Cálculo Variacional - Krasnov - Pablo Tinoco

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~ Editorial MIR
(ejemplos y problemas)
;
CALCULO
VARIACIONAL
M.L.Krasnov G.I.MaKarenKo
A.I. Kiseliov
Los autores de este libru sen
Mijafl i<tasnov, Gri5tori Makn-
-~,ko, candidatos 8 Doctores en
CienciasUsico-matel~átieas y do-
centes cl~l Instituto Ene~tico
de Moscú, y Alexandr Kiseliov,
colaborador- cientfficu superior
del Instituto Unlñeade de In-
vestigaciones Nucieares de la
ciudad de Duhna.
Este compendio contiene pro-
blemas y ejercicios dedieedos 11
ilustrar 108 diferentes principiffl
de la !eoria y los métodos de
resolución de las ecuaciones por
el cálculo de variaciones.
~ Editorial MI R\~
Traducido del ruso por Carlos Vega)
candidato a doctor en ciencias físico-matemáticas
CÁLCULO
VARIACIONAL
(ejemplos y problemas)
M. L. Krasnov, G. I. Makarenko,
A. l. Kiseliov
I.S.B.N.: 84-604-1605-4
D.L: M-$299-1992
@Editorial MIR- 1992
Impresión: Gráficas Zenit - Madrid
Capítulo 1JI. Métodos directos en el Cálculo vartaclonal
§ 13. Método de diferencias finitas de Eul er . . 15B
§ 14. Método de R.Hz. Método de Kantoróvich . 160
§ 15. Métodos variaclonales para la determinación de Jos
valores y de las funciones propios . . . . . ., 167
Respuestas e indicaciones 180
§ 4.
§ 5.
§ 6.
§ 7.
~ 8.
§ 9.
§ 10.
§ Ii.
§ 12.
9
7Prefacio a la edición española . . . . . . . . . .
Observaciones preliminares .
Capítulo 1. Extremo de funciones de varias variables
§ l. E xtrerno incondicionado 11
§ 2. Extremo condictcnaoo . . . . . . . . . Hl
Capítulo 11. E¡(tremo de funcionales
§ 3. Funcional. Variación de una funcional 'i sus propie-
dades 26
Problema elemental del Cálculo var iacronal. Ecua-
ción de Euler . . . . . . . . . . . . . . . ., 50
Generalizaciones del problema elemental del Cálculo
variacional . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68
lnvarianc¡a de la ecuación de Euler . 77
Campo de extremales . . . _ . . . . . . . . .. 80
Condiciones suficientes de extremo de una funcional D1
Extremo condicionado 106
Problemas varíacionales con fronteras móviles .. , 121
Problemas discontinuos. Variaciones Unilaterales 134
Teoría de H amil ton _. J acobi. Princip ¡OS var lacionales
de la Mecánica . . . . . . . . . . _ . . . . .. 143
l. Courant R. y D. Hilbert, Methoden der Mathernatischen Physik
(Métodos de la Física Matemática), vol. 11, Spr inger, Berl ín, 1937.
2. L. Elsgoltz, Ecuaciones diferenciales y cálculo vartacional, Edito-
ríal MIR, Moscú, 1969.
3. 11. M. FellbfjJal.¡() u C. B. f/JOAIUH., BapH8l(HOHHOe JtC'IHCJleHHe,
<l>l:I3M3TfH3, 1961 (/. M. Guelland y S. V. Fomin, Cálculo varia-
cional).
4. E. Goursat, Cours d'analyse mathérnat lque (Curso de Análisis
Matemático), vol. !JI, 58 ed., Gauth íer-Villars. París. 1942.
5. M. A. Jlaepenmuee u Jl . A. Jliocmepnux, Kypc aap aauaonaoro
HC'IHCJH'RHSI,rOcTexH3J(3T, 1950 (M. A. Laurientieo y L. A. Lus-
ternik, Curso de cálculo v artacional).
6. J. Rey Pastor, P. Pi caun«, y A. C. Treio, Análisis matemático,
vol. UI, 211 ed., Kapelusz, Buenos Aires, 1961.
7. L. C. Young, Lectures on the calculus of varratrons and optimal
control tneory (Lecciones sobre el cálculo var lacíonal y la teoría
de control óptimo), Ph il adelph ia, London, Toronto, 1969.
BIBLIOGRAFJA
Hoy día todo ingeniero tropieza frecuentemente con
problemas que requieren buenos conocimientos matemáticos
y pericia en la aplicación de distintos métodos matemáticos.
Se puede afirmar que la elevación de la cultura matemática
de los ingenieros contribuye a nuevos logros en la Técnica
El Cálculo varlaclonal es uno de los capítulos del Anál ¡sis
Matemático clásico más importante para las aplicaciones.
Actualmente, en varios Institutos politécnicos el Cálculo
variacional se incluye en el programa obligatorio del curso
de Matemáticas superiores. Existen valiosos libros sobre el
Cálculo variacional corno, por ejemplo, Jos libros de L. Els-
goltz 121, de E. Goursat (4), de 1.C. Young [7J, etc. En cuanto
a los problemas, muchos de ellos aparecen diseminados en
numerosos textos o artículos científicos especiales dedicados
a este tema. Pero, por lo que conocernos, no existe en la
literatura correspondiente ningún libro de problemas dedi-
cado especialmente al Cálculo variacional. Los autores se
han planteado la tarea de preparar un cierto minlme de
problemas referentes a los carítulos principales del Cálculo
variaclonal clásico (sin tocar as cuestiones relacionadas con
la Teoría de dirección óptima).
El libro está escrito de forma que al principio de cada
parágrafo se dan los elementos teóricos ind ispensables (defi-
niciones, teoremas y fórmulas) y se analizan detalladamente
ejemplos típicos.
El libro contiene más de 100 ejemplos resueltos y 230
problemas para el trabajo individual. Al final se dan las
respuestas a todos problemas y, en algunos casos, las indica-
ciones correspondientes. Por eso, el libro puede servir tan to
para estudiar asignatura individualmente como para profun-
dizar en el material que se expone en las lecciones.
PREFACIO A LA EDICiÓN ESPANOLA
,~\O~CÚt 30 de Octubre de 1974.
M. L. Krasnou
O. l. Makarenko
A. l. Kiselioo
Consideramos deber nuestro agradecer al traductor Carlos
Vega, candidato a doctor en ciencias físico-matemáticas, por
el gran trabajo que se ha realizado al revisar los problemas
y por las útiles observaciones que ha hecho contribuyendo
al mejoramiento de) libro.
PREFACIO8
l. Si A es un conjunto cualquiera de elementos, la proposrcron
«el elemento a pertenece al conjunto A, se representa simbólicamente así:
a E A.
Si se escribe a E A (o bien aEA). ello significa que el elemento a
no pertenece al conjunto A.
Siendo A y 8 dos conjuntos. la proposición «A es un subconjunto
del conjunto B» (A c: B, simbólicamente) significa que todo elemento x
del conjunto A también pertenece al conjunto B.
2. La unión y la intersección de dos conjuntos A ':1 8 se definen
del modo siguiente:
la unión A U B = {x I x E A o x E 8} es la totalidad de los
elementos x que pertenecen por lo menos a uno de los conjuntos A o B:
la intersección A n B = {x I x E A. x E 8} es la totalidad de los
elementos x que pertenecen tanto a A como a 8.
3. Si A es un conjunto Formado por números reales, se denomina
cota superior (cota superior exacta) de A el menor número real M tal
que a ~ M para todo a E A. En otras palabras, M es la cota superior
de A si para todo a E A es a ~ M Y si para cualquier e > 0, por peque-
ño que sea. existe como minimo un elemento b E A tal que M - e < b.
Si no existe tal número. convendremos en decir Que la cola superior
de A es +00.
En ambos casos designaremos la cota superior del conjunto A
por sup A.
Análogamente se define la cota inferior del conjunto A que se re-
presen la por inf A.
4. Se denomina espacio lineat todo conjunto R de elementos
x, y, z•... de naturaleza arbitrarla para los cuales están definidas dos
operaciones. de adición y de multiplicación por números. que cumplen
los axiomas siguientes:
l~ x + y = !I + x;
2 (x + y) + z = x + (y + z) i
8 existe un elemento O (elemento nulo) tal que x + O= x para
todo x E R:
4) para todo x E R existe un elemento -x (elemento opuesto)
tal que x + (-x) = O;
5) l·Jt = x;
6) a (Jlx) = (a~) x;
7) (ex. + ~)x = ax + ~x;
8) ex. (x + ti) = (X.X + ay.
OBSERVACIONES PRELIMINARES
5. Vil espacio lineal R se llama normado si a todo elemento x E R
le corresponde un número real no negativo 11 x tI. llamado norma de
este elemento, con la particularidad de Que
1) 11 x 11 == O sólo si i(".." O;
2) Ctx 11 = I Ct , ti .e 11;
3) x -1- y 11 ~ 1I x 11 + 11 y 11 (axioma triangular para las nor-
ni a s);
6. Un conjunto M de elementos x, y, z••.. de naturaleza arbitra-
ria se denomina espacio métrico si a todo par de elementos x, y de M
le corresponde un número real no negativo p (x, y) de modo que
1) p (x, y) = o si, y sólo si, x = y (axioma de identidad);
2) p (x, y) = P (1/. x) (axioma de simetría);
3) (l (x, y) + p (y, z) ~ p (x, z) (axioma triangular).
El número p (x, y) lleva el nombre de distancia entre los elementos
x e y.
TOCio espado lineal norrnado es métrico: basta tomar p (x, y)=
= 11 x-ull·
7. El espacio e la, b] es <.>1espacio formado por todas las funciones
.r/ (x) continuas en {a. b] donde
11 y 110 = máx I y (x l.
Il~x::::b
El espacio el [a, b] es el espacio formado por todas las funciones
y (x) Que, a parte de ser continuas, tienen derivada primera continua
en {a. bl donde
11 y IICl = rnáx I y (x) I + máx I y' (x) l·
a~;¡;<b a~x<b
El espacio en la, b] es el espacio formado por todas las íunclones
y (x) Que, a parte de ser continuas, tienen en la, bl derivadas continuas
hasta de orden n-ésimo inclusive (fl es un número natural fijo) donde
7\
11 y /len = ~ máx I 11(Ir.) (x) l.
k=O a~x~b
A veces la norma del elemento y (x) en en la. b) se define así:
IIIJ lIen= máx {I y (x) J. ,y' (x) 1, ...• 1yen) (x) I }.
a:!'i%~b
OI3SEI~VACJONES PRELlMINARP.S10
en el recinto D {x: + x~~ I}.
Xi+X~* 0,
xr+ x~=O;
cualquiera que SE.'3 el punto x E D.
TEOREMA DE BOLZANO- WEIERSTRASS. Toda función continua en
un recinto acotado cerrado alcanza en él sus valores máximo y mínimo.
DEF1NICJON J. Sea f(x) una función definlda en un recinto De ECnj.
Diremos que el punto xCO) = (x y, ...• 4) E D es un punto de máximo
estricto (un punto de mínimo estricto, respectivamente) de la función
f (x) si existe una vecindad Q (xtO» del punto Xl O) lal que la desigualdad
f (x) < f (x(O» (1a desigualdad f (x) > f (xIO», respectivamente) se
cumple para todos los puntos x E g (x(o» n D. x =t= x(o). Es decir, lo
que caracteriza el punto de máximo estricto (el punto de mínimo es-
tricto, respectivamente) es que
óf = f (x) - f (x<o» < O (óf > O. respectivamente)
para todo x E Q (xlO» n D. x =F x(o).
En cambio, si para el punto xc!»~ existe una vecindad Q (x(O»)
tal que para todos los puntos x E Q (xIO) n D se cumple la desigualdad
f (x) ~ f (XCO» (la desigualdad f (x) ~ f (x<O». respectivamente). se
dice simplemente que el punto xlO) es un punto de máximo (un punto
de minimo, respectivamente).
DEFINICION 2. Los puntos de máximo y de mínimo da la función
f (x) se denominan puntos de extremo de la misma.
J. Basándose en la definición, hallar Jos puntos de extre-
mo de las funciones
a) {(XII X2)=X~+X~;
{
x¡+xi si
b) ¡(XI> xz)= 1 si
e) f (XI' .\'"2)=xi - x~
Sea f {Xl' X2, •••• Xn). o brevemente f (x), una Iunción definida
en un recinto D del espacio euclídeo En de n dimensiones.
Diremos que la función f (x) alcanza su valor máximo (mínimo)
en el punto Xo E D si
f (x) ~ f (xo) (1 (x) ~ f (xo)
§ l. Extremo incendicionado
EXTREMO DE FUNCIONES DE VAR,IAS VARIABLES
Capitulo 1
La existencia de punto cr itlco no garantiza aún la existencia del
extremo de una función. Por ejemplo, el punto (0, O) es un punto esta-
cionario de la función z = x - y'J. y, sin embargo, la función z no
tiene extremo en él: en cualquier vecindad del punto (O. O), por pequeña
que sea. la función toma valores tanto positivos como negativos.
