Anual Uni Semana 11 - Trigonometría - Camila Darien

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TRIGONOMETRÍA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual Virtual Cesar Vallejo
Docente: Rodolfo José 
RAZONES 
TRIGONOMÉTRICAS DE 
UN ÁNGULO EN 
POSICIÓN NORMAL
OBJETIVOS
❑Definir las razones trigonométricas de 
un ángulo en posición normal.
❑Determinar si las razones 
trigonometricas son positivas o 
negativas en cada cuadrante.
❑Aplicar las definiciones de razones 
trigonométricas en la resolución de 
problemas dirigidos y tipo examen de 
admisión.
❑Definir los ángulos cuadrantales y 
coterminales; determinar sus 
…razones trigonométricas y
..propiedades relacionadas.
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
RAZONES 
TRIGONOMÉTRICAS 
DE UN ÁNGULO EN 
POSICIÓN NORMAL
DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉ-
TRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
EN LOS CUADRANTES 
R.T. DE UNÁNGULO CUADRANTAL 
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
HOY VEREMOS:
ÁNGULOS COTERMINALES Y SUS PROPIEDADES 
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
INTRODUCCIÓN
Hoy en día utilizamos nuestro Smartphone 
con múltiples aplicaciones, entre ellas la 
calculadora. 
Es muy sencillo, solo usamos la aplicación calculadora, 
ponemos la pantalla de forma horizontal y aparecerá en 
modo calculadora científica, y podremos ver los botones 
para las tres primeras razones trigonométrica sin( para 
seno) cos (para cosen y tan (para tangente). 
¿Cómo hallamos las razones trigonométricas para un ángulo usando el smartphone ? 
Por ejemplo si ponemos la calculadora en grados (DEG) 
veamos para un angulo mayor a 90°
𝑡𝑎𝑛45° pulsando 𝐭𝐚𝐧 y digitamos 45 en la pantalla
¿Cómo podríamos calcular este resultado sin calculadora? 
𝑡𝑎𝑛135° pulsando 𝐭𝐚𝐧 y digitamos 135 en la pantalla su resultado es − 1
Tangente 
1
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Á𝐍𝐆𝐔𝐋𝐎 𝐄𝐍 𝐏𝐎𝐒𝐈𝐂𝐈Ó𝐍 𝐍𝐎𝐑𝐌𝐀𝐋
Definimos a un ángulo en posición posicion normal
, como aquel ángulo trigonométrico en el plano cartesiano
con las siguientes características∶
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Sean θ un ángulo trigonometrico en posición normal
X
Y
θ
❑ Tiene como vertice el origen de coordenandas
❑ Su lado inicial es el semieje OX
Ejemplos
X
Y
240°
X
Y
300°
X
Y
−100°
X
Y
50°
O
▪ 240°ϵ III C
▪ 240°>0 ▪ 300°>0
▪ 300°ϵ IV C
▪ −100°<0
▪ −100°ϵ III C
▪ 50° No esta en 
posición 
normal 
Observación: 50° es un ángulo 
agudo
lado inicial 
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
𝐃𝐄𝐅𝐈𝐍𝐈𝐂𝐈Ó𝐍 𝐃𝐄 𝐋𝐀𝐒 𝐑𝐀𝐙𝐎𝐍𝐄𝐒 𝐓𝐑𝐈𝐆𝐎𝐍𝐎𝐌É −
𝐓𝐑𝐈𝐂𝐀𝐒 𝐃𝐄 𝐔𝐍 Á𝐍𝐆𝐔𝐋𝐎 𝐄𝐍 𝐏𝐎𝐒𝐈𝐂𝐈Ó𝐍 𝐍𝐎𝐑𝐌𝐀𝐋
Sea θ un ángulo en posición normal y P a; b
un punto que pertenecen a su lado final
Donde
r: radio vector del punto 𝑃
b: ordenada del punto P
a: abscisa del punto P
𝑟 = 𝑎2 + 𝑏2
sen θ =
ordenada del punto P
radio vector
=
b
r
cos θ =
abscisa del punto P
radio vector
=
a
r
tanθ =
ordenada del punto P
abscisa del puntoP
=
b
a
cot θ =
abscisa del punto P
ordenada del punto P
= 
a
b
sec θ= 
radio vector
abscisa del punto P
=
r
a
csc θ =
radio vector
ordenada del punto P
=
r
b
Vemos que para el calculo de las
razones trigonométricas solo
necesitamos
las coordenadas de un punto de su lado final
Ejemplo 1.
