Ludwing Javier Salazar Guerrero - Probabilidad y estadística-Grupo Editorial Patria (2018) - Rodrigo Yañez

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Probabilidad 
y estadística
Ludwing Javier 
Salazar Guerrero
para bachilleratos tecnológicos
2a edición
Acorde con el modelo educativo para la educación obligatoria
Ludwing Javier 
Salazar Guerrero
Probabilidad 
y estadística
para bachilleratos tecnológicos
II
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Renacimiento 180
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II
para bachilleratos tecnológicos
Serie DGETI
Derechos reservados:
© 2018, Ludwing Javier Salazar Guerrero
© 2018, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.
Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca
Del. Azcapotzalco, Código Postal 02400, Ciudad de México
Miembro de la Cámara Nacional de la Industrial Editorial Mexicana
Registro Núm. 43
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido 
de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, 
sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
Impreso en México
Printed in Mexico
 edición : 2018
Dirección editorial: Javier Enrique Callejas
Coordinadora editorial: Alma Sámano Castillo
Supervisión de producción editorial: Miguel Ángel Morales Verdugo
Diseño de portada e interiores: Perla Alejandra López Romo
Diagramación: Jorge Antonio Martínez Jiménez, Gustavo Vargas Martínez
Ilustraciones y fotografías: Perla Alejandra López Romo, Jorge Antonio 
Martínez Jiménez, Gustavo Vargas Martínez, Thinkstock
Agradecemos a CASIO México Marketing, S. de R.L. de C.V., su apoyo para 
la publicación de pantallas de la calculadora científica CASIO FX-991ES.
III
 
Tabla de contenidos
INTRODUCCIÓN VII
COMPETENCIAS VIII
 VIII
 VIII
 VIII
Eje. Del manejo de la información al pensamiento 
estocástico. Primera parte 2P
A
R
T
E
1
APERTURA 3
DESARROLLO 8
 
 
3 
1.1 Nociones y conceptos básicos de estadística y probabilidad 8
1.2 Enfoques de probabilidad. ¿Qué significa cada enfoque de probabilidad?, ¿qué significan 
las medidas de tendencia central?, ¿para qué obtener estos valores? 17
1.3 Técnicas de conteo y agrupación en clases para la determinación de probabilidades 27
CIERRE 47
Evaluación sumativa 47
 1. 49 2. 49
IV
CONTENIDO
Eje. Del manejo de la información al pensamiento 
estocástico. Segunda parte 50P
A
R
T
E
2
APERTURA 51
DESARROLLO 57
 51
2.1 ¿Qué es el riesgo?, ¿qué papel juega la probabilidad y estadística en el estudio del riesgo? 
Usos de la estadística y probabilidad en situaciones dadas 57
2.2 Usos de la estadística y probabilidad en situaciones dadas 57
2.3 Análisis de la información 60
2.4 Nociones de incertidumbre, azar y aleatoriedad 72
2.5 Tipos de eventos en el estudio de la probabilidad 73
CIERRE 94
Evaluación sumativa 94
1. 95 2. 95
Eje. Del manejo de la información al pensamiento 
estocástico. Tercera parte 96P
A
R
T
E
3
APERTURA 97
DESARROLLO 102
 97
3.1 Estudio de la información. ¿Qué papel juegan las medidas de tendencia central?, ¿cómo 
representar la información en un gráfico estadístico?, ¿cómo estudiar un gráfico estadístico?, 
¿qué papel juega la probabilidad en el manejo de la información? 102
3.2 Cálculo de las medidas de tendencia central y su representatividad en términos 
de la variabilidad y contexto situacional 110
3.3 Construcción de gráficos estadísticos en la representación de la información 121
3.4 Análisis de tipos de gráficos estadísticos 121
CIERRE 124
Evaluación sumativa 124
 1. 125 2. 125
V
CONTENIDO
Eje. Del manejo de la información al pensamiento 
estocástico. Cuarta parte 126P
A
R
T
E
4
APERTURA 127
DESARROLLO 132
 127
4.1 Medidas de tendencia central. ¿Qué es la moda, la media aritmética, la mediana? 
¿Qué es un cuartil?, ¿qué es una medida de dispersión?, ¿qué es una medida de forma?, 
¿qué es una medida de correlación? 132
4.2 Análisis de la información y toma de decisiones. ¿Qué información brindan las medidas 
de tendencia central?, ¿cuándo se puede considerar que todas dan la misma información?, 
¿en cualquier fenómeno tienen significado? 151
CIERRE 170
Evaluación sumativa 170
1. 171 2. 171
Glosario 172
VII
 
Introducción
John von Neumann
Edgar Allan Poe
 es una obra que tiene como base el modelo de competencias 
y está apegado al programa de estudios de la Dirección General de Educación Tecnológica e Industrial (DGETI) de la 
Secretaría de Educación Pública.
El libro se divide en cuatro partes; en cada una de ellas se presentan secuencias didácticas (Deduce y aprende) 
diseñadas con la finalidad de resolver situaciones problemáticas y vinculadas al tema integrador.
La obra propicia que el estudiante trabaje en forma individual y en equipo; posibilita la discusión, para que comu-
nique de manera asertiva sus ideas; también promueve el uso de la hoja electrónica Excel y la calculadora científica.
Al principio de cada parte se encuentra un examen diagnóstico y una secuencia integradora, así como la rúbrica 
para evaluarla; al final de cada unidad se presenta una lectura, una autoevaluación y la recuperación de la información.
Cada parte está organizada en tres momentos: Apertura, Desarrollo y Cierre. Las actividades de apertura son aque-
llas a partir de las cuales es posible identificar y recuperar las experiencias, los saberes, las percepciones y los conocimien-
tos previos del alumno, se realizan por medio de diferentes técnicas, como, lluvia de ideas, cuestionarios y aquello que el 
maestro considere pertinente, podrán tener una duración de 5 a 10 minutos. Las actividades de desarrollo relacionan los 
saberes, los conocimientos previos del alumno e introducen nuevos conocimientos técnicos y científicos. Finalmente, 
las actividades de cierre permiten al estudiante sintetizar y recuperar lo estudiado. Para ello se sugiere utilizar mapas 
mentales o conceptuales, exposiciones orales, solución de ejercicios y portafolios de evidencias.
La obra se ha diseñado para que el alumno sea el protagonista y desarrolle sus habilidades de lectura, expresión 
oral y escrita. Además, contiene ejercicios y problemas que le permitan relacionar la teoría con su entorno social.
En esta obra se reflejan más de 40 años de experiencia docente, por ello, se ha puesto especial atención a los 
temas que se le dificultan al alumno y por eso mismo se utiliza un lenguaje claro y acorde al nivel educativo, se abor-
dan los contenidos por aprender en forma concisa y con el suficiente rigor matemático con el fin de que fundamente 
las bases de los conocimientos para la probabilidad y la estadística. Asimismo, el diseño del libro es atractivo e invita al 
estudiante a trabajar evitando el tedio y la monotonía.
Espero que esta segunda edición de se convierta en un 
auxiliar didáctico para el docente y una útil herramienta de apoyo para el alumno en su trabajo diario.
Finalmente, deseo agradecer a la Secretaría Académica y a la Comisión de Operación y Fomento de Actividades 
Académicas del Instituto Politécnico Nacional.
El autor
VIII
Competencias
Propósitos de la asignatura
Que el estudiante aprenda a identificar, utilizar y comprender los sistemas de tratamiento estadístico; inferir sobre la 
población a través de las muestras; el tratamiento del azar y la incertidumbre.
Competencias genéricas
 • Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 
 – Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades. 
 – Identifica sus emociones, las maneja de manera constructiva y reconoce la necesidad de solicitar apoyo ante 
una situación que lo rebase.
 – Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones. 
 – Administra los recursos disponibles teniendo en cuenta las restricciones para el logro de sus metas. 
 • Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretaciónde sus expresiones en distintos géneros. 
 – Valora el arte como manifestación de la belleza y expresión de ideas, sensaciones y emociones. 
 • Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos 
y herramientas apropiados. 
 – Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 
 – Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas. 
 • Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 
 – Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos 
contribuye al alcance de un objetivo.
 – Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos. 
 – Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 
 • Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 
 – Identifica las actividades que le resultan de menor y mayor interés y dificultad, reconociendo y controlando 
sus reacciones frente a retos y obstáculos. 
 • Participa y colabora de manera efectiva en grupos diversos. 
 – Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de 
acción con pasos específicos. 
 – Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 
 – Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro 
de distintos equipos de trabajo.
Competencias disciplinares
 • Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, 
geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
 • Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
 • Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos 
establecidos o situaciones reales.
 • Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, me-
diante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las Tecnologías de la Información y la Comunicación.
 • Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su com-
portamiento.
1
COMPETENCIAS 
 • Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades 
físicas de los objetos que lo rodean.
 • Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su perti-
nencia.
 • Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
Perfil de Egreso: El Perfil de Egreso de la Educación Media Superior, expresado en ámbitos individuales, define el tipo 
de alumno que se busca formar.
A través del logro de los aprendizajes esperados de la asignatura Probabilidad y estadística, gradualmente se im-
pulsará el desarrollo de los siguientes ámbitos:
Pensamiento crítico y solución de problemas: Utiliza el pensamiento lógico y matemático, así como los métodos de 
las ciencias para analizar y cuestionar críticamente fenómenos diversos. Desarrolla argumentos, evalúa objetivos, resuel-
ve problemas, elabora y justifica conclusiones y desarrolla innovaciones. Asimismo, se adapta a entornos cambiantes. 
Pensamiento matemático: Construye e interpreta situaciones reales, hipotéticas o formales que requieren la utilización 
del pensamiento matemático. Formula y resuelve problemas, aplicando diferentes enfoques. Argumenta la solución ob-
tenida de un problema con métodos numéricos, gráficos o analíticos. Adicionalmente, de forma transversal se favorecerá 
el desarrollo gradual de los siguientes ámbitos:
 Lenguaje y comunicación: Se expresa con claridad en forma oral y escrita tanto en español como en lengua indí-
gena en caso de hablarla. Identifica las ideas clave en un texto o discurso oral e infiere conclusiones a partir de ellas. 
Se comunica en inglés con fluidez y naturalidad. 
 Habilidades digitales: Utiliza adecuadamente las Tecnologías de la Información y la Comunicación para investi-
gar, resolver problemas, producir materiales y expresar ideas. Aprovecha estas tecnologías para desarrollar ideas e 
innovaciones. Exploración y comprensión del mundo natural y social: obtiene, registra y sistematiza información, 
consultando fuentes relevantes, y realiza los análisis e investigaciones pertinentes. Comprende la interrelación de 
la ciencia, la tecnología, la sociedad y el medio ambiente en contextos históricos y sociales específicos. Identifica 
problemas, formula preguntas de carácter científico y plantea las hipótesis necesarias para responderlas. 
 Habilidades socioemocionales y proyecto de vida: Es autoconsciente y determinado, cultiva relaciones interper-
sonales sanas, maneja sus emociones, tiene capacidad de afrontar la adversidad y actuar con efectividad y reconoce 
la necesidad de solicitar apoyo. Fija metas y busca aprovechar al máximo sus opciones y recursos. Toma decisiones 
que le generan bienestar presente, oportunidades y sabe lidiar con riesgos futuros.
 Colaboración y trabajo en equipo: Trabaja en equipo de manera constructiva, participativa y responsable, propone 
alternativas para actuar y solucionar problemas. Asume una actitud constructiva.
P
A
R
T
E
1
EJE
Del manejo de 
la informacion 
al pensamiento 
estocástico
Componentes
 Riesgo, inferencia y aleatoriedad: Elementos de la Es-
tadística y la Probabilidad.
Contenido central
 Conceptos básicos de Estadística y Probabilidad. Recolec-
ción de datos y su clasificación en clases. Uso del conteo y 
la probabilidad para eventos.
Contenidos específicos
 1.1 Nociones y conceptos básicos de estadística y probabilidad.
 1.2 Enfoques de probabilidad. ¿Qué significa cada enfoque de 
probabilidad?, ¿qué significan las medidas de tendencia 
central?, ¿para qué obtener estos valores?
 1.3 Técnicas de conteo y agrupación en clases para la determi-
nación de probabilidades.
Aprendizajes esperados
 Usa un lenguaje propio para situaciones que necesiten del 
estudio con elementos de estadística y probabilidad.
 Usa técnicas de conteo o agrupación en la determinación 
de probabilidades.
 Organiza la información como parte de la estadística para 
el estudio de la probabilidad.
 Estudia el complemento que ofrece la estadística para la 
probabilidad.
Productos esperados
 Dada una colección de datos, calcular su promedio.
APERTURA
Evaluación diagnóstica
Instrucciones: Resuelve cada uno de los siguientes problemas, elige la letra que hace verdadera la oración y anótala 
en el paréntesis.
 1. En la compra de un refrigerador de $13 500, se da una oferta de 
30% de descuento. ¿Cuánto tendrá que pagar la persona que lo 
compra? ( )
 ) $13 500 ) $4 050 ) $9 450 ) $10 000
 2. Una persona compra una televisión con un costo de $7 500 
en la cual le ofrecen un descuento de 20% y sobre éste 40%. 
¿Cuánto dinero le descontarán del precio del televisor? ( )
 ) $3 000 ) $1 200 ) $3 900 ) $4 500
Primera parte
4
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
1
 3. En una circunferencia de 6 cm de radio se desea trazar un ángulo que cu bra 30% del área del círculo. 
¿De cuántos grados debe ser el ángulo? ( )
 ) 60° ) 108° ) 120° ) 50°
 4. Un maestro viaja a su centro de trabajo en Chiapas y recorre 50 km, de los cuales recorre en autobús 
1
2
 del camino, 
1
3
 en ferrocarril, en burro 
1
10
 y el resto a pie. ¿Cuántos kilómetros recorrió a pie? ( )
 ) 3.333 km ) 70 km ) 140 km ) 100 km
 5. Un equipo de futbol ha ganado 8 partidos de un total de 20 que ha jugado. ¿Qué porcentaje de partidos 
ha perdido? ( )
 ) 8% ) 60% ) 2.5% ) 4%
 6. La longitud de una varilla para construcción es de 12 m. ¿Cuántas varillas se comprarán para cubrir 
un techo de 3 3 m, formando una cuadrículade separación de 10 cm? ( )
 ) 15.5 varillas ) 6 varillas ) 7 varillas ) 3 varillas
 
