 
 
 
 
 
Normal mayor (𝑵): se obtiene de trazar la perpendicular a la tangente en un punto del elipsoide, la 
perpendicular se prolonga hasta que haga contacto con el eje menor. 
 𝑵 =
𝑎
(1 − 𝑒2 𝑠𝑒𝑛2 𝜑)
1
2
 
Normal menor (𝒏): la perpendicular a la tangente en una latitud (𝜑) dada se prolonga hasta el eje 
mayor del elipsoide. 
 𝒏 = 𝑁 (1 − 𝑒2 ) 
 
Radio de curvatura (𝒑): 
 
 
Arco de meridiano (𝒅𝒎): arroja la medida de 1’’ meridiano. 
 𝒅𝒎 = 𝑝 𝑠𝑒𝑛1′′ 
Arco de paralelo (𝒅𝒑): arroja la distancia métrica de 1’’ paralelo. 
 𝒅𝒑 = 𝑁 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑠𝑒𝑛1′′ 
 
Cada región ha establecido su elipsoide de referencia que mejor se ajuste al geoide en la 
zona de interés, docenas de elipsoides de referencia se han definido y actualmente se emplean cerca 
de treinta en todo el mundo (Slocum et al., op. cit.). Sin embargo, el uso de satélites ha permitido 
desarrollar un elipsoide que mejor se ajuste al planeta en su totalidad, como el elipsoide World 
Geodetic System 1984 (WGS 84), dado que anteriormente al tener diferentes sistemas de ubicación 
se impidió la vinculación entre regiones. El cuadro 1.1 enlista los elipsoides que se han desarrollado 
𝑒 = primera excentricidad 
𝒆 =
√𝑎2 − 𝑏2 
𝑎
 
𝑒2 = segunda excentricidad 
𝒆𝟐 =
𝑎2 − 𝑏2 
𝑎2
 
(1.2) 
(1.3) 
(1.4) 
(1.5) 
(1.6) 𝒑 =
𝑎 (1 − 𝑒2 )
(1 − 𝑒2 𝑠𝑒𝑛2 𝜑)
3
2
 
 
(1.7) 
(1.8) 
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24 
a lo largo del tiempo, se incluye el año en que se desarrolló, sus propiedades geométricas y la región 
a partir de la cual se hicieron los cálculos y toma de mediciones del geoide para desarrollar el 
elipsoide y, por lo tanto, es la zona en la que éste se adapta mejor al geoide. 
Cuadro 1.1. Elipsoides de referencia. 
Nombre Año 
Semieje 
Achatamiento 
(1/f) 
Región de 
adaptación 
Mayor (a) Menor (b) 
Everest 1830 6 377 276.345 6 356 075.413 1/300.8017 India y Malasia 
Bessel 1841 6 377 397.155 6 356 078.963 1/299.1528 
Europa, Chile y 
China 
Airy 1849 6 377 563.396 6 356 256.9 1/299.3249 Gran Bretaña 
Clarke 1858 6 378 294 6 356 618 1/294.261 Australia 
Clarke 1866 6 378 206.4 6 356 583.8 1/298.9786 Norteamérica 
Clarke 1880 6 378 249.17 6 356 514.9 1/293.465 Francia y África 
Helmert 1907 6 378 200 6 356 818 1/298.30 Egipto 
Hayford 
(Internacional) 
1924 6 378 388 6 356 911.946 1/297.0 
Todo el mundo 
excluyendo 
Norteamérica y 
África 
Krasovsky 1940 6 378 245 6 356 863.019 1/298.3 Rusia 
Fischer 1960 6 378 166 6 356 784.284 1/298.3 
World Geodetic 
System 1960 (WGS 60) 
1960 6 378 165 6 356 783 1/298.3 Australia 
International 
Astronomical Union 
(IAU 65) 
1965 6 378 160 6 356 774.719 1/298.25 Australia 
World Geodetic 
System 1966 (WGS 
66) 
1966 6 378 145 6 356 760 1/298.25 
Geodetic Reference 
System 1967 (GRS 67) 
1967 6 378 145 6 356 760 1/298.2472 
Aplicación de la proyección Cónica Equivalente de Albers para la República Mexicana. 
Mariana Vallejo Velázquez 
 
 
 
 
25 
Fischer 1968 6 378 150 6 356 768.955 1/298.3 
World Geodetic 
System 1972 (WGS 72) 
1972 6 378 135 6 356 750.52 1/298.26 
Geodetic Reference 
System 1980 (GRS 
80)* 
1980 6 378 137 6 356 752.3141 1/298.25722 Norteamérica 
World Geodetic 
System 1984 (WGS 84) 
1984 6 378 137 6 356 752.3 1/298.257 
Adaptado 
internacionalmente 
 
Fuente: Maling, 1992. 
 
