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TRIGONOMETRÍA P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L Ciclo Anual Virtual Cesar Vallejo Docente: Rodolfo José Docente: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A 0. OBJETIVOS 1. INTRODUCCIÓN 2. NOCIONES PREVIAS 3. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES 4. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES 5. PRÁCTICA DIRIGIDA TEMARIO C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A 0. OBJETIVOS ❑ Reconocer, comprobar y clasificar las identidades trigonométricas fundamentales y auxiliares. ❑ Utilizar las identidades trigonométricas en las simplificación y transformación de expresiones matemáticas. ❑ Aplicar identidades trigonométricas en la resolución de problemas, en particular problemas tipo examen de admisión UNI. C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A 1. INTRODUCCIÓN C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A En esta época destaco el astrónomo y matemático Abú al- Wafá Buzjani (940-998) A el le debemos las nociones circunferencia trigonométrica, las relaciones recíprocas . 1 senθ =cscθ secθ = 1 cosθ senθ cosθ tanθ= cosθ senθ cotθ= Y de cociente La edad media del mundo occidental corresponde a la edad de oro del mundo musulmán que desde el siglo VII al 𝑋𝐼𝐼, se extendio desde la India hasta España. ESPAÑA Durante esa época, el árabe fue la lengua internacional de la matemática. Los matemáticos árabes conservaron el patrimonio matemático de los griegos , lograron avances en la trigonometría y el álgebra. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A 2. Nociones previas Productos notables 𝒂 ± 𝒃 𝟐 = 𝒂𝟐 ± 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 𝒂 ± 𝒃 𝟑 = 𝒂𝟑 ± 𝒃𝟑 ± 𝟑𝒂𝒃 𝒂 ± 𝒃 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = 𝒂 + 𝒃 𝒂 − 𝒃 𝒂𝟑 − 𝒃𝟑 = 𝒂 − 𝒃 𝒂𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 = 𝒂 + 𝒃 𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 𝒙𝟒 + 𝒙𝟐 + 𝟏 = 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟏 Razones trigonométricas de ángulos de cualquier magnitud 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 = 𝑦 𝑟 cos θ = 𝐴𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 = 𝑥 𝑟 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = 𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝐴𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎 = 𝑦 𝑥 𝑐𝑜𝑡 𝜃 = 𝐴𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎 𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 = 𝑥 𝑦 𝑠𝑒𝑐 𝜃 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝐴𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎 = 𝑟 𝑥 𝑐𝑠𝑐 𝜃 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 = 𝑟 𝑦 𝑥: Abscisa de P 𝑦: Ordenada de P 𝑟: Radio 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A Identidad trigonométrica: Ejemplos: o 𝑠𝑒𝑛2θ + 𝑐𝑜𝑠2θ =1 o 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 o 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑦 o 𝑐𝑜𝑡𝜃 = o senθcscθ = 1 𝑆𝑜𝑛 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑥, 𝑦, θ 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 , 𝑑𝑖𝑐ℎ𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒕𝒓𝒊𝒈𝒐𝒏𝒐𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔 Para un mejor estudio de todas las identidades las hemos clasificado en grupos. Hoy veremos el grupo llamado “Identidades trigonométricas fundamentales” cosθ senθ 3. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES Una identidad trigonométrica es una ecuación o fórmula donde intervienen razones trigonométricas, que es válida para todos los ángulos para los cuales están definidos ambos lados de la igualdad. