Anual Uni Semana 13 - Trigonometría - Camila Darien

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TRIGONOMETRÍA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual Virtual Cesar Vallejo
Docente: Rodolfo José 
RAZONES 
TRIGONOMÉTRICAS DE 
UN ÁNGULO EN 
POSICIÓN NORMAL
OBJETIVOS
❑Determinar los valores razones 
trigonométricas de ángulos 
compuestos.
❑Aplicar las identidades de las razones 
trigonométricas de ángulos 
compuestos en la resolución de 
problemas dirigidos y tipo examen de 
admisión.
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
INTRODUCCIÓN
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
El movimiento ondulatorio, es el proceso por el cual se 
propaga energía de un lugar a otro sin transferencia de 
materia.
Por ejemplo, el movimiento de las olas en altamar representa 
a un movimiento ondulatorio y puede ser reproducido en un 
laboratorio como se muestra en la figura.
Las ecuaciones que se utilizan para representar la onda,
corresponde a expresiones trigonometricas con angulos
ángulos compuestos
Ejemplo
𝑌(𝑡) = 227𝑠𝑒𝑛( 2𝜋𝑡 +
𝜋
4
)
Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS COMPUESTOS I
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
o SENO Y COSENO DE LA SUMA O DIFERENCIA
DE DOS ÁNGULOS
sen(x+y)=senxcosy+cosxseny
sen(x–y)=senxcosy–cosxseny
cos(x+y)=cosxcosy–senxseny
cos(x−y)=cosxcosy+senxseny
Ejemplos
o sen(30°+θ)=
o sen(β −45°)=
o cos(2a+3b)=cos2acos3b–sen2asen3b
o cos(15°−α)=cos15°cosα+sen15°senα
o sen22°cos23°+cos22°sen23°= sen(22°+°23)
o sen36°cos15°−cos36°sen15°=
o cos31°cos34°–sen31°sen34°=
o cos2xcos3y+sen2xsen3y = cos(2x−3𝑦)
cos(31°+34°)
sen(36°−15°)
Ejemplos
sen30°cosy+cos30°seny
senβcos45°−cosβsen45°
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Demostración de cos(x+y)
Sea (x+y) la medida de un ángulo águdo del ⊿DRO
Kcos(x+y)
D R
k
O
x
y
y ksenx
A
En DA
Ksenxcotx= Kcos(x+y)secy+ Ksenxtany
Ksenxcotx= Kcos(x+y)secy+ Ksenxtany
senx
cosx
senx
= cos(x+y)
1
cosy
+ senx
seny
cosy
Por cosy
cosycosx= cosycos(x+y)
1
cosy
+ senx cosy 
seny
cosy
cosycosx= cos(x+y) + senx seny
؞ l.q.q.d.cos(x+y)= cosycosx − senx seny
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C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Aplicación 1 
Calcule cos82°
Resolución 
Expresamos
.. 82°=45° + 37°
Luego
o cos82° =cos(45°+37°)
o cos82°=
2
2
4
5
−
2
2
3
5
cos45°cos37°–sen45°sen37°o cos82° =
o cos82°=
2
10
Aplicación 2 
Calcule el valor de L
sen4θcosθ − senθcos4θ
tan3θ
Resolución 
Se sabe
sen(x-y)=senxcosy–cosxseny
Por identidad
sen(4 θ − θ)
tan3θ
؞
L =
sen4θcosθ − senθcos4θ = 𝑠𝑒𝑛(4θ − θ)
L =
L =
sen3 θ
tan3θ
=
𝑠𝑒𝑛3𝜃
𝑠𝑒𝑛3𝜃
𝑐𝑜𝑠3𝜃
L = cos3θ
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Aplicación 3 Aplicación 4 
Reduzca
cos θ + α + senαsenθ
cosθ
Resolución 
Por identidad
cos(θ+α)=cosθcosα–senθsenα
Reemplazamos en la expresión
cos θcosα–senθsenα + senαsenθ
cosθ
cos θcosα
cosθ
cosα؞
Si se cumple
A=sen(20°+x)cos(10°-x)
B=cos 20° + 𝑥 𝑠𝑒𝑛(10° − 𝑥)
