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ÁLGEBRA P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L Ciclo Anual Virtual UNI Docente: Jimmy Astupillo NÚMEROS COMPLEJOS II Semana 11 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A OBJETIVOS ✓ Conocer más propiedades de los números complejos. ✓ Calcular el módulo de un número complejo. ✓ Llevar un número complejo a su forma trigonométrica. 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑛 = 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑛𝜃 ANTENA FRACTAL C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Tipos de números complejos Complejo conjugado ( ҧ𝑧) 𝑆𝑖 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 ҧ𝑧 = 𝑥 − 𝑦𝑖 𝑆𝑖 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 Complejo opuesto (𝑧∗) 𝑧∗ = −𝑥 − 𝑦𝑖 Teoremas 1) 𝑆𝑖 𝑧 = ҧ𝑧 ↔ 𝑧 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙. 2) (𝑧) = 𝑧 3) 𝑧 + ҧ𝑧 = 2𝑅𝑒(𝑧) 4) 𝑧 − ҧ𝑧 = 2𝑖. 𝐼𝑚(𝑧) 5) 𝑧 ± 𝑤 = ҧ𝑧 ± ഥ𝑤 6) 𝑧. 𝑤 = ҧ𝑧. ഥ𝑤 Ejemplo 𝑆𝑖 𝑧1 = 3 − 7𝑖 entonces ഥ𝑧1 = 3 + 7𝑖 ∧ 𝑧1 ∗ = −3 + 7𝑖 NOTA: ҧ𝑧∗ = ഥ𝑧∗ 7) 𝑧 𝑛 = ҧ𝑧𝑛 ; 𝑛 ∈ ℤ C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Ejemplo 𝑆𝑖 2𝑧 + ഥ𝑤 = 5 + 3𝑖; además 2 ҧ𝑧 − 𝑤 = −3 + 5𝑖 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑧. 𝑤 Resolución 𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 2 ҧ𝑧 − 𝑤 = −3 + 5𝑖 2 ҧ𝑧 − 𝑤 = −3 + 5𝑖 2 ҧ𝑧 − 𝑤 = −3 − 5𝑖 ത2 ҧҧ𝑧 − ഥ𝑤 = −3 − 5𝑖 2𝑧 − ഥ𝑤 = −3 − 5𝑖 Nos queda 2𝑧 + ഥ𝑤 = 5 + 3𝑖 2𝑧 − ഥ𝑤 = −3 − 5𝑖 + 4𝑧 = 2 − 2𝑖 𝑧 = 1 2 − 1 2 𝑖 Luego ҧ𝑧 = 1 2 + 1 2 𝑖 como 2 ҧ𝑧 − 𝑤 = −3 + 5𝑖 2 1 2 + 1 2 𝑖 − 𝑤 = −3 + 5𝑖 1 + 𝑖 − 𝑤 = −3 + 5𝑖 −𝑤 = −3 + 5𝑖 − 1 − 𝑖 −𝑤 = −4 + 4𝑖 Luego 𝑤 = 4 − 4𝑖 ഥ𝑤 = 4 + 4𝑖 Entonces 𝑧. 𝑤 = ҧ𝑧. ഥ𝑤 = 1 2 + 1 2 𝑖 4 + 4𝑖 𝑧. 𝑤 = 1 2 1 + 𝑖 . 4 1 + 𝑖 1 2 𝑧. 𝑤 = 2 1 + 𝑖 2= 2 2𝑖 = 4𝑖 𝑧. 𝑤 = 4𝑖 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Módulo de un número complejo 𝑆𝑖 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 ; luego 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 Ejemplos 𝑎) 𝑆𝑖 𝑧 = 3 + 2𝑖 ; luego 𝑧 = 32 + 22 = 13 𝑏) 𝑆𝑖 𝑧 = −4 + 5𝑖 ; luego 𝑧 = (−4)2+52 = 41 𝑐) 𝑆𝑖 𝑧 = − 1 2 + 3 2 𝑖 ; luego 𝑧 = − 1 2 2 + 3 2 2 = 1𝑧 = 1 4 + 3 4 𝑑) 𝑆𝑖 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃 ; luego 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 2 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 2 𝑧 = 1 1 𝑒) 𝑆𝑖 𝑧 = 0 − 8𝑖 ; luego 𝑧 = 02 + −8 2 640 𝑧 = 64 = 8 𝑓) 𝑆𝑖 𝑧 = −7 + 0𝑖 ; luego 𝑧 = −7 2 + 0 2 049 𝑧 = 49 = 7 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Teoremas 1) 𝑧 ≥ 0 2) 𝑧 = ҧ𝑧 = 𝑧∗ 3) 𝑧 2 = 𝑧. ҧ𝑧 4) 𝑧. 