1 - electrostatica_corriente_continua - Javier Palacios

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1
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO 
v.1.4 
Notas de clase del Prof. Dr. R.Tinivella. Se ponen a disposición de los alumnos como una guía de 
estudio pero no reemplazan el uso de un libro de texto. Se agradecerá al lector que detecte errores o 
desee hacer sugerencias comunicarlo a rtinivella@frro.utn.edu.ar. 
 
Electrostática 
 
La electrostática estudia las interacciones entre cargas eléctricas en reposo en un sistema inercial, 
nombre que reciben aquellos sistemas de referencia en que se cumplen las Leyes de Newton, en 
particular el Principio de Acción y Reacción de la Mecánica, lo que asegura que no es un sistema 
acelerado. Recuérdese que todo sistema que se mueve con velocidad constante respecto de un 
sistema inercial, es a su vez inercial. 
 
Ley de Coulomb 
 
La Ley de Coulomb establece que dos cargas eléctricas aisladas interactúan a lo largo del segmento 
de recta que las une con una fuerza proporcional al producto de las cargas, con su signo - de modo 
que esta fuerza resulta atractiva entre cargas de signo opuesto y repulsiva entre cargas de igual 
signo - e inversamente proporcional a la distancia que las separa. Esto puede expresarse 
simbólicamente de la siguiente manera: 
1 2
2,1 2 13
2 1
.. .( )q qF k r r
r r
= −
−
r r r
r r (E.1) 
La unidad de carga eléctrica es el Coulombio, C ( o Coulomb) en el Sistema Internacional de 
Unidades, incorporado al Sistema Métrico Legal Argentino (SIMELA). k es una constante muy 
aproximadamente igual 9x109 N m2/C2 en este sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La ecuación (E.1) merece una lectura cuidadosa: q1 y q2 son las cargas eléctricas ubicadas por sus 
vectores posición r1 y r2 respectivamente; el vector 1 2( )r r−
r r
tiene la dirección desde q2 hacia q1 y 
su módulo es igual a la distancia entre las mismas. Esta ecuación nos da en forma completa cuál es 
la fuerza que la carga q1 ejerce sobre la carga q2 ; préstese atención a que el vector diferencia entre 
x 
z 
y 
q1 
q2 
F12 
r1 
r2 
r2-r1 
Fig. 1 
 2
los vectores posición de ambas cargas dividido por su módulo nos da el versor (vector de módulo 
unidad) en la dirección de la fuerza actuante, cuyo valor resulta entonces inversamente proporcional 
al cuadrado de la distancia entre cargas. El intercambio en la ecuación (E.1) de los índices 1 y 2 
nos dará la fuerza ejercida por la carga q2 sobre la carga q1 . En electrostática se cumple el principio 
de acción y reacción. 
El Coulomb o Coulombio resulta ser una unidad de carga muy grande y normalmente deben 
utilizarse submúltiplos de la misma. Se invita al lector a verificar este punto calculando la fuerza 
entre dos cargas de un Coulombio a un metro de distancia una de la otra. 
 
En electrostática, el capítulo de la Física en que nos estamos introduciendo vale el Principio de 
Superposición, lo que implica que si existe una configuración integrada por múltiples cargas 
eléctricas la fuerza electrostática sobre una de ellas será la suma (vectorial !!!!!!!) de las fuerzas 
ejercidas por cada una de las otras, o sea 
3 3
.
. .( ) . . .( )j i ij i j j i j i j j i
i ij j
q q qF k r r k q r r
r r r r≠ ≠
= Σ − = Σ −
− −
r r r r r
r r r r (E.2) 
Por razones teóricas y de adecuación al sistema de unidades se define una nueva constante a través 
de la ecuación 
 
0
1
4
k
πε
= 
ε0 se llama permitividad eléctrica del vacío y vale 8,85 x 10-12 C2/N.m2. 
 
 
Campo eléctrico 
 
De lo visto hasta aquí, surge que para conocer la fuerza electrostática sobre una carga es necesario 
conocer el valor y posición de todas las demás cargas del universo, del mismo modo que para 
conocer la fuerza gravitatoria sobre un cuerpo masivo sería necesario conocer el valor y posición de 
todas las masas existentes. De la misma manera que en gravitación, se recurre a la descripción de la 
realidad física a través del concepto de campo. 
Desde el punto de vista físico reemplazamos todas las cargas, excepto las de nuestro interés directo, 
por el efecto que ellas causan en el espacio. Como la interacción electrostática es vectorial, esto da 
lugar a la creación de un espacio o campo vectorial, lo que permite utilizar toda la teoría 
matemática desarrollada para los campos vectoriales. 
Dada una carga de prueba, lo que se entiende por una carga lo suficientemente pequeña como 
para que su efecto en la configuración general en estudio sea pequeña, definimos como campo 
eléctrico a la fuerza eléctrica que actúa sobre ella dividida por su valor. En otras palabras, el 
campo eléctrico en un punto es la fuerza por unidad de carga actuante sobre una carga de prueba 
allí colocada. 
o
FE
q
=
r
r
 
El campo eléctrico tiene en consecuencia la unidad N/C, Newton sobre Coulombio en el SIMELA 
sin tener nombre particular. 
El campo eléctrico creado por una configuración discreta de cargas será 
 3
3( ) . .( )
i
i i
i
qE r k r r
r r
= Σ −
−
r r r
r r (E.3) 
Asociado al campo eléctrico, resulta muy útil el concepto de línea de campo, que consiste en hacer 
un mapa en el espacio con líneas que en cada punto tienen la dirección del campo eléctrico. La 
densidad de líneas dibujadas se corresponde con la intensidad de campo en cada punto. Como la 
configuración de campo será en general tridimensional se recurre a proyecciones en dos 
dimensiones como así también a diagramas cualitativos. Dado que el campo eléctrico tiene en cada 
punto una dirección única, las líneas de campo no pueden cortarse, ni tocarse mutuamente. 
 
Es común cometer el error de suponer que una carga de prueba libre seguirá las líneas de campo. 
Basta para evitar este error tener en cuenta que comúnmente las líneas de campo son curvas y en 
consecuencia no pueden ser seguidas por una partícula masiva a menos que exista una fuerza 
normal a la misma que provoque la necesaria aceleración centrípeta. Las líneas de campo 
coincidirán con la trayectoria de la carga sólo si éstas son rectas y la velocidad inicial de la partícula 
es nula o colineal con el campo. 
 
Si bien es un hecho natural que la carga eléctrica es discreta, es muchas veces ventajoso desde el 
punto de vista físico considerar distribuciones continuas. De la misma manera que se hizo en 
mecánica al definir la densidad de masa, puede definirse una densidad lineal, superficial o 
volumétrica de carga, sólo que el diferencial de longitud, superficie o volumen considerado no 
puede ser “tan pequeño como se quiera” como en matemáticas, sino que debe ser suficientemente 
grande como para incluir un número de cargas suficiente para que el efecto de las discontinuidades 
sea despreciable. 
 
En el caso de existir distribuciones volumétricas de carga la expresión del campo electrostático se 
transforma en 
' '
' '
' ' ' '
3 3' '
0
1. ( ). . . ( ). .
4. .v v
r r r rE k r dv r dv
r r r r
ρ ρ
π ε
− −
= =
− −
∫ ∫
r r r rr r r
r r r r (E.4) 
donde la integral se extiende sobre todo volumen cargado (conexo o no). 
 
Teorema de Gauss 
 
“El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga neta dentro 
de la misma , dividida por ε0.” 
 
Supongamos una carga puntual q encerrada en una superficie S cualquiera 
 
 
 
 
 
 
 
 
n 
dS 
q 
S
E 
Fig. 2 
 4
 
 
El flujo del campo eléctrico generado por q, que fluye a través de S vale 
3
0
( ) .. .
4
q
S S q
r rq nE n ds dS
r rπε
−
=
−
∫∫ ∫∫
r r rr r
 (E.5) 
pero es inmediato que 
3
( ) .q
q
r r n dS d
r r
−
= Ω
−
r r r
 (E.6) 
es el elemento de ángulo sólido subtendido desde la carga a cada elemento de superficie integrado, 
y siendo ésta interior a la superficie, su integral sobre el total de la misma es igual a 4π y 
0
. .
S
qE n ds
ε
=∫∫
r r
 (E.7) 
Supongamos ahora la misma u otra superficie y una carga fuera de la misma 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vemos que la superficie cerrada puede dividirse en dos partes, I y II, que subtienden el mismo 
ángulo sólido a la carga y que en cada una de esas partesel producto escalar del campo eléctrico por 
la normal exterior a la superficie cambiará de signo por lo que su flujo a través de la superficie 
cerrada será en este caso nulo. 
Teniendo en cuenta que la carga eléctrica es discreta y que vale el principio de superposición queda 
probado que sólo contribuyen al flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada las 
cargas ubicadas dentro de la misma. Como además el campo generado por las cargas positivas y 
negativas tiene distinto sentido el flujo total del campo eléctrico multiplicado por ε0 será igual a la 
carga neta dentro de la superficie. 
Este teorema es muy importante pues aunque sólo relaciona las cargas dentro de una superficie 
cerrada con el flujo del campo eléctrico, puede utilizarse para calcular campos si se conoce la 
simetría del mismo y para importantes deducciones teóricas y prácticas. 
 
Potencial Eléctrico. Energía potencial. 
 
