Jean Piaget, Alina Szeminska - Génesis del número en el niño-Guadalupe (1967) (1) - Gilberto Adame

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GINISIS Dll NUllRO IN· El NIÑo·~~ 
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jean piaget olino szeminska · : 
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3ra. Edición 
biblioteca pedagógica ourufulun~---
Hecho el registro que señala la ley 11.723 
Printed in Argentina © by Editorial Guadalupe 
Buenos Aires, 1967 
Lista de los colaboradores: 
Zahara Glikin 
Juan Jaen 
Tatiana Katzaroff-Eynard 
Refia Mehmed-Semin 
Edith V authier 
Florentine Zakon 
Zoe Trampidis 
INDICE 
Prólogo a la primera edición . . • . . . . . • • . . . . • . • . . • . . . . . • . • . . . . . . . • • . • . . • . • . 9 
Prólogo a la tercera edición ..••.•.. , • . . . . . • • • • . . • • . . • • . . • • • • . • . • • . . • • • . • • 12 
PRIMERA PARTE: LA CONSERVACION DE LAS CANTIDADES 
Y LA INVARIANCIA DE LOS CONJUNTOS . • . • • • • . . . . . . . .. . • •• . • •• • • • • • . • • 17 
Capítulo l. La conservación de las cantidades continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • 19 
§ l. La técnica adoptada y los resultados generales •. , . • . . • • . • . • . . . . . • • 20 
§ 2. La primera etapa: ausencia de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 
§ 3. La segunda etapa: respuestas intermedias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 
§ 4. La tercera etapa: la conservación necesaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 
Capítulo 11. La conservación de las cantidades discontinuas y sus relaciones con 
la correspondencia biunívoca y reciproca . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 
§ l. La primera etapa: ausencia de conservación , . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . • 44 
§ 2. La segunda etapa: comienzo de constitución de los conjuntos per· 
manentes . . . • . . • . . . • • . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 
§ 3. La tercera etapa: conservación y coordinación rnantitativa . . . . . . • . . 51 
SEGUNDA PARTE: LA CORRESPONDENCIA TERMINO A TERMINO 
CARDINAL Y ORDINAL . . • . . • . . • . • . . . . . . • . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,J,7 
Capítulo 111. La correspondencia provocada y la equivalencia de las colecciones 
en correspondencia •.........•.......•.• , , , , • , . , ... , ... , .• , , •. , • , . , . , ..• , 59 
§ l. La correspondencia término a término entre los vasos y las botellas 6J 
§ 2. La correspondencia entre las flores y los flor~ros o entre los huevos 
y las hueveras .•..•....•... · .•.................•............. , . 67 
§ 3. El intercambio de uno con uno entre centavos y mercancías . . . . . . . . 75 
§ 4. El intercambio de uno l"On uno con numeración hablada . . . . . . . . . . 79 
Capítulo IV. La correspondencia espontánea y la determinación del valor cardinal 
de los conjuntos •...•.•••••..••.•...•.••.•...•.... : ..••. , .....• , . . . . • . . . • 83 
§ l. La reproducción de las figuras. l. La primera etapa: com~~;a~ión cua· 
litativa global ....••.• , • . . . • • . . . • . . . . . . . . . . • . • . . . . . . • . . . . . . . . . . 85 
§ 2. La reproducción de las figuras. 11. La segunda etapa: correspondencia 
cualitativa de orden intuitivo y 111. La tercera etapa operatoria (cua· 
litativa y numérica) ...................................... :· . , .. , 89 
7 
§ 3. Las hileras simples. l. La primera etapa: comparación global y evalua· 
ciones fundadas en el espacio ocupado o en la densidad de los élementos 
§ 4. Las hileras simples. 11. La segunda etapa: evaluación mediante co-
rrespondencia intuitiva sin equivalencia durable. 111. La tercera etapa: 
correspondencia operatoria con equivalencia necesaria ............ . 
§ 5. Conclusiones ....•.•.....••••.•..•...•.... • • • · . · · ..• · · · . · · ... · · 
\ Capítulo V. 'La seriación, la similitud cualitativa y la correspondencia ordinal ... 
§ l. La técnica de la experiencia y los resultados generales ......•..... 
§ 2. La construcción de. la correspondencia serial (similitud cualitativa) •. 
§ 3. De la correspondencia serial a la correspondencia ordinal •.......•. 
§ 4. La reconstrucción de la correspondencia cardinal ................ . 
Capítulo VI. La ordinación y la cardinación 
§ l. 
§ 2. 
. § 3. 
§ 4. 
La experiencia de los bastones y el problema de la seriación ..... . 
Los cartones en escalera •................... , .. , ............. , . 
Las allombras y las barreras ...... , , . , .. , .... , ~ ... , .... , ....... . 
Conclusiones: ordinación y cardinación ............... , ........ , .. 
TERCERA PARTE: LAS COMPOSICIONES ADITIVAS Y MULTIPLICATIVAS .. 
Capítulo VII. La composición aditiva de las clases y las relaciones de la clase 
y el número ............................................................ . 
§ l. Técnica empleada y resultados generales ......•... · ....•........... 
• § 2. La primera etapa: ausencia de. composición aditiva ............... . 
§ 3. La segunda y tercera etapas y la reversibilidad progresiva de las ope· 
raciones ..................................................... . 
§ 4. La composición aditiva de las clases y el número ................. . 
Capítulo VIII. La composición aditiva de los números y las relaciones aritméticas 
de parie a todo ............•.......•....•...............•....•...•....... 
§ l. Las técnicas adoptadas y los resultados generales •••.••.••••..•..•• 
§ 2. Las relaciones entre las partes y el todo y los cambios de composición 
de las partes ................................................. . 
§ 3. La igualación de cantidades diferentes ........•..........• , ..... . 
§ 4. La división. en dos partes iguales ............................... . 
§ 5. Conclusión ......•............................................. 
Capítulo IX. La coordinación de las relaciones de equivalencia y la composición 
multiplicativa de los números •..........•...........•.....•...•.•......... 
§ l. La constitución de la correspondencia término a término y la compo· 
sición de las relaciones de equivalencia •..•.... , .....•.........•. 
§. 2. Las etapas de la composición de las relaciones de equivalencia •..... 
§ 3. La correspondencia múltiple y la multiplicación numérica ......... . 
§ 4. Conclusión: la multiplicación de las clases y la de los números ..... . 
Capítulo X. Las composiciones aditivas y multiplicativas de las relaciones y la 
igualación de las diferencias ..........................•.......•........... 
§ l. Los problemas y los resultados generales . , ...•..... , ...• , .•....• 
§ 2. El desarrollo de la medida •..•.......•..............•........... 
§ 3. La composición de las relaciones y de las unidapes numéricas ..•••. 
§ 4. Conclusiones ••••..••..•.•..••.•.••....•...••...•..•......•...• 
8 
94 
99 
107 
123 
124 
127 
134 
143¡ 
151 
152 
163 
168 
,175 / 
189 
191 
193 
195 
206 
213 
219 
220 
221 
226 
232 
235 
241 
242 
248 
252 
259 
261 
262 
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271 
281 
PROLOGO A LA PRIMERA EDICION 
Después de haber estudiado hace algún tiempo diversos aspectos ver· 
bales y conceptuales del pensamiento del niño ("Le Langage et la Pensée", 
"Le /ugement et le Raisonnement", "La Représentation du Monde" y "La 
Causalit.é physique chez l' Enfant") acometimos a continuación el análisis 
de las fuentes prácticas y sensorio-motores de· su desarrollo ("La Naissan· 
ce de l' Intelligence" y "La Construction. du Réel chez l' Enfant" ). Para 
superar esas dos etapas preliminares y llegar a los mecanismos formadores 
de la razón misma, se impone ahora invf!stigar de qué manera se organizan 
en sistemas operatorios los esquemas sensorio-motores de la asimilación 
inteligente en el plano del pensa~i~nto. Se trata, por .lo tanto, más acá 
de las construcciones verbales, y en la prolongación de la actividad prác· 
tica, de seguir la red de las operaciones que engendran el número y las 
cantidades continuas, el espacio, el tiemp~, lp velocidad, etc., y ·que, en es· 
tos dominios funda~entales, conducen de' la prelógica intuitiva y ego· 
céntrica a la coordinación racional deductiva y al mismo tiempo experi· 
mental. 
Ahora bien: aestos nuevos problemas deben corresponder métodos 
adecuados. Conservaremos de nuestros métodos antiguos el procedimiento 
inicial de la conversación libre con el niño, conver:;ación dirigida, sí, por 
los problemas planteados, pero que deberá seguir también los desvíos im· 
puestos por cada respuesta en la construcción espontánea del sujeto. Pero 
de nuestra toma de contacto con los datos básicos de la inteligencia sen· 
sorio-motriz, retendremos ·esta indica~ión esencial: la necesidtid de una 
manipulación. Tal como había sido posible entrever, aunque sin desarrollo 
suficiente, en algunos capítulos de "La Causalité physique chez l'Enfant", 
la conversación con el sujeto es al mismo tiempo mucho más segura y más. 
fecunda cuando se realiza en el momento mismo de experiencias ef ec· 
tuadas por medio de un material adecuado, y cuando el niño, en vez de re· 
flexionar en el vacío, antepone ante todo su. propia acción y la comenta. 
Podría decirse que esta condición se hace indispensable en lo que se re· 
fiere al estudio del número, y el talento de A. Szeminska ha permitido po-
ner al día una serie de técnicas adaptadas a los diferentes problemas que 
había que resolver y analizar separadamente. Otro estudio, en colabora· 
ción con lnhelder, hará próximamente su aparición, y en él se aplicarán 
los mismos métodos a. la descripción de las cantidades continuas, que re· 
sultan de la cuantificación de las cualidades físicas (peso, volumen, etc.). 
Por otro lado, estamos muy lejos de. haber reunido en el presente li· 
bro todo lo que hubiéramos querido decir acerca de la evolución del nÚ· 
mero. Hay, en particular, una fuente inagotable de descubrimientos a la 
9 
que todavía no hemos querido recurrir: es la colección de las observacio-
nes recogidas en la Casa de .los Niños por Audemars y Lafendel a base del 
material que ellas han elaborado y utilizado desde hace más de veinte años. 
