Copia de S8 MEDIAS Y DESVIACION MB - Patricia Torres

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1
Medidas de Tendencia 
Central y Dispersión
2021-2
8
PREUNIVERSITARIO
2
MEDIDAS DE TENDENCIA 
CENTRAL
3
INICIOS CIVILIZACIONES COMO 
EGIPTO, BABILONIA , ROMA
4
ESTADISTICA : HERRAMIENTA DEL ESTADO
TRIBUTOS
EVIDENCIAS ANTIGUAS DE
QUERER SABER
¿CUÁNTOS?
HABITANTES, ANIMALES
,COSECHA,PROPIEDADES,
HIJOS,ETC….
ESTADISTICA : LA ARITMÉTICA POLITICA
5
MEDIDAS DE TENDENCIA 
CENTRAL
Son medidas de centralización de un conjunto de datos y es el valor más
representativo de este conjunto y no necesariamente uno de ellos.
Estudiaremos la MEDIA, MEDIANA Y MODA.
6
Es el valor promedio correspondiente a un conjunto de datos 
estadísticos.
PARA DATOS NO AGRUPADOS
Sean los valores: x1; x2; x3;………; xn
.
.
.
.
.
.
Su media aritmética se calcula como:
Media aritmética(ഥ𝒙)
ҧ𝑥 =
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
7
nota N°
alumnos
8 1
10 4
12 3
18 2
¿Cuántos alumnos 
superaron la media en la 
siguiente distribución? 
APLICACIÓN 1 Resolución 
ഥ𝑿= 
𝟖𝒙𝟏+𝟏𝟎𝒙𝟒+𝟏𝟐𝒙𝟑+𝟏𝟖𝒙𝟐
𝟏+𝟒+𝟑+𝟐
ത𝑋= 12
Superaron la media 12
2 alumnos, lo cuales
obtuvieron 18
8
Media aritmética ponderada. Se aplica cuando no todos los datos tienen la misma importancia o peso. 
Su fórmula es similar a la de los datos agrupados, cambiando fi por los pesos pi y el denominador N por la 
suma de todos los pesos; en este caso xi sería el valor de cada dato. 
k21
kk2211
i
ii
p
p...pp
px...pxpx
p
px
x
+++
+++
==


 
Curso NOTA peso 
practica 1 15 1
Practica 2 0 1
Parcial 1 12 2
Practica 3 18 1
Practica 4 8 2
Parcial 2 14 3
Aplicación 2
ത𝑋= 
1.15+1.0+2.12+1.18+2.8+3.14
1+1+2+1+2+3
ത𝑋= 
115
10
=11,5
Un alumno de CEPREUNI presenta sus notas de 5 evaluaciones: 
Calcular su promedio
Media aritmética Ponderada(𝒙𝒑)
𝑆𝑒𝑎 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 ∶ 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, …, 𝑥𝑛
𝐶𝑢𝑦𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎, 𝑠𝑜𝑛 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, …, 𝑝𝑛
9
PARA DATOS AGRUPADOS 
Ii xi fi 𝒉𝒊
[ ; > 𝑥1 f1 ℎ1
[ ; > 𝑥2 f2 ℎ2
[ ; > 𝑥3 f3 ℎ3
[ ; > 𝑥𝑘−1 fk-1
ℎ𝑘−1
[ ; > 𝑥𝑘 fk ℎ𝑘
ത𝑋 =
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑘
𝑥𝑖𝑓𝑖
.
.
..
.
.
ത𝑋=σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖 . ℎ𝑖
Xi : marca de clase
También
La media está dado por
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ത𝑋 =෍
𝑖=1
𝑘
𝑥𝑖
𝑓𝑖
𝑛
=෍
𝑖=1
𝑘
𝑥𝑖ℎ𝑖
10
I 𝑥𝑖 𝑓𝑖 ℎ𝑖 𝐻𝑖
[ ; >
[ ;24 > 0,4
[ ; > 8 0,8෠3
[ ;42>
Completar la distribución de ancho
común y calcular la media, sabiendo
que f1 = f4.
I 𝑥𝑖 𝑓𝑖 ℎ𝑖 𝐻𝑖
[ >
[ ; 24 > 0,4
[ ; > 8 0,8෠3
[ ;42 >
APLICACIÓN 3
RESOLUCIÓN
24
w=
42−24
2
= 9 
33
33
15
6;15 10,5
19,5
28,5
37,5
Sean f1=f4=a
En 𝑓𝑖: n= a+0,4n+8+a
En ℎ𝑖: 
𝑎
𝑛
+ 0,4 + 
8
𝑛
=
5
6
n=30 a= 5
(1)
(2)
resolviendo
ത𝑋= 
10,5 .5+19,5 .12+28,5 .8 +37,5 .5
30
n:#de datos
n
a
a
0,4.n
a/n
8/n
5
6
total
=23,4
11
Si el número de datos es par la mediana es la media aritmética de los dos datos
centrales.
Ejemplo:
Sean los datos: 9, 7, 8, 10, 8, 11
ORDENANDO: 7, 8, 8, 9, 10, 11
Mediana (Me)
Para datos no agrupados 
Si el número de datos es impar la mediana es el dato central.
Ejemplo. 
Sean los datos: 9, 7, 8 , 10 , 8 , 11 , 8 
Ordenando: 7, 8, 8, ,8, 9, 10, 11
Me = 
𝟖+𝟗
𝟐
= 𝟖, 𝟓
Me= 8 
La mediana de un conjunto de datos cuantitativos ordenados se define como exactamente
el valor central que divide al total de datos en dos partes iguales.
Tenemos los casos:
12
b1) PARA DATOS AGRUPADOS
Frec
Acum
Fi
𝑛
2
Me
W
fm
𝑛
2
− 𝐹𝑖−1
𝑀𝑒−𝑳𝒊−𝟏
= 
𝑓𝑚
𝑊
Me =𝑳𝒊−𝟏 +W( 
𝒏
𝟐
−𝑭𝒊−𝟏
𝒇𝒎
)
n: numero de datos
𝑭𝒊−𝟏: número de datos acumulados 
hasta nivel i-1
Me: mediana
𝑳𝒊−𝟏:limite inferior de la clase mediana
fm: frecuencia mediana
Ii xi fi ℎ𝑖
[ ; > 𝒙𝟏 f1 𝒉𝟏
[ ; > 𝒙𝟐 f2 𝒉𝟐
[ ; > 𝒙𝟑 f3 𝒉𝟑
[ ; > 𝒙𝒌−𝟏 fk-1
𝒉𝒌−𝟏
[ ; > 𝒙𝒌 fk 𝒉𝒌
𝑭𝒊−𝟏
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
𝑳𝒊−𝟏 𝑳𝒊
13
A partir del siguiente histograma calcule la 
mediana de las edades.
