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Algunas-propiedades-basicas-de-clases-propias

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U N A́ M́
F  C
ALGUNAS PROPIEDADES BÁSICAS DE
CLASES PROPIAS
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
MATEMÁTICO
PRESENTA:
FERNANDO CORNEJO MONTAÑO
DIRECTOR DE TESIS:
Dr. FRANCISCO FEDERICO RAGGI CÁRDENAS
2009
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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Índice general
Índice general 1
1. Preliminares 5
1.1. Funtores y Clases Propias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Extensiones Propias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1. Sucesiones exactas largas inducidas . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3. Algunas condiciones de cerradura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2. Proyectivos Relativos 25
2.1. Clases Propias generadas proyectivamente . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2. Clases Propias con suficientes proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . 29
3. Teorías de Torsión 35
3.1. Subfuntores de la identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2. Pureza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3. Pext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
A. Sucesiones exactas 45
A.1. Sucesiones exactas cortas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
A.2. Sucesiones exactas largas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
B. Homología 55
B.1. Cohomología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
B.2. Resoluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Bibliografía 59
1
Introducción
El concepto de Clase Propia de sucesiones exactas cortas surge principalmente en
dos circunstancias. La primera es el estudio de grupos puros y el intento por generali-
zar ciertas propiedades homológicas relacionadas a ellos. La segunda es su uso en la
categoría de módulos considerando un cambio de anillos.
Si bien las Clases Propias tienen relación con E-funtores, el presente trabajo se
basa en la definición axiomática dada por Buchsbaum [4]. El objetivo de esta tesis es
estudiar algunos conceptos en Clases Propias para una categoría abeliana considerando
el funtor Extn
E
(C, A) como el conjunto de clases de congruencia de sucesiones exactas
propias de longitud n, de A a C.
El estudio se divide en tres apartados. En el capítulo 1 se define el grupo Extn
E
(C, A),
que es isomorfo al n-ésimo grupo de cohomología del complejo Hom(X,A) (con
X → C una resolución proyectiva propia de C), cuando la clase propia tiene suficien-
tes proyectivos. Asimismo, se demuestran varias propiedades de cerradura bajo sumas,
productos y límites directos.
En el segundo capítulo se estudian propiedades de proyectivos relativos a clases
propias, así como la existencia de suficientes proyectivos.
Finalmente, se analizan las clases propias que surgen a partir de una teoría de tor-
sión considerando el funtor T que asigna a cada objeto su subobjeto máximo de torsión.
La clase de sucesiones exactas cortas para las cuales todo objeto de torsión es proyec-
tivo es la clase de aquellas sucesiones exactas cortas tal que al aplicarles el radical
idempotente T la sucesión resultante es exacta y escinde. Luego, para una clase de ob-
jetos arbitraria de objetos O cerrada bajo cocientes, se obtiene una teoría de torsión
(T ,F ) y se comparan las π−1(O) y π−1(T ).
Se anexa un apéndice donde se demuestra que ExtnA es un bifuntor y que define
un grupo abeliano. Además, en el apéndice B se enuncian propiedades homológicas
usadas en el capítulo 1.
Este trabajo se basa principalmente en el libro Homology [13], así como en los
artículos “Relative homological algebra in categories of modules” [16] y “Pure Sub-
modules” [17].
3
Capítulo 1
Preliminares
Los conceptos básicos que se usan en este documento para definir una clase propia
son detallados en [8].
Sea A una categoría abeliana con E una clase de sucesiones exactas cortas. Em
denota la clase de los mono de las sucesiones exactas cortas que están en E. De la
misma manera Ee denota la clase de los epi relativos a la clase de sucesiones exactas
cortas mencionada.
Definición 1. E se llama clase propia si se cumple lo siguiente:
P0 E es cerrada bajo isomorfismos.
P1 (ιA,ΠC) : A� A ⊕C � C ∈ E para A,C ∈ Ob j(A).
P2 α, β ∈ Em implica αβ ∈ Em, cuando la composición tiene sentido.