Todos esperamos la pronta publicación del estudio de conjunto que nos 
tienen preparado estas educadoras de excepción sobre los comienzos de la 
aritmética activa en la escuela. Es obvio que hemos aprovechado las in· 
vestigaciones de aquéllas más que lo que podríamos puntualizar detallada· 
mente. Y es inútil decir, por otra parte, -puesto que el lector lo obser· 
vará por sí mismo- cuánto debemos a los múltiples trabajos de la arit· 
mética del niño, especialmente a los estudios esenciales de K. Bülher, De-
croly, Descoeudres y muchos otros. Si no hemos entrado en la discusió1i 
pormenorizada de las obras ya existentes, es porque nos hemos colocado 
en un punto de vista voluntariamente limitado, puesto que nos ha pre· 
ocupado con exclusividad el problema de la constitución del número en 
relación con las operaciones lógicas. · 
La hipótesis de que hemos parJido (y es superfluo decirlo) es que esa 
construcción es correlativa con el desarrollo de la lógica misma, y que al 
nivel prelógico corresponde un ppíodo prenumérico. Y el resultado ob-
tenido ha sido que, efectivamentf!l...el número se va organizando etapa tras 
etapa, en estrecha solidaridad con la elaboración gradual de los sistemas 
de inclusiones (jerarquía de las clases lógicas) y de relaciones asimétricas 
(seriaciones cualitativas}, de tal manera que la serie de los números se 
constituye como síntesis de la clasificación y la seriaciónr Las operaciones 
lógicas y aritméticas se nos han aparecido como un únicb sistema total y 
psicológicamente natural, donde las segundas resultan de la generalización 
y fusión de las primeras, bajo sus dos aspectos complementarios de la in· 
clusión de las clases y la seriación de las relaciones, pero con supresión de 
la cualidad. Cuando el sujeto aplica este sistema operatorio a los conjun· 
tos definidos por las cualidades de sus elementos, se hace necesario enton· 
ces considerar por separado, por un lado, las clases que se basan en las 
equivalencias cualitativas de esos elementos, y por otro lado las relaciones 
asimétricas, que expresan sus diferencias seri'ables; de ahí el dualismo de 
la lógica de las clases y la lógica de las relaciones asimétricas. Pero, cuan· 
¡;do el mismo sistema se aplica a los conjuntos haciendo abstracción de esas 
cualidades, ,se realiza entonces la fusión de la inclusión y la seriación de 
los elementos en una única totali.dad operatoria formada por la reunión 
de clases y relaciones asimétricas, y esta totalidad constituye, sin más, la 
serie de los números enteros finitos, indisociablemente cardinales y ordi· 
na les 
?'Los hechos de experiencia conducen a esta constatación (cuyos pasos 
podremos seguir detalladamente a lo largo de este libro; pero· es tan mí· 
nimo el esfuerzo de interpretación que lleva a afirmarla, que su misma 
simplicidad nos inquieta. Es bien sabido, en efecto, a cuántas discusiones 
ha dado lugar el problema de las relaciones entre el número y la lógica; 
los logistas, con Russell, trataban de reducir el número cardinal a la no· 
ción de "clase de clases" 'y el número ordinal, separado del primero, a la 
noción de clase d.e relaciones, mientras que sus adversarios sostenían, con 
10 
H. Poincaré y L. Brunschvicg, el carácter sintético irreductible del núme· 
ro entero. Es cierto que nuestra hipótesis permite, en cierto sentido, es-
capar a esta alternativa, pues si el número es clase y relación asimétrica 
al mismo tiempo, no deriva de tal o cual de las operaciones lógicas par· 
ticulares, sino simpleménte de la reunión de ellas, lo cual concilia la <;on· 
tinuidad con la irreductibiüdad y conduce a concebir como recíprocgs y 
no ya como unilaterales las relaciones entre la lógica y la aritmética. No 
por ello había que descuidar la verificación, en el terreno logístico mismo, 
de fas conexiones así éstablecidas por la experimentación psicológica'; y 
esto es lo que hemos ensayado en seguida. 
Ahora bien: investigando y depurando en la literatura logística, he-
mos constatado con sorpresa cuán "realista" y poco "operatorio" era el 
punto de vista habitual, excepción hecha de la obra tan interesante de. Ar-
nold Reymond. De ahí las filiaciones a menudo artificiales establecidas 
por Russell y que han disociado violentamente la ini·estigación logística del 
análisis psicológico, (hacemos caso omiso, no obstante, de su excel~nte ela-
boración, que permite a una y otro apoyarse mutuamente, a la manera de 
las matemáticas y la física experimental}. 
Pero si se construye en cambio una logística basada en la realidad de 
las operaciones como tales, de acuerdo y no ya en oposición a los procesos 
psicogenéticos, es fácil des.cubrir que los sistemas psicológicos naturales del 
pensamiento, como por ejemplo las clasificaciones simples, las clasifica· 
ciones múltiples (tablas de doble entrada}, las seriaciones simples o múl-
tiples (correspondencias}, los englobamientos de relaciones simétrifaS {por 
ej.: de parentescos colater~les) o!º~ árboles genealógicos, etc ... : corresp¡n_· 
den, desde el punto de vista logistico, a estructuras o~~terias m~y ,afi· 
nes con los "grupos" matemáticos, y que hemos llama(Jo. •;agrupamientos". 
Más aún: las leyes de estos agrupamientos, una vez formuladas, nos .han 
servido de auxilio constante en el análisis psicológico mismo. Por eso, en 
varios pasajes de este volumen, hemos utilizado el simbolismo del agrupa· 
miento, creyendo poder aclarar así la discusión de los hechos de expe· 
riencia. Una obra especial dedicada a la exposición logí~tica debía públi-
carse simultáneamente en Vrin, en París; se imprimió durante la ocupa· 
ción de Francia, de modo que no pudimos hasta ahora ·vigilar su corree· 
ción. Un lector preocupado por la verificación logística podrá encontrar 
no obstante en el "Compte rendu des séances de la Société de Physique et 
d'Histoire naturelle de Geneve" {vol. 58, 1941) la demostración de ca· 
torce teoremas que condensan la teoría de los agrupamientos y desarrollan 
las relaciones </,e los grupos aditivo y multiplicativo de números enteros 
con los agrupamientos de clases y relaciones. 
Digamos,finalmente, que el primer capítulo de este volumen figuró 
ya en el Journal de Psychologie en 1939 y que los primeros párrafos del 
capítulo VII fueron extraídos de un estudio aparecido en 1937 en el Re-
cueil de travaux de l'Université de Lausanne, puhlié a l'occasion du IVme. 
Centenaire de la fondation de l'Université. 
Ginebra, 1941. Jean Piaget 
11 
PROLOGO A LA TERCERA EDICION 
Tal como este libro lo ha de mostrar, no bast~ al niño, de ninguna ma· 
11era, saber contar verbalmente "uno, dos, tres, etc." para estar en pose~ 
.~ión del número. Un sujeto de 5 años puede muy bien, por ejemplo, ser -
capaz de numerar los elementos de una hilera de 5 fichas y pensar en cam· 
bio ·que si se reparten las 5 fichas en dos subconjuntos de 2 ó 3 elementos, 
estas subclases no equivalen a la colección total inicial. 
El número es por lo tanto solidario con una estructura operatoria de 
conjunto, sin lo cual no hay aun conservación de las totalidades numéricas 
independientemente de su disposición figural. De esta hipótesis hemos 
partido y por- evidente que pueda parecer, es preciso insistir en el he-
cho de que, en el ser humano, los números se construyen en función de 
su continuidad natural; no es éste el caso de las correspondencias figura· 
les descubiertas por O. Koehler en las cotorras y en las chovas, las cua· 
les pueden aprender a distinguir por ejemplo 5 elementos de 4 antes de 
saber distinguir 4 de 3. ¿En qué consiste, entonces, esta estructura ope· 
ratoria inmanente a la serie misma de los enteros 1, 2, 3 ... ? El principal 
resultado a que hemos llegado es que esta estructura se elabora por me-
dio de la síntesis, en un solo sistema, de dos estructuras más simples, que 
son el "agrupamiento" de. la inclusión de las clases (A + A' = B; B + 
B' = C; C + C' = D, etc.) y la seriación de las relaciones de orden (A -
A' - B' - C' -, etc.). En consecuencia, no hay construcción del número 
cardinal separadamente de la del número ordinal, sino que ambos se cons-
tituyen de modo indisociable (en lo finito} a partir de la reunión de las 
clases y de las relaciones de orden. Y esta síntesis de elementos lógicos en 
. .. 
.~í misma numérica puesto que se resuelve en propiedades nuevas, ajenas 
a las de los "agrupamientos" iniciales: la más importante es la de la sus-
titución de la tautología A + A = A por la interacción A + A = 2 A. 
Desde su aparición, estos .resultados han dado lugar a tres clases de 
trabajos: unos tienden a sumihistrar una elaboración lógica o formalizada 
de esta construcción psicológica; los otros añaden nuevas experiencias a 
aquellas con las que nos habíamos contenta.do en. esta obra, y los terceros 
retoman nuestras experiencias iniciales pero en otros terrenos, de modo de · 
veril icar la solidez de sus fundamentos y su generalidad. 
En lo que concierne a la estructuración lógica de la construcción del 
número a partir de los agrupamientos, nosotros mismos hemos proporcio-
nado sus lineamientos, pero de una manera intuitiva y no formalizada (ver 
Classes,. relations et nombres, Vrin, 1942 y Traité de logique, Colín, 1950 ). 
Por el contrario J. B. Grize, en el vol. XI de los "Etudes d'épistémologie 
12 
génétique., (Problemes de la Con:struction du Nombre, París, P. U. F.) ha 
preparado una formalización de los "agrupamientos" de clases y relaciones 
asimétricas transitivas· por. medio de un sistema de postulados, cilgunos el e 
los cuales son limitativos y traducen así las condiciones de su funciona-
miento en el pensamiento real de un sujeto. Después ha demostrado que 
su fusión en un solo sistema, obtenida tan pronto corno se hace abstrac-
ción de las cualidades diferenciales de los elementos, tiene como resultado 
suprimir esas limitaciones y constituir uli sistema nuevo que e.~ precisa-
mente el de lo.Y números, pues este sistema nuevo se conforma con los axio-
mas de Peano. Además, Grize ha demostrado que esta síntesis de las in-
clusiones y del orden serial intervenía de hecho, aunque lo fuera en una 
forma implícita en todas las axiomáticas del número entero, incluso bajo 
. la forma de Whitehead y Russell (en los Principia mathematica): los re-
sultados que habíamos obtenido consisten, por lo tanto, en destacar de 
manera explícita un proceso natural al que todos, en f urmas variadas, re-
curren en mayor o menor medida. 
En segundo lugar, una, serie de investigaciones debidas a P. Greco, A. 
Mor/, B. Matalon, J. Wohlwill, B. lnhelder y nosotros mismos, han sido 
publicadas en los ·"Etudes d'épistémologie génétique" (París, P. U. F., vol. 
