Antonio Aizpuru Tomás - Apuntes Topología General - Julio Benavidez Fonte

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Apuntes y Notas de Topología
Antonio Aizpuru Tomás
Departamento de Matemáticas
Universidad de Cádiz
Año 2004
Las Matemáticas son importantes, sobre todo para las
personas sensibles a la belleza. Es posible que algunas
otras actividades humanas puedan ser más importantes:
el arte, la poesía, la filosofía, . . . Pero es seguro que para
mí existen otras cosas más importantes.
A mi familia.
Índice
1 Espacios topológicos 1
1 Espacios métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Topología en un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Base y subbase de una topología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4 Sistemas de entornos. Bases y subbases de entornos (o locales) . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Puntos y subconjuntos especiales en un espacio topológico 15
1 Principales clases de puntos y subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Densidad y espacios de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Propiedades elementales de numerabilidad y separación 27
1 Propiedades de numerabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Propiedades de separación de puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 Convergencia y continuidad en espacios topológicos 36
1 Convergencia de sucesiones. Continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2 Redes y convergencia de redes en un espacio topológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Filtros y convergencia de filtros en un espacio topológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4 Filtros maximales y redes universales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 Propiedades de las aplicaciones continuas. Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6 Espacios métricos completos. Complección de un espacio métrico . . . . . . . . . . . . . . 64
5 Producto de espacios topológicos. Topología inicial 71
1 Topología producto de un número finito de espacios topológicos . . . . . . . . . . . . . . 71
2
2 Topología inicial y topología producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6 Conexos y conexos por caminos 86
1 Espacios conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2 Espacios localmente conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3 Espacios conexos por caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4 Espacios localmente conexos por caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7 Espacios regulares, completamente regulares y normales 103
1 Espacios regulares y espacios T3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2 Espacios completamente regulares y espacios T3a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3 Espacios normales y espacios T4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8 Compacidad. 121
1 Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2 La compacidad en espacios métricos y seudométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3 Numerablemente compactos. Secuencialmente compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4 Espacios localmente compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5 La compactificación de Alexandroff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6 El espacio de Cantor y algunas cuestiones sueltas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7 Álgebra de Boole y topología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9 Topología final y topología cociente 159
1 Topología final. Identificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
2 Topología cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
3 Topología de los espacios proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4 Suma de espacios topológicos y topología coherente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
A las cosas importantes: Mara, mis hijos, los ami-
gos, las papas aliñás, la cruzcampo, el Habana club,
la república federal que necesitamos, la playa, el
tabaco,...
Prólogo
Estos apuntes recogen los contenidos clásicos de un primer curso de Topología. Pensamos que, al menos,
son necesarias unas noventa horas para poder recorrer con tranquilidad su contenido. Desearíamos con
el trascurso del tiempo poder ampliar estos apuntes con los "Apuntes II" de un correspondiente curso de
ampliación donde se recogiesen importantes aspectos de la topología que aquí no se han recogido.
Actualmente la topología no es considerada como una disciplina auxiliar del Análisis o de la Geometría sino
que tiene su propio cuerpo y sus propios métodos y formas de razonar. De hecho lo que se entiende por
Topología se ha dividido en varias grandes especialidades, quizás tantas como el Análisis Matemático. No
es casual, por tanto, la ausencia en estos apuntes de contenidos relativos a la Topología algebraica o la
Topología diferencial, el modesto objetivo de estos apuntes se centra en lo que usualmente se denomina
Topología de conjuntos. Pensamos que, por ejemplo, la introducción a la Topología algebraica no debe
incluirse en un curso de Topología como el que proponemos. La Topología algebraica no debe correr el
riesgo de ser el conjunto de los últimos temas de una asignatura y es urgente que en toda licenciatura de
Matemáticas exista una asignatura obligatoria totalmente dedicada a esta disciplina.
Queremos resaltar la deuda de gratitud que tenemos toda una generación con el tratado de Topología de
cinco tomos [59] que publicó en la década de los 70 la editorial Alhambra. Los autores, sobradamente
conocidos, difundieron y actualizaron eficazmente el conocimiento de la Topología entre el público Hispano.
Quiero resaltar también otros libros de autores Hispanos que son muy indicados para aprender como son:
[5], [7], [13], [24], [30], [31], [35], [40], [44], [57] y [62]. Pensamos que todo curso de topología general
tendría que estar precedido de un curso de topología de espacios métricos donde el alumno pueda acceder,
de manera natural, a los conceptos topológicos básicos. Para el estudio de la topología de espacios métricos
quiero destacar el libro “Introducción a la topología de espacios métricos" de J.M. Díaz, es sencillamente
un libro claro y espléndido. En la bibliografía incluimos también algunos libros clásicos que han alcanzado
el calificativo de magistrales, como por ejemplo: [1], [3], [9], [10], [21], [27], [29], [34], [41], [48], [54], [65],
[72], [78], [79], ... Queremos invitar a los estudiantes a que se acostumbren a estudiar en este tipo de libros
ya que es seguro que con ellos sacaran más provecho que con la lectura de apuntes como los que estamos
presentando.
En cuanto al contenido y organización de estos apuntes quiero resaltar que responden, en parte, al gusto
del autor. Hemos puesto cuidado en el capítulo de redes y filtros, pensamos que la técnica de las redes
generaliza razonamientos propios de los espacios métricos, por otra parte es una técnica de gran uso en el
Análisis Funcional. No queremos ocultar que, en ocasiones, en nuestros planteamientos tenemos presente al
Análisis Funcional y a la Teoría de la medida ya que se trata de disciplinas cuya conexión con la Topología
es enorme. El capítulo de espacios compactos puede parecer extenso pero en realidad, como los restantes,
es breve debido a la gran cantidad de cuestiones que han quedado por tratar.
Deseamos manifestar que la razón principal de estos apuntes son los alumnos, si a ellos les resulta de alguna
ayuda habremos conseguido nuestro propósito. Prácticamente la totalidad de las afirmaciones que se realizan
en los apuntes son minuciosamente demostradas. Aunque avisamosque cuando en una demostración se
utiliza un resultado anteriormente demostrado no solemos citar el lugar donde éste se encuentra, dejamos
para el lector esta tarea.
Se observará que no hemos incluido en estos apuntes ningún tipo de problemas, así que si los apuntes se
suicidan no será por nuestra culpa. En la bibliografía incluimos libros de problemas como: [13], [22], [25],
[70].
Quiero agradecer especialmente la ayuda de J.L. Romero, el ánimo y la cariñosa atención que siempre me
presta constituyen un gran estímulo. Deseo destacar mi agradecimiento a F. Martínez por su constante
disposición a la colaboración, su ayuda ha sido siempre eficaz. Agradezco a F. Benítez el que siga siempre
dispuesto a discutir de Matemáticas, lo que constituye un gran estímulo para seguir aprendiendo. Ana
Gómez Parra es una pieza importante del Departamento, gracias a su organización puedo disfrutar de más
tiempo para las tareas docentes.
También agradezco la ayuda de otros muchos amigos con los que acostumbro a hablar de Matemáticas y
aunque no sea justo, sólo citaré a unos pocos: J. Pérez, J.M. Díaz, J. Ramírez, A. Pérez, M. Berrocoso, M.
Gandarias, J. Sanz, J.C. Díaz, M.A. Moreno, M. Bruzón, A. Sala, J. Nieto, F. Fernández, M. Muñoz, H.
Ramos, J.L. González, Seminario de Matemáticas del I.E.S. Columela, J. Güelmes, E. Pardo, E. Medina, C.
Muriel, M.J. González, F. González, P. Venero, C. Vinuesa, Vicky, A. Chia, C. García, D. Almorza, Loreto,
Aurora, Eva, Ma José, F. León,...
El texto ha sido compuesto por los alumnos María del Carmen del Valle Rendón y Antonio Galván Ruiz.
Agradezco su valioso trabajo.
Entre mi casa (Cádiz) y la Facultad (Puerto Real):
Puente de Carranza, Septiembre de 1996.
CAPÍTULO 1
Espacios topológicos
Índice del Tema
1 Espacios métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Topología en un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Base y subbase de una topología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4 Sistemas de entornos. Bases y subbases de entornos (o locales) . . . . . . . . . 11
1 Espacios métricos
El concepto de espacio métrico surge del análisis matemático elemental. Suponemos que son conocidas las
principales propiedades de los espacios métricos usuales en el análisis matemático elemental, aquí recordare-
mos brevemente algunos aspectos.
Definición 1.1.1 Sea X un conjunto. Se llama distancia o métrica en X a cada aplicación d de X × X
en el conjunto R de los números reales;
d : X × X → R, que verifique las siguientes propiedades para cada x, y, z ∈ X.
1. d(x, y) ≥ 0 2. d(x, y) = 0 si y sólo si x = y 3. d(x, y) = d(y, x) 4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
Al par (X, d) se le llama entonces espacio métrico. Si la propiedad 2 es cambiada por 2’: Si x = y
entonces d(x, y) = 0 se dice que d es una seudodistancia o seudométrica y al par (X, d) se le llama espacio
seudométrico, observemos que entonces puede suceder que d(x, y) = 0 y que x 6= y.
Ejemplo 1.1.2 1. En Rn definimos d(x, y) = (
∑n
i=1(xi−yi)2)
1
2 donde x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn).
d es una métrica en Rn que se denomina métrica euclídea o usual.
2. En Rn definimos d(x, y) =
∑n
i=1 |xi − yi|, d es métrica en Rn.
3. En Rn, d(x, y) = máx{|xi − yi| : i ∈ {1, . . . , n}}, d es métrica en Rn.
2 1. ESPACIOS MÉTRICOS
4. Sea M un conjunto cualquiera y sea X el conjunto de las aplicaciones reales definidas en M y que sean
acotadas. Si f, g ∈ X definimos d(f, g) = sup{|f(a)− g(a)| : a ∈ M}, es sencillo comprobar que d es una
métrica en X.
5. Sea X = C[0, 1] el espacio vectorial de las funciones reales y continuas definidas en [0, 1]. Se
define:d∞(f, g) = máx{|f(x) − g(x)| : x ∈ [0, 1]} d(f, g) =
∫ 1
0 |f(x) − g(x)| dx
es fácil comprobar que tanto d∞ como d son distancias en X.
6. Sea X el espacio vectorial de las funciones definidas e integrables Riemann en [0, 1] y definimos d(f, g) =
∫ 1
0 |f(x) − g(x)| dx. Observemos que si f es la función real definida en [0, 1] por f(x) = x2 si x 6=
1
2
y
f(12) = 0 y g es la función real definida en [0, 1] por g(x) = x
2 para cada x ∈ [0, 1], tenemos que f, g ∈ X y
d(f, g) = 0, así pues d no es una distancia en X pero se puede comprobar que sí que es una seudodistancia.
7. En Rn, si p ∈ R y p ≥ 1 se define dp(x, y) = (∑ni=1 |xi − yi|p)
1
p , observemos que si p = 1 tenemos el
ejemplo 2 y si p = 2 el ejemplo 1. Para demostrar que dp es una distancia en Rn, para cualquier p ∈ (1,∞),
la única propiedad no sencilla es la desigualdad triangular, vamos a demostrarla en varias etapas.
a.- Si a, b ∈ R y α, β ∈ (0, 1) con α + β = 1 entonces aα bβ ≤ αa + βb.
