matematica-financiera-simplificada - Julio Benavidez Fonte

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INGENIERÍA ECONÓMICA, es el arte de hacer con un dólar lo que cualquier ignorante 
 puede hacerlo gastando dos. Obra escrita por: Arthur M. Wellington – Ing. Civil - (EE.UU. 1887) 
 
 Autor: ING. ECON. ABDÍAS ESPINOZA – PERÚ 
 TIENDA VIRTUAL MUNDIAL: www.safperu.com 
 
MATEMÁTICA 
FINANCIERA 
Simplificada 
 
LAS 6 FÓRMULAS CLAVES 
Y EL CIRCUITO FINANCIERO 
 
 LOS FONDOS DE AMORTIZACIÓN 
 i 
 R = S 4 
LA ACTUALIZACIÓN (1+i)n-1 LA CAPITALIZACIÓN 
 
 1 
 2 P = S S S = P (1+i)n 1 
 (1+i)n R R . . . R 
 
 (1+i)n-1 0 1 2 . . . n (1+i)n-1 
 5 P = R P i S = R 3 
 i (1+i)n i 
 
 i (1+i)n 
 R = P 6 
 (1+i)n-1 
 LAS AMORTIZACIONES 
 
¡ Si con esta METODOLOGÍA, no aprende MATEMÁTICA FINANCIERA, 
 entonces . . . , este negocio . . . . , no es para usted !. 
DERECHOS RESERVADOS: 
Registro Nro. 584 - D - 21-12-79 BIBLIOTECA NACIONAL DEL PERU 
 
 
SOCIEDAD DE INGENIEROS ECONOMISTAS 
SOCIEDAD DE ANALISTAS FINANCIEROS 
 
Prof. ING. ECON. ABDÍAS ESPINOZA 
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FINANZAS 
ANALISTAS DE CRÉDITOS e INVERSIONES 
 
Con 4 MANUALES y 4 DVD’s de 3 Hs. de Clases c/u: 
 
1: MATEMÁTICA FINANCIERA: Banca y Comercio 
 
 
2: CONTABILIDAD GERENCIAL: Proyecciones y Análisis 
 
3: EVALUACIÓN DE PROYECTOS: Económica y Financiera 
 
4: EVALUACIÓN DE VALORES: Bonos y acciones. 
 
Con mis clases en DVD’s, HOY te enseño, 
“cuando quieras, donde quieras y cuantas veces quieras”. 
 
LA COSA ES ASÍ: 
“Escucha sus Clases en su MONITOR mirando su MANUAL 
y con su CALCULADORA CIENTÍFICA verifica 
las OPERACIONES FINANCIERAS”. Consultas x E-mail 
 
 
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Costo: US$ 14 Cada Manual en PDF 
 OBSEQUIO: 1 DVD con 3 hs. de Clases Virtuales por c/ Manual. 
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Cuenta: 02 26 77 55 89 
 
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Banco de Crédito: Cuenta de Ahorros: 215 1698 6688 065 
 
 
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LOS 6 FACTORES FINANCIEROS 
NUEVAS NOTACIONES desde el 2008 
PROPUESTA del Prof.: ING. ECON. ABDÍAS ESPINOZA (UNI) 
A las NUEVAS GENERACIONES de estudiantes, 
les propongo estas NUEVAS NOTACIONES de las 6 Fórmulas Claves: 
* Respecto a los Factores 1 y 2, les he quitado la S de la palabra SIMPLE. 
Ej.: Ya no digo, “Factor Simple de Capitalización: FSC”, sino “Factor de Capitalización: FC” 
Habían alumnos que creían que la S de Simple, significaba Interés Simple. Y nada que ver. 
* Respecto a los Factores 3, 4, 5 y 6, y para recordar fácilmente “para qué sirven” 
solo piense en 2 palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN de un Flujo Constante R. 
Las usa el profesor Frank Ayres de los EE. UU. en su libro: Matemáticas Financieras. 
 
1) Factor de Capitalización (FC) 2) Factor de Actualización (FA) 
 1 
 (1 + i)n (1 + i)n 
 
3) Factor de Agrupamiento 4) Factor de Distribución 
 al Futuro (FAF) de un Valor Futuro (FDVF) 
 (1 + i)n - 1 i 
 i (1 + i)n - 1 
 
5) Factor de Agrupamiento 6) Factor de Distribución 
 al Presente (FAP) de un Valor Presente (FDVP) 
 (1 + i)n - 1 i (1 + i)n 
 
 i (1 + i)n (1 + i)n - 1 
 
CORRESPONDENCIA DE FACTORES 
 
Desde 2008 Si, n ∞ Si, i = 0 Dr. Guadagni Tradicional Prof. TAYLOR Prof. TARQUIN 
 PERÚ ARGENTINA EE.UU EE.UU. EE.UU. 
 
 FC ∞ 1 FSC s SPCAF F/P,i,n 
 FA 0 1 FSA a SPPWF P/F,i,n 
 
 FAF ∞ n FCS s n i USCAF F/A,i,n 
 
 FDVF 0 1/n FDFA 1/s n i SFDF A/F,i,n 
 
 FAP 1/i n FAS a n i USPWF P/A,i,n 
 
 FDVP i 1/n FRC 1/a n i CRF A/P,i,n 
 
Mi Propuesta. ESAN 1975: Aquí aprendí estas Notaciones y las publiqué en 1980. 
 
 
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1) El FACTOR de CAPITALIZACIÓN: 2) El FACTOR de ACTUALIZACIÓN: 
 Transforma un Stock Inicial P, Transforma un Stock Final S, 
 en un Stock Final S. en un Stock Inicial P. 
 1 
 FC = (1 + i)n FA = 
 (1 + i)n 
 
 S = P . FCn i P = S . FAn i 
 
 S S 
 
 0 n 0 n 
 P P 
 
3) El FACTOR de AGRUPAMIENTO 4) El FACTOR de DISTRIBUCIÓN 
 al FUTURO: de un VALOR FUTURO 
 Transforma un Flujo Constante R, Transforma un Stock Final S, 
 en un Stock Final S. en un Flujo Constante R. 
 
 (1 + i)n - 1 i 
 FAF = FDVF = 
. i (1 + i)n - 1 
 
 S = R . FAFn i R = S . FDVFn i 
 
 S S 
 
 R R R R R R 
 
 
 0 n 0 n 
 
5) El FACTOR de AGRUPAMIENTO 6) El FACTOR de DISTRIBUCIÓN de 
 al PRESENTE: Transforma un VALOR PRESENTE: Transforma 
 un Flujo Constante R, en un Stock Inicial P. un Stock Inicial P, en un Flujo Constante R. 
 
 (1 + i)n - 1 i (1 + i)n 
 FAP = FDVP = 
. i (1 + i)n(1 + i)n - 1 
 
 P = R . FAPn i R = P . FDVPn i 
 
 
 R R R R R R 
 
 
 0 n 0 n 
 P P 
 
 
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MATEMÁTICA FINANCIERA 
Es álgebra aplicada a los negocios y la economía. 
 
¿A QUIÉNES INTERESA 
LA MATEMÁTICA FINANCIERA? 
 
 Miremos un Balance: 
 
 ACTIVO PASIVO 
Caja Pagarés BANQUEROS 
Facturas por Cobrar Facturas por Pagar COMERCIANTES 
Inventario 
Edificios CAPITAL 
Maquinarias Acciones INVERSIONISTAS 
Equipos Utilidades 
 
EL BANQUERO, el COMERCIANTE y el INVERSIONISTA acuden al 
MATEMÁTICO, para que les elabore un HERRAMENTAL 
y puedan manejar sus operaciones con exactitud. 
 
El MATEMÁTICO, en base a un RAZONAMIENTO LÓGICO, 
desarrolla un CONJUNTO de FÓRMULAS 
útiles en el campo financiero. 
 