Para el territorio mexicano, anteriormente el marco de referencia utilizado era International 
Terrestrial Reference Frame (ITRF92) época 1988.0, pero debido a la dinámica de la corteza terrestre 
por el paso del tiempo, las coordenadas establecidas en la Red Geodésica Nacional Pasiva (RGNP) 
se han modificado por lo que fue necesario su actualización, por otra parte, el desarrollo de nueva 
tecnología e instrumentos de medición, permite la ubicación de puntos con mayor precisión (INEGI, 
2002). 
De acuerdo con la Norma Técnica para el Sistema Geodésico Nacional, publicada el 23 de 
diciembre de 2010 en el Diario Oficial, se estableció el elipsoide de referencia GRS80 con el marco 
de referencia oficial ITRF08 época 2010.0. Un marco de referencia se compone de un conjunto de 
estaciones de observación satelital de posición, éste da origen al sistema de referencia que “se 
define como las prescripciones y convenciones, junto con un modelo matemático de la Tierra, que 
se utiliza para definir un sistema de ejes coordenados para la ubicación de puntos en nuestro 
planeta” (INEGI, 2010). 
En México el marco de referencia se establece por medio de la Red Geodésica Nacional 
Activa y la Red Geodésica Nacional Pasiva; la primera se constituye por más de 100 000 placas 
geodésicas identificadas sobre el terreno, y la segunda se compone de 14 estaciones de monitoreo 
de datos del Sistema de Posicionamiento Global (Mass y Valdez, 2003). 
Las característicasdel elipsoide de referencia GRS80 de acuerdo a la Norma Técnica para el 
Sistema Geodésico Nacional, 2010 se indican en el cuadro 1.2. 
 
Aplicación de la proyección Cónica Equivalente de Albers para la República Mexicana. 
Mariana Vallejo Velázquez 
 
 
 
 
26 
 Cuadro 1.2. Propiedades del elipsoide de referencia GRS80. 
Característica Símbolo Valor 
Semieje Mayor a 6 378 137 m 
Semieje Menor b 6 356 752.314 1 m 
Primera excentricidad e 0.08181919112 
Segunda excentricidad al cuadrado e2 0.006694380036 
Achatamiento f 0.003 352 810 681 18 
Recíproco del Achatamiento f-1 298.257 222 101 
Radio medio R1 6 371 008.771 4 m 
 Fuente: INEGI, 2010. 
Cabe mencionar que si bien el desarrollo de los satélites ha coadyuvado a aumentar el 
conocimiento sobre las dimensiones y formas de la Tierra, convirtiéndose en una tecnología 
indispensable en los trabajos de Topografía, Geodesia y Cartografía, las mediciones en campo siguen 
siendo la base de dichos trabajos, tal es el caso del datum NAD83 que se determinó con datos 
obtenidos vía remota y terrestre (Snyder, op. cit.; Maling, 1992). 
Cada marco de referencia, además de un elipsoide de referencia, requiere de un datum, el 
cual se define como un valor base al cual diversos valores estarán referidos a él. El datum considera 
al geoide y al elipsoide de referencia en combinación para producir una referencia horizontal 
definida por la latitud y longitud con base al elipsoide y una elevación definida al geoide (Slocum et 
al., op. cit.). Un datum es un conjunto de datos que sirven de referencia para definir otros datos. 
Existen dos tipos: el datum horizontal permite el establecimiento del sistema de coordenadas 
geodésicas, mientras que el datum vertical define un sistema de control vertical formado por un 
conjunto de bancos de nivel para obtener las elevaciones del terreno. La ubicación de un datum 
geodésico dependerá del sitio en donde la normal elipsoidal y la normal geoidal tengan poca 
variación, sin importar que la altura geoidal sea diferente a cero. En esto radica la importancia de 
un manejo adecuado de la información geográfica y de mantener una lógica al momento de elegir 
el marco de referencia incluyendo el elipsoide, el geoide y el datum. 
La superficie topográfica, el geoide y el elipsoide son figuras y formas con características propias, 
que están relacionadas entre sí y que dependen unas de las otras, los levantamientos topográficos 
y terrestres que se realizan sobre la superficie terrestre están referidos al geoide por los valores 
gravimétricos que sustentan la precisión de los levantamientos y éstos están aplicados sobre el 
elipsoide de referencia, que es la figura matemática que más se asemeja a la forma de la Tierra 
definida por el geoide. 
 
