Jesús Fernández Novoa - Análisis matemático I-Universidad Nacional de Educación a Distancia - Rubén Rodríguez

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07121
UNIVERSIDAD NACIONAL 
DE EDUCACION A DISTANCIA
ANALISIS MATEMATICO I
1
JESÚS FERNÁNDEZ NOVOA
ANÁLISIS MATEMÁTICO I
Unidad Didáctica /1
Universidad Nacional de Educación a Distancia
UNIDADES DIDÁCTICAS (0107121UD01A04) 
ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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Cuarta edición: julio de 1991
Undécima reimpresión: diciembre de 2009
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ANALISIS MATEMATICO I i/i
TEMA I
Los números naturales
Esquema/ resumen
1.1. Axiomas de Peano.
1.2. Suma de números naturales.
1.3. Producto de números naturales.
1.4. Potenciación de números naturales.
1.5. Ordenación de los números naturales.
3
ANALISIS MATEMATICO I 1/3
Los números naturales
1,2, 3,4, 5,...
son los números de contar. En este tema vamos a hacer un estudio formalizado del con­
junto M de dichos números, de las dos leyes de composición, suma y producto de números 
naturales y de la relación de orden definida sobre N.
Todo esto es conocido, al menos intuitivamente, desde la enseñanza general básica. 
Se sabe cuáles son los números naturales, cómo se suman y se multiplican y también cuándo 
un número es mayor o menor que otro. Lo que se va a hacer aquí es fundamentar todas 
estas cuestiones.
El método que seguiremos para estudiar los números naturales es un método axiomá­
tico. Los axiomas que definen el conjunto N de los números naturales son los conocidos 
como axiomas de Peano (1.1).
Se observa en primer lugar que todo número natural tiene un siguiente. Más aún, si dos 
números naturales son distintos, sus respectivos siguientes son también distintos. Esto se 
traduce formalmente diciendo que existe una aplicación de N en N (la aplicación que a cada 
número natural hace corresponder su siguiente) y que esta aplicación es inyectiva.
Sin embargo, la aplicación “siguiente de” no es suprayectiva: El número natural 1 no 
es el siguiente de ningún otro. Además, el número 1 es el único que no tiene antecesor.
Otra propiedad característica de los números naturales es el principio de inducción, 
que se puede enunciar de la siguiente forma: Sí un subconjunto de números naturales con­
tiene al número 1 y, siempre que contenga un número natural, contiene también al siguien­
te, entonces dicho subconjunto es el conjunto de todos los números naturales.
Otra forma equivalente y tal vez más intuitiva de enunciar el principio de inducción es 
la siguiente: Si una propiedad referente a números naturales se verifica para el número 1 y, 
siempre que se verifique para un número natural, se verifica también para el siguiente, en­
tonces esa propiedad se verifica para cualquier número natural.
Un ejemplo sencillo puede contribuir a clarificar el principio de inducción: Supongamos 
5
\!4 ANALISIS MATEMATICO I
que tenemos una fila indefinida de soldaditos de plomo. Empujando al primero podremos 
hacer que todos caigan con tal de que el primero caiga al ser empujado y, siempre que caiga 
uno cualquiera de ellos, automáticamente empuje y haga caer al siguiente.
Uno de los tipos de definiciones frecuentes en Matemáticas es el de las definiciones por 
recurrencia. Estas definiciones sirven para introducir conceptos en los que intervienen núme­
ros naturales y utilizan para ello el principio de inducción. Así se definen, por ejemplo, la 
suma y el producto de números naturales (1.2 y 1.3).
Las propiedades de la suma (asociativa, conmutativa y cancelativa) y las del producto 
(asociativo, conmutativo, distributivo respecto de la suma y cancelativo) de números natu­
rales se demuestran por inducción (1.2 y 1.3).
En el párrafo 1.4 se estudia la potenciación de números naturales.
Finalmente, se define la ordenación habitual de los números naturales (1.5). Esta orde­
nación es compatible con la suma y con el producto y hace de N un conjunto bien orde­
nado.
Observaciones sobre el tema:
a) Puede resultar conveniente, en una primera lectura, limitarse a las definiciones y a 
los enunciados de las proposiciones, dejando las demostraciones de las mismas hasta 
que se hayan realizado los ejercicios de autocomprobación. Estos ejercicios contri­
buirán seguramente a hacer comprensible el mecanismo de la inducción. Después 
pueden leerse las demostraciones, que no son sino otros ejemplos de aplicación, algo 
más sofisticados quizás, del principio de inducción.
b) Algunos textos incluyen el cero entre los números naturales. Esto no supone ningún 
cambio esencial en el desarrollo. Por ejemplo, los axiomas de Peano se escribirán 
igual que como nosotros hemos hecho pero cambiando 1 por 0 en los axiomas se­
gundo y tercero.
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ANALISIS MATEMATICO I 1/5
1.1. AXIOMAS DE PEANO
Un sistema de números naturales es un par formado por un conjunto N y una aplica­
ción s: M -* N que verifican las siguientes propiedades:
1. s es una aplicación inyectiva.
2. Existe un único elemento 1 G N tal que s (n) 1 para todo n G N.
3. Sz un subconjunto U de N verifica
a) 1 6 U y
b) n G U implica s{n) G U,
entonces U = N.
Estas tres propiedades se conocen con el nombre de axiomas de Peana. La aplicación 5 
es la que a cada número natural hace corresponder su siguiente. Así, con la notación ha­
bitual,
s(l) = 2, 5(2) = 3. 5(3) —4,...
El axioma 3 se llama principio de inducción. Otra forma equivalente de enunciarlo es 
la siguiente:
Si una propiedad P referente a números naturales se verifica para el número 1 y, siempre 
que se verifique para un n G N, se verifica también para su siguiente s(n), entonces la pro­
piedad P se verifica para todo número natural.
1.2. SUMA DE NUMEROS NATURALES
La suma m + n de dos números naturales m y n se define por recurrencia poniendo
m + 1 — 5 (m) y m + s (n) — s (m + n).
7
1/6 ANALISIS MATEMATICO I
Por el principio de inducción, cualquiera que sea el número natural m, la suma m 4- n 
está definida para todo n G N. La primera fórmula de la definición da la suma m + 1 y la 
segunda nos permite construir la suma m 4- (n + 1) = m 4- s (n) una vez conocida la suma 
m + n:
m + 2 = m 4- 5 (1) = s (m 4- 1), 
m 4- 3 — m 4- 5 (2) = s (m + 2),
m + (n + 1) — m + s (n) = s(m + ri).
Proposición: La suma de números naturales es una ley de composición interna sobre N.
Dono si ración: Tenemos que probar que la suma es una aplicación de N xN en N, es 
decir, que hace corresponder a cada par (m, n) de números naturales un único número 
natural que es el que designamos porm 4- n.
Como hemos dicho antes, del principio de inducción se deduce que, cualquiera que 
sea el número natural m, la suma m + n está definida para todo n G N. En efecto: si n = 1, 
la suma m + 1 está definida y es, por definición, igual a s (m); supuesto definida m + n tam­
bién esta definida m 4- s(n) pues, por definición, m 4- s(n) — s (m 4- n). Por consiguiente, 
la suma m 4- n está definida para cualquier n G ÍN y como m era un número natural arbi­
trario, la suma m 4- n está definida para todo par (m, n) de números naturales.
Para probar la unicidad de la suma bastará ver que si m = p y n — q entonces
m 4- n = p 4- q. Por inducción sobre n probaremos en primer lugar que si m = p entonces
m + n =■ p 4- n:
Si m — p, también 5 (m) = s(p) por ser s una aplicación de IN en N, y como por defini­
ción es m 4- 1 — s (m) y p 4- 1 = s (p), será m 4- 1 — p 4- 1. Por tanto,
m — p implicam 4- 1 = p 4- I
y Ja propiedad se cumple para n — 1.
Supongámosla cierta para n, es decir, supongamos que
m — p implica m 4- n = p 4- n.
Entonces también
m — p implica m 4- 5 (w) = p 4- s (n)
puesto que, por definición, m + s(n) = s(m + n) y p + s (n) = s (p + n) y por la hipótesis 
de inducción y ser s una aplicación de N en N, s (m + n) = s(p 4- n).
Asi pues, efectivamente, cualesquiera quei seMflos números naturales m, n y p,
m — p implica m 4- n = p 4- n.
Análogamente se prueba que también
m — p implica n 4- m — n 4- p.
8
ANALISIS MATEMATICO I 1/7
Ahora es ya fácil probar que
m — p y n — q implican m 4- n = p 4- q.
Basta tener en cuenta que
m = p implica m 4- n — p + n
y que
n = q implica p 4- n = p + q.
Proposición: La suma de números naturales es una ley de composición asociativa, 
conmutativa y cancelativa, es decir, cualesquiera que sean los números naturales m, n y p, 
se verifican las siguientes propiedades:
1. Asociativa: (m 4- n) + p = m 4- (n + p).
2. Conmutativa: m + n = n + m.
3. Cancelativa: m + p — n + p implica m — n.
Demostración:
1. Procederemos por inducción sobre p \ Sean m y n dos números naturales arbitrarios. 
La propiedad es cierta para p — 1 pues
(m + n) 4- 1 — s(m + n) = m 4- $(«) = m 4* (n 4- 1).
Supuesta cierta para p, es decir, supuesto que
(m 4- n) 4- p = (m + n) + p,
también es cierta para s(p) pues, por definición de suma,
(m + n) 4- s(p) — 4- h) 4- p]
y por la hipótesis de inducción,
ó [(w + rí) 4- p] = .s[w 4- (n 4- p)].
Pero, por definición de suma,
4- (n 4-p)] = m 4- s(n + p) = m 4- (n 4- s(p))_
Por consiguiente, la propiedad es cierta para todo p €= N.
2. Se prueba por inducción sobre n\ Si m es un número natural arbitrario, se tiene 
«4 1= s{my y para demostrar que m 4- 1 = 1 4- m, bastará probar que s(m) = 1 4- m. 
Probaremos esto por inducción sobre m. Para m = 1 es cierto pues sfl) = 1 4- 1, y si es 
cierto para m, es decir, si s(m) = 1 4- my se tiene
s[5(m)] — ó'(1 4- m) = 1 4- s(m),
9
1/8 ANALISIS MATEMATICO I
luego también es válido para s(m) y, por tanto, para todo número natural. Así pues,
m -4- 1 = 1 4- m
y la propiedad conmutativa es cierta para n — 1.
Supongámosla cierta para es decir, supongamos que
m + « — n + m.
Entonces, por definición de suma,
m 4- s(n) — s(m + n)
y por la hipótesis de inducción,
s(m + n) = s(n 4- m)
y teniendo en cuenta de nuevo la definición de suma y la propiedad asociativa de la misma, 
podemos poner
s(n + m) = n 4- s(m) — n 4- (1 + m) ~ (n + 1) 4- m — s(n) 4- m.
Por consiguiente,
m 4- s(n) — s(n) 4- m,
lo que termina la demostración,
3. Procederemos por inducción sobre p: Para p = 1 se cumple pues si m 4- 1 — n 4- 1 se 
tiene s(m) -- s(n) y como 5 es una aplicación inyectiva, m = n.
Supongámosla cierta para p, es decir, supongamos que la condición m 4- p = n 4- p im­
plica m = n. Entonces, si m 4- s(p) — n 4- se tiene s(m 4- p) — s(n 4- p) y como 5 es 
inyectiva, m 4- p = n 4* p que, por la hipótesis de inducción, implica m = n.
1.3. PRODUCTO DE NUMEROS NATURALES
El producto de dos números naturales m y n lo designaremos por m ■ n ó por mny se 
define por recurrencia poniendo
m ' 1 = m y m ’ s(n) = mn + m.
Proposición: El producto de números naturales es una ley de composición interna 
sobre N.
Demostración: Se procede de manera análoga a como hemos hecho para la suma.
Proposición: El producto de números naturales es una ley de composición distributiva 
respecto de la suma, asociativa, conmutativa y cancelativa, es decir, cualesquiera que sean 
los números naturales m, n y p, se verifican las siguientes propiedades:
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ANALISIS MATEMATICO I 1/9
1. Distributiva: m(n + p) = mn + np y (m 4- n)p =- mp 4- np.
2. Asociativa: (mn)p — m (np).
3. Conmutativa: mn ~ nm.
4. Cancelativa:
Demostración:
mn = mp implica n — p.