Demostración Si a = b es evidente la igualdad, en otro caso supongamos que a < b y consideremos en
[a, b] la función f(x) definida por f(x) = xp, por el teorema del valor medio sabemos que existe t ∈ (a, b)
tal que bβ −aβ = (b−a)βtβ−1, pero como t−α < a−α tenemos que bβ −aβ < (b−a)βa−α y multiplicando
por aα se tiene aα bβ − a < (b − a)β y por tanto aα bp < αa + βb.
b.- Desigualdad de Holder. Si x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn y p, q ∈ (1,∞) de modo que
1
p
+
1
q
= 1 entonces
n
∑
i=1
|xi y1| ≤
( n
∑
i=1
|xi|p
)
1
p
( n
∑
i=1
|yi|q
)
1
q
Demostración Suponemos que algún xi y algún yj es distinto de cero, ya que si por ejemplo todos los xi
son cero se tiene claramente la igualdad. Aplicamos el apartado a.- con α =
1
p
, β =
1
q
a =
|xi|p
∑n
i=1 |xi|p
,
b =
|yi|q
∑n
i=1 |yi|q
obtenemos para cada i ∈ {1, . . . , n} que
|xi|
(
∑n
i=1 |xi|p
)
1
p
|yi|
(
∑n
i=1 |yi|q
)
1
q
<
1
p
|xi|p
∑n
i=1 |xi|p
+
1
q
|yi|q
∑n
i=1 |yi|q
y si sumamos todas las desigualdades que tenemos para i ∈ {1, . . . , n} obtenemos que
∑n
i=1 |xi yi|
(
∑n
i=1 |xi|p
)
1
p
(
∑n
i=1 |yi|q
)
1
q
<
1
p
+
1
q
= 1
Apuntes y notas de Topología
CAPÍTULO 1. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 3
c.- Desigualdad de Minkowski. Si a = (a1, . . . , an) ∈ Rn, b = (b1, . . . , bn) ∈ Rn y p ∈ (1,∞) entonces
( n
∑
i=1
|ai + bi|p
)
1
p
≤
( n
∑
i=1
|ai|p
)
1
p
+
( n
∑
i=1
|bi|p
)
1
p
Demostración
∑n
i=1 |ai+bi|p =
∑n
i=1 |ai+bi||ai+bi|p−1 ≤
∑n
i=1 |ai||ai+bi|p−1+
∑n
i=1 |bi||ai+bi|p−1
Utilizando la desigualdad de Holder deducimos que si q ∈ (1,+∞) es tal que 1
p
+
1
q
= 1 entonces p−1 = p
q
y
∑n
i=1 |ai| |ai + bi|p−1 ≤
(
∑n
i=1 |ai|p
)
1
p
·
(
∑n
i=1 |ai + bi|
p
q
·q
)
1
q
∑n
i=1 |bi| |ai + bi|p−1 ≤
(
∑n
i=1 |bi|p
)
1
p
·
(
∑n
i=1 |ai + bi|
p
q
·q
)
1
q
por tanto
n
∑
i=1
|ai + bi|p ≤
( n
∑
i=1
|ai + bi|p
)
1
q
[( n
∑
i=1
|ai|p
)
1
p
+
( n
∑
i=1
|bi|p
)
1
p
]
y
( n
∑
i=1
|ai + bi|p
)
1
p
≤
( n
∑
i=1
|ai|p
)
1
p
+
( n
∑
i1
|bi|p
)
1
p
d.- Si x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn, z = (z1, . . . , zn) ∈ Rn y p ∈ (1,∞) entonces
dp(x, y) ≤ dp(x, z) + dp(z, y).
Demostración dp(x, y) =
(
∑n
i=1 |xi − yi|p
)
1
p
=
(
∑n
i=1 |(xi − zi) + (zi − yi)|p
)
1
p
≤
(
∑n
i=1 |xi −
zi|p
)
1
p
+
(
∑n
i=1 |zi − yi)p
)
1
p
= dp(x, z) + dp(z, y).
Sea (X, d) un espacio métrico y consideremos un subconjunto no vacío Z de X, la restricción de d al
conjunto Z ×Z es una métrica en Z que se denomina distancia inducida por d en Z, diremos entonces que
(Z, d) es un subespacio métrico de (X, d).
Si A y B son subconjuntos no vacíos de X se define la distancia entre A y B por d(A,B) = inf{d(x, y) :
x ∈ A, y ∈ B}. Si A ∩ B 6= ∅ tenemos que d(A,B) = 0 pero puede suceder que d(A,B) = 0 y que
A ∩ B = ∅, en efecto, consideremos R con la métrica usual y sean A = (1, 2), B = (2, 3) tenemos que
A ∩ B = ∅ pero d(A,B) = 0
Si A = {a} y B es un subconjunto no vacío de X entonces a d(A,B) lo denotaremos por d(a,B). El
diámetro de un subconjunto A de X se define por d(A) = sup{d(x, y) : x ∈ A, y ∈ A} que puede ser finito
o infinito. Si d(A) es finito se dice que A es acotado.
Si x ∈ X y r > 0, r ∈ R, se define la bola abierta de centro x y radio r por B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r}
y se define la bola cerrada de centro x y radio r por B(x, r) = {y ∈ X : d(x,y) ≤ r}
Antonio Aizpuru Tomás
4 2. TOPOLOGÍA EN UN CONJUNTO
Si A es un subconjunto de X y x ∈ X, se dice que x es un punto interior de A si existe r > 0, r ∈ R,
tal que B(x, r) ⊂ A, al conjunto de todos los puntos de X que son interiores de A se le denota por
◦
A ó
por Int(A). Se dice que A es abierto si A = Int(A) y se dice que A es cerrado si X − A es abierto. Es
sencillo comprobar que se verifican las siguientes propiedades: 1.- ∅ y X son abiertos. 2.- La unión de
cualquier familia de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. 3.- La intersección de una familia finita
de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
A la familia de todos los subconjuntos abiertos de X : Td = {A ⊂ X : A es abierto en el espacio métrico
(X, d)} se le llama topología determinada en X por la métrica d. De una forma similar se define la topología
determinada por una seudométrica.
2 Topología en un conjunto. Conjuntos
abiertos y conjuntos cerrados
Definición 1.2.1 Sea X un conjunto y sea T ⊂ P (X), diremos que T es una topología en X si y sólo
si se verifican las siguientes propiedades:
1.- ∅ ∈ T,X ∈ T . 2.- Para cada H ⊂ T se tiene que ⋃A∈H A ∈ T .
3.- Para cada A,B ∈ T se tiene que A ∩ B ∈ T .
En esta situación al par (X,T ) se le llama espacio topológico y los elementos de T se llaman abiertos del
espacio topológico (X,T ). Es evidente que la intersección de un número finito de conjuntos abiertos es un
conjunto abierto.
Ejemplo 1.2.2 1.- Sea X un conjunto y Tt = {X, ∅}, Tt es una topología en X que se llama trivial.
Si consideramos TD = P (X) también tenemos que TD es una topología en X que se llama discreta.
Observemos que en un mismo conjunto se pueden definir topologías distintas, ya observamos antes que en
un mismo conjunto se pueden definir métricas distintas.
2.- Sea (X, d) un espacio métrico y sea Td = {A ⊂ X : A es abierto en X para la métrica d}, entonces
como ya se comentó Td es una topología en X que se denomina topología inducida por la métrica d.
Definición 1.2.3 Sea (X,T ) un espacio topológico, se dice que (X,T ) es metrizable si existe una métrica
d en X tal que T = Td.
Ejemplo 1.2.4 1.- Sea (X,TD) y consideremos d : X × X → R definida por d(x, y) =
{
1 si x 6= y
0 si x = y
es fácil comprobar que d es métrica (llamada discreta) en X y que para cada x ∈ X es {x} = B(x, 1
2
), por
tanto {x} es abierto y de aquí se deduce que TD = Td, así pues (X,TD) es un espacio metrizable.
2.- Observemos que si (X, d) es un espacio métrico y x ∈ X, y ∈ X,x 6= y entonces d(x, y) = r con
r > 0, r ∈ R. Sean A = B(x, r3 ), B = B(y,
r
3
) es claro que A y B son abiertos, x ∈ A, y ∈ B y A∩B = ∅.
Vamos ahora a poner un ejemplo de espacio topológico que no es metrizable. Sea X un conjunto infinito
y sea TCF = {A ⊂ X : X − A es finito } ∪ {∅} es sencillo comprobar que TCF es una topología en X.
Apuntes y notas de Topología
CAPÍTULO 1. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 5
Consideremos x ∈ X, y ∈ X tales que x 6= y y supongamos que existen A ∈ TCF , B ∈ TCF tales que
x ∈ A, y ∈ B,A ∩ B = ∅, pero entonces X = (X − A) ∪ (X − B) y deducimos que X es finito lo cual es
una manifiesta contradicción. Este razonamiento demuestra que no puede existir una métrica d en X tal
que TCF = Td y por tanto que (X,T ) es un espacio topológico no metrizable.
La abundancia e importancia de los espacios topológicos no metrizables justifica la existencia de la topología
general como disciplina, una gran cantidad de conceptos de los que trata esta disciplina son una traslación
de conceptos y propiedades de los espacios métricos. Los espacios métricos quedarán reducidos a un
caso particular de espacio topológico pero su importancia es tan elevada que también queda justificada
la existencia de una disciplina que se dedique a su estudio con detalle y no sólo por razones históricas o
metodológicas.
Teorema 1.2.5 Sea (X, d) un espacio métrico y sea Z ⊂ X, consideremos el subespacio métrico (Z, d)
y sea M ⊂ Z entonces M es abierto en (Z, d) si y sólo si existe N abierto en (X, d) tal que M = Z ∩ N .
Demostración Supongamos que M ⊂ Z es abierto en (Z, d), observemos que si x ∈ Z y r > 0, r ∈ R,
la bola abierta de centro x y radio r en (Z, d) es {y ∈ Z : d(x, y) < r} pero este conjunto es precisamente
B(x, r) ∩ Z donde B(x, r) es la bola de centro x y radio r en (X, d). Para cada x ∈ M podemos
afirmar que existe rx > 0, rx ∈ R tal que B(x, rx) ∩ Z ⊂ M y por tanto M =
⋃
x∈M (B(x, rx) ∩ Z) =
(
⋃
x∈M B(x, rx)) ∩ Z y si N =
⋃
x∈M B(x, rx) tenemos que N es abierto en (X, d) y M = N ∩ Z.
Recíprocamente supongamos que N es abierto en (X, d) y que M = N ∩ Z, veamos que M es abierto en
(Z, d), consideremos que M 6= ∅ y sea x ∈ M , entonces existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ N pero entonces
B(x, r) ∩ Z ⊂ N ∩ Z = M , es decir existe una bola abierta en (Z, d) de centro x que está contenida en
M , así pues deducimos que M es abierto en (Z, d).
Este resultado sugiere que consideremos lo siguiente: Sea (X,T ) un espacio topológico, sea Z ⊂ X un
subconjunto no vacío de X y sea TZ = {A∩Z : A ∈ T} es sencillo comprobar que TZ es una topología en
Z que se denomina topología inducida por T en Z o bien topología relativa de T en Z. Al par (Z, TZ) se
le denomina subespacio topológico del espacio topológico (X,T ).
Definición 1.2.6 Sea X un conjunto y sean T1 y T2 dos topologías en X, se dice que T1 es menos fina
que T2 o que T2 es más fina que T1 si T1 ⊂ T2.
Dado un conjunto X consideremos Tt = {∅, X} la topología trivial y TD = P (X) la topología discreta, es
evidente que si T es cualquier topología en X tenemos que Tt ⊂ T ⊂ TD, en general dadas dos topologías
T1 y T2 en X puede suceder que T1 ⊂ T2 sea falso y que T2 ⊂ T1 también sea falso, en cuyo caso se dice
que T1 y T2 son topologías en X que no son comparables. Por ejemplo si X = {a, b}, T1 = {∅, X, {a}} y
T2 = {∅, X, {b}}, tenemos que T1 y T2 son topologías en X que no son comparables.
Definición 1.2.7 Sea (X,T ) un espacio topológico y sea C ⊂ X, se dice que C es un conjunto cerrado
en (X,T ) si X\C ∈ T .
Aquí a la familia de todos los subconjuntos de X que sean cerrados la denotaremos por C(T ) y tenemos
que C(T ) = {C ⊂ X : X\C ∈ T}, es sencillo demostrar que se verifican las siguientes propiedades:
Antonio Aizpuru Tomás
6 3. BASE Y SUBBASE DE UNA TOPOLOGÍA
1.- ∅ ∈C(T ), X ∈C(T ) 2.- Si C,D ∈C(T ) entonces C ∪ D ∈C(T ). 3.- Si M ⊂ C(T ) entonces
⋂
A∈M A ∈ C(T ).
Observemos que si C es una familia de subconjuntos de X verificando las anteriores propiedades 1.-,2.-,3.-,
entonces si consideramos T = {X\C : C ∈C}, tenemos que T es una topología en X y C es precisamente
la familia C(T ) de todos los conjuntos cerrados de (X,T ).
Ejemplo 1.2.8 1.- En R con la topología usual tenemos que: a. M = { 1n : n ∈ N} ∪ {0} es cerrado. b.
N es cerrado. c. Si M ⊂ R es finito entonces M es cerrado. d. [0, 1) no es ni abierto ni cerrado.
e. P = { 1n : n ∈ N} no es ni abierto ni cerrado, sin embargo P =
⋃
n∈N{ 1n} es decir P es unión de una
cantidad numerable de cerrados.
2.- Sea X un conjunto y sea {A,B} una partición de X en conjuntos no vacíos, sea T = {X, ∅, A,B}
tenemos que T es una topología en X y C(T ) = {X, ∅, A,B}, así pues puede suceder que un conjunto en
un espacio topológico sea a la vez abierto y cerrado (en inglés: closed-open ≡ clopen).
3 Base y subbase de una topología
Definición 1.3.1 Sea (X,T ) un espacio topológico y B ⊂ P (X) se dice que B es base de la topología
T si se verifica: 1.- B ⊂ T 2.- Para cada A ∈ T existe M ⊂ B tal que A = ⋃B∈M B.
Teorema 1.3.2 Sean (X,T ) un espacio topológico y A un subconjunto de X entonces A ∈ T si y sólo
si para cada x ∈ A existe B ∈ T tal que x ∈ B ⊂ A.
Demostración Si A ∈ T para cada x ∈ A basta considerar B = A y tendremos x ∈ B ⊂ A. Recípro-
camente si para cada x ∈ A existe Bx ∈ T tal que x ∈ Bx ⊂ A tendremos que A =
⋃
x∈A Bx y por tanto
A ∈ T .
