Anual Uni Semana 10 - Trigonometría - Camila Darien

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TRIGONOMETRÍA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual Virtual Uni
Docente: Rodolfo José 
Docente: 
Geometría analítica 
II
OBJETIVOS
❑ Conocer propiedades y la aplicación 
correcta de estas para el cálculo de la 
pendiente de una recta.
❑ Entender como se realiza el cálculo de la 
ecuación de una recta 
❑Utilizar propiedades de la ecuación
de la recta para la resolución de 
…problemas. 
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
GEOMETRÍA 
ANALÍTICA II
PENDIENTE DE UNA RECTA (m)
ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS 
ECUACIÓN DE LA RECTA 
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
HOY VEREMOS:
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA 
RECTA
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
INTRODUCCIÓN
Veamos el siguiente situación 
Cuando viajas por una 
carretera y te encuentras 
con uno de estos 
letreros.
Es una forma de expresar la relación entre la altura que subimos cuando ascendemos por la carretera 
y la distancia que nos desplazamos horizontalmente. Matemáticamente esa relación es la tangente 
del ángulo que forma la carretera con la horizontal. Así, una pendiente del 10% significa que subimos 
10 metros de desnivel por cada 100 metros de avance en horizontal:
¿Qué significa ese porcentaje? 
Se puede concluir que: 
Pendiente = Tangente del
ángulo de
inclinación 
m = tan θ
cm
cm
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
PENDIENTE DE UNA RECTA (m)
Llamaremos pendiente de una recta, que no es paralela al eje Y, a la tangente de su ángulo de inclinación . 
m=tan α m=tan θ
Donde α y θ
son ángulos de 
inclinación
Ejemplo.
Halle la pendiente de la recta L 
37°
L
Resolución
m=tan37°
m=
3
4
X
Y
Del gráfico
؞
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Aplicación 
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Un profesor de Física observa con sus 
alumnos la grafica del movimiento de una 
partícula ,que viaja a lo largo de una línea 
recta, calcule el ángulo de inclinación de la 
recta que representa dicho movimiento
150°
L
Y
X
Resolución 
150°
L
Y
X
Nos piden la pendiente (m)
30°
60°
60°
m= 3
m=tan 60°
Del gráfico
؞
Angulo de 
inclinación
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Teorema
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
La pendiente m, de la recta L 
no vertical que pasa
por los puntos 𝑃1(x1; y1) y 𝑃2(x2; y2) es 
m=
y2−y1
x2−x1
Ejemplo.
Y
X
Halle la pendiente de la recta L
(0;5)
(7;8)
Aplicando el teorema para el cálculo de la pendiente 
m=
3
7
También podemos verificar el mismo resultado de 
la siguiente forma :
m=
−3
−7
m= 
3
7
m =
8 − 5
7 − 0
m =
5 − 8
0 − 7
L 
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Y(km)
X(km)
Aplicación 
Una avioneta dedicada al turismo , sobrevuela sobre una de las 
figuras de las líneas de nazca conocida como el mono, Halle la 
pendiente de recta que representa la trayectoria de la avioneta. 
Considere al Centro de monitoreo como origen de coordenadas. 
A(-2;32)
B(18;3)
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
A)
−2
9
B)
−21
20
C)
−29
20
D)
−1
20
E)
−31
20
Resolución 
Nos piden la pendiente m 
m=
𝑦2−𝑦1
𝑥2− 𝑥1
Entonces
𝑚 =
32 − 3
−2 − 18
𝑚 =
−29
20
Clave C
Centro de 
monitoreo
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Observación
Sean m1 y m2 las pendientes de las rectas 𝐿1 y 𝐿2, 
respectivamente, luego
• Si L1 //L2, entonces m1=m2
• Si L1 ⊥ L2 , entonces m1 m2 =–1.
