Matematicas Financieras - 4ta Ed - Licoyan Poruts G - Mariana Mendieta

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No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su
tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por
cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro
u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del
copyright.
DERECHOS RESERVADOS, Copyright @ 1997,
por Lincoyán Portus Govinden
DERECHOS RESERVADOS, Copyright @ 1997,
porMcGRAW-HILL INTERAMERICANA, S. A.
Avenida de las Américas,46-41.. Santafé de Bogotá D.C., Colombia
Editora: Emma Ariza Herrera
4723567890
ISBN: 958-600-596-8
9012345687
S: ,:rlprimieron 3000 ejemplares en el nres de febrero de 2005
,1'::3so por Quebecor World Bogotá S.A.
--r-:Sra en Colombia- Printed in Colombia
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ffrsfumm m ffm #s'd$xrfm r#ard#ev
Como cualquier actividad científica, las matemáticas financieras evolucionan, utilizan
nuevas formas y, a medida que se amplía el campo de sus aplicaciones, se profundizan
los conceptor, ui.ur,.., y resiriccion", du t.tt definiciones y teoremas' Por otra parte, 
las
d.iversas áisciplinas qué utilizan las matemáticas financieras imponen variaciones 
en el
iu"g""¡" y, dé u.rr"ráo con el principio de universalidad, es necesario que un texto 
de
estJnaiuialeza utilice el léxico actualizado y apropiado'
E4 esta cuarta edición se han introdutidb importantes variaciones en cuanto a las
definicitnes, formulación de teoremas y léxico utilizado en ediciones anteriores' 
La mo-
derna notación estándar (X/Y, i%,n) t" Ltiliru como herramienta necesaria desde el 
capí-
tulo tercero, no como alternativa. Respecto a la extensión, se ha ampliado y actualizado, 
el
contenido de los diferentes capítulosl por otra parte, se suprimieron los de probabilid-a-
des y tablas de mortalidad, anualidadls y pagós contingentes, y seguros; éstos se 
refe-
rían, en forma resumida, a conocimientos que en la actualidad se estudian en 
forma
exhaustiva en carreras profesionales específicas y en cursos de posgrado.
Los actuales estudiantes se forman en el mundo de los juegos electrónicos, calcu-
Iadoras, microcomputadores y computadores y, es natural-dentro de su realidad- 
que
Ia tendencia sea utilizarlo, ".t 
,rr, ámbitos de tiabajo. En este curso se estudian los fun-
damentos teóricos de las matemáticas financierat, lu lógicu de sus diferentes métodos
de trabajo y los recursos para calcular y obtener las soluciones para los problemas' 
En este
orden de id,eas, uno de l,os objetivos propue$tos es que el estudiante adquiera destreza
en la interpretación y mane¡o de las áefiniclones, teóremas y fórmulas; obtenga 
la sufi-
ciente pericia en el uso de sus instrumentos de apoyo para qu.e en sus actividades 
pro-
fesionáles pueda, con bases sólidas, afrontar con éxito situaciones nuevas/ programar
con fundamentos y seguridad sus trabajos, y crear nuevos sistemas y modelos matemá-
ticos que transformen y modernicen constantemente los temas de esta materia.
Én lo que se refieie a tablas de factores de interés compuesto y anualidades, no es
necesario incluirlas. Los estudiantes, mediante calculadora o microcomputado¡, pueden
obtener directamente estos factores o calcularlos con las fórmulas adecuadas y manejan-
do con destreza su equipo. La meta es que el estudiante adquiera una formación global lo
más completa posible y tenga dominio en el manejo de las fórmulas y medios de cálculo;
con este propósito en mente, se han gradualizado los ejemplos, ejercicios y problemas
del texto. No obstante lo anteriot y con un claro objetivo didáctico, se incluyen en forma
parcial las tablas de factores, para que los estudiantes conozcan su estructura, las apli-
qnen y desarrollen habilidad para su manejo. Siempre se utilizarán tablas en diferentes
ictividades, como un medio seguro y rápido para obtener resultados; a los futuros profe-
sionales les corresponderá crearlas y para ello deben asimilar Ios conocimientos necesa-
rios.
Agradecimientos muy especiales para los profesores que hicieron llegar sus obser-
vaciones y críticas constructivas, las cuales sirvieron para mejorar el contenido de esta
edición. Es importante que en el futuro se mantenga esta amable y estrecha relación.
El autor agradece su colaboración y aportes a Ia economista colombiana doctora
Inés Cabrera Bedoya, a Ia economista chilena doctora MónicaPazTorres Cariola y al inge-
niero Rolando Portus Valdivia.
Lincoyán Portus Goainden
Contenido
v
Prefacio a Ia cuarta ediciÓn
0 ALGUNos FUNDAMENTos uernuÁrtcos
0.lAproximaciones.0.2operacionescondecimales,utilizandopotenciasdel'0.
0.3 Tabras .on ru"ror"r-urrtáror. o.¿ 
pt"ó."iánaüdad. 0.5 Proporciones' 0'6 Tanto
por ciento. o.z^iár"*" det binomilS.;;;;;il"t. 
0.9'Propiedades de los
logaritmos 
"" ";;" 
ió. ó.10 progresión uiii*¿ti.u. 011 Progresión 
geométrica'
1 INTEnÉs stuprn
objetivo.l.l lntroducción'l.ZDefiniciones.1'3Cálculodelinterés.1.4Interpre-
tación del factor k en la fórmula 1.;;n;i".i¿" 
entre el interés comercial y el
interés r"uf. f .ip"i"r*ir,u.iO., del tiempo. 
1.7 Tablas para el cálculo del tiempo 
y
para las "q.,i";;;; 
áecimales. 1fiá;;;i"; mo¿iti.a¿as 
para el cáIculo del
interés ,i*pr"li.l'ü"nio. 1.10 Valoiactual 
o valor presente á" ''tttu deuda' L'11
Cálculo de intereses por medio ¿" 
iu¡fur. 1.12 Gráiicas o diasramas del 
interés
simple. r.rg g;acio,ies d",,uro,", "|"i"Ju.'t",. 
t'tlt) inoirinal 
anticipada y
vencida y ,urur?.iivás. r.rs 
prouiá*ur resueltos. l'.16 Problemas proPuestos'
1.17 Acti;idades de consulta'
2 COMISIONES, DESCUENTOS 
EN CADENA Y TASAS ESCALONADAS
objetivo.2'lDescuentobancario.2.2F6rmliaparaelcálculodeldescuentoban-
cario. Z.3Fórmula para el 
.,rufo. fiqíiaá 
"" "ii"t."ento 
bancarto' 2'4 Relación
"t6
46
MATEMATICAS FINANCIERAS
entre el descuento bancario y el descuento racional o matemático. 2.5 Pagos des-
pués de la fecha de vencimiento. 2.6 Comisiones .2.7 Yaiaciones del valor líqui-
do y de la tasa de interés en el descuento bancario. 2.8 Descuentos comerciales.
2.9 Yalor neto de una factura. 2.10 Descuentos por pronto pago. 2.1.1. Descuentos
en cadena o en serie. 2.12Tasas escalonadas. 2.13 Modificación de las tasas esca-
lonadas para evitar la inversión de las categorías de valores. 2.14 Problemas re-
sueltos. 2.15 Problemas propuestos.2.1.6 Actividades de consulta.
PAGOS PARCIALES Y VENTAS A CRÉDITO A CORTO PLAZO 69
Objetivo. 3.1 Introducci6n.3.2 Pago de los intereses de un pagaré en fracciones
del plazo de la deuda. 3.3 Descuento bancario con pagos anticipados de los inte-
reses en fracciones del plazo. 3.4 Pagos parciales. 3.5 Ventas a plazos. 3.6 Tasa de
interés en ventas a plazos. 3.7 Problemas resueltos. 3.8 Problemas propuestos.
3.9 Actividades de consulta.
INTERÉS COMPUESTO 93
Objetivo. 4.1 Introducciín.4.2 Monto o valor futuro a interés compuesto. 4.3
Comparación entre interés simple e intetés compuesto. 4.4Tasa nominal, tasa
efectiva y tasas equivalentes. 4.5 Cálculo del valor futuro para n mayor que 50.
4.6 Valor futuro compuesto con periodos de capitalizaciín fraccionados.4.T CáI-
culo de la tasa de interés compuesto. 4.8 Un caso paradójico.4.9 Cálculo del tiem-
po. 4.10 Crecimiento natural e interés compuesto.4.11 Problemas resueltos.4.12
Problemas propuestos. 4.13 Actividades de consulta.
VALOR ACTUAL O PRESENTE AL INTERÉS COUT'UESTO 123
Objetivo. 5.L lntroducción.5.2 Cálculo del valor actual. 5.3 Valor actual para va-
lores de n mayores que el máximo de la tabla.5.4 Valor actual al interés compues-
to con periodos de capitalización fraccionarios.5.5 Descuento a interés compuesto.
5.6 Valor presente de una deuda que devenga intereses.5.7 Ecuaciones de valo-
res equivalentes. 5.8 Problemas resueltos.5.9 Problemas propuestos. 5.10 Attivi-
dades de consulta.ANUALIDADES
Objetivo. 6.1 Introducci6n.6.2 Clasificación de las anualidades. 6.3 Anualidades
ciertas. 6.4 Anualidades eventuales o contingentes. 6.5 Valor de las anualidades.
6.6 Valor futuro y valor presente de las anualidades simples ciertas ordinarias
inmediatas. 6.7 Problemas resueltos (primer grupo). 6.8 Problemas propuestos.
6.9 Cálculo de la renta en una anualidad simple cierta ordinaria. 6.10 Cálculo del
tiempo o plazo de una anualidad. 6.11 Cálculo de la tasa de interés de una anua-
lidad simple cierta ordinaria.6.l2Problemas resueltos (segundo grupo).6.L3 Pro-
blemas propuestos. 6.L4 Actividades de consulta.
t41
CONTENIDO
ANUALIDADES ANTICIPADAS Y ANUALIDADES DIFERIDAS 773
Objetivos. 7.1 Anualidades anticipadas.T.ZSímbolos utilizados en las anualida-
des anticipa das.7.3Valor futuro y valor presente de las anualidades simples cier-
tas anticipadas. 7.4 Problemas resueltos. 7.5 Problemas propuestos. 7,6 Actividades
de consulta. 7.7 Anualidades diferidas.7.8 Valores de las anualidades diferidas
simples ciertas.7.9 Problemas resueltos. 7.10 Problemas ProPuestos' 7.11 Activi-
dades de consulta.
206RENTAS PERPETUAS .\
Objetivo. 8.1 Introducción. 8.2 Símbolos utilizados en las \tas perpetuas- 8.3
Val'ores de las rentas perpetuas simples.8.4 Capitalización. 8.\postos capitaliza-
dos. 8.6 Costos equivalentes. 8.7 Problemas resueltos. 8.8 Problemas propuestos'
8.9 Actividades de consulta.
ANUALIDADES CIERTAS. CASO GENERAL 224
Obietivo. 9.1 Introducci6n.9.2 Símbolos utilizados en las anualidades genera-
tes. q.g Conversión de una anualidad general ordinaria en una anualidad sim-
ple.9.4 Valor futuro y valor presente de las anualidades generales ciertas
órdinarias. 9.5 Cálcutode la renta de una anualidad generalcierta ordinaria.9.6
Problemas resueltos. 9.7 Problemas propuestos. 9.8 Cálculo del tiempo o plazo
de una anualidad general. 9.9 Cálculo de la tasa de interés de una anualidad
general. 9.10 Problemas propuestos. 9.11. Anualidades generales-anticipadas. 9.12
Éroblemas resueltos. 9.1á Problemas propuestos. 9.14 Anualidades variables. 9.15
Gradientes. 9.16 Gradiente aritmético. 9.17 Gradiente geométrico. 9.18 Anuali-
dades continuas. 9.L9 Anualidades a intereses continuos. 9.20 Anualidades a in-
terés continuo con Pagos en flujo continuo. 9.21 Problemas resueltos.9'22
Probleinas propuestos. 9.23 Actividades de consulta.