O (i=I.2, ... ,n).
Si la función f (x) es diferenclable en el punto de extremo xlOl• su
diferencial en este punto es igual a cero: dI (X\o,) = O.
EJEMPLO l. Hallar los puntos de extremo de la lunción z = x2 + y2.
SOLUCION. Los puntos de extremo están entre los puntos para los
cuales dz = O. En nuestro caso. dz = 2x dx + 2y dy. La condición
dz = O se cumple en el punto x = 0, y = O solamente. En efecto, sí
x = y = 0, tenemos dz = O. Recíprocamente, sea dz = O; basándonos
en que dx y dy son arbitrarios, tomemos dy = O de modo que 0= dz =
= 2x dx de donde. puesto que ax es arbitrario, resulta que x = O;
análogamente encontramos que también y = O. En el punto (O, Q)
tenemos z = O; en todos los demás puntos tenemos z = :(,1. + yZ > O.
Por eso, el punto (O. O) es un punto de minimo estricto de la función
z = XZ + y2.
Si se am p1ía 1a elase de f unciones en 1a que se busca el ex tremo
incluyendo en ella las funciones no dllerenciables en algunos puntos,
se llega a la siguiente condición necesaria de extremo.
Si x(o) es un punto de extremo de la función f (Xl. XZ, ••• , xn).
cada una de las derivadas parciales :' (i = 1, 2, ... , n) es igual a cero
Vx¡
o no existe en dicbo punto,
EJEMPLO2. Consideremos la parte superior z ;?- O del cono z~ =
= X2 + .yz. Es obvio que la función z tiene. mínimo en el punto (O, O).
Pero las derivadas :: y:; no existen en este punto.
DEFINICIÓN 3. Los puntos en los que se cumple la condición necesa-
ria de extremo de la [unción f (x) se denominan puntos críticos de la
misma.
Los puntos x(o) en los que dI (X,Ol) = O se denominan puntos esta-
cionarios de la función f (x).
La condición dI (x(O» = O es equivalente a la condición
al (.~IO)
aX¡
TEOREMAI (condición necesaria de extremo). Sea j (x), x =
= (Xl> XZ, ... , Xn). Una función definida en una vecinda del punto
x,o>= (xr, xg, ... , xg). Si este punto es un punto de extremo de la
función f (xl y .si en él existen las derivadas ;~f (i = 1, '2•... , n), todas
vXj
ellas son iguales a cero:
al (xIO» = o ( . I 2 )
i) J'=' , .•.• n.Xj
CAP. 1, EXT~f;MO DE FUNCIONES12
(2)
o sea, la segunda diferencial de la función f en el punto X<Ol. es definida
positiva (definida negativa, respectioamentes, el punto x<O) es punto de
mínimo estricto (punto de mdximo estricto, respectivamente): si la forma
cuadrática (1) es indefinida, no hay extremo en el punto xto).
CRITERIO DE snVESTER DE FORMASCUADRATICAS DEFINIDAS
POSITIVAS. Condición necesaria y suiiaente para que la forma cuadrática
( 1)
son ambas no negativas. La primera es definida positiva ya que se
anula sólo para Xl = Xz = ... = Xn = O; en carnhlo la segunda no lo
es ya que se anula, por ejemplo, para Xl = l. x2 = -1, x. = x. =
= " .= xn = O.
Una forma cuadrática definida positiva o definida negativa se
denomina forma cuadrática definida.
Una forma cuadrática que toma valores tanto positivos como
negativos se denomina indefinida.
TEOREMA 2. (condiciones. suficientes de; extremo estricto). Sea
f (x) una función definida en una vecindad del punto X,Ol == (xY, x], ... , x~) en la que son continuos sus segundas derivadas y sea
x(O) un punto estacionario de la función f (x). Si la forma cuadrática
es definida positiva (definída negativa, respectivamente) si A (x) > O
(A (x) < O respectivamente) para todo punto x E En, x:::fo O. y se
anula sólo para x = O, o sea, para Xl = X9 = ... = xn_ = O.
La forma cuadrática S~ denomina no negativa si jamás toma valores
negativos. Por ejemplo, las formas
n
A (x) =A (Xl> X2, ... , xn) = ¿_; o¡Jx¡Xj;
i, ;-t
0íj""" ají; i, i = 1, 2, ... , TI;
10• Condiciones suficientes de extremo estricto
DE!"¡ NICION 4. Se dice que la forma cuadrá Iica
13EXTREMO INCONDICIONADO§ 1
n, > O (!yy > O).
Si en el punto (%0, Yo)
t;xfúll - (f~y)" < O,
no hay extremo en E.'Ipunto (xo. Yo). Por último, si en el punto (:eo. Yo)
f';.:.:lvy - (f';,1I)2 = O,
y mínimo si en él
CASOn=2. Sea f (x, y) una función definida en una vecindad del
punto (xo. Yo) en la que son continuas sus derivadas parciales de segundo
orden y sea (xo, Yo) un punto estacionario. es decir, sea
f~ (xo, Uo) = fú (xo. Yo) =. O.
Entonces, si en el punto (:eo. Yo)
I'!c:r.f~y - (f;'v)~ > O.
hay extremo en este punto: a saber. máximo si en él
¡';ex < O (f~1J < O)
(-w·>o.
au al:! ..• Dln
a21 azz ... a2n
all al2 al3
a21 U22 a23 <0, ...
a31 a32 a33
tll\<'O. ¡a11 (llzl>o.
(12.\ D22
Condicté« necesaria y suficiente para que la forma cuadrática (2)
sea definida negativa es que se cumpla
>0 ...~,
aH 012a13
«u> O. I aH a121> O. a21 022 a23 >0, ...021 a22
a31 a32 U:\3
all 012 ... a'n
a21 (122 ••• °211
eOIl aH = aJj; i, ; =- 1, 2, ... , Il; sea definida positiva es que se cumpla
CAr 1. ux IIH::MO DE FUNCIONL':>14
au > 0, 1al1
0121_1 2 - I 1- 3 -.., O
G21 a22 - l 2 - ~. ,
2 -1 O
-1 2 O =6::>0.
O O 2
au = -1, a13 = 0,
a" = 2, a23 = O,
aa, = 0, a~3= 2,
de modo que
';,,=-1, f;z=O,
tv" = 2, ¡~rl.= O,
¡;"= o. f;z=2.
)';;;0:= 2,
fÍlx=-I,
t;x= O,
En el punto Po encontramos
an = 2,
an = -1,
a81 = 0,
I
Yo= - 3' y' Zo=: l.
(1) en el punto Po ( _. ~ ,
2resolviéndolo, encontramos Xo= -3'
Consideremos 11I Iorrna cuadrática
--t, 1). Tenemos
en dicho puntopuede haber extremo y puede no haberlo; este caso
requiere un estudio complementaría.
. EJEMPLO3. Consi derernos las funciones z = xf + y4, z = -x' - y'
y z = xf - y'. El punto (O, O) es un punto estacionario de las tres y
en él se tiene z:~:xZÜy- (Z;y)2. = O para cada una de las funciones.
Es fácil ver que el punto (0, O) es un punto de mínimo de la pri-
mera función, un punto de. máxlrrio de la segunda y no es punto de
extremo de la tercera. Efectivamente, en los tres casos tenemos
2 (O, O) = O; sin embargo, en cualquier vecindad del punto (0, O),
a excepción del propio punto, los valores de la función son positivos
en el primer caso y negativos en el segundo mientras que en el tercer
caso la función z = x' - y' toma, en cualquier vecindad del origen
d~'coor denadas, valores tanto positivos (por ejemplo, si x ::fo Oe y = O)
como negativos (por ejemplo, si x = O e y ::fo O).
tiJEMPLO 4. Hallar el extremo de la función de tres variables
f = x20 + y2 + zia _ xy + x - 2z.
SOLUCIÓN.Determinamos los puntos estacionarios de la función f.
Consideremos con este fin el sistema de ecuaciones
:~ =2x-y+ I=0, )~
i)foy =2y-x= 0,
af Ioz =2z-2=O; J
15EXTREMO INCONDICIONADO§ I
Basándose en el crríerto de Sylvester. llegamos a la conclusión de que
la íorma cuadrática es definida positiva; por Jo tanto, en virtud del
teorema 2, el punto Po es un punto de mínimo estricto siendo f (Pu) :::::
4
=-"3'
EJEMPLO 5. Hallar el extremo de la función de dos variables
z= X'Jy2 (6-x-y).1
SOl.UCION. Determinamos los puntos estacionarios;
z~:-.' J8X2y2 _ 4xay2 _ 3X2y3 = O, }
Zy'= 12x'ly - 2~y - 3x3y2 = O,
de donde XI -=. O, Y1 -r : O y X2 = 3, yz = 2. Hemos obtenido dos puntos
estacionarlos Pi (O, O) Y P,¿ (3, 2).
Calculemos las segundas dertvadas de la función:
z~x = 36xyz - 12x'Jy?' - 6xyS,
zÚ!J = 12.,,~- 2xt - 6x'Jy•
Z;y = 3Gx2y - 8x3y _ 9x:!y2.
En el punto PI tenernos z;x = z" y .= z;., = O de modo que
z~:x:zZY - (~¡¡)2 = O y queda pendiente eY probleIna sobre la existencia
de extremo en este punto; para resolverlo habrá que recurrir a las
derivadas superiores.
En el punto Pa tenemosz;'x = -144, Zyy = -162 Y z;;1I = -108.
Queda claro que ~xZÚY. - (zXI/)2 > O Y como z;'x < O, en el punto
P" l3, 2) hay maxrmo siendo zmáx = 108.
Hallar tos máximos y los mínimos de las funciones:
2. f = (x - 1)2 - 2y2.
3. f = X4 + y4 - 2Xll + 4xy - 2y'l.
4. f = (x2 + !f2) e-(x2+y~}.
f I+x-y
5. = VI +x2+y2. •
y2 Z2 2
6. f=x+--¡x+y-+-z(x>O, y>O, z>O}.
7. f = x1. - xy + y2 - 2x + y.
8. f = sen x sen y sen (x + y) (O ~ x ..::;;;n, O ~ y ~ ;1)
9. f """"XIX~ ••• x~ (l - Xl - 2X2 - . . . - nxn)
(Xl> 0, X2> O, ... , XII> O).
G,\P. 1. EXTREMO DE FUNCIONES16
2-01387
donde eh ez•... , en es una base ortonorrnal del espacio R",
Sí se tiene gr ad f (xO) :;é=O. ponemos
xl = xi - h1 (grad t (¡f). eh) (k = 1, 2, ...• m),
a; + ~ (ah COS kx+~hsen kx)
h=1
determinar, escogiendo convenientemente los coeficientes a"
y ~k, aquel que ofrece el valor mínimo para el error cuadráti-
co definido por la igualdad
re n
ó!= 2~ 1[f(x)- i -~(akcoskx+~ltsenkx)ydx.
-n k=1
2°. Método del gradiente. Supongamos que es preciso hallar el
mfnimo de la función f (x). donde x = (Xl' X2 ••••• xm). Tomemos
un punto ¡f) = (xf, xU•... , xg.) y calculemos el gradiente de la luncíón
f (x) en este punto
m
grad f (XO)= ~ a~~~} el.
l
i-l .
n
10. Demostrar que la función z = (J + e/l) cos x - yeY
tiene una cantidad infínita de máximos y no tiene mínimos.
11. ¿Será condición suficiente para que la función f (x, y)
tenga mínimo en el punto Mo (xo, Yo) el que esta función
tenga mínimo a Jo largo de cualquier recta que pase por el
punto MI)? Considerar la función f (x, y) = (x - y2) X
X (2x _ y2).
12. Demostrar que (a diferencia de las funciones de una
variable) incluso para las funciones de dos variables la exis-
tencia de un extremo único - máximo o mínimo - en un
recinto D no significa aun que este extremo represente el
valor máximo o mínimo de la íunción respecto a todo el
recinto. Considerar los ejemplos:
a) z = X2 - yZ + 2e-.xa,
-00 <x<+ 00, -00 <y <+ 00;
b) z = XS - 4Xll + 2xy _ y2,
D{-5 ~ x ~ 5; -1 ~ y ~ 1}.
13. Sea f (x) una función periódica con período 2:rt. Entre
todos los polinomios trigonométricos de grado n
J 7EXTREMO INCONDICIONADO§ 1.
y. por eso, tomamos
x2= xl_ 2x1h= (1--2h)2,
y2=y1_2ylh=(I_2h)2.
.
grad f (xl, yl)=2(1-2h)l+2(1-2h)j=t- O
Tenemos
(h > O)
Puesto que grad T (1. 1) *0, ponemos
Xl = xO _ 2xo" = 1 - 2h,
yl = !l - 2!lh = J - 2h.
grad f (Xl) = 2 (1 - 211) l.
