Apunte 8 - Roberto Ruiz

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TEST DE HIPÓTESIS 
 
 
 
 
 
CONTENIDO 
 
 
8.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................................. 162 
 
8.2 HIPÓTESIS NULA Y ALTERNATIVA................................................................... 162 
 
8.3 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL Μ.......................... 164 
 
8.4 ERROR TIPO I Y ERROR TIPO II ......................................................................... 166 
 
8.5 CONSTRUCCIÓN DE LA REGLA DE DECISIÓN................................................ 167 
 
8.6 CÁLCULO DEL TAMAÑO DE MUESTRA............................................................ 171 
 
8.7 ENFOQUE DEL VALOR P PARA LAS PRUEBAS DE HIPÓTESIS..................... 172 
 
8.8 EJERCICIOS PROPUESTOS............................................................................... 173 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni 
 
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8. TEST DE HIPÓTESIS 
 
8.1 INTRODUCCIÓN 
 
En el capítulo anterior se describió el procedimiento de estimar, en base a una muestra 
aleatoria, el valor de un parámetro de la población, desarrollando un rango de valores dentro 
del cual se espera, con cierta probabilidad, esté contenido el verdadero valor del parámetro. 
Otro de los procedimientos de inferencia estadística ampliamente utilizado es valorar la 
evidencia muestral a favor de alguna hipótesis que se enuncia acerca de una población. Este 
procedimiento recibe el nombre de test o prueba de hipótesis. 
En general, para las pruebas de hipótesis que veremos en el curso, el test de hipótesis es sólo 
otra forma de tomar una decisión a la cual se podría haber arribado con un intervalo de 
confianza para el parámetro en cuestión. 
 
 
8.2 HIPÓTESIS NULA Y ALTERNATIVA 
¿Qué es una hipótesis? 
Es una afirmación acerca de la población; por ejemplo, que un parámetro de la misma tiene un 
valor específico ( µ = 5, σ = 2, p = 0.05) 1. 
Es una suposición que se hace en función de la sospecha sobre lo que realmente está 
ocurriendo en la población. 
La comprobación de esta sospecha debería hacerse estudiando toda la población, pero ya se 
ha visto que en la mayoría de los problemas, esto es impracticable. 
Para ello, se utilizan las pruebas de hipótesis, como un procedimiento de inferencia estadística 
que se basa en la evidencia muestral y en la teoría de probabilidad para determinar si la 
hipótesis es un enunciado razonable para la población en estudio. 
Cuando se observan los datos obtenidos en una muestra, éstos, en general sugieren que algo 
específico está sucediendo en la población de la cual se ha obtenido la muestra. La pregunta 
es si ese resultado o efecto aparente observado en la muestra, es realmente un indicio de lo 
que ocurre en la población en cuestión o solamente es fruto de una variación aleatoria. 
Las pruebas estadísticas de hipótesis constituyen una manera de estimar si ese efecto 
aparente indica lo que en la realidad está ocurriendo. 
La conclusión siempre estará referida a una población y por lo tanto, como primer paso, debe 
establecerse claramente cuál es la población en estudio y seguidamente, identificar el 
parámetro sobre el que tomamos la decisión. 
 
Estructura del problema 
En el procedimiento de prueba se concentra la atención en dos conjuntos posibles de valores 
del parámetro, o dos hipótesis estadísticas, ambas opuestas. Se las llama hipótesis nula e 
hipótesis alternativa. 
 
 
1 Podríamos preguntarnos también acerca de la forma de la población y hacer supuestos (hipótesis) sobre ella (Test 
de Bondad de Ajuste). Pero esta situación no será trabajada en la asignatura. 
 
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni 
 
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 Hipótesis nula (H0): es la creencia convencional, afirma que no hay ningún cambio o 
efecto en la población. 
 
 Hipótesis alternativa (Ha): representa el efecto que se sospecha puede ser cierto. 
Establece que un determinado parámetro difiere del valor que le otorga la hipótesis 
nula. 
 