Calculemos el trabajo para llevar una carga puntual del punto A al punto B en contra del campo 
eléctrico 
 
 
 
 
d
n
q
E
II
I
Fig. 3 
B 
A 
E 
dl Fig. 4 
 5
 
 
 
 
.
.
B
AB A
dW E dl
W E dl
= −
= −∫
rr
rr (E.8) 
 
Este trabajo (como cualquier otro) es una “integral de línea”, por lo que sólo la componente del 
campo eléctrico tangente a la curva en cada punto contribuye a la integral. Es inmediato ver que 
para el campo electrostático creado por una carga puntual esta integral es independiente del 
camino de integración, ya que cada elemento puede descomponerse en la dirección radial desde la 
carga, que contribuye a la integral, y la perpendicular a la misma, que no contribuye. Una 
configuración cualquiera es siempre la superposición de efectos de cargas puntuales, ya que la carga 
eléctrica es discreta, por lo que finalmente puede concluirse que la integral de (E.8) es 
independiente del camino (obviamente si eludimos puntos ocupados por cargas, que harían diverger 
la integral, u otros puntos singulares). Si esto se cumple dentro de un dominio simplemente conexo, 
esto asegura que en ese dominio el campo electrostático es conservativo y podrá derivarse de una 
función potencial. 
Como se demostrará en el curso correspondiente de Análisis Matemático, un campo conservativo es 
el gradiente de una función potencial. El gradiente de una función multiplicado escalarmente por 
el versor de una dirección es la derivada direccional en esa dirección y en ausencia de 
singularidades eso asegura la independencia de la trayectoria de integración de la integral, que 
dependerá sólo de los puntos inicial y final. 
Definimos como potencial electrostático al trabajo por unidad de carga realizado en contra del 
campo electrostático y que se transformará en una energía potencial por unidad de carga, que 
podrá ser recuperada nuevamente en forma de trabajo. Este potencial suele indicarse con las letras 
V o Φ, (nosotros usaremos V), siendo 
E
E V
= −∇Φ
= −∇
r r
r r ó (E.9) 
La energía potencial electrostática, como cualquier otra, se medirá en joules, en consecuencia 
[ ] [ ][ ]
W Joule JV voltio V
q Coulomb C
= = = = = 
la unidad en el Sistema Internacional y el SIMELA es el Joule/coulombio que recibe el nombre 
especial de Voltio=V. 
 
Ejemplos de aplicación 
 
Campo eléctrico generado por una línea cargada 
 
 
 
 
 
 
 
 
z 
distancia al hilo 
conductor 
P, punto de cálculo 
ρ 
r 
θ 
λ [C/m] 
dz 
Fig. 5 
 6
 
 
Se trata de calcular el campo eléctrico generado por una línea recta con una densidad de carga por 
unidad de longitud λ, a una distancia ρ. 
 
Cada elemento de carga, dado por cada elemento de longitud multiplicado por la densidad lineal de 
carga contribuirá al campo electrostático con: 
 
2
2
. . .cos( )
. . .sen( )
0
z
k dzdE
r
k dzdE
r
dE
ρ
φ
λ θ
λ θ
=
=
=
 (E.10) 
 
quedando las componentes de la contribución al campo eléctrico expresadas en coordenadas 
cilíndricas (ρ,φ,z), suponiendo que la línea cargada coincide con el eje z. 
 
Obsérvese que lo ya estudiado asegura que no tendremos componente del campo electrostático en la 
dirección del ángulo azimutal φ (La Ley de Coulomb es “plana”). 
Dado que 
2
2
2
2
.tg( )
.
cos ( )
cos( ) cos ( )
z
ddz
r r
ρ θ
ρ θ
θ
ρ ρ
θ θ
=
=
= ⇒ =
 
 
Las ecuaciones (E.10) pueden reescribirse e integrarse del siguiente modo 
 
 
2
1
. .cos( ).E k d
θ
ρ
θ
λ θ θ= ∫ 
2
1
. .sen( ).zE k d
θ
θ
λ θ θ= ∫ 
Si λ es constante y la línea cargada es de longitud infinita resulta 
0
2. .
2. . .
0
0
z
kE
E
E
ρ
φ
λ λ
ρ π ε ρ
= =
=
=
 
ya que la integral en z se anula por simetría. 
 7
Obsérvese que en este caso, λ=cte y longitud infinita de la línea se puede, ya que se conoce la 
simetría del campo por razones físicas, obtenerse el mismo resultado por aplicación del teorema de 
Gauss de la electrostática. Lo mismo no sería posible si λ no fuera constante o la línea no fuera de 
longitud infinita (habría efectos de borde). 
 
El potencial electrostático quedaría dado entonces por 
0
( ) .ln( )
2. .
V Cλρ ρ
π ε
= − + 
De la misma manera que en mecánica el potencial electrostático y por tanto la energía potencial 
electrostática están definidos a menos de una constante arbitraria. En este caso particular, como el 
potencial diverge para distancias muy pequeñas o muy grandes de la línea cargada se suele tomar 
V(ρ)=0 para ρ=1 con lo que C=0 y 
0
( ) .ln( )
2. .
V λρ ρ
π ε
= − (E.11) 
 
 
Potencial y campo eléctricos generados por una esfera cargada . 
 
Supongamos tener una esfera con una densidad de carga por unidad de volumen ρ(r’). 
Comenzaremos calculando el potencial electrostático generado, ya que siendo éste una función 
escalar, es mas sencillo que calcular el campo eléctrico que es un vector. 
Es importante en este tipo de problemas una elección de coordenadas y sistema de referencia que 
faciliten el cálculo. Como la densidad de carga tiene simetría esférica y la ley de Coulomb y sus 
derivaciones sugieren esta simetría para campo y potencial, plantearemos el problema en 
coordenadas esféricas con origen en el centro geométrico de la distribución esférica de cargas.. 
 
 
 
 r θ 
 
 
 
 
 
' ' ' '2 '
' 2 '2 '
( ). ( ). .sen( ). . .( ) . .
2 cos( )
r dv r r dr d ddV r k k
r r r r rr
ρ ρ θ θ φ
θ
= =
− + −
r r 
 
'
' '2 '
2 '2 '
( ). .sen( ). . .( ) .
2 cos( )v
r r dr d dV r k
r r rr
ρ θ θ φ
θ
=
+ −∫∫∫
 (E.12) 
pero 
'
2 '2 '
2 '2 '
. sen( ) 2 cos( )
2 cos( )
r r d r r rr
dr r rr
θ θ
θθ
= + −
+ −
 
 
 
Fig. 6 
r’ r-r’ 
P 
z 
V’ 
r 
 8
que introducido en (E.12), e integrando en θ y en φ nos da 
' ' ' 2 '2 ' 2 '2 '
0 0
2.( ) ( ) ( 2 2 )
4. .
R
V r r r dr r r rr r r rr
r
π ρ
π ε
= + + − + −∫
r
 
teniendo en cuenta que 
3 '
' ' 2 '2 '. . 2
3 2
r rrr dr r r rr+ ± = ±∫ 
y si ρ(r’) es constante 
3
0 0
4 /3. . .( )
4. . . 4. . .
R QV r
r r
π ρ
π ε π ε
= =
r
 (E.13) 
Préstese atención a que si bien el potencial eléctrico es una función escalar, es función de todas las 
coordenadas espaciales, lo que se indica a través del vector posición del punto en que se calcula. En 
este caso particular, habiendo isotropía respecto del origen de coordenadas la diferencia sólo es 
respeto por la nomenclatura pero en un caso general el potencial electrostático será igualmente 
escalar pero variará como función del vector posición. 
Si ρ(r’) no es constante pero tiene simetría esférica, tendremos también un potencial de simetría 
esférica con el mismo centro. En ambos casos el potencial, fuera dela esfera, es el mismo que si 
toda la carga estuviera concentrada puntualmente en el centro de simetría. 
El campo eléctrico queda dado por 
3
0
( ) ( )
4. .
Q rE r V r
rπ ε
= ∇ =
rr rr r
 (E.14) 
siendo su módulo 
2
0
( ) ( )
4. . .
QE r E r
rπ ε
= =
r r r
 (E.15) 
nótese nuevamente que el módulo del campo eléctrico es un escalar función del vector posición. 
 
Si desde un principio damos por conocida la simetría del problema puede ser resuelto con ayuda del 
teorema de Gauss, de la siguiente manera: 
Elegimos una superficie esférica concéntrica con la esfera cargada (a estas superficies auxiliares se 
las suele llamar superficie de Gauss, o gaussiana, para indicar concisamente su objeto). 
El teorema de Gauss nos dice que 
'
' '
0
1. . ( ).
S v
E n dS r dvρ
ε
=∫ ∫∫∫
r v
 (E.16) 
 
S 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
r 
R 
ρ(r’)
 
v’ 
Fig. 7 
 9
 
Si ρ(r)=cte y R≥r 
 
Entonces tendremos 
2 3
0
0
0 0
2
0
44. . . . . .
.3
.
3.
. . .
3. . 3.
.( )
6.
r E r
rE
r r rE
r
rV r
π π ρ
ε
ρ
ε
ρ ρ
ε ε
ρ
ε
=
=
= =
=
r rr
v
 (E.17) 
 
La dependencia inversa con el cuadrado de la distancia de la fuerza electrostática hace que una 
distribución isótropa de cargas sobre una cáscara esférica no produzca campo en los puntos 
interiores. Esto puede verse con el mismo esquema utilizado para demostrar el Teorema de Gauss: 
desde cada punto interior a una cáscara esférica se subtiende siempre el mismo ángulo sólido a la 
misma en las direcciones opuestas por lo que los efectos de las cargas allí distribuidas 
(uniformemente) se cancelan. Cómo se recordará sucede lo mismo con el campo gravitatorio que 
tiene igual dependencia. 
 
Si ρ(r)=cte y R<r 
 
2 3
0
3
2
0
3
2 3 3
0 0 0
3
0 0
44. . . . . .
.3
.
3. .
. . . .
3. . 3. 4. .
.( )
3. . 4. . .
r E R
RE
r
R r r Q rE
r r r r
R QV r
r r
π π ρ
ε
ρ
ε
ρ ρ
ε ε π ε
ρ
ε π ε
=
=
= = =
= =
r r rr
v
 (E.18) 
siendo Q la carga total de la esfera. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E 
r 
R Fig. 8 
 10
El módulo, o intensidad, del campo eléctrico crece linealmente con r dentro de la esfera cargada, y 
decrece parabólicamente fuera de ella. Nótese que el gráfico está hecho considerando ρ>0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El potencial crece parabólicamente dentro de la esfera cargada y decrece hiperbólicamente fuera de 
ella. En este caso está implícitamente fijado V=0 para r→∞. 
 
