Tema04- ARMONICOS - Bernardo Ramírez

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TEMA IV
ARMÓNICOS
4.1.-Introducción.
4.2.-Forma trigonométrica de la Serie de Fourier.
4.3.-Desarrollo en Serie de Fourier de una función.
4.3.1.-Condiciones de convergencia.
4.3.2.-Determinación de los coeficientes.
4.3.3.-Simetría de las Formas de Onda.
4.4.-Espectro de una Onda.
4.5.-Valor Eficaz y Potencia.
4.6.-Factor de Armónicos y Factor de Onda Fundamental.
4.7.-Armónicos en las Redes Eléctricas.
4.7.1.-Origen de los Armónicos.
4.7.2.-Efectos producidos por los Armónicos.
4.7.3.-Filtrado de Armónicos.
-96-
a
a x b senx a x b sen x0 1 1 2 22
2 2+ + + + +cos cos ... (1)
( ) ( )( )a a nx b sen nxn n
n
0
12
+ +
=
∞
∑ cos (2)
( ) ( ) ( ) ( )i a c nx ii a c sen nxn n
n
n n
n
 ; 
1
2
1
20 1 0 1
+ − + −
=
∞
=
∞
∑ ∑cos q f (3)
IV.1.-INTRODUCCIÓN
Algunas formas de onda periódicas, como por ejemplo el diente de sierra de la
Fig. 1, solamente pueden describirse mediante funciones sencillas localmente. Tales
expresiones describen la forma de onda satisfactoriamente, pero no permiten
determinar la respuesta del circuito. Ahora bien, si una función periódica puede
expresarse como la suma de un número finito o infinito de funciones senoidales, las
respuestas de los circuitos lineales a excitaciones no senoidales pueden obtenerse
aplicando el teorema de superposición. Con el método de Fourier pueden resolverse
este tipo de problemas.
En este capítulo se analizan diferentes herramientas y condiciones para la
aplicación del método de Fourier. Las ondas periódicas se expresan como series de
Fourier, mientras que las no periódicas se expresan por sus correspondientes
transformadas de Fourier. Sin embargo, una parte de una onda no periódica
especificada en un periodo de tiempo finito puede expresarse mediante una serie de
Fourier válida para dicho periodo de tiempo. Este conjunto de posibilidades hace que
el análisis de las series de Fourier sea el principal objetivo de este capítulo.
IV.2.-FORMA TRIGONOMÉTRICA DE LA SERIE DE FOURIER
La serie de funciones de la forma
o, de forma más compacta, la serie de la forma
se llama serie trigonométrica. Los números constantes a0, an y bn (con n = 1, 2, ...)
Se llaman coeficientes de la serie trigonométrica.
Puede demostrarse que si dicha serie converge, entonces su suma es una
función periódica, de periodo 2B, puesto que sen(nx) y cos(nx) son funciones
periódicas de periodo 2B.
También puede probarse que podemos poner esa misma serie de cualquiera
de las dos formas siguientes, combinando en un término simple de seno o coseno con
un defasaje:
donde
-97-
c a b tg
b
a
tg
a
bn n n n
n
n
n
n
n
= + =





 =





− −2 2 1 1 ; ; q f (4)
( ) ( ) ( )( )f t a a n t b sen n tn n
n
= + +
=
∞
∑0
12
cos w w (5)
En ambas ecuaciones, cn es la amplitud del armónico, mientras que 2n y Nn
son los ángulos de fase del armónico.
También existe otra forma equivalente a estas series que son las llamadas
series exponenciales de Fourier (recuérdese que las funciones seno y coseno pueden
ponerse como exponenciales imaginarias, según las fórmulas de Moivre), no obstante,
no nos ocuparemos aquí de este otro tipo de serie.
IV.3.-DESARROLLO EN SERIE DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN
IV.3.1.-CONDICIONES DE CONVERGENCIA
El problema respecto de estas series es su convergencia. No existe ningún
teorema que nos de condiciones necesarias y suficientes para garantizar la
convergencia de esta serie. Afortunadamente sí que disponemos de condiciones
suficientes que debe cumplir una determinada función f(t) para que exista una serie
trigonométrica que converja a ella: las condiciones de Dirichlet, que se expresan de
la siguiente forma.
“Cualquier onda periódica, es decir, que cumpla f(t) = f(t+T), podrá expresarse
en una serie de Fourier siempre que:
1) siendo discontinua, tenga un número finito de discontinuidades en el periodo
T;
2)tenga un valor medio finito en el periodo T;
3)incluya un número finito de máximos positivos y negativos en el periodo T.”
Cuando se cumplan esas condiciones de Dirichlet diremos que la serie de
Fourier que converge a dicha función existe:
IV.3.2.-DETERMINACIÓN DE LOS COEFICIENTES
Es obvio que, ya de por sí, las condiciones anteriores son interesantes, pero
sería imprescindible, no solamente saber que la serie converge, sino también saber
cual es exactamente esta serie, es decir, como calcular los coeficientes de la misma.
Afortunadamente, también esto puede hacerse de forma fácil, aunque no
entraremos aquí en su demostración.
Puede verse que los coeficientes de la serie de Fourier pueden obtenerse de la
siguiente forma:
-98-
( ) ( ) ( )a f t n t dt
T
f t
nt
dtn
T
= =





∫ ∫
w
p
w
p
w
p
w cos cos
0
2
0
2 2
(6)
( ) ( ) ( )b f t sen n t dt
T
f t sen
nt
dtn
T
= =





∫ ∫
w
p
w
p
w
p
w
0
2
0
2 2
(7)
( ) ( )a F n dn = ∫
1
0
2
p
y y y
p
cos (8)
( ) ( )b F sen n dn = ∫
1
0
2
p
y y y
p
(9)
Figura 1
Un método alternativo para realizar las integrales consiste en utilizar la variable
R=Tt, siendo el correspondiente periodo 2B:
donde F(R) = f(R/T). Las integrales pueden realizarse desde -T/2 a T/2, -B a +B o
sobre cualquier otro periodo completo que pueda simplificar los cálculos. La constante
a0 se obtiene de las ecuaciones anteriores, con n=0; sin embargo, como a0/2 es el valor
medio de la función, es frecuente que dicha constante pueda determinarse mediante
un análisis de la forma de onda.