Si h*!'es grad f (Xl) *° y ponemos
x? = Xl - 2h (1 - 2h) = (1 - 2h)2.
Continuando este proceso. encontramos
xn = (1 _ 2h)n.
Es claro que, siendo 0< h < 1, se tiene xn - O para Il_ oo. El
punto x = O es el punto de mínimo de la función f (x) = XS.Si" = -}.
es Xl = O y gead f (xt) = ° y obtenemos la sucesión estacionaria {O}
cuyo límite es el cero.
EJEMPLO 7. Hallar el punto de mlnírno de la función f (x, y) =
= x:A + y2.
SOLUCIÓN. Tomemos. por ejemplo, el punto (l. 1), o sea, tomemos
XO = 1 e /jo = 1. Tenemos
grad f (1, 1) = 21+ 2j.
Tenemos ahora
en general, si se tiene grad f (xn-l) *0, ponemos
x~ = X~-l - h,. (grad f (xn-l), eJt)
(k = 1, 2, .•. , m; hn > O).
Así obtenemos, si se cumplen determinadas condiciones, una su-
cesión monótona decreciente {I (xn}). Si xn - X y x es un punto de
mínimo de la función f (x), se tiene grad f (xn) -+ O cuando n -+ oo.
éJEMPLO 6. Hallar el punto de mlntrno de. la función f (x) = x'.
SOLUCIÓN. Tomemos, por ejemplo. el punto xO = 1. Tenemos
gr ad f (xO} = 2xOI = 21 *O.
Por eso, ponemos
xl- = xO - h 2 = 1 - 211. donde h > O.
donde h1> O es suficientemente pequeño. Si se tiene grad t (~..1)*O,
ponemos
GAP. 1. EXTREMO DE FUNCIONES18
f (Xl. X2. • ••• Xn) ~ f (x~. x~, ...• xi\.)
{la desigualdad f (Xl. Xa, ... , Xn) ~ f .(xY. X~, ' •.• X~), respectívarnen-
te) se cumple en una vecindad del punto (.x~, x~, ' . _, x~) siempre que
los puntos (Xl' X2 •••• , Xn) y (X~. X~ •••• , xV.) verifiquen las ecuaciones
de enlace (l).
EJEMPLO 1. La función z = X2 + yo¡, tiene mínimo incondicionado,
igual a cero. en el punto (O, O). Agreguemos la ecuación de enlace
x + !I - 1 = O; se trata entonces de determinar el rnínirno de las
Z-coordenadas de los puntos de la superficie z = x~+ y'J. considerando
s6lo aquellos valores de x y de y que satisfacen la ecuación x + !I - l =
= O. Este mínimo condicionado no se puede alcanzar en el punto
(O. O) pues este último no satisface la ecuación de enlace. Resolviendo
la ecuación de enlace x + U - I = O respecto a y e introduciendo la
expresión obtenida y = \ - x en la ecuación de la superficie, encon-
tramos z = x2.+ (I - x)2.. o sea, obtenemos una función de una
variable. Extremándola, encontramos xer = ~ y Zmlll = ~. A partir
~*
§ 2. Extremo condicionado
Sea z = 1(Xl' X2 ••••• Xn) una [unción de n variables definida de
un recinto D del espacio En.
Supongamos. además, que las variables Xl. X2> ••• , '"'71 están
ligadas por (m < n) condiciones complementarias
:1_<X~'.x~':.:' "~~)~~'} (1)
C¡>m (x •• "2, ... , xn) = 0,
que se denominan ecuaciones de enlace.
Sea %(0) = (xi, x~•... , x~) un punto interior del recinto D.
Se dice que f (Xl. Xs, ••• , xn) tiene máximo condicionado (mínimo
condicionado, respectivamente) en el pun to (x~, ~ •... , x~) si la de-
sigualdad
z = x2 + y'J. _ 2x + 4y + 5.
Continuando este proceso, encontramos
xn = (1 - 2h)U,
Un = (1 - 2h}n,
de modo que para O < h < 1 obtenemos una sucesión de puntos
Mn (x"", ",11) convergente al punto M (O, O) de rnlnímo de la [unción
considerada. Es obvio que
grad f (xn, un) = 2 (1 -_ 2h)n ¡+ 2 (1 - 2h)'n j -+ O cuando n -.. oo ,
Es decir, el punto (O, O) es el punto de mínimo de la lunción { (x, y) =
;:: x~+ U2•
Empleando el método de gradiente, hallar el punto de mínimo
de la Iunclón
19EXTREMO COND1CIONADO2.
111
. -"':1<D •.=-J+ k.J "'[<rio
1.-1
donde "" son factores constan les indeterminados.
Después analizamos el ex tremo incondicionado de la íunción
<f) (XJ, xz, .... xni, o sea. formamos el sistema de ecuaciones
éJ<I> o;,tJ o<l>-,,-= O, -a = 0, •.. , -:;¡-- =o (2)
UXi ~ vXn
'1, a partir de este sistema y de l as m ecuaciones de enlace
(PI = 0, tpll = O, .. '0 IPm.= O,
determinamos los valores de los parámetros "lo 1..2•••• , Am y las coor-
denadas (Xl. X20 ••. , xn) de los posibles puntos de extremo.
Las condiciones (2) son condiciones necesarias de extremo tanto
para la función de Lagrange como para la [unción inicial z =
= f (Xl' X2, .•• , xn)·
Si el punto (4 X~, ..• 0 x~) es un punto de extremo condicíonado
de la [unción l {Xl' XZo' ., xn l. será a la vez un pun lo estacionario de
1a función de Lllgrauge, o sea, en este pun to será diJ· ~ = O (i = 1, 2, ...
·'<i
... , tl). Para analrz ar el punto estacionario (xY. x~, ...• XYI) en tanto
de la ecuación de enlace, determinamos Ycr =;. El punto ( ;, ;, ~ )
es el vértice de la parábola que corresponde a la intersección del para-
boloide z = X2 + y'l.. con el plano x + y - 1 = O.
Análogamente se puede proceder en situaciones más generales.
Supongamos que se busca el extremo condicionado de la función
z = f (x, y) síendo (jl (x, U) = O la ecuación de enlace. Supongamos que
para los valores considerados de x y de IJ la ecuación q> (x, y) = O deter-
mina !I corno una función unívoca diferenciable y = 'P (x). Sustituyen-
do y por 'i> [x) en la función I (x, y), obtenemos una función de una
variable x: z = f (x, 'l> (x» = F (x). El extremo (incondicionado) de
la función F (x) sera el extremo condicionado buscado de la función
f (x, y) con la condición de enlace (jl (x, y) = O. En la práctica este
método resulta poco cómodo ya que para ap licarlo es preciso resolver
la ecuación (jl (xo y) = O respecto a una de las variables.
Para hallar los extremos de la función z = f (Xl. ;\:2, ... , Xn) con
las condiciones de enlace (1) se emplea el método de los multiplicadores
de Lagrange.
MeTODO DELOSMULTIPLICADORES DE LAGRANOE. Supongamos que
1) las derivadas pardales de primer orden de las Iunciones
f (Xi> x2, ••. , xn) y epi (Xi, X2, .. "Xn) (1 = 1,2, ... , m) son continuas
en el recin lo D;
2) m < n, srendo el rango de la matriz (~:;) (i = J, 2, ... , m;
1= 1,2, ... , n) Igual a ni en todo punto del recinto D.
Consideramos una función nueva (lunción de Lagrange)
CAP. 1. EXTREMO DF. FUNCIONES20
Si la lorma cuadrátlca (3) es definida, en el punto (x~. xg, ... , x~)
tendremos extremo condicionado estricto; a saber, máxime condicio-
nado estricto si la forma cuadrática (3) es definida negativa, y mlnimo
condicionado estricto si la forma cuadrática l3) es definida positiva.
En cambio si la forma cuadrática (3) es indefinida, en el punto
(x~, x~, ... , x~) no habrá ex tremo condicionado.
Por consiguiente, la existencia en el punto (x.,. x~, ... , x~) de
máximo (mínimo) incondicionado de la función de l,agrange (tomada
con los valores encontrados para)...1>Aa, .. " ~'nl)implica la existencia
de este punto máximo (mínimo) condicionado de la función z == f (Xi' X2, ••• , Xn) con las condiciones de enlace
<Pi (Xl. X2 •••.• XII) = O (l = l. 2 •.. " m).
La ausencia de extremo incondicionado de la función de Lagrange
el> (Xl. Xa •.•. , xn) no significa aún la ausencia deex tremo condicionado
de la (unción f (XI. XZ, •••• Xn):
EJEMPLO .2. Hallar el extremo de la función z = xy con la con-
dición y - x = Q.
SOLUCION. Formamos la función de Lagrange
<D (x, y) = xy + '"(y - x)
y el sistema correspondiente para deterrnlnar 'k 'j las coordenadas de
los posibles puntos de extremo
~~ =Y-'k=O,}
O<Day =x+1..=O,y-x=O.
La primera ecuación da A = y. Teniéndolo en cuenta, encontramos la
segunda ecuación x + y = O. Es decir.
x+y= O, }
y-x=O,
de donde x = y = O y. además, A = O. Por lo tanto. la (unción corres-
pondiente de Lagrange es <D (x, y) = xy. La función <D (x, y) no tíene
extremo Incondicionado en el punto (O. O).
(i= 1, 2, ... , m).
teniendo en
(3)
n,..tn
B(dxt. dX2•... , lLl:n-m}= ~ /JIJ,1x¡ dx],
i. ;-1
de la función de Lagrange,o sea, la segunda diferencial
cuenta las condiciones
01'1 oq>'
-¡¡- dXt+T dx,¿~ ".
v,\t vX2
que ex tremo condicionado de la Iuncíén de Legrange (1)(Xi' X2, ..• , xl1)
habrá que considerar la Iorma cuadrática
21EXTR.EMO CONDICIO"lA.DO§ 2.
En el punto estacionario se tiene B= - 5 dx2<O, o sea, en el punto
(
11 5 11 ) . 605T' -'2' -T hay máximo, Siendo /mAx=32.
8 (dx) = 2y dx2.
(6)tl2cD = 2z dx dy + 2ydx dz + 2x dydz.
Oc las ecuaciones de enlace (4) encontramos
dx+dy-dz=O, }
dx-d!l-dz=O,
de donde dx = dz, dy = O. Introduciendo estas expresiones en (6),
obtenemos
En nuestro caso,
la segunda dllerencial de la íunclén (!> (x, y, z) es ig\lal a
(}2(Jl i}zlD é)za.
d2<.D=-- dxz+ --dg2+-- oz2 +
i}.x'Z ayZ iJz2
iJ2(D ~$ ~$
+2-a ;, dxd!l+2~dxdz+2-a '" dydz.x vy <i!l oz y oz
11z=-4'
Resolviendo el sistema de ecuaciones (5), obtenemos
11 231 11 5
Al ='"32 , ~=-32' x=-;¡-, y=-y y
(5)
con las condiciones
<PI (x, !I, z)=x+y-z-3=O, }
<r2 (x, y, z)=x-y-z-8=O. (4)
SOLUCION. Formamos la función de Lagrange
ct> (x, y, z) = xyz+ "'1 (x + y - z - 3) + /..9 (x - y - z - 8)
y el sistema de ecuaciones para determinar los parámetros At y Aa
y Ias coordenadas de los posibles puntos de extremo
: =YZ+/..I+~=O, )
: ~-"+'I-"~O, I
T=XY-Ai-~=O'I
x+y-?-3=0,
x-y-z-8=O ..
Sín embargo, existe el extremo condicionado de la runción z= xy
con la condición y = x: en efecto, tenemos en este caso z = x', de
donde resulta que hay mfnlmo condicionado en el punto (O, O).
EJEMPLO 3. Hallar el extremo condicionado de la {unción
f (x, y, z)= xyz
CAP. l. EXT"REMO DE PUNCIONES22
Determinamos las se¡,:ulldas derivadas de la Iunclón IlJ (x, y):
1]2(!l t)2q)
--=-:--"2 = - 2 cos 2x, -;¡--;;- =O,ox ox cJy
i.J2tD
ay2 = - 2 ces 2y.
(
kn n krr. n )En los puntos PIi. 2-'8' '2+8 se tiene
(7)
(8)
(9)
0, o sea,
(10)
sen 2x= -A,
sen 2y=A.
ny-x=T'
De las ecuacloncs (7) y (8) tenemos sen 2x + sen '2y =.
2sen (x + y) cos (y - x) = {l.