279
Objetivo. 10.1 Introducción. 10.2 Sistemas de amortización. 10.3 Cálculo de los
val-ores de las amortizaciones. 10.4 Cálculo del saldo insoluto. 1.0.5 ReservaF Para
atender rentas cuyos pagos son variables. 10.6 Ventas a plazos. 10.7 Derechos
sobre un bien pagado por cuotas. 10.8 Captación de ahorro y_ préstamos para
adquisición de bienes raíces. 10.9 Problemas resueltos. 10.10 Problemas propues-
tos. 10.11 Actividades de consulta'
11 FONDO DE AMORTIZACIÓN
Objetivo.11.l. Introdu cci6n.11..2Cálculo de los valores de un fondo de amortiza-
ciOn. f t.g Cálculo de Io acumulado en el fondo y del saldo insoluto en cualquier
fecha. 11.4 Cálculo del plazo de una deuda. 11.5 Fondos de amortización con
aportes variables. 11.6 Pioblemas resueltos. 11.7 Problemas proPuestos. 11.8 Ac-
tividades de consulta.
314
10
12
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
DEPRECIACIÓNY AGOTAMIENTO 
330
objetivo. 12.1 Introdu cc\6n.LZ.ZCálculo de los cargos 
periódicos por deprecia-
ción. 12.3 Depreciación por fondo de amo,rtiza ciAi 
n'+Método de la suma de
dígitos o enteros qrr" -J."rponde1.1 los años de duración 
del activo. L2.5 Méto-
do de depreciación p"t pttt'""ta¡e fijo o de variación 
geométrica' 12'6 Método de
depreciación con intere^ses sobré la inversión. 12.7 Recuperación 
de la inversión
enbienesagotables. l2.8Problemasresueltos. l2.gProblemasPropuestos. l2. l0
Act iv idades de consulta '
13 BONOS 
344
ob ¡e t i vo . l 3 . l l n t roducc ión ' l 3 .2De f i n i c i ones . l 3 .3Prec iode losbonosenuna
fecha de pago de interés o cupón. 13.4 Valor de 
un bono en l ibros. 13.5 Precio de
Iosbonoscompradosen t re fechas< lecupón .13 .6Co t i zac iónde losbonosen los
mercados de valores. 13.7 Rendimiento áe las inversiones 
en bonos' 13'8 EI inte-
r é s o r c l i n a r r o y e l i n t e r é s r e a l e n l a T I R d e u n b o n o . l 3 . g B o n o s s e r i a d o s . l 3 . l 0
Bonosdeanua l i dad . l 3 . l lBonoscon fechaopc iona l< le redenc ión ,73 .72Bonos
amort izadosporsor teo. l3 ' l3Bonosdevalorconstante. l3 . l4Problemasresuel-
tos. 13.15 Problemas propuestos' 13'16 Actividades 
de consulta'
14 DESVALORIZACIÓN MONETARTA 
37'] '
ob je t i vo . l 4 . l l n t roducc ión .14 .2 Índ i cesdep rec ios . l a .3 . }n5 idenc iade ladesva -
l o r i zac ión " , . 1 * i , - ' t " , " sessob rep rés tamos .1¿ .aRen tab i l i dadde losaho r rosen
s i t uac ióndec iesva lo r i zac iónmone ta r i a ' l 4 .5Prob lemas resue l t os .14 .6Prob le -
maSpropuestos. l4 .TCorrecciónmonetar iayunidade.s.devalorconstante. l4 . t }
Relac iónentre laamort izac ióndelospréstamosgnu{dl jesdevalorconstante
y los ing resosde losdeudo res " . . . ' ^us i t uac iónde in f l ac ión .14 .9Prob lemas re .
sue'ltos. 14.10 I 'rclblemas proPuestos' 14'11 actividades 
de consulta'
Respuestas a los problemas de número impar 
398
Tablas 
401
lndice 
431'
'',.'\
) t g
1:: -q. : :
.
o. l
ALGUNOS FUNDAMENTOS MATEMATICOS
APROXIMACIONES
para las operaciones conociclas con el nombre de "redondeo" se aplica 
la "regla del
computador" que dice:
Cualquier decimal que desee aproximarse hasta cierto número 
de cifras convencional-
mente fi jado:
(a) El ult lmo dígito fi jado clebe incrementarse en una unidad, si los 
que siguen exce-
den e l va lo r 500 . . .
(¿r) No debe cambiarse el último dígito, si los que siguen son menores 
que el valor 500"'
(c) Si los clígitos que siguen al últ i lo f i jado ion exactamente el 
valor 5 y el últ imo es
impaq, debe incrementarse en una unidad'
ffiTTEtr
Redondear a 4 decimales
l. 3,5674326
Respuesta: 3,56 l4
2. 7.6766501
Respuesta: 7,6167
3. 0,751450
Respuesta: 0,7514
4. 0,7937500
Respuesta: 0,1938
o.2
MATEMATICAS FINANCIERAS
OPERACIONES CON DECIMATE' UTIL¡ZANDO POTENCIA5 DE IO
De acuerdo con los conocimientos adquiridos en el estudio de las operaciones con po-tencias, se sabe que:
1
1 0
-l
100
= 1 0 r = 0 , 1
= 10 'z = 0,01
1
_ = 1(ri
1000
1
--- _ ln tr
1000 . . . 0 
' "
= 0001
= 0,000.. .01
Así:
0,43772 = 43.772.70 s
432,6725 = 4.326.725. t}-a
Productos de decimales, mediante potencias de 10:
0,326 . 6,37 = 326 .70-3 . 637 . 70_2
= 326 . 637 . l0-3+ (-2)
= 207.662.70-s
= 2,07662
División entre decimales, mediante potencias de 10:
30,3267 :- 2,67 : (303.262. 10r) + (267 .l0-2)
: (303.267 -+ 267). (10{- czi¡
: (303.267 - 267). 10-4 + 2
: 7.767,94. 10-2 : 17,6794
Cada persona al efectuar oPeraciones condecimales, por lo general, utiliza reglasa las cuales se ha acostumbrado áesde sus estudios de aritmética eiemental, y 
"r 
norilJque no desee cambiarlas. Esta forma de operar, mediante potencias de 10, és muy útil,incluso cuando se oPera con máquinas de calcular sin punto decimal. El lector debecomparar este sistema con el que acostumbra utilizar y ru.u, sus propias conclusiones.
TABIAS CON FACTORES ENTEROS
Es común encontrar tablas financieras que expresan los factores con números enteros yseñalan la potencia de 10 que afecta los valor-es. Asi por ejemplo:
0.3
ALGUNOS FUNDAMENTOS MATEMATICOS
10r Esto significa 342678. 10-s : 3,42678
83'24:23. 10-s : 8.32423
Para este cálculo conviene separar las diferentes potencias de 10 que intervengan y
operar con ellas por separado.
Por ejemplo:
Si el factor 342678 de la tabla anterior se debe multiplicar por 25.000, lo práctico es escribir:
2s 000(34267 8) ( 1 0') := 
1Z Í:Dztílfi II i 3 :l
: u566950 (103 s)
8s669s0 (10 )
- nruor,ru
0.4 PROPORCIONALIDAD
El cociente entre dos cantidades es la
X + y : q ( q
Expresado en otra forma: NY : q
rnzút o ¡sro¡torcionalidnd entre ellas
es la razón entre X y Y)
Al aumentar el valorX, q se incrementa en lamisma proporción, es deci[ "/,* : Zl;"x/t. : n4)
en matemáticas, esto se expresa así'. elaalor dc q es directnnrcntc ¡trLt¡tttrciottnl nl onlor de X.
Al aumentar el valor de Y, el valor de 4 disminuye en Ia misma proporción, así:
X = q . X = q
2 Y 2 ' ¡ t Y t t
Esto significa que el i-tnlL¡r tle q es irtzrcrsnnrcrrta pro¡torciotnl nl t¡nlor dc Y.
Cuando se amplía a varios factores, por ejemplo:
nbc
L t - ;' f i c
el valor de q es directamente proporcional a los valores a, b y c, y es inversamente
proporcional a los valores de dy e .
MATEMATICAS FINANCIERAS
Constante de proPorcionalidad
Si se t iene Ia igualdad:
t r=+k
0
el valor de q es directamente proporcional al valor de n, inversamente proporcional al
valor de b y depende del valoide la constante de proporcionalidad k. Conocido el valor
de 4, para ciertos valores de n y b, queda determinado el 
valor de k'
[ffililÉ Si 20 obreros construyen 50 metros de 
una carretera en 10 días, Zcuántos obre-
rc,.s-se requieren Para construir 1.200 metros en 60 días?
El númer6 de gbreros es directamente proporcional a los metros que deban construirse, e
inversamente proporcional al t iempo en que deban construirse' Si se desi¡¡na por O el número
de obreros, por M la cantidad de metros y por t el t iempo, se tiene:
^ M ,
( ) = - K
t
Cálculo de k: 2O= p a r a O = 2 0 , M - 5 0 , t = 1 0
entonces/
p a r a M : 1 . 2 0 0 , t : 6
5o ,-.
10 " '
, 200
^ - - - a
50
o=l14)a
\ f /
o= l , 12m)¿=so
\ 6 0 /
Respuesta: 80 obreros.
[ffififtIfl Si 8 obreros tejen 12 metros de tela de 0,5 m de 
ancho en cada semana, Zcuántos
-"t."r d" l" -isma tela de 0,7 m de ancho producen en una semana 35 obreros? Designando
por M los metros, por A el ancho y por n el número de obreros, se tiene:
u=L*
A
(el número de metros es proporcional a la cantidad de obreros, e inversamente proporcional al
ancho de la tela).
8
, , = 
* k ; 
p a r a M = 1 2 , n = 8 , A = 0 , 5
ALGUNOSFUNDAMENTOSMATEMÁTICOS T
Cálculo de k: o =tz(9r's) =o'zs
?5
entonces, M =; ; (0,7s)
M : 3 7 , 5
Respuesta: 37,5 m.
0.5 PROPORCIONES
Definición
Una proporción es la igualdad de dos razones.
A C A C
t t = t = t l Y A = r / e n t o n c e s ¡ 
= a
cuya lec tu ra es as í :¿ l es abcomoces ad ; puede esc r i b i r se t amb ién : a=b : c *d .
Lascan t i dadesdycseconocencomo losn r ¡ f cccdc t r t es , ybydcomo losco r r cecue t t t cs
de la proporción.
Desde hace mucho tiempo, se acostumbra l lamar extremtts al antecedente de la
primera razón y al consecuente de la segunda raz6n. Y ¡nedios al consecuente de Ia
primera razóny al antecedente de la segunda taz6n.
o = , E x t r e m o s : n y d , r , J 
' /
b d M e d i o s : b y c
Al multiplicar ambos miembros por bd, se tiene:
a d : b c
Teorema En toda proporción, el producto de los medios es igual al producto de los
extremos.
O.ó TANTO POR CIENTO
El tanto por ciento es una proporcionalidad que se establece con relación a cada 100
unidades. Se expresa con el símbolo %.
[ftffi!fl Si con una inversión de $5.000 se obtiene un rendimiento de $300, iqué rendi-
miento corresponde a cada $100 de inversión?
r
MATEMATICAS FINANCIERAS
Se establece la proporción:
5.000 _ 100
300 x
5.000¡ = 30.000 (producto de medios = producto de extremos)
¡ = 6 por cada 100, y se escribe x : 6%.