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A ∴ sen2θ + cos2θ = 1 Identidades trigonométricas pitagóricas X θ O Sea θ un ángulo en posición normal (𝑥; 𝑦) Y o sen θ = r = x2 + y2 o cos θ = 𝑟 𝑦 𝑟 x r ………….(I) ………….(II) Recordemos que: → r2 = x 2 + y2 Por definición tenemos o → cosθ 2 + senθ 2 = 1 x2 r2 + y2 r2 = 1 x r 2 + y r 2 = 1 Reemplazando (I) y (II) Aplicación 1 Si sen2θ + cos2β = 2 3 Resolución Nos piden M = cos2θ + sen2β M = (1 − sen2θ) + (1 − cos2β) M = 2 − sen2θ − cos2β M = 2 − (sen2θ + cos2β) M = 2 − ( 2 3 ) M = 4 ؞3 sen2θ = cos2θ = 1 − cos2θ 1 − sen2θ También puede expresarse como: Calcular el valor de M = cos2θ + sen2β C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A En conclusión sen2θ + cos2θ = 1 1+tan2θ = sec2θ 1+cot2θ = csc2θ Ejemplos o sen210° + cos210° = 1 o 1+tan287° = o co𝑠224° = sen2θ = cos2θ = tan2θ = 1 = cot2θ = 1 = Consecuencias 1 − cos2θ 1 − sen2θ sec2θ−tan2θ sec2θ−1 csc2θ−cot2θ csc2θ−1 o sen250° = o 1= o 1= csc218° − cot218° 1 − cos250 1 − sen224° sec287° sec272° − tan272° Tenemos que 21° y 69° son complementarios, 𝟏 E = 2 Resolución Aplicación 1 Halle el valor de E = sec2 21° − cot2 69° + 1 Entonces cot 69° = tan 21° E = sec2 21° − tan2 21° + 1 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A ¡cuidado! 𝑠𝑒𝑛2𝜃 ≠ 𝑠𝑒𝑛𝜃2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 2 Aplicación 2 C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A Si senθ= −5 13 Halle tanθ , tal que θϵ ІV C Resolución Sabemos que tan2θ = sec2θ − 1 Entonces tan2θ = 1 cos2θ − 1 ˅ tan2θ = 1 1 − sen2θ − 1 Reemplazando el dato tan2θ = 1 1 − −5 13 2 − 1 tan2θ = 25 144 Por lo tanto tanθ = + 5 12 tanθ = − 5 12 Como θϵ ІV C tanθ ؞= − 5 12 Ejemplos o sen218° ≠ sen(18°)2 o tan218° ≠ sen(18°)2 o cos225 = (cos25°)2 o cot236° = (cot36°)2 o csc253° = (csc53°)2 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A Identidades por cociente senθ cosθ tanθ= cosθ senθ cotθ= Ejemplos o tan60°= sen60° cos60° o cot45°= cos45° sen45° Identidades recíprocas 1 senθ =cscθ → cscθsenθ = 1 secθ = 1 cosθ → secθcosθ = 1 cotθ = 1 tanθ → tanθcotθ = 1 Ejemplos 1 sen20° =o csc20° 1 cos15° =o sec15° o cot35° = 1 tan35° Aplicación 3 Reduzca la expresión H = senα𝑐𝑜tα − 𝑐𝑜𝑠α𝑡𝑎𝑛α + 𝑠𝑒𝑛α Resolución H = senα Nos piden ( cosα senα ) −𝑐𝑜𝑠α( senα cosα )+𝑠𝑒𝑛α H = 𝑐𝑜𝑠α − 𝑠𝑒𝑛α + 𝑠𝑒𝑛α H = 𝑐𝑜𝑠α C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Aplicación 4 𝜃 𝑥 𝑦 𝜃 𝐹𝑔 . 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐹𝑔. 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐹𝑔 𝐹𝑁 𝐹𝑟 𝐹𝑥 = 0: 𝐹𝑦 = 0: D𝑒 (𝐼) El remolque de un auto, requiere de una plataforma que asciende con un ángulo de inclinación de 𝜃, con rapidez constante. Sabiendo que la fuerza de fricción es aproximadamente proporcional a la fuerza normal entre las dos superficies, así 𝒇𝒓 = 𝝁𝒌. 𝑭𝑵 . ¿Qué puede decir usted acerca del coeficiente de fricción cinética 𝜇𝑘? Fgsenθ = μk. Fgcosθ → 𝜇𝑘= 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑡𝑎𝑛𝜃 Del diagrama de cuerpo libre: C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A Fgsenθ − fr = 0 FN − Fgcosθ = 0 … (𝐼) … (𝐼𝐼) 𝑑𝑒 (𝐼)𝑦 𝐼𝐼 𝑒𝑛 ∶ 𝒇𝑟= 𝝁𝒌. 