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TRIGONOMETRIA P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L Ciclo Anual Cesar Vallejo Docente: Rodolfo José REFORZAMIENTO I ❑SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR ❑LONGITUD DE ARCO Y AREA DE UN SECTOR CIRCULAR C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E T R I G O N O M E T R I A SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR m<1vuelta =3600 Sexagesimal Equivalencias 10 = 60ˊ 1′ = 60˝ 10 = 3600˝ Además: 10 = 60(1ˊ) 10 = 60(60ˊ’) Hoy en día ya se utilizan para labores de medición precisa de los ángulos instrumentos electrónicos, por ejemplo en el gráfico la medida del ángulo θ es 19.20 θ C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Centesimal m<1vuelta =400𝑔 Equivalencias 1𝑔 = 100𝑚 Además: 1𝒎 = 100𝑠 1𝑔 = 10000𝑠 1𝑔 = 100 1𝑚 1𝑔 = 100(100𝑆) 1𝑔 = 100𝑚 TABLA DE CONVERSIÓN Brújula en grados centesimales C U R S O D E T R I G O N O M E T R I A La mayoría de brújulas comerciales utilizan el sistema sexagesimal C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Radial o Circular C U R S O D E T R I G O N O M E T R I A m<1vuelta = 2π𝑟𝑎𝑑 Este sistema de medición angular no presenta sub unidades Equivalencias π ≈ 3.14 π≈ 22 7 ¿Sabias que? r r θ l Si l = r Entonces: θ=1rad θ ≈ 57.3𝑜 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A EJERCICIO Halle el valor numérico de la siguiente expresión 𝑎0aˊ 𝑎 ̷ + 𝑏𝑔 𝑏𝑚 𝑏𝑚 A)161 B)162 C)129 D)163 E)160 RESOLUCION 𝑎0+aˊ 𝑎 ̷ + 𝑏𝑔 + 𝑏𝑚 𝑏𝑚 𝑎(10)+aˊ 𝑎 ̷ + 𝑏(1𝑔) + 𝑏𝑚 𝑏𝑚 𝑎(60 ̷ )+aˊ 𝑎 ̷ + 𝑏(100𝑚) + 𝑏𝑚 𝑏𝑚 60𝑎 ̷ +aˊ 𝑎 ̷ + 100𝑏𝑚 + 𝑏𝑚 𝑏𝑚 61𝑎 ̷ 𝑎 ̷ + 101𝑏𝑚 𝑏𝑚 61 + 101 162 Clave B 9𝑜 23′ = 9𝑜 +23′ 7𝑔 5𝑚 = 7𝑔 +5𝑚 .𝑥𝑔 𝑦𝑚𝑧𝑠= 𝑥𝑔 +𝑦𝑚 +𝑧𝑠 .𝑎0bˊc˝= 𝑎0+bˊ+c˝ IMPORTANTE C U R S O D E T R I G O N O M E T R I A Ejemplos C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A EQUIVALENCIAS ENTRE LOS TRES SISTEMAS 𝟏𝟖𝟎𝟎=𝟐𝟎𝟎𝒈=πrad Si tomamos de 2 en 2 𝟗𝟎=𝟏𝟎𝒈 𝟐𝟎𝟎𝒈=πrad 𝟏𝟖𝟎𝟎=πrad ¿Por qué son importantes estas equivalencias ? 1= 𝜋𝑟𝑎𝑑 1800 1= 10𝑔 90 1= π𝑟𝑎𝑑 200𝑔 Factor de conversión C U R S O D E T R I G O N O M E T R I A 9𝑂 10𝑔 36𝑂 40𝑔 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A EJERCICIO De la figura halle el valor de X (20−x)𝑜 2x𝑔 π𝑟𝑎𝑑 9 A)-41 B)-42 C)-43 D)-40 E)-50 C U R S O D E T R I G O N O M E T R I A C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A RESOLUCION −2x𝑔 Del grafico se cumple : π𝑟𝑎𝑑 9 + −2x 𝑔 +(20−x)𝑜= 180𝑜 π𝑟𝑎𝑑 9 ( 180𝑜 π𝑟𝑎𝑑 ) −2x𝑔( 9 𝑜 10𝑔 ) + (20−x)𝑜= 180𝑜 20𝑜-1,8x𝑜+ 20𝑜 − x𝑜= 180𝑜 −2,8x𝑜= 140𝑜 X= - 50 x= 140 −2.8 Clave E C U R S O D E T R I G O N O M E T R I A C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A RELACION NUMERICA ENTRE LOS TRES SISTEMAS θ = Para un ángulo θ se cumple: 𝑠𝑜 = cg =Rrad Ademas: 𝑠 9 = 𝑐 10 = R π 20 = k Donde : S: Numero de grados sexagesimales R: Numero de radianes C: Numero de grados centesimales S =9k C=10K R= 𝐾π 20 C U R S O D E T R I G O N O M E T R I A 𝑠 180 = c 200 = R π = m θ = 𝑠𝑜 = Cg = Rrad m<1vuelta m<1vuelta m<1vuelta m<1vuelta 𝜽 𝑚<1𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 = 𝑠𝑜 3600 = Cg 400𝑔 = R𝑟𝑎𝑑 2π𝑟𝑎𝑑 Simplificando las