 7. Si seis manzanas cuestan $10.50. ¿Cuál será el costo de 10 man-
zanas? ( )
 ) $17.50 ) $20.50 ) $13.50 ) $25.00
 8. Un banco cobra $3.50 por cada $500 que emite un cheque cer-
tificado, si por la emisión de un cheque cobra $66.50, ¿cuál es el 
valor del cheque? ( )
 ) $70.00 ) $66.50 ) $3.50 ) $9 500
 
 9. Escribe los dos números que siguen en las siguientes sucesiones 
3, 8, 13, 18, ___, ___. ( )
 ) 24, 28 ) 23, 28 ) 31, 81 ) 22, 28
 10. Un sastre tiene un paño de 16 m del cual cada día corta un octa-
vo de la tela. ¿Al cabo de cuántos días cortará el sastre el último 
pedazo de tela? ( )
 ) 10 días ) 6 días ) 4 días ) 8 días
5
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
Tema integrador
Secuencia didáctica
Un fabricante de ropa debe de confeccionar 100 000 playeras para jóvenes entre 16 y 22 años de edad. Para determinar las preferencias 
del mercado debe contratar una compañía que haga el estudio.
El estudio se forma por las siguientes etapas:
 
 a) Primera etapa: Consiste en documentar la información acerca de las mo-
das, cortes y colores, etc., en un máximo de tres hojas.
 b) Segunda etapa: Cada compañía debe de definir las estrategias para deter-
minar el color, talla, tela, el tipo de corte de la camisa y todo lo que considere 
para el proyecto. Para ello, sugerimos diseñar un cuestionario que le ayude 
en la obtención de la información y la metodología que usará. (Esta informa-
ción se utilizará en las unidades siguientes.)
 c) Tercera etapa: Realiza una presentación utilizando los medios electró- 
nicos para exponer sus conclusiones a las que llegue el equipo. En esta pri-
mera parte encontrarás actividades que te permitan desarrollar tu proyecto.
Apertura Desarrollo Cierre
• Formen equipos de cinco 
alumnos.
• Escriban en el cuaderno el análisis que 
hicieron sobre la situación didáctica.
• Lean el tema integrador.
• Realicen la secuencia 
didáctica que se plantea.
• ¿Cuáles son los requerimientos de informa-
ción que se desean para poder diseñar el 
cuestionario que se va a utilizar? La mues-
tra se aplica por lo menos a 40 personas 
por cada alumno, en total 200.
• ¿Todas las preguntas de tu cuestionario 
son cuantificables para poder procesarlas?
• ¿Qué tipo de playera es la que se 
fabricará?
• ¿Cuántas playeras se fabricarán de cada 
color?
• ¿Cuántas playeras de cada talla se 
fabricarán?
• ¿Hay algún material en especial a utilizar 
en la fabricación de las playeras?
• Analicen el problema. • Analicen la información obtenida y deter-
minen para qué sirve.
• Diseñen los instrumentos para agrupar la 
información que se requiere.
• Determinen los instrumentos de presenta-
ción gráfica.
• Realicen una presentación de la 
información.
• Realicen intercambio de información con 
sus compañeros de otros equipos para 
meditar las situaciones no consideradas, 
recuerden que se van a producir 100 000 
playeras.
• Elaboren con esta información un resumen 
y agréguenlo a su portafolio de evidencias.
6
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
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E
1
Rúbrica para evaluar la secuencia didáctica del tema integrador, primera y segunda etapas
Aspecto a 
evaluar
Excelente 
(4)
Bueno 
(3)
Satisfactorio 
(2)
Deficiente 
(1)
Análisis de 
la situación 
didáctica.
Realiza una investigación 
completa de la situación.
Realiza una investigación 
clara y convincente.
La investigación no es 
clara y sólo se presentan 
recortes de páginas web.
La investigación es 
deficiente y no aporta 
conocimientos claros.
Desarrollo 
del tema 
integrador.
La presentación del 
tema usa los medios 
electrónicos, su lenguaje 
es claro y preciso, tiene un 
orden en los contenidos, 
los argumentos que 
presenta están bien 
fundamentados y sus 
conclusiones son correctas.
La presentación del tema 
usa los medios electrónicos, 
su lenguaje no es muy claro 
y poco preciso, tiene un 
orden en los contenidos, los 
argumentos que presenta 
están bien fundamentados 
y sus conclusiones son 
correctas.
La presentación del 
tema usa los medios 
electrónicos, su lenguaje 
no es muy claro y poco 
preciso, no hay orden en los 
contenidos, los argumentos 
que presenta están bien 
fundamentados y sus 
conclusiones son correctas.
La presentación del tema 
usa los medios electrónicos, 
su lenguaje no es muy 
claro y poco preciso, no hay 
orden en los contenidos, los 
argumentos que presenta 
están bien fundamentados 
y sus conclusiones no son 
correctas.
Presentación 
de 
resultados.
Contesta más de 90% 
de las preguntas y realizó 
todas las actividades.
Contesta entre 70 y 89% 
de las preguntas y realizó 
todas las actividades.
Contesta entre 60 y 69% 
de las preguntas y realizó 
todas las actividades.
Contesta menos de 60% 
de las preguntas y realizó 
todas las actividades.
Rúbrica para evaluar la secuencia didáctica del tema integrador, tercera etapa
Actividad: Exposición
Instrumento: Rúbrica
Valor: 40
Aspecto a 
evaluar
Excelente 
(4)
Bueno 
(3)
Satisfactorio 
(2)
Presentación Destaca su organización y 
comprensión del proyecto. La 
exposición fue clara. El grupo 
siempre se interesó por el tema.
Valor: 15 puntos
Fue adecuada y con cierta 
organización. El grupo pudo entender 
la mayor parte de lo que se dijo. 
Valor: 8 puntos
Presentación mal preparada. 
Información desorganizada e 
incompleta. El grupo no prestó 
atención a la exposición.
Valor: 4 puntos
Cualidades 
de la 
expresión 
oral
Correcta dicción, volumen adecuado; 
estableció contacto visual con el 
grupo; empleó correctamente el 
lenguaje kinésico; y confianza. No 
incurre en el uso de muletillas. 
Valor: 15 puntos
Demostró poca confianza, ya que 
evitaba el contacto visual con el 
grupo. Empleó correctamente el 
lenguaje kinésico. Ocasionalmente 
se observó el uso de muletillas. El 
volumen fue adecuado.
Valor: 8 puntos
Demostró inseguridad, empleando 
muletillas; con un volumen bajo y 
no se observó control del lenguaje 
kinésico. 
 