IX, XI, XIII y XVII) y han enriquecido de manera notable las experien-
cias contenidas en la presente obra. Sin entrar en et detalle de estos nu-
merosos trabajos, muy ricos en su mayoría, destaquemos solamente dos de 
sus aportes esenciales. Uno de ellos es que para los primeros números na-
turales la sírúesis de la intuición y la seriación sólo se constituye entre los 
7 y 8 años, tal como la habíamos demostrado, mientras que lo hace en 
forma_ muy progresiva para el resto de la serie. Como lo ha probado es-
pe.cialmente P. Greco al analizar la conmutatividad n + m = m + n o 
la diferencia de 2 entre un número n y el sucesor s de su sucesor sn (sea 
s [sn] = n + 2), se asiste a una especie de aritmetización muy progresiva 
de la serie de los números en grupos de aproximadamente 1-7, 8-5, 15-30, 
etc. y donde los grupos todavía no aritmetizados. conservan por mucho 
tiempo su Cf!rácter de simples clases o de simple orden serial, en tanto la 
síntesis no sea objeto de generalización. De manera inversa, B. Inhelder, 
y también nosotros, hemos descrito una situación excepcional en que niño.~ 
llegados ya a una edad promedio de 5 1 /2 años, son capaces de efectuar 
un razonamiento numérico y cuasi recurrente mediante una síntesis local, 
por decirlo así, de la inclusión y del orden, sin alcanzar todavía la con-
servación del número en las situaciones habituales estudiadas por A. Sze-
minska en la presente obra: cuando el niño pone por propia iniciativa ww 
perla en un recipiente A y al mismo tiempo otra en un recipiente B, y 
juzga, después de repetir varias veces la misma acción, que n A = n B, 
el niño está anticipando,· en ·efecto desde los 5 1 /e años como promedio 
(si se oculta el contenido de uno de los recipientes) que esta igualdad se 
verificará indefinidamente. "Si se sabe una vez, se sabe siempre'', dice, 
por ejemplo, un niño de 5 años, puesto que en este caso particular hay 
iteración no mediante números como tales, sino que hay acciones por sí 
mismas constitutivas (añadir en orden de sucesión una unidad en cada lado 
13 
a la vez), lo cual da lugar de un mudo lucal a una ~íntesis elemental del 
orden y la inclusión. • 
En resumen: estos diversos trabajos confirman la existencia de una 
síntesis entre los e11globamientos de clases y el orden serial, pero mues· 
tran que esa síntesis no se generaliza en seguida a todos los números, sino 
que actúa progresivamente; este resultado nos lleva, por otra parte, a ve· 
rificar que se trata aquí de un proceso sintético y constructivo y no de 
una creación ex nihilo ni de una transformación instantánea (como lo hu· 
biera sido la simple correspondenci~· biunívoca entre clases int'ocada por 
Whit!!head y Russell). \, • 
(Finalmente, un grupo de trabajos ha consistido en volver " hacer 
nuestras vieias experiencias con A. Szeminska, contenidas en este libro. 
para precisarla.~ con mayor rigor o para aplicarlas con otras regiones y 
verificar su generalidad. Recordemos prime.ro las estandarizaciones a que 
se dedicó Vinh Bang bajo el impulso de B)lnhelder y que versaron, entre 
otras cosas, sobre la no-conservación y la conservación del núniero en el 
experimento de poner en correspondencia óptica dos hileras (ver los cap. 
JII-IV de este libro). A propósito de esta misma experiencia, destaquemos 
que P. Greco distinguió un tercer paso intercalado entre· los tres que no· 
sotros habíamos descripto. Cuando presentamos al niño una cantidad de 
7 a 10 fichas alineadas(separadas una de otra par una distancia pequeña) 
y le pedimos que constituya una colección de igual número compuesta 
por fichas rojas, los pasos sucesivos de este experimento son los sigUientes: 
1) el niño construye una hilera de la misma· longitud, pero sin correspon· 
dencia término a término; 2) llega a realizar una correspondencia óptica 
exacta, pero si se distancian los elementos Je µna de 'las hileras. el niño 
cree que a la hilera más larga corresponde por ello un número mayor (8 
en vez de 7, etc.); 3) dada la misma situación, el niño piensa que el núme· 
ro se conserva pero que la cantidad aumenta (conservación del número de 
partes pero no de la cantidad [total]; el nombre numérico no es todavía 
más que un medio para individualizar los elementos, pero sin que la can· 
tidad total sea concebida como igual a. la suma de las partes); 4) en la 
misma situación hay de ahora en adelante conservación tanto de la can· 
tidad como del número de partes. 
Otros estudios, con un propósito de control o de crítica, han vuelto 
a considerar las experiencias descritas en éste libro: en Holanda, L. N. H. 
Bunt (The development of ideas of number and quantity accor<ling to 
Piaget, Groningen, Wolter, 1951); en Gran Bretaña, E. M. Churchill (Early 
number concepts; tesis de Leeds), A. }ones ( An investigation based on the 
work of Jean Piaget into children's concepts of provoked correspondance, 
Diss. Dpt. Psych. Univ. Birmingham, 1959 }, K. Lovell (The growth of 
basic mathematical a. scient. concepts in children, Univ. London Press, 
1961), J. B. Mannix (The number concept, Brit. J. Educ. Ps. 1960), A. A. 
Williams (Number Readiness, Ed. Rev. Univ. Birmingham, 1958); en Ca-
nadá, P. C. Dodwell (Children's understanding of number, Ganad. J. Psych., 
1960), M. Laurendeau y A. Pinard (no publicado todavía); en U. S. A., D. 
Elkind (The development of quantitative thinkings, a systematic replica· 
14 
tíon of Piaget's studies, J. Genet. Psych., 1961), B. M. Estes (Some mathe-
matical ancl logical concepts in children, J. Gen. Psych., 1956), K. D. Fei-
genbaurn (An evaluation of Piaget's Studies, Amer. Psych. Assoc. New 
York, 1961), C. L. Shedd ( An exploratory study of the concept of quanti· 
ties, Educ. a Psych., 1958), J. F. Wohlwill (A study of development of 
number concept, J. Genet. Psych., 1960), ). F. Wohlwill, R. C. Lowe, 
(Conservation of number, child. Devel., 1962). En U.R.S.S., Kostiouk re-
hizo nuestras experiencias, aun cuando no citó siempre sus fuentes. Por su 
parte, ]. M. Hyde ( An investigation of Piaget's theories of the develop-
ment of the concept of number, tesis de Londres) ha controlado las eta-
pas que nosotros establecimos' en experiencias efectuadas con niños ára-
bes, indios, somalíes e ingleses, y ]. Goodnow con niños. chinos e ingleses 
en Hong Kong.· 
Del mismo modo, P. R. Price-Williams (Study confirming concept's 
of conservation of quantity among primitive children, Acta Psychol., 1961) 
confirmó en los niños bosquimanos la existencia, en lo esencial, de las mis-
mas etapas y aproximadamente en las mismas edades que en los niños de 
Ginebra. 
Mencionemos finalmente algunos estudios sobre las posibles aplicacio-
nes pedagógicas de nuestros resultados: N. lsaacs ( About "the child's con-
ception of Number" by ]. Piaget, Nat. Froebel Found. 1955), E. M. Chur-
chill (The number concepts of the young child, Leeds Univ. Res. a. Stud., 
1958) y especialmente la interesante obra de E. A. Peel; The Pupil's thin-
king, London (Oldbourne) 1960; etc. 
Ginebra, mayo de 1964. Jean Piaget 
15. 
PRIMERA PARTE 
LA CONSERVACION DE LAS CANTIDADES 
Y LA INVAHIANCIA DE LOS CONJUNTOS 
Capítulo 1 
LA CONSERVACION DE LAS CANTIDADES CONTINUAS 
Todo conoc1m1ento, ya sea científico, ya sea que implique solamente 
el simpl e~,piún, supone un sistema, explícito o implícito, de prin-
cipios e· conservación\Sería superfluo recordar cómo, en el campo de las 
ciencias ex · entaie/, la introducCión de la conservación del movimien-
to rectilíneo y uniforme (principio de inercia) ha hecho posible el desa-
rrollo de la física moclerna, ni cómo el postulado de la conservación del 
peso permitió a Lavoisier oponer una química racional a la alquimia cua-
litativa. En lo que hace al sentido común, es inútil que insistamos en el 
empleo que éste hace del principio de identidad:\ltodo pensamiento, .en la 
medida en que tiende a organizar un sistema de nociones, está ohligJ!d~ a 
introducir cierta permanencia -en sus definiciones.• Más aún: ya desde la 
percepción, el esquema tan esencial del objeto constante/ cuya génesis he-
mos tratado antes de reconstruir.1' .~!pon_e Ja elaboraci~l!_de _un verdadero 
principio de conservación, sin duda el más primitivo de todos. Que la 
conservación, condición formal de toda experiencia y de todo razonamien- . 
to, no agote ni la representación ele la realidad ni el dinamismo de la cons-
trucción intelectual, eso es otra cuestión: lo que decimos aquí, simplemen-
te, es que ~!!servación constituye una ~dición ne~~-~r.ia de toda ac-
tivida«!E~al~os ·oéupe"aliora-el prol1Iéíñ:7a·e-saner!iCésa-cou- -
alción es suficiente para explicar esa actividad o para expresar la natu-
raleza de la realidad.} . 
Dicho esto, es evidente que el pensamiento adtmétic9 no se sustrae 
a esta regla. Un conjunto o una colección sólo son concebibles si sn valor 
total perman~ce invariable, .cualesquiera sean los cambios introducidos e!'- -
las relaciones de los elementos: las operaciones llamadas "grupo d_e1d~i,, < 
permutaciones'' en el seno de un mismo conjunto muestran precisa1ñente ·/ 
la posibilidad de efectuar cualquier permutación en los elementos dejando 
invariante la ''potencia" total del conjunto. Del mismo modo, un _!!Ym.~ 
es ~e sólo ~!l_.!Il~dida en que ~futico a sí mismo, 
1_ La Construction du Réel chez l'Enfant, cap. l. 
19 
cualquiera sea la disposición ele las unidades de que está compuesto: es lo 
que se ha llamado la "invariancia" del número. Una canticlad continua, 
como una IOngitucl o un volumen, sólo es titilizable para el trabajo clel es-
píritu en la medida en que constituye un todo permanente. independi~nte­
mente de las comLinaciones posibles efectuadas eu la disposición ele las 
partes. En resumen: ya se trate de canticlades continuas o discontinuas, tle 
los aspectos cuantitativos percibidos en el universo sensible o de los con-
juntos y los números· concebidos por el pensamiento, ya se trate de los 
contactos más primitivos de la actividall forjadora de los números con la 
experiencia, o de las axiomatizaciones más- depuradas de todo contenido 
intuitivo, en todas partes y siempre la conser!_a<:i_c)µ~ de algo es para el 
espíritu la condición necesaria de todalnieIIgibilidad matemática. 
--1>esd~-erí>iiñto-·d"e-·visra psicológico, la n-e~idad de conéervación cons-
·tituye, por lo tanto, una esp~cie de !.! priori funcional <l~l p;iisamiento, es 
decir, que en el curso de su desarrollo ;;--de la i.rt"eracción histórica que se 
establece entre los factores internos de su maduración y las condiciones 
externas de la experiencia, esta necesidad se impone forzosamente. Pero 
¿hay que deducir de ahí que las nociones aritméticas se estructuran en for-
ma progresiva precisamente en función de esas exigencias de conservación, 
o es que la co~vación e_!. anjgjor a_ toda organización forjadora dyú-
m-!!os ~ incluso cuanti!_ativa, y constituye no solamente unit'función sino 
también u~structura a priori, una especie de idea innata que se impone 
a partir de la primera toma de conciencia del intelecto con la experien-
cia? Precisamente, atañe al análisis psicogenético decidir la cuestión, y 
vamos a tratar de mostrar que la primera solución es únicamente la que 
concuerda con los hechos . 
. § l. LA TECNICA ADOPTADA Y LOS RESULTADOS GENERALES 
Las investigaciones cuyos resultados se encontrarán expuestos en este 
capítulo y en el siguiente versan tanto sobre las cantitlacles continuas co-
mo sobre las discontinuas. Nos ha parecido indispensable tratarambas si-
multáneamente -a pesar de .que las primeras no tengan carácter aritm1:i-
tico y debamos dedicarles un volumen especiaP-, puesto que nos era con-
!! J. PIAGET y B. INHELDER, Le Développement des Quantité.< che:; l'enfant 
(Conservation et atomisme). (De próxima aparición). 
nn 
"~niente asegurarnos dt' entrada acerca de la generalidad de las conclu--. : 
siones concernientes a los conjuntos tliscontinuos. 
