Notas de Álgebra Superior II - A Lascurain - Kendra Martinez

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Álgebra superior II
Antonio Lascurain Orive
ii
Índice general
1. Divisibilidad 1
1.1. Definiciones y propiedades elementales . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. El algoritmo de la división . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. El máximo común divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4. Algoritmo de Euclides, Ecuaciones diofantinas . . . . . . . . . 13
1.4.1. Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.2. Ecuaciones Diofantinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5. Factorización única . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6. Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.7. Los campos Zp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2. El campo de los números reales 33
2.1. Los números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2. Los números reales, orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3. Cotas y fronteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4. Suma y producto en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5. Racionales y reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.6. Raices n-ésimas, exponentes fraccionarios . . . . . . . . . . . . 62
2.6.1. Raices n-ésimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.6.2. Exponentes fraccionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.7. Valor absoluto, aproximación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3. El campo de los números complejos 71
3.1. Módulo, argumento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1.1. Módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1.2. Argumento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2. Los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3. Propiedades de las operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.4. Ráız cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.5. Ráıces n-ésimas de números complejos . . . . . . . . . . . . . 97
iii
iv ÍNDICE GENERAL
4. Polinomios 103
4.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2. Polinomios como funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3. Suma y producto de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.4. División con residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.5. Teorema del residuo, ráıces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.6. Ecuaciones de 2o grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.7. División sintética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.8. Ráıces aisladas de polinomios reales . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.9. Factorización de polinomios, ráıces múltiples . . . . . . . . . . 128
4.10. Derivadas y multiplicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.11. Coeficientes, ráıces y polinomios simétricos . . . . . . . . . . . 135
4.12. Polinomios con coeficientes reales . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.13. El algoritmo de Euclides con polinomios . . . . . . . . . . . . 140
4.14. Método de Sturm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.15. Fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.16. Polinomios reales de grado 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.17. Polinomios reales de grado 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Bibliograf́ıa 169
Índice anaĺıtico 170
Caṕıtulo 1
Divisibilidad
1.1. Definiciones y propiedades elementales
Dados m y n enteros su cociente
m
n
no es necesariamente un entero, por ejemplo 5/7, 4/3. En algunos casos śı 6/2,
25/5.
Definición 1. Dados m,n ∈ Z n 6= 0, se dice que n divide a m, si m/n ∈ Z.
Esta propiedad se puede expresar de otras maneras
i) n es un divisor de m,
ii) n es un factor de m,
iii) m es un múltiplo de n,
iv) m es divisible entre n.
Se denota esta propiedad por n | m, por ejemplo 3 | 12, 7 | 49. En caso
contrario se escribe n - m. La Definición 1 se puede reformular sin hacer
referencia a cocientes.
Definición 2. Sean m,n ∈ Z se dice que n divide a m, si existe q ∈ Z tal
que m = bn.
Obsérvese que todo entero es divisor del cero. También, si n 6= 0, ambas
definiciones son equivalentes ya que si n es divisor conforme a la primera
definición se tiene m/n = q ∈ Z y m = nq, y viceversa, si n cumple la
1
2 CAPÍTULO 1. DIVISIBILIDAD
segunda definición m = qn y como n 6= 0 se puede despejar. De cualquier
manera, como no se han introducido a la discusión los racionales, la Definición
2 es la adecuada. Además, incluye el caso n = 0. Nótese que el cero sólo es
factor del 0.
La propiedad de ser divisor es reflexiva, ya que como m = m · 1 ∀ m ∈ Z
m | m.
También es transitiva: dados m,n, p ∈ Z tales que n | m y m | p, se
tiene
n | p.
Esto se sigue, ya que al existir q, r ∈ Z tales que m = nq y p = mr, se tiene
p = nqr y n | p.
Las unidades de Z, 1 y −1, no alteran la divisibilidad.
Proposición 1.1.1. Sean m,n ∈ Z y u, u′ unidades (i.e., u, u′ = ±1).
Entonces n | m ⇐⇒ un | u′m.
Demostración. ⇒) Si m = nq, q ∈ Z, como existe u1 ∈ Z (u1 = ±1) tal
que uu1 = 1, se tiene
m = unu1q,
esto es, un | m y un | u′m (por transitividad).
⇐) Si u′m = kun, k ∈ Z, tomando u′′u′ = 1 se sigue
m = u′′kun.
Este resultado nos dice que al considerar la divisibilidad los signos no son
relevantes (por lo que se puede estudiar ésta solamente tomando números
naturales y el 0).
Corolario 1.1.2. Sean m,n ∈ Z, entonces n | m ⇐⇒ |n| | |m|.
Como |m| = um y |n| = u′n, u, u′ = ±1, este es simplemente un caso
particular de la Proposición 1.1.1.
La divisibilidad ciertamente no es simétrica, sin embargo si n | m y m | n,
entonces m = nu, donde u es una unidad. Esto se sigue ya que las hipótesis
implican m = nk, n = tm, k, t ∈ Z. Por lo cual m = tkm y tk = 1, i.e.,
k es una unidad. Si m = 0, entonces también n = 0 y 0 = 1 · 0. Exhibimos
ahora una propiedad que relaciona el orden con la divisibilidad.
1.1. DEFINICIONES Y PROPIEDADES ELEMENTALES 3
Proposición 1.1.3. Sean m,n ∈ Z− {0}, tales que n | m, entonces
|n| 6 |m|.
Demostración. Usamos el hecho de que el orden es compatible con el
producto, véase, por ejemplo, [4], Proposición 6.4.3. Se sigue del Corolario
1.1.2 que |m| = |n|q. Obsérvese que q > 1. De otra manera, si q 6 0, se
tendŕıa |m| = |n|q 6 |n| · 0 = 0, lo que contradice m 6= 0.
Finalmente, si q = 1, |m| = |n| y si q > 1 se tiene
|m| = |n|q > |n|.
El siguiente resultado muestra la relación de la suma y el producto con
la divisibilidad.
Proposición 1.1.4. Sean m,n, p ∈ Z,
(i) si n | m y n | p, entonces n | m+ p,
(ii) si n | m y p ∈ Z, entonces n | mp.
Demostración.
(i) Como m = nk y p = nt,
m+ p = nk + nt = n(k + t).
(ii) Si m = nk, mp = npk.
Corolario 1.1.5. Sean m,n, p ∈ Z, tales que n | m y n | p, entonces
n | mk + pt ∀ k, t ∈ Z.
Definición 3. Dados m, p ∈ Z, a los números de la forma mk+ pt, k, t ∈ Z
se les llama combinaciones lineales de m y p.
El Corolario 1.1.5 se puede afinar aún más.
Corolario 1.1.6. Un entero n es divisor de los enteros m y p (divisor común)
si y sólo si n divide a cualquier combinación lineal de m y p.
4 CAPÍTULO 1. DIVISIBILIDAD
Demostración. La necesidad es el corolario anterior. La suficiencia se sigue
ya que
n | m · 0 + p · 1 y n | m · 1 + p · 0.
Nótese que dados dos enteros, no cualquier otro entero es combinación
lineal de ellos, por ejemplo, 8 no es combinación lineal de 10 y de 25, ya que
como 5 | 10 y 5 | 25, se tendŕıa 5 | 8, por el Corolario 1.1.5. También 17 no
es combinación lineal de 15 y 24.
En general, si t = km+ sp, y d es divisor común de m y p, necesaria-
mente d | t (Corolario 1.1.5). Probaremos posteriormente que esta condición
también es suficiente, para que t sea combinación lineal de m y p.
Definición 4. Dados enteros m1,m2, . . . ,mk, a los enteros de la forma
c1m1 + c2m2 + · · ·+ cnmk, ci ∈ Z, ∀ i ∈ {1, 2, . . . , k}
se les llama combinaciones lineales de m1,m2, . . . ,mk.
Obsérvese que ∀ i mi es combinación lineal dem1,m2, . . . ,mk.
EJERCICIOS 1.1
1. Exhiba cinco enteros que no sean combinación lineal de 6 y 10.
1.2. El algoritmo de la división
Dados 2 enteros, no siempre uno es factor del otro. Sin embargo, como en la
primaria, se puede dividir obteniendo un cociente y un residuo.
Teorema 1.2.1 (Algoritmo de la división). Sean a, b ∈ Z, b 6= 0, entonces
existen q, r únicos tales que
a = bq + r, donde 0 6 r < |b|.
Al número r se le llama el residuo, y a q el cociente.
Demostración. Probamos primero la unicidad:
Si
a = bq + r 0 6 r < |b|,
y
a = bq′ + r′ 0 6 r′ < |b|,
1.2. EL ALGORITMO DE LA DIVISIÓN 5
se tiene
b(q − q′) = r′ − r
y
|b||q − q′| = |r − r′|.
Si r = r′ se tiene q = q′ y se sigue el resultado (|b| 6= 0), de otra manera se
sigue de la Proposición 1.1.3 que
|b| 6 |r′ − r|.
Sin embargo
|r′ − r| < |b|,
ya que por ejemplo, si
r′ > r,
se tiene
0 6 r′ − r < r′ < |b|,
el otro caso es análogo.
Para probar la existencia se consideran casos:
Caso 1: a, b > 0.
Sea W = {a− bk | k ∈ Z, a− bk > 0},
como a = a− b · 0 ∈ W, W 6= ∅.
Se afirma que r el menor elemento de W es el residuo buscado (el menor
elemento existe por el principio del buen orden, r puede también ser 0).
Como r = a− bq > 0
a = bq + r (r > 0),
por lo que basta probar que r < b. Esto se sigue, ya que si r > b, r − b es
un elemento menor a r que está en W, ya que
r − b = a− bq − b = a− b(q + 1).
Caso 2: a > 0, b < 0.
Aplicando el Caso 1 a a y −b, se tiene
a = (−b)q + r, 0 6 r 6 | − b|,
es decir
a = b(−q) + r, 0 6 r 6 |b|.
6 CAPÍTULO 1. DIVISIBILIDAD
Caso 3: a < 0, b < 0.
El truco del Caso 2 no es suficiente, ya que
−a = (−b)q + r =⇒ a = bq − r, pero− r 6 0.
Sin embargo, podemos escribir
a = bq + b− r − b = b(q + 1) + (−b− r),
y como
0 6 r 6 |b| = −b,
se tiene
0 6 −b− r 6 −b = |b|
y
−b− r es el residuo buscado.
Caso 4: a < 0, b > 0.
La prueba de este caso queda como ejercicio para el lector.
Ejemplos
a = 483, b = 25 :
483 = 25 · 19 + 8
q = 19 r = 8.
a = 483 y b = −25 :
483 = (−25)(−19) + 8.
a = −483 y b = 25 :
se tiene (del 1er ejemplo)
−483 = 25(−19)− 8 = 25(−19)− 25 + 25− 8
= 25(−20) + 17 y
q = −20 r = 17.
a = −483 y b = −25 :
−483 = (−25)(19)− 8 + 25− 25
1.3. EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR 7
= (−25)(20) + 17,
y se tiene
q = 20 y r = 17.
Aparentemente el algoritmo de la división es el método para encontrar los
divisores de un número. Probaremos posteriormente que hay métodos más
eficaces (descomposición en primos).
EJERCICIOS 1.2
1. Termine la prueba del Teorema 1.2.1.
1.3. El máximo común divisor
Definición 5. Dados a, b ∈ Z distintos, el máximo común divisor de a y b
es el mayor entero que es divisor de ambos números. Este número se denota
por (a, b).
Obsérvese que (a, b) > 1, ya que y 1 es factor de todo entero, incluido el
cero.
Ejemplo Los divisores comunes de 120 y 36 son
±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12,
por lo que
(36, 120) = 12.
En la discusión del MCD (máximo común divisor) podemos restringirnos
a números positivos ya que como se mostró antes, los signos no alteran la
divisibilidad (y el caso a = 0 o b = 0 es trivial).
Se mostró que si t es combinación lineal de a y b y d es un divisor común de
a y b, entonces d | t. Mostramos ahora que esta última hipótesis es suficiente
para que t sea combinación lineal.
Lema 1.3.1. La combinación lineal positiva mı́nima de a y b es un divisor
común de a y b.
Demostración. Sea d la combinación lineal positiva mı́nima de a y b en-
tonces existen s, t ∈ Z tales que
d = as+ bt.
8 CAPÍTULO 1. DIVISIBILIDAD
Aplicando el algoritmo de la división a a y a d, se tiene
a = dq + r 0 6 r < d.
Necesariamente r=0 , de otra forma (sustituyendo)
a = (as+ bt)q + r y a(1− s)− btq = r,
contradiciendo que d es la combinación lineal mı́nima.
∴ d | a, análogamente d | b.
Teorema 1.3.2. El MCD de a y b es la combinación lineal positiva mı́nima.
Demostración. Sea d = (a, b) y m la combinación lineal positiva mı́nima.
Se sigue del Lema 1.3.1 que m | a y que m | b por lo que m 6 d
(d es el mayor de los divisores comunes). Por otra parte, como d | a y d | b
se tiene que d | m y por lo tanto d 6 m.
Corolario 1.3.3. Un entero c es combinación lineal de a y b ⇐⇒ (a, b) | c.
Demostración. ⇒) Es un caso particular del Corolario 1.1.5 ya que (a, b)
es un divisor común.
⇐) Si d = (a, b) se sigue del Teorema 1.3.2 que d = ak + bt k, t ∈ Z, y
también por hipótesis, c = md, por lo cual
c = mak +mbt.