La serie de Fourier con los coeficientes obtenidos de las integrales anteriores
converge de modo uniforme al valor de la función en todos los puntos donde la función
es continua, y converge al valor medio en los puntos en los que la función es
discontinua.
EJEMPLO. Determinar la serie de Fourier de la onda de la Fig. 1
La onda es periódica, con periodo 2B/T para t ó 2B para Tt. Es continua para
0<Tt<2B y de la forma f(t) = (10/2B)Tt, con discontinuidades para Tt=n2B , donde
n=0,1,2, .... Se verifican las condiciones de Dirichlet. El valor medio de la función,
analizando la forma de la onda, es 5 , por lo que a0/2 = 5. Para n>0 tendremos:
-99-
( ) ( )a t n t d tn =





 ⋅ =∫
1 10
20
2
p p
w w w
p
cos
( ) ( )( )= − =10
2
2 0 02 2p
p
n
ncos cos
( ) ( )= +




 =
10
2
1
2 2
0
2
p
w
w w
pt
n
sen n t
n
n tcos
( ) ( )b t sen n t d tn =





 ⋅ =∫
1 10
20
2
p p
w w w
p
( ) ( )= − +




 = −
10
2
1 10
2 2
0
2
p
w
w w
p
pt
n
n t
n
sen n t
n
cos
( ) ( ) ( ) ( )f t sen t sen t sen n t
nn
= − − − = −
=
∞
∑5
10 10
2
2 5
10
1p
w
p
w
p
w
�
Por tanto, la serie no contiene términos en coseno. Para los otros coeficientes:
Utilizando estos coeficientes de los términos en seno y el término del valor
medio, la serie es:
IV.3.3.-SIMETRÍA DE LAS FORMAS DE ONDA
La serie obtenida en el ejemplo anterior solamente contiene un término
constante, además de los términos en seno. Otras formas de onda sólo contendrán los
términos en coseno y, en ocasiones, solamente aparecen en la serie armónicos
antisimétricos, aunque las series contengan términos en seno, coseno o ambos
conjuntamente. Todo esto es el resultado de algunos tipos de simetría mostrados por
las ondas. El conocimiento de tales simetrías se traduce en una reducción de los
cálculos a la hora de determinar la serie de Fourier. Por este motivo son importantes
las siguientes definiciones:
1º)Una función f(x) se dice que es par si f(x) = f(-x).
La función f(x) = 2 + x2 + x4 es un ejemplo de una función par, ya que los valores
que toma la función para x y para -x son iguales. En general, todas las funciones
polinómicas que no contengan potencias impares constituirán una función par.
La función coseno es una función par, ya que puede expresarse mediente una
-100-
( )cos ! ! ! !x
x x x x
= − + − + −1
2 4 6 8
2 4 6 8
�
(16)
Figura 2
( )sen x x x x x x= − + − + −
3 5 7 9
3 5 7 9! ! ! ! �
(17)
suma de términos de potencias pares (desarrollo de Taylor):
La suma o el producto de dos o más funciones pares es una función par.La
suma de una constante a una función par no altera su naturaleza par (recuérdese que
el número cero se considera par).
En la siguiente figura se muestran algunos ejemplos de funciones pares de x,
las cuales son (obligatoriamente) simétricas respecto al eje vertical.
2º)Se dice que una función f(x) es impar si f(x) = -f(-x).
La función f(x) = x + x3 + x5 es un ejemplo de una función impar, ya que los
valores de la función para x y para -x son de signos contrarios. La función seno es una
función impar, ya que puede expresarse mediante una suma de términos con potencias
impares (obligatorio para una función impar):
La suma de dos o más funciones impares es una función impar, pero la suma
de una constante elimina la naturaleza impar de la función. El producto (o cociente) de
dos funciones impares es una función simétrica par. El producto (o cociente) de una
función par, por una función impar es otra función impar.
Las formas de onda de la siguiente figura representan funciones impares de x.
Son simétricas respecto al origen de coordenadas.
-101-
Figura 4
Figura 3
3º)Se dice que una función periódica f(x) es inversa de medio ciclo si f(x) = -f(x+T/2),
donde T es el período. En la siguiente figura se muestran dos ondas inversas de medio
ciclo.
Al establecer el tipo de simetría de una onda pueden obtenerse algunas
conclusiones. Si la forma de onda es par, los términos de sus series de Fourier son
términos en coseno, incluyendo una constante si el valor medio de la forma de onda
es distinto de cero. Por tanto, no es necesario realizar las integrales para obtener bn por
no estar presente ningún término en seno. La onda puede ser impar únicamente
después de restarle su valor medio, en cuyo caso, su serie de Fourier contendrá esa
constante y una serie de términos en seno. Si la onda es inversa de medio ciclo, en la
serie solamente aparecen los armónicos impares. Esta serie contendrá términos en
seno y en coseno, a menos que la función sea (a la vez) par o impar. En cualquier
caso, an y bn son cero para n=2, 4, 6, ..., para cualquier forma de onda inversa de
medio ciclo. Esta última sólo puede darse tras restar el valor medio.
Algunas formas de onda, según la ubicación del eje vertical, pueden ser pares
o impares. La onda cuadrada de la Fig. 5(a) reúne las condiciones de una función par,
es decir, f(x) = f(-x). Un desplazamiento del eje vertical a la posición mostrada en la Fig.