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Ejemplo. 1 Del gráfico Halle el valor de a si 𝐿1 ⊥ 𝐿2
X(5;0)
(7;8)
Ф
Y
𝐿2
𝐿1
Resolución
Del gráfico si L1 //L2
Se cumple 
m1 = m2 m1 =
8 − 0
7 − 5
m1 = 4
Ejemplo. 2
Del gráfico Halle la tanФ si 𝐿1 //𝐿2
(5;9)
(1;a)
(-1;6)
(2;3)
Resolución
m1 m2 =–1
Se cumple 
a=5
(
9−3
5−2
)(
6−a
−1−1
) =–1 (2)(
6−a
−2
) =–1
𝐿1 𝐿2
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Ejemplo.
Del gráfico mostrado halle tanβ
X(0;2)
(4;8)
Calculamos las pendientes de las rectas
Recuerda que si dos 
rectas son 
perpendiculares, forman 
un ángulo de 90°
Y
β
(5;0)
(0;7)
L 2
L 1
𝑚2=
8−2
4−0 𝑚1=
7−0
0−5
=
3
2
Calculamos la tanβ
tanβ=
𝑚2−𝑚1
1+𝑚1𝑚2 tanβ= 
3
2
−(
−7
5
)
1+(
3
2
)(
−7
5
)
=
−7
5
tanβ=−
29
11
tanθ =
𝑚2 − 𝑚1
1 + 𝑚2𝑚1
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
m: la pendiente de la recta L
P(x0; y0): un punto de paso de L. 
P(x; y): un punto cualesquiera de L
entonces, la ecuación de la recta L será
L : 𝑦 − 𝑦0 = m(𝑥 −𝑥0)
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Sea la recta L
ECUACIÓN DE LA RECTA
Donde :
Teorema
Sea m la pendiente de la recta L 
L : Ax+ By+ C=0
m= −
𝐴
𝐵
Ejemplo 1
Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1;3) y B(5;7)
Resolución
B(5;7)
A(1;3)
m=
7−3
5−1 m=1
Tomamos como punto (𝑥0;𝑦0)= (1;3)
Calculamos la pendiente
Reemplazamos en:
L : y−𝑦0 = m(𝑥 − 𝑥0)
y−3 =1 (x−1) 0 =x−𝑦 + 2
ECUACIÓN PUNTO 
PENDIENTE 
ECUACIÓN 
GENERAL
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Ejemplo 2
Halle las coordenadas de los puntos de intersección de 
la recta L: 3x-4y+12=0, con los ejes coordenados L 1:3x+2y-5=0
L 2: 5x-3y+13=0
L 3: x-y+13=0
L 4: 2x- 3y+13=0
𝑚2=
−5
−3
𝑚1=
−3
2
𝑚3=
−1
−1
= 1
𝑚4=
− 2
− 3
= 
2 3
3 3
=
6
3
¿Sabias que ?
Si m>0
Si m<0
INTERSECCIÓN DE LA RECTA CON LOS EJES 
Ejemplo 3Halle la pendiente de las siguiente ecuaciones de recta
Resolución 
❑ Intersección con el eje Y
3(0)-4y+12=0 → y=3
Evaluamos y=0 en la ecuación
3x-4(0)+12=0 → x=-4
Entonces el punto es de coordenadas: (0;3) 
Entonces el punto es de coordenadas: (-4;0) 
(0;3) 
(-4;0) 
Veamos:
Evaluamos x=0 en la ecuación 
❑ Intersección con el eje X
X
Y
El ángulo 𝜃es agudo El ángulo α es obtuso
𝜃
α
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Aplicación 1
Una embarcación pesquera ubica un cardumen de peces 
utilizando un sonar , generando el siguiente grafico asociado a un 
plano cartesiano. Halle la ecuación de la recta que pasa por los 
puntos A (10;-40) y B(15;-35)
X (m)
