02 Anal Estr I - UTN - Tema 2 - 1ra parte -Despl sist barras - Alfonso Toribio

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Universidad Tecnológica Nacional 
 
Facultad Regional Santa Fe 
 
Carrera de Ingeniería Civil 
 
 
 
4to. año 
 
 
Cátedra 
AANNÁÁLLIISSIISS EESSTTRRUUCCTTUURRAALL ""II"" 
 
 
 
 
 
Unidad Temática Nº: 2 
DEFORMACIÓN DE BARRAS 
FLEXIONADAS 
 
 
 
Año Lectivo 2006 
 
 
Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Santa Fe 
Carrera de Ingeniería Civil - 4º año. 
Cátedra de ANÁLISIS ESTRUCTURAL "I" 
 
 Deformación de barras flexionadas 1 
 
UNIDAD TEMÁTICA Nº: 2 
 
DESPLAZAMIENTO EN SISTEMAS FORMADOS POR BARRAS. 
 
Contenido: 
 
1) Deformación de las Estructuras. 
a) Introducción. 
b) Deformaciones Planas de Elementos Lineales. 
c) Deformaciones debidas a tensiones axiales 
d) Deformaciones debidas a tensiones de flexión 
e) Deformaciones debidas a tensiones cortantes 
f) Deformaciones debidas a tensiones de torsión 
g) Deformaciones debidas variación uniforme de temperatura 
h) Deformaciones debidas variación no uniforme de temperatura 
2) Trabajo de Deformación y Energía Potencial de Deformación. 
a) Trabajo de Deformación por Tracción o Compresión (esfuerzos axiles) 
b) Trabajo de Deformación por Flexión. 
c) Trabajo de Deformación por Corte. 
d) Trabajo de Deformación por Torsión 
e) Expresión Gral del Trabajo de Deformación Interno de Deformación 
3) Trabajo de Deformación Interno y Externo 
4) Teorema de Clapeyron. 
5) Trabajo Mutuo o Indirecto. 
6) Ley de Betty. 
7) Ley de Maxwell. 
8) Principio de los Trabajos Virtuales 
a) Fundamentos del Método de los Trabajos Virtuales. 
b) Principios de los trabajos virtuales aplicado a los cuerpos deformables. 
c) Expresión para la evaluación del trabajo virtual interno y externo. 
d) Aplicación del principios de los trabajos virtuales a estructuras lineales planas. 
e) Aplicación del principios de los trabajos virtuales a sistemas reticulados. 
9) Aplicación del Principio de los Trabajos Virtuales al cálculo de desplazamientos. 
a) Método de la carga unitaria. 
b) Aplicación del Principio de los Trabajos Virtuales al cálculo de desplazamientos en 
estructuras con momento de inercia variable. 
 
 
Bibliografía sobre el Tema: 
 
♦ Análisis Elemental de Estructuras, de Charles Head Norris y John Benson Wilbur. 
♦ Estática de las Estructuras, de H. Ramm y W. Wagner. 
♦ Ciencia de la Construcción, tomo I, de O. Belluzzi. 
♦ Exercicios de Hiperestaticidad, de Adolfo Polillo 
 
NOTA: 
 
La cátedra debe agradecer muy especialmente la colaboración de la Ing. Marta Heinz de 
Ferrando, responsable de la elaboración de la presente Guía de Apoyo Didáctico. 
 
Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Santa Fe 
Carrera de Ingeniería Civil - 4º año. 
Cátedra de ANÁLISIS ESTRUCTURAL "I" 
 
 Deformación de barras flexionadas 2 
 
UNIDAD TEMÁTICA Nº: 2 
DESPLAZAMIENTOS EN SISTEMAS FORMADOS POR BARRAS 
 
1.- DEFORMACIONES DE LAS ESTRUCTURAS 
 
1.a.- Introducción 
 
Las estructuras de ingeniería están realizadas con materiales que se deforman ligeramente 
cuando están sometidas a esfuerzos, cambios de temperatura, etc. Como consecuencia de 
estas deformaciones, los puntos de la estructura experimentan ciertos movimientos llamados 
desplazamientos o corrimientos, y la estructura sufre a su vez una deformación general. 
Siempre que no se sobrepase el límite elástico del material, todas las deformaciones y 
corrimientos desaparecen cuando se suprime el esfuerzo, o la temperatura vuelve a su valor 
primitivo. Este tipo de deformación se llama elástica, y puede ser producida por cargas que 
actúen sobre la estructura o por variaciones de temperatura. 
 