1. Ambas igualdades se prueban por inducción sobre p.
2. Se prueba por inducción sobre p.
3. Se prueba por inducción sobre n. En primer lugar se prueba para n — 1 demostran­
do por inducción sobre m que m ■ 1 — 1 • m.
4. Procederemos por inducción sobre p y así, probaremos en primer lugar que
mn = m ’ 1 implica n = 1.
Desde luego, esto es cierto para m — 1 porque como el producto es conmutativo, de 1 • n — 
= 1-1 resulta n • 1 — 1’1 de donde, por definición de producto, se deduce n — 1. Para 
ver que también es cierto cuando m 1 razonaremos por reducción al absurdo: Si fuese 
n ¥= 1, existirían dos números naturales q y r tales que s(q) = m y s(r) = n y sería
mn — m ' s(r) = mr + m,
y de mn — m ’ 1 se deduciría mr + m — m, o lo que es igual,
m r + (1 + q) = 1 + q,
y como la suma es asociativa,
(mr + 1) + q = 1 4- q.
Aplicando ahora la propiedad cancelativa de la suma resultamr + 1 — 1, es decir, s(mr) — 1, 
lo que contradice el segundo axioma de Peano.
Por consiguiente, la propiedad cancelativa es cierta para p = 1 y cualesquiera que sean 
los otros dos números naturales.
Supongámosla cierta para p cualesquiera que sean los otros dos números naturales y sea
mn — m ■ s(p).
Entonces n ¥= 1 porque si fuese n = 1 sería m 's(p) = m ' 1 y, por lo demostrado antes, 
s(p) = 1, lo cual es imposible. Así pues, n =£ 1 y existirá por tanto un r E N tal que s(r) - n. 
Entonces, de mn — m ' s(p) se deduce
m ■ s(r) = m ’ s(p),
es decir,
mr + m = mp 4- m.
De aquí, por la propiedad cancelativa de la suma, resulta mr = mp y por la hipótesis de in­
ducción esto implica r — p, luego s(r) = s(p), o sea n = s(p).
11
I / 1fl ANALISIS MATEMATICO I
1.4. POTENCIACION DE NUMEROS NATURALES
Dados dos números naturales m y n, la potencia mn se define como el producto 
m ' m • ■ • m de n factores iguales a m. Esta definición se puede expresar en forma recurrente 
poniendo
m1 — m y — mn * m.
Proposición: Cualesquiera que sean los números naturales m, n y p se verifican las 
siguientes propiedades:
1. mtl ' mp — mn + p .
2. (mn )p = mnp.
3. mp ' np — (mn}p .
Demostración: Todas ellas se prueban por inducción sobre p. Veamos, por ejemplo, 
la demostración de la primera:
Se verifica para p = 1 pues
mn ‘ m1 — mn ■ m ~ ms^ = mn + 1.
Supongamos que se verifica para p. Entonces
mn ' mp — mn +p
y como el producto es asociativo,
m” ‘ ms^ = mn ■ (mp ■ m) = (mn ' mp) * m — mn +p • m = +p^ = mn + SP-,
luego se verifica para s(p).
1.5. ORDENACION DE LOS NUMEROS NATURALES
Dados dos números naturales m y n, se dice que m es menor que n r se escribe m < n 
cuando existe otro número natural p tal que m + p n.
También se dice que n es mayor que m y se escribe n > m.
La siguiente proposición se conoce con el nombre de propiedad de tricotomía:
Proposición: Para cada par de números naturales m y n se verifica una y sólo una de 
las relaciones
m <n, m = n, n <m.
Demostración: Procederemos por inducción sobre n.
No puede ser m < 1 pues entonces existiría un p C N tal que m + p = 1, lo cual es 
imposible porque si p — 1 sería s(m) — 1, y si p 1 serías (r) = p para algún r G N y la 
condición m + s(r) = 1 implicaría s(m + r) — 1. Así pues, se verifica una y sólo una de 
12
ANALISIS MATEMATICO I 1/11
las relaciones m — 1 ó m =# 1. Pero si m =# 1 existe q G. N tal que s (q) = m, es decir, 1 4- q = m 
y, por tanto, 1 < m. Por consiguiente, si n = 1 se verifica una y sólo una de las relaciones 
m = n, n < m.
Supongamos que la proposición es cierta para n y veamos que entonces también es 
cierta para s(m). Distinguiremos dos casos según que sea m = 1 ó m =# 1.
a) m = 1. Se verifica 1 < s(w) porque 1 4- n = s(n). Además, s(r?) ¥= 1 y no es s(n) < 1 
porque entonces existiría un r G N tal que s(rí) 4- r = 1 y, por tanto, s(n + r) — 1.
b) m #= 1. Existe q G N tal que s{q) = m y por la hipótesis de inducción se verifica una 
y sólo una de las relaciones
q <n, q — n, n <q
Sí q < n existe r G N tal que q 4- r = n, luego s(q 4- r) = s(n), es decir, s(q) 4- r = s(n), 
o lo que es igual, m 4- r = s(rí) y, por tanto, m <s(n).
Siq = n, también s(q) - sin), es decir, m = s(n).
Si n < q existe r G N tal que n + r — q, luego s(n 4- r) = s(q), es decir, s(n)4- r — s(q), o 
lo que es igual, s(rt) 4- r — m y, por tanto, s(n) < m.
Por consiguiente, en todo caso, se verifica una y sólo una de las relaciones.
m <s()í). m — s(n),
lo que termina la demostración.
Proposición: La relación < definida sobre N por
m ^n cuando m < h ó m = n
es una relación de orden compatible con la suma y con el producto, es decir, una relación 
de orden tal que, cualesquiera que sean los números naturales m, n y p,
m^n implica m + p ¿y n + p y mp < np.
Demostración:
Es reflexiva: m < m porque m — m.
Es antisimétrica: Si m < n y n < m, de la propiedad de tricotomía se deduce m — n.
Es transitiva: Si m < n y n <p entonces m^p.
Para probarla distinguiremos los cuatro casos que se pueden presentar:
a) m < n y n < p. Entonces existen dos números naturales q y r tales que m 4- q = n y 
n + r - p y, por tanto,
p = (m 4- q) 4- r = m 4- (q 4- r),
luego m <p.
b) m < n y n — p. Entonces existe q G N tal que
m 4- q — n = p,
13
1/12 ANALISIS MATEMATICO I
luego m <p.
c) m = n y n <p. Entonces existe q G N tal que
m+q = n + q — p,
luego m <p.
d) m = n y n — p. Entonces m — p.
Por consiguiente, en todo caso,
m < n y n < p implican m < p,
Sean ahora m y n dos números naturales tales que m < n y sea p otro número natural. 
Si m — n, entonces está claro que se verifican
m — p — n + p y mp — np.
Si m < n existe q G hl tal que m 4- q — n y se tiene
n+p = (m+q) + p = m + (q+p) = m + (p + q)-(m-l-p) + q
y
np = (m 4- q)p -mp 4- qp,
luego
m + p <n + p y mp < np
Por consiguiente, cualesquiera que sean los números naturales m, n y p,
m < n implica m 4- p < n 4- p y mp < np.
Proposición; El conjunto N con la relación < es un conjunto bien ordenado.
Demostración: Sea V un subconjunto de N que no posea mínimo. Probaremos que V = ó 
con lo cual quedará demostrado que todo subconjunto no vacío de N tiene mínimo, es 
decir, que N es un conjunto bien ordenado.
Sea
U — {n G N, para todo v G V} .
Entonces U Q V — ó pues si n G U A V sería n < v para todo v G V y además n G V, es decir, 
n sería el mínimo de V y hemos supuesto que V no tiene mínimo. Por otra parte, U — N 
pues, evidentemente, 1 G U y si n G U, será n < v para todo v G V puesto que V no tiene mí­
nimo; entonces, para cada v G V existe un x G N tal que n 4- x = v y como 1 < x para todo 
x G N, para cada v G V se tiene
fí4-l<«4-x = y,
luego s(n) = n 4- 1 G U. Así pues, efectivamente, í7=N,deí7AK—0se deduce N A V — 0 
y como V es un subconjunto de N, resulta que K = 0.
14
ANALISIS MATEMATICO I 1/13
Definición: Un semianillo es un conjunto A en el que están definidas dos leyes de com­
posición, una suma que es asociativa y conmutativa, y un producto que es asociativo y dis­
tributivo respecto de la suma.
Cuando además, el producto es conmutativo, el semianillo A se llama conmutativo.
Cuando A tiene elemento neutro para el producto, se dice que A es un semianillo con 
unidad.
Definición: Un semianillo ordenado es un semianillo A sobre el que está definida una 
relación de orden compatible con la suma y con el producto de A.
Las propiedades antes demostradas nos permiten enunciar la siguiente
Proposición: El conjunto N de los números naturales es un semianillo ordenado conmu­
tativo y con unidad.
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ANALISIS MATEMATICO I 1/15
EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION
En los siguientes ejercicios, demostrar cada enunciado por inducción.
1. 1 + 2 + 3 + ...+??—n (/? + l)/2.
2. 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2.
3. 1 + 5 + 9 + ... + (4« ~ 3) - n (2n - 1).
4. I2 + 22 + 32 + ... + n2 = n (n + 1) (2n + 1 )/6.
5. I3 + 23 + 33 + ...+¿73 - (1 + 2 + 3 + ... + rt)2 .
6. 1 + 2 + 22 + ... + 2”~ 1 - 2n - 1.
7. 2n > n.
8. 34tt + 9 es múltiplo de 10.
9. 9n + 1 — 8n + 55 es múltiplo de 64.
10. Todas las potencias del número 12890625 terminan en estas mismas ocho cifras.
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1/16 ANALISIS MATEMATICO I
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION
1. La igualdad se cumple para n = 1:
1 = 1-2/2,
Supongamos que se verifica para «, es decir, supongamos que
1 + 2 + 3 + ... + n — n(n + l)/2.
Entonces, sumando n + 1 a los dos miembros resulta
1 + 2 + 3 + ... + n + (n + 1) = n (n + 1 )/2 + (n + 1)
= (n + 1) (n/2 + 1)
-(« + l)(n + 2)/2
es decir, la igualdad se verifica también para n + 1.
2. La igualdad se cumple evidentemente para n = 1. Supongámosla cierta para n, es decir, 
supongamos que
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2.
Entonces, sumando 2 (n + 1) — 1 — 2n + 1 a los dos miembros resulta
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2n + 1) = n2 + (2n + 1)= (n + l)2
y la igualdad es cierta para n + 1.
18
ANALISIS MATEMATICO I 1/17
3. La igualdad se cumple evidentemente para n = 1. Supongámosla cierta para n. Enton­
ces,
1 4- 5 + 9 + ... 4- (4n — 3) — n (2n — 1)
y sumando 4 (n -t- 1) — 3 = 4n + 1 a los dos miembros resulta
1 4- 5 4- 9 4- ... 4- (4n — 3) 4- (4n 4- 1) = n (2n — 1) 4- 4n 4- 1
= n (2n 4- 1) 4- 2n 4- 1
= (« 4- 1) (2n 4- 1)
y la igualdad es cierta para «4-1.
4. La igualdad se cumple evidentemente para n ~ 1. Supongámosla cierta para n. Enton­
ces,
1 2 4- 22 4-32 4- ... 4- «2 = n(n 4- 1) (2« 4- 1 )/6
y sumando («4- l)2 a los dos miembros resulta
l2 4- 22 4- 3 2 4- ... 4- «2 4- (« + 1 )2 = «(«4- 1) (2« 4- l)/6 4- (n 4- 1 )2
— (« 4- 1) [» (2« 4-l)4-6(n4-l )]/6
— (n 4- 1) [« (2n 4- 3) 4- 4« 4- 6]/6
= (tí 4- 1) [n (2« 4- 3) 4- 2 (2« 4- 3)]/6
= («+ 1) (n 4- 2) (2« 4- 3)/6
luego la igualdad es cierta para n 4- 1.