 
27 
1.3. PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS. 
 
La esfera no es una figura que pueda desarrollarse en un plano, por lo que no existe un 
método que conserve intactas las relaciones geométricas de esta figura al ser representada en un 
plano. Sin embargo, las proyecciones son el método matemático que más se aproxima a representar 
fielmente una circunferencia sobre una superficie plana, considerando que implica cierto grado de 
deformación de alguna o algunas de las propiedades de la esfera. En Cartografía se habla de las 
proyecciones cartográficas como métodos de transformación de la curvatura del elipsoide –figura 
geométrica que más se asemeja a la forma de la Tierra- en una superficie plana de representación 
(Caire, 2002). Estas superficies son el cono y el cilindro, las cuales posteriormente se desarrollan 
sobre un plano de referencia; de esta manera que las proyecciones cartográficas son la base 
matemática para las representaciones graficas de la superficie terrestre, conocidas como mapas. 
A pesar de que estos métodos matemáticos de transformación datan de la antigua Grecia, 
y que a lo largo de más de dos mil años se ha seguido con su estudio, pocas son las proyecciones 
que actualmente se emplean para la producción de cartografía, incluso se continúan manejando 
proyecciones desarrolladas hace más de 500 años, lo que demuestra la gran capacidad que tuvieron 
los cartógrafos para desarrollar con herramientas básicas y métodos manuales proyecciones tan 
precisas con que aún continúan vigentes. Si bien, hoy en día la automatización de la cartografía 
permite desplegar en segundos un continente en cualquier proyección, es fundamental conocer las 
características y propiedades de cada tipo de proyección para su adecuado uso, así cada proyección 
tiene propiedades distintas, lo que permite elegir de entre cientos, la que más se adecue a cada 
mapa. Cabe mencionar que existen guías para la elección apropiada de la proyección cartográfica 
según el objetivo del mapa, la información de contenido, tipo de mapa, la escala, y la disposición de 
territorio a cartografiar, entre ellas se encuentran las diseñadas por Frederick Pearson, Arthur 
Robinson y John Snyder (Slocum et al., op. cit.). Hoy en día, también se han desarrollado programas 
de computación que permiten elegir la proyección adecuada considerando diversos parámetros, 
entre ellos el Program-Analytical Complex (PAC), desarrollado por Zagrebin de la Universidad Estatal 
de Moscú. 
Aplicación de la proyección Cónica Equivalente de Albers para la República Mexicana. 
Mariana Vallejo Velázquez 
 
 
 
