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César Alejandro Rincón Orta - Algebra superior-McGraw-Hill (2014) - Rubén Rodríguez
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César Alejandro Rincón Orta • Amado Salvador Granados Aguilar
Eugenio León Fautsch Tapia • Susana Yalú Leticia Rubín Rivero
Manuel Vázquez Islas • Antonio Francisco Díaz García
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los lectores un cúmulo de conocimientos básicos comprendidos en los
cursos de álgebra superior a nivel universitario. La selección de los
contenidos, objetivos de aprendizaje y, en especial, la determinación
de la extensión y profundidad de lo abordado, así como la manera de
presentar los temas, son resultado de la vasta experiencia de los autores
como docentes y de un largo proceso de discusión académica.
Los autores tomaron como directriz fundamental producir un texto que
facilitara el aprendizaje a las personas interesadas en los temas de esta
materia, transmitiendo los conceptos de una forma precisa, pero con un
adecuado balance entre la formalidad deseada y el nivel académico de
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convencionales de álgebra superior. En él se desarrollan los temas de: lógica
matemática y teoría de conjuntos; sistemas de ecuaciones lineales, matrices
y determinantes; sistemas numéricos, números reales y complejos; teoría de
ecuaciones y fundamentos de álgebra lineal. Adicionalmente el material
anterior está enriquecido con la inclusión de un conjunto de aplicaciones,
tales como: balanceo de ecuaciones químicas, análisis dimensional, solución
analítica de ecuaciones de tercer y cuarto grados, solución numérica de
ecuaciones de grado superior como la de Van Der Waals, así como de
ecuaciones trascendentes.
978-607-15-1002-0
R
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Álgebra
superior
Álgebra
superior
César Alejandro Rincón Orta
Amado Salvador Granados Aguilar
Eugenio León Fautsch Tapia
Susana Yalú Leticia Rubín Rivero
Manuel Vázquez Islas
Antonio Francisco Díaz García
Departamento de Matemáticas
Facultad de Química
Universidad Nacional Autónoma de México
MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • MADRID • NUEVA YORK
SAN JUAN • SANTIAGO • SAO PAULO • AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL
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Editor sponsor: Pablo E. Roig Vázquez
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Supervisor de producción: Zeferino García García
ÁLGEBRA SUPERIOR
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,
por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor.
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ISBN: 978-607-15-1002-0
1234567890 2356789014
Impreso en México Printed in Mexico
v
Contenido
Acerca de los autores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
Unidad 1 Lógica y conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Lógica matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Definición de proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Tautologías y absurdos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Proposiciones equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Argumentos y demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Algunas propiedades del símbolo “⊢–” (se puede demostrar) . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
El cálculo proposicional es consistente y completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Cuantificadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Conceptos primitivos, definiciones, axiomas y teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Contención de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Nuevos conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
El conjunto vacío y el conjunto universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Familia de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Uniones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4 Álgebra de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Intersecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Complemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
El conjunto potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5 Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Pareja ordenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Relaciones y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Algunas propiedades del producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6 Suma y producto booleanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Una representación gráfica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.7 Algunas demostraciones en la teoría de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.8 El concepto de función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Álgebra de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Unidad 2 Sistemas de ecuaciones lineales, matrices y determinantes . . . 35
2.1 Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Igualdad de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Algunos tipos de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Operaciones elementales en los renglones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Sistemasde ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Cómo seleccionar los parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
vi Contenido
Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Representación generalizada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Balanceo de ecuaciones químicas. Método algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Ejemplos de balanceo de reacciones químicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3 Análisis dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Método de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Método de Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.4 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Cálculo de determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Unidad 3 Sistemas numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.1 El sistema de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Axiomas de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Algunas propiedades de campo de los números reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Axiomas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Subsistemas de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Axioma de completez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Algunas representaciones de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.2 Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
El modelo de Gauss y la inmersión de en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
La conjugación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
La norma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
La ecuación general de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Representación geométrica de los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Raíces n-ésimas de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
El argumento de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
La función exponencial compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Representación geométrica de algunas rectas bajo la transformación E . . . . . . . . 130
La función logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Las funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Unidad 4 Polinomios y teoría de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.1 Polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Suma y multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Inmersión de K en K [x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Algoritmo de la división . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.2 Funciones polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Teorema del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Raíces de ecuaciones polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Teorema del factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Algoritmo de la división sintética. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Raíces complejas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Raíces “surd” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Las ecuaciones generales de 2°, 3° y 4° grados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.3 Algunos resultados de la teoría de números y su aplicación a los polinomios
y a las funciones polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Máximo común divisor de dos enteros (algoritmo de Euclides) . . . . . . . . . . . . . . . 164
Fracciones parciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.4 Métodos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
viiContenido
Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Cálculo de raíces de ecuaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Método de iteración de punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Método de bisección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Estimación de las constantes de la ecuación de estado de Van der Waals . . . . . . . . 193
Unidad 5 Álgebra lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.1 Grupos abelianos (o conmutativos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.2 Anillos, dominios enteros y campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.3 Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
5.4 Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Dependencia e independencia lineal. Bases y dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.5 Producto escalar, norma y métrica en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 205
Distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Ángulos y ortogonalidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Conjuntos y bases ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.6 Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Analogía con la solución como determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Interpretación geométrica de la norma del producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . 215
Algunas propiedades del producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.7 Triple producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Definiciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Interpretación geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.8 Rectas y planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Las rectas en n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Una ecuación de la recta que pasa por dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Ángulo entre rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Planos en 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Una ecuación del plano que pasa por tres puntos no colineales . . . . . . . . . . . . . . 220
Ecuación normal del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Ángulo entre planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Ángulo entre recta y plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
5.9 Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Anexo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Principio fundamental del conteo (PFC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Número de subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Anexo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
La función determinante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Sobre la existencia de la función determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
viii Contenido
Anexo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Teoremas sobre funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Demostraciones de los teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Funciones inducidas por una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Anexo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Relaciones de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
Relaciones de equivalencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Relaciones de equivalencia y particiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
Tres ejemplos importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Una representación de relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Anexo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Núcleo o kernel e imagen de una transformación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Matriz asociada a una transformación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
Respuestas a los ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Índice analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
ix
Acerca de los autores
César Alejandro Rincón Orta
Es profesor emérito de la UNAM. Se graduó como químico metalúrgico
y matemático por la Universidad Nacional Autónoma de México
(UNAM). Acreditó las asignaturas del plan de estudios del doctorado
de Matemáticas.
Es fundador del primer laboratorio de Geocronometría en México y
también de la Maestría de Matemáticas, en la Universidad Autónoma
de Querétaro.
Es docente en la UNAM desde 1958, en donde ha impartido las
asignaturas de Álgebra superior I y II, Álgebra lineal I y II, Álgebra
moderna I y II, Cálculo I y II, Ecuaciones diferenciales, Análisis de
variable compleja, Análisis matemático I y II, tanto en la Facultad de Química como en la Facul-
tad de Ciencias.
Es coautor de varios libros, entre los que destacan: Álgebra superior, Las Prensas de Ciencias,
Facultad de Ciencias, UNAM, 2006; Métodos matemáticos de la termodinámica, Facultad de Quí-
mica, UNAM, 1978, reeditado por el Departamento de Publicaciones del Instituto de Matemáti-
cas, UNAM, 1996; Lógica matemática, UNAM, 2005.
Asimismo, ha publicado diversos artículos de Geocronometría en los boletines del Instituto
de Geología.
Amado Salvador Granados Aguilar
Se graduó como ingeniero químico por la Benemérita Universidad
Autónoma de Puebla (BUAP) y en la maestría y el doctorado en Ingenie-
ría Química por la UNAM.
Es profesor de la Facultad de Química de la UNAM desde 1990, en
la que ha impartido las asignaturas de Álgebra superior, Cálculo I y II, y
Ecuaciones diferenciales a nivel licenciatura; así como Matemáticas apli-
cadas en el posgrado de Ingeniería.
Es autor del libro Ejemplario: Ecuaciones diferenciales ordinarias (en
proceso de publicación por la Facultad de Química, UNAM).
Eugenio León Fautsch Tapia
Se graduó como ingeniero químico por la Universidad Nacional Autó-
noma de México (UNAM) y es pasante de la Maestría en Educación en
Matemáticas (UACPYP del CCH, UNAM).
Fue asesor en el proceso de fundación de la Universidad Autónoma
de la Ciudad de México (UACM) e impartió clases de matemáticas a
nivel bachillerato en el Centro Universitario México por más de veinticin-
co años. Desde 1972 es profesor en la Facultad de Química de la UNAM,
en la que ha impartido los cursos de Álgebra, Álgebra superior, Cálculo
de funciones de una variable(Cálculo I), Cálculo de funciones de varias
variables (Cálculo II) y Ecuaciones diferenciales a nivel licenciatura.