A) 25,5 B) 26 C) 26,5 D) 27 E) 27,5
18
40
60
80
22 26 30 34 edades
fi
I Xi fi Fi
[18-22> 40 40
[22-26> 80 120
[26-30> 60 180
[30-34] 40 220
n= 220
Ubiquemos en Fi la mitad de n: 110 < 120
Luego, la clase mediana es: [22 –26>
Me =𝑳𝒊−𝟏 +W( 
𝒏
𝟐
−𝑭𝒊−𝟏
𝒇𝒎
)
Me =22 + 4( 
𝟐𝟐𝟎
𝟐
−𝟒𝟎
𝟖𝟎
) = 25,5
C. Me
APLICACIÓN 4 RESOLUCIÓN
W=4
𝑭𝒊−𝟏= 40
𝒇𝒎 = 80
La tabla será
14
Buscamos el dato que más veces se repite en el conjunto de datos 
ordenado . El dato más frecuente.
1, 2, 3, 3, 5, 100
2, 5, 5, 7, 8, 8, 10
0, 0, 0, 2, 2, 7, 8, 8, 9
3, 5, 7, 9, 10, 13, 15
1, 1, 2, 2, 3, 3
Ejemplos Calcular la moda en cada caso
la moda es 3 (unimodal)
la moda es 5 y 8 (bimodal)
la moda es 0
no existe moda
no existe moda
La moda de un conjunto de datos se define como el valor de mayor
frecuencia absoluta.
MODA
15
Selección de colores : azul, azul, verde, rojo, rojo, rojo, amarillo
Con datos cualitativos
Moda: rojo
Carreras N°
alumnos
Derecho 5
Medicina 8
Ingeniería 12
Informática 6
Moda: Ingeniería
Ejemplos
16
Es el valor que se ubica en el intervalo de mayor frecuencia absoluta. 
𝑳𝒊−𝟏 :límite inferior de la clase modal 
𝒅𝟏 : exceso de la frecuencia modal sobre la frecuencia 
de la clase inmediatamente anterior a la clase modal
𝒅𝟐: exceso de la frecuencia modal sobre la frecuencia 
de la clase que sigue inmediatamente a la clase modal
W: amplitud del intervalo de clase modal.
Mo =𝑳𝒊−𝟏 +W( 
𝒅𝟏
𝒅𝟏+𝒅𝟐
)
c2) Para datos agrupados 
𝒅𝟏= 𝒇𝒊-𝒇𝒊−𝟏
𝒅𝟐= 𝒇𝒊-𝒇𝒊+𝟏
17
Mo𝐿𝑖−1 𝑳𝒊
𝒇𝒊−𝟏
𝒇𝒊
𝒇𝒊+𝟏 𝑑1
𝒅𝟐
W
𝑑1= 𝑓𝑖-𝑓𝑖−1
𝑑2= 𝑓𝑖-𝑓𝑖+1
Observamos
𝑀𝑜−𝐿𝑖−1
𝑑1
= 
𝐿𝑖−𝑀𝑜
𝑑2
𝑀𝑜−𝐿𝑖−1
𝑑1
= 
𝑊
𝑑1+ 𝑑2
Mo =𝑳𝒊−𝟏 +W( 
𝒅𝟏
𝒅𝟏+𝒅𝟐
)
A
B
C
D
E
ABC ~ CDE
= 
𝐿𝑖−𝐿𝑖−1
𝑑1+ 𝑑2
Demostración Sea el histograma
18
Una familia está conformada por 8 integrantes (padres e hijos siendo la media de sus
edades 10 y además la mediana al igual que la moda es igual a 7. Determine la máxima
edad que puede tener el padre, si este es mayor a la madre en 2 años además en la
familia hay gemelos.
A) 24 B) 25 C) 26 D) 28 E) 30
Resolución
𝑎1 ≤ 𝑎2 ≤ 𝑎3 ≤ 𝑎4 ≤ 𝑎5 ≤ 𝑎6 ≤ 𝑎7 ≤ 𝑎8
p P+2
7
7 7
7 7
6 8
0 0 1 7
menores
máx
0 0 0 8
0 0 1 8
Me=7
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + 𝑎5 + 𝑎6 + 𝑎7 + 𝑎8=80
0+0 + 1 + 7 + 7 + 7 + 𝑝 +p+2=80
P= 28
APLICACIÓN 5
Mo=7
GEMELOS
NO
NO
ҧ𝑥 =10
(Edad de la madre)
Edad del Padre= 30 años
19
Intervalos fi Fi hi Hi
[30 ; 60) 0,08
[60 ; 90) 0,40
[90 ;120) 20
[120 ;150] 40
Calcule la moda de la siguiente 
distribución de frecuencias
A) 130 B) 125 C) 130 D) 125
E)135
Intervalos fi Fi hi Hi
[30 ; 60) 0,08
[60 ; 90) 0,40
[90 ; 120) 20
[120 ; 150] 40 100%
𝑯𝟐= 40%n 
n
𝒅𝟏= 40-20=20 
𝒅𝟐= 40-0 = 40
Mo =120 +30( 
𝟐𝟎
𝟐𝟎+𝟒𝟎
)
C. Mo
Mo =𝑳𝒊−𝟏 +W( 
𝒅𝟏
𝒅𝟏+𝒅𝟐
)
El intervalo modal [120 – 150)
APLICACIÓN 6
0,08
0,3232
8
x100
RESOLUCIÓN
Completando
Luego 60%n = 20+40
Es decir n =100
OBSERVAMOS
=100
La moda está en el intervalo 
de mayor frecuencia
𝒅𝟏
𝒅𝟐
= 130
20
MEDIA GEOMÉTRICA MEDIA ARMÓNICAPARA DATOS 
NO 
AGRUPADOS 
PARA DATOS 
AGRUPADOS 
MH= 
𝒏
𝟏
𝑿𝟏
+
𝟏
𝑿𝟐
+
𝟏
𝑿𝟑
+⋯+
𝟏
𝑿𝒏
OTRAS MEDIDAS CENTRALES
n=𝒇𝟏 + 𝒇𝟐+…+𝒇𝒌
MH= 
𝒏
𝒇𝟏(
𝟏
𝑿𝟏
)+𝒇𝟐(
𝟏
𝑿𝟐
)+⋯+𝒇𝒌(
𝟏
𝑿𝒌
)
n=𝒇𝟏 + 𝒇𝟐+…+𝒇𝒌
MG= 
𝒏
𝒙𝟏
𝒇𝟏 . 𝒙𝟐
𝒇𝟐 …𝒙𝒌
𝒇𝒌
𝐌𝐆 = n x1. x2. x3…xn
21
Si la MH de 20 números positivos distintos es 2,5 y de otros 30
números positivos distintos es 0,25 y de un tercer grupo de 50
números es 5 . Calcular la MH de los 100 números.