5. La igualdad se cumple evidentemente para n = 1. Supongámosla cierta paraw. Enton­
ces,
13 + 23 4- 3 3 4- ... 4- n3 = (1 4-24-3 4-. .. 4- «)2
y sumando (« 4- i)3 a los dos miembros resulta
l3 4- 23 4- 33 4- ... 4- «3 4- (« 4- l)3 (1 4- 2 4- 3 4- ... 4- n)2 4- (n 4- 1) (« 4- l)2
= (1 4- 2 4- 3 4- ... 4- «)2 4- n (n 4- l)2 4- (« 4- l)2
Pero, según hemos visto en el ejercicio 1,
n (n 4- 1) = 2 (1 4-24-3 4-... 4-«)
luego
n(n 4- l)2 —2(1 4-24-3 4- ... 4- «) (« 4- 1)
19
1/18 ANALISIS MATEMATICO I
y, por tanto,
l3 4-23 + 33 + ... + H3 +(«+ l)3 = (1 4-2 4- 3 4-... 4-«)2 4-
4-2(1 + 2 + 3 + + n) (w + 1) 4- (w 4- 1 )2
= [1 4- 2 4- 3 4- ... 4- n 4- (n 4- l)]2
lo que prueba que la igualdad es cierta para n 4- 1.
6. La igualdad se c.umple evidentemente para n = 1. Supongámosla cierta para n. Enton­
ces,
1 + 2 4- 22 + ... + 2""1 - 2" - 1
y sumando 2n a los dos miembros resulta
1 + 2 4- 22 + ... + 2"’1 4- 2" = 2" 4- 2" - 1
= 2 • 2" - 1
= 2n + 1 - 1
luego la igualdad es cierta para n 4- 1.
7. Como 2 > 1, el enunciado es cierto para n = 1. Supongámoslo cierto para n. Entonces, 
2” > n y multiplicando por 2 se deduce que 2rt +1 > 2n. Pero, cualquiera que sea el 
número natural n se verifica n > 1 luego 2n > n 4- 1 y, por tanto, 2" + > n 4- 1 y el 
enunciado es cierto para n 4- 1.
1
8. El enunciado es cierto para n = 1 pues
34 4- 9 = 90.
Supongámoslo cierto para n. Entonces
34n 4-9 es múltiplo de 10
y multiplicando por 34 resulta que
34n+4 -p 34 - 9 es múltiplo de 10.
Ahora bien,
34h+4 _j_ 34 . 9 = 34/i+4 + 729 = 34(72 + 1) + 9 + 720
y como 720 es múltiplo de 10, también
34(n + i) 9 es múitiplo de 10
y el enunciado es cierto para n + 1.
20
ANALISIS MATEMATICO I 1/ 19
9. El enunciado es cierto para n = 1 pues
92 - 8 + 55 = 128 = 64 • 2.
Supongámoslo cierto para n. Entonces
9« + i _ + 55 es múltiplo de 64
y multiplicando por 9 resulta que
9<n + i)+i —72^ + 495 es múltiplo de 64.
Ahora bien,
—72« 4- 495 = — 8n — 8 — 64/7 + 503
= —8 (« + 1) — 64/7 + 55 + 448
= -8(w + 1) + 55 — 64/7 + 64-7
y como —64/7 + 64 • 7 es múltiplo de 64, se deduce que
9^ + 1^+1—8(/?+l) + 55 es múltiplo de 64
luego el enunciado se cumple para n + 1.
10. Sea x = 12890625. Tenemos que probar que, para todo número natural /?, el número 
xn termina en estas mismas ocho cifras. Esto es cierto evidentemente para n = 1. Su­
pongámoslo cierto para n, es decir, supongamos que el número xn termina en 12890625:
xn = ... 12890625.
Para ver que, entonces, el número xn +1 termina también en 12890625, efectuamos la 
multiplicación de xn = ... 12890625 porx— 12890625;
...12890625
12890625...64453125
...25781250
...77343750
...00000000
...16015625
...03125000
...25781250
..■12890625
.......................... 12890625
21
ANALISIS MATEMATICO I n/i
TEMA II
Los números enteros
Esquema/ resumen
2.1. Los números enteros.
2.2. El grupo aditivo de los números enteros.
2.3. El anillo de los números enteros.
2.4. Ordenación de los números enteros.
23
ANALISIS MATEMATICO I 11/3
Dados dos números naturales a y b, no siempre existe otro número natural x tal que 
a + x = b. Con otras palabras, en el conjunto N de los números naturales la ecuación a + x = b 
no siempre tiene solución. Unicamente la tiene cuando a < b.
I
En este tema vamos a construir un conjunto 7L en el que esta ecuación tenga siempre so­
lución. Además, el conjunto 1 vaa contener en un cierto sentido al conjunto N. Para hablar 
con más precisión, un subconjunto 1L+ de 1L es isomorfo al conjunto N de los números natu­
rales, es decir, existe una aplicación biyectiva de N sobre ~L+ que conserva la suma, el produc­
to y el orden. En matemáticas, un Ísomorfismo entre dos conjuntos los identifica. Sus elemen­
tos pueden ser de distinta naturaleza pero se comportan de la misma manera respecto de 
las operaciones y relaciones conservadas por el Ísomorfismo en cuestión. Los elementos de 
7L+, que son los enteros positivos, resultan así identificados con los números naturales. Unos 
y otros se comportan de la misma forma respecto de la suma, del producto y del orden.
Para la construcción de 7L se sigue un proceso típico en matemáticas. Partiendo del con­
junto ya conocido de los números naturales, se define una cierta relación de equivalencia 
sobre el conjunto producto N x IM. El conjunto cociente M x N/ es el conjunto Z Je 
los números enteros.
La suma y el producto de números enteros se definen a través de sus representantes. Esto 
exige comprobar que la suma y el producto de dos números enteros no dependen de los re­
presentantes elegidos de los enteros en cuestión. Lo mismo puede decirse de la ordenación 
de los números enteros.
25
ANALISIS MATEMATICO I 11/5
2.1. LOS NUMEROS ENTEROS
Proposición: Sea N el conjunto de los números naturales. La relación .*> definida en el 
conjunto N x N por
(a, b)y? (c, tZ) cuando a + d = b + c
es una relación de equivalencia.
Demostración:
^es reflexiva: (a, b) .4 {a, b) pues a + b — b + a por la propiedad conmutativa de la 
suma de números naturales.
> es simétrica: Si (a, b) (c, d) esa + d — b + c y, por la propiedad conmutativa de la 
suma en N, c + b = d + a, luego (c, d)*(a, b).
es transitiva: Si (a, b) (c, d) y (c, d) .*(e, f) se verifican a + d = b + cyc+f-d + e, 
luego
(a + d) + (c + /) — (ú + c) + (cZ + e)
y, por las propiedades asociativa y conmutativa de la suma en N,
(a + f) 4- (c 4 dj = (b 4 e) + (c 4- d).
Teniendo en cuenta ahora la propiedad cancelativa de la suma en N resulta
a+f=b + e
y, por tanto,
(a, b)^ (etf).
27
11/6 ANALISIS MATEMATICO I
La relación ¿ anterior determina una partición del conjunto N x N en clases de equiva­
lencia. Cada una de estas clases se llama número entero. Un número entero es, pues, un ele­
mento del conjunto cociente 1L — N x N/ ¿ .
En lo que sigue, designaremos los números enteros por letras griegas a, 0, y, etc. Algunas 
veces escribiremos a = [(aj, a2 )] para indicar que el par de números naturales (aí, a2) es un 
representante del número entero a.
2.2. EL GRUPO ADITIVO DE LOS NUMEROS ENTEROS
2.2.1. Definición: Un grupo es un conjunto G en el que está definida una ley de com­
posición * que tiene las siguientes propiedades:
1. Asociativa: Cualesquiera que sean los elementos a, b y c de G se verifica
(a * b) * c = a * (b * c).
2. Existencia de neutro: Existe un elemento eG-G tal que
a*e=e*a=a
para todo a^G.
3. Existencia de simétricos: Para cada aEC existe un a G.G tal que
a * a' — a * a — e.
Si además, la ley de composición * es conmutativa, es decir, si
a *b = b *a
cualesquiera que sean los elementos a y b de G, el grupo G se llama conmutativo o abeliano.
Cuando la ley * es la suma, el grupo G se dice aditivo. En este caso, el elemento neutro 
suele designarse con el símbolo 0 y el simétrico de un a £ G se llama opuesto de a y se desig­
na por —a. Cuando la ley * es el producto, el grupo G se dice multiplicativo. En este caso, el 
elemento neutro suele designarse con el símbolo 1 y el simétrico de un a £ G se llama inver­
so de a y se designa pora-1 o por 1/a.
Proposición: En un grupo G el elemento neutro es único y el simétrico de cada elemento 
es también único.
Demostración: Probaremos en primer lugar la unicidad del elemento neutro. Si ex y e2 
fuesen dos elementos neutros para la ley * de G se verificaría C} * e2 = e2 por ser et neutro, 
y también ex * e2 = eY por ser e2 neutro. Por tanto, er — e2.
Veamos ahora la unicidad del simétrico de un elemento arbitrario a de G. Si a’ y a" fue­
sen simétricos de a se verificarían
a * a = a * a — e y a * a1' — a" * a = e
28
ANALISIS MATEMATICO I H/7
y como * es asociativa,
a = a * e — a * {a * a ) = (a * a) * a — e * a = a .
Proposición: S7 a, b y c son elementos de un grupo G tales que a*b=a*c(ob*a — 
= c * a), entonces b — c. (Propiedad cancelativa).
Demostración: Sea e el elemento neutro de G y sea a el simétrico de a. es a * b = a * c, 
será
a * (¿z * b) = a * (a * c)
y como * es asociativa,
(a’ * a) * b = (q * a) * c,
es decir,
e * b = e * c
luego
b = c.
De manera análoga se prueba que si b * a — c * a, entonces b = c. Basta componer por 
la derecha con el simétrico de a.
Proposición: En un grupo G cada una de las ecuaciones a*x=byx*a=b tiene 
solución única.
Demostración: Sea e el elemento neutro de G y sea a' el simétrico de a. La ecuación 
a * x = b da
a * (a * x) = a * b
y por la propiedad asociativa
(a’ * a) * x = ¿z' * b,
es decir,
e * x = a * b
y, por tanto,
x = a * b.
Hemos obtenido así una solución de la ecuación a * x = b. Además, esta solución es única 
pues si Xj y x2 fuesen soluciones de la ecuación, sería a * Xi = a * x2 y, por la propiedad 
cancelativa, Xj — x2.
Análogamente se prueba que la solución de la ecuación x * a — b esx = b * a .
29
11/8 ANALISIS MATEMATICO I
2.2.2. Definición: Sean a y (3 dos números enteros y sean (ax, a2) y (blt b2) sendos 
representantes. Se llama suma de a y (3 y se designa por a + (3 al número entero que tiene 
por representante el par (aí + bíra2 4- b2):
ot 4-£ = [Oj + bx, a2 + ¿>2)].
Esta definición es consistente. Con otras palabras, la suma de dos números enteros a y 
0 no depende de los representantes elegidos para oí y (3. Para verlo, hemos de probar que si 
(¿zí. a2) y (óí, b2) son otros representantes de a y (3 respectivamente, entonces (¿zj 4- b{, 
a2 + b2) es otro representante de a 4- (3, es decir, que si
(ax, a2) ^(ax, a2) y (blf b2) *(b\, b2), 
entonces
(qx ybx,a2 + b2).^{ax '3-bXta2 + b2).
En efecto: Por hipótesis se verifican
4- a2 = a2 + ax y bx -f- b2 — b2 4* bx,
luego
(ax 4- a2 ) 4- (bx 4~ b2 ) = (q2 4- ax) + (b2 4- bx)
y por las propiedades asociativa y conmutativa de la suma en N, se puede escribir
■ (úq 4- bx) 4- (a2 4- b2 ) — (a2 4- b2 ) 4- (¿Zj 4- bx),
como queríamos demostrar.
Proposición: Con la suma antes definida el conjunto fL de los números enteros es un gru­
po abeliano.