Es coautor con Marco A. Flores Meyer de los libros: Temas selectos de matemáticas (1981),
Cálculo básico (1982), Geometría analítica básica (1991), todos publicados y reeditados por la
Editorial Progreso, México. También es coautor con Rincón y otros del libro Lógica matemática,
UNAM, 2005.
Ha diseñado desde el año 2000 diversas páginas de internet, como apoyo a sus actividades
docentes.
x Acerca de los autores
Susana Yalú Leticia Rubín Rivero
Es ingeniera química metalúrgica por la UNAM. Ha sido profesora de
la Facultad de Química de la UNAM desde 1984, en donde ha imparti-
do las asignaturas de Ecuaciones diferenciales, Estadística, Álgebra
superior y Cálculo.
Es coautora con Rincón y otros del libro Lógica matemática, UNAM,
2005.
Manuel Vázquez Islas
Es ingeniero químico y pasante de la maestría en Investigación de Ope-
raciones, de la Facultad de Ingeniería de la UNAM.
Desde 1973 es docente de la Facultad de Química de la UNAM, en
donde ha impartido los cursos de Álgebra, Cálculo I, Cálculo II, Ecua-
ciones diferenciales, Métodos numéricos, Matemáticas aplicadas II; y, en
el posgrado, Matemáticas aplicadas y Matemáticas avanzadas.
Fue distinguido con la cátedra “Andrés Manuel del Río” en 1989 y
con el Reconocimiento al Mérito por el AAPAUNAM en 1997.
Antonio Francisco Díaz García
Ingeniero Químico, Licenciado en Derecho y Maestro en Enseñanza en
Matemáticas por la UNAM.
Profesor de Matemáticas en la Facultad de Química desde 1973 ha
impartido diversas asignaturas del área. También cuenta con experien-
cia como profesor en la Facultad de Derecho y en el posgrado de Cien-
cias de la Administración de la UNAM. Ha publicado diversos artículos
y es autor de algunos libros.
xi
Prólogo
El conocimiento científico necesita “matematizarse” para poder avanzar y expresarse adecuada-
mente en forma cuantitativa y, como lo indica el término entrecomillado, es la matemática lo que
se requiere para tal propósito.
Independientemente de su utilidad, el estudio de la matemática —que es bellísima— es un
ingrediente esencial en la formación de los marcos conceptuales necesarios para el correcto fun-
cionamiento de la mente, además de que proporciona el placer del orden y de lo bien estructurado.
Einstein afirmó que quien no disfrute de una buena demostración geométrica, no nació para
científico.
A pesar del impresionante avance de la tecnología y de las ciencias de la computación, en
cuya base aparece en forma muy significativa la lógica matemática, el álgebra no ha perdido ni un
ápice de su lugar de ser el conocimiento básico sobre el que se construye la matemática toda. Es por
esta razón que en los primeros semestres de las carreras científicas y en algunas de las humanísti-
cas, aparece el álgebra como una de las materias curriculares obligatorias.
Una de las dificultades con que tropiezan los maestros que imparten los primeros cursos de
esta materia es la gran cantidad de material que debe cubrirse en ellos. Es necesario precisar la
extensión (el tiempo que debe dedicarse a cada tema) y el rigor que resulte adecuado al heterogé-
neo nivel de los alumnos y que, a la vez, sea consistente con la formalidad matemática que su
orientación profesional requiere.
La experiencia de los autores al impartir estos cursos durante varios años ha guiado la exten-
sión del desarrollo de cada tema, sus aplicaciones y la forma que les pareció adecuada para este
nivel. La selección, tanto de los temas como de las aplicaciones, se hizo con el propósito de reunir
en un solo volumen el contenido integral del programa de álgebra superior, y así ayudar a resolver
la problemática que tienen los profesores y los estudiantes al tener que utilizar una bibliografía
amplia y, en general, poco accesible, ya sea por su costo, su falta de disponibilidad en el mercado
o su insuficiente existencia en el acervo de las bibliotecas.
A continuación se presenta una breve introducción al contenido de cada capítulo y su inten-
ción:
Capítulo 1 Se atienden los temas básicos de lógica, considerando que el alumno debe desa-
rrollar un pensamiento matemático bien ordenado, en el cual emplee correctamente el lenguaje
preciso que proporciona la matemática, que es el utilizado en la ciencia. Se enfatiza el análisis de
argumentos que es esencial para determinar la validez de éstos. La inclusión de los temas elemen-
tales de la teoría de conjuntos se basa en la importancia que ésta tiene en la construcción de mode-
los para un gran número de problemas de la matemática.
Capítulo 2 Se desarrolla el tema de sistemas de ecuaciones, debido al gran número de proble-
mas cuyo modelado y solución los requiere. Además del tratamiento que generalmente se le da,
se considera el balanceo de ecuaciones químicas y el análisis dimensional, ambas aplicaciones
importantes. Con objeto de sustentar la teoría que se ocupa en este capítulo, se adjunta un breve
tratamiento de matrices y determinantes.
Capítulo 3 Se formaliza la estructura del álgebra de ecuaciones, mediante la construcción
axiomática del campo de los números reales y sus subconjuntos más importantes —naturales,
enteros y racionales—, cuyas propiedades se utilizan cotidianamente sin expresión explícita, así
como su extensión al campo de los números complejos. El campo de los números reales, es el
hábitat natural del cálculo de variable real, por lo que su estudio resulta indispensable en este
nivel. En opinión de los autores, la problemática para el aprendizaje del cálculo se encuentra alta-
mente influida por la falta de dominio adecuado del álgebra, razón que justifica el desarrollo del
tema.
xii Prólogo
La propiedad que tienen los números complejos de contener a todas las raíces de sus ecuacio-
nes —ser algebraicamente cerrados— los hace especialmente adecuados para el estudio del álge-
bra y de sus aplicaciones en algunos temas de la matemática superior (geometría algebraica, por
ejemplo).
Capítulo 4 Se formaliza la definición de polinomio y de sus operaciones. Se estudian las fun-
ciones polinomiales y algunos de sus teoremas clásicos como el teorema del residuo, el teorema
del factor y multiplicidad de raíces, entre otros. Se describen algunos métodos para encontrar las
raíces de las ecuaciones o aproximarlas por métodos numéricos, cuando sea el caso.
Capítulo 5 Se dedica a la parte más elemental del álgebra lineal, necesaria para el manejo
adecuado de la matemática en cursos posteriores. Se da la definición de grupo, campo, espacio
vectorial y subespacio generado. Utilizando el lema de Zorn, se demuestran los teoremas relacio-
nados con la dependencia e independencia lineal, existencia de bases y se justifica la definición de
dimensión de un espacio vectorial. Se utiliza el producto punto para aplicar el álgebra lineal en la
geometría —rectas y planos—.
Anexos En los anexos se incluyen algunos temas y demostraciones (un poco más formales)
con el objeto de llenar las lagunas que se dejaron —deliberadamente— en algunos capítulos.
Además, se presenta un buen número de ejercicios como ayuda para que los estudiantes se
familiaricen con los temas tratados y puedan adquirir una razonable comprensión de éstos, de
manera que puedan autoevaluar el nivel de dominio adquirido al estudiarlos.
1
Ló
g
ica y co
n
ju
n
to
s
1.1 Lógica matemática
• Definición de proposición
• Tautologías y absurdos
• Proposiciones equivalentes
• Argumentos y demostraciones
• Algunas propiedades del símbolo “⊢–” (se puede demostrar)
• El cálculo proposicional es consistente y completo
• Cuantificadores
1.2 Conjuntos
• Introducción
1.3 Conceptos primitivos, definiciones, axiomas y teoremas
• Contención de conjuntos
• Nuevos conjuntos
• El conjunto vacío y el conjunto universal
• Familia de conjuntos
• Uniones
1.4 Álgebra de conjuntos
• Intersecciones
• Diferencias
• Complemento
• El conjunto potencia1.5 Producto cartesiano
• Pareja ordenada
• Relaciones y funciones
• Algunas propiedades del producto cartesiano
1.6 Suma y producto booleanos
• Una representación gráfica
1.7 Algunas demostraciones en la teoría de conjuntos
1.8 El concepto de función
• Álgebra de funciones
U
n
id
ad
1
2 Unidad 1 Lógica y conjuntos
1.1 Lógica matemática
La lógica matemática puede considerarse como una parte de la filosofía que tiene como uno de sus
objetivos centrales la clasificación de los principios y leyes que rigen a los razonamientos válidos. Se
apellida matemática porque en su desarrollo se utiliza el método axiomático-deductivo, que es
característico de esta rama del conocimiento y que ha trascendido al estudio de gran parte de las
teorías científicas y humanísticas, las cuales deben matematizarse, para poder expresar correcta-
mente sus conceptos y enriquecer sus resultados.
