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Anual Uni Semana 10 - Álgebra - Camila Darien

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ÁLGEBRA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual Virtual UNI
Docente: Jimmy Astupillo
NÚMEROS 
COMPLEJOS I
Semana 10
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
OBJETIVOS
✓ Extender el campo numérico
✓ Entender la unidad imaginaria
✓ Entender un número complejo y
sus partes.
✓ Operar números complejo.
𝑖2 = −1
Ovillo de Von Koch
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝑼𝑵𝑰𝑫𝑨𝑫 𝑰𝑴𝑨𝑮𝑰𝑵𝑨𝑹𝑰𝑨
La unidad imaginaria (i), denotado por Euler en
1777, se define como el número cuyo cuadrado
resulta -1.
Potencias enteras de i
𝑖2 = −1
𝑖 = −1NOTA Para facilitar el aprendizaje
Se definen: 𝑖0 = 1 𝑖1 = 𝑖
𝑖1 = 𝑖
𝑖2 = −1
𝑖3 = −𝑖
𝑖4 = 1
𝑖5 = 𝑖
𝑖6 = −1
𝑖7 = −𝑖
𝑖8 = 1
𝑖9 = 𝑖
𝑖10 = −1
𝑖11 = −𝑖
𝑖12 = 1
luego
Se deduce que:
1) 𝑖4𝑛 = 1; 𝑛 ∈ ℤ
2) 𝑖4𝑛+𝑟 = 𝑖𝑟; 𝑟; 𝑛 ⊂ ℤ
3) 𝑖𝑛 + 𝑖𝑛+1 + 𝑖𝑛+2 + 𝑖𝑛+3 = 0; 𝑛 ∈ ℤ
Ejemplo
𝑅𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟: 𝑀 = 𝑖 + 𝑖2 + 𝑖3 + 𝑖4 + 𝑖5
𝑀 = 𝑖 + 𝑖2 + 𝑖3 + 𝑖4 + 𝑖5
0 𝑖
= 𝑖
(𝑖)
NOTA
𝑖−1
𝑖−1 = −𝑖=
1
𝑖
×
𝑖
𝑖
=
𝑖
−1
= −𝑖
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Resultados importantes
1) 1 + 𝑖 2 = 12 + 2 1 𝑖 + 𝑖2
−1
1 + 𝑖 2 = 1 + 2𝑖 − 1 = 2𝑖
1 + 𝑖 2 = 2𝑖
2) 1 − 𝑖 2 = 12 − 2 1 𝑖 + 𝑖2
−1
1 − 𝑖 2 = 1 − 2𝑖 − 1 = −2𝑖
1 − 𝑖 2 = −2𝑖
3)
1 + 𝑖
1 − 𝑖
(−1)
4)
1 − 𝑖
1 + 𝑖
1 + 𝑖
1 − 𝑖
= 𝑖
1 − 𝑖
1 + 𝑖
= −𝑖
=
1 + 𝑖
1 − 𝑖
×
1 + 𝑖
1 + 𝑖
=
1 + 𝑖 2
12 − 𝑖2
=
2𝑖
2
= 𝑖
(−1)
=
1 − 𝑖
1 + 𝑖
×
1 − 𝑖
1 − 𝑖
=
1 − 𝑖 2
12 − 𝑖2
=
−2𝑖
2
= −𝑖
5) 𝑏 − 𝑎𝑖 𝑖 = 𝑏𝑖 − 𝑎 𝑖2
(−1)
𝑏 − 𝑎𝑖 𝑖 = 𝑏𝑖 + 𝑎
𝑖 =
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑏 − 𝑎𝑖
Luego:
5 + 7𝑖
7 − 5𝑖
= 𝑖
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝑭𝑶𝑹𝑴𝑨 𝑩𝑰𝑵Ó𝑴𝑰𝑪𝑨
Todo número complejo z tiene la forma
𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:
Es decir:
𝑅𝑒 𝑧 = 𝑥 ∶ 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙
I𝑚 𝑧 = 𝑦 ∶ 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎
𝑖2 = −1𝑥; 𝑦 ∈ ℝ ;
Nota
El conjunto de los números complejos; se denota por:
ℂ = 𝑥 + 𝑦𝑖 ∶ 𝑥𝜖ℝ ∧ 𝑦𝜖ℝ
Ejemplos Tenemos:
1) 𝑧1 = 3 − 7𝑖
𝑅𝑒 𝑧1 = 3 𝐼𝑚 𝑧1 = −7