TEOREAAA DEL B¡NO'i 'IIO
El desarrollo de la potencia n de un binomio se expresa así:
( a+b ) ' = an + l t an l b * " ( l ^1 ) on -262 *n (n -7 ) (n -2 ) o , -3 ,
7 . 2 7 . 2 . 3
4n es el primer término, an-tb es el segundo término y así sucesivamente; el término de
orden r * 1 se expresa de la siguiente manera:
n ( n - 1 ) ( n - 2 ) . . . ( n - r + 7 )
an-rbr
Ia expresión rl : | .2 .3 . 4 ... n, se lee r factorial.
EEEE Encontrar el valor de (1 + 0,02)4, aproximado con 4 cifras decimales.
30.000
5.000
o.7
(7 + 0,02)a
0,0D4
0,02)4
= 1{ + ( -4) 1-s )e,02) +4M ¡-o ) (0 ,02)
= 1 - 0,08 + 0,004 - 0,00016 + 0,0000056 +...
=0.9238456
= 0.9238 (aprox. )
0.8 LOGAR|TI OS
Desde que John Napier y Henry Briggs, en761.6, publicaron las primeras tablas de
logaritmos, éstas han venido utilizándose para cálculos científicos. A pesar de que en
ios últimos años los computadores han sustituido el uso de las tablas dólogaritmos y su
expresión mecánica (la regla de cálculo),el conocimiento de las operacion"s .ón logaritmos
sigue siendo básico para quienes trabajan en el campo del cáiculo.
I
Las tablas de logari tmos permiten. efectuar mult ipl icaciones, div is iones,poten_ciaciones y radicacio.,"r, .o., gran rapidez.
En la actualidad, estamos en li era de las calcuradoras y, con su advenimiento, hacaído en desuso la regla d,e cálculo., después de un reinado í" ar", siglos. Los modelosde calculadoras son muy diversor, i".tu'ro lu, hay con rl-,.,.ro.,", 
"rpecíficas 
para aplica-ciones financieras; los diseños de las calculadoras evorucionan.orrar.,,ru*"nte, por estoresultaría inútil explicar la forma de utilizar alguna a" 
"rus- 
iáb 
"s 
p.".iro decir que setrata de una herramienta indispensable para quien pretenda trabajar en er área de lasmatemáticas financieras. El primer paso será ieleccionar.r.ru .ul.rrludora adecuada ytener pleno conocimiento to-b." s.u manejo y posibilidades. Al final de este capítulo, éllector encontrará algunof 
"l".-ptot 
ri*ft"i áe cómo utilizar una calculadora comúnque tiene memoria y la función y,.
Definición El exponenteyal que debe elevarse el número a paraobtener un número_t,se llama logaritmo de x en bas n.
ALGUNoS FUNDAMENToS ¡¡RTe¡¡ÁT¡cos
)/
Las dos expresiones:
y : l o g , x t 2 0 , a # I , a > 0
y : l o g " x y x : a y
son equivalentes. Las propiedades de la función
dades de la función exponencial.
Propiedades generales de los logaritmos
1. La función logarítmica es 0 para r : 1, o sea,
log,1 : 0
2. El logaritmo de una cantidad igual a la base es
logarítmica se infieren de las propie_
l ogoa:7
3. El logaritmo de un producto es igual a
sea,
la suma de los logaritmos de los factores. o
log"ABC = log,Á + log,B + log,C
4' El logaritmo del cociente de dos cantidades es igual al logaritmo del dividendo,menos el logaritmo del divisor, así:
l, es deciq,
r
0.9
MATEMATICAS FINANCI ERAS
A
l o g " ; = l o B , A - l o g " B
b
5. El logaritmo de la potencia de una cantidad es igual al exponente multiplicado por
el logaritmo de Ia cantidad, o sea,
logoA": rtlog,,A
Como casos particulares de esta propiedad, se tienen:
6. El logaritmo de una potencia de la base es igual al exponente, es deci¡,
logoa" = tl
S i en la propiedad 5, n = L, entonces se t iene:
logoAl = 1log"A
r
7. El logaritmo de un radical es igual al cociente entre el logaritmo de la cantidad
subradical y el índice, o sea,
tog,UÁ=! log, ,q
t,
PROPIEDADES DE tOS LOGARITMOS EN BASE I O
Las propiedades de los logaritmos en base 10 son un caso particular de las leyes genera-
les y conviene repetirlas para la base 10 en razón de sus aplicaciones. Así, log,nr se
escribe logX, sin indicar la base.
l. EI logaritmo de 10 es igual a la unidad, o sea,
log10 : 1
2. El logaritmo de una potencia de 10 tiene tantas unidades como ceros posea la po-
tencia, es decic
l o g 1 0 0 : 2 1 o 9 1 0 . 0 0 0 : 4
Mantisa es la parte decimal del logaritrno de un número. El valor de las mantisas se en-
cuentra en las tablas de logarihnos. En los cálculos se utilizan únicamente mantisas positivas.
Característica es la parte entera del logaritmo de un número.
ALGUNOS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
Reglas para calcular la característica
La característica del logaritmo de un número tiene tantas unidades como cifras ente-ras posea el número' menos 1' si el número sólo ofrece cifras decimales, la ca¡acterís-tica de su logaritmo tiene tantas ,r., iaua", negativas como ceros posea el número¿rntes de la pr imera c i f ra s igni f icat iva (contancló e l . : .op; ; ;en ra par te entera) .Nota: Al operar con calcul;ora con rü.ió" log, se .rbtie,-," el valor del logaritmo. Lattl#H:l 
en mantisa y característica sóro es necesaria si se trabaja con tablas cre
Los números que tienen las mismas cifras significativas tienen la misma mantisav difieren sólo en la característica.
log 234.000 = 5,3692
log 23.400 : 4,3692
log2,34 : 0,3692
log 0,234 : -t+0,3692 = 136g2
log 0,0234 : -2+0,3692 : 2,3692
Iog 0,00234 : -3+0,3692 : Z,ZO9Z
ff iEtrE¡ C¡lcular el valor cle X datlo por Ia expresirin
, , 4 ( l +0 , t ) , 1 ) r { )^ = 
(1+ oo4/ ! i
N, ¡ ' t¡scl¡¡¡1 ;rpl icarse I.111itmls directamente p.r la presencia de la cl i ferenci¿ que ap¿rece enel de norl inador; se calcula primero la potenciJ de 1,04:
. 
r : ( 1 - + 0 , 9 4 ; . r , : ( 1 , 0 4 ) 3 ( ,
,,,rll,ij = ijl;frÍ;r-,
30(0,0170333) = 0,510999
lo¡;l = (t,510999
t : 3,24339
Se remplaza en el valor cle X:
4(3,24339 )
32133s I
4(3,24339 )
2Z4ns
Y _
I
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
lo gX = log4 + 1o93,24339 - lo 92,24339
log4 = 0,602060
+ 1og3,24339 :0,570999
1,1 13059
-1o92,24339: 0,350905
o?l'154
logX - 0,762154
X = 5,783016
ffilEIq Calcular el valor de
x-/l,es?sd
krq{ = ] l.c0'9tt75t'' 7
lo¡;0,09t1750 - 0,e0456 - 2 =1,99456
multiplicado ptrr 3 = 2,9t136¿r - 6 = ¡,98368
div id ido porT =(3,98368 -7) :7 = t ,SOStO
X = 0,37077
@lEE Usar calculadora funciírn t puru X=r$,}gwsd
'Jfn B?se =o,osl7s6)
Si la calculadora no tiene mando de fracción, efectuar
3+7 =0,42857"143
X = 0,09L756tt 
tu571t3
X = 0,37077
[ftffi&E Calcular el valor de la expresión para l: 0,02
( 7 + i ) 1 0 - l
i
Paso
1
2
3
4
5
o
Entrada
1,02
v'
t:
1
Pantalla
7,02
7,02
1 0
1,21899M
1,2789944
1
(1+ i )10 -1
t
Respuesta: 70,94972
rffitilE
Para i : 0 ,03 , ha l la r e l vakr r de la expres i r in con ca lcu ladora : (1+ i ) ' !
ALGUNOS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
Ent rada Pantalla
0,2189944
0,2189944
0,02
10,91972
Ent rada
i
1 2
M
1,03
l t '
N,llt
Paso
n n ?
7
8
o
l 0
I 'aso
I
z
3
4
5
6
7
tt
9
Respuesta: 1,0024663
Pantal la
I
1
1 2
0,083333
0,0¡r3333
1 ,03
1,03
0,0u3333
1,0024663
O.I O PROGRESIóN ARITMÉTICA
Es una sucesión finita de números l lamados términos, en la que cualquier¡r cle ellos
difiere del anterior en una cantidad fi ja r/, denominada incremento o diferencia, bor
ejemplo: 6, 77, 76, 21, 26, 37.
Serie es una suma de infinitos términos ligados por determinada ley de form.¡ción. Una
sene aritmética es aquella en la que cada término difiere del anterio4 en una cantidad fija.
Si se designa por n el primer término, por d la diferencia constante y por rr el
número de términos, la progresión generada es así:
a , a + d , a + 2 d , a + 3 d , . . . , n + ( n - d ) d
El últ imo o r¡-ésimo término acostumbra a designarse por u,y su expresión en fun-
ción del primer término -el número de términos y la diferencia común- es dada por
u = a + ( r t - I ) d
MATEMATICAS FINANCIERAS
suma de los términos de una progresión aritmética sea la progresión:
n , a + d , n + 2 d , a * 3 d , . . . , a * ( n - 3 ) d , a * Q t - Z ) d , a + ( n _ 7 ) d
Su suma S es:
s = rz * (n + d) + (a + Ll) + (n + 3d) + ...+ Ín + (ru-3) dl + [n + Qr-2) dl + fn + Qt_ 7) d]
AI escribir la misma progresión, invertir el orden de los términos v sumar las dos
igualdades se demuestra que:
, _n l \ a+ (n -Dd ]
z
Esta fórmula da el valor de S en función del primer término, el número de térmi-
nos y la diferencia constante.
si en la expresión 2n + (n - 1)d : a + a + (rr - 1) r/, se remplaza n + Qr - 1)tl por u
(ú l t imo término) , se t iene:
. r r ( n + u ) ( n + u )
" = - 2 
= r i 
2
La suma de los términos de una progresión aritmética es igual a ,l veces la me-
dia aritmética de los términos primero y últ imo, sienclo r el número de términos.
Interpolación l ineal Si entre dos números se desea interpolar rr términos, de modo
que los dos números dados formen una progresión aritmética, se tendrá, al clesignar
con N, y N, los dos números dados:
Primer término : Nr
Último término : N,
Número de términos : tt * 2
N, : N, * (rr + 2 - 1)r, donde x es la diferencia constante; se clespeja r
t = N ' - N '
n + 7
@eIE Interpolar entre 3 y 5,4 términos, de modo que formen una progresrtin aritmética.
N r = 3 , N 2 = 9 , n = ! '
5 - 3
5
¿
t
,/-La progres ión es ' .3 , 32 / , ,3a / r ,4 43/s,5
ALGUNOS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
0.1 r - . - ^ ú ' - ' ! .PROGRESION GEOMETRICA
Es una sucesión finita de números llamados términos, en la que el cociente o razón entre
dos términos sucesivos es constante. Si se design a por a el primer término, por r la razón
entre un término y el que le antecede y por n el número de términos, la progresión gene_
rada es así:
11, a l , atz, er3, . . . , aT"-3, arn 2, gyn-t
El últ imo o r¡-ésimo término acostumbra a designarse por u:
l l : artt-l
En una progresión geométrica, Ia razón se cletermina mediante la reración:
, = f l r * '
fiL
(k e's un número natural que indica er orden de cualquier término).
