Apunte unidad 10 DINÁMICA DE FLUIDOS - Javier Palacios

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Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Rosario 
Cátedra de Física I 
 
 
 
 
 
UNIDAD Nº 10 
 
 
 
 
MOVIMIENTO OSCILATORIO O VIBRATORIO 
 
 
 
 
 
 
 
CONTENIDOS 
Movimiento armónico simple. Cinemática del movimiento armónico simple. Dinámica del Movimiento armónico simple. 
Energética del movimiento armónico simple. Composición de dos movimientos vibratorios armónicos de igual dirección y 
frecuencia. Composición de dos movimientos vibratorios armónicos de igual dirección y diferentes frecuencias. Composición de 
movimientos armónicos simples de direcciones particulares. Oscilaciones simples amortiguadas. Oscilaciones forzadas con 
amortiguamiento. 
Física I 
 Ingeniería Mecánica 
 
 
Ing. Stoppani Fernando 
1 
INTRODUCCIÓN 
 
Las vibraciones u oscilaciones de los sistemas mecánicos constituyen uno de los campos de estudio más 
importantes de toda la física. ¿Qué es un movimiento oscilatorio? ¡Es un movimiento de vaivén! Veamos 
algunos ejemplos: 
Si una masa se suspende a partir de un resorte, se tira hacia abajo y después se suelta, se producen las 
oscilaciones (Fig. 1.a). El balanceo de una bolita en una pista curvada, la bolita oscila hacia delante y atrás 
de su posición de reposo (Fig. 1.b). Una masa suspendida del extremo de una cuerda (péndulo simple), 
cuando la masa se desplaza de su posición de reposo y se la suelta se producen las oscilaciones (Fig. 1.c). 
Un carrito atado entre dos soportes en un plano horizontal por medio de resortes oscilará cuando el 
carrito se desplaza de su posición de reposo y después se suelta (Fig. 1.d). Una regla afianzada con 
abrazadera en un extremo a un banco oscilará cuando se presiona y después se suelta el extremo libre 
(Fig. 1.e).. 
 
 
 
 Fig. 1.a Fig. 1.b Fig. 1.c Fig. 1.d Fig. 1.e 
También puede ser un movimiento oscilatorio el trampolín cuando te lanzas de él (Fig. 2) 
 
 Fig. 2 
Otros ejemplos son: El péndulo del reloj de tu casa, una sierra eléctrica, un cepillo de dientes eléctrico, la 
aguja en el cuadrante de una báscula mientras llega al equilibrio para dar la lectura de tu masa corporal, el 
movimiento de una hamaca y mecedora, el funcionamiento de la suspensión de un automóvil, el aleteo de 
un colibrí o de una abeja, latidos del corazón, etc. 
La característica más fácilmente reconocible del movimiento oscilatorio es que resulta periódico, es decir, 
el objeto va y viene en su misma trayectoria pasando por un punto medio o posición de equilibrio 
estable. Por lo tanto, una oscilación o vibración, comprende un movimiento hacia atrás y hacia delante. 
El tiempo que dura cada repetición o ciclo se denomina período (T). La reciproca del período se 
denomina frecuencia y nos dice, el número de ciclos por unidad de tiempo. Hz
sT
f
11 . 
Una oscilación por segundo se llama 1 hertz (Hz). 
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2 
Notar que estos movimientos de vaivén son producidos por una fuerza variable, llamada fuerza 
restauradora o recuperadora porque siempre tiende a devolver al objeto a la citada posición de equilibrio 
estable o punto medio. Al actuar una fuerza variable, la aceleración también es variable. 
Si las oscilaciones son libres, es decir que no actúan simultáneamente fuerzas disipativas o de rozamiento, 
el movimiento oscilatorio se mantendrá indefinidamente en el tiempo (situación ideal); si las oscilaciones 
son amortiguadas, es decir actúan al mismo tiempo fuerzas disipativas o de fricción, el móvil acabará 
retornando al reposo en su posición de equilibrio estable. 
Oscilación y vibración son conceptos que pueden emplearse indistintamente. Sin embargo, el término 
vibración suele emplearse para designar una oscilación muy rápida o de alta frecuencia, mientras que en 
los demás casos se prefiere hablar de oscilación. 
Notar que no todos los movimientos periódicos son oscilatorios. 
 
