Recta en el plano - teoria - Javier Palacios

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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
RECTA EN EL PLANO 
 Ing. Griselda Ballerini 
2008 
I- Forma paramétrica de la ecuación de la recta 
 
Dado un punto Po(xo,yo) y un vector u = (u1,u2), deseamos encontrar la forma de la 
ecuación de la recta que pasa por Po y es paralela al vector u. 
 
 
 y 
 
 P(x,y) 
 u Po(xo,yo) 
 x 
 
 δ 
 
Para todo P(x,y) , P≠ Po y P ∈ δ , resulta PoP // u , entonces por definición de 
paralelismo entre vectores es: 
 
 
 
 ecuación vectorial de la recta. 
 
Reemplazando por componentes: (x - xo , y - yo) = t (u1,u2), de donde podemos 
escribir: 
 
 
 
 parámetro 
 componentes de un vector paralelo a la recta 
 
 coordenadas de un punto de paso de la recta 
 coordenadas de cualquier punto de la recta 
 
Esta expresión recibe el nombre de forma paramética de la ecuación de la recta 
 
Observaciones: 
 
1- Un punto cualquiera pertenece a la recta sí y solo sí sus coordenadas verifican las 
dos ecuaciones anteriores para un cierto valor del parámetro t. 
 
 
 
PoP = t u 
 
δ 
 
 
x x u t
y y u t
= +
= +
0
0
1
2 t ∈ R 
 2 
 
 
 3 
 
Ejemplo: 
 
a) Escribir las ecuaciones de la recta que pasa por Po(2,3) y es paralela al vector 
 u = (1,-1). 
b) Verificar si los puntos A(3,2) y B(1,1) pertenecen a la recta. 
 
a) δ 
x t
y t
= +
= −
2
3 
 
b) Si A(3,2) pertenece a δ ⇒ 3 = 2 + t ⇒ t = 1 
 2 = 3 - t ⇒ t = 1 A ∈ δ 
 
 Si B(1,1) pertenece a δ ⇒ 1 = 2 + t ⇒ t = -1 
 1 = 3 - t ⇒ t = 2 B ∈ δ 
 
 
2- Dado que existen infinitos puntos de paso de la recta e infinitos vectores paralelos a 
ella, existen entonces infinitas formas parámetricas que representan a la misma recta. 
 
3- Interpretación geométrica del parámetro 
Si consideramos un nuevo sistema de referencia sobre la recta, con origen en Po y 
unidad de medida al vector u, entonces t mide las abcisas de todos los puntos de la 
recta en ese sistema. 
 
Ejemplo: 
 
Sea δ 
x t
y t
= +
= −
2
3 
a) Encontrar un punto P ≠ Po / P ∈ δ 
Basta dar un valor a t ≠ 0. Sea t = 2 
P x=2+2 
 y=3-2 P(4,1) 
 
b) Encontrar un punto P1, simétrico de P respecto de Po 
Basta dar a t el valor -2 
P1 x=2-2 
 y=3+2 P1(0,5) 
 
 4 
 
 
 
II- Forma cartesiana de la ecuación de la recta 
 
Partiendo de 
 
δ 
 
 
x x u t
y y u t
= +
= +
0
0
1
2 t ∈ R 
si multiplicamos la primera ecuación por (- u2), la segunda por u1 y sumamos, se 
elimina el parámetro t: 
 -u2 x = -xo u2 - u1 u2 t 
 u1 y = u1 yo + u1 u2 t 
 -u2 x + u1 y = -xo u2 + u1 yo , entonces: 
 
 δ ) - u2 x + u1 y + (u2 xo - u1 yo) = 0 (*) 
 
llamando -u2 a 
 u1 b 
 - u2 xo - u1 yo c 
 
escribimos (*) como: 
 
 
 
Esta expresión recibe el nombre de forma cartesiana de la ecuación de la recta. 
Es una ecuación lineal en las variables x e y. 
a y b son coeficientes cuyo significado geométrico se verá a continuación. 
c término independiente. 
 
