UnidadesPra_IntegradorasTablas - Roberto Ruiz

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11.. 
 
 
 INTRODUCCIÓN 
 
 
 
CONTENIDO 
 
 
1 INTRODUCCION ................................................................................... 2 
1.1 PROPOSITO DE LA ESTADISTICA .................................................... 2 
1.1.1 SITUACIONES DE APLICACIÓN ............................................ 2 
1.1.2 TRABAJO DE APLICACIÓN ..................................................... 4 
 
1.2 EJEMPLO DE INTRODUCCION ......................................................... 5 
 
1.3 LENGUAJE DE LA ESTADISTICA ...................................................... 6 
 
1.4. MUESTRA ................................................................................................ 7 
1.4.1 ¿POR QUÉ SE TOMAN MUESTRAS? .......................................... 8 
1.4.2 ERRORES DE LAS MUESTRAS .................................................... 9 
 
1.5 RECOLECCION DE DATOS .................................................................. 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUCCION 
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni 
2
 
1 INTRODUCCION 
 
1.1 PROPOSITO DE LA ESTADISTICA 
Diariamente los medios de comunicación “bombardean” con datos. Las “estadísticas” se nutren 
de los números generados por espacios informativos, publicidad, resultados de eventos 
deportivos, sondeos de opinión, debates públicos, etc.. Las organizaciones modernas tienen 
gran variedad de datos en sus archivos de documentos y en las computadoras. Cientos o miles 
de valores se agregan a este total todos los días. 
Algunos de los datos nuevos se generan normalmente durante el registro de las actividades; 
otros son el resultado de estudios e investigaciones especiales. 
Sin los procedimientos estadísticos, ninguna organización podría transformar en información 
útil la gran cantidad de datos generados por su actividad. 
 
 
El tratamiento estadístico de los datos requiere el empleo de computadoras. Este material de 
trabajo proporciona numerosos ejemplos de salidas de computadora, resueltos con planilla de 
cálculo : EXCEL y con software estadístico : MINITAB y SPSS. Existen otros en el mercado que 
realizan funciones similares. 
 
 
1.1.1 SITUACIONES DE APLICACION 
En todas las profesiones es importante la recolección y el estudio de datos; por eso los 
conocimientos de estadística son valiosos para una gran variedad de carreras. 
• Las oficinas de estadística del gobierno publican cada mes nueva información numérica 
sobre la inflación y el desempleo, a través de índices de precios, tasa de desempleo, etc. 
• Quienes se dedican a realizar previsiones, los economistas, los asesores financieros y los 
que determinan las políticas de una empresa, industria y del gobierno estudian estos datos 
para tomar decisiones basadas en la información obtenida. 
• Con el fin de ofrecer un tratamiento adecuado a sus pacientes, los dentistas, los médicos y 
en general el personal de un centro de salud, deben entender la información estadística de 
las investigaciones que se publican en las revistas médicas sobre efectos de nuevas 
drogas, tratamientos de enfermedades, etc. 
• En política, los funcionarios que ocupan cargos directivos consideran las estadísticas de la 
opinión pública para definir la legislación que quieren sus votantes. 
• Las empresas basan sus decisiones en estudios de mercado sobre los patrones de compra 
de los consumidores, pruebas de nuevos productos, etc. 
El análisis estadístico nos provee un conjunto de principios y procedimientos para 
manipular, resumir e investigar datos con el fin de obtener información útil en la toma de 
decisiones. 
INTRODUCCION 
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni 
3
• Los ingenieros de control de calidad recopilan datos sobre la fiabilidad de partes y 
productos fabricados, calidad de procesos, etc. para mejoramiento del producto. 
De acuerdo con la experiencia, virtualmente toda persona involucrada en la toma de decisiones 
necesita conocimientos de análisis estadístico. Muy frecuentemente, en especial en compañías 
grandes, se utiliza la estadística en forma habitual. Cuando se solicita personal para esos 
trabajos, se piden conocimientos sólidos de análisis estadístico. 
En cualquiera de estos u otros ejemplos se puede observar que tanto el registro de los datos 
que interesan, como su manejo o utilización, no siempre es simple y se necesitan 
procedimientos adecuados para llevarlos a cabo. 
En las situaciones presentadas se individualiza: 
 
 
 
 
 
 
Para lo cual se debe 
 
 
 
 
en función de 
 
 
 
 
 
 
que presentan 
 
 
 
 
 
 
UN OBJETIVO 
ANALIZAR EL COMPORTAMIENTO DE UNA O VARIAS CARACTERISTICAS 
UN CONJUNTO DE RESULTADOS 
VARIABILIDAD 
INTRODUCCION 
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni 
4
1.1.2 TRABAJO DE APLICACION 
 
Conteste la siguiente encuesta, la misma se repite en hoja adjunta para ser entregada a su 
profesor en forma completa. 
 
 
 
 Ejercicio 
Plantee algún objetivo para el cual pudo haber sido implementada la encuesta y reconozca: 
 las características de estudio y 
 en quiénes se estudia. 
CUESTIONARIO PARA LA BASE DE DATOS ESTUDIANTIL Comisión: ............ 
 
NOMBRE Y APELLIDO : …………………………………… ….. LEGAJO : ………………… 
 
CORREO …………………………………………………………………………………. 
 
SEXO : ………… EDAD : …………… AÑO DE INGRESO A UTN .......................... 
1.- Marque con una cruz en el casillero correspondiente : 
MATERIA APROBADA REGULAR CURSADA SIN CURSAR CURSANDO 
Análisis MatemáticoI 
Algebra y Geometría 
Matemática Discreta 
Análisis Matemático II 
2.- Número de materias aprobadas : ..................... 
3.- ¿Es recursante en Probabilidad y Estadística? Si No 
 ¿A qué lo atribuye? ………………………………………………………………… 
4.- ¿Es recursante en otra Asignatura? Si No 
 ¿Cuál o cuáles? …………………………………………………………………………… 
5.- ¿Trabaja? Si No 
 ¿Cuántas horas por día? ………………………………………………………….. 
INTRODUCCION 
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni 
5
1.2 EJEMPLO DE INTRODUCCION 
Antes de cada acto electoral se efectúan encuestas de la opinión pública a fin de obtener 
información sobre la proporción de población que votará por cada candidato (objetivo). 
En la ciudad de Rosario, para las elecciones realizadas el 7 de septiembre de 2003, distintas 
consultoras realizaron encuestas. El diario “La Capital” de Rosario publicó el día miércoles 10 
de septiembre de 2003 los resultados de las encuestas y los resultados obtenidos en la 
elección para gobernador e intendente: 
 
 
 
 
Consultar a todos los votantes para lograr este objetivo, es obvio que sería una labor imposible; 
como única alternativa se investiga una muestra de ellos con la expectativa de que la 
INTRODUCCION 
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni 
6
proporción de votos para cada candidato en la muestra, se aproxime lo más posible a la 
correspondiente proporción en la población. 
Este es un ejemplo típico de inferencia estadística: a partir de la proporción muestral se 
infiere la correspondiente proporción poblacional. 
Como lo advertiría cualquier investigador de la opinión pública se trata de un trabajo incierto. 
Para tener seguridad respecto a la proporción de votos de cada candidato en la población es 
preciso esperar hasta que se cuenten todos los votos el día de la elección. 
Sin embargo, si el muestreo se realiza en forma imparcial y adecuada es probable que la 
proporción muestral se aproxime a la proporción poblacional. 
Ante este planteo nos podemos preguntar: 
 ¿cómo obtener una muestra imparcial y adecuada? 
 ¿qué error se puede estar cometiendo al inferir sobre la población muestreada a 
partir de la información que nos da la muestra? 
 ¿qué seguridad tenemos de estar en lo cierto? 
 
Este planteo representa la esencia del curso y se trabajará específicamente a lo largo de los 
capítulos. 
 
 
1.2 LENGUAJEDE LA ESTADISTICA 
 
 Población: es el grupo total de objetos (elementos, personas, registros, instituciones, 
períodos de tiempo, etc.) acerca del cual se obtienen conclusiones. En cuanto al tamaño, 
una población puede ser finita o infinita. 
 Variable: es la característica de interés que interesa observar en la población en relación al 
objetivo de estudio. Se puede clasificar en: 
• Variable cuantitativa (o simplemente variable): es aquella cuyos valores surgen 
naturalmente como cantidades numéricas. Ej.: salario, edad, diámetro, número de 
clientes, etc. A su vez se clasifica en: 
- discreta: cuando sólo puede asumir valores aislados (asociada 
generalmente a situaciones de conteo). 
- continua: cuando puede asumir cualquier valor en el intervalo real. 
• Variable cualitativa (o atributo): sólo puede clasificarse o a lo sumo jerarquizarse. Ej.: 
sexo, raza, nivel de instrucción, etc. 
 Unidad de análisis: es cada uno de los objetos sobre los que se realiza la observación de 
una o más variables. 
 Censo: es un intento de medir todos los elementos de una población de interés. En muchos 
casos el censo es impracticable, ya sea porque la población es infinita, porque la 
observación implica la destrucción de la unidad, por razones de costos, etc. 
INTRODUCCION 
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni 
7
 
 Parámetro: es una medida que resume información de una característica o variable. Se 
calcula a partir de todas las unidades de la población. Por ej.: promedio y proporción 
poblacional. 
 Muestra: es una parte de la población que se usa como información. 
 Estadístico: es una medida que resume información de una variable, pero calculada con 
los datos de la muestra. Por ej.: promedio y proporción muestral. 
 Inferencia estadística: es el proceso de extraer conclusiones sobre la población 
basándose en la información de una muestra extraída de esa población. 
 