 
28 
Para su estudio, las proyecciones se pueden clasificar dependiendo de sus características, 
sus usos, métodos de construcción y escala de empleo; para este trabajo se eligió describirlas por 
las propiedades geométricas que conservan y de acuerdo a la superficie de desarrollo en la que se 
proyecta el elipsoide. 
1.3.1. Por las propiedades geométricas que conservan. 
En el siglo XVIII Leonhard Euler demostró matemáticamente que ningún tipo de proyección 
cartográfica queda exenta de representar a la Tierra con algún tipo de deformación (Martín, 1999). 
Por lo que las proyecciones cartográficas permiten conservar sólo una de las cuatro propiedades 
geométricas de la esfera o elipsoide: áreas, distancias, ángulos y direcciones. De acuerdo con esta 
propiedad las proyecciones cartográficas se clasifican en: 
Proyección equivalente, equiáreas o autálica. Un área determinada de la superficie 
terrestre es representada en un plano a igualdad de escala, generalmente este tipo de 
proyección deforma considerablemente los ángulos sobre los borde del área y altera mucho 
las formas de la misma (Salitchev, et al.). 
Proyección conforme, ortomórficas o isogónicas. Conserva los ángulos y la escala desde un 
punto en cualquier dirección, variando de punto a punto, se sacrifica el tamaño de los objetos; 
sin embargo, se conserva la forma. Debido a sus características se emplean principalmente 
para la elaboración de cartas náuticas (Salitchev, et al.). 
Proyección equidistante. Es la que conserva las distancias correctas, por lo que la escala es 
verdadera en direcciones determinadas, por ejemplo norte-sur o este-oeste (Salitchev, op. 
cit.). 
Proyección anafiláctica. Existe otro grupo de proyecciones que se les denomina anafilácticas 
porque no son equivalentes, conformes ni equidistantes, sino que en su construcción se trata 
de mantener un equilibrio entre todas las propiedades. 
Como ya se mencionó, al ser la esfera y elipsoide figuras no desarrollables, la proyección de 
éstas conlleva algún tipo de deformación, ya sea el área, la forma, ángulos o direcciones. Las 
deformaciones aumentan conforme el área a cartografiar aumenta. Uno de los métodos para el 
análisis de la distorsión que implica la proyección de la esfera al plano fue propuesto por Nicolas 
Tissot en 1881, conocido como ley de determinación e indicatriz de Tissot, la cual parte de un 
Aplicación de la proyección Cónica Equivalente de Albers para la República Mexicana. 
Mariana Vallejo Velázquez29 
indicatriz formada por una circunferencia con centro en el punto de intersección de una 
perpendicular, formada por un paralelo y un meridiano (Slocum et al., op. cit.). Se toma de 
referencia una circunferencia debido a que el factor de escala en todo el perímetro es uno, por lo 
que cuando ésta sufre deformación por su proyección en un plano, se transforma en un elipsoide. 
Este método se emplea para 
saber el grado y patrones de 
distribución de la deformación de la 
proyección de la esfera al plano. Para 
ello Tissot implementó una 
circunferencia minúscula que se ubica 
en la intersección de meridianos y 
paralelos. Esta circunferencia tiene 
semiejes a y b (Figura 1.10), de los 
cuales su longitud es proporcional al 
factor de escala de esa ubicación. 
Debido a la deformación geométrica 
que implica una proyección, el círculo 
se transforma en una elipse 
dependiendo de la deformación, si el 
tamaño del círculo cambia pero los 
valores de a y b se mantienen los ángulos se conservaron en correcta proporción. Para conocer si el 
área se modificó, se comparan las áreas de las circunferencias (r2π) o elipse (abπ). 
1.3.2. Por la posición de la superficie de desarrollo con respecto al elipsoide. 
Las figuras de desarrollo y el plano pueden posicionarse de manera tangente (a) o secante 
(b) al elipsoide (Figura 1.4). En la proyección tangente, el cono o cilindro tocan en un punto o línea 
al elipsoide, mientras que en la secante la figura hace contacto con el elipsoide en dos puntos o 
líneas teóricas, cortando al elipsoide. En el caso de las proyecciones acimutales tangentes el plano 
y el elipsoide hacen contacto en un punto, habitualmente en los polos, mientras que las secantes 
en una línea. Las líneas referidas son los paralelos de contacto y reciben el nombre de paralelo tipo 
o base. Estas líneas se le conocen como de deformación cero (Salitchev, op. cit.). 
Figura 1.10. Indicatriz de Tissot. 
Fuente: Slocum, 2005. 
No cambió 
el área 
Cambió 
el área 
No 
cambiaron 
los ángulos 
Cambiaron 
los ángulos 
Aplicación de la proyección Cónica Equivalente de Albers para la República Mexicana. 
Mariana Vallejo Velázquez 
 
 
 
 
30 
 
Figura 1.11. Proyecciones tangentes y secantes por la posición de la superficie de desarrollo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estos puntos o líneas de contacto se pueden ubicar en tres posiciones distintas, ya sea en 
los polos, el ecuador o cualquier otro punto sobre el planeta. Como se muestra en la figura 1.11., en 
las proyecciones la escala no es constante, por lo que se distinguen dos tipos de escalas: escala 
principal que es la equivalente a la del modelo del elipsoide representado en el plano, y las escalas 
parciales que son las que varían dependiendo de la construcción de la proyección (Salitchev, op. 
cit.). En este caso los paralelos base son los que conservan la escala principal, mientras que las 
franjas adyacentes tendrán escalas parciales que aumentarán o disminuirán conforme se alejan del 
o los paralelos base. Para conocer en qué proporción se modifica la escala y la relación entre las 
diferentes escalas en un mapa, se debe obtener el factor de escala, que es la relación entre la escala 
principal y la escala parcial en alguna ubicación específica en el mapa: 
 𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂 =
𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙
 