Entre los componentes básicos de esta lógica está el cálculo proposicional que, enriquecido
convenientemente con algunos conceptos y resultados del cálculo de predicados, permite interpre-
tar con toda precisión las nociones básicas de la matemática.
En esta unidad se hace una breve exposición del cálculo proposicional, el cual comienza des-
cribiendo cuáles son los elementos que lo constituyen y la forma en que éstos se combinan (con-
ceptos y relaciones primitivas),1 las propiedades que estos objetos y relaciones tienen (axiomas o
postulados)2 y la forma (correcta) en la cual se demuestran sus conclusiones, que una vez incorpo-
radas al lenguaje lógico de la matemática se conocen como teoremas.
En el álgebra, cuando se trata de números particulares, se usan símbolos para representarlos
(sus numerales), por ejemplo, 0 2 1 2 7 4 7, , / , , ,− −π i , pero cuando no se especifica de qué núme-
ros se trata, pueden utilizarse variables (como x, y, z) para referirse a ellos, los cuales en casos
particulares pueden tomar valores que coinciden entre sí. Por ejemplo, si se desea encontrar los
números x, y, z tales que su suma sea 9 ( )x y z+ + = 9 , una interpretación podría ser x y z= = = 3
y otra x = y = 4, z = 1, entre una infinidad de posibilidades.
En el cálculo proposicional (CP) existen las proposiciones simples (𝒫S) y los conectivos lógi-
cos, que son conceptos primitivos de la teoría, en tanto que no se definen, y permiten precisar lo
que son las proposiciones (𝒫) en general. También son primitivos los valores de verdad —{ , } { , }0 1 o —F V
o —{ , } { , }0 1 o —F V , los cuales asignan a cada proposición simple su carácter de falsa o verdadera, asigna-
ción que, como se verá más adelante, se extiende al conjunto de las proposiciones por medio de las
tablas de verdad. El hecho de que los valores de verdad sean dos y sólo dos, confiere a esta lógica
su carácter de lógica binaria (en contraste con la lógica de la vida, que no lo es, ¿se entiende?).
Las proposiciones simples pueden interpretarse como expresiones de las que puede decirse
con precisión que son falsas o verdaderas. Se representan con las letras P, Q, …, y cuando se
requiere considerar proposiciones simples no especificadas, pueden usarse las variables proposicio-
nales A, B, C, …
En el cálculo proposicional, cuando se usan letras distintas, éstas representan proposiciones
simples diferentes, pero, al igual que en el álgebra, diversas variables proposicionales pueden estar
representando proposiciones iguales.
Los conectivos lógicos que aparecen en esta unidad tienen como función representar los
correspondientes conectivos del lenguaje (español), los cuales se usan para reunir varias frases en
una sola. Son no, y, o e implica.
Algunos autores consideran también el conectivo si y sólo si, que aquí se define como una
doble implicación, por lo cual no se incluye en las anteriores. Los símbolos usados para represen-
tar estos conectivos son:
1. para no: ¬, ∼ o ′
2. para y: ∧, ⋅, o &
3. para o: ∨
4. para implica que también se conoce como si… entonces…, →
De los valores de verdad, como ya se dijo, se utilizan:
1. para falso: 0 o F.
2. para verdadero: 1 o V.
1 En una teoría axiomática se llaman primitivos (o primitivas) los conceptos y relaciones que aparecen sin definición y a partir de
los que se explica el significado de otros conceptos y relaciones, por la cual reciben el calificativo de definidas.
2 Los axiomas, o postulados, de una teoría, son definiciones implícitas de los objetos y relaciones de ésta. Dichas definiciones se
logran al asignar a los objetos y relaciones las propiedades que se les suponen y que, de alguna manera, deben caracterizarlos.
31.1 Lógica matemática
definición de proposición
1. Toda proposición simple es una proposición.
2. Si A y B son proposiciones, ¬ A, A ∧ B, A ∨ B y A → B también son proposiciones.
3. Una fórmula (colección de símbolos de proposiciones simples y/o conectivos lógicos) es pro-
posición si y sólo si tiene tal carácter justificado por las reglas 1 o 2.
La regla 1 proporciona una base inicial de proposiciones (las simples).
La regla 2 permite utilizar los conectivos lógicos para formar nuevas proposiciones a partir de
las ya existentes.
La regla 3 asegura que las únicas fórmulas que pueden considerarse proposiciones son las que
se construyen usando las reglas 1 o 2.
La definición anterior se resume utilizando el simbolismo matemático de la siguiente manera:
definición 1.1.1
Sean 𝒫S las proposiciones simples y 𝒫 las proposiciones; entonces:
1. 𝒫S ⊂ 𝒫
2. A, B, ∈ 𝒫 ⇒ ¬ A, A ∧ B, A ∨ B y A → B ∈ 𝒫
3. y son todas (una fórmula está en 𝒫 si y sólo si lo es vía las reglas 1 o 2).
Como ya se mencionó en párrafos anteriores, las proposiciones simples se
usan para representar frases del idioma, las cuales deben tener un valor de verdad
bien determinado (deben ser falsas o ciertas). En el cálculo proposicional, este fin
se alcanza postulando que a cada proposición simple se le asocia un valor de ver-
dad 0 o 1 según deba considerarse falsa o verdadera.
Los valores de verdad que corresponden a las proposiciones compuestas por
más de una proposición simple dependen de los que tengan éstas y se determinan
aplicando las tablas de verdad, las cuales son definiciones implícitas de la forma en
que actúan los conectivos lógicos, que, por supuesto, deben ser análogas a las que
cumplen, en el idioma, los conectivos que estos símbolos representan. Así, el conectivo no cambia
el valor de verdad de la proposición a la cual está asociado. En efecto, por tratarse de una lógica
binaria, resulta que si una proposición P es cierta, su negación (¬P) tiene que ser falsa y, recípro-
camente, la negación de una proposición falsa debe ser cierta. Por esta razón, la tabla de verdad
del conectivo no se define así:
P ¬ P
0 1
1 0
en la cual el primer renglón ilustra lo que sucede cuando P es falsa y el segundo lo hace cuando P
es cierta. La tabla tiene sólo esos dos renglones (uno para cada valor de verdad de P), y con ellos
cubre todas las posibles situaciones que puedan darse.
Los otros tres conectivos son binarios, cada uno conecta dos proposiciones y, por lo tanto,
generan cuatro maneras de combinar los valores de verdad que puedan tener las proposiciones
que conectan,3 a saber, (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), y por lo tanto, las tablas de verdad que los definen,
deben tener cuatro renglones, uno por cada combinación.
Las tablas siguientes son las definiciones del efecto que cada conectivo produce en las propo-
siciones que se forman con ellos.
Note que estos adjetivos solamente
son los nombres de las etiquetas que
las proposiciones simples tienen, y
son independientes de las definiciones
(filosóficas) de falso y verdadero,
aunque están concebidas con objeto
de representarlas.
3 Un principio fundamental de numeración establece que si dos eventos pueden efectuarse independientemente de m y n mane-
ras, respectivamente, la pareja puede hacerlo de m · n formas.
4 Unidad 1 Lógica y conjuntos
Observaciones
1. De la tabla de la negaciónse infiere que en el cálculo proposicional, la doble negación afirma
(lo que no sucede en el idioma español en el que la doble negación enfatiza; por ejemplo, él no
sabe nada, no le dije nada a nadie, …).
2. El conectivo “∧” produce proposiciones que siempre resultan falsas, excepto en el caso en el
que las dos proposiciones que la forman son ciertas.
3. La tabla del conectivo “∨” corresponde al uso del o incluyente del idioma. La proposición no
es cierta sólo en el caso de que tanto A como B sean ambas falsas.
4. La tabla de la implicación, cuya validez es menos evidente que las de los otros conectivos, dice
que de una proposición falsa puede seguirse lo que sea, falso o cierto, sin que la proposición
completa (la implicación) pierda su valor de verdad. Por ejemplo, si P → Q representa la
afirmación siguiente:
Si x es un alumno de la universidad (P)
Entonces x estudia (Q)
sólo sería falsa si existiera algún estudiante que siendo universitario (P cierta) no estudiara (Q
falsa). La verdad de la proposición anterior es independiente de la existencia de personas que no
siendo universitarias (P falsa) estudian (Q cierta), o que no lo hacen (Q falsa).
Un caso particular, que aparece con frecuencia en los argumentos matemáticos, es el referido
a las propiedades de los elementos que pudieran estar en el conjunto vacío (no hay ninguno) y a
los cuales, por lo tanto, puede suponérseles cualquier cosa. Así, de las implicaciones que comien-
zan con la proposición x ∈∅ se dice que son ciertas por vacuidad, independientemente del valor
de verdad de la conclusión. Por ejemplo, las dos proposiciones siguientes son ciertas (por vacui-
dad):
a) 7 7∈∅ → es un número par
b) 7 7∈∅ → no es un número par
Note que no se contradicen; es decir, una no es la negación de la otra (ver equivalencias más
adelante).
