Historia de la Matemática Volumen 1- Rey Pastor, J Babini - Pablo Tinoco

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HISTORIA DE LA
MATEMÁTICA
(vol. 1)
por
J. Rey Pastor y J. Babini
COMPRA
gedisa
R.soGD
DisClio de c;ubit:l"ta: Sergio Manela
III reimpresión,
agosto de 1985,
Barcelona, España
@ by Ced¡,a. S.A.
Muntaner, 460, entlo., 11I
Te!. 201-0000
08006 • Bar<:clona, Espai\u
1. S. B.N. 84-7432-206-5 (obra comple..)
1. S. B. N. 84-7432·207-3 (volumen 1)
Depó'ito Legal, B. 30.566· 1985
ÍNDICE
PREFACIO 9
l. LA MATEMÁTICA EMPíRlCA : :.. 13
1. La prehistoria 13
2. Letras y números .. 14
Notas complementarias 17
3. Formas y problemas :..~. 18
Il. LA MATEMÁTICA PREHELÉNICA 21
1. Los babilonios 21
Notas complementarias 26
2. Los egipcios :....... 30
Notas complementarias :................. 31
Impreso en España
Prillted itl $paill
La reproducción total o p;;lrcial de este libro en forma idéntica o modifi·
C'.1da, escrita a m:1quina o con el sistema rnultigrof, nümeógraf'o, impreso.
etc.. no autorizada por los editores. viola los dereehos reselVados. Cual·
quier utilización debe ser previamente solicitada. \
III. LA MATEMÁTICA HELÉNICA .
1. Los griegos .
Notas complementarias , , , :.. , .
2. Tales .
Notas complementarias ..
3. Los pitagóricos ..
Notas complementa':ias .
4. Los elealas ..
Notas complementarias ..
5. La matemática del siglo v .
Notas complementarias ..
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6. La Academia y el Liceo 59
Notas complementarias 61
7. La matemática del siglo IV
Notas complementarias 64
rv. LA MATEMÁTICA HELE iSTlCA 69
J. Alejandría 69
2. Euclides y sus Eleljlentos . 71
Notas complementarias 80
3. Arquímedes............................................... 89
Notas complementarias 97
4. Apolonio de Perga 112
Notas com¡llementarias 115
5. Los epígonos del siglo de oro 120
Notas complementarias .. 121
6. La matemática griega 124
V. EL PERIODO GRECORROMANO..... 127
J. Epígonos y comentaristas 127
Notas complementarias . 130
2. Plolomeo y Pappus 133
Notas complementarias 135
3. Herón y Diofanlo 140
VI. LA ÉPOCA MEDIEVAL 151
1. La temprana Edad Media ~.'........... 151
Notas complementarias 163
2. La alta Edad Media 170
Notas complementarias 179
3. La baja Edad Media 189
Notas complementarias 197
TABLA CRONOLÓGICA 205
íNDICE DE AUTORES 211
PREFACIO
Al/d por los años cuarenta. cuando me debatfa en una serie de
vacilaciones sobré si la carrera que yo debía seguir sería la r1e
flSicas v bien la de letras. empecé a ofr hablar r1e un manual
ampliamente concebido y claramente erpuesto. titulado Curso Cí-
clico de Matemáticas. de don Julio Rey Pastor. Tenninadas mis
dudos y embarcado ya en elestudía de la Filosojla Semdntica para
poder leer. en su original. los cUJcurnentoMe Historia de la Cien-
cia que a mf me interesaba trabajar-ter/os astronómicos y lIduti-
cos principalmente-. tuve ocasión de conocer a don Julio. llevado
de la mano de mi Maestro. José M. Mi/lds. que era buen amigo de
aquél. Desde ese momento se estableció entre las dos una corriente
de afecto que se transformó en verdodera amistad con el correr de
los años y con el intercambio de ideas acerca de la historia de la car-
tografla. que a ambas nos interesaba aunque fuese en dreas cultu-
roles distintas. Cuando charldba,nos acerca de sus problemas le
entendfa rdpilÚJmente; todo lo contrario ocurría si tenfa que ha-
cenne con el contenido de una carta manuscrita suya escrita, con
frecuencia. con Idpiz y letra enmarañado y pequeña: la tJjficultad
no estribaba en las ideas, sino en la letra. Para evitar estol incon-
venientes de su caligrafla. que él era el primero en reconocer. pro-
curaba utilizar la ,lIdquina de escribir siempre que podfa y perge-
ñar en pocas Uneas lo que m~ atrevería a llamar su pensamiento
analltico-sintético.
Tenninados mis estudios de letras. yen espera de unas oposi-
ciones que nunca acobaban de llegar, lne enfrasqué. para aprove-
char el tiempo. en el Análisis matemático. el Curso CIcUco y . .. la
Historia de la Matemática que hoy. COlno consecuencia de aquellas
9
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l'
qtle~el.Jcias. tengo ocasión de prologar por deferencia llel Prof.}.
Bab"" y del Sr. Rey Paslor, hijo.
Era imposible. por mi parte. neganne al enClIrj!,O: a los r.;jejo~
lazos de muistad con don Julio se Iwbíil unido, eDil el curso {Iel
tiempo. un viaje ala ArJ!.entina que me hi:.o conocer de cerca /a
dura batalla que sostenía /Ja!Jil1i ]Jara consolidar los e...tut!io.'l de
Historia de la Cieucia ell la Iwción hernuma. e.'itudio.f nacidm'
grllcias al empuje inicial de Rey Pastor, Bubín; y Miel; ya los que .fj(!
debe que lIun "oy 111 Arge"linll figure 11 111 elll>e:ll de ladas IlIs
naciones lle lengua hispalia. tan refractarias (1 e!.;le J!.énero lle
materias. Vale la pell(J recordar aquí que no sólo se lJUblicó, IJ
ahora se reedita en Buenos Aires, esta Historia de 10.\ Matemática.
sino quefue en Buenos Aires tambitn enllonde Q!Joreció la serie (le
doce vo/rimenes titulada Panorama general de Historia de la Cien-
cia que. hoy por hoy. constituye la mds seria ap0r/oció" de conjun-
to a estos estudios reali:(J(lfl en nuestra lel1{!.uo. y se ¡Jlletle paran-
g011ar, sin duda, con las mejores del extranjero. Yes IIn (lrgelltino,
Babini, t¡uien ha escrito al~IHlas de las más t;tlliosm; tl/onografias
sobre el tema -lle las que al/uf recuerdo. a (jltela pluma, las titu-
ladas Arquímedes, La matemática y la astronomía renacentistas-
y ha ver/ido ti nuestra lengua varias obrtls de Sartoll lJlU' así ha
sido ampliamente conOO(lo en nuestros circulas.
La Historia de la Matemática, de RerJ Paslor y BIIlJini,/lentlbll,
en el momento de su aparición, un hueco IIotOriO de /t, bibliop.rafla
hispanoamericana; y muy pronto fi4e la obm que se utili:.ó de base
para los escasos cursos de Historia de la Matemática que se profe.
saban en nuestras universidades. El libro no pretendía, y tampoco
lo intenta ahora, ser tHla suma de conocimientos enciclopédica
,como las Vorlesungen de Cantor, sino dar a conócer tallo aquello
que es funeltlmentlll pelrll seguir el e/esllrrol/o di !IIS ie/etls /xISicllS
de la male7lláticll desde 111 IIntigüedad haslll hoy. Este prurilo por la
concisión explica que en ella no se trate en detalle, ya veces ni se
citen, detenninados autores hispanoamericanos que. si tuoieron
trascendencia en el desarrollo de la raquftica cultura matemática
local. no alcanzaron el nivel suficiente !Jora integrarse en una
visión panorámica tle tOlla la matemática. Especialmente intere.
santes resultan las "notas complementarias" en que los autores
desarrollan, con toda libertad. algl,nos de los temas aludiclos en el
10
eorreS¡JOlldiellte ellpílulo. Es el viejo sislema diddeliea de las "ilus-
t raciones
u
O "Iecturos" (en sentido figurado, ya que no recto) (!ue
tan útiles son como ejemplificación de la materia tratada 1). a
veces, para cOllOcer incluso el estilo llel autor comentado del cual
se insertan b,-eves enunciados y demostraciones.
El texto. que desde hace varios años estaba agotado, se reedita
ahora sin apenas haber enr;ejecido. Para envejecer hubiera sido
preciso que en los veintitatltos mios transcurridos desde su upari-
ción se hubieran publicado muchas nuevas monografias .'Wbre la
hislorill de 111 I/Ullerlldliea y e/lo 110 ha sido llSí, 11 pes", de los
bellemüilos esf..er..os de los "Archives of'''e H istory ofIhe Exael
Sciences", lJue 1)(' ha sacado a luz bastantes volúmenes, y lle la
recién fun¿¡¡da "Hisloria MCllhematiea". Baslll ojellr 111 c1dsieCl
revisla bibliogrdfiea "Mlllllematielll Review", ,)lIrll el",se etlellta
de lo poco que rel'resenlllllll'roducción hislóriell del/tra de la ill-
mensa masa bibliogrdfica del tema uwtemdtico; aunque a lo tI,iS7Jl('
se sumen las producciones de caUlpos afines como son los de la
IIslrallomía o de la Josiell.
Tal vez las innovaciones mds interesantes se han prollucido ell
los dos exlremos ele la "istOrill: ell el de 111 IInligulI ciencia blllJiló-
nica yen el de la maternática contempordnea 1) es en tonJO de estos
temas donde se ha reestructurado este texto ya clásico lresde su
primera edición. Si espero -.aunl/ue sin excesiva confianza.dada
la anern;a congénita que sufren estos estudios en nuestra patria Ij
en los países iberoamericanos- que sirva para despertar nuevas
vocaciones jóvenes para estos temlls. en cambio estoy convencido
de que es un eslabón más de la eaclena de ol>rllS que conceden lila
Argentina la supremacia en este campo científico al que sena ele
desear que fuera reforuulo pronto mediante unas estructuras
¡nsliluciollllles que,forzosamente, IlIlbrá que crear IIlgún dfa.
¡UAN VEIlNET
11
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1. LA MATEMÁTICA EMPíRICA
1. La prehistoria
La expresión: el mundo está impregnado de matemática, conver-
tida en lugar común en una era tecnológica como la actual, es una
expresión válida para todas las épocas humanas, tan consustancia-
dos están el contar y el comparar con las especificas actividades del
hombre: pensar, hablar y fabricar instrumentos.
En la mente y en la acción del hombre prehistórico no están
ausentes los números más simples, las formas más elementales y la ~
ordenación más visible de las cosas. En el hombre que da nombre
a las cosas y a los actos; que conserva el fuego e imagina trampas
para cazar animales; que construye viviendas y tumbas; que obser·
va el movimiento de los astros y destaca direcciones especiales;
que computa distancias con su cuerPO Ysus pasos; que graba esce-
nas de un impresionante realismo; en ese hombre y en esas acti-
vidades están prefigurados los conceptos básicos de la matemática:
número, medida, orden.
A! pasar de la etapa paleolitica a la neolrtica el proceso se afina:
las nuevas técnicaS agrlcolas y pastoriles, la cerámica y la carpin-
terra; la industria textil; la minería y la metalurgia, el trueque de
bienes y objetos, la navegación y el transporte, las normas que
rigen la naciente organización familiar, social y económica exigen
una precisión cada vez mayor en el contar, en el medir y en el
ordenar. El hallazgo del proceso deductivo y de la relación causa-
efecto y los inagotables recursos de la imaginación humana harán
el resto.
y cuando asoma la escritura, como subproducto de la cultura
urbana, ese saber matemático, aún vago y nebuloso. comienza a
adquirir consistencia.