Suma de los términos de una progresión geométrica
Sea la progresión a, nr, ar2, nri,..., arn 3, ar,-2, ar,t-r
Su suma es:
5 : a * nr * nrz + ar3 + . . . * ar , ' 3 + ar , , z ¡ orn- t a lmul t ip l icarpor
sr : nr + ar2 + nr3 + af+ . . . + orn_2 ¡ ar ,_t + ar ,
AI restar se obtiene:
^ a ( r ' - 7 )
" - r - 7
que expresa la suma de los términos de una progresión geométrica, en función del
primer término a,la razón r y el número de términbs.
Progresiones geométricas crecientes y decrecientes Si la raz6n r es positiva menor
que 1, la progresión generada es decreciente. Se llama así porque cada término se da en
valor absoluto, menor que el que la antecede. si r es ̂ uyo, que t, los términos de la
progresión crecen indefinidamente, generando una progresión c¡eciente.
MATEMATICAS FINANCIERAS
ffiIE
ffiIEE
1 1 A 4 4
3 9
^ _ 1 " >
1
n = 4
a = 3
n = 4
3 ,6 ,72 ,24
Serie geométrica La suma de los términos de una sucesión geométrica de términos
decrecientes tiende a un límite.
Fórmula del límite:
a( r ' -1 )
t r m ) P a r a 0 < r < 7
n + 6 f - 7
a ( 0 - l ) a
I t m J = - = -
n + ú r - 1 l - r
[ftffilEg Sea la serie
S = 5 0 + 2 5 + 5 + r * ] + . . .
J
l ím S = 
o = 50 "=62 ,5
n - @ 7 - r t _ i l
Interpolación parabólica El problema de i.,t"rpolur n términos entre dos números da-
dos de modo que con ellos se forme una progresión geométrica, se resuelve utilizando
la expresión dél frltlmo término. Sea interpolar entre N, Y N' n términos. Incluidos N,
y N., se tienen n + 2 términos.
Al aplicar u= ar'-l; para n a 2 términos, tt= ar"*\
Al sustituir N, = a, N" = 7, se tiene:
N, = Nrr"*'
r =
ALGUNOS FUNDAMENTOS MATEMATICOS
@¡EI[| Interpolar dos términos entre 3 y 24 de modo que formen una progresión
geométrica.
N r = 3 ; N 2 = 2 { ; n = )
t;, =rrlt =,
Respuesta: 3, 6,72,24
-s
l .r gi , . . " ,u:t . ' i ' ¡ i
INTERES SIMPLE
OBJETIVO
El objetivo de este capítulo es enseñar al estudiante los factores que entran en juego en
el cálculo del interés simple y suministrarle herramientas para que maneje estos facto-
res y los aplique en la solución de problemas frecuentes en el campo financiero. En este
capítulo aprenderá definiciones y manejará conceptos y factores básicos que uti l izará
en los demás capítulos del texto. Al terminar el capítulo podrá calcular intereses por
medio de tablas de factores, y mediante la aplicación de fórmulas estará en capacidad
de calcular valores futuros, valores presentes, tasas de interés y tiempos. Igualmente,
podrá manejar diagramas de tiempo-valor y de flujo de caja, y resolver ecuaciones de
valores equivalentes.
INTRODUCC¡óN
En todas las actividades financieras se acostumbra pagar un rédito por el uso del di-
nero prestado. La mayor parte de los ingresos de bancos y compañías inversionistas
se deriva de los intereses sobre préstamos o del retorno de uti l idades por inversiones.
En general, todas las operaciones comerciales están relacionadas con los réditos sobre
los capi ta les en juego.
Toda persona que obtiene un préstamo quedaobligada a pagar un rédito (renta
de capital) o interés, por el uso del dinero tomado en préstamo. En general, el dinero
Senera dinero, acumulando valores que varían con el tiempo; el análisis de las causas
t . l
INTERÉS SIMPLE
1 .2
de la acumulación del dinero con el paso del tiempo es el problema fundamental de las
finanzas.
DEFINICIONES
Thsa de interés y tasa de retorno
Interés es el alquiler o rédito que se conviene pagar por un dinero tomado en préstamo.
Las leyes de cada país rigen los contratos y.elaclones entre prestatarios y preitamistas.
Los ejemplos y problemas que figuran en este l ibro deben inalizarse, de-acuerdo con
las leyes y costumbres locales.
Por un dinero tomado en préstamo es necesario pagar un precio. Este precio se
expresa mediante una suma que se debe pagar por cadá trñidud de clinero pr"rtu,lu, 
"nuna unidad de tiempo convencionalmente estipulada.
La expresión del precio es la tasa de la opéración comercial. La uniclad cie tiempo
que acostumbra a uti l izarse es el año. La tasa se expresa en tanto por ciento y éste es el
tipo de mterés de la operación. Así, un préstamo convenido a una tasa o tipo cle interés
del r% significa que se acuerda que, por cada 100 unidades de dinero prestado. se
pagará como interés r unidades al f inal de cada año de duración del préstámo.
Cuando se trata de dineros invertidos en un negocio, el inversio.,irtu espera recu-
Perar una suma mayor que la invertida; de esta operación, surge el concepto de tasa cle
retorno. En nuestros desarrollos, nos referimos a la tasa de interós, q,r" p,r"b" cambiarse
por tasa de retorno, cuando se trata de inversiones.
En los países afectados por una desvalorización continua, la tasa de interés sucle
ser alta, puesto que combina el interés por el precio del dinero con la corrección cle su
valo¡, lo que constituye un seudo interés.
Se considera que el rendimiento de los capitales debe separarse de las tasas cle
protección generadas por el poder adquisit ivo del dinero; po. esla razón,en la mayoría
de los problemas presentados en el texto, se da la tasa de interés y el capital ," .u.,rid"-
ra sin devaluación. Si se incluye la devaluación, aparecen tasaé altas que mezclan la
devaluación con el rédito de los capitales. Los bancós y las entidades financieras sepa-
ran las tasas para indica4 por ejemplo , g% de interés y 27% de corrección monetaria. La
corrección tiene una finalidad diferente de la del interés. En el capítulo 14 se analizará
el tratamiento de la devaluación
En cada capítulo se recomiendan temas de investigación que permiten a profeso-
res y estudiantes obtener una perspectiva real y general de loipróblemas de acuerdo
con los sistemas y costumbres financieras de cadá región.
cÁrcuro DEr TNTERÉs
El interés o rédito que se paga por una suma de d.inero tomada en préstamo, depende
de las condiciones contractuales y varía en razón directa con la cantihad de dinerá pres-
tada y con el tiempo de duración del préstamo.
t . 3
MATEMATICAS FINANCIERAS
Al designar con
C el capital o suma prestada
t e l t iempo
/ el interés o rédito
se tiene, de acuerdo con las Ieyes de variación proporcional,
I : C t k
donde k es una constante, cuyo valor depende únicamente de las condiciones contrac-
tuales del préstamo. Si las condiciones son del r% anual (año comercial de 360 días),
para un préstamo de 100 unidades de dinero, se tiene entonces:
C : 100 unidades
f : 360 días (año comercial)
I : r unidad es (r% : r unidades por cada 100 en 360 días)
Mediante la aplicación de la fórmula 1, se tiene:
Se despeja
r = 100 (360) k
k = 
r
100 (360)
Al remplazar en la fórmula 1, se obtiene:
( 1 )
, Ctr
. l = . -
100 (360)
Para el año de 365 días, nno real, el mismo desarrollo conduce a:
( - t "
r e ¡ '
I = - ' -
100 (365)
Para años bisiestos, el año real es de 366 días.
(2a)
(2b)
El interés simple orditnrio o comercinl es el que se calcula considerando el año de
360 días. El interés simple renl o exncto es el que se calcula con año calendario de 365 días
o de 366 -si se trata de año bisiesto.
Los bancos acostumbran calcular los intereses, tomando como base el año de 360
días; pero para la duración del tiempo de préstamos a corto plazo (plazos menores que
un año), cuentan los días efectivos calendario.
1 . 4
1 . 5
INTERES SIMPLE
INTERPRETACIóN DET FACTOR K EN tA FóRMULA ,
k = 
' 
= ' . 1
100 (360) 100 360
r
100 
: i (tanto por uno)
al remplazar
k = I
360
El factor k es el tanto por uno en un día, si el t iempo se expresa en días.
RELACIóN ENTRE Et INTERÉS COMERCIAT Y Et INTERÉS REAI
Interésorc l inar io =I = Ct '
" 100 (360)
Interés real = I, = 
Ct'
100 t365)
Ctr
I u 1oo ¿6¡) 36s 73
I = 
- - 
^ ; - = _ - _
I r L r r 360 72
100 (36s)
I , =? : t , , = ( t - l ) ,73 ' \ 73 ) "
r r 1I ' = t u - i 3 t "
El itúcrés rcnl o crnctct t:s igunr nr intcrés orcritnno Lt conrercinr, ntett.s r/73 crer tnisntt,t.
Iff i IIEIII Calcular el interés ordinario y el interés real cle $10.000 prestados al 14,1rante 65 días.
c = $10.000
I = 65 días
r - 74"/n
, Ctr
100 (360.)
. 10.000(65)r14)
| = - ( A C a - g' 
100 (360J
Al dividir
(3)
du-
MATEMATICAS F INANCIERAS
Interés ordinario = $ZSZ,78
Pa¡a calcular el interés real se aplica la fórmula 3:
I, = 252,78 - 252,78 = $249,32
l . = 1 . - 7 I
73
1
; '/ . )
El interés real puede calcularse directamente, al aplicar la fórmula 2b
- Ctr
' 700(36s)
. t 0.000 ( 65)( t4)r " - = s ) 4 9 a ?' 
100(365)
I .ó DETERMINACIóN DEL TIEMPO
Desde hace mucho tiempo, con el objeto de facilitar los cálculos, se acostumbra supo-ner el año de 360 días dividido en 12 meses cle 30 días cada uno. Obsérvese que 360t iene los siguientes divisores: 2,3,4,5,6, g, g,10,12,15, 1g, 20,24,30,36, 40, 45,60,,72,90,
120 y 180' Estos divisores permiten un gran número cle simplificaciones, mry ,iti les,
cuando se traba ja sin calculadora.
Existen var ias maneras de mecl i r el t iempo grre interviene en el cálculo cie losintereses' Es importante que el lector aplique sus sistemas financieros loc¿rlcs en lasolución de problemas.
Días inicial y terminal Para llevar la cuenta de los días, se acostumbra excluir e I primerr díae incluir el último. Así, para un préstamo contraído el 10 de enero y pagaclo el 25 del mism.
mes, el tiempo comercial trascurriclo es de 15 clías. En algunos paísei, i acostumbra conrarel primero y el último día; en tal caso, el tiempo.o^".Jd sería cle 16 días.
Fecha de vencimiento La fijación de la fecha de vencimiento se establece contractualmente.
Por ejemplo, un préstamo que se recibe el 10 cle marzo a 3 meses deberá pagarse cl 10 cle
iunio; pero cuando el mismo préstamo se recibe a 90 días, deberá paga.'se"el t3 c1e junio,
si se acostumbra contabilizar sólo el clía terminal. Si la fecha terminui.or."rpo.de u undía festivo, el sistema local indicará si el pago debe recibirse el primer aia n¿tlt ,igrrr".,-
te, sin contar días adicionales para el cobro de intereses.
Para calcular el tiempo trascurrido entre la fecha inicial y la fecha terminal deperiodos superiores a un año, comercialmente se acostumbra cálcular el tientpo aproxí-
mado, computando los años de 360 días y los meses de 30 días. Así, para citc.rla, ettiempo trascurrido entre el 3 de abril ai:f7zy el74 de septiembre de797s,en las
operaciones aritméticas con números complejos se utiliza el slzuiente método:
INTERES SIMPLE
1975 años
1973 años
9 meses
4 meses
14 días
3 días:nenos
igual
2 años 5 meses 11 días
720 dias + 150 días + 11 días : 881 días
1 . 7
Para periodos menores de un año, comercialmente se acostumbra contabilizar los
días calendario que hay entre dos fechas.