Por eso se habla de: El CALCULO RACIONAL o Matemático 
 
Es el FUNDAMENTO de la INGENIERÍA ECONÓMICA. 
 
Pero, el BANQUERO y el COMERCIANTE, no siempre trabajan como lo indica 
el Matemático y surgen: El Cálculo BANCARIO a interés “adelantado”. 
El Cálculo COMERCIAL a interés “horizontal”. 
 
En cambio, el INVERSIONISTA, sí trabaja como dice Matemático. 
Y por eso, usted JAMÁS escuchará a un inversionista decir: 
¡Tengo un proyecto con una Tasa Interna de Retorno “adelantada”!. 
Eso de tasa “adelantada”, solo ocurre en la banca. 
 
Por eso, para aprender y com-pren-der la MATEMÁTICA FINANCIERA, 
clasifico mi libro en 3 GRANDES LECCIONES: 
 
1) El CÁLCULO RACIONAL o Matemático 
2) El CÁLCULO BANCARIO. 
3) El CÁLCULO COMERCIAL. 
 
Los COSTOS y RENDIMIENTOS verdaderos del dinero 
se descubren, con el CÁLCULO RACIONAL. ¡Ya lo veremos! 
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EL DINERO Y SU TRATAMIENTO 
 
Como STOCK: Como FLUJO: 
Es una cantidad de dinero Es una sucesión de cantidades 
en un momento dado del tiempo. de dinero, a través del tiempo. 
 
 
 STOCK Final FLUJO CONSTANTE ( R ) 
 S R R R R 
 
 
 
 0 n días 0 1 2 . . . . . . . . n periodos 
 P STOCK Inicial P STOCK Inicial 
 
 Ej.: Préstamo Ej.: Préstamo 
 Pagadero con UNA Cuota ( S ). Pagadero con VARIAS Cuotas 
 Valor Nominal del Pagaré Inmediatas (yá en el 1er. periodo) 
 y Vencidas (pero a fin del 1er. periodo) 
 
NOTACIONES: 
 
P 
STOCK INICIAL 
(Capital, Valor Presente, Valor Actual, Valor Líquido) 
S 
STOCK FINAL 
(Monto, Valor Futuro, Valor a Plazo, Valor Nominal) 
R 
FLUJO CONSTANTE 
(Serie Uniforme, Rentas, Anualidades) 
 
 
n: HORIZONTE TEMPORAL 
(Periodos, Plazo, Vencimiento). 
 
¡COLEGAS PROFESORES! 
Llamar ANUALIDAD a unas Cuotas MENSUALES, ¡Confunde! 
 
Sugiero decir: Flujo MENSUAL, Flujo TRIMESTRAL. Flujo SEMESTRAL. 
CORREO del AUTOR: abdiasespinoza1@hotmailmail.com 7 
 
 
 
LECCIÓN de CORTESÍA en PDF 
 
 
 
 
 
 
EL CÁLCULO 
RACIONAL 
O 
MATEMÁTICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CORREO del AUTOR: abdiasespinoza1@hotmailmail.com 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Con solo saber: 
SUMAR, 
RESTAR, 
MULTIPLICAR y 
DIVIDIR, 
Algo se puede aprender . . . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CLASIFICACIÓN DE LOS FLUJOS FINANCIEROS: 
ANUALIDADES O RENTAS (expresiones antiguas) 
 
I ) FLUJO INMEDIATO VENCIDO: Anualidades Vencidas o Rentas Pospagables. 
 Las 4 últimas Fórmulas Claves están diseñadas para manejar solo este Tipo de Flujo. 
 
 
 R R R R R . . . . . . . . . . . . . . R R La BASE 
 
 
 0 1 2 3 4 5 . . . . . . . . . . . . . . . . (n-1) n 
 
Los siguientes Flujos se manejan combinando FACTORES. 
 
II ) FLUJO INMEDIATO ANTICIPADO: Anualidades Anticipadas o Rentas Prepagables. 
 
 R R R R R . . . . . . . . . . . . . . R 
 
 
 0 1 2 3 4 5 . . . . . . . . . . . . . . . . (n-1) n 
 
III ) FLUJO DIFERIDO VENCIDO: Anualidades Diferidas Pospagables. 
 
 DIFERIMIENTO 
 R R R . . . . R R 
 
 
 
 0 1 2 m m+1 . . . . . . . (n-1) n 
 
IV ) FLUJO DIFERIDO ANTICIPADO: Anualidades Diferidas Prepagables. 
 
 DIFERIMIENTO 
 R R R . . . . R 
 
 
 
 0 1 2 m m+1 . . . . . . . (n-1) n 
 
V ) FLUJO CRECIENTE ARITMÉTICAMENTE: La Gradiente g. 
 Es un Valor MONETARIO. Es la razón de la Progresión Aritmética. 
 
 g 2g 3g 4g 5g (n - 1)g 
 + + + + + . . . . . . . . . . . . . . . . . . + 
 R R R R R R R 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n 
 
VI ) FLUJO CRECIENTE GEOMÉTRICAMENTE: La Gradiente g %. 
 Es una TASA. La razón de la Progresión Geométrica es: ( 1 + g ) 
 
 R R(1+g)1 R(1+g)2 R(1+g)2 . . . . . . . . . R(1+g)(n - 1) 
 
0 1 2 3 . . . . . . . . . . n 
 
CORREO del AUTOR: abdiasespinoza1@hotmailmail.com 10 
 
LA TASA DE INTERÉS 
 
 
 
 
i 
 
 
 
 
Es la GANANCIA 
de la UNIDAD MONETARIA 
al vencimiento 
de un PERIODO de tiempo. 
 
EJEMPLO: 
 
TASA DE INTERÉS: i = 3% mensual. 
PERIODO: UN mes 
 
 1 + 0.03 
 
 
 0 1 Mes 
 1 dólar 
 
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abdiasespinoza1@gmail.com 11 
 
 
Aquí, 
el PERIODO DE LA TASA es el MES. 
Es un PERIODO notable. 
Pero, ¿si queremos 
la tasa para un periodo NO-NOTABLE: 7 días?. 
 
Los bancos 
usualmente anuncian la tasa de interés 
a PERIODO ANNUAL: Ej.: 18% ANUAL. 
 
¿Cómo calculamos 
la tasa de interés 
para 7 días? 
La primera IDEA 
es DIVIDIR y MULTIPLICAR: 
18% : 360 x 7 = 0.35%. 
 
Pero, en FINANZAS, 
se usan los términos NOMINAL and EFECTIVA 
para anunciar las tasas anuales. 
 
Esa primera IDEA está bien 
para una Tasa NOMINAL Anual, 
pero NO para una Tasa EFECTIVA Anual, 
porque las TASAS EFECTIVAS se manejan por 
RADICACIÓN y POTENCIACIÓN. 
 
Esto lo estudiaremos más adelante. 
 
Sigamos con el 3% mensual. 
 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 12 
 
EL INTERÉS ( I ) 
Es el resultado de aplicar 
la TASA DE INTERÉS ( i )a UN CAPITAL ( P ) 
 
 
 
 i 
 
 
 
 
 
 
I = P . i 
 
EJEMPLO. PRÉSTAMO: P = US$ 600 
 Tasa de interés: i = 3% mensual 
 Plazo: n = 1 mes 
 
 I = 18 
 
 
 0 1 Mes 
P = US$ 600 
EL INTERÉS ( I ): 
 
 I = 600 x 0.03 
 I = 18 
La fórmula: I = P x i, es tan sencilla como en la FÍSICA: e = v x t 
Pero, la Física se complica cuando conocemos sobre la aceleración y el rozamiento. 
Así también, la MATEMÁTICA FINANCIERA tiene su desarrollo 
con los conceptos: La Capitalización y la Actualización. 
 