¿Cómo decidir si sustentamos lo especificado por la hipótesis nula o lo rechazamos? 
La base del procedimiento es analizar la evidencia muestral y valorar si la misma es tan 
improbable bajo la hipótesis nula, que ésta debería ser rechazada. 
En forma sencilla, el proceso de la toma de decisiones es de la siguiente manera: 
 Se plantean dos hipótesis sobre una población de interés: H0 y Ha. 
 Para decidir cuál de estas dos hipótesis parece más razonable, recolectamos datos, 
los analizamos y nos preguntamos: ¿son estos datos probables de ser observados 
si H0 fuera cierta? 
 Si los datos son poco probables de ocurrir cuando H0 es cierta rechazo H0 y 
sustentamos la otra teoría (Ha)2. 
Las pruebas de hipótesis se proponen valorar la evidencia proporcionada por los datos 
muestrales en contra de una hipótesis nula y a favor de la hipótesis alternativa. 
 
Distintos planteos de pruebas de hipótesis para los parámetros de una población: 
Considerando que θ es un parámetro de la población, y siendo θ0 un posible valor del 
parámetro, se pueden plantear 3 tipos de pruebas: 
 
a) Prueba bilateral o de dos colas 
 
H0) θ = θ0 (El parámetro θ es igual a θ0), contra 
 
Ha) θ ≠ θ0 (el valor de θ se ha modificado) 
 
b) Prueba unilateral de cola izquierda 
 
H0) θ ≥ θ0 (El parámetro θ es igual a θ0 o mayor), contra 
 
Ha) θ < θ0 (el valor de θ ha disminuido) 
 
c) Prueba unilateral de cola derecha 
 
H0) θ ≤ θ0 (El parámetro θ es igual a θ0 o menor), contra 
 
Ha) θ > θ0 (el valor de θ ha aumentado) 
 
Observación: el signo igual aparece siempre en la hipótesis nula. 
 
 
 
 
2 El no rechazo de la hipótesis nula no indica necesariamente que la hipótesis que se sustenta sea cierta, significa 
que no hay evidencia suficiente para rechazarla. 
 
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Criterio de decisión 
 
Para establecer si los datos muestrales son o no compatibles con H0, debe determinarse una 
regla o criterio; este criterio se basa en la distribución muestral del estimador del parámetro 
sobre el cual estamos planteando las hipótesis. 
Se comienza suponiendo que H0 es cierta. Luego, si H0 es cierta, los valores del estadístico en 
esta distribución, sólo indican una variación debida al azar. 
La distribución muestral del estadístico, suponiendo cierta la hipótesis nula, brinda información 
relativa a posibles valores que el estadístico asumirá en las muestras y las probabilidades 
correspondientes, es decir, el porcentaje de muestras en que el estadístico asumirá 
determinados valores en el conjunto de infinitas muestras posibles. 
 
 
8.3 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL µ 
 
Ilustraremos la prueba de hipótesis para una media poblacional µ con un ejemplo: 
Supongamos que una cadena de talleres de “servicio rápido” tiene un servicio estándar para 
realizar cambios de aceite y verificar el funcionamiento básico del automóvil. Sus normas 
establecen que el tiempo promedio para dar el servicio debería ser 12,5 minutos por automóvil, 
pero la empresa desea mejorar el tiempo de atención, disminuyéndolo. El tiempo para dar el 
servicio es una variable con distribución normal y de experiencias anteriores se ha determinado 
que la desviación estándar es de 1,2 minutos. Para lograr disminuir el tiempo de atención se 
decide realizar modificaciones en uno de los servicios. 
Una disminución en los valores del tiempo para dar el servicio (X), significaría un corrimiento en 
la distribución de probabilidad. Si el modelo persiste y el desvío es el conocido, entonces esta 
disminución se verá reflejada en una disminución en el valor de µ. 
Una vez realizadas las modificaciones, para determinar si el tiempo promedio de atención ha 
disminuido, recurriremos a implementar una prueba de hipótesis. 
 