Valor: 4 puntos
Tiempo Duró el tiempo asignado. 
Valor: 5 puntos
Duró, aproximadamente, el tiempo 
asignado.
Valor: 3 puntos
La presentación fue muy breve 
o muy extensa.
Valor: 1 punto
Material de 
apoyo
Presenta lenguaje icónico, que 
refuerza lo expresado verbalmente. El 
material contiene palabras acordes al 
nivel del receptor y ortografía. Coloca 
solamente los datos relevantes.
Valor: 5 puntos
Presenta lenguaje icónico, pero 
el material está recargado de 
información. Presenta errores 
ortográficos. Contiene palabras 
acordes al nivel del receptor.
Valor: 3 puntos
Presenta material con ausencia de 
lenguaje icónico. Errores ortográficos 
y descuida el nivel del receptor. 
 
Valor: 1 punto
7
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
Propósito del portafolio de evidencias Periodo
Integrar los productos esperados de la asignatura relacionando el proceso de aplicación de los 
principios y técnicas de la estadística a la vida cotidiana del estudiantado.
Asignatura Estadística Nombre del alumno
Criterios de reflexión sobre los productos esperados Comentarios del alumno
¿Cuáles fueron los motivos para seleccionar los productos 
esperados que se presentaron?
¿Qué aprendizajes esperados se confirman en este portafolios?
Monitoreo de productos
Comentarios del docente
# Título Fecha de elaboración 
1
2
3
4
5
6
7
8
Propósito
Que el estudiante analice fenómenos sociales o naturales, utilizando las herramientas básicas de la estadística y de la teoría de la proba-
bilidad para muestrear, procesar y comunicar información social y científica, para la toma de decisiones.
¿Qué aprenderás?
 • Usarás una gran cantidad de información con la que podrás realizar una tabla de frecuencias para evaluar el comportamiento de una 
muestra determinada y, por ende, el comportamiento deuna población con respecto a una variable.
¿Para qué te servirá?
Podrás manejar la información de un gran número de datos en forma individual o agrupada y representarla gráficamente.
8
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
1
“Maestro, 
tú que me diste lo más valioso, que 
es la letra para expresar mi 
pensamiento: te doy mi agradecimiento.”
Anónimo
“Pobre discípulo el que no deja atrás 
a su maestro.” 
Leonardo da Vinci 
(1452-1519)
“El verdadero discípulo es el que supera 
al maestro.” 
Aristóteles 
(384-322)
DESARROLLO
1.1 Nociones y conceptos básicos de estadística y probabilidad 
Por mucho tiempo, el hombre ha tratado de predecir el futuro; por ejemplo, para las 
profecías de Nostradamus hoy se realiza una gran cantidad de estudios, a fin de 
asociar sus predicciones a hechos que suceden, lo que muestra que el hombre 
trata cada día de saber lo que puede ocurrir en el futuro cercano y a largo plazo, ya 
que si esto no sucediera se podría crear una catástrofe mundial, la cual nos llevaría 
indiscutiblemente a la destrucción del mundo. 
Un ejemplo actual es determinar el porqué del calentamiento de la Tierra y sus 
consecuencias, el crecimiento de la población y sus requerimientos de alimentos, 
vestido, espacios y servicios. En la seguridad social se tiene que predecir con gran 
certeza el número de pensiones que se tendrán que pagar en el año o en un futu- 
ro cercano o lejano, y esto no puede considerarse una adivinanza o predicción sin 
fundamento científico, lo mismo sucede con el número de consultas médicas, ciru-
gías y medicamentos que se utilizarán en determinado tiempo. En una compañía de 
seguros, el número de personas que morirán durante el año por muerte natural o 
por accidente, y la cantidad de siniestros por incendio son datos importantes a considerar para evitar riesgos en los 
negocios, sus predicciones son tan exactas que les permite determinar la utilidad y el pago de dividendos que tendrán 
en el año. Las grandes compañías no pueden tomar deci-
siones basadas en un adivino que lee cartas o consulta su 
bola de cristal; por el contrario, requieren tomar decisiones 
con un alto grado de seguridad y de una base científica de 
alto nivel. 
Por otro lado, te habrás preguntado alguna vez para 
qué sirven las matemáticas, y es posible que aún no en-
cuentres la razón. Hoy que te toca estudiar una de las tantas 
ramas de esta ciencia: la estadística y la probabilidad, 
posiblemente te pre-
guntes lo mismo. En 
la actualidad lo que 
nació como un simple 
juego es una de las 
herramientas más poderosas en la toma de decisiones de muchas empresas, que 
con base en las experiencias pasadas pueden predecir lo que su futuro les depara 
y con ello establecer las políticas que se deben seguir.
Otras compañías utilizan la estadística para reportar su información o realizar 
los controles de calidad de sus productos, supervisar el cobro de los impuestos y 
establecer el buen o mal funcionamiento de una empresa. Al finalizar este libro des-
cubrirás el significado de la estadística y la probabilidad, recuerda que tú eres el actor 
principal en este libro, así que adelante caminante, que el camino se hace al andar.
9
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
Desarrollo histórico de la estadística 
Los inicios de la estadística datan del año 2238 a.C., en China, cuando el emperador 
Yao efectuó el primer censo general de su imperio. Los egipcios y los judíos también 
efectuaron recuentos de su población. Los romanos, con el objeto de cobrar los 
tributos, realizaron censos que les servían para saber la cantidad de recursos que 
tenían para la guerra, situación muy importante en esa época.
Un censo de los más famosos es el mandado a hacer por Octavio Augusto, 
primer emperador romano (63 a.C.-14 d.C.), para que se inscribiera todo el mundo, 
según frases del evangelio.
En España, los árabes se dedicaron al estudio de la estadística en los años 727 
d.C. a 746 d.C., se sabe que en 1139 d.C., se concedió a los muzárabes de Toledo 
permiso para la formación de un catastro para la reparación de las tierras, los censos 
efectuados se utilizaron en las provincias españolas para el recuento de la pobla-
ción, así como las tierras que le pertenecían para el cobro de los tributos.
En Inglaterra se iniciaron las publicaciones gráficas y se ordenaron en forma de índices los fenómenos sociales ya 
calculados en números, basándose en libros parroquiales introducidos en el curso del siglo xvi, en los que se llevaba un 
recuento de los nacimientos, matrimonios y defunciones; esto, en el siglo xvii influyó en la formación del seguro y los 
juegos de azar, lo que desarrolló el cálculo de probabilidades.
El comerciante de paños Juan Graunt fue considerado Benemérito de la estadística, pues en 1662 demostró la 
uniformidad de los matrimonios, nacimientos y defunciones basados en libros parroquiales.
La estadística recibió un nuevo impulso hasta los trabajos de Adolphe Quetelet (1796-1874), quien hizo la ciencia 
del cálculo de los casos y acontecimientos afines, a partir de la cual ellos dedujeron las regularidades y legalidades; 
entonces, la estadística moral empezó a considerarse.
También apareció la estadística comercial dedicada a comparar el movimiento de los países, el volumen de im-
portación y exportación, precios de productos agrícolas, principales manufacturas y todo aquello que formara parte de 
la balanza comercial; gracias a esto y a las estadísticas oficiales es posible la realización en la época moderna de los 
trabajos elaborados en la investigación estadística.
La primera organización de estadística oficial es la formada en Suecia en 1756, en donde una condición editaba 
los índices de población anual; además, se crearon departamentos con servicios completos de registro, ordenación y 
publicación de material estadístico en Francia en 1796 y 1800, Baviera en 1801, Italia en 1803, Prusia en 1805, Aus-
tralia en 1810, Bélgica en 1832, Grecia en 1834, Hannover y Holanda en 1848, Sajonia en 1849, Mecklemburgo en 
1851, Brunswick en 1853, Oldemburgo en 1855, Rumania en 1859, Suiza en 1860, Gran Ducado de Hesse en 1861 
y Serbia en 1862. En Estados Unidos no hay departamento fijo de estadística y en Inglaterra está a cargo de empleados 
de distintos negocios.
En 1902, en Alemania, se creó la estadística obrera, así como en Francia, Austria e Inglaterra, con el fin de recoger 
todos los hechos relativos a la situación de la clase trabajadora para servir a los fines de los mismos.
En 1885 se creó el Instituto Internacional de Estadística con la conmemoración de la de Londres, 
esta institución se destina a favorecer los progresos de la estadística tanto administrativa como científica, está integrada 
por miembros titulares y honorarios de las distintas naciones que se distinguen en el dominio de la estadística tanto 
administrativa como científica, este instituto se encarga de publicar un boletín trimestral y un anuario de estadística 
internacional.
El boletín trimestral contiene notas minuciosas sobre las decisiones del instituto e informa acerca de la estadística 
oficial de varios países; además, presenta trabajos sobre estadística internacional y un resumen de las publicaciones más 
importantes y recientes sobre estadística, así como también una bibliografía internacional de las últimas publicaciones 
en estadística.
El anuario ofrece comparaciones de estadística internacional elaborada por datos facilitados por diversos países y cele-
bra sesión o congresos cada dos años, siendo el primero en 1887 en Roma, 1889 en París, 1891 en Viena, 1893 en Chica-
go, 1895 en Berna, 1897 en San Petersburgo, 1899 en Christiania, 1901 en Budapest, 1903 en Berlín y 1905 en Londres.
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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
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Apertura de la actividad 
Deduce y aprende
La estatura
Propósito: Desarrolla tus habilidades para organizar una serie de datos.
Conocimientos previos: Básicos de aritmética.
Material: Libro
Desarrollode la actividad
 1. Formen equipos de tres alumnos.
 2. Cada alumno pregunta la estatura a 20 personas diferentes, pueden ser familiares, amigos o compañeros. Registren sus respues-
tas en la siguiente tabla y compartan los datos obtenidos con los demás integrantes del equipo para que todos tengan la misma 
información.
Tabla 1.1
 3. Ordenen los datos de la tabla anterior en forma creciente o decreciente y escríbanlos en la siguiente tabla.
Tabla 1.2 Datos
 a) ¿Qué diferencias encuentran en la recopilación de datos? 
 
 
 b) El número de datos es 
 c) El dato mayor es 
 d ) El dato menor es 
 e) El rango del dato mayor y del dato menor es . ¿Qué unidad de medi-
da creen que se debe utilizar en esta actividad? 
 