5(b) produce una función impar, es decir, f(-x) = -f(x). Si el eje vertical se coloca en un
punto distinto a los mostrados, la onda cuadrada no será ni par ni impar, por lo que si
serie contendrá términos en seno y en coseno. Así, en el análisis de una función
periódica el eje vertical deberá elegirse cuidadosamente para obtener una función par
-102-
Figura 5
Figura 6
o impar, siempre que la forma de onda lo permita.
La variación de la posición del eje horizontal puede simplificar la representación
de la serie de la función. Como ejemplo, la onda de la Fig. 6(a) no reúne los requisitos
de una función impar a menos que se le reste el valor medio, tal y como se muestra en
la Fig. 6(b). Por ello su serie contendrá únicamente un término constante y los
términos en seno.
IV.4.-ESPECTRO DE UNA ONDA
El diagrama donde se representan las amplitudes de cada uno de los armónicos
que constituyen una onda se denomina espectro de la onda. La amplitud de los
armónicos decrece (no necesariamente de forma monótona) rápidamente para ondas
con series que convergen rápidamente. Las ondas con discontinuidades, como el
diente de sierra o la onda cuadrada, tienen un espectro cuyas amplitudes decrecen
lentamente, ya que sus desarrollos en serie tienen armónicos de elevada amplitud. Los
armónicos décimos tendrán, a menudo, amplitudes de valor significativo comparados
con el fundamental. En contraste, los desarrollos en serie para ondas sin
discontinuidades, y con una apariencia generalmente suave, convergen rápidamente,
por lo que para generar la onda se requieren muy pocos términos del desarrollo en
serie. Tal convergencia rápida se hace evidente en el espectro de la onda, donde las
amplitudes de los armónicos decrece rápidamente, de forma que por encima del quinto
o del sexto son insignificantes.
El contenido en armónicos y el espectro de la onda son parte propia de la
naturaleza de dicha onda y nunca cambian, sea cual sea el método de análisis.
-103-
c a c a bn n n0 0
2 21
2
= = + ≥ y (n 1) (18)
Figura 7
( )f t a a t a t b sen t b sen t= + + + + + +1
2
2 20 1 2 1 2cos cosw w w w� � (19)
F a a a b brms =





 + + + + + + =
1
2
1
2
1
2
1
2
1
20
2
1
2
2
2
1
2
2
2
� �
(20)
= + + + +c c c c0
2
1
2
2
2
3
21
2
1
2
1
2
�
(21)
Modificar el origen da a los armónicos desarrollos trigonométricos una apariencia
completamente distinta, lo que también es aplicable a los desarrollos en serie. Sin
embargo, los mismos armónicos siempre aparecen en los desarrollos, y sus amplitudes
permanecen fijas.
Por último, comentar que cuando la función no es periódica, con lo que no se
puede obtener una serie trigonométrica a la que converja, ya comentamos que, en ese
caso, deberíamos (si se puede) utilizar no un desarrollo en serie sino la transformada
de Fourier. Esto conlleva que, en este caso, el espectro no está formado por una serie
de armónicos, esto es, un espectro discreto, sino que se tiene ahora un espectro
continuo, conteniendo todas las frecuencias reales (no solo las múltiplos entero de T).
IV.5.-VALOR EFICAZ Y POTENCIA
El valor eficaz (rms) de la función
es
-104-
( ) ( )v V V sen n t i I I sen n tn n n n= + + = + +∑ ∑0 0w f w y e (22)
V V V V I I I Irms rms= + + + = + + +0
2
1
2
2
2
0
2
1
2
2
21
2
1
2
1
2
1
2
� � e (23)
( )[ ] ( )[ ]p vi V V sen n t I I sen n tn n n n= = + + + +∑ ∑0 0w f w y (24)
( )[ ] ( )[ ]P T V V sen n t I I sen n t dtn n n n
T
= + + + +∑ ∑∫
1
0 00
w f w y (25)
P V I V I V I V I= + + + +0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3
1
2
1
2
1
2
cos cos cosq q q � (26)
Partiendo de un circuito lineal con una tensión aplicada periódica, debería
esperarse que la intensidad resultante contuviera los mismos términos armónicos que
la tensión, aunque con amplitudes de diferente magnitud relativa, ya que la impedancia
varía con nT. Es posible que algunos armónicos no aparezcan en la intensidad; por
ejemplo, en un circuito paralelo LC puro, una de las frecuencias de los armónicos
puede coincidir con la frecuencia de resonancia, haciendo que la impedancia para esa
frecuencia sea infinita. En general puede escribirse:
con los correspondientes valores eficaces:
La potencia media P se obtiene de la integración de la potencia instantánea, la
cual se obtiene del producto de v e i:
Como v e i tienen un período T, su producto debe tener un número entero de
períodos en T (recuérdese que para una onda seno simple de tensión aplicada, el
producto vi tiene un período mitad que el correspondiente a la onda de tensión). El
valor medio puede calcularse sobre un período de la onda de tensión:
El análisis de los posibles términos resultantes del producto de dos series
infinitas nuestra que dichos términos pueden ser de los siguientes tipos: el producto de
dos constantes, el producto de una constante y una función seno, el producto de dos
funciones seno de diferentes frecuencias, y funciones seno al cuadrado. Después de
la integración, el producto de dos constantes sigue siendo V0AI0 y las funciones seno al
cuadrado con los límites aplicados son (VnIn/2)cos(Nn - Rn); la integración en el período
T de todos los demás productos es cero. Por tanto, la potencia media es
donde 2n = Nn - Rn es el ángulo de la impedancia equivalente del circuito para la
frecuencia nT, y Vn e In son los valores máximos de sus funciones senoidales
respectivas (si esos valores individuales fueran eficaces, no aparecerías los términos
1/2).