 
 Complete en el ejemplo de introducción: 
 Población: 
 Unidad de análisis: 
 Variable de estudio: 
 Tipo de variable: 
 Parámetro de interés: 
 
 
1.4 MUESTRA 
Muy frecuentemente es necesario seleccionar una muestra de unidades de la población, para 
extraer conclusiones respecto de la población en base a las observaciones muestrales. 
La selección de una muestra representativa es un problema importante en las investigaciones 
estadísticas ya que ésta puede proporcionar una visión útil de la naturaleza de la población que 
se estudia, mientras que una muestra no representativa puede sugerir conclusiones totalmente 
erróneas sobre la población. 
El punto esencial en el muestreo es tratar de que los elementos de la muestra representen a la 
población tan fielmente como se pueda. Por lo general, esta tarea es más difícil de lo que 
parece. Con frecuencia debe dedicarse mucho tiempo y atención al proceso de selección, ya 
que una vez medidos los elementos se supondrá que la muestra es representativa de la 
población. 
Para ello, es importante que la selección de las unidades de análisis que intervengan en la 
muestra no esté influenciada por cuestiones de conveniencia o favoritismo. 
INTRODUCCION 
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni 
8
La alternativa adecuada es utilizar el azar. Las muestras seleccionadas en forma aleatoria son 
muestras probabilísticas. En el curso se trabajará con muestras aleatorias simples: 
 
 
La tabla de números aleatorios proporciona listas de números generados al azar que pueden 
usarse para elegir muestras aleatorias. 
La mayoría de las calculadoras manuales y casi todos los paquetes de computadora generan 
listas de números aleatorios que pueden usarse para seleccionar muestras aleatorias. 
En el Apéndice 1 se adjunta una tabla de números aleatorios. 
Además de la muestra aleatoria simple, existen otras técnicas de muestreo probabilístico 
apropiadas a distintas situaciones que no serán analizadas en el presente curso. 
 
 
1.4.1 ¿POR QUE SE TOMAN MUESTRAS? 
 
Se utilizan muestras y no se estudia la población total por cualquiera de las razones siguientes: 
 Recursos limitados 
 Datos disponibles limitados. 
 Prueba destructiva 
 Mas exactitud 
1. La limitación de los recursos (tiempo, dinero, etc.) desempeña siempre un papel importante 
que justifica el uso de muestras. Si la población es grande, el censo ocasiona un costo 
elevado y muchas veces, aunque económicamente se pudiera realizar, llevaría tanto tiempo 
que la información no resultaría de interés. 
En este mundo tan cambiante, el muestreo permite conseguir la información rápidamente en 
un momento determinado. 
2. A veces, independientemente de los recursos, sólo existe una pequeña muestra. Por 
ejemplo, se puede tener a prueba una máquina que se supone más eficiente que otras, 
para decidir si se compran unidades semejantes. El gerente de control de calidad 
sencillamente no puede esperar hasta observar la población completa de los productos de 
esta máquina, en lugar de ello, debe observar una muestra de productos de dicha máquina 
y basar su decisión en una inferencia que hace a partir de dicha muestra. 
3. El muestreo puede implicar una prueba destructiva. Por ejemplo, suponga que se desea 
conocer el promedio de vida de los focos producidos por una fábrica determinada. Sería 
insensato esperar a que todos los focos se quemaran para conocer su promedio de vida. 
4. Un censo no ofrece garantía absoluta de calidad. La observación de toda la población puede 
ser una tarea enorme que lleve a cometer muchos más errores que cuando se observa una 
muestra cuidadosamente diagramada. Por ejemplo, una gran cantidad de personal poco 
Una muestra aleatoria simple se obtiene cuando se seleccionan n elementos de una 
población, de manera que todas las combinaciones posibles de n elementos de la población 
tienen igual posibilidad de ser elegidas. 
INTRODUCCION 
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni 
9
capacitado puede cometer errores de medición que no cometería una menor cantidad de 
personal mejor capacitado. 
 
1.4.2. ERRORES DE LAS MUESTRAS 
Retomando el ejemplo de las encuestas previas a la elección, puede suceder que la proporción 
de votos obtenida por cada uno de los candidatos en la muestra, quizás represente muy mal a 
la correspondiente en la población, por distintas razones: 
- Independientemente de lo bien dirigido y diseñado que esté el procedimiento de muestreo, 
puede ocurrir que se obtenga una muestra de votantes “no representativa” de la población. 
Estos casos de mala suerte son posibles pero no probables. 
- El otro problema consiste en que el muestreo puede estar mal diseñado. Por ejemplo, 
cuando se muestrea una población de votantes es erróneo tomar sus nombres de una guía 
telefónica, puesto que quedarán excluidos los votantes que no poseen teléfono. 
 
 
1.5 RECOLECCION DE DATOS 
Los datos se pueden obtener por observación o por experimentación. Si simplemente se 
observa la característica de interés sin intervenir en el proceso en estudio, se está ante un 
estudio observacional. En cambio si se interviene en el proceso en estudio imponiendo algún 
tratamiento en forma deliberada sobre las unidades de análisis a fin de observar las 
respuestas, se está ante un experimento. 
Según el tipo de fuente, los datos pueden ser primarios o secundarios. Los datos primarios se 
recogen específicamente para el análisis deseado. Los datos secundarios ya se han 
compilado y están disponibles para el análisis estadístico. 
La ventaja de usar datos secundarios para una investigación estadística es que ya se dispone 
de ellos y no es necesario recogerlos para un proyecto específico. Incluso la compra de los 
datos a una compañía comercial es por lo general menos costosa que obtener datos primarios. 
La desventaja de los datos secundarios es que estas fuentes no siempre cubren las 
necesidades específicas del análisis y además no siempre son confiables. Esta es la razón por 
la que muchos investigadores requieren obtenerdatos primarios orientados específicamente al 
asunto que se está investigando. 
Se requiere experiencia para determinar qué técnica o combinación de técnicas se adecuan 
mejor a la tarea de obtener la información necesaria de las unidades de análisis. La clave para 
realizar una buena investigación reside, en gran medida, en la pericia del analista a la hora de 
elegir la técnica idónea. 
 
 Ejercicio 
En las situaciones planteadas en el ejercicio de la pag. 4: 
 Identifique la población o las poblaciones en estudio para el objetivo planteado. 
 Analice si los datos obtenidos constituyen una población o una muestra. 
 Clasifique las características en estudio 
 Identifique parámetros de interés.
 
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni 
U.T.N. FACULTAD REGIONAL ROSARIO 
INGENIERIA EN SISTEMAS DE INFORMACION 
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA AÑO : 2009 
 
 
 
Comisión: ............ 
 
CUESTIONARIO PARA LA BASE DE DATOS ESTUDIANTIL 
 
NOMBRE Y APELLIDO : …………………………………… ….. LEGAJO : ………………… 
 
CORREO …………………………………………………………………………………. 
 
SEXO : ………… EDAD : …………… AÑO DE INGRESO A UTN .......................... 
 
 
Marque con una cruz en el casillero correspondiente : 
 
1.- 
MATERIA APROBADA REGULAR CURSADA SIN CURSAR CURSANDO 
Análisis Matemático I 
Algebra y Geometría 
Matemática Discreta 
Análisis Matemático II 
 
 
2.- Número de materias aprobadas ...................... 
 
 
3.- ¿Es recursante en Probabilidad y Estadística? Si No 
 
 ¿A qué lo atribuye? ………………………………………………………………….... 
 
4.- ¿Es recursante en otra Asignatura? Si No 
 
 ¿Cuál o cuáles? …………………………………………………………………………………. 
 