APLICACIÓN 6
Resolución
MH= 
𝟏𝟎𝟎
𝟐𝟎(
𝟏
𝟐,𝟓
)+𝟑𝟎(
𝟏
𝟎,𝟐𝟓
)+𝟓𝟎(
𝟏
𝟓
)
=
𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟑𝟖
MH= 
𝒏
𝒇𝟏(
𝟏
𝑿𝟏
)+𝒇𝟐(
𝟏
𝑿𝟐
)+⋯+𝒇𝒌(
𝟏
𝑿𝒌
)
=
𝟓𝟎
𝟔𝟗
22Mo1
Mo Ii
Mo1 Mo2 Mo3Mo2
BIMODAL TRIMODAL
UNIMODAL
ഥ𝐗 = 𝐌𝐞 = 𝐌𝐨
ത𝑋 = 𝑀𝑒 ഥ𝑿 = 𝑴𝒆 =𝑴𝒐2
Ii
Mo
UNIMODAL
ഥ𝑿 = 𝑴𝒆 = 𝑴𝒐
Ii
Ii
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS SIMÉTRICAS
fi
fi
fi
fi
a a a a
a a
a a
b b b b
b b
b bc
c
23
RELACIÓN DE LAS MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN
24
MEDIDAS DE DISPERSIÒN
Las medidas de tendencia central no son suficientes para describir
un conjunto de datos de alguna variable estadística.
Las medidas de dispersión o variabilidad son números reales que
miden el grado o nivel de separación de los datos con respecto a un
valor central, que generalmente es la media aritmética.
La finalidad es también comparar dos o más conjuntos de datos.
En este curso veremos la varianza , la desviación estándar y el
coeficiente de variación
25
Sean los datos cuantitativos de una variable: 2 , 4 , 5 , 7 , 11 
Su media aritmética es ഥ𝑿 = 5,8
Datos Desviación
𝒅 = 𝒙𝒊-ഥ𝑿
Desviación
Absoluta |d| (𝒙𝒊−ഥ𝑿)
𝟐
2 -3,8 3,8 14,44
4 -1,8 1,8 3,24
5 -0,8 0,8 0,64
7 +1,2 1,2 1,44
11 +5,2 5,2 27,04
σ𝒅= 0 σ |= 12,8 σ𝒅
𝟐= 46,8
1) PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE 
LA MEDIA ARITMETICA CON 
RESPECTO A UN GRUPO DE DATOS
σ𝒅= 0
¿Porqué usar la ഥ𝑿?
2) 
f(x)=
σ𝐢=𝟏
𝐧 (𝐱𝐢−𝐱)
𝟐
𝐧
Sea la función
Es mínima cuando x= ഥ𝑿
2 razones.
Luego a la expresión f(x) se 
le llamará VARIANZA el cual 
estudiaremos.
26
La varianza es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones
de los datos respecto a su media aritmética.
Sus unidades están elevadas al cuadrado.
Si los datos tienden a acercarse alrededor de la media, la varianza es
pequeña,
entonces se dice que el conjunto de datos es consistente u
homogéneo.
Si los datos tienden a estar lejos de la media ,la varianza es grande. El
conjunto de datos es más heterogéneo.
elevadas al cuadrado.
VARIANZA (𝑺(𝒙)
𝟐)
27
Sean los datos cuantitativos de una variable: 2 , 4 , 5 , 7 , 11 
Su ഥ𝑿 = 5,8
σ𝒅= 0 σ |𝒅|= 12,8 σ𝒅𝟐= 46,8
Desviación media absoluta= 
𝟏𝟐,𝟖
𝟓
= 𝟐, 𝟓𝟔
𝑺𝟐= 
𝟒𝟔,𝟖
𝟓
= 𝟗, 𝟑𝟔Varianza Desviación standardS= 3,06
Datos Desviación
𝒅 = 𝒙𝒊-ഥ𝑿
Desviación
Absoluta |d| (𝒙𝒊−ഥ𝑿)
𝟐
2 -3,8 3,8 14,44
4 -1,8 1,8 3,24
5 -0,8 0,8 0,64
7 +1,2 1,2 1,44
11 +5,2 5,2 27,04
28
Varianza para datos no agrupados
La varianza de “n” mediciones distintas: x1, x2, ...., xn de la variable X 
cuya media aritmética ത𝑋, es el número real: 
También
𝐒𝟐 =
σ𝐢=𝟏
𝐧 (𝐱𝐢 − ഥ𝐗)
𝟐
𝐧
𝑺𝟐 =
σ𝒊=𝟏
𝒏 𝒙𝒊
𝟐
𝒏
− ഥ𝑿𝟐
29
Si: {18, 19, 20, 13, 17, 24} son datos que representan las edades de 
6 alumnos del CEPREUNI. Calcular la varianza .
APLICACIÓN 7
Resolución
18, 19, 20, 13, 17, 24
n=6
𝑋𝑖
ത𝑋= 
σ𝑖=1
6 𝑋𝑖
6
=
111
6
= 18,5
𝑆2 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖
2
𝑛
− ത𝑋2
𝐒𝟐 =
𝟏𝟖𝟐 + 𝟏𝟗𝟐 + 𝟐𝟎𝟐 + 𝟏𝟑𝟐 + 𝟏𝟕𝟐 + 𝟐𝟒𝟐
𝟔
− 𝟏𝟖, 𝟓 𝟐 S2= 10,917 𝑎ñ𝑜𝑠2
Tenemos Piden
Calculamos
30
Varianza para datos agrupados
Si x1, x2, ..., xk, son las marcas de clase de k intervalos distribuidos
de un grupo de datos de la variable x ,además f1, f2, ...., fk son las
frecuencias absolutas respectivas ,la varianza está dado por:
también
Donde:
n=σ𝑖=1
𝑛 𝑓𝑖 ത𝑋 : Media aritmética
S2 =
σi=1
k 𝑓𝑖(xi − ഥX)
2
n
𝑥𝑖 : marca de clase 
de cada intervalo
𝑆2 =
σ𝑖=1
𝑘 𝑓𝑖 . 𝑥𝑖
2
𝑛
− ത𝑋2
31
Intervalos fi
[6 – 12 > 2
[ 12 –18 > 8
[18 – 24 > 5
[24 – 30 > 1
[30 – 36 > 4
Calcular la varianza de los datos indicados en la tabla
APLICACIÓN 8
RESOLUCIÓN
Intervalos 𝒙𝒊 𝒇𝒊 𝒙𝒊. 𝒇𝒊 𝒙𝒊
𝟐. 𝒇𝒊
[6 – 12 > 9 2 18 162
[ 12 –18 > 15 8 120 1800
[18 – 24 > 21 5 105 2205
[24 – 30 > 27 1 27 729
[30 – 36 > 33 4 132 4356
𝑆2 =
σ𝑖=1
5 𝑓𝑖 . 𝑥𝑖
2
𝑛
− ത𝑋2
𝑆2 =
9252
20
− (
402
20
)2= 58,59 𝑢2
9252402n=20
La varianza será:
total
32
DESVIACIÓN ESTÁNDAR o TIPICA ( 𝑺𝟐 )
Describe lo mismo que la varianza y la ventaja es que tiene unidades como 
los datos.
