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ÁLGEBRA P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L Ciclo Anual Virtual UNI Docente: Jimmy Astupillo NÚMEROS COMPLEJOS I Semana 10 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A OBJETIVOS ✓ Extender el campo numérico ✓ Entender la unidad imaginaria ✓ Entender un número complejo y sus partes. ✓ Operar números complejo. 𝑖2 = −1 Ovillo de Von Koch C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A 𝑼𝑵𝑰𝑫𝑨𝑫 𝑰𝑴𝑨𝑮𝑰𝑵𝑨𝑹𝑰𝑨 La unidad imaginaria (i), denotado por Euler en 1777, se define como el número cuyo cuadrado resulta -1. Potencias enteras de i 𝑖2 = −1 𝑖 = −1NOTA Para facilitar el aprendizaje Se definen: 𝑖0 = 1 𝑖1 = 𝑖 𝑖1 = 𝑖 𝑖2 = −1 𝑖3 = −𝑖 𝑖4 = 1 𝑖5 = 𝑖 𝑖6 = −1 𝑖7 = −𝑖 𝑖8 = 1 𝑖9 = 𝑖 𝑖10 = −1 𝑖11 = −𝑖 𝑖12 = 1 luego Se deduce que: 1) 𝑖4𝑛 = 1; 𝑛 ∈ ℤ 2) 𝑖4𝑛+𝑟 = 𝑖𝑟; 𝑟; 𝑛 ⊂ ℤ 3) 𝑖𝑛 + 𝑖𝑛+1 + 𝑖𝑛+2 + 𝑖𝑛+3 = 0; 𝑛 ∈ ℤ Ejemplo 𝑅𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟: 𝑀 = 𝑖 + 𝑖2 + 𝑖3 + 𝑖4 + 𝑖5 𝑀 = 𝑖 + 𝑖2 + 𝑖3 + 𝑖4 + 𝑖5 0 𝑖 = 𝑖 (𝑖) NOTA 𝑖−1 𝑖−1 = −𝑖= 1 𝑖 × 𝑖 𝑖 = 𝑖 −1 = −𝑖 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Resultados importantes 1) 1 + 𝑖 2 = 12 + 2 1 𝑖 + 𝑖2 −1 1 + 𝑖 2 = 1 + 2𝑖 − 1 = 2𝑖 1 + 𝑖 2 = 2𝑖 2) 1 − 𝑖 2 = 12 − 2 1 𝑖 + 𝑖2 −1 1 − 𝑖 2 = 1 − 2𝑖 − 1 = −2𝑖 1 − 𝑖 2 = −2𝑖 3) 1 + 𝑖 1 − 𝑖 (−1) 4) 1 − 𝑖 1 + 𝑖 1 + 𝑖 1 − 𝑖 = 𝑖 1 − 𝑖 1 + 𝑖 = −𝑖 = 1 + 𝑖 1 − 𝑖 × 1 + 𝑖 1 + 𝑖 = 1 + 𝑖 2 12 − 𝑖2 = 2𝑖 2 = 𝑖 (−1) = 1 − 𝑖 1 + 𝑖 × 1 − 𝑖 1 − 𝑖 = 1 − 𝑖 2 12 − 𝑖2 = −2𝑖 2 = −𝑖 5) 𝑏 − 𝑎𝑖 𝑖 = 𝑏𝑖 − 𝑎 𝑖2 (−1) 𝑏 − 𝑎𝑖 𝑖 = 𝑏𝑖 + 𝑎 𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑏 − 𝑎𝑖 Luego: 5 + 7𝑖 7 − 5𝑖 = 𝑖 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A 𝑭𝑶𝑹𝑴𝑨 𝑩𝑰𝑵Ó𝑴𝑰𝑪𝑨 Todo número complejo z tiene la forma 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: Es decir: 𝑅𝑒 𝑧 = 𝑥 ∶ 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙 I𝑚 𝑧 = 𝑦 ∶ 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑖2 = −1𝑥; 𝑦 ∈ ℝ ; Nota El conjunto de los números complejos; se denota por: ℂ = 𝑥 + 𝑦𝑖 ∶ 𝑥𝜖ℝ ∧ 𝑦𝜖ℝ Ejemplos Tenemos: 1) 𝑧1 = 3 − 7𝑖 𝑅𝑒 𝑧1 = 3 𝐼𝑚 𝑧1 = −7 2) 𝑧2 = 3 2 + 5𝑖 𝑅𝑒 𝑧2 = 3 2 𝐼𝑚 𝑧2 = 5 3) 𝑧2 = 0 − 9𝑖 𝑅𝑒 𝑧2 = 0 𝐼𝑚 𝑧2 = −9 4) 𝑧2 = −4 + 0𝑖 𝑅𝑒 𝑧2 = −4 𝐼𝑚 𝑧2 = 0 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A 𝑹𝑬𝑷𝑹𝑬𝑺𝑬𝑵𝑻𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 𝑮𝑹Á𝑭𝑰𝑪𝑨 Los números complejos se pueden ubicar en el plano complejo, que está compuesto por el eje real y el eje imaginario. 