Apunte 4 - Variables Aleatorias - Segunda Parte - Guadalupe Montes Martin

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4.4.
 VARIABLES 
ALEATORIAS 
UNIDIMENSIONALES
CONTENIDO
4.3 ALGUNAS DISTRIBUCIONES IMPORTANTES DE PROBABILIDAD... 75
4.3.1 DISTRIBUCION BINOMIAL................................................. 75
4.3.2 DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA............................. 81
4.3.3 DISTRIBUCION DE POISSON............................................... 83
4.3.4 DISTRIBUCIÓN UNIFORME................................................ 88
4.3.5 DISTRIBUCIÓN NORMAL.................................................... 90
4.3.6 DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL......................................... 98
4.3.7. EJERCICIOS RESUELTOS................................................. 101
4.4 FUNCION DE VARIABLE ALEATORIA................................................... 104
4.5 EJERCICIOS PROPUESTOS....................................................................... 106
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
SEGUNDA PARTE
4.3 ALGUNAS DISTRIBUCIONES IMPORTANTES DE PROBABILIDAD
Seguidamente se presentan las distribuciones de probabilidad de tres variables 
aleatorias discretas:
4.3.1 DISTRIBUCION BINOMIAL
Se han estudiado numerosas distribuciones de probabilidad que “modelizan” características 
asociadas a fenómenos que se presentan frecuentemente en la realidad.
Una distribución de probabilidad de variable aleatoria discreta que se usa frecuentemente es 
la distribución binomial.
A partir de una experiencia en la que ocurre uno de dos resultados posibles: A o A (llamada 
experiencia de Bernoulli) y ante n repeticiones independientes de la misma, se define la 
variable binomial X : nº de veces que ocurre el resultado A en las n repeticiones.
• HIPOTESIS DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL
 
1.- Existen n repeticiones idénticas que conducen a uno de dos resultados: éxito o 
fracaso (A y A ).
2.- La probabilidad de cada resultado permanece constante de repetición en repetición. 
La probabilidad de uno de estos resultados, llamado éxito, se designa por p (p= 
P(A)).
3.- Las repeticiones son independientes.
Un ejemplo de un experimento binomial es el de lanzar una moneda al aire varias veces. 
Sólo hay dos resultados posibles en cada tirada (o repetición de la experiencia) de la 
moneda: cara o cruz. La probabilidad de obtener cara o cruz se mantiene constante de 
tirada en tirada (0,5 para cada una) y las tiradas son independientes entre sí.
Ejemplo
Suponga que 0,2 es la probabilidad de que una persona, que se conecta a un sitio 
específico en un centro comercial en la red www, compre un artículo. Si el sitio tiene en 
un momento determinado tres personas que se han conectado, ¿cuál es la probabilidad 
de que exactamente dos personas compren un artículo?.
Este es un ejemplo que se puede modalizar por binomial, ya que: 
 sólo hay dos resultados posibles ante cada conexión a la red de una persona: compra 
(C) o no compra ( C ). 
 La probabilidad de comprar o no comprar se mantiene estable, con una probabilidad 
histórica de ocurrencia de 0,2 y 0,8 respectivamente.
 Las conexiones se consideran independientes entre sí.
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
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VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
Un método gráfico útil para visualizar esta situación es el diagrama de árbol que aparece 
en la siguiente figura:
FIGURA 4.2
Cada rama en la figura 4.2 representa la conexión de una persona (recuerde que se 
consideran tres). La regla de la multiplicación se usa para calcular la probabilidad de cada 
manera independiente en la que pueden ocurrir dos compras. Observe que cada manera 
tiene la misma probabilidad (0,032). La regla de la suma se usa después para calcular la 
probabilidad final de que dos personas de tres que se conectaron al sitio realicen una 
compra (0,096).
Así la probabilidad final es:
 3 . (0,2 . 0,2 . 0,8) = 0,096
La primera parte de este cálculo indica el número de maneras ( 3 ) en las que puede ocurrir 
el resultado deseado ( dos personas compran un artículo) . 
El segundo cálculo ( 0,2 . 0,2 . 0,8 ) indica la probabilidad de lograr este resultado usando 
una de las trayectorias posibles en el diagrama. 
El resultado final (0,096) es la probabilidad de que al conectarse tres personas al sitio, dos 
compren un artículo. 
Este cálculo requiere la fórmula binomial:
En general, siendo X : nº de veces que ocurre el resultado A en las n repeticiones.
( ) ( ) xnx ppxXP
x
n −−



== 1
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C 0,2
C 0,2
C 0,2
C 0,2
C 0,2
C 0,2
C 0,2
8,0C
8,0C
8,0C
8,0C
8,0C
8,0C
8,0C
0,032
0,032
0,032
8,0C
8,0C
VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
Distribución de probabilidad de una variable discreta X binomial
 
donde P ( X = x ) = probabilidad de x éxitos en n repeticiones 
 n = número de repeticiones
 


x
n
 = número de maneras de obtener exactamente x éxitos en n repetic.
 p = probabilidad de éxito en cualquier repetición
 ( 1 - p ) = probabilidad de fracaso en cualquier repetición
Para llegar a la fórmula binomial planteada se considera la variable X: nº de éxitos en n 
repeticiones de una experiencia ( ε ) y el resultado X = k. Tal resultado aparecería, por 
ejemplo, si A ocurre en las primeras k repeticiones de ε , mientras que en las últimas n-k 
repeticiones resultase A , es decir:




knK
AAAAAAAA
−
Como todas las repeticiones son independientes, la probabilidad de esta sucesión 
particular sería:
p k (1-p) n-k
Pero exactamente la misma probabilidad estaría asociada con cualquier otro resultado 
para el cual X = k. El número total de tales resultados es igual a 


k
n ya que hay 


k
n 
ordenamientos distintos de los k A y de los (n-k) A , siendo resultados mutuamente 
excluyentes. Por lo tanto:
( ) ( ) knppkkXP
kn −−



== 1
En el ejemplo de la conexión en la red al sitio de un centro comercial, la probabilidad 
buscada se podría haber calculado de la siguiente forma :
Se define la variable X: número de personas que compran entre tres que se conectan.
 X ∼ Bi ( 3 ; 0,2 ) 
lo que se lee :
la variable aleatoria X se distribuye ( ∼ ) según una distribución binomial ( Bi ) de parámetros 
3 ( n ) y 0,2 ( p ) .
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VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
 Entonces: ( ) ( ) 096,02,012,02X 232
2
3P =−−= 



= 
• PARAMETROS ESTADISTICOS 
Se demuestra que:
( ) ( ) pnppkXE knk
n
k k
n =−



= −
=
∑ 1
0
( ) ( ) ( )[ ] ( )ppnXEXEXV −=−= 1..22
• CALCULO DE PROBABILIDADES BINOMIALES
Se pueden calcular por tablas específicas (ver apéndice 2, tabla 2.1), con calculadoras, 
con algunas planillas de cálculos o con softwares estadísticos.
 