𝑭𝑵FN = Fgcosθ D𝑒 (𝐼𝐼) Fgsenθ = fr senθ = μk. cosθ C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A . C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A ✓ De demostraciones ✓ De simplificaciones ✓ De condicionales ✓ De eliminación de ángulos LOS TIPOS DE PROBLEMAS QUE SE PLANTEA EN LOS EXÁMENES DE ADMISIÓN Ejemplo EjemploEjemplo Ejemplo Eliminar “x” a partir de: Senx – Cosx = a Senx + Cosx = b A) a2 + b2 = 1 B) a2+b2 = 2 C) a2+b2 = 3 D) ab = 1 E) a-b = 1 Demostrar: cscx−senx= cosxcotx Siendo: Senx – Cosx = 2/5 Calcular el valor de: J = Cotx + Tgx A) 25/12 B) 50/21 C) 15/7 D) 25/16 E) 25/9 Simplifique la expresión: A= Cos + Tg Sen A) Csc B) Sec C) 1 D) Tg E) Ctg C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A OBSERVACIÓN 𝑠𝑒𝑐θ − 𝑡𝑎𝑛θ = 𝑎 𝑏 𝑠𝑒𝑐θ + 𝑡𝑎𝑛θ = 𝑏 𝑎 ↔ cscθ − 𝑐𝑜𝑡θ= 𝑚 𝑛 = 𝑛 𝑚 cscθ + 𝑐𝑜𝑡θ↔ Aplicación 3 Si secβ − tanβ = 2 3 Por identidad recíproca Halle : cosβ Resolución Pide cosβ De la condición secβ − tanβ = 2 3 De la observación secβ + tanβ = 3 2 ………….(I) ………….(II) 2secβ = 2 3 + 3 2 secβ = 13 12 Sumando I + (II) cosβ = 12 13 sec2θ−tan2θ = 1 1 = (secθ−tanθ)(secθ + 𝑡𝑎𝑛θ) 𝑎 𝑏 𝑏 𝑎 x1 = Tenga en cuenta C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A 4. IDENTIDADES AUXILIARES C U R S O DE T R I G O N O M E T R Í A sen4θ + cos4θ = 1 − 2sen2θcos2θ tanθ + cotθ = secθcscθ csc2θ + sec2θ = csc2θsec2θ sen6θ + cos6θ = 1 − 3sen2θcos2θ (1+senθ+cosθ)2=2(1+senθ)(1+cosθ) Comprobemos la siguiente identidad Consideremos sen2θ + cos2θ =1 Reduzca la siguiente expresión: (sen2θ)2 + 2sen2θcos2θ + (cos2θ)2 =1 (sen2θ + cos2θ)2 = (1)2 sen4θ + cos4θ =1−2sen2θcos2θ؞ Aplicación 4 sen4θ + 2sen2θcos2θ + cos4θ =1 Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad H= 1 − sen4θ − cos4θ 1 − sen6θ − cos6θ Resolución H= 2sen2θcos2θ 3sen2θcos2θ H= 2 3 sen4θ + cos4θ = 1 − 2sen2θcos2θ ؞ I.- II.- III.- IV.- V.- H = 1 − (sen4θ + cos4θ) 1 − (sen6θ + cos6θ) → H = 1 − (1 − 2sen2θcos2θ) 1 − (1 − 3sen2θcos2θ) C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Comprobemos la siguiente identidad C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A csc2θ + sec2θ = csc2θsec2θ Consideremos tanθ + cotθ = secθcscθ Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad (tanθ + 𝑐𝑜𝑡θ)2= (secθ𝑐𝑠cθ)2 ta𝑛2θ + 2tanθco𝑡θ+cot2θ = sec2θcsc2θ 1 ta𝑛2θ + 2+cot2θ = sec2θcsc2θ ta𝑛2θ + 1 + 1+cot2θ = sec2θcsc2θ csc2θ + sec2θ = csc2θsec2θ Aplicación 5 Reduzca la siguiente expresión M = secxcscx − tanx secxcscx − cotx Resolución M = secxcscx − tanx secxcscx − cotx M = tanx + cotx − tanx tanx + cotx − cotx M = cotx tanx M = cotx tanx cotx cotx M=cot2x؞ C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Propiedad C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A Si asenθ+bcosθ=c además a2+b2=c2 entonces senθ = y cosθ = b c a c Demostración para el cálculo de coseno Si asenθ+bcosθ=c asenθ=c−bcosθ Elevando al cuadrado (asenθ)2= (c − bcosθ)2 𝑎2sen2𝜃 = 𝑐2 − 2cbcosθ+(bcosθ)2 𝑎2(1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃) = 𝑐2 − 2cbcosθ+b2cos2θ 𝑎2 − 𝑎2𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 𝑐2 − 2cbcosθ+b2cos2θ 0 = 𝑐2 −𝑎2 −2cbcosθ+b2cos2θ + a2cos2θ 0 = 𝑐2 −𝑎2 −2cbcosθ+(b2 + 𝑎2)cos2θ c2b2 0 = b2 − 2cbcosθ+c2cos2θ 0 = (b − cCosθ)2 0 = b − cCosθ Cosθ = b c Trinomio cuadrado perfecto ؞ 𝑇𝑒𝑛𝑔𝑎 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑎: tanθ = senθ cosθ tanθ = a c b c tanθ a b = Por lo tant𝑜 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A Ejemplos ∶ a) Si 3senθ + 4cosθ = 5 y como verifica 32 + 42 = 52 → senθ = 3 5 ᴧ 𝑐𝑜𝑠θ = 4 5 b) Si 2senθ + 3cosθ = 5 2 2 + 3 2 = 5 2 → senθ = √2 √5 ᴧ 𝑐𝑜𝑠θ = √3 √5 c) Si 5senθ − 12cosθ = 13 52 + (−12)2= 132 → senθ = ᴧ cosθ = −12 13 y como verifica y como verifica 5 13 Aplicación Del gráfico calcule sen θ si BC +AD=17 A C θ 15 8 Resolución 8 8cosθ 17 De la condición y como verifica 152 + 82 = 172 entonces= 15 17 B θ D C θ 15 θ D 15senθ B BC +AD=17 15senθ + senθ = A ؞ w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
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