TABTAS PARA Et CÁICULO DEt TIEMPO
Y PARA tAS EQUIVALENCIAS DECIMATES
A corto plazo, para el cálculo del número exacto de días entre dos fechas se pueden utili-
zar dos tablas. En una se presentan los días transcurridos desde el primero de enero hasta
los días de cada mes. Esta tabla es una matriz que en columnas presenta los meses, y en
líneas -del 1 al 31-los días; en las intersecciones línea-columna se anotan los días trans-
curridos desde el primero de enero hasta la fecha seleccionada. Los días se calculan entre
dos fechas de acuerdo con la diferencia entre los días trascurridos desde el primero de
enero. La otra tabla es Ia que se presenta a continuación; es más ágil y permite cálculos
más rápidos.
En la actualidad, las calculadoras financieras tienen programas para el cálculo de
tiempos y fechas, tanto a corto plazo (año de 365 días), como a mediano y largo plazo
cuando se opera con año de 360 días.
Tabla I Número exacto de días entre dos fechas (año no bisiesto)
Desde el
día del mes
inicial
Al mismo día del mes terminal
Ene. Feb. Mar, Abr. Muy. Iun. Iul. Ago. s"P. Oct. Nov Dic.
Ene.
Feb.
Mar.
Abr,
May.
Iun.
Iul.
Ago.
s"P.
Oct.
Nov.
Dic.
365
334
306
275
245
21,4
1.84
753
722
92
67
31
J t
365
337
306
276
245
21,5
184
153
723
92
62
59
28
365
334
304
¿ / J
u3
21,2
181
151
120
90
90
59
31
365
33s
304
274
243
272
1,82
151
121,
120
89
67
30
365
334
304
273
?42
272
181
151
151
120
92
67
31,
36s
335
304
273
243
2I2
1,82
181
150
122
91,
61,
30
365
334
303
273
?AZ
212
212
181
153
1,22
92
6t
31
365
334
304
273
'243
L+J
2'1,2
184
153
723
92
62
31
365
335
304
274
273
)4)
21,4
183
753
r22
92
61
30
365
334
304
304
L / . )
245
1 1 l l
L L 1
784
153
I L 3
92
67
31
365
33s
a a Á
.lJ4t
303
275
2M
214
183
153
1,22
97
67
30
365
Nota: No se incluye el día inicial.
I
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Los números de las líneas horizontales indican los días trascurridos, entre cierto día
del mes inicial y el mismo día del mes terminal; por ejemplo, desde el 3 de mayo de un
año al3 de octubre del mismo año hay 153 días. Esto es igual al número anotado en la
intersección de la horizontal correspondiente al mes inicial, mayo, con la vertical del mes
terminal, octubre. Si el día del mes inicial es diferente del día del mes terminal, para el
cálculo se presentan dos casos:
(c) El día del mes terminal es mayor que el día del mes inicial: en este caso, se suma la
diferencia de los días al número definido por el inicial y el mes terminal.
ffiIEE Calcular los días trascurridos entre el 3 de septiembre de un año y el 15 de
abril del año siguiente.
Diferencia entre los números de días : 15 - 3 : 12
Número correspondiente a la intersección septiembre-abril : 272
272 + 72 :224
Entre las dos fechas propuestas hay 224 días calendario.
(b) El día del mes terminal es menor que el día del mes inicial, en este caso, la diferen-
cia entre el día terminal y el inicial es negativa; entonces, se procede a restar la
diferencia al número de intersección de los meses.
fu:IEIE (a) Calcular los días que hay entre el 18 de marzo y el 10 de noviembre del
mismo año.
Diferencia entre los números de días = 10 - 18 : - 8
Número correspondiente a la intersección marzo-noviembre : 245
2 4 5 - 8 : 2 3 7
Entre las dos fechas propuestas hay 237 días calendario.
b) Calcular los días que hay entre el 20 de junio de 1996 y el 14 de marzo de 1998.
Diferencia entre los números de días : 74 - 20 : - 6
Número correspondiente a la intersección junio-marzo = 273
273 -6 = 267 días
más 1 año 74-03-97 a 14-03-98: 365 días
Total 632 días
Entre las dos fechas propuestas hay 632 días calendario.
La tabla 1 es de gran utilidad para determinar lat'echa terminnl conocida,la t'echn inicial y eI
número de días. El cálculo se hace con gran rapidez, sin necesidad de contar los días en
un calendario.
INTERÉS SIMPLE
ffiI!flq El día 13 de marzo se firmó un pagaré a1,20 días, calcular la fecha terminal. En
la línea horizontal del mes inicial, marzo, se busca el número más próximo a 120; en el problema
analizado se trata del número 1,22 que corresponde al mes terminal, julio. La diferencia 122 -
120 = 2 se resta a los días del mes inicial y se obtiene el número de días del mes terminal. En este
problema, entonces, 73 -Z : 11,
Fecha de vencimiento: 11 de iulio del mismo año.
Equivalencia de decimales de año a días y meses Con frecuencia, en los problemas el
tiempo se expresa en decimales de año; para convertirlos a días, se tienen las siguientes
equivalencias:
ffi:IEIE La respuesta de un problema es 3,578 años (de 360 días). Expresar el resultado
en años, meses y días. Sin efectuar el producto por 360, puede procederse así:
0,5 : s(36) : 180 días
0,07 7(3,6) 25,2 dias
0,008 : 8(0,36) 2,9 días
Total: 208 días : 6 meses, 2tl días
3,578 años equivalen a 3 años, 6 meses, 2U días.
Equivalencia de días o decimales de año En las librerías y/o bibliotecas se consiguen tablas
que expresan cualquier número de días en decimales de año, tanto de 360 días como de 365
días; en ellas, se encuentran las equivalencias, desde uno hasta 365 días.
El uso de las calculadoras ha disminuido la importancia de tales tablas, por esta
razón es poco frecuente su uti l ización.
Las tablas 2 y 3 que se dan a continuación, son resumidas y expresan los decima-
les equivalentes a las fracciones /tn y %us, desde uno hasta nueve días.
Tabla 2 Thbla 3
Año comercial de 360 días
0,1 = 36 días
0,01 3,6 días
0,001 0,36 días
t
360
Días Decimales de año
1
2
J
+
5
6
7
8
9
0,00277778
0,00555556
0,00833333
0,01 1111 11
0,01388889
0,07666667
0,01,944444
0,02222222
0,02500000
Año calendario de 365 díns
0,1 = 36,5 días
0,01 3,65 días
0,001 0,365 días
t
365
Días Decimales de año
7
2
J
4
5
6
7
8
9
0,00273973
0,00547945
0,00821918
0,01095890
0,01369863
0,07643836
0,01,977808
0,021.91781,
0,02465735
@ MATEMATICAS FINANCIERAS
Con ellas, puede calcularse con rapidez los decimales de año equivalentes a cualquier
número de días. En muchos casos, los cálculos pueden simplificarse y efectuarse con
gran rapidez, si los divisores de 360 permiten expresar el tiempo en fracciones de año.
Así, por ejemplo: 30 días : 7/72;60 días : 7/6; 90 días : 7/4, etc. El éxito de esta forma
de operar depende exclusivamente del buen conocimiento que el lector tenga de las
operaciones aritméticas.
fulIEIE (Sin utilizar máquina de calcular para el cociente 
¡sl*,,).
Calcular los decimales que equivalen a235 días en un año de 360 días. Se uti l iza la tabla 2 y se
obtiene:
200 días
30 días
5 días
suman 235 días
0,555556 (100 veces el decimal correspondiente a 2)
0,083333 (10 veces el decimal correspondiente a 3)
0,013889
0.652778 años de 360 días.
Las calculadoras y las tablas de factores El uso de las calculadoras permite prescindir
de las tablas de diversos factores de uso frecuente, ya que los valores pueden obtenerse,
directamente, con una calculadora; no obstante, es de gran importancia que el estu-
diante domine el uso de las diversas tablas estudiadas en este texto. En el campo finan-
ciero, industrial o comercial, el uso de las tablas para problemas esp"ecíficos seguirá
siendo un medio ágil y seguro de cálculo. Uno de los objetivos de este texto es capacitar
al estudiante para que pueda organizar los métodos de solución de los problemas que
se le presentarán en sus actividades profesionales y producir las tablas que necesite
para los cálculos cotidianos.
I.8 FóRMuIAS MODIFICADAS PARA EL CÁLCULO DEt ¡NTERÉS SI'I,TPLE
Con la finalidad práctica de hacer más fácil y rápido el cálculo de los intereses/ se acos-
tumbra trasformar la fórmula 2 en otras equivalentes, las cuales se presentarán a conti-
nuación.
! = 
c t '
100 (360,)
Agrupando en otra forma los factores, se tiene:
r t, = ( . - . -
100 360
t
360 - "
100 - '
(tanto por uno)
(tiempo expresado en años)
INTERES SIMPLE
Remplazando I : C n i
Para aplicar la fórmula 4, el tiempo se expresa en años y la tasa, en tanto por uno.
fulIEI[| Calcular el interés que debe pagarse por un préstamo de 9250.000 al1,0%
en 240 días (si no se indica lo contrario, se entiende el interés como el comercial u ordina-
r lo ) .
Para aplicar la fórmula 4, primero se convierten los días
tabla 2 o se divide 240 oor 360.
a decimales de año v oara ello utiliza la
2ü) días: 0,555556
40 d ías :0 ,111111
240 días = 0.666667
c _ $s0.000
tt: 0,666667 afios
i - 0 , 1I : C n i
I = 250.000 (0,66666n(0,7)
I -- 576.666.67
Al introducir los concep tos de lnctor de itttcrés simple y de ttunt,:rnl,en la fórmula 2,
se obtienen dos importantes fórmulas desarrolladas a continuación -las cuales ofrecen
las mayores ventajas prácticas, para el cálculo de intereses.
(4)
años
años
, Ctr
100 (360)
l = L ¡ .
36.000
r' _ t- - 
I
36.000 (factor de interés simple)
Remplazando, se tiene
I : Ctf (5)
Elfactor f de interés simple es el tanto por uno en un día. Para el uso de este facto¡, el
tiempo debe expresarse en días.
El producto Cf, que corresponde al capital por el tiempo, se remplazapor Ia letra
N y recibe el nombre de numeral.
r
MATEMATICAS FINANCIERAS
Remplazando en la fórmula 5 Cf : N
Se obtiene I = N/ (6)
En todos los países circulan tablas financieras que contienen diferentes factores para
el cálculo de intereses simples y compuestos. En ellas, se encuentran las tablas para los
factores de interés simple correspondientes a los tipos de interés más utilizados.
Las tablas que áparecen a continuación tienen los valores de f para los tipos de
interés que, con frecuencia, se utilizan en este libro. El lector comprenderá la importan-
cia que tiene emplear tablas de factores, debido a la rapidez y confiabilidad en los cálcu-
los. Las empresas financieras preparan sus propias tablas para los tipos de interés con
que normalmente trabajan.
f
t/4
t/2
5
6
.7
8
9
10
1 1
72
13
74
0,0000069444
0,0000138889
0,0001388889
0,0001,666667
0,0007944444
0,0002222222
0,0002500000
0,0002777778
0,0003055556
0,0003333333
0,0003611111
0,0003888889
Thbla 5
Interés real
r f
r/4
t / )
5
6
n
8
9
10
1 1
1,2
13
74
0,0000068493
0,0000L36986
0,0001369863
0,0001,644444
0,0001917808
0,00021,91787
0,000u65753
0,0002739726
0,0003013699
0,0003287677
0,0003561644
0,0003835616
Tabla 4
Interés comercial
t _r - 36o00
{ -
36.500
Con las tablas anteriores, puede calcularse el valor de/para otros tipos de interés.