A veces, la deformación de la estructura es consecuencia de asientos de los apoyos, juego en 
los nudos articulados, retracción del hormigón o alguna otra causa. En estos casos, la causa 
permanece en acción continuamente, por lo que las deformaciones resultantes no 
desaparecen. Este tipo de deformación se llama no elástica. En ambos tipos, puede verse que 
la deformación de la estructura se puede producir con o sin esfuerzos en la misma. 
 
1.b.- Deformaciones planas de elementos lineales 
 
En estática diferenciamos dos estados: el de cargas, que nos da las relaciones entre las 
fuerzas exteriores (cargas, temperatura) y las interiores (N, Q y M), y el estado de 
deformaciones que describe la relación entre la deformación de una pieza y la de todo el 
sistema. La unión entre los dos sistemas, es decir, la relación entre las deformaciones y las 
tensiones es suministrada por la Ley de Hooke, que puede expresarse como: 
 
El
l σ
=
∆
=ε 
 
1.c.- Deformaciones debidas a tensiones axiales 
 
Dado que el esfuerzo axial N produce una tensión A
N=σ , la variación de longitud es: 
EA
lN
E
l
l =
σ
=∆ 
 
1.d.- Deformaciones debidas a tensiones de flexión 
 
Es yM
Ι
=σ , y como 
E
σ
=ε , resulta: y
E
M
Ι
=ε 
 
dsy
IE
Mds
y
IE
M
ds
ds
y
dsd
.0
0
0
=∆⇒
=
∆
=
∆
=
ε
ϕ
 
 
ds ∆ds
dϕ
s sy0
y0
M
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 Deformación de barras flexionadas 3 
 
Y el ángulo de deformación: ds
E
Md
Ι
=ϕ 
 
1.e.- Deformaciones debidas a tensiones cortantes 
 
GA
Q
G
χ=
τ
=γ 
 
ds
dh
=γ 
Por lo tanto: ds
GA
Qdh χ= 
 
En la cual χ es el factor de corrección que tiene en cuenta la variación de las tensiones 
cortantes a lo largo del canto de la sección, y que depende de la forma de ésta: 
 
χ = 1,20 En secciones rectangulares 
χ = 1,175 En secciones circulares 
χ entre 2 y 3 En secciones doble “T” 
 
 
1.f.- Deformaciones debidas a tensiones de torsión 
 
p
T
T
p
T
T
T
T IG
M
I
M
;
G
ρ
=γ⇒
ρ
=τ
τ
=γ 
1θ=γ ddsd T 
 
En la anterior, “1” es el radio de valor unitario 
 
p
T
IG
dsM
d =θ 
 
1.g.- Deformaciones debidas a variación uniforme de temperatura 
 
ε = αt ∆t ⇒ ∆l = αt ∆tg l0 
 
En las cuales αt es el coeficiente de dilatación térmica. 
 
 
1.h.- Deformaciones debidas a variaciones no 
 uniformes de temperatura 
 
 
∆dst0 = αt ∆t0 ds 
 
∆dstu = αt ∆tu ds 
 
 
ds
dh
hγ
Q
Q
Mt
Mt
P
P
P2
1dγt dθ
ds
r=
1
h
ds ∆dstu
∆dst0
∆dϕt
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 Deformación de barras flexionadas 4 
 
( )
h
dstt
h
dsds
d utttut
00 −α=
∆−∆
=ϕ∆ 
 
 
2.- TRABAJO DE DEFORMACIÓN Y ENERGÍA POTENCIAL DE DEFORMACIÓN 
 
2.a.- Trabajo de deformación por tracción o compresión (solicitación axil) 
 
Un sistema de fuerzas exteriores actúa sobre un cuerpo elástico, realizando un cierto trabajo L. 
Como resultado del trabajo realizado, en el cuerpo se acumula cierta energía potencial U del 
sólido deformado. Al mismo tiempo, parte del trabajo sirve para transmitir ciertas velocidades a 
la masa del sólido, es decir, se transforma en energía cinética E. El balance de energía es el 
siguiente: 
 L = U + E 
 
Si la carga se aplica lentamente, la velocidad de desplazamiento de la masa del cuerpo será 
pequeña. Este proceso de carga se denomina estático y el cuerpo en cada momento se 
encuentra en equilibrio, siendo el balance de energía: 
 
 L = U 
 
El trabajo de las fuerzas exteriores se transforma totalmente en energía potencial de 
deformación. En consecuencia se dice que el sólido elástico es un “acumulador de energía”. 
 
Analicemos la situación de una barra sometida a la acción de un esfuerzo de solicitación axil N, 
y supongamos que la fuerza exterior crece desde cero hasta el valor final N, de modo 
suficientemente lento para no producir acciones dinámicas sensibles, puede calcularse el 
trabajo que realiza por efecto deldesplazamiento del punto de aplicación de la fuerza, que 
también varía desde cero hasta ∆l. 
 