Siempre es positivo. S = 𝑺𝟐
COEFICIENTE DE VARIACIÒN ( CV)
CV = 
𝑺
ഥ𝑿
Expresa la desviación estándar como porcentaje de la media aritmética,
mostrando una interpretación relativa del grado de variabilidad.
No posee unidades. Sirve para comparar grado de homogeneidad entre
dos grupos de datos, siendo más homogéneo el de menor coeficiente.
33
Calcule la desviación estandard de todos los números de dos cifras y que
sean múltiplos de 3.
A) 24,25 B) 25,97 C) 26,45 D) 27,05 E) 27,38
𝑆2 =
σ𝐗𝐢𝟐
𝑁
− ത𝑋2
𝑆2 =
𝟏𝟐𝟐 + 𝟏𝟓𝟐 + 𝟏𝟖𝟐 +⋯+ 𝟗𝟗𝟐
30
− 𝟓𝟓, 𝟓𝟐
ത𝑋 =
σ𝐗𝒊
𝑁
ത𝑋 =
12+99
2
= 55,5
𝑆2 =
9[
33 34 67
6 −
3(4))(7)
6 ]
30
− 𝟓𝟓, 𝟓𝟐
Son: 
99−12
3
+ 1= 30 𝑆
2 =
𝟑𝟐(𝟒𝟐 + 𝟓𝟐 + 𝟔𝟐 +⋯+ 𝟑𝟑𝟐)
30
− 𝟓𝟓, 𝟓𝟐
𝑆2 = 674,25
(2) Los números de dos cifras ሶ3 :
APLICACIÓN 9
RESOLUCIÓN
12,15,18,……..,99
(3)
Piden Luego en (1)(1)
S= 25,97
34
La desviación estándar en las notas de 2 grupos de alumnos en el curso de
aritmética en dos turnos a y b resultaron iguales a 8,2 ,sin embargo las
medias respectivas resultaron 14 y 11 ¿cuál de estos 2 grupos es más
homogéneo?
𝑪𝑽𝑩=
𝟖,𝟐
𝟏𝟏
= 0,745
APLICACIÓN 10
RESOLUCIÓN
𝑪𝑽𝑨=
𝟖,𝟐
𝟏𝟒
= 0,585
Como las desviaciones son iguales compararemos CV:
CV=
𝑺
ഥ𝑿
El grupo más homogéneo es del TURNO A (menor CV)
35
PROPIEDADES
PROPIEDAD
Siendo M(X) la media de la variable X , además Var(X) varianza de 
X, se cumple
M(Y) = M(a X + b) = a M(X) + b
Var(Y) = Var(a x + b) = a2 .Var(X) 
Sean la variable cuantitativa X ,y otra variable Y = aX + b esto es cada 
uno de los n datos cuantitativos xi es transformado en 
yi = axi + b donde a y b son constantes reales)
Corolario: Si: Y = X +b, entonces Var(Y)= Var(X) 
Corolario: Si Y = aX + b, entonces 𝑆(𝑌)= |a|. 𝑆(𝑋)
36
Sea x una variable que representa el sueldo de los trabajadores de una determinada
empresa, donde se conoce que M(x)= 800 soles (media de X) y Var(x) = 50 soles
(varianza de X). Si la empresa decide incrementar en 20% el sueldo de cada empleado y
luego descontar s/.20 a cada empleado. ¿cuál es la media y la varianza de los nuevos
sueldos?
a) 1010 b) 1011 c) 1012 d) 1013 e) 1014
APLICACIÓN 11
Resolución M(X)= 800 Var(X) = 50 nueva variable: Y= 1,20X -20 
Luego M(Y) = 1,2.M(X) -20 M(Y) = 1,2(800)-20=940
Var(Y) = 1,2 2𝑉 𝑋 Var(Y) = (1,2)2(50)=72
M(Y) = 940 soles Var(Y) = 72 𝐬𝐨𝐥𝐞𝐬𝟐
37
37
La altura promedio de los árboles en una reserva natural es de 2,5 metros, donde
el grado de homogeneidad (representado por el coeficiente de variación) de la
muestra es igual al 20%. Si luego de un tiempo considerable la altura de cada
árbol aumentó en un 5%, ¿Cuál es el nuevo grado de homogeneidad?
A) 1% B) 5% C) 10% D) 15% E) 20%
APLICACIÓN 12
𝑺𝒆𝒂 𝒙 𝒍𝒂 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒂𝒓𝒃𝒐𝒍𝒆𝒔
𝑪. 𝑽. (𝒙) =
𝒔(𝒙)
𝑴(𝒙)
𝑺𝒆 𝒔𝒂𝒃𝒆:
luego de un tiempo: 
𝑪. 𝑽. (𝒙. 𝟏, 𝟎𝟓) =
𝒔(𝒙. 𝟏, 𝟎𝟓)
𝑴(𝒙 . 𝟏, 𝟎𝟓)
𝑪. 𝑽. (𝒙. 𝟏, 𝟎𝟓) =
𝟏, 𝟎𝟓. 𝒔(𝒙)
𝟏, 𝟎𝟓𝑴(𝒙)
𝑪. 𝑽. (𝒙. 𝟏, 𝟎𝟓) =
𝒔(𝒙)
𝑴(𝒙)
𝑪. 𝑽. (𝒙. 𝟏, 𝟎𝟓) =
𝒔(𝒙)
𝑴(𝒙)
=
𝟎,𝟓
𝟐,𝟓
= 𝟎. 𝟐𝟎
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 𝟐𝟎%
Resolución
38
AHORA 
A PRACTICAR
39
Problema 1 
Resolución 
El promedio aritmético de 20 números diferentes de dos cifras es 43,2. ¿Cuál es la
media aritmética de todos los demás números enteros positivos de dos cifras?
A) 45,56 B) 47,56 C) 49,82 D) 50,34 E) 57,73
10, 11, 12,…………………………………………………………… . , 97, 98, 99
= 𝟓𝟕, 𝟕𝟑
𝑴𝑨𝟐𝟎 #𝒔 = 𝟒𝟑, 𝟐
𝑴𝑨𝟗𝟎 #𝒔 =
𝟏𝟎 + 𝟗𝟗
𝟐
𝑴𝑨𝟕𝟎 #𝒔 𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 =
= 𝟓𝟒, 𝟓
𝟓𝟒, 𝟓 𝒙 𝟗𝟎 − 𝟒𝟑, 𝟐 𝒙 𝟐𝟎
𝟕𝟎
Clave E
40
Problema 02 
Resolución 
Si la mediana en la siguiente tabla de
frecuencias es 22, calcule el valor de h4.
A) 0, 10 B) 0, 12 C) 0, 13
D) 0, 15 E) 0, 16
211713 25 33
0,050,1 = 0,15
29
𝟎, 𝟑𝟎, 𝟏
Clave D
0,3ℎ𝑖:
ℎ3
ℎ4
𝑴𝒆 = 𝟐𝟐
41
Problema 03 
Resolución 
Las seis notas obtenidas por un alumno en la escala vigesimal son: b; 2a; 3a; 17; c; c (con a, 
b y c enteros positivos). 
