Análisis Matemático - Takeuchi - Mauro Sanchís

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Análisis Matemático
Análisis Matemático
Yu Takeuchi
Departamento de Matemáticas
Facultad de Ciencias
Universidad Nacional de Colombia
Sede Bogotá
Análisis Matemático
c! Yu Takeuchi
Departamento de Matemáticas
Facultad de Ciencias
Universidad Nacional de Colombia
c! Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Departamento de Matemáticas
Sexta edición, 2008
Bogotá, Colombia
ISBN 978-958-719-044-1
Bogotá, Colombia
Diagramación en LATEX : Margoth Hernández Quitián
Diseño de carátula: Andrea Kratzer
Catalogación en la publicación Universidad Nacional de Colombia
Takeuchi, Yu, 1927 –
Análisis Matemático / Yu Takeuchi. – Bogotá : Universidad
Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias. Departamento de Matemáticas, 2008
vi, 450 p.
ISBN 978-958-719-044-1
1. Análisis matemático 2. Análisis numérico
CDD-21 515 / 2008
Índice general
1. Número de elementos de un conjunto 1
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Equivalencia (o equipotencia) de dos conjuntos . . . . . . . . . 2
1.3. Conjuntos Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Conjuntos no contables (no numerables) . . . . . . . . . . . . . 18
2. Conceptos básicos de topoloǵıa en Rp 26
2.1. Extremo superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2. Sucesiones numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3. Sucesiones de puntos del espacio Rp . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4. Puntos de acumulación. Teorema de Bolzano Weierstrass . . . . 70
2.5. Conjunto cerrado. Conjunto abierto . . . . . . . . . . . . . . . 90
3. Ĺımites y continuidad 163
3.1. Ĺımites de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.2. Continuidad de función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
3.3. Algunos ejemplos importantes de funciones continuas . . . . . . 201
3.4. Imagen directa e imagen inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
3.5. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
i
ii ÍNDICE GENERAL
4. Función de valor real, de una variable real 269
4.1. Ĺımite por la derecha y ĺımite por la izquierda . . . . . . . . . 269
4.2. Derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
4.3. Función de variación acotada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
5. Sistemas numéricos 398
5.1. Números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
5.2. Números quebrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
5.3. Número negativo y cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
5.4. Expresión de un número en el sistema decimal . . . . . . . . . 410
5.5. Números decimales no-ćıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
5.6. Cortadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
Presentación
Por una “locura juvenil” o por la necesidad de escapar de las ŕıgidas costum-
bres del Japón de la postguerra, en 1959, Yu Takeuchi atravesó medio mundo
en un barco carguero para dejar en Colombia lo mejor de su creación como
matemático, la esencia del pedagogo y la sabiduŕıa y humildad del maestro. Se
autodenomina “el abuelo de las matemáticas”, pues muchos de sus disćıpulos
son considerados los padres de esa disciplina en las principales universidades
del páıs. Recientemente fue condecorado por la Cancilleŕıa colombiana con
la orden San Carlos en el grado de oficial, en el marco de los 100 años de
relaciones con el Japón.
Le puso tanto empeño a su labor, que al año de enseñar en la Universidad
Nacional ya hablaba español y a los dos años lo escrib́ıa. Este segundo logro
seŕıa definitivo en su propósito de llevar las matemáticas a lo largo y ancho del
páıs, pues fundó la revista “Matemáticas: enseñanza universitaria” y escribió,
de su propia mano o junto con estudiantes y colegas, 20 libros de texto y
30 de divulgación, algunos de los cuales imprimió en el garaje de su casa en
Bogotá y otros en Japón. “La idea era ofrecer textos prácticos que fueran más
entendibles que los que llegaban a Colombia de Alemania o Francia”.
Los libros sobre cálculo elemental, cálculo diferencial, sucesiones y series,
mecánica anaĺıtica, análisis matemático, variables y análisis funcional lo hi-
cieron famoso en las universidades de toda la geograf́ıa nacional e incluso en
otros páıses de América Latina como México, donde matemáticos e ingenieros
aprendieron a resolver todo tipo problemas de cálculo con las claves suminis-
tradas por él. Por esa razón dice que tiene estudiantes de salón que son como
sus hijos, otros a los que éstos les enseñaron a través de los libros, que son
como sus nietos, e incluso tiene tataranietos académicos.
“Además de la calidad, una de las ventajas que ofrećıan los libros del profesor
Takeuchi era un precio que estaba en muchos casos por debajo de los costos de
producción; esto permitió que rápidamente se fueran convirtiendo en los textos
de matemáticas más empleados en las universidades colombianas. Usualmen-
iii
iv ÍNDICE GENERAL
te estos libros estaban integrados por 60 parágrafos, de tal forma que cada
parágrafo correspond́ıa a una lección de una hora de clase, adaptándose aśı a
la distribución semestral de las materias. Sobre los art́ıculos escritos por él, se
cree que hay alrededor de unos 86, entre ellos 46 de tipo investigativo y 40 de
tipo divulgativo”
Sus alumnos, tanto los más jóvenes como los más experimentados, afirman
querer ser algún d́ıa como ese maestro que les enseñó a resolver problemas
numéricos en el papel y que con su ejemplo les transmitió la paciencia necesaria
para resolver las grandes dificultades de la vida.
Mabel Paola López
Tomado de Universia Colombia, junio 27 de 2008
http://www.universia.net.co/galeria-de-cientificos/matematicas-y-ciencias-naturales/yu-
takeuchi.html
Prólogo
El análisis matemático es el primer curso teórico para los estudiantes que quie-
ren adentrarse en la ciencia matemática. Siempre se presenta mucha dificultad
para dominar esta materia puesto que los alumnos tienen que combinar ade-
cuadamente los conceptos intuitivos del cálculo elemental con el rigor lógico,
manteniendo una buena visión global del camino. Los libros actuales de análi-
sis, que suelen tener una gran acumulación de definiciones, postulados, propo-
siciones y teoremas con sus demostraciones cortas y artificiales, co el fin de dar
una mejor presentación y elegancia de la obra, sacrificando la visualización de
la materia, pueden ser útiles para las personas que quieran repasar el análisis
ya estudiado anteriormente, pero no son adecuados para los estudiantes que
quieren iniciar estudios formales en matemática. Aún más, suelen acosar a
los estudiantes principiantes con la memorización de términos, convirtiendo el
estudio en recitación del texto. Lo que necesitan primero los estudiantes, no
son conocimientos matemáticos, sino métodos adecuados para estudiar y para
aumentar la creatividad académica. Con tal fin presentamos ahora un libro de
análisis matemático bajo una nueva orientación, en el cual, a través de abun-
dantes ejemplos y ejercicios, los lectores mismos puedan construir su propia
teoŕıa matemática del análisis, alcanzando paulatinamente un nivel avanza-
do. Naturalmente el desarrollo de la materia no es tan rápido como en otros
libros. Se adoptan los procesos más naturales sacrificando de vez en cuando
la elegancia. Además, el libro abarca solamente los conceptos básicos de la
materia absteniéndose de tratar otros temas. Lo que pretendemos ofrecer en
este libro, no es conocimientos matemáticos sino formar capacidad para los
estudios posteriores e incrementar la creatividad. Una vez que los estudiantes
dominen la parte fundamental del análisis, ellos pueden adquirir fácilmente
más conocimientos matemáticos con otros libros para completar sus estudios
(ver bibliograf́ıa). Esperamosque el presente libro pueda ser útil para los prin-
cipiantes que todav́ıa no tienen familiaridad para entrar al mundo matemático
abstracto. Puede ser un poco aburrido para los genios que ya poseen capacidad
de abstracción.
v
vi ÍNDICE GENERAL
A pesar de que el contenido del primer caṕıtulo (número de elementos de un
conjunto), está incluido en el pensum del bachillerato, es aconsejable dar una
lectura rápida del Apéndice (Sistemas numéricos) y del primer caṕıtulo antes
de entrar al caṕıtulo II, aún para estudiantes conocedores de estos temas. Aun-
que no es indispensable dedicarle muchos esfuerzos. Generalmente la mayoŕıa
de los ejercicios colocados en la última parte de cada parágrafo y los ejerci-
cios adicionales, son de nivel muy elevado. es conveniente saltarlos, según la
capacidad de los lectores, puesto que aprender de memoria la solución de los
problemas sin poder digerirlos bien, puede ser perjudicial para el desarrollo
intelectual de los estudiantes en el futuro.
En el caṕıtulo I y el Apéndice, fueron publicados anteriormente en el Bolet́ın de
Matemáticas vol. VIII N! 2 y N! 3 (Publicación bimestral del Departamento
de Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia). El primer borrador
de los caṕıtulos II y III fue escrito en el Departamento de Matemáticas de la
Facultad e Minas (Medelĺın) cuando dicte un curso de visita en 1973. Quiero
manifestar mis sinceros agradecimientos a todas las personas que me brindaron
la colaboración y apoyo a este trabajo.
No puedo olvidar que la presente realización ha contado con la valiosa ayuda
de mi colega, Dr. Eduardo Mantilla quien efectuó la tediosa labor de revisión
y corrección del original, le estoy sinceramente agradecido.
Yu Takeuchi
Febrero de 1974
En la 4a edición de este libro traté de corregir los errores encontrados; además
agregue un modelo del examen final de la materia, con el fin de utilizarlo para
el autodiagnóstico académico del lector.
1978
El autor
1
Número de elementos de un
conjunto
1.1. Introducción
El concepto de Número de elementos de un conjunto está incluido en el plan
de estudios de 2o de bachillerato; sin embargo, aún para estudiantes avanzados
de la carrera de Matemáticas, este concepto no es fácil de dominar.
En la figura 1.1 se muestra un conjunto de frutas; los niños de ḱınder saben
ya que aqúı hay tres frutas. Analicemos cómo las cuentan:
{ , , }
Figura 1.1.
Algunos niños las contarán como se muestra en la figura 1.2, otros niños la con-
tarán como en la figura 1.3, ó la figura 1.4 en cualquier caso, siempre hay que
establecer una correspondencia de las frutas a los números naturales sucesivos
(representados convenientemente por los dedos) uno, dos y tres, de tal manera
que a cada fruta se le asigna un sólo número; aśı que obtiene el número tres
como el último número en estas correspondencias (en la figura 1.2 el número
correspondiente a la naranja, en la figura 1.3 el número correspondiente a la
1
2 1. NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO
manzana, y en la figura 1.4 el número correspondiente a la pera) y esto es
precisamente el número de frutas.
{ , , }
uno dos tres
Figura 1.2.
{ , , }
unodostres
Figura 1.3.
{ , , }
uno dostres
Figura 1.4.
A continuación estudiaremos matemáticamente el mecanismo intuitivo del con-
tar observado anteriormente.
1.2. Equivalencia (o equipotencia) de dos conjuntos
Dados dos conjuntos A y B decimos que A es equivalente (o equipotente) a B
si es posible establecer una correspondencia uno a uno entre los elementos de
A y de B (en otras palabras, si existe una función uno a uno de A sobre B) y
se nota:
A ! B.
1.2. EQUIVALENCIA (O EQUIPOTENCIA) DE DOS CONJUNTOS 3
En el ejemplo del parágrafo anterior, la figura 1.2(o las figuras 1.3 y 1.4) nos
muestra que el conjunto de frutas es equivalente al conjunto numérico {1, 2, 3}.
Ejemplo 1.
Demostrar la equivalencia de los intervalos:
(i) (0, 1) ! (a, b)
(ii) (0, 1) ! (a,")
(iii) (0, 1) ! (#",")
Demostación.
(i) Considerar la correspondencia f : (0, 1) $ (a, b) definida por
x % (0, 1), f(x) = a + x(b # a) % (a, b).
(ii) Considerar la correspondencia g : (0, 1) $ (a,") definida por:
x &$ g(x) = 1
x
# 1,
x % (0, 1), g(x) = 1
x
# 1 % (0,").
(iii) Considerar la función b : (0, 1) $ (#",") definida por
b(x) =
!
"#
"$
2 # 1
x
si x % (0, 12)
1
1 # x # 2 si x % [
1
2 , 1)
para cada x % (0, 1).
Dejamos al lector la comprobación de que estas funciones f, g y h
son uno a uno.
Ejercicio 1.
Demostrar que
(i) A ! A.