Si en un instante cualquiera la fuerza ha 
alcanzado un valor intermedio αN, siendo α 
un número variable entre cero y uno, y si no 
se supera el límite de proporcionalidad del 
material, la variación de longitud 
correspondiente será de magnitud α∆l. 
 
Al aplicar a la fuerza un incremento 
infinitesimal d(αN) = N dα, por ser N 
constante e igual al máximo valor del 
esfuerzo normal, en consecuencia el punto 
de aplicación sufrirá un desplazamiento 
suplementario d(α∆l) = ∆l dα, teniendo en 
cuenta que ∆l es constante, y el trabajo de 
deformación en la barra será: 
l ∆l
dx
N
x
N
∆l
∆lα ∆l
d(α ∆l)
α N
dα N
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dL = αN . d(α∆l) = N . ∆l . α. dα y que corresponde al área rayada en el gráfico. 
 
Luego, el trabajo de deformación total será: 
 
2
∆lNdαα∆lNLdL
l 
0 
=== ∫∫ (1) (Caso particular del Teorema de Clapeyron) 
 
 
Aplicando la ley de Hooke: AE
lN∆l = (2) 
 
Luego, de (1) y (2): AE2
lN
L
2
= (3) 
 
Si hay variación de la fuerza N, el trabajo se calcula como: dx
AE2
NL
l 2
∫= 0 
 
 
2.b.- Trabajo de deformación por flexión 
 
Por las razones antes expuestas, si se supone la aplicación gradual del momento flector, 
resultará: 
 ϕ= ML
2
1
 
 
Pero ds
E
Md
Ι
=ϕ , entonces: 
IE2
lM
L
2
= 
 
Y si el momento flector es variable: ds
IE2
ML
l 2
∫= 0 
 
 
2.c.- Trabajo de deformación por corte 
 
 hQL ∆=
2
1
 
 
Siendo ds
GA
Qdh χ= , y la solicitación constante: 
AG2
lQ
L
2
χ= 
 
Para el resto de los casos: ds
AG2
QL
l 2
∫= 0 χ 
 
 
2.d.- Trabajo de deformación por torsión 
 
 θ= tML 2
1
 
 
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Con ds
IG
M
p
t=θ , para momento torsor constante y sección circular: 
p
2
t
IG2
lM
L = 
 
Y si la solicitación es variable: ds
IG2
M
L
l
p
2
t∫= 0 
 
Para aquellos casos en que la sección no es circular: 
p
2
t
IG2
lM
L β= 
 
o bien: ds
IG2
M
L
l
p
2
t∫= 0 β 
 
donde β es el factor de conversión que depende de la forma de la sección. 
 
 
 
2.e.- Expresión General del Trabajo Interno de Deformación 
 
En el caso de una pieza solicitada en forma general, el trabajo interno de deformación se 
obtiene como suma de los trabajos generados por las distintas solicitaciones existentes. 
Admitiendo la posibilidad de que estas solicitaciones sean variables, se llega a: 
 
∫∫∫∫ +++=
l
p
t
lll
dl
IG
M
dl
AG
Qdl
IE
Mdl
AE
NLi
0
2
0
2
0
2
0
2
2222
βχ 
 
 
3.- TRABAJO DE DEFORMACIÓN INTERNO Y EXTERNO 
 
Como ya se ha explicado, las fuerzas exteriores que se aplican a un cuerpo realizan un trabajo 
que denominamos externo, que se emplea en: 
 
a) deformar el cuerpo; 
b) producir energía cinética y/o; 
c) vencer la resistencia de rozamiento de los enlaces exteriores. 
 
Si las fuerzas se aplican de modo estático, los enlaces son rígidos; o el rozamiento que en ellos 
se produce es despreciable, y no existe ninguna causa de disipación de energía, el trabajo 
exterior se emplea totalmente en deformar el cuerpo, transformándose en energía potencial de 
elástica de deformación, medida también por el trabajo interior realizado por las solicitaciones 
internas durante la deformación. 
 
Luego: 
Le = Li 
 
Ecuación que se emplea al calcular deformaciones y para el estudio de los sistemas 
hiperestáticos. 
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En estas condiciones, el trabajo de deformación depende sólo del estado inicial y final del 
elemento, y no de los estados intermedios: por ello se dice que el sistema es conservativo. 
 
Dado que el material se ha supuesto elástico, este trabajo se almacena y puede recuperarse 
en el momento en que la estructura recobra su forma primitiva al retirar las cargas. 
 
