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ÁLGEBRA P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L Ciclo Anual Virtual UNI Docente: PLANA DE ÁLGEBRA ECUACIONES POLINOMIALES II Semana 13 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Entre las aplicaciones de la ecuación cubica nos permite describir el mundo real en términos matemáticos, como por ejemplo, las variaciones de la temperatura, el movimiento de los planetas, las ondas cerebrales, los ciclos comerciales, el ritmo cardíaco y el crecimiento de la población entre otros. También sirve para detectar la anemia En 1545 publica su obra más importante, Ars Magna. En esta obra da los métodos de resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado. Su Ars Magna sin embargo tuvo una influencia en todos los matemáticos posteriores. En esta obra, además se expresan diversos teoremas que relacionan raíces y coeficientes El Ars Magna presenta una explicación completa de la ecuación cúbica También se publica la resolución de la ecuación general de cuarto grado, debida a su alumno, Ferrari C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A OBJETIVOS ✓ Aplicar el teorema de la paridad de raíces. ✓ Aplicar el teorema de Cardano en una ecuación de cúbica. ✓ Reconocer la diferencia entre raíces y soluciones. 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA Toda ecuación polinomial de grado 𝑛 ≥ 1, con coeficientes complejos, posee al menos una raíz compleja. COROLARIO: Toda ecuación polinomial de grado 𝑛 ≥ 1, con coeficientes complejos, tiene exactamente n raíces. Ejemplos: En las ecuaciones polinomiales tenemos: 2𝑥 − 3 = 0 tiene 1 raíz 𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0 tiene 2 raíces 4𝑥3 − 7𝑥 + 9 = 0 tiene 3 raíces Ejemplo: Resolver: 𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 0 𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 0 (𝑥 − 2)2 (𝑥 − 2)2 = 0 𝑥 − 2 𝑥 − 2 = 0 𝑥 − 2 = 0 𝑥 − 2 = 0∨ 𝑥 = 2 𝑥 = 2 Raíces: 2; 2 (raíz doble) C.S = 2; 2 = 2 (una solución) Tenemos: La ecuación tiene 2 raíces pero 1 solución 𝑁° 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 ≥ 𝑁° 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠En general: C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Ejemplo: Resolver: 𝑥 − 8 3. 𝑥 − 7 2 . 2𝑥 − 3 = 0 Tenemos: 𝑥 − 8 𝑥 − 8 𝑥 − 8 𝑥 − 7 𝑥 − 7 2𝑥 − 3 = 0 Teorema: 𝑎. 𝑏 = 0 → 𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 𝑥 − 8 = 0 ∨ 𝑥 − 8 = 0 ∨ 𝑥 − 8 = 0 ∨ 𝑥 − 7 = 0 ∨ 𝑥 − 7 = 0 ∨ 2𝑥 − 3 = 0 𝑥 = 8 𝑥 = 8 𝑥 = 8 𝑥 = 7 𝑥 = 7 𝑥 = 3 2∨ ∨ ∨ ∨ ∨ (raíz) (raíz) (raíz) (raíz) (raíz) Raíces: 8; 8; 8; 7; 7 ; 3 2 C.S= 8; 8; 8; 7; 7; 3 2 = 8; 7; 3 2 (raíz) Hay 6 raíces Hay 3 soluciones 𝑁° 𝑑𝑒 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 ≥ 𝑁° 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 Raíz triple Raíz doble Raíz simple En general ¿Cuándo son iguales? C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Ejemplo: Al resolver la ecuación: 𝑥 + 1 2. 