Ejemplo:
Una firma comercial posee un gran número de cuentas por cobrar y se conoce que el 
10% de estas cuentas están vencidas. Si se escogen aleatoriamente 5 cuentas, calcule la 
probabilidad de que:
a ) exactamente dos cuentas estén vencidas
b ) a lo sumo dos cuentas estén vencidas
c ) por lo menos una cuenta esté vencida
d ) por lo menos una cuenta no esté vencida
e ) entre 2 y 4 cuentas estén vencidas
• Por tabla
 
De la tabla de probabilidades acumuladas se puede obtener la probabilidad puntual por 
diferencia de probabilidades acumuladas. Así:
 
 X : número de cuentas vencidas en un total de 5 
 X ∼ Bi ( n , p ) = Bi ( 5 ; 0,10 )
a) P ( X = 2 ) = P ( X ≤ 2 ) - P ( X ≤ 1 ) = F ( 2 ) - F ( 1 ) = 0,991 - 0,918 = 0,073
b) P ( X ≤ 2 ) = F ( 2 ) = 0,991
c) P ( X ≥ 1 ) = 1 - P ( X = 0 ) = 1 - F ( 0 ) = 1 - 0,591 = 0,409
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
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VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
d) Calcular la probabilidad de que entre 5 cuentas elegidas al azar, por lo menos una 
cuenta no esté vencida , es equivalentea calcular la probabilidad de que a lo sumo 
cuatro estén vencidas, en el ejemplo : 
P ( X ≤ 4 ) = 1
e) P ( 2 ≤ X ≤ 4 ) = F ( 4 ) - F ( 1 ) = 1 - 0,918 = 0,082
Utilizando EXCEL en Funciones estadísticas el cálculo de las probabilidades binomiales se 
presenta de la siguiente forma (se consideran los puntos b y a del ejemplo anterior):
ASISTENTE PARA FUNCIONES
Dist. Binomial VALOR 0,99144
 
 número éxito f (x) 2
 ensayos f (x) 5
 
 prob. éxito f (x) 0.10
 acumulado f (x) VERDADERO
ASISTENTE PARA FUNCIONES
 Dist. Binomial VALOR 0,0729
 
 número éxito f (x) 2
 ensayos f (x) 5
 
 prob. éxito f (x) 0.10
 acumulado f (x) FALSO
 
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Población
Finita Infinita
Muestreo con 
reposición
Muestreo sin 
reposición
Tamaño de la muestra
inferior al 10% del tamaño
de la población
( n/N < 0,1 )
VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
Como se puede observar, si se escribe verdadero calcula la probabilidad acumulada, al 
poner falso calcula la probabilidad puntual.
• La distribución binomial es válida si :
 
  Ejercicios 
1.- Se conoce que el 20% de las cuentas de un Banco tienen saldos superiores a $2.000. 
Suponga que se eligen 10 cuentas al azar de las muchas cuentas que tiene el Banco. 
Calcule la probabilidad de que:
 a ) dos cuentas tengan saldos superiores a $2.000
 b ) a lo sumo dos cuentas tengan saldos superiores a $2.000
 c ) por lo menos dos cuentas tengan saldos superiores a $2.000
 d ) a lo sumo dos cuentas tengan saldos inferiores a $2.000
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
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VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
4.3.2 DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA
La distribución binomial no se usa en situaciones en las que la población es finita, el 
muestreo se realiza sin reposición y el tamaño de la muestra es superior al 10% del tamaño 
de la población. En estos casos la distribución que se aplica es la distribución 
hipergeométrica.
Sea X: nº de éxitos en n repeticiones.
X ∼ Hip.( N , r , n )
( )
nN
xnrNxr
C
CC
xXP
,
,, −−==
donde:
N = tamaño de la población
n = tamaño de la muestra
r = número de éxitos en la población
x = número de éxitos en una muestra para los cuales se calcula la probabilidad
C = combinaciones
Nota: C N , n es una forma de indicar las combinaciones de N elementos de los cuales se 
seleccionan n de los mismos.
Ejemplo
En una reunión hay ocho personas de las cuales 4 son miembros de un sindicato. Se 
seleccionan al azar tres personas para formar un comité. ¿Cuál es la probabilidad de que 
exactamente una de ellas sea miembro de un sindicato?
Como la población es pequeña y la muestra debe hacerse sin reemplazo, no resulta 
apropiada la distribución binomial de allí que se usa la distribución hipergeométrica con 
los siguientes parámetros:
N = 8 , n = 3 , r = 4 , x = 1 ; es decir X ∼ Hip. ( 8,4,3 )
X : nº de personas miembros del sindicato en una muestra de 3.
y la probabilidad pedida será:
 
 C 4,1 C 4,2 
P ( X = 1 ) = = 0,429 
 C 8,3 
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VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
• PARAMETROS ESTADISTICOS 
Se demuestra que:
E ( X ) = n . p siendo N
r p =
 
1 - N
n - N ) p - 1 ( . p .n ) X ( V =
• CALCULO DE PROBABILIDADES HIPERGEOMETRICAS
Utilizando EXCEL en Funciones estadísticas el cálculo de las probabilidades 
hipergeométricas se presenta de la siguiente forma :
ASISTENTE PARA FUNCIONES
Dist. Hipergeométrica VALOR 0.42851429
 número éxito f (x) 1
 muestra f (x) 3
 
 prob. éxito f (x) 4
 población f (x) 8
 Ejercicios 
1.- La seccional A de un determinado sindicato tiene 25 miembros. Quince están a favor de 
la huelga y 10 no. Se eligen al azar 6 trabajadores. Calcule la probabilidad de que 2 
estén a favor de la huelga.
2.-¿Cuál es la probabilidad de que una auditoría bancaria detecte solamente 2 cuentas 
especiales con irregularidades, si se seleccionan al azar 6 de las 18 cuentas existentes, 8 
de las cuales tienen irregularidades ?
 