5.- ¿Trabaja? Si No 
 
 
 ¿Cuántas horas por día? ……………………………………………………………….. 
 2. 2. ESTADISTICA DESCRIPTIVA 
CONTENIDO
2 ESTADISTICA DESCRIPTIVA...................................................................................11
2.1 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS Y GRAFICOS 11
2.1.1 DATOS CORRESPONDIENTES A UN ATRIBUTO 11
2.1.2 DATOS CORRESPONDIENTES A UNA VARIABLE DISCRETA 14
2.1.3 DATOS CORRESPONDIENTES A UNA VARIABLE CONTINUA 16
2.1.4GRAFICAS DE SERIE DE TIEMPO 22
2.2 MEDIDAS CARACTERISTICAS DE UNA DISTRIBUCION DE 
FRECUENCIAS. 25
2.2.1 MEDIDAS DE POSICION 26
 2.2.2 MEDIDAS DE DISPERSIÓN 29
2.2.3 COEFICIENTE DE VARIACION 32
2.3 REGLA EMPIRICA 33
2.4 DIAGRAMAS DE CAJA O BOX - PLOT 34
 2.5 TRANSFORMACIONES LINEALES 36
2.6 TRABAJO PRACTICO 38
2.7 COMPLEMENTO PARA EL USO DE EXCEL 44
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 11 
2 ESTADISTICA DESCRIPTIVA
Una vez fijado el objetivo de estudio y en consecuencia definida la o las poblaciones asociadas, 
se procede a la recolección de los datos (censo o muestra).
Considerando que el conjunto de datos constituye una muestra, en este capítulo se estudian 
algunas de las técnicas más usadas para:
• la presentación de los mismos en forma ordenada ( tablas y gráficos)
• el cálculo de medidas resúmenes.
Antes de analizar los datos es importante determinar primero si se recogieron datos cualitativos 
o cuantitativos ya que se usan técnicas estadísticas distintas para cada uno de ellos, por lo que 
se pueden esperar resultados erróneos si se aplica una técnica inapropiada. 
2.1 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS Y GRAFICOS
Una forma útil de presentar un conjunto de datos es la distribución de frecuencias.
2.1.1 DATOS CORRESPONDIENTES A UN ATRIBUTO
Ejemplo :
Los siguientes datos representan la condición en Matemática Discreta de los alumnos de la ca-
rrera de Ingeniería en Sistemas de Información de la U.T.N., Reg. Rosario, inscriptos en la 
asignatura Probabilidad y Estadística, en el año 2002
Condición Número de alumnosnk
Proporción de alumnos
fk
Aprobada 119 0,24
Regular 320 0,64
Cursada 13 0,03
Cursando 44 0,09
Sin cursar 3 0
Totales 499 1,00
Característica en estudio: Condición en Matemática Discreta (variable cualitativa o atributo)
Para armar la distribución de frecuencias se particionó al conjunto de los 499 alumnos 
inscriptos en Probabilidad y Estadística en el año 2002 en subconjuntos o clases según los 
niveles del atributo (en el ejemplo 5 niveles que se corresponden con las condiciones de: 
aprobada, regular, cursada, cursando y sin cursar).
El número de elementos que pertenecen a cada clase recibe el nombre de frecuencia 
absoluta (nk). 
El cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de observaciones recibe el nombre de 
frecuencia relativa ( fk ). 
La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de observaciones y en conse-
cuencia, la suma de las frecuencias relativas es siempre igual a 1. 
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 12 
Es muy frecuente expresar a las frecuencias relativas como porcentaje; así en el ejemplo 
diremos que sólo el 24 % de los alumnos que cursaron Probabilidad y Estadística en el 2002, 
tenían aprobada la asignatura Matemática Discreta.
 
REPRESENTACION GRAFICA
 GRAFICO CIRCULAR O SECTORES (realizado en Excel, con asistente de gráfico )
Condición en Matemática Discreta de los alumnos 
que cursan Prob. y Estadística - año 2002
Aprobada
24%
Regular
64%
Cursada
3%
Cursando
9%
Sin cursar
0%
 GRAFICO DE BARRAS (realizado en Excel con asistente de gráfico) 
Condición en Matemática Discreta de los alumnos 
inscriptos en Probabilidad y Estadística - 2002 
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
Aprobada Regular Cursada Cursando Sin cursar
Condición 
fre
c.
 re
la
tiv
a
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 13 
 DIAGRAMA DE PARETO
Es un caso especial del diagrama de barras, que se usa con frecuencia en control de calidad. 
Las barras se grafican en orden descendente. Puede también incluir una segunda escala (del 
0 al 100), encima de las barras de las clases, que muestre los porcentajes acumulados. 
Este tipo de diagrama lleva el nombre del economista italiano V. Pareto y en general 
representa la “ ley de Pareto”, esto es: la mayor parte de los defectos aparece sólo en unas 
pocas categorías. 
Ejemplo :
Un analista de redes registró las causas principales que propiciaron fallas en los sistemas 
durante los últimos seis meses, obteniendo el siguiente resultado:
Razón de la falla Frecuencia
Conexión física 1
Falla eléctrica 8
Software del servidor 28
Hardware del servidor 4
Servidor sin memoria disponible 14
Ancho de banda inadecuado 1
 
Este resultado se presenta en un diagrama de Pareto (obtenido a través del software 
estadístico SPSS)
Razón de la falla
Conexión física
Ancho de banda
Hardware
Falla eléctrica
Sin memoria
Soft servidor
C
ou
nt
60
50
40
30
20
10
0
P
ercent
100
50
04
8
14
28
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 14 
2.1.2 DATOS CORRESPONDIENTES A UNA VARIABLE DISCRETA
Ejemplo :
Un distribuidor de aspiradoras registra el número de unidades vendidas por día durante un 
período de 50 días. Los resultados obtenidos fueron: 
84 88 87 89 88 89 88 91 87 85
8889 90 88 87 91 86 89 85 88
86 90 89 84 91 92 89 88 94 90
87 89 91 86 90 89 91 92 89 88
85 88 87 88 91 87 92 90 85 87
Característica en estudio: número de aspiradoras vendidas por día (variable discreta)
A fin de ordenar la información se particiona al conjunto de 50 días en clases, según la variable 
en estudio: número de aspiradoras vendidas por día y se realiza el cómputo de frecuencias 
según se indica en la siguiente:
 DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
Valor de la 
variable
xk
 Cómputo de
 Frecuencias
Frecuencia 
absoluta
nk
Frecuencia 
relativa 
fk
Frecuencia 
absoluta 
acumulada
Nk
Frecuencia 
relativa 
acumulada 
Fk
84 // 2 0,04 2 0,04
85 //// 4 0,08 6 0,12
86 /// 3 0,06 9 0,18
87 //// // 7 0,14 16 0,32
88 //// //// 10 0,20 26 0,52
89 //// //// 9 0,18 35 0,70
90 //// 5 0,10 40 0,80
91 //// / 6 0,12 46 0,92
92 /// 3 0,06 49 0,98
93 0 0,00 49 0,98
94 / 1 0,02 50 1,00
Total 50 1,00
 
La frecuencia absoluta acumulada ( Nk ) es la cantidad de elementos correspondientes a 
valores de la variable menores o iguales a xk .
La frecuencia relativa acumulada ( Fk ) es la proporción de elementos cuyo valor de la 
variable es menor o igual que xk.
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 15 
REPRESENTACION GRAFICA
 GRAFICO DE BASTONES (realizado en Excel con Análisis de datos1)
El mismo se obtiene representando la frecuencia (absoluta o relativa) correspondiente a cada 
valor de la variable mediante un segmento cuya longitud es proporcional a la frecuencia.
 GRAFICO ESCALONADO
1 Ver pasos a seguir para su utilización en el punto 2.7: Complemento para el uso de Excel, pag 45.
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
 