 
Si ρ(r) no es constante pero sí ISOTROPA. 
 
En el caso de que ρ no sea constante pero tenga simetría esférica la configuración de campo y 
potencial será distinta funcionalmente a la más arriba calculada para puntos interiores a la esfera. 
Estas dependencias funcionales dependerán de la dependencia funcional de ρ con r y deberán 
calcularse según el segundo miembro de (E.16). Las dependencias fuera de la esfera serán iguales 
pues sólo dependen de la carga total dentro de la misma. 
 
Si ρ(r) no es ISOTROPA. 
 
En este caso NO PUEDE UTILIZARSE EL TEOREMA DE GAUSS !!!!!!…… para calcular el 
campo eléctrico y debe recurrirse al cálculo por integración directa según (E.4), calculando el 
potencial y luego su gradiente, o recurriendo a técnicas mas elaboradas que exceden el alcance de 
este curso. 
 
 
Potencial y campo eléctricos generados por un dipolo eléctrico. 
 
El dipolo eléctrico consiste en un sistema de cargas opuestas (igual módulo y distinto signo), 
separadas una distancia d. Se define para este sistema el momento dipolar como 
( ). . .( )r rp q d q r r
r r
+ −
+ −
+ −
−
= = −
−
r r
r r r
r r (E.19) 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 9 
V 
r 
R 
Fig. 10 
-q r+ - r- +q 
r+ 
r- 
 11
Convencionalmente se define el momento dipolar como dirigido de la carga negativa hacia la 
positiva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El potencial generado por este sistema en el punto O será: 
 
0
0
1
4. .
4. . .
q qV
r r
q r r
r r
π ε
π ε
+ −
− +
+ −
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
−
=
 (E.20) 
 
Nótese que estamos suponiendo que el dipolo está centrado en el orígen de coordenadas y que 
V(∞)=0. Si la distancia del punto O al dipolo es muy grande podemos hacer las aproximaciones 
siguientes: 
 
2
.cos( )
.
r r d
r r r
θ− +
− +
− =
=
 
 
con lo que queda 
 
2
0
2
0
2 3
0 0
. .cos( )
4. . .
.cos( )
4. . .
1 1 ..
4. . . 4. .
q dV
r
pV
r
r p rV p
r r r
θ
π ε
θ
π ε
π ε π ε
=
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
r r r
r
 (E.21) 
 
El campo eléctrico será en consecuencia 
 -q d +q 
 r- r r+ 
θ 
O 
Fig. 11 
 12
3 3
0 0
2
0
1 . 1 .
4. . 4. .
. .cos( )
4. . .
p r rE V p
r r
q d
r
π ε π ε
θ
π ε
− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −∇ = ∇ = ∇⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞
= ∇⎜ ⎟
⎝ ⎠
r r rr r rv r
r
 (E.22) 
 
que puede calcularse con los elementos dados en Análisis Matemático II. Ahora vamos a calcular 
las componentes del campo, en coordenadas esféricas que son las más apropiadas para visualizar 
esta configuración. Tenemos 
 
. o
dV V ds
ds
=∇
r r
 
pero en la dirección radial es ds=dr y en la dirección de θ es ds=r.dθ, de modo que 
 
2
0
2
0
.cos( )
4. .
1 .cos( )
4. .
r
V pE
r r r
V pE
r rθ
θ
π ε
θ
θ θ π ε
⎛ ⎞∂ ∂
= = ⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠
⎛ ⎞∂ ∂
= = ⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠
 (E.23) 
resultando 
3
0
3
0
2. .cos( )
4. .
.sen( )
4. .
0
r
pE
r
pE
r
E
θ
φ
θ
π ε
θ
π ε
−
=
−
=
=
 (E.24) 
la simetría de este problema asegura que no hay componente en la dirección de φ y que hay simetría 
azimutal (alrededor de la dirección del momento dipolar, supuesta en este caso coincidente con el 
eje cartesiano z). 
 
IMPORTANCIA: el conocimiento del campo y potencial producidos por una configuración 
dipolar es de trascendental importancia. La materia es neutra y en consecuencia una gran cantidad 
de sus propiedades están relacionadas con las propiedades dipolares (o multipolares de orden 
superior que no se discutirán aquí) de sus componentes íntimos. El vapor de agua, por ejemplo de 
altísima importancia en la técnica está compuesto por moléculas de agua, de gran momento dipolar 
debido a que los enlaces H-O forman un ángulo de unos 109°; en consecuencia, las moléculas 
minimizan su energía agrupándose de a tres, lo que resulta en propiedades muy especiales. Además, 
como veremos en breve las propiedades de los dieléctricos dependen del comportamiento dipolar de 
sus átomos y moléculas. 
 
 
Fuerza y momento sobre un dipolo. 
 . 
Como el dipolo está formado por dos cargas de igual módulo, es inmediato que: 
 
 13
* no habrá fuerza neta sobre un dipolo en un campo uniforme. 
* sí habrá un momento o torque resultante sobre un dipolo en un campo uniforme. 
 
El momento resultante sobre un dipolo en un campo eléctrico constante está dado por 
( ). . . p Ep E q d sen
p E
τ θ ∧= ∧ =
∧
rrrr r
rr (E.25) 
 
Energía potencial de un dipolo en un campo eléctrico. 
 
Cuando el dipolo está alineado con el campo el torque o momento sobre el mismo es nulo. Si 
definimos la energía potencial como nula en esa situación, la energía potencial cuando forma un 
ángulo cualquiera será 
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
. . . . . . cos cos 0 . .cos .W d p E sen d p E p E p E
θ θ
τ θ θ θ θ θ= − = − = − = =⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫
rr
 (E.26) 
donde, como siempre hemos calculado el trabajo realizado contrael campo eléctrico. 
 
NOTA: fuera de todo rigor matemático, un momento es siempre perpendicular al las fuerzas que 
lo producen por lo que en general resultan bien descriptos por un producto vectorial como en 
(E.25), mientras que una energía, un trabajo y eventualmente una potencia pueden ser bien 
descriptos a partir de un producto escalar como en (E.26). Esto ayuda, como regla mnemotécnica, 
a encontrar relaciones y unidades “perdidas”. 
 
Conductores y aisladores . 
 
Hay materiales que son conductores de la electricidad. Estos materiales, en general sólidos a 
temperaturas ambientes (típica excepción es el mercurio), tienen una estructura formada por iones 
positivos, cediendo cada átomo algunos electrones (en promedio 2,3 para el caso del cobre) que son 
compartidos por todo el volumen de material. Esto da como resultado una gran movilidad de los 
mismos. 
Por razones históricas no muy lejanas, ya que hace menos de un siglo que se conoce la estructura 
del átomo, se dice que las cargas se mueven libremente en los conductores, aunque comúnmente 
sólo se mueven las cargas negativas (electrones). Obviamente si tenemos un conductor en forma de 
barra y los electrones se mueven hacia un extremo (no importa aquí la razón) habrá un déficit de 
electrones en el otro extremo con lo que nuestra barra tendría un extremo positivo y uno negativo. 
Como veremos experiencias de este tipo son posibles. 
 
Hay otros materiales que son aisladores o dieléctricos, en los que las cargas están ligadas por lo 
cuál no pueden desplazarse. 
 
No existen conductores perfectos ya que la disponibilidad de cargas no es infinita, pero existen 
materiales que se aproximan mucho a ello. 
 
Tampoco existen aisladores perfectos por más de una razón. Siempre existen lo que se llama en 
química constantes de equilibrio, que nunca valen 0 ni ∞ y en consecuencia siempre quedan 
cargas, aún cuando puedan ser pocas, que podrán desplazarse. Además vivimos en un universo 
lleno de radiaciones y partículas (como ser la radiación cósmica) capaces de ionizar la materia 
 14
produciendo cargas móviles. En los puntos dedicados a dieléctricos en particular abundaremos en el 
tema. 
 
Potencial y campo eléctricos en presencia de conductores 
 
Supongamos tener un conductor perfecto (ya dijimos que algunos materiales se aproximan mucho 
a esto). 
Si un conductor perfecto se coloca en una zona del espacio en la que hay un campo eléctrico 
sucederá lo siguiente: 
 
1. Las cargas libres se moverán en la dirección y sentido del campo eléctrico, si son positivas, o en 
el opuesto si son negativas hasta que, como no pueden abandonar el conductor, generarán un 
campo eléctrico opuesto al exterior; el reacomodamiento de cargas perdurará cuanto perdure el 
campo exterior. El campo eléctrico, en consecuencia, será nulo dentro de un conductor. 
 
2. Como las cargas no pueden abandonar el conductor no podrán compensar , en la superficie del 
mismo, la componente de campo exterior perpendicular a la misma. En la superficie de un 
conductor el campo eléctrico (exterior) es perpendicular a la misma. 
 
3. Los dos puntos anteriores, al asegurar que no hay campo interior a un conductor ni componente 
paralela a la superficie del mismo asegura que un conductor es siempre equipotencial 
(V=cte), incluyendo su superficie. 
 
4. Como consecuencia, si un conductor posee carga neta, las cargas se repelerán entre sí y como 
pueden moverse libremente se distribuirán sobre la superficie del conductor. 
 