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
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VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
4.3.3 DISTRIBUCION DE POISSON
La distribución de Poisson se usa para modelizar situaciones en las que hay ocurrencias 
aleatorias de sucesos por unidad de espacio o tiempo y en donde se desea conocer la 
probabilidad de un número específico de éxitos.
Numerosos fenómenos discretos se representan mediante un proceso de Poisson.
Se dice que existe un Proceso de Poisson si al considerar un experimento en el que se 
observa la aparición de sucesos puntuales en un intervalo contínuo (de tiempo, longitud, 
área, etc.), en cualquier intervalo suficientemente pequeño del intervalo continuo, se verifica 
que:
1.- La probabilidad de observar exactamente un éxito en el intervalo es estable
2.- La probabilidad de observar exactamente más de un éxito en el intervalo dado, es 0
3.- La ocurrencia de un éxito en cualquier intervalo es estadísticamente independiente de 
aquella en cualquier otro intervalo.
Se define X : número de éxitos en un intervalo.
La fórmula para la distribución de Poisson es:
( )
!x
exXP
x λ−λ== X ∼ Po ( λ )
Distribución de probabilidad de una variable discreta X de Poisson
donde λ es el número promedio de ocurrencias por unidad de tiempo o espacio.
 x es el número de ocurrencias cuya probabilidad se desea conocer
 e base de los logaritmos naturales
La fórmula de la distribución de Poisson muestra que la misma describe una variable 
aleatoria discreta que puede tomar cualquier valor de una sucesión infinita (x = 0, 1, 2, ……
…)
• PARAMETROS ESTADISTICOS 
Puede demostrarse que:
 ( ) λ
!k
λ.ekXE
0k
kλ
== ∑
∞
=
−
 ( ) ( ) ( )[ ] λXEXEXV 22 =−= 
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
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VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
EJEMPLO
Para comprender mejor el proceso de Poisson, supóngase que se analiza la variable 
número de clientes que llegan a un banco entre las 12 y 13 hs. Cualquier llegada de un 
cliente es un evento discreto en un punto particular sobre el intervalo continuo de 1 hora. 
Durante tal intervalo de tiempo puede haber un promedio de 180 llegadas. 
Para responder cuál es la probabilidad de que en un minuto lleguen exactamente dos 
clientes, es necesario conocer el número promedio de clientes en un minuto. Si el número 
promedio de llegadas en una hora es 180, en un minuto será igual a 3 (180 : 60), luego:
( ) 224,0
!2
32
32
===
−eXP siendo X = nº de personas que llegan al banco en 1’ 
Si hubiéramos estado interesados en el nº de personas que llegan al banco en un 
intervalo de 4’, se debe considerar un promedio de llegadas igual a 4. λ = 4 . 3 = 12.
En general, se escribe:
Xt : número de éxitos en un intervalo t
Xt ∼ Po (λt )
( ) ( )
!x
etxXP
tx
t
λ−λ==
En el ejemplo X t = nº de personas que llegan al banco en t’ 
 Xt ∼ Po (3t )
 X4 ∼ Po (12 )
• CALCULO DE LAS PROBABILIDADES DE POISSON
Lo mismo que lo visto para la distribución binomial, para calcular las probabilidades de 
Poisson se dispone de tablas estadísticas tabuladas para distintos valores de λ (ver 
apéndice 2, tablas 2.2 y 2.3), de softwares estadísticos y planillas de cálculos.
Ejemplo
Una compañía telefónica observa que entranen promedio 3,2 llamadas por minuto en 
una línea determinada. Suponiendo que el número de llamadas se distribuye según un 
modelo de Poisson, se puede plantear el cálculo de las siguientes probabilidades para 
el intervalo de un minuto:
a ) probabilidad de que entren exactamente 2 llamadas
b ) probabilidad de que entren a lo sumo tres llamadas
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
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VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
c ) probabilidad de que entren por lo menos tres llamadas
d ) probabilidad de que entren entre 2 y 7 llamadas ( incluidos estos valores )
a) Usando la tabla de probabilidades acumuladas (tabla 2.3 del apéndice 2), la 
probabilidad puntual se puede obtener por diferencia de probabilidades acumuladas. 
Así:
 P ( X = 2 ) = P ( X ≤ 2 ) - P ( X ≤ 1 ) = 0,38 - 0,171 = 0,209
b) P ( X ≤ 3 ) = 0,603
c) P ( X ≥ 3 ) = 1 - P ( X ≤ 2 ) = 1 - 0,38 = 0,62
d) P ( 2 ≤ X ≤ 7 ) = P ( X ≤ 7 ) - P ( X ≤ 1 ) = 0,983 - 0,171 = 0,812
Utilizando EXCEL en Funciones estadísticas el cálculo de las probabilidades de Poisson se 
presenta de la siguiente forma:
ASISTENTE PARA FUNCIONES
POISSON VALOR 0.379903741
 x f (x) 2
media f (x) 3,2
acumulado f (x) VERDADERO
ASISTENTE PARA FUNCIONES
POISSON VALOR 0,208702484
 x f (x) 2
media f (x) 3,2
 acumulado f (x) FALSO
Como se puede observar si se escribe verdadero calcula la probabilidad acumulada, al 
poner falso calcula la probabilidad puntual
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
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VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
 Ejercicios 
1.- A un muelle de carga llegan camiones en forma aleatoria con un promedio de 1 por 
hora. ¿cuál es la probabilidad de que en una hora no llegue ningún camión al muelle?
2.- Una casa de créditos recibe en promedio 2,2 solicitudes de préstamos para 
mejoramiento de la vivienda por semana. Calcule la probabilidad de que en una semana:
a) lleguen tres solicitudes de crédito
b) llegue por lo menos una solicitud
c) lleguen entre 2 y 5 solicitudes (incluidos estos valores)
d) lleguen a lo sumo tres solicitudes
3.- La llegada de vehículos a un puesto de peaje sigue un proceso de Poisson con promedio 
4 llegadas por minuto. Calcule la probabilidad de que en dos minutos lleguen por lo 
menos tres vehículos al puesto de peaje.
4.- El número de averías semanales de una computadora es una variable aleatoria que tiene 
distribución de Poisson con promedio λ = 0,4. ¿Cuál es la probabilidad de que la 
computadora trabaje sin averías durante dos semanas consecutivas?
• APROXIMACION DE POISSON A LA BINOMIAL
En problemas de distribución binomial donde n es grande y la probabilidad de éxito p es 
muy pequeña (o muy grande), se puede demostrar que la distribución binomial se acerca 
a una distribución de Poisson.
Como regla empírica, el uso de la distribución de Poisson es apropiado cuando n > 20 y 
np ≤ 5 o n.(1 - p) ≤ 5. (En el apéndice 2 se muestra el gráfico de aproximaciones a la 
binomial).
Es decir, si X es una variable distribuida binomialmente con parámetro p (con base en n 
repeticiones independientes del experimento). Esto es:
( ) ( ) knppkkXP
kn −−



== 1
y n → ∞ , np = λ (constante) , o equivalente: cuando n → ∞ , p → 0 tal que np → λ ; 
bajo estas condiciones se tiene :
 ( )
!k
e kXPlim
k
n
λλ−
∞→
== la distribución de Poisson con parámetro λ.
EJEMPLO
Un 1% de los empleados de una fábrica se ausentan diariamente del trabajo. Si se 
eligen 70 empleados al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sólo 1 esté ausente? 
X = nº de empleados ausentes en un total de 70 X ∼ Bi (70 ; 0,01)
P ( X = 1 ) = 0,35
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
86
VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
Como n es grande y p chico se puede utilizar la aproximación de Poisson de la 
siguiente forma:
λ = np = 70 . 0,01 = 0,7 
y usando la tabla de Poisson, la probabilidad pedida es 0,347
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
87
VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
 A continuación se verán algunas de las distribuciones de variable aleatoria 
continua de mayor aplicación:
4.3.4 DISTRIBUCIÓN UNIFORME
La distribución uniforme describe una variable aleatoria que tiene igual probabilidad de 
ocurrir en subintervalos de igual tamaño, dentro del campo de definición de la misma.
La siguiente figura muestra una distribución uniforme. El intervalo en el que está definida la 
variable aleatoria es (a, b). La “curva” de probabilidad tiene una altura uniforme en todos 
los puntos entre a y b.
 f (x)
 a c d b X
El área del rectángulo es igual a 1, de allí:
La probabilidad de que la variable caiga entre cualesquiera dos puntos c y d (véase la 
figura) es igual a:
( )
ab
cddx
ab
dXcP
d
c −
−=
−
=≤≤ ∫
1
• PARAMETROS ESTADISTICOS 
Se demuestra que: 
( )
2
)( badxxfxXE
b
a
+== ∫
( ) [ ] ( )
12
2
22 )()(2 abXEXEX −=−=σ
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
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[ ]
casootroen
xf
baxsi
ab
0
)(
,1
=
∈
−
 
ab
1
−
 
VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
• CALCULO DE PROBABILIDADES UNIFORMES
Ejemplo :
Se sabe que en una empresa, los años de experiencia de los trabajadores de planta 
tienen una distribución uniforme con un mínimo de 0 y un máximo de 12,5 años. Se 
elige un empleado al azar. Determine la probabilidad de que esta persona tenga entre 
2,5 y 7,5 años de experiencia en la compañía. 
La variable aleatoria uniforme se presenta escribiendo:
X : años de experiencia de un trabajador
X ∼ U ( 0 ; 12,5 ) ⇒ ( )
5.12
1=xf
7,52,5
0
0,08
0 12,5
años de experiencia
0,4 
5,12
5
05,12
5,25,7
 dx 
 12,5
1
) 7,5 X 2,5 (
7,5
5,2
 P ==
−
−
=∫<< =
Hay un 40 % de probabilidad de que un empleado de la compañía elegido al azar tenga 
entre 2.5 y 7.5 años de experiencia.
El promedio y la desviación estándar son:
 ( ) añosxE 25,6
2
5,120
=
+=
( ) ( ) añosx 61,3
12
205,12
=
−
=σ 
La distribución de los años de experiencia en una empresa para los trabajadores de planta tiene un 
promedio de 6,25 años y una desviación estándar de 3,61 años 
 Ejercicios 
1. El tiempo total necesario para procesar una solicitud de préstamo hipotecario en un banco 
sigue una distribución uniforme entre 5 y 9 días.
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
89
VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
a) ¿Cuál es el tiempo promedio para procesar un préstamo?
b) ¿Cuál es la desviación estándar del tiempo de procesamiento de préstamos?
c) Determine la probabilidad de que un préstamo tarde más de seis días en ser 
procesado.
d) ¿Cuál es el porcentaje de préstamos procesados en a lo sumo ocho días?
2.- Un semáforo está programado para cambiar de rojo a verde según una distribución 
uniforme con una media de 45 segundos. La diferencia entre el menor y el mayor número 
de segundos que tarda la luz en cambiar es de 8 segundos.
a) Calcule la desviación estándar de esta distribución.
b) Calcule la probabilidad de que la luz tarde por lo menos 43 segundos en cambiar.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que tarde menos de 43 segundos en cambiar?
4.3.5 DISTRIBUCIÓN NORMAL
Muchas observaciones de la vida real se pueden modelizar usando la distribución normal. Si 
la situación real satisface las condiciones de este importante modelo, se pueden encontrar 
respuestas valiosas sin necesidad de dedicar demasiado tiempo a costosas observaciones. 
Son tres las razones por las que la distribución normal es la distribución teórica más 
importante en la estadística:
 La distribución normal se aproxima a las distribuciones de frecuencias observadas de 
muchas medidas naturales y físicas, como coeficientes mentales, pesos, alturas, ventas, 
vida útil de productos, variabilidad en la producción humana y de las máquinas, etc.
 La distribución normal se puede usar para aproximar las probabilidades binomiales, de 
Poisson, etc.,cuando sus parámetros matemáticos alcanzan determinados valores.
 La distribución normal es una buena aproximación de la distribución de una variable 
suma de otras variables aleatorias independientes (por ejemplo: medias muestrales, 
proporciones muestrales, etc); conceptos muy importantes en estadística que se verán 
más adelante (capítulo 5).
La distribución normal es una distribución continua que tiene forma de campana simétrica 
y está determinada por su promedio y su desviación estándar. 
La siguiente figura muestra la forma de una distribución normal. La misma tiende a infinito 
en ambas direcciones a partir de su promedio.
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
90
VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
Esto se corresponde con una probabilidad decreciente de encontrar valores de la 
característica en estudio mientras más alejados del promedio éstos se encuentren.
El área total bajo la curva es igual a 1. El 50% del área está a la derecha del promedio y el 
otro 50% a la izquierda del mismo (en consecuencia, promedio, mediana y moda son eje de 
simetría de la distribución).
 La función de densidad de probabilidad para la distribución normal es:
( )
2x
2
1
e
2
xf 1





