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Anual Uni Semana 12 - Trigonometría - Camila Darien

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TRIGONOMETRÍA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual Virtual Cesar Vallejo
Docente: Rodolfo José 
Docente: 
IDENTIDADES 
TRIGONOMÉTRICAS 
FUNDAMENTALES
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
0. OBJETIVOS
1. INTRODUCCIÓN 
2. NOCIONES PREVIAS
3. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES
4. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES
5. PRÁCTICA DIRIGIDA
TEMARIO
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
0. OBJETIVOS 
❑ Reconocer, comprobar y clasificar las identidades trigonométricas 
fundamentales y auxiliares. 
❑ Utilizar las identidades trigonométricas en las simplificación y 
transformación de expresiones matemáticas. 
❑ Aplicar identidades trigonométricas en la resolución de problemas, 
en particular problemas tipo examen de admisión UNI.
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
1. INTRODUCCIÓN 
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
En esta época destaco el astrónomo y matemático Abú al-
Wafá Buzjani (940-998)
A el le debemos las
nociones circunferencia
trigonométrica, las relaciones
recíprocas .
1
senθ
=cscθ secθ =
1
cosθ
senθ
cosθ
tanθ=
cosθ
senθ
cotθ=
Y de cociente 
La edad media del mundo occidental
corresponde a la edad de oro del mundo
musulmán que desde el siglo VII al
𝑋𝐼𝐼, se extendio desde la India hasta
España.
ESPAÑA
Durante esa época, el árabe fue la lengua internacional de la
matemática. Los matemáticos árabes conservaron el
patrimonio matemático de los griegos , lograron avances en
la trigonometría y el álgebra.
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
2. Nociones previas
Productos notables
𝒂 ± 𝒃 𝟐 = 𝒂𝟐 ± 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 𝒂 ± 𝒃 𝟑 = 𝒂𝟑 ± 𝒃𝟑 ± 𝟑𝒂𝒃 𝒂 ± 𝒃 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = 𝒂 + 𝒃 𝒂 − 𝒃
𝒂𝟑 − 𝒃𝟑 = 𝒂 − 𝒃 𝒂𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 = 𝒂 + 𝒃 𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 𝒙𝟒 + 𝒙𝟐 + 𝟏 = 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟏
Razones trigonométricas de ángulos de cualquier magnitud
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜
=
𝑦
𝑟
cos θ =
𝐴𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜
=
𝑥
𝑟
𝑡𝑎𝑛 𝜃 =
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎
𝐴𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎
=
𝑦
𝑥
𝑐𝑜𝑡 𝜃 =
𝐴𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎
=
𝑥
𝑦
𝑠𝑒𝑐 𝜃 =
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜
𝐴𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎
=
𝑟
𝑥
𝑐𝑠𝑐 𝜃 =
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎
=
𝑟
𝑦
𝑥: Abscisa de P
𝑦: Ordenada de P
𝑟: Radio
𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Identidad trigonométrica:
Ejemplos:
o 𝑠𝑒𝑛2θ + 𝑐𝑜𝑠2θ =1
o 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦
o 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑦
o 𝑐𝑜𝑡𝜃 = o senθcscθ = 1
𝑆𝑜𝑛 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝑥, 𝑦, θ
𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 , 𝑑𝑖𝑐ℎ𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛
𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒕𝒓𝒊𝒈𝒐𝒏𝒐𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔
Para un mejor estudio de todas las identidades
las hemos clasificado en grupos.
Hoy veremos el grupo llamado “Identidades 
trigonométricas fundamentales” 
cosθ
senθ
3. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES
Una identidad trigonométrica es una ecuación o fórmula
donde intervienen razones trigonométricas, que es válida
para todos los ángulos para los cuales están definidos ambos
lados de la igualdad.