X
θ
O
Halle las razones 
trigonométricas para θ
(−4; 3)
Y
o sen θ =
𝑟 = (−3)2+ 4 2 𝑟 = 5
o tan θ =
o cos θ = o cot θ =
o sec θ =
o csc θ =
𝑟
3
5
−4
5
3
−4
5
−4
5
3
−4
3
𝑟 > 0
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Ejemplo 2.
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Halle la tan135°
X
Y
300°
O
60°
(𝑘;−𝑘 3)X
Y
135°
O
45°
(−𝑘; 𝑘)
k
k
→ 𝑡𝑎𝑛135° = 𝑘
−𝑘
−1𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎
𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎
= =
Ejemplo 3.
Halle la cos300°
𝑘 3
𝑘
→ 𝑐𝑜𝑠300° = 𝑘
2𝑘
1
2
𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
= =
2𝑘
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Aplicación 
Del grafico halle la tangente del ángulo θ
θ
Y
X
Resolución 
A(−3; 𝑛 − 1)
B(𝑛 + 1;−1)
θ
X
Nos piden tan θ
Y
A(−3; 𝑛 − 1)
B(n + 1;−1)
Por definición
tan θ =
n − 1
−3
tan θ =
−1
n + 1
igualando
n − 1
−3
=
−1
n + 1
n2 − 1 = 3
n = 2 ó n = −2
𝑎𝑏𝑠𝑢𝑟𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎
tan θ =
Escogemos las coordenadas
del punto A
A(−3; 𝑛 − 1)=A(−3;−3)
por definición
؞
−3
−3
= 1
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
EN LOS CUADRANTES
Veamos la siguiente aplicación
En el gráfico se muestra el máximo 
ángulo que puede abrirse una 
puerta, visto desde arriba en un 
plano cartesiano 
X
Y
θ
P(5;−12)
Del gráfico
𝑟 = (5)2+ −12 2
𝑟 = 13
o senθ =
o tan θ =
o cos θ =
o cot θ =
o sec θ =
o cscθ =
negativo
positivo
negativo
negativo
negativo
positivo
se cumple para todo
ángulo en posición normal
que pertence al IV C
sen −
cos +
tan −
cot −
sec +
csc −
−12
5
5
13
−12
13
5
−12
13
−12
13
5
Tope de 
goma
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
En general, dependiendo del cuadrante al que pertenece un
ángulo en posición normal, sus razones trigonométricas 
pueden ser positivas o negativas.
Ejemplos 
o 𝑠𝑒𝑛18° 𝑒𝑠
ϵ I C
ϵ II C
o cos120° 𝑒𝑠
o tan200° 𝑒𝑠
o cot330° 𝑒𝑠
o sec350° 𝑒𝑠
ϵ III C
ϵ IV C
ϵ IV C
(+)
(−)
(+)
(−)
(+)
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
¿sabias que ?
Es suficiente conocer el signo de dos
razones trigonométricas diferentes
que no sean reciprocas, para saber a 
que cuadrante pertenece el ángulo 
en Posición Normal
Ejemplos
o Si senθ > 0 y cosθ < 0 → θϵ
o Si tanθ > 0 y senθ < 0 → θϵ
o Si cosθ < 0 y cotθ < 0 → θϵ
o Si cosθ < 0 y senθ < 0 → θϵ
o Si cscθ < 0 y cosθ > 0 → θϵ
III C
II C
IIIC
IV C
II C
Aplicación
Si γ es un ángulo en posicion normal
que pertenece al tercer cuadrante y
… tanγ =
5
12
Halle M=senγ + cosγ
.
Resolución
γ
Y
X
Graficamos el ángulo en posición
normal γ , considerando que tiene
sentido de giro antihorario
Nos piden
M=senγ + cosγ
del dato
tanγ =
5
12
=
ϵ III C
−5
−12
=
𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎
𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎
(−12;−5)
r
r = (−12)2+ −5 2
r = 13
Reemplazamos
en lo pedido
…
M=
−5
13
+ (
−12
13
)
M=
−17
13
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
ÁNGULOS CUADRANTALES
Son aquellos ángulos de la forma
Asi tenemos por ejemplo
X
90°
O
Y
X
180°
O
Y
X
270°
O
Y
X
360°
O
Y
Vemos que pueden ser positivos o negativos incluidos el cero
......−270°, −180°, −90°, 0, ° 90°, 180°, 270°, 360°, 450°…… .