σ
µ−−
πσ
=
donde x = cualquier valor de la variable aleatoria continua
µ = promedio de la variable aleatoria normal
σ = desviación estándar de la variable aleatoria normal
Se puede presentar la variable aleatoria normal escribiendo: X ∼ N ( µ , σ ) 
 
Si el promedio y la desviación estándar se conocen, la curva normal queda especificada y 
se pueden encontrar las probabilidades. La probabilidad de que una variable aleatoria tenga 
un valor entre dos puntos cualesquiera es igual al área bajo la curva entre esos puntos. 
 Ejercicios 
1. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos? Justifique su respuesta.
a) La distribución normal es asimétrica.
b) Es necesario conocer la esperanza matemática y la desviación estándar para definir 
una distribución normal específica.
c) Cada combinación de promedio y desviación estándar define una distribución normal 
única.
d) La distribución normal se mide en una escala discreta.
e) La distribución normal se extiende al infinito en cualquier dirección a partir de la 
media.
f) El área total bajo la curva es igual a 1.
g) La probabilidad de que una variable normal tome un valor determinado es distinta de 
cero.
2. Analice las distribuciones que se presentan en las figuras siguientes. En cada caso 
especifique la relación entre sus parámetros:
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
91
VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
AREAS BAJO LA CURVA NORMAL
Para encontrar el área bajo la curva normal debe integrarse su función de densidad, siendo 
el cálculo muy complejo. Por otra parte, para disponer de una tabla de áreas bajo esta 
curva, serían necesarias más de una, ya que el número de distribuciones normales es 
ilimitado, debiendo corresponder una por cada combinación de media y desviación estándar. 
Esta situación se puede resolver transformando todas las distribuciones normales en la 
distribución normal estándar.
Una variable cualquiera X se estandariza (como se presentó en el ejercicio 2, pag. 77) al 
definir:
 
σ
µ−= XZ con E( Z ) = 0 y σ (Z) = 1 
Cualquier distribución normal se puede convertir en una distribución estándar si se 
estandariza cada una de sus observaciones en términos de valores z:
 
σ
µ−= xz
La distribución normal estándar es aquella cuya variable aleatoria Z siempre 
tiene una media µ = 0 y desviación estándar σ = 1.
La variable Z es una transformación lineal de X. Mientras el promedio y la desviación 
estándar de una variable normal general X pueden adoptar cualquier valor, la variable 
normal estándar Z es única, con promedio 0 y desviación estándar 1. 
Una vez que se ha realizado la estandarización de la distribución, las probabilidades 
asociadas a los sucesos de interés se buscan en la tabla de probabilidades para la N(0,1). 
Las tabla normal estándar (ver Apéndice tabla 2.4) da las probabilidades acumuladas o 
áreas bajo la curva normal, para distintos valores de Z. El ejemplo siguiente permitirá 
visualizar esta operatoria.
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
92
VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
Ejemplos:
1. Una variable normal tiene esperanza matemática igual a 75 y una desviación estándar 
igual a 6 (se expresa: X ∼ N (75,6). En la figura siguiente se observa que cada valor de la 
variable X tiene un valor correspondiente en la variable Z.
 Supongamos que quisiéramos conocer la probabilidad de que la variable X tome valores 
menores que 81, luego:
( ) ( ) 8413,0 1 Z P 
6
75 - 81 ZP81X P =<=



<=<
Los sucesos ( X < 81 ) y ( Z < 1 ) son sucesos equivalentes y por lo tanto tienen la misma 
probabilidad. Después de calcular el valor z para la distribución normal estándar, el 
siguiente paso es usar la tabla normal estándar para buscar la probabilidad planteada. El 
valor 0,8413 de la probabilidad se obtiene de dicha tabla. 
La figura siguiente describe la probabilidad buscada
 La probabilidad del suceso complementario del anterior se obtiene: 
( ) ( ) 1587,08413,0181XP181X P =−=<−=>
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
93
VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
 La probabilidad de que la variable tome valores entre 69 y 81:
( )
( ) ( ) 0,6826 0,1587 - 8413.0 1 - Z P - 1 Z P 
 
6
75 - 69 Z P - 
6
75 - 81 Z P81X 96 P
==<<=
=



 <



 <=<<
2. Una variable normal tiene esperanza matemática igual a 500 y una desviación estándar 
igual a 25. Se desea conocer la probabilidad de que la variable tome valores:
a) menores que 535
b) menores que 480 
c) mayores que 558 
d) mayores que 371
e) entre 461 y 539
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 
 - 
 
01020989801322
25
500558558)
2119.080
25
500480480)
9192.041
25
500535535)
, , - ,ZP - ZPXPc
 ,ZP - ZPXPb
,ZP - ZPXPa
==>=



 >=>
=<=



 <=<
=<=



<=<
( ) ( ) 1165
25
500371371) - =>=



 >=> ,ZP - ZPXPd
( ) =



 <



 <=<< - 
25
500461
25
500539539461) - ZP - ZPXPe
( ) ( ) 881200594094060561561 , , - . , - Z - P , Z P ==<<=
88120194060215612 , - . * - ) , P (Z ó ==<= 
Utilizando EXCEL en Funciones estadísticas, el cálculo de las probabilidades normales se 
presenta de la siguiente forma:
 Si se usa distribución normal estándar:
ASISTENTE PARA FUNCIONES
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
94
VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
Distribución normal estándar
z
 Resultado 
 Si se usa distribución normal:
ASISTENTE PARA FUNCIONES
Distribución normal
x
 media 
 desvío estándar
 acumulado
 Resultado
3. Se sabe que el tiempo de almacenamiento de los artículos sigue una distribución normal 
con promedio 5 semanas y desviación estándar 4 semanas. ¿Cuál es la probabilidad 
de que un artículo elegido al azar haya estado almacenado entre 2 y 10 semanas?.
X: tiempo de almacenamiento de un artículo X ∼ N ( µ , σ ) = N ( 5; 4 )
( ) ( ) ( ) ( ) =−<−<=<<−=<< 75,025,125,175,0102 ZPZPZPXP
= 0,8944 – 0,2266 = 0,6678
 