En el caso especial de una tensión senoidal de una única frecuencia, V0 = V2 =
V3 = ... =0, y la anterior expresión se reduce a la ya conocida
-105-P V I V Ief ef= =
1
2 1 1 1
cos cosq q (27)
P V I vi= =0 0 (28)
P P P P P= + + + +0 1 2 3 � (29)
I
V
R
A0
0 100
5
20= = =
( ) ( )i VZ sen t sen t A1
1
1
1 448 634= − = −
,max , , º ( )w q w
( ) ( )i VZ sen t sen t A3
3
3
33 0823 3 8054= − = −
,max , , º ( )w q w
( ) ( )i sen t sen t= + − + −20 448 634 0823 3 8054, , º . , ºw w
I Aef = + + = =20
448
2
0823
2
4106 20252
2 2, ,
, , 
También, para una tensión DC, V1 = V2 = V3 = ... = 0, y la potencia pasa a ser
Por lo tanto, la expresión anterior encontrada es bastante general. Nótese que
en el segundo miembro no hay término que implique un producto de tensión e
intensidad de diferentes frecuencias. Por tanto, en lo que a potencia se refiere, cada
armónico actúa de forma independiente y
EJEMPLO. A un circuito RL serie, con R= 5S y L = 20mH se aplica la tensión v(t) =
100 + 50sen(Tt) + 25sen(3Tt) (v), con T = 500 rad/s. Determinar la intensidad cedida
por el generador, así como la potencia media suministrada.
Em primer lugar habrá que calcular la impedancia equivalente del circuito para
las distintas frecuencias de tensión, para luego obtener la intensidad correspondiente.
Para T = 0, Z0 = R = 5S, de donde:
Para T = 500rad/s, Z1 = 5 + j(500)(20A10-3) = 5 + j10 = 11,15|63,4º S y, así,
Para 3 T = 1500rad/s, Z3 = 5 + 30j = 30,4|80,45º S, e
La suma de los armónicos de intensidad es la respuesta total requerida; es una
serie de Fourier del tipo visto:
Esta intensidad tiene un valor eficaz de
la cual da una potencia en la resistencia de 5S de
-106-
P I Ref= = ⋅ =
2 4106 5 2053, W
VRef = + + = =100
1
2
224
1
2
411 10259 10132 2 2, , , V
P
V
R
f= = =Re
2 10259
5
2052 W
( )[ ]
( )
FF
Y
Y
T
y t dt
T
y t dt
ef
med
T
T
= =
∫
∫
1
1
2
0
0
(38)
Y a
c c c
ef = +





 +





 +





 +0
2 1
2
2
2
3
2
2 2 2
�
(39)
Como verificación se suma la potencia media total calculando primero la
potencia que suministra cada armónico y sumando los resultados:
Para T=0; P0 = V0I0 = 100A20 = 2000 W
Para T=500rad/s; P1 = (1/2)V1I1Acos21 = (1/2)A50A4,48Acos(63,4º) = 50,1 W
Para 3 T=1500rad/s; P3 = (1/2)V3I3Acos23 = (1/2)A25A0,823Acos(80,54º) = 1,69 W
Entonces: P = 2000 + 50,1 + 1,69 = 2052 W
Otro método sería encontrar el desarrollo en serie de Fourier para la tensión
entre los extremos de la resistencia:
vR = RAAAAi = 100 + 22,4sen(TTTTt-63,4º) + 4,11sen(3 TTTTt-80,54º) (V)
de donde
Entonces, la potencia suministrada por la fuente es
El llamado Factor de Forma, que se define como se indica a continuación
se utiliza para conocer el valor eficaz de una magnitud senoidal a partir del valor medio
de la misma en un semiperíodo. Hay instrumentos de medida que se basan en que el
desplazamiento de la aguja es proporcional al valor medido y, sin más que cambiar la
graduación de la escala (multiplicando por 1.11, que es el valor de FF para la onda
senoidal), se puede tener la lectura directa del valor eficaz de la magnitud.
Esto puede dar lugar a lecturas falsas, cuando la señal tiene alto contenido
armónico, ya que en este caso, la expresión del valor eficaz es
Cuando un instrumento de medida está preparado para medir el valor eficaz de
una onda utilizando esta última expresión, se dice que mide el verdadero valor eficaz
-107-
D
c c
c
Y
Y
n
n
n
=
+ +
= =
=∞
∑
2
2
3
2
1
2
2
1
� (40)
D
Y
Y
n
n
n
n
n
n
= =
=∞
=
=∞
∑
∑
2
2
2
1
(41)
IV.6.-FACTOR DE ARMÓNICOS. FACTOR DE ONDA FUNDAMENTAL
Cuando una onda no sinusoidal tiene muchos armónicos con valores eficaces
del orden del principal, se dice que está muy distorsionada, o que tiene gran
contenido de armónicos, y su forma estará muy alejada de la forma sinusoidal. Para
definir el grado de distorsión se utiliza el coeficiente de distorsión armónica (D),
definido por la expresión:
Para una onda sinusoidal pura, D es igual a cero, ya que c2 = c3 = ... = 0. Para
una onda con muchos armónicos el numerador representa el valor eficaz de todos los
armónicos excepto el del fundamental y, por tanto, el coeficiente de distorsión armónica
de una onda indica la proporción de armónicos de orden superior a uno respecto al
fundamental. Para valores de D < 0.05 (5%) la distorsión se puede considerar
despreciable y el primer armónico es suficiente como aproximación de la onda no
sinusoidal.