Si dichas notas están ordenadas en forma creciente, además la media; mediana y moda 
están dadas por números paresconsecutivos crecientes; calcule a b c+ +
A) 25 B) 26 C) 28 D) 29 E) 30
𝑏 𝑐2𝑎 3𝑎
18
17 𝑐
18
𝑎 = 5
𝑀𝐴 = 14
10
𝑀𝑜 = 18
𝑀𝑒 = 16
=
𝑏 + 10 + 15 + 17 + 18 + 18
6
𝑏 = 6
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟐𝟗 Clave D
42
Problema 04 
Resolución 
La siguiente tabla muestra la distribución de
frecuencias de los sueldos de los empleados en una
empresa; con intervalos de ancho constante,
Determine la diferencia entre la media aritmética y
la mediana.
A) 10 B) 5 C) 6 D) 8 E) 9
14001120840 1680
= 𝟏𝟓𝟔𝟎
0,150,10 0.20
1960
𝟎, 𝟏𝟓𝟎, 𝟐𝟎
Clave D
0,20ℎ𝑖:
0,35
𝟏𝟔𝟎
𝑴𝒆 =
1820
3,5𝑊 = 980 𝑊 = 280 1400 + 160
2240
ത𝑋 = 980 𝑥 0,10
1540
1260
980
2100
+ 1260 𝑥 0,20 + 1540 𝑥 0,35 + 1820 𝑥 0,20 + 2100 𝑥 0,15
ത𝑋 = 1568 ഥ𝑿 −𝑴𝒆 = 𝟖
43
CLAVE: C
Problema 5 
Resolución 
Un centro laboral toma un examen de
selección del personal mediante tres
indicadores específicos, esto es:
Examen escrito; peso 5
Examen oral; peso 3; y
Presentación; peso 2
El promedio de notas obtenidas en las
diferentes pruebas fueron:
Examen Escrito: 16
Examen oral: 10
Presentación: N
Si la nota promedio final fue de 13,4;
determine el valor de N.
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
Peso Nota 
Examen escrito 5 16
Examen oral 3 10
Presentación 2 N 
El promedio final es 13,4, entonces
5 × 16 + 3 × 10 + 2 × 𝑁
5 + 3 + 2
= 13,4
110 + 2𝑁 = 134
𝑵 = 𝟏𝟐
44
Problema 6 
Resolución 
En una distribución de frecuencias simétrica con 5 intervalos, se conoce
que f5=10, f3=40, Xmín=48 y Xmáx=98, calcule la moda.
Notas 𝒇𝒊
[ ; >
[ ; >
[ ; >
[ ; >
[ ; ]
Sea W: ancho de clase
48
𝑴𝒐 =
𝟔𝟖 + 𝟕𝟖
𝟐
= 𝟕𝟑
CLAVE: C
A) 40 B) 48 C) 73 D) 78 E) 98
98
48 + 5𝑊 = 98 𝑾 = 𝟏𝟎
58
6858
68 78
78 88
88 10
10
40
a
a
Considerando que a < 40
Clase 
modal
Por ser una distribución simétrica
45
Problema 7 
Resolución Dado el siguiente histograma
Si la mediana es 40,5, calcule la moda.
A) 40,24 B) 41,66 C) 42,30
D) 42,80 E) 43,45
CLAVE: D
18
16
20
10
8
fi
Ii
12 20 30 40 47 56 64
12 40 47 64
48 24
𝑴𝒆
40,5
(0,5) (6,5)
k 13k
Se cumple: 48 + 𝑘 = 13𝑘 + 24
𝑘 = 2
28
Nos piden: 𝑴𝒐 = 𝑳𝒐 +𝑾
𝒅𝟏
𝒅𝟏 + 𝒅𝟐
Clase modal
𝑳𝒐
𝑾 = 𝟕
𝒅𝟏 = 𝟖
𝒅𝟐 = 𝟏𝟐
𝑴𝒐 = 𝟒𝟎 + 𝟕
𝟖
𝟖 + 𝟏𝟐
= 𝟒𝟐, 𝟖
46
Problema 8 Resolución 
Se tiene el siguiente cuadro estadístico
respecto a la duración en horas de 400
focos incandescentes. Hallar la media
y la mediana (en horas)
A) 378,5 B) 378,75 C) 378,75
385 385 387
D) 378,95 E) 379,5
388 390
CLAVE: B
i Horas Frecuencia
1 [ 200 ; 250 > 10
2 [ 250 ; 300 > 40
3 [ 300 ; 350 > 80
4 [ 350 ; 400 > 100
5 [ 400 ; 450 > 120
6 [ 450 ; 500 > 50
Horas 𝒙𝒊 𝒇𝒊 𝒙𝒊𝒇𝒊
[ 200 ; 250 > 10
[ 250 ; 300 > 40
[ 300 ; 350 > 80
[ 350 ; 400 > 100
[ 400 ; 450 > 120
[ 450 ; 500 > 50
225
275
325
375
425
475
2 250
11 000
26 000
37 500
51 000
23 750
ഥ𝑿 =
σ𝒙𝒊𝒇𝒊
𝒏
Total: 400 151 500
=
𝟏𝟓𝟏 𝟓𝟎𝟎
𝟒𝟎𝟎
= 𝟑𝟕𝟖, 𝟕𝟓
𝑴𝒆 = 𝑳𝒎 +𝑾
𝒏
𝟐
− 𝑭𝒊−𝟏
𝒇𝒊
𝑭𝒊
10
50
130
230
350
400
𝑴𝒆 𝒇𝒊 =
𝑭𝒊−𝟏 =
𝑴𝒆 = 𝟑𝟓𝟎 + 𝟓𝟎
𝟒𝟎𝟎
𝟐
− 𝟏𝟑𝟎
𝟏𝟎𝟎
= 𝟑𝟖𝟓
47
47
Calcule la mediana de la siguiente 
distribución de frecuencias
Problema 9
Resolución
Intervalos fi Fi hi Hi
30 – 60 0,08
60 – 90 0,40
90 – 120 20
120 – 150 40
A) 100 B) 102 C) 105
D) 42,80 E) 43,45
𝐌𝐞 = 𝟗𝟎 +
𝟎.𝟓−𝟎.𝟒
𝟎.𝟐
*30
𝐌𝐞 = 𝟏𝟎𝟓
CLAVE C
60%
48
48
Problema 10 Resolución
A) 10,1 B) 10,2 C) 10,3
D) 10,4 E) 10,5
En la siguiente distribución de
frecuencias simétrica una de las modas
es 38/11. Calcule la otra moda gráfico, si
, 
Del HISTOGRAMA
𝐌𝒐𝟏 =
𝟑𝟖
𝟏𝟏
CLAVE E
𝐌𝒐𝟏 +𝐌𝒐𝟐 = 𝐌𝐞 + ഥ𝒙
𝐌𝒐𝟐 = 𝟏𝟎. 𝟓
𝟑𝟖
𝟏𝟏
+𝐌𝒐𝟐 = 𝟕 + 𝟕
49
49
El siguiente polígono de frecuencias muestra
los puntajes obtenidos por 125 alumnos en un
examen. Si todos los intervalos de la gráfica
Son de igual ancho. Calcule la media.