Para entender el significado geométrico de los coeficientes a y b, plateemos el producto 
escalar entre un vector que llamaremos n = (a,b) y u = (u1,u2) que sabemos es 
paralelo a la recta. 
 
δ ) a x + b y + c = 0 
 5 
 
n . u = ( a, b ) . ( u1, u2 ) = a u1 + b u2, 
 
 pero vimos que a = - u2 y b = u1, entonces reemplazando en el producto escalar 
anterior n . u = - u2 u1 + u1 u2 = 0 ⇒ n ⊥ u, 
 
 
 
 
Gráficamente: 
 y 
 δ 
 
 n 
 
 u 
 x 
 
 
 
Pasaje de la forma paramétrica a la cartesiana: 
 
 Si la recta está dada en forma paramétrica : δ 
 
 
x xo u t
y yo u t
= +
= +
1
2 , tiene rápidamente 
visible un punto de paso: Po(xo,yo) y un vector dirección (paralelo a la recta) u = 
(u1,u2). 
Si debe pasar esta recta a forma cartesiana podrá encontrar un vector normal a δ 
invirtiendo las componentes de u y cambiando el signo a una de ellas. De esta forma se 
verifica que u . n = 0, entonces un vector normal sería, por ejemplo, n = (-u2,u1) o 
su opuesto. 
En estas condiciones podrá comenzar a escribir la forma cartesiana de la recta. Para 
determinar la incógnita: c, bastará reemplazar x e y por las coordenadas del punto de 
paso y explicitarla. 
 
Ejemplo: 
 
Sea δ 
 
 
x t
y t
= − +
= −
4 5
2 3 expresarla en forma cartesiana. 
 
Entonces si δ está dada en forma cartesiana: a x + b y + c = 0, n = (a,b) 
representa un vector perpendicular o normal a la recta. 
 
 6 
 
Si u = (5,-3) entonces un n = (3,5). Así δ ) 3 x + 5 y + c = 0, para calcular c, 
sabemos que Po(-4,2) pertenece a la recta, entonces debe verificar su ecuación: 
3 (-4) + 5 2 + c = 0 , de donde c = 2. 
 
 δ ) 3 x + 5 y + 2 = 0 
 
Pasaje de la forma cartesiana a la paramétrica: 
 
Dada δ ) a x + b y + c = 0, se desea expresarla en forma paramétrica. Sabemos que 
n = (a,b) es un vector normal a δ , entonces un vector paralelo a ella será, por 
idénticas razones que las expuestas en el párrafo anterior, u = (b,-a) o su opuesto. 
Para encontrar un punto de paso se fija arbitrariamente una de las variables y se 
calcula la restante. 
Ejemplo: 
 
Dada δ ) -6 x + 2 y - 9 = 0 expresarla en forma paramétrica. 
 
Si n = (-6,2), entonces un vector paralelo será u = (2,6). 
Para encontrar un punto de paso fijamos por ejemplo: y = 0 ⇒ x = -3/2, así el 
punto 
Po(-3/2,0) pertenece a δ. 
Con estos datos escribimos: x = -3/2 + 2 λ 
 δ 
 y = 0 + 6 λ 
 
 
Otras formas de la ecuación de la recta 
 
Forma explícita: Dada δ ) a x + b y + c = 0 , podemos despejar la variable y 
para 
 
obtener y
a
b x
c
b=
−
+
−

 

 
llamando: 
 m = 
−a
b pendiente de la recta: valor de la tangente trigonométrica del 
ángulo que forma la recta con el semieje positivo de las abcisas ( eje x). 
 h = 
−c
b ordenada al origen: ordenada de Q(0,h) , punto donde la recta 
corta al eje y, 
podemos escribir: 
 
 y = m x + h 
 7 
 
 
 8 
 
Esta expresión recibe el nombre de forma explícita de la ecuación de la recta. 
 
