Polinomios de Taylor - Bernardo Ramírez

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Las funciones más sencillas de las que se utilizan en el 
Cálculo son las polinómicas. Son además las más simples pa-
ra utilizar en cálculos numéricos, ya que sus valores se obtie-
nen mediante sumas y multiplicaciones. Esto las hace espe-
cialmente propicias para aproximar otras funciones, ya sean 
racionales o trascendentes, como logarítmicas, exponenciales, 
trigonométricas, etc. Si la diferencia entre una función y su 
aproximación polinómica es suficientemente pequeña, a los 
fines prácticos podrán efectuarse cálculos con el polinomio de 
aproximación en vez de hacerlo con la función dada. 
Ese principio ha sido la base para la construcción de tablas 
de valores de funciones trigonométricas, exponenciales, loga-
ritmos, etc. Tales tablas, junto con la regla de cálculo, fueron 
de uso corriente y prácticamente obligado para efectuar opera-
ciones con tales funciones, hasta que resultaron reemplazadas 
por la aparición de las calculadoras electrónicas y la posterior 
aparición de las computadoras utilizadas en la actualidad. 
 
CAPITULO 5 
POLINOMIOS DE TAYLOR 
2 
2 HUGO V. MASIA - POLINOMIOS DE TAYLOR 
Cabe destacar que estos aparatos electrónicos utilizan ese 
mismo principio de aproximación mediante polinomios para 
suministrar valores aproximados de las funciones elementales, 
pero proporcionando tal cantidad de cifras que el error de la 
aproximación es habitualmente despreciable a los efectos 
prácticos. 
 • • • • • 
5.1 INTRODUCCION 
Existen distintos métodos para aproximar una función dada 
 
f mediante polinomios, 
y la elección del criterio dependerá del conjunto de valores de la variable para los cua-
les se pretende una buena aproximación. En este capítulo nos ocuparemos del llamado 
criterio de Taylor, que pretende obtener el polinomio que mejor aproxime a la función f 
en las cercanías de un valor dado. Para introducir el criterio comenzamos considerando 
un ejemplo simple. 
Sea f la función exponencial definida por f ( x ) = e x . En el punto x0 = 0 , tanto la 
función f como todas sus derivadas asumen el valor 
 
1 . El polinomio de grado cero 
 P0 ( x ) = 1 
es el polinomio constante cuyo valor coincide con el valor de f en 
 
0 . Aunque no se 
trata de una buena aproximación, entre todos los polinomios de grado cero, P0 resulta 
ser el que mejor aproxima los valores de f en un entorno del punto x0 = 0 . 
Consideremos ahora el polinomio de aproximación de grado uno 
 P1 ( x ) = 1 + x , 
que verifica P1( 0 ) = f
 
( 0 ) = 1 y P1' ( 0 ) = f ' ( 0 ) = 1 , es decir que coincide con la fun-
ción f y su primera derivada en 
 
0 . La gráfica del polinomio P1 es la recta tangente a 
la gráfica de f en el punto de coordenadas ( 0 , 1 ) , y es evidente que entre todos los 
polinomios de grado uno, P1 es el que mejor aproxima los valores de f en un entorno 
del punto x0 = 0 . 
Pretendiendo mejorar la aproximación, consideremos el polinomio de segundo grado 
 P2 ( x ) = 1 + x + 2
1
 x 2 , 
 3 
 HUGO V. MASIA – POLINOMIOS DE TAYLOR 3 
que verifica P1( 0 ) = f
 
( 0 ) = 1 , P1' ( 0 ) = f ' ( 0 ) = 1 y P1" ( 0 ) = f " ( 0 ) = 1 , es decir que 
coincide con la función f y sus derivadas primera y segunda en 
 
0 . La gráfica del po-
linomio P2 es una parábola que tiene la misma recta tangente que la gráfica de f en el 
punto de coordenadas ( 0 , 1 ) , y además tiene el mismo centro de curvatura correspon-
diente a ese punto. Esto pone en evidencia que entre todos los polinomios de grado 
dos, P2 es el que mejor aproxima los valores de f en un entorno de x0 = 0 . Como se 
puede apreciar en la Figura 5.1, la gráfica de P2 constituye una mejor aproximación a 
la gráfica de f que la recta tangente, en las proximidades del punto ( 0 , 1 ) . 
 