(ii) Si A ! B entonces B ! A.
4 1. NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO
(iii) Si A ! B, B ! C entonces A ! C.
Demostación.
(i) Sea f la función idéntica definida en A:
f(x) = x para todo x % A.
Entonces f es uno a uno y sobre, por lo tanto se tiene que A ! A.
(ii) Si A ! B existe una función g, de A sobre B y uno a uno. La función
inversa g"1 existe, es uno a uno y
g"1(B) = A.
Por lo tanto se tiene que B ! A.
(iii) Si A ! B, B ! C existen dos funciones, g y b, uno a uno tales que:
g(A) = B, b(B) = C.
Dejamos al lector la comprobación de que la función compuesta b'g nos
garantiza la equivalecia de A y C.
Ejercicio 2.
Supóngase que A ! A1 y B ! B1. Demostrar:
(i) A ( B ! A1 ( B1.
(ii) Si A
%
B = ), A1
%
B1 = ) entonces A
&
B ! A1
&
B1.
Demostación.
Sea f una aplicación uno a uno de A sobre A1 y g una aplicación uno a uno
de B sobre B1.
(i) Definamos una aplicación F de A(B en A1 (B1, en la forma siguiente:
F (x, y) = (f(x), g(x)) : x % A, y % B.
Si F (x, y) = F (x1, y1) se tiene:
(f(x), g(y)) = (f(x1), g(y1))
o sea que
f(x) = f(x1), g(y) = g(y1).
Esto es, x = x1, y = y1, por lo tanto F es uno a uno. dejamos al lector
la comprobación de que F es sobre.
1.2. EQUIVALENCIA (O EQUIPOTENCIA) DE DOS CONJUNTOS 5
(ii) Consideremos la siguiente aplicación G de A
&
B en A1
&
B1:
'
G(x) = f(x) si x % A
G(y) = g(y) si y % B.
El lector puede demostrar que G es uno a uno y sobre.
Ejercicio 3.
Demostrar la equivalencia de los intervalos:
[0,") ! (#",") ! (0,").
Demostación.
Por el ejemplo 1 y el ejercicio 1 basta demostrar que
[0,") ! (#",").
Consideremos la función g : [0,") $ (#",") definida por:
g(x) =
'
x # n si x % [2n, 2n + 1), donde n = 0, 1, 2, . . .
x # 3n + 1 si x % [2n # 1, 2n), donde n = 1, 2, 3, . . .
1 2 3 4 5 6 7 8 x 0
g(x)
Figura 1.5.
Dejamos al lector la comprobación de que esta función g nos garantiza la
equivalencia de [0,") y (#",").
6 1. NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO
Ejercicio 4.
Demostrar que si
A ! {1, 2, 3, . . . ,m} y A ! {1, 2, 3, . . . , n}
entonces m = n.
Demostación.
Por el ejercicio 1 se tiene que
{1, 2, 3, . . . ,m} ! {1, 2, 3, . . . , n}.
o sea que existe una aplicación f uno a uno tal que
f({1, 2, 3, . . . , m}) = {1, 2, 3, . . . , n}.
f(m) es un número natural entre 1 y n, la aplicación f establece la siguiente
equivalencia:
{1, 2, 3, . . . , m # 1} ! {1, 2, 3, . . . , n}# {f(m)}.
Pero (Figura 1.6)
{1, 2, 3, . . . , m}# {f(m)} ! {1, 2, 3, . . . , n # 1}, (2)
luego:
{1, 2, 3, . . . , m # 1} ! {1, 2, 3, . . . , n # 1}, (3)
y aśı sucesivamente, si m * n tenemos:
{1, 2, 3, . . . , m # n + 1} ! {1},
esto es
m = n
ya que m # n + 1 = 1.
{ 1 , 2 , . . . , f(m)-1, f(m) , . . . , n-1 }
{ 1 , 2 , . . . , f(m)-1, f(m)+1 , . . . , n }
Figura 1.6.
1.2. EQUIVALENCIA (O EQUIPOTENCIA) DE DOS CONJUNTOS 7
Si un conjunto A es equivalente al conjunto {1, 2, . . . , m} decimos que A es un
conjunto finito y que A tiene m elementos (ó que m es el número de elementos
del conjunto A). De acuerdo con el ejercicio 4; el número de elementos está bien
definido, en términos más intuitivos, el número de elementos de un conjunto
es independiente de la manera de contarlos, según se observó en el parágrafo
anterior.
Ejemplo 2.
Unconjunto acotado de números naturales es finito.
Demostación.
Sea A un conjunto acotado de números naturales, sean:
a(1) = el mı́nimo de A
a(2) = el mı́nimo de A # {a(1)}
a(3) = el mı́nimo de A # {a(1), a(2)}.
Si M es una cota del conjunto A, el procedimiento debe acabar al cabo de a
lo más, M pasos; o sea que existe m(m + M) tal que a(m) = el mı́nimo de
A # {a(1), a(2), . . . , a(m # 1)} y A = {a(1), a(2), . . . , a(m)}.
Es evidente que A es un conjunto finito de m elementos.
Ejemplo 3.
Sea N el conjunto de todos los números naturales. Entonces N es infinito.
Demostación.
Supongamos que N fuera finito, entonces existiŕıa una m tal que
N ! {1, 2, 3, . . . , m}.
Por un procedimiento similar a la solución del ejercicio 3 se tendŕıa:
N ! {1, 2, 3, . . . , m # 1} ! {1}.
Esto es imposible ya que N = {1, 2, 3, . . .} tiene dos elementos distintos, por
ejemplo 1 y 2.
Ejercicio 5.
Sean A, B dos conjuntos finitos disyuntos de m, k elementos respectivamente.
Demostrar que A
&
B tiene m + k elementos.
8 1. NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO
Demostación.
Tenemos:
A ! {1, 2, . . . , m} y B ! {1, 2, . . . , k}.
Evidentemente se tiene:
B ! {1, 2, . . . , k} ! {m + 1,m + 2, . . . ,m + k},
luego (Figura 1.7):
A
(
B ! {1, 2, . . . , m}
(
{(m + 1), (m + 2), . . . , (m + k)}
= {1, 2, 3, . . . , m + k}.
dejamos al lector los detalles de la demostración.
{1,2,3,...,m}
{m+1,m+2,m+3,...,m+k}
A
B
Figura 1.7.
Ejercicio 6.
Demostrar que cualquier subconjunto ni vació de un conjunto finito es finito.
Demostación.
Sea m el número de elementos de un conjunto finito A. Si B , A entonces B
es equivalente a un subconjunto de {1, 2, . . . , m} digamos S. Por el ejemplo 2
se tiene que S es finito, por lo tanto B es finito.
Ejercicio 7.
Demostrar que un conjunto finito no es equivalente a ningún subconjunto
propio.
1.2. EQUIVALENCIA (O EQUIPOTENCIA) DE DOS CONJUNTOS 9
Demostación.
Sea B un subconjunto propio (no vaćıo) de un conjunto finito A, entonces
A = B - (A # B), A # B .= ).
Si m(A), m(B), m(A # B) son los números de elementos de los conjuntos
A, B y A # B respectivamente, entonces, por ejercicio 5 tenemos:
m(A) = m(B) + m(A # B).
Esto es:
m(A) > m(B),
o sea que A y B no son equivalentes.
Ejercicio 8.
Sea A un conjunto finito y B un subconjunto de A. Supongamos que m(A) y
m(B) designan el número de elementos de A y de B respectivamente, demos-
trar que:
A = B si y sólo si m(A) = m(B).
Sugerencia. Por el ejercicio 7 se tiene que:
si B .= A entonces m(B) < m(A).
Ejercicio 9.
Sea A un conjunto de k números naturales. Demuestre que A tiene la forma:
A = {n1, n2, n3, . . . , nk},
donde
n1 < n2 < n3 < · · · < nk, n1, n2, . . . , nk % N
Demostación.
Sea:
n1 = el mı́nimo de A,
n2 = el mı́nimo de A # {n1},
n3 = el mı́nimo de A # {n1, n2},
· · ·
nk = el mı́nimo de A # {n1, n2, . . . , nk"1}.
10 1. NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO
El lector debe demostrar que:
(i) Si b < k
A # {n1, n2, . . . , nb} .= ).
(ii)
A = {n1, n2, . . . , nk}.
Ejercicio 10.
Demostrar que un conjunto finito de números naturales tiene un elemento
máximo.
Sugerencia. Aplicar el ejercicio 9.
Ejercicio 11.
Demostrar que la unión de dos conjuntos finitos es un conjunto finito.
Sugerencia. Sean A, B finitos entonces
A - B = A - (B # A).
Aplicar el ejercicio 5 el ejercicio 6.
Ejercicio 12.
Demostrar que la unión de un número finito de conjuntos finitos es finito.
Dejamos la demostración al lector.
1.3. Conjuntos Infinitos
Se dice que un conjunto (no vaćıo) es infinito si no es finito. En el ejemplo 3
hemos visto que N es infinito.
Ejemplo 4.
Los conjuntos numéricos Z, Q, R son infinitos.
Demostación.
Si Z(ó Q, R) fuera finito entonces N seŕıa finito ya que N , Z (Ejercicio 5).
1.3. CONJUNTOS INFINITOS 11
Ejercicio 13.
Demostrar que conjunto infinito si posee un subconjunto infinito.
Sugerencia. Si el conjunto fuera finito, cualquier subconjunto seŕıa finito. (Ejer-
cicio 6)
Ejercicio 14.
Cualquier conjunto infinito contiene un subconjunto equivalente a N.
Demostación.
Sea A un conjunto infinito.
Como A no es vaćıo, existe un elemento de A, digamos a1. Ahora bien, A#{a1}
no es vaćıo (si A # {a1} fuera vaćıo A seŕıa finito contra la hipótesis). Luego
existe un elemento de A # {a1}, digamos a2. Y aśı sucesivamente. En general
el conjunto
A # {a1, a2, . . . , an}
no es vaćıo, luego existe an+1 % A # {a1, a2, . . . , an}.
El conjunto {a1, a2, a3, . . .} es equivalente a N y
{a1, a2, a3, . . .} , A.
Decimos que un conjunto A es contablemente (ó enumerablemente) infinito si
A ! N. Un conjunto es contable (ó numerable) si es vaćıo, ó finito ó contable-
mente infinito.
Si A es contablemente infinito existe una correspondencia (ó aplicación) uno
a uno entre A y N. Sea a1 el elemento de A correspondiente a 1 % N por esta
aplicación a2 el elemento de A correspondiente a 2 % N y en general, an el
elemento de A correspondiente a n % N (Figura 1.8). En otras palabras, todos
los elementos del conjunto A pueden ser marcados por sub́ındices naturales.
N={ 1 , 2 , 3 , . . . , n , . . . }
A={ a
1 , a2 , a3 , . . . , ak , . . . }
correspondencia entre A y N
Figura 1.8.
12 1. NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO
Nótese que ai .= aj si i .= j en esta expresión del conjunto A puesto que la
correspondencia es uno a uno. Análogamente, si B es un conjunto finito de k
elementos tenemos:
B = {a1, a2, . . . , ak}
/ / /
{ 1, 2, . . . , k }.
El ejercicio 14 puede formularse como sigue:
Cualquier conjunto infinito tiene un subconjunto contablemente infinito.
Se puede expresar este hecho en forma intuitiva diciendo que los conjuntos
contables son más pequeños que todos los otros conjuntos infinitos. En resu-
men:
{conjunto vaćıo} 0$ no tiene elementos
{conjuntos finitos} ! {1, 2, 3, . . . ,m}
{conjuntos infinitos contables} ! N = {1, 2, 3, . . .}
{conjuntos infinitos no contables}.
Ejemplo 5.
(i) Z es enumerable ya que la siguiente aplicación f : Z $ N es uno a uno
f(0) = 1, f(n) = 2n, (n = 1, 2, 3, . . .)
f(#n) = 2n + 1 (n = 1, 2, 3, . . .).
(ii) A = {2, 4, 6, . . .} es contablemente infinito ya que la aplicación
g : g(2n) = n de A sobre N es uno a uno.
Ejercicio 15.
Cualquier subconjunto de un conjunto contable es contable.
Demostación.
Basta demostrar que cualquier subconjunto de N es contable.