90°n tal que n ϵ Z
−90°
−180°
Aplicación 
Halle cuantos ángulos cuadrantales hay entre 100° y 1000°
Resolución 
Si consideramos como la expresión general de un cuadrantal
90°n tal que n ϵ Z
según la condición
100° < 90°n < 1000°
como nϵZ
90° 90° 90°
____ ______ _______
1,11 < n <11,1
n = 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11
Si hay 10 valores 
enteros para n.
Entonces hay 10 ángulos 
cuadrantales 
؞
𝜋
2
k˅ tal que kϵ Z
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
CALCULO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 
DE UN ÁNGULO CUADRANTAL
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Veamos para el ángulo 90°
X
90°
O
Y
(0; 3)
r
r = (0)2+ −3 2
r = 3
= 1o sen90° =
3
3
o cos90° =
o tan90° =
o cot90° =
o sec90° =
o csc90° =
3
0
0
3
3
0
3
3
0
3
= 0
= N. D.
= 0
= N. D.
= 1
En general, tenemos los siguientes valores de las
razones trigonométricas de los ángulos cuadrantales más 
conocidos, mediante el siguiente cuadro.
Donde
N.D. : No determinado
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Aplicación 1 
A Rosita de se cayó su celular, rajándose la pantalla
y quedando finalmente como se muestra en el gráfico
𝜃
α
Calcule el valor de
H =
𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑠𝑒𝑛α
cos θ − α − cos( θ + α )Resolución
Del gráfico
α= 90°θ= 270° y
Reemplazando en H
H =
𝑠𝑒𝑛270° − 𝑠𝑒𝑛90°
cos 270° − 90° − cos( 270° + 90° )
H =
𝑠𝑒𝑛270° − 𝑠𝑒𝑛90°
cos 180° − cos(360°)
H =
−1 − 1
−1 − 1
H =
−2
−2
H = ؞1
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Ángulos coterminales
Son aquellos ángulos trigonométricos 
que tienen el mismo lado inicial y lado 
final con un mismo vértice 
𝛽
α
lado inicial
245°
−120°
Si se presentan estos ángulos en posición
normal
β
φ
X
Y
Del gráfico:
(𝑥; 𝑦)
tanβ =
y
x
ᴧ tanϕ =
y
x
→ tanβ = tanϕ
Además:
−φ
β+(−ϕ)=360°
β−ϕ=360°
Propiedades
Sean θ y α dos ángulos coterminales
en posición normal 
o Los ángulos coterminales tienen
los mismos valores de razones
.trigonométricas.
R. T θ = R. T. (α)
o La diferencia entre dos ángulos
coterminales es 360°K / Kϵ Z
θ − α = 360°K
Ejemplo
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Aplicación 
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Si θ y β son ángulos coterminales,
θ pertenece al tercer cuadrante y
25sen2θ + 5senβ − 12 = 0
Halle J = tanθ + tanβ
Resolución 
Como θ y β son ángulos coterminales
Senθ=senβ
Reemplazamos en la ecuación
25sen2θ + 5senθ − 12 = 0
5senθ
5senθ 4
−3
5𝑠𝑒𝑛θ − 3 = 0 ˅ 5𝑠𝑒𝑛θ + 4 = 0
senθ =
3
5
−4
5
senθ =
Como θ pertenece al tercer cuadrante
la razón trigonométrica seno es negati𝑣𝑎
senθ =
−4
5
Operando: x = 3 ˅ x = −3
J =
−4
−3
+
−4
−3
؞
𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
=
θ
Y
Xr=5
graficamos a θ onsiderando sentido 
de giro antihorario
(𝑥; −4)
r = 𝑥2 + −4 2
5 = 𝑥2 + −4 2
Reemplazando en lo pedido
J =
8
3
tanθ = tanβcomo:
Este valor no 
cumple para el 
problema 
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Gracias
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Gracias
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A