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 
 
El movimiento armónico simple (MAS) es un caso particular dentro de los movimientos periódicos 
oscilatorios. Decimos que una partícula describe un MAS cuando recorre indefinidamente, en un 
movimiento de vaivén, un segmento de recta, por la acción de una fuerza restauradora directamente 
proporcional a la distancia que separa la partícula de la posición de equilibrio estable y siempre dirigida 
hacia dicha posición central. Se llama oscilador armónico a cualquier dispositivo o sistema que describe un 
MAS. 
El uso del término “armónico” en la denominación del movimiento se debe a que para su descripción 
matemática son adecuadas las funciones trigonométricas seno o coseno, porque repiten una secuencia de 
valores entre dos extremos, funciones conocidas tradicionalmente como armónicas. 
Además de ser el tipo de movimiento oscilatorio mas fácil de describir matemáticamente, constituye una 
buena aproximación a muchas oscilaciones que se encuentran en la Naturaleza. 
Trataremos de encontrar expresiones para el desplazamiento, la velocidad y aceleración en función del 
tiempo para un cuerpo que se mueve con MAS. 
Algunos de los términos que ayudaran a describir el MAS son los siguientes: 
Desplazamiento (x), es la distancia donde se encuentra el objeto respecto a la posición de equilibrio. 
Amplitud del movimiento (A), es la magnitud del valor máximo de desplazamiento a partir de la posición 
de equilibrio (x = 0), esto es el valor máximo de x . El intervalo total del movimiento es 2 A. 
Ciclo, representa un movimiento completo, esto es, de A a –A y de regreso a A. 
Periodo (T), tiempo en que tarda en dar un ciclo. 
 
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El movimiento armónico simple (MAS) se puede relacionar con el movimiento circular de la siguiente 
manera. Imagine una masa puntual Q unida a una rueda orientada con su eje perpendicular al plano de la 
figura siguiente. La masa puntual está una distancia A del eje, y la rueda rota con velocidad angular 
constante ω. La proyección de la masa puntual “Q” sobre el eje horizontal, es “P” (el eje de x en la figura). 
Observar que la masa puntual Q se mueve con movimiento circular uniforme y que la proyección P se 
mueve con MAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En t = 0, la masa puntual está a la derecha y la proyección está en x = A. La posición de la proyección es 
x =A cos (θ) pero como t , la ecuación queda: )cos( tAx 
Si en t = 0, la masa puntual parte de un ángulo , la ecuación anterior se transforma en: 
)cos( tAx (1) 
donde: al termino, )( t se lo llama fase y se mide en Radianes. 
 al termino, )( se lo llama ángulo de fase, constante de fase o desfase y se mide en Radianes. 
como la velocidad es: 
dt
dx
v , derivando la ecuación (1), queda: 
 )( tsenAv (2) 
como ttsen 2cos1 , introduciendo en (2), queda: tAv 2cos1 
De (1), )cos( t
A
x
 
2
2
1
A
x
Av , introduciendo A dentro de la raíz, queda: 
 22 xAv (3) 
Q 
A 
P 
 
 
 
 = cte 
X=A cos 
X= A X=-A X=0 
Movimiento de proyección 
t = 0 
t = T/2 
t = T/4 
t = T t = 3T/4 
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Para calcular la aceleración, como 
dt
dv
a , derivando la ecuación anterior queda:)cos(2 tAa (4) 
Con la ecuación (1), queda: xa 2 (5) 
Graficando la ecuaciones (1), (2) y (4), para iguales condiciones de , ángulo de fase y amplitud 
 
 
En la gráfica anterior se ve que cuando la posición es x=0 (posición de equilibrio), la aceleración también 
es cero y la velocidad es máxima. También muestra que cuando la posición es (x = A) o (x = -A), la 
aceleración es máxima y la velocidad cero. 
 