 
 
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DEUDA A PAGAR 
CON UNA CUOTA: 
 
EL INTERÉS VENCIDO O SUMADO al CAPITAL 
 
OBSERVE: El interés 18, ocurre al vencimiento del mes. 
 
El MATEMÁTICO, le dice al PRESTAMISTA: 
 
¿El Cliente a pedido US$ 600?. 
¡Entregue . . . US$ 600! 
¡Ahora . . . , SUME, a 600, el interés 18!. 
Por tanto: 
 
El VALOR NOMINAL del PAGARÉ es: S = US$ 618 
 
 S = P + I 
 
 S = 618 
 
 
 0 i = 3% mensual 1 mes 
 P = 600 
 
¿QUÉ HEMOS HECHO? 
Hemos transformado 
Un STOCK Inicial (P = 600) 
en un STOCK Final (S = 618) 
Para el MATEMÁTICO . . . , ESO ES TODO. 
 
PERO, si el Prestamista, RESTA el INTERÉS, diciendo que es cobrado “por 
adelantado”, empiezan las complicaciones, que veremos en la Lección 2. 
Sigamos con el INTERÉS VENCIDO, sumado o añadido. 
 
 
 
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DEUDA A PAGAR CON 
VARIAS 
CUOTAS (FLUJO) 
 
EL MÉTODO ALEMÁN: 
De las Amortizaciones FIJAS 
 
 
DATOS: P = 600 
i = 3% mensual 
n = 3 meses 
 
 
Los 3 datos básicos: 
 
 
 Mes Saldo Interés Amortizaciones Cuota a pagar 
 n al inicio Saldo x FIJAS a fin de "n" 
 de “n” 0.03 P/n 
 
 1 600 200 
 
 2 200 
 
 3 200 
 
 
 
 
 
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CUADRO 
DE INTERESES Y AMORTIZACIONES: 
 
 (1) (2) (3) (4) (5) 
 
 Mes Saldo Interés Amortizaciones Cuota a pagar 
 n al inicio Saldo x FIJAS a fin de "n" 
 de “n” 0.03 P/n (3) + (4) 
 
 1 600 18 200 218 
 
 2 400 12 200 212 
 
 3 200 6 200 206 
 
ES UN MÉTODO ELEMENTAL 
 
 ¿QUÉ HEMOS HECHO? 
 
 P = 600 
 
 
 218 212 206 
 
 0 1 2 3 meses 
Hemos transformado 
un STOCK Inicial (P) en un FLUJO. 
 
 
OTRA PRESENTACIÓN DEL CUADRO DE INTERESES 
 
 (1) (2) (3) (4) (5) 
 Mes Saldo Interés Amortizaciones Cuota a Pagar 
 n (2) x 0.03 P/n (3) + (4) 
 
 0 600 Ver también la pág. 82 
 1 400 18 200 218 
 2 200 12 200 212 
 3 0 6 200 206 
 
 
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MÉTODO AMERICANO: 
Amortización TOTAL 
al final 
de los n periodos de interés. 
 
 
DATOS: P = 600 
i = 3% mensual 
n = 3 meses 
 
Los 3 datos básicos: 
 
 
 
 Mes Saldo Interés Amortización Cuota a pagar 
 n al inicio Saldo x a fin de "n" 
 de “n” 0.03 
 
 1 600 
 
 2 
 
 
 3 600 
 
 
 
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En GOOGLE. En Buscar escriba: ABDIAS ESPINOZA 
 
 
 
 
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CUADRO 
DE INTERESES Y AMORTIZACIONES: 
 
 (1) (2) (3) (4) (5) 
 
 
 Mes Saldo Interés Amortización Cuota a pagar 
 n al inicio Saldo x a fin de "n" 
 de “n” 0.03 (3) + (4) 
 
 1 600 18 18 
 
 2 600 18 18 
 
 
 3 600 18 600 618 
 
 
 
 
 ¿QUÉ HEMOS HECHO? 
 
 
 P = 600 
 
 
 18 18 618 
 
 0 1 2 3 meses 
Hemos transformado 
un STOCK Inicial (P) 
en un FLUJO. 
 
Este método tan elemental y primarioso se usa 
en ese Gran Campo de las FINANZAS llamado: 
EL MERCADO de CAPITALES 
 cuando una empresa emite BONOS. 
 
 
 
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CASO ESPECIAL de CORTO PLAZO 
 
Si el pago NO CUBRE el interés, 
el BANQUERO capitaliza la diferencia. 
 (1) (2) (3) (4) (5) 
 
 Mes Saldo Interés Amortización Cuota a pagar 
 n al inicio Saldo x a fin de "n" 
 de “n” 0.03 (3) + (4) 
 1 600 18 10 
 2 608 18.24 15 
 3 611.24 18.34 611.24 629.58 
 
OBSERVACIONES 
1.- Cuando el PAGO no cubre, el INTERÉS del PERIODO, 
 el SALDO de la DEUDA AUMENTA. (*) 
 Se cobrainterés sobre interés (se llamará Interés COMPUESTO) 
 
2.- Cuando una CUOTA supera el INTERÉS del PERIODO, 
 el SALDO de la DEUDA DISMINUYE. 
 
3.- Cuando el PAGO solo IGUALA el INTERÉS del PERIODO, 
 el SALDO de la DEUDA SE MANTIENE. ¡Así nomás es! 
 
 ¿QUÉ HEMOS HECHO? 
 P = 600 
 
 
 10 15 629.58 
 
 0 1 2 3 meses 
Hemos transformado 
un STOCK Inicial (P) en un FLUJO. 
 
 (*) En ESPAÑA dicen que el Interés SIMPLE se aplica en el CORTO PLAZO. 
 Entonces el 2do. Interés, también sería 18. ¡NO ES ASÍ!. 
 El banco cobrará 18.24. El Interés Simple NO SIRVE. 
 Sugiero utilizar INTERÉS COMPUESTO a cualquier plazo en AHORROS y PRÉSTAMOS 
 
 
 
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EJERCICIO 
 
LLENE LA TABLA 
 (1) (2) (3) (4) (5) 
 
 
 Mes Saldo Interés Amortización Cuota a pagar 
 n al inicio Saldo x a fin de "n" 
 de “n” 0.02 (3) + (4) 
 
 1 900 12 
 2 9 
 3 
 
 
RESPUESTA 
 (1) (2) (3) (4) (5) 
 
 
 Mes Saldo Interés Amortización Cuota a pagar 
 n al inicio Saldo x a fin de "n" 
 de “n” 0.02 (3) + (4) 
 
 1 900 18 12 
 2 906 18.12 9 
 3 915.12 18.30 915.12 933.42 
 
 
(*) En ESPAÑA dicen que el Interés SIMPLE se aplica en el CORTO PLAZO. 
ESO NO ES CIERTO. El Interés Simple NO LE SIRVE al Banquero, al 
Comerciante, al Inversionista, ni al Ahorrista. Solo hay CONVENIENCIAS. 
Cuando se trata de PAGAR no nos gustaría que capitalicen los intereses. 
Cuando se trata de COBRAR si nos gusta capitalizar los intereses. 
No debe ser así. Hay que MEDIR CON LA MISMA VARA. 
En INTERNET: En Google escriba: MATEMATICA FINANCIERA en Buscar. 
CEF: Centro de Estudios Financieros: (www.cef.es). 
Vea el Libro del Prof. Tovar en el Tema: Capitalización (?) a Interés Simple. 
Solo debe aplicarse INTERÉS COMPUESTO a cualquier plazo. 
 