EL Teorema 1.3.2 se puede reformular de manera más general.
Teorema 1.3.4. Si a, b, d ∈ N, las siguientes 4 condiciones son equivalentes:
i) d = (a, b), i.e., d es el mayor de los divisores comunes de a y b,
ii) d es la combinación lineal positiva mı́nima de a y b,
iii) d es un divisor común de a y b que tiene la propiedad de que si t es
otro divisor común (de a y b), entonces t | d,
iv) d es un divisor común de a y b que también es combinación lineal de
ellos.
1.3. EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR 9
Demostración. El Teorema 1.3.2 muestra que i) y ii) son equivalentes.
También, i) y ii) ⇒ iii) ya que si t es un divisor común de a y b, t es un
factor de toda combinación lineal. Evidentemente i) y ii)⇒ iv), por lo que
basta probar que iii) ⇒ i) y iv) ⇒ i), probamos la primera implicación y
dejamos la segunda como ejercicio.
Sea m ∈ N tal que cumple iii) y d = (a, b). Hay que probar que m = d.
Se sigue de iii) que m es divisor común y entonces m 6 d, también se sigue
de iii) que como d es divisor común d | m, por lo cual d 6 m y d = m.
Obsérvese que las condiciones iii) y iv) no usan el concepto de orden por
lo que sirven para definir el MCD en anillos no ordenados.
Definición 6. Se dice que a, b ∈ Z son primos relativos o primos entre śı, si
(|a|, |b|) = 1.
Ejemplo 13 y 18 lo son, sin embargo 121 y 11 no lo son. Como consecuencia
inmediata del Teorema 1.3.4 se tiene el siguiente resultado.
Corolario 1.3.5. Dos números a, b ∈ Z son primos relativos si y sólo si
∃ s, t ∈ Z tales que
1 = as+ bt.
Obsérvese que si a | bc, no necesariamente a | b o a | c, por ejemplo,
10 | 8 · 5, pero 10 - 8 y 10 - 5; sin embargo se tiene el siguiente resultado.
Proposición 1.3.6. Si a | bc y (a, b) = 1 , entonces a | c.
Demostración. Como 1 = ka+ tb, donde k, t ∈ Z, se tiene c = kac + tbc,
y a | c, ya que a | a y a | bc.
Este resultado se entenderá mejor posteriormente, a la luz de la descom-
posición en primos. Estudiamos ahora el concepto dual al MCD
Definición 7. Dados a, b ∈ Z− {0}, al menor múltiplo positivo de a y b se
le llama mı́nimo común múltiplo de a y b (MCM), y se le denota por [a, b].
Evidentemente el conjunto de múltiplos comunes es no vaćıo, uno de ellos
es |ab|, el menor existe por el PBO. Por ejemplo, si a = 8 y b = 10, los múlti-
plos positivos de a y b son {8, 16, 24, 32, 40, 48, . . .} y {10, 20, 30, 40, 50, . . .},
respectivamente, por lo que
[8, 10] = 40.
Exhibimos ahora otra caracterización del mı́nimo común múltiplo, que lo
caracteriza en términos de otros múltiplos.
10 CAPÍTULO 1. DIVISIBILIDAD
Teorema 1.3.7. Sea m′ un múltiplo común de a y b, entonces
[a, b] | m′.
Demostración. Sea m = [a, b], aplicando el algoritmo de la división se
tiene
m′ = mq + r, 0 6 r < m.
Ahora, como a | m′ y a | m entonces a | r; análogamente b | r.
Si r > 0, r seŕıa un múltiplo común menor a m,
∴ r = 0 y m | m′.
La propiedad del teorema anterior caracteriza al MCM.
Teorema 1.3.8. Si m es un múltiplo común de a, b ∈ Z que tiene la propie-
dad de que si m′ es otro múltiplo común de a y b, necesariamente m | m′,
entonces
m = [a, b].
Demostración. Por definición [a, b] 6 m, y como m | [a, b],
m 6 [a, b].
El MCD y el MCM. están relacionados, por ejemplo si a = 14 y b = 10
(a, b)[a, b] = 2 · 70 = ab,
esto sucede en general.
Teorema 1.3.9. Dados a, b ∈ N
ab = (a, b)[a, b].
Demostración. Como ab es un múltiplo común, por el Teorema 1.3.7
ab = mt, donde m = [a, b].
Se debe probar que t = (a, b). (Para probar esto usamos la propiedad iii)
del Teorema 1.3.4).Primero probamos que t es un divisor común: como m = ar, se tiene
ab = art, y a(b− rt) = 0,
1.3. EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR 11
∴ b = rt y t | b, análogamente t | a.
Ahora, si s es otro divisor común
a = sa′ y b = sb′,
y se tiene que m′ = a′b′s es un múltiplo común de a y b, por lo que m′ = mq.
Finalmente,
mt = ab = a′sb′s = m′s = mqs
∴ m(qs− t) = 0 y s | t.
La idea de la prueba fue generar un múltiplo común “económicamente”
con s, para expresar ab = mt, como m(entero)s, usando la propiedad del
Teorema 1.3.7. Una demostración más natural se exhibirá después con el
teorema de descomposición en primos.
Los conceptos de MCD y MCM. se extienden a más de 2 enteros.
Definición 8. Sean a1, a2, . . . , an ∈ Z − {0} se define el MCD como el
mayor divisor positivo de estos números, y el MCM como el menor múlti-
plo común positivo de estos números; éstos se denotan por (a1, a2, . . . , an) y
[a1, a2, . . . , an].
Ejemplos
(6, 14, 28) = 2
[6, 14, 28] = 84,
ya que los múltiplos de 28 son 28, 56, 84 y 3 - 28, 3 - 56.
Teorema 1.3.10. Sean a1, a2, . . . , an ∈ N y d un divisor común tal que es
combinación lineal de a1, a2, . . . , an, entonces
d = (a1, a2, . . . , an).
Demostración. Sea t = (a1, a2, . . . , an), entonces d 6 t y como t | d,
t 6 d ∴ t = d.
En la prueba del teorema anterior usamos el hecho de que si t | ai ∀ i,
entonces t es divisor de cualquier combinación lineal de las ai (esto se sigue
por inducción).
Obsérvese que el Lema 1.3.1 y el Teorema 1.3.4 también son válidos para
n naturales (mismas demostraciones). Nótese que también el Teorema 1.3.8
se cumple para n números. Estos hechos son útiles para resolver algunos de
los ejercicios al final de esta sección.
12 CAPÍTULO 1. DIVISIBILIDAD
Proposición 1.3.11. Sean a, b primos relativos tales que a | c y b | c,
entonces ab | c.
Demostración. Sea c = ar, como b | c se tiene b | ar, y usando la Propo-
sición 1.3.6 (como (a, b) = 1), se sigue que b | r y c = abt.
Proposición 1.3.12. Sean a, b ∈ N, d = (a, b), da′ = a y db′ = b, entonces
[a, b] = da′b′.
Demostración. Ciertamente da′b′ es un múltiplo común, por lo que basta
probar que si c es un múltiplo común a′b′d | c.
Obsérvese primero que (a′, b′) = 1, ya que como d = a′dr+ b′ds, r, s ∈ Z,
se tiene
1 = a′r + b′s.
Si c es un múltiplo común, c = ak = a′dk, también b′d|c y por lo tanto
b′|a′k y b′|k,
∴ c = a′db′t.
El Teorema 1.3.9 es un corolario inmediato de la Proposición 1.3.12, ya
que si
[a, b] = a′db′,
entonces
d[a, b] = ab.
EJERCICIOS 1.3
1. Termine la prueba del Teorema 1.3.4.
2. Sean a1, a2, . . . , an ∈ N, y dj = (a1, a2, . . . , aj), j > 2, demuestre que
∀ j > 3 dj = (dj−1, aj). Calcule (30, 42, 69) y (96, 66, 108).
3. Sean a1, a2, . . . , an ∈ N y mj = [a1, a2, . . . , aj], j > 2, demuestre que
∀ j > 3 mj = [mj−1, aj]. Calcule [6, 15, 9] y [8, 12, 18].
4. Demuestre que (ka, kb) = k(a, b) y [ka, kb] = k[a, b].
5. Probar que el Teorema 1.3.4 es válido para k naturales, donde k > 2.
1.4. ALGORITMO DE EUCLIDES, ECUACIONES DIOFANTINAS 13
1.4. Algoritmo de Euclides, Ecuaciones dio-
fantinas
1.4.1. Algoritmo de Euclides
Sean a, b ∈ N, si a es un múltiplo de b, (a, b) = b, de otra manera se puede
aplicar iteradamente el algoritmo de la división:
a = bq1 + r1 0 < r1 < b,
b = r1q2 + r2 0 < r2 < r1,
r1 = r2q3 + r3 0 < r3 < r2,
...
...
rn−2 = rn−1qn + rn 0 < rn < rn−1,
rn−1 = rnqn+1,
como 0 < rn < rn−1 < . . . < r2 < r1 < b, es claro que después de un número
finito de pasos se obtiene un residuo 0. A este proceso se le llama el Algoritmo
de Euclides.
Proposición 1.4.1. Dados a, b ∈ N, se tiene que (a, b) es el último residuo
distinto de cero en el algoritmo de Euclides, i.e. (a, b) = rn.
Para probar este resultado probamos primero un lema.
Lema 1.4.2. Si a = bq + r, entonces
(a, b) = (b, r).
Demostración. Como (b, r) | b y (b, r) | r, se tiene que (b, r) | a, i.e.,
(b, r) | (b, a), también (a, b) | r, por lo que (a, b) | (b, r),
∴ (a, b) = (b, r).
Demostración. (De la Proposición 1.4.1) Aplicando repetidamente el Le-
ma 1.4.2 se tiene
(a, b) = (b, r1) = (r1, r2) = · · · = (rn−1, rn) = rn.
14 CAPÍTULO 1. DIVISIBILIDAD
El Algoritmo de Euclides nos permite dar un procedimiento para expresar
el MCD como una combinación lineal de a y b. Esto se sigue del siguiente
resultado.
Proposición 1.4.3. Si t es combinación lineal de a y b y r lo es de t y b,
entonces r es combinación lineal de a y b.
Demostración.
t = ka+ ub
r = nt+ sb
∴ r = (nk)a+ (nu+ s)b.
Aplicando este resultado verificamos nuestra observación: como rn es una
combinación lineal de rn−1 y rn−2, y rn−1 lo es de rn−2 y rn−3, se tiene que rn
es combinación lineal de rn−2 y rn−3, repitiendo el mismo procedimiento, rn
es combinación lineal de rn−3 y rn−4, etcétera, i.e. rn es combinación lineal
de a y b.
Ejemplo Si a=242 y b=168
242 = 168(1) + 74
168 = 74(2) + 20
74 = 20(3) + 14
20 = 14(1) + 6
14 = 6(2) + 2
6 = 2 · 3
∴ (168, 242) = 2,
y
2 = 14− 2(6) = 14− 2(20− 14)
= 3 · 14− 2 · 20 = 3(74− 3 · 20)− 2 · 20
= 3 · 74− 11(20) = 3 · 74− 11(168− 74 · 2)
= 25 · 74− 11(168) = 25(242− 168)− 11(168)
= 25 · 242− 36(168) = 6050− 6048.
1.4. ALGORITMO DE EUCLIDES, ECUACIONES DIOFANTINAS 15
1.4.2. Ecuaciones Diofantinas
Estudiaremos ahora ecuaciones de la forma
ax+ by = c, a, b, c ∈ Z, (1.1)
llamadas diofantinas. Consideremos primero el caso homogéneo.
Proposición 1.4.4. Las soluciones enteras de la ecuación
ax+ by = 0, (1.2)
a, b 6= 0, (a, b) = 1, son
x = bt, y = −at, t ∈ Z.
Demostración. Estas expresiones de x, y ciertamente son soluciones, pro-
bamos que son todas:
Si x, y es solución de (1.2) , se tiene
ax = −by,
∴ a | by,
y como (a, b) = 1, se sigue que a | y (Proposición 1.3.6),
i.e., y = at, t ∈ Z.
Por lo cual
ax = −bat
y
x = −bt.
Regresando a la ecuación general diofantina (1.1), obsérvese que el Coro-
lario 1.3.3 se puede reformular como sigue:
Teorema 1.4.5. La ecuación (1.1) tiene solución en Z si y sólo si
(a, b) | c.
16 CAPÍTULO 1. DIVISIBILIDAD
Recordamos que este resultado se sigue, ya que (a, b) es la combinación
lineal positiva mı́nima.
Por ejemplo, como 3 - 10, la ecuación
15x+ 21y = 10,
no tiene solución entera ((15, 21) = 3).
Obsérvese que el Algoritmo de Euclides permite encontrar soluciones par-
ticulares a las ecuaciones diofantinas:
Usando este algoritmo se encuentran s, t ∈ Z tales que
as+ bt = d,
donde d = (a, b), y si c = dc′, se tiene
asc′ + btc′ = c,
por lo que x = sc′ y y = tc′ es una solución de (1.1), por ejemplo,
30x+ 8y = 140,
30 = 8 · 3 + 6
8 = 6 · 1 + 2
6 = 2 · 3
2 = 8− 6 · 1
= 8− (30− 3 · 8)
= 4 · 8− 30
∴ 140 = 70 · 2 = 8(280) + 30(−70)
y
x = −70, y = 280
es una solución.
Para poder encontrar todas las soluciones de (1.1) primero resolvemos el
caso homogéneo (1.2).