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 𝐸𝑗𝑒 𝑅𝑒𝑎𝑙 𝐸𝑗𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑥 𝑦 Ejemplos 𝑅𝑒(𝑧) 𝐼𝑚(𝑧) 3 5 −2−3 2 5 −3 −4 𝑧1 = 3 + 2𝑖 𝑧2 = −3 + 5𝑖 𝑧3 = −2 − 4𝑖 𝑧4 = 5 − 3𝑖 Grafique 𝑧1 = 3 + 2𝑖 ; 𝑧2 = −3 + 5𝑖 ; 𝑧3 = −2 − 4𝑖 ; 𝑧4 = 5 − 3𝑖 𝐷𝑎𝑑𝑜: 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, 𝑠𝑢 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑠 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Tipos de números complejos Diremos que 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, es 1) 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 2) 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑝𝑢𝑟𝑜 Ejemplos 𝑎) 𝑧 = 6 + 0𝑖 = 6 𝑏) 𝑤 = −7 + 0𝑖 = −7 3) 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0 Ejemplos 𝑅𝑒 𝐼𝑚 6−7 𝑎) 𝑧 = 0 + 3𝑖 = 3𝑖 𝑏) 𝑤 = 0 − 4𝑖 = −4𝑖 𝑧 = 6 + 0𝑖𝑤 = −7 + 0𝑖 𝑅𝑒 𝐼𝑚 𝑅𝑒 𝐼𝑚 𝑧 = 0 + 0𝑖 𝑧 = 0 + 0𝑖 −4 3 𝑧 = 0 + 3𝑖 𝑤 = 0 − 4𝑖 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 = 0 𝑠𝑖 𝑥 = 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Tipos de números complejos 𝑆𝑖 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 Complejo conjugado ( ҧ𝑧) ҧ𝑧 = 𝑥 − 𝑦𝑖 𝑆𝑖 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 Complejo opuesto (𝑧∗) 𝑧∗ = −𝑥 − 𝑦𝑖 Ejemplos Ejemplos 1) 𝑧1 = 3 − 7𝑖 ഥ𝑧1 = 3 + 7𝑖 2) 𝑧2 = −4 + 5𝑖 ഥ𝑧2 = −4 − 5𝑖 3) 𝑧3 = 0 − 6𝑖 ഥ𝑧3 = 0 + 6𝑖 4) 𝑧4 = 6 + 0𝑖 ഥ𝑧4 = 6 − 0𝑖 𝑧3 = −6𝑖 ഥ𝑧3 = 6𝑖 𝑧4 = 6 ഥ𝑧4 = 6 1) 𝑧1 = 4 − 5𝑖 𝑧1 ∗ = −4 + 5𝑖 2) 𝑧2 = −3 + 7𝑖 𝑧2 ∗ = 3 − 7𝑖 3) 𝑧3 = 0 − 5𝑖 𝑧3 ∗ = −0 + 5𝑖 𝑧3 = −5𝑖 𝑧3 ∗ = 5𝑖 4) 𝑧4 = 8 + 0𝑖 𝑧4 ∗ = −8 − 0𝑖 𝑧4 = −5𝑖 𝑧4 ∗ = −8 − 0𝑖 NOTA: 𝑧 = ҧ𝑧 𝑧 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Operaciones en ℂ Luego: I) Igualdad de complejos: 𝑧1 = 𝑧2 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎; 𝑏;𝑚; 𝑛 ∈ ℝ𝑧2 = 𝑚 + 𝑛𝑖 𝑎 = 𝑚 𝑏 = 𝑛∧ Ejemplo ∧ 𝑧2 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑎𝑏𝑖 𝑆𝑖: 𝑧1 = 𝑧2. Resolución 𝑧1= 5 + 3𝑖𝐷𝑎𝑑𝑜 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑎2 + 𝑏2 Tenemos que: 𝑧1 = 𝑧2 5 + 3𝑖 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑎𝑏𝑖 5 = 𝑎 + 𝑏 ∧ 3 = 𝑎𝑏 Sabemos (𝑎 + 𝑏)2= 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏 5 3 52 = 𝑎2 + 𝑏2 + 2(3) 25 = 𝑎2 + 𝑏2 + 6 𝑎2 + 𝑏2 = 19∴ ; 𝑎; 𝑏 ∈ ℝ C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A 𝑧1 + 𝑧2 = (𝑎 +𝑚) + (𝑏 + 𝑛)𝑖 II) Adición: Ejemplo 𝑧1 = 5 + 7𝑖 𝑧2 = −4 + 3𝑖 𝑧1 + 𝑧2 = 1 + 10𝑖 (+) 𝑧1 = 5 + 7𝑖 ; 𝑧2 = −4 + 3𝑖Sean 𝑧1 − 𝑧2 = (𝑎 −𝑚) + (𝑏 − 𝑛)𝑖 III) Sustracción: Ejemplo 𝑧1 = 3 − 4𝑖 𝑧2 = 8 + 9𝑖 𝑧1 − 𝑧2 = −5 − 13𝑖 (−) 𝑧1 = 3 − 4𝑖 𝑧2 = 8 + 9𝑖 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎; 𝑏;𝑚; 𝑛 ∈ ℝ𝑧2 = 𝑚 + 𝑛𝑖 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎; 𝑏;𝑚; 𝑛 ∈ ℝ𝑧2 = 𝑚 + 𝑛𝑖 Sean C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A 𝑧1. 𝑧2 = (𝑎𝑚 − 𝑏𝑛) + (𝑎𝑛 + 𝑏𝑚)𝑖 IV) Multiplicación: Ejemplo 𝑧1. 𝑧2 = 2 + 3𝑖 4 + 5𝑖 𝑧1 = 2 + 3𝑖 ; 𝑧2= 4 + 5𝑖 𝑧1. 𝑧2 = 8 + 10𝑖 + 12𝑖 − 15 𝑧1. 𝑧2 = −7 + 22𝑖 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎; 𝑏;𝑚; 𝑛 ∈ ℝ𝑧2 = 𝑚 + 𝑛𝑖 Luego 𝑧1. 𝑧2 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑚 + 𝑛𝑖 𝑧1. 𝑧2 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑛𝑖 + 𝑏𝑚𝑖 + 𝑏𝑛 𝑖 2 −1 𝑧1. 