Por ejemplo, para 6/n% se tiene:
o !% = 6% + !%= 0,00016666 6T + 0,0000069444
4 4
1
Para6 .%; f =0,0001736711' 4
ffi¡!|E Calcular el interés que debe pagarse por un préstamo de $60.000, durante 120
dias alTk%.
INTERES SIMPLE
Este problema se resuelve aplicando la fórmula 5 y mediante la tabla 4:
I =Ctf
C = $60.000
t = 120 dias
f = 0,0007944444 + 0,00001388889 = 0,0002083333
1 = 60.000 (720)(0,000208333) = 7.499.9998
1= $1.500
,::i?:::;:;:: í,'f+:.x:iil:"'J.,::T#,IiTl?l:3;i::':.1"",Í*?::i{;::::;,
se cargan o abonan intereses. sobre saldos, por el tiempo d" p".rnu.rencia del saldo; lafórmula 6 permite gran rapidez en el cálcuio de los inüreses.
. , 
S"ul' St, Sz, 53,..,., S^, los distintos saldos, y t ' t2, t3,...,f", los tiempos de permanen_cia de cada uno de ellor Los productos srt 'srt) irtr i...,s^T^son los numerales corres-pondientes a cada saldo; aplicando tu iormlÍu á puru" ül cálcuto de los interesescorrespondientes a cada saldo, se tiene:
1l = Nl,f
I z=Nz f
Is = Nsf
I r = N n f
Sumando I r+ l ,+ I , * . . . * l , : I : (N , + N, + N, + . . .N ,y
Utilizando el signo de sumatoria :
r = /IN,
r = 1 ( 7 )
Nota Al saldo débito se le coloca signo positivo y al saldo crédito, signo negativo. Losinte¡eses serán de cargo o abono, ,"g,i.,^rt', signo positivo o negativo
ffiEEIE Cerrar el 30 de junio la cuenta corriente con intereses d,el 1.4%,que tuvo elsiguiente movimiento: saldo el 1o. de enero $20.000, débito; el 3 de febrero, abono de $12.0{])0; el
r
MATEMATICAS FINANCIERAS
7 de marzo, cargo de $3.000; el 16 de abril, abono de 915.000; el 28 de mayo, cargo de 93.000; el
10 de junio, cargo de $30.000.
Presentamos el movimiento, en un papel de contabil idad:
Los días trascurridos entre dos fechas sucesivas se calculan en la tabla 1. El valor defparael74"/o
se tiene en la tabla 4 o se calcula:
f 
-- 0ñ003888889
Aplicando la fórmula 7, I : 0,0003888889 (1.755.000) : 682,50
I : $682,s0
1.9 MONTO
El planteamiento de los problemas económico-financieros se desarrolla en torno a dos
conceptos básicos: CAPITALIZACION y ACTUALIZACION. EI concepto de capitaliza-
ción se refiere al estudio del valor en fecha futura o monto que se obtendrá o en que se
convertirán los capitales colocados en fechas anteriores. El concepto de actualización se
refiere al estudio del valor en la fecha actual o presente de capitales que se recibirán en
fecha futura.
En otras palabras, capitalizar es trasladar y valorizar capitales del presente al fu-
turo. Actualizar es traer y valorizar capitales del futuro al presente.
En los últimos años, el uso de calculadoras financieras y computadores ha intro-
ducido cambios en la notación; así, se ha generalizado el empleo de la letra P para el
valor presente del capital en juego y F para el monto o valor futuro. En esta cuarta
edición se ha cambiado la notación utilizada en las ediciones anteriores. Sin embargo,
para evitar confusiones frecuentes al usar calculado¡as programadas para VP -Vr
lor presente- y VF -Valor t'uturo-, en interés simple se seguirá utilizando la letra C
para elcapital y S para expresar el monto. Puesto que se siguen los parámetros del rigu-
Fecha Detalle DEBE HABER SALDO ds. NUMERAL
1-I
3-II
7-III
16-IV
28-V
1O_VI
30-VI
saldo
abono
car8o
abono
cargo
cargo
do nit
3.000,00
3.000,00
30.000,00
682,50
i2.000,00
15.000,00
20.000,00
8.000,00
11.000,00
4.000,00
1.000,00
29.000,00
29.682,50
D
D
D
Cr
Cr
D
J J
JZ
40
^ 1
, L
1 3
20
660.000,00
+ 256.000,00
+ 440.000,00
- 168.000,00
- 13.000,00
+ 580.000,00
1.755.000,00
INTERES SIMPLE
roso análisis matemático, es necesario tener cuidado cuando se introduzcan los símbo-
los del lenguaje bancario y los uti l izados en el campo financiero. La tendencia actual es
denominar los valores en juego por sus siglas y en las diferentes disciplinas uti l izadas
en matemáticas financieras se encontrarán novedades y cambios en los símbolos, a los
cuales deberá acostumbrarse el lector para su manejo.
El monto es el valor acumulado del capital agregados los intereses devengados.
En otras palabras, el monto es igual al capital, más los intereses. Sean:
C : capital
I : intereses
S : monto
Por definición :
De la fórmula 4
Remplazando
Al factorizar se obtiene:
S : C + 1
l : A t i
S : C + C n ¡
S : C ( 1 + r r i ) (8)
ff iIEIIII Calcular el monto que debe pagarse por una deuda de g20.0tn el 22 de junio,
si el pagaré se fi¡mó el 30 de enero del mismo año no bisiesto, al tt% de interés.
Nota Conviene que el lector resuelva este problema por diferentes métodos; el ejempkr se desa-
rrol lará ut i l izando las tablas ya estudiadas.
Cálculo del t iempo (Tabla 1)¡ - 151 - (30-22) : 151 t l - 143 días.
Equivalencia a decimales de año (tabla 2)
100 días: 0,277778
4 0 d í a s : 0 , 1 1 1 1 1 1
3 días: 0,00¡t333
143 días: 0,3967222 años
r - 008
S = C ( 1 + n i )
S = 20.000(1 +0,397222.0,08)
S = 20.000(1 +0,03177776)
S = 20.000(1,03777776)
S = $20.635,56
r
MATEMATICAS FINANCIERAS
I . IO VALOR ACTUAL O VATOR PRESENTE DE UNA DEUDA
El valor actual o presente de una suma, que vence en fecha futura, es aquel capital que,
a una tasa dada y en el periodo comprendido hasta la fecha de vencimiento, alcanzará
un monto igual a la suma debida. La definición anterior es para el valor actual a interés
simple, concepto diferente del valor actual que se determinará al estudiar el descuento
bancario.
A partir de la definición se deduce que para hallar el valor actual hay que despejar
en la fórmula 8 el capital, conocidos el monto y los intereses, así:
S = C ( 7 + n i )
C= s
7 + r i ( 9 )
Respecto a Ios símbolos que se uti l izan en matemáticas financieras, hay cierta anar-
quía, debida a la influencia de los diversos campos de aplicación; así, el valor actual o
presente se expresa con alguna de las siguientes letras, C, P VP, y para el monto se
util izan S, M, E VF; esto sin contar con la notación estándar introducida al f inal de 4.2.
Par¿r este texto, en interés simple, se uti l izará 5 para expresar el monto, y C para el valor
actualo presente. Más adelante, estos símbolos se modificarán para el lenguaje banca-
rio y para las aplicaciones de pagos parciales y ventas a crédito.
La diferencia entre la cantidad por pagar en fecha futura y su valor actual es el
dcscucttto.
C : capital
S : monto
D: descuento
D : S - C ( 1 0 \
EI descuento dado por la fórmula anterior recibe el nombre de descuento racional o
matentiticLt. Si se remplaza el monto por su valor dado en la fórmula 8, se tiene:
D : S - C
S : C ( 1 + n i )
D : C ( 1 + n i ) - C : C + C n i - C
D : C t t i
Es decir; el descuento racional o matemático es igual a los intereses simples del capital
que, en t'echa t'utura, darán el monto de Ia deuda.
El descuento bancario corresponde a otra definición y, por tanto, sus métodos de
cálculo son diferentes.
INTERES SIMPLE
Diagramas de tiempo-valor y diagramas de flujo de caja Si en una línea de tiempos se
colocan los valores en juego, se tiene un diagrama de tiempo-aalor. Estos diagramas son
de gran utilidad para el análisis de los problemas y permiten apreciaciones intuitivas;
el láctor debe familiarizarse con ellos ya que se utilizarán con frecuencia en este libro.
En un diagrama, el t iempo puede medirse de dos maneras diferentes: en sentido posi-
tivo (de izquierda a derechá¡, si se tiene una fecha inicial y se cuenta con un valor futu-
ro; en sentido negativo (de derecha a izquierda), si se tiene una fecha de vencimiento, o
final, v un valor antes del vencimiento.
Diagramas de tiempo-valor
nemPO
valor
0--------+
C
presente
<- ilt iempo
valor C
Presente
s
futuro
En evaluación de proyectos se utilizan, para guiar el análisis, los diagrnnms de flujo
de caja que son similareJ a los diagramas de tiempo-valor. Al colocar en un diagrama de
tiempo-valor f lechas hacia arriba para los ingresos en el instante en que se producen y
flechas hacia abajo para los egresos, se tiene un diagrama de flujo de caja.
Diagrama de flujo de caja
A,ByC ing resos (+ )
D ,EyFegresos ( - )
C
i
I
MATEMATICAS FINANCIERAS
T a longitud y el grosor de las flechas indican la magnitud de los valores en juego.
Ai utilizar calculadoras financieras para fijar los signos más (+) y menos (-), se deben
seguir las indicaciones del fabricante.
E@ilEIItr Elaborar el diagrama de tiempo-valor para un monto de $20.400 al6%.Para
el t iempo, se uti l izan 30, 60,90 y 120 días antes del vencimiento con descuento racional. Compa-
rar este diagrama con el que corresponde a una deuda de $20.000 al 6% , calculando su valor ion
tiempo de 30, 60, 90 y 120 días después de la fecha inicial.
Diagrama pnra el monto de $20.400
Aplicando la fórmula 9:
^s
t = ir.*
i - 0,06
tt - 30,60,90 y 120 días antes del vencimiento.
Efectuando los cálculos, se t iene:
' f iempo 
120 30 <_.- 0
$20.400
(mon to)
V¿lor $20.(XX) $20.09f.i,52 $20. tq8.02 $20.298,51
Diagrama parn el ca¡tital itticial dc $20.000
Aplicando la fórmula 8:
S : C ( l + r i )
c : $20.0ü)
I : 0,06
n : 30,60,90 y 120 días contados desde la fecha inicial.
Efectuando los cálculos, se t iene el diagrama:
Tiempo 0 120 días
Valor $20.000 $20.100 $20 200 $20.300 $20.400
Al comparar ambos diagramas, se observa que el valor sólo es igual en las fechas inicial y final.
Obsérvese que la diferencia en una misma fecha, por ejemplo, entre las cantidades 20.198,02 y
20.200 es igual a los intereses simples de 198,02 a la tasa dada y en el tiempo calculado para 20 .198,02.
6030
INTERES SIMPLE
20.200 - 20.198,02 = 1,98, cantidad igual a los intereses simples de 198,02 al 6% en 60 días.
1e8,o2f1l e,o6)=1,e8
\ 6 J
El lector debe hacer el cálculo para las otras fechas.
I . I I CÁtCUtO DE INTERESES POR MEDIO DE TABLAS
Un libro de tablas financieras contiene un conjunto de tablas para el cálculo de diferen-
tes temas financieros. Así, se encuentran tablas para el cálculo de intereses simple y
comPuesto y sus diferentes aplicaciones; tablas para el cálculo de seguros de vida; ta-
blas para el cálculo y rendimiento de bonos y obligaciones, etc. En lo que se refiere al
cálculo de interés simple, en cada país se encuentran diversas tablas en circulación. Se
vive la época de las calculadoras programadas y, por esta raz6n,las tablas financieras
han perdido su importancia.