Teorema 1.4.6. Las soluciones de la ecuación (1.2) están dadas por
x = −b′t, y = a′t, t ∈ Z,
donde a = a′d, b = b′d, d = (a, b), a, b 6= 0.
Demostración. Las soluciones de
ax+ by = 0,
son las mismas que las de a′x+ b′y = 0, ya que
a′dx+ b′dy = 0 ⇐⇒ a′x+ b′y = 0,
por lo que el resultado se sigue de la Proposición 1.4.4.
1.4. ALGORITMO DE EUCLIDES, ECUACIONES DIOFANTINAS 17
Los casos donde a = 0, b = 0 y a, b = 0 son triviales. En el último caso
toda pareja (s, t) ∈ Z× Z es solución de
ax+ by = 0
y
ax+ by = c, c 6= 0
no tiene solución. Si a = 0 y b 6= 0, cualquier pareja de la forma (t, 0) es
solución de
ax+ by = 0,
y la ecuación by = c, c 6= 0 tiene solución ⇐⇒ b | c. Ésta es única, ya que
si by1 = by2, entonces y1 = y2. El otro caso el análogo.
Volviendo al caso general, las soluciones de (1.1) y (1.2) están muy rela-
cionadas.
Lema 1.4.7. Sea (x0, y0) una solución particular de de (1.1) y (u, v) cual-
quier solución de (1.2), entonces
(x0 + u, y0 + v)
es solución de (1.1), y viceversa toda solución es de ésta forma.
Demostración.
(x0 + u)a+ (y0 + v)b
= x0a+ y0b+ ua+ vb = c+ 0 = c.
Vicerversa, si
xa+ yb = c,
entonces
(x−x0)a+ (y − y0)b = c− c = 0.
∴ (x− x0, y − y0) es solución de (1.2).
∴ x = x0 + u, y = y0 + u,
donde (u, v) es solución de (1.2).
Teorema 1.4.8. El conjunto de todas las soluciones de (1.1), donde (a, b) | c
y a, b 6= 0, está dado por
x = x0 − b′t, y = y0 + a′t, t ∈ Z;
donde a = a′d, b = b′d y (x0, y0) es una solución particular.
18 CAPÍTULO 1. DIVISIBILIDAD
Este resultado es consecuencia inmediata del Teorema 1.4.6 y el Lema
1.4.7. En consecuencia todas las soluciones de cualquier ecuación diofantina
se pueden encontrar.
Ejemplo
25x+ 35y = 200
35 = 25 · 1 + 10 5 = 25− 10 · 2
25 = 10 · 2 + 5 5 = 25− 2(35− 25)
10 = 5 · 2 = 3 · 25− 2 · 35,
y una solución particular es
x0 = 40 · 3 = 120, y0 = 40(−2) = −80
(40 · 5 = 200). Finalmente las soluciones de la homogénea son las de la
ecuación 5x+ 7y = 0, que son de la forma
x = 7t, y = −5t, t ∈ Z,
por lo cual todas las soluciones de la ecuación original son
x = 120 + 7t, y = −80− 5t, t ∈ Z.
EJERCICIOS 1.4
1. Resuelva: 30x+ 24y = −18, 49x− 14y = 70.
1.5. Factorización única
Los números se descomponen en factores irreducibles llamados primos, por
ejemplo
120 = 60 · 2 = 22 · 3 · 5 · 2 = 23 · 3 · 5,
84 = 21 · 4 = 7 · 3 · 22.
Definición 9. Se dice que un número entero p distinto de ±1 es primo, si
sus únicos divisores son ±1 y ±p.
Obsérvese que 0 no es primo (todo número es divisor del 0) y que p es pri-
mo si y sólo si −p lo es. Los primeros primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, . . .
1.5. FACTORIZACIÓN ÚNICA 19
Esto se verifica, notando que 3 y 7 no sean factores de los números, que
no sean múltiplos de 5, o pares (véase la Proposición 1.5.4).
Nótese que si p es primo y a ∈ Z entonces
(a, p) =
{
p si p | a,
1 si p - a,
(si p - a, el único divisor común de p y a es 1).
Teorema 1.5.1. Si un número primo p divide al producto ab, entonces p | a
o p | b.
Demostración. Si p no divide a a, entonces (p, a) = 1 y en virtud de la
Proposición 1.3.6 p | b.
La propiedad establecida en el teorema anterior caracteriza los primos y
al cero.
Corolario 1.5.2. Sea p ∈ Z, p 6= ±1, tal que satisface la siguiente propiedad:
dados a, b ∈ Z tales que p | ab, se tiene que p | a o p | b. Bajo esta hipótesis
p es primo o p = 0.
Demostración. Se puede suponer p > 0. Si p 6= 0 y p no es primo, existen
naturales a, b 6= 0 tales que
p = ab, 1 < a < p y 1 < b < p.
Sin embargo, entonces p - a y también p - b, lo cual contradice la hipótesis
sobre p, por lo tanto p es primo o p = 0. Como el 0 no es factor de ningún
número, no nulo, 0 también cumple esta propiedad.
Teorema 1.5.3. (Factorización única) Dado a ∈ Z, a 6= 0,±1, a se puede
expresar como
u p1 p2 · · · pk, (1.3)
donde u = ±1, y p1 6 p2 · · · 6 pk son números primos positivos, ésta
descomposición es única.
Demostración. Basta probarlo para a ∈ N (ya que si −a = p1 p2 · · · pk,
a = (−1) p1 p2 · · · pk).
Existencia. Sea M ⊂ N, el conjunto de los números que no pueden
descomponerse de la manera descrita en (1.3). Si M 6= ∅, por el PBO M
tiene un menor elemento a, este número no es un primo p, ya que a = p es
una descomposición tipo (1.3), por lo que
a = bc, 1 < b < a y 1 < c < a,
20 CAPÍTULO 1. DIVISIBILIDAD
y como b, c /∈M
b = p1 p2 · · · pn c = q1 q2 · · · qm,
y
a = p1 p2 · · · pn q1 q2 · · · qm,
sin embargo reordenando los primos ps y qs en esta expresión se obtiene una
descomposición del tipo (1.3) contradiciendo que a ∈ M ∴ M = ∅ y todo
número tiene una descomposición en primos.
Unicidad. Se demuestra por inducción en el número de primos contados
con multiplicidad que tiene la descomposición más económica de a, para
simplificar se ignora (primero) el orden:
si a = p y a = q1 q2 · · · qm, entonces
p | q1 · · · qm,
por lo que se sigue del Teorema 1.5.1 que
p | qi, 1 6 i 6 m,
i.e., p = qi. Como p = q1 q2 · · · qi · · · qm, se tiene
1 = q1 q2 · · · qi−1 qi+1 · · · qm,
y qj = 1 ∀ j 6= i (no hay divisores de 1 no triviales).
Suponiendo cierto para n− 1, si
a = p1 · · · pn y a = q1 · · · qm, m > n,
se tiene
p1 | q1 · · · qm y p1 | qi,
y p = qi, como en el 1er caso. Por lo tanto
a′ = p2 · · · pn = q1 q2 · · · qi−1 qi+1 · · · qm,
y por hipótesis de inducción n = m y las colecciones {p2, p3, . . . , pn} y
{q1, q2, . . . , qi−1, qi+1, . . . , qm} contadas con repetición son iguales. Lo mismo
es cierto para {p1, . . . , pn} y {q1, . . . , qm}, y evidentemente ordenando estas
colecciones la expresión (1.3) es única.
El Teorema 1.5.3 se puede refinar integrando los términos repetidos y
obtener una expresión única ∀ a ∈ Z, a 6= 0,±1
a = ± pm11 pm22 · · · pmkk , mi > 0,
1.5. FACTORIZACIÓN ÚNICA 21
donde
p1 < p2 < · · · < pk.
Algunas veces para comparar dos números es conveniente considerar po-
tencias cero, i.e.,
a = pm11 p
m2
2 · · · pmkk , mi > 0,
por ejemplo
24 = 22 · 3 · 50 y 40 = 23 · 30 · 5.
Un algoritmo útil para encontrar primos lo establece el siguiente resulta-
do, nótese que la lista de los primos descritos al principio de la sección, se
encontrarán más eficazmente con este método.
Proposición 1.5.4. Sea a ∈ N, a no primo, entonces existe p primo tal que
p | a y p 6 √a.
Demostración. Como a no es primo existen r, s tales que
a = rs, 1 < r < a, 1 < s < a,
sin perder generalidad r 6 s. Ahora, por el Teorema 1.5.3 existe p primo
tal que p | r
∴ r = pr′.
Finalmente,
p2 6 p2(r′)2 = r2 6 rs = a,
y
p 6
√
a.
Por ejemplo, 131 es primo, ya que de otra manera existiŕıa p <
√
131 < 12
tal que p | 131, sin embargo 3, 7, 11 no son divisores de 131.
Resulta que hay una infinidad de primos (ejercicio). La descomposición
en primos es también útil al describir el MCD y el MCM.
Teorema 1.5.5. Sean a, b ∈ N,
a = pm11 · · · pmkk , b = pt11 · · · ptkk , tj,mj > 0 ∀ j,
entonces
a) (a, b) = pr11 · · · prkk , donde rj = mı́n{mj, tj},
b) [a, b] = ps11 · · · pskk , donde sj = máx{mj, tj}.
22 CAPÍTULO 1. DIVISIBILIDAD
Demostración. Probamos a) y dejamos b) como ejercicio.
Sea d = pr11 · · · prkk , entonces
a = pm1−r11 · · · pmk−rkk · d y d | a.
Análogamente d | b (mj − rj > 0, ∀ j).
Ahora si t es un divisor común de a y b,
t = pq11 · · · pqkk
(t no contiene otros factores primos, ya que a, b no los tienen). Necesariamente
qi 6 ri, si qj > rj para alguna j
p
qj
j - a o p
qj
j - b.
∴ t | d y d = (a, b).
Como dados m,n ∈ N ∪ {0},
m+ n = máx{m,n}+ mı́n{m,n},
se sigue del Teorema 1.5.5 una tercera prueba del Teorema 1.3.9, es decir
ab = (a, b)[a, b].
Ejemplo Si a = 23 · 34 · 5 y b = 2 · 3 · 7.
(a, b) = 2 · 3
[a, b] = 23 · 34 · 5 · 7.
EJERCICIOS 1.5
1. Demuestre, de manera análoga a la prueba del Teorema 1.5.3, que todo
entero mayor a 1 es divisible entre un número primo.
2. Demuestre que hay una infinidad de primos.
3. Termine la prueba del Teorema 1.5.5.
4. Encuentre, a1, a2, a3 números naturales tales que no cumplan la identidad
a1 a2 a3 = (a1, a2, a3)[a1, a2, a3].
1.6. CONGRUENCIAS 23
1.6. Congruencias
Como ya se mencionó la divisibilidad determina naturalmente relaciones de
equivalencia en Z y por ende los importantes anillos Zm.
Definición 10. Se dice que a, b ∈ Z son congruentes módulo m, m ∈ Z fijo,
si
a− b = km, para alguna k ∈ Z,
se escribe a ≡ b mód m.
Obsérvese que esta relación es precisamente la relación de equivalencia
que define los anillos Zm, i.e. los elementos de Zm son las clases de equiva-
lencia que consisten de todos los números en Z que son congruentes entre
śı módulo m.
Por ejemplo, si m = 2 todos los pares son congruentes entre śı, ya que
2m ≡ 2n mód 2 ∀ m,n ∈ Z,
y también los impares entre śı
2m+ 1 ≡ 2n+ 1 mód 2 ∀ m,n ∈ Z,
y en Z2, un par y un impar nunca son congruentes: si
2n+ 1 ≡ 2m mód 2
⇒ 2 | 2(n+ 1)− 2m y 2 | 2(n−m) + 1,
y se tendŕıa que 2 | 1, lo cual es absurdo. Tomando m = 7 podemos verificar
que los números 7k + 4, k ∈ Z, son todos congruentes entre śı
7k1 + 4 ≡ 7k2 + 4 mód 7
⇔ 7 | 7(k1 − k2).
Sin embargo, ningúnnúmero de la forma 7k + 3, k ∈ Z es congruente con
7t+ 6, t ∈ Z. Si
7k + 3 ≡ 7t+ 6 mód 7
⇒ 7 | 7(k − t) + 6− 3 y 7 | 6,
lo cual es imposible.
Recordamos la relación de equivalencia en Z definida en el primer curso
(cf. [4], caṕıtulo 6). Dada m ∈ N fija, a, b ∈ Z son tales que a ∼ b si
a− b = km. En otras palabras, a ∼ b si
a ≡ b mód m.
En consecuencia, las congruencias cumplen las propiedades que definen una
relación de equivalencia, es decir,
24 CAPÍTULO 1. DIVISIBILIDAD
i) a ≡ a mód m, ∀ a ∈ Z,
ii) si a ≡ b mód m, b ≡ a mód m,
iii) si a ≡ c mód m y b ≡ c mód m, entonces a ≡ c mód m.
Las congruencias son también compatibles con las operaciones.
Proposición 1.6.1. ∀ a, b, c ∈ Z se tiene:
i) Si a ≡ b mód m, entonces a+ c ≡ b+ c mód m.
ii) Si a ≡ b mód m, entonces ac ≡ bc mód m.
Demostración. i) Si m | a− b m | (a+ c)− b+ c
ii) Si m | a− b m | ca− cb.