𝑧2 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑛𝑖 + 𝑏𝑚𝑖 − 𝑏𝑛 Sean 𝐸𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑧1. 𝑧2 Resolución 𝑧1. 𝑧2 = 2.4 + 2.5𝑖 + 3𝑖. 4 + 3.5𝑖 2 −1 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A V) División: 𝑧1 𝑧2 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑚 + 𝑛𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑚 + 𝑛𝑖 × 𝑚 − 𝑛𝑖 𝑚 − 𝑛𝑖 = 𝑎𝑚 + 𝑏𝑛 + 𝑏𝑚 − 𝑎𝑛 𝑖 𝑚2 + 𝑛2 = 𝑎𝑚 + 𝑏𝑛 𝑚2 + 𝑛2 + 𝑏𝑚 − 𝑎𝑛 𝑚2 + 𝑛2 𝑖 𝑧1 𝑧2 𝑧1 𝑧2 Ejemplo 𝑧1 = 3 + 2𝑖 ; 𝑧2 = 4 + 3𝑖 Resolución 𝑧1 𝑧2 = 3 + 2𝑖 4 + 3𝑖 × 4 − 3𝑖 4 − 3𝑖 = 3 + 2𝑖 4 − 3𝑖 4 + 3𝑖 4 − 3𝑖= 𝑎𝑚 + 𝑏𝑛 + 𝑏𝑚 − 𝑎𝑛 𝑖 𝑚2 − 𝑛2𝑖2 𝑧1 𝑧2 −1 𝑧1 𝑧2 = 12 − 9𝑖 + 8𝑖 + 6 42 + 32 𝑧1 𝑧2 = 18 − 𝑖 42 + 32 25 𝑧1 𝑧2 = 18 25 − 𝑖 25 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A TEOREMA 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑚 + 𝑛𝑖 𝑆𝑖 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙. 𝑎 𝑚 = 𝑏 𝑛 DEMOSTRACIÓN 𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑚 + 𝑛𝑖 = 𝑘 ; 𝑘 ∈ ℝ 𝑂𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑘 𝑚 + 𝑛𝑖 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑘𝑚 + 𝑘𝑛𝑖 𝑎 = 𝑘𝑚 ∧ 𝑏 = 𝑘𝑛 𝑘 = 𝑎 𝑚 𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑘 = 𝑎 𝑚 = 𝑏 𝑛 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑘 = 𝑏 𝑛 ∧ Ejemplo 𝑎; 𝑏;𝑚; 𝑛 ∈ ℝNOTA: 𝑎 + 4𝑖 3 + 𝑏𝑖 𝑆𝑖 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙. 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑦 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠. 𝐸𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎. 𝑏 Resolución 𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑎 3 = 4 𝑏 𝑎. 𝑏 = 12 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A TEOREMA 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑚 + 𝑛𝑖 𝑆𝑖 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜 − 𝑎 𝑛 = 𝑏 𝑚 DEMOSTRACIÓN 𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑚 + 𝑛𝑖 = 𝑘𝑖 ; 𝑘 ∈ ℝ 𝑂𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑘𝑖 𝑚 + 𝑛𝑖 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑘𝑚𝑖 − 𝑘𝑛 𝑎 = −𝑘𝑛 ∧ 𝑏 = 𝑘m 𝑘 = − 𝑎 𝑛 𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑘 = − 𝑎 𝑛 = 𝑏 𝑚 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑘 = 𝑏 𝑚 ∧ Ejemplo 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑝𝑢𝑟𝑜. 𝑎; 𝑏;𝑚; 𝑛 ∈ ℝNOTA: 𝑎 + 𝑏𝑖 −3 + 4𝑖 𝑆𝑖 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑝𝑢𝑟𝑜. 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑦 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠. 𝐸𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎 𝑏 Resolución 𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 − 𝑎 −3 = 𝑏 4 𝑎 𝑏 = 3 4 w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
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