 
 
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Si además de sumar, restar, multiplcar 
y dividir, sabemos 
RADICAR 
y sabemos 
POTENCIAR, 
podemos aprender más . . . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.1. LA CAPITALIZACIÓN 
 
 La capitalización es un proceso de reinversión de ganancias 
 
LA PRIMERA FÓRMULA CLAVE 
 
 
LA TASA DE INTERÉS i 
 
 
 
EL INTERÉS I = P . i 
 
 
LA CAPITALIZACIÓN 1ra. Fórmula Clave 
 
 S = P (1 + i)n 
 
El Factor de Capitalización: 
FCni = (1 + i)n 
LEER: Factor de Capitalización “ sub n a la tasa i ” 
 
El FC, transforma un STOCK Inicial P, 
en un STOCK Final S. 
 
 S 
 
 
 
 0 1 2 . . . . . . . . . . . . . . n 
 P i 
 
 
 
 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 22 
 
DEMOSTRACIÓN DE LA 1ra. FÓRMULA CLAVE: 
 
S = P . FCn i 
 
S = P (1 + i)n 
 
Se trata de una aplicación sucesiva de la Fórmula: I = P . i 
 
 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 
 
 PERIODO CAPITAL INTERES MONTO 
 n al comienzo por periodo al final del periodo n 
 del periodo n (2) x i 
 CAPITALIZACIÓN FACTORIZANDO 
 
 1 P P . i P + P . i P ( 1 + i ) 1 
 
 2 P( 1 + i ) P( 1 + i ) i P( 1 + i ) + P( 1 + i ) i P ( 1 + i ) 2 
 
 3 P ( 1 + i ) 2 P ( 1 + i ) 2 i P ( 1 + i ) 2 + P ( 1 + i ) 2 i P ( 1 + i ) 3 
 
 4 P ( 1 + i ) 3 P ( 1 + i ) 3 i P ( 1 + i ) 3 + P ( 1 + i ) 3 i P ( 1 + i ) 4 
 
 . 
 . Por inducción matemática: 
 . Para " n " periodos, el exponente será " n " 
 
 
 n P ( 1 + i ) n LQQD 
 
 
 
Así, como en la FÍSICA, la Fórmula Básica: 
e = v . t 
se complica con los conceptos de: aceleración y rozamiento. 
 
Así también, en FINANZAS, la Fórmula Básica: 
I = P . i 
Se amplía con los conceptos: CAPITALIZACIÓN y ACTUALIZACIÓN. 
 
MUY IMPORTANTE: 
 
Si trabaja con la tasa “i” MENSUAL, el exponente “n” debe ser en MESES. 
Si trabaja con la tasa “i” DIARIA, el exponente “n” debe ser en DÍAS. 
 
NO SALE NADA, 
si pone, la tasa en AÑOS 
y el exponente en MESES. 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 23 
 
INTERÉS SIMPLE 
vs. 
INTERÉS COMPUESTO 
 
P = US$ 1000 n = 4 trimestres i = 10% trimestral 
 
INTERÉS SIMPLE: Interés NO capitalizable 
 
 I1=100 I2=100 I3=100 I4=100 Constante 
 
 
 
 0 1 2 3 n = 4 Trimestres 
 
P=1000 P1=1000 P2=1000 P3=1000 P4=1000 
 
Si, P = US$1000 es un préstamo bancario y el prestatario no paga 
el 1er. Interés I1 = 1000 x 0.10 = US$ 100 
el banco, para calcular el 2do. Interés, NUNCA aceptará 
aplicar 10% solo sobre 1000 y cobrar, otra vez: I2 = US$ 100. 
 
INTERÉS COMPUESTO: Interés SÍ capitalizable 
EL PROCESO DETALLADO 
 
 I1=100 I2=110 I3=121 I4=133.1 Creciente 
 
 
 
 0 1 2 3 n = 4 Trimestres 
 
P=1000 P1=1100 P2=1210 P3=1331 P4=1464.10 
 
Si, P = US$1000 es un préstamo bancario y el prestatario no paga 
el 1er. Interés I1 = 1000 x 0.10 = US$ 100 
el banco considera a I1 = US$ 100 como un NUEVO CAPITAL prestado 
y OBLIGARÁ aplicar la tasa 10% sobre (1000 + 100) 
Entonces, el 2do. Interés será: I2 = 1100 x 0.10 = US$ 110 
Así . . . , la deuda a fin del 2do. Trimestre será: P2 = US$ 1210 
 
El INTERÉS SIMPLE, no le sirve al BANQUERO. 
 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 24 
 
A INTERÉS COMPUESTO: 
Sí reinvierte los interesesEL PROCESO ABREVIADO 
DE LA CAPITALIZACIÓN 
 
 
 
 
 0 1 2 3 n = 4 Trimestres 
P=1000 i = 0.10 P4=1464.10 
 
 
 
 
 
 S= P . FCni 
 
 S = P (1 + i)n 
 
 S = 1000(1+ 0.10)4 
 
 S = 1000 (1.4641) 
 
 S = 1464.10 dólares 
 
SIGNIFICADO: US $1000 HOY 
 < > 
 US $1464.10 
 
dentro de 4 trimestres 
a la tasa del 10% trimestral compuesto. 
 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 25 
 
SUMA ECONÓMICA 
vs. 
SUMA CONTABLE 
 
EQUIVALENCIA FINANCIERA 
Y SUSTITUCIÓN DE DEUDAS 
 
El FLUJO de DEUDAS: 40, 50, y 60 
mensuales, se desea cancelar 
con un STOCK FINAL: S, 
a fin del mes 4. 
 
 
40 50 60 Dólares 
 
0 1 2 meses 
 
El Banco exige una tasa de interés del 4% mensual. 
 
40 50 60 S = ? 
 
 SUMA SUMA 
0 1 2 3 4 meses ECONÓMICA CONTABLE 
 60(1+ 0.04 )2 = 64.90 60 
 50(1+ 0.04 )3 = 56.24 50 
 40(1+ 0.04 )4 = 46.79 40 
 167.93 150 
 
El Banco le hará firmar una NUEVA Letra 
por US$ 167.93. JAMÁS le aceptará US$ 150. 
 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 26 
 
 
 
Toda SUMA ECONÓMICA 
o, SUMA GEOMÉTRICA, 
se hace 
en un PUNTO 
en el TIEMPO. 
 
Es la base de la: 
EQUIVALENCIA FINANCIERA 
entre 
STOCK y FLUJO. 
 
 
Una ECUACIÓN FINANCIERA 
se plantea 
en cualquier 
PUNTO del TIEMPO 
 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 27 
 
DEUDA A PAGAR CON 
VARIAS 
CUOTAS 
 
MÉTODO FRANCÉS: 
Las Cuotas FIJAS 
 
 
PROBLEMA: 
PRÉSTAMO: P = US$ 600 
Tasa de interés: i = 3% mensual 
Cuotas mensuales: n = 3 
 
Si solo sabemos la 1ra. FÓRMULA CLAVE 
 
S = P . FCn i 
 
 S = P (1 + i)n 
 
 
RAZONAMIENTO: 
"DOS CANTIDADES EQUIVALENTES 
LO SON EN CUALQUIER PUNTO 
DEL TIEMPO" 
 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 28 
 
 
COBRANZAS <> PRÉSTAMO 
 
Solo es cuestión de plantear la ECUACIÓN 
FINANCIERA en el PUNTO FINAL (Punto 3). 
 
 
 
 
 
COBRANZAS R R R 
 
 
 
 0 1 2 3 meses 
PRÉSTAMO P = 600 
 
 
 
R(1+0.03)2 + R(1+0.03)1 + R = 600(1+0.03)3 
 
 
El 1er. Miembro de la ecuación 
es una SUMA ECONÓMICA en el Punto 3. 
 