 
4.- TRABAJO EXTERNO DE DEFORMACIÓN. TEOREMA DE CLAPEYRON. 
Sea un cuerpo elástico de forma cualquiera, sometido a fuerzas exteriores: P1, P2, P3, .... Pn, y 
sean: δ1, δ2, δ3, ..., δn los desplazamientos que sufren los puntos de aplicación de dichas 
fuerzas, medidos en la misma dirección y sentido. 
 
Suponiendo que el sistema de fuerzas exteriores no está influido por la deformación elástica 
del cuerpo, por lo que los desplazamientos y las deformaciones resultan funciones lineales 
homogéneas de las fuerzas exteriores, y es válido el principio de superposición de efectos. 
 
Este estado depende únicamente de las fuerzas finales que actúan sobre el cuerpo, y no del 
orden en que éstas han sido aplicadas. 
 
Por tratarse de un sistema conservativo, el trabajo interno de deformación depende sólo del 
estado final del cuerpo. 
 
Aplicando las fuerzas de modo que crezcan desde cero hasta los valores finales de modo 
suficientemente lento, pasando por valores constantemente proporcionales entre sí, el 
desplazamiento del punto de aplicación de dichas fuerzas crece también proporcionalmente a 
las mismas, y cesa cuando se alcanzan los valores finales. 
 
Luego: 
 ∑ δ= iie .PL 21 (1) 
 
Teorema de Clapeyron: “El trabajo realizado por las fuerzas que actúan estáticamente 
sobre un cuerpo elástico es independiente del orden en el que se aplican las fuerzas, y 
vale la mitad de la suma de los productos de los valores finales de las fuerzas por los 
valores finales de los desplazamientos de sus puntos de aplicación, medidos en las 
direcciones de las fuerzas.” 
 
P1
δ1
δ2
P2
δ3 P3
δn
Pn
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Si actúan también momentos exteriores Me: 
 
 










ϕ+δ= ∑∑
==
k
j
jej
n
i
iie .M.PL
11
2
1 
 
siendo ϕ las rotaciones de los puntos de aplicación de dichos momentos, medidas en el plano 
de los mismos. 
 
Si el cuerpo elástico en estudio está ligado a otros cuerpos con enlaces no rígidos, es 
necesario tener en cuenta también las reacciones R de los enlaces y los movimientos ρ de 
éstos, medidos en las direcciones de las fuerzas R: 
 
 










ρ+δ= ∑∑
==
r
m
mm
n
i
iie .R.PL
11
2
1 
 
Si los enlaces son rígidos, ρ = 0 y la expresión vuelve a tomar la forma (1). 
 
 
5.- TRABAJO MUTUO O INDIRECTO 
 
El trabajo de deformación es función cuadrática y homogénea de las fuerzas, así como también 
puede expresarse como función cuadrática homogénea de las deformaciones. Por ejemplo, 
para el caso de solicitación axil: 
• Como función de las fuerzas es ∑= A.E l.PLe
2
2
1
 
 
• Como función de las deformaciones, y teniendo en cuenta que las deformaciones se 
calculan como A.E
l.P
=δ , resulta ∑ δ= l A.E.Le
2
2
1
 
 
Por ello, el principio de superposición de efectos no es válido para evaluar el trabajo de 
deformación, ya que en dicho principio es consecuencia directa de la dependencia lineal y 
homogénea entre causas y efectos, esto es, cargas y deformaciones. 
 
 
Entonces, en general, el trabajo de deformación debido a varias fuerzas no resulta igual a la 
suma de los trabajos que se obtendrían aplicando cada una de lasfuerzas por separado. 
 
P1
P2
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 Deformación de barras flexionadas 9 
 
Si sobre un cuerpo, por ejemplo el reticulado que se muestra en la figura anterior, actúan dos 
fuerzas, P1 y P2, en un orden de aplicación arbitrario, se puede evaluar el trabajo que éstas 
producen. Suponiendo que P1 actúa primero, el trabajo sobre el cuerpo será únicamente L1. 
Luego, al aplicar P2, ésta produce un trabajo L2, de igual magnitud que realizaría la misma 
fuerza aplicada sobre el reticulado descargado. 
 
Pero durante la aplicación de la fuerza P2, la fuerza P1, que ya actuaba, realiza un nuevo 
trabajo L1-2, pues su punto de aplicación se desplaza nuevamente debido a la deformación 
producida por la fuerza P2. 
 
Luego, el trabajo total será: L = L1 + L2 + L1-2 
 
 
L1-2 recibe el nombre de trabajo mutuo o indirecto de las dos fuerzas. 
 