Teorema 1.3.3 Sea (X,T ) un espacio topológico y sea B ⊂ T , entonces B es base de T si y sólo si para
cada A ∈ T y cada x ∈ A existe B ∈ B tal que x ∈ B ⊂ A.
Demostración Si B es base de T y A ∈T entonces existe M ⊂ B tal que A = ⋃B∈M B, por tanto si
x ∈ A existe B ∈ M tal que x ∈ B, tenemos que x ∈ B ⊂ A y que B ∈ B. Recíprocamente si para cada
A ∈ T y cada x ∈ A existe Bx ∈ B tal que x ∈ Bx ⊂ A tenemos que A =
⋃
x∈A Bx y {Bx : x ∈ A} ⊂ B
así pues B es base de T .
Ejemplo 1.3.4 1.- Si (X, d) es un espacio métrico tenemos que B = {B(x, r) : x ∈ X, r > 0, r ∈ R} es
base de Td.
2.- Si (X,T ) es un espacio topológico tenemos que B = T es base de T
3.- En el espacio topológico discreto (X,TD) tenemos que B = {{x} : x ∈ X} es base de TD.
Apuntes y notas de Topología
CAPÍTULO 1. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 7
Nos podemos preguntar que si dados un conjunto X y cualquier subconjunto B de P (X) es posible que
exista una topología T en X tal que B sea base de T , esto no es cierto en general como ponemos ahora
de manifiesto. Sean X = {x, y, z, t} y B = {{x, y}, {y, z, t}} si existe una topología T en X tal que B es
base de T tendremos que {x, y} ∈ T y {y, z, t} ∈ T , por tanto {y} = {x, y} ∩ {y, z, t} ∈ T , pero esto es
una contradicción ya que {y} no es unión de elementos de B.
En el próximo teorema daremos la condición necesaria y suficiente para que B ⊂ P (X) sea base de una
topología T de X
Teorema 1.3.5 Sean X un conjunto y B ⊂ P (X), entonces B es base de una topología T en X si y sólo
si: 1.-
⋃
A∈B A = X 2.- Para cada A,B ∈ B y cada x ∈ A ∩ B existe C ∈ B tal que x ∈ C ⊂ A ∩ B.
En esta situación si B satisface 1. y 2. tendremos que la topología T de X de la cual B es base es única y
es además la menos fina de todas las topologías de X que contienen a B.
Demostración Si T es una topología en X de la cual B es base como X ∈ T tendrá que verificarse que
X =
⋃
A∈B A. Si A,B ∈ B y x ∈ A ∩ B, como A ∩ B ∈ T existe M ⊂ B tal que A ∩ B =
⋃
C∈M C,
así pues existe C ∈ M tal que x ∈ C y tenemos que C ∈ B y x ∈ C ⊂ A ∩ B. Supongamos ahora que
B ⊂ P (X) verifica 1. y 2., definimos T (B) = {A ⊂ X: existe M ⊂ B con A = ⋃B∈M B}.
Vamos a demostrar que T (B) es una topología en X. De 1. se deduce que X ∈ T (B) y como ∅ = ⋃A∈∅ A
y ∅ ⊂ B tenemos que ∅ ∈ T (B). Sea P ⊂ T (B), para cada D ∈ P existe MD ⊂ B tal que D =
⋃
A∈MD A,
pero entonces M =
⋃
D∈P MD ⊂ B y
⋃
D∈P D =
⋃
A∈M A y por tanto
⋃
D∈P D ∈ T (B).
Si C,D ∈ T (B) y C ∩D = ∅ entonces C ∩D ∈ T (B) y si C ∩D 6= ∅ como C = ⋃A∈M A y D =
⋃
B∈N B
donde M ⊂ B y N ⊂ B, tenemos que para cada x ∈ C ∩ D existen Ax ∈ M y Bx ∈ N tales que
x ∈ Ax ∩Bx ⊂ C ∩D, entonces por la condición 2 de B existe Cx ∈ B tal que x ∈ Cx ⊂ Ax ∩Bx así pues
C ∩ D = ⋃x∈C∩D Cx y por tanto C ∩ D ∈ T (B).
Ha quedado demostrado que T (B) es topología en X y es claro que B es base de T (B). Si T ′ es otra
topología en X tal que B ⊂ T ′ entonces para cada A ∈ T (B) existirá M ⊂ B tal que A = ⋃B∈M B y
por tanto A ∈ T ′ así pues T (B) ⊂ T ′. Si B fuese base también de T ′ entonces para cada A ∈ T ′ existirá
M ⊂ B tal que A = ⋃B∈M B y por tanto A ∈ T (B) y deducimos que tiene que ser T (B) = T ′, por tanto
T (B) es la única topología en X de la cual B es base.
Si X es un conjunto y B es un subconjunto de P (X) que verifica las condiciones 1 y 2 de este último
teorema diremos que B es base de topología.
Definición 1.3.6 Sea X un conjunto y sean B1 y B2 dos bases de topología, diremos que B1 y B2 son
equivalentes si T (B1) = T (B2).
Teorema 1.3.7 Sea X un conjunto y sean B1 y B2 dos bases de topología se verifica que: a) T (B1) ⊂
T (B2) si y sólo si para cada B1 ∈ B1 y cada x ∈ B1 existe B2 ∈ B2 tal que x ∈ B2 ⊂ B1.
b) B1 y B2 son equivalentes si y sólo si se verifican: 1.- Para cada B1 ∈ B1 y cada x ∈ B1 existe B2 ∈ B2
tal que x ∈ B2 ⊂ B1 2.- Para cada B2 ∈ B2 y cada x ∈ B2 existe B1 ∈ B1 tal que x ∈ B1 ⊂ B2.
Antonio Aizpuru Tomás
8 3. BASE Y SUBBASE DE UNA TOPOLOGÍA
Demostración a) Sea A ∈ T (B1) existe M ⊂ B1 tal que A =
⋃
B∈M B, para cada B ∈ M y cada x ∈ B
existe Bx ∈ B2 tal que x ∈ Bx ⊂ B, por tanto B =
⋃
x∈B Bx y B ∈ T (B2) así pues también A ∈ T (B2).
b) es una sencilla consecuencia de a).
Definición 1.3.8 Sean X un conjunto y d1, d2 dos distancias en X, se dice que d1 y d2 son topológica-
mente equivalentes si Td1 = Td2 . Se dice que d1 y d2 son equivalentes si existen dos números reales α > 0
y β > 0 tales que β d1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ α d1(x, y) para cada x, y ∈ X.
Teorema 1.3.9 Sean X un conjunto y d1 y d2 dos distancias en X.
a) Td1 ⊂ Td2 si y sólo si para cada x ∈ X y cada r1 > 0, r1 ∈ R, existe r2 > 0, r2 ∈ R, tal que
Bd2(x, r2) ⊂ Bd1(x, r1).
b) d1 y d2 son topológicamente equivalentes si y sólo si para cada x ∈ X y cada r1 > 0, r1 ∈ R, existe
r2 > 0, r2 ∈ R, tal que Bd2(x, r2) ⊂ Bd1(x, r1), y también para cada x ∈ X y cada r2 > 0, r2 ∈ R, existe
r1 > 0, r1 ∈ R tal que Bd1(x, r1) ⊂ Bd2(x, r2).
c) Si existe un número real p > 0 tal que d1(x, y) ≤ pd2(x, y) entonces Td1 ⊂ Td2 .
d) Si d1 y d2 son equivalentes entonces son topológicamente equivalentes.
e) El recíproco de d) no es cierto en general.
Demostración a) Sean B1 = {Bd1(x, r) : x ∈ X, r > 0, r ∈ R}, B2 = {Bd2(x, r) : x ∈ X, r > 0, r ∈
R}, tenemos que Td1 = T (B1) y Td2 = T (B2). Supongamos que Td1 ⊂ Td2 y sean x ∈ X y r1 > 0, r1 ∈ R,
entonces Bd1(x, r1) ∈ Td2 y por tanto existe Bd2(y, t) tal que x ∈ Bd2(y, t) ⊂ Bd1(x, r1). Si r2 > 0 y
r2 < t − d2(y, x) tenemos que Bd2(x, r2) ⊂ Bd2(y, t) ⊂ Bd1(x, r). Recíprocamente supongamos que para
cada x ∈ X y cada r1 > 0, r1 ∈ R, existe r2 > 0, r2 ∈ R, tal que Bd2(x, r2) ⊂ Bd1(x, r1), entonces
si Bd1(y, r) ∈ B1 y x ∈ Bd1(y, r), consideremos r1 > 0, r1 ∈ R tal que r1 < r − d(y, x) tenemos que
Bd1(x, r1) ⊂ Bd1(y, r) y existe r2 > 0 tal que x ∈ Bd2(x, r2) ⊂ Bd1(x, r1) ⊂ Bd1(y, r) y se verifica que
Bd2(x, r2) ∈ B2, por tanto T (B1) ⊂ T (B2) así pues Td1 ⊂ Td2 .
b) Es consecuencia inmediata de a).
c) Sea x ∈ X y r1 > 0, consideremos r2 =
r1
p
entonces si y ∈ Bd2(x, r2) tenemos que d1(x, y) ≤
pd2(x, y) < pr2 = r1 así pues y ∈ Bd1(x, r1) y deducimos que Bd2(x, r2) ⊂ Bd1(x, r1).
d) Es consecuencia inmediata de c).
e) Consideremos el siguiente ejemplo: Sea (X, d) un espacio métrico y sea d′ : X × X → R definida por
d′(x, y) = inf[1, d(x, y)] es fácil comprobar que d′ es una distancia en X. Sean x ∈ X y r > 0, r ∈ R.
Consideremos Bd(x, r), sea r′ > 0, r′ ∈ R tal que r′ < inf{1, r} entonces Bd′(x, r′) ⊂ Bd(x, r), en efecto
si y ∈ Bd′(x, r′) no puede ser d(x, y) > 1 ya que entonces r ′ > d′(x, y) = 1, por tanto d(x, y) ≤ 1
y será d(x, y) = d′(x, y) < r′ ≤ r así pues y ∈ Bd(x, r) y concluimos que Bd′(x, r′) ⊂ Bd(x, r). Por
otra parte si x ∈ X y r′ > 0, r′ ∈ R, consideremos r ∈ R, r < r′, entonces Bd(x, r) ⊂ Bd′(x, r′). Así
pues podemos afirmar que d y d′ son topológicamente equivalentes. Supongamos ahora que X = R y que
d es la distancia usual, consideremos la distancia topológicamente equivalente d ′(x, y) = inf{1, d(x, y)},
Apuntes y notas de Topología
CAPÍTULO 1. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 9
ciertamente tenemos que d′(x, y) ≤ d(x, y), pero si d′ y d fuesen distancias equivalentes tendremos que
existirá p ∈ R, p > 0 tal que d(x, y) ≤ pd′(x, y) para cada x, y ∈ R, pero como d′(x, y) ≤ 1 tendrá que
suceder que para cada x, y ∈ R sea d(x, y) ≤ p pero esto es falso ya que d(p + 1, 0) = p + 1, así pues d y
d′ son topológicamente equivalentes pero no son equivalentes.
Nota 1.3.10 La equivalencia y la equivalencia topológica de seudométricas se define de igual forma que
en el caso de métricas. El teorema anterior es también válido en el caso de seudométricas.
Ejemplo 1.3.11 Sea X un conjunto, es sencillo demostrar que tanto la equivalencia topológica como la
equivalencia de métricas son relaciones de equivalencia en el conjunto de todos las métricas de X. Por
tanto si d1, d2 y d3 son tres métricas en X y se verifica que d1 es equivalente a d2 y que d2 es equivalente
a d3 entonces también es d1 equivalente a d3.
Consideremos ahora en Rn las métricas: d∞(x, y) = máx{|xi −yi| : i ∈ {1, . . . , n}}, d1(x, y) =
∑n
i=1 |xi−
yi| y dp(x, y) = (
∑n
i=1 |xi − yi|p)
1
p donde p ∈ (1,+∞), vamos a demostrar que estas tres métricas son
equivalentes. Es evidente que d∞(x,y) ≤ d1(x, y) y que d1(x, y) =
∑n
i=1 |xi − yi| ≤ nmáx{|xi − yi| : i ∈
{1, . . . , n}} = nd∞(x, y). Además d∞(x, y) = ([máx{|xi−yi| : i ∈ {1, . . . n}}]p)
1
p ≤ (∑ni=1 |xi−yi|p)
1
p =
dp(x, y). Finalmente [dp(x, y))]p =
∑n
i=1 |xi − yi|p ≤ nd∞(x, y)p.
Teorema 1.3.12 Sean (X,T ) un espacio topológico, B ⊂ P (X) una base de T y Z ⊂ X. Entonces
BZ = {B ∩ Z : B ∈ B} es una base de la topología TZ inducida por T en Z.
Demostración Es claro que BZ ⊂ TZ . Sea C ∈ TZ , entonces existe A ∈ T tal que C = A ∩ Z pero
como B es base de T existe M ⊂ B tal que A = ⋃B∈M B pero entonces C = A ∩ Z =
⋃
B∈M (B ∩ Z) y
{B ∩ Z : B ∈ M} ⊂ BZ .