La proposición P → Q, entre otras formas, se expresa como:
1. P implica Q
2. Si P entonces Q
3. Si P, Q
4. Q si P
5. Q es una condición necesaria para P
6. P es una condición suficiente para Q
Las tablas de verdad permiten conocer el valor de verdad que tiene cada proposición com-
puesta, el cual depende de la combinación de los valores de verdad de sus componentes. Con
objeto de construirlas, se procede paso a paso, aplicando iteradamente las tablas de verdad bási-
cas, que son las correspondientes a los conectivos lógicos que aparecen en ella.
Ejemplo 1.1.1
Se desea conocer la tabla de verdad de la proposición P Q R→ ∧( ) .
1. Puesto que se trata de una proposición compuesta por tres proposiciones simples, sus valores
de verdad, dos para cada una de ellas, producen ocho posibles combinaciones ( )2 2 2⋅ ⋅ .
Entonces la tabla que los considere debe tener ocho renglones. Constrúyase ésta.
P Q P ∧ Q P ∨ Q P → Q
0 0 0 0 1
0 1 0 1 1
1 0 0 1 0
1 1 1 1 1
51.1 Lógica matemática
P Q R Q ∧ R P → (Q ∧ R)
0 0 0 0 1
0 0 1 0 1
0 1 0 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 1 0 0
1 1 0 0 0
1 1 1 1 1
2. Se asigna valores a cada proposición simple y así se llenan las primeras tres columnas, las
cuales exhiben las ocho posibles combinaciones de ellos, que, por supuesto, pueden registrar-
se en cualquier orden, aunque es recomendable utilizar una manera específica para acomo-
darlas. Note que la que se usó tiene la ventaja de dejar numerados, en notación binaria, los
renglones y además permite comprobar fácilmente que no falta ninguno y que no hay repeti-
ciones, lo cual no es fácil de conseguir cuando la tabla tiene muchos renglones.
3. La tabla que se desea construir corresponde a una implicación y, por lo tanto, su valor depen-
de de sus componentes P y (Q ∧ R). El paréntesis es un signo de agrupación que afirma que
Q ∧ R es una sola proposición, a la cual se debe asignar su valor de verdad y que, por lo tanto,
debe conocerse. Luego, se procede a determinarlo (columna 4).
4. Tomando en cuenta los valores de P y de Q ∧ R, se llena la columna 5 usando la tabla de la
implicación.
Con base en lo anterior, y para construir la tabla de verdad de una fórmula que consta de n pro-
posiciones simples:
1. Considere 2n renglones, en cada uno de los cuales debe aparecer una posible combinación de
valores de verdad de las proposiciones simples. Es recomendable, según la observación hecha
con anterioridad, comenzar con 2n − 1 ceros y luego con 2n − 1 unos en la primera columna. En
la segunda se alternan 2n − 2 ceros con igual número de unos. La tercera columna se llena de
arriba hacia abajo alternando ceros y unos, cada “paquete” con 2n − 3 elementos, y así sucesi-
vamente, hasta llegar a la columna n-ésima para la que se usa la sucesión 0, 1, 0, 1, ... , 0, 1,
siempre de arriba hacia abajo. Así, para n = 4 el arreglo de los 24 = 16 renglones debe ser el
siguiente:
Notación binaria Notación
decimalP1 P2 P3 P4
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 2
0 0 1 1 3
0 1 0 0 4
0 1 0 1 5
0 1 1 0 6
0 1 1 1 7
1 0 0 0 8
1 0 0 1 9
1 0 1 0 10
1 0 1 1 11
1 1 0 0 12
1 1 0 1 13
1 1 1 0 14
1 1 1 1 15
6 Unidad 1 Lógica y conjuntos
La última columna de la tabla anterior tiene la numeración decimal que corresponde a los
arreglos de ceros y unos de los renglones (notación binaria).
2. Usando las tablas básicas, asigne valores de verdad a las proposiciones compuestas, empezan-
do por las negaciones directas y luego por las que no tengan paréntesis dentro de ellas.
3. Prosiga la construcción de adentro hacia fuera de las proposiciones más interiores hacia las
exteriores de las que forman parte, hasta terminar.
Tautologías y absurdos
Cuando se construyen las tablas de verdad de algunas proposiciones se nota que, independiente-
mente de los valores de verdad que puedan tener sus componentes, éstas son siempre ciertas. Se
conocen como tautologías, y entre ellas destacan, por su utilidad en las demostraciones, los casos
particulares de los ocho esquemas,4 los cuales reciben el nombre de esquemas de las tautologías
básicas (o simplemente tautologías básicas).
Esquemas de las tautologías básicas
T1 A B A→ →( )
T2 ( ) [( ( )) ( )]A B A B C A C→ → → → → →
T3 A B A B→ → ∧( ( ))
T4 A B A A B B∧ → ∧ →,
T5 ( ) [( ) [( ) ]]A C B C A B C→ → → → ∨ →
T6 A A B B A B→ ∨ → ∨,
T7 ( ) [( ) ]A B A B A→ → → ¬ → ¬
T8 ¬¬ →A A
La negación de una tautología o los casos particulares del esquema A A∧ ¬ son proposicio-
nes que siempre son falsas y se llaman absurdos.
Proposiciones equivalentes
Las parejas de proposiciones X y Y tales que una es cierta si y sólo si la otra lo es (tienen tablas de
verdad iguales) se llaman equivalentes. La lista siguiente enumera una colección de esquemas
de parejas de proposiciones equivalentes. Para ellas se usa la notación X ≡ Y. La equivalencia
corresponde a la doble implicación Y → X y Y → X, que, como se señaló, también puede deno-
tarse como X ↔ Y. Más adelante se dice que X es equivalente a Y si y sólo si a partir de X puede
demostrarse Y y a partir de Y puede demostrarse X. Ambas definiciones son equivalentes.
X Y Nombre
1. A B→ ¬ → ¬B A Ley de la contrapuesta
2. A B→ ¬ ∨A B Equivalencia de la implicación
3. ¬ →( )A B A B∧ ¬ Negación de la implicación
4. ( )A B C∨ ∨ A B C∨ ∨( ) Ley asociativa para la disyunción
5. ( )A B C∧ ∧ A B C∧ ∧( ) Ley asociativa para la conjunción
4 Un caso particular de un esquema es el resultado de sustituir las variables proposicionales por proposiciones. Por ejemplo,
P → ((Q ∧ R) → P) es un caso particular del esquema A → (B → A), en el que A se ha sustituido por P y B por Q ∧ R.
71.1 Lógica matemática
En esta tabla, T es una tautología y ∅ un absurdo.
La equivalencia de los tres primeros esquemas se utiliza en las demostraciones y la de los
demás esquemas, en las aplicaciones del cálculo proposicional a la teoría de conjuntos (como se
explica más adelante en esta unidad).
argumentos y demostraciones
Los objetos que estudia la matemática no tienen realidad física. Se representan por medio de sím-
bolos o dibujos, pero no existen en el mundo real. Son creaciones (¿o descubrimientos?)de la
mente humana.5 Nadie ha visto un círculo, un triángulo ni un número, y por esta razón, las afir-
maciones hechas acerca de los entes matemáticos y de sus propiedades —por ejemplo, los teore-
mas del álgebra o de la geometría— no pueden demostrarse mediante experimentos. En el mundo
científico, una demostración es un mecanismo de convencimiento, un proceso informal destinado
al consumo humano, formulado en lenguaje humano, en el que se permite utilizar todas las com-
plejidades y sutilezas de la inteligencia, así como las argucias del arte de persuadir.
La persistente regularidad con que se presentan algunos fenómenos naturales ha permitido
postular muchas leyes de la física, la química, la biología y la economía, y para comprobarlas los
científicos diseñan experimentos que, cuando dan resultados coincidentes con lo esperado por
ellos, se dice que tal resultado confirma la teoría o la demuestra. La aparición de nuevas evidencias
obliga a que estas leyes y sus demostraciones deban modificarse. En la matemática esto no puede
suceder. Sus teoremas son eternos. Por ejemplo, el teorema de Pitágoras tiene una vigencia mucho
más larga que los resultados de la mecánica celeste de Newton o que la teoría de la relatividad de
Einstein.
El notable avance de las ciencias de la computación ha permitido comprobar un gran número
de resultados de cálculos numéricos, los cuales apoyan y fortalecen algunas conjeturas aritméticas,
pero no las demuestran. Por ejemplo, si quisiera demostrarse que todo número natural es menor o
igual a 100 000 000 —lo cual es falso—, se podrían exhibir más de cien millones de ejemplos (0, 1,
2, . . ., 100 000 000) que cumplen con lo que la proposición asegura y, sin embargo, a pesar del mul-
titudinario cúmulo de testigos, la falsedad del enunciado queda en evidencia al considerar el núme-
ro 100 000 001, o cualquiera del infinito número de sus sucesores, 100 000 001 + n, n = 1, 2, . . .