Las diferentes empresas suelen preparar tablas para sus cálculos comerciales más
frecuentes. Al establecer un sistema para sus cálculos financieros, una empresa debe
tener en cuenta tres aspectos básicos: confiabil idad en los resultados, rapidez y costo
operacional del sistema adoptado.
En d i ferentes capí tu los del l ibro se inc luyen por e jemplo, las tablas 7,7A,2,3,4,s
y 5,\, algunas parcialmente estudiadas hasta este momento. Este tipo de tablas son cle
importancia relativa y su uso no es muy necesario: su objeto es lograr una mayor rapi-
dez en el cálculo y mostrar al lector la posibil idad de preparar tablas similares, para
aplicaciones específicas de cada empresa.
Al f inal del l ibro, se presentan un conjunto de tablas que son necesarias para re-
solver los ejercicios y problemas propuestos en el texto; éstas se estudiarán en los si-
guientes capítulos.
1,12 GRÁFICAS O DIAGRAMAS DEL INTERÉS SI ' IAPIE
En un sistema de coordenadas rectangulares, la geometría analít ica muestra que la
ecuación Y = aX tiene por gráfica una recta que pasa por el origen y cuya pendiente es
rz. Y que la ecuación Y : aX + b tiene por gráfica una recta de pendiente a que intercepta
sobre el eje Y el segmento b.
Si en el sistema de coordenadas, sobre el eie Y se mide el valor de los intereses
simples y sobre el eje X, el t iempo, se tiene para un capital de una unidad, de acuerdo
con la fórmula 4:
I = C n i
p a r a C : 1
I : n i : i n
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
La gráfica de los valores de I en función del tiempo son rectas que pasan por el
origen y tienen por pendiente los valores de i.
z0%
rc%
s%
años
0 1
La fórmula 8 para el monto S : C (1 + rri), donde C : $1 se convierte en S 
: 1 + rri. Si
sobre el eje Y se -id"., los valores de S y sobre el eje X, el tiempo, se tiene la siguiente
sráfica.
Gráfica cle los ualores del ntonto para un cnpital de $1 (nl 5%, 10% V 20%)
b
Gráfica de los unlores de I : ni (para el5%, 1'0% y 20%)
INTERES SIMPLE
I .T3 ECUACIONES DE VATORES EQU¡VALENTES
Un problema básico en las operaciones financieras es el de las inversiones equivalen-
tes; es decir que, en valor y tiempo, produzcan el mismo resultado económico. Esto se
expresa en ecuaciones de valores equivalentes.
Un mismo valor situado en fechas dife¡entes es, desde el punto de vista financie-
ro, un valor distinto. No se debe olvidar que sólo se pueden sumat restar o igualar
dineros ubicados en una misma fecha.
Para decidir entre diversas posibil idades financieras, es fundamental plantear las
ecuaciones de valores equivalentes, para determinar por medio de ellas, cuál es la op-
ción más conveniente. En los diferentes capítulos de este l ibro, el lector encontrará
abundantes aplicaciones y ejemplos de este importante concepto; en los ejemplos y
problemas tratados aquí las tasas de interés son fasas internns, tasa a la que permanecen
invertidos los dineros en juego; en la evaluación económica de proyectos de inversión
surgen los conceptos de fnsa interna de rctorno (TIR) y tnsn de oportwúdad, que es una tasa
externa básica para estudios de factibil idad. Otra tasa externa importante e.n proyectos
de gobierno es la fasa de ínterés social.En este nivel de matemáticas financieras se uti l iza-
rá, en general, la tasa interna.
tr@ilE![| En cierta fecha, una persona firma un pagaré por g12.000 a 90 días, al8'/n;30
días después, f irma otro pagaré por $10.000 a 90 días sin interés. 60 días después de la primera
fecha, conviene pagar a su acreedor $4.000 y recoger los dos pagarés firmados remplazándolos
POr uno solo a 120 días, contados desde la últ ima fecha, con un rendimiento delg%. Determinar
el pago único convenido.
Para plantear la ecuación, se dibuja primero el diagrama de tiempo-valor.
12.000 10.000 4.000La fecha que se escoge para la equivalencia se denomina t'echn t'ocal. La fijación de la fecha focal
debe ser cuidadosamente analizada, ya que debe corresponder estrictamente a lo pactado en
los pagarés. Los cambios de fecha focal producen variaciones en la determinación de las canti-
dades. En la sección 1.10 se destacaron las diferencias de valores intermedios, donde los valores
inicial y final son iguales en tiempos iguales y a una misma tasa.
Se escoge como fecha focal 180 días, se calculan los distintos valores en esa fecha y se plantea la
ecuación de valores equivalentes entre los nuevos valores y los antiguos.
Nuevos valores: X + 4.000[1+ +(0,09)]
Antiguos: 12'000[1+ + (0,0s¡[1 + i Q,0e))t 10.000 [t * +fo,os)]
X + 4.720 = 72.515,40 + 10.150
X = 72.5'1.5,40 + 10.150 - 4.720
X = $78.545,40
El lector debe analizar este problema,y resolverlo para otra fecha focal; por ejem-
plo, 60 días que corresponde al instante deicambio de las condiciones. No deúe olvidar
que en un pagaré sin intereses hubo condiciones de origen que no se expresan en el
propio documento.
1.14 TASA NOMINAL ANTICIPADA Y VENCIDA Y TASAS EFECTIVAS
En este nivel de estudio, el lector ha comprendido que en los problemas financieros
figura una tasa convenida de intereses, lá cual ,ro ,i"^pr" coiresponde a la tasa de
interés que realmente produce el dinero en juego.
Thsa norninal Es la convenida en una operación financiera, puede ser tasa antícipaLla o
tasa aencidn, según se convenga aplicar la tasa de inte¡és ui i.ricio o al término de la
operación financiera.
Thsa efectiva Es la tasa- con la que realmente actúa el capital en juego. En Ia sección 4.4
se amplía el estudio sobre tasas.
ffiEEIIEl Por un préstamo de 9100 a un año de plazo se conviene pagar el 8% de interés:
(a) Con pago de intereses anticipados
(b) Con pago de intereses por semestre vencido
(c) Un solo pago de capital e intereses al vencimiento
Calcular para cada caso la tasa efectiva
(a) Se aplica la regla: En una operación financiera todos los dineros permanecen en juego hasta
el vencimiento de la operación. Así, los gg pagados al inicio del iréstamo ganan intereses al
8% hasta el vencimiento, o sea:
r , , i - F ¡ , , a i 0 A S F I N A N C I E R A S
1-- ¿le¡ruar los cálculos y establecer la igualdad, se tiene:
S : C ( 1 + n i )
C = g ; n = 7 ; i = g %
S = 8 ( 1 + 0 , 0 8 ) = 8 ( 1 , 0 8 )
5 = $8,6a
!l 
vfor f inal del préstamo = $100 + 9,64: $10g,64, o sea, al vencimiento la tasa es del
8,64%.
INTERES S IMPLE
(b) Al pagar los intereses por semestre vencido, al final del primer semestre se debe pagar el
8(1/2)% : 4% del valor del préstamo, o sea, 100(0,04) : $¿. Estos intereses a la fecha de
vencimiento tienen un monto de:
5 = C ( 1 + r u i )
C : 4 ; n : % ; i : 8 %
s : 4 ( 1 + 0 , 0 4 ) : 4 , 1 6 %
Monto de los intereses al vencimiento de la deuda : $4,16.
El valor f inal del préstamo es: $100 + $4,16 + 4,00 ( intereses del últ imo semestre) : $10ft,16, o
sea, en este caso la tasa efectiva al vencimiento es del 11,76'/ , , .
(c) Se pa¡;a, al vencimiento, el préstamo más los intereses delt l%,; en este caso, el valor f inal =
$100 + $t l : $108. O sea, la tasa efectiva al vencimiento' es el t t% e igual a l¿r t¿rsa nomi¡r.r l
pactada. En los ejemplos anteriores se calcularon las tasa al vencimiento de la obl igacir in;
por esta razón, se denominan tasas vencidas.
Si para el cálculo se f i ja la fecha inicial como fecha de pago de los intereses, se t iene que cuando
el prestatario f irma el documento recibe $92 y trascurrido un año tendrá que pa¡jar $1(X), o sea
. S - C ( 1 + r r i )
S : 100; C - 92; n : 7; i : tasa anticipada que se debe calcular
7 0 0 : 9 2 ( 1 + i )
1 0 0 - 9 2 + 9 2 t
9 2 i - u
i : t l * 9 2 : t 1 , 7 % ,
En este caso, la tasa es anticipada. Obsérvese que si los $92 se colocan a| 8,7"1,, en un ¡ñrr se
obtiene el valor f inal de $100.
I , I 5 PROBLEMAS RESUETTOS
1 Demostrar que el interés simple producido por un capital C, colocado durante n
años a la tasa i es igual al interés simple que produciría a la tnst ¡tro¡tlty¡itttr l l ¡,¡¡
colocado durante nr . rr periodos.
Interés simple en n periodos anuales a la tasa i:
I t : Cni
L
nl
Interés simple en ttm periodos a la tasa
MATEMATICAS FINANCIERAS
o sea,
i
l 2 = L m t t -
m
Iz = Cni
f f
r l - r 2
2' Calcular la tasa de interés simple proporcional mensual equivalente a la tasa delg%,anual.
0.09
,= 
72 
=0,0 i175
3' calcular el intcrés simple que produce un capital cre $10.000 en 4 años ¿rr 6%,.
I : C n i
C : 9 j 0 . 0 0 0 ; n : 4 ; i : 0 , 0 6
1 : 10.000 (4) (0,06)
1 : $2.400
4' Calcular cl i . te ' rés simpre que procruce un capitar.e $10.000 cn 3 años .r l 0,8% 'rc.-sual.
Otra interpretación
I : C t t i
C : $10.000; n : 3; i : (0,008)12 : 0,096
1 : 10.000(3x0,0e6)
I : $2.880
C : $10.000, n = 3 (72) : 36perioclos, i : 0,00g
1 : 10.000(36X0,008)
I : $2.880
5. zA qué tasa de interés el monto de $20.000 será g2i.200, a interés simple, en 9 meses?
Se aplica la fórmula g:
INTERES SIMPLE
S =C(7+ n i )
S =2L200
C = 20.000
n=gmeses =2=0,75 años
t ¿
27.200 = 20.000 (7+0,75i)
1+0,75i :?!?
200
o,zsi = ]?.
200
I = 0,08
Tasa = 8,/,,
E l 10 de enero se f i rmó un pagaré de $6.000 aun9% de interés. ZEn qué fech.r los
intereses serán de $359?
I = C t i
I = $359;C =$6.000; i = 0,09
359 = 6.000r¡ (0,09.)
tt=359 +-540 = 0,6648 años
(0,6648)360 = 239 dias
o, de otra forma, al aplicar la fórmula 2n,
- Ctr
36.000
6.000(t)(e)
36.000
(359)36.000
+ -¿ - -
6.000(9)
t = 239 días
Para determinar la fecha se uti l iza la tabla 1. En la horizontal del mes de enero, se
encuentra el número 243; diferencia con 239 : 4,luego se resta 4 al día de la fecha
inicial y se tiene la fecha final: 6 de septiembre.
7. Un artículo vale $1.800 de contado. Un comprador conviene pagar $800 de cuota
inicial y el resto a 60 días, con un recargo delS% sobre el precio de contado. ZQué
tasa de interés simple anual pagó?
Recargo por venta a plazos : 1.800(0,05) : 90
MATE[/4ÁTICAS FI NANCIERAS
, Ctr
l = -
36.000
| =90;C = 1.800 - 800 = 1.000; f = 60días
,,, _ r.000(60xr)
36.000
e0(36)
r = - = J + / t
60
La tasa anual de in terós es 54 ' / ' .
ZQué suma derbe inver t i rse a l 9% para tener $2.000 dentro de 8 meses?