Una hipótesis verosfmü acerca del origen de la escritura vincula
esteorigen con prácticas aritméticas. En efecto, según tal hipótesis,
13
la ~scritura na~ a mediados del IV milenio antes de Cristo en la
Baja Mesopotanlla, en el seno de la cultura urbana de los sumerios
cuyas ciudades e~t;:,ban construidas alrededor del templo, edifica:
do sobre una cohna artificial, como una torre escalonada, que no
sólo representaba Ja unidad espiritual de la comunidad, sino que
~ncerraba además su riqueza económica. Los bienes del templo,
acumulados en sus t~lIeres y graneros, eran administrados por los
sacerdotes. y es expllC"J.ble que a medida que esos bienes aumenta.
ban con el crecimiento de fa población, se tomaba más difícil
retel~er de memoria las "cuentas del templo", es decir, los datos
relativos a los tributos que se debían al dios y la cantidad de
semll!as y de ganado que se entregaba a los campesinos y pastores:
de afula neceSidad d.e fijar signos convencionales que permitieran
retener es~s datos SIIl confiar en la memoria individual. Que tal
fuera el ongen de los primeros signos grabados, lo comprobarla el
hecho de que las tablIllas pictográfl~as de Erech del 3.500 a. C.,
que son las más antiguas que se conOcen, contienen signos que
representan una cabeza de vaC'cl, una espiga de trigo, un pez,
acompañad.os de signos especiales que sin duda representan sig.
nos numéncos. Por lo demás, cabe recordar que entre los sume.
rios existía la costumbre de marcar con sellos individuales los
~bjetos de propiedad personal, y que por ser el dios de la ciudad el
umco ~ropletar~o de la tierra y de todos sus frutos, los sellos que
marcanan Jos bienes del templo adquiririan un sentido más con.
venclOnal y una mayor difusión.
2. Letras y núllleros
Esta notación Ilumérica de las '·cuentas del templo" pone de relie.
ve Ciertas coneXIones entre la escritura y los sist~mas de numera-
ciónque puedendar pábulo a la ten tadora hipótesis de admitir que
los sistemas escntos de numeración fueron anteriores a la escritura
misma.
~ Observemos en primer lugar que todos los pueblos sin excel)--
CJón, sean o no primitivos, tengan o no escritura, disponen de
palabras especiales para designar los números y fracciones senci-
!Ius: así c,?mo disponen de gestos y signos convencionales para
Indicar numeros o unidades.
.Igualmente se ~n~uentra en los pueblos primitivos una wan
variedad de procedllnaentos de cómputos. que se presentan siem-
14
pre como una relación cualitativa de un signo a la cosa significada,
y siempre también bajo el imperio de una imagen concreta(l)
Tal presencia constante de lo concreto en la numeración primi-
tiva se puede presentar bajo diversos aspectos. Así, un primitivo
dirá que ha tomado tantos peces como dedos tiene la mano, y si
designa este hecho con una palabra que deriva de la palabra
"mano", esa palabra no quiere significar el número 5, sino sola-
mente que los objetos en cuestión son tantos como los dedos de la
mano. Por otra parte, el ejemplo abstracto no cabe en la menta-
lidad primitiva. Así, un indio norteamericano, a quien se trataba
de familiarizar con el inglés, no pudo traducir: "Ayer el hombre
blanco mató seis qsos'·, pues ese hecho significaba una imposibi-
lidad material.
En otros casos los números 1, 2, 3 se designan con vOC'J,blos
diferentes según se refieran a personas, días u objetos, y en este
último caso según sean ellos esféricos o alargados. Quizá pueda
verse un residuo en nuestro léxico actual cuando al referimos a
zapatos decimos" un par". mientras que para los bueyes, por ej<;JJl'
1'10, decimos "una yunta". -
También se han facilitado los cálculos mediante el uso de obje·
tos materiales, como hojas secas o piedrecillas, que actúan a la
manera de uñidades en la forma como aún se acostumbra para el
puntaje en los juegos de naipes. Nuestra palabra "cálculo" provie·
ne dellaún ca/culi (guijarros), y los ábacos par~ contar y sumar que
se perfeccionaron en los tiempos históricos, hasta construir rudi-
mentarias máquinas de calcular, no son sino dispositivos mecáni-
cos fundados en el agrupamiento de objetos materiales.
\ En este campo como en. tantos otros la variedad preside la acti-
vidad humana: as! nativos de la isla Fidji indican el número de
víctimas logrado en la caza mediante entalladuras en sus mazas.
con la caractensticade que después de nueve entalladuras iguales,
la siguiente es algo más larga, de ahí que con un sistema limitado
de numeración hablada pueden llegar a contar números relativa·
mente grandes. Por ejemplo, al observar cinco entalladuras largas
y cuatro últimas cortas, el nativo tendrá idea del número 54 para el
cual seguramente en su lenguaje no dispone de la palabra adecua·
da. Si este sistema de entalladuras se toma convencional. entre él
y un sistema de numeración escrita de tipo decimal aditivo s610
existiría una diferencia de grado, no esencial.(2)
Al pasar a los sistemas escritos de numeración. se advierh.-'
igual variedad; ya en la base, es decir en el número simple <tUl'
15
17
I
sirve de jalón para expresar los nlllneros mayores; ya en la lectura.
que puede ser de tipo aditivo, con variantes distintas. o posicional.
En los sistemas aditivos el valor del número se obtiene sumando
(en ocasiones restando) los valores correspondientes a cada signo
individual, independientemente de la posición del signo en el
contexto; mientras que en los sistemas posicionales el valor de
cada signo depende de la posición de éste en el contexto. Por la
base 10 y el tipo de lectura, nuestro sistema actual es decimal y
posicional.
En cuanto a la base de los sistemas escritos antih1'UOS, que pro-
bablemente provienen de bases ya existentes en los sistemas ora4
les, se advierte igual variedad: puede ser 2, comd lo comprueba el
hecho de que seguimos hablando de pares y de yuntas, puede ser
3, 4 ó 5 aunque la base más difundida es lO, que ya Aristóteles
justificabaen vista del número de dedos de la mano. En el idioma
francés actual quedan rastros de una base 20 de los celtas, base que
fue adoptada también por pueblos primitivos descalzos; nuestras
docenas son también residuos de una base 12, utilizada ya por el
número (aproximado) de lunaciones del año, ya por su comodidad
en las medidas. en vista de la facilidad que ofrece el mayor número
de sus divisores. frente por ejemplo a los de la base 10.
Casi todos los sistemas antiguos de escrituradisponen de signos.
especiales para representar los números. Constituyen excepción
el griego. el árabe, el hebreo y otros que utilizan para ese. fin las
letras del alfabeto respectivo. El caso griego tiene un interés espe-
cial, ya que se conocen dos sistemas de numeración escrita, amoos
aditivos. Un sistema. cuyos signos se llaman herodiánicos (por He-
rodiano. gramático griego del siglo n que estudió. y expuso estos
signos). en el cual la unidad y las primeras cuatro potencias de 10
se indican con las iniciales de las palabras respedivas. agregán-.
dose un signo especial para el 5; y un segundo sistema en el
cual los nueve digitos. las nueve decenas y las nueve centenas se
representan por las 24 letras del alfabeto griego en su orden. inter-
calando tres letras de un alfabeto arcaico para e16. el 90 y el 900; y
en el cual se indican con ápices y otros signos especiales las fraccil>-
nes unitarias y los números superiores al millar. Por el empleo de
las letras del alfabeto arcaico se supuso que el segundo sistema
fuera anterior al primero, pero el hecho es que el primer sistema
cayó en desuso hacia el s. IV a. C.• quedando en vigencia el segundo.
16
al noS casos el sistema de
Es interesante destacar 1ue en ~scritu~a, cierta prelación.
numeración escrita presenta, rente ,asentido de la sencillez y de la
l . por lo menos en e d lassi no crono 6g1ca, . 1 1 ~ cen las escrituras cretenses e
abstracción. Un e¡emp o oo~: ictográfico y dos lineales A YB.
que se reconocen trleSb¡~s. ~ti:"deellas: 'a lineal B. que reschult~
Sontodasdelllm,enlO yau ..00 fue descifrada por MI e
pertenecer a un idiO~ gne~~::~lse'habían identificado n~ ~lo
Ventris en 1952. De escn . ,tes a un sistema decimal aditivo.
. é ·c:os perteneclel . l '. mas Ylos signos num n . ritméticas slmp es. su .
sino también a1brunas operaciones: ·es y sin duda tal desclfra-
P
robablemente cálculos de ~rcednsac¡,·rT';miento de la escritura. (3)
. dó al postenor e "miento prevIO ayu
Notas complementarias
Ih I re Il·lr·, (:ouh\r v1 :' Es nutural (lue e Olll l ., .~
(l) Los" nl¡lIlefM c(J"JO~(' e." 1· . e tenía más cerca.: su propio (.1,crpn:
hasta para sumaredhayada(.~ld:.i~o: (~Ue"cntuallllente de los pies. Aun .~oy.
en especial los d os e ,. ,: -dedo) . a referimos a la.~ el n~~
hablamos de dígitos (~e1 latín dl~~~'~~)tal)<\I\ ~'nllmerare per di)!.ito~ :.
la 9 inclusive. Los anti~OS ~mal~ .mitivo v el niño ··cuenhin con os
contar por los dedos: ta~~'é'\e E~~ "cálcuio díJtitlll" se ha. exteodid\~ y.
dedos" (no "cuentan los os. al" mo ocurre entre ciertos pu~.) )S
(:onvertido en un "cál~ulo '%~~><lo~ : las manos y de los ~it:S utl~I~~~
primitivos. que adem.\s de lar v SUnlar.lllientra.~ que el c;llcu'o.d~~ .
d Icuerpo para con. . d l· . po';IClonesotras partes e .' r dc<:uados relaciona os con as .. d 1
mismo. media.nte sllYlbo CimoS a I >O se perfeccionó penllltlen o e
de los dedos frente a otras partes d~ ~U~11 ;no se presenta. en sistema.~ dI:"
recuento de números b.'\Stant~ ~:;a;~:ta en tiempoS medievales. "1
hist6nC'.lS: ya en la antl~u • . 1
épocas d. JOsitivo semejante para contar es e
(2) Los "quipoS" peroa nof. Un
d
IsI de los cuales el más conocido es el
f dado en las cuerdcclUas con no os. el cual mediante un sist~un k· do) peruanocon. . ·0.. .po" (del quechua Clpu=nu d nu'mero V dl5llOSlC1 nqut I con IlU os en .
ma de cuerdas de distintos ro ore~ dis ner de escntura. realrtahan un
diferentes. los antiguos peruanos,.:," eks permitió rc(t;istrM cuanto dato
ba! s,·stema de numeracI6n esen a qu . . claro es también a laca tad .-ll. re'"'t:rar>C gracIa>, •d tilidad par. el Es 0.-- o-- '
p~~igiosa memoria de sus ~culadores.
(3) Lll ('IwlO/of!.ía ¡¡/tIlJfl (Hro ('. I
escritura jeroglítk'a ~. ti: ,'¡',. Jt llIp 11 lo IIln't:t'll Il~ 111.1\ .1' di' 1'11\.1
I . ó.· t '4:1 1.'rUII ultllllalllt'lll' I\.,lhl
e ('elr flIeas. alg:ullns tl'xhw r,.I" .' ti.'. tll~1 ('aklllac!lJ"l'
, t d 1¡'::IO'O'i' Il1lt'lItn.. ••
SIS cmas (' lluIIll'raci(¡n El' 1 .. '11It \.1 "'('OIllIl.'l.l11 '11' clll'
• • 11 11110 ((' (,In .
nlllllcroscindic;J('()llllll'l'''II~.' 1 1 .. 1o11l1 "1,:1111\ wrut..dllltu.. (,:ul,
• ,,,-l.ICI·(IO'lt/t'¡ l, I .
que en el olro d(. índoll"m' 1 10111 IU'UI 1',llI11ll.d IlIlt'utf ...