P2* α, β ∈ Ee implica αβ ∈ Ee cuando la composición tiene sentido.
P3 Si αβ ∈ Em y α es mono, entonces β ∈ Em.
P3* Si αβ ∈ Ee y β es epi, entonces α ∈ Ee.
Los dos primeros axiomas implican que E está determinada por Em o por Ee. Ade-
más cualquier equivalencia derecha o izquierda de un morfismo propio es propio. Cuan-
do α es mono propio y tiene codominio A, la clase de α consiste de mono propios y se
llama subobjeto propio de A (también se denotará con el símbolo ≤E).
Definición 2. Un morfismo γ es propio si Nucγ y Conucγ son propios (o equivalen-
temente, si Imγ y Coimγ son propios).
Lema 1. Si α ∈ Em, entonces α ⊕ 1D ∈ Em para cualquier objeto D.
Demostración. Sea (α, β) : A� B� C exacta propia. Luego, β ∈ Ee por hipótesis y
ΠB ∈ Ee por el axioma P1, donde ΠB : B ⊕ D → B es la proyección natural en B; por
lo tanto β′ = βΠB ∈ Ee. Además la sucesión (α ⊕ 1D, β′) : A ⊕ D � B ⊕ D � C es
exacta y en consecuencia α ⊕ 1D ∈ Em. �
5
6 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Proposición 1. La suma directa de dos sucesiones exactas propias es exacta propia.
Demostración. Si E1 = (χ1, σ1), E2 = (χ2, σ2) son exactas propias, entonces E1 ⊕ E2
es exacta propia pues χ1 ⊕ χ2 = (χ1 ⊕ 1A2 )(1A1 ⊕ χ2), y con base en lema anterior la
composición es propia. �
Dos sucesiones exactas cortas E = (χ, σ), E′ = (χ′, σ′) son congruentes, si existe
un morfismo θ con θ χ = χ′ y σ′θ = σ. Por el lema del 5º, θ es una equivalencia (es
decir, tiene una inversa izquierda y derecha).
Proposición 2. Si la sucesión exacta corta propia E = (χ, σ) : A� B� C escinde
mediante α : C → B (es decir, σα = 1C), entonces α ∈ Em y E es congruente a la suma
directa: A� A ⊕ C � C . Recíprocamente, cualquier sucesión congruente a la suma
directa escinde.
Demostración. La expresión σασ = σ implica σ(1 − ασ) = 0 y como χ es un núcleo
de σ existe el morfismo β tal que χβ = 1 − ασ. Además de χβα = α − ασα = 0 se
obtiene βα = 0 y de χβχ = χ − ασχ = χ se deduce βχ = 1A. Sea θ = χΠ1 + αΠ2,
con Π1 : A ⊕ C → A,Π2 : A ⊕ C → C. Entonces θι1 = χΠ1ι1 + αΠ2ι1 = χ y
σθ = σχΠ1 + σαΠ2 = σαΠ2 = Π2. Así, E es congruente a la suma directa y α =
χΠ1ι2 + αΠ2ι2 = θι2, por consiguiente α ∈ Em.
Si E es congruente a la suma directa, existe el morfismo θ : A ⊕ C → B con
θι1 = χ, σθ = Π2 y en consecuencia σθι2σ = Π2ι2σ = σ. Cancelando σ se obtiene
σθι2 = 1. �
Proposición 3. Em y Ee son cerradas bajo sumas fibradas y productos fibrados res-
pectivamente.
Demostración. La demostración se hará para Ee pues para el caso de Em la comproba-
ción es dual. Sean fi : Mi → M con i = 1, 2 y f1 ∈ Ee. Para estos morfismos existe su
producto fibrado que se obtiene a partir del morfismo p = f1Π1 − f2Π2 y de la sucesión
exacta P� M1 ⊕ M2 � M, con Πi : M1 ⊕ M2 → Mi la proyección natural en Mi,
ν = Nuc p y Π′1 = Π1ν,Π
′
2 = Π2ν.