Sea A , N, si A es finito o vaćıo entonces A es contable por definición. Si A
es infinito, A es de la forma (ver ejercicio 9):
A = {n1, n2, n3, . . .}, n1 < n2 < n3 < · · · ,
o sea que A es contable.
1.3. CONJUNTOS INFINITOS 13
Ejercicio 16.
Si A es infinito entonces A es equivalente a alguno de sus subconjuntos propios.
Nota 1. Esta propiedad, combinada con el ejercicio 7, caracteriza los conjun-
tos infinitos. Es decir un conjunto A es infinito si y sólo si A es equivalente a
alguno de sus subconjuntos propios.
Demostación.
Por el ejercicio 14, existe un subconjunto de A, enumerablemente infinito, por
ejemplo:
B = {b1, b2, b3, . . .} , A.
Definamos la siguiente aplicación f :
(i) f es idéntica en A # B (A # B puede ser vaćıo)
(ii) f(bn) = b2n (n = 1, 2, 3, . . .).
Evidentemente f es uno a uno y su recorrido es:
(A # B) - {b2, b4, b6, . . .}
lo cual constituye un subconjunto propio de A. (Ver figura 1.9)
A - B
{ b1 , b2 , b3 , . . . } { b2 , b4 , b6 , . . . }
A - B
aplicación
idéntica
aplicación f
A =
Figura 1.9.
Ejercicio 17.
La unión de dos conjuntos contables es contable.
14 1. NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO
Demostación.
Sean A, B dos conjuntos contables.
(i) Suponemos primero que A y B son disyuntos.
Si A y B son finitos entonces A - B es finito, luego es contable.
Si A y B son infinitos digamos:
A = {a1, a2a3, . . .}, B = {b1, b2b3, . . .}
entonces:
A - B = {a1, b1, a2, b2, a3, b3, . . . , an, bn, . . .}
por lo tanto A - B es contablemente infinito.
Si A es finito y B es infinito:
A = {a1, a2, . . . , am}, B = {b1, b2b3, . . .},
por lo tanto A - B es contablementeinfinito.
(ii) Caso general. Tenemos:
A - B = A - (B # A)
donde B # A es contable (ejercicio 15), como A y B # A son disyuntos
se tiene que A - (B # A) es contable.
Ejercicio 18.
La unión de un número finito de conjuntos contables es contable.
La demostración la dejamos para el lector.
Ejercicio 19.
Sean A y B dos conjuntos contables, entonces A ( B (el producto cartesiano
de A y B) es contable.
Demostación.
(i) Suponemos que A y B son infinitos, entonces:
A ! N ! {2n | n % N}
B ! N ! {3n | n % N},
1.3. CONJUNTOS INFINITOS 15
luego:
A ( B ! {(2n, 3k) | n, k % N} ! {2n3k | n, k % N}.
Como {2n3k | n, k % N} es un subconjunto de N, entonces es contable,
por lo tanto A ( B es contable.
(ii) Caso general. Sean A0 = A - N y B0 = B - N. Entonces A0, B0 son
contablemente infinitos (Ejercicio 17), luego se tiene que A0 ( B0 es
contable (parte (i)). Como A(B , A0 (B0, por el ejercicio 15 tenemos
que A ( B es contable.
Ejercicio 20.
Sean A1, A2, . . . , Ap conjuntos contables. Entonces el producto cartesiano
A1 ( A2 ( · · ·( Ap es contable.
La demostración la dejamos para el lector.
Ejercicio 21.
Sea {Aj}j#N una colección contable de conjuntos contables, entonces la unión
total
$&
j=1
Aj es contable.
Demostación.
Utilizando la técnica empleada en la demostración del ejercicio 19 se puede
suponer que Aj es contablemente infinito para todo j.
(i) Supongamos que A1, A2, A3, . . . son disyuntos.
Sean:
Aj = {a(j)1 , a
(j)
2 , a
(j)
3 , . . . , a
(j)
n , . . .}, j = 1, 2, 3, . . .
Consideremos la aplicación f :
&$
j=1 Aj $ N ( N definida por:
f(a(j)n ) = (j, n) % N ( N.
El lector puede comprobar fácilmente que f es uno a uno y sobre. Por
lo tanto
$(
j=1
Aj ! N ( N ! N.
16 1. NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO
(ii) Caso general. Sean
B1 = A1
B2 = A2 # A1
B3 = A3 # (A1
(
A2)
· · ·
BnAn # (A1
(
· · ·
(
An"1)
Entonces:
$(
n=1
An =
$(
n=1
Bn.
Como Bn es contable para todo n se tiene que
&$
n=1 Bn es contable (parte (i))
por lo tanto
&$
n=1 An es contable.
Ejercicio 22.
El conjunto Q de todos los números racionales es contable.
Sugerencia. El conjunto Q es equivalente a un subconjunto de N ( N.
Ejercicio 23.
Sea A un conjunto de intervalos de R abiertos y disyuntos dos a dos. entonces
A es contable.
Demostación.
Como Q es contable podemos escribir:
Q = {x1, x2, x3, . . .}.
Si (a, b) % A, el conjunto de números naturales {n % N | xn % (a, b)} no es
vaćıo puesto que Q es denso en toda parte. Al intervalo (a, b) le asignamos el
siguiente número natural:
el mı́nimo de {n % N | xn % (a, b)}.
Aśı se puede establecer una correspondencia entre los intervalos del conjunto
A y un subconjunto de N, evidentemente esta correspondencia es uno a uno
ya que los intervalos de A son disyuntos.
1.3. CONJUNTOS INFINITOS 17
Ejercicio 24.
Sea B un conjunto de intervalos cerrados con longitud positiva y disyuntos
dos a dos. demostrar que B es contable.
Sugerencia. Similar al ejercicio 23.
Ejercicio 25.
Demostrar que:
(i) En Rn (o en R2) el conjunto de todos los puntos de coordenadas racio-
nales es contable.
(ii) Una colección de ćırculos disyuntos con radio positivo es contable.
(iii) Una colección de esferas disyuntas con radio positivo es contable.
La demostración la dejamos al lector.
Ejercicio 26.
Sea S la colección de todos los polinomios de coeficientes racionales, entonces
S es contable.
Sugerencia. Sea Sn la colección de todos los polinomios con coeficientes racio-
nales de grado n, entonces
Sn ! Qn+1 ! Nn+1 ! N,
luego:
S =
$(
n=1
Sn ! N (Ejercicio 21).
Ejercicio 27.
Sea f una función de valor real definida en [0, 1] y supongamos que existe
una constante M > 0 tal que para toda sucesión finita de puntos distintos
{x1, x2, . . . , Xn} se tiene la desigualdad:
|f(x1) + f(x2) + · · · + f(xn)| + M ;
demostrar que el conjunto
S = {x % [0, 1] | f(x) .= 0}
es contable.
18 1. NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO
Demostación.
Sean S+ = {x % [0, 1] | f(x) > 0} y S" = {x % [0, 1] | f(x) < 0} entonces
S = S+ - S". (i)
Sea
Sn =
)
x % [0, 1] | f(x) > 1
n
*
, n = 1, 2, 3, . . .
entonces tenemos:
S+ =
$(
n=1
Sn. (ii)
Si x1, x2, . . . , xk son puntos disyuntos de Sn entonces
|f(x1) + f(x2) + · · · + f(xk)| = f(x1) + f(x2) + · · · + f(xk) + M,
luego:
k
n
=
1
n
+ · · · + 1
n
< f(x1) + f(x2) + · · · + f(xk) + M,
es decir,
k < n · M.
Esto es, el conjunto Sn contiene a lo más n ·M puntos distintos, o sea que Sn
es finito (contable). Por lo tanto S+ es contable. De la misma forma, se ve que
S" es contable. Luego S es contable.
El lector debe comprobar las identidades (i) y (ii).
Ejercicio 28.
Sea A un conjunto finito. Demostrar que la colección de todas las funciones
de A en N es contablemente infinito.
Sugerencia. Sea m el número de elementos del conjunto A, entonces la colección
de todas las funciones de A en N es equivalente a Nm.
1.4. Conjuntos no contables (no numerables)
Ejemplo 6.
El conjunto R de todos los números reales no es contable.
1.4. CONJUNTOS NO CONTABLES (NO NUMERABLES) 19
Demostación.
Sabemos que (ejemplo 1):
R = (#",") ! (0, 1),
luego basta demostrar que (0, 1) no es contable.
Si (0, 1) = {x % R | 0 < x < 1} fuera contable se podŕıa escribir
(0, 1) = {s1, s2, s3, s4, . . . , sn, . . .}.
Desarrollando el número sn en el sistema decimal se tiene:
sn = 0.un1un2un3 · · ·unk · · · (0 + unk + 9).
Sea ahora
y = 0.v1v2v3 · · · vk · · ·
donde
vk =
'
1 si ukk .= 1,
2 si ukk = 1.
Entonces y es un número real entre 0 y 1, además
y .= sn para todo n = 1, 2, 3, . . .
o sea
y /% (0, 1) = {s1, s2, . . . , sn, . . .} (absurdo).
Ejercicio 29.
Sea S la colección de todas las sucesiones formadas por dos números 0 y 1
entonces S no es contable.
Sugerencia. S es equivalente al conjunto de todos los números entre 0 y 1,
expresados en el sistema binario.
Ejercicio 30.
Sea {Aj}j#N una familia de conjuntos finitos de dos o más elementos. El pro-
ducto cartesiano de los Aj (j = 1, 2, 3, . . .) no es contable.
Sugerencia. El producto cartesiano
$+
j=1
Aj contiene un subconjunto equivalente
a conjunto S del ejercicio 29.
20 1. NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO
Ejercicio 31.
Los conjuntos (0, 1) (0, 1], [0, 1] son equivalentes. Más generalmente, si A es
infinito y B es contable entonces A
&
B ! A.
Demostación.
Para mayor sencillez suponemos que A y B son disyuntos.
Sea
B = {b1, b2, b3, . . .}.
Sabemos que A tiene un subconjunto contable (ejercicio 14), digamos
C = {a1, a2, a3, . . .} , A.
Consideremos la aplicación f : A $ A
&
B definida por:
f es idéntica en A # C.
f(a2n) = an, f(a2n"1) = bn (n = 1, 2, 3, . . .).
Dejamos al lector la comprobación de que f es uno a uno y sobre. Hemos
supuesto que B es contablemente infinito, si B es finito el lector puede construir
fácilmente la correspondencia entre A y A
&
B.
Ejercicio 32.
Demostrar que:
(i) R ( N ! R
(ii) R ( R ! R
(iii) R ( R ( · · ·( R, -. /
n veces
! R
Demostación.
(i) Sabemos que
R ! (0, 1) ! [0, 1) (Ejemplo 1, Ejercicio 31)
N ! Z (Ejemplo 5),
por lo tanto:
R ( N ! [0, 1) ( Z.
1.4. CONJUNTOS NO CONTABLES (NO NUMERABLES) 21
Si x % R se tiene:
x = n + x%
donde
n = [x] = la parte entera de x,
x% = x # [x] = la parte fraccionaria de x.
La aplicación R $ [0, 1) ( Z definida por:
x = n + x% $ (x%, n)
es uno a uno y sobre. luego:
[0, 1) ( Z ! R,
por lo tanto:
R ( N ! R.
(ii) Sean x, y % (0, 1). Expresemos x, y en el sistema decimal:
x = 0.x1x2x3 · · · , y = 0.y1y2y3 · · ·
Basta considerar la siguiente aplicación g : (0, 1)((0, 1) $ (0, 1) definida
por
g : (x, y) $ 0.x1y1x2y2x3y3 · · ·
(iii) Similar a (ii).
Nota 2.
El ejercicio 32 puede expresarse aśı:
R2 ! R, R3 ! R, . . . , Rn ! R.
Ejemplo 7.
Sea S el conjunto de todas las funciones de valor real definidas en R. Demos-
tremos que S no es equivalente a R.
Demostación.
Supongamos que S ! R, entonces existiŕıa una aplicación uno a uno de R sobre
S, o sea que cada real x le corresponde una función, la cual notaremospor
fx(t) (nótese que t es la variable independiente de la función fx). Definimos
una nueva función de valor real b como sigue:
b(t) = 1 + ft(t) (t % R)
22 1. NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO
Entonces b es una función definida en R, luego b % S. Como la aplicación
R $ S:
x $ fx
es sobre, debeŕıa existir un b % R tal que b = fb, o sea:
b(t) = fb(t) para todo t % R.