FIGURA 5.1 
 
 
 
 
 
Siguiendo este criterio, es lógico pensar que puede mejorarse la aproximación me-
diante el uso de polinomios de mayor grado, cuyos valores y sus derivadas sucesivas 
sean respectivamente iguales a los asumidos por la función f en x0 = 0 . 
Puede verificarse fácilmente que el polinomio 
 Pn ( x ) 
 = nx
n
xx 
!
1
 . . . 
!2
1
1
 
2
 
++++ 
y sus derivadas sucesivas hasta el orden 
 
n
 
 asumen los mismos valores que los de la 
función exponencial en x0 = 0 , y cuanto más grande es 
 
n
 
 produce una mejor aproxi-
mación en las cercanías de ese punto. Sin embargo, con el fin de utilizar adecuadamen-
te tales polinomios para aproximar los valores de la función exponencial, deberemos 
efectuar un estudio del error cometido en la aproximación. En lugar de hacerlo para es-
y = e x 
y = e x 
y = 1 + x + 
2
1
x 2 
y = 1 + x 
y = 1 + x 
y = 1 + x + 
2
1
x 2 
y = 1 y = 1 
4 
4 HUGO V. MASIA - POLINOMIOS DE TAYLOR 
te ejemplo en particular, el análisis de esta cuestión será abordado desde un punto de 
vista general. 
5.2 POLINOMIOS DE TAYLOR GENERADOS POR UNA FUNCION 
Sea f una función que admite derivadas hasta el orden 
 
n
 
 inclusive en un entorno 
del punto x = a , siendo n ≥ 1. Pretendemos encontrar un polinomio Pn
 
 de grado no 
mayor que 
 
n
 
 tal que en el punto 
 
a los valores de 
 
Pn
 
 y sus primeras n derivadas coin-
cidan con los respectivos valores de f y sus primeras n derivadas. 
Escribiendo el polinomio en la forma 
(5.1) Pn ( x ) 
 = c0 + c1 ( x − a ) + c2 ( x − a )
2 + . . . + cn ( x − a )
 n
 , 
deben determinarse los coeficientes 
 
c0 , c1 , . . . , cn
 
, de modo que verifiquen las n + 1 
condiciones 
(5.2) Pn ( a ) 
 = f ( a ) , Pn' ( a ) = f ' ( a ) , . . . , Pn
( n )( a ) = f ( n ) ( a ) . 
Las derivadas sucesivas del polinomio Pn , son 
 Pn' ( x ) 
 = c1 + 2 c2 ( x − a ) + 3 c3 ( x − a )
2 + . . . + n cn ( x − a )
 n−1
 , 
 Pn" ( x ) 
 = 2 c2 + 3 × 2 c3 ( x − a ) + . . . + n ( n −1) cn ( x − a )
 n−1
 , 
 . . . 
 Pn
( n )( x ) 
 = n ! cn . 
Evaluando el polinomio 
 
Pn
 
 y sus derivadas sucesivas en el punto 
 
a ,
 
 resulta 
(5.3) Pn
( k )( a ) = k ! ck , k = 0, 1, . . . , n , 
y reemplazando estos valores en las igualdades 
 
(5.2)
 
 se tiene 
(5.4) ck = 
 !
1
 k
 f ( k ) ( a ) , k = 0, 1, . . . , n , 
entendiéndose que para el valor k = 0, f ( 0 ) ( a ) es el valor f ( a ) . 
Sustituyendo estas expresiones de los coeficientes en 
 
(5.1) , obtenemos la expresión 
del polinomio 
 
Pn
 
 buscado, que resulta 
(5.5) Pn ( x ) 
 = f ( a ) + 
1!
)( a'f
( x − a ) + 
!2
)( a''f
 ( x − a )2 + . . . + 
!
)( )(
n
af n
 ( x − a ) n . 
El razonamiento efectuado prueba la existencia de un polinomio de grado a lo sumo 
igual a 
 
n
 
 que verifica las condiciones 
 
(5.2) , y necesariamente su expresión está dada 
por la fórmula 
 
(5.5) . Nótese que el polinomio 
 
Pn será efectivamente de grado 
 
n
 
 si y 
sólo si f ( n ) ( a ) ≠ 0 . Recíprocamente, es fácil verificar que el polinomio Pn definido 
 5 
 HUGO V. MASIA – POLINOMIOS DE TAYLOR 5 
por 
 
