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ÁLGEBRA P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L Ciclo Anual Virtual UNI Docente: Jimmy Astupillo FACTORIZACIÓN Semana 09 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A OBJETIVOS 𝑃 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎 → 𝑓 𝑥 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑃 𝑥 ✓ Utilizar los criterios de factorización. Para resolver grandes problemas, es necesario dividirlos en pequeñas partes y luego resolverlos por separado. ✓Reconocer los factores de un polinomio. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A FACTORIZACIÓN Factorizar un polinomio es transformarlo en una multiplicación indicada de factores primos. Se trabajará en ℤ, por tanto solo se trabajará con polinomios de coeficientes enteros. NOTA 𝑥2 − 9 Ejemplos 𝑥2 − 1 4 𝑥2 − 3 Factor algebraico Un polinomio 𝑓 𝑥 de grado no nulo, es considerado factor de otro polinomio 𝑃 𝑥 , si la división: 𝑃 𝑥 𝑓 𝑥 𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎 Es decir 𝑃 𝑥 = 𝑓 𝑥 . 𝑞 𝑥 factores Ejemplo De 𝑃 𝑥 = 2 𝑥 + 2 2𝑥 − 3 5𝑥 + 7 , tenemos que entre sus factores están 𝑥 + 2 = 𝑥 + 3 𝑥 − 3 = 𝑥 + 1 2 𝑥 − 1 2 = 𝑥 + 3 𝑥 − 3 ; 2𝑥 − 3 ; 5𝑥 + 7 o una combinación entre estos factores. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Ejemplo Halle el valor de n, para que 𝑥 − 2 𝑠𝑒𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑃 𝑥 = 2𝑥3 − 3𝑥 + 𝑛 Resolución Como 𝑥 − 2 es factor de 𝑃 𝑥 = 2𝑥3 − 3𝑥 + 𝑛. Entonces 𝑃 𝑥 𝑥 − 2 es exacta 𝑅 𝑥 = 0 Utilizando el teorema del resto 𝑅 𝑥 = 𝑃 2 0 = 2 2 3 − 3 2 + 𝑛 𝑛 = - 10 Polinomio irreductible Un polinomio es irreductible, si no puede ser expresado como la multiplicación de dos o más factores. Ejemplo 𝑎) 𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑃 𝑥 = 𝑥2 − 25, ¿ es irreductible? 𝑃 𝑥 = 𝑥2 − 25 factores 𝑃 𝑥 = 𝑥2 − 25 no es irreductible NOTA Todo polinomio de primer grado es irreductible = 𝑥2 − 52 = 𝑥 + 5 𝑥 − 5 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Factor primo Decimos que 𝑓 𝑥 es un factor primo del polinomio 𝑃 𝑥 , si verifica: 𝐼) 𝑓 𝑥 es un factor algebraico del polinomio 𝑃 𝑥 𝐼𝐼) 𝑓 𝑥 es un polinomio irreductible Ejemplo Si 𝑃 𝑥 = 3𝑥 − 2 5 5𝑥 − 1 2 7𝑥 + 9 , tenemos que sus factores primos son: 3𝑥 − 2 Ejemplo 𝑃 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 7𝑥2𝑦𝑧3 𝑥𝑦 + 1 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 Dado el polinomio ¿Cuántos factores primos tiene y cuáles son? Resolución Sus factores primos son 𝑥; 𝑦; 𝑧; 𝑥𝑦 + 1 ; 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 En total tiene 5 factores primos NOTA 𝑥2El factor no es primo, puesto que 𝑥2 = 𝑥. 𝑥 ; 5𝑥 − 1 ; 7𝑥 + 9 CRITERIOS DE FACTORIZACIÓN C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Factor común/ agrupación I) Busca un término común. 𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥𝑦 + 2𝑦 Resolución Ejemplo Factorice 𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥 𝑦 + 2 𝑦 𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑦 𝑥 + 2 II) Término común con menor exponente. Ejemplo Factorice 𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥4𝑦5 + 3𝑥3𝑦6 Resolución 𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥4 𝑦5 + 3 𝑥3 𝑦6 Menor exponente Menor exponente 𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥3𝑦5 III) Se agrupa para buscar factor común. Ejemplo 𝑥4𝑦5 𝑥3𝑦5 = 𝑥 3𝑥3𝑦6 𝑥3𝑦5 = 3𝑦 Factorice 𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥𝑦 + 2𝑥 + 3𝑦 + 6 𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥𝑦 + 2𝑥 + 3𝑦 + 6 Resolución Agrupando tenemos 𝑃 𝑥; 𝑦 𝑃 𝑥; 𝑦 𝑥 + 3𝑦 +3 𝑦 + 2= 𝑥 𝑦 + 2 = 𝑦 + 2 𝑥 + 3 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Por identidades 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎 ± 𝑏 2 𝑎2 − 𝑏2 = 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 Ejemplo Factorice 𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥 + 4 − 𝑦2 Resolución 𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥 + 4 − 𝑦2 𝑥 + 2 2 𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥 + 2 2 −𝑦2 𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥 + 2 + 𝑦 𝑥 + 2 − 𝑦 𝑎3 + 𝑏3 = 𝑎 + 𝑏 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 𝑎3 − 𝑏3 = 𝑎 − 𝑏 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 Ejemplo Factorice 𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥6 − 𝑦6 Resolución Ejemplo Factorice 𝑃 𝑥 = 𝑥4 + 6𝑥2 + 25 Resolución 𝑃 𝑥 = 𝑥4 + 25 + 6𝑥2 Se busca un TCP +10𝑥2 −10𝑥2 𝑃 𝑥 = 𝑥2 + 5 2 −4𝑥2 𝑃 𝑥 = 𝑥2 + 5 2− (2𝑥)2 𝑃 𝑥 = 𝑥2 + 5 + 2𝑥 𝑥2 + 5 − 2𝑥 𝑃 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 + 5 𝑥2 − 2𝑥 + 5 𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥3 2 − 𝑦3 2 𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥3 + 𝑦3 𝑥3 − 𝑦3 Suma de cubos Diferencia de cubos 𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2 𝑥 − 𝑦 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Aspa simple 𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑎 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎: 𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝐴𝑥2𝑚 + 𝐵𝑥𝑚𝑦𝑛 + 𝐶𝑦2𝑛 Procedimiento I) Descomponer los extremos convenientemente 𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝐴𝑥2𝑚 + 𝐵𝑥𝑚𝑦𝑛 + 𝐶𝑦2𝑛 𝑎1𝑥 𝑚 𝑎2𝑥 𝑚 𝑐1𝑦 𝑛 𝑐2𝑦 𝑛 II) Se comprueba que el término central es igual a la suma de los productos parciales en forma de aspa III) Luego 𝑎2𝑐1𝑥 𝑚𝑦𝑛 𝑎1𝑐2𝑥 𝑚𝑦𝑛 + 𝐵 = 𝑎2𝑐1 + 𝑎1𝑐2 𝑃 𝑥; 𝑦 = Factor Factor 𝑎1𝑥 𝑚 + 𝑐1𝑦 𝑛 𝑎2𝑥 𝑚 + 𝑐2𝑦 𝑛 Ejemplo 1 𝑃 𝑥 = 3𝑥2 + 10𝑥 + 8 3𝑥 𝑥 +4 +2 +4𝑥 +6𝑥 +Factor Factor +10𝑥 𝑃 𝑥 = 3𝑥 + 4 𝑥 + 2 Ejemplo 2 𝑃 𝑥; 𝑦 = 15𝑥4 − 11𝑥2𝑦2 + 2𝑦4 5𝑥2 3𝑥2 −2𝑦2 −𝑦2 −6𝑥2𝑦2 −5𝑥2𝑦2 + Factor Factor −11𝑥2𝑦2 𝑃 𝑥; 𝑦 = 5𝑥2 − 2𝑦2 3𝑥2 − 𝑦2 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Aspa doble especial 𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑎 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜, 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑜𝑠 𝑦 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒. Procedimiento I) Se descomponen los extremos. 𝑃 𝑥 = 𝐴𝑥4 + 𝐵𝑥3 + 𝐶𝑥2 + 𝐷𝑥 + 𝐸 𝑎1𝑥 2 𝑎2𝑥 2 𝑒1 𝑒2 𝑎2𝑒1𝑥 2 𝑎1𝑒2𝑥 2 (+) 𝐹𝑥2 (−) 𝑘1𝑥 𝑘2𝑥 𝐾𝑥2 II) Se realiza el aspa simple con los extremos y se obtiene 𝐹𝑥2. IV) Se descompone 𝐾𝑥2, de tal manera que cumple las dos aspas simples en ambos lados. V) Los factores se toma en forma horizontal. 𝑃 𝑥 = Factor Factor III) Se realiza la diferencia 𝐶𝑥2 − 𝐹𝑥2 = 𝐾𝑥2. 𝑎1𝑥 2 + 𝑘1𝑥 + 𝑒1 𝑎2𝑥 2 + 𝑘2𝑥 + 𝑒2 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Ejemplo 1 𝑃 𝑥 = 𝑥4 + 7𝑥3 + 14𝑥2 + 7𝑥 + 1 𝑥2 𝑥2 +1 +1 +𝑥2 +𝑥2 (+) +2𝑥2 (−) +3𝑥 +4𝑥 +12𝑥2 Factor Factor Factorice 𝑃 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥 + 1 𝑥 2 + 4𝑥 + 1 Ejemplo 2 𝑃 𝑥 = 𝑥4 + 𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥 − 15 𝑥2 𝑥2 +5 -3 +5𝑥2 −3𝑥2 (+) +2𝑥2 (−) +0𝑥 +𝑥 +0𝑥2 Factor Factor Factorice 𝑃 𝑥 = 𝑥2 + 0𝑥 + 5 𝑥2 + 𝑥 − 3 𝑃 𝑥 = 𝑥2 + 5 𝑥2 + 𝑥 − 3 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I ACriterio de divisores binómicos Se utiliza para factorizar los polinomios en una variable y de grado superior a dos, siempre y cuando admita por lo menos un factor lineal. Raíz de un polinomio Si P 𝑥 es un polinomio de grado mayor que cero, decimos que 𝛼 es raíz del polinomio P 𝑥 , sí y solo sí P 𝛼 = 0 𝑃 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥 − 2 Ejemplo 𝑃 0 = (0)3−3 0 − 2 = −2 → 𝑃 1 = (1)3−3 1 − 2 = −4 → 𝑃 2 = (2)3−3 2 − 2 = 0 → Posibles raíces racionales (P.R.R) Para conocer las posibles raíces racionales de un polinomio P 𝑥 de coeficientes enteros. P 𝑥 = 𝑎0𝑥 𝑛 + 𝑎1𝑥 𝑛−1 + 𝑎2𝑥 𝑛−2 +⋯+ 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛 Se utilizará el siguiente criterio P. R. R = ± 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑛 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎0 (𝑎0. 