La anterior definición de coeficiente de distorsión armónica es la recomendada
por el CIGRE (Conferencia Internacional de Grandes Redes Eléctricas). Existe otra
definición dada por la CEI (Comisión Electrotécnica Internacional), en la que en el
denominador, en lugar de tomar el valor eficaz del primer armónico se toma el valor
eficaz de toda la onda:
(Nótese que en este caso 0 # D <1, mientras que para la definición anterior,
solamente se tiene D $ 0)
Salvo indicaciones en contra, nosotros utilizaremos la definición según la CIGRE
que corresponde a la relación entre la carga armónica y la corriente no deformada a
frecuencia industrial.
El factor o tasa individual da una medida de la importancia de cada armónico
en relación a la fundamental. La tasa individual es la relación entre el valor eficaz de
la amplitud del armónico de rango n y el de la fundamental. Suele darse en %, y el
espectro suele darse en relación a estos valores relativos.
-108-
n
f
f
n=
1
(42)
Se define el orden o rango del armónico como la relación que hay entre su
frecuencia fn y la frecuencia de la fundamental (generalmente la industrial, 50 ó 60Hz):
Por principio, la fundamental f1 tiene rango 1.
IV.7.-ARMÓNICOS EN LAS REDES ELÉCTRICAS
La energía eléctrica se distribuye generalmente en forma de tres tensiones que
constituyen un sistema trifásico sinusoidal. Uno de los parámetros del sistema es la
forma de onda, que debe ser lo más parecida posible a una sinusoide.
Es necesario corregir esta forma de onda, si ésta sobrepasa ciertos límites, que
a menudo podemos encontrar en las redes que contienen fuentes de corrientes y de
tensiones armónicas tales como hornos de arco, convertidores estáticos de potencia,
alumbrado, ...
IV.7.1.-ORIGEN DE LOS ARMÓNICOS
Diremos que una carga es lineal cuando si es excitada por una tensión
senoidal, la corriente que circula por ella también es senoidal de la misma frecuencia
(aunque puede variar su amplitud o fase). Así, las cargas típicas (R, L y C) se
comportan de forma lineal. Obviamente, una carga es no lineal si no cumple lo
anterior. De acuerdo con eso, las cargas no lineales son las responsables de la
aparición de armónicos.
Los generadores de magnitudes eléctricas armónicas o fuentes perturbadoras,
en el ámbito industrial son los convertidores estáticos, los hornos de arco, el
alumbrado, las inductancias saturables y otras tales como las ranuras de las máquinas
rotativas (armónicos a menudo despreciables).
Los puentes rectificadores y en general los convertidores estáticos (diodos
y tiristores) son generadores de corrientes armónicas.
Las componentes armónicas características de las crestas de la corriente de
alimentación de los rectificadores tienen rango n (son de orden n), con n = (kAp)±1,
donde k = 1, 2, 3, 4, 5, ... y p = nº de ramas del rectificador (por ejemplo, p=6 para el
puente de Graetz o puente hexafásico), de este modo, para los rectificadores citados,
los armónicos presentes serán de orden 5, 7, 13, 17, 19, 23, 25 con p=6, y de orden
11, 13, 23, 25 con p=12.
Es fácil constatar que los armónicos I5 e I7 tienen amplitudes bastante grandes,
y que pueden suprimirse utilizando un puente dodecafásico (p=12).
-109-
En la práctica los espectros de corriente son sensiblemente diferentes. Se
producen nuevas componentes armónicas pares e impares denominadas no
características, de débil amplitud, y las amplitudes de los armónicos característicos se
ven modificadas por múltiples factores tales como: disimetría de construcción,
imprecisión de constante de apertura de los tiristores, tiempo de conmutación, filtraje
imperfecto, ...
Se puede observar, en el caso de puentes de tiristores, un desfase delos
armónicos en función del ángulo de retardo del cebado.
Los puentes mixtos diodos-tiristores son generadores de armónicos de orden
par. Su empleo se limita a pequeñas potencias ya que el armónico de orden 2 es muy
molesto y difícil de eliminar.
Los otros convertidores de potencia (reguladores, cicloconvertidores, ...) Tienen
espectros variables y más ricos en armónicos que los rectificadores. Notar que (cada
vez más) poco a poco son reemplazados por los convertidores de técnica PWM (Power
Wave Modulation) que trabajan con una frecuencia de corte de 20 a 50KHz., son
normalmente concebidos para generar un débil nivel de armónicos.
El horno de arco utilizado en siderurgia puede ser de corriente alterna o de
corriente continua. El de alterna es no lineal, asimétrico e inestable. Induce espectros
que contienen bandas impares, pares y una componente continua (ruidos de fondo a
frecuencias cualesquiera). El nivel espectral es función del tipo de horno, de su
potencia, del período de funcionamiento considerado: fusión, afinado, ... Solamente las
medidas pueden determinar el espectro de manera precisa.
En cuanto al de corriente continua, el arco se alimenta en este caso por medio
de un rectificador y es más estable que el de alterna. La corriente absorbida se
descompone en un espectro parecido al de un rectificador más un espectro continuo
de nivel inferior al de un horno de corriente alterna.
El alumbrado por lámparas de descarga y tubos fluorescentes es generador de
corrientes armónicas. Un factor individual del 25% del tercer armónico puede ser
elevado en algún caso, por lo que se ha de prestar una atención particular a la
determinación de la sección y de la protección del conductor neutro que transporta la
suma de las corrientes armónicas de las tres fases, con riesgo de calentamiento
elevado.
Las inductancias saturables tienen su impedancia en función de la amplitud
de la corriente que por ellas circula, y de hecho, ellas provocan deformaciones notables
de esta corriente. Este es el caso, en cierta medida, de los transformadores, en vacío,
sometidos a una sobretensión permanente.
Las máquinas rotativas dan armónicos de ranura de rango elevado y de
amplitudes a menudo despreciables.. Las pequeñas máquinas síncronas son, sin
embargo, generadoras de tensiones armónicas de 3er orden que pueden tener una
incidencia sobre:
-el calentamiento permanente (bajo defecto) de las resistencias de puesta a
tierra del neutro de los alternadores;
-110-
-el funcionamiento de los relés amperimétricos de protección contra los defectos
de aislamiento.