(5.5)
 
 es el único de grado a lo sumo 
 
n
 
 que satisface las condiciones 
 
(5.2) . Estas 
deducciones conforman la prueba del teorema que se enuncia a continuación. 
TEOREMA 5.1 EXISTENCIA DE POLINOMIOS DE APROXIMACION 
Sea f una función que admite derivadas hasta el orden 
 
n
 
 inclusive en un entorno del 
punto x = a , siendo n ≥ 1. Entonces existe un único polinomio Pn de grado a lo sumo 
igual a n que satisface las n + 1 condiciones 
 Pn ( a ) 
 = f ( a ) , Pn' ( a ) = f ' ( a ) , . . . , Pn
( n ) ( a ) = f ( n ) ( a ) . 
El polinomio 
 
Pn está definido por la expresión 
 Pn ( x ) 
 = f ( a ) + 
1!
)( a'f
( x − a ) + 
!2
)( a''f
 ( x − a )2 + . . . + 
!
)( )(
n
af n
 ( x − a ) n , █ 
y es llamado 
 
polinomio de Taylor de grado no mayor que 
 
n
 
 generadopor la función f 
en el punto 
 
a , o simplemente polinomio de Taylor
1
, cuando no exista posibilidad de 
confusiones. En el caso frecuente en que 
 
a = 0 , el polinomio es llamado polinomio de 
Maclaurin
2
, 
 
y tiene la forma 
(5.6) Pn ( x ) 
 = f ( 0 ) + 
1!
)0( 'f
 x 
 + 
!2
)0( ''f
 x 2 + . . . + 
!
)0( )(
n
f n
 x n , 
Una forma equivalente de presentar el polinomio de Taylor se obtiene llamando con 
h = x − a , o sea x = a + h en la fórmula (5.6) , resultando entonces 
(5.7) Pn ( a + h ) 
 = f ( a ) + 
1!
)( a'f
 h + 
!2
)( a''f
 h 2 + . . . + 
!
)( )(
n
af n
 h n . 
En lo que sigue notaremos a Pn con Tn f o 
 
Tn ( f ) ,
 
 con el fin de que la notación in-
dique, además de su grado, la dependencia del polinomio de Taylor respecto de la fun-
ción f . El símbolo Tn está definiendo un operador cuyo dominio es el conjunto de las 
funciones que admiten derivadas hasta el orden 
 
n
 
 inclusive en el punto 
 
a , siendo su 
codominio el conjunto de los polinomios de grado no mayor que 
 
n . Al aplicar el ope-
rador Tn a una función f se obtiene el polinomio de Taylor Tn f , cuyo valor en 
 
x
 
 se 
representa con Tn f ( x ) o también Tn [ f ( x )] . En los casos en que sea conveniente in-
dicar la dependencia respecto del punto 
 
a , se usará la notación Tn f ( x ; a ) . 
EJEMPLOS 5.1 1. Sea f
 
( x ) = e x . En este caso es 
 f ( x ) = f ' ( x ) = f '' ( x ) = . . . = f ( n ) ( x ) = e x , 
 
1
 En honor del matemático inglés Brook Taylor (1685-1731). 
2
 En honor del matemático escocés Colin Maclaurin (1698-1746). 
6 
6 HUGO V. MASIA - POLINOMIOS DE TAYLOR 
por lo que f ( k ) ( 0 ) = 1 para todo k , y en consecuencia el polinomio de Maclaurin 
de grado 
 
n
 
 generado por f queda expresado por 
 Tn ( e 
 x
 ) 
 = nx
n
xx 
!
1
 . . . 
!2
1
1
 
2
 
++++ . 
Si se desea el polinomio de Taylor generado por la función 
 
f en el punto 
 
a = 3 , 
se tiene f ( k ) ( 3 ) = e 3 para todo k , y el polinomio es 
 Tn ( e 
 x, 3 ) 
 = ∑
=
n
k
k
e
0
! 
 3
 ( x − 3 ) k. ◄ 
2. Sea f
 