P
=
Π′2 //
Π′1
��
M2
f2
��
M1 f1
// M
(1.1)
Además existe el siguiente diagrama conmutativo con renglones exactos
K
=
// h2 // P
=
Π′2 // //
Π′1
��
M2
f2
��
K //
h1
// M1 f1// // M
por lo tanto ν h2 = (ι1Π1 + ι2Π2)νh2 = ι1Π′1h2 + ι2Π
′
2h2 = ι1Π
′
1h2 = ι1h1 ∈ Em y del
axioma P3 se tiene h2 ∈ Em, lo que implica Π′2 ∈ Ee. �
1.1. FUNTORES Y CLASES PROPIAS 7
Como resultado de la proposición anterior, no es necesario que en P3 el morfismo
α sea mono, ni que en P3∗ el morfismo β sea epi. Así, se reemplazarán respectivamente
por las expresiones equivalentes:
P̂3 Si αβ ∈ Em, entonces β ∈ Em.
P̂3
∗
Si αβ ∈ Ee, entonces α ∈ Ee.
Proposición 4. En el diagrama de producto fibrado (1.1), si f1 ∈ Em y f2 ∈ Ee,
entonces Π′1 ∈ Em. El dual también es válido.
Demostración. Sea g1 ∈ Conuc f1. El resultado se deduce de que g1 f2 ∈ ConucΠ
′
2 para
cualquier f2 no necesariamente epi y si f2 ∈ Ee se tiene lo que se quería demostrar.
P
=
// Π
′
2 //
Π′1
��
M2
=f2
��
g1 f2 // // M/M1
M1 f1
//// // M g1
// // M/M1
�
1.1. Funtores y Clases Propias
En esta tesis se denotará por S .E.C. a la familia de todas las sucesiones exactas
cortas en la categoríaA.
Lema 2. Si A,B son categorías abelianas y T : A → B un funtor aditivo exacto
izquierdo o derecho, covariante o contravariante entonces T−1(F ) es clase propia si
F lo es.
Demostración. Sea T un funtor exacto derecho contravariante con E = T−1(F ).
(0) Si F es cerrado bajo isomorfismos, entonces T−1(F ) también.
(1) Para (ιA,ΠC) : A� A ⊕C � C se tiene
1T (C) = T (1C) = T (ιC)T (ΠC)
1T (A) = T (1A) = T (ΠAιA) = T (ιA)T (ΠA)
(2) Supóngase χ : A� B, λ : B� D ∈ Em. Entonces T (λχ) = T (χ)T (λ) ∈ Fe por
P2* y del lema del 5º resulta el diagrama conmutativo con renglones y columnas
exactos:
A
=
// χ // B
=
��
λ
��
σ // // C��
η
��
A //
λχ // D
=δµ
����
µ // // G
δ
����
D/B D/B
8 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Aplicando T se obtiene el diagrama
T (C)
=
// T (σ) // T (B)
=
T (χ) // // T (A)
T (G)
T (η)
OOOO
=
// T (µ) // T (D)
T (λ)
OOOO
T (λχ) // // T (A)
T (D/B)
OO
T (δ)
OO
T (D/B)
OO
T (δµ)
OO
luego, (T (µ),T (λχ)) ∈ F y λχ ∈ Em.
(3) Si λχ ∈ Em y λ es mono, T (λχ) = T (χ)T (λ) ∈ Fe por P̂3, entonces T (χ) ∈ Fe.
A
=
// χ // B
=
��
λ
��
σ // // C��
η
��
A //
λχ // D
=δµ
����
µ // // G
δ
����
D/B D/B
Por lo tanto existe el diagrama conmutativo
T (C)
=
T (σ) // T (B)
=
T (χ) // // T (A)
T (G)
T (η)
OOOO
=
// T (µ) // T (D)
T (λ)
OOOO
T (λχ) // // T (A)
T (D/B)
T (δ)
OO
T (D/B)
T (δµ)
OO
Usando el lema del 5º resulta que T (σ) es mono, pues T (µ) es mono y en conse-
cuencia χ ∈ Em.