" Se presentan en primer término al sujeto 2 recipientes cilíndricos de 
igual tamaño (A1 y A2), que contienen la misma cantidad ele líquido (pu-
diendo reconocerse la igualdad ele las cantidades por la línea uniforme ele 
los niveles); se vierte el contenido de A!! en 2 recipientes más pequeños, 
semejantes el uno al otro (B1 + B::),1 y se pregunta al niño si la canticla1l 
vertida de A2 en (Bt + B2) sigue siendo igual a la de Ai. Si hace falta, se 
puede verter luego el líquido contenido en B1 en 2 recipientes ig~ales en-
tre sí y más pequeños aun (C1 + C2); después, si esta experiencia no pro-
duce el resultado esperado, verter B2 en otros dos recipientes Ca + C4, 
idénticos a C1 y C2: se pregunta entonces por la igualdad entre (C1 + C!!) 
y B:.i o entre (C1 + C2 + Ca + C4) y A1, etc. De una manera general, se 
someten así los líquidos- a todas las transformaciones posibles, planteando 
cada vez el problema de la conservación bajo la forma de una pregunta 
de igualdad o de no-igualdad respecto clel otro vaso. ~ 
\ Los resultados obtenidos .parecen mostrar que las cantidades conti-
nuas no son consideradas a primera vista como constantes, sino que su 
c~nservación se construye poco a poco de acuerdo con un mecanismo in-
telectual/ que, precisamente, trataremos de explicar a continua:ción.\_Orde-
nand_o en series las respuestas dadas a las diferentes preguntas formuladas 
af niño, pile den distinguirse fres etapas st'icisivl!~· En la primera, el ~ifi.o 
co:r;isidera natural que la canticlad del líquido varíe según la forma y las 
dimensio~e~· ~~ -Ió_s recij>~e~tes'·~n.~ los--que-8~_- vierfe:'¡l~ ~~rcepción-ile los 
cambios aparentes no se ve, pues; corregida por un sistema ele relaciones 
o de operaciones que aseguren la existencia de un invariant~ ele cantidad. 
1~~LJ.!!,r!.~ .. !!C:_ ~~-s__e_g_l_:!~-~~. eíal?ª• <¡~e CO!J.Stil,•Y~~~-~iodo de transición 
y elah?ración, l!i_conser~ación se impone progresivam1mte; pero,_ aun cuan-.ªº' el. nifio-·r;-~Je~~~llr~_~lg1~nos'-trastaéi<is' ¿fclliq~ia·~~Cft:[e~_ 
..t ' . ,,:.- ~ ' ~ ~·~..,,... ........ ~;;;.-""'~ 
~~11~~-d~!l"_~""}n!._~1._~~~~~().~Se~J.!!fil.fuL!!.~ gen~raliza a todos los 
C~Jp~F~á~e!lt9a partir ele una tercera etap~, el sujeto.pJl.H!!!J!_!Js_Rrh: 
me'ra..:iñiénci.é11lá conservación de las cantidades en cacla una ele las trans-
f Órmaciónes que efectua~os -c~n él, lo cual no sigºifi¡a'<le -ningún modo 
(e~- obvio décirlo.) que esta ge~eralización de- la constancia se extienda 
durante la misma etapa más allá ele los dominios estudiados aquí. 
En lo que se refiere a la interpretación ele estos hechos, podemos par-
tir de las siguientes hipótesis; entre ellas, algunas han sido determinantes 
en el pl.¡mteo de los problemas estncliaclos en este capítulo, mientras que 
otras han nacido en el curso de las experiencias. En efecto,_po~111_~u~­
guntarnos si. la elaboración de la noción de la conservación de la .ca_ntidacl 
no Se confu~de_ enteramente con la construcción de la .cantidad_!'D!SJlla:{e! 
niño no llega primero a la noción_ de la cantidad para atribuirle después 
la constancia, sino que sólo cuando es capaz de construir totalidádes que 
se conservan, desc'ubre la cnantifi~~ció~ r~;J:! En el niv~l de la prÍmera 
etapa, la cantidad se reduce así a las re.la~iones asimétricas dadas entre las 
cualidades, es decir, a las comparaciones en ~'más" o en "menos" implica-
das en juicios como "es más alto", "menos ~·b~ho", etc. Pero estas rela- -
21 
ciones no pasan de ser perceptivas, y no constituyen todavía "relaciones" 
propiamente dichas, puesto que no pueden coordinarse unas con otras por 
medio de operaciones aditivas o multiplicativas. Esta coordinación, que 
comienza en la segunda etapa, termina en una noción de cantidad intensiva, 
y en consecuencia, sin unidades, pero susceptible de coherencia lógica. 
Ahora bien: en cuanto está constituida, esta cuantificación intensiva per-
mite al niño concebir, previamente a toda otra medición, la proporciona-
lidad de las diferencias y en consecuencia la noción de una cantidad total 
de orden extensivo. Este descubrimiento, que es el único que posibilita el 
desarrollo del número, provendría así de los progresos ~ismos" de Ía lógica 
e;-~r-~u~so d.e las -~tapas que examinaremos a continuación. 
§ 2. LA PRIMERA ETAPA: AUSENCIA DE LA CONSERVACION 
Para los niños de la primera etapa, la cantidad de líquido que ha sido 
vertida aumenta o disminuye según la forma o el número de los recipien-
tes. Las razones invocadas a favor de la no-conservación ( dife.rencia de 
nivel, de anchura, de número de los vasos, etc.) varían de un sujeto a otro 
y de un momento a otro, pero todo cambio percibido es considerado como 
el causante de una modificación en el valor total del líquido. Veamos al-
gunos ejemplos: 
BLAS (!Eo~, niña. -¿Tienes una amiga? -Sí, Odette. -Bien; a ti, Clai-
rette, te vamos ~ ar un vaso de jarabe rojo (A1 lleno hasta 3 / 4) y a Odette un 
vaso de jarabe azul (A2, lleno hasta el mismo nivel). ¿Hay alguna de las dos. que 
tomará más que la otra? -No, lo mismo. -Fíjate ahora en lo que hace Clairette: 
vuelca su jarabe en otros dos vasos (81 y 8 2 llenos hasta la mitad). ¿Clairette tie-
ne lo mismo que Odette? -Odette tiene más. -¿Por qué? -Porque se ha puesto 
menos (en B1 y B2: Bias muestra los niveles, sin reparar que los vasos son dos). 
-(Vertemos el jarabe de Odette en B,q y 84). -Es lo mismo. ¿Y ahora? (trasla-
damos el jarabe de Clairette de B1 + B2 a Li. un tubo largo y delgado que que-
da casi totalmente lleno). -Yo tengo más (= Clairette, en Li). -¿Por qué? 
-Se volcó en ese vaso (Li. Bias muestra el nivel) y aquí (Bs y B4) no. -Pero an-
tes ¿no era lo mismo? -Sí. -¿Y ahora? -Yo tengo más . .Volvemos a volcar el 
jarabe rosa de Clairette (L1) en los vasos B1 y B2): -Mira, Clairette vierte el ja-
rabe como Odette. Todo el azul (Ba + B4) junto y todo el rojo (B1 + B2) junto 
son lo mismo? -Son lo mismo ·(co~ acento de convicción). -Miia ahora lo que 
hace Clairette (vertemos Bi en Ci. que se llena, mientras que B2 queda lleno por 
22 
la mitad). -¿Tienen ustedes lo mismo para tomar? -Yo tengo más. -¿Pero de 
dónde viene lo que hay de más? -De ahí dentro (B1). -¿Qué hay que hacer 
para que Odette tenga la misma cantidad? -Hay que agarrar este vasito (vierte 
una parte de B2 en C2). -¿Y ahora hay lo mismo o alguno de los dos tiene más? 
-Odette tiene más. -¿Por qué? -Porque $e ha -:Jolcado en ese vaso pequeño 
(C2). -¿Pero hay lo mismo para tomar o alguna de las dos tiene más que la otra? 
-Odette tiene más para tomar. -¿Por qué? -Porque tiene tres vasos (Ba casi 
vacío, Bol y C2, en tanto que Clairette tiene C1 y B2). 
Un momento despu.és hacemos una nueva experiencia. Presentamos a la 
niña los vasos A1 y A2 llenos hasta 8 / 4, uno de jarabe rojo para Clairette y otro 
de jarabe azul para Odette. -¿Hay lo mismo? -Sí (Bias verifica los nivele_s). 
-Bien; Odette va a volcar ahora el jarabe de su vaso (A2) en todos esos vasos 
(C1 ; C2; C3 y C4, cada uno lleno aproximadamente hasta la mitad). ¿Tienen ahora 
ustedes lo mismo de jarabe? -Yo tengo más. Ella tiene menos. En los vasos hay 
menos (Bias mira atentamente los niveles). -Pero antes ¿no tenían lo mismo? 
-Sí. -¿Y ahora? -Aquí (muestra el nivel de Ai) hay más y aquí (muestra to-
dos los vas.os C) hay menos. 
Finalmente, presentamos a Bias el vaso grande Ai casi lleno de líquido rojo: 
-Mira, ahora Clairette lo vuelca así (en B1 y B2 hasta 4 / 5). ¿Ahora hay más ja-
rabe para tomar que antes, menos o lo mismo? -Ahora ella tiene menos (muy 
segura). -Explícame por qué es así. -Cuan~o se 'volcó del vasogrande, se hizo 
menos. -¿Pero las botellitas todas juntas no equivalen a fo mismo? -Se hizo 
menos. 
SIM ~años). Le mostramos Ai y A2 llenos hasta la mitad. -¿Hay la mis-
ma cantida de agua en los vasos, no es cierto? -Sí (después de verificar). -Mi-
ra; Renée, que tiene el jarabe azul, lo vuelca así (vertemos A1 en B1 y B2, que 
se llenan hasta 3/5 aproximadamente). ¿Siguen teniendo ustedes lo mismo para 
tomar? -No, Renée tiene más, porque tiene dos vasos. -¿Qué podrías hacer tú 
para tener una cantidad igual? -Volcar mi jarabe también en dos vasos (vuelca 
A2 en Ba y B4)· -¿Ahora tienen la misma cantidad? (Mira detenidamente los 4 
vasos). -Sí. -Ahora Madeleine va a volcar sus dos vasos en otros tres (Ba y B4 
en C1 y C2 y Ca). ¿Sigue habiendo lo mismo? -No. -¿Quién tiene más para be-
ber? -Madeleine, porque tiene tres vasos. Renée también tiene que volcar lo 
suyo en tres vasos. -{Vertemos los B1 y B2 de Renée en C¡¡, Ca y C7). Ahí está. 
-Es lo mismo. -Pero mira, Madeleine vierte en un cuarto vaso (C4, que llena-
mos hasta 1 /a con un poco de C1, C2 y Ca). ¿Tienen lo mismo para tomar? -Yo 
tengo más. -¿De cuál hay más para tomar, dél·azul (C0, Co y C1) o del rojo (C1, 
C2, Ca y C4)? -Del rojo. -(Colocamos entonces los dos vasos grandes A1, A2 de-
lante del niño). Vamos a volver a poner todo el jarabe azul aquí, como antes 
(A1) y todo el rojo allá. ¿Hasta dónde llegará el azul? (Señala un cierto nivel). 