En este último caso se dice que las cargas agregadas al conductor para que tenga una carga neta son 
cargas libres; si se agregaran cargas de ambos signos sólo se detectaría el efecto de la diferencia 
entre ambas. En el caso de un conductor descargado, el movimiento de cargas para neutralizar el 
campo interior, produce cargas negativas en una zona del mismo y positivas en otras; en este caso, 
ambas se llaman cargas inducidas. 
Esto es de una gran importancia tecnológica pues permite diseñar y/o modificar configuraciones de 
campo y potencial eléctricos manejando distribuciones de conductores descargados. 
¿ Qué sucederá entonces si la normal exterior a una superficie conductora no es continua 
como el caso de la existencia de puntas o aristas?. En esa situación habrá una variación finita (en 
dirección) del campo eléctrico, o sea del gradiente de potencial, en una distancia, en el extremo, 
nula. Estas situaciones se conocen con el nombre genérico de efectos de punta y producen una 
zona reducida y de poco volumen, muy próxima al punto de discontinuidad, de alta inestabilidad 
eléctrica donde lo que se llama a veces esfuerzo eléctrico se magnifica. 
Aplicaciones prácticas comunes y conocidas son: 
* las puntas en los extremos de los pararrayos 
* los electrodos de las bujías de motores Otto o de dos tiempos, encendedores automáticos de 
cocinas y estufas a gas, llaves de descarga (spark gap) 
por el contrario, cuando se busca evitar chispas y descargas en un punto se utilizan extremos y 
bordes en los conductores donde la normal (y en consecuencia la curvatura) varíe en forma suave. 
 
 
 
 15
Potencial y campo eléctricos generados por una esfera conductora 
cargada y aislada. 
 
En base a lo ya visto, resulta ahora claro que el problema ya estudiado de una esfera con una 
distribución volumétrica de carga, no puede referirse a una esfera conductora. En el caso de una 
esfera conductora cargada tendremos: 
- la carga distribuida en la superficie, en forma uniforme si está aislada y no hay campo exterior. 
- campo eléctrico nulo en su interior. 
- el campo y potencial electrostáticos exteriores serán iguales a los creados por la misma carga 
ubicada en el centro de la esfera. 
Es decir, si el centro de la esfera está en el origen de coordenadas y la carga total es Q. 
0
3
0
( )
4. . .
( ; ) 0; ( ; ) .
4. .
QV r
r
Q rE r r R E r r R
r
π ε
π ε
=
≤ = > =
r
rr rr r
 (E.27) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obsérvese que no importa si la esfera es o no hueca 
 
Capacidad. 
 
Como vimos, el potencial en la superficie de una esfera conductora cargada es 
04. . .
QV
Rπ ε
= 
Definimos CAPACIDAD C al cociente entre la carga acumulada y el potencial generado 
 
 QC
V
= (E.28) 
04. . .C Rπ ε= 
 E 
 
 1/r2 
 
 R 
 r 
 V 
 
 1/r 
 
 
 r Fig. 12 
 R 
 16
La definición dada por (E.28) la extendemos a todo conductor cargado y a todo par de 
conductores con cargas opuesta, en cuyo caso se considera la carga de cada uno en módulo y 
la diferencia de potencial entre ambos. 
 
La capacidad de mide en 
 
2[ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ]
[ ]
coulombio C C C Faradio FJoule Jvoltio V J
coulombio C
= = = 
 
El faradio, como el coulombio, resulta ser una unidad muy grande y normalmente se utilizan 
submúltiplos como : 
 
Microfaradio =μF=10-6 F 
 Nanofaradio =nF=10-9 F 
 Picofaradio =pF=10-12 F 
 
Capacitor (condensador) plano. 
 Un capacitor o condensador plano consiste, como su nombre indica, en dos conductores planos (se 
suelen llamar placas o armaduras), ubicados en forma paralela entre sí, con cargas opuestas. Esta 
configuración, de altísima importancia tecnológica, produce un campo muy uniforme, tanto mas 
uniforme cuanto menor sea la distancia entre las placas y mayor sea el área de éstas. 
El campo resultante es uniforme, o seade módulo constante y de líneas muy paralelas excepto en 
las proximidades de los bordes. 
Como las placas son conductoras, las cargas estarán distribuidas en su superficie. Si llamamos σ a 
la carga por unidad de superficie y consideramos una superficie cerrada tipo caja de píldoras 
colocada paralelamente a las placas, de pequeño espesor, y con una tapa dentro del conductor y la 
otra fuera del mismo, teniendo en cuenta la definición de potencial y el teorema de Gauss tenemos. 
 
 
 
x 
 
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 E 
 
 
 
 
 
 
 Superficie gaussiana 
+
+
+
+
+
+
+
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- Fig. 13 
 17
0
0
0
0
..
.
.
.
VE
d
AE A
E
Q A
V d
Q AC
V d
σ
ε
σ
ε
σ
σ
ε
ε
=
=
=
=
=
= =
 (E.29) 
 
o sea que la capacidad puede calcularse, como en el caso de una esfera aislada, sólo a partir de la 
configuración geométrica. 
 
Combinaciones de capacitores (condensadores). 
 
Los capacitores suelen indicarse con el símbolo 
 
 
 
 
 
Capacitores en paralelo. 
 
Los condensadores están sometidos a la misma diferencia de potencial y la carga total será la suma 
de la carga en cada uno de ellos, de modo que: 
 
1 1
n n
i
i
i i
Q QC C
V V= =
= = =∑ ∑ (E.30) 
En el caso de capacitores en paralelo las capacidades individuales se suman. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 14 
 
 C1 
 
 
 
 Ci 
 
 
 
 
 Cn 
 Fig. 15 
 V 
 18
Capacitores en serie. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Las placas p2 y p3 y el conductor que las une, forman en realidad un solo conductor, de modo que 
si se mantiene una diferencia de potencial entre los extremos de la serie (suponemos que todos los 
conductores estaban inicialmente descargados), la carga adquirida por la placa p2 será opuesta a la 
adquirida por la placa p3. La carga neta del sistema está entonces dada por las cargas de la primera 
y última placas, en tanto que la diferencia de potencial entre los extremos del conjunto será la suma 
de las diferencias de potencial sobre cada condensador. 
1 1
1 1n ni
i
V V
C Q Q C
= = =∑ ∑ (E.31) 
 
La inversa de la capacidad serie es la suma de las inversas de las capacidades integrantes de la 
misma. 
 
Capacitor cilíndrico. 
 
Dos superficies cilíndricas conductoras concéntricas con cargas opuestas forman un condensador o 
capacitor cuya capacidad puede calcularse utilizando el teorema de Gauss como indicamos podía 
hacerse al calcular el campo y potencial de un hilo cargado 
 
 
 
 C1 C2 Ci Cn 
 
 
 
 
 p p2 p3 p4 
 
 V 
 Fig. 16 
 
Fig 19
 19
Aceptada la simetría cilíndrica y que la longitud de los cilindros es mucho mayor que sus radios de 
modo de despreciar los efectos de borde, la aplicación del teorema de Gauss nos dice que el flujo de 
campo eléctrico será nulo para una superficie cilíndrica concéntrica con el condensador, que sea 
interior al cilindro interno o exterior al cilindro externo. Entre ambos cilindros tenemos 
0
0
2. . . .
2. . . .
r
Qr d E
Q rE
d r r
π
ε
π ε
=
=
rr
 (E.32) 
La diferencia de potencial entre las armaduras (los cilindros) será: 
0 0
. ln
2. . . . 2. . .
b
a
Q Q bV dr
d r d aπ ε π ε
⎛ ⎞Δ = = ⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ (E.33) 
 
 
Fig. 18 
 
con lo que la capacidad resulta 
 
 
0
0
ln
2. . .
2. . .
ln
Q QC
Q bV
d a
dC
b
a
π ε
π ε
= =
Δ ⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (E.34) 
 
 
Capacitor esférico. 
 
Similarmente podemos calcular la capacidad de dos superficies esféricas conductoras concéntricas 
con cargas opuestas. En este caso también el campo eléctrico será nulo dentro de la superficie 
interior y fuera de la superficie exterior. El campo eléctrico es ya conocido; si la superficie interior 
tiene radio a y la exterior radio b, es 
 20
2
0
3
0
3 2
0 0
0
4. . .
4. .
.
4. . 4. .
1 1
4. .
b b
b a
a a
Qa r b r E
Q rE
r
Q r Q drV V V dr
r r
QV
a b
π
ε
π ε
π ε π ε
π ε
< < ⇒ =
=
Δ = − = =
⎛ ⎞Δ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫
rr
r
v
 (E.35) 
 
La capacidad entonces, es 
0
0
4. .
1 1 1 1
4. .
Q QC
QV
a b a b
π ε
π ε
= = =
Δ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 (E.36) 
 
Los capacitores esféricos y cilíndricos son ampliamente utilizados porque es muy simple eliminar 
en ellos los efectos de borde, y sobre todo los cilíndricos por la facilidad constructiva. Una gran 
cantidad de condensadores de alto valor son en realidad un condensador plano arrollado en forma 
de cilindro, con lo que se unen las características de un capacitor cilíndrico con una gran área ; 
recuérdese que la capacidad de un condensador plano es 
0.
AC
d
ε= (E.37) 
siendo A el área de las placas y d la distancia entre ellas. 
 
 
 
Energía de un conductor cargado. 
 
Dado un conductor cargado, aislado, tenemos 
 
QV
C
= (E.38) 
Si se quiere agregar al conductor una diferencia de carga dq, trayéndola desde el infinito, donde 
V=0, tendremos que realizar un trabajo contra el campo eléctrico generado por las cargas que ya 
están en el conductor. Si integramos ese trabajo entre q=0 y q=Q, tendremos la energía 
electrostática almacenada en el conductor. 
2
0
.
.
2.
Q
qdW dq
C
q dq QW
C C
=
= =∫
 
y en base a (E.38) 
2
21 1 . .
2 2
QW C V
C
= = (E.39) 
 21
 
Energía del campo eléctrico. 
 