Definición 1.3.13 Sea (X,T ) un espacio topológico, se dice que S ⊂ P (X) es una subbase de T si la
familia de las intersecciones finitas de S : B(S) = {⋂B∈M B : M ⊂ S y M finito} es una base de T .
Ejemplo 1.3.14 Primero observemos que si S es subbase de una topología T de X entonces S ⊂ T .
Consideremos ahora el espacio topológico (R, Tu) donde Tu es la topología usual de R. Entonces S =
{(−∞, x), (y,+∞) : x, y ∈ R} es una subbase de Tu ya que para cada intervalo abierto (a, b), a ∈ R, b ∈
R, a < b, tenemos que (a, b) = (−∞, b) ∩ (a,+∞).
Teorema 1.3.15 Sea (X,T ) un espacio topológico y sea S ⊂ P (X) una subbase de T . Si Z ⊂ X
entonces SZ = {B ∩ Z : B ∈ S} es una subbase de TZ .
Demostración B(SZ) = {
⋂
B∈M (B ∩ Z) : M ⊂ S y M finito} = {(
⋂
B∈M B) ∩ Z : M ⊂ S y M
finito} = {A ∩ Z : A ∈ B(S)} donde B(S) = {⋂B∈M B : M ⊂ S y M finito} es base de T , así pues
tenemos que B(SZ) es base de TZ .
Sea X un conjunto y sea S ⊂ P (X). No es cierto en general, como ya sabemos, que exista una topología
T en X tal que S sea base de T , pero veremos a continuación que sí que es cierto que exista una topología
T en X tal que S sea subbase de T .
Antonio Aizpuru Tomás
10 3. BASE Y SUBBASE DE UNA TOPOLOGÍA
Teorema 1.3.16 Sea X un conjunto y sea S ⊂ P (X) entonces existe una única topología en X, que
denotaremos por T (S), tal que S es subbase de T (S). Además se verifica que T (S) es la menos fina de
todas las topologías de X que contienen a S. A T (S) se le denomina topología engendrada por S.
Demostración Sea B(S) = {⋂B∈M B : M ⊂ S y M finito}, vamos a demostrar que B(S) verifica las
condiciones que le garantizan el ser base de una topología. Aunque pueda resultar curioso observemos que
X =
⋂
B∈∅ B y ∅ ⊂ S y ∅ es finito, así pues X ∈ B(S). Sean A1, A2 ∈ B(S) entonces existen M1,M2 ⊂ S
tales que M1 y M2 son finitos y A1 =
⋂
B∈M1 B,A2 =
⋂
B∈M2 B, entonces A1 ∩ A2 =
⋂
B∈M1∪M2 B y
M1 ∪ M2 ⊂ S es finito, por tanto A1 ∩ A2 ∈ B(S). Sea T (S) = T (B(S)) la única topología que tiene por
base a B(S), por construcción es inmediato que S es subbase de T (S). Si T es cualquier topología que
contiene a S es claro que B(S) ⊂ T y por tanto T (S) = T (B(S)) ⊂ T .
Definición 1.3.17 Sean (X,T ) un espacio topológico y C una familia de subconjuntos de X. Se dice
que C es una base de cerrados de (X,T ) si:
1.- C⊂C(T ) 2.- Para cada A ∈C(T ) existe M ⊂C tal que A = ⋂C∈M C.
Nota 1.3.18 Sea (X,T ) un espacio topológico. Las siguientes afirmaciones son de sencilla comprobación.
a) Si C es una familia de subconjuntos de X entonces C es base de cerrados si y sólo si B = {X\C : C ∈ C}
es base de abiertos.
b) Sea X un conjunto y C una familia de subconjuntos de X. Entonces existe una topología T en X tal
que C es base de cerrados en (X,T ) si y sólo si se verifica: 1.- ⋂C∈C C= ∅ 2.- Para cada {C1, C2} ⊂C
y cada x /∈ C1 ∪ C2 existe C3 ∈C tal que x /∈ C3 y C1 ∪ C2 ⊂ C3.
En esta situación se verifica además que T es la única topología en X para la cual C es base de cerrados y
si T ′ es otra topología en X tal que C ⊂ C(T ′) entonces T ⊂ T ′.
c) Si Z ⊂ X y C es base de cerrados en (X,T ) entonces {C ∩Z : C ∈ C} es base de cerrados en (Z, TZ).
Ejemplo 1.3.19 a.- Si (X, d) es un espacio métrico entonces {X\B(x, r) : x ∈ X, r ∈ R, r > 0} es base
de cerrados en (X, d).
b.- En (R, Tu), C= {(−∞, a]∪ [b,+∞) : a ∈ R, b ∈ R, a < b} es base de cerrados, pero {[a, b] : a ∈ R, b ∈
R, a < b} no es base de cerrados.
Definición 1.3.20 Sean (X,T ) un espacio topológico y L una familia de subconjuntos de X. Se dice
que L es una subbase de cerrados en (X,T ) si la familia de las uniones finitas de L : {⋃C∈M C : M ⊂ L
y M finito }, es una base de cerrados en (X,T ).
Observación 1.3.21 Sea (X,T ) un espacio topológico, las siguientes afirmaciones son fáciles de probar.
a) Si L es una familia de subconjuntos de X, entonces L es subbase de cerrados en (X,T ) si y sólo si
S = {X\C : C ∈L} es subbase de T .
Apuntes y notas de Topología
CAPÍTULO 1. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 11
b) Si L es una familia de subconjuntos de X entonces existe una única topología TL en X tal que L es
subbase de cerrados en (X,TL), en esta situación si T ′ fuese otra topología en X tal que L ⊂C(T ′) se
verifica que TL ⊂ T ′.
c) Si Z ⊂ X y L es subbase de cerrados en (X,T ) entonces {C ∩ Z : C ∈ L} es subbase de cerrados en
(Z, TZ).
Ejemplo 1.3.22 En (R, Tu) tenemos que L = {(−∞, a], [b,+∞) : a, b ∈ R} es subbase de cerrados.
4 Sistemas de entornos. Bases y subbases de entornos (o locales)
Definición 1.4.1 Sea (X,T ) un espacio topológico y sean x ∈ X y V ⊂ X, se dice que V es entorno
de x si existe A ∈ T tal que x ∈ A ⊂ V . Denotamos por Vx a la familia de todos los entornos de
x : Vx = {V ⊂ X : V es entorno de x}. A Vx se le llama sistema de entornos de x.
Ejemplo 1.4.2 a) Si (X, d) es un espacio métrico entonces para cada x ∈ X es Vx = {V ⊂ X: existe
r > 0, r ∈ R con B(x, r) ⊂ V }.
b) Sea (X,Tt) donde Tt = {∅, X} es la topología trivial en X entonces para cada x ∈ X es Vx = {X}.
c) Sea X con la topología discreta TD entonces para cada x ∈ X es Vx = {A ⊂ X : x ∈ A}
Teorema 1.4.3 Sea (X,T ) un espacio topológico y sea A ⊂ X, entonces A es abierto si y sólo si para
cada x ∈ A se verifica que A ∈ Vx.
Demostración Si A es abierto y x ∈ A es claro que A ∈ Vx por otra parte si A ⊂ X es tal que para
cada x ∈ A se verifica que A ∈ Vx, tendremos que para cada x ∈ A existe un conjunto abierto Bx tal que
x ∈ Bx ⊂ A, así pues, como A =
⋃
x∈A Bx, tenemos que A es abierto.
Teorema 1.4.4 a) Sea (X,T ) un espacio topológico y consideremos la aplicación V : X → P (P (X))
definida por V (x) = Vx, para cada x ∈ X. Entonces se verifican las siguientes propiedades para cada
x ∈ X: 1.- V (x) 6= ∅ 2.- Si A ∈ V (x) entonces x ∈ A. 3.- Si M ⊂ X es tal que existe V ∈ V (x) con
V ⊂ M entonces M ∈ V (x). 4.- Si A,B ∈ V (x) entonces A ∩ B ∈ V (x) 5.- Para cada A ∈ V (x)
existe B ∈ V (x) tal que para cada y ∈ B se verifica que A ∈ V (y).
b) Sea X un conjunto y V : X → P (P (X)) una aplicación que verifica las anteriores cinco propiedades
entonces existe una única topología TV en X tal que para cada x ∈ X es V (x) el sistema de entornos de
x en (X,TV ).
Demostración a) La demostración de las cuatro primeras es sencilla veamos la quinta: sean x ∈ X y
A ∈ V (x) entonces existe B abierto tal que x ∈ B ⊂ A, pero para cada y ∈ B es evidente que A es
entorno de y, y por tanto A ∈ V (y).
b) Definimos TV = {A ⊂ X : para cada x ∈ A es A ∈ V (x)}, tenemos que ∅ ∈ TV y X ∈ TV . Sea
M ⊂ TV , veamos que
⋃
A∈M A ∈ TV , en efecto: si x ∈
⋃
A∈M A entonces existe B ∈ M tal que x ∈ B
pero como B ∈ TV es B ∈ V (x) y por tanto también
⋃
A∈M A ∈ V (x) ya que
⋃
A∈M A ⊃ B.
Antonio Aizpuru Tomás
12 4. SISTEMAS DE ENTORNOS. BASES Y SUBBASES DE ENTORNOS (O LOCALES)
Sea A,B ∈ TV , tenemos que si x ∈ A ∩ B entonces A ∈ V (x) y B ∈ V (x) pero entonces A ∩ B ∈ V (x),
deducimos por tanto que A∩B ∈ TV . Vamos ahora a demostrar que para cada x ∈ X es V (x) igual a Vx
el sistema de entornos de x para TV .
Si x ∈ X y A es entorno de x para TV tenemos que existe B ∈ TV tal que x ∈ B ⊂ A pero entonces será
A ∈ V (x), así pues Vx ⊂ V (x). Por otra parte si A ∈ V (x) consideremos B = {y ∈ X : A ∈ V (y)}, se
verifica que x ∈ B ⊂ A y además B ∈ TV ya que si y ∈ B es A ∈ V (y) y por 5.- existe C ∈ V (y) tal
que para cada z ∈ C es A ∈ V (z) y por tanto C ⊂ B y como C ∈ V (y) tenemospor 3.- que B ∈ V (y),
por tanto B ∈ TV y como x ∈ B ⊂ A podemos afirmar que A ∈ Vx. Así pues Vx = V (x) y V (x) es el
sistema de entornos de x para la topología TV . Finalmente si T es otra topología en X tal que para cada
x ∈ X es V (x) el sistema de entornos de x tendremos que si A ∈ T es A ∈ V (x) para cada x ∈ A, pero
esto significa que A ∈ TV , recíprocamente si A ∈ TV será A ∈ V (x) para cada x ∈ A pero esto significa
que A ∈ T , concluimos que necesariamente T = TV .
Nota 1.4.5 a) Sean (X,T ) un espacio topológico y sea Z ⊂ X es fácil probar que entonces para cada
y ∈ Z el sistema de entornos de y para la topología TZ , inducida por T en Z, es {A ∩ Z : A ∈ Vy}.
b) Vamos a demostrar que bajo ciertas condiciones se puede afirmar que la unión de cerrados es un cerrado.
Sea (X,T ) un espacio topológico y L = {Fi}i∈I una familia de subconjuntos de X. Diremos que L es
localmente finita si para cada x ∈ X existen U entorno de x y J ⊂ I finito tales que U ∩Fi = ∅ para cada
i ∈ I − J . Demostraremos ahora que si L = {Fi}i∈I es una familia localmente finita de cerrados entonces
⋃
i∈I Fi es cerrado. En efecto, sea x ∈ X − (
⋃
i∈I Fi) =
⋂
i∈I(X − Fi), sean U entorno de x y J ⊂ I,
finito, tales que U ∩ Fi = ∅ si i ∈ I − J . Sea V = U ∩ (
⋂
i∈J(X − Fi)), tenemos que V ∩ (
⋃
i∈I Fi) = ∅,
pero como J es finito es V un entorno de x.
Definición 1.4.6 Sean (X,T ) un espacio topológico y x ∈ X. Sea Vx el sistema de entornos de x. Se
dice que bx ⊂ Vx es base de entornos de x (o base local de x), si para cada A ∈ Vx existe B ∈ bx tal que
B ⊂ A.
Ejemplo 1.4.7 1.- Sea (X, d) un espacio métrico. Para cada x ∈ X, bx = {B(x, 1n) : n ∈ N} es base de
entornos de x y también bx = {B(x, 1n) : n ∈ N} es base de entornos de x.
2.- Sea el espacio topológico discreto (X,TD), para cada x ∈ X es bx = {{x}} una base de entornos de x.
Nota 1.4.8 Sea (X,T ) un espacio topológico y sea Z ⊂ X entonces si y ∈ Z y by es base de entornos
de y, es fácil probar que entonces {A ∩ Z : A ∈ by} es base de entornos de y en TZ , la topología inducida
por T en Z.