 
En el caso de la esfera el factor de escala será uno en todos sus puntos. Para las proyecciones 
cartográficas, generalmente las franjas que quedan fuera de los paralelos base son zonas donde la 
escala tiende a exagerarse por lo que el factor de escala es mayor a uno, mientras que sobre los 
paralelos el factor de escala es uno porque se mantiene la escala principal, y la franja limitada por 
los paralelos tiende a comprimirse y el factor de escala resulta por debajo de la unidad. 
Fuente: Robinson at al. (1987). 
La imagen muestra la posición del cono, cilindro y plano de referencia en su posición tangente (a) y 
secnate (b) a la esfera o elipsoide. La líneas más obscuras en las imágenes inferiores señalan los 
paralelos de deformación cero; la escala de grises indica el grado de deformación que ocurre con la 
esfera o esferoide al ser proyectada, los grises más obscuros simbolizan las franjas con mayor 
deformación. 
(1.9) 
Aplicación de la proyección Cónica Equivalente de Albers para la República Mexicana. 
Mariana Vallejo Velázquez 
 
 
 
 
31 
1.3.3. Por superficie de desarrollo. 
Una superficie de desarrollo es una superficie matemática que puede transformarse en un 
plano sin modificar las propiedades geométricas de la superficie original (Slocum, et al., 2005). En 
Cartografía se utilizan dos superficies de desarrollo: cono y cilindro, y un plano de referencia; sobre 
estas figuras se proyecta la curvatura de la Tierra para ser posteriormente desarrollado sobre el 
plano de proyección. 
Proyección acimutal, cenital o central. 
 
Se construye a partir de la proyección de la curvatura de la Tierra sobre un plano de 
referencia tangente o secante al elipsoide, su principal característica es que conservan los acimuts 
en proporción desde el centro de la proyección a cualquier punto de esta. Los meridianos se 
proyectan desde el centro con líneas rectas equidistantes, mientras que los paralelos son círculos 
concéntricos al origen de los meridianos –generalmente en los polos-. A este tipo de proyección se 
le conoce como central porque la deformación aumenta conforme el área a representar se aleja del 
centro de la proyección. Existen tres diferentes subtipos de proyecciones acimutales (Figura 1.12) 
que dependen de la ubicación del punto de proyección, este es el punto a partir del cual se 
proyectan los meridianos y paralelos al plano de referencia: 
 Figura 1.12. Tipos de proyecciones acimutales por ubicación del centro de proyección. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fuente: Slowm et al. (2012). 
 
A 
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32 
 
 Gnomónica (A): el punto de proyección se ubica en el centro del elipsoide. Se recomienda su 
uso para la representación de áreas de poca extensión, ya que el factor de escala aumenta 
desde el centro del mapa (Caire, op. cit.). 
 Estereográfica (B): el origen se posiciona en el punto diametralmente opuesto al punto de 
tangencia del plano de referencia con el elipsoide, su propiedad es de ser conforme (Martín, 
op. cit.). Tiene la característica de ser ortomórfica y generalmente se emplea para la 
representación de las zonas polares como complemento de la proyección UTM que únicamente 
muestra el área entre la latitud 80° norte y sur (Ibid). 
 Ortográfica (C): teóricamente el punto de la proyección se coloca en el infinito, por lo que a 
diferencia de las dos anteriores, en esta las radiaciones no concurren en un punto. 
 
Por la posición del plano de referencia con respecto a la elipse, las proyecciones acimutales 
reciben diferentes nombres si el plano se ubica en el polo, en el ecuador o en cualquier otro punto 
de la elipse (Cuadro 1.3): 
 
Cuadro 1.3. Clasificación de las proyecciones acimutales según la posición de la superficie de desarrollo. 
 
Posición del plano de desarrollo 
 
Polo 
 
Polar 
 
Ecuador 
 
Ecuatorial 
 
Cualquier otro punto 
 
Oblicua 
 
 
Proyecciones 
azimutales 
 
 
 
 
 
 
Fuente: elaborado sobre la base de Miretti et al., 2012. 
 
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33 
Proyección cónica 
 
La superficie de desarrollo es el cono. Los meridianos generalmente son líneas rectas con 
un origen en común, habitualmente ubicado en los polos, y los paralelos son arcos concéntricos. 
Este tipo de proyección cartográfica se adecua