Demostración:
La suma es asociativa. En efecto: Sean a. p1 y 7 tres números enteros y sean (alr a2), 
(blf b2) y (cx, c2) representantes de a, (3 y 7 respectivamente. Entonces un representante 
de (a 4- /3) 4- 7 es
((¿z 1 4- bx) 4- cx, (a2 4- b2) 4- c2)
y un representante de a 4- (¡3 4- 7),
(¿Zi 4- (b¡ + c1),a2 4- (b2 4- c2 )).
Por la propiedad asociativa de la suma en N estos dos pares son iguales, luego los números 
enteros (a 4- 0) 4- 7 y a 4- (/3 4- 7) son iguales por tener un mismo representante.
La suma es conmutativa. En efecto: Sean a y (3 dos números enteros y sean (alr a2) y 
(bít b2) sendos representantes. Un representante de u 4-j3 es (ai 4- bx, a2 4- b2) y un repre­
sentante de j3 4- oí es (bx 4- <21, b2 4- a2 ). Por lapropiedad conmutativa de la suma en N estos 
30
ANALISIS MATEMATICO I 11/9
dos pares son iguales y los enteros a 4- (3 y (3 4- a son iguales por tener un mismo representan­
te.
El elemento neutro es el entero 0 — [(x, x)] donde x es un número natural arbitrario. 
(Obsérvese que, cualesquiera que sean los números naturales x e y, los pares (x, x) e (y, y) 
son equivalentes y son, por tanto, representantes de un mismo número entero: el que hemos 
designado por el símbolo 0). En efecto: Sea a = [(tf¡, a2)] un número entero arbitrario. 
Un representante de a 4 0 es (¿Zi 4 x, a2 + x). Pero
(uj -y x, a2 ■yx).^(a1,a2)
y, por tanto,
a 4- 0 — a.
El opuesto de un entero a = [(«i , «2)] es = [(^2 > ai)] Pues el Par (#i + a2> ai + a2) 
es un representante del número entero a 4 (—a) y también lo es del número entero 0, luego
a 4 (™a) = 0.
2.3. EL ANILLO DE LOS NUMEROS ENTEROS
2.3.1. Definición: Un anillo es un conjunto A en el que están definidas dos leyes de 
composición, una suma respecto de la cual A es un grupo abeliano, y un producto que es 
asociativo y distributivo respecto de la suma.
Cuando además, el producto es conmutativo, el anillo A se llama conmutativo.
Cuando A tiene elemento neutro para el producto, se dice que A es un anillo con unidad.
Como todo anillo es un grupo aditivo, en un anillo A se verifican todas las propiedades 
válidas para grupos. La siguiente proposición establece otras propiedades válidas en cualquier 
anillo.
Proposición: En todo anillo A se verifican las siguientes propiedades:
1. a • 0 — 0 • a — 0 para todo a G A. (0 es el elemento neutro para la suma en A).
2. (—a) • b = a • (—ó) = — ab cualesquiera que sean los elementos ay b de A.
3. (—a) ‘ (—b) = ab cualesquiera que sean los elementos ay b de A.
Demostración:
1. Sea b un elemento cualquiera de A. Entonces b 4 0 = b y a (b 4 0) = ab y, por la 
propiedad distributiva del producto respecto de la suma, resulta ab 4 a ’ 0 = ab, luego 
a • 0 = 0. Análogamente, partiendo de (b + 0) a — ba, se deduce que 0 • a = 0.
2. Basta tener en cuenta que
(-a) b -y ab = [(- a) + a]b = 0'b = 0
31
11/10 ANALISIS MATEMATICO I
y que
a (—/>) + ab = a [(—6) + d] - a ■ 0 = 0.
3. Aplicando dos veces la propiedad anterior resulta
(-a) (—¿>) = - [a (—¿>)] = - {-ab) - ab
ya que el opuesto del opuesto de un elemento es igual a dicho elemento.
2.3.2. Definición: Sean a y (3 dos números enteros y sean (tíq, a2)y (¿>i, b2) sendos re­
presentantes. Se llama producto de a y (3 y se designa por a $al número entero que tiene por 
representante el par {a^b^ + a2b2>a1b2 + a2bl):
aP-Kflibi ya2b2>axb2 + a2b¡)].
De manera análoga a como se ha hecho con la suma, se prueba que esta definición es 
consistente, es decir, que el producto a ¡3 no depende de los representantes elegidos para a 
y3-
Proposición: El conjunto 1L de los números enteros es un anillo conmutativo con uni­
dad.
Demostración: Ya sabemos que 7L es un grupo aditivo abeliano. Habrá que probar que 
el producto de números enteros tiene las siguientes propiedades:
1. Asociativa: Cualesquiera que sean los números enteros c¿, j3 y 7 se verifica
(a 0) 7 = a 7).
2. Conmutativa: Cualesquiera que sean los números enteros ay (3 se verifica
a/3 — (3 a.
3. Distributiva respecto de la suma: Cualesquiera que sean los números enteros a, (3 y 
7 se verifica
a (0 4- 7) - a [3 + oí 7.
4. Existencia de neutro: Existe un entero 1 tal que
a • 1 -= 1 ■ a — a
para todo aGl.
Las propiedades 1, 2 y 3 se prueban de manera análoga a como hemos hecho con las pro­
piedades asociativa y conmutativa de la suma: Se toman representantes de a, (3 y 7 y se de­
muestra, en cada caso, que los enteros situados a un lado y otro del signo igual tienen el 
mismo representante.
El elemento neutro para el producto es 1 = [(x + 1, x)] donde x es un número natural 
arbitrario. (Cualesquiera que sean los números naturales x e y, los pares (x + 1, x) e (y + 1, y) 
32
ANALISIS MATEMATICO I 11/11
son equivalentes y son, por tanto, representantes de un mismo número entero). En efecto, si 
oí — [{ai, a2)] es un número entero arbitrario, un representante de a - 1 es el par
((¿zj + a2 ) x + at, (ax + a2 ) x + a2 ).
Pero este par es equivalente con a2 ) y, por tanto,
a • 1 = a.
2.4. ORDENACION DE LOS NUMEROS ENTEROS
2.4.1. Definición: Un anillo ordenado es un anillo A que contiene un subconjunto A + 
con las siguientes propiedades:
1. 0£A+.
2. Para cada a <= A se verifica una y sólo una de las tres relaciones
a^A+, a = 0, -aEA*.
3. Para todo par a, b de elementos de A* se verifican
a 4- b EA+ y abEA+.
Los elementos de A* se llaman elementos positivos del anillo A. En virtud de la segunda 
propiedad, si un elemento a del anillo A verifica a ^A + y ai=O, entonces — a G/l + ;en este 
caso, se dice que a es negativo.
En un anillo ordenado A se define la relación <. menor que, poniendo
a < b cuando b — a = b + (—a) EA+.
Obsérvese que, según esto, un a G A es positivo si y sólo si 0 < a y que a es negativo si y sólo 
si a < 0.
Se escribe a < b, a menor o igual que b, para denotar que o bien es a < b, o bien a = b. 
A veces se escribe a > b, a mayor que b, en lugar de b < a, y también a > b, a mayor o igual 
que b, en lugar de b < a.
Proposición: En un anillo ordenado A se verifican las siguientes propiedades:
1. a < b y b < c implican a <,c.
2. a < b implica a + c <ib + c para todo c G A.
3. a <b y c <d implican a + c < b A- d.
4. a <b y c> Q implican ac < be.
5. a <b y c implican ac > be.
6. a #= 0 implica a2 > 0.
33
11/12 ANALISIS MATEMATICO I
7. 1 > 0 (en el caso de que A tenga unidad).
Demostración:
1. Como b — a EA+yc-b€A+ también (b — á) + (e — b) £A+, es decir, c — a EA + 
y, por tanto, a < c.
2. Basta observar que
(b + c) — (¿z + c) — b — a^A+.
3. Se tiene
(b + d) - (a + c) = (b — a) + {d — c)
y como b — a EE y d — c^A+, también (b + d) — (¿z + c) GA +.
4. Como b — a £4 + y e £4 + también (b — a) c G A+, es decir, be — ac G,4 + y, por tan­
to, ac < be.
5. Como c £ A+ y c =#= 0 ha de ser — c G A+ y como también b — a E^A+ será (¿> — a) ■ 
• (—c) Gri+, es decir, ac — be G A+ y, por tanto, ac > be.
6. Si a 0 entonces a EA + o -a Gri+. En el primer caso, a2 = aa^A+. En el segundo,
a2 ■(-a)GA+.
7. Como 1 es el neutro para el producto, 1 = 1 • 1 = l2, y como 1 =£ 0, por la propie­
dad anterior resulta 1 > 0.
2.4.2. Definición: Se dice que un número entero a = [(ííj, a2)] es positivo cuando 
ai > 0-1 •
Fácilmente se prueba que esta definición no depende del representante elegido de oí.
Como el número natural es mayor que el número natural a2 si y sólo si existe un 
a G N tal que ax = a + a2, el número entero o — [(«i> ü2)J será positivo cuando y sólo 
cuando admita un representante de la forma (a 4- a2, a2). Ahora bien, como (a + a2> a2) 
.{a + 1,1), el entero a será positivo si y sólo si tiene un representante de la forma (a 4- 1, 1).
Proposición: El anillo 7L de los números enteros es un anillo ordenado.
Demostración: Sea 7L* el conjunto de los enteros positivos. Entonces 0 £ 1L+ pues 
0 — [(x, x)] donde x es un número natural arbitrario, y no es x > x.
Sea a = [(«!, a2)] un entero cualquiera. Por la propiedad de tricotomía de la ordena­
ción de los números naturales se verifica una y sólo una de las tres relaciones
¿Zj ¿z2, a j ~ a2, a j a2.
Si se verifica la primera de ellas, a G 7L+- Si se verifica la segunda, a - 0. Si se verifica la 
tercera, —a = [(¿z2, aY )] G 1L+-
34
ANALISIS MATEMATICO I 11/13
Finalmente, si oí y pertenecen a "2.+ existen números naturales a y b tales que a = 
= [(a + 1, 1)] y ¡8 = [(¿> + 1, 1)] y se tiene
oí 4- 0 = [(a + b + 2, 2)j = [(a + b + 1, 1 )] G Z+
y
a/3 = [(ab + £z + Z? + 2,íz + ó + 2)] = [(ab + 1, 1)] G ^_+.
2.4.3. Proposición: La aplicación f: N------- > ~IL+ definida por
/(«) = [(« +1,1)]
es un isomorfismo de semianillos ordenados, es decir, es una aplicación biyectiva que, para 
todo par de números naturales m y n, verifica las siguientes propiedades:
1. ffin + n} — ffin} + f(n}.
2. f(mn} = ffin} -f(n).3. m < n implica ffin} </(«).
Demostración: Todo elemento de ~1L+ es de la forma [(a + 1, 1)] donde a es un número 
natural y es imagen por f de este número natural a. Así pues, la aplicación /es suprayecti- 
va. Por otra parte, si m y n son dos números naturales distintos, los pares fin + 1, 1) y 
fii + 1, 1) no son equivalentes y los números enteros [fin + 1, 1)] y [(« + 1, 1)] son distin­
tos. Por tanto, m n implica ffin} f(n} y / es inyectiva.
Además,
ffin} + f(n} = [fin + 1, 1)] + [(« + 1, 1)] = [fin + n + 2, 2)]
- |(w + n + 1, 1)] = ffin + n)
y
/(m) - ffii) - [fin + 1, 1 )]•[(« + 1, 1)] = [finn + m + n + 2, m + n + 2)]
= [finn + 1,1)] = ffinn),
y si m < n,
f fin} = [fin + 1, 1)] <[(« + 1, !)]=/■(«),
lo que concluye la demostración.
Según esta proposición, a cada número natural le corresponde un único entero positivo 
y recíprocamente. Además, en esta correspondencia se conservan las operaciones y el orden. 