-¿Y el rojo? {Muestra un nivel un poco más alto). -¿El rojo llegará más arriha 
que el azul? -Sí, hay más rojo (señala el nivel previsto), porque hay más del rojo 
aquí (muestra los 4 vasos C1 a C4). -¿Dices que llegará hasta aquí? -Sí. (Mar-
camos el nivel previsto con un elástico. Sim vierte ella misma el líquido y ad-
vierte con satisfacción que llega hasta la marca indicada pero se sorprende so-
bremanera al verter el líquido azul en Ai y constatar que llega hasta el mismo 
nivel). -¡Hay lo mismo! -¿Cómo es eso? -Pienso que se ha añadido un poquito, 
y ahora es lo mismo. 
Vemos que hasta aquí Sim ha evaluado los cambios de l!,,..~l!At.i.da..d...Jilli~­
mente en función del número de los vasos. Pero;..inmediatamente después de·fa 
~egunta a~t"erior, liace mtervenir--elnivel: -i!ra, ahora Madéleine vierte el 
'~ 
23 
jarabe rojo en ese vaso (vertemos A2 n Lt. más estrecho y más alto: el líquido su-
be hasta 4 / ¡;, mientras que en Ai el azul alcanza a 1 /:i). -Hay más del rojo por-
que está más alto. -¿Hay más para tomar,. o es solo aparentemente? -Hay más 
para tomar. -¿Y ahora? (vertemos el azul en 8 1 y 82 y el rojo en D1 y D2, que 
son anchos y bajos). -El rojo es más, porque aquí (los D) hay mucho. -¿Y si 
ponemos el azul y el rojo aquí (A2 y A1), el rojo llegará más arriba o será igual? 
-Más arriba. Sim vierte D1 y D2 en A2 y 81 y 82 en A1: queda de nuevo muy 
sorprendida al ver que alcanzan el mismo nivel. 
LAC (5 años 1/2). -Tenemos ahí dos vasos de jarabe (A1 lleno hasta la 
mitad de líquido azul y A2 un poco menos lleno de líquido rosa). El azul es para 
ti, y el rosa para Lucien. Lucien está enojado porque tiene menos. Ahora reparte 
su j~rahe en los dos vasos (vertemos A2 en B1 y 82). ¿Quién tiene más? (Lac oh· 
serva los niveles). -Yo. -Tú también repartes ahora tu jarabe en dos vasos (8a 
y 84, cuyos nivele·s son un poco superiores a los de B1 y 8:i). ¿Quién tiene más? 
-Yo. -Ahora Lucien toma este vaso (81) y lo reparte en estos dos (C 1 y C2, que 
se llenan 'del todo, mientras que B:i está lleno por la mitad). ¿Quién tiene más? 
(Lac compara los niveles y señala los C). -Lucien. -¿Por qué? -Porque los 
v.asos se han hecho más chicos (y sus niveles se vuelven en proporción más altos). 
-¿Pero cómo ha ocurrido eso: antes eras tú el que te1úas más y ahora es él? 
-Porque hay mucha agua. -¿Cómo ha ocuriido eso? -Se ha añadido agua. 
-¿Pero ele dónde? ... ¿Y cómo? ... ¿Alguno tiene más? -Sí, Lucien (convencido). 
-¿Y si pongo tocio el jarabe rosa y el azul en los dos vasos grandes (A1 y A2), 
quién va a tener más? Yo (recuerda las condiciones iniciales). -¿Adónde ha ido 
a parar entonces el jarabe que tú tenías de más? ... -¿Cómo podrías hacer para 
tener lo mismo que Lucien?; puedes agarrar cualquiera de esos vasos. -(Lac to· 
ma B3 y vierte una parte de él en un C vacío, C:~. Lo llena y lo pone frente a 
los C1 y C:1 de Lucien. Después compara B:i con B:1. Vuelve a tomar Ca, lo vierte 
de nuevo en Ba, hace luego una mueca de decepción y exclama: -¿Pero por qué 
estaba aquí (Ca) todo lleno, y ahora (Ba) no está más lleno? 
MUS (5 años) no invoca solamente, como fos sujetos anteriores, el número 
de los recipientes o su nivel, sino un factor eu el cual varios sujetos piensan por 
igual, que es el grosor mismo del tarro, sin duda su "voluminosidad". Ello no es 
obstáculo no obstante para que Mus adopte tres sistemas sucesivos de motivación: 
l. Grosor de los recipientes. -Presentamos al niño por ejemplo At y A2 ·lle· 
nos hasta 3/4: -¿Tienen los dos lo mismo? -Sí.•-(Olga vierte así: A2 en B1 y B2 
casi llenos). ¿Sigue teniendo lo mismo? -No. -¿Quién tiene más para beber? 
·-Gertrude (AJ). -¿Por qué? -Porque tiene una botella más grande. -¿Cómo 
es que Oiga tiene menos? - ... -¿Y si vuelco así de nuevo eso (B1 y B2) en 
aquél (A:!), cómo sería? -Lo mismo (que en A1). -(Lo hacemos). ¿Y si Oiga 
vierte de nuevo así (de nuevo A1 en 8 1 y 8 2 casi llenos). ¿Es la misma cantidad? 
-No. -¿Por qué? -Es menos. . 
U. Nivel. - -Ahora Gertrude vierte así (A1 en C1 y C2 casi llenos. Queda 
i /a en A). ¿Quién tiene más así, Gertrude con eso de azul (A1 + C1 + C2) u · 
Oiga con eso de rojo (B1 y B2)? -(Mus observa los niveles, que son visiblemente 
iguales). -Las dos tienen lo mismo. -Oiga vierte después en un vaso (un 39 B, lo 
cual hace bajar el nivel general de los tarros). -Gertrude tendrá más. Olga va a 
tener menos. -Oiga (nosotros) vierte B1 y 82 en C3 y C4, que se llenan. -Ella 
va a tener más {nivel). -Pero antes ella tenía menos ¿ahora tiene más? -Sí. 
-¿Por qué? -Porque se ha puesto acá (en C) lo que había en los vasos grandes 
(B). La argumentación es justamente la inversa de la que habíamos visto en l. 
24 
~- J · 1 1 · ·. s· d · 
, JII. Número e vasos y nive a mismo tiempo. - - 1 te amos una taza 
de café una vez en una taza y otra vez repartida en dos vasos, ¿vas a tener lo mis-
: mo? -Tengo un poco más. -¿Dónde? -En los dos vasos. -Tu mamá te da dos 
! vasos de café (B1 y B2) y después vertemos (B2) en ésos {C1 y C2) ¿hay lo mismo? 
' -Hay más ahí (C1 y e~): hay do~ D.asos todos l?enos. Allí hay solamente uno. 
_y de éstos (B1 y 4 vasos C) ¿qué prefieres, éste {B¡) o todos esos (4 C)? -El 
grande (B2). -¿Por qué? -¿Porque hay más: el vaso es grande. 
Estas son las reacciones más primitivas del niño frente al prQ}!lema de 
la consgvación de la~antidades. La significación de Jlas es clara: ~- ti~ 
"eto no está de nin una. manera di.SP.U.M:to a admitir que una mis,wA !:i}.!lti-· Mih( 
a - de líq1!,Ído pueda permanecer invariante a Íraxés,...,de los cambios de I 
f";;rma concomitant';;s con ~u traslado de un vaso a otro. ,1\¡\\~i 
Se podrá, es cierto, preguntarse a veces si el niño ha comprencliclo, (\~\ 
bien la pregunta: ¿siempre comprende que se le pregunta por la canticlad , 
total misma, o piensa simplemente que se lo interroga acerca ele las varia-
ciones del número de los vasos, de su nivel o de su grosor? Pero el pro-
. blema consiste precisamente en saber si el niño es capaz de concebir un!J ' 
cantidad como totalidad, resultante de la coordinación de las diversas re-
laciones percibidas: el hecho de aislar una de esas relaciones puede pro-
.venir por lo tanto de una incomprensión de las nociones en cuestión, así 
como también de la pregunta verbal misma. 
Podríamos preguntarnos, por el contrario, si los traslados del líquido 
de un vaso a otro no comportan, a los ojos d<:l niño, ilusiones de percep-
ciones que obstaculizan su juicio de conservación. Conocemos, en efecto, 
la abundancia de materiales reunidos por Egon Brunswik3 para probar que 
la percepciónde las longitudes, de los pesos, etc., en resumen~ de los 
datos cuantificables en general, conducé a una serie de deformaciones sis-
t .. máticas si nos colocamos desde el punto de vista de la constancia del oh~ 
jeto, y hasta qué punto es difícil que esta constancia sea percibida como 
tal. Pero es evidente que estos hechos, lejos ele constituir un obstáculo al 
estudio que abordamos aquí, nos son, por el contrario, preciosos para -~s­
tablecer sus condiciones previas. Allí donde la constancia es percibida di--
rectamente, no se presentan dificultades para ·nosotros: únicamente no~ 
i'eguntamos cómo la inteli n · wlaho,rar la nos,;ión .dr iwa~~i­
a constante a pesar de lasAn"dicacione _,..é·&ru:i.lta~ª-Jli:rnevJ.ii!ln in: 
,~ª· s una cuestión e juicio y no d~e percepció~, la que tratamos de 
•resolver. Ahora bien: el juic1 nciona P,r;;;t¡menté' cuando la percepción 
no .... ~~~ta para _in,form~ó':"ae(c'úb;i;q~é"'ú~; ·cantÍda·d dadá de lí· 
quido no varía si se la vierte de nn recipiente de forma A en 1 ó 2 reci-
pientes de forma B supone así, por parte del niño, un acto de comprensión 
intelectual que será tanto más importante y más fácilmente analizable cuan-
to más engañosa es la percepción inmediata. Nuestro problema no es, pues,? 
descubrir por qué esta percepción e's engañosa sino por qué los sujetos 
pe un cierto nivel confían a ciegas en ella, mientras que otros la corrigen 
y complementan con la inteligencia. Por lo demás, hay una sola de entre 
3 E. BRUNSWIK, Wahrnehmung und Gegenstandwelt, Leipzig u. Wien 1939. 
25 
las clos soluciones: o hien el realismo de Brunswik es legítimo, es decir, 
que la percepción dehe ser estudiada "desde el punto de vista del objeto", 
y entonces será la inteligencia la que constituirá siempre, en último recur-
so, la fuente de la constancia, o bien la percepción implica una organiza-
ción que elabora ya la constancia en sn terreno propio, y entonces su fun-
cionamiento' y sus estructuras sucesivas suponen una actividad sensorio-
motriz que es originalmente inteligente, tal como hace tiempo tratamos de 
: demostrarlo a propósito, precisamente, de la construcción del "objeto" 
durante el primer año. En esta segunda interpretación, el desarrollo de la 
noción de las cantidades invariantes prolongaría así, en un plano nuevo y 
abstracto, el trabajo ya emprendido por la inteligencia sensorio-motriz en 
el plano de la conservación del objeto como tal. 
Tratemos ahora de interpretar desde este segundo punto de vista los 
hechos que caracterizan a esta primera etapa. El hecho que llama la aten-
ción, y que parece dominar toda la cuestión encaminada a saber por qué el 
niño no logra llegar de primera intención a la noción de la conservación 
de la cantidad, es la insuficiencia de la cuantificación <le las cualidades 
percibidas y la falta de coordinación de las relaciones cuantitativas que 
están en juego en las percepciones. Partamos, por ejemplo, de las primeras 
respuestas de Bias (4 años). Este niño empieza a creer que la cantidad de 
líquido disminuye cuando se vierten los 3/4 de un vaso grande en 2 vasos 
más pequeños, pero que esa cantidad aumenta cuando se vierte el conte-
nido de esos vasos pequeñ.os en un tubo alargado: el criterio de Bias parece 
ser, pues, únicamente, el nivel, y no el número o la anchura de los vasos. 