𝑥3 − 𝑥 = 0 Tenemos que: Resolución: M= suma de raíces Encuentre el valor de M-N. N= suma de soluciones Tenemos que: 𝑥3 − 𝑥 = 𝑥 𝑥2 − 1 = 𝑥 𝑥 − 1 𝑥 + 1 Entonces, nos queda: 𝑥 + 1 2. 𝑥3 − 𝑥 = 0 𝑥 + 1 2. 𝑥 𝑥 − 1 𝑥 + 1 = 0 𝑥 + 1 3. 𝑥 𝑥 − 1 = 0 𝑥 + 1 𝑥 + 1 𝑥 + 1 . 𝑥 𝑥 − 1 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 Raíces: −1;−1;−1; 0; 1 M= Suma de raíces: = −1 − 1 − 1 + 0 + 1 𝑀 = −2 𝐶. 𝑆 = −1; 0; 1 N= suma de soluciones = −1 + 0 + 1 𝑁 = 0 ∴ 𝑀 − 𝑁 = −2 C U R S O D E Á L G E B R A C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Ejemplo: Construir una ecuación polinomial que tiene: ✓ −7 como raíz triple ✓ 5 como raíz doble Resolución: Sea la ecuación polinomial 𝑃 𝑥 = 0, como: ✓ −7 es raíz triple de 𝑃 𝑥 , 𝑥 + 7 3 ✓ 5 es raíz doble de 𝑃 𝑥 , 𝑥 − 5 2 ✓ −6 como raíz simple ✓ −6 como raíz simple de 𝑃 𝑥 , 𝑥 + 6 La ecuación es: 𝑃 𝑥 = 𝑥 + 7 3. 𝑥 − 5 2. 𝑥 + 6 . 𝑞 𝑥 = 0 un factor es un factor es un factor es Ejemplo: Construir una ecuación polinomial de mínimo grado, que tiene: ✓ 5 como raíz triple ✓ 4 como raíz simple Resolución: Sea la ecuación polinomial 𝑃 𝑥 = 0, como: ✓ 5 es raíz triple de 𝑃 𝑥 , un factor es 𝑥 − 5 3 ✓ 4 es raíz simple de 𝑃 𝑥 , un factor es 𝑥 − 4 Luego: 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 5 3. 𝑥 − 4 . 𝑞 𝑥 = 0 Mínimo grado 𝑞 𝑥 = 𝑘 𝑥 − 5 3. 𝑥 − 4 = 0 La ecuación es: 𝑘. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A ECUACIÓN CÚBICA 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 ; 𝑎 ≠ 0 Tienen la siguiente forma Para resolverlo: I) Se factoriza (generalmente por el método de divisores binómicos) II) Se aplica el teorema 𝑎𝑏 = 0 → 𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 III) Se encuentran las raíces IV) Se encuentran su conjunto solución Ejemplo Resolver: 𝑥3 − 3𝑥 + 2 = 0 Resolución: Factorizando: 1 0 2−3 1 1 1 1 1 −2 −2 0 𝑥 − 1 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0 𝑥 𝑥 +2 −1 𝑥 − 1 𝑥 − 1 𝑥 + 2 = 0 = 0 = 0 = 0 𝑥 − 1 = 0 𝑥 − 1 = 0 𝑥 + 2 = 0 Raíces: 1; 1; −2 (3 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠) C.S = 1;−2 (2 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠) ∨ ∨ C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Ejemplo Resolver: 𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥 = 0 Resolución: Factorizando: 𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥 = 0 𝑥 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0 𝑥 𝑥 −2 −1 𝑥 𝑥 − 2 𝑥 − 1 = 0 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 − 2 = 0 𝑥 − 1 = 0∨ Raíces: 0; 2; 1 (3 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠) C.S = 2; 2𝑖; −2𝑖 (3 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠) Ejemplo Resolver: 𝑥3 − 2𝑥2 + 4𝑥 − 8 = 0 Resolución: Factorizando: 1 −2 −84 2 1 2 0 0 4 8 0 𝑥 − 2 𝑥2 + 4 = 0 𝑥 − 2 = 0 ∨ 𝑥2 + 4 = 0 𝑥 = 2 ∨ 𝑥2 = −4 𝑥 = 2 ∨ 𝑥 = 2𝑖 ∨ 𝑥 = −2𝑖 Raíces: 2; 2𝑖; −2𝑖 (3 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠) C.S = 0; 2; 1 (3 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠) NOTA Si el T.I es cero, una raíz es cero. NOTA Toda ecuación cúbica con coeficientes reales tiene al menos una raíz real.. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A TEOREMA DE CARDANO - VIETTE Si 𝑥1; 𝑥2; 𝑥3 son las raíces de la ecuación 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 Se cumple que: 𝐼) 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = − 𝑏 𝑎 𝐼𝐼) 𝑥1𝑥2 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥3𝑥1 = 𝑐 𝑎 𝐼𝐼𝐼) 𝑥1. 𝑥2. 𝑥3 = − 𝑑 𝑎 (De 1 en 1) (De 2 en 2) (De 3 en 3) Ejemplo 1 Si 𝑚; 𝑛; 𝑝 son las raíces de la ecuación 4𝑥3 + 7𝑥2 − 5𝑥 − 9 = 0 Entonces, por el teorema de Cardano - Viette: 𝐼) 𝑚 + 𝑛 + 𝑝 = − 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = − 7 4 𝐼𝐼) 𝑚𝑛 +𝑚𝑝 + 𝑛𝑝 = 𝑐 𝑎 = (−5) 4 = − 5 4 𝐼𝐼𝐼) 𝑚. 𝑛. 𝑝 = − 𝑑 𝑎 = − (−9) 4 = 9 4 C U R S O D E Á L G E B R A − −++ − −++ ; 𝑎 ≠ 0 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Ejemplo 2 Si 𝑥1; 𝑥2; 𝑥3 son las raíces de la ecuación 2𝑥3 − 5𝑥2 + 3𝑥 + 7 = 0 Entonces, por el teorema de Cardano - Viette : 𝐼)𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = − 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = − (−5) 2 𝐼𝐼) 𝑥1𝑥2 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥3𝑥1 = 𝑐 𝑎 = 3 2 𝐼𝐼𝐼) 𝑥1. 𝑥2. 𝑥3 = − 𝑑 𝑎 = − 7 2 Ejemplo 3 Si 𝛼; 𝛽; 𝜃 son las raíces de la ecuación 3𝑥3 + 𝑛𝑥2 − 4𝑥 + 2𝑛 − 1 = 0 Entonces, por el teorema de Cardano - Viette : 𝐼) 𝛼 + 𝛽 + 𝜃 = − 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = − 𝑛 3 𝐼𝐼) 𝛼𝛽 + 𝛽𝜃 + 𝛼𝜃 = 𝑐 𝑎 = (−4) 3 = − 4 3 𝐼𝐼𝐼) 𝛼. 𝛽. 𝜃 = − 𝑑 𝑎 = − (2𝑛 − 1) 3 = 5 2 − −++ − −++ C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Ejemplo 4 Si 𝑚; 𝑛; 𝑝 son las raíces de la ecuación 3𝑥3 − 5𝑥2 − 4𝑥 + 7 = 0 Calcule el valor de: 𝐼) 𝑚 + 𝑛 + 𝑝 = − 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = − (−5) 3 𝐼𝐼) 𝑚𝑛 +𝑚𝑝 + 𝑛𝑝 = 𝑐 𝑎 = (−4) 3 = − 4 3 𝐼𝐼𝐼) 𝑚. 𝑛. 𝑝 = − 𝑑 𝑎 = − 7 3 − −++ 𝐽 = 1 𝑚 + 1 𝑛 + 1 𝑝 Resolución Entonces, por el teorema de Cardano - Viette : = 5 3 Nos piden: 𝐽 = 1 𝑚 + 1 𝑛 + 1 𝑝 = 𝑛𝑝 + 𝑚𝑝 +𝑚𝑛 𝑚𝑛𝑝 = − 4 3 − 7 3 𝐽 = 1 𝑚 + 1 𝑛 + 1 𝑝 = 4 7 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A TEOREMAS DE LA PARIDAD DE RAÍCES 1) En toda ecuación polinomial con coeficientes racionales y grado 𝑛 ≥ 2, se cumple que: 𝑎 + 𝑏 es raíz ↔ 𝑎 − 𝑏 es raíz Ejemplos: 𝑎 ∧ 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 ; 𝑏 es irracional Donde: Sea una ecuación polinomial con coeficientes racionales y grado 𝑛 ≥ 2, donde: 𝑖) 𝑠𝑖 2 + 3 es raíz ↔ 2 − 3 es raíz 𝑖𝑖) 𝑠𝑖 4 − 5 es raíz ↔ 4+ 5 es raíz 𝑖𝑖𝑖) 𝑠𝑖 7 es raíz ↔ − 7 es raíz Ejemplos: Encuentreuna ecuación de segundo grado, con coeficientes enteros, si