Los elementos de M y de X+ son de distinta naturaleza pero se comportan de la misma ma­
nera y pueden, por tanto, identificarse. Cada entero positivo [(a + 1, 1)] resulta así identifi­
cado con el número natural a del cual es imagen por el isomorfismo /. De esta forma se 
obtiene para los enteros positivos
35
11/14 ANALISIS MATEMATICO I
[(2, 1)] , [(3, 1)] , [(4, 1)] , [(5, 1)] , ..., [(« + 1, 1)] , ...
la notación clásica
1,2j 3, 4, ..., n, ...
Los enteros negativos son los opuestos de los positivos y, por ello, se designan habitualmente 
afectando de un signo menos a los enteros positivos:
— 1, —2, —3, -4,..., — n, ...
Finalmente, el símbolo 0 (cero) designa el elemento neutro para la suma en X.
36
ANALISIS MATEMATICO I 11/15
EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION
1. Demostrar la propiedad distributiva del producto de números enteros respecto de la 
suma.
2. Sean a y 0 dos números enteros tales que a 0 = 0. Probar que entonces a = 0 ó 0 — 0.
3. Se llama valor absoluto de un entero a y se denota por lal al número entero definido 
por
a si a > 0
¡al = 
—a si a < 0
Demostrar que se verifican las siguientes propiedades:
a) jal> 0 para todo a E "2. y ¡a! = 0 si y sólo si a = 0.
b) Ia 0| = |a| • |0| para todo par a, 0 de números enteros.
c) la 4- 01 < lal 4- ¡0l para todo par de números enteros.
4. Probar que, cualesquiera que sean los números enteros a y 0, se verifica
llal — l0ll< la — 0l.
5. Sean a y 0 dos números enteros arbitrarios. Probar que
max {a, 0} = - (a 4- 0 4- la - 0l) y min {a, 0} = y (a 4- 0 - la - 0l).
2 2
37
11/16 ANALISIS MATEMATICO I
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION
1. Hay que probar que, cualesquiera que sean los números enteros a, j3 y 7 se verifica
a(fi + y) = a/3 + ay.
Sean (alr a2), (blt ¿>2) y (Cj, c2) representantes de a, 0 y 7 respectivamente. Un repre­
sentante de a(0 + 7) es
(«i (¿1 + ) 4- a2 (b2 4- c2), íZj (b2 4- c2) + a2 (bt 4- )).
Un representante de a@ es (aib1 + a2b2, a1b2 4- a2bx) y un representante de ay es 
(a1cí + a2c2, aíc2 4- a2cx), luego el par
((#1 ¿1 4- a2 b2) 4- (í/j Cj 4- diC2), (¿z 1 b2 + a2bi) 4- (a ^c2 4- a2Ci))
es un representante dea (3 +a y. Por las propiedades de la suma y del producto de nú­
meros naturales se deduce que estos representantes de a(j3 4- 7) y de a 04-a 7 coinci­
den, y estos números enteros son iguales por tener un mismo representante.
2. Si fuesen los dos positivos o los dos negativos, su producto seria positivo. Si fuesen uno 
positivo y otro negativo, su producto sería negativo. Por tanto, uno de ellos al menos 
ha de ser cero.
3. a) Está claro que lal > 0 para todo a £ I y que lod = 0 si a ~ 0. Por otra parte, si
lai = 0 se tiene a = 0 ó —a = 0 y, por tanto, a = 0.
b) Si a = 0 o 0 = 0 la propiedad es evidente.
Sia>Oy0>O entonces a 0 > 0 y, por tanto,
|a0i = «0 = |a| I0L
38
ANALISIS MATEMATICO I 11/17
Sia>0y/3<0 entonces a (5 < 0 y, por tanto,
¡a /3| = -a 0 = a • (—/3) = ja| |/J|.
Sioí<0y¿3>0 entonces a |3 < 0 y, por tanto,
|a/3| = —a {3 = (—a) ■ 0 - |a¡ |0|.
Sia<0y/3<0 entonces a 0 > 0 y, por tanto,
l«|3| “ a 0 = (-a) • (-0) = ja| |0|.
c) Si a 4- 0 > 0 se tiene
la 4- 0l = a + 0 < lal 4- i0l,
y si a 4* 0 < 0,
la 4- 0l = —oí — 0 < lal 4- I0I.
(Obsérvese que para todo ft'Glse verifican a < lal y — a < la I.)
4. Según la propiedad c) del ejercicio anterior,
lal = i (a — 0) 4- 0l< la — 0l 4- l0l
luego
lal — 10| < la — 0l.
Análogamente, como
|0| = I (j3 — a) 4- al< l0 — al 4- lal = la — 0Í 4- lal,
resulta
|0| — lal < ¡a — 0l.
Ahora bien, por definición de valor absoluto, Ilal — I0II es igual a lal — I0l o bien a 
10| — lal y como estos dos números son menores o iguales que la — 0l,
lial — l0ll < la — 0I.
5. Probaremos que
max {a, 0} = i (a 4- 0 4- la — 0| ).
La otra igualdad se prueba de manera análoga.
Si a > 0 se tiene max {a, 0} — a y ¡a — 0l = a — ¡8, luego
39
II / 18 ANALISIS MATEMATICO I
i (ce + 0 + la-0l) = ~(a + 0 + a — 0) = a
y se verifica la igualdad.
Si a < 0 se tiene max {a, 0} — 0 y la — 0l — 0 — a, luego
| (a + 0 + ¡a - 0l ) = | (a + 0 + 0 - a) = 0
y también se verifica la igualdad.
40
ANALISIS MATEMATICO I ni /1
TEMA III
Los números racionales
Esquema/ resumen
3.1. Los números racionales.
3.2. El cuerpo de los números racionales.
3.3. Ordenación de los números racionales.
41
ANALISIS MATEMATICO I 111/3
Dados dos números enteros a y b, a =# 0, no siempre existe otro número entero x tal 
que ax = b. Con otras palabras, en el conjunto ~!L de los números enteros la ecuación 
ax — b no siempre tiene solución. Unicamente la tiene cuando a es divisor de b.
En este tema vamos a construir un conjunto (D, el de los números racionales, en el que 
la ecuación ax = b, a ¥= 0, siempre tendrá solución.
La construcción de (Q se realiza a partir de X en forma parecida a como se hizo la 
de X a partir de N. Si X* es el conjunto de los enteros no nulos, sobre el conjunto pro­
ducto 7L x X* se define una cierta relación de equivalencia j# . El conjunto cociente 
7L x X*/ es el conjunto (Q de los números racionales.
La suma y el producto de números racionales se definen a través de sus representantes. 
El orden en (D se define también de esta forma. El conjunto X de los números enteros 
resulta ser isomorfo con un subconjunto de GL
43
ANALISIS MATEMATICO I 111/5
3.1. LOS NUMEROS RACIONALES
Proposición: Sea H_ el conjunto de los números enteros y sea Hf* = 7L — {$} el 
conjunto de los enteros no nulos. La relación .se definida en el conjunto por
(a, b) (c, dj cuando ad — be
es una relación de equivalencia.
Demostración:
v es reflexiva: (¿z, Z?) (a, b) pues ab = ba por la propiedad conmutativa del pro­
ducto de números enteros.
es simétrica:. Si (a, b) se (c, d) es ad = be y, por la propiedad conmutativa del 
producto en 1L, cb = da, luego (c, d} .# (a, b).
es transitiva: Si (a, b) & (c, d} y (c, d) se (e, f) se verifican ad = be y cf = de, 
luego
(ad}f=(bc)f=b(cf') = b(de}
y, por tanto,
(af — be}d = 0
y como d G 7L* es d =# 0 y habrá de ser af - be = 0, es decir, af = be y, por consiguiente, 
(a, b) (c,/).
La relación .se anterior determina una partición del conjunto 7L x H_* en clases de equi­
valencia. Cada una de estas clases se llama número racional. Un número racional es, pues, 
un elemento del conjunto cociente (D = Xx
En lo que sigue, designaremos los números racionales por letras griegas a, 0, y, etcétera.
45
111/6 ANALISIS MATEMATICO I
Algunas veces escribiremos a = [(an a2)J para indicar que el par de números enteros 
(a1,a2) es un representante del número racional a.
3.2. EL CUERPO DE LOS NUMEROS RACIONALES
3.2.1. Definición: Un cuerpo es un conjunto K en el que están definidas dos leyes 
de composición, suma y producto, con las siguientes propiedades:
1. Asociativas: Cualesquiera que sean los elementos a, b y c de K se verifican
(a 4- b) 4- c — a + (b 4- c) y (ab)c = a(bc),
2. Conmutativas: Cualesquiera que sean los elementos ay b de K se verifican
a + b = b+a y ab~ba.
3. Distributiva del producto respecto de la suma: Cualesquiera que sean los elemen­
tos a, b y c deK se verifica
a(b + c) — ab 4- ac.
4. Existencia de neutros: Existen dos elementos distintos en K que se designan por 
0 y 1 tales que, para cada elemento a ^K, se verifican
a4-0 = 04-u = (2 y a - 1 = 1 • a ~ a.
5. Existencia de opuestos: Para cada aEK existe —a^K tal que
a 4- (— a) = (— a) 4- a ~ 0.
6. Existencia de inversos: Para cada a =£0 de K existe a 1 G K tal que
aa~ 1 = a~ 1 a = 1.
Por consiguiente, todo cuerpo es un anillo conmutativo con unidad y, en particular, 
un grupo aditivo abeliano. Además, si K es un cuerpo, el conjunto K — {0} de los ele­
mentos de K distintos de 0 es un grupo multiplicativo abeliano.
Por tanto, en todo cuerpo K se verifican todas las propiedades válidas para los anillos. 
Además, en K — {0} se verifican todas las propiedades válidas para los grupos. En par­
ticular, en un cuerpo K la propiedad cancelativa del producto es válida para los elementos 
distintos de 0:
ab — ac y a=£0 implican b — c.
También, si a =# 0, la ecuación ax — b tiene como única solución x = ba~ 1. Esta solución 
se escribe a menudo en la forma x = b/a y se llama cociente de b por a.
Proposición: Sean a, b, c y d elementos de un cuerpo K y supongamos que b =# 0 
y d =# 0. Entonces se verifican las siguientes propiedades:
46
ANALISIS MATEMATICO I 111/7
1. — — — si y sólo si ad — bc. 
b d
a ax
2. Para todo x =£ 0 de Kse tiene —- = -— . b bx
a c _ ad + be
b d bd
a c _ ac 
~b ~d ~~bd
Demostración:
1. Si a/b = c/d se tiene ab~ 1 = cd~ 1 y, por tanto,
ad = ab~ 1 bd = cd~ xdb = cb.
Recíprocamente, si ad — be entonces
a/b — ab~ 1 ~ add~ 1 b 1 = cbb~ ld~ 1 = cd 1 = c/d.
2. Basta tener en cuenta que a (bx) = b (ax) y aplicar la propiedad anterior.
3. Sean p = a/b y q = c/d. Entonces a — bp y c = dq y, por tanto, 
ad 4- be = bdp 4- bdq ~ bd(p 4- q),
luego
a , e , /JILA skjx- i ad + be4- = p 4- q — (ad 4- be) (bd)
b d bd
4. Sean p — a/b y q = c/d. Entonces a = bp y c — dq y, por tanto,
a c , x,, ,s_ i ac= pq = (ac)(bd) -
b d bd
3.2.2. Definición: Sean a y (3 dos números racionales y sean (ax, a2) y (blf b2) 
sendos representantes. Se llama suma de a y (3 y se designa por a + (3 al número racional 
que tiene por representante el par (íZj b2 4- a2bx, a2b2):
ol 4- 0 = [(ü! b2 + a2b1, a2b2)].
Esta definición es consistente. Con otras palabras, la suma de dos números racionales 
a y (3 no depende de los representantes elegidos para a y (3. Para verlo, hemos de probar 
que si (¿zi, a2) y b2) son otros representantes de a y 0 respectivamente, entonces 
(a\ b2 + a2 b\, a2 b2 ) es otro representante de a 4- es decir, que si
(z/i, ¿z2) & (a'i, a2) y (blf b2) & (&J, b2),
47
111/8 ANALISIS MATEMATICO I
entonces
(a1&2 ^2*2) # (a¡¿>2 + ^2^í> ^2).