5 Platón decía que los objetos de la matemática existen en un mundo ideal y que algunas veces se muestran a humanos geniales o
dotados de gran talento, que son quienes los descubren.
X Y Nombre
6. A B∨ B A∨ Ley conmutativa para la disyunción
7. A B∧ B A∧ Ley conmutativa para la conjunción
8. A B C∧ ∨( ) ( ) ( )A B A C∧ ∨ ∧ Ley distributiva de la conjunción respecto a la disyunción
9. A B C∨ ∧( ) A( ) ( )A B B C∨ ∧ ∨ Ley distributiva de la disyunción respecto a la conjunción
10. ¬ ∨( )A B ¬ ∧ ¬A B Ley de De Morgan; negación de la disyunción
11. ¬ ∧( )A B ¬ ∨ ¬A B Ley de De Morgan; negación de la conjunción
12. A T∨ T
Leyes de idempotencia
13. A T∧ A
14. A ∨ ∅ A
15. A ∧ ∅ ∅
16. ¬¬A A Ley de la doble negación
8 Unidad 1 Lógica y conjuntos
René Thom afirma que
la demostración de una proposición Q debe ser como un camino que, partiendo de una
situación aceptada y que, por lo tanto, deba ser comprendida por todos, conduzca, a través
de pasos sucesivos, hasta un estado psicológico en el que la verdad de la proposición resul-
te evidente [y agrega que] el rigor de esta demostración se basa en el hecho de que cada
paso sea perfectamente claro, simplemente tomando en cuenta las extensiones de significa-
do que se han ido efectuando en pasos previos.
Puede estarse de acuerdo con lo anterior, pero las fórmulas de la matemática, las
cuales por supuesto pueden interpretarse, son entes abstractos. ¿Cómo comprender la demostración
de una colección de símbolos que pueden no tener significado alguno? ¿Cuáles pueden ser las claras
extensiones de significados que se han dado en pasos previos? Debe tenerse una formulación precisa
de estas ideas dentro de la lógica matemática.
En la ciencia se razona por medio de argumentos, que son reglas aceptadas que permiten
obtener conclusiones a partir de ciertas hipótesis (las premisas). En lógica matemática se define un
argumento como una pareja (Γ, Q), donde Γ es un conjunto de fórmulas (proposiciones) llamadas
hipótesis y Q es una fórmula que se conoce como la conclusión.
Se dice que un argumento (Γ, Q) es válido cuando la verdad de cada una de sus premisas fuer-
za a que la conclusión deba ser cierta. En un argumento válido no puede suceder que al ser ciertas
las premisas, la conclusión no lo sea. En ese caso se dice que las premisas implican lógicamente la
conclusión o que Γ → Q es una tautología, y de acuerdo con esta definición es claro que los argu-
mentos válidos preservan el valor de verdad en el sentido de que a partir de premisas ciertas siempre
se obtienen conclusiones ciertas.
La definición anterior da origen a dos métodos prácticos para determinar la validez de un
argumento.
Método directo
Considere todos los valores de verdad que hagan ciertas las hipótesis, asignándolos a las proposi-
ciones simples que las conforman, en el orden conveniente para que las disyunciones y las impli-
caciones sólo tengan una manera de ser ciertas. La asignación debe ser congruente, de manera que
si a una proposición simple se le asigna un valor de verdad, debe conservarlo en todas sus apari-
ciones en el argumento. Si este procedimiento obliga a la conclusión a ser cierta (no que pueda ser,
sino que tenga que ser), entonces el argumento es válido, y, en caso contrario, no válido. Dado que
los casos en que las hipótesis sean ciertas pueden ser varios (y entonces hay que considerar cada
uno de ellos), conviene iniciar asignando valores a aquellas proposiciones que sólo tienen una
combinación de valores que las hace ciertas, como las que están solas, las negaciones de una pro-
posición y las conjunciones (por ejemplo, ¬B, R y M ∧ N).
Método indirecto
Se asignan valores de verdad a las proposiciones simples que hagan falsa la conclusión y se incor-
poran esos valores a las que aparezcan en las hipótesis. Se continúa asignando valores de verdad
a las proposiciones simples restantes de manera que hagan ciertas las hipótesis, si eso no es posible
y alguna de las hipótesis falla (resulta falsa), entonces el argumento es válido. Si pudiera suceder
que, siendo falsa la conclusión, todas las hipótesis resultaran ciertas, el argumento es inválido.
Una manera de proceder es usar 1 para cierto y 0 para falso, en la forma de superíndice en
cada proposición simple, como se ilustra en los ejemplos siguientes.
Ejemplo 1.1.2
Demostrar la validez del argumento siguiente utilizando el método directo.
C ∧ P
P → (E ∨ L)
E → ¬C
∴ L
René Thom (1923-2002). Matemático
y topólogo francés, que destacó por
su trabajo en el desarrollo de la teoría
de las catástrofes, la cual está
relacionada con sistemas dinámicos
que no pueden modelarse adecuada-
mente mediante el cálculo diferencial.
91.1 Lógica matemática
Otra manera de escribir el argumento es:
C ∧ P, P → (E ∨ L), E → ¬C, ∴ L, o también
〈(C ∧ P) ∧ [P → (E ∨ L)] ∧ (E → ¬C)〉 → L
En este caso, se comienza haciendo cierta la proposición (C ∧ P). La única manera en que
esto pase es que tanto C como P sean ciertas. Luego, a C y a P les corresponde un uno.
C P∧
1 1
La P de la segunda hipótesis también debe ser cierta.
P E L→ ∨( )
1
En la tercera hipótesis hay una ¬C que resulta falsa, ya que C es cierta.
E C→ ¬
0
Para ser cierta, esta última hipótesis obliga a la E a ser falsa.
E C→ ¬
0 0
Cuando se aplica este valor a la proposición P E L→ ∨( ) se obtiene:
P E L→ ∨( )
1 0
que para ser cierta fuerza a que L (la conclusión) tenga que ser cierta. Esto prueba la validez del
argumento.
P E L→ ∨( )
1 0 1
Ejemplo 1.1.3
Demostrar la validez del siguiente argumento utilizando el método indirecto.
I P→
C P∨ ¬
¬C
∴ ¬I
o bien,
I P C P C I→( ) ∧ ∨ ¬( ) ∧ ¬( ) → ¬
Para que la conclusión sea falsa se asigna a I el valor uno.
¬I
0
Luego, para que la primera hipótesis resulte cierta, P también debe tener valor uno.
I → P
1 1
En la segunda hipótesis, ¬P es falsa y, por lo tanto, C tiene que ser cierta.
C ∨ ¬P
1 0
10 Unidad 1 Lógica y conjuntos
Así, la tercera hipótesis, ¬C, no puede ser cierta.
¬C
0
Por lo tanto, el argumento es válido.
Algunosargumentos válidos aparecen en las demostraciones con tal frecuencia que merecen
ser señalados explícitamente (como los productos notables en el álgebra), y se les llama reglas váli-
das de inferencia. El ejemplo clásico es el conocido como modus ponendo ponens (modus ponens),
el cual asegura que a partir de las hipótesis A y A → B se puede concluir B. Se denota como MP y
se acostumbra representar con el esquema
A A B
B
, →
en el que las premisas se han escrito en el renglón de arriba y la conclusión en el de abajo. Siguien-
do esa convención, se presentan los tres siguientes argumentos, que también son válidos y que,
junto con el primero, forman las reglas válidas de inferencia usadas con más frecuencia en las
demostraciones de la lógica proposicional:
A B B C
A C
→ →
→
,
Regla del silogismo hipotético (SH)
A B A
B
∨ ¬,
Regla de disyunción o modus tollendo ponens (disy)
A A
B
, ¬
Regla de reducción al absurdo (RAA)
Cuando (Γ, Q) es un argumento, se dice que Q es consecuencia inmediata de Γ. En el caso del
modus ponens, disyunción o absurdo de los esquemas anteriores, B es consecuencia inmediata de
sus respectivas premisas.
En teorías axiomáticas es frecuente suponer que, además de los axiomas, son ciertas algunas
otras fórmulas, y en esos casos, considerar las que, debido a esa suposición (hipótesis), resultan
también verdaderas. Por ejemplo, en la geometría de Euclides, puede suponerse que las rectas l y
m son paralelas a una tercera recta k y concluir que entonces l y m son paralelas entre sí. En los
casos análogos, cuando al suponer las hipótesis Γ puede concluirse Q, se dice que, en esa teoría,
Q puede deducirse a partir de las hipótesis Γ.
Tomando en cuenta las consideraciones anteriores se da la siguiente definición:
definición 1.1.2
La deducción de una fórmula Q en una teoría axiomática 𝒯, a partir de la hipótesis Γ, es una
lista ordenada de fórmulas B1, B2, . . ., Bn tal que cada una de ellas es:
1. un axioma de la teoría.