Teorema 1.4.9 a) Sea (X,T ) un espacio topológico y sea b : X → P (P (X)) una aplicación tal que
para cada x ∈ X es b(x) una base de entornos de x, entonces se verifican las siguientes propiedades, para
cada x ∈ X: 1.- b(x) 6= ∅ 2.- Si A ∈ b(x) entonces x ∈ A 3.- Si A,B ∈ b(x) existe C ∈ b(x) tal que
C ⊂ A∩B 4.- Para cada A ∈ b(x) existe B ∈ b(x) tal que para cada y ∈ B existe C ∈ b(y) con C ⊂ A.
b)Si X es un conjunto y b : X → P (P (X)) es una aplicación tal que b verifica 1,2,3 y 4 de a) entonces
existe una única topología Tb en X tal que para cada x ∈ X es b(x) una base de entornos de x.
Apuntes y notas de Topología
CAPÍTULO 1. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 13
Demostración a) 1,2 y 3 son sencillas de probar, veamos 4. Sea A ∈ b(x) entonces existe G abierto tal
que x ∈ G ⊂ A y por tanto existe B ∈ b(x) tal que x ∈ B ⊂ G ⊂ A. Si y ∈ B será A entorno de y, por
tanto existe c ∈ b(y) con C ⊂ A.
b) Por medio de la aplicación b definimos la siguiente aplicación:
V : X → P (P (X)) donde para cada x ∈ X es V (x) = {A ⊂ X : existe B ∈ b(x) con B ⊂ A}, es fácil
comprobar que V verifica las propiedades 1,2,3,4 y 5 del teorema 1.4.4 y podemos considerar la topología
TV , la única topología en X tal que para cada x ∈ X es V (x) sistema de entornos de x. Consideremos
Tb = TV . Si T es otra topología en X tal que para cada x ∈ X es b(x) base de entornos de x en T , es
claro que también para cada x ∈ X será V (x) sistema de entornos de x en T y por tanto T = TV .
Definición 1.4.10 Sea (X,T ) un espacio topológico. Si x ∈ X se dice que bx ⊂ Vx es una base de
entornos abiertos de x si bx es una base de entornos de x tal que bx ⊂ T .
Nota 1.4.11 Sea (X,T ) un espacio topológico, si para cada x ∈ X es bx base de entornos abiertos de
x es sencillo comprobar que se verifican las siguientes propiedades, para cada x ∈ X: 1.- bx 6= ∅. 2.- Si
A ∈ bx entonces x ∈ A 3.- Si A,B ∈ bx entonces existe C ∈ bx tal que C ⊂ A ∩ B. 4.- Si A ∈ bx
para cada y ∈ A existe B ∈ by tal que B ⊂ A.
Además si X es un conjunto y b : X → P (P (X)) es una aplicación que verifica 1,2,3 y 4 entonces
existe una única topología Tb en X tal que para cada x ∈ X es bx base de entornos abiertos de x en Tb.
Para probar esta afirmación basta con que consideremos la aplicación V : X → P (P (X)) definida por
V (x) = {A ⊂ X : existe B ∈ b(x) con B ⊂ A} y comprobar que V verifica las propiedades 1,2,3,4 y 5 del
teorema 1.4.4, entonces tomaremos Tb = TV .
Finalmente observemos que si (X,T ) es un espacio topológico y Z ⊂ X entonces si y ∈ Z y by es base de
entornos abiertos de y en (X,T ) se verifica que {A∩Z : A ∈ by} es base de entornos abiertos de y en TZ ,
la topología inducida por T en Z.
Teorema 1.4.12 Sean (X,T ) un espacio topológico y B ⊂ P (X). Entonces B es una base de T si y sólo
si para cada x ∈ X es bx = {B ∈ B : x ∈ B} una base de entornos abiertos de x.
Demostración Si B es una base de T y x ∈ X tenemos que para cada entorno V de x existe G ∈ T tal
que x ∈ G ⊂ V y como B es base de T existe B ∈ B tal que x ∈ B ⊂ G ⊂ V y B ∈ bx. Si bx es base de
entornos abiertos de x para cada x ∈ X tenemos que, si G ∈ T entonces para cada x ∈ G existe Ax ∈ bx
tal que x ∈ Ax ⊂ G y como B ⊂ T deducimos que B es base de T .
Ejemplo 1.4.13 En (R, Tu) para cada x ∈ R es bx = {(x − 1n , x + 1n)} : n ∈ N} una base de entornos
abiertos de x.
Definición 1.4.14 Sean (X,T ) un espacio topológico, x ∈ X y Sx una familia de subconjuntos de X, se
dice que Sx es subbase de entornos de x (o subbase local de x) en (X,T ) si la familia de las intersecciones
finitas de Sx : {
⋂
A∈M A : M ⊂ bx,M finito } es una base de entornos de x.
Antonio Aizpuru Tomás
14 4. SISTEMAS DE ENTORNOS. BASES Y SUBBASES DE ENTORNOS (O LOCALES)
Si Sx es subbase de entornos de x tal que Sx ⊂ T se dice que Sx es subbase de entornos abiertos de x.
Nota 1.4.15 a) Sea (X,T ) un espacio topológico. Si para cada x ∈ X es Sx ⊂ P (X) una subbase
de entornos de x, es sencillo comprobar que se verifican las siguientes propiedades, para cada x ∈ X.
1.- Si A ∈ bx entonces x ∈ A. 2.- Para cada A ∈ Sx existe {A1, · · · , An} ⊂ Sx tal que para
cada y ∈ A1 ∩ · · · ∩ An existe {B1, · · · , Bm} ⊂ Sy con
⋂m
i=1 Bi ⊂ A. Además, si X es un conjunto y
S : X → P (P (X)) es una aplicación verificando 1 y 2 entonces existe una única topología TS en X tal
que para cada x ∈ X es S(x) una subbase de entornos de x en (X,TS).
b) Sea (X,T ) un espacio topológico. Si para cada x ∈ X es Sx ⊂ P (X) una subbase de entornos abiertos
de x, es sencillo comprobar que se verifican las siguientes propiedades, para cada x ∈ X: 1.- Si A ∈ Sx
entonces x ∈ A 2.- Para cada A ∈ Sx y cada y ∈ A existe {A1, · · ·An} ⊂ Sy tal que A1 ∩ · · · ∩An ⊂ A.
Además, si S : X → P (P (X)) es una aplicación verificando 1 y 2 entonces existe una única topología TS
en X tal que para cada x ∈ X es S(x) una subbase de entornos abiertos de x en (X,TS).
c) Sea (X,T ) un espacio topológico. Si Z ⊂ X entonces si y ∈ Z y Sy es subbase de entornos de y en
(X,T ) se verifica que {A ∩ Z : A ∈ Sy} es subbase de entornos de y en TZ , la topología inducida por T
en Z. Si y ∈ Z y Sy es subbase de entornos abiertos de y en (X,T ) se verifica que {A ∩ Z : A ∈ Sy} es
subbase de entornos abiertos de y en TZ .
d) Sea (X,T ) un espacio topológico. Si S es una familia de subconjuntos de X se verifica que S es subbase
de T si y sólo si para cada x ∈ X tenemos que Sx = {A ∈ S : x ∈ A} es una subbase de entornos abiertos
de x en (X,T ).
Ejemplo 1.4.16 En (R, Tu) tenemos que para cada x ∈ R es bx = {(−∞, x + 1n ], [x − 1n ,+∞) : n ∈ N}
una subbase de entornos de x y bx = {(−∞, x + 1n), (x − 1n ,+∞) : n ∈ N} es una subbase de entornos
abiertos de x.
Apuntes y notas de Topología
CAPÍTULO 2
Puntos y subconjuntos especiales en
un espacio topológico
Índice del Tema
1 Principales clases de puntos y subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Densidad y espacios de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 22
1 Principales clases de puntos y subconjuntos
Sea (X,T ) un espacio topológico. Dado x ∈ X y A ⊂ X es evidente que se verifica una y sólo una de las
tres siguientes alternativas.
1.- Existe V entorno de x tal que V ⊂ A, en este caso se dice que x es un punto interior de A. Al conjunto
de todos los puntos interiores de A se le denota por
◦
A y también por Int(A) y se le denomina interior de
A.
2.- Existe V entorno de x tal que V ⊂ X\A, en este caso se dice que x es un punto exterior de A. Al
conjunto de todos los puntos exteriores de A se le denota por Ext(A) y se le denomina exterior de A.
3.- Para cada entorno V de x se verifica que V ∩ A 6= ∅ y V ∩ (X\A) 6= ∅, en este caso se dice que x
es un punto frontera de A. Al conjunto de todos los puntos frontera de A se le denota por Fr(A) y se le
denomina frontera de A. Si x ∈ Fr(A)∩A se dice que x es un punto borde de A. Al conjunto Fr(A)∩A
se le denota por B(A) y se le denomina borde de A o frontera interna de A. Al conjunto Fr(A)∩ (X −A)
se le denota por CB(A) y se le denomina coborde de A o frontera externa de A.
Se dice que x es un punto adherente de A o también un punto clausura de A si para cada entorno V de x
se verifica que V ∩ A 6= ∅.
Al conjunto de los puntos adherentes de A se le denota por A o por cl(A) y se denomina adherencia de A
o clausura de A.
Si x ∈ A es claro que una y sólo una de las siguientes alternativas es cierta: a) Para cada entorno V de x es
16 1. PRINCIPALES CLASES DE PUNTOS Y SUBCONJUNTOS
V ∩ (A−{x}) 6= ∅, se dice en este caso que x es un punto de acumulación de A. Al conjunto de todos los
puntos de acumulación de A se le denota por A′ o por Ad y se le denomina conjunto derivado de A. b)
Existe algún entorno V de x tal que V ∩A = {x} se dice en este caso que x es un punto aislado de A. Al
conjunto de todos los puntos aislados de A se le denota por Aa. El siguiente teorema es una consecuencia
evidente de todo lo anterior.
Teorema 2.1.1 Sean (X,T ) un espacio topológico y A ⊂ X, entonces: 1. {Int(A), Ext(A), F r(A)} es
una partición de X. 2. Ext(A) = Int(X − A). 3. Fr(A) = B(A) ∪ CB(A) y B(A) ∩ CB(A) = ∅
4. Fr(A) = Fr(X − A) = A ∩ (X − A) 5. A = Ad ∪ Aa y Ad ∩ Aa = ∅ 6. x ∈ Aa si y sólo si {x}
es abierto en el espacio topológico (A, TA) 7. A = Int(A) ∪ Fr(A) = A ∪ Fr(A) 8. A = A ∪ Ad.
9.Int(A) = A − Fr(A) = A − Fr(A) 10. Fr(A) = A − Int(A).
Ejemplo 2.1.2 1. En (R, Tu) si A = { 1n : n ∈ N} ∪ [2, 3) ∪ {0} entonces, Int(A) = (2, 3), F r(A) = { 1n :
n ∈ N} ∪ {2, 3, 0}, Ext(A) = R− (Int(A)∪Fr(A)), A = A∪ {3}, Aa = { 1n : n ∈ N}, Ad = A−Aa =
[2, 3] ∪ {0}, B(A) = { 1n : n ∈ N} ∪ {2, 0}, CB(A) = {3}
2. Consideremos el espacio topológico discreto (X,TD). Si A ⊂ X entonces: Int(A) = A, Ext(A) =
X − A, Fr(A) = ∅, A = A, Aa = A y Ad = ∅.
3. En (R, Tu). Si A ⊂ R es finito entonces: Int(A) = ∅, Ext(A) = R − A, Fr(A) = A, A = A, Aa =
A, Ad = ∅, B(A) = A, CB(A) = ∅.
Apuntes y notas de Topología
CAPÍTULO 2. PUNTOS Y SUBCONJUNTOS ESPECIALES EN UN ESPACIO TOPOLÓGICO 17
Teorema 2.1.3 (propiedades elementales del interior).
Sea (X,T ) un espacio topológico y sea A ⊂ X. Entonces:
1.- Int(A) = ∪{G : G ∈ T y G ⊂ A} por tanto Int(A) es un conjunto abierto y es el mayor conjunto
abierto contenido en A, esto es, si G es abierto y G ⊂ A será G ⊂ Int(A). 2.- A es abierto si y
sólo si A = Int(A). 3.- Si B ⊂ A se verifica que Int(B) ⊂ Int(A). 4.- Si B ⊂ A se verifica que
IntX(B) = IntA(B)∩IntX(A) donde IntA(B) denota el interior de B respecto del subespacio topológico
(A, TA). 5.- A es abierto si y sólo si para cada B ⊂ A es IntA(B) = IntX(B).
Demostración 1. Si x ∈ Int(A) entonces existe Gx ∈ T tal que x ∈ Gx ⊂ A y es claro que si G ∈ T y
G ⊂ A entonces G ⊂ Int(A) por tanto Int(A) ⊂ ⋃x∈A Gx ⊂
⋃{G : G ∈ T y G ⊂ A} ⊂ Int(A) así pues
tenemos la igualdad que tratábamos de probar.