Pero
b(b) = 1 + fb(b) .= fb(b) (absurdo)
Ejercicio 33.
Sea A el conjunto de todos los números reales entre 0 y 1, entonces A$ ! R.
Nota 3.
A$ es el conjunto de todas las sucesiones de números reales entre 0 y 1.
Sugerencia. Sea {x1, x2, x3, . . . , xn, . . .} una sucesión de números reales entre
0 y 1. Desarrollamos los elementos de la sucesión en el sistema decimal:
x1 = 0.x11x12x13 · · ·x1k · · ·
x2 = 0.x21x22x23 · · ·x2k · · ·
· · ·
xn = 0.xn1xn2xn3 · · ·xnk · · ·
· · ·
Recordemos la doble sucesión {xnk} en una sucesión simple (este procedi-
miento es posible ya que N ( N ! N): aśı podemos asignar un número real
(expresado en el sistema decimal) a la sucesión{x1, x2, x3, . . .}.
Ejercicio 34.
Sean A 1 B 1 C. Si A ! C entonces A ! B.
Demostación.
Supongamos que A .= B, B .= C, entonces C tiene que ser infinito
(Ejercicio 7).
Como A ! C, existe una aplicación f , uno a uno tal que f(A) = C.
Sea D =
$%
n=1
fn(A) donde:
f2(A) = {f(f(x)) | x % A}, f3(A) = {f(f(f(x))) | x % A}, etc.
1.4. CONJUNTOS NO CONTABLES (NO NUMERABLES) 23
Entonces:
$0
n=1
fn(B) =
$0
n=1
fn(A) = D.
ya que
A 1 B 1 f(A).
Tenemos:
A =
$(
n=1
{fn"1(A) # fn(A)}
(
D. (f0(A) = A)
B =
$(
n=1
{fn"1(B) # fn(B)}
(
D. (f0(B) = B).
Definimos la siguiente aplicación g : A $ B:
g(x) = x si x % fn"1(B) # fn(A)
g(x) = f(x) si x % fn"1(A) # fn(B)
g(x) = x si x % D
1
"2
"3
para todo n.
f n-1(B)-f n(A)
f n(A)-f n(B)
f n-1(A)-f n-1(B)
f n(B)
Figura 1.10.
Esta aplicación g es uno a uno y sobre B, como puede observarse en la figura
1.10, puesto que
A 1 B 1 f(A)
fn"1(A) 1 fn"1(B)fn(A) 1 fn(B).
24 1. NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO
fn"1(A) # fn(A) = {fn"1(A) # fn"1(B)}
(
{fn"1(B) # fn(A)}
| |
aplicación f aplicación
idéntica
2 2
fn"1(B) # fn(B) = {fn(A) # fn(B)}
(
{fn"1(B) # fn(A)}
Ejercicio 35.
Sea N$ el conjunto de todas las sucesiones de números reales. demostrar que
N$ ! R.
Sugerencia. Sea n un número natural, expresamos n en el sistema decimal:
n = n1 + (n2 ( 10) + (n3 ( 100) + · · ·
Hacemos corresponder a n el número:
0.n1n2n3 · · · ;
según esta correspondencia N es equivalente a un subconjunto de (0, 1) (más
precisamente, el subconjunto formado por números entre 0 y 1 cuyo desarrollo
decimal es finito).
Se puede entonces considerar que
N$ , (0, 1)$.
Por el ejercicio 29, N$ contiene un subconjunto equivalente a R, como
(0, 1)$ ! R (Ejercicio 33) se tiene que N$ ! R (Ejercicio 34).
Ejercicio 36.
Demostrar que R$ ! R, donde R$ es el conjunto de todas las sucesiones de
elementos reales.
Sugerencia. Como R ! (0, 1) (Ejemplo 1), se tiene R$ ! (0, 1)$ ! R
(Ejercicio 33).
Ejercicio 37.
Sea A un subconjunto numérico (e.d. A , R) con su interior no vaćıo, entonces
A ! R.
1.4. CONJUNTOS NO CONTABLES (NO NUMERABLES) 25
Sugerencia. A contiene un intervalo, digamos (a, b):
(a, b) , A , R.
Sabemos que (a, b) ! R, luego: A ! R.
Ejercicio 38.
Sea (!(t),"(t)), t % (a, b) una ecuación paramétrica de una curva. Demostrar
que el conjunto de todos los puntos de la curva (en R2) es equivalente a R.
Sugerencia. ! no es constante ó " no es constante.
Supongamos que ! no es constante, esto es,
m = mı́nimo de !(t) .= M = Máximo de !(t).
La curva contiene un subconjunto equivalente al intervalo [m,M ] ! R.
2
Conceptos básicos de
topoloǵıa en Rp
2.1. Extremo superior
Un conjunto S, no vaćıo, de números reales se dice superiormente acotado
si existe una constante M tal que todos los elementos de S sean menores, e
iguales, que M :
x % S implica x + M.
Tal constante M se llama una cota superior de S. Si un elemento del
conjunto S es cota superior de S, entonces se dice que este elemento es el
máximo de S.
Ejemplo 1.
(i) S =
)
#3, 1
2
, 4, 2
*
.
10 es una cota superior de S, también lo son 8, 5, 4, etc. Se ve que S posee
el número máximo, 4.
| | | |
-3
1
2
 2 4
(Máximo)
Figura 2.1.
26
2.1. EXTREMO SUPERIOR 27
(ii) S =
)1
2
,
2
3
,
3
4
, · · · , n
n + 1
, · · ·
*
1 es una cota superior de S ya que
n
n + 1
< 1 para todo n,
también lo son: 2, 8, 100, etc. Se observa que S no tiene el número máximo:
5
6
no es el máximo de S ya que
6
7
es mayor que
5
6
,
6
7
no es el máximo de S
ya que
7
8
es mayor que
6
7
, aśı en general,
n
n + 1
no es el máximo de S ya que
n + 1
n + 2
es mayor que
n
n + 1
.
A pesar de que el número 1, que es una cota superior de S, no pertenece al
conjunto, 1 está pegado al conjunto S, en otras palabras, no deja un hueco
vaćıo entre 1 y el conjunto S.
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
Figura 2.2.
(iii) S = {x | es racional , x2 < 2}
2 es una cota superior del conjunto S, puesto que si x > 2 entonces x2 > 4,
por tanto ningún número mayor que 2 pertenece a S. También, 3, 4, 5, 1.5,
etc., son cotas superiores de S.
Se puede demostrar que no hay máximo de S.
Demostación.
Sea x % S, basta mostrar que existe otro miembro de S mayor que x. Consi-
deremos un número racional de la forma:
x +
1
n
(n es número natural),
entonces
4
x +
1
n
52
= x2 +
2x
n
+
1
n
1
n
= x2 +
1
n
4
2x +
1
n
5
< x2 +
1
n
(2 ( 2 + 1) (x < 2, 1
n
+ 1)
= x2 +
5
n
.
28 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOLOǴIA EN RP
Para que x +
1
n
pertenezca a S, basta escoger n tal que x2 +
5
n
< 2, o sea
1
n
<
2 # x2
5
,
esto es
n >
5
2 # x2 . (2.1)
Como 2 > x2,
5
2 # x2 es un número positivo. Por el hecho de que existen
números naturales que sobrepasan a cualquier número real positivo, se ve que
existe n que cumple la desigualdad (2.1).
El número irracional
3
2 es una cota superior, pegada al conjunto S (Figura
2.1).
a 
S
0
2
Figura 2.3.
Un conjunto S superiormente acotado no siempre posee elemento máximo,
pero siempre existe una cota superior pegada al conjunto que juega un papel
similar al del máximo elemento de S, al cual se le llama extremo superior de
S y se denota por:
sup S, sup
x#S
x.
El extremo superior de S puede ser caracterizado con las siguientes dos con-
diciones:
Si a = sup S entonces
(i) x % S implica que x + a.
O sea que a es mayor (ó igual) que cualquier elemento de S, en otras palabras
a es una cota superior de S.
(ii) a esta pegado al conjunto S, en otras palabras, no deja un hueco vaćıo
entre a y S (Figura 2.4)
2.1. EXTREMO SUPERIOR 29
(ii) puede ser formalizada como sigue:
Dado # > 0, cualquiera, existe un elemento de S, x tal que: a # # < x.
Si no existe x(% S) entre a# # y a, a estaŕıa separado de S por un espacio #.
(a está pegado al conjunto S )
a (= sup S )
S
( a es una cota de S , pero hay un hueco
 entre a' y S, razón por la cual a' no es 
 igual a sup S )
a'
S
Figura 2.4.
a 
S
{
!
x
a- ! 
Figura 2.5.
Nota 4.
la existencia de sup S para cualquier conjunto superiormente acotado es la
propiedad fundamental de los números reales. La construcción de los núme-
ros reales nos permite demostrar tal existencia (ver Apéndice), sin embargo,
en los estudios de análisis matemático es conveniente comenzar aceptando esta
propiedad sin demostración.
30 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOLOǴIA EN RP
Nota 5.
Si el conjunto S tiene máximo, digamos a, entonces a cumple las dos condi-
ciones (i) y (ii) ya que a es una cota superior de S y además:
a # # < a, a % S (para todo # > 0).
Ejercicio 1.
SI M es una cota superior de S entonces
sup S + M.
Solución.
Supongamos que M < sup S, entonces por la segunda propiedad del extremo
superior, existe x % S tal que M < x, esto es imposible ya que M es una cota
superior de S.
De este ejercicio resulta que:
sup S es la mı́nima cota superior de S.Ejercicio 2.
El extremo superior de un conjunto es único.
Solución.
Si a = sup S, a% = sup S, del ejercicio 1 se tiene
a + a%
ya que a% es una cota superior de S. Por la misma razón tenemos:
a% + a
luego
a% = a.
Ejercicio 3.
Si a = sup S entonces
2a = sup {2x | x % S}.
Solución.
Hay que comprobar que 2a satisface las dos condiciones para el conjunto
{2x | x % S}.
2.1. EXTREMO SUPERIOR 31
(i) Si x % S entonces x + a, luego:
2x + 2a para todo x % S.
(ii) Dado # > 0 existe x % S tal que
a # #
2
< x.
Por lo tanto:
2a # # < 2x.
a 
S
!/2
x
a- !/2 
{
Figura 2.6.
Nota 6.
Si se nota
2S = {2x | x % S}
entonces
2a = sup 2S.
Ejercicio 4.
Sean A, B dos conjuntos superiormente acotados, si
a = sup A, b = sup B
entonces
a + b = sup {x + y | x % A, y % B}.
Nota 7.
Notaremos
A + B = {x + y | x % A, y % B}
entonces:
(sup A) + (sup B) = sup (A + B).
32 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOLOǴIA EN RP
La demostración la dejamos al lector.
Ejercicio 5.
Demostrar:
(i) Si S = (a, b), sup S = b.
(ii) Si S = {x | x = racional, x2 < 2}, sup S =
3
2.
(iii) Si S = { 1
2
,
2
3
,
3
4
, . . . ,
n
n + 1
, . . .}, sup S = 1.
(iv) Si S = {#1,#2, 3, 5, 0}, sup S = 5.
Demostración.
i y iv Dejamos al lector.
(II) Si x es un número racional y x2 < 2 entonces
x <
3
2,
o sea que
3
2 es una cota superior de S.
Dado # > 0, en el intervalo (
3
2# #,
3
2) existe por lo menos un número
racional, digamos r tal que
3
2 # # < r <
3
2 (r > 0),
luego:
r2 < 2,
o sea que r % S.
Nota 8.
Cualquier intervalo contiene por lo menos un número racional esta pro-
piedad se enuncia diciendo que el conjunto de todos los números racio-
nales es denso en toda parte.
(III) Evidentemente:
n
n + 1
< 1 para todo n.
Dado # > 0 existe un número natural n tal que
1
n
< #
2.1. EXTREMO SUPERIOR 33
luego
1 # n
n + 1
=
1
n + 1
<
1
n
< #
o sea
1 # # < n
n + 1
.
Ejercicio 6.
Sea S un conjunto superiormente acotado. Si S no tiene máximo, existe una
sucesión estrictamente creciente de elementos de S que tiende a sup S.
Solución.