Sistema Masa- Resorte 
 
En este ejemplo la fuerza de restitución es: xkF 
Como esta fuerza de restitución es directamente proporcional al 
desplazamiento con respecto al equilibrio, la oscilación es un 
movimiento armónico simple (MAS). 
Aplicando la segunda ley de Newton, queda: 
 x
m
k
aamxkF (6) 
El signo menos en la ecuación significa que la aceleración y la 
elongación tienen signos contrarios. Es decir cuando un cuerpo 
se encuentra a la derecha de la posición de equilibrio 0x , la 
aceleración esta dirigida hacia el centro de la trayectoria 0a . 
Como se observa la aceleración es proporcional a la elongación, 
X = A X = -A X = 0 
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y varia con la misma, por lo que no se pueden usar las ecuaciones ya deducidas para el MRUV (donde la 
aceleración era constante). 
igualando la ecuación (4) con la ecuación (6), queda: 
)cos(
2
tAx
m
k
, con la ecuación (1), queda: xx
m
k 2 . 
Despejando la frecuencia angular o pulsación 
m
k (7) 
como 
T
f
2
2 , queda: 
k
m
T 2 y 
m
k
f
2
1 
Introduciendo la ecuación (7) en las ecuaciones, (1), (2) y (4), quedan: 
 t
m
k
Ax cos (8) 
 )( t
m
k
sen
m
k
Av (9) 
 )cos( t
m
k
m
k
Aa (10) 
 
A) Graficando la ecuación (8) para misma amplitud (A), igual constante del resorte k e igual ángulo de fase 
( =0). Si variamos la masa siendo m3 m2 m1. Observar que al aumentar la masa aumenta el 
periodo. 
A
-A
T1
T2
T3
Tiempo
1
2 3
 
X=0 
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6 
B) Graficando la ecuación (8) para misma masa, igual constante del resorte k e igual ángulo de fase ( =0). 
Si variamos la amplitud (A) siendo A3 A2 A1. Observar que al aumentar la amplitud NO CAMBIA el 
periodo. 
Tiempo
A1
A2
A3
-A1
-A2
-A3
1
2
3
T1=T2=T3
 
C) Graficando la ecuación (8) para misma masa, igual constante del resorte k e igual amplitud y variando el 
ángulo de fase ( ). De la figura se observar que al variar el ángulo de fase NO CAMBIA EL PERIODO. 
= / 2
= / 4
A
-A
Tiempo
X
=0
 
 
 
 
 
X=0 
T 
T 
T 
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Conclusiones sobre el MAS 
 El Movimiento Armónico Simple es un movimiento periódico en el que la posición varía según una 
ecuación de tipo senoidal o cosenoidal. 
 La velocidad del cuerpo cambia continuamente, siendo máxima en el centro de la trayectoria y nula en 
los extremos, donde el cuerpo cambia el sentido del movimiento. 
 Es un movimiento acelerado no uniforme. Su aceleración es proporcional al desplazamiento y de 
signo opuesto a este. Toma su valor máximo en los extremos de la trayectoria, mientras que es 
mínimo en el centro. 
 La fuerza restauradora responsable del M.A.S. es siempre opuesta al desplazamiento y proporcional al 
mismo. 
 La posición inicial del movimiento depende de A y )( 
 
ENERGÍA EN UN OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE 
En temas anteriores ya estudiamos que un sistema masa-resorte es conservativo y que su energía 
potencial viene dada por: 2
2
1
xkE
p
 