2. Es consecuencia de 1.
3. Si x ∈ Int(B) existe G ∈ T tal que x ∈ G ⊂ B ⊂ A por tanto Int(B) ⊂ Int(A).
4. Si x ∈ IntX(B) existe G, abierto en X, tal que x ∈ G ⊂ B. Por tanto x ∈ G ∩ A ⊂ B ∩ A = B y
G ∩ A ∈ TA, así pues x ∈ IntA(B), pero como además x ∈ G ⊂ A también será x ∈ IntX(A).
Por otra parte si x ∈ IntA(B) ∩ IntX(A) existirán G1 ∈ T y G2 ∈ T tales que x ∈ G1 ∩ A ⊂ B y
x ∈ G2 ⊂ A, pero entonces x ∈ G1 ∩ G2 ⊂ B y será x ∈ IntX(B).
5. Si A es abierto y B ⊂ A tenemos IntX(B) = IntA(B) ∩ IntX(A) = IntA(B) ya que IntX(A) = A.
Por otra parte tomando A = B deducimos que A = IntA(A) = IntX(A), por tanto A es abierto.
Teorema 2.1.4 (Propiedades características del interior)
a)Sea (X,T ) un espacio topológico y consideremos la aplicación
I : P (X) → P (X) definida para cada A ∈ P (X) por I(A) = Int(A). Se verifica: 1.- I(X) = X 2.- Para
cada A ∈ P (X) es I(A) ⊂ A 3.- I(A∩B) = I(A)∩I(B) para cada A,B ∈ P (X) 4.- I(I(A)) = I(A)
para cada A ∈ P (X).
b) Sea X un conjunto e I : P (X) → P (X) una aplicación tal que verifica 1,2,3 y 4 de a), entonces existe
una única topología TI en X tal que para cada A ∈ P (X) es Int(A) = I(A).
Demostración a) 1 y 2 son evidentes. Si A,B ∈ P (X) tenemos que Int(A) ⊂ A, Int(B) ⊂ B por tanto
Int(A)∩Int(B) ⊂ A∩B y como Int(A)∩Int(B) es abierto se verifica que Int(A)∩Int(B) ⊂ Int(A∩B).
Por otra parte como A∩B ⊂ A y A∩B ⊂ B, tenemos que Int(A∩B) ⊂ Int(A)∩ Int(B). Probaremos
ahora 4, si A ∈ P (X) tenemos que Int(A) es abierto por tanto Int(Int(A)) = Int(A).
b) Definimos TI = {A ∈ P (X) : I(A) = A} y demostraremos que TI es una topología en X. Por 1.,
tenemos que I(X) = X y por 2., que I(∅) ⊂ ∅ y por tanto I(∅) = ∅. Si {Ai}i∈J es una familia de
elementos de TI tenemos que I(
⋃
i∈J Ai) ⊂
⋃
i∈J Ai y para cada j ∈ J se verifica que Aj = I(Aj) =
I[Aj ∩ (
⋃
i∈J Ai)] = I(Aj)∩ I(
⋃
i∈J Ai) ⊂ I(
⋃
i∈J Ai) por tanto
⋃
j∈J Aj ⊂ I(
⋃
i∈J Ai) y deducimos que
I(
⋃
i∈J Ai) =
⋃
i∈J Ai y por tanto
⋃
i∈J Ai ∈ TI .
Si A,B ∈ TI tenemos que I(A ∩ B) = I(A) ∩ I(B) = A ∩ B, así pues A ∩ B ∈ TI .
Antonio Aizpuru Tomás
18 1. PRINCIPALES CLASES DE PUNTOS Y SUBCONJUNTOS
Sea A ∈ P (X) y consideremos el espacio topológico (X,TI ), vamos a demostrar ahora que Int(A) = I(A).
Como I(A) ⊂ A e I(I(A)) = I(A) tenemos que I(A) ∈ TI y I(A) ⊂ Int(A), por otra parte Int(A) ∈ TI ,
por tanto Int(A) = I(Int(A)) = I(A ∩ Int(A)) = I(A) ∩ I(Int(A)) ⊂ I(A).
Si T ′ es otra topología tal que IntT ′(A) = I(A) para cada A ∈ P (X) tenemos que: A ∈ T ′ ⇔ A =
I(A) ⇔ A ∈ T y por tanto T = T ′.
Ejemplo 2.1.5 a) Sea R con la topología usual. Tenemos que Int(Q) = Int(R − Q) = ∅, Int([a, b]) =
(a, b).
b)Sea R con la topología de los complementos finitos, TCF = {A ⊂ R : R − A es finito } ∪ {∅}, entonces
Int((a, b)) = ∅. Observemos que en este espacio topológico se verifica que para cada A ⊂ R o bien
Int(A) = ∅ o bien Int(A) = A
c) Es sencillo demostrar que si (X,T ) es un espacio topológico, A ⊂ X y B ⊂ X entonces Int(A) ∪
Int(B) ⊂ Int(A ∪ B) pero la igualdad no es cierta en general. En efecto; en (R, Tu) sean A = [1, 2] y
B = [2, 3], tenemos que A ∪ B = [1, 3] y Int(A ∪ B) = (1, 3), por otra parte Int(A) = (1, 2), Int(B) =
(2, 3) y Int(A) ∪ Int(B) = (1, 3) − {2}.
d) Si (X,T ) es un espacio topológico y {A1, · · · , An} es una familia finita de subconjuntos de X entonces
Int(A1 ∩ · · · ∩ An) = Int(A1) ∩ · · · ∩ Int(An), pero si {Ai}i∈J es una familia no finita de subconjuntos
de X sólo podemos afirmar que Int(
⋂
i∈J Ai) ⊂
⋂
i∈J Int(Ai) pero la igualdad en general no es cierta. En
efecto, en (R, Tu) consideremos para cada n ∈ N el conjunto An = R − { 1n}, tenemos que Int(An) = An
y
⋂
n∈N Int(An) = R − { 1n : n ∈ N} pero Int(
⋂
n∈N An) = R − ({ 1n : n ∈ N} ∪ {0}).
Teorema 2.1.6 (Propiedades elementales de la clausura)
Sea (X,T ) un espacio topológico y sea A ⊂ X, entonces: 1.- A = ⋂{C : C es cerrado y A ⊂ C}, por
tanto A es un conjunto cerrado y es el menor conjunto cerrado que contiene a A, esto es, si F es cerrado
y A ⊂ F entonces A ⊂ F . 2.- A es cerrado si y sólo si A = A 3.- Si B ⊂ A entonces B ⊂ A 4.-
Si B ⊂ A entonces clA(B) = B ∩ A donde clA(B) denota la adherencia de B en el subespacio topológico
(A, TA) 5.- A es cerrado si y sólo siclA(B) = B para cada B ⊂ A 6.- A = X − Int(X − A) es decir,
A = X −Ext(A) 7.- Int(A) = X − (X − A) 8.- (X − A) = X − Int(A) 9.- Int(X −A) = X −A
Demostración 1. Sea x ∈ ⋂{C : C es cerrado y A ⊂ C} vamos a demostrar que x ∈ A. Si x /∈ A
entonces existe V entorno de x tal que V ∩ A = ∅, pero para V existe G abierto tal que x ∈ G ⊂ V y
como G ∩ A = ∅ será A ⊂ X − G, pero X − G es cerrado que contiene a A y x /∈ X − G lo que es una
contradicción. Supongamos ahora que x ∈ A vamos a demostrar que para cada conjunto cerrado C tal que
A ⊂ C es x ∈ C. En efecto, si fuese x ∈ X −C como V = X −C es abierto tendremos que V es entorno
de x tal que V ∩ A = ∅ lo que no es posible ya que x ∈ A.
2. Es consecuencia evidente de 1).
3. Si x ∈ B entonces para cada entorno V de x es V ∩ B 6= ∅ y por tanto también es V ∩ A 6= ∅ así pues
x ∈ A.
4. Consideremos B ⊂ A y x ∈ clA(B) es claro que x ∈ A y si V es entorno de x en (X,T ) tenemos que
V ∩ A es entorno de x en (A, TA) y por tanto V ∩ A ∩ B 6= ∅, así pues x ∈ B ∩ A. Por otra parte si
Apuntes y notas de Topología
CAPÍTULO 2. PUNTOS Y SUBCONJUNTOS ESPECIALES EN UN ESPACIO TOPOLÓGICO 19
x ∈ B ∩A, consideremos un entorno U de x en (A, TA) entonces existe V entorno de x en (X,T ) tal que
U = V ∩ A, es claro que V ∩ B 6= ∅ pero observemos que U ∩ B = V ∩ A ∩ B = V ∩ B 6= ∅.
5. Si A es cerrado y B ⊂ A es B ⊂ A y por tanto clA(B) = B ∩ A = B. Por otra parte si para cada
B ⊂ A es clA(B) = B ∩ A = B, tenemos que B ⊂ A, pero entonces para B = A, deducimos que A ⊂ A
y por tanto A = A lo que significa que A es cerrado..
6. Si A ⊂ X entonces para cada x ∈ X es evidente que una de las dos siguientes afirmaciones es cierta:
a) para cada entorno V de x se tiene que V ∩ A 6= ∅ es decir, x ∈ A b) existe V entorno de x tal que
V ∩A = ∅, es decir, x ∈ Ext(A). Por tanto A y Ext(A) son disjuntos, X = A∪Ext(A) y A = X−Ext(A)
7. Razonando como en 6) con X − A tenemos que (X − A) y Ext(X − A) = Int(A) son disjuntos y su
unión es X así pues Int(A) = X − (X − A).
8) y 9) son consecuencia de 6) y 7) cambiando A por X − A.
Teorema 2.1.7 (Propiedades características de la clausura)
a) Sea (X,T ) un espacio topológico y consideremos la aplicación
C : P (X) → P (X) definida para cada A ∈ P (X) por C(A) = cl(A), se verifica: 1- C(∅) = ∅; 2- para cada
A ∈ P (X) es A ⊂ C(A), 3- C(A ∪ B) = C(A) ∪ C(B) para cada A,B ∈ P (X), 4- C(C(A)) = C(A)
para cada A ∈ P (X).
b) Sea X un conjunto y C : P (X) → P (X) una aplicación tal que verifica 1, 2, 3 y 4 de a. Entonces existe
una única topología Tc en X que verifique que para cada A ∈ P (X) sea A = C(A)
Demostración a) 1- y 2- son evidentes, 3- Si A,B ∈ P (X) entonces A ⊂ A ∪ B y B ⊂ A ∪ B por
tanto A ∪ B ⊂ A ∪ B por otra parte como A ∪ B ⊂ A ∪ B y A ∪ B es cerrado será A ∪ B ⊂ A ∪ B.
Finalmente si A ∈ P (X) entonces C(A) es cerrado y por tanto C(C(A)) = C(A).
b) Definimos Tc = {A ⊂ X : C(X−A) = X−A} vamos a demostrar que Tc es una topología en X. X ∈ Tc
ya que C(X − X) = C(∅) = ∅ = X − X, también tenemos que ∅ ∈ Tc ya que X = X − ∅ ⊂ C(X − ∅)
por tanto C(X − ∅) = X − ∅. Si A,B ∈ Tc tenemos que C(X − (A ∩ B)) = C((X − A) ∪ (X − B)) =
C(X − A) ∪ C(X − B) = (X − A) ∪ (X − B) = X − (A ∩ B).
Si (Ai)i∈I es una familia de elementos de Tc tenemos para cada i ∈ I que X − Ai = C(X − Ai) =
C((X−Ai)∪(
⋂
i∈I(X−Ai)) = C(X−Ai)∪C(
⋂
i∈I(X−Ai)) ⊃ C(X−
⋃
i∈I Ai) por tanto X−
⋃
i∈I Ai =
⋂
i∈I(X − Ai) ⊃ C(X −
⋃
i∈I Ai) ⊃ X −
⋃
i∈I Ai así pues C(X −
⋃
i∈I Ai) = X −
⋃
i∈I Ai y por tanto
⋃
i∈I Ai ∈ Tc.
Ahora demostraremos que para cada A ∈ P (X) se verifica que C(A) es cerrado en (X,Tc) o lo que es
lo mismo X − C(A) ∈ Tc en efecto C(X − (X − C(A))) = C(C(A)) = C(A) = X − (X − C(A)).
Por otra parte si A es cerrado tenemos que C(A) = C(X − (X − A)) = X − (X − A) = A. Si
A ∈ P (X) como A ⊂ C(A) y C(A) es cerrado tenemos que A ⊂ C(A), pero al ser A cerrado tenemos que
A = C(A) = C(A ∪ A) = C(A) ∪ C(A) ⊃ C(A), así pues C(A) = A para cada A ∈ P (X). Finalmente,
supongamos que T es otra topología en X tal que para cada A ∈ P (X) se verifica que cl(A) = C(A)
tenemos que dado A ∈ P (X) se verifica que A es cerrado en (X,T ) si y sólo si A = C(A) pero esto sucede
si y sólo si A es cerrado en (X,Tc), pero entonces tiene que verificarse que T = Tc.
Antonio Aizpuru Tomás
20 1. PRINCIPALES CLASES DE PUNTOS Y SUBCONJUNTOS
Ejemplo 2.1.8 1. En (R, Tu) se verifica (a, b) = [a, b], N = N.