Existe una probabilidad igual a 0,6678 de que el artículo elegido al azar tenga un tiempo 
de almacenamiento entre 2 y 10 semanas.
4. Qué porcentaje de los valores de una curva normal están entre el promedio ± 1 
desviación estándar, ± 2 desviaciones estándar, ± 3 desviaciones estándar ? 
 En general, para X ∼ N(µ , σ)
( ) 12 ) - kZ P ( k ) Z P ( - k kXkP)k XP( <=<<=+<<−=<− σµσµσµ
k Probabilidad
1 0.6827
2 0.9545
3 0.9973
Esto quiere decir que, si se analiza el caso particular de una variable normal 
estandarizada,casi la totalidad de las observaciones están en el intervalo (-3 , 3); siendo 
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
95
1.4
535
500
0.919243289
25
VERDADERO
0.919243289
VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
muy poco probables los valores de la variable fuera del mismo ( 0,27 % ); lo que justifica 
el rango de valores z para el que está tabulada.
Observación: asociar con la regla empírica (capítulo 2, pag. 33 ).
 Ejercicios 
1.- Una variable aleatoria normal tiene una media de 4.9 y una desviación estándar de 1,2.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la variable tome un valor menor que 5,5?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la variable tome un valor comprendido entre la 
esperanza y 6,1?
c) ¿Qué porcentaje del área bajo esta curva es mayor que 6? 
2.- Las calificaciones de una prueba siguen una distribución normal con µ = 100. Cuál debe 
ser el valor del desvío estándar si se desea que una persona obtenga una calificación 
superior a 122,56 con probabilidad 0,08?
• APROXIMACION NORMAL
A LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
⇒ como se mencionó en el punto 4.3.3 (pag. 86), si en la distribución binomial, el número 
de repeticiones n es grande y p pequeño, las probabilidades binomiales se pueden 
calcular en forma aproximada a través de la distribución de Poisson (en la práctica, 
cuando n > 20 y np ≤ 5 ó n ( 1 - p ) ≤ 5).
⇒ si el número de repeticiones n es grande, y p un valor cercano a 0.5, entonces la curva 
normal proporciona una buena aproximación a la distribución binomial, (como regla 
empírica esta aproximación es apropiada si np > 5) :
se aproxima por N ( µ = np ; σ = npq )
En el apéndice 2 se muestra el gráfico de aproximaciones de la Binomial con Poisson y 
Normal.
A LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON
⇒ Si X ∼ Po (λ) y λ toma valores grandes (en la práctica λ > 25), entonces la curva 
normal proporciona una buena aproximación a la distribución de Poisson.
se aproxima por N ( µ = λ ; σ = λ )
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
96
VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
• FACTOR DE CORRECCIÓN POR CONTINUIDAD
Cuando se aproxima una distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta 
(Binomial, Poisson) a la distribución normal (variable aleatoria continua), se hace 
necesario realizar la corrección por continuidad, asignando intervalos a la distribución 
continua para representar a los valores discretos.
Ejemplo: PB ( X = 30) = PN ( 29,5 < X < 30,5 )
 Ejercicios 
1. Un vendedor tiene 30 % de probabilidad de concretar una venta con cualquier cliente 
que llama. Si hace 110 llamadas durante un mes dado, determine la probabilidad de que 
concrete:
a. a lo sumo 40 ventas.
b. al menos 30 ventas.
2. El gerente de un restaurante ha estado estudiando si los clientes nuevos regresan en el 
lapso de un mes. Los datos recogidos revelan que el 60% de los clientes nuevos han 
regresado. Si llegan 90 clientes nuevos a cenar al restaurante este mes, determine la 
probabilidad de que al menos 50 regresen al mes siguiente.
3. El número de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador sigue una ley de Poisson 
con promedio 15 llamadas por minuto. Calcule la probabilidad de que en 5 minutos 
lleguen a lo sumo 90 llamadas.
• VERIFICACIÓN DE LA NORMALIDAD
Un punto importante a resolver es saber si el fenómeno aleatorio de interés puede 
describirse mediante alguno de los modelos probabilísticos conocidos.
Supóngase que hemos recolectado algunos datos referentes a una variable de interés. Nos 
gustaría ver si la distribución normal sirve como un buen modelo. Para decidir sobre la 
bondad del ajuste podemos:
1. Evaluar las propiedades de la normal
 Mirar un histograma o un diagrama de tallos y hojas buscando característica de falta 
de normalidad como por ejemplo: celdas vacías, outliers o una pronunciada asimetría.
 Comparar nuestras observaciones con la regla 68-95-99,7 de la distribución normal.
Calcular la media muestral, x , y el desvío estándar muestral, s, y observar si: 
aproximadamente el 68 % de las observaciones cae en el intervalo ( )sxsx +− ,
aproximadamente el 95 % de las observaciones cae en el intervalo ( )sxsx 2,2 +−
aproximadamente el 99,7 % de las observaciones cae en el intervalo ( )sxsx 3,3 +−
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
97
VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
2. Hacer gráficos de probabilidad normal
Son gráficos bidimensionales de los valores de los datos observados en el eje vertical con 
los valores de las fractilas correspondientes de una distribución normal estándar en el eje 
horizontal.
Si los datos graficados caen en o cerca de una línea recta imaginaria creciente desde la 
esquina inferior izquierda hacia la esquina superior derecha, entonces el conjunto de 
datos tiene una distribución normal (o por lo menos se aproxima).
A continuación se presenta el diagrama de probabilidad normal para el ejemplo de la 
variable continua superficie cubierta de la vivienda (en m2) presentada en el capítulo 2, 
pag. 16.
Como se 
puede 
observar, 
los datos 
pueden 
considerarse como provenientes de una distribución normal.1
De acuerdo a la forma que adoptan los datos se concluye con respecto al tipo de 
distribución que tiene la población de donde provienen.
4.3.6 DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
En el ejemplo de la pag. 83 se definió la variable aleatoria de Poisson: número de clientes 
que llegan a un banco entre las 12 y 13 hs. Otra variable de interés puede ser el tiempo 
entre dos llegadas sucesivas. Interesa conocer su distribución. 
Sea la variable aleatoria T: tiempo entre dos llegadas sucesivas a un banco.
La distribución de T puede obtenerse a partir de conocer la distribución del número de 
clientes que llegan al banco. Por ejemplo: si interesa conocer la probabilidad de que el 
tiempo entre dos llegadas sucesivas sea mayor que t minutos, ésta podrá derivarse de la 
distribución de probabilidad de Xt : nº de clientes que llegan al banco en t minutos.
La clave para obtener esta relación es el siguiente concepto: el tiempo entre dos llegadas 
sucesivas es mayor que t, si y sólo si no hay llegadas en esos t minutos. Es decir:
1 Ver archivo xls: “Gráfico de probabilidad normal” en ar.groups.yahoo.com/group/probabilidadyestadístca_isi
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
98
SUPERFICIE CUBIERTA 
60
80
100
120
140
160
-3 -2 -1 0 1 2 3
Valores Z
S
up
er
fic
ie
 c
ub
ie
rta
VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
t
t
t eteXPtTP λ
λ λ −− ====≥
!0
)()0()(
0
Luego:
( )tf t-e 
dt
) t( F d 
t-e - 1 ) t ( F 
t-e - 1 ) t T ( P - 1 ) t (T P
==
=
=≥=≤
λλ
λ
λ
Se obtuvo la función de densidad de T, que es una variable aleatoria continua con 
distribución exponencial. La obtención de la distribución de T depende sólo de la hipótesis 
de que el número de llegadas sigue un proceso de Poisson.
EJEMPLO
Interesa conocer la probabilidad de que el tiempo entre dos llegadas sucesivas a un 
banco sea mayor que 1 minuto.
X1 ∼ Po (λ = 3)
P ( T > 1) = P (X1 = 0 ) = 3
03
!
.
0
3 −
−
= ee = 0,0498
Formalizando se dice que una variable aleatoria continua X tiene distribución exponencial si:



 ≥λ=
λ
 caso otro en 0 
0 x e )x(f 
x-
• PARAMETROS ESTADISTICOS 
Si la variable aleatoria X tiene una distribución exponencial con parámetro α , entonces
( ) ( ) 2
1XV y 1XE
λ
=
λ
=
• CALCULO DE PROBABILIDADES
Para el ejemplo planteado anteriormente, consideramos:
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
99
VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
X : tiempo entre dos llegadas sucesivas a un banco X ∼ Exp ( 3 minutos-1)
9502,03
1
0
x3 e1dxe)1X(P 3 =−==< −−∫
Utilizando EXCEL en funciones estadísticas, el cálculo de las probabilidades se presenta de 
la siguiente forma:
ASISTENTE PARA FUNCIONES
DIST. EXP.
X
 LAMBDA
ACUMULADO
VALOR = 0,950212932
EJEMPLO
1. En una red decomputadoras, el acceso de los usuarios al sistema se comporta como un 
proceso de Poisson con un promedio de 25,2 accesos por hora.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo entre dos accesos sucesivos sea superior a 
seis minutos?
Sea Yt: número de accesos al sistema en t minutos. Yt ∼ Po ( λt )
Se conoce Y60 ∼ Po (25,2 acc/1 hora)
en consecuencia Y1’ ∼ Po .min1/acc42,060
2,25