Halle el valor de A+B
Resolución
Realizamos cambio de variable
20°+x=α 10°-x=θ
→A=senαcosθ y B=cosαsenθ
Nos piden 
A+B=senαcosθ+cosαsenθ
A+B=sen(α+θ)
A+B=sen(20°+x + 10°-x )
A+B=sen30°
y
A+B=
1
؞2
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TANGENTE DE LA SUMA O DIFERENCIA DE
DOS ÁNGULOS
tan 𝑥 + 𝑦 =
tanx + tany
1 − tanxtany
tan 𝑥 − 𝑦 =
tanx − tany
1 + tanxtany
Ejemplos
o tan 23° + 22° =
o tan 78° − 20° =
o =tan α + 30°
tan23° + tan22°
1 − tan23°tan22°
tan78° − tan20°
1 + tan78°tan20° tanα + tan30°
1 − tanαtan30°
o = tan 17° − θtan17° − tanθ
1 + tan17°tanθ
o = tan 55° + 33°
tan55° + tan33°
1 − tan55°tan33°
tan53° − tan37°
1 + tan53°tan37°
o = tan 53° − 37°
88°
16°
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Demostración de tan(x+y)
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sen(x+y)=senxcosy+cosxseny
cos(x+y)=cosxcosy–senxseny
Se conocen las identidades
… I
… II
Dividimos ambas expresiones
tan 𝑥 + 𝑦 =
senxcosy + cosxseny
cosxcosy–senxseny
Dividimos entre cos𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦
tan 𝑥 + 𝑦 =
senxcosy
cosxcosy +
cosxseny
cosxcosy
cosxcosy
cosxcosy –
senxseny
cosxcosy
Obteniéndose
tan 𝑥 + 𝑦 =
tanx + tany
1–tanxtany
؞ L.q.q.d.
Sabias que ?
𝐿𝑎𝑠 𝑎𝑏𝑟𝑒𝑣𝑖𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
𝒕𝒈: 𝐸𝑠 𝑢𝑠𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛 𝑟𝑢𝑠𝑜 𝑦 𝑓𝑟𝑎𝑛𝑐𝑒𝑠
𝒕𝒂𝒏: 𝐸𝑠 𝑢𝑠𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛 𝑎𝑚𝑒𝑟𝑖𝑐𝑎𝑛𝑜(𝑖𝑛𝑔𝑙𝑒𝑠)
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Demostración de tan(x+y)
U Nk
x
y
I
Sea (x+y) la medida de un ángulo águdo del ⊿UNI
ktany
y ktanx
ktanxtany
𝑥 + 𝑦
Ktanxtanytan(x+y)
En el⊿UNI
tan 𝑥 + 𝑦 =
IN
UN
tan 𝑥 + 𝑦 =
ktany + ktanx + Ktanxtanytan(x+y)
K
tan x + y = tany + tanx + tanxtanytan(x + y)
tan x + y − tanxtanytan(x + y) = tany + tanx
tan x + y (1 − tanxtany) = tany + tanx
tan x + y =
tany + tanx
1 − tanxtany؞ L.q.q.d.
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Aplicación 1 
Calcule el valor de tan16°
Resolución 
Veamos
tan16°=tan(53°−37°)
tan53° + tan37°
1 − tan53°tan37°
tan16°=
tan16°=
4
3 +
3
4
1 +
4
3
.
3
4
tan16°=
7
12
2
1
tan16°=
7
24
16°
74° 7k
24k
25k
De manera similar se demuestra
tan8°=
1
7
8°
82°
7k
5 2k
k
¿Con que ángulos demostrarías que la 
tan8°=
1
7
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Observación 
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Aplicación 2 
Determine el equivalente de N
N =
tan40° − tan5°
1 + tan40°tan5°
𝑐𝑜𝑠35°
Resolución
Por identidad
tan40° − tan5°
1 + tan40°tan5° = tan(40° − 5°)
Reemplazamos
N = 𝑡𝑎𝑛35°𝑐𝑜𝑠35°
N =
sen35°
cos35°
cos35°
N = sen35°؞
Aplicación 3 
Si 2𝑥 + 𝑦 = 37°
Halle el valor de H
H =
tanx + tan(x + y)
1 − tanxtan(x + y)
Resolución 
H =
tanx + tan(x + y)
1 − tanxtan(x + y)
H = tan(𝑥 + 𝑥 + 𝑦)
H = tan(2𝑥 + 𝑦)
H = tan(37°)
H =
3
4
tan θ + α =
tanθ + tanα
1 − tanθtanα
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Gracias
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