Debido a (9). tenemos cos (y - x) = }~~=fo ° y, ¡JOf eso, de (10)
resulta sen (x + y) = 0, es decir,
x + y ~ kn, k = O, ± 1, ±2, (11)
Resolviendo las ecuaciones (9) y (11), tendremos
es decir,
n .
y-x--=O,4
al11
i)y -v-: -2 cos y sen v+ ;'=0,
~~ ~~-2cosxsenx-;\-O, )
~
J
n
y-x=T'
SOLt:C1ÓN. Formamos la función de Lagr ange
tD(x. y)=cos2..-.;+cos2y+]" (y-x-:)
y el sistema de ecuaciones para determinar el parametro ,< 'i la~ coor-
deuadas de los posibles puntos de ex tremo
EJEMPLO 4. Hallar el extremo de 13 función z = ('(>:;2 X -1- cos2 !I
con la condición
EXTREMO CONDICIONADO§ 2.
n~ 1, x~O e y~O.
En los problemas que siguen hallar el extremo condicio-
nado.
t4. f = xy siendo x'J + .112 = l.
15. f=x2+!l' siendo ~ +~= l.
16. f = xyz siendo x + y + z = 5 Y xy + yz + zx = 8.
17. f = eXY siendo x + y = a.
18. f = 6 - 4x - 3.11 siendo x'J. + .112 = 1.
19. f = x - 2.11+ 2z siendo X2 + y2 + ZZ = 9.
20. f = sen x sen y sen z siendo x + y + z = ~, x> O,
y> O y z> O.
21. Demostrar la desigualdad
V2
zmln= 1--2-,
o sea. en los puntos Ptn+1 tenemos mínimo condlcíonado siendo
a2Cl> I V-7fT = 2>0,
X J)zn+l
para x= 2n+ 1 es
.. _1+V2.'"max- -2- t
a2Cl> 1 = -V2<O
iJx2 P2n
y. pOC I!SO, en los puntos P-an se tiene máximo condicionado siendo
(!);:t(!)~V _(tl>;1/)2= 4 cos ( k1f. - : ) ces ( kn + ~ ) =
= 2 cos 2kn = 2> O.
Por consiguiente, hay extremo condicionado en los puntos Pilo Además.
para k:= 2n es
CAP. J. EXTPEMO DE FUNCIONES24
22. Hallar el valor máximo del producto xyzt de cuatro
números no negativos x, y, z y t si la suma de los mismos
permanece constante: x + y + z + t = 4c.
23. Hallar la distancia mínima del punto M (1, O) a la
elipse 4x2 + 9y2 = 36.
24. Hallar la distancia de la parábola y = XZ a la recta
x-y = 5.
25. Hallar los lados del rectángulo de área máxima
inscrito en la circunferencia X2 + y2 = R'J,
26. Inscribir en la esfera de radio R el cilindro de máxima
superficie total.
25E XTR,EMO CONDICIONADO§ 2.
1) En adelante, al considerar funcionales in tegrales, escribiremos
en el integrando y en lugar de y (x), y' en lugar de y' (x), y etc.
1
J(cosnx)= J cosnxdx=O.
o
si y (x)=cos nx, tenernos
I
J (eX) = ) eXd.x=e-l¡O
si y (x)= e», tenemos
1°. Definición de funcional. Proximidad de curvas. Sea M una
clase de funciones y (x). SI a toda {unción y (x) E M le corresponde,
según una regla, un número determinado J se dice que en la clase M
está definida la funcional J y se escribe J = J ly (x)].
La clase M de funciones y (x) en la que está definida la funcional
J ry (x)] se denomina campo de definiciÓn de la funcional.
EJEMPLO 1. Sea M = e [0, Ir el conjunto de todas las [unciones
continuas y (x) definidas en el segmento [0, IJ Y sea
I
J ly(x}1= j y(x}dxl>. (1)
o
Entonces J Iy (x)} es una funcional de y (x): a toda [unción y (x) E
E e [0, 1]le corresponde un valor determinado JIu (x)]. Tomando en
(l) funciones concretas en lugar de y (x), obtendremos los valores corres-
pondientes de J r"l. Por ejemplo, si y (x) = 1, tenemos
1
J[l)=) l·dx=!;
O
§ 3. Funcional. Variación de una funcional y sus
propiedades
EXTREMO DE FUNCIONALES
Capítulo JI
será una funcional definIda en esta clase de funciones. Desde el punto
de vista geométrico, la funcional (2) representa la longitud del arco
de la curva !J = y (x) cuyos extremos son los puntos A (a. y (a) y
B (b, y (b».
kl Se denomina variación o incremento óy (x) del argumento y (x)
de la funcional J (y (x)lla diferencia entre dos funciones y (x) e Yo (x)
a
InV5- arctg 2.
Ir x dx
1[I+x)= J 1+{I+x)2
-1
EJEMPLO". Sea M = el [a, b) la clase de funciones y (x) que tienen
derivadas continua yl (x) en el segmento {a. bl. Entonces
b
Jfy(x)]= IVI+y'2dx (2)
tendremos
1
J [y (x)) = j cp (.~, y) dx
-1
será una funcional definida de la clase de funciones indicada. Por
ejemplo, si cp (x, y) = 1~yz' para la función !I (x) = x tendremos
ti x dx
J!x]= J l+x2 =0 y para y(x)=I+x
-1
para IJ (x) = X2 + 1 encontramos J {xZ + 11= 4 Y para Y (.~) =
I I l= In (1 + x) tendremos J {In (1 + x») = l+.x x-Z='3'
EJEMPLO 3. Sea M = e [-l. l] la clase de funciones y (x) con-
tinuas en el segmento [-l. 1)Ysea cp (x, y) una función definida y
continua para todos los -1 ::;;;;x::;;;; 1 Y para todos los valores reales
de y. Entonces.
EJEMPLO 2. Sea M = el [a. b) la clase. de funciones y (x) que
tienen derivada continua en el segmento [a, b) y sea
J [y (x)l = /j' (xo) , donde Xo E la, b¡.
Queda claro que J [y (x)J es una funcional deíinl da en la clase de
funciones señalada: a toda función de esta clase le corresponde un
número determinado, el valor de la derivada de esta función en el
punto fijo xo.
Siendo. por ejemplo, a = 1, b = 3 y xo = 2. tenemos para
y (x) = X2
27FUNCIONAL. VA~JACJON DE UNA FUNCIONAL§S.
1) Para abreviar, en lo que sigue escribiremos simplemente 6¡¡
en Jugar de By (x).
pertenecientes a la clase considerada M de funciones:
ay (x) = y (x) - Yo (x) 1).
Para la clase de funciones k veces dítercncrables tenemos
(<'3y)(II) = 6y(lI) (x).
Diremos que las curvas {/= y (x) e !I = 9, (x) definidas en el
segmento la, bl san cercanas en. el sentida de proximidad de orden nulo
si es pequeña en la. bl la magnitud I !I (x) - Yl (x) l. Desde el punto
de \' ista geomét rico. esto significa que son próximas las ordenadas
de dichas curvas en la. bJ,
Diremos qu~' las curvas y = !I (x) e y = {/l (x) definidas en el
segmento la. bl son, cercanas en el sentido de proximidad de primer orden
si son pequeñas en [a. bl las magnitudes I !I (x) - Yl (x) I y
I y' (x) - yí (x) I Desde el punto de vista geométrico, esto significa
que en la, b1 son próx imas tanto las ordenadas de dichas curvas C0l110
las direcciones de sus tangentes en Jos puntos correspondientes.
Las curvas 11=. !I (x) e y = Yl (x) son cercanas en el sentido de
proximidad de k-ésimo orden si son pequeñas en [a. bl1as magnitudes
I y (x) - Yt (x) J, I y; (x) - Yi (x) 1. ... , I yl"-) (x) - y¡lI:) (x) l.
Si las curvas son cercanas en el sentido de proximidad de k-ésimo
orden, con mayor razón lo serán en el sentido de proximidad de cual-
quier inferior.
11
EJEMPLO S La curva 1/ (x) = sen n x con n suñctenternen te grande
- rt
Y la cUf\'a!JI (x) ~. O son cercanas en [O, n] en el sentido de proximidad
de orden nulo ya que
! senn2 x Ily(x)-yJ(x)l= rt ~n'
o sea, el valor absoluto de esta diferencia es pequeño en todo el segmen-
to [0, ni si n es suücíenternente grande.
No hay proximidad de primer orden ya que
I y' (x) - uí (x) I= n I cos n'J.x I
y, por ejemplo, ('11 los puntos x = !~tendremos I y' (x) - Yí (x) I "",
=. 11, o sea, I y' (x) - y; (x) I puede resultar tan grande como se quiera
si n es suf iclentemento grande.
EJEMPLO 6. La curva y (x) = se~2nx con n sullctentemente grande
y la curva Yl (x) ..",.OSOI1 cercanas en (0, n] en el sentido de proximidad
de primer orden ya que. tanto
¡ sen nx I II y (x)-Yt (x) 1= /12 <fj2
C!\P. 11. EXTREl>lO DE FUNCIONALES28
En los problemas que siguen hallar fa distancia entre
las curvas en los segmentos indicados.
p= máx Y =<X-X2)1 t=+.
O~x~t :1;- '2
1y' = 1- 2x e v' =O para x ="'2
de modo que
EJEMPLO 7. Hallar la dis-
tancia p entre las curvas
y (x) = x e !/l (x) = Xi en el
segmento [O. I J (Hg. 1). )(
SOLUCIÓN. Según la defini-
ción p = máx t r-x 1, osea,
O::;x~ I Fíg. I
P = máx (x - x'). La Iun-
O::>':I<~l
ción y = x - x' se anula en los extremos del segmento 10. 1].
Determinemos el máximo de la íuncíón y = x - X2 en el segmentote, l}.
Tenemos
M(l. 1)y
Se denomina distancia entre las curvas y::::: y (x) e y = Yl (x)
(a =o;;; x =o;;; b), donde y (x) e 111(x) son funciones continuas en [a, bl.
el número no negativo p igual
al máximo del módulo I Yl (x)-
- 11 (x) I en el segmento
a~ x~ b:
P= P [Ul (x), U (x)] =
= máx Iys(x) -y (x) l.
o::>'~b
21. U(x)= cos nx Uf (x) 55! O [O, 2nl.n2+1 e en
28. y(x)= sen x e Y. (x)=O en [O, nI.11
x Ut (x)=0 [O, 1J.29. U(x)=sen- e en11
son pequeños.
Determinar el orden de proximadad de las curvas en los
problemas que siguen.
, • lcosl1xIIIy (t) - Yl(x) 1= -11- <:n
como
29FUNCIONAL. VARIACiÓN DE UNA FUNCIONAL, 3.
Igualando esta derivada a cero, encontramos los puntos estacio-
narios de t a función Jl2 (x) : .tl = O y Xz = ~. i\hora bien, Y2 Ix=-o=O,
yll a =..i.. y el valor de Jli (x) en el extremo de la derecha es
:t'~- 27
3
fig. 2
y
Desde este punto de vista se puede interpretar la distancia definida en
la pág. 29 como distancia de orden nulo.
EJEMPLO8. Hallar la distancia de primer orden entre las curvas
y (x) = x' e 111 (X) = x3 en el segmento O~ x ~ l.
SOI.UCIÓN. Calculemos las deriv adas de las funciones dadas:
y' (x) = 2x e Jlí. (x) = 3X2 y consideremos las funciones y, (x) =
= Xi - x3 e IJI (x) = 2x - 3Xil. Determinamos sus máximos valores
en el segmento lO. 11. Tenemos y; = 2x - 3x2.
Supongamos que las curvas y = y (x) e y = 111 (x) tienen en el
segmento la. bl derivadas continuas de orden n.
Se llama distancia de n-ésimo orden entre las curvas y = 11 (x)
e y = 111 (x) el mayor de los máxl mas de 1as exprestones
, Yl (x) - y (x) ,•. 1 y; (x) - y' (x) 1, ... , 1 y\n) (x) - ycn) (x) 1
en el segmento [a, bl. Representemos esta distancia así
Pn = Pn IYI (x). y (x») = rnáx máx I yiR) (x) - y(ll) (x) l.
O~/¡:'.f.n a~x:'.f.b
30 CAP. 11. EXTRF.MO DE FUNCIONAI,F.!;
30. !J (x) = xe:" e Yt (x) == O en [O, 2].
3.. Y (x) =sen 2x e !1i (x) =sen x en [o, ~l
32. y (x) = x e !J1 (x) = In x en rrl, ej.
I !I (x) - !lo (x) I < "l. I y' (x) - Yó (x) I < 11. . ..
. . " I y(n) {x} - y~n) (x) I < 1'].
En otras parabras, si se tiene I J ly (x)l - J Iyo (xH I < e siempre que
{In [y (x), !lo (x)1 < 1).
Consideremos el gráfico de la función y, = I 2x - 3xs I (ligo 2). Puede
verse de él que Po = l. Por consiguiente, la distancia Pl de primer
orden entre las curvas y (x) = Xi e Yl (x) = r será iguál a
PL = máx (Po, po) = l.
33. Hallar la distancia de primer orden entre las curvas
y (x) = In x e Yl (x) = x en el segmento re-l, ej.
34. Hallar la distancia de segundo orden entre las curvas
y (x) = x e Yl (x) = -cos x en el segmento [0, ~ ]
35. Hallar la distancia de lOOl-ésimo orden entre las
curvas y (x) = eX e Yl (x) = x en el segmento [0, IJ.