11
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
 f ) ¿Sería correcto utilizar kilómetros? . ¿Por qué? 
 
 4. Anoten en la siguiente tabla el número de veces que se repiten las estaturas.
Tabla 1.3 Frecuencias
Estatura Frecuencia Multiplica la estatura por la frecuencia
Suma
 5. Obtengan el promedio de las estaturas. Escriban su respuesta a continuación. 
 
 6. Otra forma de calcular el promedio es utilizando los datos de la tercera columna 
de la tabla 1.3, cuyos valores se obtienen multiplicando la estatura (dato de la 
primera columna) por la frecuencia (dato de la segunda columna) y el resultado 
se escribe en la tercera columna. Se suma lo obtenido en la tercera columna y se 
coloca en el último renglón, se divide entre la suma de la segunda columna, con 
ello se obtiene el promedio: . Comparen los resultados de los incisos 6 y 
5. ¿Cómo son? 
 7. Observen la tabla 1.3, columna de la frecuencia. ¿Cuál es el número mayor? 
¿A qué renglón corresponde en la estatura? 
 , este valor es la moda.
Cierre de la actividad
 8. Consideren sus respuestas anteriores y redacten una descripción o definición con sus propias palabras de los siguientes términos.
 a) Frecuencia. 
 b) Rango. 
 c) Promedio. 
 d ) Moda. 
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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
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1
Estadística
Desde el punto de vista etimológico, la palabra estadística proviene del latín , estado; del alemán , estado; 
y del latín , balanza. Definimos estadística como la ciencia de recolectar, describir e interpretar una cantidad de 
datos, los que se organizan y procesan para brindar información y tomar decisiones o inferir.
La estadística trabaja sobre una gran cantidad de datos, utiliza las bases de la matemática pura y las enlaza con el 
mundo real. Cuando existe un fenómeno social podemos representarlo con un modelo matemático, y por medio de 
éste hacer predicciones futuras del sistema, basado en hipótesis, mientras más datos se tengan, más precisa será la 
toma de decisiones.
Divisiones de la estadística
La estadística se divide en dos ramas: estadística descriptiva y estadística inferencial. La primera se dedica a la organiza-
ción y resumen de los datos, utilizando fórmulas, reglas y procedimientos para su presentación en forma tabular como 
gráfica; la segunda permite la emisión de juicios o conclusiones basados en los conocimientos que se tienen de la 
población o muestra.
 Estadística descriptiva
 División de la estadística 
 Estadística inferencial
Concepto de probabilidad
El concepto de probabilidad proviene del término latino que tiene como significado aquella posibilidad de 
que un hecho suceda. Este concepto se inicia con los juegos de azar, y esto dio auge a que muchos científicos se dedica-
ran a su estudio. Cardano publicó en 1520 ; más tarde, en el siglo xvii, Pierre Fermat y Blaise 
Pascal son los primeros en interactuar con el estudio de los problemas relacionados con los juegos de azar. Blaise Pascal 
al que se le considera como el fundador de la estadística, podemos citar al caballero que en 1657 publicó el primer libro 
de probabilidad. El auge de la probabilidad se alcanza en el siglo xviii debido principalmente a los juegos de azar, en 1713 
se publica el teorema de Bernoulli y la distribución binomial, en 1738 De Moivre desarrolla el teorema central de límite.
La probabilidad, junto con la estadística, nos permite la recolección de datos, organizarlos y procesarlos, utilizando 
tablas que nos ayudan a tomar de decisiones.
Dentro del manejo de datos hay datos que se repiten una serie de veces, los cuales reciben el nombre de fre-
cuencia, cuando esta frecuencia se divide entre el total de datos obtenemos la frecuencia relativa, conocida como 
probabilidad frecuencial.
Tipo de datos
Cuando realizamos una encuesta nos encontramos con una serie de datos que podemos clasificar como: cuantitativos 
o cualitativos. Los primeros se refieren a la cantidad, es decir, son números que representan un conteo de datos, ejemplo 
de ello es el número de años, el peso o la estatura de una persona. Los segundos se refieren a una cualidad, categoría 
o atributo de los datos, por ejemplo: el género de las personas, masculino o femenino.
Determina si los siguientes datos son cuantitativos o cualitativos.
 ) Precio de una computadora. 
 ) Marca de una computadora. 
 Ejercicio 1
13
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
 ) Tiempo de uso de la computadora. 
 ) Uso principal de la computadora. 
 ) Número de personas que usan la computadora. 
 ) Indicar si la computadora tiene conexión a Internet. 
 ) Edad de los usuarios de la computadora. 
 ) Estado civil de la persona. 
 ) Número de hermanos. 
 ) Estado civil de los padres: casados, divorciados, … 
Datos cuantitativos 
Este tipo de datos se dividen en discretos y continuos, los primeros se refie-
ren a cuando los datos pueden contarse; por ejemplo, edad, peso, número 
de huevos que pone una gallina, número de suscripciones a una revista, 
número de lectores de un periódico y el padrón electoral del país, entre 
otros. Los segundos se refieren a que los datos pueden tomar un número 
infinito de valores cubriendo un rango o intervalo; por ejemplo, el tiempo 
que tarda un avión en un viaje, el tiempo que se tarda en ordeñar una vaca, 
la duración en minutos de una llamada y la distancia de tu casa a la escuela.
 Ejercicio 2
Determina si los siguientes datos son continuos o discretos. Escribe en el paréntesis C si es continuo o una D si es 
discontinuo.
 ) Número de materias que llevas este 
semestre. ( )
 ) Tiempo de espera para ser atendido 
por el cajero. ( )
 ) El salario de una persona. ( )
 ) El número de horas que estudias. ( )
 ) Tiempo de estudio en tu casa. ( )
 ) El número de hijos de una persona. ( )
 ) El costo de un artículo. ( )
 ) El dinero que gastas en diversiones. ( )
 ) El tiempo que dura la clase. ( )
 ) El número de personas que pasan 
por una esquina. ( )
Actividad socioemocional
 1. ¿Consideras importante esta materia?
 
 2. ¿Sabes cuándo la aplicarás?
 
 3. ¿Crees que es una materia complicada?
 
 4. ¿Conoces los requisitos de aplicación de esta materia?
 