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
número de aspiradoras
fre
cu
en
ci
a 
re
la
tiv
a
 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95
Número de aspiradoras
Fr
ec
. r
el
. a
cu
m
ul
ad
a
dígitos tallo dígitos hoja
8 5
11 7
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 16 
Si el número de observaciones hubiese sido pequeño (supongamos las dos primeras 
columnas), el tratamiento de la información se haría a través de un:
 DIAGRAMA DE PUNTOS
•
• •
• • • • • • •
84 85 86 87 88 89 90 91
 número de aspiradoras
2.1.3 DATOS CORRESPONDIENTES A UNA VARIABLE CONTINUA
Ejemplo:
Con el propósito de adecuar los objetivos curriculares de una escuela, se decide analizar la 
realidad socioeconómica de la familia a la cual pertenecen los alumnos ingresantes en un 
año determinado. A tal fin se registran para cada uno de ellos (entre otros datos) la superfi-
cie cubierta de la vivienda que habita la familia del alumno ingresante. Los resultados obteni-
dos para 30 alumnos ingresantes seleccionados al azar fueron:
85 - 117 - 92 - 120 - 94 - 110 - 151 - 90 - 80 - 116 - 95 - 102 - 100 - 113 - 118 - 140 - 133 - 
108 - 115 - 148 - 110 - 130 - 100 - 120 - 108 - 125 - 105 - 130 - 112 - 150 
Característica en estudio: superficie cubierta de la vivienda, en m2 (variable continua).
 DIAGRAMA DE TALLO-HOJA
Como un paso previo a la construcción de la distribución de frecuencias, los datos pueden 
organizarse en un diagrama de tallo-hoja. En este tipo de diagramas, cada valor observado 
se descompone en “dígitos tallo” y “dígitos hoja”.
En el ejemplo planteado, la decena y la centena de cada valor observado forman los “dígitos 
tallo” y la unidad el “dígito hoja”.
Así, para las dos primeras observaciones (85 y 117) re-
sultan:
Es conveniente presentar a los dígitos hoja ordenados en forma creciente para facilitar la 
posterior utilización del diagrama tallo-hoja, tanto en forma gráfica como tabular.
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 17 
En el ejemplo, resulta el diagrama de tallo-hoja realizado con PHStat 2 :
8 0 5
9 0 2 4 5
10 0 0 2 5 8 8
11 0 0 2 3 5 6 7 8
12 0 0 5
13 0 0 3
14 0 8
15 0 1
 DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
Otra forma de organizar la información es individualizando entre los datos, el valor mínimo (80 
m2) y el máximo (151 m2) que asume la variable.
La diferencia entre ambos valores (en este caso 71 m2) se llama rango.
Los 28 valores restantes pertenecen al intervalo [ 80, 151]. 
Para poder realizar el respectivo cómputo de frecuencias, dicho intervalo se particiona en 
subintervalos de igual amplitud. Cada uno de ellos identifica a una clase y recibe el nombre de 
intervalo de clase .
Cuando se agrupan datos a través de intervalos de clase, se produce una pérdida de 
información por la no conservación de los valores individuales. Demasiados intervalos provoca 
pérdida de efectividad como medio de resumir datos; en cambio, pocos intervalos condensan 
tanto la información que arrojan poca luz sobre el comportamiento de la característica.
La elección del número de subintervalos está estrechamente relacionada con la cantidad de 
datos que se consideran. Es común usar entre 5 y 20 subintervalos.
Suele aplicarse una regla práctica que indica que el número de subintervalos es 
aproximadamente igual a la raíz cuadrada del número de observaciones.
Para el ejemplo dado, se tomarán 6 subintervalos, dado que 30 = 5,4772
Cuando se fijan los intervalos de clase, se debe tener en cuenta que:
 Deben ser semiabiertos para que cada valor de la variable pertenezca a uno y sólo 
uno de los intervalos.
En el ejemplo : 79 < x ≤ 91 ó ( 79 , 91]
 El punto medio de cada intervalo de clase debe ser un posible valor de la variable (de 
acuerdo a las restricciones con las que se expresan los valores de las observaciones).
En el ejemplo los puntos medios deben ser valores enteros a pesar de que la variable 
es continua.
 Es preferible, por facilidad en el análisis, que los intervalos posean igual amplitud.
La tabla siguiente muestra la distribución de frecuencias del ejemplo :
2 PHStat es un complemento estadístico para Microsoft Excel incluido en el CD que acompaña al libro Estadística para Adminis-
tración (2da edición) de Berenson, M; Levine , D. y Krehbiel,T.; editorial Pearson Educación, México, 2001.
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 18 
Intervalo de clase Punto medio Frecuencia absoluta
Frecuencia 
relativa
Frecuencia 
absoluta 
acumulada
Frecuencia 
relativa 
acumulada
 79 < x ≤ 91 85 3 0,10 3 0,10
 91 < x ≤ 103 97 6 0,20 9 0,30
103 < x ≤ 115 109 8 0,27 17 0,57
115 < x ≤ 127 121 6 0,20 23 0,77
127 < x ≤ 139 133 3 0,10 26 0,87
139 < x ≤ 151 145 4 0,13 30 1,00
30 1,00
REPRESENTACION GRAFICA
 HISTOGRAMA
• Las bases de las barras tienen la longitud igual a la amplitud del intervalo de clase que 
representan y se ubican sobre el eje de la abscisa.
• El área de cada barra es proporcional a la frecuencia del intervalo de clase.
• Si los intervalos de clase son de igual amplitud, las alturas de las barras resultan 
proporcionales a las frecuencias de las clases. En caso de amplitudes diferentes, las 
alturas deben ser calculadas para que se verifique la condición anterior.
Para el ejemplo, se presenta a continuación la distribución de frecuencia y el histograma 
realizado en Excelcon Análisis de datos:3
Clases Frecuencia Frec. acumulada
79 0 0
91 0,10 0,10
103 0,20 0,30
115 0,27 0,57
127 0,20 0,77
139 0,10 0,87
151 0,13 1
163 0 1
3 Ver pasos a seguir para su utilización en el punto 2.7: Complemento para el uso de Excel, pag 45
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 19 
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
79 91 103 115 127 139 151 163
Superficie cubierta (en m2)
Fr
ec
ue
nc
ia
Los histogramas son más fáciles de interpretar si los intervalos de clase tienen la misma 
amplitud.
El histograma, al igual que el diagrama de tallo-hoja, proporciona una impresión visual del 
aspecto que tiene la distribución de las observaciones, así como información sobre la 
dispersión de los datos.
Al pasar de los datos originales o del diagrama de tallo-hoja a la distribución de frecuencias y al 
histograma, se pierde parte de la información debido a que ya no se tienen las observaciones 
originales. Sin embargo, esta pérdida en la información a menudo es pequeña si se le compara 
con la facilidad de interpretación ganada al utilizar la distribución de frecuencias y el 
histograma.
Para conjuntos de datos pequeños, los histogramas pueden cambiar claramente de apariencia 
si el número de clases o el ancho de éstas cambia. Los histogramas son más estables si el 
número de observaciones es grande.
 
 POLIGONO DE FRECUENCIAS
Otra forma de representar gráficamente la distribución de frecuencias absolutas o relativas es a 
través del polígono de frecuencias.
Si se considera una distribución de frecuencias con intervalos de clase de igual amplitud, el 
polígono está referido a un sistema coordenado donde cada vértice tiene por abscisa el punto 
medio del intervalo y por ordenada la frecuencia del intervalo de clase.
Para hallar los puntos de iniciación y finalización del polígono, se consideran dos intervalos 
de clase (uno anterior al primero y otro posterior al último) de igual amplitud a los restantes y de 
frecuencia cero.
Se demuestra mediante la igualdad de triángulos que el polígono así construido encierra igual 
área que el histograma.
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
67 79 91 103 115 127 139 151 163
Sup. cubierta (en m2)
Fr
ec
. r
el
at
iv
a 
ac
um
ul
ad
a
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 20 
Para el ejemplo:
 POLIGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADAS 
De igual forma se puede construir el polígono de frecuencias acumuladas como se muestra en 
la siguiente figura:
Se presenta a continuación otro ejemplo sobre variable continua 4 :
4 Ejemplo extraído de “Probabilidad y Estadística aplicada a la Ingeniería” de Montgomery Douglas, Runger Geor-
ge.- Mc Graw Hill – México, 1996. pag. 5
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
 
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
73 85 97 109 121 133 145 157
sup. cubierta (en m2)
fre
cu
en
ci
a 
re
la
tiv
a
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 21 
Los datos de la siguiente tabla representan la resistencia a la tensión, en libras por pulgada 
cuadrada (psi), de 80 muestras de una nueva aleación de aluminio y litio, que está siendo 
evaluada como posible material para la fabricación de elementos estructurales de aeronaves.
Resistencia a la tensión de 80 muestras de aleación de aluminio-litio
105 221 183 186 121 181 180 143
97 154 153 174 120 168 167 141
245 228 174 199 181 158 176 110
163 131 154 115 160 208 158 133
207 180 190 193 194 133 156 123
134 178 76 167 184 135 229 146
218 157 101 171 165 172 158 169
199 151 142 163 145 171 148 158
160 175 149 87 160 237 150 135
196 201 200 176 150 170 118 149
Los datos fueron registrados conforme se realizaba la prueba y en este formato no conllevan 
mucha información con respecto a la resistencia a la tensión. No es fácil responder a preguntas 
tales como “¿Qué porcentaje de las muestras fallaron debajo de los 120 psi?”. 
Dado que se tienen muchas observaciones, la construcción de un diagrama de puntos para 
estos datos es ineficiente; existen presentaciones visuales más eficaces para conjuntos 
grandes de datos. Una de ellas es el ya visto diagrama de tallo y hoja:
Tallo Hoja Frecuencia
7 6 1
8 7 1
9 7 1
10 5 1 2
11 5 8 0 3
12 1 0 3 3
13 4 1 3 5 3 5 6
14 2 9 5 8 3 1 6 9 8
15 4 7 1 3 4 0 8 8 6 8 0 8 12
16 3 0 7 3 0 5 0 8 7 9 10
17 8 5 4 4 1 6 2 1 0 6 10
18 0 3 6 1 4 1 0 7
19 9 6 0 9 3 4 6
20 7 1 0 8 4
21 8 1
22 1 8 9 3
23 7 1
24 5 1
Otra gráfica apropiada es el histograma. Nótese en la figura siguiente la simetría de la 
distribución de frecuencias de las mediciones de resistencia.
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 22 
2.1.4 GRAFICAS DE SERIE DE TIEMPO 5
Las gráficas consideradas hasta el momento (histogramas, diagramas de tallo y hoja) son 
métodos visuales muy útiles para mostrar la variabilidad presente en los datos. Sin embargo, 
con frecuencia el tiempo es un factor importante que contribuye a la variabilidad observada en 
los datos, y los métodos anteriores no lo toman en cuenta. Una serie de tiempo, o secuencia de 
tiempo, es un conjunto de datos en los que las observaciones se registran en el orden en que 
ocurren. La gráfica de una serie de tiempo es un diagrama en el que el eje vertical denota el 
valor observado (por ejemplo x), mientras que el eje horizontal denota el tiempo (que puede ser 
minutos, días, años, etc.). Cuando se grafican las mediciones como una serie de tiempo, a 
menudo se observan tendencias, ciclos u otras características importantes de los datos que, de 
otra forma, pasarían inadvertidas.
Por ejemplo, considérese la figura 1-18 a, la cual presenta la gráfica de una serie de tiempo de 
las ventas anuales de una compañía durante los últimos diez años. La impresión general que 
ofrece esta gráfica es que las ventas tienen una tendencia a crecer. Existe cierta variabilidad 
en esta tendencia, donde, las ventas en algunos años aumentaron con respecto a las del año 
anterior, mientras que las ventas de otros años disminuyeron. La figura 1-18 b presenta las 
ventas de los tres últimos años notificadas por trimestre. Esta gráfica muestra de manera clara 
que las ventas anuales de la empresa exhiben una variabilidad cíclica por trimestre, donde las 
ventas en los dos primeros trimestres son mayores que en los dos últimos.
5 Extraído de “Probabilidad y Estadística aplicada a la Ingeniería” de Montgomery Douglas, Runger George.- Mc 
Graw Hill – México, 1996. pag. 33
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 23 
a)
b)
Figura 1-18 Ventas de una compañía por año a) y por trimestre b)
Algunas veces puede ser útil combinar las gráficas de serie de tiempo con alguno de los tipos 
de presentación gráfica considerados hasta el momento, por ejemplo con los diagramas de ta-
llo y hoja, para formar un diagrama de dígitos y líneas.
La figura 1.19 presenta un diagrama de dígitos y líneas para las observaciones de resistencia 
a la tensión del ejemplo de la página 23, que como se dijo, fueronregistradas en el orden en 
que ocurrieron.
Esta gráfica indica de manera eficaz la variabilidad total de los datos de resistencia a la tensión 
y, de manera simultánea, presenta la variabilidad en las mediciones con el paso del tiempo. La 
impresión general es que la resistencia cambia alrededor del valor medio de 162,67, y no hay 
ningún patrón obvio sobre esta variabilidad con respecto al tiempo.
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 24 
El diagrama de dígitos y líneas de la figura 1.20 presenta una situación diferente. Esta gráfica 
resume 30 observaciones sobre la concentración de un producto obtenido mediante un proceso 
químico, donde las observaciones se registraron a intervalos de una hora. La gráfica indica 
que, durante las primeras 20 horas de operación, el proceso produjo concentraciones en 
general por encima de 85 g/l, pero después de la muestra 20 algo ocurrió con el proceso, que 
dio como resultado concentraciones más bajas. Si esta variabilidad en la concentración del 
producto puede reducirse, entonces es posible mejorar la operación del proceso.
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 25 
2.2 MEDIDAS CARACTERISTICAS DE UNA DISTRIBUCION DE 
FRECUENCIAS. 
Las medidas que resumen la información de una distribución de frecuencias reciben el nombre 
de:
ESTADISTICOS
 de acuerdo a
 