Por la propiedad transitiva de la relación .#, bastará probar que se verifican las dos propie­
dades siguientes:
(aYb2 + a2bx, a2b2) {axb2 + a2bu a2b2),
{a\b2 ^a^bi, a2b2) & (a{b2 +a'2b\, a'2b2).
Probaremos sólo la primera de ellas. La segunda se demuestra de manera análoga. Tenemos 
que probar que
+a2bi)a2b2 =a2b2(a'íb2
es decir, que
al a2 + a2 a2 ¿1 &2 = a2 a'l ¿2 + a2 a2 &2 ,
lo cual se reduce a probar que
aia2b% = a2a\ b}
y como b2 G "Z*, es b2 #= 0 y bastará ver que
a 1 a2 — a2 a j
lo cual es cierto pues, por hipótesis, (üj , a2) (af a2).
Definición: Sean a y (3 dos números racionales y sean(aíf a2) y (bl, b2) sendos re­
presentantes. Se llama producto de a y (3 y se designa por a (3 al número racional que tiene 
como representante el par (a^b^ a2b2):
«0 = [(«i¿1, a2b2)].
Fácilmente se prueba que esta definición es consistente, es decir, que el producto de 
a y (3 no depende de los representantes elegidos para a y 0.
Proposición: El conjunto (Q de los números racionales con la suma y el producto 
antes definidos es un cuerpo.
Demostración: Las propiedades asociativas
(a + 0) + 7 = a + (/3 + 7) y (a 0) 7 — a (0 7)
y las conmutativas
a + 0 = 0 + a y a{3 = (3a
se demuestran eligiendo representantes de a, 0 y 7 y viendo, en cada caso, que los números 
racionales situados a un lado y otro del signo igual tienen el mismo representante.
48
ANALISIS MATEMATICO I III / 9
La propiedad distributiva del producto respecto de la suma
a (/3 + y) = oí{3 + ay
se demuestra de manera análoga. En este caso, los números racionales situados a ambos 
lados del signo igual tienen representantes equivalentes.
El elemento neutro para la suma es el número racional 0 — [(0, 1)]. El neutro para 
el producto es 1 = [(1, 1)].
El opuesto de a = [(<2x, a2)] es — a = [(— ax, a2)].
Si a — [(¿ij, ¿z2)] es un número racional distinto de 0, el par (an a2) no es equivalente 
con (0, 1), luego ax ' 1 ¥= a2'0 y ax =# 0. Entonces el par (a2, ) pertenece a ~Q_ x H.* y el 
número racional a- 1 — [(a2, )] es el inverso de a pues
aa~ 1 = [(aia2, a^)] = 1(1, 1)1 = 1.
3.3. ORDENACION DE LOS NUMEROS RACIONALES
3.3.1. Definición: Un cuerpo ordenado es un cuerpo K que contiene un subcon- 
junto K+ con las siguientes propiedades:
1. 0£K+.
2. Para cada a G.K se verifica una y sólo una de las relaciones
a E K+, a = 0, — a E K+.
3. Para todo par a, b de elementos de K+ se verifican
a + b G K+ y ab E K*.
Vemos pues que todo cuerpo ordenado es un anillo ordenado. Al igual que para anillos 
ordenados, los elementos de K+ se llaman elementos positivos del cuerpo K y si un a 
verifica a y a =# 0, entonces — a E K+ y se dice que a es negativo; se define la rela­
ción <, menor que, poniendo
a < b cuando b — a E K+ ;
se escribe a < b, a menor o igual que b, para denotar que o bien es a < b, o bien a ~ b;
a veces se escribe a > b, a mayor que b, en lugar de b < a, y también a > b, a mayor o 
igual que b, en lugar de b < a.
Como en todo anillo ordenado, en un cuerpo ordenado K se verifican las siguientes 
propiedades:
1. a < b y b < c implican a<c.
2. a <b implica a + c <b + c para todo cEK
3. a<b y c<d implican a + c <.b + d.
4. a<b y c> Q implican ac<bc.
49
111/10 ANALISIS MATEMATICO I
5. a <b y c <0 implican ac>bc.
6. a =# 0 implica a1 > 0.
7. l>0.
Además (véanse los ejercicios 1 y 2), se verifican también
8. <7 > 0 implica a 1 > 0.
9. 0 < a < b implica 0 < /? 1 <a 1.
10. a < b < 0 implica b~1<a~1<0.
Definición: Sea K un cuerpo ordenado. El valor absoluto \a\ de un a K es el ele­
mento de K definido por
a si a > 0
la I =
— a si a < 0
Proposición: Sea K un cuerpo ordenado. Se verifican las siguientes propiedades:
1. | a | > 0 para todo a&K y | a | = 0 si y sólo si a - 0.
2. |üó| = |¿z|*|ó| para todo par a, b de elementos de K.
3. \a + b | < |¿z | + \b | para todo par a, b de elementos de K. (Desigualdad trian­
gular. )
Demostración: Es análoga a la de la propiedad correspondiente para los números en­
teros. (Véase el ejercicio 3 del tema II.)
3.3.2. Definición: Se dice que un número racional a = [(¿/j, a2)] es positivo cuando 
a! a2 > 0.
Fácilmente se prueba que esta definición no depende del representante elegido de a.
Proposición: El cuerpo (D de los números racionales es un cuerpo ordenado.
Demostración: Sea (D+ el conjunto de los racionales positivos. Entonces 0 £ <B+ pues 
0 — [(0, 1)] y no es 0, 1 > 0.
Sea ce = [(ax, a2)] un número racional arbitrario. Por la propiedad de tricotomía de la 
ordenación de los números enteros, se verifica una y sólo una de las tres relaciones
a¡ a2 > 0, 0^2 = 0, ¿Zj a2 < 0.
Si se verifica la primera de ellas, a 6 (Q+. Como a2 G X*, es a2 #= 0 y, si se verifica la se­
gunda, será av — 0 y como (0, a2) (0, 1), es a = [(0, a2)] — 1(0, 1)] = 0. Si se verifica
la tercera, será - aia2 >0 y — a = [(—«i, a2 )] £ (D+.
Finalmente, si a = [(aj, a2)] y ¡8 = [(¿>13 ó2)] pertenecen a (Q+, se verifican axa2 > 0 
y bi b2 > 0 y, por tanto,
(a \ b2 “I" a 2b \ )a2b2 — íz^ü2Z?2 a 2b ^b2 > 0
50
ANALISIS MATEMATICO I 111/11
y
a1a2bib2 >0,
luego
oí + ¡8 = [(ax b2 + a2 bx, a2 b2)] G (Q+ 
y
a¡3 = [(¿Zj bi, a2b2)] G (D+.
3.3.3. Proposición: Sea (ü0 el conjunto de los números racionales de la forma [(¿z, 1)] 
donde a es un entero arbitrario. La aplicación f : S_ -> (Do definida por
f(a) = [(a,1)]
para cada a G 7L es un isomorfismo de anillos ordenados, es decir, es una aplicación biyec- 
tiva que, para todo par de números enteros a y b, verifica las siguientes propiedades:
1. f(a + ú) =f(a)+ f(bf
2. f(ab) =f(a) -f(b).
3. a < b implica f(a) < f(b).
Demostración: Es evidente que la aplicación f es suprayectiva. Por otra parte, si 
a y b son números enteros distintos, los pares (a, 1) y (b, 1) no son equivalentes y los 
números racionales [(a, 1)] y [(¿?, 1)] son distintos. Así pues, a b implica f(a) ^fíb) 
y f es inyectiva.
Además,
f(a)+f(b) = [(a, 1)] + [(ó, 1)] = [(a + b, l)]=f(a + ó)
y
f(a)f(b)^[(a, 1)] • [(h, 1)] = [fab, \)] = f(ab),
y si a<b,
f{a}^=[{a, 1)] < [(ó, 1)] =f(b),
lo que concluye la demostración.
Según esta proposición, cada número racional de la forma [(¿z, 1)] puede identificarse 
con el número entero a del cual es imagen por el isomorfismo f
Consideremos ahora un número racional arbitrario [(a, d)]. Se tiene
[(a, ¿)] = [(«, 1)] • [(1, ó)] = [(a, 1)] • [(6, I)]’1
y empleando la notación habitual para expresar como cociente el producto de un número 
por el inverso de otro, podemos escribir
51
111/12 ANALISIS MATEMATICO I
Ahora bien, por el isomorfismo anterior, los números racionales [(a, 1)] y [(&, 1)] se iden­
tifican con los enteros a y b respectivamente. Esta identificación permite escribir
[(«, *)] = ”• b
Se obtiene así la representación clásica de los números racionales como cocientes de nú­
meros enteros.
Finalmente, si el máximo común divisor de los enteros a y b es d y a y b' son los 
cocientes que resultan al dividir a y b por d, entonces a' y b' son primos entre sí y
ab’ = da b' = a b,
luego los pares (a, b) y (zz', b') son equivalentes y, por tanto, podemos tomar el par (a' b') 
como representante del número racional [(¿z, ¿>)]:
[(zz, ¿)] = [«
o bien, con la representación como cociente,
|(a,6)]= .
b
Así pues, un número racional puede representarse como cociente de enteros primos entre 
sí o, como se dice otras veces, en forma de fracción irreducible.
¿2
ANALISIS MATEMATICO I 111/13
EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION
1. Probar que si a es un elemento de un cuerpo ordenado tal que a > 0 entonces a 1 > 0.
2. Probar que en todo cuerpo ordenado se verifican las siguientes propiedades:
a) 0<a<¿> implica 0<ú-1<a"1.
b) a < b < 0 implica b~1 < a~1 < 0.
3. Demostrar que si a es un elemento de un cuerpo ordenado tal que a ¥= 0 entonces
1 I = lar1.
4. Probar que, cualesquiera que sean los elementos a y b de un cuerpo ordenado, se ve­
rifica \a b | <u2 + b2 .
5. Demostrar que no existe ningún número racional cuyo cuadrado sea 2.
53
111/ 14 ANALISIS MATEMATICO I
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION
1. Como es a > 0, si fuese a 1 < 0 sería 1 — a • a 1 C 0 lo cual es imposible.
2. a) Si a > 0 y b > 0, por el ejercicio anterior, a-1 > 0 y ‘>0 y. por tanto, 
a~1 b~1 >0. Entonces, si a <b, también a (a~1 b~1) < b (a~1 b~1), luego 
b~1< a~1.
b) Si a < b < 0 se tiene — a > — b > 0 
{—á)~ 1 > 0 y como (— x)~1 — — x~1
ordenado, es — b 1 >— a 1 > 0, luego
y, por la propiedad anterior, (— b) x> 
para todo elemento x ¥= 0 del cuerpo 
ó 1 <a~l <0.
3. Basta tener en cuenta que
| a 1 | • | a | = i a 1 a | ~ | 1 | = 1.
4. Cualesquiera que sean a y b se verifican
(a-¿>)2>0 y (a + ¿)2>0
es decir,
a2 — 2ab + b2 > 0 y a2 + 2ab + b2 > 0
y, por tanto,
Entonces
a2 + b2 > 2ab
ab < (a2 4- ¿>2) <¿z2 + b2
y a2 +b2>-2ab,
y ab < (¿z2 + b2) <a2 4- b2
54
ANALISIS MATEMATICO I 111/15
y, por consiguiente, si ab > 0,
\ab | = ab <a2 + b2
y si ab < 0,
\ab I = —ab ^a2 + b2.
5. Procederemos por reducción al absurdo suponiendo que el cuadrado de un número ra­
cional m¡n, con m y n primos entre sí, es 2. Entonces m2 — 2n2, luego m2 es par 
y, por tanto, m es par (el cuadrado de un número impar es impar). Por consiguiente, 
m — 2k para algún entero k. Entonces m2 = 4fc2 = 2n2, luego 2k2 = n2, n2 es par 
y n es par. Así pues, m y n son pares y primos entre sí, lo cual es absurdo.
