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Anual Uni Semana 11 - Álgebra - Camila Darien

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ÁLGEBRA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual Virtual UNI
Docente: Jimmy Astupillo
NÚMEROS 
COMPLEJOS II
Semana 11
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
OBJETIVOS
✓ Conocer más propiedades de
los números complejos.
✓ Calcular el módulo de un número
complejo.
✓ Llevar un número complejo a su
forma trigonométrica.
𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑛 = 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑛𝜃
ANTENA FRACTAL
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Tipos de números complejos
Complejo conjugado ( ҧ𝑧)
𝑆𝑖 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 ҧ𝑧 = 𝑥 − 𝑦𝑖
𝑆𝑖 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖
Complejo opuesto (𝑧∗)
𝑧∗ = −𝑥 − 𝑦𝑖
Teoremas
1) 𝑆𝑖 𝑧 = ҧ𝑧 ↔ 𝑧 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙.
2) (𝑧) = 𝑧
3) 𝑧 + ҧ𝑧 = 2𝑅𝑒(𝑧)
4) 𝑧 − ҧ𝑧 = 2𝑖. 𝐼𝑚(𝑧)
5) 𝑧 ± 𝑤 = ҧ𝑧 ± ഥ𝑤
6) 𝑧. 𝑤 = ҧ𝑧. ഥ𝑤
Ejemplo
𝑆𝑖 𝑧1 = 3 − 7𝑖 entonces
ഥ𝑧1 = 3 + 7𝑖 ∧ 𝑧1
∗ = −3 + 7𝑖
NOTA: ҧ𝑧∗ = ഥ𝑧∗ 7) 𝑧
𝑛 = ҧ𝑧𝑛 ; 𝑛 ∈ ℤ
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Ejemplo
𝑆𝑖 2𝑧 + ഥ𝑤 = 5 + 3𝑖; además
2 ҧ𝑧 − 𝑤 = −3 + 5𝑖
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑧. 𝑤
Resolución
𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
2 ҧ𝑧 − 𝑤 = −3 + 5𝑖
2 ҧ𝑧 − 𝑤 = −3 + 5𝑖
2 ҧ𝑧 − 𝑤 = −3 − 5𝑖
ത2 ҧҧ𝑧 − ഥ𝑤 = −3 − 5𝑖
2𝑧 − ഥ𝑤 = −3 − 5𝑖
Nos queda
2𝑧 + ഥ𝑤 = 5 + 3𝑖
2𝑧 − ഥ𝑤 = −3 − 5𝑖
+
4𝑧 = 2 − 2𝑖
𝑧 =
1
2
−
1
2
𝑖
Luego
ҧ𝑧 =
1
2
+
1
2
𝑖
como
2 ҧ𝑧 − 𝑤 = −3 + 5𝑖
2
1
2
+
1
2
𝑖 − 𝑤 = −3 + 5𝑖
1 + 𝑖 − 𝑤 = −3 + 5𝑖
−𝑤 = −3 + 5𝑖 − 1 − 𝑖
−𝑤 = −4 + 4𝑖
Luego
𝑤 = 4 − 4𝑖
ഥ𝑤 = 4 + 4𝑖
Entonces
𝑧. 𝑤 = ҧ𝑧. ഥ𝑤 =
1
2
+
1
2
𝑖 4 + 4𝑖
𝑧. 𝑤 =
1
2
1 + 𝑖 . 4 1 + 𝑖
1
2
𝑧. 𝑤 = 2 1 + 𝑖 2= 2 2𝑖 = 4𝑖
𝑧. 𝑤 = 4𝑖
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Módulo de un número complejo
𝑆𝑖 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 ; luego
𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2
Ejemplos
𝑎) 𝑆𝑖 𝑧 = 3 + 2𝑖 ; luego
𝑧 = 32 + 22 = 13
𝑏) 𝑆𝑖 𝑧 = −4 + 5𝑖 ; luego
𝑧 = (−4)2+52 = 41
𝑐) 𝑆𝑖 𝑧 = −
1
2
+
3
2
𝑖 ; luego
𝑧 = −
1
2
2
+
3
2
2
= 1𝑧 =
1
4
+
3
4
𝑑) 𝑆𝑖 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃 ; luego
𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 2 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 2
𝑧 = 1
1
𝑒) 𝑆𝑖 𝑧 = 0 − 8𝑖 ; luego