Problema 11 Resolución
A) 45,75 B) 46,28 C) 41,72
D) 62,15 E) 64,76
Del POLIGONO de frecuencias
X f fX
𝐀 =
𝟕𝟓 − 𝟑𝟓
𝟒
= 𝟏𝟎
15 24 360
35 15 525
45 34 1530
55 24 1320
25 10 250
65 12 780
75 6 450
125 5215
ഥ𝒙 =
𝟓𝟐𝟏𝟓
𝟏𝟐𝟓
ഥ𝒙 = 41.72
CLAVE C
50
50
Problema 12 Resolución
a
2
3a 5a 7a 9a
5
10
12
15
18
11a 13a
f1
I1
A) 46 B) 49 C) 52
D) 55 E) 475,3
En el siguiente gráfico, si 
, 
𝑴𝑨 = 𝟒𝟐𝟖, calcule la moda. Del HISTOGRAMA
X f fX
2a 5 10a
6a 15 90a
8a 18 144a
10a 12 120a
4a 10 40a
12a 2 24a
62 428a
ഥ𝒙 =
𝟒𝟐𝟖𝐚
𝟔𝟐
= 𝟒𝟐𝟖
𝒂 = 62
CLAVE E 
𝐌𝐨 = 𝟕𝐚 +
𝟑
𝟑 + 𝟔
𝟐𝒂
𝐌𝐨 = 𝟒𝟕𝟓, 𝟑
51
Problema 13
Resolución: 
El diagrama muestra las notas de un grupo
de alumnos. Si la nota mínima aprobatoria
es la mediana y además se es tolerante con
el alumno que obtuvo nota igual a dicha
mediana, ¿cuántos alumnos aprobaron
A) 12 B) 14 C) 16 D) 15 E) 10
Ii fi Fi
𝑫𝒆𝒍 𝒈𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒐:
𝟎 − 𝟒
𝟒 − 𝟖
𝟖 − 𝟏𝟐
𝟏𝟐 − 𝟏𝟔
𝟏𝟔 − 𝟐𝟎
𝟓
𝟗
𝟏𝟕
𝟐𝟔
𝟑𝟎
𝟓
𝟒
𝟖
𝟗
𝟒
𝑴𝒆 = 𝒍𝒐 +𝑾.
𝒏
𝟐 − 𝑭𝒊−𝟏
𝒇𝒊
𝑴𝒆 = 𝟖 + 𝟒.
𝟑𝟎
𝟐
− 𝟗
𝟖
𝑴𝒆
𝑴𝒆 = 𝟏𝟏
𝟖 𝟏𝟐 𝟐𝟎
𝟖
𝟏𝟏
𝟑𝒎 𝒎
𝟗
𝟏𝟔
𝟒 𝟒𝒎 = 𝟖𝒎 = 𝟐
𝟔 𝟐
𝟐 + 𝟗 + 𝟒 = 𝟏𝟓
𝑨𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒓𝒐𝒏 𝟏𝟓 𝒂𝒍𝒖𝒎𝒏𝒐𝒔
52
Si la frecuencia relativa del intervalo mediano de cierto muestreo es 22% y
las frecuencias absolutas de los intervalos no medianos suman 390¿Cuál es
el tamaño de la muestra?
A) 420 B) 500 C) 2500 D) 5000 E) 5250
Problema 14
Resolución
… …
22 %
X% (22-x)%
50% 50%
390
78%
=
𝑁
100%
𝑵 = 𝟓𝟎𝟎
RPTA. B
53
Calcule la diferencia de la
mediana y la media de los
datos mostrados en la
siguiente ojiva.
5 10 15 20
30%
100%
70%
10%
0
Hi
x
A) 0,2 B) 0,3 C) 0,4 D) 0,5 E) 0,6
Problema 15 Resolución
𝒙𝒊 𝒉𝒊 𝑯𝒊
𝟎 ; 𝟓 𝟐, 𝟓 𝟏𝟎% 10%
𝟓; 𝟏𝟎 𝟕, 𝟓 𝟐𝟎% 30%
𝟏𝟎; 𝟏𝟓 𝟏𝟐, 𝟓 𝟒𝟎% 70%
𝟏𝟓; 𝟐𝟎 𝟏𝟕, 𝟓 𝟑𝟎% 100%
ഥ𝒙 = 𝟐, 𝟓 𝟏𝟎% + 𝟕, 𝟓 𝟐𝟎% + 𝟏𝟐, 𝟓 𝟒𝟎% + 𝟏𝟕, 𝟓(𝟑𝟎%)
ҧ𝑥 = 12
𝑀𝑒 = 10 +
100
2
−30
40
5 = 12,5
𝑴𝒆 − ഥ𝒙 = 𝟎, 𝟓
RPTA. D
54
Indicar el valor de verdad de las
siguientes proposiciones : Se tienen
𝑛 datos 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 de media ҧ𝑥 ,
varianza 𝑆2 y desviación estándar 𝑆.
I. Si a todos los datos se les suma
una misma cantidad 𝑘 entonces: La
varianza no se altera.
Si a todos los datos se les
multiplica por una misma cantidad
k , entonces:
II. La media queda multiplicada por
k
III. La desviación estándar queda
multiplicada por k.
Problema 16 Resolución
𝐼. 𝑆2 𝑥 + 𝑘 = 𝑆2(𝑥)
𝐼𝐼 . ҧ𝑥 =
𝑥1 + 𝑥2 + …+ 𝑥𝑛
𝑛
ҧ𝑥1 =
(𝑥1𝑘) + 𝑥2𝑘 + …+ (𝑥𝑛𝑘)
𝑛
𝐼𝐼𝐼. 𝑆1 𝑘𝑥 = 𝐾 𝑆(𝑥)
V
V
F
A) VFV B)FVF C) VVV
D)FVV E) VVF
= 𝒌 ഥ𝒙
RPTA. E
55
PROBLEMA 17
Durante un mes ocho vendedores de equipos de cómputo vendieron
los siguientes números de unidades de dichos equipos:10; 13; 7; 16;
10; 13; 18 y 13. La desviación estándar para estos datos es:
A) 3,00 B) 3,15 C) 3,28 D) 3,338 E) 3,89
RESOLUCIÓN Se construye la tabla :
𝑿𝒊 𝒇𝒊 𝑿𝒊 𝒇𝒊 𝑿𝒊
𝟐 𝒇𝒊
7
10
13
16
18
1
2
3
1
1
7
20
39
16
18
49
200
507
256
324
𝑛 =෍𝑓𝑖 = 8 ෍𝑋𝑖𝑓𝑖 = 100
𝑉 𝑋 =
σ 𝑋𝑖
2𝑓𝑖
𝑛
−
σ𝑋𝑖𝑓𝑖
𝑛
2
෍ 𝑋𝑖
2𝑓𝑖 = 1336
𝑉 𝑋 =
1336
8
−
100
8
2
= 10,75
𝛿 𝑋 = 𝑉 𝑋 = 10,75 = 𝟑, 𝟐𝟖
56
PROBLEMA 18
RESOLUCIÓN
Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
I. Si V(x) + V(x+1) +. . . + V(x+n) = V(5x), entonces n=25
II. Si a un conjunto de datos se le multiplica por k a cada uno, entonces
la desviación estándar queda multiplicada por un valor positivo k.