( x ) = x 3 − 2 x 2 + 3 x − 1 , y a = 2 . Entonces es 
 f ' ( x ) = 3 x 2 − 4 x + 3 , f '' ( x ) = 6 x − 4 , f ''' ( x ) = 6 , f ( n ) ( x ) = 0 si n ≥ 4 , 
 f ( 2 ) = 5 , f ' ( 2 ) = 7 , f '' ( 2 ) = 8 , f ''' ( 2 ) = 6 . 
Por tanto, el polinomio de Taylor de grado tres generado por f en 
 
a = 2 es 
 T3 f
 
( x ) 
 = 5 + 7 ( x − 2 ) + 4 ( x − 2 ) 2 + ( x − 2 ) 3. ◄ 
Obsérvese que el polinomio de Taylor de grado tres es el mismo polinomio original, 
pero expresado en potencias de 
 
( x − 2 ) . Nótese además que no existe polinomio de 
Taylor de grado mayor que tres, ya que todas las derivadas de orden superior a tres son 
nulas. Observaciones análogas son válidas para funciones polinómicas de cualquier 
grado. 
5.3 EL RESTO O ERROR 
Con el fin de estudiar el error en la aproximación de una función f mediante su po-
linomio de Taylor, definimos el resto o error como la diferencia entre el valor de la 
función f y su polinomio de aproximación, es decir 
 Rn ( x ) 
 = f ( x ) − Tn f ( x ) . 
De tal modo, si f admite derivadas hasta el orden 
 
n
 
 inclusive en 
 
a , se tendrá 
 f ( x ) 
 = Tn f ( x ) + Rn ( x ) 
 = ∑
=
n
k
k
k
af
0
)(
!
)( 
 ( x − a ) k + Rn ( x ) . 
Deduciremos a continuación la llamada forma de Lagrange para el resto 
 
Rn ( x ) . Su-
pongamos para ello que la función f admite además derivada de orden n + 1 en un en-
torno del punto 
 
a . Esta suposición implica que existe un intervalo de la forma 
 
( c , d ) 
que contiene al punto 
 
a
 
 en el cual existe f ( n+1 ), y f sus derivadas hasta el orden 
 
n
 
 
 7 
 HUGO V. MASIA – POLINOMIOS DE TAYLOR 7 
inclusive son continuas. Trataremos primeramente el caso en que a < x < d . Pensan-
do fijado tal valor 
 
x, definimos una función 
 
g
 
 mediante la fórmula 
 g ( t ) 
 = f ( t ) + 
1!
)( t'f
( x − t ) + . . . + 
!
)( )(
n
tf n
 ( x − t ) n + 
1
 )(
)(
 
 
+− n
n
ax
xR
 ( x − t ) n+1 , 
para cada t ∈ [ a , x ] . Considerando x fijado, g es una función continua y derivable de 
la variable 
 
t
 
 en el intervalo 
 
[ a , x ] , y además g ( a ) = g ( x ) = f ( x ) . Su derivada está 
dada por la expresión 
 g ' ( t ) 
 = 
!
)( )1(
n
tf n+
 ( x − t ) n − 
1
 )(
)(
 
 
+− n
n
ax
xR
 ( n + 1 ) ( x − t ) n . 
Como 
 
g
 
 satisface las hipótesis del teorema de Rolle, podemos afirmar que existe algún 
punto ξ ∈ ( a , x ) en el cual g ' ( ξ ) = 0 , esto es 
 
!
)( )1(
n
f n ξ+
 ( x − ξ ) n − 
1
 )(
)(
 
 
+− n
n
ax
xR
 ( n + 1 ) ( x − ξ ) n) = 0 , 
resultando entonces 
 Rn ( x ) 
 = 
!)1(
1
 +n
 f ( n+1 ) ( ξ ) ( x − a ) n+1 . 
Para el caso en que 
 
c < x < a el razonamiento es análogo, pero trabajando en el in-
tervalo 
 
[ x , a ] . Resulta la misma expresión para el resto, siendo la única diferencia que 
la igualdad se verifica para algún punto ξ ∈ ( x , a ) . 
Los razonamientos efectuados conforman la prueba del teorema que se enuncia a 
continuación. 
TEOREMA 5.2 FORMULA DE TAYLOR CON RESTO 
Sea f una función que admite derivadas hasta el orden n + 1 inclusive en un intervalo 
I que contiene al punto 
 
a , siendo n ≥ 1. Entonces para cada x ∈ I existe un número 
ξ entre a y x tal que 
(5.8) f ( x ) 
 = Tn f ( x ) + Rn ( x ) 
 = ∑
=
n
k
k
k
af
0
)(
!
)( 
 ( x − a ) k + Rn ( x ) , 
siendo 
( 5.9 ) Rn ( x ) 
 = 
!)1(
1
 +n
 f ( n+1 ) ( ξ ) ( x − a ) n+1 . █ 
La expresión dada por la igualdad ( 5.8 ) es llamada fórmula de Taylor o desarrollo 
de Taylor de f con respecto al punto 
 
a , y la expresión hallada para 
 
Rn ( x )
 
 es denomi-
nada forma de Lagrange del resto. 
8 
8 HUGO V. MASIA - POLINOMIOS DE TAYLOR
Cuando el polinomio de Taylor de f se escribe en la forma 
 