Para comprender mejor la relación de las congruencias con los anillos Zm
es útil observar que todo entero es congruente módulo m con exactamente
uno de los números 0, 1, 2, 3, . . . ,m−1. Como caso particular, Z5, todo entero
es congruente módulo 5 con 0, 1, 2, 3, o 4.
Obsérvese que si p es un natural primo y ab ≡ 0 mód p, entonces
a ≡ 0 mód p o b ≡ 0 mód p,
ya que si p | a entonces a ≡ 0 mód p, y si p - a, p | b, etcétera.
Ciertamente si
ab ≡ 0 mód m,
no necesariamente a ≡ 0 o b ≡ 0 mód m, por ejemplo, 3 · 4 ≡ 0 mód 6,
pero 3 6≡ 0 mód 6 y 4 6≡ 0 mód 6, o 5 · 4 ≡ 0 mód 10, pero 5 6≡ 0 mód 10,
y 4 6≡ 0 mód 10, o 9 · 2 ≡ 0 mód 18, pero 9 6≡ 0 mód 18 y 2 6≡ 0 mód 18.
Las congruencias se pueden sumar y multiplicar.
Proposición 1.6.2. Si a ≡ b mód m y c ≡ d mód m, entonces
i) a+ c ≡ b+ d mód m.
ii) ac ≡ bd mód m.
Demostración.
i) m | a− b y m | c− d⇒ m | a+ c− (b+ d).
ii) Como m | ac− bc y m | bc− bd, se sigue que m | ac− bd.
1.6. CONGRUENCIAS 25
Obsérvese que si a ≡ b mód m, entonces a = b + km, k ∈ Z. Por lo
que, tomando un representante en cada clase, y sumándole múltiplos de m,
se obtienen todos los elementos que son congruentes entre si.
Resolvemos ahora ecuaciones de congruencias con una incógnita. Consi-
deramos primero un ejemplo
25x− 16 ≡ 0 mód 21.
La solución de esta ecuación se puede encontrar interpretándola como
una ecuación diofantina
25x− 16 = 21y,
i.e., 25x− 21y = 16.
25 = −21(−1) + 4 1 = 4− 3
−21 = 4(−6) + 3 = 4− (−21 + 4 · 6)
4 = 3 · 1 + 1 = 21 · 1− 4 · 5
= 21− 5(25− 21)
∴ 1 = 25(−5)− 21(−6).
En consecuencia
16 = 25(−80)− 21(entero)
y -80 es una solución particular de la congruencia 25x ≡ 16 mód 21.
A esta congruencia le podemos asociar su congruencia homogénea
25x ≡ 0 mód 21,
cuyas soluciones son x = 21t, t ∈ Z, (ya que las soluciones de 25x− 21y = 0
son x = 21t, y = −25t, t ∈ Z).
Las Proposiciones 1.6.3 y 1.6.4 prueban que todas las soluciones son
x = −80 + 21t,
en particular 4 es solución, 25 · 4 ≡ 16 mód 21.
En general, la ecuación
ax+ b ≡ 0 mód m,
(m, a) = 1 siempre tiene solución, ya que en este caso existen r, t,∈ Z tales
que rm+ ta = 1, por lo que
m(entero) + (−b)ta = −b
y
a(−bt) + b ≡ 0 mód m.
Esta observación se puede generalizar.
26 CAPÍTULO 1. DIVISIBILIDAD
Proposición 1.6.3. La congruencia ax + b ≡ 0 mód m tiene solución si
y sólo si (a,m) | b.
Demostración. Existe una solución⇔ ∃ x, y ∈ Z tales que ym = ax+b⇔
ax−ym = −b. Si (a,m) | −b dicha solución existe (cf. Teorema 1.4.5).
Proposición 1.6.4. Sea x1 una solución de
ax+ b ≡ 0 mód m, (a,m) = 1. (1.4)
Entonces,
i) si x1 ≡ x2 mód m, se sigue que x2 también es solución,
ii) si x2 es solución de (1.4)
x2 ≡ x1 mód m.
Demostración.
i) La condición x1 − x2 = km, se puede escribir
x2 = x1 − km,
por lo que
ax2 + b = a(x1 − km) + b = ax1 + b− akm,
y como
m | ax1 + b, m | −akm,
se sigue que
m | ax2 + b.
ii) Si m | ax1 + b y m | ax2 + b, entonces
m | a(x1 − x2),
y dado que (a,m) = 1
m | x1 − x2.
Obsérvese que la condición (a,m) = 1 sólo se usa en ii). Si (a,m) > 1, ii)
no se cumple, en general. Por ejemplo, si
4x− 4 ≡ 0 mód 6,
se tiene que x = 1 y x = −2 son soluciones pero 1 6≡ −2 mód 6. Generaliza-
mos ahora la discusión a un sistema de 2 congruencias.
1.6. CONGRUENCIAS 27
Teorema 1.6.5. (Teorema chino del residuo) Sean (m,n) = 1, entonces las
congruencias {
x ≡ a mód m
x ≡ b mód n (1.5)
tienen una solución común.
Demostración. Como (1,m) | a la 1a congruencia tiene una solución
particular r1 y por la Proposición 1.6.4 cualquier otra solución es de la forma
r1 + km, k ∈ Z.
Ahora, r1 + km ≡ b mód n tiene solución, ya que (m,n) = 1. Esta con-
gruencia es equivalente a km ≡ b− r1 mód n. Por lo que existe k1 ∈ Z, tal
que
r1 + k1m es solución de (1.5).
Podemos también encontrar todas las soluciones.
Corolario 1.6.6. Sean x1, x2 soluciones de (1.5), entonces
x1 ≡ x2 mód mn.
Más aún, si x1 es una solución particular de (1.5) y x2 ≡ x1 mód mn,
entonces x2 es una solución de (1.5), en particular existe una solución t de
(1.5) tal que
0 6 t < mn.
Demostración. Si x1 ≡ a mód m y x2 ≡ a mód m, entonces se cumple
que x1 ≡ x2 mód m, análogamente x1 ≡ x2 mód n, y por lo tanto
m | x1 − x2 y n | x1 − x2,
como (m,n) = 1
mn | x1 − x2 (Proposición 1.3.6).
La 2a afirmación es consecuencia inmediata de la Proposición 1.6.4.
Obsérvese que el Corolario 1.6.6 exhibe todas las soluciones del sistema
(1.5). Este sistema se puede generalizar.
28 CAPÍTULO 1. DIVISIBILIDAD
Teorema 1.6.7. (Teorema chino generalizado) Sean m1,m2, . . . ,mk primos
relativos entre śı (dos a dos), entonces el sistema de congruencias



x ≡ a1 mód m1
x ≡ a2 mód m2
...
x ≡ ak mód mk
(1.6)
tiene solución. Más aún, si x1 es solución de (1.6) y x1 ≡ x2 mód m1m2 · · ·mk,
entonces x2 es solución, y viceversa si x2 es solución de (1.6)
x2 ≡ x1 mód m1m2 · · ·mk.
Demostración. Demostramos la primera parte, la 2a se prueba usando los
mismos argumentos que en el Corolario 1.6.6.
x ≡ a1 mód m1 tiene como soluciones r1 +k1m, k1 ∈ Z, donde r1 es una
solución particular, ya que (m1, 1) = 1.
Ahora, la congruencia
r1 + k1m1 ≡ a2 mód m2
tiene solución, ya que (m1,m2) = 1,
∴ existe r2 = r1 + k1m1
que es solución común a las primeras 2 congruencias y todas las soluciones
son de la forma
{r2 + k2m1m2}, k2 ∈ Z.
Ahora buscamos k2 ∈ Z tal que
r2 + k2m1m2 ≡ a3 mód m3,
como (m1m2,m3) = 1, existe k2 ∈ Z tal que
r3 = r2 + k2m1m2
es solución de las primeras 3 congruencias, etcétera.
El siguiente resultado establece un método para encontrar una solución
particular del sistema (1.6), y por ende resolverlo.
Teorema 1.6.8. Dado un sistema de k congruencias como en (1.6), se tiene
que si ∀i ∈ {1, 2, . . . , k}, bi = N/mi, donde N = m1m2 · · ·mk, y se toman
enteros ci tales que cumplen la congruencia bi ci ≡ 1 mód mi, se sigue que
x0 = a1b1c1 + a2b2c2 + · · ·+ akbkck
es una solución particular.
1.6. CONGRUENCIAS 29
Demostración. Se toma i fija, 1 ≤ i ≤ k. Nótese que si j 6= i, se tiene que
mi|bj, y por lo tanto
ajbjcj ≡ 0 mód mi ∀j j 6= i.
A su vez esta última congruencia implica que x0 ≡ aibici mód mi.
Finalmente, como bici ≡ 1 mód mi se tiene que aibici ≡ ai mód mi, y
entonces x0 ≡ ai mód mi.
Ejemplos
1) Se resuelve la congruencia 16x− 9 ≡ 0 mód 35. Esta ecuación equivale a
la ecuación diofantina
16x− 35y = 9,
para encontrar una solución particular, se escribe
35 = 16 · 2 + 3 1 = 16− 3 · 5
16 = 3 · 5 + 1 = 16− 5(35− 16 · 2)
= (−35)5 + 11 · 16,
y se obtiene
9 = (−35)(45) + 99(16)
y 99 es una solución particular. Todas las soluciones son de la forma
{99 + t(35)}, t ∈ Z,
o
{−6 + t(35)}, t ∈ Z.
2) 


x ≡ −2 mód 3
x ≡ −1 mód 5
x ≡ 3 mód 7.
(1.7)
Como (3, 5, 7) = 1 hay soluciones. Una manera de encontrarlas es aplicar el
Teorema 1.6.8 para encontrar una solución particular y por ende resolver el
sistema. Sin embargo, es conveniente conocer otras técnicas de solución.
Las soluciones de la primera congruencia están dadas por
1 + 3k1, k1 ∈ Z.
Ahora, las soluciones dela congruencia 1 + 3k1 ≡ −1 mód 5 son las
misma que las de la congruencia
30 CAPÍTULO 1. DIVISIBILIDAD
3k1 ≡ −2 mód 5. (1.8)
Se podŕıa resolver esta congruencia como una ecuación diofantina, o di-
rectamente evaluando en los primeros d́ıgitos. Sin embargo, la aplicación de
algunos trucos permite resolver este tipo de ecuaciones de manera más rápida.
Nótese que (1.8) se cumple si y sólo si
6k1 ≡ −4 mód 5, (1.9)
y como 5k1 ≡ 0 mód 5 se tiene que (1.9) se cumple ⇐⇒ k1 ≡ −4 mód 5.
Por lo que tomando k1 = 1, se sigue que todas las soluciones de las primeras
dos congruencias en (1.7) están dadas por
4 + 15k2, k2 ∈ Z.
Finalmente, las soluciones de 4 + 15k2 ≡ 3 mód 7, son aquéllas de la
congruencia
15k2 ≡ −1 mód 7. (1.10)
Como 14k2 ≡ 0 mód 7, la ecuación (1.10) se cumple ⇐⇒ k2 ≡ −1 mód 7.
Tomando k2 = 6, se sigue que 94 es solución particular de (1.7), y también
lo es −11. Por consiguiente, todas las soluciones de (1.7) están dadas por
−11 + t(3 · 5 · 7), t ∈ Z.
Al usar trucos para resolver congruencias hay que tener en cuenta que no
todas las simplificaciones son válidas. Por ejemplo, si se quiere resolver
7x ≡ 6 mód 30. (1.11)
Multiplicando por 4 esta congruencia, se tiene 28x ≡ 24 mód 30, y escri-
biendo 30x ≡ 0 mód 30, se puede restar la 1a congruencia de esta última y
se obtiene 2x ≡ −24 mód 30, o x ≡ −12 mód 15. Ahora, 3 es solución de
esta última congruencia, sin embargo no es solución de (1.11).
3) Se resuelve, ∀ n ∈ Z, n 6= 0, 1, la congruencia
(3n− 2)x+ 5n ≡ 0 mód 9n− 9.
Probamos primero que (3n− 2, 9n− 9) = 1, ∀ n ∈ Z.
9n− 9 = (3n− 2)3− 3,
1.6. CONGRUENCIAS 31
sin embargo −3 < 0, podemos multiplicar todo por -1, y
−(9n− 9) = (−3)(3n− 2) + 3
3n− 2 = 3(n− 1) + 1.
Por consiguiente
1 = 3n− 2− 3(n− 1)
= 3n− 2− (n− 1)[−(9n− 9) + 3(3n− 2)]
= −(n− 1)[−(9n− 9)] + (3n− 2)[1− 3(n− 1)]
∴ 1 = (3n− 2)(−3n+ 4) + (n− 1)(9n− 9),
y multiplicando por −5n
−5n = (15n2 − 20n)(3n− 2) + (9n− 9)(entero),
i.e.,
15n2 − 20n es una solución particular
y todas son
{15n2 − 20n+ t(9n− 9)}, t ∈ Z.
EJERCICIOS 1.6
1. Demuestre que si ac ≡ bc mód m y (m, c) = 1, entonces a ≡ c mód m
(Ley de la cancelación). Muestre también que si (m, c) > 1, esta afirmación
no se cumple.
2. Sea m ∈ N fija, a, b ∈ Z tales que
a = mq1 + r1 0 6 r1 < m,
b = mq2 + r2 0 6 r2 < m.
Entonces a ≡ b mód m⇐⇒ r1 = r2.