Pero, un momento desp•1és, hay más líquido en tres pequeños vasos en 
los que se ha vertido el contenido del recipiente inicial, que en los vasos 
medianos llenos de la misma cantidad inicial. Dos cosas asombran en esta 
reacción. La primera f'-" que el sujeto se ve conducido constantemente a 
contradecirse: unas veces cree que el líquido azul es más abundante que el 
rojo, otras veces cree lo contrario, sin pensar por ello que antes se ha 
equivocado. Claro que si se erige en principio la posibilidad para un lí-
quido de dilatarse o concentrarse sin permanencia alguna, no hay allí nin-
~ 
guna contradicción. Pero el niño, para justificar sus afir_!!l.aeióÍles contra-
rias, invoca motivos que no coordina entre sí y q~uc~~ ~ afirmacio-
nes incompatibles unas con otras. Allí reside la/ verdadera contradicción: 
re;;;;~ócÍ.o-;"'hlas·s;·ruuda ·unás veces en el nivel de los recipientes, y en-
tonces la cantidad disminuye si se vierte un vaso grande en varios peque-
ños, otras veces invoca el número de los vasos, y en ese caso considera que 
el mismo traslado del líquido implica un aumento de cantidad. O bien el 
niño utiliza el grosor <le los recipientes para evaluar el cambio, y olvida 
el número de los vasos y su nivel; después piensa en uno de esos factores 
y llega a la conclusión opuesta .. De ahí un segundo rasgo paralelo a las con-
, tradiccion-es. lógicas: todo ocurre como si el niño ignorara la noción de una 
cantidad total o multidimensional, y sólo pudiera razonar sobre la base 
de una sola relación a la vez, sin coordinarla con las otras/ Lo que acaba-
mos <le observar respecto de Bias vale para todos los suj~tos citados más 
arriba. 
26 
Al parecer, podríamos ~ntonces interprt>tar las reacciones ele esta eta'._ 
pa ele la siguiente manera: ;primeramente hay que buscar, clesde el contacto~ 
perceptivo más elemental con el oh jeto, el principio de la diferenciación,. 
entre la cantidad y la cualidad. Toda percepción y todo juicio concreto 
atribuyen, en efecto, cualidades a objetos, pero no pueden aprehender es:, 
' tas cualidades sin relacionarlas por ello mismo las unas con las otras. Es-
tas relaciones en sí mismas podrían dividirse nada más que en dos clas~s: 
las relaciones simétricas, que expresan las semejanzas, y las relaciones asi·!· 
métricas, que expresan las diferencias. Ahora bien: Jas semejanzas entre 
cualidades no tienen por término sino su· clasificacióq (por ejemplo: los 
vasos C1 C2 Ca ... son "igualmente pequeños") mientras que las cliferen-
cias asimétricas implican el más y el menos y marcan así el comienzo de 
la ¡cuantificación (por ejemplo: "A1 es más grande que B1" o "A1 es menos 
ancho que P"). En su forma elemental, la cantidad se da por lo tanto al 
mismo tiempo que la cualidad: está constituida por las relaciones asimé-
tricas que ligan necesariamente entre sí las cualidacles dadas. No existen, 
en efecto, cualidades en sí, sino solamente cualiclades comparadas y dife. 
renciadas, y esta diferenciación, en tanto envuelve relaciones de diferen- , 
cias asim.étricas, no es otra cosa que el germen de la cantidad. Desde este 1 
punto de vista, resulta claro que los juicios propios de esta primera_ etapa 
son ya cuantitativos en el s.entido mencionado: cuando Sim, por ejemplo,' 
declara: "Hay más rojo, porque está más alto", traduce simplemente en 
'.términos de cantidad una relación perceptiva de diferencia entre 2 cualida- -
des (las alturas de los líquidos). 
Sólo que en este primer nivel, que podemos llamar laetapa de la "can-
t~a-~L~r!!!i'. la cuantificación_~º" SUP.!,!_,l!J.~ _i;eJl!ci~1!,~P{lrc!:._pt_iva .!E:~edG'ia, 
como tampoco la "cualidadbruta'', o cualidad directamente percibida; es 
su'S~eptÍble'"dé~-e~gend;~r uria clasifÍcación acabada. Es verdad que las 
relaciones de semejanza entre las cualidades conducirán tarde o temprano 
a un sistema de clasificaciones,_ pero esta clasificación sólo se hará posible 
una vez que se haya elaborado como resul~ado de inclusiones jerárquicas, 
que implican toda la lógica de las clases y de las relaciones simétricas. En/ 
cuanto a las relaciones de diferencia o de cantidad bruta, que son por el 
momento las únicas que nos interesan, ciarán lugar a toda una cuantifica-
' ción sistemática cuyas etapas principales examinaremos en el curso de es-
tudios ulteriores. Pero para ello estas relaciones cleben cumplir previa-
mente dos condii;iones que no se realizan ~R!_ecisamente en -est.e nivel, de 
donde resulta ~ta de cantidad mensurahl~ ~--de conservacióñ~ 
La primera coñ<l'iciónes·-·q1fe-de ·sinfples- enlaces -perceptivos' pasen a 
ser verdaderas relaciones y engendren así sistemas de gradaciones o canti-
dades intensivas. Es evidente, enefecto, que una relación perceptiva o prác-
tica no constituye como tal una relación. El criterio de la existencia psi-
cológica de las relaciones es la posibilidad de su composición, o dicho de 
otra manera, la construcción de su transitividad lógica (o la justificación 
de su no transitividad, si ellas no pueden hacerse transitivas). Ahora bien: 
las relaciones perceptivas de cantidad bruta utilizadas por los niños de 
27 
este nivel no son susceptibles de composición entre sí, ni por adición m 
por multiplicación. 
La adición de las relaciones asimétricas consiste en su seriación, efec-
tiva o pensada, con las consiguientes consecuencias en lo que se refiere a 
la gradación de los términos seriados. La multiplicación de las mismas re· 
laciones consiste en su seriación desde el punto de vista de dos o varias 
relaciones a la vez. Si bien no pedimos a los niños que citaremos ahora que 
construyan seria.ciones simples, no obstante han tenido que comparar cons-
tantemente dos cantidades desde varios puntos de vista al mismo tiempo 
(altura del nivel, 'anchura, número de los vasos, etc.) lo cual constituye, 
ciertamente, multiplicaciones de relaciones. Pero, hemos visto que la ca-
\ racterística principal de esta etapa es, precisamente, la incapacidad del 
1
1 niño para efectuar esas coordinaciones: cuando el sujeto concluye que la 
cantidad aumenta porque el nivel se ha elevado, olvida considerar la an· 
' chura del recipiente, y si después lo hace, olvida el nivel, etc. ··
1 
Esto es fácil ele verificar clirectamente por medio de la siguiente ex-
periencia: se dan al niño 2 recipientes A1 y L, de la misma altura, pero 
ancho el primero y estrecho el segundo; se llena el vaso A hasta un cierto 
nivel (1/4 o 1 / r.); se pide al sujeto que vierta en L una cantidad igual ele 
líquido ("lo mismo de jarabe"). En realidad, las dimensiones son tales que 
para obtener en L una cantidad igual a la de A, es preciso que el líquido 
llegue a un nivel 4 veces más elevado, o sea, hasta el borde de L para 1/4 
de A o 4/a de L para 1h de A. Ahora bien: a pesar de esta diferencia tan 
notable de proporciones, los sujetos de esta etapa son incapaces <le com· 
prender que a un diámetro más pequeño de L debe corresponder un nivel 
más elevado. Los casos típicos tle este primer período Llimitan, en efecto, 
a verter en L una cantidad de líquido que alcanza e7'1ctamente el nivel <le 
A, y creen obtener así "lo mismo para tomar". / 
BLAS ( 4 años): -Mira, tu mai;iá se ha seryÍo un vaso de jarahe (A) y te 
da a ti ése (L). Tienes que poner en él tanto jarahe como puso tu mamá en el 
suyo. -(Bias vierte el líquido un poco hruscÍmente sohrepasando el nivel igual 
a A que quería alcanzar). -¿Van a tener las dos lo mismo de ese modo? -No. 
-¿Quién va a tener más? -Yo. -Muéstrame hasta dónde hay que tirar para 
que tengan las dos lo mismo. -(Vierte hasta el mismo nivel). -¿Podrás tomar 
tanto jarabe como tu mamá de esa manera? -Sí. -¿Estás segura? -Sí. -Mira 
lo que vamos a hacer (colocamos L2 al lado de Li): vamos a volcar aquel (A) 
en éste (L2). ¿Habrá lo mismo acá (L2) que acá (L1)? -Sí. -(Lo hacemos prác· 
ticamente). -(La niña ríe): La mamá tiene más. -¿Por qué? - ... 
MUS (5 años): (-Le contamos la misma historia). Muestra con tu dedo has· 
ta dónde hay que volcar. -Allí (muestra la misma altura en L y en A). -(Vol-
camos un poco más arriba que esa marca). ¿Habrá lo mismo para tomar? -Ha 
puesto demasiado. Allí (en L) hay un poquito más. Yo tengo un poquito más pa· 
ra tomar. -¿Qué podrías hacer para ver si es lo mismo? (Colocamos L2 al lado 
fe L1). - ... -¿Dónde llegará la línea si volcamos éste (A) en éste (L2)? -Allí 
(muestra el mismo nivel de A). -(Volcamos el líquido como hemos dicho). -Ella 
tiene más (muy asombrada). -¿Cómo púede ser eso? -Porque el vaso (L2) es 
28 
más chico (esto haría creer que Mus cornprencle la relación altura X anchura, 
pero vamos a ver que no es más que una iluminación momentánea). -¿Y si 
vuelco ele nuevo ése (L!!) en ése (A) ¿adónde habrá más, en ése (A) o en ése 
(Lt)? -Los dos tendrán poco, los dos lo mi.mio. -(Vertemos como hemos anun':::r~;" 
ciado). ¿Quién tiene más para tomar? -/.os dos menos. .,. 
Estas son las reacciones típicas de los sujetos de la primera etapa an~ 
te las pr~gnntas de control. Vemos, pues, que inicialmente el niño no llega 
a considerar simultáneamente relaciones de nivel y de anchura ele las co-
lnmnas ele agua que debe comparar.'. No es que 110 observe la anchura del 
vaso A cuando los hechos lo obligan a compararlo (como Mus cuando se 
vierte el contenido ele A en L~). Pero, desde el momento que se trata de 
evaluar simplemente esas•canticlades en A y en L1, el niño termina por 9l-' 
~idarse de la anchura para ocuparse sólo del nivel. 
En resumen: faltándole la composición de las relaciones de diferen-
cias entre sí (de las diferencias de nivel con las de anchura), el niño que 
está en esta etapa no puede llegar a poseer la noción ele una cantidacl total ~ 
o multidimensional. La· cantidad del líquido no es para él otra cosa que el 
producto de las diversas relaciones de nivel, anchura, de vasos más o me-
nos numerosos, etc., puesto que considera cada 11na de estas relaciones co-_ 
mo aparte e independiente ele las otras. De este modo, cada una de estas, 
relaciones sólo constituye una "cantidad bruta", necesariamente unidimen,' 
·sional. Aun cuando, entre los criterios utilizados por el niño, figure la re-. 
lación de .. grueso" o '"grande" (volumen), esa cualidad no pasa lle ser, 
como lo muestra también el caso de Mus, nna simple base perceptiva, qu'.e. 
no puede tampoco componerse con las otras en un sisten'ia de multiplica-
ciones de relaciones y que consiste, ella también, en una "cantidad bruta" 
unidimensional (desde el punto de vista de la multiplicación relativa). 
