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Anual Uni Semana 05- Trigonometría - Camila Darien

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TRIGONOMETRIA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual Cesar Vallejo
Docente: Rodolfo José 
APLICACIONES DE 
LA LONGITUD DE 
ARCO DE 
CIRCUNFERENCIA 
❑NÚMERO DE VUELTAS DE UNA RUEDA 
❑ENGRANAJES Y POLEAS 
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
r
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
NÚMERO DE VUELTAS QUE DA UNA RUEDA SOBRE UNA SUPERFICIE PLANA 
A B
r
θ rad
l
l =θr
r
2πr
r
Vemos que a medida que la rueda gira , su radio 
genera un ángulo θ y la longitud
recorrida por el centro es 
A C
2π rad
Cuando la rueda da una vuelta la 
longitud recorrida por el centro es 
2πrad
Aplicamos una regla de tres 
simple con el numero de 
vueltas y la longitud recorrida 
por el centro de la rueda asi: 
1vuelta 
nvuelta l
l
2 πr
n=
2𝜋𝑟
l
l
2πr
Supongamos que dio n vueltas
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
n= 
2𝜋𝑟
Observación:
Donde :
n: número de vueltas 
r: longitud del radio de la rueda
l
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
reemplazamos en la formula 
l = θr
n= 
θr
2𝜋𝑟
Donde :
n=
𝜃
2𝜋
θ : ángulo girado por el radio de la rueda
Ejemplo 1
Halle el número de vueltas que da la rueda en el gráfico 
si el ángulo de giro del radio es 1440𝑜
r
Resolución
Nos piden n
Recordemos que 360𝑜 = 2𝜋𝑟𝑎𝑑
Entonces 1440𝑜= 8𝜋𝑟𝑎𝑑
Reemplazando 
n=
8𝜋
2𝜋
= 4
Considerando el gráfico
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Ejemplo 2
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Halle el número de vueltas que da la rueda de r=1m, e desde la 
posición en A hasta entrar en contacto con el bloque M.
A)1.2 B)1.27 C)2 D)2.1 C)1 E)1.5 
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Resolucion:
C U R S O D E T R I G O N O M E T R I A
Nos piden el número de vueltas n
En el gráfico trazamos la posición final de la 
rueda
Trazamos la longitud recorrida por el centro (l) 
l
y r
r
Vemos que l = 9m- 1m
= 1m
Reemplazamos en
n=
2𝜋𝑟
l
n=
8𝑚
2𝜋(1𝑚)
= 4
𝜋
≈ 1.27
= 8m
CLAVE B
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R I A
Halle el número de vueltas que da la rueda de radio 2cm desde la 
posición en A hasta B
A
B
120𝑂
14cm
Ejemplo 3
2cm
A)5 B)4 C)3 D)2 C)1 E)8 
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
A
B
120𝑂
14cm
2cm
C U R S O D E T R I G O N O M E T R I A
Resolución 
Nos pide el número de vueltas (n)
Para ello Trazamos la longitud recorrida por el 
centro (L)
L
Recuerda que θ representa el 
numero de radianes 
Entonces :
n=
𝐿
2𝜋𝑟
n=
θ𝑅
2𝜋𝑟
= 2𝜋
3
𝑟𝑎𝑑
=
2𝜋
3
𝑟𝑎𝑑
=
2𝜋
3
𝑟𝑎𝑑n=
2𝜋
3
12𝑐𝑚
2𝜋 2𝑐𝑚
Reemplazamos los valores de θ , R y r
n=2 CLAVE D
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
ENGRANAJES Y POLEAS 
C U R S O D E T R I G O N O M E T R I A
❑ DOS ENGRANAJES EN CONTACTO
Se tiene los 
engranajes A y B
A
B
𝑟1 𝑟2
𝑟2
𝑟1
𝜃1 𝜃2
l1
l
2Se cumple
l 1= l 2
𝜃1𝑟1 = 𝜃2𝑟2
Además si dividimos entre 2π
𝜃1 𝑟1 = 𝜃2 𝑟2
2π 2π
𝑛1𝑟1 = 𝑛2 𝑟2
Donde 
n1 ∶ número de vueltas del engranaje A
n2 : número de vueltas del engranaje B
Entonces 
¿Cómo son los números de vueltas de los 
engranajes si estos son del mis diámetro?
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
❑ POLEAS UNIDAS POR UNA FAJA
Se tiene dos Poleas A y B
A
B
C U R S O D E T R I G O N O M E T R I A
l
1
l 2
l
𝜃1
𝜃2
Se cumple:
𝑟1
𝑟2
𝑟1
𝑟2
l 1
𝑟1
= l 2 = l
𝜃1 = 𝜃2 𝑟2
Además si dividimos entre 2π
𝜃1 = 𝜃2 𝑟2
2π 2π
𝑟1
n1r1 = n2 𝑟2
Donde 
n1 ∶ numero de vueltas del engranaje A
n2 : numero de vueltas del engranaje B
Este sistema de transmisión mecánica 
basa su funcionamiento 
fundamentalmente
en las fuerzas de fricción, también 
permite mantener el sentido de giro 
entre sus componentes 
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R I A
❑ DOS ENGRANAJES UNIDOS POR 
UN EJE COMÚN 
Vemos que los 
engranajes son de 
diferente tamaño
Entonces 𝐿1> 𝐿2
𝐿2
𝐿1
𝜃1
𝜃2
Al estar unidos por un eje 
común tienen el mismo 
ángulo de giro
𝜃1 = 𝜃2
Si dividimos entre 2π
𝜃1
2𝜋
=
𝜃2
2𝜋
𝑛1= 𝑛2
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R I A
EJERCICIO
Una maquinaria Textil se tiene el siguiente sistema, se 
sabe que engranaje A ha dado 10 vueltas ¿Cuál es la 
medida del ángulo que ha girado la polea D?
AB
C D
𝑟𝐴 = 4cm
𝑟𝐵 = 5cm
𝑟𝐶 = 4.5cm
𝑟𝐷 = 2.5cm
RESOLUCIÓN
Entre los engranajes A y B
𝑛𝐴 𝑟𝐴 = 𝑛𝐵 𝑟𝐵
(10)(4cm)=𝑛𝐵 (5cm)
8=𝑛𝐵
Entre los engranajes B y C
𝑛𝐶 =𝑛𝐵
𝑛𝐶 =8
Entre los engranajes C y D
𝑛𝐶 𝑟𝐶 = 𝑛𝐷 𝑟𝐷
(8)(4.5cm) = 𝑛𝐷 (2.5cm)
14.4=𝑛𝐷
14.4 =
𝜃
2𝜋
θ= 28.8π
Clave CA)28πrad B)28.2π rad C)28.8πrad D)14.2rad C)28.4πrad

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