Despejando: R = 212.12 
 
 
Los 3 Datos Básicos: 
 (1) (2) (3) (4) (5) 
 
 
 Mes Saldo Interés Amortización Pago constante 
 n al inicio Saldo x a fin de "n" 
 de “n” 0.03 (5) – (3) R 
 
 1 600 212.12 
 
 2 212.12 
 
 3 212.12 
 
La CUOTA FIJA: R, contiene INTERESES y AMORTIZACIONES 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 29 
 
EL CUADRO DE INTERESES Y AMORTIZACIONES 
 
Llenando el cuadro: 
 (1) (2) (3) (4) (5) 
 
 
 Mes Saldo Interés Amortización Pago constante 
 n al inicio Saldo x a fin de "n" 
 de “n” 0.03 (5) – (3) R 
 
 1 600 18 194.12 212.12 
 
 2 405.88 12.18 199.94 212.12 
 
 3 205.94 6.18 205.94 212.12 
 
 Σ = 600.00 
RAZONE así: 
A fin del primer mes, 
el interés 18 es derecho del Prestamista. 
Pero, el deudor paga MÁS: 212.12 . 
 
Entonces, la DIFERENCIA: 212.12 - 18 = 194.12 
es la PRIMERA AMORTIZACIÓN, 
que rebaja el SALDO DEUDOR a US$ 405.88 
a INICIO del SEGUNDO MES. Y así sucesivamente. 
 
 ¿QUÉ HEMOS HECHO? 
 
 P = 600 
 
 
 212.12 212.12 212.12 
 
 0 1 2 3 meses 
 
Hemos transformado un STOCK Inicial ( P ) 
en un FLUJO CONSTANTE ( R ) 
 
 
 
 
CORREO del AUTOR: abdiasespinoza1@hotmailmail.com 30 
 
EL INTERÉS ASTRONÓMICO 
 S = P (1 + i)n 
Un banquero dijo: No sé cuál es la 7ma. Maravilla del Mundo, 
pero, sí sé cuál es la 8va. Se llama: INTERÉS COMPUESTO. 
 
 
¿En cuánto se convierte US$ 100 después de 200 años a la tasa 
 del 0.5% mensual? Rpta. US$ 15 796 039.67 
 ¡Que se pagaría a algún descendiente suyo!. 
Pero, si le cobran US$ 5 mensuales por “mantenimiento de 
cuenta”, ¿en cuánto tiempo “desaparece” su plata? 
Rpta. n = 21.12473931 meses. Plantée: 100(1.005)n = 5[{(1.005)n -1}/0.005] 
 
UN PRÉSTAMO HIPOTÉTICO 
LA CAPITALIZACIÓN 
EN EL LARGUÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍSIMO PLAZO: 477 años 
Si a fines de 1532, 
el Sr. FRANCISCO PIZARRO, recibió ORO del INCA ATAHUALPA, 
 equivalente a 1 MILLÓN de euros, para la Corona Española, 
¿ cuánto debería pagar ESPAÑA al PERÚ, 
el 31 - 12 - 2010, suponiendo como valor del dinero, 
una tasa de interés, bajita nomás, del 0.5% mensual ?. 
S = 1 000 000 ( 1 + 0.005 )5736 meses 
 
 
S = 2’’’ 657, 848’’ 581, 000’ 000, 000 de euros 
 
Si somos 30 millones de habitantes nos tocaría: 88,594’952,700 euros A CADA UNO. 
 
¡Que dicen! . . . ¿COBRAMOS?. “SOÑAR NO CUESTA NADA” 
 
AHORRO PARA LA VEJEZ: El Plazo Fijo 
 Con US$ 1000 al mes puede VIVIR BIEN una PAREJA de ANCIANOS. 
Si un joven de 25 años ahorra HOY, US$ 842.8311619 
al 1% mensual, acumularía US$ 100 000 cuando cumpla 65 años. 
S = 842.8311619( 1 + 0.01 )480 meses = 100 000 dólares 
Cobraría: I = P . i = 100 000 x 0.01 = US$ 1000 mensual. 
El Capital US$ 100 000 lo dejaría a sus HEREDEROS. 
+ 
La CAJA TRUJILLO ya paga el 12 % anual a PLAZO FIJO en MN. 
(Ver: Diario “PERÚ 21” del 02.08.09 – Pág. 6) 
abdiasespinoza1@gmail.com 31 
 
1.2. LA ACTUALIZACIÓN 
 Es el proceso de descontar los intereses a un valor futuro. 
 
 LA SEGUNDA FÓRMULA CLAVE 
 i 
 
 
 
 I = P . i 
 
LA CAPITALIZACIÓN 1ra. Fórmula Clave 
 S = P (1 + i)n 
 
LA ACTUALIZACIÓN 2da. Fórmula Clave 
 
 1 
 P = S 
 (1 + i)n 
 
 1 
 El Factor de Actualización: FAni =(1 + i)n 
 LEER: Factor de actualización “ sub n a la tasa i ” 
 
El FA, transforma un STOCK Final: S, en un STOCK Inicial: P 
 
 
 
 
 S 
 
 
 
 0 1 2 . . . . . . . . . . . . . . n 
 P i 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 32 
 
LA ACTUALIZACIÓN: 
 
PROBLEMA: US$ 1000 se pagará con US$ 1464.10 
dentro de 4 trimestres, a la tasa del 10% trimestral. 
¿Cuánto se pagaría 2 trimestres antes del vencimiento? 
 
 S=1464.10 
 
 
 
 
 
 0 1 2 3 4 Trimestres 
P=1000 P2 = ? 
 P = S . FAn
i 
 
 P2 = 1464.10 FA2 0.10 
 1 
 P2 = 1464.10 
 (1 + 0.10)2 
 
 P2 = 1464.10 x 0.826446281 
 P2 = 1210 dólares 
 
 
VERIFICACIÓN POR CAPITALIZACIÓN: 
 
 LA CAPITALIZACIÓN Y LA ACTUALIZACIÓN 
Son como DOS CARAS de una MISMA MONEDA 
 
 
 
 
 
0 1 2 3 4 Trimestres 
 
P=1000 P2 = 1000 FC20.10 
 P2 = 1000 (1 + 0.10)2 = 1210 dólares 
 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 33 
 
ACTUALIZACIÓN 
Y COSTO DE UN CRÉDITO 
 
EL MÉTODO ALEMÁN: P = 600 “efectivamente” recibido 
 
 
¿Cuál es la tasa? 218 212 206 
 
 0 1 2 3 meses 
 
1er. RAZONAMIENTO: 
El Flujo de Pagos ACTUALIZADO, debe estar en ecuación con 
el crédito, a cierta tasa de interés por calcular. 
 
 Pagos 218 212 206 
 
 0 1 2 3 meses 
 Crédito P = 600 i = ? 
 P1 
 
 P2 
 
 P3 
 
Donde: P = P1 + P2 + P3 
 
 
 1 1 1 
 600 = 218 + 212 + 206 
 ( 1 + i )1 ( 1 + i )2 ( 1 + i )3 
 
El 2do. Miembro es una SUMA ECONÓMICA en el Punto "0" 
 
2do. RAZONAMIENTO: 
Mirando la ECUACIÓN FINANCIERA planteada, decimos: 
“Debe existir una tasa, cuyo valor numérico reemplazado 
en el 2do. miembro y, realizando las operaciones indicadas, 
dé 600”. No pretenda despejar i. Use EXCEL FINANCIERO. 
 
Se VERIFICA la tasa con el Cuadro de Intereses yAmortizaciones. 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 34 
 
 
Ejemplo con EXCEL A 
 
 1 -600 
 
En A5, teclee: =TIR(A1:A4) 2 218 
 
Aparecerá el resultado: 3 3 212 
 
Si quiere más decimales, 4 206 
 
haga CLICK aquí. + o 5 3 
 oo 
 
 
RESULTARÁ LO MISMO 3% con: 
 
 EL MÉTODO AMERICANO P = 600 
 
 
 18 18 618 
 
 0 1 2 3 meses 
 
EL MÉTODO FRANCÉS P = 600 
 
 
 212.12 212.12 212.12 
 
 0 1 2 3 meses 
 
Y CUOTAS VARIABLES P = 600 
 
 
 10 15 629.58 
 
 0 1 2 3 meses 
 
Como resulta 3%, en los cuatro métodos, 
se dice que los 4 FLUJOS son: 
FINANCIERAMENTE EQUIVALENTES. 
Lo que significa: 
1º Que los 4 flujos contienen el mismo rendimiento: 3%, ó 
 
2º Que los 4 flujos pagan el préstamo de US$ 600. 
 
