Análisis y síntesis(2014) - Gustavo Rivas

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ANALISIS DE CIRCUITOS 1ANALISIS DE CIRCUITOS 1
ANÁLISIS y SÍNTESIS de REDESANÁLISIS y SÍNTESIS de REDES
Ing. Luis Krapf
Esc de Ingeniería Eléctrica
FCEIA - UNR
Edición 2014
• AnálisisAnálisis
Conocida la configuración y los valores característicos de los 
componentes del modelo representativo, determinar el estado p p ,
de régimen (corrientes y/o diferencia de potenciales)
• Síntesis
Lograr la o las configuraciones con sus parámetros característicosLograr la o las configuraciones con sus parámetros característicos 
que permiten responder a la vinculación entre fuentes y estado 
de régimen.g
Análisis de Circuitos 1 Slide 2 Ed-2014
CLASIFICACIÓN DE REDESCLASIFICACIÓN DE REDES
Parámetros concentradosParámetros concentrados 
La red puede ser representada por un número finito de 
elementoselementos.
Parámetros distribuidos
La red debe ser representada por un número finito de 
elementos.
Análisis de Circuitos 1 Slide 3 Ed-2014
• Redes lineales
Todos los elementos que constituyen una red son lineales, 
es decir sus características V-A son lineales.
• Redes no lineales
Al menos un elemento que constituyen la red no es lineal, q y
es decir sus características V-A son lineales.
Análisis de Circuitos 1 Slide 4 Ed-2014
R d l• Redes planas
La red puede ser desarrollada en un planop p
• Redes no planas
L d d d ll d lLa red no puede ser desarrollada en un plano
Red plana Red no plana
Análisis de Circuitos 1 Slide 5 Ed-2014
• Dipolop
Todo componente de circuito eléctrico que 
posea dos bornes para su conexión.
• Rama
Di l l l l t tit tiDipolo en el cual sus elementos constitutivos 
están en serie.
• Punto
Lugar de concurrencia de dos ramas.g
• Nudo
Lugar de concurrencia de tres o más ramas. 
Análisis de Circuitos 1 Slide 5 Ed-2014
Dipolo
Todo componente de circuito eléctrico 
que posea dos bornes para su conexión.
Rama
Di l l l l tDipolo en el cual sus elementos 
constitutivos están en serie.
Dipolo
Todo componente de circuito eléctrico p
que posea dos bornes para su conexión.
Nudo
Lugar de concurrencia de tres o más 
ramas. 
Análisis de Circuitos 1 Slide 6 Ed-2014
• Gráfico de una red
Es la forma del gráfico de la sin interesar los elementos g
constitutivos
Nx Nudos (x de 1 á 4)
Rk Ramas (k de 1 á 9)
Análisis de Circuitos 1 Slide 7 Ed-2014
Á b l• Árbol
Subconjunto del conjunto total de ramas de una red que 
lcumple con:
1. No conforma ningún camino cerrado
2 El d d d l2. El agregado de una rama de las restantes crea un 
camino cerrado con algunas de las ramas del árbol.
C l iConclusiones:
Un árbol une todos los nudos
El d d l á b l f iEl agregado de una rama al árbol conforma un camino 
cerrado.
El número de ramas de un árbol esEl número de ramas de un árbol es
a = n - 1
Análisis de Circuitos 1 Slide 8 Ed-2014
Gráfico de una red
Algunos posibles árbolesAlgunos posibles árboles
C 1Caso 1
Caso 2 Caso 3 Caso 4
Análisis de Circuitos 1 Slide 9 Ed-2014
V i bl d dVariables de redes
Determinar el estado de régimen significa calcular todas 
l i t ( ) l t i l t dlas corrientes (en sus ramas) y los potenciales en todos 
sus nudos.
En una red con “b” ramas y “n” nudos tendráEn una red con “b” ramas y “n” nudos tendrá
b + n variables de redes
T d d d f i dTomando un nudo de referencia, nos queda
x = b + n -1 variables de redes
Un modelo correctamente planteado conduce a un sistema
en equilibrio con solución únicaen equilibrio, con solución única.