Se llama e-vecindad de n-ésimo orden d.e la curva !I = IJ (x)
(a ~ x:S:;;; b) elconjunto de las curvas y = 1J1 (x) cuyas distancias de
n-éstrno orden a la curva y = !I (x) son menores que e:
Pn = Pn llJ (x), Yl (x)) < e,
La s-vecindad de orden nulo se denomina e-vecindad fuerte de la
función y = y (x).
La e-vecindad fuerte de la curva IJ = Y (x) está formada por todas
las curvas comprendidas en la franja de 28 de anchura construida a
partir de la curva y = y (x).
La s-vecindad de primer orden se denomina e-vecindad débil de
la función. 11= Y (x).
2°. Continuidad de una funcional. Una funcional J I.IJ (x}) definida
en la clase M de funciones y (x) se llama contlnua en y = Ye (x) en
el sentido de proximidad de n·ésimo orden si cualquiera que sea el
número 8 > O existe un número "l > O t-al que la desigualdad
I J [y (x)] - J l.!Io (x)] I < 6 se cumple para todas las funciones admi-
sibles y = y (x), o sea, para todas las funciones que satisfacen las
condiciones
Determinamos ahora la distancia Po de orden nulo entre las derivadas
/j' (x) = 2x e Yi (x) = 3xs:
Po= máx I Y3 (x) 1= máx I 2.x-3x2 1-
O~%~t O~x~i
Ya (1) = O. Por eso,
31FUNCIONAL. VARIACiÓN DE UNA fUNCIONAL§ a.
Es decir, para todo 8> Oexiste un número 1') > O (por ejemplo,
r¡= ~) tal que I J (y (x)) - J [x] I < 8 siempre que Pt Iy (x), x] <
< 'l. Pero, según la definición, esto significa precisamente que nuestra
funcional es continua en la funci6n Yo (x) = x en el sentido de proxí-
e eIy (x)-x 1< 3 e I.!I' (x)- 11< 3
I J [y (x») - J [x] < 8.tendremos
eTomemos r¡=3' Entonces, para todas las funciones y (x) ECdO, II
tales que
t 1~ J Jy-xJdx+2 J Iy'-lldx.
o o
EJEMPLO 9. Demostrar que la funcional
t
l'
Jly(x)l= ~ (1I+2y')dx
o
considerada en el espacio CI 10, 1 ( es continua en la funcian Yo (x) = x
en el sentido de proximidad de primer orden.
SOLUCIÓN. Tomemos un número cualquiera e> O y demostremos
que existe un número r¡> O tal que I J Iy (x)) - J [x) < e siempre
que I IJ (x) - x I < '1 Y 1 y' (x) - I 1 < 'l. Tenemos
1
IJ[I/(X))-J(X]I=I ~ (Y+2yl-X-2)dxl<
o
y, por eso, podemos deñnir la continuidad de la funcional J fy (x)]
en y = Yo (x) de la forma siguiente
lim J [Yo (x)+<xw (x)) = J {Yo (x»).
a...O
Toda funcional que no sea continua en el sentido de proximidad
de Il·ésimo orden se denominará discontinua en este sentido de proxl-
mldad. Poniendo
/j("') (x) = y~ll) (x) + <xw(k) (x) (k = O, 1, 2, ... , n),
donde <X es un parámetro y w (x) es una función cualquiera de la clase
M, podemos persuadirnos de que
Iím ylh} (x) = y~k} (x) (k = O. 1,2, .•. , n)
a;...0.l
CAP. TI. EXTREMO De FUNCIONALES32
3-01381
definida en el espacio el [ü, n]. Demostremos que es discontinua en la
función Yo (x) == O en el sentido de proximidad de orden nulo.
_ sennx
En electo, sea Yo (x) ;: O en lO, nJ y sea {lit (X) =---. Enton-n
1ces, Po (Yo (x), Yn (x)) ::= - de modo que Po ~ O cuando II ~ co,n
R
J 1.1>' (x)] = J y''J. dx
o
siempre que p, [y (x), Yo (x) J < r¡ que es lo que se queria demostrar.
Este ejemplo permite ver que de la continuidad de la funcional en el
sentido de proximidad de n-ésimo orden no implica, hablando en tér-
minos generales, su continuidad en el sentido de proximidad de orden
Inferior,
EJEMPLO 1). Consideremos Ia funcional
mldad de primer orden. Es fácil ver que esta funcional es continua e
el sentido de proximidad de primer orden en cual quier curva y (x)
E C, lO. 1).
EJEMPLO 10. Consideremos la funcional
I [g (x)} = y' (xo).
donde las funciones y (x) E C, [a, b] y Xo E la, b).
Esta funcional es discontinua en el sentido de proximidad de
orden nula en cualquier función 11 (x). Efectivamente, escogemos cp (x)
de modo que <p' (xo) = l Y que I <P (x)' < 11 en el segmento la, b}.
Consideremos la función y (x) = Yo (x) + <p (x), donde !lo (x) E
E el la, bl. Entonces tendremos y' (xo) = lió (xo) + l. Es obvio que
P (y (x), !Jo (x») < ", O sea. que las curvas y (x) e Yo (x) son cercanas en
el sentido de proximidad de orden nulo. Al mismo tiempo J Iy (x)) -
- J [Yo (x») = 1, es decir, los valores de la funcional no son próximos
por cercanos que sean, en el sentido de proximidad de orden nula. los
argumentos y (x) e Yo (x).
Hablando con más precisión, existe un 8> O (por ejemplo, cual-
quier 8 < 1) tal que para cualquier" > O existirán funciones y (x)
para las cuales
Po [y (x), Yo (x)} < 1] y, sin embargo, , J fu (x)! - J (Yo (x)] I ~ 8.
Esto significa precisamente que la funcional J (y (x)) es discontinua
en el sentido de proximidad de orden nulo.
Demostremos que esta funcional es continua en el sentido de
proximidad de primer orde t.
Tomemos un & > O cualquiera. Tendremos
I J (y (x)] - J (Yo (x») = I y' (xo) -!l~ (xo) ¡.
Queda claro que tomando 11= 8 tendremos
I J [O (x)J - J ¡Yo (x») I < e
I 8. FUNCIONAL. VARIACIÓN DE UNA FUNCIONAL
J(
4t. J fy (x)l = j (1+2y'2) dx en la función Yo (x) c;:;,s 0,
o
n
40. J {y (x)J= )VI +y'Z dx en la función Yo (x) == O,
o
donde y (x) E CI [0, tt): O
a) en el sentido de proximidad de orden nulo;
b) en el sentido de proximidad de primer orden
negativo,
{
V si y (x) toma al menos un valor
J [y (x») = -4- si y (x) == 0,
1 si U(x)~O e y(x)9É0,
en el sentido de proximidad de orden nulo
1
39. J (U (x)] = ) Iy' Idx, donde las funciones y (x)
o
tienen primera derivada continua en el segmento [O, 11:
a) en el sentido de proximidad de orden nulo;
b) en el sentido de proximidad de primer orden.
11
\ cos2nx d nJ [Yn (x)\-J (Yo (x)]= J n x=2"
O
no depende de fi. Es decir, J [Yn (x)) no tiende hacia J [Yo (x» = O
cuando n -- 00 Y. por consiguiente, nuestra funcional es discontinua
en la {unción Yo (x) == O en el sentido de proximidad de orden nulo.
Proponemos al lector demostrar que esta funcional es continua
en la función Yo (x) == Oen el sentido efe proximidad de primer orden ..
Analizar la continuidad de las funcionales siguientes
36. J fy (x)J = y (xo), donde y (x) E C [a, bl y Xo E la, b),
en el sentido de proximidad de orden nulo
37. J fy (x)J = rnáx I y (x) 1, donde y (x) son funciones
continuas en el segmento la, bJ, en el sentido de proximidad
de orden nulo.
38.
Por otro lado, la díferencia
CAP. 11. EXTREMO DE FUNCIONALES34
definida en el espacio Cl la, b] es, obviamente, lineal.
b
L [y (x)) = J W+y)dx
a
donde 111 (x) EM e 112 (x) E M.
Por ejemplo, la funcional
L 1111 (x)J + v« (x)) = L [Yt (x)J + L (Y:a (x)l,2)
donde e es una constante cualquiera y
L {ey (x)) = el: (y (x)J,1)
Pasando al límite cuando el -+ O, obtenemos de esta igualdad
t
lím lJy(x)J= r x3V 1+~dx=J[x2}
a:.. O J
O
lo que equivale a la continuIdad de la funcional en la función
Yo (x) = xa•
DEPINICION. Sea M un espacio lineal normado formado por las
funciones !I (x).
La funcional L [y (x)) definida en el espacio M se denomina
lineal si satisface las condiciones
donde y (x) E C; Iü, rr], en el sentido de proximidad de
primer orden.
EJEMPLO 12. Demostrar que la funcional
1
J(y{x)]= J x3Vl+y2dx
o
definida en el conjunto de las funciones y (x) E e [0, 1] es continua
en la función yo(x) = x!- en el sentido de proximidad de orden nulo.
SOLUCION. Pongamos y (x) = r+ enl (x), donde T) (x) E C (0, 1)
Y a. es tan pequeño como se quiera, tenemos
1
J [11 (x)] = J [x2 + a:f) (x}J= J xli VI +(x2+ a:1l)2dx =
O
1
= J x3Vl+x4+2a:x2r¡+a.2rt2dx•
o
35FUNCIONAL. VARIACiÓN DE UNA FUNCIONAL§ s.
Al = L [y (x), ay) + ~(y (x), ay) 11 8y 11,
donde L {y (x), ayJ es una funcional lineal respedo a ay y ~ (y (x), 6y)-- o cuando !l 6y 11 - O, entonces la parte del incremento lineal res-
pecto a ay, o sea, L [y (x), óyJ. se llama variación de la [uncional y se
se puede representar en la forma
t t 1
M=J(x2}-J[x]= J x22XdX-) x.l'dX=) (2xS-x)dx=O.
o O O
45. Hallar el incremento de la funcional del ejemplo 13
siendo y (x) ex e Yl (x) = 1.
DEFINICIÚN. Si el incremento de la funcional J [y (x)]
llJ = J [y (x) + 6yl - J [y (x)]
se denomina incremento de la funcional J {y (x)] correspondiente al
incremento 8y del argumento.
EJEMPLO 13. Hallar el incremento de la funcional
t
J [y (x}) "'" J y!!' dx
o
definida en el espacio el [a, bJ si 11 (x) = x e !h (x) = x'.
SOLUCIÚN. TenemosExiste otra definición de funcional lineal:
La funcional L Iy (x) 1se denomina lineal si 1) es continua y 2) satis-
face la condición
L [Yl ():) + Y'l; (x») = L (Yl (x)] + L [g, (x)]
cualquiera que sean 9, (x) EM e Y2 (x) E M.
42. Demostrar la equivalencia de las dos definiciones de
funcional lineal.
43. Demostrar que la funcional L [y (x)1 = y (xo) es lineal.
44. Sea L [(y (x)l una funcional lineal. Demostrar que si
l ' L (y(x)J . r ] -a razon 11y(x) JI -+- O cuando 11y (x) 11-+ 0, es L y (x) = O.
3°. Variación de una funcional. Sea J Ly (x)1una funcional defini-
da en el conjunto M de funciones y (x). La magnitud
t::.J = s: (11 (x)) = J [y (x) + ay] - J [y (x)]
(6y = y'(x) - y (x), donde Ij (x) E M e y (x) E M)
éAP. TI. EXTREMO DE FUNCIONALES
En el últlmo miembro de (3) la primera integral representa la Iunclo-
nal lineal respecto a 611 cualquiera que sea-la funci6n fija y (x). Estl·
definida en el espacio e [a, b] es dilerenciable en todo punto !I (x).
SOLUCiÓN. Tenemos
b b b b
6J= J (y+ay)2dx-) y2dx.= J 2yOydx+ ) {Oy)2dx. (3)
o o a a
EJEMPI.O 15. Demostrar que la funcional
b
J tu (x)l = ) y2dx
a
b
Es decir, l1J = J ay áx, Pero ésta es una funcional lineal respecto
a
a (¡y. Todo el incremento se ha reducido en nuestro caso a una funcional
lineal respecto a 6y. La funcional considerada es diferenciable en todo
b
punto y (x) y su variación es ó! = J 6y dx.
o
47. Demostrar que toda funcional 1 ty (x)] lineal continua
es siempre diíerenciable.
b b b
= J (y+~y) d:r - r ydx= J aVax•
a a o
definida en el espacio e la, b] es diíerenclable en todo punto y (x)
de este espacio.
SOLUCION. Tenemos
6.J=J (y (,r)+6yJ - J Iy (xl)=
representa por (jJ. Se dice en este caso que la funcional J [y (x)) es
dí [erenolabte en el punto y (x).