𝑎𝑛 ≠ 0) Ejemplo 𝑃 𝑥 = 3𝑥4 + 2𝑥2 + 4𝑥 − 9 → P. R. R = ± 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 9 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 3 P. R. R = ± 1; 3; 9 1; 3 ; = ± 1; 3; 9; 1 3 0 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑟𝑎í𝑧 1 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑟𝑎í𝑧 2 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑟𝑎í𝑧 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A NOTA Las posibles raíces racionales (P.R.R), nos muestran los valores racionales que posiblemente puedan ser raíces del polinomio con coeficientes enteros. 𝑃 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 − 2 tenemos: 𝑃. 𝑅. 𝑅 Si 𝑃. 𝑅. 𝑅 = 1;−1; 2; −2; 1 2 ;− 1 2 evaluando 𝑃 1 = −3 𝑃 −1 = 3 𝑃 2 = 0 𝑃 −2 = 12 𝑃 1 2 = −3 𝑃 − 1 2 = 0 No son raíces Son raíces De los 6 posibles valores, solo 2 son raíces Teorema del factor 𝛼 es una raíz del polinomio P 𝑥 si y solo si 𝑥 − 𝛼 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑃 𝑥 Ejemplo 𝑃 𝑥 = 𝑥3 + 5𝑥 + 6Si tenemos: 𝑃. 𝑅. 𝑅 = ± 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 6 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 1 como 𝑃 −1 = −1 3 + 5 −1 + 6 = 0 -1 es raíz de 𝑃 𝑥 𝑥 − −1 = 𝑃 𝑥 = NOTA 𝑞(𝑥) se calcula por división (reglade Ruffini) Criterio de divisores binómicos = ± 1; 2; 3; 6 1 = ± 1; 2; 3; 6 𝑥 + 1 es un factor de 𝑃 𝑥 𝑥 + 1 𝑞(𝑥) = ± 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 2 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 2 = ± 1; 2 1; 2 = ± 1; 2; 1 2 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I ACriterio de divisores binómicos Procedimiento Dado el polinomio P 𝑥 = 𝑎0𝑥 𝑛 + 𝑎1𝑥 𝑛−1 + 𝑎2𝑥 𝑛−2 +⋯+ 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛 con coeficientes enteros, donde 𝑎0. 𝑎𝑛 ≠ 0 I) Se halla sus P.R.R que nos permite encontrar una raíz del polinomio; por teorema del factor, se podrá conocer un factor. II) Se hace una división por Ruffini entre el polinomio y el factor encontrado, siendo el cociente el otro factor buscado. Ejemplo Factorice 𝑃 𝑥 = 𝑥3 − 7𝑥 + 6 Resolución I) Tenemos 𝑃. 𝑅. 𝑅 = ± 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 6 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 1 Como 𝑃 1 = (1)3−7 1 + 6 = 0 1 𝑒𝑠 𝑟𝑎í𝑧 𝑑𝑒 𝑃(𝑥) 𝑥 − 1 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑃 𝑥 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑞 𝑥 = ± 1; 2; 3; 6 1 = ± 1; 2; 3; 6 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A II) Encontramos el otro factor por la regla de Ruffini 𝑃 𝑥 ÷ 𝑥 − 1 Criterio de divisores binómicos Tenemos: 𝑃 𝑥 𝑥 − 1 = 𝑥3 − 7𝑥 + 6 𝑥 − 1 = 𝑥3 + 0𝑥2 − 7𝑥 + 6 𝑥 − 1 Por la regla de Ruffini, tenemos: 𝑥 − 1 = 0 𝑥 = 1 1 0 −7 6 1 1 1 1 −6 −6 0 𝑞 𝑥 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑞 𝑥Recordemos que 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑥2 + 𝑥 − 6 Se puede factorizar por aspa simple 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑥2 + 𝑥 − 6 𝑥 𝑥 +3 −2 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑥 + 3 𝑥 − 2 w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
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