III. Si a un conjunto de datos se lesuma m a cada uno, entonces la
desviación queda agregada en m
A) VVV B) VVF C) FVF D) VFV E) FVV
I) 𝑉𝑋 = 𝑉(𝑋+1) = ⋯ = 𝑉(𝑋+𝑛)
𝑉(5𝑋) = 25𝑉𝑋
𝑛 + 1 𝑉𝑋 = 25𝑉𝑋
𝑛 = 24
(F)
II) 𝛿 𝑘𝑥 = 𝑘 𝛿 𝑥
Si K es positivo :
𝛿 𝑘𝑥 = 𝑘𝛿 𝑥
(V)
III) 𝛿 𝑥 = 𝛿 𝑥+𝑚
(F)
FVF
57
PROBLEMA 19
RESOLUCIÓN
La varianza de un grupo de n datos es 3,25; la media es 3,5 y la suma de
los cuadrados de dichos números 62. Al agregar a dichos números el
número 7. Calcule la varianza de los (n + 1) datos.
A) 3,72 B) 3,82 C) 3,91 D) 4,52 E) 4,56
Los n datos, cumplen:
෍𝑋𝑖 = 3,5𝑛
෍ 𝑋𝑖
2 = 62
𝑉 𝑋 =
σ 𝑋𝑖
2
𝑛
− ത𝑋 2
3,25 =
62
𝑛
− 3,5 2
3,25 + 12,25 =
62
𝑛
𝑛 =
62
15,5
= 4
Los (n+1) datos, cumplen:
෍𝑋𝑖 = 3,5 × 4 + 𝟕 = 21
෍ 𝑋𝑖
2 = 62 + 𝟕𝟐 = 111
𝑉 𝑋 =
σ 𝑋𝑖
2
5
−
σ𝑋𝑖
5
2
𝑉 𝑋 =
111
5
−
21
5
2
𝑉 𝑋 = 22,2 − 4,2
2
𝑽 𝑿 = 𝟒, 𝟓𝟔
58
PROBLEMA 20 RESOLUCIÓN
Complete la tabla de la distribución 
de frecuencia y calcule el 
coeficiente de variación (CV)
A) 28, 12% B) 36, 33% C)32,33%
D) 33, 37% E) 41, 28%
30 + 3W = 60 W = 10, 𝑋1 = 25
𝑿𝒊 𝒉𝒊 𝑿𝒊𝒉𝒊 𝑿𝒊
𝟐𝒉𝒊
25
35
45
55
65
0,10
0,25
0,30
3k
4k
7k = 1- (0,35 + 0.30), 7k = 0,35 , k = 0,05 
= 0,15 
= 0,20 
6,25 
3,50 
6,75 
11,00 
19,50 
156,25 
122,50 
303,75 
605,00 
1267,50 
ത𝑋 =෍𝑋𝑖ℎ𝑖 = 47, 𝑉𝑋 =෍ 𝑋𝑖
2ℎ𝑖 − ത𝑋
2
𝑉𝑋 = 2455 − 2209 = 246, 𝛿 𝑋 = 𝑉 𝑋
𝛿 𝑋 = 246 = 15,6843 𝐶𝑉 =
15,6843
47
CV= 33,37%
59
PROBLEMA 21
La media de una muestra unimodal de 7 datos, que son enteros positivos
de dos cifras, es
142
7
. Si la mediana es 27 y la moda 28, determine la
varianza.
A)59,79 B) 74,49 C) 75,24 D) 78,48 E) 78,29
RESOLUCIÓN
Sean los 7 números de 2 cifras
27
Moda: 28
28 28
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 27 + 28 + 28 + 𝑑 = 142
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 =59, Si d = 28
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 31, 𝑎 = 𝑏 = 10, 𝑦 𝑐 = 11,
10 10 11 28
Suma de los cuadrados:
෍ 𝑋𝑖
2 = 3402
= 2 102 + 112 + 272 + 3 28 2
𝑉𝑋 =
σ 𝑋𝑖
2
𝑛
− ത𝑋2
𝑉𝑋 =
3402
7
−
142
7
2
𝑉𝑋 = 74,49
60
60
PROBLEMA 22
La varianza de un grupo de 20 datos es 18,75; la media es 22,5. Al
agregar a dichos números el número 25, calcule la varianza de los
(21) datos.
A) 13,72 B) 18,14 C) 18,91 D) 19,52 E) 20,56
RESOLUCIÓN
𝑉 𝑋 =
σ 𝑋𝑖
2
𝑛
− ത𝑋 2
18,75 =
σ 𝑋𝑖
2
20
− 22,5 2
18,75 + 506,25 =
σ 𝑋𝑖
2
20
෍
𝑖=1
20
𝑋𝑖
2 = 10500
Al agregar el número 25, n = 20+1=21
෍
𝑖=1
21
𝑋𝑖
2 = 10500 + 252 = 11125
෍
𝑖=1
21
𝑋𝑖 = 20 22,5 + 25 = 475
𝑉 𝑋 =
11125
21
−
475
21
2
= 18,14 
61
61
PROBLEMA 23
Calcule la varianza de todos los números positivos de dos cifras y que
sean múltiplos de 3.
A) 674,25 B) 677,25 C) 678,45 D) 694,45 E) 696,45
RESOLUCIÓN
Son 30 números y forman 
una progresión aritmética
12, 15, 18, …, 96, 99
ത𝑋 =
12 + 99
2
= 55,5
෍
𝑖=4
33
3𝑖 2 = ෍
𝑘=1
30
3 𝑘 + 3 2
K = i - 3
෍ 𝑋𝑖
2 = 9෍
𝑘=1
30
𝑘2 + 54෍
𝑘=1
30
𝑘 +෍
𝑘=1
30
81
෍ 𝑋𝑖
2 = 9
30 31 61
6
+ 54
30 31
2
+ 30 81
෍ 𝑋𝑖
2 = 85095 + 25110 + 2430 = 112635
𝑉 𝑋 =
112635
30
− 55,5 2 = 674,25
62
Se tiene la siguiente tabla
de frecuencia, de variable
x discreta. Si a < b < c < d ;
x = 10,8 ; Me = 10,5; Moda
igual a 9 y S2 = 11,76,
calcule a + b + c + d
La moda es b, b=9 
x fi
a 1
b 4
c 3
d 2
PROBLEMA 24
A) 39 B) 41 C) 43 
D) 44 E) 45
RESOLUCIÓN
9 9 9 9 
𝑀𝑒 =
𝑏+𝑐
2
= 10,5
a d d
9 + c = 21 , c =12
𝑉𝑋 =
σ 𝑋𝑖
2
𝑛
− ത𝑋2 11,76 =
σ 𝑋𝑖
2
10
− 10,82
෍ 𝑋𝑖
2
= 𝑎2 + 4 9 2 + 3 12 2 + 2𝑑2
𝑎2 + 324 + 432 + 2𝑑2 = 1284
𝑎2 + 2𝑑2 = 528
𝑎 + 4 9 + 3 12 + 2𝑑 = 108
a=4
d=16
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 41
63
PROBLEMA N° 25
SOLUCIÓN
Sea X una variable que representa el sueldo de los trabajadores de una
empresa, se conoce que la media es 800 soles y la varianza es 50. Si la empresa
decide incrementar en 20% el sueldo de cada empleado y luego descontarle 20
soles a cada uno. ¿Cuál es la media y la varianza de los nuevos sueldos?