Análisis de Circuitos 1 Slide 10 Ed-2014
Primera Ley de Kichhoffy
“La suma algebraica de todas las corrientes que concurren 
a un nudo es cero”
Nú d i li l t i d di t 1Número de ecuaciones linealmente independientes n – 1
Segunda Ley de Kichhoff
“La suma algebraica de todas las caídas de tensión en un 
camino cerrado es cero”
Número de ecuaciones linealmente independientes 
b – (n – 1)
Análisis de Circuitos 1 Slide 11 Ed-2014
La resolución de un circuito de n nudos y b
ramas por el método de Kirchhoff demanda la p
escritura de 
1 i d dn‐1     ecuaciones de nudo
b‐(n‐1) ecuaciones de la LTK
Es decir que el sistema que se debe resolver es q q
de b ecuaciones
Análisis de Circuitos 1 Slide 12 Ed-2014
MÉTODO de KIRCHHOFFMÉTODO de KIRCHHOFF
Por el MK podemos resolver un circuito eléctrico 
planteando un sistema que consta de 
1 i d l LCKn-1 ecuaciones de la LCK
y
b ( 1) i d llb-(n-1) ecuaciones de mallas
Que nos permitirán resolver todas las corrientes de las
ramas del circuitoramas del circuito.
El sistema a resolver es “n ecuaciones”
E t t l t i d l d l áEn tanto que las tensiones de los nudos se resolverán
mediante la aplicación de la Ley de Ohm para n-1 nudos
(uno se toma como referencia)(uno se toma como referencia).
Análisis de Circuitos 1 Slide 13 Ed-2014
MÉTODO de los POTENCIALES de NUDOS o 
MÉTODO de los NUDOS
R d d “b” “ ” d V i bl d d bRed de “b” ramas y “n” nudos Variables de red m=b+n
Referencia nudo 0 
Número de incógnitas h m 1 b+n 1Número de incógnitas h = m-1 = b+n-1
Convenciones
Análisis de Circuitos 1 Slide 14 Ed-2014
MÉTODO DE NUDOSMÉTODO DE NUDOS
Se plantean n-1 LI ecuaciones de la LCK
[15]
Para el nudo “h”
[1]
Para cada ramaPara cada rama
[2]
Si hay más de una rama entre “j” y “k”
[3]
Análisis de Circuitos 1 Slide 15 Ed-2014
[4]
Ecuación nudo h Con h = 1, 2, .. , n-1
[5]
Corriente de cortocircuito de la rama hλ
Yhh Admitancia propia nudo h
Yhλ Admitancia mutua entre los 
nudos h y λ
Resulta Corriente interna del nudo h suma de 
las corrientes de cortocircuito de laslas corrientes de cortocircuito de las 
ramas que llegan al nudo h
Análisis de Circuitos 1 Slide 16 Ed-2014
En forma sintética [6]
Donde
En forma matricial se escribe
[7]
Con
M t i d it iMatriz admitancia
Matriz tensión de nudo
Matriz Corriente interna de nudo
Análisis de Circuitos 1 Slide 17 Ed-2014
MÉTODO DE NUDOS
Ci it 4 d 6Circuito con 4 nudos y 6 ramas
El nudo 4 se toma como referencia
Se escriben las 3 ecuaciones LI de la LCK
[8]
Nudo 1
Nudo 2
L t i d d d
Nudo 3
Las tensiones de cada nudo son
Figura 1
[9]
Análisis de Circuitos 1 Slide 18 Ed-2014
De [9] despejamos las corrientes
[10]
Reemplazando [10] en [8]
[11]
Análisis de Circuitos 1 Slide 19 Ed-2014
Reordenando [4]
[12]
Escribiendo [5] en forma matricial
[13]
Análisis de Circuitos 1 Slide 20 Ed-2014
En forma sintética
[14]
Donde
SintéticamenteSintéticamente
[Y] matriz admitancia
[φ] matriz tensión nodal
[I ] matriz corriente propia de nudo[In] matriz corriente propia de nudo
Análisis de Circuitos 1 Slide 21 Ed-2014
MATRIZ ADMITANCIA
Propiedades:p
1. Simétrica
2. Los elementos de la diagonal son positivos2. Los elementos de la diagonal son positivos
3. Los elementos fuera de la diagonal son negativos
4 Un elemento de la diagonal es mayor o igual a la4. Un elemento de la diagonal es mayor o igual a la 
suma de los valores absolutos de los demás 
elementos de la fila (o de la columna).