 
la información que brindan
 
pueden ser de
 POSICION DISPERSION
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
MediaMedia Mediana Moda Fractilas Rango Varianza Desvío 
estándar
Desvío Inter-
cuartílico
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 26 
2.2.1 MEDIDAS DE POSICION
Se llaman también de tendencia central y están referidas a la posición de la distribución de 
frecuencias sobre el eje de las abscisas.
 
Ellas son :
NOMBRE NOTACION DEFINICION
Media aritmética x Es el promedio de las observaciones
Moda x̂ Es el valor de la variable con mayor frecuencia
Mediana x~
Es el mínimo valor de la variable que 
acumula, por lo menos, el 50 % de las 
observaciones ordenadas en forma
creciente
Cuartiles
Fractilas Deciles
 Percentiles 
 q1 q2 q3
 d1 d2 ...... d9 
 p1 p2 ........p99 
Son los mínimos valores de la variable que 
acumulan respectivamente, por lo menos :
 el 25% , el 50% y el 75% de las observa-
ciones ordenadas en forma creciente.
 el 10% , el 20% ........el 90% de las obser-
vaciones ordenadas en forma creciente.
 el 1% , el 2% ........ el 99% de las obser-
vaciones ordenadas en forma creciente.
 
 
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 27 
 Media aritmética o promedio muestral
Es la más conocida y utilizada de las medidas de posición. 
No coincide necesariamente con un valor de la variable.
Para el cálculo del promedio de n observaciones de la variable X ( xi con i = 1, 2,.......n ), 
resulta:
 ∑
=
=
n
i
ix
n
x
1
1
 ( 1 )
Si las n observaciones están agrupadas en r clases , la fórmula (1) resulta :
 ∑∑
==
==
r
i
ii
r
i
ii fxnxx
n 11
1
 ( 2 ) 
• En los casos en que las observaciones se encuentren agrupadas en intervalos de clase, 
se le da a xi el valor del punto medio del intervalo de clase correspondiente.
Características del promedio:
• Toma en consideración toda la información por lo tanto es muy sensible a la influencia 
de los valores extremos, lo que puede ser una ventaja o desventaja, según la situación.
• Es una medida de posición útil para comparar dos o más distribuciones, sólo si éstas 
tienen forma semejante.
 Moda
 
Es el valor de la variable con mayor frecuencia.
 
Características de la moda:
• Algunos conjuntos de observaciones no poseen moda.
• Algunos conjuntos de observaciones tienen más de una moda.
 Mediana
Es el mínimo valor de la variable que acumula, por lo menos, el 50 % de las observaciones 
ordenadas en forma creciente, por tal razón es uno de los llamados estadísticos de orden.
5,0)~(/~ ≥xFx
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 28 
Característica de la mediana:
• Al no tomar en cuenta toda la información pues depende de la cantidad de observaciones y no de 
la magnitud de ningún valor extremo, no es sensible a dichos valores extremos.
 Fractilas
Se trabajan en forma similar a la mediana.
 Ejercicios 
 
1. Indique cómo calcularía la mediana en los siguientes casos :
 si se tiene un número impar de observaciones, por ej. : 7 , 12 , 15 , 10 , 4
 si se tiene un número par de observaciones, por ej. : 4 , 17 , 15 , 10 , 12 , 7
 si las observaciones se encuentran clasificadas en clases (ej. apartado 2.1.2, pag. 16)
 si las observaciones se encuentran agrupadas en intervalos de clase (ej. apartado 
2.1.3 , pag. 20 )
2. Los últimos diez días de junio, el tren “ Costa Especial ” llegó tarde a su destino en los 
siguientes números de minutos ( un número negativo significa que el tren llegó con anti-
cipación):
3 , 6 , 4 , 10 , - 4 , 124 , 2 , - 1 , 4 , 1
¿Qué medidas de posición utilizaría Ud. para :
 mostrar que el tren ofrece un buen servicio?
 mostrar que el tren ofrece un mal servicio?
 COMPARACION DE MEDIA ARITMETICA, MEDIANA Y MODA
Distribución Simétrica
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
Media
Mediana
Moda
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 29 
Distribuciones Asimétricas o Sesgadas
Distribución asimétrica a la derecha
Distribución asimétrica a la izquierda 
 2.2.2 MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Analizando comparativamente las siguientes distribuciones se observa que a pesar de que 
están igualmente centradas, los valores de la variable de cada una de ellas están alejados del 
promedio de manera distinta. Esta situación hace ver la necesidad del estudio de otro tipo de 
medida característica de las distribuciones de frecuencias que son llamadas de dispersión. 
Dicha información se obtiene a través de los siguientes estadísticos de dispersión:
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 30 
 
NOMBRE NOTACION DEFINICION
Rango r
Es la diferencia entre el mayor y 
el menor valor de las 
observaciones
 Varianza muestral s2n-1
Es el promedio, aproximado, de 
los cuadrados de las diferencias 
entre los valores de las observacio-
nes y su correspondiente media 
aritméticaDesvío estándar muestral s Es la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Recorrido intercuartílico
 riq
Es la diferencia entre el cuartil 3 
y el cuartil 1.
 Rango
Es la diferencia entre el máximo valor de las observaciones (xM) y el mínimo valor de las 
mismas (xm )
 r = xM - xm
 
Proporciona una primera información sobre la dispersión de los valores pero basta que al 
menos uno de los dos valores que intervienen en su cálculo esté excesivamente alejado 
para que pierda importancia la información que brinda.
 Varianza muestral
Es el promedio, aproximado, de los cuadrados de los desvíos de las observaciones con res-
pecto a su media aritmética.
( ) i
r
i
n nxxin
s ∑
=
− −−
=
1
22
1 1
1
Si el denominador hubiese sido n en lugar de n-1, se hubiera obtenido el promedio de los 
cuadrados de los desvíos de las observaciones con respecto al promedio de las mismas. Sin 
embargo, n-1 se usa aquí debido a ciertas propiedades deseables del estadístico s2 que lo 
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 31 
hacen apropiado para la inferencia estadística. Si el tamaño de la muestra es grande, la 
diferencia entre s2n y s2n-1 es despreciable.
 