𝑤 = 𝑧 𝑤 5) 𝑧 𝑤 = 𝑧 𝑤 6) 𝑧 𝑛 = 𝑧 𝑛 Ejemplo Calcule el módulo del complejo: 1 − 𝑖 3 𝑠𝑒𝑛10° + 𝑖𝑐𝑜𝑠10° 7 + 𝑖 − 1 2 + 3 2 𝑖 5 Resolución Tomando módulos a ambos lados 𝑧 𝑧 = 1 − 𝑖 3 𝑠𝑒𝑛10° + 𝑖𝑐𝑜𝑠10° 7 + 𝑖 − 1 2 + 3 2 𝑖 5 = Como: 1 − 𝑖 𝑠𝑒𝑛10° + 𝑖𝑐𝑜𝑠10° 7 + 𝑖 − 1 2 + 3 2 𝑖 = 12 + (−1)2 = 2 = (𝑠𝑒𝑛10°)2+(𝑐𝑜𝑠10°)2 = 1 = 72 + (1)2 = 50 = 5 2 = − 1 2 2 + 3 2 2 = 1 2 1 5 2 1 = 2 3 .1 5 2 . 1 5 = 2 2 5 2 = 2 5 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Representación trigonométrica de un número complejo 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 = 𝑥; 𝑦 𝑅𝑒 𝐼𝑚 𝑥 𝑦 𝐷𝑎𝑑𝑜: 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, 𝑠𝑢 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑠 𝜃 Del gráfico: 𝑦 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑦 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑥 𝑧 𝑥 = 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 = 𝑧 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 𝑧 = 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑧 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑖 𝑧 = 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐸𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑎𝑏𝑟𝑒𝑣𝑖𝑎𝑑𝑎: 𝑧 = 𝑧 𝑐𝑖𝑠 𝜃 Donde 𝑧 ∶ 𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝜃 ∶ 𝐴𝑟𝑔𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 Representación trigonométrica de un número complejo C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Ejemplos: 𝑅𝑒 𝐼𝑚 1) 𝑧 = 5 + 5 3𝑖 5 5 3 𝑧 = 52 + 5 3 2 𝜋 3 𝑧 = 10 cos 𝜋 3 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜋 3 Así 𝑧 = 10𝑐𝑖𝑠 𝜋 3 2) 𝑧 = −4 + 4𝑖 𝑅𝑒 𝐼𝑚 −4 4 3𝜋 4 𝑧 = −4 2 + 4 2 Así 𝑧 = 4 2 cos 3𝜋 4 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 3𝜋 4 𝑧 = 4 2𝑐𝑖𝑠 3𝜋 4 𝑧 = 5 + 5 3𝑖 𝑧 = −4 + 4𝑖 = 10 = 4 2 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A 3) 𝑧 = − 3 − 𝑖 4) 𝑧 = 7 − 7𝑖 𝑅𝑒 𝐼𝑚 −1 − 3 𝑧 = − 3 2 + −1 2 𝑧 = 2 cos 7𝜋 6 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 7𝜋 6 Así 𝑧 = 2𝑐𝑖𝑠 7𝜋 6 𝑅𝑒 𝐼𝑚 7 −7 𝑧 = 7 2 + −7 2 𝑧 = 7 2 cos 7𝜋 4 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 7𝜋 4 Así 𝑧 = 7 2𝑐𝑖𝑠 7𝜋 4 7𝜋 6 7𝜋 4 𝑧 = − 3 − 𝑖 𝑧 = 7 − 7𝑖 = 2 = 7 2 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A 5) 𝑧 = 0 + 8𝑖 6) 𝑧 = 0 − 3𝑖 𝑅𝑒 𝐼𝑚 𝑧 = 0 2 + 8 2 = 8𝑖 𝑧 = 8 cos 𝜋 2 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜋 2 