(5.7) , es decir se pone 
h = x − a , o sea x = a + h , cualquier número entre a y a + h puede ser expresado en 
la forma a + θ h para un adecuado valor de θ entre 0 y 1. Así la fórmula de Taylor se 
puede escribir en la forma 
(5.10) f ( a + h ) = f ( a ) + 
1!
)( a'f
 h + 
!2
)( a''f
 h 2 + . . . + 
!
)( )(
n
af n
 h n 
+ 
!)1(
1
 +n
f ( n+1 ) ( a + θ h ) h n+1 , 0 < θ < 1 . 
De modo análogo, la fórmula de Maclaurin se escribe como 
(5.11) f ( x ) 
 = f ( 0 ) + 
1!
)0( 'f
x 
 + 
!2
)0( ''f
x 2 + . . . + 
!
)0( )(
n
f n
x n 
+ 
!)1(
1
 +n
f ( n+1 ) ( θ x ) x n+1 , 0 < θ < 1 . 
EJEMPLO 5.2 Sea f
 
( x ) = e x . Según fue visto en el Ejemplo 5.1.1, el polinomio de Maclaurin gene-
rado por f es 
Tn ( e 
 x
 ) 
 = nx
n
xx 
!
1
 . . . 
!2
1
1
 
2
 
++++ . 
Como f ( n+1 ) ( x ) = e x , tenemos la fórmula de Maclaurin
e x 
 = nx
n
xx 
!
1
 . . . 
!2
1
1
 
2
 
++++ + 
!)1(
1
 +n
e θ x x n+1 , 0 < θ < 1 . ◄
Aunque la forma de Lagrange del resto es la más cómoda para los usos corrientes, 
en ciertos casos resulta necesaria una forma algo más general para expresar el resto o 
error en la fórmula de Taylor. A continuación se presentarán otras formas, aunque se-
rán omitidas sus demostraciones. 
Si se modifica la función 
 
g
 
 definida anteriormente reemplazando en el último su-
mando la potencia 
 
n +1 del factor ( x − t ) por p , siendo 1 ≤ p ≤ n +1 , mediante un 
razonamiento análogo al anterior,
 
 se obtiene la expresión del resto llamada forma de 
Schlömilch: 
( 5.12 ) Rn ( x ) 
 =
pn ! 
1
f ( n+1 ) (ξ ) ( x − ξ ) n+1−p ( x − a ) p ,
y en particular, poniendo en esta última expresión p = 1 , resulta la llamada formade 
Cauchy: 
( 5.13 ) Rn ( x ) 
 =
! 
1
n
f ( n+1 ) (ξ ) ( x − ξ ) n ( x − a ) ,
 9 
 HUGO V. MASIA – POLINOMIOS DE TAYLOR 9 
en las cuales 
 ξ es un número entre a y x . Obsérvese que la forma de Lagrange tam-
bién es un caso particular de la forma de Schlömilch que resulta con p = n +1. 
Si la derivada de orden n +1 de la función f es continua en el intervalo I , usando 
el teorema del valor medio para el cálculo integral, se obtiene la llamada forma integral 
del resto, de la cual omitimos la prueba, resultando 
( 5.14 ) Rn ( x ) 
 = 
! 
1
n
 ∫
x
a
 
 
f ( n+1 ) ( t ) ( x − t ) n d t . █ 
5.4 PROPIEDADES DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR 
Según se ha visto, si una función f admite derivadas hasta el orden 
 
n
 
 inclusive en 
un punto 
 
a ,
 
 puede siempre asociársele su polinomio de Taylor Tn f cuya expresión es 
 Tn f ( x ) 
 = ∑
=
n
k
k
k
af
0
)(
!
)( 
 ( x − a ) k . 
En ciertos casos es complicado el cálculo de las derivadas sucesivas de la función 
 
f , 
llegando a resultar imposible encontrar un ley genérica para la expresión de las mismas. 
Resulta entonces conveniente estudiar propiedades de los polinomios de Taylor para 
deducir otros métodos que permitan calcularlos. 
El teorema que sigue establece propiedades del operador de Taylor 
 