IV.7.2.-EFECTOS PRODUCIDOS POR LOS ARMÓNICOS
Podemos clasificar los armónicos de la siguiente forma:
Nombre Fundamental 2º 3º 4º 5º 6º 7º
Frecuencia 50 100 150 200 250 300 350 (Hz)
Secuencia + - 0 + - 0 +
Normalmente, las ondas que circulan por la red tienen las mismas componentes
positivas que negativas, con lo cual no suelen aparecer armónicos de orden par
(incluyendo el de orden 0 o componente DC), así, lo habitual es encontrarse con
Nombre F 3º 5º 7º 9º 11º 13º
Frecuencia 50 150 250 350 450 550 650
Secuencia + 0 - + 0 - +
La secuencia indica el sentido de rotación de su vector corriente (fasor). Indica
el sentido en que giraría el rotor de un motor, al ser excitado por esa seña. Secuencia
directa (+) indica que el sentido de giro es el horario. Secuencia inversa (-) indica un
sentido de giro antihorario). Secuencia homopolar (0) indica que no gira. Esos
armónicos (llamados normalmente triplens) se suman al neutro de la red (si ésta es
de 4 hilos) y son los causantes de sobrecalentamientos que pueden llegar a producir
seros problemas en la red.
Los armónicos de secuencia negativa son peligrosos porque pueden quemar los
motores de inducción trifásicos (ya que unas componentes tienden a que el motor gire
en sentido horario y éstos tienden a hacerlo girar en el otro sentido).
Dado que la amplitud de los armónicos suele decrecer bastante con el orden,
está claro que (salvo el problema de los motores que acabamos de comentar) el más
importante es el tercero (triplens).
Las tensiones y corrientes armónicas superpuestas a la onda fundamental
conjugan sus efectos sobre los aparatos y equipos utilizados.
Las magnitudes armónicas provocan diferentes efectos según los receptores
encontrados:
-bien sean efectos instantáneos,
-bien sean efectos a largo plazo debido a los calentamientos.
EFECTOS INSTANTÁNEOS:
Para los sistemas electrónicos, las tensiones armónicas pueden perturbar los
dispositivos de regulación. Ellas pueden influenciar las condiciones de conmutación de
los tiristores cuando desplazan el paso de cero de la tensión.
-111-
Los contadores de energía a inducción presentan algunos errores
suplementarios en presencia de armónicos.
Los receptores de telemando centralizados a una frecuencia musical utilizada
por los distribuidores de energía pueden ser perturbados por las tensiones armónicas
de frecuencia próxima a la utilizada por el sistema.
Según los esfuerzos electrodinámicos, proporcionales a las corrientes
instantáneas en presencia, las corrientes armónicas generarán vibraciones y ruidos
acústicos, sobretodo en aparatos electromagnéticos (transformadores, inductancias,
...). Los pares mecánicos pulsatorios, debidos a los campos giratorios armónicos, darán
lugar a las vibraciones en las máquinas rotativas.
También se producen perturbaciones sobre las líneas de corrientes débiles
(teléfono, telemando) cuando éstas transcurren a lo largo de una canalización de
distribución eléctrica con corrientes y tensiones deformadas.
EFECTOS RETARDADOS:
Excepto la fatiga mecánica de los materiales debida a las vibraciones, el efecto
a largo plazo es el calentamiento, que puede darse en diversas situaciones:
a)Calentamiento de los condensadores. Las pérdidas, causas de los calentamientos,
son debidas a dos fenómenos: conducción e histéresis en el dieléctrico. Ellas son, en
una primera aproximación, proporcionales al cuadrado de la tensión aplicada, y a la
frecuencia para la histéresis.
Los condensadores son pues sensibles a las sobrecargas, bien sean debidas
a una tensión fundamental demasiado elevada o a la presencia de las tensiones
armónicas. Estos calentamientos pueden conducir a la perforación del dieléctrico.
b)Calentamiento debido a las pérdidas suplementarias de las máquinas y los
transformadores.
Se tienen pérdidas suplementarias en las máquinas, en su estátor y
principalmente en sus circuitos rotóricos (jaulas, amortiguadores, circuitos magnéticos).
También se tienen pérdidas suplementarias en los transformadores, debido al
efecto corona (aumento de la resistencia del cobre con la frecuencia), a la histéresis
y a las corrientes de Foucault (en el circuito magnético).
c)Calentamiento de los cables y de los equipos. Las pérdidas de los cables
atravesados por las corrientes armónicas son superiores, por lo que se produce un
aumento de la temperatura. Entre las causas de pérdidas suplementarias se pueden
citar:
-El aumento de la resistencia aparente del alma del cable con la frecuencia,
fenómeno debido al efecto corona.
-El aumento de las pérdidas dieléctricas en el aislante con la frecuencia.
-Los fenómenos de proximidad, pantallas metálicas puestas a tierra por ambos
extremos.
De una forma general, todos los equipos (cuadros eléctricos) sometidos a
tensiones o atravesador por corrientes armónicas, tienen pérdidas acentuadas y
deberán ser objeto de una eventual desclasificación.
-112-
Hay que tener especial precaución con el neutro (para una instalación típica de
4 hilos). Como sabemos, en un sistema trifásico equilibrado, la suma de corrientes se
anula, por lo que por el neutro no debería circular corriente alguna. Si por la red
trifásica, aun estando equilibrada, circulan armónicos debidos a cargas no lineales (por
ejemplo, un edificio de oficinas con muchos ordenadores o máquinas electrónicas -
incluyendo aquí reguladores de luminosidad -), la frecuencia fundamental no circulará
por el neutro, pero la frecuencia correspondienteal tercer armónico (150Hz)
correspondiente al llamado triplens principal, al ser de secuencia cero, no se cancela
con las contribuciones de las tres fases, sino que se suman, llegando, en ocasiones,
a alcanzarse corrientes de hasta el 130% de la que circula por cualquiera de las fases.