 1º paso: 
Establecer: 
Población: tiempo para dar el servicio ( X ) X~ N (µ desconocido, σ= 1,2) 
Parámetro: nos interesa saber si el cambio ha producido alguna disminución en el tiempo de 
atención promedio, por lo tanto planteamos una decisión sobre µ. 
 
 2º paso: 
Se establecen las hipótesis de la prueba 
 
H0) µ ≥ 12,5 
 Ha) µ < 12,5 
La hipótesis nula dice que no hay diferencias entre las dos condiciones de trabajo, lo que 
implica que el tiempo promedio no se ha modificado. La hipótesis alternativa se establece como 
el opuesto de la hipótesis nula y representa la conclusión deseada: el tiempo promedio de 
atención disminuyó. 
 
 
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 3º paso: 
Establecer el estadístico, su distribución muestral y establecer el criterio para tomar la decisión. 
El estimador del parámetro µ, ya sabemos que es el promedio muestral X cuya distribución 
de probabilidad muestral, ya se ha estudiado. Podemos decir, entonces que es una distribución 
normal con promedio µ, y desvío estándar 
n
σ . 
En el ejemplo, suponiendo que el desvío estándar de la variable no se ha modificado, el desvío 
estándar del promedio muestral es 
n
2,1 , siendo n el tamaño de la muestra con la que se 
trabajará. 
 
Si suponemos cierta la hipótesis nula, entonces µ = 12,5 y X ~ N ( µ = 12,5; xσ = n
21, ) 
Gráficamente3: 
 
 
En base a esta distribución pueden observarse cuáles serían valores de Z más compatibles 
con H0 y cuáles, en cambio, serían poco probables si ésta fuera la distribución que estaría 
actuando (es decir si H0 fuera cierta): 
⇒ Si el valor del estadístico obtenido en la muestra, x , fuese mucho menor que µ0 = 12,5, 
z = 
n
x
2,1
5.12−
 también sería mucho más pequeño respecto de E(z) = 0, y entonces 
estaríamos en posición de suponer que este dato aporta evidencia en contra de que H0 es 
cierta, ya que este valor no ocurriría casi nunca por azar si el verdadero valor de µ fuera 
12,5. Por lo tanto, nos inclinamos a pensar que el efecto que se sospechó en el planteo, es 
muy probable que exista ante esta evidencia. 
Cuando rechazamos H0 a favor de Ha, se dice que los datos son estadísticamente 
significativos. 
“Los datos son estadísticamente significativos si ellos son poco probables de ser 
observados bajo el supuesto de que H0 es cierta” 
 
⇒ Si en cambio, el valor obtenido en la muestra no estuviera tan lejos de µ0 = 12,5, ese valor 
podría ocurrir frecuentemente por azar cuando la media poblacional es 12,5 y entonces 
decimos que no se puede rechazar H0 con esta evidencia. 
 
3 Los gráficos del capítulo 8 fueron realizados por Natalia Anselmi, ayudante de la cátedra de Probabilidad y 
Estadística de la carrera de ISI. 
 
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni 
 
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¿Cuán lejos deben estar los valores para rechazar H0? 
¿Cómo determinar la regla de decisión? 
 
El paso final para construir la regla o criterio de decisión consiste en asociar los valores del 
estadístico que utilizamos para probar la hipótesis con la probabilidad de que ocurran 
suponiendo cierta la hipótesis nula y decidir en consecuencia cuáles son los valores que nos 
conducen al rechazo de la hipótesis nula (a favor de lo postulado por la hipótesis alternativa) y 
cuáles son los valores no concluyentes para rechazarla. 
 
No olvidemos: 
Las hipótesis nula y alternativa son afirmaciones sobre la población que compiten entre 
sí y las pruebas de hipótesis se basan en la información que brinda una muestra; por lo 
tanto se debe considerar la posibilidad de errores. 
La decisión se toma en base a datos muestrales y en consecuencia éstos pueden 
llevarnos a decisiones erróneas. 
 
 
¿Cuáles son esos errores y los riesgos asociados? 
 
