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TRIGONOMETRÍA P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L Ciclo Anual Virtual Uni Docente: Rodolfo José Geometría analítica I OBJETIVOS ❑Entender el uso del sistema de coordenadas rectangulares también conocido como plano cartesiano. ❑Identificar y aplicar las propiedades para la resolución de problemas C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A GEOMETRÍA ANALÍTICA I PLANO CARTESIANO DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A HOY VEREMOS: ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR CONOCIENDO LAS COORDENADAS DE SUS VÉRTICES BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A RECTA NUMÉRICA REAL ¿Sabias que Entre dos números reales siempre encontraremos otro número real? La recta numérica o recta real es un gráfico unidimensional o línea recta que contiene todos los números reales. -3 43210-4 -2 -1 1 2 2 π -2.5 -0.1 Números Positivos Números Negativos +∞-∞ Observacion: A cada punto de la recta se le asocia tan solo un número real, la cual es la coordenada de dicho punto, así tenemos: ✓ La coordenada del punto A es -1 ✓ La coordenada del punto B es 2 A B C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A PLANO CARTESIANO C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A Ejemplo Es el plano formado por dos rectas numéricas reales que se interceptan perpendicularmente en un punto llamado origen de coordenadas . origen X Y A(0:0) B(4;3) C(5;0) D(-5;4) E(-2;0) F(-4;-5) G(0;-3) H(3;-4) X Y Eje de ordenadas Eje de abscisas 𝑎; 𝑏 𝑎 𝑏 ordenada abscisa 𝑎; 𝑏 : par ordenado primer cuadrante segundo cuadrante tercer cuadrante cuarto cuadrante X Y Ubiquemos los siguientes pares ordenados en el plano cartesiano A 0; 0 , B 4; 3 , C 5; 0 , D −5; 4 , E −2; 0 , F −4; −5 , G 0; −3 , H 3; −4 . 𝐏 𝑎; 𝑏 : coordenadas del punto 𝐏 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A Como parte de esa búsqueda, realizó amplios estudios sobre la geometría analítica, de la cual se considera padre y fundador. Logró trasladar matemáticamente la geometría plana al sistema de coordenadas rectangulares que lleva su nombre . Fuente: https://concepto.de/plano-cartesiano/#ixzz6OSHt1P4X Observación El plano cartesiano fue una invención del filosofo y matemático René Descartes. Su perspectiva filosófica se basó siempre en la búsqueda del punto de origen del conocimiento. Aplicación del plano cartesiano con GEOGEBRA 1596-1650 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS B(x2; y2) A(x1; y1) d d = (x2 − x1) 2 + (y2 − y1) 2 ¡Tenga en cuenta que…! Una distancia siempre es positiva , entonces d>0 Aplicación Una plancha metálica tiene forma triangular ¿Cuál es valor de su perímetro? A(3:2) B(-4:1) C(0:-2) X Y Resolución d3 = (3 − −4 ) 2 + (2 − 1)2 d1 d2 d3 = 50 = 25(2) = 5 2 d1 = (−4 − 0) 2 + (1 − −2 )2 = 25 d2 = (3 − 0) 2 + (2 − −2 )2 ∴ Perímetro =5+5+5 2 Perímetro=d1 + d2 + d3 = 10 + 5 2 Sean A x1; y1 y B x2; y2 dos puntos cualesquiera del plano cartesiano; la distancia d entre dichos puntos esta dada por = 5 = 25 = 5 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A Un profesor de Física analiza la trayectoria recta de un DRON en el siguiente plano cartesiano. Halle las coordenadas del punto B B(a+1;a+2) A(1;4) X(m) Y(m) 74 A)(1;2) 𝐵)(3;5) 𝐶)(8;6) 𝐷)(7;8) 𝐸)(8;9) Aplicación Resolución d = (x2 − x1) 2 + (y2 − y1) 2 Nos piden B Se sabe Reemplazamos según el gráfico 74 = (a + 1 − 1)2 + (a + 2 − 4)2 74 = (a)2 + (a − 2)2 Elevando al cuadrado 74= a2 + (a − 2)2 74= a2 + a2-4a +4 0= a2 -2a -35 a a -7 5 Entonces: a=-5 o a=7 Absurdo para el gráfico Por lo tanto a=7 