Anual Uni Semana 05- Álgebra - Camila Darien

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ÁLGEBRA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual UNI
Docente: Jimmy Astupillo
POLINOMIOS
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
POLINOMIOS
Es cotidiano conocer un resultado
para tomar una buena decisión.
Una de las formas más utilizadas 
es el uso de los polinomios para 
generar modelos matemáticos.
𝒅 = 𝒗𝟎𝒕 +
𝟏
𝟐
𝒂𝒕𝟐
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Variable: Valor que cambia, no es fijo
Constante: Valor fijo, no cambia
Notación matemática: Es la representación 
simbólica que nos permite reconocer cuales 
son las variables de una expresión 
matemática.
x, y, z
2; 1/3; π
P(x); Q(x; y) 
C U R S O D E Á L G E B R A
Ejemplos:
𝑃 𝑥; 𝑦
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
= 2𝑥2 + 3𝑥𝑦 − 5𝑦2
𝑀 2𝑥 − 1
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒
= 5𝑥 + 4
Un polinomio es una expresión que enlaza variables y
constantes mediante una combinación finita de
adiciones, sustracciones, multiplicación y
potenciaciones, en las cuales los exponentes de las
variables son enteros no negativos.
POLINOMIO VARIABLES N° DE TÉRMINOS
𝑅 𝑥 = −7𝑥5 𝑥 1
𝑃 𝑥 = 𝑥3 + 5 𝑥 2
𝑄 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 𝑥, 𝑦 3
Según la cantidad de términos se conoce lo siguiente:
N° DE TÉRMINOS NOMBRE
1 Monomio
2 Binomio
3 Trinomio
Polinomio:
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Ejemplo:
Encuentre la cantidad de valores que toma n, 
si la expresión 
𝑃 𝑥 = 3𝑥
𝑛−1
2 + 7𝑥8−𝑛 + 5
es un polinomio.
Resolución:
Como P(x) es un polinomio, entonces los exponentes 
de su variable son enteros no negativos.
𝑛 − 1
2
𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑛 = 1; 3; 5; 7; 9; 11;…
Además:
8 − 𝑛 𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑛 = 8; 7; 6; 5; 4;…
De ambos casos, se concluye que los valores comunes 
son
𝑛 = 1; 3; 5; 7
Entonces n toma 4 valores.
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VALOR NUMÉRICO (VN)
El valor numérico de una expresión es el resultado que queda al evaluar dicha expresión, cuando 
su(s) variable(s) toma(n) valor(es) fijo(s).
Ejemplos
𝑃 𝑥 = 2𝑥 + 3
𝑆𝑖 𝑥 = 5 𝑃 5 = 2 5 + 3 = 13
𝑆𝑖 𝑥 = −4 𝑃 −4 = 2 −4 + 3 = −5
𝑆𝑖 𝑥 =
5
2
𝑃
5
2
= 2
5
2
+ 3 = 8
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POLINOMIOS DE UNA VARIABLE
La forma general de un polinomio de una variable es:
𝑃 𝑥 = 𝑎0𝑥
𝑛 + 𝑎1𝑥
𝑛−1 + 𝑎2𝑥
𝑛−2 +⋯+ 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛
Donde:
Variable: x
Coeficientes: 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛
°[P]=n: Es el grado de un polinomio, y se define como 
el mayor exponente que tiene su variable.
Ejemplo:
𝑃 𝑥 = 4𝑥5 + 8𝑥3 − 7𝑥9 − 2
Variable: x
Coeficientes: 4; 8; -7; -2
°[P] =9, el mayor exponente de la variable x es 9.
NOTA:
El coeficiente principal de un polinomio es el coeficiente 
del término de mayor exponente. Ejemplo:
𝑁 𝑥 = 4 − 3𝑥2 + 7𝑥4 − 8𝑥3 − 2𝑥
El término de mayor exponente es 7𝑥4
El coeficiente principal es 7
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Polinomio cúbico: Es aquel polinomio de grado 3. Su forma general es:
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑
Ejemplos:
𝑀 𝑥 = 4𝑥3 − 7𝑥2 + 5𝑥 −
1
2
Término independiente
Término lineal
Término cuadrático
Término cúbico
𝑁 𝑥 =
3
2
𝑥2 − 2𝑥3
Término cúbico 4𝑥3
Término cuadrático −7𝑥2
Término lineal 5𝑥
Término 
independiente −
1
2
Término cúbico − 2𝑥3
Término cuadrático
3
2
𝑥2
Término lineal No tiene
Término independiente No tiene
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Polinomio cuadrático: Es aquel polinomio de grado 2. Su forma general es:
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Término independiente
Término lineal
Término cuadrático
Ejemplos:
𝑅 𝑥 = −
2
3
𝑥2 + 5𝑥 − 7 𝑇 𝑥 = 8 − 4𝑥2
Término cuadrático −
2
3
𝑥2
Término lineal 5𝑥
Término independiente − 7
Término cuadrático −4𝑥2
Término lineal 𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒
Término independiente 8
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Polinomio lineal: Su forma general es:Es aquel polinomio de grado 1.
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 Término independiente
Término lineal
Ejemplos:
𝑀 𝑥 = 8𝑥 + 7 𝑁 𝑥 =
2
3
𝑥
Término lineal 8𝑥
Término independiente 7
Término lineal
2
3
𝑥
Término independiente No tiene
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PROPIEDADES:
Si tenemos el polinomio: 𝑃 𝑥 = 𝑎0𝑥
𝑛 + 𝑎1𝑥
𝑛−1 + 𝑎2𝑥
𝑛−2 +⋯+ 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛
Entonces se cumple:
𝑃 1 = 𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 = 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑃 𝑥
Además:
𝑃 0 = 𝑎𝑛 = 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
Ejemplo:
Dado el polinomio 𝑃 𝑥 = 2𝑥 + 1 4 + 𝑥 + 1 5 − 10
encuentre el término independiente y la suma de
coeficientes del polinomio.
Resolución: Término independiente:
𝑃 0
𝑃 0
Suma de coeficientes:
𝑃 1
𝑃 1
+ 0 + 1 5= 2 0 + 1 4 −10
= −8= 14 + 15 − 10
= 2 1 + 1 4 −10+ 1 + 1 5
= 34 + 25 − 10 = 103
w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e