3. Resuelva los siguientes sistemas de dos maneras: sin usar (y usando) el
Teorema 1.6.8.
a)



x ≡ 5 mód 2
x ≡ 2 mód 3
x ≡ 3 mód 7
b)



x ≡ 9 mód 5
x ≡ 1 mód 11
x ≡ 2 mód 7.
32 CAPÍTULO 1. DIVISIBILIDAD
1.7. Los campos Zp
Usando las propiedades de los primos es fácil ahora probar que si p es un
primo Zp es un campo.
Lema 1.7.1. Si p es un primo, entonces Zp es un dominio entero.
Demostración. Si a b = 0 en Zp, donde 0 < a 6 p y 0 < b 6 p.
Entonces, ab ≡ 0 mód p i.e., p | ab y necesariamente
a = 1 y b = p (o viceversa)
i.e., b = 0 y Zp es un dominio entero ya que no hay divisores de 0.
Teorema 1.7.2. Zp es un campo.
Demostración. Sea 1 6 k < p, fijo y considérese la colección {t k} en Zp,
donde t toma los valores 1, 2, 3, . . . , p− 1.
Se afirma que todos estos valores representan números distintos en Zp :
si
t1 k = t2 k en Zp
entonces
t1k ≡ t2k mód p,
y
p | (t1 − t2)k,
i.e., p | t1 − t2 (ya que (k, p) = 1.) Por lo cual t1 = t2. En particular, la
afirmación implica que ∃ t tal que t k = 1 y todo número tiene un inverso
multiplicativo.
Caṕıtulo 2
El campo de los números reales
2.1. Los números racionales
Se construyen los racionales a partir de los enteros, se define una relación de
equivalencia en
Z × Z− {0} = { (a, b) | a ∈ Z, b ∈ Z, b 6= 0 },
(a, b) ∼ (a′, b′) si ab′ = ba′. (2.1)
Por ejemplo (4, 6) ∼ (2, 3), ya que 4 · 3 = 6 · 2.
Proposición 2.1.1. La relación definida por (2.1) es de equivalencia.
Demostración. Como ab = ba, ∼ es reflexiva, y como ab′ = ba′ ⇔
a′b = b′a, ∼ es simétrica. Finalmente si (a, b) ∼ (a′, b′) y (a′, b′) ∼ (a′′, b′′),
entonces ab′ = ba′ y a′b′′ = b′a′′ por lo que ab′b′′ = ba′b′′ y a′b′′b = b′a′′b, i.e.
ab′b′′ = b′a′′b,
y como b′ 6= 0 ab′′ = ba′′, i.e. (a, b) ∼ (a′′, b′′) y ∼ es transitiva.
Provisionalmente denotaremos por
a
b
a la clase de equivalencia de (a, b), obsérvese que a
b
= a
′
b′
si y sólo si ab′ = ba′,
en particular
a
b
=
ar
br
, r 6= 0 (abr = bar).
33
34 CAPÍTULO 2. EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES
Definición 11. Al conjunto de clases de equivalencia en Z × Z− {0},
a
b
= { (x, y) ∈ Z × Z− {0} | ay = bx }
se les llama números racionales y se les denota por Q.
Para simplificar la notación se escribe a
b
por a
b
, obsérvese que con esta
notación un mismo número se puede escribir de distintas maneras
2
3
=
4
6
=
6
9
, etcétera.
El siguiente paso es definir la suma y el producto en Q.
Lema 2.1.2. Si a
b
= a
′
b′
, c
d
= c
′
d′
, entonces
ad+ bc
bd
=
a′d′ + b′c′
b′d′
.
Demostración. Por hipótesis ab′ = ba′, cd′ = c′d. Por lo que usando éstas
relaciones se tiene
(ad+ bc)(b′d′) = ab′dd′ + cd′bb′
= ba′dd′ + c′dbb′ = bd(a′d′ + b′c′).
Se define la suma de dos racionales como sigue
a
b
+
c
d
=
ad+ bc
bd
,
se sigue del Lema 2.1.2 que esta operación está bien definida.
También se define el producto
a
b
· c
d
=
ac
bd
,
esta operación también está bien definida: si
a
b
=
a′
b′
y
c
d
=
c′
d′
,
entonces
ac
bd
=
a′c′
b′d′
,
ya que acb′d′ = a′c′bd.
Nótese que a
d
+ b
d
= a+b
d
(ejercicio).
2.1. LOS NÚMEROS RACIONALES 35
Teorema 2.1.3. Los racionales son un campo.
Demostración. Algunas propiedades se siguen fácilmente
a
b
+
0
1
=
a · 1 + b · 0
b · 1 =
a
b
,
a
b
+
−a
b
=
0
b2
(obsérvese que ∀ b 6= 0 0
b
=
0
1
),
a
b
+
c
d
=
ad+ bc
bd
=
cb+ da
db
=
c
d
+
a
b
,
si a
b
es distinto de 0
b
i.e. a 6= 0,
a
b
b
a
=
ab
ba
=
1
1
,
al racional b
a
se le denota por (a
b
)−1 y se le llama el inverso multiplicativo.
La asociatividad y la conmutatividad del producto son triviales. La aso-
ciatividad de la suma y la distributividad se prueban también fácilmente
(ejercicio).
Ahora estudiaremos el orden en Q. Caracterizamos primero a los racio-
nales positivos.
Lema 2.1.4. Si a
b
= a
′
b′
, entonces
ab ∈ N⇐⇒ a′b′ ∈ N.
Demostración. Se tiene ab′ = ba′, y por lo tanto ab′bb′ = ba′bb′, i.e.
ab(b′)2 = a′b′b2, y por lo tanto
ab ∈ N ⇔ ab(b′)2 ∈ N ⇔ a′b′b2 ∈ N ⇔ a′b′ ∈ Z,
puesto que tm2 ∈ N ⇒ t ∈ N (si t /∈ N y t 6= 0, −t ∈ N, por lo que
−tm2 ∈ N, lo cual contradice tm2 ∈ N).
Definición 12. Los racionales positivos denotados por Q+ son aquellos de
la forma a
b
, donde ab ∈ N.
El lema anterior muestra que esta definición es correcta ya que no depen-
de del representante. Denotaremos al racional −a
b
como −a
b
, obsérvese que
−a
b
= a−b .
36 CAPÍTULO 2. EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES
Proposición 2.1.5 (Tricotomı́a). ∀ a
b
∈ Q se cumple una y sólo una de las
siguientes afirmaciones:
i) a
b
∈ Q+,
ii) a
b
= 0
1
,
iii) −a
b
∈ Q+.
Demostración. Si ab /∈ N, ab = 0 o −(ab) ∈ N, en el primer caso a = 0 y
se cumple ii), en el segundo (−a)b ∈ N y −a
b
∈ Q+.
Proposición 2.1.6. Sumas y productos de racionales positivos son positivos.
Demostración. Obsérvese que si a
b
∈ Q+, entonces a, b ∈ N o −a,−b ∈ N,
ya que si por ejemplo a > 0 y b < 0, entonces ab < 0. Por lo tanto podemos
suponer a, b > 0, si a, b < 0 podemos reemplazar a
b
por −a−b y se cumple la
aseveración.
Bajo estas hipótesis como
a
b
+
c
d
=
ad+ bc
bd
y
a
b
c
d
=
ac
bd
,
y se puede suponer a, b, c, d ∈ N, el resultado se sigue de manera inmediata
de los axiomas de los naturales.
Podemos definir ahora un orden en Q.
Definición 13. Sean a
b
, c
d
∈ Q, se dice que a
b
es mayor que c
d
, se escribe
a
b
>
c
d
,
si a
b
+ (− c
d
) ∈ Q+.
Obsérvese que a
b
∈ Q+ ⇔ a
b
> 0
1
, esto se sigue ya que a
b
+−0
1
= a·1−0·b
b·1 =
a
b
.
Proposición 2.1.7 (Tricotomı́a). Dados a
b
y c
d
∈ Q se cumple una y sólo
una de las siguientes afirmaciones:
i) a
b
> c
d
,
ii) a
b
= c
d
,iii) a
b
< c
d
.
2.1. LOS NÚMEROS RACIONALES 37
Demostración. Se sigue de la Proposición 2.1.5 que
a
b
+
(
− c
d
)
∈ Q+ o a
b
+
(
− c
d
)
=
0
1
o −
(a
b
+
(
− c
d
))
∈ Q+.
Evidentemente las primeras 2 condiciones corresponden a i) y ii), y como
−
(a
b
+
(
− c
d
))
=
−a
b
+
c
d
se sigue el resultad. Esto último se sigue ya que en Z vale la ley de la cance-
lación de la suma y el inverso aditivo es único:
Si a
b
+ c
d
= a
b
+ e
f
= 0, entonces −a
b
+ (a
b
+ c
d
) = −a
b
+ (a
b
+ e
f
) y c
d
= e
f
, ∴
a
b
+ e
f
= a
b
+ (−a
b
) = 0 ⇒ e
f
= −a
b
.
Esta relación de orden también es transitiva:
Si a
b
> c
d
y c
d
> e
f
, entonces a
b
> e
f
:
a
b
− c
d
∈ Q+ y c
d
− e
f
∈ Q+,
por lo que
a
b
− e
f
∈ Q+.
Proposición 2.1.8.
i) Si a
b
> a
′
b′
y c
d
> c
′
d′
, entonces
a
b
+
c
d
>
a′
b′
+
c′
d′
.
ii) Si a
b
> a
′
b′
, entonces
a
b
+
c
d
>
a′
b′
+
c
d
.
iii) Si a
b
> a
′
b′
y c
d
> 0
1
, entonces
ac
bd
>
a′c
b′c
.
38 CAPÍTULO 2. EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES
Demostración. La propiedad i) se sigue directamente de la Proposición
2.1.6 y la ii) se prueba de manera inmediata. Para probar iii), se tiene
a
b
− a
′
b′
∈ Q+ y c
d
∈ Q+,
por lo que (
a
b
− a
′
b′
)
c
d
∈ Q+, i.e.
(a
b
)( c
d
)
>
(
a′
b′
)( c
d
)
.
Obsérvese que a
b
> c
d
⇔ − c
d
> −a
b
, esto se sigue ya que a
b
− c
d
∈ Q+ ⇔
− c
d
− (−a
b
) ∈ Q+, (−(−a
b
) = −(−a)
b
= a
b
).
Observamos ahora que los enteros están naturalmente incluidos en los
racionales, para eso se define
i : Z −→ Q como i(a) = a
1
,
i es inyectiva ya que si i(a) = i(b), se tiene
a
1
=
b
1
⇔ a = b,
se conviene en denotar a la imagen de i por Z, y al racional a
1
simplemente
por a.
La inclusión i también preserva las operaciones:
i(a) + i(b) =
a
1
+
b
1
=
a+ b
1
= i(a+ b),
i(a)i(b) =
a
1
· b
1
=
ab
1
= i(ab).
Para probar las propiedades de los reales es útil considerar el siguiente
subconjunto de los racionales.
Definición 14. Sea D el subconjunto de Q, definido por los números de la
forma
a
10n
, a ∈ Z.
2.1. LOS NÚMEROS RACIONALES 39
En representación decimal se puede expresar escribiendo a con un punto
a n lugares del extremo derecho, por ejemplo
325
100
= 3.25,
4
10000
= .0004,
también se denota 1
10n
por 10−n.
No todos los racionales están en D, por ejemplo 1
3
=.333 . . . (este hecho
se mostrará de manera formal posteriormente).
Sin embargo sumas y productos de números de D son números en D :
a
10n
+
b
10m
=
a · 10m + b · 10n
10n · 10m =
a · 10m + b · 10n
10m+n
∈ D,
a
10n
· b
10m
=
ab
10m+n
∈ D.
En expresión decimal los elementos de D+ = D ∩ Q+ se representan
como
A.a1a2 . . . an,
donde A ∈ N ∪ {0} y ai son d́ıgitos en {0, 1, . . . , 9} (n tan grande como se
quiera). Los de D− = D ∩Q− como
−A.a1a2 . . . an,
por ejemplo, −325
100
se puede escribir como
−.325 o − .3250.
Proposición 2.1.9. Si x, y ∈ D+,
x = A.a1a2 . . . an, y = B.b1b2 . . . bn,
entonces x > y si se cumple una de las 2 siguientes condiciones:
a) A > B,
b) A = B, ai = bi si i < k y ak > bk.
Demostración.
x =
Aa1a2 . . . an
10n
y =
Bb1b2 . . . bn
10n
,
40 CAPÍTULO 2. EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES
x > y ⇔ Aa1a2 . . . an
10n
− Bb1b2 . . . bn
10n
∈ Q+
⇔ Aa1a2 . . . an −Bb1b2 . . . bn
10n
∈ Q+
⇔ Aa1a2 . . . an > Bb1b2 . . . bn,
y esta condición se cumple si a) o b) se cumplen.
Obsérvese que las reglas de los signos son válidas en Q, por ejemplo
(a
b
)(−c
d
)
=
a(−c)
bd
=
(−a)c
bd
=
(−a
b
)( c
d
)
= −
(a
b
)( c
d
)
, etcétera.
Usando la expresión decimal en D esto se escribe, por ejemplo,
(−A.a1a2 . . . an)(−B.b1b2 . . . bn) = (A.a1a2 . . . an)(B.b1b2 . . . bn).
EJERCICIOS 2.1
1. Demuestre que
a
d
+
b
d
=
a+ b
d
.
2. Demuestre la asociatividad de la suma y la distributividad de los números
racionales.
