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Anual Uni Semana 09 - Trigonometría - Camila Darien

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TRIGONOMETRÍA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual Virtual Uni
Docente: Rodolfo José 
Geometría analítica 
I
OBJETIVOS
❑Entender el uso del sistema de 
coordenadas rectangulares también 
conocido como plano cartesiano.
❑Identificar y aplicar las propiedades 
para la resolución de problemas 
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
GEOMETRÍA 
ANALÍTICA I
PLANO CARTESIANO 
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN 
UNA RAZÓN
DADA
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
HOY VEREMOS:
ÁREA DE UNA REGIÓN 
TRIANGULAR CONOCIENDO LAS 
COORDENADAS DE SUS VÉRTICES
BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
RECTA NUMÉRICA REAL 
¿Sabias que 
Entre dos números reales 
siempre encontraremos 
otro número real? 
La recta numérica o recta real es un gráfico unidimensional o línea recta que contiene todos los números reales.
-3 43210-4 -2 -1
1
2
2 π
-2.5
-0.1
Números 
Positivos
Números
Negativos +∞-∞
Observacion:
A cada punto de la recta se le asocia tan solo un 
número real, la cual es la coordenada de dicho 
punto, así tenemos:
✓ La coordenada del punto A es -1
✓ La coordenada del punto B es 2
A B
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
PLANO CARTESIANO
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Ejemplo
Es el plano formado por dos rectas numéricas reales que se
interceptan perpendicularmente en un punto llamado
origen de coordenadas .
origen
X
Y
A(0:0) 
B(4;3) 
C(5;0) 
D(-5;4) 
E(-2;0) 
F(-4;-5)
G(0;-3) 
H(3;-4)
X
Y Eje de ordenadas
Eje de abscisas
𝑎; 𝑏
𝑎
𝑏
ordenada
abscisa
𝑎; 𝑏 : par ordenado
primer
cuadrante
segundo
cuadrante
tercer
cuadrante
cuarto
cuadrante
X
Y
Ubiquemos los siguientes pares ordenados en el plano cartesiano
A 0; 0 , B 4; 3 , C 5; 0 , D −5; 4 , E −2; 0 ,
F −4; −5 , G 0; −3 , H 3; −4 .
𝐏
𝑎; 𝑏 : coordenadas del
punto 𝐏
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Como parte de esa búsqueda, realizó amplios estudios sobre la geometría analítica, de la 
cual se considera padre y fundador. Logró trasladar matemáticamente la geometría 
plana 
al sistema de coordenadas rectangulares que lleva su nombre . 
Fuente: https://concepto.de/plano-cartesiano/#ixzz6OSHt1P4X
Observación
El plano cartesiano fue una 
invención del filosofo y matemático 
René Descartes. Su perspectiva 
filosófica se basó siempre en la 
búsqueda del punto de origen del 
conocimiento.
Aplicación del plano cartesiano con GEOGEBRA
1596-1650
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
B(x2; y2)
A(x1; y1)
d
d = (x2 − x1)
2 + (y2 − y1)
2
¡Tenga en cuenta que…!
Una distancia siempre es 
positiva , entonces d>0
Aplicación
Una plancha metálica tiene forma triangular ¿Cuál 
es valor de su perímetro? 
A(3:2)
B(-4:1)
C(0:-2)
X
Y
Resolución
d3 = (3 − −4 )
2 + (2 − 1)2
d1 d2
d3
= 50 = 25(2) = 5 2
d1 = (−4 − 0)
2 + (1 − −2 )2 = 25
d2 = (3 − 0)
2 + (2 − −2 )2
∴ Perímetro =5+5+5 2
Perímetro=d1 + d2 + d3
= 10 + 5 2
Sean A x1; y1 y B x2; y2 dos puntos cualesquiera del
plano cartesiano; la distancia d entre dichos puntos
esta dada por
= 5
= 25 = 5
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Un profesor de Física analiza la trayectoria recta de un 
DRON en el siguiente plano cartesiano. Halle las 
coordenadas del punto B
B(a+1;a+2)
A(1;4)
X(m)
Y(m)
74
A)(1;2) 𝐵)(3;5) 𝐶)(8;6) 𝐷)(7;8) 𝐸)(8;9)
Aplicación Resolución
d = (x2 − x1)
2 + (y2 − y1)
2
Nos piden B
Se sabe 
Reemplazamos según el gráfico
74 = (a + 1 − 1)2 + (a + 2 − 4)2
74 = (a)2 + (a − 2)2
Elevando al cuadrado 
74= a2 + (a − 2)2
74= a2 + a2-4a +4
0= a2 -2a -35