Tn
 
 que muchas 
veces permiten deducir polinomios de Taylor a partir de otros conocidos. En el mismo 
se sobrentiende que las funciones que aparezcan admiten derivadas hasta el orden 
 
n
 
 
inclusive, y que todos los polinomios de Taylor son generados en un mismo punto 
 
a . 
TEOREMA 5.3 PROPIEDADES DEL OPERADOR DE TAYLOR 
El operador de Taylor 
 
Tn
 
 verifica las siguientes propiedades: 
a. LINEALIDAD. Cualesquiera sean las constantes c1 
 
y
 
 c2 , es 
( 5.15 ) Tn ( c1 f + c2 g ) 
 = c1 Tn ( f ) + c2 Tn ( g ) . 
b. DERIVACION. La derivada del polinomio de Taylor de una función 
 
f es el polino-
mio de Taylor de f ', es decir 
( 5.16 ) D ( Tn f ) 
 = Tn −1 ( D f ) . 
c. INTEGRACION. La integral indefinida del polinomio de Taylor de una función 
 
f es 
el polinomio de Taylor de la integral indefinida de f . Más precisamente, si 
( 5.17 ) g ( x ) 
 = ∫
x
a
 
 
 f ( t ) d t , entonces Tn +1 g
 ( x ) = ∫
x
a
 
 
 Tn f ( t ) d t . 
10 
10 HUGO V. MASIA - POLINOMIOS DE TAYLOR 
d. SUSTITUCION. Sea 
 
c
 
 una constante, y g ( x ) 
 = f ( c x ) . Entonces 
( 5.18 ) Tn g ( x ; a ) 
 = Tn f ( c x ; c a ) . 
En particular, si a = 0 , es 
( 5.19 ) Tn g ( x ) 
 = Tn f ( c x ) . 
e. PARIDAD. Si f es una función par, su polinomio de Maclaurin tiene únicamente 
potencias pares, y si f es una función impar, su polinomio de Maclaurin tiene úni-
camente potencias impares . 
PRUEBA: 
La igualdad 
 
( 5.15 )
 
 vincula dos polinomios del mismo grado. La derivación de un 
polinomio produce un nuevo polinomio cuyo grado es una unidad menor, y la integra-
ción produce un nuevo polinomio cuyo grado es una unidad mayor, por lo cual las 
igualdades 
 
( 5.16 )
 
 y 
 
( 5.17 )
 
 también vinculan polinomios de igual grado. Es fácil ve-
rificar que en cada una de las tres igualdades, los valores del polinomio del primer 
miembro y de sus derivadas sucesivas resultan respectivamente iguales a los del poli-
nomio del segundo miembro. La unicidad del polinomio de Taylor probada en el Teo-
rema 
 
5.1 permite asegurar entonces la validez de las proposiciones ( 5.15 ),
 
 ( 5.16 ) y 
( 5.17 ) . ■ 
Para probar la proposición 
 
( 5.18 ), notemos que siendo g ( x ) 
 = f ( c x ) , mediante 
la utilización de la regla de la cadena se obtiene 
 g' ( x ) = c f ' ( c x ) , g'' ( x ) = c2 f '' ( c x ) , . . . , g ( n ) ( x ) = cn f ( n ) ( c x ) . 
En consecuencia resulta 
 Tn g ( x ; a ) 
 = ∑
=
n
k
k
k
ag
0
)(
!
)( 
 ( x − a ) k = ∑
=
n
k
k
k
acf
0
)(
!
)( 
 ( c x − c a ) k = Tn f ( c x ; c a ) . ■ 
Lo propuesto en el ítem e. es consecuencia inmediata del hecho que si una función 
es par todas sus derivadas de orden impar se anulan en x = 0 , y si es impar todas sus 
derivadas de orden par se anulan se anulan en x = 0 . █ 
EJEMPLOS 5.2 1. Sea f
 