I 20 .l!'l .1 htr;¡d I '>(' Illdiz .
>¡lse' (aunque no (.'ulU:rt'lIll" " J .. IHll \ ... lt'IIl.1 Illl\'('IIIII.11 el"
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t.'stimul<lra en los lllaV:L'i h 1,' . I I " II( ,l( 11. l' l'ad,l IlItll\ lduo
'ó' .' llSqllt'< a e t· 1111 lek ' . 1CI n escnta que resultó do,.J d ' "lll,lt 11 "'''''11''''1' 11111111'''.1'
~o eungr~ode~~~
(lue revela su incipil'lllt' c~s(.'rittlra n muy superior al
3. ,Formas y problemas
El contar y el numerar. con ser actividad ' .
no agotan el campo del' es COJllunes y frecuentt's,
. as nOCIOnes malem'lr . d 11
tivo y conjeturalmente del prehistórico, ' I("as e....1omhre primi-
Por su nombre: geometrí, , .,
los conocimientos geOmétriC:s~n ~nego alud~ a medir la tit.'fn"',
menos, así Jo atestigua ',1 od uVlcron un on~en pr;\etico, Por lo
H
' ,.. . er oto en un conoc'd 'd
Islona: El rey de Egipto d' 'd'ó I I o pasaje e su
habitantes, asignando lotes cu~~lr I e sll~lo del p.ús entre sus
uno de ellos y Oble' d' .dos de Igual extensión a cada
men O sus principal d
que cada poseedor pagaba anual ~s re:ursos e las rentas
dellole de un habitante é t mente. S. el no arrasaba una'parte
• S e se presentalx1. al rey y le exponía lo
18
ocurrido, a lo cual el rey t"ll\'iaha per~Ollas a examinar y llledir la
extensión exacta de la pérdida ~' m;ís adelante la renta e\:iJ!idJ. era
proporcional al lalmu)o reducido del tole, Es en virtud dI.' esta
pn\ctil'a que. pienso. ('0I11l'nZÓ a ('Onoc'erst' la ~t"flnletria en E)!iptn,
de donde pasó a Grecia".
Mas no sólo el hombre midió la tiernl: otras mt:.>di(:iones t.'xi)(ió
la construcción de sus viviendas y tllmhas. de sus W'Ult'«)S y e~Ul;.tlt"s,
Por lo d('ln¡ls lluevas llo(:iones J!;COInétric.ls surJ!:ieron de las 1()rl11'L~
y fig-ur.ls con qllt' el hombre decoró y ornamentó sus viviendas Y
,u~ ohjetos, 'l"¡ tomo de la observación de fonnas que at-rJ.jeron su
att"ndón por ~u st>ncillez o su simetría: la línea CHnea" viene de
lino). elcírculo, los pulí~Ollos y poliedros reJ,!ulares, El ladrillo, UtA
antiJ.{ua dala. aporté> prohahlemente la noción dt' ¡'illflulo rrtto.
mientras que rrl.leva.'i ti)nmL'i J,!cométrkus na('Í.\ll dI:" los llH)\'illlit'u-
tos: ya de las danz:.L\ humanas, ya <Id andar dI: los .L'itrO'i t'1l la
bóveda celeste.
Por último. cabe mencionar olras nociones matemáticas de ori-
gen completumentt' distinto; t~" t'll'Olljunto de prohlemas. enig-
mas y adivinanzas que componen el folklore matemático que
practican todos los put'hlos. mostrando'l veces curiosas coinciden-
tias de temas en puehlos totalmente alejados explic.\ndost' tal
("tlincidencia solamente por trasmisión oral a la manera de st'1l1illas
que lleva el viento. tiwOTt"Cida por el c'lfácter reert.'ativo. eni)l;rn:\-
tieo y. a veces. sorprendente del problema.
Sin embar~o. no obstante tal finalidad exlralllalem<Ítil.l. las
cuestiones del folklore matem:\tico enciermn interesantes llucio-
nes de orden aritmético y. a veces. hasta aI~ehr;.lico,
19
---
••
11. LA MATEMÁTICA PREHELÉ lCA
1. Los babilonios
Hasta el primer tercio de este siglo. los conocimientos que se
poselan acerca de la matemática de los pueblos que habitaron la
Mesopotamia: sumenos. acadios. babilonios. asirios ... eran esca-
sos y no revelaban mayor contenido científico.
Sin duda. ya se habia advertido la característica fundamenbd.
entonces más bien sorprendente. que ofrecÚlU los sistemas de
numeración utilizados en los textos cuneiformes. En efecto. hacia
el año 3.000 a. C. los sumenos introdujeron un sistema de nume-
ración posicional de base 60, que en definitiva es el sistema sexa-
gesimal que aún utilizamos nosotros para las medidas de tiempo y
angulares.
En ese sistema las cifras de 1 a 59 se escnbian de acuerdo cop
un arcaico sistema decimal aditivo. sobre la base de dos signos cu-
neiformes: uno vertical para la unidad y otro horizontal para ellO.
Pero a partir de 60 y para las fracciones el sistema se toma posi-
cional. las potencias sucesivas de 50, en orden creciente o decre-
ciente, se representan por la unidad, y cada conjunto numérico
hasta 59 debe computarse 60 veces menor que el anterior.
La ineustencia de un signo para el cero, que no aparecerá hasta
los tiempos helenísticos. asl como de un signo que separe la parte
entera de la fraccionaria, hace que el sistema no sea coherente
para nosotros. aunque el contexto del problema, y a veces ocasio-
nalmente ciertos signos especiales. impedían al calculista sume-
rio caer en equ{vocos.
21
Ya desde comienzo~ de esle siglo (1906) se habra revelado el
carácter posicional del sistema sumerio aJ descifrarse textos cunei.
formes con tablas de multiplicación, de recíprocos, de cuadra.
dos, ... y algunos cálculos; pero fue recientemenle con la labor de
desciframiento que hicieron conocer Neugebauer (1935) vThureau.
Dangin (1938) que esta matemática sexagesimaJ muestr; su venia.
dera filZ.
Los textos últimamente descifrados pertenecen al período ha-
bilónico ~I milenio a. C.) aUllquc registran conocimientos de los
sumerios del milenio anterior; la rndole y la solución de las colec.
ciones de problemas que aportan esos textos no sólo justific-dll la
necesidad de un sistema de numeración flexible como el posicio-
nal, sin el cual aquella solución hubiera sido imposible, sino que
a~roJan nueva luz sobre las relaciones entre la matem¡itica prehelé-
nica y la matemática griega. de rnanera que actualmente nociones
y figuras de la matemática antigua adquieren nuevas interpretacio-
nes en la historia de la matemática.
Aunque en algún caso se ha querido ver la expresión de resdas
generales, los problemas de los lexlos babilónicos son problemas
numéricos particulares, con datos escogidos al efecto. en especial
para que los divisores no contengan sino factores 2, 3 v 5; en mu.
chos casos no tienen otra finalidad que el cálculo nu'mérico, en
otros se trata de aplicaciones de distinta rndole.
Desde el punto de vista matemático, las novedades m¡ls impor-
tantes que registran los textos babilónicos se refieren a la solución
aJgebraica de ecuaciones lineales y cuadráticas. y el conocimiento
del llamado "teorema de Pit~goras" y de sus consecuencias nu-
méricas. .
En los problemas de primer grado con un\~ola incó¡¡nita l"'i
tablas de multiplicación o de recíprocos ofrecen de inmediato la
solución; en los sistemas IineaJes. en cambio. a veces con varias
incógnitas, ya entra en juego la habilidad algebraica del calcu-
lista. (1) _
Tal habilidad se pone de relieve más claramente en los proble-
mas, a veces agrupados en colecciones. que exigen la resolución de
ecuaciones cuadráticas o reducibles a cuadráticas; resolución que
el calculista babilónico lleva a cabo utilizando la actual resolvente
a veces mediante el recurso de reducir el problema a la determi~
22
nación de dos números de los cuales se conoce el producto y la
suma (o la diferencia). (2)
Otros problemas, de inlerés aritmético o al¡¡ebraico. traen la
sum3 de términos en progresión aritmétic-J o en progresión Aco-
métrica de base 2; la suma de los cuadrados de los diez primeros
números mediante una expresión correcta y hasta una ecuación
exponencial resuelta en fonna aproximada. (3) .
Los problemas que se refieren a aplicaciones geométnc".LS re·
velan el conocimiento de la proporcionalidad entre los lados de
triángulos semejantes, de las áreas de trián¡¡ulos y trapecios asr
como de volúmenes de prismas y cilindros; en cambio, para la lon-
¡(itud de la circunferencia Yel área del círculo se adoptan los valo-
res poco aproximados de dar para la circunferencia el valor de tres
di~metros (valores que se conservan en la Biblia) y para el circulo
el triple del cuadrado del radio. También son erróne,,:, las ex~ ________
siones del volumen del tronco de cono y de la ptnlm,d e'15ase
cuadrada y del cono.
Pero, sin duda, el conocimie!!!l'-geométrico más intere~te
que revelan las tablillas e ·del1lamaclo "teorema de Pit~g?ras ,y
en especial, o-consecuencia, la ley de formaCIón de los tnple-
.tes-pitagóricos', es decir, de las temas de núme~os enteros, que. a
la par de representar medidas de los lados de tnángulos rec~ngu­
los, expresan la posibilidad aritmética de descomponer un numero
cuadrado en suma de dos cuadrados.
El conocimiento del "teorema de Pitágoras", un milenio lar~o
antes de la existencia de su pretendido autor, se pone de mani·
fiesto en distintos problemas cuya solución correcta no podra lo-
grarse sin ese teorema (4) y. en especial, mediante un lexto: el
Plimpton 322 (del nombre de la colección que se conserva en la
Columbia University) que se hizo conocer en 1945 y q~e presu-
pone el conocimiento de la ley de fonnación de los Inpletes
pitagóricos-, que aparecerá por primera vez en Occldenle en los
Elementos de Euclides hacia el 300 a. C. (5)
No es ésta la única conexión entre los datos que aportan las
tablillas de los babilonios 'i la clásica matemática griega. Desde el
punto de vista técnico, es más importante señalar la atmósfera
común de álgebra no lineal, de álgebra cuadrática, que preSIde
ambos campos; atmósfera que en las tal,liJlas de los bab,lolllos se
23
(a + b)' = i\E; (11 - b)' = FC; ab = U = 1M = "ID = DL.
24
Fig. I
Supongamos ahora que en pos de conJ'eturas" I ald d" 1 fi b e evamos cua-
ra o a 19ura y o tenemos el cuadrado de lado AC d
to en cuadrados y rectánf,,\.¡Jos. Así: escompues-
(1 J" (1 JO.2 (ll+b) . - 2 (a-b) -= ab
que los babiloniOS utilizaron en la resolución de sus ecuaciones
cuadráticas.
Hagamos un paso más y tracemos las diagonales U, 1M, MD,
DL de los rectángulos que bordean la figura que no serán sino las
hipotenusa c de los triángulos rectángulos de catetos a y b, y por
tanto el cuadrado LM = DI es el cuadrado construido sobre esa
hipotenusa. De la figura se deduce una propiedad geométrica que
_ os babilonios parece que no utilizaron, como lo hará en cambio
más tarde iofanto; esa propiedad dice que si al cuadrado de la
hipotenusa se le-sum.... se le resta cuatro veces el triángulo se
obtiene, en ambos casos, un cuadra<!o,o en símbolos c' :!: 2<Jb =
= (a ± b)', propiedad que implícitamente ntiene el llamado
"teorema de Pitágoras", aunque el teorema pue<ie-obtltnerse di-
rectamente utilizando una de sus numerosas "demostracion'es"
por descomposición de figuras; as[, por ejemplo, una demostración
muy simple, que aparecerá en escritos árabes del s.IX, consiste en
suprimir del cuadrado DI los triángulos LGI e IHM, desplazán-
dolos respectivamente a DCM y LAD; el cuadrado DI se convier-
te en la figura equivalente LGHMCAL, suma de los cuadrados
AG y BM de los catetos.