S = C ( l + r r i )
.S = Z.()00; l = -8, año -
1 2
f ) l
2 .00() : Cl I + : (0.0,1) |
L 3 ' I
2 .000=C(1+{ ) ,06 )
C= 
2 'ooo =r .886,79
1,06
?; i = t t ,os
3
Se debe inver t i r $ i . i186,79.
g. Puesto que e l rendimientc l normal del d inero es e l 9%,, Zqué ofer ta es más conve-
niente por un terreno?
(n) $60.000 de contaclo
(¿r) $20.000 de cuota in ic ia l y e l sa ldo en dos pagarés, uno de $10.000 a 90 días y
otro de $32.000 a 180 días.
Primero se calcula el valor actual de los dos pagarés de la oferta (b):
s
7 + t t t
1
Sr = 10.000; i l t=90 días: I año; i :0,094
L 1 -
10.000
r + I to,orr
^ 40.000
L r = - = 9 . / / 9 , 9 5' 4,09
INTERES SIMPLE
1
S, = 32.000; n¿ = 180 días:: año; i : 0,09
2
^ 32.000
1+;Q,oe)
^ 64.000
L - - -' 
2,09
C. =30.622,07
Valor de la oferta (b) = 20.000 + 9.779,95 + 30.622,07
= 60.407,96
La oferta (b) es mejor puesto que su valor actual es superior en $401,96 a la oferta
& t .
10. Una persona deposita $100.000 en una cuenta de una corporación financiera que
paga30% de interés anual. Tianscurrido un mes retira $20.000, y dos meses des-
pués retira $30.000. (a) Elaborar el diagrama del f lujo de caja, (b) Hallar el saldo
disponible a los 6 meses contados a partir de la fecha del clepósito y colocar en el
diagrama los valores obtenidos.
s100.000
94.72s
t
I
I
I
$4.246,88
t
I
I
5 6
N¡ATEMATICAS FI NANCI ERAS
(b) mes I
mes 3
mes 6
5
11. Elabc¡rar el diagrama del f lujo de caja y calcular los valores para una deuda de
$50.000 a un año de p lazo a una tasa de in terés deI30% que se cancela así : un pago
de $30.000 a 6 meses y cl saldo a un año. Al efectuar el pago de $30.000, calcularlos
intcreses de la deuda y obtener el nuevo saldo.
$30.000
t
I
I
5 6 7
$50.000
s, = $looooo (t. ?) 
- zo.ooo = 82.500
$7.s00
s6 = so ooolr. .(?)] - ,o ooo = 27 500
= $sz soo[r. r(T)] - 30ooo = s662s
= sso ozsfr. r( T )] 
= uoor,,r,
$31.625
t
I
I
9 1 0 1 1 1 2
I t o ? o \ - ls ¿ = 27 s0011 + 6[; ))= 
ur un
12. ¿Qué conviene más a un inversionista?
(n) Aceptar la oportunidad de invertir a la tasa deI 70i%.
(b) Invertir $100.000 durante 9 meses con un descuento inmediato del 8% neto
sobre el valor del préstamo.
(b) Descuento neto 8%
$100.000 (1- 0,08) = $92.000
9
72
C = $92.000;S = $100,000; rr = = 0,75 años
INTERES SIMPLE
S : C ( 1 + n i )
100.000 : 92.000 (I+ 0,75i)
i = 8 0 0 0 = 0 . 1 1 5 9
69.000
i = 17,59%
La oferta (b) es mas convenrente.
13. Si en el problema 12la oferta (b) es cancelar el capital con una ¡;anancia neta cjel g%
al vencimiento. ZQué oferta es más conveniente?
Capital final recuperado = $100.000(1 + 0,08)
Capital final recuperado = $108.000
S = C ( 7 + n i )
S = $108.000; C =100.000;n =0,75 af ios
10t1 00 = 100.000 (1 + 0,75i)
i= i '0Q0 =0.1066b6
75.000
i = 101%,
En el horizonte de 9 meses es igual a la oferta (c) del pr.blema 12.
1 . I ó PROBLEMAS PROPUESTOS
14' Determinar la fecha de vencimiento y el monto al vencimiento de cada uno cle los
siguientes pagarés (Utilícese la tabla 1 para fechas).
Valor nominal Fechn iniciat
(a) $3.000 20 de mayo
(b) $5.000 5 de abril
(c) $2.000 3 de mayo
(b) $4.000 28 de noviembre
Plnzo
2 meses
60 días
3 meses
120 días
Tasn
no/
/ / o
8%
6%
8%
15. Calcular el interés simple comercial de:
(o) $2.500 durante 8 meses al 8%.
(b) $60.000 durante 63 días at 9%.
(c) $12.000 durante 3 meses aI8/z%.
(d) $15.000 al10% en el tiempo transcurrido ent¡e el 4 de abril i el 1g de sep_
tiembre del mismo año.
MATEMATICAS FINANCIERAS
16. Calcular el interés simple comercial de:
(n) $2.000 durante 3 años a|0,75% mensual.
(b) $4.000 durante 2 años 3 meses aL0,5% mensual.
(.) $10.000 durante 4 años al 5% semestral.
(,/) $25.000 durante 1 año 3 meses al 6% semestral.
17. Calcular el interés simple comercial de:
(n) $5.000 durante ¡ aRos 2 meses 20 días al0,75% mensual.
(b) $8.000 durante 7 meses 15 días a|7,5% mensual.
18. Calcular el interés exacto de:
(n) Del problema 15(a) uti l izando la relación entre el exacto y el comercial.
(b) $7.000 durante 105 días a l8%.
(t) $4.000, el 16 de noviembre si el pagaré se firmó el 16 de julio del mismo año.
(d) $6.000 durante 4 meses a l9%.
19. Unseñorpagó$2.500,20porunpagaréde$2.400, f i rmadoel10deabr i lde1996aun
con 4%% de interés. ZEn qué fecha lo pagó?
20. El propietario de una casa recibe el 15 de mayo de 1996las tres ofertas que se deta,
l lan a continuación. ZCuál es la mejo4 si el rendimiento es delg%?
(n) $60-000 al contado y un pagaré al 10 de septiembre de 7996 por $32.600.
(b) $30.000 a 120 días y $63.500 a 180 días.
(c) $20.000 al contado y un pagaré con interese s del 8% por $71.000 a 120 días.
Un inversionista recibió un pagaré por valor de $120.000 a un interés del 8% el 15
de julio con vencimiento a 150 días. El 20 de octubre del mismo año lo ofrece a otro
inversionista que desea ganar el 70%. ZCuánto recibe por el pagaré el primer
inversionista?
Cerrar el 30 de junio una cuenta corriente con interese s delg% sobre saldo, que ha
tenido el siguiente movimiento:
2^1..
1 de enero saldo débito
10 de febrero abono
20 de febrero cargo
18 de marzo abono
30 de abril cargo
20 de mayo cargo
6 de junio abono
$1s.000
$12.000
$ 8.000
$20.000
$10.000
$ 8.000
$ 3.000
Una persona debe cancelar $14.000 a 3 meses, con el 8% de interés. Si el pagaré
tiene como cláusula penal que, en caso de mora, se cobre el70% por el tiempo que
exceda al plazo fijado, Zqué cantidad paga el deudof, 70 dias después del venci-
miento?
INTERES S IMPLE
24. En el problema anterio4 calcular el total de intereses pagados y la tasa de interés
cancelada por el deudor en toda la operación.
25. Una persona descuenta el 15 de mayo un pagaré de $20.000 con vencimiento para
el 13 de agosto y recibe sólo $19.559,90. ¿A qué tasa de descuento racional o mate-
mático se Ie descontó el pagaré?
26. Una persona firma los siguientes pagarés con el 8% de rendimiento: $10.000 a 120
días, $12.000 a 90 días y $8.000 a 180 días. Tiascurridos 30 días, propone efectuar un
pago de $10.000 al contado y un pago único a 180 días con el 9% de rendimiento;
determinar el valor de este pago único.
27. Una persona debe $20.000 con vencimiento a 3 meses y $16.000 con vencimiento a E
meses. Propone pagar su deuda mediante dos pagos iguales con vencimicnto ¿ 6
meses y un año, respectivamente. Determinar el valor de los nuevos ¡.rag.rrés .rl E'i
de rendimiento. (Tómese como fecha focal la fecha dentro de un airo).
28. Una persona debe los siguientes pagarés con el 8%: $6.000 exigible dentro de 3 meses,
firmado a 6 meses plazo; $8.000, exigible dentro de 6 meses ), f irmado a un año
plazo; y otro de $5.000 sin intereses, exigible dentro de 9 meses. Su acreedor acepta
recibir tres pagos iguales con el9% de rendimiento, a cambio de las anteriores obli-
gaciones, así: el primer pago de contado, el segundo a 6 meses y el tercero a un añ<:r
p\azo. Determinar el valor de estos pagos iguales. (Determínese la fecha focal).
29. Tabular un flujo de caja y elaborar un diagrama para la siguiente situación: una
persona obtiene un préstamo de $24.000 el cual debe pagar más los intereses, en 6
pagos mensuales iguales a partir del tercer mes, a una tasa del 79.5%.
30. Tabular un flujo de caja y elaborar su diagrama para el comprador de bonos por
valor de $30.000, emitidos por una empresa, los cuales son redimibles dentro de 9
meses, si paga el 5.6% trimestral de intereses por trimestre vencido y el bono tiene
un valor de $29.000.
I . I7 ACTIVIDADES DE CONSUTTA
(a) Tása de interés penal por mora en el pago de obligaciones y facturas comerciales en
su localidad.
(b) Tasas de intereses que ganan los depósitos en cuentas de ahorro.
(c) Tasa de interés sobre préstamos hipotecarios.
(d) Utilizando un computador, imprimir tablas de interés simple.
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DESCUENTO BANCARIO, DESCUENTOS
Y COMISIONES, DESCUENTOS EN CADENA
Y TASAS ESCALONADAS
OBJETIVO
El objetivo de este capítulo es enseñar los conceptos básicos en las operaciones banca-
rias y comerciales como intereses, descuentos y comisiones. Al terminar el capítulo se
podrá reconocer en un problema el t ipo de descuento y aplicar los métodos matemáti-
cos para calcular; trabajar con descuentos bancarios, descuento racional, montos, comi-
siones, descuentos sobre facturas comerciales con o sin tasas escalonadas; uti l izar el
Ienguaje bancario y manejar las expresiones: monto, capital, valor nominal, valor líqui-
do, valor actual y sus símbolos S, C, VN, VL, VA.
2.1 DESCUENTO BANCARIO
Desde tiempos remotos, los prestamistas han acostumbrado cobrar los intcreses ¡tor nde-
lantado sobre el valor de los pagarés, calculándolos sobre el valor anotado en dichos
documentos. Esto, además de permitir al prestamista disponer de inmediato del dinero
correspondiente a los intereses, le da un mayor rendimiento que la tasa señalada en Ia
operación.
El descuento bancario es el que se utiliza en todas las operaciones comerciales y, por
ello, al hablar de descuento, se entiende que es el descuento bancario, salvo que se expre-
se como descuento racional o de otra forma convencional.
Para estas operaciones, se usan ciertas expresiones léxicas que es necesario conocer
DESCUENTO BANCARIO. DESCUENTOS Y COMISIONES. DESCUEN TOS EN CADENA Y TASAS ESCATONADAS
2 . 2
Valor nominal de un pagaré El valor nominal de un pagaré es ei que está inscrito en la
obligación; para el comeicio se trata clel capital. Si el pagaré no gana intereses, cl valor
nominal indica la cantidad que debe pa€íarse en la fecha de vencimicnto señal¿rd¿r.
Descontar un pagaré Es la acción de recibir o pagar hoy un dirrero, a cambio dc una
suma may()r comprometida para fecha futura,