Esto hace que el neutro (que normalmente suele estar subdimensionado, debido a que,
teóricamente no debería circular por él corriente alguna) pueda sobrecalentarse
gravemente. Esto se ve agravado porque el neutro no suele tener limitador de
intensidad (por diversas causas, que no vienen al caso), por lo que este aumento de
corriente puede pasar fácilmente inadvertido y llegar a producir graves problemas. Una
forma simple de observar si este efecto se produce (una vez observado, con un
medidor de verdadero valor eficaz, que por el neutro circula una corriente eficaz
elevada) es medir la frecuencia de la señal que por él circula. Si este valor es de
150Hz, queda claro que son los triplens los causantes de este defecto. Este hecho
también puede provocar caídas de tensión entre el neutro y tierra superiores a las
habituales (por encima de 2 voltios).
Otro problema que se presenta con la anterior causa es que, normalmente,
suele tenerse un transformador triángulo/estrella que “alimenta” a la instalación.
Cuando estos triplens llegan a través del neutro al secundario del transformador, éstos
se reflejan sobre el devanado triángulo del primario, pudiendo provocar un
sobrecalentamiento que puede llevar a la destrucción del transformador.
Otra consideración a tener en cuenta ocurre cuando la instalación tiene (cosa
bastante habitual) alguna batería de condensadores, para la corrección del factor de
potencia. En este caso, y dado el carácter inductivo que suele tener toda red, si existen
armónicos en ella, éstos pueden ser potenciados si se alcanza la situación de
resonancia paralela, que consiste en que la frecuencia de resonancia del circuito LC
equivalente de la red resuene a alguna frecuencia próxima a la de algún armónico
existente, lo cual puede ser muy peligroso (se pueden producir picos de
sobreintensidad para esos armónicos, ya que la situación de resonancia hace que la
red presente una impedancia muy baja para esa frecuencia determinada).
IV.7.3.-FILTRADO DE ARMÓNICOS
Habrá que realizar alguna actuación sobre la red cuando el nivel de armónicos
en la misma supere unos determinados rangos.
VALORES INDICATIVOS:
-Máquina síncrona: distorsión de corriente estatórica admisible: 1,3 a 1,4%
-Máquina asíncrona: distorsión en corriente estatórica admisible: 1,5 a 3,5%
-113-
Rango del
 armónico
Valor base
 (%)
Valor alto
 (%)
2 1 1,5
3 1,5 2,5
4 0,5 1
5 5 6
6 0,2 0,5
7 4 5
8 <0,2
9 0,8 1,5
10 <0,2
11 2,5 3,5
12 <0,2
13 2 3
14 <0,2
15 <0,3
16 <0,2
17 1 2
18 <0,2
19 0,8 1,5
20 <0,2
21 <0,2
22 <0,2
23 0,5 1
-Cables: distorsión en tensión conductor-pantalla: 10%
-Condensadores de potencia: distorsión en corriente: 83%, que provoca una
sobrecarga del 30% (1,3AInominal). Entonces la sobrecarga en tensión puede
alcanzar el 10%.
-Electrónica sensible: distorsión de tensión 5%, factor individual 3%, según el
material.
Límites utilizados para las redes de distribución.
Se estima que la distorsión
de tensión no sobrepasará un 5%
el nivel en bornes del consumo si,
cada cliente considerado él solo,
no produce:
-una distorsión en tensión superior
a 1,6%
-un factor individual superior a 
*0,6% para las tensiones
armónicas de orden par
*1% para las tensiones
armónicas de orden impar.
Los valores individuales de
tensión habitualmente medidos en
redes de distribución de alta
tensión se presentan en la tabla
adjunta.
Límites utilizados para las redes
industriales.
Se admite que una red
industrial que no contenga material
electrónico sensible, tal como
reguladores, autómatas, etc.
admite una distorsión en tensión
del 5%. Los valores admisibles de
distorsión y el factor individual de
tensiones armónicas pueden ser
limitados por las exigencias de los
materiales sensibles.
-114-
THDF =
⋅2 I
I
eficaz
cresta
(43)
Cuando la situación lo requiera (dada la complejidad de la corrección de
armónicos, este estudio debe realizarlo siempre personal cualificado ya que, como
hemos comentado anteriormente, la resonancia paralelo que puede aparecer, puede
tener consecuencias nefastas sobre la red) deberá actuarse para evitar problemas
debidos a los armónicos. Estas actuaciones pueden ser de dos tipos:
a)Pasiva, en la cual no se procede a eliminar las causas (esto es, los armónicos) sino
a adecuar los conductores, cuadros y transformadores, de forma que la presencia de
los armónicos no produzca ninguna alteración en el correcto funcionamiento de éstos.
En este sentido va la llamada desclasificación de los transformadores. A título de
ejemplo, vamos a ver una de las actuaciones que entrar dentro de este caso, aplicada
solamente a una instalación que solamente posee cargas monofásicas (ejemplo de un
edificio de oficinas).
Se trata de obtener el llamada factor de desclasificación del transformador
(THDF) (Transformer Harmonic Derating Factor); cantidad que está entre 0 y 1 (un
valor THDF=1 indica no presencia de armónicos) y que se define de la forma:
Esas intensidades se obtienen de medidas realizadas con aparatos de
verdadero valor eficaz, a plena carga (valor medio de las tres fases).
La potencia efectiva del transformador deberá ser la obtenida de multiplicar la
que viene en su placa de características por este factor de desclasificación (que
siempre será inferior). Con ello se impedirá el que dicho transformador pueda tener
problemas de sobrecalentamiento (obviamente, respetando, en el diseño, este nuevo
valor de su potencia en KVA).