Como curiosidad agreguemos que el matemático Hamilton del
siglo pasado al reproducir esa demostración sombreó en la figura
UMCAL esos cuatro triángulos, inscribiendo en el pentágono
cóncavo LGHMDL una leyenda que parafraseamos: "Como se ve;
soya' + b' - llb; si me adoso los dos triángulos compongo el
(a + b) (a - b) = a' - b';
(a+b)' - (a-b)' = 411b
ó
25
y distintas composiciones de esas fib'Uras llevan a las identidades:
(11 + b)' = a' + b' + 2<Jb ; (a - b)' + 2<Jb = a' + ¡r ;
e8oo
L
revela en las ecuaciones al, b .
obra, en especial el Libro~~ "leas, y.en los E/ementos en toda la
Ze~them bautizó profétic-a~e~,~: ~eh~~~on~d~r de la m~te~~ática
CasI 90 ailos, cuando ni por asomo '.. ge ra geomét:lca hace
que hoy se vi I b pod,a pensarse en la vlllculación
s um ra entre la geornet . . I
gebra de los babilonios".· na gnega y a milenaria "ál·
Es posible que mediante esta "ál b . "
hacer alguna conjetura ace ,se ra geométrica podamos
los babilonios Sean do .rmldel Origen dl~ los conocimientos de
. s numeros a y b rel'· t d Imentos AB AD (fi 1) . r.sen a os por os sep;·
se lleva BC ::. AD I,g· . ,respectivamente; si a continuación de AB
os segmentos AC y DB rán
11 + by 11 - b. Introduciendo el ce se .. respectivamente,
resulta fácilmente AO = OC = 1;' (ll'~r~)O ;~:~'etrr~ ~e la figura.
por tanto, de AB = AO + OB y AD = A6 _ .08 - l' (a - b) y,
relaciones entre dos n' . OC se desprenden las
umeros, su semisuma y s 'd"
que los babilonios til' u senu uerencia,
U Izaron en sus problemas.
/ f
por supuesto que el calculista nO advirtiÓ l...isteu,·.' de una se~"utla
solución x = 13; U= 14. por euantoeslOS problemas. po"u p<ohahlc "mit-·
ter didáctico SOI1 problemas artifiCIales con soIuclooes p"'I"...ad.., d,' ,u,""
mallO y son estas soluciones 1<15 que se buscan YnO ntra.~.
t2l l/u pnJhlt'JlW dt. ,t'l!ljlu/CI j!.rtultl, IIe aquí .'t t'lllllll'hltl
ll
d,' 1111 \,¡t'1l1
pln típico tnmadu de u"a lahlilla de los hahilo"i,," "Lar~u ~ ;ult'ho t ¡..
lllultiplie,K1n lar¡('~ Y,,,,dlll Yhe oh.e"ido el ;\rea. U,, a~n,,,,,,lo al "n'" ,·1-
,.,cesa dellar~nsohre ~I,llleho: 1ll3, ademá.< 11<' "unado la"'u " aud... ~~
Se pide I...¡(o. a"eho y ;ire"". Este prohleuu•. al "1m." ,..~'" y lou~i1",I.·,
ahsurdu desde el puulu de vi,'a p"icti«>. revda darau\('ut~'I
ue
SI' iu"· ...·'
es exclusivamente "S':I,i'" " ,,,unérico. Con nuestr'" sll"I.,I"s ,,1 prublo-u'.'
lleva al sistema do: sc¡(undn ~",do; xy + x - y = 11.1: x + !I = 1~. Yal"" 1''''
pueda parecer anacró"".... couviene ,c¡(uir con nuestru, ,¡ml",lu" 1" loa':-
eha de los ",\\culo
s
qucsc"ala la tahlilla. I......a 1'0110" d., nu"u¡;~,to 'u (.""",,
ter algehraico. El e,clcolist.. comienza por sumar 1.., ti", <1.llos n,,,n""i''''
\83 + 27 = 210; [x(y + 1) = 11llly awelC'1; Ix + y + 1 =:!!JI. L"'Iur<i~''''
es el método actual de nuest.... ,esalven.e pa.... ohtener los valures ti" tlu,
oúmeros (eo este C'aso xe U+ 11. ' ....nocieudo su sull1a:!!J Ysu pmdu('l" ~ IU
Eo efecto. toma la mitad de 29: 14 '/. de cuvo euad....
do
rcsta 110. uh"··
nie"do '/., cuya raízcoadnlda '/iSU'"' Yresta-a 14 ViOhteniel1d"lob' ~Ion"
15 y 14, de este últill10 resta 2, Ije¡!ilndo a la solución d~\ prnhl
rn
, ... 1;
12,180. .
A"n'l"e '" ,nareh.. 'I"e ,i~u. ~I ",,"uli,'a n" '" d."" ~ ,Ip,,,·,·,,"·""·""·
PIe'U\)l"lC un l11ét"d" de lal~I\."ici6n.cn realid...\. 1<<><.,',1<-"1,,, ,.",.".,.,,,,,
,," procc>o (orr('('to cn el cm" il11plíei.amente se ha", i""'" ,·"i' ..•11",1", ¡..
la sum,l conocida dc hL< inCÓl(nit:15. su diferene.' d,·"",,"·i(\.' , - '1 = ~:
En efecto, el calculista comienzaadnlitiendoque las dos parcelas son iguales
(a la semisuma 9(0) y con esa hipótcsis falsa llega al valo, errÓneo de la di-
fcrencia de producido: 150 (es decir lIt. = ~3 - ~t de 900). Para cOInpen-
sar e\ error de 350 = 500 - ISO recono':e. sin decirlo. que est error es
los 'l. (suma de ~, y V.) del valor que, sUll1ado Y restado al dato inici.>!
erróneo, dará la exteosión de las parcelas. Para obte"er aquel valor debe·
rá dividir 350 por '1'_ operaci6n que, por la presencia del factor 7, las Ia-
hlas 00 f:lci\itan; el calculista obvia la cuestión pregunt:lndose simplemen·
le por eu:l"to dehe ll1ultiplicar 'l. para obte"er 350: su respuesta es obvia;
300, y este dato. sumado y restado a 900, d. los valores de las inc6gnita<.
Es fácil ver que, aun CO" uO lenguaje de valores erróneos. la marcha del
proceso es la que hoy se se~ióa si se introducen los valores x = 900 +;;
U = 900 _ ;, y se C'aleula Z de acueroo con la segunda ecu.ció".
cuadrad d I 1o e a lipotenusa si me su'
compongo la suma de los ~lI'ldr' d sldentol sobre los dos tri;lnglll()~.
'1 . • a o~ e os C"ll t "
na u tllna conJ"ctu 11' • e os .l. . d ra nos cvana a lo' I . 1a prol"e ad (a + b)' = (ti _ 1»' + 4(/1 s nI' eles pila¡(óricos. D~
pos'clón de un cuadrado en' . d >se puede lIe¡(ar a la desl'Om-
e~uaci6n pitagórica (;0 h"ls,u~.l e diOS t'uadrados. es decir. ti la
X- + .,. .... n.' que hnl' I d. y_ = Z-, sin m;ís que lomar . ' ar a seu Ollila¡(óriea?1
11I_ y n'. llegándose a las e para a y 1, números cuadrad",
.: = m:: + n~ con las 1 xpreslpnes;r = m': - 11':· 1" - ."• eua es h . 'J - ~1II11'
ton 322. se a construido la tahla d I PI' .e lmp-
Conjeturas de otra índol .'
ca de la finalidad que persi~::;:~enan la~ consideraciones ;lC'e'r·
sorprendente álgebra. Sin duda en s sumenos y I",hilonins con su
baJO los signos que SpranJ\er selialóu~al~;,es la malenHltiC'a nadó
sem,rreligiosidad", pero en el.\I I C'a , .C'arla de "semijue~ov
ra t cnica que envuelve • gCh'lrade los bahilonios la ·\tmósl·.,·
á.s . . a sus pro en'" I ' -~n, POSItiVOS, menos místicos Un' ~1S reve a tamhién aspe"lns
IOdole de los problemas co b' ,a II>óteSls verosimil. 'Iue h
de I b b'] rrO orana fija a I - ',os a, onios una finalidad ro . os textos malem;ltieos
senan considerados indispensabl~~"atlva:su esludio y pr.íctiCi'
miento de escribas y funcionarios deen el aprendizaje y adiestr.t-
arrollo romerc,'a1 puehlos de 1111 '\\"l"",d I, •• • o ( t's- I
No/as complementaria ----- -
11 ----U" 1Jrobh'lIlfl de IJriula J!rtuJo ' " 'blema de mezcl'15 ,,1 ' l-h aqtll un t'Jl;'mplo d ·11' I. ... n t' qlle acle ás l .po ( .' pro-
agrarias de la éJlOC'd. Se ('()I ,lll' ' "it" ~'tili1.an llnid"d~ tlt· IIlt"Cli '
compuesto de dos I luce 1.\ (''(lensI6n lotal 1u;ouf ~ tI.\.'\
'ra . paree as. en cada una de las ,~ "" "111'1"
g,,, ) no por umdad de ¡\reJ t'sl'\ ,.1'0,." 01 cuales el rendimiento dcl
12 S d ' ..•u...... ;1 o por cot'f '. . .. ' cesta saher la eslcnsi6n dc c da ,CIt nlcs dll,'rcnle, 1~.1 ,.
ela~)del producido de la «>secha ~.'. pal'<",la conociendn la dilú",;.
pro lema exi~e la resoluci6n ckl "iiS~Crn~,a~uedrdo.con ntlt'stros 'iímholns t'1• e o.."i m~nilas:
de solución x = 1200: y = 600
26
(3) U" I)roblellUl dI! itltt.'rf.' COIIlII/lest.}. Se lntla cid c:l.i,¡<.'o Prultlt'lll.I
11 1= 1" 1111= ,/. ".de la determinación del tiempo en que se dupliC"olllll (,¡t(lit•• 1. ;lUlla d(;"II'r.
11.59.0.115 1.5~ :2....»minada tasa de interés compuesto. En el caso dl' la tahlill:t t's..t ta.....' l"~
11.56.56.158.1~.50.6.15 ,'>0.7 :1.12.1 2del 20 '.f.. dalo que <lla par qu~ pUi"<le interesar a la hi~luriu t"C111l6mi<..t el,'
11.55.7.141.15.:l3.~ 1.16.41 I.¡;O.~~ :]esos pueblos. facilita haslante)¡, solución aritmt"tiC':l. El pmhlt'lll:.l t'~ lr.l'i-
11. l5{3. 1~.29.32.,52. 16 :].:II.·I~ .')5).1 ~
cendcn le y exige la solución de la ecuación exponencial J. 2.1e = 2. para lo
11.148..54.1.40 l.;') 1.:17 .';cual el calculistadespués de comprobar que x está entre 3 y 4 Yml1s pro-
11.147.6.4UO .=>. HJ ~.I 6xima a 4 que a 3, determina el incremento 4 - x mediante la proporci~
11.143.ll.56.2Jj.2fi.~O :JH.II ¡;~. 1naJidad de Jos incrementos olrc;'CiE.'ndo <Iuiz¡lo¡ el primer t:'jt'lllpln dI' la
11.fll.33.59.3.~5 13.19 21JA~ ~
aplicación del Ill¡ts tnrdt, llamado "I1lé'todo de falsa PU!\iC'iÓI1··. Ot' ill'llt~f(ICI
11. 138.33.36.36 ~.1 12.~~ ~
('On esa hipótesis. aClu(,1 increlllelll'O t.'stá dado por 1.,1 mdl'lIh~
1.3S.10.2.2Jj.27.~.2Ii.~" 1.22.~ 1 2. 16.1 1111.33.45
~ 1.105 11(1.2
1
- 2): 0.2'- 1.2 ;1
1.29.21 ..54.2.1,5 27 ..5!l ~.~~ 12
11. )27.0.3.4.5 7.12.1 ~A~ 1:]que da e1lielllpo de dohl(' c-dpihtlizildón con un ermr 1pCI"III~tt"('lnl inl¡"ricll"
1.2.5.48.,5 1.3S.6,.lO ~.:1I "U~ I~
a seis días.