2. una hipótesis de Γ.
3. una tautología6 (o cualquier proposición equivalente a ella).7
4. la consecuencia inmediata de una regla válida de inferencia, cuyas premisas ya están en la
lista (son anteriores).
5. Bn es Q (cuya presencia también debe estar justificada
8 por las condiciones 1 a 4).
6 Para evitar el uso de las tablas de verdad con objeto de justificar que alguna proposición que se desea utilizar es tautología, en
este libro sólo se utilizarán casos particulares de las ocho tautologías básicas.
7 Se está utilizando la ley del reemplazo en la siguiente versión: Sea F(A) una fórmula que contiene a la proposición A y F(B), la
que resulta de sustituir A por B en F. Entonces A ≡ B ⇒ F(A) ≡ F(B). En particular, F(A) se puede demostrar si y sólo si F(B) se
puede demostrar. Esta ley permite sustituir cualquier fórmula de una deducción por otra equivalente (o anexar renglones).
8 Cuando una deducción se hace sin usar hipótesis (Γ = ∅) se dice que se trata de una demostración. En este libro no se hace tal
distinción, de manera que se usará demostración o deducción como sinónimos.
111.1 Lógica matemática
Cuando se construye la deducción de una fórmula es conveniente numerar las proposiciones
que van formándose para poder referirse a ellas sin ambigüedad; además, se acostumbra agregar
una breve justificación de la presencia de cada fórmula de la cadena (en general, se escribe una
demostración con objeto de comunicarla, o de recordar después cómo se hizo, y en esos casos la
justificación mencionada ayuda a este propósito).
No existen algoritmos que permitan indicar cómo hacer una demostración. Es un arte cuyos
productos no siempre son fáciles de conseguir. Debe seleccionarse el camino y decidir cómo debe
ser cada paso, qué tautologías deben usarse y cómo descubrir las reglas válidas de inferencia cuyas
premisas van apareciendo.
Una ayuda que facilita la labor de los demostradores consiste en recordar que las tautologías
básicas son esquemas que expresan las relaciones que los conectivos tienen entre sí.
Las tautologías 1 y 2 definen las propiedades esenciales de la implicación (son equivalentes a
su tabla de verdad). Las tautologías 3 y 4 relacionan la implicación con el conectivo “y”; la 5 y la
6 con el “o” y la 7 y la 8 con el “no”. Estas relaciones sugieren los esquemas de tautologías que
pueden usarse en cada caso. En los ejemplos 1.1.4 y 1.1.5, que se muestran a continuación, el
único conectivo que aparece es la implicación; para construir sus demostraciones se aconseja
tener en cuenta las dos primeras tautologías: la primera, A → (B → A), permite considerar cual-
quier proposición cierta A como consecuencia de cualquier premisa B, y la segunda,
(A → B) → [(A → (B → C)) → (A → C)],
afirma, de alguna manera, que la implicación es transitiva.
En el ejemplo 1.1.6 aparece el conectivo no y, por lo tanto, es recomendable considerar, ade-
más de los esquemas 1 y 2, el 7 y el 8, e interpretar adecuadamente lo que dicen. El esquema 7,
(A → B) → [(A → ¬ B) → ¬ A], asegura que toda proposición A, que genera inconsistencias
(B y ¬ B), debe ser falsa (¬A).
¬¬A establece que, en el cálculo proposicional, la doble negación afirma.
Es conveniente recordar las cuatro reglas válidas de inferencia y los esquemas de sus premisas
para poder identificar los casos particulares de éstas, que van apareciendo en la lista, y así poder
anotar en ella sus consecuencias inmediatas (sus conclusiones).
Utilizando modus ponens como la única regla válida de inferencia, como sucede en algunos
libros de lógica matemática, pueden justificarse las reglas de silogismo hipotético, reducción al
absurdo y disyunción, que en este caso se llaman reglas derivadas. Los ejemplos 1.1.5 y 1.1.6
demuestran las primeras dos.
El ejemplo 1.1.4 corresponde a un teorema que conviene considerar por la aplicación que
tiene en otro teorema.
Ejemplo 1.1.4
⊢– P → P (En este caso se trata de una deducción a partir de cero hipótesis.)
1. P P P→ →( ) T A B P1 = =( )
2. P P P P P P P P P→ →( )( ) → → →( ) →( )( ) → →( ) T A C P B P P2 = = = →( ),
3. P P P P P P→ →( ) →( )( ) → →( ) MP (1, 2)
4. P P P P→ →( ) →( ) T A P B P P1 = = →( ),
5. P P→ MP (4, 3)
Ejemplo 1.1.5
P Q Q R→( ) →( ), ⊢– P R→( )
1. P Q→ Hipótesis
2. P Q P Q R P R→( ) → → →( )( ) → →( ) T A P B Q C R2 = = =( ), ,
3. P Q R P R→ →( )( ) → →( ) MP (1, 2)
4. Q R P Q R→( ) → → →( )[ ] T A Q R B P1 = → =( ),
5. Q R→ Hipótesis
6. P Q R→ →( ) MP (5, 4)
7. P R→ MP (6, 3)
12 Unidad 1 Lógica y conjuntos
Ejemplo 1.1.6
A A, ¬ ⊢– B
1. A B A→ ¬ →( ) T A A B B1 = ¬ =( ),
2. A Hipótesis
3. ¬ →B A MP (2, 1)
4. ¬ → ¬ → ¬( )A B A T A A B B1 ¬ = ¬ =( ),
5. ¬ A Hipótesis
6. ¬ → ¬B A MP (5, 4)
7. ¬ →( ) → ¬ → ¬( ) → ¬¬ B A B A B T A B B A7 = ¬ =( ),
8. ¬ → ¬( ) → ¬¬B A B MP (3, 7)
9. ¬¬B MP (6, 8)
10. ¬¬ →B B T8
11. B MP (9, 10)
Una gran cantidad de demostraciones del cálculo proposicional, y la mayoría de las de la
matemática, no son fáciles y casi siempre son demasiado largas. Es el precio que se paga por el
deseo de analizar con todo detalle cada paso. Sin embargo, cuando la deducción de algún renglón
es muy simple y salta a la vista, o es el resultado de un teorema cuyas hipótesis ya figuran en la
lista, estas conclusiones pueden escribirse directamente como una abreviatura de sus deducciones.
Por ejemplo, si se sabe (están en la lista) que a y b son catetos de un triángulo rectángulo de hipo-
tenusa c, se puede escribir directamente que a2 + b2 = c2 sin tener que escribir la deducción com-
pleta del teorema de Pitágoras.
En las demostraciones pueden omitirse algunos pasos, si éstos son muy obvios9 y si tal sim-
plificación no hace que se pierda la idea general de la demostración. En álgebra suele decirse que
lo que está sumando pasa restando o lo que está multiplicando y no es cero, pasa dividiendo, y así
usar estas afirmacionesque son resultado de procesos deductivos muy simples:
Si ax b c+ = , ax b b+ − debe ser igual a c − b, y como la suma es asociativa ( b b− = 0 ), y
ax ax+ =0 , resulta finalmente que ax c b= − .
En el cálculo proposicional, de la hipótesis A B∧ puede deducirse fácilmente A y B. En efecto:
1. A B A∧ → T4 1. A B B∧ → T4
2. A B∧ Hipótesis 2. A B∧ Hipótesis
3. A MP (2, 1) 3. B MP (2, 1)
Ambas deducciones pueden omitirse, de modo que cuando esté entre las hipótesis A ∧ B en
una demostración, se vale usar cualquiera de ellas (A o B) sin escribir los tres pasos anteriores,
anexando la justificación simplificación de la hipótesis…
La mayoría de los teoremas de la matemática son de la forma si … entonces … (o pueden
expresarse así). Por ejemplo: Si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0; si ABC es un triángulo rectángulo,
entonces la suma de las medidas de sus ángulos agudos es π/2...; son implicaciones cuya demostra-
ción comienza por lo general suponiendo que se cumplen las premisas (la parte si …), lo cual
cambia el problema de demostrar la implicación (P → Q) por el que consiste en suponer P y
demostrar Q. Este procedimiento suele justificarse con argumentos como el siguiente:
Para probar la implicación P → Q, sólo debe considerarse el caso en que P es verdadera, ya que cuando no
lo es, la implicación total es automáticamente cierta (toda implicación que parte de una premisa falsa es
cierta por definición).
La validez del argumento anterior se encuentra en el teorema de la deducción, que junto con
el de reducción al absurdo, son una herramienta fundamental en la demostración de los teoremas
de la matemática.