unidades tenemos: 𝑠 360 = C 400 = R 2π Multiplicando por 2 2𝑆 360 = 2C 400 = 2R 2π Simplificando S =180m C=200m R=πm C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A EJERCICIO Si para un mismo ángulo se cumple: S=3𝑋𝑋 +6 y C=7𝑋𝑋 - 8 , Halle el numero de radianes de dicho ángulo A) 𝜋 10 B) 3𝜋 10 C) 5𝜋 10 D) 7𝜋 10 E) 9𝜋 10 RESOLUCIÓN Como : 𝑆 9 = 𝐶 10 3𝑋𝑋 +6 9 = 7𝑋𝑋 − 8 10 10( 3𝑋𝑋 +6) = 9(7𝑋𝑋 − 8) 30𝑋𝑋 +60=63 𝑋𝑋 - 72 33 𝑋𝑋 =132 𝑋𝑋 = 4 X=2 Como: S=3𝑋𝑋 +6 = 3(4) +6 = 18 m< =18𝑜 ( 𝜋𝑟𝑎𝑑 180𝑜 ) = 𝜋𝑟𝑎𝑑 10 R= 𝜋 10 CLAVE A C U R S O D E T R I G O N O M E T R I A C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E T R I G O N O M E T R I A LONGITUD DE ARCO DE CIRCUNFERENCIA r Se Cumple : l r l= θr Donde : θ :numero de radianes del ángulo central r: longitud del radio l :longitud de arco Aplicación: Un ingeniero Civil necesita calcular la longitud de arco de circunferencia con la que se construirá el puente, si en el grafico si r =12m A)2πm B)4πm C)8πm D)12πm E)2πm C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Resolución : l Nos piden Necesitamos el numero de radianes del ángulo central Convertimos 120𝑜 al sistemas radial l 120𝑜 ( 𝜋𝑟𝑎𝑑 180𝑜 ) = 2𝜋𝑟𝑎𝑑 3 θ= 2𝜋 3 Reemplazamos en l = θr l = 2𝜋 3 (12m) l = 8πm clave C C U R S O D E T R I G O N O M E T R I A C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A AREA DE UN SECTOR CIRCULAR ( ) l r r θrad Se cumple que: S S S S r l = l 𝑟 2 Reemplazando : = (θr)r 2 θ𝑟2 2 = = θ𝑟 Reemplazando : = l θ S = l 2 2θ C U R S O D E T R I G O N O M E T R I A θl2 2𝜃2 S = S C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A B Aplicación: Científicos del Gran Colisionador de Hadrones (LHC en inglés) , necesitan saber cual es medida de área de la región sombreada si el radio de la circunferencia del colisionador es 4200 km y el recorrido de una partícula desde el punto A al punto B es 4000km. A) 80x105𝑘𝑚2 B) 85x103𝑘𝑚2 C) 84x105𝑘𝑚2 D) 52x103𝑘𝑚2 E)25x105𝑘𝑚2 a Resolucion: Reconocemos los datos: r=4200 km l r l = 4000km Reemplazamos en: S = l 𝑟 2 (4000km) (4200𝑘𝑚) 2 S = S = C U R S O D E T R I G O N O M E T R I A C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A CALCULO AREA DE LA REGION TRAPECIAL CIRCULAR S r Se cumple: S = ( l1+l2 2 )d C U R S O D E T R I G O N O M E T R I A l1 l2 d Donde: d=R-r S :El área de la región del trapecio circular Demostración A B C D O Del gráfico : S = - BOD AOC S = θR 2 2 − 𝜃r2 2 S = 𝜃 2 (R2-r2) S S S = 𝜃 2 (R+r)(R-r) (θR + θr)(R − r) 2 = S ( l1+l2 2 )(R-r)S = ( l1+l2 2 )d= C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E T R I G O N O M E T R I A Un ingeniero mecánico necesita mejora el diseño de un disco de frenos de un auto, para ello debe calcular el área de la región sombreada. Si se tiene las siguientes medidas l 𝐴𝐵 = 12cm l 𝐶𝐷 = 6cm BC=AD=3cm A) 25𝑐𝑚2 B) 27𝑐𝑚2 C) 15𝑐𝑚2 D) 52𝑐𝑚2 E)22𝑐𝑚2 Aplicación Resolución : Reconocemos que la región sombreada es de un trapecio circular .Por lo tanto para el área se cumple : S ( l𝐴𝐵+l𝐶𝐷 2 )AB= Reemplazamos los datos del gráfico S = ( 12𝑐𝑚+6𝑐𝑚 2 )(5cm) S =45𝑐𝑚2
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