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TRIGONOMETRIA P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L Ciclo Anual Cesar Vallejo Docente: Rodolfo José APLICACIONES DE LA LONGITUD DE ARCO DE CIRCUNFERENCIA ❑NÚMERO DE VUELTAS DE UNA RUEDA ❑ENGRANAJES Y POLEAS C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A r C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A NÚMERO DE VUELTAS QUE DA UNA RUEDA SOBRE UNA SUPERFICIE PLANA A B r θ rad l l =θr r 2πr r Vemos que a medida que la rueda gira , su radio genera un ángulo θ y la longitud recorrida por el centro es A C 2π rad Cuando la rueda da una vuelta la longitud recorrida por el centro es 2πrad Aplicamos una regla de tres simple con el numero de vueltas y la longitud recorrida por el centro de la rueda asi: 1vuelta nvuelta l l 2 πr n= 2𝜋𝑟 l l 2πr Supongamos que dio n vueltas C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A n= 2𝜋𝑟 Observación: Donde : n: número de vueltas r: longitud del radio de la rueda l C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A reemplazamos en la formula l = θr n= θr 2𝜋𝑟 Donde : n= 𝜃 2𝜋 θ : ángulo girado por el radio de la rueda Ejemplo 1 Halle el número de vueltas que da la rueda en el gráfico si el ángulo de giro del radio es 1440𝑜 r Resolución Nos piden n Recordemos que 360𝑜 = 2𝜋𝑟𝑎𝑑 Entonces 1440𝑜= 8𝜋𝑟𝑎𝑑 Reemplazando n= 8𝜋 2𝜋 = 4 Considerando el gráfico C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Ejemplo 2 C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A Halle el número de vueltas que da la rueda de r=1m, e desde la posición en A hasta entrar en contacto con el bloque M. A)1.2 B)1.27 C)2 D)2.1 C)1 E)1.5 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Resolucion: C U R S O D E T R I G O N O M E T R I A Nos piden el número de vueltas n En el gráfico trazamos la posición final de la rueda Trazamos la longitud recorrida por el centro (l) l y r r Vemos que l = 9m- 1m = 1m Reemplazamos en n= 2𝜋𝑟 l n= 8𝑚 2𝜋(1𝑚) = 4 𝜋 ≈ 1.27 = 8m CLAVE B C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E T R I G O N O M E T R I A Halle el número de vueltas que da la rueda de radio 2cm desde la posición en A hasta B A B 120𝑂 14cm Ejemplo 3 2cm A)5 B)4 C)3 D)2 C)1 E)8 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A A B 120𝑂 14cm 2cm C U R S O D E T R I G O N O M E T R I A Resolución Nos pide el número de vueltas (n) Para ello Trazamos la longitud recorrida por el centro (L) L Recuerda que θ representa el numero de radianes Entonces : n= 𝐿 2𝜋𝑟 n= θ𝑅 2𝜋𝑟 = 2𝜋 3 𝑟𝑎𝑑 = 2𝜋 3 𝑟𝑎𝑑 = 2𝜋 3 𝑟𝑎𝑑n= 2𝜋 3 12𝑐𝑚 2𝜋 2𝑐𝑚 Reemplazamos los valores de θ , R y r n=2 CLAVE D C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A ENGRANAJES Y POLEAS C U R S O D E T R I G O N O M E T R I A ❑ DOS ENGRANAJES EN CONTACTO Se tiene los engranajes A y B A B 𝑟1 𝑟2 𝑟2 𝑟1 𝜃1 𝜃2 l1 l 2Se cumple l 1= l 2 𝜃1𝑟1 = 𝜃2𝑟2 Además si dividimos entre 2π 𝜃1 𝑟1 = 𝜃2 𝑟2 2π 2π 𝑛1𝑟1 = 𝑛2 𝑟2 Donde n1 ∶ número de vueltas del engranaje A n2 : número de vueltas del engranaje B Entonces ¿Cómo son los números de vueltas de los engranajes si estos son del mis diámetro? C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A ❑ POLEAS UNIDAS POR UNA FAJA Se tiene dos Poleas A y B A B C U R S O D E T R I G O N O M E T R I A l 1 l 2 l 𝜃1 𝜃2 Se cumple: 𝑟1 𝑟2 𝑟1 𝑟2 l 1 𝑟1 = l 2 = l 𝜃1 = 𝜃2 𝑟2 Además si dividimos entre 2π 𝜃1 = 𝜃2 𝑟2 2π 2π 𝑟1 n1r1 = n2 𝑟2 Donde n1 ∶ numero de vueltas del engranaje A n2 : numero de vueltas del engranaje B Este sistema de transmisión mecánica basa su funcionamiento fundamentalmente en las fuerzas de fricción, también permite mantener el sentido de giro entre sus componentes C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E T R I G O N O M E T R I A ❑ DOS ENGRANAJES UNIDOS POR UN EJE COMÚN Vemos que los engranajes son de diferente tamaño Entonces 𝐿1> 𝐿2 𝐿2 𝐿1 𝜃1 𝜃2 Al estar unidos por un eje común tienen el mismo ángulo de giro 𝜃1 = 𝜃2 Si dividimos entre 2π 𝜃1 2𝜋 = 𝜃2 2𝜋 𝑛1= 𝑛2 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E T R I G O N O M E T R I A EJERCICIO Una maquinaria Textil se tiene el siguiente sistema, se sabe que engranaje A ha dado 10 vueltas ¿Cuál es la medida del ángulo que ha girado la polea D? AB C D 𝑟𝐴 = 4cm 𝑟𝐵 = 5cm 𝑟𝐶 = 4.5cm 𝑟𝐷 = 2.5cm RESOLUCIÓN Entre los engranajes A y B 𝑛𝐴 𝑟𝐴 = 𝑛𝐵 𝑟𝐵 (10)(4cm)=𝑛𝐵 (5cm) 8=𝑛𝐵 Entre los engranajes B y C 𝑛𝐶 =𝑛𝐵 𝑛𝐶 =8 Entre los engranajes C y D 𝑛𝐶 𝑟𝐶 = 𝑛𝐷 𝑟𝐷 (8)(4.5cm) = 𝑛𝐷 (2.5cm) 14.4=𝑛𝐷 14.4 = 𝜃 2𝜋 θ= 28.8π Clave CA)28πrad B)28.2π rad C)28.8πrad D)14.2rad C)28.4πrad
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