 
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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
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Datos cualitativos
Otra forma de clasificar estos datos es con el uso de dos niveles de medición: nominal y ordinal.
El nivel de medición nominal consiste en nombres etiquetados o categorías que pueden ordenarse; por ejemplo, 
el nivel de clase social: bajo, medio y alto. El nivel de medición ordinal es cuando los datos se pueden colocar en un 
orden, pero no es posible diferenciar entre los valores; por ejemplo, en una empresa: gerente, subgerente, empleado 
de oficina y empleado de aseo.
Determina si los siguientes datos cualitativos son nominales u ordinales.
 ) Los maestros de una escuela. 
 ) En una tabla de peso existen los niveles alto, normal y bajo. 
 Ejercicio 3
Recolección de datos
Las técnicas de recolección de datos y el diseño de los experimentos facilitan la obtención de los datos en forma rápida 
y económica, de ellas depende el éxito de una buena información,éstas deben ser lo más apegadas a la población en 
estudio. Las formas más comunes de la recolección de datos son:
 1. Entrevista por teléfono. Es una técnica habitual que se utiliza para recoger datos, su ventaja es que es rápido, barato 
y sencillo. Sus desventajas son que pueden hacer preguntas sencillas y las personas que contestan el teléfono no 
siempre desean ser entrevistadas, lo que causa una molestia. La ventaja es que se pueden cubrir grandes áreas sin 
desplazarse.
 2. De puerta en puerta. Contienen alto grado de respuesta, los cuestionarios deben ser cortos, se puede fijar el nivel 
socioeconómico de las personas, se cubren grandes áreas, permiten tener fácilmente un control del sector econó-
mico al que se dirige.
 3. Abordaje en la calle. Las áreas deben ser de gran movimiento y, por lo general, se utiliza para establecer la acep-
tación que se tiene en los productos, la entrevista debe ser breve, ya que por lo general la persona se dirige a un 
lugar donde se tiene una hora de entrada.
 4. Entrevista personal. La entrevista personal resulta costosa y emplea mucho tiempo realizarla, por lo general, son 
muestras pequeñas. Se debe tener en cuenta la buena selección de los entrevistadores, pues de ellos depende la 
respuesta.
 5. Utilizando el correo. Se usa con frecuencia para recopilar datos cuando se cuenta con un listado o cuando los 
entrevistados están dispersos en un área muy grande. En él se pueden incluir preguntas en las que los encuesta-
dos dispondrán de tiempo suficiente para releerlas y pensar la respuesta, pero si es extenso no lo contestarán. La 
devolución es el mayor problema que plantea el cuestionario por correo.
 6. Entrevista en centros comerciales. Esta actividad se realiza cuando se desea ver el impacto de un producto y ob-
tener opiniones de compradores. Los entrevistadores se instalan en áreas de mucho movimiento e invitan a las 
personas elegidas a contestar algunas preguntas.
La recolección de datos es muy importante, y cómo se realice es un factor determinante en costos y en la calidad 
de la información. El diseño del cuestionario debe ser cuantificable y realizado por un experto para obtener la informa-
ción necesaria que facilite su procesamiento.
15
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
Estadística descriptiva
Como vimos en la sección Deduce y aprende, la estadística descriptiva es una rama de las matemáticas que se encarga 
de recolectar ciertas características de un conjunto de datos, por ejemplo, el peso y la estatura de los cuales procedemos 
a ordenar, realizar un análisis y una representación gráfica con el fin de poder estudiar las características de esa población 
o muestra.
Población y muestra
Una población es el conjunto de individuos o elementos de interés; por ejemplo: los habitantes de un país, los peces 
que viven en un lago, los alumnos de una escuela o los alumnos que estudian preparatoria; como observamos, la 
población es relativa al tipo de estudio que realizamos, es decir, que la población es cuando se considera a todos los 
elementos.
Muestra es una parte de la población y se utiliza cuando al estudiar la población tiene un alto costo o no se puede 
acceder a ella. Un problema que se presenta en la elección de la muestra es que ésta sea representativa y proporcione 
una visión útil de la naturaleza de la población. Si la muestra no es representativa es posible obtener conclusiones inco-
rrectas sobre la población. Ejemplo de ello es cuando nosotros deseamos 
saber el número de peces que se encuentran en un lago, si el muestreo 
lo realizamos en una sola parte del lago lo más seguro es que esta mues-
tra no sea representativa.
Los parámetros son medidas que se obtienen de la población, como 
ejemplos tenemos el promedio y la moda.
Los datos que se obtienen de una muestra forman una estadística, 
como son la media y la moda muestrales, la diferencia entre un pará-
metro y un estadístico depende de si se considera a la población o a la 
muestra.
Muestreo aleatorio simple
Para elegir una muestra podemos utilizar métodos muy sofisticados, pero 
una de las formas más sencillas es el muestreo aleatorio simple, nos 
referimos a que cada elemento de la población tenga la misma oportu-
nidad de ser seleccionado. Este tipo de muestreo nos permite tener una 
muestra con rapidez y con cierta confianza. Se puede utilizar una tabla de 
números aleatorios, o si se desea se puede generar con una computado-
ra, o utilizar una urna, procediendo de la siguiente manera:
Se numera la población en forma consecutiva, dependiendo del 
número de elementos, se selecciona una tabla de números aleatorios; 
por ejemplo, para una población de 450 elementos la tabla será de tres cifras, para una de 70 elementos la tabla será 
de dos cifras. Cuando utilizamos una tabla de números aleatorios elegimos de ésta un lugar para iniciar el conteo y se 
excluyen aquellos que se repiten. Otra forma es utilizar algún tipo de programa que permita generar los números alea-
torios, por ejemplo, Excel.
De la siguiente lista de alumnos elegimos a siete:
 ) Utilizando un generador de números aleatorios.
 ) Utilizando una urna con papeles numerados del 1 al 30.
 Ejemplo
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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
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Lista de alumnos:
 1. Pérez García Juan
 2. Toledo Álvarez Isaac
 3. Uribe Rodríguez Luis
 4. Pérez Rodríguez Alberto
 5. Jiménez Lira Israel
 6. Juárez Chavarría Iván
 7. Alcántara Talavera Rodrigo
 8. García Pedro Omar
 9. Rodríguez Anaya Enrique
 10. González Juárez Efraín
 11. Perea Carbajal Luis
 12. Mejía Flores Andrea
 13. Sánchez Pérez Liliana
 14. Herrera Brito Yolanda
 15. Alejo Peralta Carlos
 16. Flores Rodríguez Pedro
 17. Ayala Martínez Sofía
 18. Rodríguez Hernández Juan
 19. Salgado González Gustavo
 20. Guardado Gutiérrez Gabriel
 21. Chávez Bravo Omar
 22. Espinosa Andrade Mauricio
 23. Pérez Lara Manuel
 24. Zapata Rodríguez Emiliano
 25. Torres Anaya Luz María
 26. Anaya Cervantes Federico
 27. Hernández López Disney
 28. Hernández Gutiérrez Norma
 29. Ramírez Martínez Luis
 30. Olan González Juan
Utilicemos un programa para generar números aleatorios, en este caso son siete, pueden pedir a la máquina más 
números si lo desean. A continuación se presenta cómo se genera un número aleatorio menor que 30 utilizando 
Excel:
En la hoja de Excel se debe teclear =aleatorio.entre(Inferior, supe-
rior) y enter para la aceptación, con lo que se genera un número 
aleatorio entre los valores inferior y superior definidos por el usuario, 
basta copiar la fórmula para cada uno de los siete lugares y listo.
Con la calculadora
En la calculadora Casio fx-991ES pueden generar números aleato-
rios entre cero y uno utilizando la tecla Shift Ran# =. 
Corta 30 pedazos de papel de igual forma y tamaño, colócalos en una caja y saca siete de ellos, estas muestras son 
ejemplo de muestreo aleatorio simple y el seleccionador no tiene culpa de los errores que ocurran con dicha muestra.
Existen otras técnicas de muestreo, como el aleatorio estratificado, sistemático, por conglomerados (muestreo pro-
babilístico) y no probabilístico, como son: las muestras subjetivas, por cuotas y las muestras por grupos naturales, las 
cuales no son objeto de estudio en este libro.
17
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
Realiza lo que se pide. 
 1. Una encuesta sobre los periódicos que se leen en tu ciudad 
o estado. Para ello, cada alumno debe encuestar a 20 per-
sonas y preguntarles: ¿qué periódico o periódicos leyó hoy? 
Haz una tabla de frecuencias y obtén el promedio, moda y 
rango.
 2. Realiza un muestreo aleatorio simple para escoger 5, 10 y 15 
alumnos de la lista de alumnos de tu salón.
 Ejercicio 4
1.2 Enfoques de probabilidad. ¿Qué significa cada enfoque 
de probabilidad?, ¿qué significan las medidas de tendencia 
central?, ¿para qué obtener estos valores?
Las técnicas de conteo nos posibilitan abordar situacionesdonde se requiere saber el número de permutaciones o com-
binaciones que hay en un evento dado. Este tema se trata en forma algebraica y gráfica, para ello se utiliza el diagrama 
de árbol y se hacen necesarias las operaciones factoriales.
Espacio muestral
Definimos el espacio muestral de un experimento aleatorio como el conjunto de posibles resultados que se pueden 
presentar al realizar dicho experimento. La notación usual que se utiliza para representar el espacio muestral es S o Ω.
Si en un saco se tienen tres canicas: azul, verde y roja, ¿cuáles son los posibles resultados al sacar dos canicas sin 
reemplazo?
Nota: Sin reemplazo quiere decir que una vez que se saca una de las canicas no se regresa al saco, con reemplazo 
la canica sí se regresa al saco y se toma otra.
Solución
Formas en que se pueden sacar las dos canicas:
 Primera canica Segunda canica Formas
 Verde A V
 Azul
 Roja A R
 Azul V A
 Verde
 Roja V R
 Azul R A
 Roja
 Verde R V
 Ejemplo
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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
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El espacio muestral se forma de los seis resultados.
 {AV, AR, VA, VR, RA, RV}
Si en un saco se tienen tres canicas: azul, verde y roja, ¿cuáles son los posibles resultados, al sacar dos canicas con 
reemplazo?
 Ejercicio 5
Consideremos un dado de cuatro caras, ¿cuál es el espacio muestral que se obtiene al lanzarlo?
Solución
El espacio muestral son los resultados que se pueden obtener cuando se lanza el dado, y se observa la cara que 
queda hacia abajo, por lo que los resultados que se pueden obtener son: 1, 2, 3, 4.
El espacio muestral es Ω {1, 2, 3, 4}.
 Ejemplo
Resuelve el siguiente problema.
Considera dos dados de seis caras, uno azul y otro rojo. ¿Cuál es el espacio muestral que se obtiene al lanzarlos?
 Ejercicio 6
Consideremos dos dados de cuatro caras, uno azul y otro rojo. ¿Cuál es el espacio muestral que se obtiene al lanzarlos?
Solución
Cada cara del dado está numerada del 1 al 4, el espacio muestral se considera como el conjunto de parejas ( , ), 
donde es el resultado del dado rojo y el resultado del dado azul.
Resultados dado rojo
1 2 3 4
R
es
ul
ta
do
s 
da
do
 a
zu
l
1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4)
2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4)
3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4)
4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4)
 Ejemplo
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 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
Determina el espacio muestral en los siguientes ejercicios.
 1. Tira un dado. Determina el espacio muestral y el subconjunto de resultados posibles para cada evento.
 Ejercicio 7
Lancemos tres monedas y observemos el número de soles que caen. Determinemos el espacio muestral.
Solución
Cuando se lanzan las monedas, el número de soles que pueden caer es 0, 1, 2 o 3 soles; éste es el espacio muestral.
Apertura de la actividad
Deduce y aprende
Espacio muestral
Propósito: Desarrollar sus habilidades en la obtención de espacios muestrales.
Conocimientos previos: ¿Qué es una permutación? ¿Qué es una combinación?
Materiales:
 • Tres monedas de diferente valor • Tres dados de diferente color • Tres dados del mismo color
Desarrollo de la actividad
 1. Reúnanse en parejas y contesten las siguientes preguntas. Recuerden que pueden repetir el experimento las 
veces que deseen.
 2. Realicen el siguiente experimento: Lancen una moneda, ¿qué resultados pueden obtener? 
Cierre de la actividad
 3. El espacio muestral al lanzar una moneda es: 
 4. Lancen un dado. ¿Qué resultados pueden obtener? 
 5. El espacio muestral de lanzar un dado es: 
 6. Tomen dos monedas y láncenlas (como si echaran volados). Determinen el espacio muestral que se puede 
obtener. 
 7. Tomen dos dados y láncenlos. Determinen el espacio muestral. 
 8. Determinen el espacio muestral que se obtiene al lanzar un dado y una moneda. 
 9. Determinen el espacio muestral que se obtiene al lanzar dos dados y observen la suma de las caras superiores. 
 