Y(m)
A(10;-−40)
B(15;−35)
Resolución :
Nos piden la ecuación de la recta L 
A(10;-40)
B(15;−35)
L
Hallamos la pendiente (m)
m=
−35 − (−40)
15 − 10
m=
y2−y1
x2− x1
Tomamos como punto de paso 
(𝑥0;𝑦0)= (10;−40)
Reemplazamos en: L ∶ y − y0 =m(x−x0)
y−(−40) =(1) (𝑥 − 10)
m=1
Operando: x−𝑦 − 50 = 0
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Aplicación 2
En el gráfico mostrado AM=MB. Calcula la 
ecuación de la recta L
A(−2;2)
C(5;-1)
B(6;4)
X
Y
M
L
A(−2;2)
C(5;-1)
Y L
X
B(6;4)
M(
−2+6
2
;
2+4
2
)
Resolución
M(2;3)
B(5;-1)
L
Hallamos la pendiente (m)
m=
3 − (−1)
2 − 5
=−
4
3
Tomamos como punto de paso 
(𝑥0;𝑦0)= (2;3)
Reemplazamos en:
L : y−𝑦0 =m(x−𝑥0)
L : y−3 =
−4
3
(x−2) 
Operando:
Del gráfico
L : 3(y−3 )= −4 (x−2)
m=
𝑦2−𝑦1
𝑥2− 𝑥1
L ∶ 4x+3𝑦 − 17 = 0
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
Sea L :Ax+By+C=0, luego se cumple que
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Ejemplo 
Del gráfico Halle la distancia del punto P(-4;7) a 
la recta 
M(−4;7)
Resolución 
d=
2 −4 +(−3) 7 −8
22+(−3)2
d=
37
13
13
13
(x0; y0)=(−4;7)
d=
37 13
13
Reconocemos que :
Reemplazamos en:
d=
Ax0+By0+C
A2+B2
L 
𝑑 =
𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 + 𝐶
𝐴2 + 𝐵2
X
Y
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Sea las rectas paralelas 
luego se cumple que
d =
C2 − C1
A2 + B2
Demostración
Si tenemos dos rectas paralelas 
L 𝟏 : Ax+By+𝐶1=0 
L 𝟐 : Ax+By+𝐶2=0 
Escogemos a L 𝟏 para hallar un punto de paso , evaluando 
x=0
L 𝟏 : A(0)+By+𝐶1=0 → 𝑦 =
−C1
B
( 0; 
−𝐶1
B
)
d
d
𝑑 =
𝐴(0) + 𝐵(
−C1B ) + 𝐶2
𝐴2 + 𝐵2
Calculamos la distancia de un punto a la recta L 𝟐
→ 𝑑 =
𝐶2 − 𝐶1
𝐴2 + 𝐵2
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Ejemplo 1
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Halle la distancia entre las rectas
L 𝟏 : 4x−3y+5=0 
L 𝟐 : 4x−3y+9=0 
Resolución
L 𝟏 : 4x−3y+5=0 →𝑚1 =
−4
−3
L 𝟐 : 4x−3y+9=0 →𝑚2 =
−4
−3
Nos piden la distancia entre las 
rectas (d)
Calculamos la pendiente de cada 
una de ellas
Como 𝑚1= 𝑚2
Entonces ambas 
rectas son paralelas
Aplicamos 
𝑑 =
𝐶2 − 𝐶1
𝐴2 + 𝐵2
𝑑 =
9 − 5
42 + (−3)2
𝑑 =
4
25
𝑑 =
4
5
Observación
También podríamos calcular la distancia 
graficando las rectas
L 𝟏 : 4x−3y+5=0 si x=0 →y=
5
3
L 𝟐 : 4x−3y+9=0 si x=0 →y=3 
Como 𝑚1= 𝑚2 =
4
3
= 𝑡𝑎𝑛θ → θ = 53°
X
Y
53°
y=
5
3
y=3 
4
3
37°
37°
؞
𝑑 =
4
3
sen 37°
𝑑 =
4
5
؞
Del gráfico
𝑑 =
4
3
(
3
5
)
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Gracias
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E Á L G E B R A