46. Demuéstrese que la variación &1 de la funcional
1fy (x)l se determina unívocamente (si es que existe).
EJEMPLO 14. Demuéstrese que la {uncional
b
J [y (x)] = J !I d:z
a
37FUNCIONAL. VARIACION DE UNA FUNCIONAL
b
J !y (x)] = ) F (x, y) dx
o
t
48. En la funcional J (y (x)J= J y'l.dx tomar y = 2x
o
y fJy = CtXZ; comparar /jJ y IlJ para Ct = 1; -0,1 Y0,01.
1 .
49. En la funcional J fy (x)l = J x!ldx tomar y = ¿s: y
o
ay = CtX; comparar tlJ y 6J para Ct = 1; 0,1 Y 0,01.
50. Analizar si son o no diferenciables las funcionales
siguientes:
1) J fu (x)] = y (a) en el espacio e la, bl.
2) J IU (x)J = y (a) en el espacio el fa, el,
3) J [y (x)] = VI + y'z (a) en el espacio el fa, bl.
4) J fy (x)l = I y (a) I en el espacio e la, bJ.
51. Demostrar que la funcional J'A [y (x)] es diferenciable
si lo es J fy (x)1. Hallar la variación de J2 [(y (x)L
52. Sea F (x, y) una función continua de sus argumentos
con derivadas parciales continuas hasta de segundo orden
inclusive en el recinto a ::::;;;x ~ b, -00 <y <+ oo. Demos-
trar que la funcional
b
~(máx Jagl)2 r dX=(b-a)lIóIIIIZ=((b-a)1I6YIIJlffSYII.
Q~x~b Ja
Si 11 ay 11 - O, la magnitud
(b - a) 11 ay n -1- O.
Es decir, hemos logrado representar el incremento llJ de la funcional
como la suma de L 111(x), óy! y de una magnitud infinitésima de
segundo orden con respecto a 110,,11. Segun nuestra definición, la
funcional considerada es dilerenciable en el punto 11 (x) Ysu variación es
b
6J= 2 ) y oydx.
a
memos la segunda integral de este miembro. Tenemos
b b
) (óy)2 dx= J I óy 12 dxe
a a
CAP. 11. EXTREMO DE FUNCIONALES38
El primer sumando en el segundo miembro de (6) es lineal respecto a
6YIY 6y·. SuponR'amos que las segundas derivadas parciales de la
fundón FI.(x, y, y ) respecto a y e y' no pasan, en valor absoluto, de una
constante M > O en un recinto acotado respecto a y e !I'. Tendremos
entonces
b bJ J R (x, y, JI', ~U,oy') I dx ~ 2M J IJ6yll2 dx=2M (b-a) 11 óy 112,
o a
Según la fórmula de Taylor
F(x. g+óy, [1' +6y')- F (x, y, y') =:
= ~: oy+ ~:' ay' -1- R (x, U. y', 6g. tly'), (5)
donde R [x, Y. y'. f5y, 6y') es el término complementario de la lórrnula
de Taylor. Introduciendo (5) en (4), obtenemos
b b
Al (y (x}1= j (~~hy+ ::' oy') dx+ ) R (x, y, y', ~!I, hy') dx, (6)
a a
definida en el espacio el [a, b) de funciones y (x) que son continuas
en el segmento fa, bJ y (IUe tienen en él derivada continua de primer
orden. La función F (x, !I, y') es continua respecto a todos sus argu-
mentos y tiene derivadas parciales continuas hasta de segundo orden
inclusive en el recinto
a ~ x ~ b, -00 < y < +00, -00 < y' < +00.
Determinamos el incremento IlJ de la funcional correspondiente al
Incremento óy de) argumento siendo 6y E el la, bl, Tenemos
b
IlJ (y (x» = 5 (F(x, y+ay, y'+6y')-F(x, y, y')Jdx. (4)
EJEMPLO 16. Consideramos la funciona!
b
J fu (x)J= J F (x, y, y') dx
a
b
<'J= f iJF~, y) oydx.
~ y
a
definida en el espacio e [a, ir] es diferenciable y que su varia-
ción es
39FUNCIONAL VARIACION DE UNA FUNCIONAL§ 3.
1
J [y (x)] = ) (XZy'2_!I) dx
o
tomar y = x'J. y 6y = kX3; comparar I1J y tU para k == 1;
0,1 y 0,01.
n
55. En la funcional J ry (x}1= 5 s" sen x dx tomar y =
o
= sen x y fJy = k cos x; comparar /.}} y 6J para k = -1;
0,3' Y 0,03.
,
J [y (x)J = j (y' y+xy''l.) dx
t
k(x-l)tomar y = In x y 6y = e:=T ; comparar I1J y 6J para
k = 1; 0,1 y 0,01.
54. En la funcional
•
8J =) [(y' ell+2xy) Oy+ell5y' Idx.
-1
53. En la funcional
EJEMPLO 17. Hallar la variación de la funcional
1
J [y (x)] = J (y'ell+xyZ) dx,
-1
SOLUCION. La función F (x, y, y') = !leY + xy' es, evidentemente,
conlinua respecto a todas las derivables x, 11 e y' en conjunto y sus
derivadas pardales de cualquier orden respecto a y e y' son acotados
en cualquier recinto acotado de variación de y. e y'. Por esto, la funcio-
nal considerada es düerencíable en el 1-1, 1) y, según la f6rmula (7),
su variación es
(7)
donde 11 8y 11 = 1_!lá!, (1 6y l. \ 6y' \). Por conslguíente, el segundo
a..~x.~b
sumando del segundo miembro de (6) es una infinitéslma de segundo
orden respecto a n 6y 11. Es decir, en virlud de la definici6n, la funcio-
nal J [y (x)1 es dlíerericlable en el espacio el (a, b) y su variación es
b
~J = J (~~ ~y+~:' Oy') dx
CAP. 11, EXTREMO DE FUNCJONALES40
(véase el ejemplo 15). DetermInemos la variación de la funcional
J [y (x)] basándonos en la segunda delínición. Tenemos
b
Jlv(x)+a6y}= j (y+aBy)2dx.
o
SOLUCiÓN. La variación de esta luncional en el sentido de la prí-
mera definición es
b
6J =2 J 116y dx
4
b
J [y (.~)]= J JI" dx,
a
Si existe la variación de la funcional en tanto que parte principal
lineal de su incremento (o sea, si existe la variación en el sentido de
la primera definición), también existe la variación en tanto que valor
en a = O de. la derivada respecto al parámetro a y ambas variaciones
coinciden.
EJEMPLO 18. Empleando la segunda definición. hallar la variación
de la funcional
a6J = OIZ J [y (x)+a6yll~_o.
4". Segunda definición de la varIación de una funcional. Se llama
variación de la [unctonai J [y (x)] en el punto y = y (x) el valor que
toma en a = O la derivada de la funcional J (U (x)+ a~!ll (constdera-
da en tanto que función de a) respecto al parámetro a:
es diferenciable en el espacio Cm La, bl y que su variación es
b
6J= J [ :: 6y+ :~6y' + ... + a:(~) o!lm)J dx.
~
56. Las derivadas parciales de segundo orden de la fun-
ción F (x, Zl. Z2, ••. , zm+t) respecto a todos los argumentos
son continuas en el recinto a =::;;;; x =::;;;; b Y - 00 <lit <+ 00
(k = 1, 2, ... , m + 1). Demostrar que la funcional
b
J {U (x)] = J F (x, y, lJ', •.. , y<"'J) dx
Q
41FUNCIONAL. VARIACION DE UNA FUNCIONALp.
OBSERVACION. La segunda deflnlctón de la variaci6n de una fun-
cional es en cierto sentido más amplia que la primera pues existen
funcionales que tienen variación en el sentido de la segunda definición
aun cuando no se pueda despejar la parte principal lineal en el incre-
mento de las mismas. Para explicarlo recurrlremos a las funciones;
..• , U~)dx,
donde F es una función continua de sus argumentos y sus
derivadas parciales respecto a lodos los argumentos son
continuas en un recinto acotado a de variación de los mismos.
b
6t. J(YII Uz, ... , Ynl= r F(x,YI' UZ, ... , Y'l! y;, y~,
v
a
11:
60. J [y (x)l= ) y' sen ydx.
o
1
59. J (y (x)] = y2 (O)+ J (xy+ y'Z) dx.
O
b
58. J{y(x)J= J (yZ_y'2)dx.
a
a
e
57. J lY (x)} = J (x+ y) dx.
Las variaciones de la funcional en el sentido de la primera y de
la segunda definiciones coinciden.
Para las funcionales que siguen hallar, en los espacios
correspondientes, sus variaciones en el sentido de la segunda
definición.
e
óJ = iJ~ J fu (x)+<x~u]Ia.... o= 2 J yóy dx,
(l
de modo que
b
iJ~ JIY(X)-!-MY)=2) (y+<xóy)ógdx
(1
Por eso,
CAP. JI. EXTREMO DE FUNCIONALES
donde A (/) es una funci6n continua fija. representa una funcional
b
bilineal en el espacio e la. b] mientras que la expresión 1A (l) Xi (t) dt
(l
representa. en este mismo espacio, una funcional cuadrática que resulta
definida posítiva si A (t) > O para todo t E (a, ti);
b
¡Ix, !/]= J A(t) x (/) g(t)dt,
a
donde p y q> son las coordenadas polares del punto (x, y). Las derivadas
pardales :~ y!~existen en todo punto y son iguales a cero en el origen
de coordenadas; sin embargo. no existe la diferencial el, en el origen
de coordenadas. Efectivamente, supongamos que df existe. En este
caso el gradiente de la función f seria igual a cero en el origen de coor-
denadas y, por eso, la derivada df ~iO) en cualquier dirección también
seria igual a cero. Pero es fácil persuadirse de que
dI (O, O) l 2
di ="2sen q>
lo que, en general, es diferente de cero. Agul cp es el ángulo entre el
vector 1 y el ele Ox.
5°. Segunda variación de una funcional. Una funcional J [.r, y]
dependiente de los elementos x e!/ (que pertenecen ambos a un espacio
lineal) se denomina bilineal si es una funcional lineal en r para x
fijo y una funcional lineal en x para y fijo. O sea. la funciona J [x, 111
es bilineal si
J (alX] + a2xS' U] = al) [Xl, y] + aaJ [X2' gl,
J (x. ~1l(1+ ~2!1!al= ¡ljJ [x. YtJ + ~2J [x, Y21.
Poniendo en la funcional bilineal y = x obtenemos la expresión
J {x, x] llamada funcional cuadrática.
Toda funcional bilineal definida en un espacio de dimensión
finita se denomina forma bllineal.
Una Iuncíonal cuadrática J Ix, x] se denomina definida positiva
si J [x. x) > O cualquiera que sea el elemento no nulo x,
Por ejemplo.
1) la expresión
xyf (x, y)
en este caso nuestra afirmación equivale a que la exlstencla de las
derivadas en cualquier dirección no basta para la existencia de la dife-
rencial de la [unción.
Sea
43FUNCIONAL. VARIACIÓN DE UNA FUNCIONAL§ 3.
6J = J (y (x)+6$11- J [y (x)] -=-
1
= J [x (y+6y)'2+(y' +Oy')3_xy'2_y'3] dx=
O
1
=) ¡2.xyOy+x (6y)2+3y'20y' +3$1' (6g')'2+ (6y')3Jdx=
o
t 1 t
= J (2xy6y+3y'26y') dx + J (x (6y)2+3y' (611')'21dx+ ) (011')3dx, (8)
O O O
donde K (s.t) es una función fija de dos variables, representa una run-
clona] bülneaí en CIa. b).
DEFINrerON. Sea J fy (x) ) una funcional definida en un espacio
lineal normado. Diremos que la funcional J [y (x)} tiene segunda
variación si su incremento 6J = J Iy (x) + 8y1 - J [y (x)) puede
ser representado en la forma
1s: =L, [~g)+2 ~I~y)+~ 11~y 1(2,
donde LI (6y) es una funcional lineal, L2 [6y] es una funcional cuadrá-
tica y ~ -+ O cuando 1I 6y \1 -- O.
La funcional cuadrática L2 [ay) se denomina segunda variacU5n
(o segunda diferencial) de la luncíonaí J [y (x)] y se desIgna por 6"J.
La segunda variación de una funcional se determina unívocamente
(Sí es que existe).
EJEMPLO 19. Hallar la segunda variación de la funcional
1
J [y (x») = ) (xy2+y'9) dx
O
definida en el espacIo Cl [O, 1) de las funciones y (x).