5. La matriz es no singular es decir que su determinante 
es no nulo, esto implica que la solución del sistema es 
única
Análisis de Circuitos 1 Slide 22 Ed-2014
Escritura de las ecuaciones de nudoEscritura de las ecuaciones de nudo
R l é iReglas nemotécnicas
1. Elegir un nudo de referencia
2 Elegir un árbol para el circuito2. Elegir un árbol para el circuito
3. Escribir el sistema de ecuaciones para todos los nudos 
exceptuando el de referencia.
4. Para el nudo 1 (ecuación Nº 1) se escribe el potencial del nudo n1 
multiplicado por la suma de todas las admitancias que concurren al 
nudo 1; menos el potencial de los demás nudos multiplicado por la ; p p p
admitancia que vincula al nudo en cuestión con el 1. Se iguala a la 
suma de las corrientes de cortocircuito de cada rama que llega al 
do 1do 1.
5. Se repite el procedimiento con los demás nudos.
6. Se resuelve el sistema de n-1 ecuaciones
Análisis de Circuitos 1 Slide 23 Ed-2014
MÉTODO DE NUDOS
Caso particular - Fuente de corriente ideal
Nudo 1
Nudo 2 [15]
Nudo 3
Las corrientes derama sonLas corrientes de rama son
[16]
Figura 2
Análisis de Circuitos 1 Slide 24 Ed-2014
Las Ecuaciones resultan
[17]
Se procede como en el caso 
general.
Se tiene en cuenta que la 
impedancia de una fuente ideal 
de corriente es infinitode corriente es infinito
Análisis de Circuitos 1 Slide 25 Ed-2014
Escritura de las ecuaciones de nudo
Casos particulares 
Fuente ideal de corriente
Regla nemotécnica
1. Se escriben las ecuaciones igual que en el caso general.g q g
2. Se considera que la fuente de corriente tiene impedancia infinito y 
la corriente de cortocircuito es el valor de la fuente.
3 La admitancia de esa rama es cero3. La admitancia de esa rama es cero.
4. La admitancia de transferencia con otros nudos es cero.
Análisis de Circuitos 1 Slide 26 Ed-2014
MÉTODO DE NUDOS
Caso particular - Fuente de tensión ideal
Nudo 1
Nudo 3
Nudo 2 [18]
[19]
Figura 3
Análisis de Circuitos 1 Slide 27 Ed-2014
Reemplazando adecuadamente se obtiene
[20]
Que se reduce a
[21]
Análisis de Circuitos 1 Slide 28 Ed-2014
Escritura de las ecuaciones de nudo
Casos particulares 
Fuente ideal de tensión
Regla nemotécnica
1 Se elige el árbol de manera que el nudo de referencia sea un1. Se elige el árbol de manera que el nudo de referencia sea un 
extremo de la rama que contiene la fuente ideal de tensión.
2. El potencial del nudo extremo de la fuente ideal de tensión es 
conocido y en consecuencia se reduce en uno el número de 
ecuaciones.
Caso especialCaso especial
1. En el caso que el árbol no contenga la rama con la fuente ideal de 
tensión, se reemplaza a ésta fuente por una fuente de corriente.
2. Se genera una nueva incógnita
3. Se genera una nueva ecuación: la d.d.p. de esta rama es conocida 
e igual al valor de la fuente ideal de tensióne igual al valor de la fuente ideal de tensión.
Análisis de Circuitos 1 Slide 29 Ed-2014
MÉTODO DE BUCLES o 
CORRIENTES CÍCLICAS
LCK a los tres nudos
Nudo1
[22]
Nudo1
Nudo 2
Nudo 3
[23]
LVK a los tres bucles [24]
Figura 4
Nº de nudos: 4
Ec. de nudo p= 4-1=3
[25]
Nº de ramas: 6
Ec. de mallas m= b-n-1=3
Análisis de Circuitos 1 Slide 30 Ed-2014
Se elige un árbol para el circuito de figura 4, que se indica en rojo.
En [23] se despejan las corrientes de las ramas 
de árbolde árbol
[26][26]
Reemplazando [26] en [25]
[27]
Análisis de Circuitos 1 Slide 31 Ed-2014
Reordenando [27][ ]
[28]
Sustituyendo I por J y analizando el circuito 
de la figura podemos escribir directamente elde la figura podemos escribir directamente el 
sistema de ecuaciones [18]
[29]
Análisis de Circuitos 1 Slide 32 Ed-2014
Escritura de las ecuaciones de buclesEscritura de las ecuaciones de bucles
Regla nemotécnicas
1. Elegir un nudo de referencia
2. Elegir un árbol para el circuito
3. Se dibuja una corriente cíclica para cada enlace
4. Se escriben las ecuaciones de la LCK para cada una de las 
corrientes cíclicascorrientes cíclicas.