55
ANALISIS MATEMATICO I IV/ 1
TEMA IV
Sucesiones
Esquema/ resumen
4.1. Sucesiones convergentes.
4.2. Sucesiones de Cauchy.
4.3. Construcción de un cuerpo completo.
57
ANALISIS MATEMATICO I !V/3
En este tema se estudian los conceptos de sucesión convergente y sucesión de Cauchy 
en un cuerpo ordenado. En todo cuerpo ordenado, cada sucesión convergente es una suce­
sión de Cauchy. Sin embargo, el recíproco no se verifica en todo cuerpo ordenado. Por 
ejemplo, en el cuerpo Q de los números racionales hay sucesiones de Cauchy que no son 
convergentes. Un cuerpo ordenado K se dice completo cuando toda sucesión de Cauchy 
de elementos de K es convergente en K.
En el último epígrafe del tema se construye un cuerpo completo. Para ello, se define 
en el conjunto de las sucesiones de Cauchy de números racionales una relación de equi­
valencia & de la siguiente forma: Dos sucesiones de Cauchy son equivalentes cuando la 
sucesión diferencia de ambas converge a cero. El conjunto cociente IR = resulta ser 
un cuerpo ordenado completo.
59
ANALISIS MATEMATICO I IV/5
4.1. SUCESIONES CONVERGENTES
Una sucesión de elementos de un cuerpo ordenado K es una aplicación del conjunto 
N de los números naturales en K.
Según esto, una sucesión debería designarse por una simple letra, por ejemplo a, y 
por a(l), a(2), ¿z(3), etc., se designarían los elementos de K, imágenes respectivas de los 
números naturales 1, 2, 3, etc. Sin embargo, la notación con subíndices <2j, a2, «3, etc., es 
la más habitual. Incluso la misma sucesión suele designarse por un símbolo tal como (an). 
Así, ( — ) y ( ) designan las sucesiones (an) y (bn) definidas por
\ n / \ n¿ /
1 , 2n — 1
an ~ ~~ Y bn — 2n rr para cada n G N,
es decir,
l 1 1 1
1 1 2 3 3
3 5*1=1, b2=í, b, =
un cuerpo ordenado K está acotadaelementos deSe dice que una sucesión (¿z„) de
en K cuando existe un c > 0 de K tal que | an | < c para todo n G N.
Así, por ejemplo, en el cuerpo (Q de los números racionales, la sucesión i — ) está aco- 
\ n /
tada porque — 
n
1 para todo n G N.
Definición: Se dice que una sucesión (an) de elementos de un cuerpo ordenado K con­
verge hacia un elemento aEKo que tiene por límite aEKyse escribe
61
IV/6 ANALISIS MATEMATICO I
lim an= a 
n
cuando para cada eX) de K existe un número natural nQ tal que
\an — a | < e para todo n > n0
Ejemplos:
1. La sucesión de números racionales ( — ) tiene por límite 0 en (Q pues, para cual- 
\ n /
quier e > 0 de (D existe un número natural n0 > — y
e
- -0 
n
para todo n > nG.
2. Para cualquier elemento a de un cuerpo ordenado K, la sucesión constante (an) de­
finida por an = a para cada n G W tiene por límite a pues, para cada e > 0 de K, se tiene
|— a I = \a — a | = 0 < e para todo n.
3. La sucesión de números racionales (an) definida por
— 1 si n es impar
1 si n es par
no tiene límite. Para verlo, procederemos por reducción al absurdo suponiendo que existe 
un número racional a tal que lim an = a. De ser así, para e = 1 existiría un número natu- 
n
ral nQ tal que | an — a [ < 1 para todo n > n0, y tomando un n > nQ impar habría de ser 
| — 1 — a [ < 1, y tomando un n > par habría de ser | 1 — a | < 1. Por tanto, se verifi­
carían
— 1< —1— a<l y — 1 < 1 — a < 1,
luego
0<-a<2 y — 2 < — ¿z < 0
lo cual es imposible.
Proposición: Si (an) es una sucesión convergente en un cuerpo ordenado K entonces 
el límite de (qn) es único.
Demostración: Si a y a fuese límites de (an), para cada e > 0 de K existirían números 
naturales «i y n2 tales que
\an - a | i ' I ey I an - a | -
para n > n2 y n n2, respectivamente. Entonces, para n > max {nx, n2}, tendríamos
62
ANALISIS MATEMATICO I IV/7
|a — a \ = \a — an + an — a j + |¿z„ — + = e
y, por tanto, | a — a | = 0 y a = a . (Si fuese |a — zz' ¡ > 0, para e = | a — a' [ debería ser
|a — a | < e, es decir, |zz — a | < \a — a | lo cual es imposible.)
Proposición: Toda sucesión convergente (an) de elementos de un cuerpo ordenado K 
está acotada en K.
Demostración: Si lim an= a, para e = 1 existe un número natural rc0 tal que 
n
\an — a | < 1 para todo n > n0
y, por tanto, para n > n0 se verifica
I an | = ¡an — a + a I ¡an — a | + | zz | < 1 + | a |
y tomando c = 1 + \a | + 1| + + l««0_ i I, se tiene
I an | < c para todo n.
Proposición: Si (afJ) es una sucesión acotada y (bn) es una sucesión con límite cero 
entonces lim an bn = 0. 
n
Demostración: Como (an) es una sucesión acotada existe un c > 0 de K tal que
\an | <c para todo n.
Como lim bn ~ 0, para cada e > 0 de K existe un número natural n0 tal que 
n
| bn i < — para n > n0 . 
c
Por consiguiente, para n > n0 se verifica
£
¡an bn | = |zz„ | \bn | <c - = e 
c
luego
lim an bn = 0. 
n
Proposición: Si (bn) es una sucesión de elementos de un cuerpo ordenado K tal que 
lim bn — b =# 0, entonces existe un número natural nQ tal que 
n
I b |
I bn | >----- para n > k0
63
IV/8 ANALISIS MATEMATICO I
Demostración: Por ser lim bn = b #= 0, para e = | b | /2 (> 0) existe un número natu- 
n 
ral n0 tal que
\bn~b < —” 2 para n > n0
y como
¡ b [ = | b - bn + bn | < | bn - b [ + | bn |,
resulta
|Z>| |ú|
lbn | > Ib 1 -\bn - b | > |¿> | - 
para n nQ.
Teorema:
tales que
Si (an) y (bn) son dos sucesiones de elementos de un cuerpo ordenado K
lim an — a y lim bn ~ b
n n
entonces:
1. lim (an + bn) — a + b.
n
2. lim (an — bn) - a — b.
n
3. lim an bn — ab.
n
an a
4. Si bn =/= 0 para todo n y b =p 0, lim .
n bn b
Demostración:
1. Para cada e > 0 de K existen dos números naturales nx y n2 tales que
e e| an - a | < - y \bn-b\< -
para n > nx y n > n2, respectivamente. Entonces, llamando n0 al máximo de nr y n2, 
resulta
I an + bn - (a + b) i < | an - a | + | bn - b | < - + - = e
para todo n > u0 , luego
lim (an + bn) = a + b.
n
2. Procediendo como en 1, resulta
e e\an - bn - (a -b)\<\an -a\ + \ bn - b\< - + - = e
64
ANALISIS MATEMATICO I IV/9
para n > nQ, luego
lim (an - bn) = a - b. 
n
3. Se tiene:
anbn — ab = anbn — anb + anb — ab
= an(bn -b) + b(an - a)
y, por hipótesis,
lim (an — a) = 0 y lim (bn — b) = 0. 
n n
Pero la sucesión (¿z„) es acotada (por ser convergente) y como el producto de una sucesión 
acotada por otra con límite cero tiene límite cero,
lim an(bn — b) = 0. 
n
Análogamente, como la sucesión (b) es acotada,
lim b (an — a) = 0. 
n
Por consiguiente, en virtud de la propiedad 1,
lim (an bn — ab) = 0. 
n
4. Teniendo en cuenta la propiedad 3, bastará probar que, en las condiciones del 
enunciado,
r 1lim — —
« b ’
puesto que entonces
v «n r 1 1 alim---- = lim an —— = a — = .
n & a « n & o
Ahora bien,
1 1 \bn — b\
b„ b | bn | | b |
Pero por la proposición anterior, existe un número natural nx tal que
l¿>!
2
para n > n t.
Por otra parte, para cada e > 0 de K existe un número natural n2 tal que
I bn - b | < I ¿ I2 e
2
para n => n2.
65
IV/ 10 ANALISIS MATEMATICO I
Por consiguiente, si w0 = max {«j, n2} , para n > «0 se tiene 
| b |2 e
\b„ — b \ < 2
IMI¿¡ l¿l |¿>
2
b
luego
r 1 1hm —= — , 
n bn b
lo que termina la demostración.
Ejemplos:
1. Antes hemos visto que la sucesión de números racionales (an) definida por
an =
- 1 si n es impar
1 si n es par
no tiene límite. De manera análoga puede verse que tampoco tiene límite la sucesión (d„) 
■definida por
=
1 si n es impar
— 1 si n es par
Sin embargo, la sucesión (an + bn) es la sucesión constante cuyos términos son todos iguales
a cero y, por tanto,
lim (an + bn) = 0. 
n
Este ejemplo prueba que el límite de la súma de dos sucesiones puede existir sin que 
existan los límites de esas dos sucesiones.
Sin embargo, si dos sucesiones (an) y (bn) son una convergente y la otra no, entonces 
no existe lim (an + bn). En efecto, si existe lim an y no existe lim bn entonces tampoco 
n n n
existe lim (an + bn) pues si existiera, también existiría 
n
lim (an + bn—anj= lim bn 
n
en virtud de la propiedad 2 del teorema anterior.
2. El límite del producto de dos sucesiones (an) y (bn) puede existir sin que existan 
lim an ni lim bn: Ninguna de las dos sucesiones del ejemplo anterior tiene límite y, sin 
n n
embargo, an bn = — 1 para todo n y lim anbn = — 1.
n
6e
ANALISIS MATEMATICO I IV/ 11
A diferencia de lo que ocurría con la suma, el límite del producto de dos sucesiones 
(an) y (bn) puede también existir cuando exista lim an y no exista lim bn : Si (an) es la 
n n
sucesión constante cuyos términos son todos iguales a cero y (/?„) es la sucesión defini­
da por
— 1 si n es impar
1 si n es par
entonces lim an — 0, no existe lim bn y lim an bn — 0 puesto que an bn = 0 para todo n. 
n n n
Proposición: Si (an) es una sucesión de elementos de un cuerpo ordenado K tal que 
>0 pura todo n y lim an = a, entonces a > 0. 
n
Demostración: Si fuese a < 0, para e — — a (> 0) existiría un número natural n0 tal 
que \an — a | < ~a para n > nQ y, por tanto,
an — an a + a \ at! — a \ + a < - a a 0
para todo n > n0, lo que contradice la hipótesis de que an > 0 para todo n.
De esta proposición se deduce inmediatamente que si (an) es una sucesión tal que 
b < an < c para todo n y lim an = a, entonces b < a < c. (Basta aplicar la proposición an- 
n
terior a las sucesiones (an — b) y (c — an) y tener en cuenta que el límite de la diferencia 
de dos sucesiones convergentes es igual a la diferencia de los límites.)
4.2. SUCESIONES DE CAUCHY
Definición: Se dice que una sucesión (an) de elementos de un cuerpo ordenado K es 
una sucesión de Cauchy cuando para cada e > 0 de K existe un número natural nQ tal que
\ap—aq\<e
cualesquiera que sean p,q^ n0.
Proposición: Toda sucesión de Cauchy (qn) de elementos de un cuerpo ordenado K 
está acotada en K.
Demostración: Si (an) es una sucesión de Cauchy, para e = 1 existe un número natu­
ral n0 tal que
lap - aq j < 1 para p, q > n0 .
En particular,
|ízp - anQ | < 1 para p > n0
y, por tanto, para p > nQ se verifica
67
IV/12 ANALISIS MATEMATICO I
Iflp I = \&p ~ < \ap -ano | + |a„0 | < i + |a„0 i,
y tomando c = 1 + |ax | + \ a2 I + — + |a„0 i, se tiene
| ap | < c para todo p G N.
Proposición: Si (qn) y (b„) son dos sucesiones de Cauchy entonces las sucesiones 
(qn + bn) y (fln &n)son también de Cauchy.
Demostración: Hagamos en primer lugar la demostración para la suma. Como (¿z„) 
y (¿>rt) son sucesiones de Cauchy, para cada e > 0 de K existen números naturales nr y n2 
tales que
i t €I ap aq I < 2 para
y
\bp bq \
e
2
para p,q^n2.