 
 
8.4 ERROR TIPO I Y ERROR TIPO II 
 
 
Un diagrama de 
la situación : errores y conclusiones correctas en prueba de hipótesis 
Población 
H0 verdadera Ha verdadera 
 
 
 
 
Decisión 
 
 
 
No rechazar H0 
 
Rechazar H0 
Decisión correcta Error de tipo II 
 
Error de tipo I Decisión correcta 
 
 
En cualquier prueba de hipótesis pueden cometerse dos tipos de errores, que se denominan 
error de tipo 1 ( eI ) y error de tipo 2 (eII ). 
⇒ eI : es el error que se comete cuando la regla nos lleva a rechazar H0, cuando en 
realidad es cierta. 
⇒ eII : es el error que se comete cuando la regla nos lleva a no rechazar H0, cuando en 
realidad es falsa. 
En el contexto del ejemplo considerado: 
⇒ eI : es el error que se comete si se concluye que el tiempo promedio de atención ha 
disminuido cuando en realidad no disminuyó. 
⇒ eII : es el error que se comete si se concluye que el tiempo promedio de atención no ha 
disminuido cuando en realidad disminuyó. 
 
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni 
 
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Como es de notar, se habla de rechazar o no la H0, ya que es la única que se prueba y es 
rechazada cuando los datos muestrales bajo la regla construida son demasiado poco probables 
para el modelo poblacional bajo la H0. 
 
Si bien no podemos eliminar la posibilidad de errores en la prueba de hipótesis, sí podemos 
considerar la probabilidad de su ocurrencia y tratar de controlarlos. 
Usaremos la siguiente notación para indicar las probabilidades de cometer esos errores: 
α = probabilidad de cometer un error tipo I (nivel de significación) 
β = probabilidad de cometer un error tipo II 
 
P(eI ) = P( rechazar H0 / H0 cierta) = α 
 
P(eII ) = P( no rechazar H0 / H0 es falsa ) = β 
 
 α y β son probabilidades de errores, son los riesgos asociados con la prueba. 
 
 
8.5 CONSTRUCCIÓN DE LA REGLA DE DECISIÓN 
Ahora sí consideremos el 
 Paso final para construir la regla o criterio de decisión: 
Puede operarse de dos maneras: 
⇒ establecer el nivel de significación de la prueba (α) y calcular el valor crítico a partir del 
cual se concluye el rechazo de H0, o 
⇒ calcular el “valor p” y concluir el rechazo de H0, para valores muy bajos de p, menores 
que el nivel de significación α. 
 
 
⇒ Veamos la primer situación: 
- Fijar el valor α (nivel de significación de la prueba), implica establecer la máxima probabilidad 
de equivocarnos en rechazar H0 cuando en realidad es cierta. 
- Luego se encuentra el valor crítico del estadístico ( cx ) para el cual esa probabilidad se 
verifica y se divide el rango de los valores posibles de promedios muestrales en aquellos que 
llevarán al rechazo de H0 y aquellos a partir de los cuales no se rechaza que H0 sea cierta. 
♦ La P ( eI ) cuando la prueba es unilateral de cola izquierda es: 
P ( eI ) = P ( X < cx ) = α 
 
Bajo esta regla de decisión: 
Si .obsx > cx no se rechaza H0 
Si .obsx < cx se rechaza H0 
 
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni 
 
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♦ La P ( eI ) cuando la prueba es unilateral de cola derecha es: 
P ( eI ) = P ( X > cx ) = α 
 
Bajo esta regla de decisión: 
Si .obsx < cx no se rechaza H0 
Si .obsx > cx se rechaza H0 
 
Volviendo a nuestro ejemplo, supongamos que el gerente del servicio, después de aplicados 
los cambios, quiere decidir sobre las hipótesis planteadas y para ello va a cronometrar 
aleatoriamente 30 tiempos de servicio (una muestra aleatoria), fijando un nivel de significación 
α = 0,05 (es decir especifica la máxima probabilidad permisible de cometer un error de tipo I) 4. 
Busquemos para esta probabilidad de error que se está dispuesto a correr, el valor cx para el 
cual esa probabilidad se verifica: 
 
 valor de cx tal que: P ( eI ) = P ( X < cx ) = α = 0,05 → 
 
El cx es equivalente a zc = 
30
21
512
,
,−cx
= -1,65 
despejando 141230
21651512 ,,*,, =−=cx 
 