 
 10. Determinen el espacio muestral que se obtiene al lanzar dos dados y observen la diferencia de las caras supe-
riores, la mayor menos la menor. 
 11. Determinen el espacio muestral al lanzar una moneda cinco veces. 
 12. Determinen el espacio muestral al lanzar tres monedas. 
 Ejemplo
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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
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R
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E
1
 ) Obtén un par.
 ) Obtén un impar.
 ) Obtén un número primo.
 2. Lanza cuatro monedas y cuenta el número de soles que se pueden obtener en los lanzamientos.
 3. El número de personas atendidas en una de las cajas de supermercado.
 4. El número de llamadas por teléfono que se reciben en una casa. 
 5. Lanza cinco monedas al aire y observa el número de águilas.
 6. Cuando se prueba un foco, ¿cuáles son los posibles resultados que 
se pueden obtener?
 7. Una caja con 50 focos tiene 10% de focos defectuosos. Los focos 
se prueban uno a uno hasta que se encuentran los que están en mal 
estado. ¿Cuáles son los posibles resultados que se pueden obtener?
 8. Lanza un dado 10 veces y registra el número de veces en el cual el 
dado es mayor que cuatro.
 9. Lanza dos monedas y un dado, ¿cuál es el espacio muestral que se 
puede obtener?
 10. En un saco se tienen tres canicas de diferente color: azul, negra y roja. Saca una canica, observa su color 
y regrésala al saco; saca una segunda canica y regrésala al saco. ¿Cuál es el espacio muestral? Si la canica no se 
regresa al saco, ¿cuál es el espacio muestral?
Introducción a la probabilidad
El concepto de probabilidad tiene varias definiciones:
 1. Empírica.
 2. Clásica o de Laplace.
 3. Frecuencia relativa o de von Misses.
 4. Axiomática o de Kolmogorov.
Probabilidad empírica
En la vida diaria, escuchamos frases como:
 1. Es muy probable que llueva mañana. 
 2. Con 99% de probabilidad aprobó el examen de estadística.
 3. La probabilidad de que tenga un accidente es de 1%. 
 4. La probabilidad de que muera de influenza es de 2%.
 5. Probablemente mañana mi tía venga a cenar.
 6. Posiblemente me operen.
21
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
La escuela empírica expone que la probabilidad es una medida de nuestro grado de incertidumbre respecto a la 
verdad, de una afirmación o de la ocurrencia de un hecho.
Definición clásica de probabilidad o de Laplace
La definición clásica de probabilidad considera que la probabilidad de un evento es igual al cociente del número de 
casos favorables al evento, entre el número total de casos posible:
( ) =
Donde:
A es un evento de puntos favorables y queremos asignar una probabilidad de que suceda sobre un espacio muestral 
de puntos, tal que todos los eventos elementales tengan la misma probabilidad. Esta corriente considera que todos 
los eventos tienen la misma probabilidad de ocurrir, ejemplo de ello es que al tirar un dado obtengamos un 6 que es 
igual a obtener un 5 o un 3, o cualquiera de los otros números, y es igual a un sexto.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 6
1
6
= = = = = = =
Probabilidad relativa
La interpretación relativa considera que un experimento es aleatorio si se puede realizar un número indefinido de ve-
ces. Al menos teóricamente, cada repetición nos da un resultado que forma uno de los puntos del espacio muestral. 
Definimos que el evento ha ocurrido en una repetición si el resultado obtenido es uno de los puntos que caracterizan 
(favorable) a .
Este tipo de probabilidad se basa en la frecuencia que se obtiene al realizar un evento, ejemplo de ello es lanzar 
un dado n veces y se anota el resultado de cada lanzamiento.
 es el número de repeticiones en las que se ha obtenido el resultado , y es el número total de repeticiones, 
así la probabilidad del evento es:
( ) lím=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟→ ∞
Si deseamos obtener la probabilidad relativa de 3, al lanzar un dado veces; entonces: representa el número 
de veces que se obtuvo tres y representa el número de lanzamientos, así la probabilidad relativa está dada por:
( 3) lím
1
6
=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
→ ∞
Apertura de la actividad
Deduce y aprende
Calculala probabilidad relativa
Propósito: Determinar la probabilidad relativa de la cara de un dado.
22
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
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1
Conocimientos previos:
 1. ¿Qué es un espacio muestral?
 2. ¿Qué es un evento?
 3. ¿Cuál es el espacio muestral de un dado?
 4. ¿Qué es la frecuencia simple?
Materiales:
 • Dado • Pirinola
Desarrollo de la actividad
 1. Formen equipos de tres alumnos.
 2. Realicen la tabla de frecuencias absolutas simples para el lanzamiento de un dado 200 veces.
 3. En la siguiente tabla escriban sus resultados para los primeros 100, 150 y 200 tiros del dado.
Tabla 1.4
Cara del dado Para 100 Para 150 Para 200
1
2
3
4
5
6
 4. ¿Cuál es el espacio muestral del experimento? 
 5. La probabilidad de un evento es igual al cociente de las frecuencias absolutas simples entre el total de las frecuen-
cias. Este cociente recibe el nombre de 
 Calculen las siguientes probabilidades:
 (1) (2) (3) 
 (4) (5) (6) 
 La primera de ellas se lee: “La probabilidad de obtener un uno al tirar un dado es igual a 
 6. ¿Todas las probabilidades son iguales? 
 7. Cuando (el número de tiradas crece) y la probabilidad tienden a estabilizarse hacia un número en particular, 
¿cuál es? 
 8. Comparen este número con el de sus compañeros. ¿Se parecen? 
 9. Anoten en la siguiente tabla los resultados que obtuvieron sus compañeros para el caso de 200 lanzamientos.
23
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
Tabla 1.5 Probabilidad
P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6)
Eq
ui
po
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
Suma
Promedio
 10. Sumen las probabilidades de cada columna y obtengan su promedio.
 11. ¿Todas las probabilidades son iguales? 
 12. Cuando (el número de tiradas), crece, ¿la probabilidad tiende a estabilizarse hacia un número en particular? 
¿Cuál? 
 
 13. ¿La probabilidad ( ) tiende a estabilizarse hacia un número en particular? ¿Cuál? 
¿A cuál? 
 14. Si tiran el dado y cae cinco, ¿la siguiente tirada se verá afectada por este resultado? ¿Por qué? 
 
 15. Realicen la tabla de frecuencias absolutas simples para el giro de una pirinola 100 veces. 
 16. En la siguiente tabla escriban los resultados para los primeros 75, 100 y 125 giros de la pirinola.
Tabla 1.6 Frecuencias absolutas simples
Cara de la pirinola Para 75 Para 100 Para 125
Todos ponen
Toma uno
Toma dos
Toma todo
Pon uno
Pon dos
 ¿Cuál es el espacio muestral del experimento? 
24
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
1
 17. La probabilidad de un evento es igual al cociente de las frecuencias absolutas simples entre el total de las frecuen-
cias. Calculen las siguientes probabilidades:
 (Todos ponen) (Toma uno) (Toma dos) 
 (Toma todo) (Pon uno) (Pon dos) 
 18. ¿Todas las probabilidades son iguales? 
 19. Cuando (número de giros crece), ¿la probabilidad tiende a estabilizarse hacia un número en particular? ¿Cuál? 
 
 20. Comparen este número con el de sus compañeros. ¿Se parecen? 
 21. Anoten en la siguiente tabla los resultados que obtuvieron sus compañeros para el caso de 125 giros.
Tabla 1.7 Probabilidad
P(Todos ponen) P(Toma uno) P(Toma dos) P(Toma todo) P(Pon uno) P(Pon dos)
Eq
ui
po
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
Suma
Promedio
 22. Sumen las probabilidades de cada columna y obtengan su promedio.
 23. ¿Todas las probabilidades son iguales? 
 24. ¿La probabilidad ( ) tiende a estabilizarse hacia un número en particular? ¿Cuál? 
 