Sea n0 = max {nt, n2}. Entonces, para p, q > «0 , se verifica 
I ap + bp - (aq + bq) ] < ap aq I í bp bq | <C "f 2 ~ e 
luego (an + bn) es una sucesión de Cauchy.
Veamos ahora la demostración para el producto. Como toda sucesión de Cauchy es 
acotada, existen elementos cx > 0 y c2 > 0 de 7C tales que
| | < ct y | bn | < c2 para todo n 6 N.
Además, como (¿zn) y (bn) son dos sucesiones de Cauchy, para cada e > 0 de K existen 
dos números naturales nx y n2 tales que
I ap ~ aq I < 2c2
para p,q^
para p,q>n2.
Sea n0 = max {ní, n2}. Entonces, para p, q > n0 , se verifica
I &p bp aq bq [ — | ap bp ap bq H- ap bq aq bq |
I &P I I bp bq | 4" | ap Uq [ | bq |
<C1 -----+-------c2
2cx lc2
= e
luego (an bn) es una sucesión de Cauchy.
68
ANALISIS MATEMATICO I IV/13
Proposición: Toda sucesión convergente (an) de elementos de un cuerpo ordenado K 
es una sucesión de Cauchy en K.
Demostración: Si lim an = a, para cada e > 0 de K existe un número natural n0 tal que 
n
£
| an — a | < — para todo n > nQ.
Entonces, para p > nQ y q> n0 se tiene
| Up í I & I "E I ttq a |
€
22
y, por tanto, (qn ) es una sucesión de Cauchy en K.
La proposición recíproca de la anterior no es cierta en general: En el cuerpo (D de los 
números racionales existen sucesiones de Cauchy que no son convergentes.
Ejemplo: Para cada n G ¡M sea mn el mayor número natural cuyo cuadrado es menor 
o igual que 22,1 + 1. Entonces
(mn 4- l)2 > 22H + 1
pues si fuera (mn + l)2 < 22w + 1, no sería mn el mayor número natural cuyo cuadrado 
es menor o igual que 22" +1.
Definamos, para cada «EN,
an
mfl 
2n ’
Entonces
a2un
™n
22"
22n +1___ __. = 22¿«
y
22n
(mn + 1 )2 
2^
22» + i
.... ....= 2
22n ’
luego
2
a2 < 2
2"
para todo n.
Además, como (2mn)2 < 22^ + 1)+1 y mn + l es por definición el mayor número natu­
ral cuyo cuadrado es menor o igual que 22<” + 1>+1, se tiene 2mn < mn + í y, por tanto, 
an ^an + 1 para todo n, luego an ^am para m > n.
Por otra parte, para todo par de números naturales m y n se verifica 
¿z2 um
( i V
2 < v* + 2"” /
69
IV/ 14 ANALISIS MATEMATICO I
y como (íz„) es una sucesión de números racionales positivos,
a. 1 O-m < an "r 2» '
Por consiguiente, para m > n, se tiene 
, 1 
an ^am
y para p>n y q>n será
an a,p < an + y an üq an + ,
de donde se deduce que 
I 1/ 1
'ap Uq < 2"
y como para cada e > 0 de (Q existe un número natural n tal que 1/2" < e, se obtiene
I @p — I <'' €
para p > n y n, luego (qn) es una sucesión de Cauchy en (D.
Pero (an) no converge en (D pues si existiera un número racional a tal que lim an = a 
sería ”
/ 1 V
lim a„ = a2 = lim í an 4- - 1
n n \ 2f
y como 
/ 1 \ 2
dn < 2 < í an + — ] para todo n,
resultaría
a2 < 2 <a2 ,
es decir, a2 = 2, y sabemos que no existe ningún número racional cuyo cuadrado sea 2.
Definición: Se dice que un cuerpo ordenado K es un cuerpo completo cuando toda 
sucesión de Cauchy de elementos de K es convergente en K.
Según esto, el cuerpo ordenado <D de los números racionales no es un cuerpo completo.
4.3. CONSTRUCCION DE UN CUERPO COMPLETO
4.3.1. Sea el conjunto de las sucesiones de Cauchy de números racionales y sea .r 
el conjunto de las sucesiones de números racionales con límite cero. Como toda sucesión 
convergente es una sucesión de Cauchy, es un subconjunto de %.
70
ANALISIS MATEMATICO I IV/ 15
Proposición: La relación jp definida en ■r por
(an) & (bn) cuando (an — bn)E.
es una relación de equivalencia.
Demostración:
.#;es reflexiva: (a„) & (an) porque (qn — an) es la sucesión nula y, por tanto, 
limffl/, — an) = 0 y (an -an)G.r.
n
& es simétrica: Si (an) & (bn) entonces lim (an — bn) = 0 y, por tanto, 
n
lim (¿„ -a„) = -lim (an -dZJ) = 0, 
n n
luego (bn - an) G - r y (fn) & (an).
es transitiva: Si (an) & (M y (b„) & (cn) entonces
lim (an - bn) = 0 = lim (bfl - cn) 
n n
y, por tanto,
lim (an — cn) = lim (an — bn) + lim (bn — cn) ~ 0, 
n n n
luego (an - ) G y (qn) (cn).
Esta relación de equivalencia jp determina una partición del conjunto en clases de 
equivalencia. En lo que sigue, designaremos por IR el conjunto de todas estas clases de equi­
valencia, es decir, IR = y por letras griegas a, fi, y, ..., los elementos de IR. Algunas 
veces escribiremos a — [(a„ )] para indicar que la sucesión de Cauchy de números racionales 
(an) es un representante de la clase a G IR.
4.3.2. Proposición: 
y un número natural n0 
todo h > n0.
Si (an) G í” — entonces existen un número racional e0 > 0 
tales que o bien an > e0 para todo n > h0 , o bien an<.—e0 para
Demostración: Por hipótesis la sucesión (an) no tiene límite cero. Entonces existe 
un número racional e0 > 0 tal que, para todo número natural n, se puede encontrar otro 
número natural m para el que |am | > 2e0 ■
Además, (an) es una sucesión de Cauchy, luego existe un número natural tal que
l«n”«wl<e0 para n,m>nQ,
o lo que es igual,
am - e0 < an < am + e0 para n,m>n(i.
71
IV/16 ANALISIS MATEMATICO I
Elijamos m > nQ de manera que \am | > 2e0. Entonces, o bien am > 2e0, o bien 
am < — 2e0. En el primer caso,
an > am — 6o > 2e0 — e0 = e0
para n > n0. En el segundo,
< atn 2 Cq "bCo = Cq
para n > nQ.
4.3.3. Definición: Sean ay dos elementos de IR y sean (a„) y (bn) sendos repre­
sentantes. Se llama suma de a y (3 y se designa por a + (3 al elemento de IR que tiene como 
representante la sucesión (qn + bn)'.
a + 0 = [(an +£>„)].
Esta definición es consistente pues la suma de dos sucesiones de Cauchy es otra suce­
sión de Cauchy y la suma a 4- no depende de los representantes elegidos de a y (3. Para 
ver esto último hemos de probar que si (a’n) y (b'n) son otros representantes de a y (3 res­
pectivamente, entonces (a„ + b„) es otro representante de a + (3, es decir, que si
(an) (an) y (bn) & (bn)
entonces
+ bn) (an + bft).
En efecto: Por hipótesis,
lim (qn — a'n ) = 0 = lim (bn - b„) 
n n
luego
lim (an + bn - (a„ + £>„)) = lim (a„ - a„) + lim (bn - b'n) = 0. 
n n n
Proposición: El conjunto IR es un grupo aditivo abeliano.
Demostración: Las propiedades asociativa y conmutativa de la suma en IR son inme­
diatas. Veamos, por ejemplo, la conmutativa:
[(^n)] + [(Aí )] = [(«» + bn)] = + an) ] = [(£„ )] + [(an )].
El elemento neutro es 0 = [(0)]. (La sucesión (0) es la sucesión constante cuyos tér­
minos son todos iguales a cero.)
El opuesto de es [(—««)].
4.3.4. Definición: Sean a y dos elementos de IR y sean (an) y (bn) sendos repre­
sentantes. Se llama producto de a y (3 y se designa por a(3 el elemento de IR que tiene 
como representante la sucesión (an bn ):
= [(a„ MI-
72
ANALISIS MATEMATICO i IV / 17
Esta definición es consistente pues el producto de dos sucesiones de Cauchy es otra 
sucesión de Cauchy y el producto a{3 no depende de los representantes elegidos de a y 
Para ver esto último hemos de probar que si (a„) y (b'n) son otros representantes de a y 0 
respectivamente, entonces (a„ b’n) es otro representante de ot&, es decir, que si
(an) (a„) y (bn) (b'n)
entonces
(an bn) (an bn).
En efecto: Por hipótesis,
lim (an — an) = 0 = lim {bn — b'n). 
n n
Además,
&n bn ~ &nbn ~ &n bn ~ &n bn bn — an bn
“ — an ) bn + an (bn ~ bn ).
Pero (ú„) y (a'n) son sucesiones de Cauchy y, por tanto, acotadas, y como el producto de 
una sucesión acotada por otra con límite cero tiene límite cero,
lim (an - a„) b„ = 0 = lim an (bn - b'n), 
n
luego
lim (an bn — an b'n) = 0 
n
como queríamos demostrar.
Proposición: El conjunto IR — {0} de los elementos de IR distintos del neutro para la 
suma es un grupo multiplicativo abeliano.
Demostración: Las propiedades asociativa y conmutativa del producto son inmediatas. 
El neutro para el producto es [(1)]. (La sucesión (1) es la sucesión constante cuyos términos 
son todos iguales a 1.) Veamos que todo elemento de IR — {0} tiene inverso:
Si [fan)] 0 entonces (a„)G -r — y, por tanto, existen un número racional e0 y un 
número natural n0 tales que \an | > e para todo n > . Por consiguiente, an =# 0 y existe
añ 1 para todo n > »0.
Sea (bn) la sucesión de números racionales definida por
0
bn
si n < «o
si n > n0
Entonces, para p > n0 y q > nQ, se tiene
I bp — bq | — 1
ap
1
aq
\qp - qq\ < \ap -aq I 
I &p I I &q I &0
73
IV/18 ANALISIS MATEMATICO I
y como (an) es una sucesión de Cauchy, para cada número racional e > 0 existe un número 
natural m0 > w0 tal que
I &p ~ aq I < eo e para >w0,
luego para cada número racional e > 0 existe un número natural m0 tal que
I bp - bq | I&q I £q e 
eo
= 6
e 20
para p, q => mQ.
Por consiguiente, (bn) es una sucesión de Cauchy de números racionales y puede tomar­
se como representante de un elemento de IR. Terminaremos la demostración probando que 
[(£>„)] es el inverso de [(¿zn)]. Para ello tenemos que ver que [(¿zn )] [(bn )] = [(1)], es decir, 
que bn — 1) G o lo que es lo mismo, que lim (qnbn — 1) = 0. Pero esto es inme- 
n
diato puesto que para n > nQ se tiene
bfí 1 — an &n ~~ — 0*
Teorema: El conjunto IR es un cuerpo.
Demostración: Ya hemos visto que IR es un grupo aditivo abeliano y que IR — {0} es 
un grupo multiplicativo abeliano. Entonces, para ver que IR es un cuerpo, bastará probar 
que en IR el producto es distributivo respecto de la suma, lo cual es inmediato:
[(<*«)] ([(&»)] + [(C«)]) = [(«n)l [(¿n +C»)1 = [(*« (bn + c„))]
= [(ün bn -b an cn)] = [(ün bn)] + [(íZ/í cn)]
= [(«„)] [(MI + [(««)] [(Cn)L
4.3.5. Definición: Se dice que un elemento a = [(«„)] de IR es positivo cuando 
existen un número racional c0 y un número natural n0 tales que
an> e para todo n> n0.
Esta definición no depende del representante elegido de a pues si (arn) fuese otro repre­
sentante, sería lim (an — a„) = 0 y, por tanto, existiría un número natural m0 > n0 tal