2) 𝑧2 =
3
2
+ 5𝑖
𝑅𝑒 𝑧2 =
3
2
𝐼𝑚 𝑧2 = 5
3) 𝑧2 = 0 − 9𝑖
𝑅𝑒 𝑧2 = 0 𝐼𝑚 𝑧2 = −9
4) 𝑧2 = −4 + 0𝑖
𝑅𝑒 𝑧2 = −4 𝐼𝑚 𝑧2 = 0
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
𝑹𝑬𝑷𝑹𝑬𝑺𝑬𝑵𝑻𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 𝑮𝑹Á𝑭𝑰𝑪𝑨
Los números complejos se pueden ubicar en el plano 
complejo, que está compuesto por el eje real y el eje 
imaginario. 
𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖
𝐸𝑗𝑒 𝑅𝑒𝑎𝑙
𝐸𝑗𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜
𝑥
𝑦
Ejemplos
𝑅𝑒(𝑧)
𝐼𝑚(𝑧)
3
5
−2−3
2
5
−3
−4
𝑧1 = 3 + 2𝑖
𝑧2 = −3 + 5𝑖
𝑧3 = −2 − 4𝑖
𝑧4 = 5 − 3𝑖
Grafique
𝑧1 = 3 + 2𝑖 ; 𝑧2 = −3 + 5𝑖 ; 𝑧3 = −2 − 4𝑖 ; 𝑧4 = 5 − 3𝑖
𝐷𝑎𝑑𝑜: 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, 𝑠𝑢 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑠
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Tipos de números complejos Diremos que 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, es
1) 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 2) 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑝𝑢𝑟𝑜
Ejemplos
𝑎) 𝑧 = 6 + 0𝑖 = 6
𝑏) 𝑤 = −7 + 0𝑖 = −7
3) 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0
Ejemplos
𝑅𝑒
𝐼𝑚
6−7
𝑎) 𝑧 = 0 + 3𝑖 = 3𝑖
𝑏) 𝑤 = 0 − 4𝑖 = −4𝑖
𝑧 = 6 + 0𝑖𝑤 = −7 + 0𝑖
𝑅𝑒
𝐼𝑚
𝑅𝑒
𝐼𝑚
𝑧 = 0 + 0𝑖
𝑧 = 0 + 0𝑖
−4
3 𝑧 = 0 + 3𝑖
𝑤 = 0 − 4𝑖
𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 = 0 𝑠𝑖 𝑥 = 0 ∧ 𝑦 ≠ 0
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A Tipos de números complejos
𝑆𝑖 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖
Complejo conjugado ( ҧ𝑧)
ҧ𝑧 = 𝑥 − 𝑦𝑖 𝑆𝑖 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖
Complejo opuesto (𝑧∗)
𝑧∗ = −𝑥 − 𝑦𝑖
Ejemplos Ejemplos
1) 𝑧1 = 3 − 7𝑖 ഥ𝑧1 = 3 + 7𝑖
2) 𝑧2 = −4 + 5𝑖 ഥ𝑧2 = −4 − 5𝑖
3) 𝑧3 = 0 − 6𝑖 ഥ𝑧3 = 0 + 6𝑖
4) 𝑧4 = 6 + 0𝑖 ഥ𝑧4 = 6 − 0𝑖
𝑧3 = −6𝑖 ഥ𝑧3 = 6𝑖
𝑧4 = 6 ഥ𝑧4 = 6
1) 𝑧1 = 4 − 5𝑖 𝑧1
∗ = −4 + 5𝑖
2) 𝑧2 = −3 + 7𝑖 𝑧2
∗ = 3 − 7𝑖
3) 𝑧3 = 0 − 5𝑖 𝑧3
∗ = −0 + 5𝑖
𝑧3 = −5𝑖 𝑧3
∗ = 5𝑖
4) 𝑧4 = 8 + 0𝑖 𝑧4
∗ = −8 − 0𝑖
𝑧4 = −5𝑖 𝑧4
∗ = −8 − 0𝑖
NOTA: 𝑧 = ҧ𝑧 𝑧 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
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Operaciones en ℂ
Luego:
I) Igualdad de complejos:
𝑧1 = 𝑧2
𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎; 𝑏;𝑚; 𝑛 ∈ ℝ𝑧2 = 𝑚 + 𝑛𝑖
𝑎 = 𝑚 𝑏 = 𝑛∧
Ejemplo
∧ 𝑧2 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑎𝑏𝑖
𝑆𝑖: 𝑧1 = 𝑧2.
Resolución
𝑧1= 5 + 3𝑖𝐷𝑎𝑑𝑜
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑎2 + 𝑏2
Tenemos que: 𝑧1 = 𝑧2
5 + 3𝑖 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑎𝑏𝑖
5 = 𝑎 + 𝑏 ∧ 3 = 𝑎𝑏
Sabemos
(𝑎 + 𝑏)2= 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏
5 3
52 = 𝑎2 + 𝑏2 + 2(3) 25 = 𝑎2 + 𝑏2 + 6
𝑎2 + 𝑏2 = 19∴
; 𝑎; 𝑏 ∈ ℝ
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𝑧1 + 𝑧2 = (𝑎 +𝑚) + (𝑏 + 𝑛)𝑖
II) Adición:
Ejemplo
𝑧1 = 5 + 7𝑖
𝑧2 = −4 + 3𝑖
𝑧1 + 𝑧2 = 1 + 10𝑖
(+)
𝑧1 = 5 + 7𝑖 ; 𝑧2 = −4 + 3𝑖Sean
𝑧1 − 𝑧2 = (𝑎 −𝑚) + (𝑏 − 𝑛)𝑖
III) Sustracción:
Ejemplo
𝑧1 = 3 − 4𝑖
𝑧2 = 8 + 9𝑖
𝑧1 − 𝑧2 = −5 − 13𝑖
(−)
𝑧1 = 3 − 4𝑖 𝑧2 = 8 + 9𝑖
𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎; 𝑏;𝑚; 𝑛 ∈ ℝ𝑧2 = 𝑚 + 𝑛𝑖 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎; 𝑏;𝑚; 𝑛 ∈ ℝ𝑧2 = 𝑚 + 𝑛𝑖
Sean
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𝑧1. 𝑧2 = (𝑎𝑚 − 𝑏𝑛) + (𝑎𝑛 + 𝑏𝑚)𝑖
IV) Multiplicación: Ejemplo
𝑧1. 𝑧2 = 2 + 3𝑖 4 + 5𝑖
𝑧1 = 2 + 3𝑖 ; 𝑧2= 4 + 5𝑖
𝑧1. 𝑧2 = 8 + 10𝑖 + 12𝑖 − 15
𝑧1. 𝑧2 = −7 + 22𝑖
𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎; 𝑏;𝑚; 𝑛 ∈ ℝ𝑧2 = 𝑚 + 𝑛𝑖
Luego
𝑧1. 𝑧2 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑚 + 𝑛𝑖
𝑧1. 𝑧2 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑛𝑖 + 𝑏𝑚𝑖 + 𝑏𝑛 𝑖
2
−1
𝑧1. 𝑧2 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑛𝑖 + 𝑏𝑚𝑖 − 𝑏𝑛
Sean
𝐸𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑧1. 𝑧2
Resolución
𝑧1. 𝑧2 = 2.4 + 2.5𝑖 + 3𝑖. 4 + 3.5𝑖
2
−1
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V) División:
𝑧1
𝑧2
=
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑚 + 𝑛𝑖
=
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑚 + 𝑛𝑖
×
𝑚 − 𝑛𝑖
𝑚 − 𝑛𝑖
=
𝑎𝑚 + 𝑏𝑛 + 𝑏𝑚 − 𝑎𝑛 𝑖
𝑚2 + 𝑛2
=
𝑎𝑚 + 𝑏𝑛
𝑚2 + 𝑛2
+
𝑏𝑚 − 𝑎𝑛
𝑚2 + 𝑛2
𝑖
𝑧1
𝑧2
𝑧1
𝑧2
Ejemplo
𝑧1 = 3 + 2𝑖 ; 𝑧2 = 4 + 3𝑖
Resolución
𝑧1
𝑧2
=
3 + 2𝑖
4 + 3𝑖
×
4 − 3𝑖
4 − 3𝑖
=
3 + 2𝑖 4 − 3𝑖
4 + 3𝑖 4 − 3𝑖=
𝑎𝑚 + 𝑏𝑛 + 𝑏𝑚 − 𝑎𝑛 𝑖
𝑚2 − 𝑛2𝑖2
𝑧1
𝑧2
−1
𝑧1
𝑧2
=
12 − 9𝑖 + 8𝑖 + 6
42 + 32
𝑧1
𝑧2
=
18 − 𝑖
42 + 32
25
𝑧1
𝑧2
=
18
25
−
𝑖
25
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