Definición axiomática o de Kolmogorov
Este tipo de probabilidad se basa en axiomas que fundamentan de manera formal el estudio de la probabilidad y el 
desarrollo científico de esta disciplina, basados en los axiomas de Kolmogorov.
La probabilidad es una función en la cual se mide la posibilidad de que ocurra un evento. Para cualquier experi-
mento es necesario asignar a cada evento del espacio muestral S un número ( ) que mida la ocurrencia de .
Sea la función de probabilidad: ( )
Total de casos favorables
Total de casos equiprobables
=
25
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
El número ( ) debe cumplir los siguientes axiomas.
 1. P(S) 1; S es el evento seguro.
 2. Para cualquier evento A se tiene P(A) > 0.
 3. Para cualquier sucesión infinita de eventos disjuntos: A1, A2, A3, …, es decir, Ai Aj φ; si i j, se tiene:
( ) ( ) ( ) ( ) ...
1 1
1 2 3 4∑ ( )
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= = + + + +
=
∞
=
∞
El símbolo U expresa la unión de los conjuntos desde 1 hasta infinito y el símbolo nos indica la suma 
desde 1 hasta infinito de las probabilidades de los eventos .
El primero y segundo axiomas aseguran que la probabilidad de cualquier evento debe ser un número en el 
intervalo cerrado [0, 1]. El axioma uno nos asegura que si un evento siempre se da, éste es el evento seguro y tiene 
probabilidad uno, el dos nos asegura que la probabilidad del evento imposible es cero.
Lancemos un dado y observemos el número que aparece en la cara superior. Determinemos:
 1. El espacio muestral.
 2. La probabilidad de un número impar.
 3. La probabilidad de un número par.
Solución
Cuando se lanza un dado los resultados que se pueden obtener son 1, 2, 3, 4, 5 y 6, lo que forma el espacio muestral.
En las siguientes soluciones utilizamos la fórmula:
Sea la función de probabilidad: ( )
Total de casos favorables
Total de casos equiprobables
( =
 1. Sea el evento de que el dado caiga un número impar, entonces, los resultados favorables son tres y el total de 
resultados son 6, aplicando la fórmula de probabilidad:
 ( ) = =
3
6
1
2
 2. Sea el evento de que el dado caiga un número par, entonces, los resultados favorables son tres y el total de 
resultados son 6, aplicando la fórmula de probabilidad:
 ( ) = =
3
6
1
2
 Ejemplo
Lanza un dado y observa el número que aparece en la cara superior. Determina la probabilidad de un número primo.
 Ejercicio 8
26
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
1
Un saco contiene ocho canicas rojas, cuatro azules y 15 blancas. Se elige una canica con reemplazo. ¿Cuál es la 
probabilidad de que:
 1. la canica sea roja?
 2. la canica sea azul?
 3. la canica sea blanca?
 Ejercicio 9
En un saco se tienen cuatro canicas rojas, tres azules y cinco blancas. Si se saca una canica al azar con reemplazo 
(regresando la canica que se saca al saco), calculemos las siguientes probabilidades.
 1. Sacar una canica roja.
 2. Sacar una canica azul.
 3. Sacar una canica blanca.
 4. Sacar una canica negra.
 5. Sacar una canica.
Solución
Primero definimos los eventos:
 1. obtén una canica azul.
 2. obtén una canica roja.
 3. obtén una canica blanca.
 4. obtén una canica negra.
 5. obtén una canica.
Para determinar la probabilidad de estos eventos utilizamos la fórmula de probabilidad clásica.
Sea la función de probabilidad: ( ) =
Total de casos favorables
Total de casos ess quiprobables
Los casos favorables para el evento son 3, para son 4 y son 5, para son cero; el total de casos equiprobables 
son 12.
Las probabilidades de los eventos son:
 ) ( ) = =
3
12
1
4
 ) ( ) = =
0
12
0
 ) ( ) = =
4
12
1
3
 ) ( ) = =
12
12
1
 ) ( ) =
5
12
 Ejemplo
27
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
¿Qué significan las medidas de tendencia central? 
En ocasiones, se requieren características que re-
presenten a los datos que se están trabajando, 
como las gráficas, que muestran de manera rápida 
su comportamiento. Las características de dichos 
datos comúnmente son las medidas de tendencia 
central que nos permiten tener una idea de su 
comportamiento. Por ejemplo, cuando nos dicen 
que el promedio para ingresar a nivel medio supe-
rior es de 7.5, esto representa el comportamiento 
de calificaciones que deben tener esos alumnos; 
o bien, decir que el color de moda esta primavera 
es el verde determinará que una gran cantidad de 
gente utilice este color.
Las medidas de tendencia central más utili-zadas son media o promedio, mediana y moda.
Para qué obtener estos valores?
Estas medidas se utilizan para resumir en un solo 
valor a una serie de valores. Como su nombre lo in- 
dica, “medidas de tendencia central”, ubican al conjunto de datos en un centro. Éstos en ocasiones pueden representar 
al conjunto de datos y en otras puede suceder que la idea que se dé está muy alejada de la realidad. Un primer ejemplo 
es la edad que tienen los alumnos de tu grupo, si obtenemos el promedio de ellos posiblemente sea de 16 años, esto 
nos indicaría que si tomamos a un alumno de ese grupo su edad estaría muy cerca de los 16 años. En un segundo ejem-
plo, los salarios que perciben los trabajadores de una compañía cualquiera, si el promedio es $8 000, ¿crees que todos 
los trabajadores estarían alrededor de este salario?
1.3 Técnicas de conteo y agrupación en clases 
para la determinación de probabilidades
La probabilidad nace con los juegos de azar y a través del tiempo toma mayor relevancia en la ciencia para la determina-
ción de fenómenos que se pueden predecir con una cierta exactitud. Utilizaremos ejemplos que te permiten entender 
cómo utilizar esta herramienta en diversos problemas.
El factorial de un número entero positivo o cero se define como el producto de todos los números naturales 
menores e iguales a él y está dado por:
! ( – 1)( – 2)( – 3) … 5 4 × 3 × 2 × 1
Donde:
 ! Define la operación factorial.
 El factorial de cero se define como uno, es decir: 0! 1.
El factorial de cinco se escribe como 5!, se lee: “el factorial de cinco” y está dado por:
5! 5 × 4 × 3 × 2 × 1 120
 Ejemplo
28
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
1
Operaciones con factoriales
Se pueden realizar operaciones con el factorial de un número, para ello consideren los siguientes ejemplos.
Escribe el factorial de los siguientes números.
 ) 3! 
 ) 7! 
 ) 10! 
 ) 2! 
 ) 0! 
 Ejercicio 10
Realicemos la siguiente operación: 
5
4
!
!
=
Solución
Por la definición de factorial de un número, el numerador y el denominador de la fracción es:
5
4
5 4 3 2 1
4 3 2 1
5
!
!
=
× × ×3 2
×3 2
=
 Ejemplo
Realiza la siguiente operación:
8
7
!
!
=
 Ejercicio 11
Realicemos la siguiente operación:
7
3 4 4
!
!( )!−
=
Solución
7
3 4 4
7
3 0
7
3
7 6 5 4 3 2 1
3 2 1
!
!( )!
!
! !0
!
!−
= = =
6 56 5 × × ×3 2
×2
= 7 6 5 477 66
 Ejemplo
Realiza las siguientes operaciones.
 ) 
3
3 2
!
( )!−
= ) 
5
6 3
!
( )!−
=
 Ejercicio 12
29
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
 ) 
9
2 9
!
( )!−
=
 ) 
12
12 5
!
( )!−
=
 ) 
14
13 15 13
!
!( )!−
=
 ) 
9
4 7 4
!
!( )!−
=
 ) 
15
13 15 13
!
!( )!−
=
 ) 
7
4 2
!
( )!−
=
 ) 
8
8 4
!
( )!−
=
 j 
13
14 9
!
( )!−
=
 ) 
10
10 9
!
( )!−
=
 ) 
5
3 5 3
!
!( )!−
=
 ) 
51
35 35 33
!
!( )!−
=
 ) 
15
13 27 23
!
!( )!−
=
Análisis combinatorio
En muchas situaciones de la vida diaria y de las matemáticas, en particular en la probabilidad, nos encontramos con el pro-
blema de agrupar elementos de un cierto conjunto, siguiendo un determinado criterio o característica. La parte de las mate-
máticas que se ocupa de esta tarea se le conoce con el nombre de análisis combinatorio o simplemente combinatoria.
El análisis combinatorio nos permite conocer cuál es el número de eventos posibles al realizar un experimento, 
ejemplo de ello son los juegos de azar, en los que se tienen que contar los posibles resultados de números que se 
tienen al jugar la lotería, el melate, el trébol, etcétera.
Principio de suma y multiplicación 
El principio de multiplicación nos permite contar el número de mane-
ras en las que podemos realizar dos eventos, si el primero de ellos se 
puede realizar de cualesquiera maneras, y el segundo igualmente 
de maneras (la segunda inmediatamente después de la primera), 
entonces, ambas operaciones se pueden realizar de × maneras. 
En general, si tenemos eventos, donde el primero de ellos se puede 
realizar de cualesquiera 1 maneras, el segundo inmediatamente des-
pués del primero de 2 maneras y así sucesivamente hasta el enésimo 
evento, el cual se puede realizar de maneras, entonces las ope-
raciones se pueden realizar de 1 × 2 × … × maneras distintas.
Se tienen tres ciudades distintas , y , donde se puede ir de la ciudad a la de tres maneras distintas y de la 
ciudad a la de cuatro maneras distintas. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de la ciudad a la ?
Solución
 