El trabajo mutuo o indirecto puede ser positivo, negativo o nulo, razón por la cual el trabajo 
debido a dos o más fuerzas puede ser mayor, menor o igual a la suma de los trabajos simples 
que efectúan las mismas. 
 
L1-2 resulta nulo sólo en el caso en que el desplazamiento del punto de aplicación de P1 
provocado por P2 sea nulo, es decir, que las direcciones de P1 y δ1-2 sean normales entre sí. 
Por otro lado, será negativo cuando el sentido de la fuerza P1 sea contrario al de la 
deformación δ1-2. 
 
En general, toda fuerza aplicada al cuerpo realiza el mismo trabajo que realizaría si actuase 
sola, pero hace además realizar trabajo al resto de las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo. 
 
Por lo tanto, en la expresión del trabajo de deformación: ∑ δ= iie .PL 21 
 
 
el factor δi corresponde al desplazamiento del punto de aplicación de la carga Pi debido a todo 
el sistema de fuerzas, y no sólo los que cada una de éstas provocan en su punto de aplicación. 
 
 
6.- TEOREMA DE RECIPROCIDAD DE LAS DEFORMACIONES ELÁSTICAS o 
 LEY DE BETTI 
 
La ley de Betti es aplicable a cualquier tipo de estructuras: vigas, pórticos o sistemas 
reticulados. 
Se analizará el ejemplo del sistema reticulado de la figura, sometido a dos sistemas de fuerzas 
A y B: 
Si se aplican en primer lugar las fuerzas del sistema A, éstas realizan un trabajo La. Al aplicar 
las del sistema B, se produce el trabajo Lb debido a éstas y los desplazamientos de sus puntos 
P1
P2
SISTEMA A SISTEMA B
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 Deformación de barras flexionadas 10 
 
de aplicación, en tanto que las fuerzas del sistema A, que ya se encontraba aplicado, realizan 
un nuevo trabajo denominado “trabajo mutuo o indirecto La,b”. El trabajo total es: 
 
L = La + Lb + La,b 
 
Al invertir el orden de aplicación de los dos sistemas de fuerzas, esto es, se aplica primero el 
sistema B produciendo Lb, y luego el sistema A, originando el trabajo indirecto de las fuerzas B, 
Lb,a, el trabajo total vale: 
L = Lb + La + Lb,a 
 
Pero el trabajo total es el mismo en ambos casos, ya que la configuración final de cargas es 
idéntica; luego, los trabajos mutuos o indirectos deben ser iguales: 
 
 La,b = Lb,a 
 
Ley de Betti: “En una estructura cualquiera, cuyo material es elástico y sigue la ley de 
Hooke, y en la que los enlaces externos son rígidos o capaces de ceder elásticamente, 
pero no de modo anelástico, y la temperatura es constante, el trabajo mutuo o indirecto 
que realiza un sistema de fuerzas “A” ya aplicado al cuerpo elástico durante la 
aplicación de un sistema de fuerzas “B” es igual al trabajo mutuo o indirecto que 
realizaría el sistema “B” si ya estuviese aplicado al mismo cuerpo elástico durante la 
aplicación del sistema A.” 
 
 
7.- LEY DE MAXWELL 
 
La Ley de Maxwell es un caso particular de la Ley de Betti. 
 
Ley de Maxwell: “En un cuerpo elástico cualquiera, con vínculos que no pueden ceder 
anelásticamente y siendo P1II = P2I, el desplazamiento de un punto 1 en la dirección ab, 
debido a la carga P2I aplicada en el punto 2 que actúa en una dirección cd, es 
numéricamente igual a la deformación en el punto 2 en la dirección cd, debida a una 
carga P1II en el punto 1, que actúa en la dirección ab.” 
 
 
δab = δcd 
 
Por la Ley de Betti: L1-2 = L2-1 IIcd
II
ab
II PP δδ .. 21 =⇒ , pero P1 = P2 ⇒ δab = δcd 
 
Como ejemplo de aplicación inmediata de la Ley de Maxwell , para una carga de valor unitario 
P = P1 = P2 = 1 t, se propone: 
 
δCD
P11
2
a
b
c
d
b
1
P2
a
2c
d
δAB
ESTADO I ESTADO II
I
I II
II
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 Deformación de barras flexionadas 11 
 
 
 
δ2-1 = δ1-2 
 
En la designación de los desplazamientos, el primer subíndice expresa el punto en el que se 
mide la deformación y el segundo el punto en que se aplica la fuerza que la produce. 
 
 
1 2
P1
δ2-1 δ1-2
P2
1 2