La energía total del sistema será: 22
2
1
2
1
xkvmEEE
Pc
 
Por el principio de conservación de la energía, E debe ser una constante del movimiento (si despreciamos 
las fuerzas de tipo no conservativo), por lo que para calcularla podemos elegir el punto más cómodo. 
Elijamos, por ejemplo, el punto donde la elongación es máxima y la velocidad nula, es decir, en los 
extremos de la trayectoria: 
 AxtAx )cos( 
 0)( vtsenAv 
En ese punto: 2
2
1
AkE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ep (t) 
2
2
1
Ak
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8 
Esta es la energía de un MAS. Como vemos sólo depende de la amplitud del movimiento y de la constante 
del muelle. Como la energía mecánica es constante; es instructivo representar cómo se compensan Ec y 
Ep en un diagrama de energías frente al tiempo. 
tkAxkE
P
222
cos
2
1
2
1
 
)(
2
1
2
1 2222
tsenAmmvE
c con la ec (7) )(
2
1 22
tsenAkE
c 
 
2222222
2
1
2
1
2
1
2
1
xA
m
k
vxAkkxkAEEmvE
pc 
 
De esta ecuación se deduce inmediatamente que la velocidad es máxima en x = 0 y que se anula en los 
puntos de máxima elongación: x = A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La conservación de la energía mecánica se cumple para cualquier oscilador armónico. Así, en el caso del 
péndulo, si no se tiene en cuenta la fricción con el aire, tiene lugar una constante conversión de energía 
cinética en potencial gravitatoria, y viceversa, pero la suma de ambas, la energía mecánica, siempre tiene 
un valor constante. 
 
Conclusiones sobre Energía en el MAS 
 La fuerza elástica que origina el MAS es conservativa. La energía potencial elástica que lleva asociada 
es nula en el centro de la trayectoria y máxima en sus extremos. 
 La energía cinética en el MAS varía continuamente, siendo máxima en el centro de la trayectoria y 
nula en sus extremos. 
 La energía mecánica del MAS permanece constante, siempre y cuando no existan fuerzas disipativas 
(rozamientos o resistencias). 
 
 
Ep(x) 
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9 
PÉNDULO SIMPLE 
El péndulo simple consta de una masa puntual, m, suspendida de un hilo de longitud, l , inextensible y de 
masa despreciable frente a m. El otro extremo del hilo se encuentra sujeto a una posición fija. 
Demostraremos que el péndulo realiza un MAS cuando se desplaza ligeramente de su posición vertical de 
equilibrio y se deja evolucionar libremente, considerando que no hay rozamientos. A la partícula que 
oscila se le llama lenteja del péndulo. La trayectoria (s) de la misma no es una recta, sino un arco de 
circunferencia de radio “l”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sobre la lenteja actúan dos fuerzas en cualquier punto de la trayectoria: la atracción de la Tierra sobre la 
lenteja cuyo valor es (m.g) y la fuerza que ejerce la cuerda sobre la lenteja del péndulo que llamaremos T. 
En la dirección radial, hay balance de fuerzas: La tensión (T) centrípeta es igual al componente centrífugo 
de g. En la dirección tangencial, la fuerza neta es: senmgF
t
, por lo que se produce una aceleración 
tangencial en la lenteja. El signo menos se ha puesto para indicar que el sentido de la fuerza es contrario 
al desplazamiento, tanto angular como lineal. Como la fuerza recuperadora no es proporcional a )( , sino 
a )(sen , el movimiento “NO es armónico simple”. 
Para ángulos pequeños el seno del ángulo es aproximadamente igual al valor del ángulo expresado en 
radianes ( sen ), ver tabla 1. 
Para ángulos menores a 15 grados, la diferencia entre elseno del ángulo y el 
ángulo es menor al 1%, por lo que queda: mgF
t
 