Para una esfera conductora cargada, aislada, de radio R, será 
0
0
2
2
0
0 0
4. . .
4. . .
1 1 1. .4. . . . .
2 2 4. . . 2 4. . .
QV
R
C R
Q QW C V R
R R
π ε
π ε
π ε
π ε π ε
=
=
⎛ ⎞
= = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
(E.40) 
Calculemos ahora cuánto vale la integral del cuadrado del campo eléctrico en todo el volumen del 
espacio exterior a la esfera 
 
 
3
0
2
2 2
2 2
0 0
4. .
. .4. . .
4. . . 4. . .r R R
Q rE
r
Q QE dv r dr
r R
π ε
π
π ε π ε
∞
>
=
⎛ ⎞
= =⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫
rr
r
 (E.41) 
 
De la comparación de (E.40) con (E.41) surge que 
2
2 2
0
1 1 1. . . .
2 2 2 r R
QW C V E dv
C
ε
>
= = = ∫ (E.42) 
o sea, resulta haber en todo el espacio exterior a la esfera una densidad de energía por unidad de 
volumen dada por 
2
0
1 . .
2
dWw E
dv
ε= = (E.43) 
Como se ve, este resultado es independiente del tamaño de la esfera. Si hacemos tender a cero el 
radio de la misma (R→0), nos iremos aproximando a la densidad de energía provocada por una carga 
puntual y como hemos hecho anteriormente, aplicando el principio de superposición llegamos a 
concluir que (E.43) tiene validez general. 
 
Este resultado, de gran importancia teórica y práctica, ha sido recientemente probado 
experimentalmente en forma espectacular con la evidencia del decaimiento del vacío: cuando la 
concentración de energía en un volumen suficientemente pequeño del espacio alcanza un valor 
crítico, éste puede relajar con la creación de un par partícula - antipartícula. 
 
Materiales dieléctricos. 
 
Entre las muchas clasificaciones que pueden hacerse de los materiales, una es separarlos en dos 
grupos : 
conductores y 
dieléctricos. 
 22
Los conductores, como ya hemos visto permiten el libre desplazamiento en su interior de cargas 
eléctricas. Los dieléctricos en cambio no permiten que las cargas se desplacen ( en absoluto, desde 
el punto de vistateórico, aunque como ya se dijo y veremos en su momento no hay conductores ni 
dieléctricos perfectos). 
Sin embargo la estructura microscópica de los dieléctricos no es rígida y permite algunos 
desplazamientos de las cargas que la constituyen. Las cargas con capacidad de desplazarse, como en 
los conductores se llaman cargas libres y las cargas que solo pueden desplazarse alrededor de 
puntos de equilibrio se llaman cargas ligadas. 
Los dieléctricos pueden ser : 
no polares o 
polares 
En los dieléctricos no polares, la aplicación de un campo eléctrico exterior produce un 
desplazamiento relativo de los centros de carga de distinto signo en los átomos y/o moléculas que 
dan lugar a una polarización inducida de los mismos. 
En los dieléctricos polares los centros de carga positivos y negativos están desplazados en las 
moléculas sin necesidad de un campo exterior. En estos materiales se produce una alineación de 
dipolos con el campo exterior y por este mecanismo la polarización resulta ser mas intensa que en 
los dieléctricos no polares y enmascara la polarización atómico-molecular inducida que también 
suele estar presente. 
En muchos dieléctricos, la agitación térmica hace que sus dipolos internos estén orientados al azar 
de modo que el material como un todo no tiene un momento dipolar permanente. Como por la 
presencia de un campo eléctrico exterior aparece una polarización que desaparece con la 
desaparición del mismo se habla de polarización inducida del material. 
En otros dieléctricos las cosas funcionan de modos diferentes como ser: 
a) los procesos son similares a los descriptos pero la polarización al aplicar un campo eléctrico 
toma un tiempo detectable y similarmente demora en desaparecer al retirarse el campo. Se dice 
entonces que hay un tiempo de relajación, que depende normalmente de la temperatura y de la 
intensidad de campo aplicada. 
b) El material suele tener una polarización permanente, que desaparece por encima de una 
temperatura crítica llamada temperatura de Curie. 
c) La polarización del material depende de otras interacciones ajenas al campo eléctrico (como ser 
la tensión mecánica). 
En estos casos se dice que el material es eléctricamente activo, recibiendo nombres especiales 
según sus características: ferroeléctricos en el caso b) anterior, piroeléctricos si la polarización 
depende fuertemente de la temperatura, piezoeléctricos si depende del esfuerzo mecánico (como 
algunos encendedores de cocinas y estufas),etc. 
 
Dieléctricos lineales. 
 
Supongamos tener un medio material que tiene n dipolos de valor p por unidad de volumen. La 
polarización total (el momento dipolar total) de una lámina de área a y espesor l será 
 
 
 l 
 
 p 
 
 p A 
 
 
 
Fig. 19 
 23
 
. . . . .lP n p Al P A L= =
r rr
 
En una cara de la lámina, en este caso la derecha tendremos una distribución superficial de cargas 
netas positivas y en la cara izquierda una distribución de cargas negativas. En el interior del 
material las cargas se neutralizan al estar el material descargado. 
 
- + 
- + 
- + 
- + dS 
- + 
- + 
 
Llamamos σi , densidad superficial de carga inducida o de polarización a esta distribución. El 
momento dipolar de la lámina también puede escribirse como: 
. .l iP A lσ=
r
 
o sea que σi es igual al módulo de P. Podemos escribir esto como 
.i P nσ =
r r
 
que nos da la carga inducida con su signo, y para cualquier ángulo. 
Si tenemos un condensador plano, con una lámina de dieléctrico entre las placas 
 
 l 
 E 
 A S 
 
 P 
 Fig. 20 
 
Tomando una vez más una superficie gaussiana de espesor despreciable, con una cara apenas dentro 
del dieléctrico y la otra fuera del conductor tendremos, aplicando el teorema de Gauss, tal como 
hicimos para un condensador sin dieléctrico 
0 0 0
. . .t l i l PE A A Aσ σ σ σ
ε ε ε
− −= = = 
donde σt es la densidad de carga total, σl la densidad de carga libre y σi la densidad de carga 
inducida o de polarización. 
La densidad de carga libre puede calcularse entonces como: 
0
0
.
.
l E P D
D E P
σ ε
ε
= + =
= +
r r r (E.44) 
que resulta en la definición de un nuevo vector, el vector desplazamiento D. 
 
En consecuencia, definimos en forma general 
0. .
.
.
t
i
l
E n
P n
D n
σ ε
σ
σ
=
=
=
r r
r r
r r
 (E.45) 
las densidades de carga total, de polarización inducida y libre. 
 24
 
 
 E 
 + - 
 + - 
 + - nd nd 
 
 cond P cond 
 dielectr. Fig. 21 
 
 
Obsérvese que la normal exterior al dieléctrico es opuesta a la normal exterior al conductor dentro 
del condensador, que es coincidente con la normal a la superficie gasussiana elegida, por lo cual las 
densidades de carga libre e inducida tienen signos opuestos. 
 En muchos medios, se cumple que 
0
0 0
. .
. .(1 ). .
e
e
P E
D E P E E
ε χ
ε ε χ ε
=
= + = + =
r r
r r r r r (E.46) 
En este caso se dice que el dieléctrico es lineal. De no ser así, la permitividad eléctrica será un 
tensor en vez de un escalar, el campo eléctrico y el desplazamiento pueden no ser colineales y se 
dice que el medio es eléctricamente activo. 
 
Cargas de polarización. 
 
En los párrafos anteriores se trabajó con el vector polarización P constante en una zona del espacio 
(E constante y dieléctrico lineal). En este caso las cargas opuestas de los dipolos microscópicos se 
cancelan mutuamente excepto en la frontera del dieléctrico. 
En un caso general la polarización no será constante y las cargas opuestas de los dipolos 
microscópicos no se cancelarán exactamente y en el ejemplo mostrado de una lámina de caras 
planas perpendiculares al campo eléctrico las densidades de carga inducida por polarización no 
serán iguales. 
Si tomamos un elemento diferencial (en sentido físico) de volumen, tendremos una carga inducida 
neta por efecto de esta falta de compensación. 
Definimos densidad volumétrica de carga de polarización a la divergencia del vector 
polarización. 
 .i div Pρ =
r
 (E.47) 
 
Densidad de energía. 
 
Un condensador plano con el espacio entre las placas o armaduras lleno con un dieléctrico lineal, 
puede cargarse pasando cargas de una placa a la otra. El trabajo para agregar una carga dq será 
 
2
2
0 0
. . . . . . . . .
. . . . . .
2
D E
dW V dq E d A d d A E dD v E dD
EW v E dD v E v
σ
ε ε
= = = =
= = =∫ ∫
 (E.48) 
 2
1 1. .
2 2
Ww E E D
v
ε= = = (E.49) 
 
 25
Es decir que la densidad volumétrica de energía es un medio del producto del campo eléctrico por el 
desplazamiento para este caso. En forma general, podemos escribir que 
 
1 .
2
w E D=
r r
 (E.50) 
 
Teorema de Gauss otra vez. 
 
“El flujo del vector desplazamiento a través de una superficie cerrada es igual a la cantidad 
de carga NETA LIBRE encerrada dentro de la misma”. 
 . . l
S
D n dS q=∫∫
r r
 (E.51) 
Esta expresión reemplaza con ventaja práctica, en presencia de dieléctricos, a la ya vista para el 
campo eléctrico. 
Volveremos sobre este punto al final del curso en relación con las ecuaciones de Maxwell (esta es 
una de ellas) donde utilizaremos algunos recursos más de cálculo, como los teoremas de Stokes y 
de la divergencia. 
 
Condiciones en el límite entre dos dieléctricos.b 
 
 A 
 l n 
 
 I II Fig. 22 
 
Supongamos dos dieléctricos diferentes separados por un plano (o tomamos el plano tangente en un 
punto si la frontera no es plana). 
Tomemos una vez más una superficie gaussiana tipo “caja de píldoras”, con una cara en cada 
dieléctrico. Aplicando el teorema de Gauss , haciendo b→0, y suponiendo que no hay cargas libres 
tendremos que 
. . 0I I II II In IInD n D n D D+ = ⇒ =
r rr r
 (E.52) 
 
ya que las normales exteriores en ambas caras son opuestas. Como consecuencia en el límite entre 
dos dieléctricos diferentes, la componente normal del vector desplazamiento se conserva. 
 
Si ahora elegimos un circuito de integración de longitud l y ancho b y calculamos la circulación del 
campo eléctrico haciendo también b→0, tendremos que 
. . 0I I II II It IItE dl E dl E E+ = ⇒ =
r rr r
 (E.53) 
ya que en cada medio la dirección de integración es opuesta y en el límite entre dos dieléctricos 
diferentes la componente tangencial del campo eléctrico se conserva. 
 