Entonces las coordenadas del punto B son: (8;9) Clave E C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Aplicación C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A En el gráfico tenemos un campo de gras sintético de forma cuadrada ABCD , el cual debe ser reemplazado por gras natural. Para ello, se necesita las coordenadas de los puntos B y C A) B(1;17 ) y C(-5;12) B) B(7;17 ) y C(-2;4) C) B(7;17 ) y C(-5;12) D) B(1;7 ) y C(-3;4) E) B(4;17 ) y C(-1;4) A(4;3) Y C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Y Resolución C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A Nos piden las coordenadas de los puntos B y C 3 4 4 4 3 3 B(1;7) 1 C(-3;4) A(4; 3 ) 37° 37° 37° 53° MD N En el gráfico el triángulo DMA (notable de 37°) TD=3 y CT=4 En el triángulo CTD (notable de 37°) AM=3 y DM=4 T En el triángulo ANB (notable de 37°) NA=4 y BN=3 L →LB=1 B(1;7) C(-3;4) Las coordenadas pedidas son: y C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA Aplicación A(2;3) P(x;y) B(9;10) Resolución x = 2 + 2 3 (9) 1 + 2 3 y = 3 + 2 3 (10) 1 + 2 3 = 24 5 = 29 5 Sean los puntos A x1; y1 y B x2; y2 extremos de un segmento AB ; las coordenadas x; y de un punto P que divide a este segmento en la razón r = AP PB son A x1; y1 B x2; y2 P x; 𝑦 x = x1 + rx2 1 + r y = y1 + ry2 1 + r Del gráfico, halle las coordenadas del punto P x; y , tal que AP PB = 2 3 Dato: r = AP PB = 2 3 Entonces, por división de un segmento en una razón dada ∧ ∴ P = 24 5 ; 29 5 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Sean A(𝑥1;𝑦1 ) y B(𝑥2; 𝑦2) los extremos de un segmento AB. Si M(x; y) es el punto medio de AB, entonces Ejemplo 1 Halle las coordenadas del punto M(x; y), Si AM=MB M(x;y) B(13;19) A(5;7) Resolución x= 5+13 2 y = 7+19 2 x=9 y =13 Ejemplo 2 Halle el valor de a+b , Si AM=MB B(1+2a; b-1) M(1;3) A(3-a; 5b+1) 1= 1+2a+3−a 2 M(9;13) Resolución Como AM=MB Se cumple: 3= b−1+5b+1 2 a= -2 b=1 a+b= -1 B A M(x; y) C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A Observación Si ABCD es un paralelogramo D(𝑥4;𝑦4 ) C(𝑥3;𝑦3 ) B(𝑥2;𝑦2 ) A(𝑥1;𝑦1 ) Se cumple: 𝑥1+ 𝑥3 = 𝑥2+ 𝑥4 𝑦1+ 𝑦3 = 𝑦2+ 𝑦4 Aplicación Si ABCD es un paralelogramo, halle el valor de a+b B(5;2) A(a;0) C(0;b+2) D(-1;2) Resolución Se cumple -1+5=0+a 2+2=b+2+0y 4=a 2=by ∴ a + b = 6 X Y C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO Sean A(𝑥1; 𝑦1), B(𝑥2; 𝑦2) y C(𝑥3; 𝑦3) los vértices de un triángulo. El punto de intersección de las medianas G(x; y) es el baricentro del triángulo, entonces Ejemplo Halle las coordenadas del baricentro G(x;y) A(-2;3) B(5;8) C(12;-5) G(x:y) Resolución x= −2+5+12 3 y = 3+8−5 3 x=5 y=2 G(5;2) C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR CONOCIENDO LAS COORDENADAS DE SUS VÉRTICES Ejemplo Halle el área de la región triangular sombreada s A(-5;8) B(9;1) C(1;-2) Resolución Tomamos los puntos en sentido antihorario comenzando por el punto C(1;-2) 1 − 2 9 1 −5 8 1 − 2 -18 -5 8 1 72 10 -15 83 S= 83−(−15) 2 S=49 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A A B(5;11) C C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A Un Ing. Civil desea calcular el área de una manzana , la cual tiene forma triangular con vértices en unidades de kilómetros A(1;7) ,B(5;11) y C(8;1) .¿Cuanto mide el área de dicha región? Ejemplo A)20𝑘𝑚2 𝐵)20.5𝑘𝑚2 𝐶)25𝑘𝑚2 𝐷)5𝑘𝑚2 𝐸)15𝑘𝑚2 Resolución A(1:7) B C (8;1) Nos piden: S S 1 7 8 1 5 11 1 7 56 5 11 1 88 35 72 124 Tomamos los puntos en sentido antihorario comenzando por el punto A(1;7) S=124−(72) 2 S=26 ∴S=26𝑘𝑚2 Clave B C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Gracias
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