una raíz es 3 + 5 Resolución: Como los coeficientes son enteros, eso implica que son racionales ℤ ⊂ ℚ . Como una raíz es 3 + 5, por paridad otra raíz es 3 − 5 . Por reconstrucción, tenemos 𝑆 = (3 + 5) + (3 − 5) = 6 𝑃 = 3 + 5 . (3 − 5) = 32 − 5 2 = 9 − 5 = 4 La ecuación es: 𝑥2 − 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0 𝑥2 − 6𝑥 + 4 = 0 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A TEOREMAS DE LA PARIDAD DE RAÍCES 2) En toda ecuación polinomial con coeficientes reales y grado 𝑛 ≥ 2, se cumple que: 𝑎 + 𝑏𝑖 es raíz ↔ 𝑎 − 𝑏𝑖 es raíz Ejemplos: 𝑎 ∧ 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 ; 𝑏 ≠ 0 Donde: Sea una ecuación polinomial con coeficientes reales y grado 𝑛 ≥ 2, donde: 𝑖) 𝑠𝑖 7 + 4𝑖 es raíz ↔ 7 − 4𝑖 es raíz 𝑖𝑖) 𝑠𝑖 6 − 𝑖 es raíz ↔ 6+ 𝑖 es raíz 𝑖𝑖𝑖) 𝑠𝑖 3𝑖 es raíz ↔ −3𝑖 es raíz Ejemplos: Encuentre una ecuación de segundo grado, con coeficientes enteros, si una raíz es 2 + 𝑖 Resolución: Como los coeficientes son enteros, eso implica que son reales ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ . Como una raíz es 2 + 𝑖, por paridad otra raíz es 2 − 𝑖 . Por reconstrucción, tenemos 𝑆 = (2 + 𝑖) + (2 − 𝑖) = 4 𝑃 = 2 + 𝑖 . (2 − 𝑖) = 22 − 𝑖2 = 4 − −1 = 5 La ecuación es: 𝑥2 − 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0 𝑥2 − 4𝑥 + 5 = 0 ; 𝑖 es la unidad imaginaria C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A TEOREMAS DE LA PARIDAD DE RAÍCES 3) En toda ecuación polinomial con coeficientes racionales y grado 𝑛 ≥4, se cumple que: 𝑎 + 𝑏 es raíz − 𝑎 + 𝑏 − 𝑎 − 𝑏 Ejemplo: ↔ 𝑎 − 𝑏 son raíces Sea una ecuación polinomial con coeficientes racionales y grado 𝑛 ≥ 4, donde: 3 + 2 es raíz ↔ − 3 + 2 − 3 − 2 3 − 2 son raíces Ejemplo: Encuentre una ecuación de cuarto grado, con coeficientes enteros, donde 3 + 2 es una raíz Resolución: Podemos formar la ecuación, a partir de su raíz 𝑥2 − 2 3𝑥 + 3 = 2 𝑥 − 3 = 2 2 2 𝑥 = 3 + 2 𝑥2 + 1 = 2 3𝑥 2 2 𝑥4 + 2𝑥2 + 1 = 12𝑥2 𝑥4 − 10𝑥2 + 1 = 0 En general: 𝑘(𝑥4 − 10𝑥2 + 1) = 0 ; 𝑘 ≠ 0 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Ejemplo: Si 1 + 3 es raíz de la ecuación 2𝑥3 − 3𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 Donde 𝑎, 𝑏 son enteros. Encuentre la raíz racional de la ecuación Resolución: Como los coeficientes son enteros, entonces son racionales ℤ ⊂ ℚ Si 𝑥1 = 1 + 3 es raíz entonces por paridad 𝑥2 = 1 − 3 es raíz Como la ecuación es cúbica (tercer grado), presenta 3 raíces: 𝑥1; 𝑥2; 𝑥3 Por el teorema de Cardano – Viette, tenemos 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 3 2 = 3 2 Como: 𝑥1 = 1 + 3 𝑥2 = 1 − 3∧ 𝑥1 + 𝑥2 = 1 + 3 + 1 − 3 = 2 Luego: = 2 𝑥3 = − 1 2 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = − (−3) 2 (Raíz racional) ¿Cómo calcularías el valor de 𝑎 𝑦 𝑏? w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
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