3. Pruebe que si
a
b
>
a′
b′
>
0
1
y
c
d
>
c′
d′
>
0
1
,
entonces
a
b
c
d
>
a′
b′
c′
d′
.
2.2. Los números reales, orden
Definición 15. Los números reales no negativos son expresiones decimales
infinitas de la forma
A.a1a2a3 . . . ,
donde A ∈ N ∪ {0} y aj ∈ {0, 1, . . . , 9}, los puntos suspensivos indican que
hay un número infinito de aj, y se supone que ∀ n ∈ N, ∃ m > n tal que
am 6= 9 (es decir no hay cotas infinitas de nueves).
2.2. LOS NÚMEROS REALES, ORDEN 41
Excluyendo el 0.000 . . . se obtiene los reales positivos denotados por R+,
los reales negativos son los reales positivos con un signo - antepuesto y se
denotan por R−.
Definición 16. Los números reales consisten de los números del conjunto
R+ ∪ R− ∪ {0}.
Obsérvese que D se puede identificar con los reales con una cola infinita
de ceros, por ejemplo,
325
100
= 3.25000 . . . .
Nótese también que Z ⊂ D ⊂ R.
Definición 17. Un orden total en un conjunto S es una relación en S,
denotada por >, que cumple las siguientes 2 condiciones:
a) ∀ r, s, t ∈ S tales que r > s y s > t se tiene r > t (transitividad),
b) ∀ r, s, t ∈ S se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones:
r < s, r = s o r > s (tricotomı́a).
Se extiende el orden en D a un orden en R de la siguiente manera:
1) 0 > x ∀ x ∈ R−,
2) x > y ∀ x ∈ R+, y ∈ R−
3) x > 0 ∀ x ∈ R+
4) Dados 2 reales positivos
x = A.a1a2a3 · · · ,
y = B.b1b2b3 · · · ,
x > y si se cumple alguna de las siguientes condiciones
a) A > B,
b) A = B, ai = bi ∀ i < n y an > bn.
5) Si x ∈ R+, y ∈ R+, entonces
x > y ⇐⇒ −y > −x.
42 CAPÍTULO 2. EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES
Proposición 2.2.1. El orden definido en R es un orden total.
Demostración. Transitividad: si x > y y y > z, se tiene x > z :
Si x ∈ R+ y z = 0 o z ∈ R− (por definición). También, si x = 0 y z ∈ R−.
Por lo que basta probarlo cuando x, y, z ∈ R+ o x, y, z ∈ R−. En el primer
caso, si
x = A.a1a2 · · ·
y = B.b1b2 · · ·
z = C.c1c2 · · · ,
se tiene A > B > C, si A > C se sigue el resultado, por otra parte si
A = B = C, se tiene ai = bi ∀ i < n y an > bn.
Finalmente, como y > z se tiene que
cj < bj = aj para alguna j 6 n y ci = bi ∀ i < j, ∴ x > z,
o
cj = bj ∀ j < n y an > bn = cn y x > z.
El caso x, y, z ∈ R− se deduce del anterior x < y, y < z
⇒ −x > −y, −y > −z
∴ −x > −z y x < z.
Tricotomı́a: si x, y no están ambos en R+ (o en R−), el resultado se sigue
de manera inmediata por 1), 2) y 3). También si x, y ∈ R+, el resultado se
sigue de 4) y si x, y ∈ R−, éste se sigue de 5).
Por ejemplo 0 > −.002, 1 > .99872, −2.3 > −2.8. Obsérvese que se
sigue de la Proposición 2.1.9 que el orden definido en D como subconjunto
de Q es el mismo que aquel definido como subconjunto de R. El siguiente
resultado establece que el subconjunto D es denso en R.
Teorema 2.2.2. ∀ α, β ∈ R tal que α < β, existe c ∈ D tal que α < c < β.
Demostración.
Caso 1: 0 6 α < β. Sean
α = A.a1a2 · · · ,
β = B.b1b2 · · · .
Si A < B sea an tal que an 6= 9 y a∗n = an + 1, tomando
c = A.a1a2 . . . a
∗
n,
2.2. LOS NÚMEROS REALES, ORDEN 43
se tiene
α < c < β.
Si A = B sea n tal que ai = bi si i < n y an < bn, tomando m > n tal que
am 6= 9, a∗m = am + 1 y
c = A.a1a2 · · · am−1a∗m,
se tiene c ∈ D y α < c < β.
Caso 2: α < β 6 0.
Entonces −α > −β > 0 y existe c ∈ D tal que −α > c > −β,
∴ α < −c < β.
Caso 3: α < 0 < β, tomando c = 0 se sigue el resultado.
Teorema 2.2.3. ∀ α ∈ R y ∀ n ∈ N, existe a ∈ D tal que a < α < a+ 10−n,
si α > 0 se puede tomar a > 0.
Demostración.
Caso 1: α 6∈ D.
Si α > 0, α = A.a1a2 · · · , tomando a = A.a1a2 · · · an, se tiene
a < α < a+ 10−n =
Aa1a2 · · · an
10n
+
1
10n
,
la primera desigualdad se sigue ya que existe am 6= 0,m > n (puesto que
α 6∈ D), la 2a desigualdad se sigue ya que la expansión decimal de a+ 10−n
es “mayor” que la de
A.a1a2 · · · an (se le está sumando 1 en el lugar n-ésimo).
Si α < 0, α = −A.a1a2 · · · , tomando a = A.a1a2 · · · an,
a < −α < a+ 10−n,
como en el caso positivo, y se tiene
−(a+ 10−n) < α < −a = (−a+ 10−n) + 10−n.
Caso 2: α ∈ D.
Se prueba primero α > 0. El método anterior no funciona, por ejemplo,
si n = 1 y α= .4, .4 < .4 + .1, pero .4 no es menor que .4, sin embargo
.39< .4< .39+.1 = .49 lo cumple.
44 CAPÍTULO 2. EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES
Para el caso general sea a = α− 10−(n+k) ∈ D tal que a > 0, k > 1 (esto
se puede ya que α > 10−t para t suficientemente grande). Por lo cual
a = α− 10−(n+k) < α < α + 10−(n+k) = a+ 2 · 10−(n+k) < a+ 10−n,
puesto que 10−(n+k) < 10−(n+1), ya que k > 1, y 2
10
< 1. El caso α < 0 se
sigue como en el Caso 1.
Finalmente, si α = 0, tomando a = −10−(n+1)
−10−(n+1) < 0 < −10−(n+1) + 10−n,
ya que 10−(n+1) < 10−n.
2.3. Cotas y fronteras
Definición 18. Sea S ⊂ R, se dice que α ∈ R es una cota superior (o
inferior) de S si α > x (o α 6 x) ∀ x ∈ S.
Definición 19. Sea S ⊂ R, se dice que S está acotado superiormente (o
inferiormente) si existe alguna α ∈ R tal que α es cota superior (o inferior).
Definición 20. Sea S ⊂ R, se dice que α es el supremo de S si
1. α es cota superior de S,
2. si β es cota superior de S, entonces α 6 β, se escribe supS = α.
Nótese que el supremo es la menor de las cotas superiores. Además el
supremo es único (ejercicio).
Definición 21. Sea S ⊆ R, se dice que α es el ı́nfimo de S si
i) α 6 x, ∀ x ∈ S,
ii) dada β cota inferior de S, β 6 α.
Se escribe infS, y es la mayor de las cotas inferiores. También el ı́nfimo
es único (ejercicio).
Teorema 2.3.1. Sea S ⊆ R acotado superiormente (o inferiormente), en-
tonces S tiene un supremo (o un ı́nfimo).
2.3. COTAS Y FRONTERAS 45
Demostración.
Caso 1: Si S ∩R+ 6= ∅ y S está acotado superiormente, entonces S tiene
un supremo.
Prueba. Sea C el conjunto de todas las cotas superiores de S, obsérvese
que C 6= ∅ y C ⊆ R+. Sea
C0 = {m ∈ N ∪ {0} | m es la parte entera de algún elemento de C},
y sea A el menor elemento de C0. Se define también
C1 = {t ∈ {0, 1, . . . , 9} | A.tx2x3 · · · ∈ C},
y a1 el menor de los elementos de C1. Sea
C2 = {t ∈ {0, 1, . . . , 9} | A.a1tx3x4 · · · ∈ C},
y a2 el menor elemento de C2, etcétera.
Se afirma que
α = A.a1a2a3 · · ·
es el supremo de S. Probamos primero que α no tiene colas de nueves: si
an = 9, existe γ ∈ Cn
γ = A.a1a2 · · · anxn+1xn+2 · · ·xn+r · · ·
tal que xn+r 6= 9 (γ ∈ R), y necesariamente existe m > n, m 6 n + r, tal
que am < 9 :
Si an+1, an+2, · · · , an+r−1 = 9, entonces
xn+1, xn+2, · · · , xn+r−1 = 9 y an+r 6 xn+r < 9.
i) α es cota superior de S : se prueba que dada β ∈ S, α > β. Sea
β = B.b1b2 · · · ,
como existe A.x1x2 · · · ∈ C A > B. Si A > B, entonces α > β. Si
A = B, como existe A.a1x2 · · · ∈ C1 a1 > b1, si a1 > b1, α > β. Si
a1 = b1, se toma A.a1a2x3 · · · ∈ C2 y a2 > b2, etcétera.
Por lo cual existe n tal que an > bn y α > β o ∀ n an = bn y α = β.
ii) α es la menor de las cotas superiores: sea β otra cota superior,
β = B.b1b2 · · · ,
A 6 B por construcción, si A < B ya está, si A = B, a1 6 b1 (por
construcción), si a1 < b1 terminamos, si a1 = b1, a2 6 b2, etcétera.
46 CAPÍTULO 2. EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES
Caso 2: Se prueba que si S ⊆ R+, S 6= ∅, S tiene un ı́nfimo.
Prueba. Sea
C0 = {B ∈ N ∪ {0} | B.x1x2 · · · ∈ S},
y A = mı́nC0. Se define también
C1 = {t ∈ {0, 1, . . . , 9} | A.tx2x3 · · · ∈ S},
y a1 = mı́nC1. El siguiente paso es tomar
C2 = {t ∈ {0, 1, . . . , 9} | A.a1tx3x4 · · · ∈ S},
y a2 = mı́nC2, etcétera.
Se afirma que α = A.a1a2a3 · · · = infS. La prueba es análoga al Caso 1.
i) No hay colas de nueves: dada n, sea γ ∈ S,
γ = A.a1a2 · · · anxn+1xn+2 · · ·xn+r · · · ,
xn+r 6= 9. Si an+1, an+2, . . . , an+r−1 = 9, entonces xn+1, . . . , xn+r−1 = 9,
y an+r < 9.
ii) α es cota inferior: si
β = B.b1b2 · · · ∈ S,
A 6 B por definición, si A < B acabamos. Si A = B, a1 6 b1, si
a1 < b1 ya está, si a1 = b1, a2 6 b2, etcétera.
iii) α es la mayor de las cotas inferiores: sea β = B.b1b2 · · · otra cota
inferior, por definición de C0, B 6 A, si B < A ya está, si A = B por
definición de C1, b1 6 a1, etcétera.
Caso 3: Todo subconjunto S de R, S 6= ∅ y acotado superiormente tiene
supremo.
Prueba. Si S ∩ R+ 6= ∅ es el Caso 1. Si S ∩ R+ = ∅, pero 0 ∈ S, entonces
0=supS: x 6 0,∀ x ∈ S y si y < 0, y no es cota superior. Finalmente si
S ∩ R+ 6= ∅ y 0 6∈ S, entonces S ⊂ R−. Sea S ′ el reflejado de S, es decir,
S ′ = {x ∈ R | − x ∈ S}.
Por lo cual S ′ ⊂ R+ y por el Caso 2 existe α =infS ′, se afirma que
−α = sup S.
2.4. SUMA Y PRODUCTO EN R 47
Esto se sigue ya que si x ∈ S,
−x ∈ S ′ y α 6 −x.
Por lo tanto,−α > x y−α es cota superior de S. También si y es cota superior
de S, −y es cota inferior de S ′ (y > x ∀ x ∈ S, −y 6 −x ∀ − x ∈ S ′).
∴ −y 6 α y y > −α.
Caso 4: Si S ⊂ R, S 6= ∅, S acotado inferiormente, entonces existe infS.
Prueba. Sea
S ′ = {x ∈ R | − x ∈ S}
el reflejado de S, se tiene que S ′ esta acotado superiormente y como en el
Caso 3, si α = supS ′,
−α = infS.
EJERCICIOS 2.3
1. Pruebe que el supremo y el ı́nifno son únicos.
2.4. Suma y producto en R
Los algoritmos de la primaria, que se derivan de nuestras definiciones y la
ley distributiva, permiten sumar y multiplicar números en D (ejercicio).
4 . 0 7
+ . 0 2
4 . 0 9
3 . 1 4
× . 1 9
2 8 2 6
3 1 4
.5 9 6 6
Sin embargo esto no se aplica a los reales con expansiones infinitas de d́ıgi-
tos distintos de cero. Para definir estas operaciones aproximamos los reales
por números en D.
Definición 22. Sean α, β ∈ R,
U = {x ∈ D | x 6 α},
V = {y ∈ D | y 6 β},
y C = {x+ y | x ∈ U, y ∈ V },
se define α + β = sup C.
48 CAPÍTULO 2. EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES
Hay que probar que C está acotado superiormente tomando a ∈ D tal
que a > α y b ∈ D que cumpla b > β (si α = A.a1a2 · · · , se puede tomar
a = A+1, si α ∈ R−, a = 0 etcétera). Se tiene x < a ∀ x ∈ U y y < b ∀ y ∈ V,
∴ x+ y < a+ b,
y a+ b es una cota superior de C.