 
 
CORREO del AUTOR: abdiasespinoza1@gmail.com 35 
 
ACTUALIZACIÓN 
Y CAPACIDAD DE ENDEUDAMIENTO 
 
Una empresa tiene EXCEDENTES DE CAJA de US$ 30, 40 y 50 a 
través de 3 meses. Calcule el PRÉSTAMO MÁXIMO. i = 1% mensual. 
 
 Capacidad de pago: 30 40 50 
 
 
 0 1 2 3 meses 
 Préstamo: P=? 
A cada pago parcial, 
se calcula su valor presente. 
 
29.70 30(1+ 0.01)-1 = P1 
 
39.21 40(1+ 0.01)-2 = P2 
 
48.53 50(1+ 0.01)-3 = P3 
117.44 Esta SUMA ECONÓMICA es el Préstamo MÁXIMO 
 
VERIFICACIÓN: 
 
 CUADRO DE INTERESES Y AMORTIZACIONES 
 (1) (2) (3) (4) (5) 
 Periodo Saldo Interés Amortiz. Pago 
 n al inicio de “n” (2) x 0.01 (5) - (3) a fin de “n” 
 
 1 117.44 1.17 28.83 30 
 
 2 88.61 0.89 39.11 40 
 3 49.50 0.50 49.50 50 
 
 Σ = 117.44 Préstamo Máx. 
 
RELACIÓN entre INTERESES CAPITALIZADOS y AL REBATIR 
 
DETALLANDO EL GRÁFICO: 30 40 500 1 2 3 
INTERESES CAPITALIZADOS c/ mes: INTERESES INTERESES INTERESES 
P1 = 29.703 0.297 
P2 = 39.212 0.392 0.396 
P3 = 48.530 0.485 0.490 0.495 
LA SUMA son INTERESES al REBATIR 1.174 0.886 0.495 Col. 3 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 36 
 
ACTUALIZACIÓN 
y SALDO DEUDOR 
 
Al INICIO del mes 2: 
 
El SALDO DEUDOR es US$ 88.61 ¡Véalo! 
 
 CUADRO DE INTERESES Y AMORTIZACIONES 
 
 (1) (2) (3) (4) (5) 
 Periodo Saldo Interés Amortiz. Pago 
 n al inicio de “n” (2) x 0.01 (5) - (3) a fin de “n” 
 
 1 117.44 1.17 28.83 30 
 
 2 88.61 0.89 39.11 40 
 3 49.50 0.50 49.50 50 
 
Si no dispone del cuadro, 
actualice el FLUJO pendiente de pago: 40 y 50 
 40 50 
 
 
 0 1 2 3 meses 
 SALDO: P1=? 
Se calcula el valor presente 
de cada cuota al Punto 1. 
 
 1 
 39.60 = 40 
 (1 + 0.01)1 
 
 1 
 49.01 = 50 
 (1 + 0.01)2 
 Σ = 88.61 Es una SUMA ECONÓMICA en el Punto 1. 
 
OBSERVACIÓN: 
¿Y cómo se calcula el SALDO DEUDOR “un día cualquiera”?. 
Para eso, es necesario el CONOCIMIENTO 
de las TASAS EQUIVALENTES. 
Eso viene más adelante. 
 
 
 
TIENDA VIRTUAL: www.safperu.com 37 
 
INTERÉS SIMPLE vs. INTERÉS COMPUESTO 
 
 i 
 
 
 
 I = P . i Para 1 periodo: día, mes, año 
 
 Para n periodos Para n periodos 
 S = P(1 + i . n) CAPITALIZACIÓN S = P (1 + i)n 
 
 
 1 1 
 P = S ACTUALIZACIÓN P = S 
 1 + i . n (1 + i)n 
 
 A interés SIMPLE A interés COMPUESTO 
 n, es FACTOR. n, es EXPONENTE. 
 
A la tasa: i = 10% trimestral A la tasa: i = 10% trimestral 
 
 I=100 I=100 I=100 I=100 I=100 I=110 I=121 I=133.1 
 
 
0 1 2 3 4 Trim 0 1 2 3 4 Trim 
1000 1000 1000 1000 1000 1000 1100 1210 1331 1464.1 
 
El Capital 1000 NO CRECE. No capitalizan El Capital 1000 SÍ CRECE. Sí capitalizan los 
los intereses. La tasa siempre se aplica al intereses. La tasa se aplica al STOCK al Inicio 
STOCK Inicial: P. Es como guardar cada del Periodo + el INTERÉS. Ej.: A fin del Tr. 1 
ganancia 100 “bajo el colchón”. (Mt. 25-25) I = (1000 + 100) 0.10 = 110 (Mt. 25-27) 
 
 El Interés Simple no reconoce el valor El Interés Compuesto “sí reconoce” 
 del interés ganado en el periodo. el valor del interés ganado en el periodo 
 
 
 
 
Lo qué dice el Prof. JUSTIN MOORE de los EE.UU. (*) 
 
“La mezcla de interés compuesto con interés simple es tan ilógica como sería que un tendero 
insistiera que una mujer que quiere 10 3/4 yardas de paño, compre 10 yardas ¾ de “metro”. 
La misma unidad de medida debe aplicarse para medir las unidades y las fracciones de unidad”. 
Por ello, el método científicamente correcto para calcular, por ej. el PRECIO EFECTIVO 
de un BONO (o un Papel Comercial) usa el INTERÉS COM-PUES-TO. 
 
PREGUNTA 
En cuánto se convierte $ 1000 después de 15 semestres y 1 mes, al 7% semestral? 
Según el MATEMÁTICO: 1000 (1 + 0.07)15 1/6 = 1000 (1 + 0.07)15.1666666 = $ 2 790.32 Es lo JUSTO. 
Según el COMERCIANTE: 1000 (1+0.07)15 (1+0.07 x 1/6) = $ 2 791.22 Es PRÁCTICO, pero INJUSTO. 
 I. Compuesto Int. Simple MEZCLA: (1+ 0.07)15 (1+0.07x1/6) 
 
(*) “Manual de Matemáticas Financieras” - Editorial UTHEA 
TIENDA VIRTUAL: www.safperu.com 38 
 
PROBLEMA : A la tasa 10 % mensual. ALTA, por alta inflación. 
Datos:: P = $ 900 n = 3 meses. Calcular la Cuota Fija: R 
 
INTERÉS SIMPLE vs. INTERÉS COMPUESTO 
 
 R R R R R R 
 
 
 
 0 1 2 3 0 1 2 3 
 P=900 i = 10 % P=900 i = 10% 
 
La ECUACIÓN FINANCIERA La ECUACIÓN FINANCIERA 
en el PUNTO 3: en el PUNTO 3: 
R(1+0.10x2) + R(1+0.10x1) + R R(1 + 0.10)2 + R(1 + 0.10)1 + R 
 
 = 900 (1+0.10x3) = 900 (1 + 0.10)3 
 
 R = 354.55 R = 361.90 Es mayor, pero JUSTO. 
 
 
La ECUACIÓN FINANCIERA La ECUACIÓN FINANCIERA 
en el PUNTO 0: en el PUNTO 0: 
 1 1 1 1 1 1 
900 = R + R + R 900 = R + R + R 
 1+0.10x1 1+0.10x 2 1+0.10x3 (1+0.10)1 (1+0.10)2 (1+0.10)3 
 
 R = 358.33 > 354.55 R = 361.90 Da valor al INTERÉS. 
 
 ¿Cuál es la verdad? Sale IGUAL. Una sola VERDAD. 
 