2. En (R, TCF ) tenemos que (a, b) = R y N = R.
3. Si (X,T ) es un espacio topológico y A,B ∈ P (X) es sencillo demostrar que A ∩ B ⊂ A ∩ B pero la
igualdad no se verifica en general. En efecto: en (R, Tu) sean A = (1, 2), B = (2, 3) entonces A ∩ B = ∅
y A ∩ B = {2}.
4. Si (X,T ) es un espacio topológico y {A1, . . . , An} es una familia finita de subconjuntos de X se
verifica que A1 ∪ · · · ∪ An = A1 ∪ · · · ∪ An, pero si {Ai}i∈I es una familia infinita sólo podemos afirmar
que
⋃
i∈I Ai ⊂
⋃
i∈I Ai pero la igualdad no es cierta en general. En efecto, en (R, Tu) tenemos que
⋃
x∈(0,1) {x} = (0, 1) pero
⋃
x∈(0,1){x} = [0, 1].
Teorema 2.1.9 (Propiedades elementales de la frontera)
Sea (X,T ) un espacio topológico y sea A ⊂ X entonces
1.- Fr(A) es cerrado. 2.- A = A ∪ Fr(A) 3.- Int(A) = A − Fr(A) 4.- A es abierto si y sólo si
A ∩ Fr(A) = ∅ 5.- A es cerrado si y sólo si Fr(A) ⊂ A 6.- Fr(A) = ∅ si y sólo si A es un clopen
Demostración 1. Es evidente ya que Fr(A) = X − [Int(A) ∩ Ext(A)] o bien porque Fr(A) =
A ∩ (X − A). La demostración de las demás propiedades las dejamos como ejercicio.
Teorema 2.1.10 (Propiedades características de la frontera)
Sea (X,T ) un espacio topológico se verifican las siguientes propiedades:
1.- Fr(∅) = ∅ 2.- Fr(X−A) = Fr(A) para cada A ∈ P (X) 3.- Para cada A ∈ P (X) es Fr(Fr(A)) ⊂
Fr(A) 4.- Para cada A,B ∈ P (X) es A ∩ B ∩ Fr(A ∩ B) = A ∩ B ∩ [Fr(A) ∪ Fr(B)]
Demostración 1. Fr(∅) = ∅ ∩ X = ∅
2. es evidente
3. Fr(Fr(A)) = Fr(A) ∩ (X − Fr(A) ⊂ Fr(A)
4. A ∩ B ∩ [Fr(A) ∪ Fr(B)] = A ∩ B ∩ [(A ∩ (X − A)) ∪ (B ∩ (X − B))] = [A ∩ B ∩ A ∩ (X − A)] ∪
[A ∩ B ∩ B ∩ (X − B)] = [A ∩ B ∩ (X − A)] ∪ [A ∩ B ∩ (X − B)] = A ∩ B ∩ [(X − A) ∪ (X − B)] =
A ∩ B ∩ [(X − A ∩ B)] = (A ∩ B) ∩ [(A ∩ B)] ∩ (X − (A ∩ B)) = A ∩ B ∩ Fr(A ∩ B)
Nota 2.1.11 Si X es un conjunto y F : P (X) → P (X) es una aplicación que verifica las propiedades 1,
2, 3 y 4 del teorema anterior entonces existe una única topología TF en X tal que para cada A ∈ P (X) es
Fr(A) = F (A); Omitimos la demostración pero sugerimos que el primer paso para realizarla es considerar
TF = {A ⊂ X : A ∩ F (A) = ∅} y probar que TF es una topología en X.
Ejemplo 2.1.12 1. Consideremos un espacio topológico discreto (X,TD) entonces para cada A ⊂ X
tenemos que tanto A como X − A son cerrados y por tanto Fr(A) = ∅
Apuntes y notas de Topología
CAPÍTULO 2. PUNTOS Y SUBCONJUNTOS ESPECIALES EN UN ESPACIO TOPOLÓGICO 21
2. En (R, Tu) tenemos que Fr(Q) = R y Fr(N) = N, F r((a, b)) = Fr([a, b])
= {a, b}
3. En (R, Tu) sean A = (1, 4) B = (2, 3), tenemos que B ⊂ A y que Fr(A), yFr(B) no tiene ninguna
relación ya que Fr(B) = {2, 3} y Fr(A) = {1, 4}
4. Es sencillo comprobar que Fr(Int(A)) ⊂ Fr(A) y Fr(A) ⊂ Fr(A). Hay ejemplos que ponen de
manifiesto que el contenido puede ser incluso estricto. En efecto, en (R, Tu) consideremos A = Q tenemos
que Fr(Int(A)) = Fr(∅) = ∅, F r(A) = R y Fr(A) = Fr(R) = ∅. Observemos que también es
Fr(A) = R y Fr(Fr(A)) = ∅, así pues en general no se verifica que Fr(A) este contenida en Fr(Fr(A)).
Teorema 2.1.13 (Propiedades elementales del derivado)
Sea (X,T ) un espacio topológico y sea A ⊂ X entonces:
1.- A = A ∪ Ad 2.- A es cerrado si y sólo si A ⊃ Ad 3.- Si B ⊂ A entonces Bd ⊂ Ad
Demostración Probaremos sólo 2. Si A es cerrado como Ad ⊂ A y A = A tenemos que Ad ⊂ A. Si
Ad ⊂ A como A = A ∪ Ad deducimos que A = A.
Teorema 2.1.14 (Propiedades características del derivado)
Sea (X,T ) un espacio topológico entonces se verifican las siguientes propiedades:
1.- ∅d = ∅ 2.- Para cada x ∈ X es x 6∈ {x}d 3.- (A ∪ B)d = Ad ∪ Bd para cada A,B ∈ P (X) 4.-
Para cada A ∈ P (X) es (Ad)d ⊂ A ∪Ad
Demostración 1 y 2 son elementales. 3. Como A ⊂ A ∪ B y B ⊂ A ∪ B tenemos que Ad ⊂ (A ∪ B)d
y Bd ⊂ (A ∪ B)d y por tanto Ad ∪ Bd ⊂ (A ∪ B)d. Por otra parte si x ∈ (A ∪ B)d y sucediese que
x 6∈ Ad ∪ Bd existirán V1 y V2 entornos de x tales que V1 ∩ (A − {x}) = ∅ y V2 ∩ (B − {x}) = ∅.
Consideremos V = V1 ∩ V2 tenemos que V es entorno de x y V ∩ (A ∪ B − {x}) = ∅ lo que contradice
que x ∈ (A ∪ B)d. 4. (Ad)d ⊂ cl(Ad) ⊂ cl(cl(A)) = cl(A) = A ∪ Ad.
Nota 2.1.15 a) Sea X un conjunto y d : P (X) → P (X) una aplicación que verifique las cuatro
propiedades del teorema anterior entonces existe una única topología Td en X tal que para cada A ⊂ X
sea Ad = d(A). Para realizar la demostración sugerimos que se considere la aplicación C : P (X) → P (X)
definida para A ∈ P (X) por C(A) = A ∪ d(A) y que se compruebe que C verifica las propiedades del
teorema 2.1.7
b) A estas alturas ya hemos observado que existen diversos procedimientos para determinar en un conjunto
X una topología. Recordemos algunos de los hasta ahora vistos.
1.- Por medio de la familia T de los conjuntos abiertos.
2.- Por medio de la familia C de los conjuntos cerrados.
3.- Por medio de una base B de abiertos.
Antonio Aizpuru Tomás
22 2. DENSIDAD Y ESPACIOS DE BAIRE
4.- Por medio de una subbase S de abiertos.
5.- Determinando para cada x ∈ X el sistema Vx de los entornos de x.
6.- Determinando para cada x ∈ X una familia Sx que sea base de entornos de x.
7.- Determinando para cada x ∈ X una familia Sx que sea subbase de entornos de x.
8.- Determinando para cada A ⊂ X el conjunto interior de A.
9.- Determinando para cada A ⊂ X el conjunto clausura de A. La correspondiente aplicación C :
P (X) → P (X) es conocida con el nombre de operador Kuratowski.
10.- Determinando para cada A ⊂ X el conjunto frontera de A.
11.- Determinando para cada A ⊂ X el conjunto derivado de A.
Creo que ciertamente estamos agotados pero considérese que todavía no se han agotado las posibilidades
de determinar una topología y que sólo hemos considerado las más importantes. Esperamos no volver a
torturar al lector con otras nuevas posibilidades.
Definición 2.1.16 Sea (X,T ) un espacio topológico y sea A ⊂ X. Se dice que x ∈ X es un punto de
w-acumulación de A en (X,T ) si para cada entorno V de x se verifica que V ∩ A es un conjunto infinito.
Al conjunto de todos los puntos de w- acumulación de A se le denota por Adw, es evidente que A
d
w ⊂ Ad y
que si Adw 6= ∅ entonces A es infinito.
Teorema 2.1.17 Sea (X,T ) un espacio topológico, las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1.-Para
cada x ∈ X se verifica que {x} es cerrado. 2.- Para cada A ⊂ X es Ad = Adw.
Demostración Supongamos que para cada x ∈ X se verifica que {x} es cerrado y consideremos A ⊂ X
y x ∈ Ad, si x /∈ Adw entonces existe un entorno V de x tal que V ∩ A = {a1, . . . , an} pero por hipótesis
tenemos que B = {a1, . . . , an} − {x} es cerrado y por tanto C = V ∩ (X − B) es un entorno de x pero
C ∩ (A − {x}) = ∅ lo cual contradice que x ∈ Ad.
Supongamos ahora que para cada A ⊂ X es Ad = Adw. Si x ∈ X será {x}d = {x}dw = ∅ por tanto
{x} = {x} y {x} es pues cerrado.
Ejemplo 2.1.18 Si (X, d) es un espacio métrico entonces para cada A ⊂ X es Adw = Ad.
2 Densidad y espacios de Baire
Definición 2.2.1 Sea (X,T ) un espacio topológico, se dice que A ⊂ X es un conjunto denso en X si
A = X.
Teorema 2.2.2 Sea (X,T ) un espacio topológico y sea A ⊂ X entonces A es denso en X si y sólo si
para cada conjunto abierto y no vacío B se verifica que A ∩ B 6= ∅.
Apuntes y notas de Topología
CAPÍTULO 2. PUNTOS Y SUBCONJUNTOS ESPECIALES EN UN ESPACIO TOPOLÓGICO 23
Demostración Supongamos que si A es denso en X y que B es abierto en X con B 6= ∅. Consideremos
x ∈ B como x ∈ A será B ∩ A 6= ∅. Recíprocamente si para cada abierto B con B 6= ∅ es B ∩ A 6= ∅
entonces tenemos que si x ∈ X y V es cualquier entorno de x se verifica que V ∩A 6= ∅ y por tanto x ∈ A,
así pues deducimos que A = X.
Ejemplo 2.2.3 En (R, Tu) tenemos que tanto Q como R − Q son densos en R.
Teorema 2.2.4 Sea (X,T ) un espacio topológico y sea A ⊂ X un conjunto denso en X, entonces para
cada conjunto B abierto y no vacío se verifica que A ∩ B es denso en (B, TB).
Demostración Todo conjunto abierto de (B, TB) es de la forma C ∩B donde C es abierto de (X,T ), si
C ∩B es distinto del vacío entonces como C ∩B es abierto en (X,T ) tenemos que (C ∩B) ∩ (A ∩B) =
A ∩ (C ∩ B) 6= ∅.
Definición 2.2.5 Sea (X,T ) un espacio topológico y sea A ⊂ X. Se dice que:
1.- A es fronterizo si Int(A) = ∅.
2.- A es denso en ninguna parte o diseminado o raro si A es fronterizo es decir Int(A) = ∅.
3.- A es denso en si mismo si A ⊂ Ad es decir A no tiene puntos aislados.
4.- A es perfecto si A es cerrado y denso en si mismo es decir si A = Ad.
5.- A es disperso si A no contiene subconjuntos densos en si mismo es decir si para cualquier B ⊂ A con
B 6= ∅ existe x ∈ B y un entorno V de x tal que V ∩ B = {x}.
6.- A es de primera categoría si A =
⋃
n∈N An donde An es diseminado para cada n ∈ N.
7.- A es de segunda categoría si A no es de primera categoría.
Nota 2.2.6 Resumiremos en esta observación solo parte de los resultados más destacados que tienen
relación con las definiciones anteriormente realizadas. Sea pues (X,T ) un espacio topológico:
1.- Si A ⊂ X, entonces A es diseminado si y sólo si ExtA es denso.
Demostración: Si A es diseminado entonces ExtA = X − A = X − Int(A) = X. Si Ext(A) es
denso en X tenemos que Int(A) = X − (X − A) = X − (Ext(A)) = ∅.
2.- Es evidente que todo conjunto diseminado es fronterizo pero el recíproco en general no es cierto. En
(R, Tu) tenemos que Q es fronterizo pero no es diseminado. Además Q =
⋃
q∈Q{q}, donde para cada
q ∈ Q es {q} diseminado, así pues Q es unión numerable de conjuntos diseminados y por tanto Q es
de primera categoría.