La varianza está expresada en unidades al cuadrado, lo que representa una desventaja para 
su interpretación. 
 Desvío estándar muestral
 Es la raíz cuadrada positiva de la varianza muestral.
 2 1−= nss 
 Este estadístico tiene la ventaja de estar expresado en la misma unidad de las 
observaciones
 Recorrido intercuartílico
Es la diferencia entre el tercer cuartil y el primer cuartil.
 
 riq = q3 - q1
Se darán a continuación las medidas características calculadas para los dos ejemplos 
trabajados con variable discreta y con variable continua. Las mismas fueron obtenidas en Excel 
con Análisis de datos, en la opción Estadística Descriptiva :
Para el ejemplo del apartado 2.1.2 correspondiente al número de aspiradoras vendidas 
diariamente por un distribuidor, las mismas resultaron :
Número de Aspiradoras
 Media 88,44
 Error típico 0,32
 Mediana 88,00
 Moda 88,00
 Desviación estándar 2,23
 Varianza de la muestra 4,99
 Curtosis -0,22
 Coeficiente de asimetría 0,05
 Rango 10
 Mínimo 84
 Máximo 94
 Suma 4422
 Cuenta 50
Con respecto al ejemplo del apartado 2.1.3 correspondiente a la superficie cubierta de las 
viviendas de los alumnos ingresantes a una escuela las mismas resultaron : 
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 32 
 Superficie cubierta (en m2)
 Media 113,90
 Error típico 3,41
 Mediana 112,50
 Moda 120,00
 Desviación estándar 18,70
 Varianza de la muestra 349,54
 Curtosis -0,33
 Coeficiente de asimetría 0,35
 Rango 71
 Mínimo 80
 Máximo 151
 Suma 3417
 Cuenta 30
2.2.3 COEFICIENTE DE VARIACION
Es una medida de variación relativa. Se simboliza c.v. y es igual a :
 100... x
svc = 
Es el desvío estándar expresado como porcentaje de la media aritmética, por lo tanto no viene 
expresado en unidades.
Es útil para la comparación de la variabilidad relativa entre distribuciones que no están 
expresadas en la misma unidad de medida o bien, entre distribuciones que si bien están 
expresadas en la misma unidad, poseen promedios muy dispares.
Ejemplo : 
En febrero del año pasado, los datos de préstamos personales de una mutual mostraron 
un promedio de $650 y una desviación estándar de $300. Recientemente se calculó la 
media y la desviación estándar correspondiente a los préstamos personales de febrero 
del presente año resultando las mismas $ 900 y $ 350 respectivamente.
¿En cuál de los dos años los préstamos personales presentaron menor dispersión 
relativa?
c.v. año pasado = ( 300 / 650 ) . 100 = 45%
c.v. presente año = ( 350 / 900 ) . 100 = 39%
La menor dispersión relativa se presenta en los préstamos personales otorgados este 
año por la mutual. 
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 33 
2.3 REGLA EMPIRICA 
Es posible que dos conjuntos de datos distintos tengan el mismo rango pero difieran 
considerablemente en el grado de variación de los datos. En consecuencia, el rango es una 
medida relativamente insensible de la variación de los datos. La varianza tiene importancia 
teórica, pero es difícil de interpretar porque las unidades de medición de la variable de interés 
están elevadas al cuadrado. En cambio, las unidades de medición de la desviación estándar 
son las unidades de la variable. Si la desviación estándar se combina con la media del conjunto 
de datos, resulta fácil interpretarla. Una regla práctica útil es la que se conoce como regla 
empírica, a saber:
Si un conjunto de datos tiene una distribución aproximadamente simétrica se pueden utilizar 
las siguientes reglas prácticas para describir el conjunto de datos:
 Aproximadamente el 68 % de las observaciones quedan a una desviación estándar de su 
media (es decir, dentro del intervalo s ±x )
 Aproximadamente el 95 % de las observaciones quedan a dos desviaciones estándar de su 
media (es decir, dentro del intervalo s 2 ±x )
 Casi todas las observaciones quedan a tres desviaciones estándar de su media (es decir, 
dentro del intervalo s 3 ±x )
La regla empírica es el resultado de la experiencia práctica de investigadores en muchas 
disciplinas, que han observado muy diferentes tipos de conjuntos de datos de la vida real.
Fuente : Estadística Elemental. Johnson – Kuby pag 82
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 34 
Con respecto al ejemplo del apartado 2.1.3 correspondiente a la superficie cubierta de las 
viviendas de los alumnos ingresantes a una escuela, la media es 113,8 m2 y la desviación 
estándar 18,267 m2.
Las proporciones del número total de observaciones que se esperaría encontrar en 
los intervalos s ±x , s 2 ±x y s 3 ±x según la regla empírica, así como las 
proporciones reales, se presentan en la siguiente tabla:
k x ± k s
Proporción esperada de 
observaciones en el 
intervalo
Proporción real de 
observaciones en el 
intervalo
1 95,533 – 132,067 0,68 0,67
2 77,266 – 150,334 0,95 1,00
3 58,999 – 168,601 Aproximadamente 1,00 1,00
En caso de conocer la distribución de frecuencias, lógicamente se encuentran las proporciones 
reales de las observaciones para los distintos intervalos y no se aplica la regla empírica.
2.4 DIAGRAMAS DE CAJA O BOX - PLOT
Representa los tres cuartiles junto con los dos valores extremos de las observaciones.
Los diagramas de caja que se presentan a continuación ( confeccionados con PHStat ), 
corresponden a los datos observados para las características “número de aspiradoras 
vendidas” y “superficie cubierta de la vivienda” analizadas anteriormente en el desarrollo de las 
distribuciones de frecuencias de las variables discretas y continuas, respectivamente.
Nº Aspiradoras
 Nº Aspiradoras
82
84
86
88
90
92
94
96G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 35 
Superficie cubierta
 Superficie
70
90
110
130
150
El lado inferior de las cajas corresponde al primer cuartil, el lado superior al tercer cuartil y el 
segmento que divide a las cajas al segundo cuartil. Un segmento de recta une el lado inferior 
de las cajas con el mínimo valor observado y otro segmento une el lado superior de las cajas 
con el máximo valor observado.
Constituyen una herramienta eficaz para el análisis de la simetría de una distribución de 
frecuencias y su estudio comparativo con otras distribuciones.
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 36 
• DETECCION DE VALORES ANOMALOS (outliers)
Hay ocasiones en que un conjunto de datos contiene observaciones inconsistentes y es proba-
ble que no se desee incluirlas para su análisis. Cuando dichas observaciones se salen del in-
tervalo de valores de datos que se quiere describir, se denominan valores anómalos u
outliers.
Una observación “x” que es inusualmente grande o pequeña en relación con los demás valores 
de un conjunto de datos se denomina valor anómalo. 
Uno de los métodos para determinar si una observación es un valor anómalo es observar si el 
valor absoluto de z es anormalmente grande.
El valor “z” de un valor “x” de un conjunto de datos es la distancia a la que se encuentra x 
por arriba o por debajo de la media, medida en unidades de la desviación estándar:
Estos valores por lo general son atribuibles a una de las siguientes causas:
 La observación se registra incorrectamente.
 La observación proviene de una población distinta.
 La observación es correcta pero representa un suceso poco común (fortuito)
 2.5 TRANSFORMACIONES LINEALES
Supongamos una variable “x” con media aritmética ( x ) y varianza ( s2x ) y una variable “y” 
de la forma:
 y = a + b x
Se demuestra fácilmente que:
• x b a y += ( media aritmética de la variable y )
• 2x
2
y s b s
2= ( varianza de la variable y )
• sy = b sx ( desvío estándar de la variable y )
En el caso b = 1, lo único que se hace es sumar una constante (a). La media aritmética de la 
nueva variable quedará incrementada en un valor igual al de la constante (a) y el desvío 
estándar, que es una medida de dispersión, permanece igual.
En cambio, si la variable es multiplicada por una constante b ≠ 1, esto produce una contracción 
o una dilatación de la distribución (según sea b menor o mayor que 1) lo que se refleja en la 
varianza. 
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
s
x-x zValor =
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 37 
Ejemplo :
Sea la variable x : número de días completos trabajados en un año por operario de una fá-
brica. 
Se conoce que el promedio de la variable x es 290,1 días con una desviación de 2,2 días. 
Cada día no trabajado ocasiona a la fábrica una pérdida de $ 150. 
Calcule la pérdida anual promedio por operario y su desvío estándar (considere 300 días la-
borables en el año).
y : pérdida anual por operario
yi = ( 300 - xi ) 150
de donde :
= ( 300 - 290,1 ) 150 = $ 1485 pérdida anual promedio por operario
 sy = 150 . 2,2 = $ 330 desviación estándar de la pérdida anual por operario
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
y
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 38 
2.6 TRABAJO PRACTICO
1.- Analice los siguientes gráficos6. Comente.
 
 a ) El siguiente gráfico representa una reducción ( en el año 1990 con respecto al año 
anterior ) del 50% en el número de barriles de petróleo extranjero utilizado en el proceso 
de manufactura de productos de películas por una empresa. 
b)
¿Quién creen los propietarios que es el líder en bienes raíces?
6 Los gráficos fueron realizados por Diego Martínez Viademonte, alumno que cursó la asignatura en el año 2003
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
120,000
60,000
1989 1990
B
ar
ril
es
Liderazgo
3%
2% 2%
32%
11%
COLDWELL BANKER
E.R.A.
GALLERY
CENTURY
otros
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 39 
c)
Chevrolet. Los camiones más formales y de mayor duración.
Más del 98% de los camiones Chevy vendidos durante los últimos 10 años siguen en el camino.
Chevrolet. Los camiones más formales y de mayor duración.
Más del 98% de los camiones Chevy vendidos durante los últimos 10 años siguen en el camino.
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
Como una roca
95
96
97
98
CHEVY FORD TOYOTA NISSAN
Camión
Po
rc
en
ta
je
Como una roca
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
CHEVY FORD TOYOTA NISSAN
Camión
Po
rc
en
ta
je
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 40 
2.- En una editorial se clasificaron las publicaciones del año anterior según su carácter y se 
obtuvo que el 45% de las publicaciones eran científicas, el 17% técnicas, 16% literarias, 
12% artísticas y 10% de otro carácter.
 Presente un informe respecto a las publicaciones de la editorial.
3.- Una fábrica de estéreos desea estudiar la relación entre el número de piezas defectuosas y 
el momento de la jornada de trabajo en que se producen las mismas. Se fijaron tres 
períodos de la jornada : 6 – 7 horas ; 10 – 11 horas y 13 – 14 horas y en cada uno de ellos 
se observó durante treinta días el número de defectuosos. Los resultados obtenidos fueron:
 1° período 48
1
10
4
6
3
4
5
6
10
5
4
7
8
6
10
6
3
9
7
7
6
5
6
6
5
7
9
5
 2° período 63
2
6
4
6
5
5
7
9
8
8
5
6
6
7
4
6
6
4
5
7
7
6
4
6
6
5
5
7
 3° período 411
5
12
6
9
9
14
8
12
10
9
12
11
11
13
12
12
10
11
9
13
9
14
10
12
8
10
7
13
 