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C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
∴ sen2θ + cos2θ = 1
Identidades trigonométricas pitagóricas
X
θ
O
Sea θ un ángulo en posición normal
(𝑥; 𝑦)
Y
o sen θ =
r = x2 + y2
o cos θ =
𝑟
𝑦
𝑟
x
r
………….(I)
………….(II)
Recordemos que:
→ r2 = x
2 + y2
Por definición tenemos
o → cosθ 2 + senθ 2 = 1
x2
r2
+
y2
r2
= 1
x
r
2
+
y
r
2
= 1
Reemplazando (I) y (II)
Aplicación 1
Si sen2θ + cos2β =
2
3
Resolución
Nos piden
M = cos2θ + sen2β
M = (1 − sen2θ) + (1 − cos2β)
M = 2 − sen2θ − cos2β
M = 2 − (sen2θ + cos2β)
M = 2 − (
2
3
)
M =
4
؞3
sen2θ =
cos2θ =
1 − cos2θ
1 − sen2θ
También puede expresarse como:
Calcular el valor de
M = cos2θ + sen2β
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
En conclusión
sen2θ + cos2θ = 1 1+tan2θ = sec2θ 1+cot2θ = csc2θ
Ejemplos
o sen210° + cos210° = 1 o 1+tan287° =
o co𝑠224° =
sen2θ =
cos2θ = tan2θ =
1 =
cot2θ =
1 =
Consecuencias
1 − cos2θ
1 − sen2θ
sec2θ−tan2θ
sec2θ−1
csc2θ−cot2θ
csc2θ−1
o sen250° = o 1=
o 1= csc218° − cot218°
1 − cos250
1 − sen224°
sec287°
sec272° − tan272°
Tenemos que 21° y 69° son complementarios, 
𝟏
E = 2
Resolución
Aplicación 1
Halle el valor de
E = sec2 21° − cot2 69° + 1
Entonces cot 69° = tan 21°
E = sec2 21° − tan2 21° + 1
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
¡cuidado!
𝑠𝑒𝑛2𝜃 ≠ 𝑠𝑒𝑛𝜃2
𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 2
Aplicación 2
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Si senθ=
−5
13
Halle tanθ
, tal que θϵ ІV C
Resolución
Sabemos que 
tan2θ = sec2θ − 1
Entonces 
tan2θ =
1
cos2θ
− 1
˅
tan2θ =
1
1 − sen2θ
− 1
Reemplazando el dato 
tan2θ =
1
1 −
−5
13
2 − 1
tan2θ =
25
144
Por lo tanto 
tanθ = +
5
12
tanθ = −
5
12
Como θϵ ІV C
tanθ ؞= −
5
12
Ejemplos
o sen218° ≠ sen(18°)2
o tan218° ≠ sen(18°)2
o cos225 = (cos25°)2
o cot236° = (cot36°)2
o csc253° = (csc53°)2
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C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Identidades por cociente
senθ
cosθ
tanθ=
cosθ
senθ
cotθ=
Ejemplos
o tan60°=
sen60°
cos60°
o cot45°=
cos45°
sen45°
Identidades recíprocas
1
senθ
=cscθ → cscθsenθ = 1
secθ =
1
cosθ
→ secθcosθ = 1
cotθ = 1
tanθ
→ tanθcotθ = 1
Ejemplos
1
sen20°
=o csc20°
1
cos15°
=o sec15°
o cot35° =
1
tan35°
Aplicación 3
Reduzca la expresión
H = senα𝑐𝑜tα − 𝑐𝑜𝑠α𝑡𝑎𝑛α + 𝑠𝑒𝑛α
Resolución
H = senα
Nos piden
(
cosα
senα
) −𝑐𝑜𝑠α(
senα
cosα
)+𝑠𝑒𝑛α
H = 𝑐𝑜𝑠α − 𝑠𝑒𝑛α + 𝑠𝑒𝑛α
H = 𝑐𝑜𝑠α
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Aplicación 4
𝜃
𝑥
𝑦
𝜃
𝐹𝑔 . 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝐹𝑔. 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐹𝑔
𝐹𝑁
𝐹𝑟
෍ 𝐹𝑥 = 0:
෍ 𝐹𝑦 = 0:
D𝑒 (𝐼)
El remolque de un auto, requiere de una plataforma que asciende con un ángulo de inclinación de 𝜃, con rapidez constante. 