Con INTERÉS SIMPLE: Para plantear la ecuación financiera 
 
Al Cliente le conviene el Punto 3. Pagaría 354.55 
 
Al Banco le conviene el Punto 0. Cobraría 358.33 CREA DUDAS 
 
¡LA VERDAD DEBE SER UNA SOLA! 
 
Hay diferencia cuando se cambia el PUNTO para plantear la ecuación financiera. 
La diferencia es muy pequeña a tasas de interés muy bajas y en el corto plazo. 
La diferencia es mayor a tasas de interés altas y, sobre todo, en el largo plazo. 
 
Se crea una discusión, entre el BANCO y el CLIENTE. 
 
A INTERÉS COMPUESTO: Siempre sale IGUAL, 361.90 NO CREA DUDAS. 
 
Hay exactitud aun cambiando el PUNTO para plantear la ecuación financiera. 
 
Autores españoles dicen que el INTERÉS SIMPLE se aplica en el CORTO PLAZO. (?). 
Yo digo: Si la aplican en el LARGO PLAZO, se “DERRUMBAN” las FINANZAS. 
 
MI RECOMENDACIÓN: ¡Apliquen Interés COMPUESTO “a cualquier plazo”! 
 
Es JUSTO, cobrar interés sobre el interés ganado (nuevo capital). Es REINVERSIÓN de UTILIDADES. 
Pero es INJUSTO, ABUSIVO, cobrarALTAS TASAS a la gente pobre aduciendo MAYOR RIESGO. 
 
La gente POBRE es más cumplidora. La gente RICA es más tramposa. 
 
 Lc. 16-19 a 31. Ex. 22 - 25. Pr. 28 – 8 y 20. Hag. 2 - 8. Sal. 24 - 1,2. 2 Co. 5-10. 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 39 
 
AHORA: Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN 
1.3. LA CAPITALIZACIÓN 
 DE UN FLUJO CONSTANTE 
 
 i La TERCERA Fórmula Clave 
 
 
 
 I = P . i 3ra. FÓRMULA CLAVE 
 
 1ra. Fórmula Clave (1 + i)n - 1 
 S = P (1 + i)n S = R 
 i 
 2da. Fórmula Clave 
 
 1 
 P = S 
 (1 + i)n 
 (1 + i)n - 1 
El Factor de Agrupamiento al Futuro: FAFni = 
 i 
 
 El FAF, transforma un FLUJO CONSTANTE: R, 
 en un STOCK Final S. 
 El FAF, agrupa, reune, un FLUJO CONSTANTE: R, 
 en un STOCK Final S. 
 
 S 
 
 
 R R R R 
 
 
 
 0 1 2 . . . . . . . . . . . . n 
 
 MUY Importante: El FLUJO constante es INMEDIATO y VENCIDO 
 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 40 
 
DEMOSTRACIÓN DE LA 3ra. FÓRMULA CLAVE: 
LA CAPITALIZACIÓN DE UN FLUJO CONSTANTE ( R ) 
 
 
S = R . FAFn i 
 
 (1 + i)n - 1 
 S = R 
 i 
 
Se trata de la AGRUPACIÓN de un FLUJO CONSTANTE . 
Se trata de una Suma Económica, al FINAL del horizonte temporal. 
 
DIAGRAMA: S 
 
 R( 1 + i ) n - 1 
 . . . . . 
 R( 1 + i ) 2 
 R( 1 + i ) 1 
 
 
 R R R . . . . . . . . . . R R R 
 
 0 1 2 3 4 n-2 n-1 n 
 
 
Hacemos la Suma Económica en el Punto ( n ), sacando ( R ) como factor común: 
 
S = R [ 1 + ( 1 + i )1 + ( 1 + i )2 + ( 1 + i )3 + ............. + + ( 1 + i )n - 1 ] 
 
El corchete es una Progresión Geométrica cuya suma se calcula así : 
 
 
"El 1er. término por la razón elevada al número de términos 
menos el 1er. término, sobre la razón menos uno " 
 
 1 ( 1 + i )n - 1 
 S = R [ ] 
 ( 1 + i ) - 1 
Simplificando: 
 
 ( 1 + i )n - 1 Al Corchete, se llamará 
 S = R Factor de Agrupamiento al Futuro (FAFni) 
 i 
 
RECUERDE: En este libro, TODO es INTERÉS COMPUESTO 
 
 
 
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Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN 
 
UN EJEMPLO SENCILLO: 
 
¿Cuánto se podrá acumular, en 3 meses, con 3 depósitos 
mensuales de US$ 212.12 a la tasa del 3% mensual? 
 
 
DETALLADAMENTE: Solo con la 1ra. Fórmula 
 
 
 S = ? 
 212.12 (1+ 0.03 )2 = 225.04 
 212.12 (1+ 0.03 )1 = 218.48 
 212.12 (1+ 0.03 )0 = 212.12 
 212.12 212.12 212.12 Σ = 655.64 
 
 Es una SUMA ECONÓMICA 
 
 0 1 2 3 en el Punto 3. 
 i = 0.03 
 
ABREVIADAMENTE: CON LA 3ra. FÓRMULA CLAVE 
 
 S = R . FAFn i 
 
 (1 + i)n - 1 
 S = R 
 i 
 
 Reemplazando datos: 
 
 ( 1 + 0.03 )3 - 1 
 S = 212.12 
 0.03 
 
 S = 212.12 [ 3.0909 ] 
 
 S = 655.64 Dólares Rpta. 
 
 
 
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Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN 
 
ADMINISTRADORAS DE FONDOS DE PENSIONES: 
 
Si usted tiene 25 años, y deposita 100 euros mensuales 
en una AFP que hace rendir a su dinero, 1% promedio mensual, 
¿cuánto acumulará cuando cumpla 65 años? 
 
DIAGRAMA: S = ? 
 
 
 100 100 100 . . . . . . 100 100 
 
 
 
 0 1 2 3 419 480 
 i = 0.01 meses 
 
ANÁLISIS: Se trata de transformar, agrupar, 
 un FLUJO Constante, en un STOCK Final. 
 Se aplicará el FAF. 
 
OPERACIONES: S = R . FAFn i 
 
 (1 + i)n - 1 (1 + 0.01)480 -1 
 S = R = 100 = 1 176 477.25 
 i 0.01 euros 
 
SOLUCIÓN: 1 176 477.25 euros. PARA PASAR SU VEJEZ. 
 
 
OBSERVACIÓN: El INTERÉS mensual que cobraría, en adelante, 
 sería: I = 1 176 477.25 x 0.01 = 11 765 euros 
hasta su MUERTE. 
 
¿Y el capital 1 176 477.25 euros?. 
Lo deja a su mujer. 
Y, si ella es joven, se casa de nuevo. 
 
CONCLUSIÓN: “Nadie sabe para quién trabaja” 
 
 
 
 
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Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN 
 
1.4. LOS FONDOS DE AMORTIZACIÓN 
 
 
 i La CUARTA Fórmula Clave 
 
 
 I = P . i 
 
 1ra. 3ra. 4ta. Fórmula Clave 
 
 (1 + i)n - 1 i 
 S = P (1 + i)n S = R R = S 
 i (1 + i)n - 1 
 2da. 
 
 1 
 P = S 
 (1 + i)n 
 i 
El Factor de Distribución de un Valor Futuro: FDVFni = 
 (1 + i)n - 1 
 
 El FDVF, transforma un STOCK Final: S, 
 en un FLUJO constante: R. 
 El FDVF, distribuye, reparte, un STOCK Final: S, 
 en un FLUJO constante: R. 
 
 S 
 
 
 R R R R 
 
 
 
 0 1 2 . . . . . . . . . . . . . n 
 
MUY IMPORTANTE: 
El FLUJO Constante es INMEDIATO y VENCIDO 
 
 
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Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN 
 
LA DEPRECIACIÓN 
LOS CAMIONEROS: Un plazo MUY CORTO para entender. 
 