A) 920 Y 72 B) 940 y 72 C) 960 y 80 D) 960 y 90 E) 970 y 92
Clave B 
Sea M(X) la media de la variable X , entonces M(X) = 800 
Y sea Var(X) varianza de X entonces Var(X) = 50
Y sea Y= 1.2 X – 20 POR PROPIEDAD M(Y) = M(1.2 X - 20) = 1.2 M(X) -20 
= 1.2 (800) – 20 = 940
POR PROPIEDAD Var (Y) = Var (1.2 X – 20) = (1.2)2 Var (X) = (1.2)2 (50) = 72
64
PROBLEMA N° 26
SOLUCIÓN
Se realizó estimaciones primero en un grupo de datos A, donde se obtuvo
una media de 2000 y una desviación estándar de 60 y luego en grupo de
datos B, obteniéndose una media de 100 y una desviación estándar de 3.
Entonces diga cual es lo correcto
A) La primera es más homogénea que la segunda
B) La segunda es más homogénea que la primera
C) Ambos presentan dispersiones las cuales son homogéneas entre si
D) Faltaría conocer su moda
E) No se puede determinar
Clave C 
Grupo A : ҧ𝑥 = 2000 , 𝑠 = 60 ; 𝐿𝑈𝐸𝐺𝑂 ∶ 𝑐. 𝑣. =
𝑠
ҧ𝑥
=
60
2000
= 0,03
Grupo B : ҧ𝑥 = 100 , 𝑠 =3 ; 𝐿𝑈𝐸𝐺𝑂 ∶ 𝑐. 𝑣. =
𝑠
ҧ𝑥
=
3
100
= 0,03
Entonces el grupo B es tan homogéneo (c.v.=0,03) que el grupo A (c.v.=0,03)
65
PROBLEMA N° 27
SOLUCIÓN
En una distribución de frecuencias, se multiplican los valores originales de la
variable por 3 y se obtiene una media de 54. Además, si se aumenta 5 unidades
a los valores originales de la variable se obtiene que la media de los cuadrados
de los nuevos valores es 565. Calcule la desviación estándar de los datos
originales.
A) 5,4 B) 5,8 C) 6 D) 6,2 E) 6,9
Clave C 
Propiedad: M(ax) = a M(x)
M(3x) = 3M(x) = 54 entonces M(x) = 18
𝑀 𝑥 + 5 2 = 𝑀 𝑥2 + 10𝑥 + 25
𝑀 𝑥2 = 360
565 = 𝑀 𝑥2 +𝑀 10𝑥 +𝑀 25
Propiedad: V(x)=M 𝑥2 − (𝑀(𝑥))2
S = 𝑉(𝑥) = 𝑀 𝑥2 − (𝑀(𝑥))2
S = 360 − 182 = 6
66
La media y la desviación estándar de los sueldos de N empleados de una
fábrica son 500 y 30 respectivamente. A cada uno de los N empleados se
les dará un aumento del A% de sus sueldo más una bonificación de B
soles. Si la nueva media es 600 y la nueva desviación estándar es 33,
Calcule (A.B).
A) 350 B) 400 C) 450 D) 500 E) 600
PROBLEMA 28
RESOLUCION
ഥ𝒙𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 = ( 100+A)%.ഥ𝑿𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 + B … (II)𝑺𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 = ( 100 + A ) % 𝑺𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 … (I)
33 = ( 100 + A ) % .30 
A = 10
Reemplazando en II tenemos :
600 = ( 100 + 10 )%.500 + B
B = 50
A.B = 500 CLAVE D
Sean la desviación estándar y la media S ҧ𝑥
67
Las calificaciones de 5 alumnos son números de 2 cifras cuya media es
13,6. Si la mediana es 15 y la moda es 16, determine la desviación
estándar de dichas notas.
A) 2,51 B) 2,58 C) 2,55 D) 2,6 E) 2,71
RESOLUCION
PROBLEMA 29
Sean las calificaciones de dos cifras según los datos tenemos:
10 11 15 16 16
CLAVE B
𝑺𝟐 = 
σ(𝒙𝒊−ഥ𝒙)
𝟐
𝒏
= 
(𝟏𝟎−𝟏𝟑,𝟔)𝟐+(𝟏𝟏−𝟏𝟑,𝟔)𝟐+(𝟏𝟓−𝟏𝟑,𝟔)𝟐+(𝟏𝟔−𝟏𝟑,𝟔)𝟐+(𝟏𝟔−𝟏𝟑,𝟔)𝟐
𝟓
𝑆2= 6,64 S ≅ 2,58
MEDIANA MODA 
68
RESOLUCION
𝑰𝒊 𝑿𝒊 𝒉𝒊 𝑯𝒊
[ 2; > 0,15
[ ; > 0,20
[ ; > 0,40
[ ; > 𝑛
100
[ ; ] 20
Si la varianza de los datos es igual
a 192,8; calcule el valor de n
A) 80 B) 82 C) 83
D) 85 E) 90
Dada la siguiente tabla de 
distribución de frecuencias
PROBLEMA 30
Calculo del ancho (w)
2 + 4w + 
𝑤
2
= 20, w=4
𝒔𝟐 = σ𝒉𝒊𝒙𝒊
𝟐- (σ𝒉𝒊𝒙𝒊)
𝟐
21,24= (223,2 – 144a) - (𝟏𝟑, 𝟖 − 𝟒𝒂)𝟐
CLAVE E
a = 0,3
𝑛
100
= 0,6 + 0,3
𝑿𝒊 𝒉𝒊 𝑿𝒊𝒉𝒊 𝑿𝒊
𝟐𝒉𝒊
X1=4
4
8
12
16
20
0,15
0,05
0,40
a
0,6
0,4
4,8
16a
8-20a
2,4
3,2
57,6
256a
160 – 400a
13,8 – 4a 223,2 – 144a
0,4 - a
𝟏𝟔𝒂𝟐 + 𝟑𝟑, 𝟔𝒂 − 𝟏𝟏, 𝟓𝟐 = 𝟎
𝒏 = 𝟗𝟎