9 La obviedad depende de la capacidad de análisis, la vista y el nivel de conocimiento de quien juzga.
131.1 Lógica matemática
Teorema 1.1.1
Teorema de la deducción
En una teoría axiomática 𝒯, a partir de Γ se puede deducir que P → Q si y sólo si a partir de Γ y
P se puede demostrar Q. En símbolos:
(Γ ⊢– P → Q) ⇔ (Γ, P ⊢– Q)
Teorema 1.1.2
Teorema de la reducción al absurdo
En una teoría axiomática 𝒯, a partir de Γ y de no P se puede deducir un absurdo ( ) si y sólo si a
partir de Γ se puede deducir P. En símbolos:
(Γ, ¬P) ⊢– ⇔ Γ ⊢– P
La validez de estos teoremas se apoya en el análisis de las tablas de verdad, las cuales repre-
sentan los enunciados de éstos y que se muestran a continuación:
Tabla 1.1 Comprobación de la equivalencia de las proposiciones (Γ ∧ P) → Q y Γ → (P → Q)
(Γ ∧ P) → Q Γ → (P → Q)
0 0 0 1 0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 1 0 1 0 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
1 0 0 1 0 1 1 0 1 0
1 0 0 1 1 1 1 0 1 1
1 1 1 0 0 1 0 1 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
La tabla 1.1 asegura que las proposiciones (Γ ∧ P) → Q y Γ → (P → Q) son equivalentes
—una es cierta si y sólo si la otra lo es— y, por lo tanto, si una es tautología,10 la otra también
lo es. Es decir, (Γ ∧ P) implica lógicamente a Q si y sólo si Γ implica lógicamente (P → Q), como
lo afirma el teorema. De manera análoga:
Tabla 1.2 Comprobación de la equivalencia de las proposiciones ¬P ∧ Γ → y Γ → P
(¬P ∧ Γ) → Γ → P
1 0 0 1 0 0 1 0
1 1 1 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 1 1
0 0 1 1 0 1 1 1
La tabla 1.2 ilustra la equivalencia de las proposiciones ¬P ∧ Γ → y Γ → P, lo que demuestra
la validez del teorema de la reducción al absurdo.
Para ilustrar la forma en que el teorema de la deducción (1.1.1) simplifica algunas demostra-
ciones, se repiten los problemas de los ejemplos 1.1.4 y 1.1.5, pero ahora usando el teorema men-
cionado.
10 Cuando se afirma que una proposición es tautología, se debe entender que no pueden darse los casos en que la proposición
es falsa. En el caso que se ilustra, debe entenderse que la combinación de valores del renglón 7, que dice que las hipótesis son
ciertas y la conclusión falsa, no puede suceder dado que se afirma que el argumento es válido.
14 Unidad 1 Lógica y conjuntos
1. ⊢– P P→ se transforma en el que dice:
P ⊢– P cuya deducción consta de un solo paso:
i) P Hipótesis (adicional)
2. P Q Q R→ →, ⊢–P R→ que se cambia en:
P P Q Q R, ,→ → ⊢– R La deducción de este último puede ser:
i) P Q→ Hipótesis
ii) P Hipótesis adicional
iii) Q MP (2, 1)
iv) Q R→ Hipótesis
v) R MP (3, 4)
Compare estas deducciones con las hechas anteriormente y compruebe que además de
ser más cortas son mucho más sencillas y en ellas se ve más fácilmente cómo construirlas.
El uso del teorema de reducción al absurdo (1.1.2) se ejemplifica en las tres importantes
deducciones siguientes:
3. P, ¬P ⊢– Q, que se cambia por:
P, ¬P, ¬Q ⊢– Una deducción puede ser:
i) P Hipótesis
ii) ¬P Hipótesis
iii) P P∧ ¬ (1, 2)
Observe que la proposición Q no intervino en la deducción, lo cual prueba que una teoría
axiomática en la que existe una proposición P y su negación ¬P entre sus teoremas es incon-
sistente.11 Cualquier fórmula puede demostrarse y su negación también, lo cual las hace inúti-
les y, por lo tanto, se rechazan.
4. ⊢– ¬ ∧ ¬( )P P (El cálculo proposicional es simplemente consistente.)
Suponga lo contrario de lo que se desea probar, es decir, P P∧ ¬ . Entonces
i) P P∧ ¬ Hipótesis
que es absurda y, por lo tanto, prueba lo contrario de lo que se supuso, lo cual es lo que se
debía demostrar.
5. ⊢– P P∨ ¬ (Ley del tercero excluido.)
El problema se cambia por:
¬ ∨ ¬( )P P ⊢–
Observe que de ¬ ∨¬( )P P , P puede derivarse un absurdo:
i) P Hipótesis
ii) P P P→ ∨ ¬( ) T6
iii) P P∨ ¬ MP (1, 2)
iv) ¬ ∨ ¬( )P P Hipótesis
v) P P P P∨ ¬( ) ∧ ¬ ∨ ¬( ) (3, 4)
por lo que ¬ ∨ ¬( )P P ¬ ¬P Teorema reducción al absurdo
Análogamente, ¬ ∨ ¬( )P P ¬P ⊢–
i) ¬P Hipótesis
ii) ¬ → ∨ ¬( )P P P T6
iii) P P∨ ¬ MP (1, 2)
11 Una teoría axiomática con negación es inconsistente si y sólo si existe en ella una fórmula tal que ella y su negación son teore-
mas. A este tipo de inconsistencia se le llama simple.
151.1 Lógica matemática
iv) ¬ ∨ ¬( )P P Hipótesis
v) P P P P∨ ¬( ) ∧ ¬ ∨ ¬( ) (3, 4)
lo cual señala que ¬ ∨ ¬( )P P ⊢– P Teorema reducción al absurdo
y de los dos resultados anteriores se sigue que ¬ ∨ ¬( )P P ⊢– ¬ ∧P P
es decir, ⊢– P P∨ ¬ Teorema reducción al absurdo
algunas propiedades del símbolo “⊢–”
(se puede demostrar)
De la discusión realizada sobre las demostraciones se derivan, o pueden derivarse fácilmente, las
propiedades del símbolo ⊢–, algunas de las cuales se enumeran a continuación y se usarán libre-
mente para argumentar acerca de las demostraciones y sus métodos.
1. Toda tautología, hipótesis o axioma puede demostrarse (demostración de un solo paso) (∀Q,
hipótesis, axioma o tautología) ⊢– Q.
2. Si de las fórmulas de un conjunto M se puede demostrar cada una de las de otro conjunto N,
y con las de éste se puede probar Q, entonces de M se puede probar Q. Si N es un subconjun-
to de M, a partir de M puede demostrarse cada fórmula de N.
(M ⊢– N) ∧ (N ⊢– Q) ⇒ M ⊢– Q
3. Si de Γ y P puede deducirse que Q y P es un teorema cuya demostración no requiere de nin-
guna hipótesis, entonces de Γ (solamente) puede deducirse Q (por ejemplo, si se supiera que
Γ, (P ∨ ¬P) ⊢– Q, entonces Γ ⊢– Q).
(Γ, P ⊢– Q) ∧ (⊢– P) ⇒ Γ ⊢– Q
4. Si de Γ pueden deducirse tanto P como Q, entonces de Γ puede deducirse P ∧ Q.
(Γ ⊢– P, Γ ⊢– Q ⇒ Γ ⊢– P ∧ Q)
5. Si de P puede deducirse R y de Q también puede deducirse R, entonces de P o Q puede dedu-
cirse R:
(P ⊢– R) ∧ (Q ⊢– R) ⇒ (P ∨ Q) ⊢– R.
1. Demuestre la equivalencia de las parejas de proposiciones:
( ) ( )P Q Q P→ ≡ ¬ →¬
P Q P Q→ ≡ ¬ ∨
¬ →( ) ≡ ∧ ¬P Q P Q
haciendo ver que, en cada caso, de una de ellas se puede demostrar la otra (dos demostraciones).
El cálculo proposicional es consistente y completo
El cálculo proposicional tiene por objeto formalizar la manera en que se razona y, por lo tanto, es
una teoría axiomática intuitiva12 de la cual se puede decir que es consistente y completa con res-
pecto a la propiedad de ser cierta, de acuerdo con las siguientes definiciones:
12 Se llama así a toda teoría cuyo objetivo esformalizar una parte de la realidad de la que se tiene alguna idea (que generalmente
es imprecisa).
Ejercicio 1.1
16 Unidad 1 Lógica y conjuntos
definición 1.1.3
Una teoría axiomática es consistente con respecto a una propiedad P, si todos sus teoremas la
tienen.
Si la propiedad es ser cierta, una teoría axiomática resulta consistente si y sólo si todos sus
teoremas son ciertos. Recuerde que en el cálculo proposicional, todo renglón de una demostra-
ción, incluido el último, es cierto de origen (es tautología, hipótesis o axioma), o es consecuencia
de una regla válida de inferencia, que cuando parte de premisas ciertas, produce conclusiones
ciertas; es decir, el cálculo proposicional es consistente con respecto a la propiedad de ser cierto.