11.123.13.46.40 .';6 ,~l I,~
(4) El teoremll de PitÓI!.Urtl.t. \'¡trius problemas dt~ lit'.. tahlill;l..'i: \UIl \:1-
nantes de un probl ma frecuenle en el folklore matt'llI.itil'U: el pruhlt'lll;l
de la c-.lila, cuya solución exi~e el mnocimiento del tt'nn~lll:l (It, Pil;¡~Ur:LO¡:.
Veamos un caso simple: una{';uiaque se apoya en una llilrt-·d df' i~ll:ll ahum
que ella se desliza sin caer. CaI('Ular su altunlxronocit'lld'l c'l <1c.'.;liZdlllit'll.
to 1I de su lope ':' la distanchl b en que se ha aparl;.tdo t'1 pit' dt' la (,lIia
respecto de la pared. Este problema. que equivaJe a lit ddc'rtninat'ic)ll (11~1
radio de un círculo del cual se ronoce una semicuerd.1 y li t1ech.. rt'';I)t-'('ti-
va, exige la aplicación del teorema de Pitágoras que da por solución x =
= ~. (a' + b'): a; y son estos cálculos. efectivamente, los que efectúa el
calculista babilonio partiendo de a = 3; b = 9, obteniendo x = 15.
(5) El texto "PlimpIOIl322", (Se reproduce a continuación el texto de 141
tablilla en signos modernos, tornada de O. NeugEftllUer, The Exaet
Sciences in Antiquity. Nueva York, D<wer, 1969, pág. 37.) Se trata de la
parte derecha de una tablilla mutilada (Iue comprende cuatro CO)UIlllll:L';: la
primera, 3 partir de la derecha, no contiene sino los nlimeros 1 a 15 par¡¡
ordenar las filas; la St.'gUuda y terct:r.t. encabezada.o¡: respectivamenltc" COI1
las palabras "diagonal" (d) y "ancho" (b), contienen números enteros apa.
rentemente sin orden alguno. mientras que lacuartacolurnna. enc-.dle'zadu
por un ténnillo ininteligible, contiene expresiones fraccionarias. a veces
hasta ron siete fr.K:Ciones sexagesunaJes. Descifrada la lablilla. el restlltado
fue que las columnas (el) y (b) comprenden los romponentes de tripletes
28
pitagóricos rorrespondientes a la hipotenusa y a un cateto, es decir,
d = mi + nI y b = mi - n l , y cuyo otro caleto b:a 2mn, del cual sus
valores, que figurarían probablemente en la parte que falla, deben cum-
plir la condición de no contener sino divisores de 2, 3, S, circunstancia
que explicarla el aparente desorden de las columnas d y b, pues la cuarta
columna contiene los valores numéricos de (dla)!, es decir, con nuestro
léxico los valores de sec 2Q siendo a 1'1 ángulo opuesto a o. Agreguemos
que los valores de la cuarta columna decrecen de manera casi lineal, así
como los valores de Q' decrecen bastante uniformemente entre 4SO y 310,
)0 que hace suponer que otras tablillas oontendrían los valores correspon-
dientes a Jos otros sectores de 150,
Por ejemplo. en la fila sexta loo v.dures de I~.; tres culumna..; sun t'1l ,,1
sistema sexageslmaJ,
ti = 8.1: " = 5.19: (eI/"I' = 1: 47.6.4I.~U.
Es fácil ver que en este c-olSO m = 20, 11 = 9: d - 4H 1; b = 319 r~sult~llldu
a = 360, que no figura, pero que cumple con la condición de no contener
sino factores 2, 3, 5 Y(l"e {l/laF = (481/360)': expresado en el sislemJ .;eX;&-
gesimal es precisamente el valor que aparece en la CUlIrta columna. P;ml
estos valores O' es aproximadamente 4(}".
29
2. Los egipcios
Comparada con el contenido de las tahlillas de los babilonio,. IJ
matem¡\tica de los egipcios result~1 de un nivel muy inferior. llna
de las ,causas reside en el sistema de numcrJción adoptadl) por lo'i
egipcios: aditivo decimal compuesto de ocho si,:{nos jt"ro).{lllk.o\
para indicar la unidad y las primeras siete potencias dt' JO Y <jUt' ('11
el contexto numérico se es~ribíande derecha a izquierda ~~gtíl1 ha)
potencias decrecientes.
Con ese sistema. el escriba o calculador e~jr)(:i() rt"alizab.... hi)
operaciones aritméticas elementales, con Illhnerm t"nteros n fra(:-
c~onarios. utilÍ7..1ndo una técnica operatoria. no t'~t'nta de ingellio..
sldad. de la cual cabe destacar dos notas camc.:tt'ríslit'as: la multi.
plicación por duplicación y el uso casi exclusivo de fnlC'<:iunt"" lIui.
tarias. es decir, de numerador la unidad.
El conocimiento de los rnétodos de c\lculo cit· 10:-. t'gip(:iO\ y di'
su aplicación en distintos prohlemas proviene cll' alglltllls papife)).
no muy numerosos, entre los cuales si~ue siendn m:í.s impnrlilllh'
el papiro Rhind (del nombre de su propietario 'Itlt.' lo It'gó al ~lllSt'U
Británico) que data de la época de los hiesos (s. XI IJ a. (:. l. ""nq"~.
como nos lo asegura su autor o compilador, el e~ilx'io Ahl1ws. ""
contenido proviene de épocas anteriores. aproximadilmentt~ n,'
comienzos del U milenio.
Aunque el papiro declare que contiene '·las reglas para loW-ar
un conocimiento de todo lo oscuro y de todos los misterios que re.
siden en las cosas . .. " es en realidad un manual de artimética.
probablemente destinado a la formación de los escribas oficiales
que tenlan a su cargo el conocimiento y la práctica de los cálculos
que exigfa la típica organización económica de ¡;;"'iedad egipcia. (1)
El interés mayor que ofrece la aritmétiC'd de los egipcios reside
en su característico uso y manejo de las fracciones. Si se excep-
túa'/3 (y ocasionalmente3/-l). fracción para la cual existía un signo
especial y de la cual, por lo demás, conocían la descomposición
en 1/2 + 1/6, el calculista egipcio utiliza exclusivamente frdcciones
unitarias Y. por tanto, todo cociente o parte de un cociente menor
que la unidad debía expresarse como suma de fracciones unitarias,
problema indeterminado desde el punto de vista teórico y que los
30
egipcios resolvieron empíricamente, aunque tratando de dar. y iL
veces en forma ingeniosa. la descomposición Illi.\s simple.
M uchas de esas descomposiciones eran conocidas de memoria
por el escriba, pero para denominadores no pequeños la cuestiÓn
se tornaba dificil, de ahí que sea explicable que el papiro Rhind se
abriera con una tabla que facilitaba esa descomposición dandn la
misma para todos los cocientes de dividendo 2 y divisor impar
desde 5 hasta 10 l. (2)
El conocimiento aritmético de los egipcios no se limita a las
operaciones elementales con enteros y fracciones: en los papiros
matemáticos aparecen progresiones aritméticas y ReométriC'.:lS y
hasta algún ejemplo de rafz cuadrada. En cuanto a las apliC"dCiones
se trata en general de problemas de repartición proporcional O de
medidas de capacidad, de superficie o de volumen, así como cues-
tiones de distinta índole que conducen a problemas de primer
grado con una o más incógnitas. (3)
Los conocimientos geométricos de los egipcios son m.ti bien
extensos: disponen de reglas exactas para el área de triángulos,
rectángulos y trapecios, así como para el volumen de prismas y
pirámides. En un ejemplo aparece la determinación de la inclina-
ción del plano oblicuo de una pirámide, aunque entendida más
como factor de proporcionalidad que medida angular, mientras
que el máximo logro de la geometrla egipcia debe verse en .la
determinación correcta del volumen del tronco de pirámide de
base cuadrada, mediante un cálculo de difícil interpretación. Ade-
más se debe al calculista egipcio \lna excelente aproximación para
la cuadratura del círculo. (4)
Notas complementarias
(1) La multiplicación y división e~ipcia.s. P~ulbpliC',lr por du(>IiC'.l~
ción el egipcio escribía en columna «:!Jactor 'mayor y sucesivamente sus
dobles. mientras que en otra cp1umna a la izquierda ser1aJaba la unid.td y
sus dobles. La operación se*s~s(>endía aJllcgar el mayor doble inferioral
segundo factor; el calculista marcaba entonces con un si~'l1o especial los
dobles cuya suma componían este segundo faclor y sumaba los t nllino~
31
/
/1 34
12 68
4 136
18 272
/16 544
27 918
co~respondientes de I;¡ primero) columna. Esa SUIl1¡t c) el resultado. A la iz-
qUierda puede verse el produclo,34 x Xl = 918.
Para abrev.iar la operación en al1{unos casos se Illultiplico!b.. pur lO \' a
~:ece~ este ll1uhiplo se dividía por 2 (,'011 Jo cuajo en la columna de' la
Izquierda, además de dobles. dparccían los números JI) v.5. (11It' había '¡lit'
tomar en cuenta en el cülculo el I sef!undo factor. .
Para dividir procedhn COIllO en l· n 11· 1··6 ·d d• • < .11 U IJ> lcael II CUUSI cran o la di\'i.
slón c:omo una multiplicación dt." producto y un factor conociclos. Di\'idir
por ejemplo 1. 120 por 80 es UII<I multiplicación "comenzando con 00", Al..
1 80
/10 800
2 160
/4 320
14 U20
izquierda esh.\ incliC'dClo el c.Uculo que se ha facilitado comenzando pur
tomar el décuplo del divisor. Como en este caso, de )a columllll de la
derecha se obtiene la suma 1.120. el resultado es de una división exaCt''''
1.120 : SO = 14.
¿Pero qué hubiera ocurrido si en lugar de 1. 120 el divi<lendo huhier...
sido 1. ISO? Con nuestro léxico. de los cálculos anteriores huhiéramn~
d~u~idoqueel cociente entero t:S 14 yel resto es 30, ¡>ero en las divisiones
egll>clas no hay resto: el cociente es siempre exacto.~~l lo cual en este
c~o se hubiera acudido a las fracciones y Proscbruido la operación in trodu.
clendo en la columna de la izquierda las frnccianes 1/1. 1/... 1/,.. V con los
correspondientes vaJares 'lO, 20. 10. se habrfa llegado a la sUII~a exacta
1.150 y ale..'OCiente eX¡lcto 14 1/4 l/H.
(2) Las fracciones wlitarias. El ejemplo anterior, donde los valores
~modos 80 y 30, del divisory el resto. facilitaron sobremancnllas opera-
ciones. no es un ejemplo adecutido ¡>ara mostrar los cálculos CWpcios con
fracciones unitarias. ya para oonstruir la tabla de los cocientes 2 : n. ya para
utiJizar sus datos. _
32
Así seilala Van der \Vaerdcn la marcha del proceso en l., lIhtl'neiólI dt:1
cocit:nte 2/31 = I/'!/) 1/1204 I/lM. El ealculbta ha utilizado la fr.K.'Ci6n auxiliar I/'MI
reconociendo que 31/'111 = 1 1/2 I/fIJ, Conociendo adem.ls la de)COlllpo~ici(1I1
1/4 = 11r. 1/'IfJ y que evidentemente 2 = 1 1/2 11. y... medi.tntc un proct.'SO de..'