Veremos a continuación un par de ejemplos. Consideremos en primer lugar el siguiente sistema 
 
 
 26
 
 
 
 I II III IV Fig. 23 
 
 
 
Las zonas marcadas I y IV son las armaduras conductoras de un condensador plano, con igual 
densidad de cargas libres opuestas y entre las que hay una diferencia de potencial V, y las zonas II, de 
espesor dII, y III, de espesor dIII, son dieléctricos lineales de permitividades εI y εII respectivamente. 
La capacidad del sistema puede calcularse así 
. .
. . . .
. .
1 1. . . . . .
1 1 1
. . .
IIn IIIn
II IIn III IIIn
IIn II IIIn III II III
II III
II III II III II III
II III II III II III
II III II III
II III II III II III
D D D
E E
D DV E d E d d d
Q A D A AC D D D DV d d d d d d
d d C C
C A A C C C C
CC
σ
ε ε σ
ε ε
σ
ε ε ε ε ε ε
ε ε
= = =
= =
= + = +
= = = =
+ + +
+
= + = + =
=
.II III
II III
C
C C+
 (E.54) 
 
O sea que este sistema se comporta como si fueran dos condensadores planos en serie, con la misma 
carga y área y con su espesor correspondiente. 
 
Veamos en cambio que sucede en un sistema como el siguiente 
 
 
 II 
 
 I IV 
 III Fig. 24 
 
 
Las zonas I y IV son otra vez las placas cargadas de un condensador plano entre las que hay una 
diferencia de potencial V y las zonas II y III corresponden a dieléctricos lineales distintos. La 
capacidad del sistema está en este caso dada por 
. . . . . . . .
. .
II II III III II II III III II II III III
II III
Q A A E A E A A AC
V E d E d d
C C C
σ σ ε ε ε ε+ + +
= = = =
= +
 (E.55) 
 
El sistema se comporta como dos condensadores en paralelo. Observar que: 
 
 27
1. En ambos casos las placas del condensador son equipotenciales. 
2. En el primer caso (serie) la densidad de carga es constante sobre la superficie de las placas 
internas al capacitor y el vector desplazamiento (por simetría hemos trabajado con el 
módulo) es uniforme dentro del mismo, NO SIENDOLO EN CONSECUENCIA EL 
CAMPO ELECTRICO. 
3. En el segundo caso (paralelo) el campo eléctrico es uniforme dentro del condensador 
(también hemos trabajado con el módulo por la misma simetría), VARIANDO EN 
CONSECUENCIA EL DESPLAZAMIENTO Y LA DENSIDAD DE CARGA SOBRE LAS 
PLACAS. 
 
Consideremos el caso siguiente donde tres dieléctricos diferentes tienen una unión común en el 
segmento de recta pasante por el punto X perpendicularmente al plano del dibujo 
 
 
 
 II 
 
 I V IV 
 
 III X Fig. 25 
 
En este caso debieran cumplirse simultáneamente la continuidad de la componente tangencial del 
campo eléctrico y la continuidad de la componente normal del desplazamiento, lo que es imposible. 
Las condiciones de borde son aquí contradictorias y no podemos utilizarlas. Lo que sí podemos 
decir es que las condiciones se cumplirán en el límite entre cada par de dieléctricos a medida que nos 
alejemos de la unión triple. Se requiere un análisis matemáticamente mucho más sofisticado para la 
resolución de este problema, en el caso de que exista una solución exacta. 
 
Dieléctrico parcialmente introducido en un condensador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1-x x Fig. 26 
 
 
 
 
 
Supongamos tener un condensador plano, de armaduras rectangulares de área A, con vacío o aire 
entre ella y que introducimos una lámina de dieléctrico lineal, de la misma forma y en forma 
centrada una fracción de área x (0<x<1). 
Como ya sabemos, el sistema se comportará como dos condensadores en paralelo, de capacidades 
 28
0
1
2
. .
. .(1 )
A xC
d
A xC
d
ε
ε
=
−
=
 (E.56) 
respectivamente. La capacidad equivalente será la suma de ambas 
0 0
1 2
. .[(1 ) . ] [1 ( 1) ]e e
A AC C C x k x k x
d d
ε ε
= + = − + = + − (E.57) 
siendo ke la constante dieléctrica del dieléctrico utilizado, Como para todos los dieléctricos se 
cumple que ke ≥1, la capacidad crece a medida que se introduce el dieléctrico entre las placas. 
La energía almacenada en el condensador vale 
2
21 1.
2 2
QW C V
C
= = (E.58) 
 
como consecuencia: 
 
1. Si se mantiene constante la tensión entre las armaduras, con la introducción del dieléctrico, 
al aumentar la capacidad aumenta la energía almacenada y se deberá hacer trabajo para 
introducirlo en el capacitor, que tratará de expulsarlo. 
2. Si en cambio, se mantiene constante la carga de las armaduras, la energía almacenada 
disminuirá con la introducción del dieléctrico en el condensador que lo absorberá. Como la 
energía será mínima con el dieléctrico totalmente introducido en el condensador, esta será una 
configuración de equilibrio estable y ante una perturbación oscilará alrededor de la condición 
de dieléctrico centrado con las placas. 
 
Se deja como ejercicio al lector determinar si esta oscilación será armónica y cuál será su 
frecuencia. 
 
 
 
 
Corriente eléctrica. 
 
Hemos visto que si se introduce un conductor en un campo eléctrico las cargas libres dentro de éste 
se reacomodan de modo de eliminarlo en su interior (transformando su volumen y superficie en 
equipotencial). Existen sin embargo medios para mantener en un material una diferencia de 
potencial en forma permanente y por lo tanto un campo eléctrico. 
 
Si se mantiene una diferencia de potencial entre dos puntos de un conductor las cargas migrarán 
(supuestas positivas) desde el mayor potencial al menor con una pérdida de energía, de modo que 
para mantener este estado en forma permanente el elemento que mantiene la diferencia de potencial 
debe aportar un trabajo. 
 
Llamaremos fuerza electromotriz (fem) al trabajo por unidad de carga entregado y fuente de 
fuerza electromotriz al elemento que la entrega. Como el trabajo y la energía tienen las mismas 
unidades, la fuerza electromotriz se mide en J/C, o sea en voltios como el potencial o su diferencia. 
Una batería como las utilizadas en los automotores o una pila seca son ejemplos comunes de fuentes 
de fuerza electromotriz. 
 29
 
Supongamos que se mantiene un campo eléctrico dentro de un material que posee n cargas libres de 
valor q por unidad de volumen. Tomemos un elemento cilíndrico de ese material cuyo eje de 
simetría sea paraleloal campo eléctrico 
 
 E 
 A vd Fig. 27 
 
Las cargas libres estarán sometidas a una fuerza, y en consecuencias serán aceleradas. Si el campo 
es permanente y las cargas absolutamente libres las cargas llegarían a alcanzar velocidad infinita. 
Esto no sucede pues el recorrido dentro del material no es totalmente libre y las cargas sufren 
choques con imperfecciones de la red en el caso de materiales cristalinos, impurezas y otros 
defectos y con obstáculos equivalentes en materiales no cristalinos; puede en consecuencia definirse 
un tiempo de relajación τ como el tiempo promedio entre choques, o un camino libre medio λ, 
como el recorrido promedio entre choques tal como se hizo en teoría cinética de los gases. 
.
. . .d
F q E
F qa E
m m
qv a E
m
τ τ
=
= =
= =
r r
r
r
rr
 (E.59) 
donde m es la masa de cada carga, y vd la velocidad de arrastre promedio de las cargas. La 
cantidad de carga que por unidad de tiempo atraviesa una sección cualquiera del material se llama 
intensidad de corriente y valdrá 
2
2
. . . .. . . . . . . .
. .. . .
. .
d
d
dq q E n qI n q v A n q A A E
dt m m
n qJ n q v E
m
I J n A
τ τ
τ
= = = =
= =
=
r rr
r r
(E.60) 
 
J es la densidad de corriente, definida como la cantidad de corriente por unidad de área 
transversal a su recorrido. 
Definimos la intensidad de corriente escalarmente pues la interacción de las cargas con la 
microestructura hace que pueda recorrer el material en forma muy tortuosa como es el caso de los 
circuitos comunes de corriente eléctrica. En cambio la densidad de corriente J se define como una 
función vectorial de punto y dada una superficie de cualquier posición y forma se integrará sobre la 
misma para obtener la corriente. 
 
En algunas aplicaciones como en las resistencias derivadotas (shunts) donde las intensidades de 
corriente suelen ser muy grandes (cientos o miles de Amperios) y las formas complicadas se debe 
trabajar vectorialmente la intensidad de corriente. 
 
Observaciones importantes: 
 
n.q es la densidad volumétrica de carga libre ρl. 
 
 30
J=n.q.vd=ρl.vd es la cantidad de carga que por unidad de tiempo atraviesa la unidad de área 
perpendicular a un elemento diferencial de corriente, o sea es un flujo de carga (los flujos son 
siempre el producto de una densidad por su velocidad) 
 
Conductividad y resistividad. 
 
La relación entre la densidad de corriente y el campo eléctrico que la produce se llama 
conductividad del material 
2. .J n q
mE
τσ = =
r
r (E.61) 
La inversa de la conductividad es la resistividad del material ρ 
2. .
m
n q
ρ
τ
= (E.62) 
 
En las ecuaciones (E.59) a (E.62) se asume que hay un único tipo de carga presente. De no ser así se 
suma la contribución a la densidad de corriente de cada tipo presente. En particular es el caso de los 
electrolitos y semiconductores, ya que los portadores de carga positivos y negativos tienen en 
general distinta movilidad. 
 
Resistencia. Ley de Ohm. 
 