Sabiendo que la fuerza de fricción es aproximadamente proporcional a la fuerza normal entre las dos superficies, 
así 𝒇𝒓 = 𝝁𝒌. 𝑭𝑵 . ¿Qué puede decir usted acerca del coeficiente de fricción cinética 𝜇𝑘?
Fgsenθ = μk. Fgcosθ
→ 𝜇𝑘=
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
= 𝑡𝑎𝑛𝜃
Del diagrama de cuerpo libre:
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Fgsenθ − fr = 0
FN − Fgcosθ = 0 … (𝐼)
… (𝐼𝐼)
𝑑𝑒 (𝐼)𝑦 𝐼𝐼 𝑒𝑛 ∶ 𝒇𝑟= 𝝁𝒌. 𝑭𝑵FN = Fgcosθ
D𝑒 (𝐼𝐼)
Fgsenθ = fr senθ = μk. cosθ
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
.
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
✓ De demostraciones
✓ De simplificaciones
✓ De condicionales ✓ De eliminación de ángulos 
LOS TIPOS DE PROBLEMAS QUE SE PLANTEA EN LOS EXÁMENES DE ADMISIÓN
Ejemplo
EjemploEjemplo
Ejemplo
Eliminar “x” a partir de:
Senx – Cosx = a
Senx + Cosx = b
A) a2 + b2 = 1
B) a2+b2 = 2
C) a2+b2 = 3
D) ab = 1
E) a-b = 1
Demostrar:
cscx−senx= cosxcotx
Siendo: Senx – Cosx = 2/5
Calcular el valor de: 
J = Cotx + Tgx
A) 25/12
B) 50/21
C) 15/7
D) 25/16
E) 25/9
Simplifique la expresión:
A= Cos + Tg Sen
A) Csc B) Sec  C) 1
D) Tg E) Ctg 
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
OBSERVACIÓN
𝑠𝑒𝑐θ − 𝑡𝑎𝑛θ =
𝑎
𝑏
𝑠𝑒𝑐θ + 𝑡𝑎𝑛θ =
𝑏
𝑎
↔
cscθ − 𝑐𝑜𝑡θ=
𝑚
𝑛
=
𝑛
𝑚
cscθ + 𝑐𝑜𝑡θ↔
Aplicación 3
Si secβ − tanβ =
2
3 Por identidad recíproca
Halle : cosβ
Resolución
Pide cosβ
De la condición
secβ − tanβ =
2
3
De la observación
secβ + tanβ =
3
2
………….(I)
………….(II)
2secβ =
2
3
+
3
2
secβ =
13
12
Sumando I + (II)
cosβ =
12
13
sec2θ−tan2θ = 1
1 = (secθ−tanθ)(secθ + 𝑡𝑎𝑛θ)
𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
x1 =
Tenga en cuenta
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
4. IDENTIDADES AUXILIARES
C U R S O DE T R I G O N O M E T R Í A
sen4θ + cos4θ = 1 − 2sen2θcos2θ
tanθ + cotθ = secθcscθ
csc2θ + sec2θ = csc2θsec2θ
sen6θ + cos6θ = 1 − 3sen2θcos2θ
(1+senθ+cosθ)2=2(1+senθ)(1+cosθ) 
Comprobemos la siguiente identidad 
Consideremos sen2θ + cos2θ =1
Reduzca la siguiente expresión:
(sen2θ)2 + 2sen2θcos2θ + (cos2θ)2 =1
(sen2θ + cos2θ)2 = (1)2
sen4θ + cos4θ =1−2sen2θcos2θ؞
Aplicación 4
sen4θ + 2sen2θcos2θ + cos4θ =1
Elevando al cuadrado ambos miembros de 
la igualdad
H=
1 − sen4θ − cos4θ
1 − sen6θ − cos6θ
Resolución
H=