Todos sus teoremas resultan tautologías.
definición 1.1.4
Una teoría axiomática es completa con respecto a una propiedad P, si toda fórmula que la
tenga es demostrable (es un teorema).
Para justificar la afirmación de que el cálculo proposicional es completo con respecto a la
propiedad de ser cierto, se debe demostrar que toda tautología es teorema, como lo muestra
el siguiente lema.
Lema
Observe que cada renglón de una tabla de verdad puede interpretarse como un argumento
válido del cálculo proposicional.
Suponga que se da un renglón de la tabla de verdad de una proposición Q que tiene n premi-
sas P1, . . ., Pn. La manera de construir el teorema que corresponde a ese renglón es considerar el
argumento:
B1, B2, . . ., Bn, ∴ C
en donde cada Bi es Pi si en ese renglón el valor de verdad de la proposición Pi es 1 y es ¬Pi si Pi
es falsa. C es Q si Q es cierta y ¬Q si es falsa. Por ejemplo, suponga que la tabla correspondiente
a la proposición Q tiene los siguientes valores:
P1 P2 P3 P4 Q
1 1 0 1 0
En este caso, el teorema asociado es: P1, P2, ¬ P3, P4 ⊢– ¬Q.
La tabla de verdad del conectivo ¬ es la siguiente:
P ¬P
0 1
1 0
Y genera estos dos teoremas:
¬P ⊢– ¬P, que corresponde al primer renglón, y
P ⊢– ¬ ¬P que corresponde al segundo.
171.1 Lógica matemática
Cada uno de los otros tres conectivos lógicos, cuyas tablas de verdad tienen cuatro renglones,
da lugar a cuatro teoremas, uno para cada renglón, que se demuestran fácilmente. Se da un ejem-
plo de cada uno de ellos y se dejan los otros nueve como ejercicios.
Ejemplo 1.1.7
El renglón 2 de la siguiente tabla de implicación
P Q P → Q
1 0 0
señala que de P y no Q puede demostrarse ¬ (P → Q), es decir:
P, ¬Q ⊢– ¬ (P → Q)
que puede deducirse por reducción al absurdo, suponiendo lo contrario de lo que se quiere demos-
trar y derivando una contradicción. Es decir, se cambia el problema original por el siguiente:
P, ¬Q, P → Q ⊢–
Una deducción puede ser:
1. P Hipótesis
2. P → Q Hipótesis adicional
3. Q MP (1, 2)
4. ¬Q Hipótesis
5. Q ∧ ¬Q (3, 4)
Ejemplo 1.1.8
El renglón 3 del conectivo ∧ es:
P Q P ∧ Q
1 1 1
Es decir: P, Q ⊢– P ∧ Q
1. P Hipótesis
2. Q Hipótesis
3. P → [Q →(P ∧ Q)] T3
4. Q → (P ∧ Q) MP (1, 3)
5. P ∧ Q MP (2, 4)
Ejemplo 1.1.9
El renglón 0 del conectivo ∨ es:
P Q P ∨ Q
0 0 0
que corresponde al teorema: ¬P, ¬Q ⊢– ¬(P ∨ Q) y que puede demostrarse por reducción al
absurdo al notar que
¬P, ¬Q, P ⊢– P ∧ ¬P
¬P, ¬Q, Q ⊢– Q ∧ ¬Q
Así, ¬P, ¬Q, P ∨ Q ⊢– , lo que confirma la aserción del teorema.
18 Unidad 1 Lógica y conjuntos
La demostración de los 14 teoremas correspondientes a los renglones de las tablas de verdad
de los conectivos lógicos muestran que, puesto que las tablas de verdad de toda fórmula se cons-
truyen aplicando iteradamente las de los conectivos lógicos que intervienen en ellas, cada renglón
de cualquier tabla es un argumento válido deducible. La observación anterior es la base de la
demostración del siguiente teorema:
Teorema 1.1.3
En el cálculo proposicional toda tautología es demostrable.
Se ilustra el teorema para el caso de una tautología que esté formada por dos proposiciones,
y cuya tabla de verdad resulta ser:
P Q T
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 1
De acuerdo con el lema anterior, para cada renglón se tienen los siguientes teoremas:
1. ¬P, ¬Q ⊢– T 3. P, ¬Q ⊢– T
2. ¬P, Q, ⊢– T 4. P, Q ⊢– T
De 1 y 2 se concluye que:
¬P, (Q ∨ ¬Q) ⊢– T ∴ ¬P ⊢– T (1.1.3)
(Q ∨ ¬Q es teorema)
Análogamente, de 3 y 4:
P, (Q ∨ ¬Q) ⊢– T ∴ P ⊢– T (1.1.4)
Finalmente, de (1.1.3) y (1.1.4): P ∨ ¬P ⊢– T ∴ ⊢– T.
La demostración formal puede hacerse por inducción (aquí no se da), pero el paso inductivo
se ejemplifica para una tautología con tres fórmulas P, Q y R, que muestra la manera como se
pasa del caso 2 al caso 3.
Sea T una tautología compuesta con las tres fórmulas P, Q y R. Su tabla, de ocho renglones,
puede partirse en dos mitades, la primera de las cuales comienza con un cero para P y que, en
conjunto, muestra todos los casos para los valores de Q y R, por lo que, de acuerdo con el resul-
tado anterior (caso de dos fórmulas), de esta mitad se concluye:
¬P ⊢– T
El resultado de la segunda mitad, en donde los cuatro renglones empiezan con uno para el
valor de P, afirma:
P ⊢– T
y, por lo tanto, de la tabla completa se deduce que ¬P, P ⊢– T, de donde finalmente se obtiene ⊢– T.
Cuantificadores
Suponga que A = {a, b, c} es un conjunto y P una propiedad que cada elemento de A puede o no
tener. Se denota como P(x) a la proposición x tiene la propiedad P y ¬P(x) cuando x no la tiene.
Entonces la afirmación P(a) ∧ P(b) ∧ P(c) es cierta si y sólo si cada elemento de A tiene la propie-
dad P.
1.1 Lógica matemática
191.1 Lógica matemática
Cuando tal situación se da en conjuntos con un número grande de elementos, la expresión
anterior no es práctica. Se recurre entonces a notaciones más compactas, entre las que se destaca
la que introduce el uso del llamado cuantificador universal ∀, que se lee como para todo o para
cada, según convenga a la interpretación de la proposición a la cual se aplica. Note que, en este
caso, ∀ es la abreviatura de un ∧ generalizado.
La afirmación todo elemento de A tiene la propiedad P es falsa si y sólo si existe algún elemen-
to de A que no la tenga. Entonces es natural definir la negación de un para todo con un existe. En
símbolos:
¬ ∀ ∈ ( )( ) ≡ ∃ ∈ ∋ ¬ ( )x A P x x A P x,
∃ es el cuantificador existencial que se lee existe. Algunas veces se usa la notación ∃! para afir-
mar que algo existe y es único.
Recíprocamente, si la proposición es existe un x (al menos uno) en A que tiene la propiedad P
(que es un ∨ generalizado), entonces su negación es: Todo elemento de A carece de (no tiene) la
propiedad P. En símbolos:
¬ ∃ ∈ ∋ ( )[ ] ≡ ∀ ∈ ¬ ( )x A P x x A P x,
Como se señala a continuación, las definiciones anteriores son una generalización de las leyes
de De Morgan.
Ley de De Morgan Generalización Notación13
¬ ∧ ≡ ¬ ∨ ¬( )A B A B ¬ ∧ ∧ ≡ ¬ ∨ ∨¬( )A A A An n1 1 ¬ ∧ ≡ ∨ ¬∈ ∈( ) ( )i I i i I iA A
¬ ∨ ≡ ¬ ∧ ¬( )A B A B ¬ ∨ ∨ ≡ ¬ ∧ ∧¬( )A A A An n1 1 ¬ ∨ ≡ ∧ ¬∈ ∈( ) ( )i I i i I iA A
Se puede abreviar así: la negación de un para todo es un existe y la negación de un existe es un
para todo.
Es necesario decir que cuando se agregan cuantificadores al cálculo proposicional, se incur-
siona en el cálculo de predicados, lo cual requiere de nuevos conceptos, nuevas relaciones y, con-
secuentemente, nuevas reglas de inferencia. El uso de variables en el cálculo proposicional
ampliado complica la asignación de valores de verdad de las fórmulas, que ahora depende de los
dominios de interpretación de las variables y de los objetos particulares que se sustituyen, pero a
cambio de eso este cálculo ampliado permite representar en él la mayor parte de las proposiciones
de la matemática.
2. Señale si las siguientes frases pueden considerarse proposiciones (es decir, si aceptan uno y sólo
uno de los dos valores de verdad: falso o verdadero).
a) El número 30 es divisible entre 8. e) Esto es falso.
b) La montaña nevada. f) Mejor vete a freír espárragos.
c) 13 ≥ 2 + 8. g) Todas las x son verdes.
d) No hay regla sin excepción.
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