TEOREMA
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑚 + 𝑛𝑖
𝑆𝑖 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙.
𝑎
𝑚
=
𝑏
𝑛
DEMOSTRACIÓN
𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑚 + 𝑛𝑖
= 𝑘 ; 𝑘 ∈ ℝ
𝑂𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜
𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑘 𝑚 + 𝑛𝑖
𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑘𝑚 + 𝑘𝑛𝑖
𝑎 = 𝑘𝑚 ∧ 𝑏 = 𝑘𝑛
𝑘 =
𝑎
𝑚
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜
𝑘 =
𝑎
𝑚
=
𝑏
𝑛
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑘 =
𝑏
𝑛
∧
Ejemplo
𝑎; 𝑏;𝑚; 𝑛 ∈ ℝNOTA:
𝑎 + 4𝑖
3 + 𝑏𝑖
𝑆𝑖 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙.
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑦 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠.
𝐸𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎. 𝑏
Resolución
𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎
𝑎
3
=
4
𝑏
𝑎. 𝑏 = 12
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
TEOREMA
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑚 + 𝑛𝑖
𝑆𝑖 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜
−
𝑎
𝑛
=
𝑏
𝑚
DEMOSTRACIÓN
𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑚 + 𝑛𝑖
= 𝑘𝑖 ; 𝑘 ∈ ℝ
𝑂𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜
𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑘𝑖 𝑚 + 𝑛𝑖
𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑘𝑚𝑖 − 𝑘𝑛
𝑎 = −𝑘𝑛 ∧ 𝑏 = 𝑘m
𝑘 = −
𝑎
𝑛
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜
𝑘 = −
𝑎
𝑛
=
𝑏
𝑚
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑘 =
𝑏
𝑚
∧
Ejemplo
𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑝𝑢𝑟𝑜.
𝑎; 𝑏;𝑚; 𝑛 ∈ ℝNOTA:
𝑎 + 𝑏𝑖
−3 + 4𝑖
𝑆𝑖 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜
𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑝𝑢𝑟𝑜.
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑦 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠.
𝐸𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒
𝑎
𝑏
Resolución
𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎
−
𝑎
−3
=
𝑏
4
𝑎
𝑏
=
3
4
w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e

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