Así 𝑧 = 8𝑐𝑖𝑠 𝜋 2 𝜋 2 𝑧 = 8𝑖 8 = −3𝑖 𝑅𝑒 𝐼𝑚 𝑧 = −3𝑖 −3 3𝜋 2 𝑧 = 0 2 + −3 2 𝑧 = 3 cos 3𝜋 2 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 3𝜋 2 Así 𝑧 = 3𝑐𝑖𝑠 3𝜋 2 = 8 = 3 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A 7) 𝑧 = −4 + 0𝑖 8) 𝑧 = 9 + 0𝑖= −4 =9 𝑅𝑒 𝐼𝑚 𝑅𝑒 𝐼𝑚 −4 𝑧 = −4 + 0𝑖 9 𝑧 = 9 + 0𝑖 𝑧 = −4 2 + 0 2 = 4 𝑧 = 9 2 + 0 2 𝑧 = 4 cos 𝜋 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜋Así 𝑧 = 4𝑐𝑖𝑠 𝜋 𝑧 = 9 cos 0 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 0Así 𝑧 = 9𝑐𝑖𝑠 0 𝜋 = 9 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Teoremas Dados los números complejos no nulos 𝑧 = 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑤 = 𝑤 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑧 Cis(𝜃) = 𝑤 Cis(𝛼) Se cumplen: 1) 𝑧. 𝑤 = 𝑧 . 𝑤 . cos 𝜃 + 𝛼 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝛼 2) 𝑧 𝑤 = 𝑧 𝑤 . cos 𝜃 − 𝛼 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝛼 Ejemplos: Sean: 𝑧 = 2 5 cos 𝜋 3 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜋 3 𝑤 = 7 cos 𝜋 4 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜋 4 además Luego 𝑎) 𝑧. 𝑤 . 7 cos 𝜋 3 + 𝜋 4 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜋 3 + 𝜋 4 𝑧. 𝑤 = 2 35 cos 7𝜋 12 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 7𝜋 12 𝑏) 𝑧 𝑤 cos 𝜋 3 − 𝜋 4 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜋 3 − 𝜋 4 𝑧 𝑤 cos 𝜋 12 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜋 12 C U R S O D E Á L G E B R A 𝑧. 𝑤 = 𝑧 . 𝑤 𝐶𝑖𝑠 𝜃 + 𝛼 𝑧 𝑤 = 𝑧 𝑤 . 𝐶𝑖𝑠 𝜃 − 𝛼 = 2 5 = 2 5 7 = 2 35 7 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Teorema de De Moivré C U R S O D E Á L G E B R A Dado el número complejo no nulo 𝑧 = 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃 ∧ 𝑛 ∈ ℕ Se tiene: 𝑧𝑛 = 𝑧 𝑛 cos(𝑛𝜃) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜃) Ejemplo NOTA 𝑧 = 𝑧 𝐶𝑖𝑠𝜃 𝑧𝑛 = 𝑧 𝑛𝐶𝑖𝑠(𝑛𝜃) 𝑆𝑖 𝑧 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜋 2 𝑧3 = 2 3 𝑐𝑜𝑠 3𝜋 2 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 3𝜋 2 𝑧3 = 2 2 𝑐𝑜𝑠 3𝜋 2 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 3𝜋 2 Ejemplo 𝑆𝑖 𝑧 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝜋 12 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜋 12 = 2 𝐶𝑖𝑠 𝜋 12 𝑧2 = 22. 𝐶𝑖𝑠 2. 𝜋 12 = 4. 𝐶𝑖𝑠 𝜋 6 𝑧3 = 23. 𝐶𝑖𝑠 3. 𝜋 12 = 8. 𝐶𝑖𝑠 𝜋 4 𝑧4 = 24. 𝐶𝑖𝑠 4. 𝜋 12 = 16 𝐶𝑖𝑠 𝜋 3 w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
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