Compare y concluya respecto de la relación entre el número de piezas defectuosas y el 
momento de la jornada de trabajo.
4.- Los siguientes datos corresponden a los tiempos de duración (en segundos) de 100 temas 
de rock. Realiza un análisis descriptivo completo de la información:
Tiempo Frecuencia
135 ≤ t < 145 8
145 ≤ t < 155 9
155 ≤ t < 165 18
165 ≤ t < 175 20
175 ≤ t < 185 35
185 ≤ t < 195 10
5.- A los efectos de organizar las compras de gaseosas para la fiesta de fin de curso de un 
instituto, se le preguntó a cada uno de los 200 integrantes de la comunidad educativa la 
gaseosa preferida. 
Completa la siguiente tabla a doble entrada considerando que:
♦ el 20 % de los docentes y el 30 % de los alumnos prefieren naranja
♦ de los no docentes , el 40 % prefieren cola y el 20 % prefieren pomelo
♦ el porcentaje de alumnos que prefieren pomelo es igual al de los docentes que prefieren 
la misma gaseosa
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 41 
 Integrante
s
Gaseosa
 Docentes No docentes Alumnos Totales
ColaPomelo 4
Naranja
Totales 40 10
6.- Una compañía de seguros registró entre sus asegurados el número de accidentes del año 
2003, obteniendo la siguiente información:
 Edad del asegurado
N° de accidentes
[18-28) [28-38) [38-48) [48-58) 58 y más Totales
0 748 821 786 720 672
1 84 50 41 66 60
2 41 15 12 16 25
más de 2 10 9 5 5 8
Totales
En base al cuadro anterior responde:
a) ¿Qué porcentaje de asegurados no tuvo accidentes durante 2003?
b) Analiza en qué rango de edades hay el mayor y el menor porcentaje de asegurados 
que tuvieron al menos un accidente.
c) Si la compañía decide no renovar el seguro a todos aquellos asegurados que hayan 
tenido más de dos accidentes, ¿cuántos asegurados están en condiciones de renovar 
su seguro en 2004?
d) ¿Cuál puede haber sido el objetivo de este estudio?
e) La compañía decide dar un premio del 5% de descuento sobre el valor de la póliza del 
año 2004 a todos aquellos asegurados que no sufrieron accidentes en 2003. El valor 
promedio de cada póliza es de $ 3.200, ¿cuánto dejará de ganar la compañía en 2004 
por la implementación de dicho premio?
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 42 
7.- La siguiente es la distribución de frecuencias de los sueldos de los empleados 
administrativos de una industria:
Sueldo ( x ) ( en $ ) Número de empleados
200 < x ≤ 400 10
 400 < x ≤ 600 25
 600 < x ≤ 800 40
 800 < x ≤ 1000 10
1000 < x ≤ 1200 2
 
a) Calcule las medidas descriptivas que crea conveniente para representar los datos e 
interprete sus resultados.
b) El sueldo promedio de los 1000 operarios de esa industria es de $ 490. Obtenga el 
sueldo promedio para el conjunto de ambas categorías de empleados.
c) Si conociera la mediana y la moda para la categoría de los operarios, ¿podría calcular 
esas medidas para el conjunto de todos los trabajadores de la industria?
d) Si se aumentara en un 10 % el sueldo de cada empleado, calcule sueldo promedio y 
varianza.
e) Si a cada empleado se le aumenta el sueldo en 50 $, calcule sueldo promedio y varian-
za.
8.- Los siguientes datos son mediciones de viscosidad de un producto químico tomadas cada 
hora (de arriba abajo y de izquierda a derecha).
47,9 48,8 48,6 43,2 43,0
47,9 48,1 48,0 43,0 42,8
48,6 48,3 47,9 43,5 43,1
48,0 47,2 48,3 43,1 43,2
48,4 48,9 48,5 43,0 43,6
48,1 48,6 48,1 42,9 43,2
48,0 48,0 48,0 43,6 43,5
48,6 47,5 48,3 43,3 43,0
a) Grafique de la manera más conveniente.
b) Las especificaciones sobre la viscosidad del producto son 48 + 2. ¿Qué conclusiones 
puede obtener sobre el desempeño del proceso?
9.- En un proceso de producción interesa controlar el diámetro ( X ) de un tipo de lata ( en mm ). 
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 43 
 Se seleccionan al azar 160 latas a las cuáles se les mide el diámetro y se obtiene la 
siguiente distribución de frecuencias:
Diámetro de las latas Cantidad de latas
83,4 ≤ x < 83,5 3
83,5 ≤ x < 83,6 12
83,6 ≤ x < 83,7 21
83,7 ≤ x < 83,8 30
83,8 ≤ x < 83,9 47
83,9 ≤ x < 84,0 28
84,0 ≤ x < 84,1 19
a) Indique la característica en estudio y clasifíquela. Dé la unidad elemental asociada a la 
variable o atributo. Grafique.
b) Calcule la media aritmética, mediana, moda , desvío estándar. Analice la simetría.
c) De otra muestra de 200 observaciones del diámetro de la lata mencionada se obtuvo 
un promedio de 83,93 mm con una desviación estándar de 0,20 mm. ¿Puede a partir 
de estos datos encontrar el promedio de las observaciones de las dos muestras? En 
caso afirmativo, encuéntrelo. En caso negativo, justifique porqué.
d) ¿Cuál de la dos muestras (la primera de 160 observaciones y la segunda de 200 
observaciones) presenta menor dispersión relativa? Justifique la respuesta.
10.- Para comparar la capacidad de frenado de tres diseños de bandas de rodamiento, se 
midió la distancia necesaria para detener un tipo de automóvil que se desplazaba sobre 
pavimento húmedo. Los neumáticos de cada diseño fueron probados en el mismo 
vehículo que circulaba sobre un pavimento húmedo controlado.
 Diseño A Diseño B Diseño C
37 – 36 – 34 – 40 – 38 - 32 33 – 34 – 35 – 38 – 42 - 34 40 – 39 – 41 – 41 – 40 - 43
Construya un gráfico de cajas para cada uno de los tres diseños y presente un informe 
con sus conclusiones.
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 44 
2.7 COMPLEMENTO PARA EL USO DE EXCEL
1. Se entra en Excel en HERRAMIENTAS
2. En COMPLEMENTOS DISPONIBLES se activan las opciones Herramientas para 
análisis y Herramientas para análisis VBA
3. Se activa ANALISIS DE DATOS ( ahora ya en Herramientas )
4. Para graficar se entra a la opción HISTOGRAMA
a) Rango entrada : se marca la columna en donde están los datos
b) Rango de clase : se marca la columna en donde se han dado los límites superiores de 
los intervalos de clase elegidos
c) Rango de salida : se elige dónde se quieren la distribución de frecuencias y el gráfico 
( puede ser en la misma hoja o en hoja nueva )
d) Se activa crear gráfico
e) Para los dos tipos de gráficos (bastones e histograma) se activa una barra.
 En OPCIONES: ANCHO DE RANGO:
- Si se lleva a 500 las barras se separan y se obtiene el gráfico de BASTONES
- Si se lleva a 0 las barras se unen y se obtiene el HISTOGRAMA
5.- En ANALISIS DE DATOS la opción ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA da el resumen de 
todos los estadísticos (posición, dispersión, asimetría etc.)
 G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
Anexo Estadística Descriptiva 
 
G.Carnevalli-E.Franchelli-G.Gervasoni 
 
1
ANEXO Nº 1 : ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 
 
RELACIÓN ENTRE VARIABLES 1 
 
Cuando se inicia una investigación o estudio estadístico se formulan interrogantes que nos 
remiten al análisis de una, dos o más variables. En el capítulo 2 se ha desarrollado 
principalmente el tratamiento de una sola variable (cualitativa o atributo y cuantitativa). 
A continuación, a través de tres ejemplos se analizará brevemente el tratamiento de: 
a) dos variables cualitativas (atributos) 
b) una variable cuantitativa y un atributo 
c) dos variables cuantitativas 
a) Dos variables cualitativas 
En un estudio sobre hábitos alimenticios, interesaba conocer si existía relación entre el 
consumo de productos dietéticos y el sexo. Se observaron 850 individuos. A continuación 
se presenta en forma parcial la matriz de datos: 
 Consumo de productos dietéticos por sexo 
Individuo Sexo Consumo producto dietético 
1 Mujer Consume 
2 Hombre Consume 
3 Mujer No consume 
4 Mujer Consume 
5 Mujer No consume 
6 Hombre No consume 
7 Mujer Consume 
... ... … 
850 Mujer Consume 
 
A partir de la matriz de datos se construye la siguiente tabla de contingencia: 
 
Sexo Consumen No consumen Total 
Hombre 150 300 450 
Mujer 350 50 400 
Total 500 350 850 
 
1 Extraído y adaptado de Estadística aplicada en las Ciencias Sociales y Humanas. Estadística I. 
Autores: Aguirre, C.; Niño, M.; Simonetti, E./ Editorial Universitaria de Misiones. Posadas, 2005. 
Anexo Estadística Descriptiva 
 
G.Carnevalli-E.Franchelli-G.Gervasoni 
 
2
En los márgenes de la tabla se observa que,de los 850 entrevistados 500 consumen 
productos dietéticos y 350 no los consumen. Considerando el sexo de los 850 
entrevistados, 450 son hombre y 400 mujeres. En el cuerpo de la tabla (que contiene la 
distribución conjunta) se observa que del total de individuos observados 150 son 
hombres que consumen productos dietéticos y 300 no. De la mujeres 350 los consumen y 
50 no. 
 