Sea a = sup S.
Por la segunda propiedad del extremo superior, existe un elemento de S, di-
gamos x1 tal que
a # 1 < x1 (considerando # = 1).
Como x1 < a, existe un elemento x2 % S tal que
x1 < x2, y, a #
1
2
< x2 [considerando # = mı́n {
1
2
, a # x1}]
aśı sucesivamente obtenemos los elementos x1, x2, x3, . . . % S tales que
x1 < x2 < x3 < · · · < xn < xn+1 < · · · , con
0 < a # 1
n
< xn, ó, 0 < a # xn <
1
n
.
Como ĺım
n&$
1
n
= 0, por el método del emparedado se tiene que
ĺım
n&$
(a # xn) = 0 (ó ĺım
n&$
xn = a).
Nota 9.
Si a es el extremo superior de un conjunto S entonces existe una sucesión de
números de S que tiende a a. En realidad, si a .= máximo de S, el ejercicio
6 garantiza la existencia de una sucesión de términos distintos (estrictamen-
te creciente). si a = máximo de S, entonces a % S y la sucesión constante
{a, a, a, . . . , a, . . .} tiende a a.
El extremo superior es un número pegado al conjunto (la segunda condición)
en el sentido de que es un ĺımite de la sucesión de elementos del conjunto.
34 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOLOǴIA EN RP
a 
S
1/3
x
a- 1/2 
a- 1/4 
a- 1/3 
a- 1 
x
3 4
x
2
x
1
1/2
{{{
1
a = sup S 
Figura 2.7.
Un conjunto S, no-vaćıo, se dice inferiormente acotado si existe una cons-
tante M % que sea menor, o igual, que todos los elementos del conjunto:
x % S implica M % + x.
La constante M % es una cota inferior de S.
Decimos que un conjunto es acotado cuando es superior e inferiormente aco-
tado.
Si S es inferiormente acotado existe (Ejercicio 10) un número b caracterizado
como sigue:
(i) b es una cota inferior de S, o sea que
x % S implica b + x.
(ii) El número b está pegado al conjunto S, esto es: dado # > 0 existe un
x % S tal que
x < b + #.
El número b que satisfaga las dos condiciones anteriores se le llama el extremo
inferior de S y se nota:
b = ı́nf S, ó, b = ı́nf
x#S
x.
Ejercicio 7.
El extremo inferior de un conjunto es único.
2.1. EXTREMO SUPERIOR 35
M' 
S
b=inf S 
x
{
 la cota
inferior 
b+ ! 
! 
Figura 2.8.
Ejercicio 8.
Si un elemento del conjunto S es cota inferior de S, entonces se dice que este
elemento es el mı́nimo de S.
Si un conjunto S posee elemento mı́nimo, demostrar que el extremo inferior
es igual al elemento mı́nimo.
Ejercicio 9.
Demostrar:
(i) A = { 1
n
}, ı́nf A = 0.
(ii) A = {1, 1
2
,
2
3
,
3
4
, . . . ,
n
n + 1
, . . .}, ı́nf A = 1
2
(iii) A = {x | x = racional, x2 + 2} ı́nf A = #
3
2
Ejercicio 10.
Demostrar:
ı́nf A = # sup {#x | x % A},
sup A = # ı́nf {#x | x % A}.
Solución.
Sea a = sup {#x | x % A} entonces
i) a * #x para todo x % A.
ii) Dado # > 0 existe x % A tal que a # # < #x
36 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOLOǴIA EN RP
De I) se tiene para todo x % A:
#a + x (#a es una cota inferior de A).
De II) dado # > 0 existe x % A tal que
#a + # > x.
Por lo tanto #a es el extremo inferior del conjunto A.
En la figura 2.9 se observa que sup S e ı́nf S se convierten en ı́nf S y
sup S respectivamente si se invierte la orientación de la recta numérica. Para
cambiar la orientación de la recta numérica basta agregar el signo # a todos
los números, aśı se obtiene el resultado del ejercicio 10.
 
S
inf
 S 
 se
nt
id
o p
os
iti
vo
 +
(d
ire
cc
ió
n d
er
ec
ha
)
 
 
 p
ar
a e
l 
sup
 S 
 
0
sup
 S 
 
inf
 S 
 se
nti
do
 po
sit
ivo
 +
(d
ire
cc
ión
 de
rec
ha
)
 
 
 
par
a e
lla
Figura 2.9.
Ejercicio 11.
Demostrar que si A es acotado
sup {x # y | x, y % A} = sup A # ı́nf A.
Solución.
Sean a = sup A, b = ı́nf A entonces b + x + a (para todo x % A), b + y + a
(para todo y % A), luego:
x # y + a # b, para todo x, y % A. (2.2)
2.1. EXTREMO SUPERIOR 37
A
b=inf A 
y
{
b+ ! 
xy
0
{ {
!/2
x - y
!/2
a =sup A 
x0
a - b
Figura 2.10.
Dado # > 0 existe un x0 % A, y0 % A tales que
a # #
2
< x0, y0 < b +
#
2
,
sumando las dos desigualdades:
y0 + a #
#
2
< x0 + b +
#
2
ó
(a # b) # # < x0 # y0. (2.3)
De (2.2) y (2.3) concluimos que a # b es el extremo superior del conjunto:
{x # y | x, y % A}.
Ejercicio 12.
Si M % es una cota inferior del conjunto S, demostrar que
M % + ı́nf S.
Sugerencia. Similar al ejercicio 1.
Nota 10.
Del ejercicio anterior podemos decir que ı́nf S es la máxima
cota inferior de S.
Ejercicio 13.
Si A , B se tiene:
ı́nf B + ı́nf A + sup A + sup B.
38 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOLOǴIA EN RP
A
inf B sup B 
B
inf A sup A 
Figura 2.11.
Ejercicio 14.
Si ı́nf A = sup B ¿qué puede decir del conjunto A?
Ejercicio 15.
Sea S un conjunto de números positivos, si ı́nf S > 0 demostrar que:
sup { 1
x
| x % S} = 1
b
(b = ı́nf S > 0).
Solución.
(i) Si x % S se tiene que x * b, luego:
1
x
+ 1
b
.
(ii) Dado # > 0 existe x % S tal que
x < b + #b2 (considerando #b2 en lugar de #).
aśı,
1
b
# 1
x
=
x # b
xb
<
#b2
xb
= #
b
x
+ #.
Ejercicio 16.
(i) Sea A el conjunto de todos los números reales positivos, demostrar que:
ı́nf A = 0.
(ii) Si a es un número no negativo menor que cualquier número positivo,
demostrar que a = 0.
2.2. SUCESIONES NUMÉRICAS 39
Sugerencia. (ii) a es una cota inferior del conjunto A en (i), luego
0 + a + ı́nf A = 0, esto es, a = 0.
Se usa frecuentemente el método del absurdo para demostrar a = 0 como
sigue:
Si a fuera distinto de cero, entonces a > 0, por hipótesis a es menor que a:
a < a (absurdo!).
Nota 11.
En forma similar a (ii) tenemos:
Si a es un número no negativo menor que cualquier número racional positivo
entonces a = 0.
Si a es no negativo tal que
a <
1
n
para todo n natural,
entonces a = 0.
Nota 12.
Si un conjunto S .= ) no es acotado superiormente se acostumbra escribir:
sup S = +",
si S .= ) no es acotado inferiormente se nota:
ı́nf S = #".
2.2. Sucesiones numéricas
En este parágrafo no se busca profundizar los conceptos ni perfeccionar los
manejos de las sucesiones numéricas, si no que se tratasólo de recordar algunas
propiedades fundamentales de las sucesiones que aparecerán repetidamente en
los estudios siguientes. Todas ellas han sido estudiadas en los cursos de Cálculo
Elemental.
40 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOLOǴIA EN RP
Repaso.
[1] Una sucesión numérica {an} converge al ĺımite L si para cualquier # > 0,
dado, existe un N0 tal que
|an # L| < # para todo n > N0,
esto es, la distancia entre an y L puede ser tan pequeña como uno quiera
haciendo n lo suficientemente grande.
a4
a2
a3a1
{
!
an
Figura 2.12.
[2] Una sucesión {an} es creciente si
a1 + a2 + a3 + · · · + an + an+1 + · · · ,
decreciente si
a1 * a2 * a3 * · · · * an * an+1 * · · ·
[3] {an} es superiormente acotada si existe una constante M (una cota) tal
que
an + M para todo n.
[4] ĺım
n&$
1
n
= 0.
Demostación.
Dado # > 0 existe un número natural N tal que
1
N
< #.
Si n > N se tiene:
0 <
1
n
<
1
N
< #,
esto es:
| 1
n
# 0| = | 1
n
| < # para todo n > N.
2.2. SUCESIONES NUMÉRICAS 41
Nótese que este resultado viene directamente de la existencia de un número
natural N tal que
1
N
< #, esto equivale a:
N >
1
#
.
Esta es una de las propiedades conocidas de los números naturales que
puede enunciarse de la siguiente forma:
Dado cualquier número, existe números naturales que lo sobrepasan.
[5] El ĺımite de una sucesión es único. Demostación.
Supongamos ĺım
n&$
an = L, ĺım
n&$
an = M .
Dado # > 0 cualquiera, existe N1 tal que
|an # L| < # para todo n > N1.
También existe N2 tal que
|an # M | < # para todo n > N2.
Si N = máximo{N1, N2} se tiene:
|an # M | < #, |an # L| < # para todo n > N.
Tenemos entonces:
|L # M | = |L # an + an # M | para n > N
+ |L # an| + |an # M | (desigualdad del triángulo)
< # + # = 2#.
Como # es cualquiera, 2# también lo es, el número no negativo menor que
cualquier número positivo debe ser cero (ejercicio 16 §1):
|L # M | = 0,
esto es
L = M.
Observación 1. Se usa también el método del absurdo para demostrar
L = M . Supongamos que L .= M , se toma # = 1
2
|L # M | > 0 entonces:
|L # M | < 2# = |L # M | absurdo!
42 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOLOǴIA EN RP
Como una aplicación del concepto de extremo superior, es fácil demostrar
que:
[6] Una sucesión creciente, superiormente acotada, converge a un ĺımite.
Demostación.
Sea {a1, a2, a3, . . .} una sucesión creciente, superiormente acotada. Si S es
el conjunto formado por todos los elementos de la sucesión, entonces S es
un conjunto acotado, luego existe el extremo superior de S, digamos
L = sup S = sup {ak | k % N}.
Dado # > 0, existe aN % S tal que
L # # < aN + L.
Como la sucesión es creciente, se tiene para todo n > N :
L # # < aN + an + L,
o sea
|an # L| < # para todo n > N,
esto es:
ĺım
n&$
an = L.
Obsérvese que la notación {an} representa una sucesión cuyo n-ésimo ele-
mento es an, pero a veces la misma notación representa el conjunto formado
por todos los elementos de la sucesión, a1, a2, a3, . . . , an, . . .
Por ejemplo:
{(#1)n} = {1,#1, 1,#1, . . . ,(#1)n"1, . . .} (SUCESIÓN).
4
n # ésimo elemento
El conjunto formado por (#1)n"1, n = 1, 2, 3, . . . es:
{(#1)n"1} = {#1, 1}.
Ejercicio 17.
Demostrar que una sucesión decreciente inferiormente acotada converge a
un ĺımite.
Similar al resultado anterior.
2.2. SUCESIONES NUMÉRICAS 43
Ejercicio 18.
Sea {an} una sucesión creciente, superiormente acotada. Si
sup {an} = Máximo {an}
6
7
{an} es el conjunto
formado por todos los
elementos de la sucesión.
8
9
entonces existe N tal que
an = ĺım
k&$
ak para todo n > N.
Solución.
Sea aN el máximo elemento del conjunto {an}, entonces
ak + aN para todo k,
luego
sup {an} = ĺım
k&$
{ak} + aN .
Pero, como la sucesión es creciente se tiene:
sup {ak} = ĺım
k&$
{ak} + aN + an para todo n > N.
Por la definición del extremo superior:
an + sup {ak} para todo n,
esto es,
an = sup {ak} = ĺım
k&$
ak para todo n > N.
L
(para todo n >N )a4a2 a3
a1 a
N = an
Figura 2.13.