3.- A es fronterizo si y sólo si X − A es denso en X. En efecto: esto se deduce de que (X − A) =
X − Int(A) y de que Int(A) = X − (X − A).
Antonio Aizpuru Tomás
24 2. DENSIDAD Y ESPACIOS DE BAIRE
4.- Si A es fronterizo y B diseminado entonces A ∪ B es fronterizo.
Demostración: X − B = (X − A) − B ⊂ [(X − A) − B] = [X − (A ∪ B)] y tomando de nuevo
clausuras deducimos que [X − (A ∪ B)] ⊃ X − B = X.
Observemos que en (R, Tu) tanto Q como I = R−Q son fronterizos pero su unión no es ni fronterizo
ni diseminado.
5.- Si A y B son diseminados entonces A ∪ B es diseminado. En efecto: A ∪ B = A ∪ B, pero A es
fronterizo y B es diseminado por tanto A ∪ B es fronterizo y A ∪ B diseminado.
6.- Es evidente que para un conjunto cerrado los conceptos de fronterizo y diseminado son equivalentes.
Supongamos que A es un conjunto abierto, demostraremos que entonces Fr(A) es fronterizo. En
efecto: Int(Fr(A)) = Int(A∩ (X − A)) = Int(A)∩ Int(X − A) = Int(A)∩ Int[(X − Int(A))] =
Int(A) ∩ Int(X − A) = Int(A) ∩ (X − A) = ∅.
Si B es un conjunto cerrado entonces también es Fr(B) un conjunto fronterizo. En efecto: Int(Fr(B)) =
Int(B ∩ (X − B)) = Int(B) ∩ Int(X − B) = (X − (X − B)) ∩ Int(X − B) = ∅.
Observaremos que en (R, Tu) tenemos que Fr(Q) no es fronterizo ni, por tanto, tampoco diseminado.
7.- Si {Ai}i∈I es una familia de conjuntos densos en sí mismo entonces
⋃
i∈I Ai es denso en si mismo. En
efecto. Supongamos que a ∈ ⋃i∈I Ai fuese un punto aislado de
⋃
i∈I Ai tenemos entonces que existe
un entorno V de a tal que V ∩ (⋃i∈I Ai) = {a}, sea j ∈ I tal que a ∈ Aj , entonces V ∩ Aj = {a}
lo que contradice el que Aj sea denso en si mismo.
8.- Si A es denso en si mismo entonces A es perfecto. En efecto, tenemos que A ⊂ A y por tanto
Ad ⊂ Ad ⊂ A entonces como A ⊂ Ad y A = A ∪ Ad se verifica que A = Ad ⊂ Ad ⊂ A y será
A = A
d
.
9.- Si (X,T ) es un espacio topológico entonces existen un cerrado perfecto P y un abierto disperso D
tales que P ∩ D = ∅ y P ∪ D = X.
Demostración: Sea L la unión de todos los subconjuntos de X que son denso en sí mismo, tenemos
que L es denso en si mismo y por tanto P = L es perfecto, consideremos D = X − P tenemos que
D es abierto pero también es disperso ya que noexiste subconjunto de D que sea denso en si mismo.
Observemos que si P1 ⊂ X es perfecto y D1 ⊂ X es abierto disperso y se verifica que X = P1∪D1 y
P1 ∩D1 = ∅ entonces P = P1 y D = D1. En efecto: por construcción de P tenemos que P1 ⊂ P , si
P ∩D1 6= ∅ como D1 es disperso existe x ∈ D1∩P y un entorno V de x tal que V ∩ (D1∩P ) = {x}
pero como V ∩D1 es entorno de x, tenemos que x será un punto aislado de P lo que contradice que
P sea perfecto. Así pues se verifica que P1 ⊂ P y P ∩ D1 = ∅ de donde se deduce que P = P1 y
D = D1.
Teorema 2.2.7 Si (X,T ) es un espacio topológico las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) La
intersección de una familia numerable de abiertos densos en X es un conjunto denso en X. b) Cada
abierto A distinto del vacío es de segunda categoría. c) La unión de una familia numerable de cerrados
fronterizos es un conjunto fronterizo. d) Si A ⊂ X es de primera categoría entonces X − A es denso en
X.
Demostración a ⇒ b Sea A un abierto en X y supongamos que A es de primera categoría entonces
A =
⋃
n∈N Bn donde para cada n ∈ N es Bn diseminado, tenemos que A ⊂
⋃
n∈N Bn y X − A ⊃
Apuntes y notas de Topología
CAPÍTULO 2. PUNTOS Y SUBCONJUNTOS ESPECIALES EN UN ESPACIO TOPOLÓGICO 25
⋂
n∈N(X −Bn), como para cada n ∈ N es X −Bn denso en X, por hipótesis, también será
⋂
n∈N(X −Bn)
denso en X y por tanto X − A = X − A = X y por tanto será A = ∅.
b ⇒ c Sea {Bn}n∈N una familia numerable de cerrados fronterizos tenemos que A =
⋃
n∈N Bn es de
primera categoría y es evidente que todo subconjunto de un conjunto de primera categoría es también de
primera categoría, por tanto A no contiene ningún conjunto abierto ya que, por hipótesis, estos son de
segunda categoría, por tanto Int(A) = ∅
c ⇒ d Supongamos que A = ⋃n∈N Bn donde Bn es diseminado para cada n ∈ N, entonces A ⊂
⋃
n∈N Bn
y por hipótesis será ∅ = Int(A) = X − (X − A) y por tanto X − A = X.
d ⇒ a Sea {An}n∈N una familia numerable de conjuntos abiertos que son densos en X, tenemos que
X −⋂n∈N An =
⋃
n∈N(X −An) pero para cada n ∈ N es Int(X −An) = X −An = ∅ y por tanto X −An
es un cerrado fronterizo para cada n ∈ N, así pues X − ⋂n∈N An es de primera categoría y por hipótesis
tenemos que X − (X − ⋂n∈N An) =
⋂
n∈N An es un conjunto denso en X.
Diremos que un espacio topológico (X,T ) es de Baire si (X,T ) posee cualquiera de las anteriores propiedades
a, b, c y d. Estos espacios son de especial interés para el Análisis Matemático razón por la cual serán, más
adelante, nuevamente estudiados.
Ejemplo 2.2.8 a) Sea X = C00 el conjunto de las sucesiones (an)n∈N de números reales que son even-
tualmente nulas, es decir, existe n0 ∈ N tal que para cada n ≥ n0, n ∈ N, es an = 0.
Si (an)n∈N, (bn)n∈N ∈ X definimos d((an)n∈N, (bn)n∈N) = sup{|an − bn| : n ∈ N}, es fácil comprobar
que d es una métrica en X. Consideremos el espacio métrico (X, d) y para cada m ∈ N se Fm =
{(an)n∈N : (an)n∈N ∈ X y an = 0 si n > m,n ∈ N}. Demostraremos que Fm es cerrado; en efecto, si
(bn)n∈N ∈ X−Fm tenemos que existe k > m, k ∈ N tal que bk 6= 0, sea r = |bk|2 entonces es fácil comprobar
que B((bn)n∈N, r) ⊂ X−Fm. Ahora demostraremos que Int(Fm) = ∅, en efecto, si Int(Fm) 6= ∅ entonces
existe B((an)n∈N, t) ⊂ Fm, consideremos la sucesión (bn)n∈N definida por bn =



an si n ≤ m
t
2 si n = m + 1
0 si n > n + 1
tenemos que (bn)n∈N ∈ B((an)n∈N, t) pero (bn)n∈N /∈ Fm lo que es una manifiesta contradicción, así pues
Int(Fm) = ∅. Finalmente observemos que
⋃
m∈N Fm = X y por tanto (X, d) no puede ser una espacio de
Baire.
b) Sea (X,T ) un espacio topológico y A ⊂ X, consideremos (A, TA) entonces si B ⊂ A es diseminado en
(A, TA) se verifica que B es diseminado en (X,T ).
En efecto: si fuese IntX(B) 6= ∅ existirá G abierto no vacío de X tal que G ⊂ B, por tanto G ∩ B 6= ∅
y por tanto G ∩ A ⊂ B ∩ A = clA(B) y como G ∩ A es un abierto no vacío de (A, TA) deducimos que
IntA(clA(B)) 6= ∅ lo que contradice que B sea diseminado en (A, TA).
Si ahora fuese B ⊂ A un conjunto de primera categoría en (A, TA) tendremos que B =
⋃
n∈N Cn donde
para cada n ∈ N es Cn diseminado en (A, TA), por tanto también para cada n ∈ N será Cn diseminado en
(X,T ) y así pues B será de primera categoría en (X,T ).
Si A ⊂ X es abierto y (X,T ) es de Baire entonces (A, TA) es de Baire. En efecto, si existe B ⊂ A abierto
no vacío en (A, TA) y B es de primera categoría en (A, TA) tendremos que B será de primera categoría
en (X,T ) pero como A es abierto en X deducimos que B es abierto no vació de X y B es de primera
categoría en X lo que contradice que X sea Baire.
Antonio Aizpuru Tomás
26 2. DENSIDAD Y ESPACIOS DE BAIRE
Así pues, la propiedad Baire es una propiedad hereditaria a abiertos, pero finalmente observemos que la
propiedad Baire no es hereditaria. En efecto: más adelante probaremos que (R, T ), donde T = Tu, es de
Baire pero es claro que (Q, TQ) no es de Baire.
Apuntes y notas de Topología
CAPÍTULO 3
Propiedades elementales de
numerabilidad y separación
Índice del Tema
1 Propiedades de numerabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Propiedades de separación de puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1 Propiedades de numerabilidad
Sea X un conjunto, consideremos un subconjunto A de X y una familia {Ai}i∈I de subconjuntos de X.
Se dice que {Ai}i∈I es un recubrimiento de A si A ⊂
⋃
i∈I Ai. Si {Ai}i∈J , J ⊂ I, es una subfamilia
de {Ai}i∈I que también es recubrimiento de A entonces diremos que {Ai}i∈J es un subrecubrimiento del
recubrimiento {Ai}i∈I de A.
Si (X,T ) es un espacio topológico por recubrimiento abierto de A ⊂ X se entenderá un recubrimiento
cuyos elementos son conjuntos abiertos de (X,T ).
En algunas ocasiones dejaremos de emplear la notación (X,T ), cuando no haya lugar a confusión posible,
para designar a un espacio topológico, por tanto si X es un conjunto y decimos que X es un espacio
topológico entenderemos que el conjunto X está dotado de cierta topología T , y si decimos que A es
subespacio topológico de X, entenderemos que A ⊂ X y que A está dotado de la topología relativa TA, la
topología inducida por T en A.
Estudiaremos y relacionaremos las propiedades que a continuación se definen, en cada una de estas propiedades
se hace referencia al concepto de numerabilidad razón por la cual son conocidas con el nombre de propiedades
de numerabilidad.
Definición 3.1.1 Sea X un espacio topológico:
1.- Se dice que X verifica el primer axioma de numerabilidad (IAN) si para cada x ∈ X existe bx base
numerable de entornos de x.
28 1. PROPIEDADES DE NUMERABILIDAD
2.- Se dice que X cumple el segundo axioma de numerabilidad (IIAN) si existe una base numerable para
la topología de X.
3.- Se dice que X es de Lindelöf si todo recubrimiento abierto de X admite un subrecubrimiento numer-
able.
4.- Se dice que X es separable si existe un conjunto numerable que sea denso en X.
Ejemplo 3.1.2 1. Todo espacio seudométrico (X, d) es IAN. En efecto, para cada x ∈ X basta considerar
bx = {B(x, 1n) : n ∈ N}.
2. El espacio topológico discreto (X,TD) es IAN ya que para cada x ∈ X es bx = {{x}} base de entornos
de x. (X,TD) es IIAN si y sólo si X es numerable.
3. (Rn, Tu) es IIAN. En efecto consideremos B= {B(q, 1m) : q = (q1, . . . , qn)
∈ Qn y m,n ∈ N}. Es claro que B es numerable. Sea A abierto en Rn y a = (a1, . . . , an) ∈ A entonces
existe r ∈ R, r > 0 tal que B(a, r) ⊂ A. Sea m ∈ N tal que 1m < r2 y sea {q1, . . . , qn} ⊂ Q tal que para
cada i ∈ {1, . . . , n} sea ai < qi < ai + 1mn . Consideremos B(q, 1m) donde q = (q1, . . . , qn), tenemos que
a ∈ B(q, 1m ) ya que [(a1 − q1)2 + · · ·+ (an − qn)2]
1
2 ≤ |a1 − q1|+ · · ·+ |an − qn| < 1m y si b ∈ B(q, 1m) es
d2(b, a) ≤ d2(b, q) + d2(q, a) < 1m + 1m < r así pues a ∈ B(q, 1m) ⊂ B(a, r) ⊂ A y podemos afirmar que
B es base de (Rn, Tu).
4. (R, TCF ) no es IAN. En efecto, probaremos que si X es un conjunto no numerable entonces (X,TCF )
no es IAN. Supongamos que x ∈ X y que bx = {An : n ∈ N} es una base numerable de entornos de x,
tenemos que X −