En cuanto a los conductores, deberá repetirse el cálculo de su sección
adecuada, teniendo en cuenta estos valores eficaces verdaderos y, sobretodo,
teniendo en cuenta este efecto sobre el conductor neutro.
También habrá que sobredimensionar los cuadros o utilizar los expresamente
construidos para redes con armónicos.
b)Activa. En este caso sí que se actuará sobre la red (principalmente sobre los
dispositivos) para disminuir la presencia de armónicos en la misma, lo que se realizará
introduciendo en la red dos tipos de montajes:
-Inductancia antiarmónica (resonancia serie fuera de las rayas del espectro).
-Filtro (resonancia serie sobre una raya del espectro).
Vamos a comentar brevemente cada una de estas posibilidades.
La inductancia antiarmónica permite proteger una batería de condensadores
contra sobrecargas armónicas. No elimina los armónicos de la red, pero sí que circulen
por la batería de condensadores. No vamos a entrar en su descripción, solamente
indicaremos que:
-suprime el riesgo de fuertes corrientes armónicas en los condensadores,
-suprime correlativamente las fuertes distorsiones de tensión en la red, sin
-115-
f
L Cr
=
⋅
1
2p
(44)
llevar, de todas maneras, los niveles a un valor bajo especificado.
Sin embargo hay que tomar precauciones:
-no puede haber otras baterías de condensadores que puedan dar por
antiresonancia, un carácter capacitivo a la red, inicial en la gama de frecuencias
del espectro armónico,
-se ha de vigilar no colocar la antiresonancia a una frecuencia próxima a la de
telemando del distribuidor (compañía eléctrica).
-a causa del espectro continuo, la inductancia antiarmónica no se puede utilizar
en el caso de hornos de arco más que en casos particulares y con ciertas
precauciones.
La limitación de las tensiones armónicas de la red a valores bajos específicos
se consigue con el empleo de filtros. Existen dos clases de filtros que permiten reducir
las tensiones armónicas:
-el shunt resonante,
-los filtros amortiguadores.
El shunt resonante está constituido por una rama L-C (figura 8a) cuya
frecuencia de resonancia debe ser:
y cuyo valor debe ser superior al de la frecuencia de la tensión armónica que se desea
eliminar. Esta finalidad difiere fundamentalmente de la de la inductancia antiarmónica.
El shunt resonante presenta a lafrecuencia fr una impedancia mínima que se reduce
al valor de la resistencia r de la inductancia. Deriva hacia él casi la totalidad de las
corrientes armónicas de frecuencia fr inyectadas, con un nivel de tensión armónica de
frecuencia fr débil y proporcional al producto de la resistencia r por la corriente que
circula por el shunt.
En principio, hay tantos shunts resonantes como armónicos a tratar, conectados
en el juego de barras donde se especifica la tensión armónica admisible. El conjunto
constituye una batería.
Los filtros amortiguadores típicos son de segundo orden, y se suelen usar con
hornos de arco y cuando no se desea una batería de shunts resonantes (por cuestión
meramente económica) sino mejor la utilización de un filtro de amplio espectro que
posea las siguientes propiedades:
-amortiguar las antirresonancias,
-reducir las tensiones armónicas de frecuencias iguales o superiores a la de
sintonía cuya función genera el nombre de “filtro amortiguador pasa salto”,
-amortiguar rápidamente el régimen transitorio debido a la puesta en tensión del
filtro.
El filtro amortiguador de segundo orden está constituido por un shunt resonante
sobre el que se conecta, en bornes de la inductancia, una resistencia de amortiguación
-116-
Figura 8
f
L C
=
⋅
1
2p
(45)
( )
f
Q q
q Q L C
r =
+ ⋅
⋅ − ⋅
1
2 12p
(46)
X
L
C0
= (47)
q
X
r
= 0 (48)
Q
X
R
= 0 (49)
que llamaremos R (figura 8b).
El filtro amortiguador de segundo orden presenta una reactancia nula ante la
frecuencia fr, mayor que la frecuencia f con
y
siendo la impedancia característica:
el factor de calidad de la inductancia:
y el factor de calidad del filtro:
(r es la resistencia de la inducción L).
-117-
Existen otros filtros amortiguadores más raramente utilizados y derivados del
filtro de segundo orden, como son el filtro amortiguador de tercer orden (se utiliza en
casos de potencias de compensación elevadas), el filtro amortiguador tipo C que tiene
unas pérdidas semejantes a las del de tercer orden, el filtro db amortiguador (formado
por dos shunts resonantes conectados por una resistencia R) y el shunt resonante de
baja q (que se comporta como un filtro amortiguador de banda alta).
Todos estos filtros y shunts deben protegerse contra los defectos de aislamiento
(mediante relé amperimétrico diferencial residual) y contra cortocircuitos (por relé
amperimétrico de máxima corriente).
	IV.1.-INTRODUCCIÓN
	IV.2.-FORMA TRIGONOMÉTRICA DE LA SERIE DE FOURIER
	IV.3.-DESARROLLO EN SERIE DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN
	IV.3.1.-CONDICIONES DE CONVERGENCIA
	IV.3.2.-DETERMINACIÓN DE LOS COEFICIENTES
	IV.3.3.-SIMETRÍA DE LAS FORMAS DE ONDA
	IV.4.-ESPECTRO DE UNA ONDA
	IV.5.-VALOR EFICAZ Y POTENCIA
	IV.6.-FACTORDEARMÓNICOS. FACTORDEONDAFUNDAMENTAL
	IV.7.-ARMÓNICOS EN LAS REDES ELÉCTRICAS
	IV.7.1.-ORIGEN DE LOS ARMÓNICOS
	IV.7.2.-EFECTOS PRODUCIDOS POR LOS ARMÓNICOS
	IV.7.3.-FILTRADO DE ARMÓNICOS