"completar la unidad" lIe~.u a la descomposición 2 = I 1/1 1/00 I/~ '/~ Yeu-
rno 1/4 lIs = 31 (11t~ l/ lM) se IICflP a la descomposición de la tahla.
Supon~mosque haya que dividir 11 por 23. El calculista proc't.-dcria
ase: 11/'1:3 = l/U 10,23 = 1/'l1S-'llrn: acudiría a L-t. tabla que descompone 7t23 -
= IlIt 1/276. Y)~uiria
"/t:J = 1h.15f1! !Sf'l1tl = 1/1.3 1/12 11Z16 1/:'1 1/81
sin necesidad de vulver a la tabla. y el resultado serfa
1~23 = I/J I/I! I/'&.) I/r» 11m.
1 ~, Y3lJ
12 1 y, YI>
4 2 ~, V,o V3lJ
18 5 y, y, y"
10 6 ~, y, ~" - 7
Consideremos por llhimo el problema de dividir 7 panes entre 10 per-
sonas. Sin explicación alguna el papiro da el resultado: "IJ II:JO Yse dispone ...
comprobarlo mediante la multiplicación de ese dato por 10 tal como se ve
en la izquierda. Al multiplicar por 4 aparece el cociente 2, 15que lamblada
como l/lO 1/30. En este caso no hubo que acudir más a la bbla.
(3) Problemas de primer grtulo. He aqu( un 1)31" de problemas de
primer grado resueltos por los egipcios. Una cantidad y su séptima parte
dan 19. Para resolverlo, el calculista toma sucesivamente 7 más l. es
decir. 8. Divide 19 por 8 obteniendo 2 I/~ 1/8 Y este resultado lo multiplicoJ.
por 7, obteniendo 16 1/t I/I!. que es la C'J.ntidad buscada. comprob:1ndolo al
agregarle 2 V, 'lo y obtener 19. .
Menos simple es el problema de dividir 100 panes entre CIOCO personas
siguiendo una progresión aritmética (serian de distintas ciases sociales~. de
manera que la parte de las dos últimas sea 1/7 de las partes de las tres pnme-
rJ.$, Aquí escuetamente el lXlpiro dice: 'Toma como diferencia 5 '/1, de
donde 23. 17 1/2 • L2, 6 1/2, l. Aumenta esos números en la proporción 1"fa y
obtendrás las partes que corresponden a cada persona". Y la solución es
correcta.
En efecto. el número 5 lIt es la raz611 entre la diferencia de 1a pffi$,.rre-
sión )' la parte de la última persona, que puede deducirse de los dato:. del
33
/
34
prol1lema, pues las dos ,i!timas . .
un¡} diJerencía mientras u I per~on~ reciben dos de c.\as p.lrtes m.l,
más 9 diferencias <llIC ha,q, dee .'\S tres .!IIa1~ujentes r('("i!len .1 de t..'''l\ p.trtt.s
d • ser equlv' entes '1 14 . I 7 1"'"e ahí la razÓn 11/2 es doc,"," 5" "'d "" d .. par es lo' (1 crt'n('I;L-;.
• . ¡i.n. Il1lhen oquela 'Iti
suma, de acuerdo COll la diferencia 5'12 daña 60 . tl. mil p.lrh~ 1',' I p.lIlla
el problema; de ahí Ll lihirna arl i l. . p:mes y /lO J()()C'OIllOC'(I){t'
anteriores en la proporción de~ I~ e ~ ~.lucI6n al ele,,;., 10-; \,;¡Inrt'\
a . es t."('lf. en 1:, propor(.'i~u dl':1 a.:;.
4) La Clwl/ralllra del drt:lI/n. l.a rew' d 1 J ". .
ner el área del cír ulo co 1" t d a e C;,l eu Ista l',..... 'X·IU Il'tnl oIHt~­
lente al círculo el d','· t' SIS cena optarcol1loladodelcUlldrddof'(lllh.t_
'.une ro menos un nOve 10di' I
para nuestro 1T el valor 256/81 = 3 lro I e IllI!onlU. u (¡lit" "IiJ,!nilk;1
errar relativo por exceso d 06% E l ... bastante ~prn'(im<ld() con un
observemos que si hoy dese
e
¡ .' . n ('U<lnto aJ on~ell dl' est<l rt·"d,¡
. • mrnos conocer cIU~ fi 'ó lid"la forma 1 _ 1/ d be mCCl n ( t' "hnl>lm. dt>
ti e lom.lrse para obtener ell d d I d
lente encontraríamos p.ml IJ el valor 87 ,.~. o e (,tl:1 , ..do ("(fui, ...
que cabe sos har ti .,.. •. " laS.ante pm'(ll1ln aY. dt' ahi
tanteos con r'::· q e .'OS.~II)CIOS ohtuvienm Sil rl'1!la opl~r.lIIdu pUf
Iones tlllItanas y oomplCIllt'ntos a la unidad.
111. LA MATEMÁTICA HELÉNICA
1. Los griegos
Un largo milenio transcurre entre la época pe las tablillas cuneifor-
mes y de los papiros egipcios que hemos reseñado, y la época de la
revolución intelectual que tendrá por teatro el mundo griego del
Mediterráneo oriental; revolución que significó el advenimiento
del sabio y de un saber cada vez más consciente de su propia
misión y de la responsabilidad que le impone la exigencia d~ W
comprobación o de su verif'iC'dCión.
Al hacerse referencia al nacimiento de este nuevo tipo de sa·
ber: la ciencia, suele aún hablarse de "milagro griego", expresión
que encierra la idea de un surgimiento de la ciencia, del arte yde la
filosoffa como de la nada, por generación espontánea.
Mas hoy, al respecto, y en especial para la matemMica, cabe
ser cauteloso. Por lo pronto, la ciencia prehistórica ha puesto de
relieve el largo camino recorrido por el hombre en la senda del
saber hasta llegar a los umbrales de la ciencia. Por su parte, ya no
es posible dejar de considerar que el "milagro griego" tuvo como
antecedente el saber que desarrollaron los países orientales, en
especial Egipto y la Mesopotamia" La misma tradición griega ates-
tigua la importancia que los primeros griegos atribuían a ese saber I
y es significativo que, según tal tradición, grandes sabios y filósofos
del período helénico habían estado en Oriente, en especial en
Egipto, frecuentando los sacerdotes de esa región"
Otro factor Que ha contribuido a mantener la creencia en el
"milagro griego" proviene de las características del período inme-
diato anterior al advenimiento de la ciencia griega, allá hacia el
35
/
siglo VI a. C. En efecto. el medio milenio anterior a este si~lo es
una de las épocas m,is oscuras e inciertas de la historia del Medi-
terráneo, aunque tal oscuridad no proviene de causas intrínsecas.
sino del hecho de tratarse de una época de movimientos de pue-
blos y de la aparición de las armas de hierro que aportaron un
poder destructor desconocido hasta entonces; movimiento y del!!.
trucción que han contribuido a silenciar ecos y documentos que
podrían informarnos acerca de los orígenes de la ciencia en Grecia.
Por lo demás. en este período, Crecia mantuvo relaciones
comerciales y bélicas con los pueblosdel Cercano y MediO-Orien-
te, y si bien es cierto que los griegos no supieron leer las jero~lí.
ncos egipcios ni los signos cuneiformes, el hecho de desconocer el
idioma no significa ignorar totalmente sus bienes culturales V las
conexiones que actualmente se advierten entre la matel~¡itica
griega y la antigua matemática de los babilonios. como consecuen-
cia de las tablillas descifradas en este siglo, comprobarran tal afir-
mación.
Una última observación, de carácter más bien paradójico.
reafirma la cautela con la cual deben tomarse las informaciones
relativas a la antigua matemática griega. En efecto. mientras hoy
a 30 ó 40 siglos de distancia. COnservamos en las tablillas cuneifor-
mes y en los papiros egipcios documentos originales o copii.ls fieles
de las contribuciones matemáticas de los antib'\los pueblos orienta-
les, nada de eso ocurre con los griegos; a pesar de ser mucho m¡Úi
recientes, pues de las no muy numerosas producciones matem.Ui-
cas que han sobrevivido hasta hoy, sólo disponemos de <'Opias y
compilaciones tardías a veces posteriores en varios siglos, cuando
no meras traducciones.
Esto es particularmente cierto para la matem1tica del perrodo
helénico (siglos VI a IV a. C. l, ya que de los escritores anteriores a
Euclides no se conoce sino el fragmento, relativo a las "lúnulas" de
Hip6crates, de la "historia de la matemática" de Eudemo de Ro-
das. que, a su vez, se conoce mediante una reproducción no muy
fiel, aparecida en un comentario aristotélico de Simplicio del s_ VI,
es decir, de un milenio después.
De alir que la historia de la matemática del perrodo helénico
haya sido reconstruida sobre la base de fuentes indirectas, infor-
maciones dispersas en autores de la época posteriores )', en espe·
36
cial, en los escritos de comentaristas del último perío~o d~ 10.,
. . . ga entre los <Iue cabe destacar el resumen hlStónco.CienCia gne , ..
que apart.'ce en Los comentarios ullibro 1 (le l~ Eleme'~~o~, (/1'
Euclides de Proclo; probablemente fundado tamb,én en la histo-
ria" de Eudemo. (1) ~ ,
En este resumen, aliado de fib'llras conocidas de la filnsoha y
de la dencia griegas, ap..U"ecen nombres de los cuales .se tienen
escasas o ninguna noticia, Faltan. en cambio. nombres un~rlall­
tes como el de Demócrito de Abdera, omisión que s~ expllC"d en
vista de )a tendencia neoplatónica de Proclo. contrana a la..'\ con-
cepciones fil0SÓflC'olS de oemócrito_ Pero, salvadas esta y otms la-
gunas, ese resumen histórico señala en líneas generales el p~oce"ln
seguido por la matem,\tica ~riega durante el periodo helélllco.
Notas complementarias
( 1) El reSUIlU'Il Ili...,,'wkt. tI(· Pr"du. Cuen~ Pml.'lo t'l~ h~ 't'1t11Iltl,1 ll<ut·
del Pról~o ¡L sus COlIIl'lItfll"if},t: •• , •. lllUch~s autnre"l ,lIIlnn~l:lll 4111l', \I~
~Kipcios fueron los inn.'lltort;'lI de.' la ~('O.nctna. (IUf:" ll:.\CIÓ dt' la llu""t;;(,I.1 ~ t
los call1~s. net'esaria dehidl) 11 hL' crecidas del Nilu 'Iue hornll);,IIl~, IImlt·
I 'ed' des Por lo dt'I1l'ls no ha de ;lSOmhroU" (111t' haya suIn 1111,1~ntre aspropl a, ' • _ " ,
e:tic'encia pr.\ctiC'd h, deleOllinanle de la invención de t"Si.I ~lt·nt'I:l. pllt·"I
. ,.. 'ó oced" d' lo illlpcrlrt·tn '1 In lwr-lodo lo que está. sujeto a 1" ~em:r.lC1 n pr ~ l:' • .• I
tecta. v que es nalural que se produzco.l una tr,UlsiciólI de .la st"Il-':'U.:~4~1: ;~
razon¡miento y de éste a la illtt'li~ellcia. De maner:' (llIt'~" rollln lu)'; ~t II:~
. d b'd ,.1 interC'oUllhio v transacciones COIUt"rclalt,s. hlt'n)11 11), pnlll\
CIOS. e I oal, I . , ~
ros en tener un conocimiento C'dhal de los números. pur a nt7.J)1l lIIt'uc.:n
nada los egipcms inventaron la J!t.'Ol1letrla. . '
_. E ripto fue el primero qlle introduJu t.. It"iJrlil t'lITaJes. que estuvo en)t . _., •
G " él mismo realizó varios des<.,'ubrimienlos y enC'd.I1lIllÓ a !1m MK"t"tC;
re:e:::'ia sus principios; ll1Kuna.'\ cuestiones las resolvió de um' mUller~ In;l'
~eneral' Otn.lS de una manerJ. nuls intuitiva. Despué-s de é'1 se lllem:lllm~ ¡¡
MaJller~, he~nano del poeta Estesicoro,q~ese inl~resó por la j.tffillletna,
a la cual debió su fama. SeJ.,.'Ún cuenta l-hptaS de Elts, .