Si tomamos una sección de nuestro cilindro de área A y longitud l la diferencia de potencial entre 
sus extremos será 
.. . . . .
.
.
J I lV E l l l I I R
A A
lR
A
ρ
σ σ
ρ
= = = = =
=
 (E.63) 
R recibe el nombre de resistencia del elemento de conducción. La inversa de la resistencia suele 
llamarse conductancia. 
Esta es la llamada ley de Ohm que dice que la diferencia de tensión o de potencial entre los 
extremos de un conductor es igual al producto de su resistencia por la intensidad de corriente 
que circula. 
 
Unidades. 
 
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
2 2 2.
. . .
1
.
dq CI Amperio A
dt s
I C Amperio AJ
A s m m m
VR Ohm
A
R A Ohm m m
l
m
ρ
σ
⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥⎣ ⎦
= = = Ω
⎡ ⎤= = = Ω⎢ ⎥⎣ ⎦
=
Ω
 
 31
 
Potencia generada y disipada. 
 
Para mantener un estado estacionario de circulación de corriente dado que las cargas no se 
acumulan (la propia repulsión entre ellas lo asegura), la fuente de fuerza electromotriz debe 
entregar una potencia igual al producto de la diferencia de potencial entre los extremos del 
conductor (también llamada tensión o voltaje) por la intensidad de corriente (la carga por unidad de 
tiempo) que circula 
2
2. . . . VP V I I R I I R
R
= = = = (E.64) 
Esta potencia se disipa en el conductor en forma de calor, lo que suele llamarse efecto Joule, ya que 
Joule fue quién determino la equivalencia entre calor y otras formas de energía. 
Los generadores de fuerza electromotriz tienen limitaciones en la potencia que son capaces de 
entregar, lo que hace que la diferencia de potencial entre sus bornes dependa de la corriente que 
circula. Esto puede describirse en forma conveniente asignando a las fuentes de fuerza electromotriz 
una resistencia interna. Esto hace que parte de la fuerza electromotriz generada se disipe como 
calor en el seno de la misma. 
 
Las resistencias, comercialmente se indican a través de: 
su valor nominal 
su tolerancia 
la potencia máxima que puede disipar 
es decir que el valor de la resistencia, disipando la potencia máxima de diseño, debe estar dentro de 
la tolerancia especificada. 
En algunas aplicaciones, se requieren diseños especiales que aseguren que una resistencia tenga 
baja inductancia y baja capacidad residuales (estos conceptos se explicitarán en el capítulo de 
corrientes alternas). 
 
Combinaciónes de fuentes de fuerza electromotríz. 
 
a. Serie: 
Las fuerzas electromotrices de fuentes conectadas en serie se suman algebraicamente. El signo del 
resultado de esta suma definirá el sentido de la corriente circulante. El sentido de una fuerza 
electromotríz se fija convencionalmente como el sentido en que tiende a forzar la circulación de 
corriente (de cargas positivas). Cuando estos sentidos coinciden la fuente está funcionando como 
tal; de lo contrario está funcionando como motor, como es el caso de una batería “en carga”. 
 
b. Paralelo: 
En este caso, si las fuentes tienen la misma fuerza electromotríz y resistencia interna, y están 
conectadas en el mismo sentido, tendrán la misma fuerza electromotríz que una sola de ellas y la 
misma diferencia de potencial entre bornes. En cambio tendrán mas capacidad para entregar 
corriente. 
De ser distintas, la de mayor valor trabajará como fuente y las de valor más pequeño como motor, o 
en carga. La tensión entre bornes del conjunto será la fem de la mayor menos su resistencia interna 
por la corriente circulante (la entregada a las otras fuentes en paralelo más la entregada al circuito 
exterior, si lo hay) 
 
 
 32
Combinaciónes de resistencias. 
 
Consideremos que más de una resistencia son conectadas una a continuación de otra, en serie, de 
modo que serán recorridas por la misma intensidad de corriente.. La diferencia de voltaje entre los 
extremos del conjunto será la suma de las diferencias de voltaje en cada una (se suele decir también 
la caída de voltaje o tensión sobre cada una). Entonces 
1 1 1
. . .
n n n
i i i eq
i i i
V V I R I R I R
= = =
= = = =∑ ∑ ∑ (E.65) 
y la resistencia equivalente de una combinación en serie es la suma de las resistencias 
individuales. 
 
En cambio si más de una resistencia son conectadas en paralelo, con lo que caerá la misma 
diferencia de potencial sobre todas ellas, lo que se sumará serán las intensidades de corriente por 
cada una de ellas 
1
1
1.
1 1
n
ieq i
n
ieq i
VI V
R R
R R
=
=
= =
=
∑
∑
 (E.66) 
 
 
 
 
 
Circuitos de corriente continua. Leyes de Kirchoff. 
 
Los circuitos de corriente continua, formados en general por fuentes de fuerza electromotriz y 
resistencias (conductores con disipación interna de energía) interconectados por “conductores 
perfectos”, se estudian mediante dos leyes asignadas a Kirchoff: 
 
Ley de las mallas: en cualquier circuito cerrado la suma algebraica de las diferencias de 
potencial es cero. 
 
Ley de los nudos: la suma algebraica de las intensidadesde corriente que llegan a un nudo es 
cero. 
O sea que la suma de las corrientes que llegan a un nudo es igual ala suma de las corrientes que 
salen del mismo (las cargas no se acumulan). 
 
En un circuito cerrado donde se interconectan fuentes de fuerza electromotriz y resistencias, se 
cumple en virtud de la ley de las mallas que: 
1 1 1
. . 0
n n k
i i ji r i Rε − − =∑ ∑ ∑ 
donde se expresa que la suma algebraica de las fuerzas electromotrices menos la caída de potencial 
debida a las resistencias internas de las fuentes menos la caída de potencial en las resistencias es 
cero. 
Si tenemos mas de un conductor concurriendo a un nudo común tendremos que: 
 33
1
0
n
ji =∑ 
donde se elige, por convención, tomar como positivas las corrientes que entran al nudo y negativas 
a las que salen de él, o viceversa. 
 
Diferencia de voltaje en bornes de un generador de fem. 
 
Si una fuente de fuerza electromotriz entrega corriente a un circuito exterior tendremos 
.abV i rε= − 
la tensión en sus bornes será la fem que genera menos el producto de la corriente circulante por su 
resistencia interna. Nótese en este caso que si el circuito se cerrara sobre sí mismo la caída sobre la 
resistencia interna, supuesta en serie es opuesta a la fem generada. La corriente que circulará en este 
caso se llama corriente de corto circuito de la fuente de fem siendo una de sus especificaciones más 
importantes. 
 
Si en cambio la misma fuente toma corriente, como una batería que se está cargando (suele decirse 
que está trabajando como motor) será: 
.abV i rε= + 
 
O sea si una batería funciona como fuente la diferencia de potencial entre sus bornes es menor que 
la fem y, en cambio si funciona como motor, es mayor. 
 
 
 
 
 
Carga de un condensador, circuito RC. 
 
La figura muestra el esquema de un circuito de una sola malla integrado por la fuente de fuerza 
electromotríz Vε , el condensador C , la resistencia R, que incluye la resistencia interna de la fuente 
de fuerza electromotríz y el interruptor I. 
Supongamos que inicialmente el condensador está descargado y el interruptor I abierto. La placa del 
condensador conectada al borne de la fuente dibujado mas largo (convencionalmente el borne 
positivo) estará a su mismo potencial, mientras que el otro borne y placa del condensador están 
flotantes. Si se cierra el interruptor este borne pasa a estar al potencial del borne negativo de la 
 34
 
Fig. 28 
 
fuente; aparece en consecuencia una diferencia de potencial entre las placas del condensador 
que se corresponderá con la aparición de cargas sobre las mismas. Como el interior del condensador 
es dieléctrico, no podrán pasar cargas por allí sino que habrá un movimiento de cargas, 
convencionalmente positivas, desde la placa negativa hacia la positiva a través de la fuente que 
aportará la correspondiente diferencia de energía. Cuando la tensión (la diferencia de potencial o 
voltaje) entre los bornes del condensador sea opuesta a la existente entre los bornes de la fuente la 
migración de cargas cesará (y al ser nula la corriente la tensión entre los bornes de la fuente y entre 
los bornes del condensador serán iguales a la fem). Obsérvese que así se cumple la ley de las mallas 
de Kirchoff. Recordemos que si el circuito es metálico lo que se moverá en realidad serán 
electrones. 
Apliquemos la ley de las mallas a este circuito durante el régimen transitorio que hemos descripto 
0 0
.
( )( ) ( ) ( ). .
..
.
. .
.ln
. .
. 1 . 1
R C
t t
t t
R C
q t dq qV V t V t i t R R
C dt C
dq q q C VR V
dt C C
dq dt
q C V RC
dq dt
q C V R C
q C V t t
C V R C
q C V e C V e
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
τ
ε ε
τ
− −
= + = + = +
−⎛ ⎞= − − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞= −⎜ ⎟− ⎝ ⎠
= −
−
⎛ ⎞−
= − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ∫
 (E.67) 
RCτ = se llama constante de tiempo del circuito RC, y tendremos para la intensidad de 
corriente 
. ..( ) . .
.
t t
R C R Cdq C V Vi t e e
dt R C R
− −
= = − = − (E.68) 
 35
En el instante inicial el condensador descargado se comporta como un corto circuito, toda la 
tensión de la fuente cae sobre la resistencia que es la única limitación para la misma. A medida que 
se acumula carga en el condensador y la tensión entre sus bornes aumenta, la corriente disminuye 
hasta cero cuando el condensador está totalmente cargado para esa tensión que cae toda sobre él 
siendo nula la tensión en bornes de la resistencia. 
Al producto τ=RC se le llama constante de tiempo del circuito RC y es el tiempo que tarda el 
condensador, inicialmente descargado en llegar a 1-1/e=0,63 del valor final y la corriente en decaer 
del valor inicial Vε/R a 1/e=0,37 del mismo valor. 
 
 
Descarga de un condensador, circuito RC. 
 