Si tenemos en cuenta la relación que existe entre el ángulo expresado en 
radianes, el arco de circunferencia (s) y el radio: ls 
 quedando: 
 s
l
mg
F
t si 
l
mg
k ksFt 
que es la expresión de la fuerza recuperadora del movimiento armónico simple. 
Donde k es una constante que depende del peso de la lenteja y la longitud del péndulo. 
mg 
mg cos 
mg sen 
Tabla 1 
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10 
Si el ángulo no es pequeño la aproximación no puede hacerse. Tendríamos un movimiento oscilatorio 
periódico pero no sería un MAS. 
El periodo de un péndulo simple cuando su amplitud )( es pequeña 
l
mg
m
k
m
T 22 
g
l
T 2 
Observar que el periodo de un péndulo es independiente de la amplitud )( y de la masa de la lenteja, solo 
depende de la longitud del cordón y de la gravedad. 
La independencia del periodo respecto de la amplitud, si ésta es pequeña, parece que llevó a Galileo al 
invento del reloj de péndulo, el primero en tener una buena precisión y que fue reloj patrón durante 
varios siglos. Para evitar que el péndulo se pare por los rozamientos que sufre, se utiliza un sistema de 
resortes que mantiene la oscilación. 
El péndulo simple suele utilizarse en la práctica para gran cantidad de aplicaciones que se podrían dividir 
en dos bloques: 
Medir tiempos su periodo es constante (salvo rozamientos y variaciones de “l” por las condiciones 
termodinámicas ó de g por la latitud o altitud) y es fácil visualizar el número de 
oscilaciones. 
Medir g las medidas de g con este método son bastante precisas, lo que es importante porque 
cambios locales de g pueden dar información valiosa sobre la localización de recursos 
minerales o energéticos. 
 
PÉNDULO FÍSICO o COMPUESTO 
Cualquier sólido rígido colgado de algún punto que no sea su centro de masas oscilara cuando se desplace 
de su posición de equilibrio. Este dispositivo recibe el nombre de péndulo físico o compuesto. 
En la Figura está representado un péndulo físico, que consiste de un cuerpo 
de masa m suspendido de un punto de suspensión que dista una distancia 
“h” de su centro de masa. 
El momento del peso respecto al eje de giro será )(senhmg y la 
segunda ley de Newton para la rotación se expresara, 
2
2
dt
d
II 
El momento ejercido por la gravedad tiende a disminuir el ángulo por lo que: 
2
2
)(
dt
d
Isenhmg 
 
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Cuando los desplazamientos angulares son pequeños )(sen y 
 
 
 
 
Este dispositivo puede utilizarse para determinar momentos de inercia de sólidos rígidos de formas 
complejas. Primero se localiza el centro de gravedad del cuerpo por balanceo. Luego se suspende el 
cuerpo de modo que oscile libremente alrededor de un eje y se mide el periodo T, finalmente con la 
ultima ecuación se calcula I . 
Por el teorema de Steiner: 2hmII
Cm
 
El periodo se escribe 
 
2
1
2
2
mgh
hmI
T cm 
Graficando )(hfT , queda: 
 
 
 
El periodo alcanza un valor infinito para h=0, es decir, cuando coincide el centro de masa con el centro de 
oscilación. La curva presenta un mínimo para un cierto valor de h. 
Dado un valor de T podemos hallar los dos valores de h que hacen que el péndulo compuesto oscile con 
dicho periodo. 
 
 
 
0
2
2
I
hmg
dt
d
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OSCILACIONES AMORTIGUADAS 
Hasta ahora no hemos tenido en cuenta que los rozamientos internos del oscilador y el que tiene con el 
medio que lo rodea causarán una disminución de la oscilación hasta que finalice el movimiento. 
Por ello, si no aportamos energía al oscilador para mantener su oscilación, su energía mecánica irá 
disminuyendo con el tiempo y el movimiento se denomina armónico amortiguado. 
En la figura adjunta se representa la gráfica x-t de un MAS y las que corresponden a movimientos 
armónicos amortiguados. 
Según la importancia del rozamiento frente a las otras fuerzas que intervienen en estos casos, la 
amortiguación del movimiento será mayor o menor. En ciertas condiciones se acaba muy rápidamente el 
movimiento armónico y el sistema se queda en equilibrio. 
A veces, el amortiguamiento es algo positivo. Por ejemplo, los amortiguadores de los coches y motos 
interesa que «detengan» rápidamente la oscilación que se produce cuando el vehículo encuentra un 
bache en la carretera. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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