 
 y 
 γ m = tg(γ ) 
 
 
 h x 
 
 δ 
 
 
Forma segmentaria de la ecuación de la recta 
 
Dada δ ) a x + b y + c = 0, si c ≠ 0, podemos escribir 
 a x + b y = - c, dividiendo miembro a miembro por (-c) y reordenando 
 
 
x
c
a
y
c
b
− + − = 1 
 
 llamando: p = 
−c
a abcisa al origen, primera coordenada del punto P(p,0) 
 
 q = 
−c
b ordenada al origen, segunda coordenada del punto Q(0,q) 
 
tenemos: 
 
x
p
y
q+ = 1 forma segmentaria de la ecuación de la recta 
 
 
Observación: 
 
Es de fundamental importancia, a los fines de graficación, que los posibles signos (-) 
que afecten a la abcisa , ordenada al origen o a ambas, sean incorporados a los 
denominadores que corresponda. De esta forma se evita cometer errores en la 
identificación de la abcisa u ordenada al origen. 
 
 
 
Ejemplo: 
 
a) Graficar la recta de ecuación 2 x - 3 y + 1 = 0 
b) Hallar el área del triángulo rectángulo que ésta forma con los ejes coordenados.9 
 
a) Para graficar rápidamente la recta es conveniente pasarla a la forma segmentaria, 
que indica los puntos de corte sobre los ejes coordenados. 
 
x y
− + =1
2
1
3
1 entonces la recta corta al eje x en el punto (-1/2,0) y al eje y en (0,1/3) 
 
 
 
 
b) Para calcular el área del triángulo necesitamos conocer la base, que por razones de 
simplicidad consideramos sobre el eje x, b = 1/2. 
 Cuidado!!!. La coordenada del punto es -1/2 pero la longitud de la base es 1/2 y la 
altura h = 1/3. 
 
Con estos datos área triángulo = (b h)/2 = 1/2 (1/2 1/3) = 1/12 
 
 
Distancia de un punto a una recta 
 
Dada r) a x + b y + c = 0 y P1(x1,y1) ∉ r , la distancia de P1 a r , simbolizada 
como d(p1,r) resulta igual al valor absoluto de la proyección del vector AP1 sobre n. 
 
Demostración: 
 
 y 
 n =(a,b) 
 P1(x1 ,y1) 
 
 d(P1,r) 
 A(xA ,yA) 
 
 x 
 r 
 
 10 
 
d(P1,r) = | proyección AP1 n | = 
AP n
n
1 .
 , reemplazando por componentes: 
 
( , ) ( , ) ( )
( , )
x x y y a b
n
x a y b x a y b
n
d P r
a x b y c
n
A A A A1 1 1 1
1 11
− −
=
+ + − −
⇒
⇒ =
+ +
 . 
 
 
 
 
 
Esta expresión indica que la distancia de un punto a una recta se obtiene como el 
cociente entre el valor absoluto de la forma cartesiana de la recta reemplazadas x e y 
por las respectivas coordenadas del punto y el módulo del vector normal a la recta. 
 
 
Ejemplo: 
 
Hallar la distancia del punto P(-4,7) a la recta determinada por los puntos A(1,-3) y 
B(5,7). 
 
Se determina la ecuación de la recta: r) y = m x + h 
 
Si A pertenece a r ⇒ -3 = m + h (*) 
Si B pertenece a r ⇒ 7 = 5 m + h, restando ambas ecuaciones 
 10 = -4 m ⇒ m = -5/2 
 
sustituyendo m por su igual en cualquiera de las dos expresiones anteriores se calcula h, 
en (*) -3 = -5/2 + h ⇒ h = -1/2 
 
Con los resultados obtenidos r) y = -5/2 x -1/2. 
 
Pasamos r) a la forma cartesiana, necesaria para el cálculo de distancia punto recta: 
r) 5 x + 2 y + 1 = 0 ( se multiplicaron ambos miembros por 2 y se igualó a 0). 
 