a
a -7
5
Entonces:
a=-5 o a=7
Absurdo para el gráfico
Por lo tanto a=7
Entonces las coordenadas del 
punto B son: (8;9)
Clave E
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Aplicación
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
En el gráfico tenemos un campo de gras sintético de forma cuadrada ABCD , 
el cual debe ser reemplazado por gras natural. Para ello, se necesita las 
coordenadas de los puntos B y C 
A) B(1;17 ) y C(-5;12)
B) B(7;17 ) y C(-2;4)
C) B(7;17 ) y C(-5;12)
D) B(1;7 ) y C(-3;4)
E) B(4;17 ) y C(-1;4)
A(4;3)
Y
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Y
Resolución
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Nos piden las coordenadas de los puntos B y C
3
4
4
4
3
3
B(1;7)
1
C(-3;4)
A(4; 3 )
37°
37°
37°
53°
MD
N
En el gráfico el triángulo DMA (notable de 37°)
TD=3 y CT=4
En el triángulo CTD (notable de 37°)
AM=3 y DM=4
T
En el triángulo ANB (notable de 37°)
NA=4 y BN=3
L
→LB=1
B(1;7) C(-3;4)
Las coordenadas pedidas son:
y
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN
DADA
Aplicación
A(2;3)
P(x;y)
B(9;10)
Resolución
x =
2 +
2
3
(9)
1 +
2
3
y =
3 +
2
3
(10)
1 +
2
3
=
24
5
=
29
5
Sean los puntos A x1; y1 y B x2; y2 extremos de un segmento
AB ; las coordenadas x; y de un punto P que divide a este
segmento en la razón r =
AP
PB
son
A x1; y1
B x2; y2
P x; 𝑦
x =
x1 + rx2
1 + r
y =
y1 + ry2
1 + r
Del gráfico, halle las coordenadas del punto P x; y , tal que
AP
PB
=
2
3
Dato: r =
AP
PB
=
2
3
Entonces, por división de un segmento en una razón dada
∧
∴ P =
24
5
;
29
5
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Sean A(𝑥1;𝑦1 ) y B(𝑥2; 𝑦2) los extremos de un segmento 
AB. Si M(x; y) es el punto medio de AB, entonces 
Ejemplo 1
Halle las coordenadas del punto M(x; y), Si AM=MB
M(x;y)
B(13;19)
A(5;7)
Resolución
x=
5+13
2
y = 
7+19
2
x=9 y =13
Ejemplo 2
Halle el valor de a+b , Si AM=MB
B(1+2a; b-1)
M(1;3)
A(3-a; 5b+1)
1= 
1+2a+3−a
2
M(9;13)
Resolución
Como AM=MB
Se cumple:
3= 
b−1+5b+1
2
a= -2
b=1
a+b= -1
B
A
M(x; y) 
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Observación
Si ABCD es un paralelogramo 
D(𝑥4;𝑦4 ) 
C(𝑥3;𝑦3 ) 
B(𝑥2;𝑦2 ) 
A(𝑥1;𝑦1 ) 
Se cumple:
𝑥1+ 𝑥3 = 𝑥2+ 𝑥4 𝑦1+ 𝑦3 = 𝑦2+ 𝑦4
Aplicación
Si ABCD es un paralelogramo, halle el valor de a+b
B(5;2) 
A(a;0) 
C(0;b+2) 
D(-1;2) 
Resolución
Se cumple 
-1+5=0+a 2+2=b+2+0y
4=a 2=by
∴ a + b = 6
X
Y
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO 
Sean A(𝑥1; 𝑦1), B(𝑥2; 𝑦2) y C(𝑥3; 𝑦3) los vértices de un
triángulo. El punto de intersección de las medianas
G(x; y) es el baricentro del triángulo, entonces 
Ejemplo
Halle las coordenadas del baricentro G(x;y)
A(-2;3)
B(5;8)
C(12;-5)
G(x:y)
Resolución
x= 
−2+5+12
3
y =
3+8−5
3
x=5 y=2
G(5;2)
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR CONOCIENDO LAS 
COORDENADAS DE SUS VÉRTICES
Ejemplo
Halle el área de la región triangular sombreada 
s
A(-5;8)
B(9;1)
C(1;-2)
Resolución
Tomamos los puntos en sentido antihorario comenzando 
por el punto C(1;-2)
1 − 2
9 1
−5 8
1 − 2
-18
-5
8
1
72
10
-15 83
S=
83−(−15)
2
S=49
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
A
B(5;11)
C
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Un Ing. Civil desea calcular el área de una manzana , la cual tiene forma 
triangular con vértices en unidades de kilómetros A(1;7) ,B(5;11) y C(8;1) 
.¿Cuanto mide el área de dicha región? 
Ejemplo
A)20𝑘𝑚2 𝐵)20.5𝑘𝑚2 𝐶)25𝑘𝑚2 𝐷)5𝑘𝑚2 𝐸)15𝑘𝑚2
Resolución
A(1:7)
B
C (8;1)
Nos piden: S
S
1 7
8 1
5 11
1 7
56
5
11
1
88
35
72 124
Tomamos los puntos en sentido antihorario comenzando 
por el punto A(1;7)
S=124−(72)
2
S=26
∴S=26𝑘𝑚2
Clave B
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Gracias

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