Es evidente que si el conjunto formado por todos los elementos de la suce-
sión creciente {an} tiene elemento máximo aN , entonces es igual a
{a1, a2, a3, . . . , aN }
que es un conjunto finito.
44 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOLOǴIA EN RP
[7] Sean ĺım
n&$
an = A, ĺım
n&$
bn = B entonces
(i) ĺım
n&$
(an + bn) = A + B.
(ii) ĺım
n&$
anbn = A · B.
(iii) ĺım
n&$
an
bn
=
A
B
(si B .= 0).
(iv) Si an + bn para todo n entonces A + B.
(v) Si ĺım
n&$
|an| = +" entonces ĺım
n&$
1
an
= 0.
Estas propiedades están en cualquier libro de cálculo, es aconsejable que
los lectores reconstruyan las demostraciones sin consultar los libros.
Ejercicio 19.
Sea {an} una sucesión tal que
an+1 =
3
1 + an (n = 1, 2, 3, . . .), a1 = 1
demostrar que la sucesión converge a
1 +
3
5
2
.
Solución.
a2 =
3
1 + 1 =
3
2 > 1 = a1.
Supongamos que
an > an+1 > 0,
entonces
1 + an > 1 + an"1 > 0,
an+1 =
3
1 + an >
:
1 + an"1 = an.
Por inducción se tiene que an > an"1 para todo n, o sea que la sucesión es
creciente.
Ahora, supongamos que an < 2.
Entonces
an+1 =
3
1 + an <
3
1 + 2 =
3
3 < 2.
Por inducción se tiene que 2 es una cota superior de la sucesión.
Por lo tanto, la sucesión converge, sea
L = ĺım
n&$
an,
2.2. SUCESIONES NUMÉRICAS 45
entonces se tiene:
L = ĺım
n&$
an+1 = ĺım
n&$
3
1 + an =
3
1 + L,
o sea
L2 = 1 + L,
L2 # L # 1 = 0.
Luego:
L =
1 +
3
5
2
, ó,
1 #
3
5
2
.
Como a>0 para todo n, L = ĺım
n&$
an * 0, esto es:
L =
1 +
3
5
2
.
Ejercicio 20.
Sea {an} una sucesión tal que
an+1 =
3
2 + an, a1 * 0,
demostrar:
(i) {an} es decreciente si a1 > 2.
(ii) ĺım
n&$
an = 2 para cualquier valor de a1 * 0.
Sugerencia. Demostrar que {an} es creciente si a2 > a1, y que {an} es
decreciente si a2 < a1.
Si a2 > a1 se tiene:
3
2 + a1 > a1 ó
a1 + 2 > (a1)2,
(a1)2 # a1 # 2 = (a1 # 2)(a1 + 1) < 0.
Como a1 + 1 > 0, entonces a1 # 2 < 0.
Ejercicio 21.
Sea {an} tal que
a1 =
1
2
, an+1 =
3
1 # an,
demostrar:
(i) {a2, a4, a6, . . .} es una sucesión monótona, acotada.
46 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOLOǴIA EN RP
(ii) {a1, a3, a5, . . .} es una sucesión monótona, acotada.
(iii) ĺım
n&$
a2n = ĺım
n&$
a2n"1.
Sugerencia. (iii) se demuestra por inducción que
a1 < an < a2 (para todo n * 3).
El ĺımite de {a2n} ó {a2n"1} satisface la ecuación:
L =
;
1 #
3
1 # L,
esto es:
L(L # 1)(L2 + L # 1) = 0,
o sea
L = 0, 1,
#1 +
3
5
2
,
#1 #
3
5
2
.
Como L debe estar entre a1 = 0.5 y a2 = 0.7 · · · , entonces
L =,
#1 +
3
5
2
.
[8] Los siguientes ĺımites son de uso muy frecuente.
(a) ĺım
n&$
1
an
= 0 (a > 1).
(b) ĺım
n&$
an =
!
"#
"$
0 si 0 < a < 1
1 si a = 1
+" si a > 1.
(c) ĺım
n&$
nan = 0 si 0 < a < 1.
(d) ĺım
n&$
nban = 0 si 0 < a < 1, b > 0.
(e) ĺım
n&$
n
3
n = 1.
Solución.
Estos ĺımites están en cualquier libro, razón por la cual daremos un bos-
quejo de la demostración, es aconsejable que los lectores completen las
demostraciones.
(a) Dado $ escoja N tal que
N >
< 1
$
=1/a
ver [ 4 ].
2.2. SUCESIONES NUMÉRICAS 47
(b) Si a > 1 entonces
a = 1 + b donde b = a # 1 > 0,
luego:
an = (1 + b)n = 1 + nb +
n(n # 1)
2
b2 + · · · > 1 + nb.
Por lo tanto:
ĺım
n&$
an = +" si a > 1.
Si a < 1 entonces
1
a
> 1, luego:
ĺım
n&$
an = ĺım
n&$
1
> 1
a
?n = 0.
(c) Sea
1
a
= 1 + b (b > 0), entonces
n an =
n
> 1
a
?n =
n
(1 + b)n
=
n
1 + nb +
n(n # 1)
2
b2 + · · ·
<
n
1 + nb +
n(n # 1)
2
b2
$ 0 (n $ ")
(d) Sea
1
a
= 1 + b. Si k es un número natural fijo mayor que b se tiene:
(1 + b)n = 1 + nb + · · · + n(n # 1) · · · (n # k + 1)
k!
bk+
n(n # 1) · · · (n # k)
(k + 1)!
bk+1 + · · ·
>
n(n # 1) · · · (n # k)
(k + 1)!
bk+1
luego:
nban =
nb
(1 + b)n
<
nk
n(n # 1) · · · (n # k)
(k + 1)!
bk+1
=
nk(k + 1)!
n(n # 1) · · · (n # k)bk+1
=
(k + 1)!
n
>
1 # 1
n
?>
1 # 2
n
?
· · ·
>
1 # k
n
?
bk+1
$ 0 (n $ "). (k fijo)
48 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOLOǴIA EN RP
(e) Sea n
3
n # 1 = an, entonces an > 0, luego;
n = (1+ an)n = 1 + nan +
n(n # 1)
2
(an)2 + · · · >
n(n # 1)
2
(an)2.
Esto es:
(an)2 <
2n
n(n # 1) $ 0 (n $ ").
[9] A partir de una sucesión {an} podemos formar una nueva sucesión cam-
biando solamente el orden de los elementos, esta nueva sucesión se llama
una reordenación de {an}, por ejemplo,
si {an} =
)
1,
1
2
,
1
3
, . . . ,
1
n
, . . .
*
las siguientes sucesiones son reordenaciones de {an}:
(i)
) 1
2
, 1,
1
4
,
1
3
, . . . ,
1
2n
,
1
2n # 1 , . . .
*
,
(ii)
)
1,
1
3
,
1
2
,
1
5
,
1
4
,
1
7
,
1
6
,
1
9
,
1
8
, . . .
*
Si {an} =
)
1,
1
2
, 1,
1
3
, 1,
1
4
, 1,
1
5
, . . . , 1,
1
n
, . . .
*
entonces la su-
cesión:
(iii)
)
1,
1
2
, 1, 1,
1
3
, 1, 1, 1,
1
4
, 1, 1, 1, 1,
1
5
, . . .
*
es una reordenación de
{an}.
Más precisamente se puede redefinir una reordenación de {an} como sigue:
Sea f una aplicación uno a uno de N sobre N:
f :N #$ N
n #$ f(n)
entonces la sucesión {bn} donde bn = af (n) es una reordenación de {an} ya
que la sucesión {bn} está formada por los mismos elementos de {an} (si un
número aparece repetidamente 5 veces en {an} también en {bn} aparece 5
veces). En el ejemplo (I) f es:
f(1) = 2, f(2) = 1, . . . , f(2n # 1) = 2n, f(2n) = 2n # 1, . . .
En (III):
f(1) = 1 f(5) = 4 f(9) = 6
f(2) = 2 f(6) = 7 · · ·
f(3) = 3 f(7) = 9 · · ·
f(4) = 5 f(8) = 11 etc.
2.2. SUCESIONES NUMÉRICAS 49
Tenemos el siguiente resultado:
Si {an} converge a L cualquier reordenación de {an} también
converge a L.
Demostación.
Sea {bn} = {af(n)} una reordenación de {an}.
Como an $ L, dado $ > 0 existe N0 tal que
|an # L| < $ para todo n > N0.
Sea M = máximo
@
f"1(1), f"1(2), f"1(3), . . . , f"1(N0)
A
entonces
{1, 2, 3, . . . , M} 1
@
f"1(1), f"1(2), . . . , f"1(N0)
A
o sea @
f(1), f(2), f(3), . . . , f(M)
A
1 {1, 2, . . . , N0}
Si n > M se tiene entonces que
f(n) > N0,
luego:
|bn # L| = |af(n) # L| < $.
Ejercicio 22.
Si {an} diverge, cualquier reordenación de {an} también diverge.
Sugerencia. Si {bn} es una reordenación de {an}, entonces {an} es una
reordenación de {bn}. Si {bn} fuera convergente, {an} seŕıa convergente.
Ejercicio 23.
Sea {an} =
) 1
n
*
, hallar el n-ésimo término de la siguiente reordenación:
{bn} =
)
1,
1
3
,
1
2
,
1
5
,
1
7
,
1
4
,
1
9
,
1
11
,
1
6
,
1
13
, . . .
*
.
Dado $ > 0, buscar N tal que
|bn| < $ para todo n > N.
50 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOLOǴIA EN RP
Sugerencia.
b3k"2 =
1
4k # 3 , b3k"1 =
1
4k # 1 , b3k =
1
2k
.
Nótese que la aplicación f :
f(3k # 2) = 4k # 3, f(3k # 1) = 4k # 1, f(3k) = 2k
es uno a uno, de N sobre N.
Escoja N como
N >
3
2
1
$
+ 1.
[10] Sea S un conjunto acotado e infinito de números reales, entonces con los
elementos distintos de S se puede construir una sucesión estrictamente
creciente ó estrictamente decreciente (de elementos distintos).
(En ambos casos la sucesión es convergente).
Nota 13.
Decimos que una sucesión es acotada cuando es superior e inferiormente
acotada.
Demostación.
Sea b1 = sup S, si b1 /% S (ó b1 .=Máximo de S).
Sabemos que, en este caso, existe una sucesión estrictamente creciente de
elementos de S que tiende a b1, por lo tanto el problema ya está resuelto.
Supongamos entonces que b1 % S.
Sea b2 = sup [S # {b1}], si b2 /% [S # {b1}] sabemos que existe una suce-
sión estrictamente creciente de puntos de S que tiende a b2, por lo tanto
el problema ya está resuelto. Supongamos entonces que b2 % [S # {b1}],
evidentemente b2 < b1.
Sea b3 = sup [S#{b1, b2}], si b3 /% [S#{b1, b2}] el problema ya está resuelto,
luego supongamos que b3 % S # {b1, b2}, evidentemente, b3 < b2. Aśı su-
cesivamente. Si este procedimiento termina en algún momento, existe una
sucesión estrictamente creciente. Si este procedimiento sigue sin terminar
se obtiene una sucesión estrictamente decreciente:
{b1, b2, b3, . . .}.
2.2. SUCESIONES NUMÉRICAS 51
Ejemplo 1.
S =
)
(#1)n
4
1 # 1
n
5*
= {0, 1
2
,# 2
3
,
3
4
,# 4
5
, . . .}.
b1 = sup S = 1 /% S.
La sucesión de puntos de S :
) 1
2
,
3
4
,
5
6
, . . .
*
es estrictamente creciente
y tiende a 1 = sup S.
Ejemplo 2.
S =
)
(#1)n + 1
n
*
=
)
0,
3
2
,# 2
3
,
5
4
,# 4
5
, . . .
*
b1 = sup S =
3
2
% S,
b2 = sup
<
S #
) 3
2
*=
=
5
4
% S,
b3 = sup
<
S #
) 3
2
,
5
4
*=
=
7
6
% S,
Aśı, la sucesión {bn} =
) 3
2
,
5
4
,
7
6
. . .
*
es estrictamente decreciente.
Ejemplo 3.
Sea Q el conjunto de todos los números racionales en [0, 1].
b1 = sup Q = 1 % Q
b2 = sup (Q # {1}) = 1 /% Q # {1},
luego existe una sucesión creciente de puntos de Q # {1} que tiende a 1,
por ejemplo: ) 1
2
,
2
3
,
3
4
, . . . ,
n
n + 1
, . . .