A fortiori las relaciones. perceptivas propfas de esta etapa no podrían 
cumplir una segunda condición, la de las cuantificaciones reales, que viene 
a agregarse a la de la gradación intensiva, y que es ésta: la partición en. 
unidades iguales o la descomposición en dimensiones proporcionadas. En'. 
. efecto, para 1ruw1ii: 111 eouservacióu. d@I líqU:ido y elaborar así la mu:ión...d!il 
UJli s;agtidad total de orden extensi.xQ y llll ya ~)¡¡!PJl~e~in.t~V..Q,_l!.S..,.J\e-.' 
cesario comprender que toda elevación de nivel se re"'compensada por una 
disminución ele la anchura, sien"lto elevación de nive~~~0).ds valores; 
inversamente proporcionales entre sL Y además, en lo que se refiere a 
este punto, es evidente que las simples relaciones perceptivas, fuente de 
cantidad bruta, no eran suficientes para resolver el problema, si antes no 
se sometían a una composición, que no es ya lógica solamente, sino espe-
cíficamente matemática. Y es· sorprendente constatar que, incluso en la 
pregunta tan simple acerca del aumento del número de los vasos, los niños 
de esta etapa no llegan a comprender que una cantidad vertida de un re-
cipiente inicial en dos o tres recipientes más pequeños sigue siendo la mis-
ma. Por lo tanto, no existe ni la composición poi; partición ni la compo-
sición por relaciones. 
En conclusión: si los sujetos en este nivel no comprenden la con-
servación de la cantidad, es porque no han llegado a construir la noción 
de la cantidad misma como cantidad total. Y si no han llegado a ello es 
porque ca~ecen ~e la __ <_:~p~~~d.1;1i.e!l!ª-~.?~P-,~_er las r_el!lcio~es o las partes en/ 
cuestión, puesto que su espíritu no supera el nivef cie las.c\iaTíélalles o de 
l~-s (:nticlades bruias":. 
§ 3. LA SEGUNDA ETAPA: RESPUESTAS INTERMEDIAS 
Entre las reacciones de los nmos que no llegan a poseer la noción de 
la conservación de las cantidades, y aquellos que la postulan como una 
necesidad física y lógica al mismo tiempo, viene a interponerse cierto nú-
mero <le comportamientos intermedios que son característicos ele una se" 
gunda etapa (si~-;¡~~.;~; l~;~o~o, ~·aturalmente, que todos los niños pasen 
por esa etapa de transición). Es conveniente que distingamospor lo me-
nos dos ele estas reacciones de transición. En la primera, el niño es capaz -
de postular la conservación del líqui~o cuando se lo viert;-de -un vaso A 
en dos vasos B1 y B:i; pero si se hacen intervenir tres o más recipientes, 
v~elve a creer en la no-conservación. -La segunda reacción de transición 
consiste en afirmar la conservación cuando se presentan débiles diferen-
cias de nivel, ele anchura o de volumen, y en, dudar, en cambio, cnaqdo 
haya grandes diferencias. -
Presentamos ahora ejemplos tlel primer tipo: 
EDI (6; 4): -¿Hay lo mismo en estos tlo~yasos (A1 y A:i)? -Sí. -Tu mamá 
te dice: en vez de darte la leche en este vaso• "(A1), te la doy en estos dos vasos 
(B1 y B2), uno a la mañana y otro a la noche. (Hacemos delante del niño lo que 
hemos anunciado). ¿Dónde hahrá más leche para que tomes, aquí (A2) o aquí 
(B1 + B~)? -Hay fo mismo. -Bien. Ahora, en vez de darte la leche en estos 
dos vasos (B1 y B:i), te la da en tres (vertemos A2 en C1, C:i y Ca), uno a la ma-
ñana, ótro al mediodía, otro a la noche. ¿Te da lo mismo de leche si te la da 
en estos dos vasos o en estos tres? -Es lo mismo en tres que en dos ... No, en tres 
hay más. -¿Por qué? - ... -{Volvemos a verter B1 y B2 en A1). ¿Y si viertes 
los 3 (C1 + C2 + Cs) en aquel (A2), hasta dónde irá? -(El niño muestra un 
nivel más elevado que el de A1). -Y si vertemos estos 3 en 4 vasos (vertemos 
en C1 + C2 + Ca + C4, a raíz de lo cual bajan. todos los niveles) y volcamos 
todo eso en el grande (A:i) ¿hasta dónde irá la línea? (-Señala un nivel más 
30 
alto todavía). -¿Y con 5? -(Nivel más alto todavía). -¿Y con 6? -Ya no ca· 
bría más en el vaso. 
PIE (5 años): -¿Hay lo mismo aquí (A1) y aquí (A2)? -(Verifica los ni· 
veles). -Sí. -(Vertemos Ai en B1 + B2). ¿Hay lo mismo para beber en estos 
dos conjuntos que en el otro? -(Examina los niveles de B1 y B2, que son supe· 
riores a A1). -Hay más aquí. -¿Por qué? -¡Oh, sí! es lo mismo. -¿Y si vierto 
los dos vasos (81 y B2) en estos tres (Ci' + C2 + Cs) es lo mismo? ---En los 3 
hay más. -¿Y si lo vuelco de nuevo en los 2? -Entonces es lo mismo en (B1 + 
B2) que allí (A2). 
Tenemos aquí un ejemplo del segundo tipo: 
FRIED (6; 5) constata que Ai = A2. Vertemos A1 en 81 + B2. -¿Hay 
tanto jarabe rojo co~o azul? -Sí. -¿Por qué? -Porque éstos (81 + 82) son 
más pequeños que (A2). -Y si vertemos también el jarabe azul (A2) en dos vasos 
(8a + B4), pero vertemos más en 8 3 que en 84), ¿hay lo mismo? -Hay más ja· 
rabe rojo (le parece que 8s + 8 4 son más que 8 1 + B2) que azul. 
Un momento después, le presentamos A1 lleno hasta la mitad y A2 lleno en 
un tercio: -¿Es lo mismo? -No, hay más aquí (A1). (Vertemos A1 en varios 
vasos 8). -Ahora es lo mismo (en A2 que en 8 1 + 82 ••• , etc.). Pero al final 
Fried declara: No, no cambia, porque es el mismo jarabe (por lo tanto A1 = 
B1 + B2 + Bs + B4 y A1 > A2). . 
Ambos tipos de reacciones intermedias son importantes, y permiten 
rechazar una objeción que se ha presentado, sin duda, al espíritu del lector 
al considerar el § 2. En vez de atribuir la génesis de la noción de conser-
vación a una cuantificación propiamente dicha, y que se debe a una coor-
dinación progresiva de las relaciones que están en juego, alguien podría 
preguntarse si la ausencia de conservación no proviene simplemente de una 
incomprensión de la pregunta por la cantidad en su conjunto; en este ca-
so, el niño compararía simplemente unos niveles con otros, o unas anchu-
ras con otras, sin pensar en la totalidad del líquido; pero ello no sería una 
prueba de_ que es incapaz de ello. Esta segunda interpretación afirmaría _ 
la existencia del descubrimiento brusco, en un momento dado, de la con-
servación, inmediatamente después de que surge la idea de la cantidad 
total: el niño comprendería de pronto que el líquido permanece constante, 
puesto que no se le quita ni se le agrega nada. Y efectivamente, cuando 
Edi, y muchos otros sujetos además de él, declaran, al principio de un Í'n· 
terrogatorio, que (A!!) y (B1 + B!!) '"es lo mismo", uno tiene a menudo la 
impresión de que la diferencia entre ellos y los niños del § 2 se debe so-
lamente a otra manera de entender la pregunta: en ese caso, la solución 
justa surgiría de una especie de identificación inmediata, sin que haga 
falta hacer intervenir un proceso complejo de cuantificación. Sin embar· 
go, las respuestas inJermedj¡§ propias de esta segunda etapa permiten, pre-
cisamente • ..ap..a.J:.ta.t-e.s.~w:.e,tai:iióu., demasiado simnk; si hay_!!_c;ilac!ó· 
n~ res:Bue~ª·~~o.T,te.ctª.·tlLd ~fSO de !léhiles VJlriaciones y ausencia _de con;! 
S!,!;Y,!lCÍÓn en el caso. de alteraciones más grandes de la _fQ!!!l~.A~. c1mjun·;., 
to, es porque, evidentemente, el niño comprende bien el problem~ pero 
31 
de ningún modo está convencido a priori de la invariancia de la can-
tidad total. 
Dicho esto ¿cómo interpretaremos el progreso manifestado por los 
sujetos de esta etapa? Se puede constatar que las dos condiciones descri-
tas en § 2 y que definen el tránsito t.le la cantidad bruta a la cuantificación 
propiamente dicha empiezan a cumplirse. ' 
En primer lugar, el niño trata de coordinar las relaciones perceptivas 
que se le presentan y transformarlas en relaciones verdaderas, es decir, 
operatorias. Recordamos que si se presenta al niño de la primera etapa un 
tarro de forma A lleno has.ta 1/4 o 1/5 y se le pide que constituya una 
cantidad equivalente en L (delgado y alto} el sujeto se limita a verter en 
L una columna de líquido que alcance el mismo nivel de A, sin tener en 
cuenta las anchuras respectivas de los recipientes. Ahora bien: los sujetos 
de la seg~mda etapa, por el contrario, tratan de tomar en consideración las 
1 dos relaciones a la vez, pero -en forma curiosa- no lo logran y os~ilan 
indefinidamente entre ese ensayo de coordinación y el sentimiento de las 
ilusiones perceptivas. Esta reacción de ensayos infructuosos de coordina-
ción se observa ya en los niños más ·evolucionados de la primera etapa (los 
casos intermedios entre la primera y segunda etapas), pero por regla ge-
neral, es típica del presente período. Presentamos aquí algunos ejemplos; 
comenzamos por uno de esos casos adelantados de la primera etapa y sr-
guimos con casos típicos de la segunda. 
LAC (5 5/2): -Tu hermano Lucien tiene ese jarabe rojo (A = 1/ 0). Tú 
tienes que volcar en ese vaso (L) una cantidad igual de jarabe que la de él. 
-(Vierte una cantidad que llega a un nivel superior al de A). No, tengo dema-
siado (vuelca de nuevo y alcanza el 1'/ "' es clecir, el mismo nivel). -;-¿Es lo mis-
mo?-No (acerca La A y se pregunta a.si mismo: ¿quién tiene más? -Sí, ¿quién 
tiene más? -(Muestra el vaso A): Es ése, porque es más grande. -Pero tú debes 
tener lo mismo que Lucien. -(Añade 1111 poco ele líquido a L y compara los dos 
niveles). Es demasiado. (Saca un poco ele líquido de L y empieza ele nuevo. Cree 
que ha alcanzado el mismo nivel A, luego añade una cantirlad mínima. aproxima-
damente los ~/¡¡). ¡Ah, no! es demn.,iado. no es lo mismo. (Para restahleC"e1· la 
igualdad en la cantidad entre su vaso L y rl vaso A, iguala los nivelc.>s). -;,Dices 
que es lo mismo así? -Sí. -(Vertemos A en L"J. -(Muy asomhl'ado) ¡Ah. rs 
más! Vemos qur Lac pertenece· al fin dt> cuentas a la primera etapa, aunque sus 
reacciones iniciales anuncien la segunda etapa. 