 =
Sea X : tiempo entre dos accesos sucesivos X ∼ Exp ( 0,42 minutos –1)
 P ( X > 6 ) = e - 0,42 * 6 = 0,0805
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo que transcurre hasta el siguiente acceso 
esté entre 2 y 3 minutos?
P (2 < X < 3) = F (3) – F (2) = (1 – e-0,42*3) – (1 - e-0,42*2) = e -0,42*2 - e-0,42*3 = 0,43 – 0,28 = 
0,15
 Ejercicios 
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
100
 1
 3
VERDADERO
VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
1. El tiempo entre llegadas de taxis a una parada tiene una distribución exponencial con 
promedio 10 minutos.
 ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que esté en el cruce tenga que esperar más 
de una hora para tomar un taxi?
2. Demuestre que si X ∼ Exp ( λ ) → 
P ( X > s + t / X > s ) = P ( X > t ) para cualquier s,t > 0.
 (Propiedad de no memoria)
4.3.7. EJERCICIOS RESUELTOS
1.- La sección Control de Calidad de una industria manufacturera realiza un muestreo de 
aceptación de los lotes que recibe, con el siguiente criterio: de cada lote inspecciona 
muestras de cinco unidades, si entre ellas encuentra una o más defectuosas rechaza el 
lote, caso contrario lo acepta. Si el 5 % del lote es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de 
que sea rechazado?
Solución:
Sea X: número de unidades defectuosas en un total de 5
Al ser la muestra pequeña con respecto al tamaño de la población y a pesar de que el 
muestreo se hace sin reposición se puede decir que : X ∼ Bi ( n , p ) = Bi ( 5 , 0,05 ) 
El lote es rechazado si hay una o más unidades defectuosas entre las cinco observadas, 
es decir, la probabilidad de que el lote sea rechazado es equivalente a: 
P ( X ≥ 1 ) = 1 - P ( X = 0 ) = 1 - 0,7738 = 0,2262
2.- El Sr. García es el responsable de la compra de cajas de vino para un restaurante. 
Periódicamente elige una caja de prueba (12 botellas por caja) para determinar si el 
proceso de sellado es adecuado. Para esta prueba, selecciona al azar 4 botellas de la 
caja para catar el vino. Si una caja contiene dos botellas de vino en mal estado, calcule la 
probabilidad de que precisamente una de ellas aparezca en la muestra del Sr. García.
Solución:
X : número de botellas en mal estado
X ∼ Hiperg ( N , r , n ) = Hiperg ( 12 , 2 , 4 ) 
 C 2 , 1 C 10 , 3 
 P ( X = 1 ) = = 0,485
 C 12 , 4 
3.- La comisión de desarrollo económico de una ciudad ha determinado que el número de 
pequeños negocios que se declaran en quiebra al mes es un proceso de Poisson con 
promedio 2,6. Calcule la probabilidad de que:
a) Ninguno se declare en quiebra el próximo mes
b) Tres se declaren en quiebra el próximo mes
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
101
VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
c) Ocurran menos de tres quiebras el siguiente mes
d) Uno o más negocios se declaren en quiebra el próximo mes
e) Ocurran dos quiebras durante los próximos dos meses
 
Solución: 
Sea: Xt : número de quiebras de pequeños negocios en t meses Xt ∼ Po ( λ t )
 X1 ∼ Po ( 2,6 ) X2 ∼ Po (2,6 * 2 = 5,2) 
a) P ( X1 = 0 ) = 0,0743
b) P ( X1 = 3 ) = 0,2176 
c) P ( X1 < 3 ) = 0,5184
d) P ( X1 ≥ 1 ) = 1 - P ( X1 = 0 ) = 1 - 0,0743 = 0,9257
e) P ( X2 = 2 ) = 0,0746 
4.- El tiempo de vuelo entre dos ciudades de una aerolínea sigue una distribución uniforme 
entre 80 y 100 minutos.
a) ¿Cuál es el tiempo de vuelo promedio entre las dos ciudades?
b) ¿Qué porcentaje de vuelos puede esperarse que tarden entre 85 y 95 minutos?
c) Un servicio aéreo entre las dos ciudades se considera eficiente si por lo menos el 50 
% de sus viajes se realiza en menos de 95 minutos. ¿Se puede considerar eficiente 
el servicio en esta aerolínea?
 X : tiempo de vuelo (en minutos) X ∼ U ( 80 , 100 )
a) E (X) = 80 + 100 = 90 minutos
 2
b) P ( 85 < X < 95 ) = 95 - 85 . = 0,5 ⇒ 50 % de los vuelos tardan entre 85 y 95’ 
 100 – 80 
c) P ( X < 95 ) = 95 – 80 = 15 = 0,75
 100 – 80 20
El 75 % de los vuelos tienen tiempos menores de 90’, por los tanto el servicio se 
considera eficiente.
 
5.- Las primas de riesgos mensuales (en $) de una compañía de seguros siguen una 
distribución normal. Se quiere determinar el porcentaje de recibos mensuales que caen 
dentro del intervalo de $125 a $175, ya que esas cantidades son difíciles de manejar. 
Para determinar el porcentaje de cuentas en este rango, se calcula el promedio y la 
desviación estándar de los recibos mensuales de las primas, obteniéndose 100$ y 38$, 
respectivamente.
a) ¿Qué porcentaje de recibos mensuales puede esperarse que caiga dentro del rango 
de 125 a $175?
b) Se predice que dentro de dos años el promedio mensual de la prima se elevará a 
$150. Suponiendo que la desviación estándar permanece igual, ¿en qué cambiaría 
este hecho la respuesta al punto a?
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
102
VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
 X: valor de la prima de riesgo (en $) X ∼ N (100,38)
a) P (125 < X < 175) = P (125 – 100 < Z < 175 – 100) = P (0,66 < Z < 1,97) =
 38 38
 = F (1,97) – F (0,66) = 0.9756 - 0.7454 = 0.2302
b) X ∼ N ( 150 , 38 )
 P (125 < X < 175) = P (125 – 150 < Z < 175 – 150) = P (- 0,66 < Z < 0,66) =
 38 38
 = 2 * F (0,66) - 1 = 2 * 0.7454 - 1 = 0.4908
Existirá un mayor porcentaje de primas de riesgo con valores en el rango (125, 175) si 
µ = 150.
6.- El tiempo que transcurre entre las llamadas a una empresa de artículos para plomería 
tiene una distribución exponencial con un tiempo promedio entre llamadas de 12 
minutos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya llamadas en un lapso de 1 minuto?
b) ¿Cuál es la probabilidad de recibir al menos una llamada en un intervalo de 10 
minutos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de recibir la primera llamada entre cinco y 10 minutos 
después de abierta la empresa?
d) Determinar la amplitud del intervalo de tiempo, de modo tal que la probabilidad de 
recibir al menos una llamada en ese lapso sea 0,80.
X: tiempo entre llamadas E (X) = 12’ → X ∼ Exp (1/ 12) 
a) Recordar la relación entre Poisson y exponencial:
Si X ∼ Exp ( 
12
1 ) →
Y1 = número de llamadas en 1 minuto Y1∼ Po ( λ ) siendo λ = 1/ 12 ≅ 0,08
Luego:
 P (Y1 = 0) = e – 0,08 = 0,92 
b) Y10 = número de llamadas en 10 minutos Y10 ∼ Po (10 λ) → Y10 ∼ Po (0,8)
P (Y10 ≥ 1) = 1 – P (Y10 = 0) = 1 - e – 0,8 = 0,55
c) Recibir la primer llamada entre 5 y 10 minutos después de abierta la empresa es 
equivalente a decir que el tiempo que transcurre entre la apertura y la primer llamada 
está en el intervalo (5, 10): 
P (5 < X < 10) = e - 0,08 *5 – e - 0,08 *10 = 0,67 – 0,45 = 0, 22
d) Yt = número de llamadas en t minutos Yt ∼ Po (t * 0,08) 
 P ( Yt ≥ 1) = 0,80
 P ( Yt ≥ 1) = 1 – P (Yt = 0 ) = 0,80
 P ( Yt = 0 ) = 0,2 ⇒ t λ = t * 0,08 ≅ 1,6 ⇒ t = 1,6 : 0,08 = 20 minutos 
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
103
VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
4.4 FUNCION DE VARIABLE ALEATORIA
En los siguientes ejemplos se considera una variable aleatoria X, con distribución de 
probabilidad conocida y una variable aleatoria Y, función real de X ⇒ Y = H ( X ). Las 
probabilidades de sucesos asociados a la variable Y se podrán obtener a partir de la 
distribución de probabilidad de X si se determinanlos sucesos equivalentes en cuestión.
EJEMPLOS
 X variable aleatoria discreta ; Y variable aleatoria discreta
La probabilidad de que una máquina falle en un día cualquiera es 0,05. Si la máquina no 
tiene fallas durante la semana, se obtiene una utilidad S. Si ocurren 1 ó 2 fallas, se 
obtiene una utilidad R (R<S). Si ocurren 3 o más fallas, se obtiene una utilidad –L (R, S y 
L son positivos). Si la máquina falla cualquier día, permanece fuera de uso durante el 
resto del día.
Sea X : número de fallas en 5 días
X ∼ Bi ( n,p ) = Bi ( 5;0,05 ) → ( ) knp1kp k)P(X −−