*
$ 1.
[11] Sub-sucesión
De una sucesión {an}, extrayendo un número infinito de términos sin alte-
rar el orden, se puede formar una sucesión, a la cual se llama sub-sucesión
de {an}. Más precisamente, sea
{n1, n2, n3, . . . , nk, . . .}
una sucesión estrictamente creciente de los números naturales entonces:
{an1 , an2 , an3 , . . . , ank , . . .}
es una subsucesión de {an}.
52 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOLOǴIA EN RP
Ejemplo 4.
(i)
) 1
2
,
1
4
,
1
6
, . . . ,
1
2n
, . . .
*
es un subsucesión de
)
1,
1
2
,
1
3
,
1
4
, . . .
*
,
obtenida por todos los elementos pares de la sucesión original.
(ii) Dada {(#1)n"1} = {1,#1, 1,#1, 1,#1, . . .}, las siguientes sucesiones
son subsucesiones:
{1} = {1, 1, 1, 1, . . . , 1, . . .},
{#1} = {#1,#1,#1,#1, . . . ,#1, . . .},
{#1,#1, 1, 1,#1,#1, 1, 1, . . .},
{#1,#1,#1, 1, 1, 1, 1, . . . , 1, 1, 1, . . .}.
Por la definición de ĺımite de una sucesión, el siguiente resultado es
evidente:
Si {an} converge a L entonces cualquier subsucesión de {an} conver-
ge también a L.
Demostación.
Si an $ L, dado $ > 0 existe N tal que
|ak # L| < $ para todo k > N.
Sea {ank} es una subsucesión, se tiene evidentemente que
nk * k (Nota: n1 < n2 < n3 < · · · < nk).
Luego:
|ank # L| < $ para todo k > N.
Ejemplo.
Si {an} converge a L, entonces
{aN+k} = {aN+1, aN+2, aN+3, . . .}
también converge a L ya que esta última es una subsucesión de la sucesión
dada. Este hecho puede enunciarse como:
La convergencia , o divergencia, de una sucesión no se altera por la supre-
sión, o anexión de un número finito de términos.
Ejercicio 24.
Demostrar que
)
(#1)n + 1
n
*
diverge.
2.2. SUCESIONES NUMÉRICAS 53
Solución.
Si la sucesión fuera convergente, todas sus subsucesiones tendŕıan el mismo
ĺımite. Observamos que una subsucesión formada por elementos pares y
otra subsucesión formada por elementos impares:
)
(#1)2k + 1
2k
*
=
)
1 +
1
2k
*
$ 1,
)
(#1)2k"1 + 1
2k # 1
*
=
)
1 +
1
2k # 1
*
$ #1.
Como 1 .= #1, la sucesión dada debe ser divergente.
Ejercicio 25.
Sea {an} una sucesión acotada, demostrar que existe por lo menos una
subsucesión convergente.
Solución.
Sea S = {an | n % N}. {El conjunto formado por todos los elementos de la
sucesión }
(i) Si S es finito, la sucesión {an} debe aparecer algún número infinitas
veces repetido, digamos:
ak(1) = ak(2) = · · · = ak(j) = · · ·
(k(1) < k(2) < · · · < k(j) < · · · ),
la sucesión constante {ak(1), ak(2), . . . , ak(j)} es una subsucesión de la
sucesión original, y es convergente ya que es una sucesión constante.
(ii) Si S es infinito, por la propiedad [10] podemos construir una sucesión
convergente con los elementos distintos del conjunto S, cambiando el
orden de ésta (adecuadamente) se obtiene una subsucesión conver-
gente de la sucesión original.
Ejercicio 26.
Sea {an} = {(#1)n +
1
n
}, si una subsucesión es convergente su limite es
igual a 1, ó #1.
Solución.
Sea {ank} una subsucesión convergente, entonces el conjunto de
los sub́ındices:
I = {n1, n2, n3, . . . , nk, . . .}
54 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOLOǴIA EN RP
contiene un número infinito de números pares, ó un número infinitos de
números impares. Si I contiene un número infinito de números pares, en-
tonces {ank} contiene un número infinito de términos pares de lasucesión
original que forman una subsucesión de {ank} cuyos ĺımite es 1, como {ank}
converge su ĺımite es también 1.
De la misma manera, si I contiene un número infinito de números impares
entonces se tiene que el ĺımite de {ank} es #1.
Si el conjunto I tiene un número infinito de números pares, entonces a lo
más un número finito de números impares pertenece a I.
[12] En el ejercicio 25 hemos visto que una sucesión acotada siempre posee, por
lo menos, una subsucesión convergente, o sea que el conjunto de todos los
ĺımites de subsucesiones convergentes no es vaćıo. En el caso del ejercicio
26 este conjunto es igual a {#1, 1} y tiene máximo 1 y mı́nimo #1. Más
generalmente, se tiene la siguiente propiedad:
Dada una sucesión acotada, existe por lo menos una subsucesión conver-
gente, y el conjunto de todos los ĺımites de subsucesiones convergentes
siempre tiene máximo y mı́nimo.
Demostación.
Sea S = {an | n % N} el conjunto formado por todos los elementos de la
sucesión.
Sea b1 = sup S si b1 /% S sabemos que existe una sucesión estrictamente
creciente de puntos de S (o sea, una subsucesión de {an} por alguna orde-
nación) que tiende a b1, aśı que b1 es el máximo del conjunto de todos los
ĺımites de subsucesiones convergentes.
En caso b1 % S, b1 puede ser ĺımite de alguna subsucesión convergente
(por ejemplo, si el número b1 repetido infinitas veces en la sucesión origi-
nal, entonces la sucesión constante {b1, b1, b1, . . .} es una subsucesión que
converge a b1).
Si b1 no es el ĺımite de subsucesión convergente, sea
b2 = sup [S # {b1}].
Si b2 es el ĺımite de alguna subsucesión convergente, evidentemente el
número b2 es el máximo buscado. Si b2 no es el ĺımite de subsucesión
convergente,
b3 = sup [S # {b1, b2}],
aśı sucesivamente. Si este procedimiento termina en bn, esto significa que
bn es el ĺımite de alguna subsucesión convergente, es evidente que bn es el
máximo buscado. Si sigue sin terminar, entonces la sucesión
2.2. SUCESIONES NUMÉRICAS 55
{b1, b2, b3, . . .}
es decreciente y acotada, luego converge. El ĺımite de {bn} es el máximo
deseado. (Nótese que alguna reordenación de {bn} es una subsucesión de
la sucesión original).
Ejemplo.
{an} = { sen
n%
2
} = {1, 0,#1, 0, 1, 0,#1, 0, . . .}
1 es el máximo ĺımite de todas las subsucesiones convergentes, y #1 es el
mı́nimo de todos los ĺımites de subsucesiones convergentes.
Dada una sucesión acotada {an}, el máximo de todos los ĺımites de sub-
sucesiones convergentes se llama ĺımite superior de {an}, y se nota por:
lim
n&$
an,
y el mı́nimo de todos los ĺımites de subsucesiones convergentes se llama
ĺımite inferior de {an}, y se nota:
lim
n&$
an.
Si {an} no es acotada superiormente, se acostumbra notar:
lim
n&$
an = +",
si {an} no es acotada inferiormente, se acostumbra a notar:
lim
n&$
an = #".
Ejercicio 27.
Sea {an} una sucesión no acotada superiormente, demostrar que existe una
subsucesión que diverge a +".
Solución.
La sucesión {an} posee términos mayores que 1, sea an1 uno de los términos
mayores que 1. Hay elementos an, n > n1, mayores que 2, sea an2 uno de
estos. Sea an3 un elemento tal que:
n3 > n2, an3 > 3,
aśı sucesivamente. La subsucesión ank diverge a +".
56 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOLOǴIA EN RP
Ejercicio 28.
Sea {an} una sucesión no acotada inferiormente, demostrar que existe una
subsucesión que diverge a #".
Ejercicio 29.
Sea {an} una sucesión tal que M1 + an + M2, para todo n = 1, 2, 3, . . .
donde M1, M2 son constantes. Demostrar:
M1 + lim
n&$
an + lim
n&$
an + M2.
[13] Dada una sucesión acotada {an}, sea L = lim an, entonces L cumple las
siguientes condiciones:
(i) Dado $ > 0 cualquiera, a lo más un número finito de términos de
{an} son mayores que L + $.
(ii) Hay un número infinito de términos mayores que L # $.
Demostación.
(II) Para que L sea un ĺımite de una subsucesión debe haber un número
infinito de elementos entre L # $ y L + $, o sea, mayores que L # $.
L- ! L= lim 
a3 a4
a2a1
{
!
an
a5 a6
{ L+ ! 
Figura 2.14.
(I) Si hubiera un número infinito de elementos mayores que L+$ , de estos
elementos se podŕıa extraer una subsucesión convergente cuyo ĺımite seŕıa
mayor o igual a L + $ (absurdo ya que L es el máximo).
La propiedad (I) puede enunciarse también como sigue:
Todos los elementos, salvo algunos, de una sucesión son menores que L+$,
ó:
existe N0 tal que
an < L + $ para todo n > N0.
2.2. SUCESIONES NUMÉRICAS 57
La propiedad (II) puede enunciarse:
para todo sub́ındice m dado, existe n > m tal que an > L # $.
De la misma forma, el ĺımite inferior de {an} puede ser caracterizado por
las siguientes propiedades:
M es el ĺımite inferior de {an} si
a) Para $ > 0 cualquiera, a lo más un número finito de elementos son
menores que M # $.
b) Hay un número infinito de términos menores que M + $.
La segunda condición garantiza que M es el ĺımite de alguna subsucesión
convergente, y la primera condición asegura que M es el mı́nimo.
Ejercicio 30.
La sucesión {an} converge a L, si y solo si
lim
n&$
an = lim
n&$
an = L.
Solución.
Si ĺım
n&$
an = L, todas las subsucesiones convergen a L, por lo tanto:
lim
n&$
an = lim
n&$
an = L.
Suponemos ahora:
lim
n&$
an = lim
n&$
an = L.
Dado $ > 0 existe N0 tal que
an < L + $ para todo n > N0.
(La primera condición para que L sea el ĺımite superior)
También, existe N1 tal que
an > L # $ para todo n > N1.
(La primera condición para que L sea el ĺımite inferior)
Si N = máximo (N0, N1), para todo n > N se tiene:
L # $ < an < L + $,
|an # L| < $ para todo n > N,
esto es:
ĺım
n&$
an = L.
58 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOLOǴIA EN RP
[14] Condición de Cauchy
Al hablar de la convergencia de una sucesión {an} hay que buscar el posible
valor ĺımite L que cumple:
Para cualquier $ > 0, existe N tal que
|an # L| < $ para todo n > N.
El ejercicio 30 la convergencia de una sucesión sin saber el posible valor
ĺımite (basta comprobar la igualdad: liman = lim an), pero no siempre es
fácil aplicar este método ya que es dif́ıcil hallar liman y lim an. El siguiente
criterio para saber la convergencia o divergencia de una sucesión se conoce
con el nombre de condición de Cauchy, y tiene una amplia aplicación:
Condición de Cauchy: La sucesión {an} converge si y sólo si dado $ > 0
cualquiera, existe N0tal que
|an # ak| < $ para todo n, k > N0. (2.4)
Demostación.
(i) Si {an} tiende a L, dado $ > 0 existe N0 tal que
|an # L| >
$
2
para todo n > N0,
|ak # L| >
$
2
para todo k > N0,
luego:
|an # ak| = |an # L + L # ak| + |an # L| + |L # ak|
$
2
+
$
2
= $ (para todo n, k > N0).
(ii) Supongamos válida la condición 2.4. Tomando k = N0 + 1:
ak # $ < an < ak + $ para todo n > N0 (2.5)
Entonces (ver el ejercicio 29):
ak # $ + lim
n&$
an + lim
n&$
an + ak + $ (2.6)
luego:
lim
n&$
an # lim
n&$
an + 2$. (2.7)
2.3. SUCESIONES DE PUNTOS DEL ESPACIO RP 59
Como $ es cualquiera, de (2.6) se tiene que
lim
n&$
an = lim
n&$
an,
esto es, la sucesión {an} es convergente.