Una FLOTA de camiones costó US$ 655.64 
y hay que renovarla al término de su VIDA ÚTIL que es de “3 meses” 
Si un banco paga una tasa del 3% mensual, 
¿cuál sería la cantidad necesaria y suficiente depositar 
a fin de cada mes, para acumular su costo, en EFECTIVO?. 
 
 R = S . FDVFn i 
 
 i 0.03 
 R = S = 655.64 
 (1 + i)n - 1 ( 1 + 0.03 )3 - 1 
 
 R = 655.64 [ 0.323530363 ] = 212.12 dólares 
 
 VERIFICACIÓN: 
 S = 655.64 
 212.12 (1+ 0.03 )2 = 225.04 
 212.12 (1+ 0.03 )1 = 218.48 
 212.12 (1+ 0.03 )0 = 212.12 
 212.12 212.12 212.12 Σ = 655.64 
 
 Acumula el capital deseado 
 
 0 1 2 3 para reemplazar el activo. 
 i = 0.03 
 
Para recordar, para que sirve el FDVF, acuérdese de: 
LOS CAMIONEROS. 
 
“Transforma un STOCK Final S, en un FLUJO Constante, R 
INMEDIATO y VENCIDO” 
 
PROBLEMA PARA UD.: Calcule la cuota fija mensual inmediata y 
vencida: R, a depositar en un banco, a la tasa del 1% mensual para 
ACUMULAR US$ 20 millones y renovar una FLOTA de CAMIONES, 
al término de su VIDA ÚTIL de 10 años. Rpta. US$ 86 941.90 
 
 
 
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Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN 
 
1.5. LA ACTUALIZACIÓN 
 DE UN FLUJO CONSTANTE 
 
 i La QUINTA Fórmula Clave 
 
 
 
 I = P . i 
 3ra. 4ta. 
 1ra. 
 (1 + i)n - 1 i 
 S = P (1 + i)n S = R R = S 
 i (1 + i)n - 1 
 
 2da. 5ta. Fórmula Clave 
 
 1 (1 + i)n - 1 
 P = S P = R 
 (1 + i)n i (1 + i)n 
 
 
 (1 + i)n - 1 
El Factor de Agrupamiento al Presente: FAPni = 
 i (1 + i)n 
 El FAP, transforma un FLUJO constante: R, 
 en un STOCK Inicial: P. 
 El FAP, agrupa, reune, un FLUJO constante: R, 
 en un STOCK Inicial: P. 
 
 R R R R 
 
 
 
 0 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . n 
 
 
 
 P 
MUY IMPORTANTE: El FLUJO constante es INMEDIATO y VENCIDO 
 
 
 
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DEMOSTRACIÓN DE LA 5ta. FÓRMULA CLAVE: 
LA ACTUALIZACIÓN DE UN FLUJO CONSTANTE ( R ) 
 
P = R . FAPn i 
 
 (1 + i)n - 1 
 P = R 
 i (1 + i)n 
 
DIAGRAMA: 
 R R R . . . . . . . . R R R 
 
 0 1 2 3 4 n-2 n-1 n 
 
 1 
 R 
 ( 1 + i )1 
 1 
 R 
 ( 1 + i )2 
 . . . . . 
 R 1 
 ( 1 + i )n 
 
 
 P 
 
Se trata dela AGRUPACIÓN de un FLUJO Constante . 
Se trata de una Suma Económica, al INICIO del horizonte temporal. 
 
 1 1 1 
 P = R [ + + ............................ + ] Corchete es una P.G. 
 (1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)n 
 
 
 1 1 1 
 x 
 (1 + i) (1 + i)n (1 + i) 
 P = R [ ] 
 1 
 1 
 (1 + i) 
 
Simplificando 
 (1 + i)n - 1 Al Corchete, se llamará: 
 P = R Factor de Agrupamiento al Presente (FAPni) 
 i (1 + i)n 
 
 
 
 
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Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN 
 
CAPACIDAD DE ENDEUDAMIENTO 
 
¿Cuánto se podrá prestar a una persona que tiene excedentes 
de efectivo de 212.12 dólares mensuales durante 3 meses?. 
Tasa de interés: i = 3% mensual 
 
DETALLADAMENTE: Solo con la 2da. Fórmula 
 
 212.12 212.12 212.12 
 
 
 
 0 1 2 3 
Es una SUMA ECONÓMICA 
 205.94 = 212.12 (1+ 0.03 )-1 i = 0.03 
 199.94 = 212.12 (1+ 0.03 )-2 
 194.12 = 212.12 (1+ 0.03 )-3 
P = 600 P = ?  
 
ABREVIADAMENTE: Con la 5ta. FÓRMULA CLAVE 
 
 P = R . FAPn i 
 
 (1 + i)n - 1 
 P = R 
 i (1 + i)n 
 
 
 ( 1 + 0.03 )3 - 1 
 P = 212.12 
 0.03 ( 1 + 0.03 )3 
 
 
 P = 212.12 [ 2.828611355 ] 
 
 P = 600 dólares 
 
 
 
 
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Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN 
 
EL PRECIO TEÓRICO DE UN BONO 
 
Un bono de minera “La Plata”, paga intereses I = US$ 30 
trimestrales, y aún falta cobrar 20 cupones de interés. 
El Valor de Redención es V = US$ 1000 al final del plazo. 
¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por el bono un inversionista 
que espera ganar un 4% trimestral? 
 
 
DIAGRAMA: V = 1000 
 30 30 30 . . . . . . 30 30 
 
 
 
 0 1 2 3 19 20 
 P = ? i = 0.04 meses 
ANÁLISIS: Se trata de transformar un FLUJO Constante de 30 
 de intereses, en un STOCK Inicial. Se aplicará el FAP. 
 Pero, además, se SUMARÁ el valor presente de 1000 
 Se aplicará el FA. 
 
OPERACIONES: PRECIO = 30.FAP200.04 + 1000.FA200.04 
 
 
 ( 1 + 0.04 )20 - 1 1 
 P = 30 + 1000 
 0.04 ( 1 + 0.04 )20 (1 + 0.04)20 
 
 P = 30 [13.59032635 ] + 1000 (0.456386946) 
 
 P = 407.71 + 456.39 = 864.10 
 
SOLUCIÓN: P = US$ 864.10 Es el Precio MÁXIMO a pagar. 
 
OBSERVACIÓN: El Precio Teórico se calcula para negociar. 
 Es el SECRETO del inversionista. 
En la negociación funciona la Ley de la Oferta y la Demanda. 
El inversionista “debe aprovecharse de la ANGUSTIA por LIQUIDEZ 
del vendedor y ofrecer pagar menos de 864.10”. 
Si el precio se negocia en US$ 800, aumenta la tasa de ganancia del 
inversionista. ¡USE EXCEL!. Rpta. 4.543% Trimestral 
 
 
 
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Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN 
 
1.6. LAS AMORTIZACIONES 
 
 i La SEXTA Fórmula Clave 
 
 
 
 
 I = P . i 
 
 
 1ra. 3ra. 4ta. 
 
 (1 + i)n - 1 i 
 S = P (1 + i)n S = R R = S 
 i (1 + i)n - 1 
 
 2da. 5ta. 6ta. Fórmula Clave 
 
 1 (1 + i)n - 1 i (1 + i)n 
 P = S P = R R = P 
 (1 + i)n i (1 + i)n (1 + i)n - 1 
 
 i (1 + i)n 
El Factor de Distribución de un Valor Presente: FDVPni = 
 (1 + i)n - 1 
 
 El FDVP, transforma un STOCK Inicial: P, 
 en un FLUJO constante: R. 
 El FDVP, distribuye, reparte, un STOCK Inicial: P, 
 en un FLUJO constante: R. 
 
 R R R R