==
k
n
Y: utilidad obtenida en una semana de cinco días Y = H (X).
La distribución de probabilidad de Y se presenta a continuación:
yi sucesos equivalentes Probabilidad
 S X = 0 P(Y = S) = P ( X = 0 ) = 0,774
 R 1 ≤ X ≤ 2 P(Y = R) = P( 1 ≤ X ≤ 2 ) = 0,225
 -L X ≥ 3 P(Y = -L) = P( X ≥ 3 ) = 0,001
1
 X variable aleatoria continua ; Y variable aleatoria discreta
La entrada en un canal de comunicación es una variable aleatoria X distribuida 
uniformemente en el intervalo (-2,5 ; 1,5 ).
La salida Y toma los valores: 0 si x > 1
1/2 si -1 ≤ x ≤ 0
1 si 0 < x ≤ 1
Sea X : entrada en un canal de comunicación
X ∼ U (a ; b) = U ( -2,5 ; 1,5 ) → f (x) = 1/ 4
Y: salida del canal de comunicación Y = H ( X )
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
104
VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
A continuación se presenta la distribución de probabilidad de Y:
yi sucesos equivalentes Probabilidad
0 X > 1 ∨ X < -1 P(Y = 0) = P ( X >1) + P ( X <-1) = 0,125 + 0,375 = 0,5
½ -1 ≤ X ≤ 0 P(Y = ½ ) = P(-1 ≤ X ≤ 0 ) = 0,25
1 0 < X ≤ 1 P(Y = 1 ) = P (0 < X ≤ 1 ) = 0,25
1
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
105
VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
4.5 EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- Una variable aleatoria continua X tiene distribución de probabilidad:
 f (x) = 3 x2 0 ≤ x ≤ 1
 = 0 en otro caso
a) Represente gráficamente f (x).
b) Encuentre promedio, mediana y varianza.
c) Calcule la probabilidad de que X supere 0,75.
2.- La etiqueta en las cajas de una marca de detergente indica un peso de 800 gramos. Una 
máquina llena estas cajas donde el contenido de las mismas es una variable aleatoria 
uniforme en el intervalo (780;820). El control de calidad acepta las cajas llenas con 15 
gramos más o menos de la cantidad que indica la etiqueta.
a) ¿Cuál es la variabilidad del contenido de las cajas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una caja contenga entre 785 y 795 gramos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que una caja no cumpla con el estándar de control de 
calidad?
3.- El número de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador es una variable aleatoria 
X que se distribuye según una ley de Poisson de parámetro λ = 15 llamadas por minuto. 
Según el número de llamadas que lleguen puede ser necesario descongestionar el 
conmutador dirigiendo algunas llamadas a líneas auxiliares. Si el número de llamadas es 
a lo sumo 15, no se necesita línea auxiliar; si es mayor que 15 pero menor o igual que 
25, se necesita una línea; para un número mayor que 25 se utilizan dos líneas auxiliares.
a) Encuentre la distribución de probabilidad de la variable aleatoria Y: número de líneas 
auxiliares necesarias en un minuto.
b) Encuentre promedio y desviación estándar de la variable aleatoria Y.
4.- Un artículo puede tener dos defectos D1 y D2. El número de defectos D1 es una variable 
aleatoria de Poisson con parámetro λ1 = 0,1 y el número de defectos D2 sigue una 
distribución de Poisson con parámetro λ2 = 0,3. Los defectos son independientes. Un 
artículo se considera defectuoso cuando presenta al menos uno de los defectos.
Calcule la probabilidad de que en una muestra de 50 artículos haya a lo sumo 10 
defectuosos.
5.- Una variable aleatoria X se distribuye uniformemente en [– α ; α] , (α > 0). Cada vez que 
sea posible, determine α que satisfaga:
a) P ( X > 1 ) = 1/3 
b) P ( X > 1 ) = 1/2 
c) P (  X  < 1 ) = P (  X  > 1 )
6.- El número de clientes que llegan a una caja de un supermercado es una variable 
aleatoria de Poisson con promedio 10 clientes en 5 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de 
que transcurran al menos 2 minutos entre dos llegadas sucesivas? 
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7.- Las mediciones repetidas de una cierta magnitud δ, con una determinada técnica, 
permite afirmar que tales medidas tienen distribución normal con promedio µ = –183,2 
unidades y σ = 0,08 unidades.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la medición resulte superior a –183?
b) Se realizan 10 mediciones de δ, calcule la probabilidad de que sólo dos de ellas 
superen el valor –183.
8.- El tiempo de funcionamiento sin fallas (en años) de un cierto tipo de componente es una 
variable aleatoria X con distribución exponencial de parámetro 0,2.
a) Calcule la probabilidad de que una componente no tenga fallas durante los dos 
primeros años de funcionamiento.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en un lote de 15 componentes elegidas al azar, por 
lo menos 11 componentes no tengan fallas durante los dos primeros años de 
funcionamiento?
c) Se sabe de que en un lote de 15 componentes elegidas al azar, por lo menos 11 no 
tuvieron fallas durante los dos primeros años. Calcule la probabilidad de que en ese 
período, no hayan tenido fallas exactamente 13 componentes.
d) Se arma un lote con cinco componentes elegidas al azar y se las numera del 1 al 5. 
¿Cuál es la probabilidad de que sólo las componentes 1 y 2 no tengan fallas durante 
los dos primeros años de funcionamiento? (En todos los casos llegar al resultado 
numérico).
9.- Una experiencia aleatoria ε tiene dos resultados posibles (A y A ). Se conoce que
 P(A) = 0,20.
 Calcule la probabilidad de que en 10 repeticiones de la experiencia ε :
a) haya igual cantidad de resultados A y A .
b) la cantidad de resultados A supere la cantidad de resultados A .
c) en la cuarta experiencia ocurra el primer resultado A
d) en las últimas cuatro experiencias ocurran todos los resultados A
10.- El número de accidentes que ocurren diariamente en un cruce de avenidas es una 
variable aleatoria con distribución de Poisson con promedio 0,1 accidentes diarios.
 Calcule, entre los días en los que hubo más de un accidente, la proporción de días en 
los que hayan ocurrido solamente dos.
11.- Una prueba consta de 50 preguntas con cuatro respuestas alternativas dadas de las 
cuales sólo una es correcta. Cada pregunta se refiere a un tema específico. Sea “p” la 
probabilidad de que un alumno haya estudiado el tema. Se sabe que la probabilidad de 
contestar correctamente una pregunta cuando el alumno estudió el tema es 0,9. Si el 
alumno no estudió el tema elegirá al azar una de las respuestas alternativas.
a) ¿Cuál debe ser el valor de “p” para que la probabilidad de que un alumno responda 
correctamente una pregunta sea 0,8?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno haya estudiado el tema si respondió 
correctamente la pregunta?
c) Si se aprueba con el 80% de respuestas correctas, ¿qué porcentaje de alumnos 
aprobará?
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12.- La demanda semanal de copias de un procesador de textos en un negocio de software 
es una variable aleatoria X con la siguiente distribución de probabilidades:
 