EDI (6; 4): El vaso A está lleno en 1 / :-,. -Tú debes poner aquí (L) tanto 
jarabe como hay allá (A). -(Vierte el líquido hasta que alcanza la misma al-
tura). -¿Hay lo mismo para beber? -Sí. -¿.Justo lo mismo r -No. -¿,Por qué 
no? -Ese (A) es un vaso más grueso. -¿Qué hay que hacer para tener lo mis-
mo? -Añadir (llena L). -¿Está justo'! -No. -¿Q'uién tiene .más? -Yo (saca 
lo que sobra). -No, mamá es la que tiene más (A). -(Vuelve a añadir y a sacar, 
etc., sin llegar a una solución que le parezca satisfactoria). 
WIR (7 años): -¿Puedes poner aquí (L) tanto como hay allí (A 1/4)? -¿Lo 
misma? (Vierte el líquido hasta alcanzar un nivel igual). -¿Es lo mismo?-Na. 
(Añade en L hasta 1h y después compara los niveles). -No, es demasiado (res-
tablece la igualdad de los niveles). -¿Quién va a ser el que tenga más para beber? 
3~ 
-La mamá (A) porque el vaso es m1ís grande {añacle en L). -¿Ahora tienen lo 
mismo? -No, yo tengo más (suprime lo que sobra). -¿Ahora es lo mismo o al-
guno tiene más? -La mamá (A) porque tiene un vaso más grande. (Aña<le en L). 
No, ahora tengo más yo (saca un poco y restablece la igualdad de los niveles), 
No, la mamá tiene más {no acaba de encontrar una solución satisfactoria) . 
. Podemos apreciar el interés de estas observaciones. En cacla uno de 
los casos citaclos, el niño, como en la primera etapa, empieza por verter el 
líquido en el vaso estrecho L haciéndolo llegar al mismo nivel que el reci-
piente más ancho A. Pero~ contrariamente a los sujetos que lo precedieron, 
se da cuenta, al comparar las dos columnas dé la misma altura, que una es 
más .ancha que la otra, y declara entonces que el primer vaso contiene más 
liquido, aduciendo las razones de "más grueso", "más grande", etc. Se in-
voca, por lo que vemos, en (orma explícita, una segunda relación, la ele 
la anchura, al laclo de la de los niveles, y "lógicamente multiplicada" por 
esta última. Para restablecer la igualdad, el niño vierte un poco de líquido 
en el vaso L, y esta conducta nos prueba la realidad ele esta multiplicaci6n 
de relaciones. Sólo que (y es aquí donde se hacen evidentes las dificulta-
. d~s de esta operación ele multiplicación), tan pronto como el nivel. de la' 
columna supera en el vaso estrecho L al clel líquido contenido en el vaso 
ancho A, el niño olvida las diferentes anchuras y cree que el primero de .. 
los recipientes tiene más contenido que el segundo. A SU' vez, en cuanto 
restablece la igualdad ele los niveles, le llama la atención la dife"rencia ele 
las anchuras, y así sucesivamente. En resumen, cuando el niño percibe la 
falta de igualdad en los niveles olvida las anchuras y cuando ve la dife-, 
rencia de las anchuras olvida lo que acaba de pensar acerca ele las relacio.-' 
nes de niveles: por lo tanto, únicamente en el caso de que los niveles sean' 
iguales, trata de multiplicar lógicamente las relaciones ele altura por las ele 
'anchura, pero tan pronto como esboza esta operación, una de las relacio-
nes se sobrepone a la otra en una alternancia sin fin.: -
Es evidente, no obstante, que aun cuando los niños de esta etapa efec-
tuaran integralmente la operación de la multiplicación lógica ele las rela-
ciones, esta operación no bastaría para conducirlos a la conservación de la 
cantidad total, excepto si la altura y la anchura fueran simplemente per-
mutables: una columna. de agua que aumenta en altura y disminuye en. 
ancho puede ser más voluminosa, igual o menos voluminosa que otra. Paral 
estar seguro de la igualdad, es preciso que una cuantificación extensiv~­
complete la gradación intensiva, o sea, que se clebe poder establecer una' 
proporción propiamente dicha, y no solamente una correlación cualitativai, 
entre lo que se gana en altura y lo que se pierde en anchura. En otras pa-_' 
labras, es necesario que una partición cualquiera se añada a la puf'.sta ery' 
relaciones. 
Ahora bien: es notable que, en estrecha relación con la coonlinación 
de orden lógico ele que acabamos ele hablar, el niño comience también du-
rante la segunda etapa a comprender que un todo permanece idéntico a 
sí mismo si se lo divide en dos mitades. Esto es lo que han afirmado más 
arriba Ecli y Pie (o sea, los sujetos del primer tipo) cuautlu, pur ejemplo, 
1w Ita vertido A1 en B1 + B2. Pero, así .. 01110 la mnltiplicación ,¡ .. las rc-lti· 
dones queda incompleta, usí también e;; ta comprensión de la parl i1·iú11 1·s 
límita<la y fragmentaria: hasta verter H1 y lh en C, + e~ + C3 para 1¡i11· 
Edi y Pie no crean más en la conservación: "En tr1·s hay más··. 1lic .. n. v 
Edi lleva esta opinión hasta el ahsurdo tJ~ admitir 1¡111·, frag1111·ntan1lo s1;. 
cesivamentl! una misma cantidad, se aumrnta indefinidam~ntr su valor 
total. 
Concluyendo: parece que la multiplicación lle las relacion<'s y la par· 
tición marchan juntas, es decir, que una y otra aparecen y <>mpirzan <l 111·-
sarrollarse en el curso de esta misma st•gunda etapa. para dctr1wrse a mi-
tad de camino <'n función de las mismas limitac·imws. ;.Cuál t·s 1•11tti"m·e¡.; ,.¡ 
vínculo qur 11111' Pstas dos rlasl's tl1• o¡wra1·ionrs'~ Esto "" lo c¡tw .. 1 análisi~ 
tic la fl•rct'ra t'lapa nos va a suminii<trar. 
§ .:J,. LA TER<":ERA ETAPA: LA CONSERVACION NECESAHIA 
l,as respuestas t¡ue t•aracterizau a esta tercera ('tapa afirman de pri-
mera intención, o casi de primera intención, la conservación_ de las canti-
dades de líquido independientemente del mi~ - y"°'7ll~ i'a · 1;at1irale~a clt' 
los traslados dél Jiquido efectuados: Ahora hien, c•n el momt·nto en qm· 1•1 
niño descubre esta invariancia, la afirma corno algo tan simple y evicl1·11l<' 
que ella se diría independiente de totla multiplicación de las relaciont'S y 
de toda partición. Se plantea, pues, el problema de saher si esa inclepen-
cJencia es real o solo aparente, y en l'ste caso, <lt'terminar los vínculos c¡uc 
existen entre los facfores que inh·rvit'nen. Primcramentr. lw aquí los 
hechos: 
AES (6; 6). Después de llenar A 1 y A:i hasta :1 /., vertrmos A1 en P1 ( anc·ho 
y bajo). -¿Hay aqni tanto jarabe romo hahía PU el otro va~o? --/lay meno-~. 
-(Vertemos A:i en P::). Y llÍ (le hPmos cJicho q1w A:: es ~11 vaso) ¿tendrás lo 
mismo para lomar? -¡Ali, si! c•s fo mi.mw. Paret•f! ml'nos. [)or<JUI' es más gra111!1' J 
1 = ancho) pero es lo mismo. ---(Volramos de nuevo P 1 y P:! f'll A1 y A:i y pone-
mos A1 en B1 + B:i). ¿Ahora Roger tiene más que tú? --Til't1t• 1·11mo ·''º (sf'guro). 
-¿Y tú vas a tener lo mismo ~¡ vi1•rto tn jarahf.' f'n 4 vaso;; L\~ rn C1 + C:! + C:i 
+ Ct)? -Sí. lo mismo. 
GEO (6; 6). Su vaso, Ai, está lleno hasta la mitad, y el tic Matleleiue, A~­
hasta 1/ 3 solamente. -¿Quién tiene más? -Yo tengo mcís. --Bien. Madeleine 
t¡uiere tener lo mismo. Reparte su jarabe en .los vasos (C1 + C!!) y 11ice: "Ahora 
yo tengo más o en todo caso lo mismo que tú. ¿Quién tiene más ahora? -(Pi en· 
sa). Yo sigo teniendo más. _:_(Madeleine vierte su jarahe en 3 vasos (C1 -+ C~ . 
+ C3 )_ ;.Quién tiene más? -Yu siempre. --Ma1lelf'i11e harr lo mismo 1·nn mueho~ 
3-t. 
vas~s (volvemos a volcar C¡, C2 y C:: t"n A:! y repartimos el contenido de A: en 6 
vasos pequeños C). ¿Quién tiene más ahora? -.Madeleine tiene mlÍ.~, porque volcó 
líquido también en otras botellas. -Y si po·neruos de nuevo todo (los 6 C) aquí (en 
. A::) ¿hasta dónde subirá? -(Reflexiona). No, Madeleine tiene menos. Yo creía 
t¡ue tenía más, pero no es verdad. -¿No puede haber más? ·--No. -(Volvemos 
a poner los C en A2, después ponemos A2 en 8 vasos pequeños). ¿1' ahora? -No, 
es siempre lo misnio. Presentamos finalmenl! a la niña dos nuevos recipientes Aa 
y A~ llenos hasta la mitad y vertemos As en B1 + B1 + B2: -Ella tiene lo mis· 
111 0. -¿Estás segura que es lo mismo? -Sí, lo único que se ha hecho es volcarlo. 
BERT (7; 2): -El rojo (A1 hasta 2 /a) es para Jacqueline, el azul (A2 hasta 
1/!.!) es para ti. ¿Quién tiene más? -No importa: }acqueline. -¿Por qué? -Por· 
111te tiene más. -¿Y si vuelcas (B1) en (C1 + C2)? -Sigue siendo Jacqueline, 
porque tiene mucho. -Todas las transformaciones llegan al mismo resultado: 
-J111•qtteline tiene más, porque antes yo vi que tenía más. Ahora Aa = Á4, luego 
se vierte A3 en C1 + C2: -Sigue siendo lo mismo sin embargo, porque ya vi antes 
en la otra botella que era lo mismo. -¿Pero cómo es que sigue siendo lo mismo'? 
-¡Usted i•acía (una) y vuelve a poner lo mismo en las otras! 
EUS (7: 2). A1 está lleno hasta 2/a y A!? hasta 1 / 2 • Volcamos en (C1 + C2 
+ C:1): -¿Hay lo mismo ahora? -No. Se t1uelca del mismo vaso (A2). Nunca 
p111'dr Sl'r lo mismo así. "Luego: Ai = A2 en B1 + B.:i, ele.:" -Es siempre lo 
mismo. f'Orque t•iene siempre de la misma botella. 
Estos pocos casos eu que los niños dan