2sen2θcos2θ
3sen2θcos2θ
H=
2
3
sen4θ + cos4θ = 1 − 2sen2θcos2θ
؞
I.-
II.-
III.-
IV.-
V.-
H =
1 − (sen4θ + cos4θ)
1 − (sen6θ + cos6θ)
→ H =
1 − (1 − 2sen2θcos2θ)
1 − (1 − 3sen2θcos2θ)
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Comprobemos la siguiente identidad
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
csc2θ + sec2θ = csc2θsec2θ
Consideremos tanθ + cotθ = secθcscθ
Elevando al cuadrado ambos miembros de 
la igualdad
(tanθ + 𝑐𝑜𝑡θ)2= (secθ𝑐𝑠cθ)2
ta𝑛2θ + 2tanθco𝑡θ+cot2θ = sec2θcsc2θ
1
ta𝑛2θ + 2+cot2θ = sec2θcsc2θ
ta𝑛2θ + 1 + 1+cot2θ = sec2θcsc2θ
csc2θ + sec2θ = csc2θsec2θ
Aplicación 5
Reduzca la siguiente expresión
M =
secxcscx − tanx
secxcscx − cotx
Resolución
M =
secxcscx − tanx
secxcscx − cotx
M =
tanx + cotx − tanx
tanx + cotx − cotx
M =
cotx
tanx
M =
cotx
tanx
cotx
cotx
M=cot2x؞
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Propiedad
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Si asenθ+bcosθ=c
además a2+b2=c2
entonces
senθ = y cosθ =
b
c
a
c
Demostración para el cálculo de coseno 
Si asenθ+bcosθ=c
asenθ=c−bcosθ
Elevando al cuadrado
(asenθ)2= (c − bcosθ)2
𝑎2sen2𝜃 = 𝑐2 − 2cbcosθ+(bcosθ)2
𝑎2(1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃) = 𝑐2 − 2cbcosθ+b2cos2θ
𝑎2 − 𝑎2𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 𝑐2 − 2cbcosθ+b2cos2θ
0 = 𝑐2 −𝑎2 −2cbcosθ+b2cos2θ + a2cos2θ
0 = 𝑐2 −𝑎2 −2cbcosθ+(b2 + 𝑎2)cos2θ
c2b2
0 = b2 − 2cbcosθ+c2cos2θ
0 = (b − cCosθ)2
0 = b − cCosθ
Cosθ =
b
c
Trinomio cuadrado perfecto
؞
𝑇𝑒𝑛𝑔𝑎 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑎:
tanθ =
senθ
cosθ
tanθ =
a
c
b
c
tanθ
a
b
=
Por lo tant𝑜
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Ejemplos ∶
a) Si 3senθ + 4cosθ = 5
y como verifica 32 + 42 = 52
→ senθ =
3
5
ᴧ 𝑐𝑜𝑠θ =
4
5
b) Si 2senθ + 3cosθ = 5
2
2
+ 3
2
= 5
2
→ senθ = √2
√5
ᴧ 𝑐𝑜𝑠θ = √3
√5
c) Si 5senθ − 12cosθ = 13
52 + (−12)2= 132
→ senθ = ᴧ cosθ =
−12
13
y como verifica
y como verifica
5
13
Aplicación
Del gráfico calcule sen θ si BC +AD=17
A
C
θ
15
8
Resolución
8
8cosθ 17
De la condición
y como verifica
152 + 82 = 172
entonces=
15
17
B
θ D
C
θ
15
θ
D
15senθ
B
BC +AD=17
15senθ +
senθ =
A
؞
w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e

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