 3 maneras 4 maneras
 Ejemplo
30
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
1
Para cada camino de a se pueden tomar cuatro caminos de a 
Y como tenemos tres caminos de a se puede viajar de la ciudad a la en un total de 3 × 4 12 maneras.
Se tienen tres ciudades , y , donde se puede ir de la ciudad a la de cuatro maneras distintas y de la ciudad 
 a la de tres maneras distintas. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de la ciudad a la ?
 Ejercicio 13
Determinemos lo siguiente: 
Se lanzan tres monedas al aire. ¿De cuántas maneras diferen-
tes pueden caer?
Solución
Cada moneda puede caer de dos formas distintas: águila o sol, 
entonces la operación de lanzar al aire tres monedas, da como 
resultado 2 × 2 × 2 23 8 resultados posibles, en las que 
pueden caer las monedas.
 Ejemplo
Determina lo siguiente:
Se lanzan cinco monedas al aire. ¿De cuántas maneras diferentes pueden caer?
 Ejercicio 14
Determina lo siguiente:
Se lanzan cinco tetraedros al aire. ¿De cuántas maneras diferentes pueden caer?
 Ejercicio 15
Se lanzan tres dados tetraedros (dados de cuatro caras), la cara que cae hacia abajo es la que se toma en cuenta. 
Calculemos de cuántas maneras diferentes pueden caer.
Solución
Cada tetraedro puede caer de cuatro formas distintas, entonces, la operación de lanzar al aire tres tetraedros da como 
resultado: 4 × 4 × 4 43 64 resultados posibles.
 Ejemplo
31
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
Resuelve los siguientes problemas. 
 1. Se lanzan 15 dados al aire. ¿De cuántas maneras diferentes pueden caer?
 2. Se lanzan 20 monedas al aire. ¿De cuántas maneras diferentes pueden caer?
 3. Se lanzan dos dados dodecaedros al aire. ¿De cuántas maneras diferentes pueden caer?
 4. Un arreglo floral se puede hacer con tres colores distintos de rosas: 
dos colores distintos de margaritas y dos tipos de colores de gladio-
las. ¿Cuántos arreglos florales distintos se pueden realizar?
 5. Una aerolínea tiene programados siete vuelos diarios en temporada 
vacacional de la Ciudad de México a Cancún y cinco vuelos de Can-
cún a Isla Mujeres. ¿Cuántas opciones diferentes de vuelo ofrece la 
aerolínea para viajar de la Ciudad de México a Isla Mujeres?
 6. Un restaurante ofrece seis tipos de sopa, ocho tipos de guisado y tres 
tipos de postre. ¿Cuántos tipos distintos de menú podemos tener?
 7. Un experimento consiste en lanzar tres monedas al aire y dos tetrae-
dros. ¿De cuántas maneras distintas pueden caer?
 8. Supón que una placa de automóvil consta de dos letras distintas 
seguidas de tres dígitos distintos. ¿Cuántas placas distintas pueden 
hacerse?
 Ejercicio 16
Dos técnicas de conteo que se consideran importantes en el análisis combinatorio son las permutaciones y las combi-
naciones. En las primeras, el orden es el que importa y en las combinaciones no importa el orden. Ésta es la diferencia 
que se debe tener en cuenta para determinar si es una combinación o una permutación.
Hallemos las permutaciones y combinaciones que se pueden obtener de los números 1, 2 y 3.
 Permutaciones Combinaciones
 123 123
 132
 213
 231
 312
 321
Observemos que cada permutación de los números 1, 2 y 3 es distinta, o sea, cada número obtenido al permutar 
los números 1, 2 y 3 es diferente. En cambio, en las combinaciones, el orden no importa y por ello sólo se tiene un 
resultado. Así los arreglos: 123, 213, 321, 231 y 312, todos son iguales cuando se hablade combinaciones y son di- 
ferentes si se trata de permutaciones, es lo que establecemos como la diferencia entre permutación y combinación.
 Ejemplo
32
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
1
Escribe todas las permutaciones y combinaciones de la palabra tres.
 Ejercicio 17
De todas las permutaciones y combinaciones de la palabra tres, que se forman con dos letras (aunque la palabra 
no tenga sentido).
 Ejercicio 18
Hallen todas las permutaciones y combinaciones de los números 1, 2 y 3 que se pueden formar con dos cifras.
 Solución
 Permutaciones Combinaciones
 12 12
 13 13
 21 23
 23
 31
 32
Como el orden en las combinaciones no importa, es lo mismo tener 12 que 21, 13 y 31, 23 y 32.
 Ejemplo
Determinemos lo siguiente:
¿Cuántas permutaciones de dos cifras se forman con los números 1, 2 y 3?
Solución
Tenemos tres diferentes elementos (1, 2 y 3) y debemos seleccionar dos entre ellos, entonces, 3, 2 y, por 
tanto, el número de permutaciones de dos objetos tomados de tres elementos es:
3 2
3 3 2 1
62 = =
×2
=
!
( )3 2 ! !1
 Ejemplo
Permutaciones
Una ordenación de un conjunto con objetos en un orden dado se llama permutación de los objetos tomados todos 
a la vez. Una permutación de elementos tomados de elementos distintos con , está determinada por:
( , )
!
( )!
= = =
−
P P 
33
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
Determina el número de permutaciones para los valores de y que se dan a continuación:
 ) 5, 3
 ) 3, 3
 ) 5, 1
 ) 7, 4
 ) 9, 5
 ) 10, 6
 ) 8, 3
 ) 7, 5
 ) 9, 4
 ) 11, 10
 Ejercicio 20
Determina lo siguiente:
¿Cuál es el número de permutaciones de dos letras de la palabra tres?
 Ejercicio 19
Determinemos el número de permutaciones, si 4 y 3.
Solución
4
3
4 3
4 4 3 2 1
1
24= =
×3 2
=
!
( )4 3 !
 Ejemplo
Determinemos lo siguiente:
¿Cuántas palabras de tres letras se pueden formar con las letras de la palabra AMOR?
Solución
Consideremos que el orden importa debido a que cada palabra tiene un significado diferente.
Por el principio de multiplicación podemos utilizar tres casillas, una por cada letra que ocupará ese lugar.
 
Letras
En la primera casilla puede ir cualquiera de las cuatro letras que forman la palabra AMOR, como consideramos que 
el orden importa; en la segunda casilla sólo pueden ir tres letras y así en la tercera casilla sólo pueden ir dos letras.
 4 3 2 
Letras
Realizamos el producto: 4 × 3 × 2 4! 24 posibles palabras.
Este problema visto como el número de permutaciones de cuatro objetos tomados de tres a la vez, en lenguaje co-
mún es hallar el número de palabras de tres letras diferentes que pueden formarse con las cuatro letras mencionadas.
 Ejemplo
34
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
1
Diagrama de árbol
Otra forma de solucionar este problema es utilizando un diagrama de árbol. Un diagrama de árbol es una represen-
tación gráfica que se utiliza para enumerar todos los posibles resultados de una serie de experimentos en donde cada 
uno puede ocurrir de un número finito de maneras. La construcción de un diagrama de árbol se ilustra a continuación 
para este ejemplo:
La construcción de un diagrama de árbol se ilustra a continuación para la letra A, observa cómo se forman las 
ramas y trata de construir las demás para las letras M, O y R. 
 1ª. letra 2ª. letra 3ª. letra 4. letra palabras que se forman
 O R AMOR
 M
 R O AMRO
 M R AOMR
 A O
 R M AORM
 M O ARMO
 R
 O M AROM
Para realizar el diagrama de árbol para la palabra de tres letras tomadas de la palabra AMOR se procede de la 
siguiente manera: la primera letra se puede elegir de la palabra AMOR de cualquiera de las letras, por ello se colocaron 
las letras de la palabra AMOR en la primera columna; la segunda letra, dado que en la primera opción tomamos la letra A 
(o la M; O; R), en esta rama sólo podemos elegir de las letras palabras restantes M, O, R, por ello en esa rama coloca-
mos esas letras en la segunda columna, en las otras letras se suprime la letra que se tomó. La tercera letra que se elige 
depende de las elecciones hechas anteriormente, en la primera rama se tomaron las letras A y M, así que se pueden 
tomar las letras O y R; en la segunda rama se han tomado las letras A y O, por lo que sólo se pueden elegir M y R; en 
la tercera rama se utilizaron las letras A y R, así que podemos utilizar las letras M y O, por lo que se continúa cada una 
de las ramas hasta que se hayan utilizado todas las letras dadas.
Tenemos permutaciones de tres letras tomadas de cuatro, entonces, tenemos que 4 y 3; por lo tanto, hay:
4 3
4 4
1
4 243 = = =
!
( )4 3 !
!
!
! palabras posibles
Utiliza las tres formas antes descritas y resuelve los siguientes problemas.
 ) ¿Cuántas palabras de tres letras se pueden formar con las letras de la palabra COPIA?
 ) ¿Cuántas palabras de dos letras se pueden formar con las letras de la palabra AMOR?
 Ejercicio 21
35
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
 1. Realiza en el cuaderno el diagrama de árbol para el problema anterior.
 2. En la bolsa de tu pantalón hay cinco monedas de varias cantidades (cincuenta centavos, un peso, dos pesos, 
cinco pesos y diez pesos). Si se extraen:
 ) Dos ) Tres ) Cuatro ) Cinco
 monedas. Halla el número de formas distintas que pueden salir las monedas.
3. Un saco contiene cinco canicas de colores: blanca, azul, roja, negra y amarilla. ¿De cuántas formas diferentes 
podemos sacar 1, 2, 4 o 5 canicas?
 Ejercicio 22
En un saco hay cinco canicas: blanca, azul, roja, negra y amarilla, si se extraen del saco tres de ellas sin repetición, es 
decir, no se devuelve al saco la canica extraída. ¿Cuántas posibles formas podemos tener?
Solución
Si aplicamos el principio de multiplicación, utilicemos tres casillas: una para cada canica que vamos a extraer.
 
Canicas
En la primera casilla, podemos colocar cinco canicas; en la segunda sólo quedan cuatro dentro del saco, por ello, 
colocamos un cuatro y ahora dentro del saco sólo tenemos tres, por ello, colocamos el tres en la tercera casilla.
 5 4 3 
Canicas
Realizamos el producto 5 × 4 × 3 60 formas distintas en que pueden aparecer las canicas.
Por otra parte, podemos ver este problema como el número de permutaciones de tres canicas tomadas de cinco, 
entonces, 5 y 3.
5 3
5 5 4 3 2 1
603 = =
× × ×3 2
=
!
( )5 3 ! !2
 formas posibles de que salgan las canicas
Una tercera forma es utilizando el diagrama de árbol. Veamos de cuántas formas podemos sacar la primera cani- 
ca, podemos colocar las canicas en un saco o usar una caja y dentro de ésta poner un papelito con el color de la cani ca. 
Ahora, trata de sacar una canica de la caja, ¿cuál crees que puede salir? En efecto, puede ser blanca, azul, roja, negra o 
amarilla, así la primera canica la podemos obtener de cinco formas distintas. La segunda canica la podemos sacar de 
cuatro formas diferentes debido a que ya salió una y la tercera la sacamos de tres formas diferentes, es decir, hay 60 
formas distintas en que podemos extraer tres canicas de un saco que contiene 5, por cualquier método que elijamos.
 Ejemplo
Determinemos lo siguiente:
En el salón de clases desean escoger al jefe de grupo, vocal y tesorero. Si en el salón se tienen 50 alumnos, ¿de 
cuántas formas se pueden elegir?
 Ejemplo
36
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
1
Solución
Tenemos cincuenta formas de elegir al jefe de grupo que es el total de los alumnos del salón, ahora. Si ya escogimos 
al jefe de grupo, sólo tenemos 49 alumnos dentro de los cuales podemos elegir al vocal y ya que se escogió al vocal, 
para elegir al tesorero sólo tendremos 48 alumnos.
 50 49 48 
 Jefe Vocal Tesorero
Es decir, tenemos 117 600 formas distintas de escoger al jefe de grupo, vocal y tesorero. En este problema el orden 
se considera, ya que no tienen las mismas