Ejemplo.
{an} = {(#1)n"1} = {1,#1, 1,#1, 1, . . .}
diverge ya que
|a2k"1 # a2k| = |(#1)2k"2 # (#1)2k"1| = |1 # (#1)| = 2
aunque k sea muy grande, por lo tanto la sucesión no cumple la condición
de Cauchy.
Ejercicio 31.
Si {an} converge, entonces, para todo k fijo se tiene:
ĺım
n&$
|an # an+k| = 0.
2.3. Sucesiones de puntos del espacio Rp
Un punto en el plano cartesiano OXY está determinado por la pareja de
números (x, y) (figura 2.15), donde x es la coordenada X del punto, y es la
coordenada Y del punto, o sea que el plano es igual al producto cartesiano de
R (recta real) por R.
}}x y
P(x,y)
y
x0
Figura 2.15.
Nota 14. R ( R se nota por R2.
60 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOLOǴIA EN RP
De la misma manera en el espacio de dimensión 3 es igual al producto carte-
siano R ( R ( R = R3, y sus puntos son de la forma (x, y, z), x, y, z % R.
En general, el espacio de dimensión p, Rp, es el conjuntode todas las p#tuplas
(x1, x2, x3, . . . , xp), x1, x2, x3, . . . , xp % R.
Para mayor sencillez trabajamos solamente en R2 ya que la generalización a
Rp es inmediata.
Ahora definimos las operaciones algebraicas en los puntos de R2 como sigue:
Operaciones algebraicas en R2
Sean x = (x1, x2), y = (y1, y2) entonces
i) x = y si y sólo si x1 = y1, x2 = y2.
ii) x + y = (x1 + y1, x2 + y2) (figura 2.16)
x + y
y
y
x0
x
Figura 2.16.
iii) Si a es un número real, ax = (ax1, ax2) (figura 2.17)
iv) x # y = x + (#1)y = (x1 # y1, x2 # y2) (figura 2.18).
2.3. SUCESIONES DE PUNTOS DEL ESPACIO RP 61
ax
0
x
Figura 2.17.
x 
y
0
x - y
Figura 2.18.
v) 0 = (0, 0) (0 es el origen del espacio R2).
Sea x = (x1, x2) un punto en el espacio R2, la distancia de x al origen es
(Teorema de Pitágoras):
:
(x1)2 + (x2)2 (figura 2.19) a ésta se le llama la
norma de x y se denota por:
|x| =
:
(x1)2 + (x2)2 (2.8)
Nótese que |x| * 0 para todo x, y que
x = 0 = (0, 0) si y sólo si |x| = 0. (2.9)
Tenemos ahora las siguientes desigualdades muy importantes:
|x1| + |x|, |x2| + |x|, y , |x| + |x1| + |x2|. (2.10)
Nota 15. Nótese que |x1| es el valor absoluto del número real x1, mientras
que |x| es la norma del punto x en R2.
62 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOLOǴIA EN RP
x 
y
0
x = ( , ){
2
x 
1 x 2
|x|
x 
1
{
Figura 2.19.
i) (x1)2 + (x1)2 + (x2)2 ya que (x2)2 * 0,
sacando el radical a la desigualdad anterior se tiene:
|x1| =
:
(x1)2 +
:
(x1)2 + (x2)2 = |x|.
ii) (x1)2+(x2)2 + (x1)2+(x2)2+2|x1||x2| = {|x1|+|x2|}2, sacando el radical
se tiene la segunda parte de la desigualdad 2.10.
Dados dos puntos x = (x1, x2), y (y1, y2) se tiene la siguiente desigualdad
conocida como la de Schwartz:
(x1y1 + x2y2)2 + |x|2 · |y|2. (2.11)
Demostación.
|x|2|y|2 # {x1y1 + x2y2}2
= {(x1)2 + (x2)2}{(y1)2 + (y2)2}# {x1y1 + x2y2}2
= (x1)2(y2)2 + (x2)2(y1)2 # 2x1y1x2y2
= (x1y2 # x2y1)2 * 0.
Nota 16. En caso de Rp, la desigualdad de Schwartz es:
[
pB
k=1
xkyk]2 +
pB
k=1
(xk)2
pB
k=1
(yk)2.
La demostración directa (como en el caso de R2) va a ser muy enredada, se
acostumbra utilizar el siguiente método:
2.3. SUCESIONES DE PUNTOS DEL ESPACIO RP 63
Sea t un parámetro real, entonces:
0 + |tx + y|2 = |(tx1 + y1, tx2 + y2, . . . , txp + yp)|2
=
pB
k=1
(txk + yk)2
= t2
pB
k=1
+2t
pB
k=1
xkyk +
pB
k=1
(yk)2,
la última es una forma cuadrática con respecto al parámetro t. Para que una
forma cuadrática no sea negativa para todo valor del parámetro t, su discri-
minante debe ser no positivo, o sea:
C
2
pB
k=1
xkyk
D2
# 4
pB
k=1
(xk)2
pB
k=1
(yk)2 + 0,
esto es: C pB
k=1
xkyk
D2
+
pB
k=1
(xk)2
pB
k=1
(yk)2. (2.12)
x 
y
0
x - y
{
|x-y|
|x-y|{
-y
Y
Figura 2.20.
Dados los puntos x e y % Rp, |x # y| es la distancia entre x, y (Figura 2.20),
se tiene la siguiente desigualdad:
Desigualdad de triángulo
|x + y| + |x| + |y| (Figura 2.21) (2.13)
64 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOLOǴIA EN RP
Demostación.
|x + y|2 =
2B
k=1
(xk + yk)2
=
2B
k=1
{(xk)2 + 2xkyk + (yk)2}
=
2B
k=1
(xk)2
, -. /
+
2B
k=1
(yk)2
, -. /
+2
2B
k=1
xkyk
, -. /
+
|x|2 |y|2 |x||y| (por la de Schwartz)
= |x|2 + |y|2 + 2|x||y| = {|x| + |y|}2,
sacando el radical se tiene la desigualdad 2.13.
x+y 
y
0
 y
{
|y|
|x|
Y
|x+y|
{
X
Figura 2.21.
Ejercicio 32.
Demostrar que |x # y| = |y # x| ¿Qué interpretación se puede dar a esta
identidad?
Ejercicio 33.
Sean x, y, z % R2, demostrar:
i) |x # y| * ||x|# |y||.
2.3. SUCESIONES DE PUNTOS DEL ESPACIO RP 65
ii) |x # y| + |y # z| * |x # z|.
iii) ¿Qué interpretación geométrica tienen las desigualdades anteriores?
Sucesión de puntos de R2
Sea {x1, x2, x3, . . .} una sucesión de puntos en R2, si los puntos de la sucesión
se acercan cada vez más hacia un punto fijo x podemos decir que la sucesión
tiende a x (Figura 2.22).
Más precisamente, utilizando el concepto de distancia para medir el acerca-
miento, se define como sigue:
Se dice que la sucesión {xn} tiende (converge) a x, y se nota
ĺım
n&$
xn = x
si para cualquier $ > 0 dado, existe N tal que
|xn # x| < $ para todo n > N.
6
7
La distancia entre {xn} y
x puede ser tan pequeña
como se quiera
8
9
E
Si n es suficientemente
grande
F
Obsérvese que la definición anterior tiene idéntica presentación en el caso de
una sucesión numérica, sólo hay que interpretar el śımbolo |xn # x| como la
distancia entre los dos puntos en la condición 2.13. Si todos los puntos de la
sucesión están sobre la recta numérica entonces la sucesión es una sucesión
numérica, y la distancia sobre la recta numérica es igual al valor absoluto de
diferencia de los dos números, por lo tanto nuestra definición sirve también
para el caso de una sucesión numérica sin someterla a modificación alguna.
[1] Sea {x(n)} = {(x(n)1 , x
(n)
2 ), n = 1, 2, 3, . . .} una sucesión en R2.
Si {x(n)} converge a x = (x1, x2) entonces
ĺım
n&$
x(n)1 = x1, ĺımn&$x
(n)
2 = x2.
66 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOLOǴIA EN RP
Demostación.
|x(n)1 # x1| + |x
(n) # x| $ 0 por la desigualdad 2.10,
|x(n)2 # x2| + |x
(n) # x| $ 0,
luego:
ĺım
n&$
x(n)1 = x1
ĺım
n&$
x(n)2 = x2.
Observación 2.
x(n)1 es la proyección del punto x
(n) sobre la recta OX (la sombra del punto
x(n) en la recta horizontal), si x(n) se acerca al punto x es evidente que la
sombra de x(n) se acerca a la sombra de x (Figura 2.22).
x
(1)
x
X1
x
x
x
(2)
(n)
(3)
x
(1)
1
x
(2)
1
x
(3)
1
x
(n)
1
x
0
Sol
Figura 2.22.
[2] Sea {x(n)} = {(x(n)1 , x
(n)
2 ), n = 1, 2, 3, . . .} una sucesión en R2, si
ĺım
n&$
x(n)1 = x1, ĺımn&$x
(n)
2 = x2 implica ĺımn&$x
(n) = x.
De [1] y de [2] podemos afirmar que una sucesión en R2 converge si y sólo
si las sucesiones numéricas formadas por las componentes de los puntos de
la sucesión convergen.
2.3. SUCESIONES DE PUNTOS DEL ESPACIO RP 67
Ejemplo 1.
Sea {x(n)} tal que
x(n) =
4 1
n
cos
n%
2
,
1
n
sen
n%
2
5
, n = 1, 2, 3, . . .
entonces
|x(n) # 0| = |x(n)| =
G
1
n2
cos 2
n%
n2
+
1
n2
sen 2
n%
n2
=
G
1
n2
=
1
n
$ 0 (n $ "),
o sea
ĺım
n&$
x(n) = 0 (0 = (0, 0))
Por lo tanto se tiene que:
ĺım
n&$
1
n
cos
n%
n2
= 0, ĺım
n&$
1
n
sen
n%
n2
= 0 (figura 2.23).
x
1
x
4x6x2
x
5
x
3
X
Figura 2.23.
Ejemplo 2.
Sea {xn} tal que
xn =
4 1
n
cos
n%
2
, sen
n%
2
5
n = 1, 2, 3, . . .
Tenemos
ĺım
n&$
1
n
cos
n%
2
= 0,
pero la sucesión numérica
)
sen
n%
n2
*
diverge, por lo tanto la sucesión
{xn} diverge (Figura 2.24).
68 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOLOǴIA EN RP
x = x =x = 
1
x
2
9
x
4
2
x
6 x8
5
...
x = x =x = 
3 117
...
Figura 2.24.
En forma idéntica al caso de sucesiones numéricas, puede demostrar las
siguientes propiedades de sucesiones de puntos en Rp, las demostraciones
las dejamos para el lector.
[3] Si {xn} converge a x, cualquier reordenación de {xn} converge a x (ver la
propiedad 9 del parágrafo anterior).
[4] Si {xn} converge a x, cualquier subsucesión de {xn} converge a x (ver la
propiedad 1 del parágrafo anterior).
Ejemplo 3.
Sea {xn} tal que
x2k =
4(#1)k
k
,
(#1)k
k
5
, x2k"1 =
4(#1)k
k
, 1 # 1
k
5
.
La sucesión diverge ya que la sucesión formada por los elementos pares,
{x2k}, converge a (0, 0), mientras que la sucesión formada por los elementos
impares {x2k"1} converge a (0, 1) .= (0, 0).
Ejercicio 34.
Si {x1, x2, x3, . . .} converge a x, demostrar que para cada k fijo la sucesión
{xn+k} = {xk+1, xk+2, xk+3, . . .} converge a x.
Ejercicio 35.
Si xn converge a x para cada y fijo la sucesión numérica {|xn#y|} converge
a |x # y|.
2.3. SUCESIONES DE PUNTOS DEL ESPACIO RP 69
Sugerencia.
HH|xn # y|# |x # y|
HH + |(xn # y) # (x # y)| = |xn # x| $ 0 (n $ ").
[5] Se ha visto la similitud entre una sucesión de puntos en R2 y una suce-
sión numérica, entonces ¿cuál seŕıa la diferencia fundamental entre una
sucesión numérica y una sucesión de puntos?. En el parágrafo anterior
fue posible hablar de las sucesiones crecientes