Análisis de Circuitos 1 Slide 33 Ed-2014
MÉTODO DE BUCLES
Caso particular - Fuente de corriente ideal
Se elige un árbol (que no pase por la fuente ideal)
Nudo1S ib l t Nudo1
Nudo 2
Nudo 3
Se escriben las tres 
ecuaciones de la LCK para 
los nudos N1, N2 y N3.
[30]
Análisis de Circuitos 1 Slide 34 Ed-2014
Se escriben las 3 
ecuaciones de bucles
[31]
L i t d lLas corrientes de las 
ramas de árbol en 
función de las de 
enlace resultan
[32]
enlace resultan
Se tiene en cuenta que:q
[33]
Se reescriben las ecuaciones reemplazando 
[32] en [31] y teniendo en cuenta la ecuación 
[33]
Análisis de Circuitos 1 Slide 35 Ed-2014
[33]
[34]
Reordenando [34], el sistema de ecuaciones queda:
[35]
Análisis de Circuitos 1 Slide 36 Ed-2014
MÉTODO DE MALLASMÉTODO DE MALLAS
l l ó d d l b ó l é dConsiste en la aplicación directa de la LTK en una combinación con el método 
de bucles. Se puede utilizar en cualquier tipo de red, pero es recomendable 
su aplicación a redes planas para asegurar la LI del sistema de ecuaciones.
Veamos su aplicación a través de un caso particular  
Se identifican las ventanas 
del circuito. En el caso del 
ejemplo tenemos 8 ventanas.
P d t liPara cada ventana se elige 
un camino de recorrido y se 
le asigna una corriente ficticia 
que designamos con la letraque designamos con la letra 
J. No es necesario que los 
sentidos sean todos el 
mismomismo.
Para la primer ventana le 
asignamos la corriente J1 y 
así sucesivamente 
asignamos sentido de 
recorrido y corriente ficticia 
a cada ventana.
Se escribe la ecuación de malla en donde aparecen las variables de las 
ramas r1 r5 y r8ramas r1, r5 y r8.
Se escribe la ecuación de la ventana 2, que será LI con la anterior pues se 
agrega las variables de las ramas r2, r6 y r9.
Se escriben así las ecuaciones de las ventanas hasta la 8 estando segurosSe escriben así las ecuaciones de las ventanas hasta la 8, estando seguros 
que el sistema será LI ya que en cada nueva ecuación aparece una nueva 
variable.
En la ecuación de la ventana 8 se tiene una variable de red que no aparecíaEn la ecuación de la ventana 8 se tiene una variable de red que no aparecía 
anteriormente que es la correspondiente a la rama r15.
La resolución del sistema nos permitirá encontrar las corrientes de malla y a 
partir de ellas las corrientes de cada rama.partir de ellas las corrientes de cada rama.
SÍNTESISSÍNTESIS
Dado un sistema de ecuaciones, encontrar un circuito que responda al mismo.
6x - 3y = -10
-3x + 8y = 5
Realizando un cambio de variables podemos 
obtener estos dos tipos distintos
C 2Caso 1
6 I1 – 3 I2 = -10
-3 I1 + 8 I2 = 5
Caso 2
6 ϕ1 – 3 ϕ2 = -10
-3ϕ1 + 8ϕ2 = 53 I1 + 8 I2 5 3 ϕ1 + 8 ϕ2 5
Por bucles Por nudos
SÍNTESIS - MATRIZ COEFICIENTE NO SIMÉTRICA
7x - 3y = 12 
5x + 10y = 8
Simetrizando la matriz 
coeficientes
7x - 3y = 12 
-5x+2x-2x + 10y = 8-5x + 10y = 8 coeficientes 5x+2x 2x + 10y 8 
7 3 127x - 3y = 12 
-3x + 10y = 8 + 2x 
Cambiando por 
variables corrientes
Cambiando por 
variables tensiones
7I1 - 3I2 = 12 7V1 - 3V2 = 12 3V + 10V = 8 + 2V-3I1 + 10I2 = 8 + 2I1 -3V1 + 10V2 = 8 + 2V1
Se pueden sintetizar en los circuitos
Por método de bucles Por método de nudos
En ambos casos se simetrizó la matriz de coeficientes, ,
incorporándose fuentes dependientes