También se puede apreciar esta información en relación al total de individuos observados, 
lo que conduce a la siguiente tabla (en %) 
 
Sexo Consumen No consumen Total 
Hombre 18 35 53 
Mujer 41 6 47 
Total 59 41 100 
 
Se puede decir que, por ejemplo: 
 53 % de los entrevistados son hombre 
 59 % de los entrevistados consumen productos dietéticos 
 18 % de los entrevistados son hombre que consumen productos dietéticos 
 6 % de los entrevistados son mujeres que no consumen productos dietéticos 
 etc…… 
 
 REPRESENTACIÓN GRÁFICA 
 
Consumo de productos dietéticos 
según sexo
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Hombres Mujeres
Sexo
Po
rc
en
ta
je
Consumen
No consumen
 
 
 
Anexo Estadística Descriptiva 
 
G.Carnevalli-E.Franchelli-G.Gervasoni 
 
3
Consumo de productos dietéticos 
según sexo
0%
20%
40%
60%
80%
100%
Hombres Mujeres
Sexo
Po
rc
en
ta
je
No consumen
Consumen
 
 
 
b) Una variable cuantitativa y una cualitativa 
 Se estudió la relación entre el gasto diario de turistas a un determinado lugar de veraneo y 
el medio de transporte utilizado. El siguiente gráfico resume la información obtenida: 
 
REPRESENTACIÓN GRÁFICA 
 
 
La comparación de los tres box-plots indica que aquellos que viajan en auto presentan en 
general gastos menores y menos dispersos que los que viajan en avión u ómnibus. A su 
vez, entre los que viajan en ómnibus se observa una mayor variabilidad de los gastos con 
Anexo Estadística Descriptiva 
 
G.Carnevalli-E.Franchelli-G.Gervasoni 
 
4
una asimetría a la derecha. Los que viajan en avión tienen una mediana superior a los otros 
dos grupos y un valor anómalo u outlier. 
 
c) Dos variables cuantitativas 
Se estudió la relación entre el número de integrantes de 16 grupos turísticos que viajaron a 
un lugar de veraneo y el gasto diario que estos grupos realizaron. A continuación se 
presenta la matriz de datos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REPRESENTACIÓN GRÁFICA : DIAGRAMA DE DISPERSIÓN 
 
Gasto diario según número de 
integrantes del grupo turístico
0
100
200
300
400
500
600
0 1 2 3 4 5 6 7
Número de integrantes
G
as
to
 d
ia
rio
 ($
)
 
Grupo Integrantes Gasto diario ($) 
1 1 92 
2 5 235 
3 1 70 
4 6 505 
5 2 149 
6 6 460 
7 2 149 
8 6 343 
9 2 220 
10 3 155 
11 5 275 
12 3 180 
13 4 146 
14 4 280 
15 5 240 
16 3 160 
 Variable independiente (x) : 
Número de integrantes del grupo 
 Variable dependiente (Y) : 
Gasto diario del grupo (en $) 
 3.3. PROBABILIDAD
CONTENIDO
3 PROBABILIDAD................... 46
3.1 INTRODUCCION.........................................................46
3.2 LENGUAJE DE LA PROBABILIDAD...................... 46
3.3 DEFINICIONES DE PROBABILIDAD...................... 48
3.3.1 DEFINICION FRECUENCIAL DE PROBABILIDAD.............................. 48
3.3.2 DEFINICION CLASICA DE PROBABILIDAD O DE LAPLACE........... 50
3.3.3 PROBABILIDAD SUBJETIVA.................................................................... 51
3.4 PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD............ 51
3.5 REGLAS DE LA PROBABILIDAD........................ 51
3.5.1 PROBABILIDAD SIMPLE (o MARGINAL).......................................... 52
3.5.2 PROBABILIDAD CONJUNTA................................................................. 53
3.5.3 REGLA DE LA SUMA.................................................................................. 54
3.5.4 PROBABILIDAD CONDICIONAL............................................................. 55
3.5.5 INDEPENDENCIA ESTADÍSTICA............................................................. 56
3.5.6 REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN....................................................... 57
3.5.7 TEOREMA DE LAS PROBABILIDADES TOTALES............................ 59
3.5.8 TEOREMA DE BAYES............................................................................... 60
3.6 TRABAJO PRÁCTICO................................................62
PROBABILIDAD
3 PROBABILIDAD
3.1 INTRODUCCION
Tal vez esté familiarizado con algunas ideas de probabilidad, ya que ésta forma parte de la 
cultura cotidiana. Con frecuencia se escucha a personas que hacen afirmaciones relacionadas 
con la probabilidad como las siguientes:
 Probablemente nuestro equipo gane esta noche.
 Hay un 40 % de probabilidad de que llueva mañana.
 Tengo una posibilidad de 50-50 de aprobar el examen de estadística de hoy.
 Es más probable que nos encontremos un fin de semana que un día de la semana.
¿Qué significan exactamente este tipo de expresiones? ¿Significan de hecho lo que afirman?. 
Algunas afirmaciones pueden estar basadas en información científica y otras en prejuicios 
subjetivos. Cualquiera que sea el caso, son inferencias probabilísticas: no hechos, sino 
conjeturas.
Como ya se vio en el ejemplo de las elecciones de gobernador e intendente (capítulo 1, pag. 
5), no se puede tener la certeza de que el porcentaje de votos obtenido por un candidato 
cualquiera aparezca en una muestra aleatoria. Sin embargo, es “probable” que el porcentaje 
en la muestra resulte “próximo” al que se obtuvo en el acto eleccionario.
Se tiene como propósito definir “probable”, “próximo”, de manera más precisa. 
Para ello es necesario considerar en primer término una serie de nociones básicas sobre el 
conocimiento de las “leyes de probabilidad”. 
En este capítulo se estudiará el concepto básico de probabilidad y sus reglas aplicadas a 
sucesos simples y sucesos compuestos.
La teoría de la probabilidad es la base de la inferencia estadística y un instrumento esencial 
en el análisis de la variabilidad.
 
3.2 LENGUAJE DE LA PROBABILIDAD
 Experimento aleatorio
Es el tipo de fenómenos de que nos ocuparemos. Se caracterizan porque:
 aunque no se puede saber el resultado particular que ocurrirá, se puede describir el 
conjunto de todos los resultados posibles
 después de un gran número de repeticiones de la experiencia aleatoria, existe una 
distribución regular de los resultados. Es decir, a medida que el experimento se repite 
los resultados parecen ocurrir de manera caprichosa, sin embargo, ante un gran 
número de repeticiones aparece un modelo definido de regularidad. Esta regularidad 
hace posible la construcción de un modelo matemático que permite el análisis del 
experimento.
 Esto se puede visualizar en el ejemplo del lanzamiento de una moneda (ver punto. 
3.3.1, pag. 49).
G.Carnevalli-E.Franchelli-G.Gervasoni
46
PROBABILIDAD
“Aleatorio” en estadística no significa de cualquier manera, sino que se refiere a una 
clase de orden que únicamente aparece a largo plazo.
 Espacio muestral y sucesos
 En una experiencia aleatoria cada resultado se conoce con el nombre de suceso.
 Se llama suceso elemental a todo resultado simple. Por ejemplo, si se considera la 
experiencia aleatoria de tirar un dado, cada uno de los resultados: 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son 
sucesos elementales.
 Al conjunto de todos los sucesos elementales posibles se lo llama espacio muestral 
(S)
En el ejemplo S = {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
Simbólicamente: S = {s1, s2, s3..... }
El espacio muestral puede ser finito o infinito, numérico o no numérico 
 Un suceso que no puede ocurrir ante una repetición de la experiencia aleatoria es un 
suceso imposible. Se lo suele indicar ∅.
 Relaciones entre sucesos
Sean A, B y C sucesos asociados a una experiencia aleatoria. Las posibles relaciones 
entre los mismos se muestran a continuación gráfica y simbólicamente:
a 
 Complemento A ∪ A = S
 
b
 Mutuamente excluyentes