SOLUCIÓN. Tenemos
a a
es un ejemplo de una funcional cuadrática definida para todas las
funciones pertenecientes al espacio CI [a, bJ;
3) la expresión
h b
J(X,Yl=l ) K(s,t)x(s)y(t)dsdt,
2) Ji' expresión
b
J (x, xl = J (A (/) 1'2 (t)+B (1) x (1) x' (/) +C (t) x'2 (/)] dt
a
CAP. u. EXTREMO DE FUNCIONALES
Hallar la segunda variación.
b
65. J [y (x)J = r F (x, y, ti, ... , y(ml)dx.
el
Para las funcionales de tipo integral (que predominarán en nuestras
consideraciones) ambas deriniciones coinciden.
a21D (al I
da'J ~-o'
definidas en el espacio eJ [a, bJ son dos veces diferenciables
si la función integrando F tiene derivadas continuas hasta
de tercer orden inclusive. Hallar la fórmula para la segunda
variación.
Consideremos la función a> (a) = ¡ [y (x) + aOy]. La segunda
variación 6't.J de la funcional J [y (x)] se define también mediante el
valor de la segunda derivada de la función ID (a) en el punto a = o:
I
62J =2 5 (x{liy)2+3y' (6y')2.) dx,
O
62. Hallar la segunda variación de una funcional cuadrá-
tica.
63. Hallar la segunda variación de la funcional eF(IIJ
siendo F (y) una función dos veces díferenciable.
64. Demostrar que las funcionales de tipo
b
J [y(x)] = J F (x, y. !/)dx
(1
Fijemos y (x). El primer sumando del último miembro de (8) será
entonces una funcional lineal respecto a 6y; el segundo sumando de
este miembro sera una funcional cuadrática: finalmente, el último,
tercer, sumando de este miembro puede ser estimado as!
1 1 II ) (6y')Sdx I~ (rnáx 16y' 1)2 5 J 6y' I dx ~ ( J 16y' I dX) 116y 112
o O o
(la norma se toma en el sentido del espacio et (0, 1)), o sea, podrá ser
representado en la íorma ~ 11 6y II~. donde ~ -+ O cuando 11 6y 11 -+ O.
Por definición, para nuestra funcional existe la segunda variación
fJ'J¡ igual a
45FUNCIONAL. VARIACIÓN DE UNA FUNCIONAL
I l'
M = J (y (x)] - J [O]=) (x2 + (2) dx - ) X2 dx= J y2 dx #- O;
o O O
además, el signo de Igualdad se da 5610 para y (x) == O.
EXTREMOS PUE1ITEy DeBIL. Oiremos que la funcional J (y (x)J
alcanza su mdxlmo relativo fuerte en la curva y = Yo (x) si
J Iy (x)] :s;;;; J (!le (x))
para todas las curvas admisibles y = y (x) pertenecientes a una s-vecln-
dad de orden nulo de la curva y = Yo (x). Análogamente se define el
mínimo relativo fuerte de una funcional.
Diremos que la funcional J [y (x)l alcanza su máximo relativo débil
en la curva Y = Yo (x) si
J [y (x») ~ J [Yo (x)1
para todas las curvas admisibles y = y (x) pertenecientes a una s-ve·
cindad de primer orden de Ia curva y = Yo (x). Análogamente se define
el mínimO relativo débil de una /lmcional.
... , y~)dx,
6°. Extremo de una funcional. Condición necesarla de extremo.
DIremos que la funcional J (y (x)] alcanza su mázlmo en la curva
y = Yo (x) si los valores que toma la funcional J [y (x)1 en cualesquiera
curvas próximas a y = Yo(x) no son mayores que J (Yo(x)1, o sea, si
ó.J = J [y (x)) - J (Yo (x)} ~ O.
Si ó.J ~ O y tJ.J = O sólo para y (x) = Yo (z), diremos que se
alcanza máximo estricto en la curva y = Yo (x).
Análogamente se define la curva y = 110 (x) en la que se alcanza
un minimo, En este caso se tiene ó.J > O para todas las curvas próxl-
mas a la curva IJ = Yo (x),
EJEMPLO 20. Demostrar que la funcional
I
J (y (x)l = ) (x2+ (2) dx
O
alcanza rnlnímo estricto en la curva y (x) s O.
SOLUCION. Cualquiera que sea la función IJ (x}. continua en [O, 1],
tenemos
...,
11
67. J [!JI' !J2, .•. , !Jn] =) F (x, !Jt, !J~,
a
66. J (z (x. !J) 1= J f P (x. !J, z, zx, z/I) dx dy.
G
CAP. 11. I!XTRP.MO DE PUNCIONALES
=1. r sen2nxdx-..!.... r sen22nxdx,.,,~-~
n J 4 J 2n 8'
O O
O sea, J < O en estas curvas si n es suficientemente grande. Por otra
parte, siendo tl suficientemente grande, todas estas curvas se encuen-
tran en una vecindad tan pequeña como se quiera de orden nulo de la
curva JI = O. Por consiguiente, no se alcanza mínimo fuerte en y = O.
EJEMPLO 22. (Weierstrass). Consideremos la funcional
1
J[y{x»)= J x'2y'2dx; y(-I)=-I. y!I)=1.
-1
En el segmento [-1, 1) tenemos J Iy (x)] ~ O y, además, J [11 (x») = O
sólo si y' (x) = 0, o sea, si y (x) = e = const. La función 11 (x) = e
pertenece a la clase el [-1,1] de las íunclcnes que tienen primera deri-
vada continua en ('1segmento (-1, lJ, pero 110 satisface las condiciones
de frontera dadas. Por consiguiente, J [y (x)] > O para todas las
(unciones y (x) E el [-l. 1] que satisfacen las condiciones y (-1) ::i::; -1
n
J Iy (x»)= ~ J sen2nx (1 -n cos2 nx) dx=
o
En este caso
en el espacio de funciones JI (x) E el [O. n) que satisfacen la condiciónJI (O) = JI (n) = O. En el segmento (O. n) del eje Ox hay mínimo débil
de J. En efecto, tenemos J = O si y = O; por otra parte, para las curvas
pertenecientes a una e-vecindad de primer orden .M este segmento,
donde e es cualquier número positivo menor que 1, se tiene I y' I < l
de modo que el integrando es positivo para JI ::;6:O y, por consiguiente.
la funcional se anula sólo si y = O. Es decir, la íunclonal alcanza
mínimo débil en la curva y = O.
Mínimo fuerte no hay. Basta tomar
I
y (.1:) =Vii sen nI
Los máx imos y mínimos (fuertes 'i déblles) de la funcional
J (y (x)l se denominan extremos relativos.
Todo extremo fuerte es al mismo tiempo extremo débil pero no
viceversa.
El extremo de la funcional J (y (x)l referente a la totalidad de las
funciones en las que está definida 1a funcional se denomina extremo
absoluto.
Todo extremo absoluto es al mismo tiempo extremo relativo fuerte
y débil pero no todo extremo relativo será extremo absoluto.
EJEMPLO 21. Consideremos la funcional
1'1
J (JI (x) 1= ) y2 (1 - y'2) dx
O
47FUNCIONAL. VARIACIÓN DE llNA FUNC.IONAl
2a 1 (I-a arctg ~ ) .
arctg2-~
y ""Yo(x)
I
2a r
i Jarctg2 - oa
(=
(a2+x2) arctg2- a
Tenemos
t
J (Ya. (x)J = J
-t
FIg. 3
e 11 (1) = 1. En otras palabras, la funcional tiene cota inferior pero
ésta no se alcanza en las curvas y (x) Eel 1-1, 11. Efectivamente,
consideremos la familia monoparamétrica de curvas
xarcfg-~
Ya. (x)= J' ~> O.
arctg-n
Todas ellas satisfacen las condiciones de frontera: Ya. (-1) = -1 e
Ya. (1) = 1. Pasando al límite para a -- O. obtenemos la lunclén
{
-1, si -1 ~;c:<O,
y(x) = O, si x=O,
-+ 1 ,si O<x < 1.
es decir, y (x) = sg x (Hg. 3). Esta función pertenece a la clase de
funciones díferenclables a trozos en el segmento [-l. 1).
y
CAP. JI. EXTREMO DI! PUNCIONALES48
4-01387
x <p (x-l) - rp2 (x) - 2cp(x) f (x)] dx,
donde el argumento funcional rp (x); es continuo y tiene deri-
vadas continuas a trozos en todo el intervalo - 00 < x <
<+ 00, p (x) tiene derivada continua y f (x) es continua.
70. J [q¡ (x)J=r [p (x) q>'2 (x) +q(x) qJ2(x)--2(jl (x) f(x)}dx,
-00
donde K (s, t) es una función continua simétrica de s y t en
{
a -c s <. b}el recinto D a ~ t _~ b .! (s) es una función continua
en fa, b] y cp (5) es el argumento funcional continuo incógnito.
+""
69. J [q¡ (x)] = J [p (x) rp'2 (x) + 2rp (x + 1) X
b b
+ J rp2(s)ds-2 J q¡(s)f(s)ds,
Q a
(l a
Queda claro que J {y~ (x)J -+ O cuando ce. -+ O. En la función límite
y(x), que satisface las condiciones de frontera y(-l) = -1 ey (1) ::.:"
= 1, el valor de la funcional J [y (x)l es igual á cero: J íY (x» = O.
Por consiguiente, la funcional J fy (x)) alcanza su valor mínimo
en la curva y (x) = sg x que pertenece. a la clase de funciones diíeren-
dables a trozos en el segmento [-1, 11 pero no pertenece a la claseel [-1, 1].
Teo~EMA (condición necesaria de ex tremo de la lunclonal}. Si la
funcional diferenciable J [y (x)l alcanza su valor extremo en la curva
U= Yo (x), donde Yo (x) es un punto interior del campo de deft/~ición
de la funcional, entonces en y = Yo (x) se tiene
f>J [Yo (x)] = O. (9)
Las funciones para las cuales 5J = O se denominarán funciones
estacionarias.
Hallar las ecuaciones funcionales para las funciones esta-
cionarias de las funcionales que siguen, empleando la condi-
ción necesaria de extremo (9) y los lemas fundamentales del
Cálculo variacional.
b b
68. J [q> (s») = J J K (8, t) q> (s) rp (t) ds dt+
49PUNCIONAL. VARIACIÓN DE UNA FUNCIONAl.§3.
Las curvas integrales de la ecuación de Euler se denominan exire-
males (o curvas de Lagrnnge).
En forma desarrollada la ecuación de Euler da
V~ (x) FIj'II' -1- y' (x) Fyy' + Fxy'- Fu = O (FY'll' ,*0)
y representa una ecuación diferencial de segundo orden de modo que
su solución "general comprenderá dos constantes arbitrarias cuyos
valores se determinan. hablando en términos generales, de las con di-
ciones de frontera (1)_
La funcional (2) puede alcanzar extremo sólo en las cxtrcrnales que
satisfacen las condiciones (1).
1) Esta condición es necesaria para el extremo débil. Como quiera
que todo extremo fuerte PoS al mismo tiempo un extremo débtl, cual-
quier condición necesaria para el extremo débil también será necesaria
para el extremo fuerte.
(3)
dF,,--F 1=0.
Y dx 11
En otras palabras. el problema elemental del Cálculo var iacíonal
consiste en hallar el extremo débil de la funcional de tipo (2) en el
conjunto de todas las curvas suaves que unen dos puntos fiJOS PI (a, A)
y p.. (b. B).
TEOREMA l. Condición necesaria 1) para que la funcional (2), defi·
nida en el coniunto de todas las funciones 11= {I (x) que tienen derivada
continua IJ que satisfacen las condiciones de frontera (1), alcance su valor
extremo en la functón y (x) es que esta función verifique la ecuación
de Euler
(2)
(1)y (a) = A e y (b) = B
hallar la [unción que ofrece extremo débil a la íuncíonal
b
J 111(x)1 =j F (x, Y. y/) dx,
§ 4 Problema elemental del Cálculo variacional.
Ecuac.ión de EuJer
Supongamos que la función F (x, y. 11') tiene derivadas parciales
continuas hasta de segundo orden inclusive respecto a todos sus argu-
mentes.
El problema elemental del Cálculo variacional es el siguiente:
entre todas las funciones y (x) que tienen derivada continua y que
satisfacen las condiciones de frontera
donde p (x) tiene derivada continua, q (x) y f (x) son conti-
nuas y el argumento funcional <:p (x) tiene dos derivadas
continuas.
CAP. 11. EXT~fMO DEiPUNCIONALES50
4*
x
Y='6{I-.x:2).
EJEMPLO 2. Hallar las extremales de la funcional
3
J [U (x)) = j (3x - y) .1/ ctx
1
que satisfagan las condiciones de frontera y (1) = 1 e U (3) = 4- ~.
SOLUCIÓN. La ecuación de Euler es 3x - 2y=O, de donde y = ; X.
La extremal IJ = ~ x no satisface la condición y (1) = I y, por eso,
nuestro problema variacional no tiene solución.
EJEMPLO 3. Hallar las extrernales de la funcional
21"(
Jly(x)]= ~ (U/~_y2)dx
O
que satisfagan las condiciones de frontera y (O) = 1 e !J (2n) = l.
no siempre tiene solución y si la solución existe, puede no ser única.