Definición 23. Sean α, β ∈ R+,
A = {x ∈ D | 0 6 x 6 α},
V = {y ∈ D | 0 6 y 6 β},
y P = {xy | x ∈ A, y ∈ C},
se define αβ = supP.
De nuevo P está acotado superiormente, ya que si α < a, β < b, se tiene
∀ x ∈ A x < a y ∀ y ∈ B y < b, por lo que xy < ab.
El producto de dos reales arbitrarios se define usando la regla de los
signos, si α, β ∈ R+,
(−α)(β) = α(−β) = −(αβ)
(−α)(−β) = αβ
0 · α = 0(−α) = −α · 0 = α · 0 = 0 · 0 = 0.
Obsérvese que estas definiciones extienden la suma y el producto en D. Si
α, β ∈ D, supC = α+β, ya que evidentemente α+β es una cota superior de
C y también es la menor ya que α + β ∈ C. (La misma situación se cumple
para el producto.)
Lema 2.4.1. Sea α ∈ R tal que
−10−n < α < 10−n ∀ n > 0,
entonces α = 0.
Demostración. Si α es un real no negativo, sea α = A.a1a2 · · · . Como ∀ n
A.a1a2 · · · < . 00 . . . 1︸ ︷︷ ︸
n lugares
0 · · ·
A = 0 y ai = 0 ∀ i.
Por otra parte si α ∈ R−, α = −A.a1a2 · · · ,
−10−0 = −1 < α y − 1 < A,
A = 0, también −.1 < α ∴ −1 < a1, por lo que a1 = 0, etcétera. Por lo que
α no puede ser un real negativo.
2.4. SUMA Y PRODUCTO EN R 49
Teorema 2.4.2. Sean α, β, α′, β′ ∈ R, entonces
i) si α′ < α, β′ < β, se tiene α′ + β′ < α + β,
ii) si α′ < α, se tiene α′ + β < α + β,
iii) si α > α′ y β > 0, se tiene αβ > α′β.
Demostración. i) Sean
A = {x ∈ D | x 6 α},
B = {x ∈ D | x 6 β},
A′ = {x ∈ D | x 6 α′},
B′ = {x ∈ D | x 6 β′},
W = {x+ y | x ∈ A, y ∈ B},
W ′ = {x+ y | x ∈ A′, y ∈ B′},
por lo que α + β =supW , α′ + β′ =supW ′.
Tomando c1 ∈ D tal que α′ < c1 < α y c′1 tal que c1 < c′1 < α y
análogamente c2, c
′
2 ∈ D tales que β′ < c2 < c′2 < β. Se tiene entonces que
x 6 c1, ∀ x ∈ A′ y y 6 c2 ∀ y ∈ B′. Por consiguiente
x+ y 6 c′1 + c
′
2 ∀ x ∈ A′, y ∈ B′ y
α′ + β′ = supW ′ 6 c′1 + c
′
2 < c1 + c2 6 supW = α + β.
ii) La demostración en este caso requiere más cuidado que el anterior ya
que podemos intercalar c, c′ entre α y α′ como en i),
α′ < c′ < c < α,
pero ahora sólo hay una β (Figura 2.1). Se debe elegir b ∈ D, 0 < b < β, en
función de c y c′.
Existe n ∈ N tal que c − c′ > 1
10n
(por el Lema 2.4.1), y también b ∈ D
tal que
b < β < b+ 10−n (Teorema 2.2.3).
Figura 2.1: Demostración de ii)
50 CAPÍTULO 2. EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES
∴ α + β > b+ c = b+ c′ + (c− c′) > b+ c′ + 10−n > α′ + β
(la1a desigualdad es por definición, la 2a es la misma desigualdad en D, ya
demostrada para Q, y la última se sigue de la definición de supremo).
Obsérvese que tomar solamente c ∈ D, α′ < c < α y b < β no necesaria-
mente funciona: α + β > c + b, pero c + b no necesariamente es mayor que
α′ + β.
iii) (Este caso es aún más complejo) Consideremos primero el caso α′ > 0,
como en los casos anteriores se toman c, c′ ∈ D tales que α > c > c′ > α′ y
existe m ∈ N tal que c− c′ > 10−m.
Usando el Teorema 2.2.3, ∀ n ∈ N, ∃ bn ∈ D tal que bn < β < bn + 10−n,
obsérvese que los bn se pueden tomar crecientes, ya que si β 6∈ D, bn consiste
de cortar la expansión de β en el n−ésimo decimal, y si β ∈ D, bn consiste
de restar a β términos de la forma 10−k, y éstos se pueden ir tomando de
manera creciente.
Se sigue de la definición y de la misma propiedad en Q (Proposición 2.1.8)
que ∀ n,
αβ > cbn > (c
′ + 10−m)bn,
y que
c′(bn + 10
−n) > α′β,
por lo que basta probar que para n adecuada
(c′ + 10−m)bn > c
′(bn + 10
−n).
Como estos números están en D, basta probar
10−mbn > c
′10−n.
Fijando una k y su respectiva bk, se tiene 10
−mbn > 10
−mbk ∀ n > k, por
lo que basta probar 10−mbk > c
′10−n. Esto sucede si n es suficientemente
grande, ya que entonces c
′
10n
es tan pequeño como se quiera, i.e. menor a
cualquier cantidad positiva.
Los demás casos se siguen fácilmente: si α′ = 0, αβ > 0 = α′β. Si α′ < 0
y α > 0 α′β < 0 y αβ > 0 (Reglas de los signos). Para α′ < 0 y
α = 0, α′β < 0 = αβ. Finalmente, si α′ < 0 y α < 0, −α′ > −α > 0,
∴ −α′β > −αβ y α′β < αβ.
Obsérvese que el Teorema 2.4.2, inciso iii) implica que si α > α′ > 0 y
β > β′ > 0, entonces
αβ > α′β′,
ya que αβ > α′β > α′β′.
2.4. SUMA Y PRODUCTO EN R 51
Probamos ahora que los reales son un campo, obsérvese que la defini-
ción de suma y producto de reales implica de manera inmediata que éstas
operaciones son conmutativas, por ejemplo,
α + β = supW = β + α,
W = {x+ y | x 6 α, y 6 β, x, y ∈ D}
= {y + x | x 6 α, y 6 β, x, y ∈ D}.
Nótese que ∀ α, β ∈ R se tiene que α < β ⇐⇒ −β < −α : si α, β ∈ R+
esto se sigue de la definición, también si α, β ∈ R−. Los otros casos son
triviales.
Lema 2.4.3. A.a1a2 · · ·+ (−A.a1a2 · · · ) = 0.
Demostración. ∀ n, ∃ an ∈ D tal que
an < A.a1a2 · · · < an + 10−n,
lo cual implica que también se tiene
−(an + 10−n) < −A.a1a2 · · · < −an.
Usando el Teorema 2.4.2, podemos sumar las desigualdades y tenemos
−10−n < A.a1a2 · · ·+ (−A.a1a2 · · · ) < 10−n,
∴ A.a1a2 · · ·+ (−A.a1a2 · · · ) = 0.
Lema 2.4.4. ∀ α ∈ R,
α + 0 = α.
Demostración. Para cualquier natural n ∃ an ∈ D tal que
an < α < an + 10
−n.
También usando el Teorema 2.4.2
an < α + 0 < an + 10
−n
y por lo tanto
−(an + 10−n) < −(α + 0) < −an.
Finalmente, sumando −10−n < α− (α + 0) < 10−n y
α = α + 0.
52 CAPÍTULO 2. EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES
Corolario 2.4.5. Si α, β ∈ R, entonces
α > β ⇐⇒ α + (−β) ∈ R+.
Demostración.
α > β ⇔ α + (−β) > β + (−β) = 0, i.e. α + (−β) ∈ R+.
Lema 2.4.6. La suma de reales es asociativa.
Demostración. Dados α, β, γ ∈ R, n ∈ N, existen an, bn, cn ∈ D tales que
an < α < an + 10
−n,
bn < β < bn + 10
−n,
cn < γ < cn + 10
−n
(Teorema 2.2.3). Se sigue entonces del Teorema 2.4.2 (y la definición) que
an + bn < α + β < an + bn + 2 · 10−n,
y también
an + bn + cn < (α + β) + γ < an + bn + cn + 3 · 10−n. (2.2)
Asimismo
an + bn + cn < α + (β + γ) < an + bn + cn + 3 · 10−n,
lo cual implica que
−an − bn − cn − 3 · 10−n < −[α + (β + γ)] < −an − bn − cn. (2.3)
Finalmente, sumando (2.2) y (2.3) se obtiene
−3 · 10−n < [(α + β) + γ]− [α + (β + γ)] < 3 · 10−n, ∀ n,
por lo cual
(α + β) + γ = α + (β + γ)
(en virtud del Lema 2.4.1).
2.4. SUMA Y PRODUCTO EN R 53
El inverso aditivo de un real es único: si α′, α′′ son dos inversos aditivos
de α, se tendŕıa
α′ = α′ + (α + α′′) = (α′ + α) + α′′ = 0 + α′′ = α′′,
denotaremos por −α al inverso aditivo de α.
Se definen las reglas de los signos tomando α, β ∈ R+, algo más general
es cierto. ∀ α, β ∈ R estas leyes son válidas:
i) (−α)(−β) = αβ,
ii) (−α)β = α(−β) = −(αβ).
Esto se sigue por definición en el caso α, β ∈ R+. Si α, β ∈ R−, entonces
−α,−β ∈ R+, y por ejemplo
(−α)(β) = −[(−α)(−β)] = −(αβ).
En el caso α ∈ R+, β ∈ R− se tiene, por ejemplo
(−α)(β) = [−(−α)](−β) = α(−β) = −(αβ),
ya que por definición αβ = −[α(−β)]. Los demás casos se prueban de manera
análoga. Como caso particular de las leyes de los signos tenemos
(−1)α = −α.
Lema 2.4.7. El producto en R es asociativo.
Demostración. Basta probarlo para reales positivos, el caso general se
sigue de la regla de los signos, por ejemplo, si α, β, γ ∈ R+ y dicha propiedad
es válida en este caso
[(−α)β](−γ) = [−(αβ)](−γ) = (αβ)γ = α(βγ)
= (−α)[−(βγ)] = (−α)[β(−γ)].
Los demás casos se prueban análogamente. Sean α, β, γ ∈ R+,
α = A.a1a2 · · ·
β = B.b1b2 · · ·
γ = C.c1c2 · · · ,
y N ∈ N tal que A,B,C < N. Además, ∀ n ∈ N se toman an, bn, cn ∈ D
tales que
0 < an < α < an + 10
−n,
0 < bn < β < bn + 10
−n,
0 < cn < γ < cn + 10
−n.
54 CAPÍTULO 2. EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES
Se sigue entonces del Teorema 2.4.2 que
anbn < αβ < anbn + (an + bn)10
−n + 10−2n,
y
anbncn < (αβ)γ < anbncn + (ancn + bncn + anbn)10
−n
+ (an + bn + cn)10
−2n + 10−3n.
Obsérvese que
10−n(ancn + bncn + anbn) + (an + bn + cn) · 10−2n + 10−3n
< 10−n(3N2) + 10−2n(3N) + 10−3n
< 10−n(3N2 + 3N + 1) < 10−n10m,
para m suficientemente grande. Por lo que
anbncn < (αβ)γ < anbncn + 10
−n10m.
Análogamente
anbncn < α(βγ) < anbncn + 10
−n10m,
y el resultado se sigue de manera similar al Lema 2.4.6.
Lema 2.4.8. α · 1 = α, ∀ α ∈ R.
La demostración queda como ejercicio para el lector.
Lema 2.4.9. La ley distributiva es válida en R, i.e. ∀ α, β, γ ∈ R,
α(β + γ) = αβ + αγ.
Demostración. Si α, β o γ es 0, el resultado es inmediato, por ejemplo si
β = 0,
α(0 + γ) = αγ = α · 0 + αγ.
Caso 1: α, β, γ > 0. ∀ n ∈ N, ∃ an, bn, cn ∈ D tales que
0 < an < α < an + 10
−n,
0 < bn < β < bn + 10
−n,
0 < cn < γ < cn + 10
−n,
por lo cual
anbn < αβ < anbn + (an + bn) · 10−n + 10−2n,
2.4. SUMA Y PRODUCTO EN R 55
y ancn < αγ < ancn + (an + cn) · 10−n + 10−2n
∴ anbn + ancn < αβ+αγ < anbn + ancn + (2 · an + bn + cn) · 10−n + 2 · 10−2n.
Si α, β, γ < N se tiene
anbn + ancn < αβ + αγ < anbn + ancn + 10
−n(4N + 2),
también bn + cn < β + γ < bn + cn + 2 · 10−n
y an(bn + cn) < α(β + γ)<an(bn + cn) + (2an + bn + cn)10
−n + 2 · 10−2n
< anbn + ancn + 10
−n(4N + 2),
donde N es una cota superior de α, β, γ como en el Lema 2.4.7. Tomando m
tal que
2 + 4N < 10m,
se tiene ∀ n ∈ N
anbn + ancn < αβ + αγ < anbn + ancn + 10
n−m
y anbn + ancn < α(β + γ) < anbn + ancn + 10
n−m,
y los argumentos de los lemas anteriores muestran que
αβ + αγ = α(β + γ).