𝑧 = 02 + −8 2
640
𝑧 = 64 = 8
𝑓) 𝑆𝑖 𝑧 = −7 + 0𝑖 ; luego
𝑧 = −7 2 + 0 2
049
𝑧 = 49 = 7
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Teoremas
1) 𝑧 ≥ 0
2) 𝑧 = ҧ𝑧 = 𝑧∗
3) 𝑧 2 = 𝑧. ҧ𝑧
4) 𝑧. 𝑤 = 𝑧 𝑤
5)
𝑧
𝑤
=
𝑧
𝑤
6) 𝑧 𝑛 = 𝑧 𝑛
Ejemplo
Calcule el módulo del complejo:
1 − 𝑖 3 𝑠𝑒𝑛10° + 𝑖𝑐𝑜𝑠10°
7 + 𝑖 −
1
2
+
3
2
𝑖
5
Resolución
Tomando módulos a ambos lados
𝑧
𝑧 =
1 − 𝑖 3 𝑠𝑒𝑛10° + 𝑖𝑐𝑜𝑠10°
7 + 𝑖 −
1
2 +
3
2 𝑖
5
=
Como:
1 − 𝑖
𝑠𝑒𝑛10° + 𝑖𝑐𝑜𝑠10°
7 + 𝑖
−
1
2
+
3
2
𝑖
= 12 + (−1)2 = 2
= (𝑠𝑒𝑛10°)2+(𝑐𝑜𝑠10°)2 = 1
= 72 + (1)2 = 50 = 5 2
= −
1
2
2
+
3
2
2
= 1
2 1
5 2 1
=
2
3
.1
5 2 . 1 5
=
2 2
5 2
=
2
5
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Representación trigonométrica de un número complejo
𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 = 𝑥; 𝑦
𝑅𝑒
𝐼𝑚
𝑥
𝑦
𝐷𝑎𝑑𝑜: 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, 𝑠𝑢 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑠
𝜃
Del gráfico:
𝑦
𝑥
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑦
𝑧
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑥
𝑧
𝑥 = 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝑧 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖
𝑧 = 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑧 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑖
𝑧 = 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃
𝐸𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑎𝑏𝑟𝑒𝑣𝑖𝑎𝑑𝑎:
𝑧 = 𝑧 𝑐𝑖𝑠 𝜃
Donde
𝑧 ∶ 𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜
𝜃 ∶ 𝐴𝑟𝑔𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
Representación 
trigonométrica de un 
número complejo
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Ejemplos:
𝑅𝑒
𝐼𝑚
1) 𝑧 = 5 + 5 3𝑖
5
5 3
𝑧 = 52 + 5 3
2
𝜋
3
𝑧 = 10 cos
𝜋
3
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
Así
𝑧 = 10𝑐𝑖𝑠
𝜋
3
2) 𝑧 = −4 + 4𝑖
𝑅𝑒
𝐼𝑚
−4
4
3𝜋
4
𝑧 = −4 2 + 4 2
Así 𝑧 = 4 2 cos
3𝜋
4
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
3𝜋
4
𝑧 = 4 2𝑐𝑖𝑠
3𝜋
4
𝑧 = 5 + 5 3𝑖
𝑧 = −4 + 4𝑖
= 10
= 4 2
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
3) 𝑧 = − 3 − 𝑖 4) 𝑧 = 7 − 7𝑖
𝑅𝑒
𝐼𝑚
−1
− 3
𝑧 = − 3
2
+ −1 2
𝑧 = 2 cos
7𝜋
6
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
7𝜋
6
Así
𝑧 = 2𝑐𝑖𝑠
7𝜋
6
𝑅𝑒
𝐼𝑚
7
−7
𝑧 = 7 2 + −7 2
𝑧 = 7 2 cos
7𝜋
4
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
7𝜋
4
Así
𝑧 = 7 2𝑐𝑖𝑠
7𝜋
4
7𝜋
6
7𝜋
4
𝑧 = − 3 − 𝑖
𝑧 = 7 − 7𝑖
= 2 = 7 2
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
5) 𝑧 = 0 + 8𝑖 6) 𝑧 = 0 − 3𝑖
𝑅𝑒
𝐼𝑚
𝑧 = 0 2 + 8 2
= 8𝑖