Los siguió Pit.\J{oms quien transfomlÓ el estudiodt' la ~eolllt'trl:t~~I u~a
enseñanza liberal, remOnhi!,dose a los principios ~enemles.y ~I\I ;: l:;
los teoremas abstract¡unente y con la intellKencla punA; St' le ue . '
-, la t ·Ó) de las fi·,ur.l.'l CÓSlll'-descub.'imiento de los irr.lciomues y . consruCCI I ...
3'1
O.' "
caso ~. I.is tarde Aua:dgoms de lazomene se ocupó d . d· ,. .ét . e I~ lIlt'.b cuesllullt"S
¡(CObonl ncas ~sí como Enópides de Quíos.•d",o fllll__ jo\,en que Anax;¡Aor'l\'
am s mencionados por PI tó 11· l" ..M'is . el r. J n en IViI es C0ll10 lamosos rnatem.iticus.
• tar e. IUcron célebres en J.{eomctrla H ip6crates de r) '. d
b '6 l· . d el el . 'o: litas que CS('u·
~ n ~ cU,a ra ura e las lunula... y Tl,'odoro de Cirene: 1-1 ipócrat(~s adt'Ill,l\
ue e pnmero <luC compuso Ehmumtos.
. Platón, que I~s si~e. dioa 1aJ.{t.'Ometría. colnoa 100.1 la matt'm.itic.'l. 1111
II11 P¡u
d
lso erxtraordmano mediante el wan interés (1 II E." c1t'mostm l'Xlr ell', el·'
eu" an le su . '1 Id'·'" s esen, os rep cto~ e consideraciones malcm;i!ic:'.'s. que t'1I
~odo II~omentodespiertan ht admirJción h.\cia esol ciencia de ;Ulllt'llos (IUt'
se oonsagr.ln a la filosofía.
T Almisrno período pertellt.--et.~n Leodamas de T~L'ro. Anlllit.L'l de Tan~nt;.
y o eet~to de Atenas. que ;UllnClIl;tron el nlllnero dt, It'on'm;l__ clt' j.tffimt'-
tna, IIl1entms le daban unJ forl1lJ m.is cientíllca A I •.._~I""las ·uI"d' I d- , I . ......AJ. ~1,..1It.' t'O-
C I es y e ISClpU o de éste: u."Ón. que acrecieron l'I ~aher ~eomtttrico cIt'
manera que León 1> do . ". -(vaJ I I o. u esen )Ir unos f. enU.'IItos. lIluy superiores por d
. o.r) e nUIll~ro.de sus dcmostm('ioll~. León .tdenú.. d('scuhrió 1.1.... di~~
tmClones que lne!lcan si un prohlemót puede resolverst' ti no,
E ¡lgO~n:is j~vel1 ql~e u..'Ón. y comp:ulero de los dis<'Íplllns d(· Plat6ll. lOS
u oxo e nido. qUIt"1I aUlnentó el Illlmerode los teorel1l~L'l tlt.'Ol11tttri '
agregó tres nuc . . l. ,.. cus.I . Va.) proporciones a "tS tres .1Ilt'lKuas. r Ilwdiomle l'I an.\lish
liZO, progresar lo que Platón h;thía emprendido rt.'sllC(.'to d~ la st"C'Ción
~mtlclas de J-Ie~aclea. discípulo de Platón. y Menet·ll1o. di"{'ípulo d~
Eudoxo. como '11I.embro del círculo de Plalón. y su hermano Dinostr.tto
r:erfccclonaron aun más la ~eometria en su conjunlo. Teudio dt.' ~1aJ.{llt.'Sia
gozó de gran renombre tanto en mat~rm\tica cuanto cn otn¡ doctri 1" 1'1 •
~ófi~a, pues coordinó Ele".mlO.' y ~eneraJiz6 muchas "'"., P."tic~,i,;;.
~ mel~te Ateneo de Claro. de la misma é(>OC'd. se hiw célehre coml)
matem. ~Iro Y, en ~speci:.J como ~eómetnt. Todos ellos se cons..rre~<Ihall en la
Academia e IIlslttuyeron en collllin sus investi~ciones. I-Iennotirno de
Colofón des~lI.ó lo que habían encontrado EudoxoyTeeteto. de"ClIhrió
muchas prolX>Slclones relativas a los Eleme,uos y se t'lI"upó de lo' Lfil" d M d d' . ~-- s uf.!lIrt'Jf.
l~.e CI~ e., Iscfpl,llode PIalón e iniciado por éste en la matem;\tica.
realiZÓ In~'estlg."lCI,Ones slS{Uicndo las indicaciones de su Illaestro. aunque
se I~ropuso t~n~lén todas aquellas cuestiones que seJ.{ún su entender
podlan contnbUlr al desarrollo de la filosofía de Plató,) E· h· t· .,'1" . !iasaesc~
1
11 Ilinos (Iue s~ han ocupado los historiadores que tralaron el dcs;\Trollod
a geometría. 4.'
Este últi.mo párr~fo se refiere evidentemenle a Eudcmo. IlUf<S el A{-'Ó-
metra que sigue es Euclides, que cs posterior a ElIderno.
38
2. Tales
L.'\ matemática griega comienza con el mismo nombre con que se
inicia la filosofía griega: Tales de ~lilelo. uno de los "siete sabios de
Grecia", primero a quien se dio ese nombre, no ya por su ~énero
de vida y sus preceptos con referencia a la conducta moral. sino por
el hecho de estudiar los secrelos de la naturale"" y hacer conocer
sus investigaciones.
En efecto, Tales, como sus conciudadanos más jóvenes: Anaxi-
mandro y Anaxímenes, fue un fiJósofo de la naturaleza,un "fisiólo-
go" que por sus observaciones empíricas sobre los seres, sobre las
cosas y sobre los fenómenos. en especial meteorológicos, lIe¡(ó a II
concepción de estar todo el Universo sometido a un proceso, a una
transformación continua. como si algo viviente lo habitase ("Iodo
está lleno de dioses"), proceso y transformación cuyo orillen. causa
y devenir busca ("el agua es el principio de todas las cosas. pues
todo proviene del agua y todo se reduce a ella").
Como en todos los casos de los pensadores antiguos, no se
dispone de Tales sino de escasas referencias debidas a comentaris-
tas muy posteriores, pero cabe destacar que es el único entre los
filósofos de Mileto a quien se atribuyen conocimientos científicos
en sentido estriclo: ya astronómicos, ya matemáticos.
Asf. se le atribuye la predicción de un eclipse de sol que. según
los astrónomos modernos. fue el del 28 de mayo de 585 a. C. (f""ha
esta última que, aun convencional, puede servir para fijar el naci-
miento de la ciencia griega), eclipse que reviste un singular interés
histórico. pues ocurrió cuando medas y lidios estaban por entrar
en batalla. que el fenómeno celeste detuvo, y facilitó gestiones de
paz.
Actualmente se duda de tal predicción por parte de Tales. en
vista de la propia concepción cosmológica que se le atribuye. Yde
los conocimientos teóricos que exige, salvo que estuviera en pose·
sión de reglas de los antigups babilonios, lo que no es muy vero-
sfmil. Más verosimil resulta suponer que la predicción del eclipse
no fue sino una atribución gratuita, consecuencia de la fama y de
la popularidad a1can""das por Tales en su condición de sabio.
Algo semejante podrfa decirse coo respecto·a las contribucio-
nes malemáticas, o mejor geométricas. que se atribuyen a Tales y
39
/
que consisten en aJ~'tlOas propiedades teóricas y en un par de
problemas prácticos, (1) cuyo interés reside esencialmente en
que tanto unas cuanto otros se refieren a propiedades generaJes de
rectas, i¡,'ualdadesentreángulos, ysemejanzas de figuras. es decir,
propiedades cuya índole las distingue del conocimiento empírico
de los egipcios, con el cual directa o indirectamente Tales pudo
entrar en contacto.
También aquí, como en el caso de la prcdit'Ción del eclipse. la
atribución de conocimientos geométricos teóricos puede fundarse
en la fama de laque Tales gozó en vida yque. sin duda. se trasmitió
deformada a las generaciones posteriores. Mas también puede
dársele un sentido distinto. vinculado con la revolución intelectual
que se estaba produciendo en el mundo gri~o en tiempos de
TaJes: el nacimiento de un nuevo saber.
La nola esencial de ese nuevo saber fue su acentuado cadcter
discursivo, su tónic-a racional, que en sus comienzos se manifestó
meramente en los intentos de explicación de los fenómenos natu.
rales sin acudir a causas extranaturales, pero que pronto adquirió
una sólida consistencia y logró conquistas perdurables en la rama
más fecunda y más dócil a los dictados de la razón: en la matemá-
tica, mediante la demostración rigurosa de sus propiedades, tra.
duc'Ción en su campo de la explicación de los fenómenos naturales.
y si Tales, el "primero entre los siete sabios", había sido también el
primero. cronológicamente. en poner de manifiesto las exigencias
de la razón en el C'dm¡", de la naturaleza mediante la "explicación
racional de sus fenómenos", ¿por qué no dotarlo de igual C'apaci-
dad en el campo matemático, atribuyéndole el invento de la "de-
mostración", en vista de la similitud de los fundamentos de ambos
procesos? Sean o no exagerados Jos méritos qU2,las generaciones
futuras asignaron a Tales. es indudable que termina con él una
etapa en la marcha del saber: la etapa precientifica, para iniciarse
el período del saber crítico, objetivo, científico.
Varios factores contribuyeron al advenimiento de esta especial
concienciacienUfica que ante todo significó una liberación, aún no
total, de la maraña de elementos extracientíficos que envolvían al
saber oriental. Por un lado, el carácter del pueblo griego, pueblo
de legisladores y de coloniz.,dores que, en contacto con pueblos
orientales de larga tradición cultural, heredaron de ellos lo que
40
ofrecían más objetivo: el saber. Ese pueblo disponía ademi-. de un
idioma que una estupenda tradición literaria, casi familiar. h~Lhíi.l
tornado bastante flexible como para permitirle lanzarse a nuevas
aventuras. Si en esa tm.dición fi~urJba un poeta épic:o como Ho-
mero, también incluía un poeta m•.\s did.íctioo como Hesíodo y.
por tanto. m¡\s afín con el saber.
También pudo haber contribuido al movimiento de libemción
la índole especial de la relil':ión ¡(riel':". con su antropomorfismo y la
vinculación de sus mitos. dioses y cultos con fenómenos naturales.
así como los jue~os olímpicos, que se inician en el si~loVIII il. C..
en los que lo colectivo, representado por sus facetas reli~iosa.s y
nacionaJes, se combina con lo individual, encamado en el recono-
cimiento de los propios méritos y en la libertad y valores perso-
nales.
Por último, C'dbe acentuar el C',IJ'¡\cter especial de la cuna del
nuevo saber: la ciudad de Mileto, nudo de rutas comerciales y flo-
reciente mercado, ubicada en las costas de una región como el Asia
Menor, rica en razas y culturas diferentes; factores todos que per·
mitieron a los milesios Ixmerse en contacto con pueblos y prohle-
mas diversos que estimularon su actividad intelectual.