Caso 2: α < 0, β, γ > 0.
Este caso se deriva del caso 1, las leyes de los signos y la unicidad del
inverso aditivo:
α(β + γ) = −[(−α)(β + γ)] = −[(−α)β + (−α)γ]
= −[−(αβ) + (−(αγ))] = −[−(αβ + αγ)] = αβ + αγ.
Caso 3: β < 0, γ < 0.
Usando los casos anteriores y las leyes de los signos,
α(β + γ) = −(α[−(β + γ)]) = −(α[(−β) + (−γ)])
= −[α(−β) + α(−γ)] = αβ + αγ.
Caso 4: β y γ tienen distinto signo (ejercicio).
Lema 2.4.10. Dado α ∈ R, α 6= 0, α tiene un inverso multiplicativo único.
56 CAPÍTULO 2. EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES
Demostración.
Existencia
Caso 1: α > 0.
Sea M = {x ∈ D+ | xα 6 1},
si β= supM, se afirma que
αβ = 1. (2.4)
M está acotado superiormente ya que si α = A.a1a2 · · · an · · · , A 6= 0 o
an 6= 0, en ambos casos, 1 6 10n+1 · α, ya que
10n+1α > 10n+1(A.a1a2 · · · an+1) > 1.
Por lo cual 10n+1 es cota superior de M (si t ∈M, tα 6 1 6 10n+1 · α y por
lo tanto t 6 10n+1 (Teorema 2.4.2)).
También, si 0 < γ < β, entonces γα 6 1, ya que β = supM. Si γα > 1,
γ seŕıa cota superior de M (si tα 6 1, necesariamente t 6 γ).
Ahora, probamos (2.4). ∀ n sea bn ∈ D tal que
bn < β < bn + 10
−n,
se sigue de la observación anterior que
bnα 6 1 6 (bn + 10
−n)α, (2.5)
(si (bn + 10
−n)α < 1, bn + 10
−n ∈M y como β < bn + 10−n, β no seŕıa cotasuperior). Usando el Teorema 2.4.2 se tiene también que
bnα 6 βα 6 (bn + 10
−n)α. (2.6)
Finalmente, si 1 6= βα, digamos 1 < βα, usando (2.5) y (2.6), ∀ n ∈ N
bnα 6 1 < βα < (bn + 10
−n)α
y 0 < βα− 1 < 10−nα < 10m−n ∀ n, lo cual es una contradicción.
En este último paso usamos que las desigualdades 0 < a1 < a2 < a3 < a4
implican 0 < a3 − a2 < a4 − a1 (ejercicio).
Caso 2: α < 0, entonces ∃ β ∈ R tal que β(−α) = 1 y
α(−β) = 1.
Unicidad
Si αβ = αγ = 1, β 6= γ. Para α > 0, se tiene (por las leyes de los signos)
que β, γ > 0, digamos β < γ. En virtud del Teorema 2.4.2, αβ < γα, lo cual
es una contradicción.
2.5. RACIONALES Y REALES 57
Para α < 0, se tiene
(−α)(−β) = (−α)(−γ) = 1
y por el caso anterior, −β = −γ.
Hemos probado:
Teorema 2.4.11. Los números reales son un campo.
EJERCICIOS 2.4
1. Muestre con un ejemplo que los algoritmos de la primaria de la suma y la
multiplicación de números en D se derivan de nuestras definiciones y de la
ley distributiva.
2. Demuestre el Lema 2.4.8.
3. Demuestre que si α ∈ R+, β ∈ R−, entonces (αβ) = (−α)(−β).
4. Termine las pruebas de los Lemas 2.4.9 y 2.4.10.
2.5. Racionales y reales
Se identificaron los números en D con números reales, identificamos ahora
todos los racionales.
Definición 24. Sea
j : Q −→ R,
dada por j(a
b
) = ab−1.
Esta inclusión está bien definida: a
b
= c
d
⇔ ad = bc ⇔ ab−1 = cd−1.
Obsérvese que:
a) j es inyectiva:
j
(a
b
)
= j
( c
d
)
⇔ ab−1 = cd−1 ⇔ ad = bc⇔
(a
b
)
=
( c
d
)
.
b) j preserva la suma:
j
(a
b
)
+ j
( c
d
)
= j
(a
b
+
c
d
)
(ejercicio).
58 CAPÍTULO 2. EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES
c) j preserva productos:
j
(a
b
)
j
( c
d
)
= ab−1cd−1 = ac(bd)−1 = j
(ac
bd
)
.
d) j preserva el orden:
j
(a
b
)
> j
( c
d
)
⇔ ab−1 > cd−1 (ejercicio).
De ahora en adelante identificaremos Q con j(Q), y usaremos ambas
notaciones para cocientes:
α
β
= αβ−1, β 6= 0.
Como D ⊂ R, se tiene que Q es denso en los reales (Teorema 2.2.2).
EJERCICIOS 2.5
1. Pruebe que la inclusión j : Q −→ R preserva la suma y el orden.
Representación decimal de racionales
Es necesario identificar ésta definición de racionales, m
n
como mn−1, con la
expresión decimal (obtenida en cursos elementales).
Teorema 2.5.1. Sea
m
n
= B.b1b2 · · · ∈ Q,
y también A ∈ N, a1, a2, a3, . . . ∈ {0, 1, . . . , 9} tales que



nA 6 m < n(A+ 1),
n(A.a1) 6 m < n(A.a1 + 10−1),
n(A.a1a2) 6 m < n(A.a1a2 + 10−2),
...
...
...
(2.7)
entonces
B.b1b2 · · · = A.a1a2 · · · .
Antes de probar el teorema, observamos que (2.7) no es otra cosa que el
algoritmo de la primaria.
2.5. RACIONALES Y REALES 59
Ejemplo
2500
124
124(20) < 2500 < 124(20 + 1)
124(20.1) < 2500 < 124(20.2)
124(20.16) < 2500 < 124(20.17)
...
...
...
Algoritmo (usando repetidas veces la ley distributiva):
250(10) = 2(124)(10) + 20,
20 = 0(124) + 20
= (124)(.1) + 7.6,
7.6 = (.06)(124) + .16
2500 = 20(124) + (.1)(124) + 7.6
= (20.1)(124) + (.06)(124) + .16
= 124(20.16) + .16
Obsérvese que en (2.7) las desigualdades de la izquierda se obtienen ya
que los residuos son > 0, y los de la derecha, ya que al dividir se toma
el mayor número posible con dicha propiedad, de otra manera estaŕıamos
dividiendo mal.
Demostración. (Del Teorema 2.5.1) Las identidades (2.7) se pueden rees-
cribir como:
0 6 m− nA < n
0 6 m− n(A.a1) < n(10−1)
0 6 m− n(A.a1a2) < n(10−2)
...
...
...
60 CAPÍTULO 2. EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES
o
0 6
m
n
− A < 1
0 6
m
n
− A.a1 < 10−1
0 6
m
n
− A.a1a2 < 10−2
...
...
...
Como
m
n
= B.b1b2 · · · , se tiene
0 6 B.b1b2 · · · − A < 1 y
A 6 B.b1b2 · · · < A+ 1
∴ A 6 B < A+ 1 y A = B.
También
0 6 A.b1b2 · · · − A.a1 < 10−1
∴ A.a1 6 A.b1b2 · · · < A.a1 + .1,
y a1 6 b1 < a1 + 1 por lo que a1 = b1,
etcétera.
∴ B.b1b2 · · · = A.a1a2 · · · .
Algunos números reales tiene una expansión decimal periódica, por ejem-
plo,
8
3
= 2.66 . . . ,
17
11
= 1.5454 . . . ,
estos periodos se denotan como
2.6̂ o 1.5̂4.
Probaremos que los reales periódicos son precisamente los racionales.
Nótese que dado α ∈ R,
α = A.a1a2 · · · ,
α(10) = Aa1.a2a3 · · · . (2.8)
Dejamos la verificación de este hecho como ejercicio.
2.5. RACIONALES Y REALES 61
Teorema 2.5.2. Un número real es periódico si y sólo si es racional.
Demostración. ⇒) Sea α ∈ R+ periódico, digamos
α = A.a1 · · · am ̂am+1 · · · an,
α se puede escribir como
A.a1 · · · am + . 00 · · · 0︸ ︷︷ ︸
m lugares
̂am+1 · · · an (ejercicio).
Ahora, usando (2.8) se tiene
10mα = 10m(A.a1 · · · am) + . ̂am+1 · · · an
= 10mA+ 10m−1a1 + · · ·+ 10am−1 + am + . ̂am+1 · · · an,
también aplicando los mismos argumentos
10nα = 10nA+ 10n−1a1 + · · ·+ 10an−1 + an + . ̂an+1 · · · an,
(obsérvese que an+1 = am+1), por lo cual
(10n − 10m)α = 10nA+ 10n−1a1 + · · ·+ an
−(10mA+ 10m−1a1 + · · ·+ am) = B ∈ Z.
∴ α ∈ Q, ya que α = B
10n − 10m .
⇐) Sea α = m
n
∈ Q+.
En el algoritmo de la división, sin tomar en cuenta decimales, los residuos
siempre son menores que n (el divisor), además el algoritmo consiste en ir
considerando sucesivamente a estos residuos como los dividendos (agregándo-
les un 0). Por consiguiente, si un residuo aparece por segunda vez, se repite
exactamente el mismo proceso que cuando apareció la primera vez.
Finalmente, como hay un número finito de números menores a n, algún
residuo necesariamente se repite (en menos de n pasos), obteniéndose un
número periódico.
Ilustramos la prueba de la suficiencia en el Teorema 2.5.2 con dos ejem-
plos.
13 960
73.846153
050
110
060
80
020
70
50
62 CAPÍTULO 2. EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES
∴
960
13
= 73.846153̂84615.
o
1
3
= 0.333 . . . = 0.3̂.
EJERCICIOS 2.5
1. Demuestre que dado α ∈ R, α = A.a1a2 · · · , α(10) = Aa1.a2a3 · · · .
2. Complete el detalle faltante en la prueba de la necesidad del Teorema 2.5.2.
2.6. Raices n-ésimas, exponentes fraccionarios
2.6.1. Raices n-ésimas
Teorema 2.6.1. ∀ α ∈ R+ y ∀ n ∈ N, existe un único β ∈ R+ tal que
βn = α,
este real se denota por n
√
α.
Demostración.
Existencia
Sea
W = {x ∈ R+ | xn < α}.
W está acotado superiormente:
γ = máx {1, α} es cota superior:
si α > 1, entonces αn > α > xn ∀ x ∈ W, y por lo tanto x 6 α = γ, y si
α 6 1, xn < 1 y x < 1 = γ (en estos argumentos usamos el ejercicio 2.6.1.1).
Se afirma que si β = supW, entonces βn = α.
Para probar esto, nótese que si r es suficientemente grande, β−10−r > 0,
y como β − 10−r > 0 no es cota superior de W, ∃ x, x > β − 10−r, tal que
xn < α y también (β − 10−r)n < α, por lo tanto
(β − 10−r)n < α < (β + 10−r)n (2.9)
∀ r suficientemente grande.
Finalmente obtenemos estimaciones para estas cotas de α :
(β + 10−r)n =
n∑
j=0
(
n
j
)
βn−j
10jr
6 βn +
k
10r
n∑
j=1
(
n
j
)
= βn +
k
10r
(2n − 1),
2.6. RAICES N -ÉSIMAS, EXPONENTES FRACCIONARIOS 63
donde k = máx{βn−1, 1}. También
(β − 10−r)n =
n∑
j=0
(
n
j
)
βn−j(−1)j
10jr
= βn +
n∑
j=1
(−1)j
(
n
j
)
βn−j
10jr
> βn −
n∑
j=1
(
n
j
)
βn−j
10jr
> βn − (2
n − 1)k
10r
.
Reemplazando estas desigualdades en (2.9) se tiene
βn − c
10r
6 α 6 βn +
c
10r
, c constante, c > 0,
o
− c
10r
6 α− βn 6 c
10r
, ∀ r suficientemente grande,
o
− 1
10r
6
α− βn
c
6
1
10r
.
∴ α = βn.
Unicidad
Si β > γ, βn > αn, por lo tanto existe un real único tal que
βn = α.
EJERCICIOS 2.6.1
1. Si 0 < x < y, pruebe que 0 < xn < yn.
2.6.2. Exponentes fraccionarios
Definición 25. Si α ∈ R y n ∈ N se define
αn = α · α · · ·α︸ ︷︷ ︸
n veces
,
y si α ∈ R− {0}, α−n = (αn)−1.
Nótese que (αn)−1 = ( 1
α
)n. Por convención α0 = 1.
64 CAPÍTULO 2. EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES
Observación.
i) αmαn = αm+n.
ii) (αm)n = αmn.
Prueba de i) αmαn = (α · · ·α)︸ ︷︷ ︸
m veces
(α · · ·α)︸ ︷︷ ︸
n veces
. También, si m > 0, n < 0, si p = −n
αmαn = (α · · ·α)︸ ︷︷ ︸
m veces
(
1
α
· · · 1
α
)
︸ ︷︷ ︸
p veces
= αm−p = αm+n,
etcétera.
Prueba de ii) (αm)n = (α · · ·α)︸ ︷︷ ︸
m veces
· · ·
n veces
(α · · ·α)︸ ︷︷ ︸
m veces
= αmn.
Si m < 0 o n < 0 se reemplaza la misma expresión por 1
α
, etcétera.