algebra lineal act 1 - david Isaac (1)

Vista previa del material en texto

2022 
1 
ACTIVIDAD 
Licenciatura: ING. EN TEC. 
COMPUTACIONALES 
ESCUELA: CTM Y CNCI 
Nombre del Alumno: David Isaac Gomez Castro 
Nombre del Tutor: Martín Arteaga Almazán 
Matricula: ctm062917 
Materia: Algebra lineal 
Fecha: 07/04/22 
 
 
 Introducción 
 
El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, 
sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal espacios vectoriales y sus 
transformaciones lineales. Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera 
de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, 
graficas por computadora, ingeniería. Etc. 
Los babilonios y los egipcios fueron las primeras civilizaciones que se encargaron de plantear las 
ecuaciones lineales desde muchos siglos antes de cristo, mientras tanto los chinos perfeccionaron 
sus matemáticas con el método de eliminación de Gauss para resolver las ecuaciones del mismo 
tipo. Las ecuaciones lineales son ecuaciones que tienen variables con grado a 1, no existen 
multiplicación entre las variables, solo sumas. Se clasifican en dos formas, las consistentes (que 
tienen una o más soluciones) y las inconsistentes (no tienen solución) y cuentan con más variables. 
 
 
Para poder empezar con el tema, primero debemos saber que lineal 
¿Qué es una ecuación lineal? 
Una ecuación entera de primer grado o ecuación lineal es una igualdad que involucra una o más 
variables a la primera potencia y no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación 
que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. 
Sistema de ecuaciones lineales 
Una ecuación es la representación de una igualdad entre dos expresiones que contienen entre dos 
o más variables, por ejemplo: 
2𝑥 = 30 o 𝑥 + 𝑦 = 20 
En una ecuación siempre debe de haber un signo de igualdad, ya que, si este no existe, solo habrá 
un término independiente el cual podre contiene lo siguiente: 
−5𝑥2 
- = signo 
5 = coeficiente 
X = variable 
𝑛2 = exponente 
Pro otro lado existen diferentes tipos de ecuaciones, esta se clasifica según la variable de mayor 
grado: 
 
 
Notación matricial de un sistema de ecuaciones lineales 
Un sistema de ecuaciones lineales (SEL) se puede representar de manera compacta a través de una 
matriz. 
Representa un arreglo rectangular que contiene filas y columnas que además permite escribir los 
valores de las variables de un SEL. Donde las filas son horizontales y las columnas verticales 
Ejemplo de organización en la matriz: 
 
En la primera columna se escriben los valores de x, en la segunda los de y, en la tercera z, 
Si se agregan los coeficientes de cada variable en las columnas, se tiene una matriz que se le conoce 
como matriz coeficiente 
 
En cambio, si se agregan los números que aparecen al otro lado de la igualdad, se tiene una matriz 
aumentada 
Clasificación de sistema de ecuaciones lineales: 
Los sistemas de ecuaciones lineales se representan de la siguiente manera: 
 
 
 
Y se pueden clasificar de acuerdo al valor que toma la constante b, de dos formas: 
Sistema de ecuaciones lineales homogéneas: 
Es un sistema en el cual los valores b1, b2, b2, …, bm = 0 son igual a 0. Este tipo de sistemas siempre 
tienen una solución que puede ser única o presentar infinidad de soluciones 
Por ejemplo: 
 
Sistema de ecuaciones lineales no homogéneas: 
Es un sistema en el cual los valores b1, b2, b2, …, bm ≠ 0 son diferentes a 0. En este tipo de sistemas 
la solución puede ser única o sin solución. Por ejemplo: 
 
Eliminación de Gauss 
para resolver un sistema de ecuaciones podemos, sin alterar las soluciones del sistema: 
• Intercambiar el orden de las ecuaciones. 
• Sumar algunas de sus ecuaciones. 
• Multiplicar alguna ecuación por un número distinto de 0. 
Esto es precisamente lo que se hace en el método de Gauss: se modifican las ecuaciones para 
obtener un sistema mucho más fácil de resolver, pero, en lugar de hacerlo sobre las ecuaciones, se 
hace sobre la matriz ampliada del sistema. consiste en operar sobre la matriz ampliada del sistema 
hasta hallar la forma escalonada (una matriz triangular superior). Así, se obtiene un sistema fácil de 
resolver por sustitución hacia atrás. 
Eliminación de Gauss-Jordan 
El Teorema de Eliminación de Gauss-Jordan establece que toda matriz es equivalente por filas a una 
matriz escalonada reducida, es decir, al considerar una matriz, podemos aplicar operaciones por 
filas sobre ella hasta conseguir una matriz escalonada reducida. A partir de este teorema se define 
El Método de Eliminación de Gauss-Jordan, también conocido como el Método de Reducción 
Gaussiana. 
proceso debe aplicarse hasta que se obtenga la matriz en forma escalonada (método de Gauss) o 
en forma escalonada reducida (método Gauss-Jordan) de la matriz ampliada. 
Recordamos que una matriz en su forma escalonada reducida cumple: 
• En cada fila, el primer elemento distinto de cero (de izquierda a derecha) es un 1 (uno 
principal). A la izquierda de este 1, sólo hay ceros. A su derecha puede haber cualquier 
número. En la columna del 1 principal de las filas de arriba y las de abajo sólo puede haber 
ceros (a no ser que sea la primera fila y por encima del 1 no hay ningún elemento). 
• El uno principal de cualquier fila se sitúa más a la izquierda de los unos principales de las 
filas inferiores a ésta. 
• Si existen filas formadas únicamente por ceros, éstas son las inferiores. 
. 
 
 
Conclusión 
Durante la sesión en la cual elaboramos la actividad aprendí las distintas variantes que existen en 
las ecuaciones lineales. Los distintos métodos de ejecución y sus grados, así como las resoluciones 
de las matrices con las cuales se elaboran las eliminaciones bajo el método de gauss y gauss-Jordán. 
Las cuales las puedo utilizar de distintas maneras, como la resolución de gastos para planificar un 
viaje por el país, el presupuesto para mi despensa en cuanto a la comida que necesito y para 
comprar alimentos para fiestas infantiles o convivencias. 
 
 
Bibliografía 
totumat. (s.f.). Recuperado el 08 de 04 de 2022, de totumat: 
https://totumat.com/2020/11/20/reduccion-gaussiana/ 
Univercidad CNCI. (s.f.). Recuperado el 09 de 04 de 2022, de Univercidad CNCI: 
https://ctmvirtual.blackboard.com/bbcswebdav/courses/BbCont10/Contenido/Ingenierias
/I_AlgebraLineal_DIC19/m01-t02/m01-t02.html 
Universidad CNCI. (s.f.). Recuperado el 08 de 04 de 2022, de Universidad CNCI: 
https://ctmvirtual.blackboard.com/bbcswebdav/courses/BbCont10/Contenido/Ingenierias
/I_AlgebraLineal_DIC19/m01-t01/m01-t01.html 
utel.edu.m. (s.f.). Recuperado el 09 de 04 de 2022, de utel.edu.m: 
https://utel.edu.mx/blog/infografias-utel/metodo-de-eliminacion-de-gauss-jordan/