( x ) = e − x . Utilizando la fórmula (5.18) con c = −1 , en el polinomio de 
Maclaurin de e x hallado en el Ejemplo 5.5.1
 
 resulta 
 Tn ( e 
− x
 ) 
 = nn x
n
xx 
!
1
)1( . . . 
!2
1
1
 
2
 
−+−+− . 
Como cosh x 
 = 
2
1
 ( e x + e − x ) , utilizando la propiedad de linealidad se obtiene 
 11 
 HUGO V. MASIA – POLINOMIOS DE TAYLOR 11 
 T2 n ( cosh x ) 
 = 
2
1 Tn ( e 
x
 ) + 
2
1 Tn ( e 
− x
 ) 
 = nx
n
xx 2 
!)2(
1
 . . . 
!4
1
 
!2
1
1
 
42 ++++ . 
Por derivación obtenemos el polinomio de Maclaurin correspondiente a senh x ,
 
 
resultando 
 T2 n−1 ( senh x ) 
 = 12 
!)12(
1
 . . . 
!5
1
 
!3
1
 
53
 
−
−
++++ nx
n
xxx . ◄ 
2. Sea f
 
( x ) = cos x . Siendo f una función par, todas sus derivadas de orden impar 
se anulan en 
 
0 , y además es fácil verificar que f ( 2 k ) ( 0 ) = (−1 )k . En consecuen-
cia, el polinomio de Maclaurin generado por la función coseno es 
 T2 n ( cos x ) 
 = nn x
n
xx 2 
!)2(
1
)1( . . . 
!4
1
 
!2
1
1
 
 
 
42 −+−+− . 
Derivando y multiplicando por 
 
(−1)
 
 obtenemos el polinomio de Maclaurin que 
corresponde a sen x , resultando 
 T2 n−1 ( sen x ) 
 = 12 
!)12(
1
)1( . . . 
!5
1
 
!3
1
 
53
 
 
 
−
−
−+−+− nn x
n
xxx . ◄ 
Otra propiedad de los polinomios de Taylor que encuentra utilidad para simplificar 
cálculos está dada por el teorema que sigue. 
TEOREMA 5.4 Sea f una función que admite derivadas hasta el orden 
 
n
 
 inclusive en el punto x = a , 
Pn un polinomio de grado 
 
n ,
 
 siendo 
 
n ≥ 1 , y r una función que admite derivadas 
hasta el orden 
 
n
 
 inclusive en el punto x = a , tales que 
( 5.20 ) f ( x ) 
 = Pn ( x ) + ( x − a )
 n
 r ( x ) , 
en la cual r ( x ) → 0 cuando x → a . Entonces Pn es el polinomio de Taylor generado 
por la función f en el punto 
 
a . 
PRUEBA: Llamemos con h ( x ) = ( x − a ) n r ( x ) . Esta función admite derivadas has-
ta el orden 
 
n
 
 inclusive, y se verifica fácilmente que tanto 
 
h
 
 como sus primeras 
 
n
 
 deri-
vadas son nulas en x = a . Como h ( x ) = f ( x ) − Pn ( x ) , se deduce que f y Pn , así 
como sus primeras 
 
n
 
 derivadas, coinciden en 
 
a , y en consecuencia 
 
Pn es el polino-
mio de Taylor generado por f en el punto 
 
a . █ 
EJEMPLOS 5.3 1. A partir de la identidad algebraica 
 1 − x n +1 = ( 1 − x ) ( 1 + x + x 2 + . . . + x n ) 
se obtiene 
( 5.21 ) 
 1
1
x−
 = 1 + x + x 2 + . . . + x n + 
x
xn
−
+
1
 
1
 
 , para cada x ≠ 1 . 
12 
12 HUGO V. MASIA - POLINOMIOS DE TAYLOR 
Utilizando el resultado del Teorema 5.4 es inmediato concluir entonces que 
 Pn ( x ) 
 = 1 + x + x 2 + . . . + x n 
es el polinomio de Maclaurin generado por f ( x ) 
 = 
x−1
1
. ◄ 
2. Reemplazando x por −x en ( 5.21 ) se obtiene: 
( 5.22 ) 
 1
1
x+
 = 1 − x + x 2 − . . . + (−1) n x n + (−1) n+1 
x
x n
+
+
1
 
1
 
 , para cada x ≠ 1 . 
Efectuar reemplazos adecuados en ( 5.21 ) y ( 5.22 ) para obtener los desarrollos 
de Maclaurin para 
 
2
 1
1
x−
 y para 
 
2
 1
1
x+
. ◄