EJEMPLO I./.En qué curvas puede alcanzar Su extremo la funcional
2
J[y(x))= J (y'2-2xy)dx; y(I)=O, y{2) -'.-11
I
SOLUCIONo Aquí tenemos F (x, y, y') = y''}. - 2xy de modo que
la ecuación de Euler da y' + x = O. Su solución general es
xl
y= -6 +C1x+C:¿.
Utilizando las condiciones de frontera, obt enernos para CI y C2 el
seguiente sistema de ecuaciones lineales:
Ct+C2= ~,}
2C1+Cz ="6'
De aquí resulta C,=! y C2=O. Por consiguíente , el extremo puede
alcanzarse sólo en la curva
El problema de contorno
51PROBLEMA ELEMENTAL§ 4.
er79. J [y (x)} = J (xy'2+ yy') dx; y(l) =O, y (e)= l.
I
1
76. J{y(x)= J (y'2_y2_y)ezrdxj y(O)=O, y(I)=e-t•
O
1
77. J[y(x)l= J (y'2-2xy)dx; y(-I)= -1, y(I)=1.
-1
O
78. J Iy (x)] = j (y'2_ 2xy) dx; y { -1) =O, Y (O)=2.
-1
y (O)= 0, y (n)=O.
n
75. Jly(x)l= J (4ycoSX+y"2_y2)dx¡
o
o
71. J(y(x)1=) (12xy-y'2)dx; y(-1)=I, y(O)=O.
-1
2
72. Jly(x)1=) (y'2 +2yy' +y2) áx; y(I)= 1, y(2)=0.
1
t
73. J [y (x)1 = J y y (1 +y'Z) dx; y (O)= y (1) = ;2 .
o
1
74. J[y(x)l= ~ yy'2dx; y(O)= 1, y(I)=:;4.
o
SOLUCION. La ecuación de Euler tiene 13 forma 1/'+ g = O; su
solución general es
y = el cos x + e9 sen x,
Utilizando las condiciones de frontera, encon tramos
y = ces x + e sen x,
donde e es una constante arbitraria. Es decir, el problema variacional
considerado tiene un conjunto tnlinlto de soluciones.
Hallar las extrernales de las funcionales siguientes.
CAP. 11. EXTREMO DE FUNCIONALES52
y. = f (x, y, y')
Pero, según la definición de la función v (x), en (-1, 1) tenemos
F , = _2vll (1 - VI) == O y, por consiguiente, también dd F, = O;
11 X "
o sea, a pesar de que la ecuación de Euler (4) es formalmente de segundo
orden y a pesar de que u· (x) no existe, la ecuación de Euler se convierte
en identidad al sustituir en ella v (x).
TEOREMA 2. Sea y = y (x) soluci6n de la ecuación (Ú Euler
d
Fy - "'(fX F11'=O.
Si la función F (x, y, y') tiene derivadas parciales continuas hasta de
segundo orden inclusive, entonces la funcióny = y (x) ttene segunda
derivada continua en todos los puntos (x, y) para los cuales
FY'JlI [x, y (x), y' (x)] *0.
COROLARIO. La extrema! y = y (x) puede tener puntos angulares
s6/0 en aquellos puntos en los que Fy,y, = O.
Asi, en el ejemplo 4 tenemos que F",y' = 2y2 se anula en los
puntos del eje Ox; la extremal tiene punto. angular en )t = O.
TEOREMA 3. (Bernstein). Supongamos que en la ecuación
(4)2V(I-v')2+! (2v2(I-v')]=0.
I
J Iy Ix))= J y2 (1- y')2 dx
-1
con las condiciones de frontera
y (-1) = O e y (1)= 1
alcanza su valor mínimo. igual a cero, en la función
( ) _ {O si x ~ O,v x - x si x>O.
Aun cuando la función v (x) no tiene segunda derivada. sattsíace la
ecuación de Eulcr correspondiente.
Efectivamente, tenemos F (x, y. y') = y? (1 _ y')2 y, poniendo
y = v (x), obtenemos la ecuación de Euler
La ecuación de Euler (3) para la funcional (2) es una ecuación
dllerenclal de segundo orden y, por eso. la solución y = y (x) de 13
ecuación de Euler debe tener segunda derivada y" (x). Sin embargo.
se dan casos en que 1a lunctón que ofrece el extremo a la funcional
b
J {y (x)} = IF (x. y, y') dx no tiene segunda derivada.
a
EJEMPLO.j. La funcional
53pnOHLEMA ELEMENThL
n dp
y = p d!l 'y'=p e
de modo que se puede aplicar el teorema 3. En efecto, tenemos en
este caso
f (x, y, y') = 2y 11+ y'Z) y fy = 2 (1 + y(2) ~ 2 = k.
Además,
I f (x, y, !J') I = I 2y (1 + y''}.) I ~ 2 I y I y'2 + 2 I y 1,
o sea, a. = ~= 2 I y I > O.
EJEMPLO6. Demostrar que no hay extrema! de la funcional
J Iy (x)j = J (y2+ VI +y'2) dx
que pase por dos cualesquiera puntos del plano de abscisas distintas.
SOLUCION.La ecuación de Euler tiene la forma
3
yn=2b'{1+.!I'2)2 (7)
y el teorema 3 no se puede aplicar ya que no se cumple la segunda de
las condiciones (6) (debido a que f (x, y, y') crece, respecto a y', más
rápido que la segunda potencia de y'). Las condiciones del teorema 3
son de carácter suficiente. O sea, si estas condiciones no se cumplen. de
ello no se puede deducir que no hay extrema) que pase por dos puntos
cualesquiera de abscisas diferentes. Demostremos que por los puntos
A (O, O) Y B (~ , 2) no pasa ninguna extrema! de la funcional con-
siderada.
Tomando en la ecuación (7)
SOLUCiÓN. La ecuación de Euler para la funcional considerada es
yn = 2y (1 -1- y',
las funciones f. 11/ y f ' son continuas en lodo punto finito (x, y) para
cualquier valor finito de !J' !J supongamos que existe una constante k > O
y unas funciones
~ = a (x, y) ~ O y ~= ~(x. y) ~ O.
acotadas en cualquier porción [inita del plano, tales que
tv (x, y, g') > k Y I f (x, y, y') 1 ~ a.y'2 + ~. (6)
Entonces, por dos cualesquiera puntos del plano (a, A) y (b, B) de abscisas
distintas (a =1= b) pasa una curva integral y = 'l' (x) de la ecuación (6),
y sólo una.
EJEMPl.O5. Demostrar que por dos cualesquiera puntos del plano
de abscisas distintas pasa una extremal única de la funcional
J{y(x\]""" \ c-211%(y'2_1)<I,1: ..
C,\P. 11. ex'rREMO DE FUNCIONALES54
es ecuación de Euler para cierta funcional
r
J fu (x)}= J F (x, y, y') dx,
1) ¿Cómo se determina la función F (x, Y. y') a partir de la función
f (x, y. y')?
2) Hallar todas las funcionales cuyas extrernales son las rectas
y = C1x+ C2•
SOLUCION. Busquemos la funcional cuya ecuación de Euler
fy-E"'x-f y,,,y' -f"'I/'Y" =0
EJEMPLO 7. Demostrar que toda ecuación
y{t (x} = f (x, y, y') (9)
Cualquiera que sea el número real C. el denominador del integrando de
(8) será complejo en cierto intervalo (a, ~) c: (0, 2) de variación de
la variable y. Por consiguiente, la igualdad (8) es imposible. Esto quiere
decir que no se puede trazar extrernal alguna por los puntos A (O. O)
YB(~, 2).
80. Demostrar que por dos cualesquiera puntos del plano
pasa una y sólo una extremal de la funcional
J [[1 (x)l = J 1/1+!f +y'2 dx,
(8)
donde e es una constante real. Separando las variables en la última
ecuación e integrando del punto A al punto B, obtenemos
2
I r C-y2
-= i dl/.2 . VI _(C_yZ)2o
de modo que
sea,
Integrando, encontramos
I-~-==!¡2-C, o
lfi"+P"2
(C-y2) VI+y'2= I
o sea, pdp 3 ~2fJdy.
(1 +p2.)2
.~
dp -P -=2y (1+p)Z 2.dy
obtenemos
55PROBLEMA ELEtv\ENTAL§ 4.
donde a (x, y) y ~ (x, y) son funciones arbitrarias de sus argumentos
que cumplen la relación
oa o~
ay =a;: .
Se puede ver de la sol ución que existe una cantidad infinita de proble-
mas variacionales que tienen la ecuación (9) como ecuación de Euler.
donde ID es una función arbitraria diferenciable de sus argumentos.
De aquí
z
F(x, y, z)=a(x, Y)+z~(x, y)+ 1(z-/)I1>(t, y-tx)dt,
o
u (x, y. y') = (l) (g'. y - xy').
Integremos esta ecuación.
La ecuación de las caraderisticas tiene la forma
dx dg dy'
-1-=7=--0
Integrando este sistema, encontramos
y' = Cl e Y = clx + C2•
de donde Cs = y - xy'. Por eso, la solución general de la ecuación
(1t) es
(11)
Por consi~uiente, la búsqueda de la funcional, o sea, de la función
F (x, y. y ), se reduce a la integración de la ecuación lineal en deriva-
das parciales (10) y a la cuadratura sucesiva.
Consideremos la segunda cuestión. En este caso la ecuación de
Euler debe ser y. = O y para la función u se obtiene, de acuerdo con
(10), la ecuación
j::_+ ,2!:..-oax y ay - .
(10)
una ecuación enTomando u = FY'II" obtenemos para la función u
derivadas parciales:
au + ' (Ju +f ou f Or)x y iJy iJy' + 1/' u=
coincida con la ecuación (9). Es decir, debe cumplirse la identidad en
x, y e y'
Fy-F"'x-FY'IIY' -F¡¡,v'! (x, y, y');; O.
Derivando respecto a {J', obtenemos
F1I'II'x+ Fy'Y'YY'+FlI'lI'lI,l+FII'lI,fll,=O.
CAP. 11. EXTREMO DE FUNCIONALES56
"2'
J (U (x)! = S y (2x - U) rlx; y (O)= 0, y ( ; ) = ~ .
o
SOLUCION. La ecuación de Euler tiene la forma 2x-2y = 0, o sea.
y = X. Puesto que las condiciones de frontera se satisfacen, la integral
,SI
'2j Y (2x - y) dx puede alcanzar su extremo en la recta y = x. Para
o
otras condiciones de frontera, por ejemplo. y (O) = O e y (~)= 1,
la extrema! y = x no pasará por los puntos frontera (0, O) Y( ~ , 1)
de modo que el problema variacional con estas condiciones de frontera
no tendrá solución,
20, F depende- de y' en forma lineal. o sea.
F (x, y, y') = M (x, y) + N (x, y)!J'.
En este caso la ecuación de Euler tiene la forma
oM eNTy--ax=o.
Igual que en el caso 1°, la ecuación obtenida es fillib:l y no diferencial.
En general, la curva determinada por la ecuación O..M - élaN = Ouy x
no satisface las condiciones de frontera y, por consiguiente, el
problema variacional no tiene, como regla, solución en la clase de
funciones con tinuas. Por otra parte, si en un recinto D del
1 O u oM iJN O I "F ( ')p ano x y se lene Ty - a;= . a cxpreston x, y. y =
"'" M (x. y) dl( + N (x, y) dy es una diferencial total exacta y la
La solución de esta ecuación finita (no dllerencial) no contiene ele-
mentos arbitrarios y, por eso, no satisface, hablando en términos gene-
rales. las condiciones de frontera y (a) = A e y (b) = B,
Sólo en casos excepcionales, cuando la curva (12) pase por los
puntos de frontera (a, A) y (h, B), existirá una curva en la que podrá
alcanzarse el ex tremo.
EJEMPLO 8. Hallar las extrernales de la funcional
(12)Fy (x, y) = O.
CASOS ELE.'>\ENT AI.ES DE I NTEGRACION DE J.A ECUACiÓN DE EULER.
1°, F no depende de y', o sea, F = F (x, y).
En este caso la ecuación de Euler tiene la forma
PROBLEMA ELEMENTAL§4.
a
Esta funcional determina la longitud de la curva que une los plintos
(a, A) y (o, 8). Desde el punto de vista geométrico. el problema con-
siste en hallar la curva de longitud mínima que une dos puntos fijos.
SOLUCIÓN. La ecuación de Euler tiene la forma y" = O.Su solución
general es
para cualquier curva de integración y (x) que pase por los puntos (a, A)
y (b, B). El problema variacional carece de sentido.
30• F depende sólo de y', o sea, F = F (y').
La ecuación de Euler tiene la forma
Fy,y·Y· = Q.
En este caso las extrernales son todas las rectas posibles
y = C.x + C~,
donde Cl y e, son constantes arbilrarias.
EJEMPLO 10 Hallar las extremales de la funcional
b
J Iy (x)}= J VI+y':l ds, y (a)=A, y (b)=8.