En estas condiciones d(P,r) =
5 4 2 7 1
5 2
5
29
5
292 2
.( ) .− + +
+
=
−
= 
 
 11 
 
Distancia entre rectas paralelas 
 
Dada r1) a1 x + b1 y + c1 = 0 y r2) a2 x + b2 y + c2 = 0 tenemos: 
 
 d(r1,r2) = d(P1,r2) = 
a x b y c
n
2 1 2 1 2
2
 + +
 P1 ∈ r1 
 
Es decir que la distancia entre dos rectas paralelas es igual a la distancia de un punto 
de una de ellas a la otra. 
Ejemplo: 
 
Hallar la distancia entre la recta del ejemplo anterior y una paralela a ella cuya 
distancia al origen sea igual a 3. 
 
La recta dada r) 5 x + 2 y + 1 = 0, la recta buscada r1) es paralela a r , entonces tiene 
vector normal n = (5,2) y su forma será r1) 5 x + 2 y + c = 0. 
Si la distancia entre el origen (0,0) y r1 es 3, tenemos: 
d(o,r1) = | c | | n | = 3 ⇒ 3 = | c | 25 + 4 ⇒ | c | = 3 29 ⇒ c = ± 3 29 
 
Existen dos rectas que cumplen las condiciones pedidas: 
 
 5 x + 2 y ± 3 29 = 0 
 
Calcularemos la distancia entre r) y la recta de término independiente positivo r1: 
 
d(r,r1) = d( P,r1) con P ∈ r 
 
Cálculo de P. Fijamos en la expresión de r una de las variables y calculamos la 
restante: 
Sea x = 0 ⇒ y = -1/2 , entonces P(0,-1/2) 
d(P,r1) = | 5.0 + 2 (-1/2) + 3 29 | 25 + 4 = (-1 + 3 29 ) 29 ≈ 2.8143 
 
La distancia entre r) y la recta de término independiente negativo r2: 
 
d(r,r2) = d(P,r2) = | 5.0 + 2(-1/2) - 3 29 | 29 = | -1 - 3 29 | 29 ≈ 3.1857 
 
 
 
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Posiciones relativas entre dos rectas 
 
Sea r1) a1 x + b1 y + c1 = 0 y r2) a2 x + b2 y + c2 = 0, 
 n1 = (a1,b1) ⊥ r1 n2 = (a2,b2) ⊥ r2 
 
* r1 ⊥ r2 ⇒ n1 ⊥ n2 ⇒ n1 . n2 = 0 
 
 r1 n1 
 r2 
 n2 
 
 
* r1 // r2 ⇒ n1 // n2 ⇒ n1 = α n2 con α ∈ R 
 
 n1 n2 
 
 r1 r2 
 
 
* r1 y r2 secantes no perpendiculares. Podemos conocer por cálculo un par de ángulos 
de los cuatro que las rectas determinan al cortarse, los otros dos serán su suplemento. 
De la expresión de producto escalar: 
 
cos(r1,r2) = cos( n1,n2) = ( n1 . n2 ) | n1 | | n2 | 
 
 n1 n2 
 
 
 r2 r1 
 
 
Intersección entre rectas 
 
Dada r1) a1 x + b1 y + c1 = 0 y r2) a2 x + b2 y + c2 = 0 el problema se reduce a 
buscar el conjunto solución del sistema: 
 
 a1 x + b1 y + c1 = 0 
 a2 x + b2 y + c2 = 0 
 
 sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que puede resolver por cualquiera de los 
métodos que Ud. conoce para obtener alguna de las siguientes respuestas: 
 
a) r1∩ r2 = { P } ⇒ un solo punto de intersección ⇒ rectas secantes. 
b) infinitos puntos de intersección ⇒ rectas coincidentes. 
c) r1∩ r2 = ∅ ⇒ no existe solución ⇒ rectas paralelas.