Notas complementarias
(l) Ltu colltribuciones J.!.eol1l~'ricaf de Tr,le$. St>J(IIIl conshuK'i'L" llf~.
teriores, se atribuyó a Tales la demostn.ción de los sif(uientes I~rt.'ma.":
Todo diámetro biseca a la circUlúerencia. Los án~ulos en la I~ dt" 1111
triángulo isósceles son iguales. ÁnKulos opuestos por el v~rtice son i","uaJt~".
Los ángulos inscritos en una semicircunferencia son rectos; y la rt'soluci 1\
de los problemas: Detemlinar ladistancia de una nave al puerto. Determi-
nar la altura de una pirámide conociendo la somlml que proyectil: proble-
mas cuya solución exigió a su vez el conocimiento de la i~lIa1dad de duJo
triángulos que tienen dos lados yel ánf(ulo comprendido respectivamente
iguales, y la proporcionalidad de los lados hOl1lól~os de dos triánKulo,
semejantes.
Hespecto de esta última propiedad C'J.l>e rerordar que en papiros eJ.!ip·
cios y en tablillas euneifonnes se encuentran aplicaciones numéricas de las
propiedades de los triángulos semejantes, pero tales aplicaciones JlrüctiC'.&S
41
/
r
110 presuponen el conocimienlo previo de la dt'I1loslraci6n 11.'Óric.¡ d~ ... 11.L....
De ahí que de atribuir .tll!:lma contribución oriJ,tinal de T.¡)t:'!'I al n:s(Xx'to.
debería referir~e a la deducción racional de e~as propie<l;lde~.pero mld'l cI...
eso apilrt.:ce en las referencias disponibles. donde ¡¡ lo sumo se in.dk'l t.1
ln~todo utili.zado. por ejemplo. midiendo IUMlmhr.1 proYl.X'lada pM la pido
ITIlde en el lIlstante en que la propia sornhm del operador er•• i}.tu .•1 ¡¡ l..
"hura de su cuerpo. Pero aun t'n t.'stl' caso. fundado ..uhrt' un método d.,
colnprobación inluiti,·a. nada prueha que Tales hay•• dt'rnostrado d t(-"()n"
ma que, con frecuenciJ.. Ilevil su IlQlllhre en los tt'xto.. elemenhlle<; de ~t't).
metTía. pero cuya primera demostración. nada fikil. ap'lrt'<''t· t'n t'11.ihrn VI
de los EIt".lIenlos de Euclides.
Al respecto de esta inconsi...tenci:a histórira C.lht.· eH..r la fdiz "hnuladt>"
del rnatem:itioo Félix Klein. quien recordaba (Iue si un tt:.t)remalle\.a t'I
nombre de un matem¡Hico. es se}.turo flue este matel1l;itiro ll() t.'S 'in in"t'Il.
toro Tall.'Osa· ocurre prccisanH'nte con el ~tffirema dt' Tales" y. pm'CIt'
aSQ"cgarsc, con el "teorema de Pit:\~Or:.lS": el "hinolllio <It.' Nrwtnn". t'1
..tTj¡\n~ulo de Pasc-..J" ...
3. Los pitagóricos
Eljuegode la razón y la rndole del ente primordial capaz de en~en­
drar todas las cosas, son los fundamentos que caracteri7.an a las
corrientes filosóficas que alimentan el pensamiento helénico.
En cierto sentido diríase que la geografía influyó en esas co-
rrientes. Mientras que de las coloniasde Asia Menor provienen
los "fisiólogos" con su acentuada tendencia hacia "la naturaleza
de las cosas", fincada en entes de consistencia natural: agua, aire,
fuego ... ; de las colonias itálicas provendrá u~ corriente m,ls
mística con un ente primordial de naturaleza ambivalente, como
habitante de dos mundos: del mundo de la razón y del mundo dO'
las cosas. Ese nuevo ente fue el número y sus artífices fueron los
pitagóricos o i~1Iicos.
Si las figuras de los fisiólogos son legendarias, también lo es y
quizá con mayor razÓn la de Pitágoras, filósofo que habrra vivido a
lo largo de gran parte del siglo VI a. C. y cuya vida y doctrinas han
sido deformadas por la atmósfera mística que las envolvió, contri·
buyendo sin duda a esa deformación la imposición del secreto y del
42
silencio místicos que regían en Ja escuela que había fundado Pit.í·
goras, en especial, en lo referente a los conocimientos.
Pití1goras y su escuela pertenecen por ig:uaJ a la ciencia y a 1..
filosofía, a la mfstica y a la polítjca: pues Pitágoras no fue sólo un
filósofo, sino tambi~n un sacerdote de ritos ar<."J.ic.'Os y h'L\la un po.
lítico. pues fueron las luchas polítiC'.lS de mediado, dd ,i~l" \' a. C.
las que provocaron la destrucción de la escuela fundada por Pit,i-
~oras en Crotona (Italia) y la emigración de los pitagóricos y de sus
doctrinas a la metrópoli, donde hada esa é¡>OC"J. comenzaron ¡t
difundirse. .
o es fí1cil reconstruir el camino que delll1ist!~ismopihlJ'óricl)
condujo a las verdades matemátiC'dS. Se ha querido ver una in-
fluencia del orfismo y del poder especial que ese mito otorj(aha a la
música, así como a la vinculación existente entre la armonía musi-
cal y la armonfa reflejada en los números, vinculación fortalecida
por el descubrimiepto que se atribuye a Pit¡lgoras de la relación
simple entre las longitudes de las cuerdas de la lira y los acordes de
los sonidos emitidos por sus vibraciones. En efecto, cuando la lon-
gitud de la cuerda se reducía a la mitad, es decir, en la relación 1:2.
se obtenía la octava; si en cambio las relaciones eran 3:4 Ó 2:3 se
obtenían, respectivamente. la cuarta y la quinta. Si se aA:reAa que
en estas relaciones simples aparecen los cuatro primeros díJ'itos
1, 2, 3, 4, que a su vez dispuestos en forma de pila dibujaban el
triángulo equilátero; y que su suma era la, número místico con
propiedades geométricas (por ejemplo, el número de caras yaris-
tas del tetraedro), etcétera. se explica CÓmo esta combinación de
sonidos, números y figuras convirtió al número en "esencia de
todas las cosas oo.
Aristóteles, que prefiere hablar de pitagóricos, no de Pitá~n­
ras, expone de esta manera esa conclusión: "Los así llamados pita-
góricos. habiéndose aplic..do a la matemática fueron los primeros
en hacerla progresar, y nutridos de ella creyeron que su principio
fuera el de todas las cosas. Ya que los números por su naturaleza
son los primeros que se presentan en ella. les p;ueció observar en
los números semejanzas con los seres ycon los fenómenos, mucho
más que en el fuego, o en la tierra o en el agua (por ejemplo. tal
determinación de los números les parecía que era la justicia, tal
otra el alma O la razón, aquella otra la oportunidad y, por así decir,
43
anáJogamente toda otra cosa), y como también veían en los nlllne-
ros las determinaciones y las pro(>orciones de las armonías y como.
por otra parte. les parecfa que toda la naturaleza estaba por lo
demás hecha a imagen de los números, y que los números son los
primeros en la naturale"L.a. supusieron que los elementos de los
nllmeros fuesen los elementos de todos los seres y que el universo
entero fuese armonía y número, Y todas las concordancias qUl'
podían demostrar en los números y en las armonías con las con-
diciones y partes del universo y con su ordenación total. las
recogieron y coordinaron",
Es posible que un primer resultado de tal coordinación y orde-
nación, fuera el advenimiento de la matemátic-J. como ciencia. a la
sombra de tal concepción metaffsica y aliado de tal mistica de los
números. Por lo menos esto es lo que se deduciría de la frase de
Proclo al afirmar que Pitágoras "transfonnó el estudio de la ¡>;eo-
metría en una enseñanza liberal remontándose a los principios
generales y estudiando los teoremas abstractamente y con la inteli-
gencia pura ... " De ser asl. seria mérito de Pitá¡>;oras o de los pi-
tagóricos el de haber convertido el conjunto de los conocimientos
matemáticos en una estructura racional deductiva. con la intro-
ducción de la demost.ración como recurso característico de la ma-
temática como ciencia,
En cuanto al trJ,tamiento de esla disciplina en la escuela pita-
górica, se dispone de algunos datos, aunque por comentaristas tar·
dIos como San Hipólito del siglo 111. quien refiere que en la secta
pitagórica los adeptos se distinguían en novicios y en iniciados, Los
primeros sólo podlan escuchar y callar (exotéricos o acústicos),
mientras que los segundos (esotéricos o matemáticos) ,xxllan ha-
blar y expresar lo que pensaban acerca de las cuestiones cientfficas
de las que se ocupaba la escuela. De ahl que sea Mobable que se
deba a los pitagóricos el nombre de la nueva ciencia: matemática
(de rnathemata =ciencias) que significa algo que puede aprender-
se. Tambi n informa San Hipólito acerca de su contenido al decir
que los pitagóricos mezclaban astronomía y geometría, aritmética
y música. Proclo. un par de siglos después. es más explfcito al
expresar que los pitagóricos distinguían en la matemática cuatro
ramas: la aritmética (de aritmein = contar) que consideraba al
número en sí, debiéndose entender por nlllnero. entre los grie·
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gas. ~uestros nú~eros enteros y &accionarios positivos; (1) la geo-
metna, que conSideraba la cantidad ya no discreta sino continua
pero ~t~lbién ~n sí, perdiendo así en consecuencia la palabra "geo~
m~trla su anllguo sentido etimológico de "medir la tierra"; (2) la
muslca, ~'Omo estudio de la cantidad discreta. pero no en sr sino en
sus relaCIOnes mutuas; y la astronomía, como estudio de la canti-
dad continua, no en sí sino en movimiento,
Ya hicimos referencia al llamado "teorema de Pitágoras" que
los babtlolllos conocían, así como su consecuencia numérica: la ley
general deformación de los "tripletes pitagóricos". Es posible que
los pItagÓriCOS demostmran el teorema. probablemente por des-
composición de figuras. aunque en el estudio de los "triplete,' no
lograron la generalidad de los babilonios. (3)
Fue el conoci~iento de un caso particular del teorema de Pitl!-
gOTas, qUien aportó una consecuencia importante para el destino
de k sec.ta cuan,?o no de la matemática toda: el "descubrimiento de
los .rraclonales • es decir. el descubrimiento de pares de cantida- _
de~ dIferentes. taJes que la mayor no es múltiplo de la menor ni
mulllplo de una parte de la menor; y por tanto cuya razón no
resu~ta expresable mediante un número entero ni fi-Jccionario, Si
se piensa que I~s gri,egos no conocieron otra clase de números y
que la matemática pItagórica exigía que el número era la esencia
~e ta<!~s. las cosas. se explica que para los pitagóricos aquellas
cosas SImplemente no existfan; el hecho de presentarse en figu-
ras consideradas perfectas. como el cuadrado o muy simples. como
el triángulo rectángulo isósceles. asr COmo el carácter tajante y
categónco de la demostración que probablemente se desarrolló en
el ,ser,lo de la escuela, tornaron aun más desconcertante el descu-
brlmlento;.e' hecho es que varias leyendas rodean al suceso. y el
secreto se Impuso al descubrimiento. (4)
U~a visión de conjunto de las conbibuciones matemáticas que
se atnbuyen a los pitagóricos produce una impresión más bien
extraña, en vista de que Jas contribuciones más importantes y
numerosas son geométricas, mientras que las contribuciones arit-
,,:,éticas son pobres y escasas. hecho de visos más bien paradójicos
SI se pIensa en la concepción pitagórica de la omnipotencia del
número, esencia de todas las cosas.
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También se atribu)'e a los pitagÓricos el coneximiento de las tres