Supongamos ahora que el condensador está totalmente cargado y se ha eliminado la fuente de 
fuerza electromotríz. Al cerrarse el interruptor, las cargas se redistribuirán en el conductor que 
conecta las placas del condensador volviéndolo a la situación equipotencial. Igualmente a durante la 
carga, la resistencia dificultará el paso de corriente limitándola. 
 
Ahora tendremos 
0 0
0
( ). ( ). 0
( ) . ( ). 0
( )
( ) .
( ) . . .
ab ba
t t
RC RC
V V
i t R q t C
dq t R q t C
dt
dq t dt
q t R C
q t q e C V e
− −
+ =
+ =
+ =
= −
= =
 (E.69) 
 
y la corriente, en consecuencia valdrá 
0 0( ) . .
.
t t
RC RCq Vi t e e
R C R
− −
= = (E.70) 
El condensador se descarga con una intensidad de corriente que decae exponencialmente desde el 
valor inicial V0/R y la constante de tiempo es siempre la misma: τ=RC. 
 
Circuitos de medición 
Medición de resistencias. Conexiones “larga” y “corta”. 
 
V 
 36
 
 
 
Típicamente, una resistencia se mide en base a la Ley de Ohm, o sea, midiendo la diferencia de 
potencial entre sus extremos cuando circula por ella una intensidad de corriente conocida. Para 
medir así una resistencia se requieren una fuente de fuerza electromotríz, un amperímetro y un 
voltímetro. 
El dibujo muestra el esquema de medición de una resistencia con amperímetro y voltímetro en la 
llamada conexión corta. En este modo, como se ve, el voltímetro mide la tensión sobre la 
resistencia y el amperímetro mide la suma de las corrientes que pasan por la resistencia y por el 
voltímetro. Tendremos entonces 
.m VR R R
R RR m V V m
m V
R RV V VR V VI I I R R
R R
= = = =
− −−
 (E.71) 
Si la llave S cambia de posición, tendremos la llamada conexión larga; el amperímetro pasará a 
medir la corriente que pasa por la resistencia y el voltímetro medirá la tensión sobre la resistencia 
en serie con el amperímetro. En consecuencia 
( )m A m m AR
m A
R m m
V V I R RVR R R
I I I
− −
= = = = − (E.72) 
Podemos aprovechar estos cálculos para repasar varios conceptos: 
 
1. Si tenemos resistencias en paralelo, la resistencia equivalente es menor que la menor de todas 
ellas. 
2. Si tenemos resistencias en serie, la resistencia equivalente es mayor que la mayor de todas ellas. 
3. Un voltímetro ideal, como las diferencias de voltaje se miden paralelo debe tener resistencia 
infinita (para que no tome corriente). 
4. Un amperímetro ideal, como las corrientes se miden en serie, debe tener resistencia cero (para 
que no haya caída de tensión sobre él). 
5. Entonces, para medir resistencias de bajo valor se debe utilizar la conexión corta, ya que casi 
toda la corriente pasará por la resistencia y, 
6. Para medir resistencias de alto valor se debe utilizar la conexión larga ya que casi toda la 
tensión caerá sobre la resistencia. 
 
Puente de Wheatstone. 
A 
Fig. 29 
 37
 
Consideremos que en el siguiente circuito 
 
es VAB≠0 y VCD=0. Ello implica que el producto de la resistencia R1 por la intensidad de corriente 
en la rama ACB es igual al producto de R2 por la intensidad de corriente en el trayecto ADB 
1. 2.
1 3 2 4
1 2
1 3 2 4
3 41 1
1 2
2. 3 1.4
AB ABV VR R
R R R R
R R
R R R R
R R
R R
R R R R
=
+ +
=
+ +
+ = +
=
 (E.73) 
O sea que si, por ejemplo R2,R3 y R4 son conocidas, R1 queda unívocamente determinada en estas 
condiciones, independientemente de la tensión (diferencia de potencial) entre A y B. 
2. 31
4
R RR
R
= (E.74) 
Esta configuración es utilizada colocando una fuente de fuerza electromotríz entre los puntos A y B, 
y un galvanómetro en serie con un pulsador entre C y DNOTA: un galvanómetro es un detector de 
corriente muy sensible, formado por una bobina soportada delicadamente, normalmente por finos 
hilos de cuarzo en el campo de un imán permanente. Esta bobina, ante el paso de corriente gira en 
uno u otro sentido variando la posición de una aguja; normalmente no está calibrado para medir, 
aunque tenga escala y se lo utiliza como detector de cero. Actualmente el galvanómetro puede ser 
reemplazado por dispositivos electrónicos de variados tipos de altísima sensibilidad. 
 
Si R1 es una resistencia cuyo valor se desea medir dos de las otras dos, por ejemplo R2 y R4 se 
reemplazan por resistencias patrones y R3 por una resistencia variable de buena calidad y bien 
calibrada, que se va variando a medida que se va controlando con el galvanómetro (accionando el 
pulsador), que no circule corriente entre C y D. 
 
Aplicaciones: Además de utilizarse el puente de Wheatstone para medir resistencias de la manera 
descripta se lo suele usar también fuera del equilibrio para medir pequeñas variaciones de 
resistencias relativamente grandes. 
Se lo utiliza por ejemplo en las celdas de carga para medir tensiones y deformaciones mecánicas 
utilizando resistencias construidas de modo que su valor varía cuando son estiradas mecánicamente. 
Se monta un puente de Wheatstone, incluyendo una de estas resistencias (comúnmente conocidas 
como “strain gage”) que en la situación de referencia esté en equilibrio y se mide la intensidad de 
corriente cuando el sistema se deforma (geométricamente). Configuraciones mas complicadas, con 
G
Fig. 30 
 38
cuatro “strain gages” (conectadas a su vez en esta configuración Wheatstone), permiten anular las 
variaciones con la temperatura y la deformación transversal a la tensión mecánica aplicada. 
Si estos sensores tienen resistencias de unos miles de ohmios que varían en sólo algunos porcientos, 
la respuesta será, con mucha aproximación, lineal. 
 
Potenciómetro. 
 
El potenciómetro es un sistema diseñado para medir fuerzas electromotrices y diferencias de 
potencial sin tomar corriente por lo que no perturba los valores de estas magnitudes. El nombre de 
este instrumento lleva a confusión, ya que en electrónica se llama potenciómetro a un reóstato 
(resistencia variable), que se utiliza para variar la potencia de salida de algún equipo; el lector debe 
distinguir una cosa de otra. Una configuración potenciométrica básica es la siguiente 
 
 
 
 
 
 
Fig. 31 
 
Hemos tomado como es común una referencia de V=0 coincidente con los bornes negativos de las 
fuentes de fuerza 38lectromotriz. El potencial del punto N será en consecuencia 
2.
1 2N E
RV V
R R
=
+
 (E.75) 
donde VE es la diferencia de potencial o voltaje entre bornes de la fuente E (recordar que esto es 
igual a su fuerza 38lectromotriz menos la corriente que entrega por su resistencia interna). Ep y E x 
son respectivamente las fuerzas electromotrices de las otras dos fuentes. 
Cuando VN=Ep, estando la llave S en la posición del dibujo, no pasará corriente por el galvanómetro 
G y lo mismo ocurrirá cuando la llave S desconecte la fuente p , conecte la fuente x, y se cumpla 
que VN=Ex. 
Las resistencias R1 y R2, en un potenciómetro real están construidas de modo que la tensión del 
nudo N pueda variarse en forma continua. 
 
 
G
 39
Uso del potenciómetro: generalmente el potenciómetro se alimenta con una fuente de fuerza 
39lectromotriz como una batería o pila seca común. Ep es la fuerza 39lectromotriz de una pila 
patrón, como ser una pila electroquímica tipo Weston. La pila patrón permite calibrar el 
potenciómetro para luego reemplazar la pila patrón por la fuente incógnita y medir su fuerza 
39lectromotriz ya que no se le extraerá corriente. 
El potenciómetro se utiliza por ejemplo cuando se desea medir precisamente una temperatura 
utilizando sensores como una termocupla (que desarrolla una fem proporcional a una diferencia de 
temperatura) u otros dispositivos termoeléctricos, magnetoeléctricos, optoelectrónicos, etc. 
 
Divisor de tensión: la ecuación (E.75) describe la operación de la configuración llamada 
comúnmente divisor de tensión, que permite a partir de una fem o tensión dada obtener otra menor. 
En una aplicación práctica debe prestarse atención a las corrientes que circularán por cada 
resistencia del divisor y por el circuito exterior, ya que ésta definirá en definitiva la estabilidad 
térmica del conjunto.. 
 
La carga del electrón. Experiencia de Millikan. 
 
Robert Millikan, en 1909, fue el primero en determinar la carga del electrón con una ingeniosa 
experiencia. Pulverizó finas gotas de aceite entre las placas de un condensador plano, que durante la 
pulverización se cargaban eléctricamente. En ausencia de campo eléctrico, las gotas caían por 
efecto de la gravedad venciendo el empuje del aire y la fuerza debida a la viscosidad η del mismo. 
La velocidad final de caída resulta dada por el equilibrio entre el peso menos el empuje y la fuerza 
viscosa calculable según la ley de Stokes 
 3
4 . . .( ) 6. . . .
3 a
r r vπ ρ ρ π η− = (E.76) 
 
Millikan, medía esta velocidad límite y luego aplicaba tensión a las placas del condensador hasta 
que la gota quedaba en equilibrio en el campo eléctrico generado, todo esto utilizando un anteojo 
con una escala calibrada. De estos datos, se calcula fácilmente la carga de cada gota. 
Millikan observó que la carga de cada gotas era siempre múltiplo entero de una cantidad de carga 
dada que supuso era la carga del electrón, lo que resultó coherente con muchas otras experiencias 
para verificarlo. La carga del electrón es hasta ahora una constante universal y vale 
e = - 1,6021 x 10-19 C 
 
 
 
 FStokes e.E 
 
 
 Peso – Empuje Peso-Empuje 
 
 
 
 _ _ 
 
 
Fig. 32 
 
 
 40