El valor 12,14 divide a la distribución muestral del estadístico de prueba en dos regiones, una 
región de rechazo o región crítica y una región de no rechazo, como se observa en la figura 
siguiente: 
 
 
La regla de decisión que asumimos para el ejemplo es la siguiente: 
 
Si .obsx > 12,14 ( cx ) no se rechazaH0 
Si .obsx < 12,14 ( cx ) se rechaza H0 
 
4 Los valores usuales que se eligen para α son 0,05 o valores menores, siendo frecuente el valor 0,01. La opción de 
elegir cierto nivel de riesgo de cometer un error tipo I depende del costo de cometer dicho error en el contexto del 
problema. 
 
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni 
 
169
 
En general, para una prueba de hipótesis unilateral, el valor crítico se obtiene: 
 
♦ Prueba de cola izquierda n
zx cc σµ ⋅−= 0 
♦ Prueba de cola derecha n
zx cc σµ ⋅+= 0 
 
 
Supongamos ahora que a partir de la muestra aleatoria extraída de 30 tiempos de servicio se 
obtuvo un promedio de atención de 12,29 minutos ( .obsx ) ¿Qué decisión debería tomarse? 
 
Decisión como 12,29 > 12,14 ( cx ) no se rechaza H0 
 
Gráficamente: 
 
 
¿Y el error de tipo 2? 
- Supongamos que se quiere evaluar la probabilidad de no rechazar la hipótesis nula cuando el 
promedio de la variable ha disminuido a 12,2 minutos. Aquí, lo que se quiere ver es cuál es el 
riesgo que se corre con esta regla de decisión de cometer un error de tipo II, si el verdadero 
valor de µ fuera 12,2. 
 
Luego: P ( eII ) = P ( X > 212,/ =ac µx ) = β(12,2) 
 = P ( X > 12,14 / µa = 12,2 ) = 1 - P ( X < 12,14 / µa = 12,2) = 
 = 1 - P (Z < 
302,1
2,1214,12 − ) = 1 – P ( Z < - 0,27) = 0,6064 
 
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni 
 
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Observemos que con este criterio de decisión el riesgo que se corre de no rechazar H0 si el 
verdadero valor de µ fuera 12,2 es muy alto. 
Si repitiéramos la experiencia de seleccionar una muestra de 30 tiempos de servicio cuando el 
tiempo promedio de atención en la población fuera de 12,2, el 60% de las muestras no 
detectará la disminución del promedio de 12,5 a 12,2. Una probabilidad alta de un error de tipo 
II para una determinada alternativa, significa que la prueba no es suficientemente sensible para 
detectar la alternativa. 
 
- Veamos ahora cuál es la probabilidad de error de tipo 2, si el verdadero valor de µ fuera 12 
minutos: 
P ( eII ) = P ( X > 12=ac µx / ) = β(12) 
 = P ( X > 12,14 / µa = 12 ) = 1 - P ( X < 12,14 / µa = 12 ) = 
 = 1 - P (Z < 3021
121412
,
, −
 ) = 1 – P ( Z < 0,64) = 1 - 0,7389 = 0,26 
 