𝑧 = 8 cos
𝜋
2
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
Así
𝑧 = 8𝑐𝑖𝑠
𝜋
2
𝜋
2
𝑧 = 8𝑖
8
= −3𝑖
𝑅𝑒
𝐼𝑚
𝑧 = −3𝑖
−3
3𝜋
2
𝑧 = 0 2 + −3 2
𝑧 = 3 cos
3𝜋
2
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
3𝜋
2
Así
𝑧 = 3𝑐𝑖𝑠
3𝜋
2
= 8 = 3
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
7) 𝑧 = −4 + 0𝑖 8) 𝑧 = 9 + 0𝑖= −4 =9
𝑅𝑒
𝐼𝑚
𝑅𝑒
𝐼𝑚
−4
𝑧 = −4 + 0𝑖
9
𝑧 = 9 + 0𝑖
𝑧 = −4 2 + 0 2 = 4 𝑧 = 9 2 + 0 2
𝑧 = 4 cos 𝜋 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜋Así
𝑧 = 4𝑐𝑖𝑠 𝜋
𝑧 = 9 cos 0 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 0Así
𝑧 = 9𝑐𝑖𝑠 0
𝜋
= 9
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Teoremas
Dados los números complejos no nulos
𝑧 = 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑤 = 𝑤 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝛼
= 𝑧 Cis(𝜃)
= 𝑤 Cis(𝛼)
Se cumplen:
1) 𝑧. 𝑤 = 𝑧 . 𝑤 . cos 𝜃 + 𝛼 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝛼
2)
𝑧
𝑤
=
𝑧
𝑤
. cos 𝜃 − 𝛼 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝛼
Ejemplos:
Sean: 𝑧 = 2 5 cos
𝜋
3
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
𝑤 = 7 cos
𝜋
4
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
además
Luego
𝑎) 𝑧. 𝑤 . 7 cos
𝜋
3
+
𝜋
4
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
+
𝜋
4
𝑧. 𝑤 = 2 35 cos
7𝜋
12
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
7𝜋
12
𝑏)
𝑧
𝑤 cos
𝜋
3
−
𝜋
4
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
−
𝜋
4
𝑧
𝑤
cos
𝜋
12
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
𝜋
12
C U R S O D E Á L G E B R A
𝑧. 𝑤 = 𝑧 . 𝑤 𝐶𝑖𝑠 𝜃 + 𝛼
𝑧
𝑤
=
𝑧
𝑤
. 𝐶𝑖𝑠 𝜃 − 𝛼
= 2 5
=
2 5
7
=
2 35
7
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Teorema de De Moivré
C U R S O D E Á L G E B R A
Dado el número complejo no nulo
𝑧 = 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃 ∧ 𝑛 ∈ ℕ
Se tiene:
𝑧𝑛 = 𝑧 𝑛 cos(𝑛𝜃) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜃)
Ejemplo
NOTA
𝑧 = 𝑧 𝐶𝑖𝑠𝜃 𝑧𝑛 = 𝑧 𝑛𝐶𝑖𝑠(𝑛𝜃)
𝑆𝑖 𝑧 = 2 𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
𝑧3 = 2
3
𝑐𝑜𝑠
3𝜋
2
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
3𝜋
2
𝑧3 = 2 2 𝑐𝑜𝑠
3𝜋
2
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
3𝜋
2
Ejemplo
𝑆𝑖 𝑧 = 2 𝑐𝑜𝑠
𝜋
12
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
𝜋
12
= 2 𝐶𝑖𝑠
𝜋
12
𝑧2 = 22. 𝐶𝑖𝑠 2.
𝜋
12
= 4. 𝐶𝑖𝑠
𝜋
6
𝑧3 = 23. 𝐶𝑖𝑠 3.
𝜋
12
= 8. 𝐶𝑖𝑠
𝜋
4
𝑧4 = 24. 𝐶𝑖𝑠 4.
𝜋
12
= 16 𝐶𝑖𝑠
𝜋
3
w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e

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