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P(X=x) 0,06 0,14 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 0,07 0,06 0,04 0,03
a) Calcule la probabilidad de que en una semana cualquiera se soliciten:
i) tres ó más copias
ii) por lo menos 2 pero no más de 6 copias
b) La política del negocio es tener 8 copias del programa al inicio de cada semana. 
¿Cuál es la probabilidad de que, en una semana cualquiera, la demanda supere laoferta?
c) Encuentre la función de distribución de probabilidad acumulada F(x) 
d) Calcule nuevamente las probabilidades del punto a) pero usando la F(x).
e) Calcule el promedio, la varianza y la desviación estándar de la variable aleatoria X
13.- Una compañía de procesamiento de datos tiene una macrocomputadora a la cual se 
accede a través de un gran número de terminales remotas. Un modelo razonable de 
probabilidad para el tiempo Y (en minutos) transcurrido entre envíos sucesivos de los 
trabajos a la computadora supone que:
 F (y) = P(Y < y) = 1 – e–0,5y 0 ≤ y < ∞
a) Calcule los valores numéricos de F (y) para y = 1,0; 2,0 ; ...... hasta que F (y) 
exceda de 0,98 (aproximadamente)
b) Calcule P( Y < 0,75 ) , P ( Y > 4,0 ) y P ( 2,0 < Y < 3,5 )
c) Encuentre la función de densidad de probabilidad f (y)
14.- Un fabricante de cierto tipo de piezas somete cada unidad a una prueba muy rigurosa. 
De las piezas recién ensambladas, el 84% pasa la prueba sin ninguna modificación. Las 
que fallan en la prueba inicial son reelaboradas; de éstas, el 75% pasa una segunda 
prueba. Aquellas piezas que fallan en la segunda prueba se rehacen por segunda vez y 
se vuelven a probar; 90% de ellas pasan la prueba y el resto se desarman. Defina X 
como la variable aleatoria: número de veces que debe reprocesarse una pieza 
seleccionada al azar.
a) Especifique el recorrido de la variable X
b) Encuentre la distribución de probabilidad de X 
c) Encuentre promedio, varianza y desviación estándar de la variable X
15.- El operador de una computadora recibe peticiones imprevistas para montar cintas de 
datos en el sistema. Como política, estas solicitudes deben ser atendidas a la brevedad 
posible; debido a ello, se tiene que interrumpir el flujo del trabajo programado.
 Sea la variable aleatoria X : número de solicitudes recibidas en un turno de 9 a 17 horas. 
Se conoce que la variable X sigue una ley de Poisson con promedio 1,5 solicitud por 
hora.
a) Encuentre la media y la desviación de la variable X
b) Calcule P( X > 8 )
c) Encuentre la probabilidad de que el tiempo transcurrido entre dos solicitudes 
consecutivas sea al menos de dos horas.
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16.- En una compañía de redes de cómputo se observa la variable aleatoria X: número de 
interrupciones diarias que tiene la siguiente distribución de probabilidades:
Interrupciones 0 1 2 3 4 5 6
P(X=x) 0,32 0,35 0,18 0,08 0,04 0,02 0,01
a) Calcule la probabilidad de en un día dado :
i) haya menos de 4 interrupciones
ii) haya a lo sumo 4 interrupciones
iii) haya por lo menos 4 interrupciones
iv) haya 4 interrupciones 
v) haya más de 4 interrupciones
vi) haya entre 2 y 6 interrupciones (incluidos estos valores)
b) Calcule el promedio y la desviación estándar de a variable X. Interprete los 
resultados.
17.- En una concesionaria de autos de la marca XX los registros de garantía de un 
automóvil nuevo permiten decir que la probabilidad de que un auto nuevo necesite 
reparación amparada por la garantía durante los primeros 90 días, es de 0,05. Se 
selecciona al azar una muestra de cinco autos nuevos, 
a) calcule la probabilidad de que :
i) ninguno necesite reparación amparada por la garantía
ii) por lo menos uno necesite reparación amparada por la garantía
b) encuentre el número promedio de la variable que definió en el punto a)
c) Conteste las mismas preguntas del punto a) y b) si la probabilidad de necesitar una 
reparación amparada por la garantía fuera de 0,10.
18.- Los gastos mensuales en alimentación para familias de cuatro miembros en una ciudad 
es una variable aleatoria normal con promedio 420$ y desviación estándar 80$.
a) ¿ Qué porcentaje de estos gastos :
i) es menor que 350$?
ii) está entre 250 y 350$?
iii) es menor que 250$ o mayor que 450$?
b) Determine el cuartil 1 y el cuartil 3
c) ¿Cuáles serían sus respuestas al punto a) si la desviación es de 100$?
19.- Se supone que la calificación obtenida en el examen final de un curso introductorio de 
estadística es una variable aleatoria con distribución normal con promedio 73 y 
desviación estándar 8.
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener en este examen una calificación no mayor de 
91?
b) ¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvo una calificación entre 65 y 89?
c) ¿Cuál fue la calificación superada sólo por el 5% de los estudiantes que hicieron el 
examen?
d) Si el profesor le otorga Promoción al 10% más alto de la clase sin importar la 
calificación, ¿le conviene a usted una calificación de 81 con este examen o una 
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calificación de 68 en un examen diferente en el que el promedio fuera 62 y la 
desviación estándar 3?
20.- Una oficina que procesa permisos para remodelación de edificios tiene como política 
que el permiso se entregará sin costo si no está listo al final de 5 días hábiles, a partir 
de la fecha de la solicitud. Se mide el tiempo de procesamiento a partir del momento 
en que se recibe la solicitud hasta completar el procesamiento (Suponga que el tiempo 
tiene distribución normal).
a) Si el proceso tiene una media de 3 días y una desviación estándar de 1 día, ¿qué 
proporción de los permisos serán gratis?
b) Si el proceso tiene una media de 2 días y una desviación estándar de 1,5 días, 
¿qué proporción de los permisos será gratis?
c) ¿En cuál de los dos procesos, (a) ó (b), resultarán más permisos gratis? Explique.
d) Para el proceso del punto (a), ¿sería mejor reducir el promedio a 2 días o la 
desviación estándar a 0,75 días? Explique.
21.- El nivel de llenado de unas botellas de refrescos tiene una distribución normal con 
media 2 litros y desviación estándar 0,06 litros. Las botellas que contienen menos de 
95% del contenido neto anunciado (1,9 en este caso) pueden causar una multa al 
fabricante por parte de la oficina de protección al consumidor, mientras que las botellas 
que tienen un contenido neto mayor que 2,1 litros pueden provocar un derrame del 
exceso al abrirlas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que le pongan una multa al fabricante, si se selecciona al 
azar una botella de la producción?
b) ¿Qué proporción de las botellas pueden provocar un derrame al abrirlas?
c) ¿Qué cantidad mínima de refresco se espera que contenga 99% de las botellas?
d) ¿Entre qué dos valores (con distribución simétrica) se espera encontrar el contenido 
del 99% de las botellas?
e) Suponga que en un esfuerzo por reducir el número de botellas que contienen menos 
de 1,9 litros, el embotellador arregla la máquina de llenado de manera que la media 
sea de 2,01 litros. En estas circunstancias, ¿cuáles serían sus respuestas a las 
preguntas de los puntos a), b) y c)?
 
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