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni 
 
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Comparando las dos situaciones anteriores vemos que al situarnos en un valor de µ más 
alejado del supuesto en la hipótesis nula, el error de tipo II es más pequeño. 
Es evidente que es muy deseable minimizar ambas probabilidades de decisiones incorrectas, 
es decir, P(eI) y P(eII) . Observaremos que ambas están relacionadas, ya que para dos valores 
posibles de µ (el de la H0 y otro que se corresponda con la Ha), disminuir una lleva al aumento 
de la otra, salvo en el caso de un aumento en el tamaño de la muestra, lo que en la práctica, no 
es siempre posible. 
El aumento del tamaño de la muestra incrementa la potencia del test (reduce la probabilidad 
del error de tipo II) cuando el nivel de significación se mantiene fijo. 
Si al diseñar un test se fijan los errores I y II que se quieren cometer, el tamaño de muestra 
queda determinado por ellos. 
Apoyándonos en el ejemplo, supongamos que se quiera trabajar con un nivel de significación 
α=0,05 y con una probabilidad de error II β = 0,1 cuando µ es 12,2, ¿con qué tamaño de 
muestra se debería trabajar? 
 
8.6 CÁLCULO DEL TAMAÑO DE MUESTRA 
 
La fórmula para su cálculo es la siguiente5: 
 
2
0
22
)(
)(
µµ
σzz
n
a
βα
−
+
= 
 
5 Esta fórmula se deduce al resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 
⎩
⎨
⎧
==
=
βµµ
α
)(
)(
aII
I
eP
eP
 
 
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni 
 
172
Luego, para la situación planteada: 36137
512212
21281651
2
22
,
),,(
,),,(
=
−
+
=n ⇒ n ≥ 138 
Observamos que para disminuir la probabilidad de error II (β) a 0,1 se necesitan 108 
observaciones más en la muestra. 
 
 
8.7 ENFOQUE DEL VALOR P PARA LAS PRUEBAS DE HIPÓTESIS 
⇒ Consideremos ahora el segundo enfoque para decidir: calcular el “valor p” y concluir el 
rechazo de H0, para valores muy bajos de p, menores que el nivel de significación α. 
¿A que se llama “valor p”? 
 
El “valor p” es la probabilidad de obtener un valor del estimador igual o más extremo que el 
resultado obtenido a partir de los datos muestrales, bajo el supuesto de que la hipótesis nula es 
en realidad cierta. En otras palabras podemos decir que el “valor p” es la probabilidad de que 
un resultado se encuentre al menos tan alejado de µ0, como el valor observado, en dirección a 
la hipótesis alternativa. 
Cuanto menor es esta probabilidad, más fuerte será la evidencia en contra de la hipótesis nula. 
Si en cambio este valor no es tan pequeño, indicará que este resultado no es tan poco 
probable si la hipótesis nula es cierta, y entonces diremos que la evidencia muestral no es 
concluyente para decidir el rechazo de la hipótesis supuesta como cierta. 
Los valores p pequeños constituyen una evidencia en contra de H0, ya que indican que el valor 
observado es poco probable de ocurrir sólo por azar, sin embargo los valores más grandes de 
p no constituyen ninguna evidencia en contra de H0. 
Un valor p menor que el α fijado se considera estadísticamente significativo. Es sólo una 
manera de decir que difícilmente se produciría un resultado tan extremo, sólo por azar. 
 
Volviendo al ejemplo de los tiempos de atención, el .obsx fue de 12,29 minutos. Luego el “valor 
p” para esta situación resulta: 
Valor P = P ( X < .obsx ) = P ( X < 12,29) = P (Z< .obsz ) = 
 = P (Z< 
30
21
5122912
,
,, − ) = P (Z< -0,96) = 0,1685 
Como el valor p resulta mayor al nivel de significancia asumido 0,05, luego no se rechaza la H0. 
Gráficamente: 
 
 
 
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni 
 
173
8.8 EJERCICIOS PROPUESTOS 
 
1.- Con referencia al ejercicio Nº 5 del Apunte 6 “Distribuciones Muestrales” la construcción de 
los 800 km arrojó una ganancia inferior a los 300 millones de pesos por lo que el contratista 
sospecha que ha habido una disminución en la esperanza matemática del espesor. Los 
espesores de 1.440 observaciones obtenidas de esta carretera fueron los siguientes: 
 
