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ÁLGEBRA P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L Ciclo Anual UNI Docente: JIMMY ASTUPILLO POLINOMIOS II C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A OBJETIVOS • Reconocer los polinomios especiales • Utilizar el cambio de variable. • Reconocer la raíz de un polinomio y sus propiedades. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A POLINOMIOS ¿Qué pasa al darles valores a un polinomio? Analizamos los siguientes polinomios, encontramos: 𝑥 F 𝑥 = 𝑥3 𝐺 𝑥 = 𝑥 2 −2 −1 0 1 2 −8 −1 0 1 8 4 1 0 1 4 Cambia x, NO cambia P(x) H 𝑥 = 𝑥 M 𝑥 = −5 𝑁 𝑥 = 2 −2 −1 0 1 2 −5 −5 −5 −5 −5 2 2 2 2 2 Cambia x, cambia P(x) Estos polinomios son especiales C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Polinomio constante ❖ Es aquel polinomio cuyo valor numérico no cambia. Se considera que tiene grado cero. Forma: 𝑃 𝑥 = 𝑘; 𝑘 ≠ 0 Ejemplos: a) R 𝑥 = 5; ∀𝑥 b) S 𝑥 = 0𝑥 + 3 5 ; ∀𝑥 Si 𝑃 𝑥 = 𝑎 − 2 𝑥 + 2𝑎 − 1 = 0 𝑎 − 2 = 0 𝑎 = 2 𝐴𝑠í 𝑃 𝑥 = 0 𝑥 + 3 𝑃 𝑥 = 3 NOTA: Ejercicio: Ejercicio: Si T 𝑥 es un polinomio constante, halle 𝑇 2020 , si: 𝑇 1 + 𝑇 2 + 𝑇 3 + 𝑇 4 + 𝑇 5 =40 Resolución: Como T 𝑥 es un polinomio constante 𝑇 𝑥 = 𝑘 𝑇 1 + 𝑇 2 + 𝑇 3 + 𝑇 4 + 𝑇 5 =40 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘+ + + + = 40 5𝑘 = 40 𝑘 =8 𝑇 2020 = 𝑘 =8 es un polinomio constante ∴ C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Polinomio nulo ❖ Su valor numérico siempre es cero. Se considera que no tiene grado cero. Forma: 𝑃 𝑥 = 0; ∀𝑥 Ejemplos: a) Q 𝑥 = 0𝑥 + 0; ∀𝑥 b) 𝑅 𝑥 = 0𝑥2 + 0𝑥 + 0; ∀𝑥 NOTA: Si 𝑃 𝑥 = 𝑎 − 4 𝑥 + 2𝑏 + 3 = 0 𝑎 − 4 = 0 𝑎 = 4 = 0 2𝑏 + 3 = 0∧ 𝑏 = − 3 2 ∧ Ejercicio: Teorema: 𝑆𝑖 𝑢𝑛 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑛 𝑠𝑒 𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚á𝑠 𝑑𝑒 𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑜 Ejercicio: Si el polinomio 𝑃 𝑥 = 𝑎 − 5 𝑥2 + 𝑏 + 1 𝑥 + 𝑐 − 2 se anula para más de 2 valores. Calcule a+b+c Resolución: 𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑃 𝑥 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 2 𝑦 𝑠𝑒 𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚á𝑠 𝑑𝑒 2 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑃 𝑥 = 𝑎 − 5 𝑥2 + 𝑏 + 1 𝑥 + 𝑐 − 2 = 0 = 0 = 0 𝑎 = 5 b = -1 c = 2 ∴ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 6 ∧ ∧ es un polinomio nulo es nulo C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Polinomios idénticos Dos polinomios 𝑃 𝑥 ;𝑄 𝑥 son idénticos si tienen el mismo valor numérico para cualquier valor de su variable. Dos polinomios 𝑃 𝑥 ;𝑄 𝑥 son idénticos si tienen el mismo grado y los mismos términos. NOTA: Si P 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐; 𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑠 𝑄 𝑥 = 𝑚𝑥2 + 𝑛𝑥 + 𝑝 Si P 𝑥 = 𝑄 𝑥 ; ∀𝑥 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠 𝑖𝑑é𝑛𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 , 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑚𝑥2 + 𝑛𝑥 + 𝑝; = = = L𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑎 = 𝑚 𝑏 = 𝑛 𝑐 = 𝑝∧ ∧ Ejercicio: Sean P 𝑥 = 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥 +e, además 𝑄 𝑥 = 2𝑥 − 1 4 + 𝑥 + 1 3 + 3. Si P 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 son polinomios idénticos. Calcule 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 Resolución: Como P 𝑥 = 𝑄 𝑥 ; ∀𝑥 P 1 = 𝑄 1 P 1 = 𝑎 1 4 + 𝑏 1 3 + 𝑐 1 2 + 𝑑 1 +e 𝑄 1 = 2 1 − 1 4 + 1 + 1 3 + 3 P 1 = 𝑄 1 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 = 12 P 1 = 𝑎 1 4 + 𝑏 1 3 + 𝑐 1 2 + 𝑑 1 +e = 1 + 8 + 3 = 12𝑄 1 = 2 1 − 1 4 + 1 + 1 3 + 3 ∀𝑥 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Cambio de variable Debido a que la variable en una notación matemática es “muda”, se puede cambiar una variable por cualquier otra Ejemplos: a) Sea P 𝑥 = 3𝑥 + 2 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥 <> 𝑡 P 𝑥 = 3𝑥 + 2 P 𝑡 = 3𝑡 + 2 𝑥 <> 𝑡 b) Sea P 𝑥 = 3𝑥 + 2 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥 <> 5𝑥 + 7 P 𝑥 = 3𝑥 + 2 P 5x + 7 = 3 5𝑥 + 7 + 2 𝑥 <> 5𝑥 +7 c) Sea P 𝑥 = 3𝑥 + 2 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥 <> P 𝑥 P 𝑥 = 3𝑥 + 2 P P 𝑥 = 3 𝑃 𝑥 + 2 𝑥 <> 𝑃 𝑥 P P 𝑥 = 3 3𝑥 + 2 + 2 P P 𝑥 = 9𝑥 + 6 + 2 P P 𝑥 = 9𝑥 + 8 P 𝑡 = 3𝑡 + 2 P 5x + 7 = 3 5𝑥 + 7 + 2 P P 𝑥 = 3 𝑃 𝑥 + 2 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Raíz de un polinomio Definición 𝑆𝑒𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑃 𝑥 , 𝑐𝑢𝑦𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠 𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 1. 𝐷𝑒𝑐𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝛼 𝑒𝑠 𝑟𝑎í𝑧 𝑑𝑒 𝑃 𝑥 ↔ 𝑃 𝛼 = 0. Ejemplos: Si P 𝑥 = 𝑥3 − 8𝑥 − 3; 𝑆𝑖 𝑥 = 1 𝑆𝑖 𝑥 = 2 𝑆𝑖 𝑥 = 3 P 1 = 1 3 − 8(1) − 3 P 𝑥 = 2 3 − 8 2 − 3 P 𝑥 = 3 3 − 8 3 − 3 = −10 = −11 = 0 ∴ 3 𝑒𝑠 𝑟𝑎í𝑧 𝑑𝑒 𝑃 𝑥 Raíz múltiple 𝑆𝑒𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑃 𝑥 , 𝑐𝑢𝑦𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠 𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 2. 𝑆𝑒 𝑑𝑖𝑐𝑒 𝛼 𝑒𝑠 𝑟𝑎í𝑧 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑘 𝑑𝑒 𝑃 𝑥 , 𝑠𝑖: 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 𝛼 𝑘 . 𝑄 𝑥 ; donde 𝑄 𝛼 ≠ 0 Ejemplos: En: P 𝑥 = 𝑥 + 4 3 . 𝑥 − 8 2 . 2𝑥 − 1 P 𝑥 = 𝑥 + 4 𝑥 + 4 𝑥 + 4 . 𝑥 − 8 𝑥 − 8 . 2𝑥 − 1 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 Raíces: −4 −4 −4 8 8 1/2 Raíz triple Raíz doble Raíz simple (Multiplicidad 3) (Multiplicidad 2) P 𝑥 = 𝑥 + 4 3. 𝑥 − 8 2 . 2𝑥 − 1 𝑛𝑜𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒: w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
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