ESPESOR CANTIDAD DE OBSERVACIONES 
100 ≤ x < 110 37 
110 ≤ x < 120 70 
120 ≤ x < 130 128 
130 ≤ x < 140 300 
140 ≤ x < 150 470 
150 ≤ x < 160 265 
160 ≤ x < 170 117 
170 ≤ x < 180 53 
Total 1.440 
 
a) Formule la hipótesis nula y alternativa para determinar si el espesor promedio ha 
disminuido. 
b) Explique, en este contexto, cuándo se cometería un error de tipo I y cuándo uno de tipo 
II. 
c) ¿Qué puede concluir con respecto a la sospecha del contratista? (Considere un nivel de 
significación α = 0,05 y que el desvío estándar de la variable no se ha modificado) 
d) ¿Cuál sería su decisión si considera el valor p de la prueba? 
e) ¿Cómo podría llegarse a la misma conclusión que en el punto c) a través de un intervalo 
de confianza? ¿Cuál es la información adicional que proporciona el mismo? 
 
 
 
2.- Una fábrica produce llantas cuya vida útil es una variable aleatoria distribuída normalmente 
con un promedio de 60.000 km y una desviación estándar de 1.900 km. 
 Un ingeniero de diseño sospecha que la introducción de un nuevo compuesto de caucho 
incrementa la vida útil de las llantas produciendo un desplazamiento de la distribución sin 
modificar la dispersión de la misma. 
 A tal fin, se prueban 16 llantas fabricadas con el nuevo compuesto de caucho hasta 
alcanzar el fin de la vida útil de las mismas. 
 Los datos obtenidos, en km, resultaron: 
 
60.613 59.836 59.554 60.252 
59.784 61.221 60.311 55.040 
60.545 60.257 60.000 59.997 
64.947 60.135 60.220 60.523 
 
a) Formule la hipótesis nulay alternativa para determinar si la vida útil promedio se ha 
incrementado 
 
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni 
 
174
b) Explique, en este contexto, cuándo se cometería un error de tipo I y cuándo uno de tipo 
II. 
c) ¿Qué puede concluir respecto de la sospecha del ingeniero de diseño? (Considere un 
nivel de significación α = 0,05 y que el desvío estándar de la variable no se ha 
modificado) 
d) ¿Cuál sería su decisión si considera el valor p de la prueba? 
e) Calcule la probabilidad de no rechazar la hipótesis nula cuando el promedio de la 
variable ha aumentado a 61000 km. 
f) ¿Cuántas observaciones adicionales son necesarias si se quiere reducir la probabilidad 
del punto e) a 0,10? 
g) ¿Cómo podría llegarse a la misma conclusión que en el punto c) a través de un intervalo 
de confianza? ¿Cuál es la información adicional que proporciona el mismo? 
 
3.- Una compañía decide verificar el peso de los rollos grandes de papel de aluminio que 
produce una de sus plantas. Los rollos deben tener un peso promedio de 600 kg pero los 
costos crecientes de la materia prima han llevado a la administración a sospechar que este 
promedio ha aumentado. 
 Estudios preliminares indican que la desviación estándar de los pesos de los rollos es de 5,8 
kg. 
La administración decide llevar a cabo una prueba en base al peso de 250 rollos elegidos al 
azar. Desea correr un riesgo de a lo sumo 5% de concluir que el peso promedio ha 
aumentado cuando en realidad no es así. 
 a) Plantee la hipótesis nula y la alternativa. 
 b) Establezca la regla de decisión. 
 c) Explique en este contexto cuando se cometería un error de tipo II y calcule la probabilidad 
de cometerlo cuando µ = 602 kg. 
 d) Después de revisar la situación de riesgo junto con el costo que supone pesar en forma 
individual 250 rollos, la administración decide que han previsto en la prueba una precisión 
mayor de la que están dispuestos a pagar. Después de meditar cuidadosamente, deciden 
determinar el tamaño de muestra necesario para continuar con la probabilidad de error de 
tipo I plantea anteriormente pero con una probabilidad de 0,96 de detectar un aumento 
en el peso promedio a 602 kg. ¿Cuántos rollos deberán seleccionarse?