(2∗) Considérese σ : B � C, λ : C � D ∈ Ee. Entonces T (λσ) = T (σ)T (λ) ∈ Fm
(por P2) implica λσ ∈ Ee.
(3∗) Sea λσ ∈ Ee, por lo tanto T (λσ) = T (σ)T (λ) ∈ Fm y por P3 T (λ) ∈ Fm. En
consecuencia λ ∈ Ee.
�
Definición 3. Sean T (M, B) un funtor aditivo en B (covariante o contravariante) exac-
to izquierdo o derecho y que depende de M ∈ A, O ⊂ Ob j(A) y E ⊂ S .E.C.
t−1(O) = {E ∈ S .E.C. | T (M, E) es exacta ∀M ∈ O}
t(E) = {M ∈ Ob j(A) | T (M, E) es exacta ∀E ∈ E}
1.2. EXTENSIONES PROPIAS 9
Lema 3. Para O ⊂ Ob j(A) y E ⊂ S .E.C. se tiene lo siguiente:
1. O ⊂ t(t−1(O))
2. E ⊂ t−1(t(E))
3. t−1(O) = t−1(t(t−1(O)))
4. t(E) = t(t−1(t(E)))
Demostración.
1. t−1(O) = {E ∈ S .E.C. | T (M, E) es exacta ∀M ∈ O} y además para cualquier
objeto M ∈ O se tiene que M ∈ t({E ∈ S .E.C. | T (M, E) es exacta ∀M ∈ O}).
2. t(E) = {M ∈ Ob j(A) | T (M, E) es exacta ∀E ∈ E} implica directamente la con-
tensión t−1(t(E)) ⊃ E.
3. De (2) se obtiene t−1(O) ⊂ t−1(t(t−1(O))) y por el inciso (1) la contensión O ⊂
t(t−1(O)) implica t−1(O) ⊃ t−1(t(t−1(O))).
4. Por (1) t(E) ⊂ t(t−1(t(E))) y de la contensión E ⊂ t−1(t(E)) se obtiene t(E) ⊃
t(t−1(t(E))).
�
De estos últimos resultados se concluye que hay una correspondencia biyectiva
entre la familia Ê de las clases propias de la forma t−1(O) con O ⊂ Ob j(A) y las
familias de objetos de la categoría abelianaA de la forma t(E).
1.2. Extensiones Propias
El propósito de esta sección es definir el bifuntor Extn
E
y demostrar la existencia de
sucesiones exactas largas a partir de una sucesión exacta corta propia.
Dada la sucesión exacta E = (χ, σ) : A � B � C y el morfismo γ : C′ → C,
existe el diagrama conmutativo con renglones exactos
A
=
// χ
′
// D
=
��
σ′ // // C′
γ
��
A //
χ // B
σ // // C
que se obtiene a partir del producto fibrado de σ y γ. Se define Eγ como la sucesión
exacta E′ = (χ′, σ′). De forma dual se define αE para el morfismo α : A → A′. En el
apéndice A se exponen detalladamente estos conceptos.
Para los objetos arbitrarios A y C, se define Ext1
E
(C, A) como el conjunto de las
clases de congruencia de sucesiones exactas cortas de A a C E-propias (por el axioma
IX.1 de [8] sobre conjuntos de extensiones, se puede considerar Ext1
E
(C, A) como un
conjunto).
10 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Teorema 1. Dada una clase propia E en la categoría abeliana A, Ext1
E
(C, A) es un
bifuntor en A. La suma E1 + E2 = ∇A(E1 ⊕ E2)∆C lo hace un bifuntor en los grupos
abelianos.
Demostración. Si E ∈ E, por la proposición 3 se cumple Eγ ∈ E, αE ∈ E para
cualesquiera morfismos α y β, cuando dichas composiciones tienen sentido. Además
α(Eβ) ≡ (αE)β (proposición 36, apéndice A). Si E1, E2 ∈ E, entonces E1 ⊕ E2 ∈ E por
la proposición 1, y en consecuencia E1 + E2 ∈ E. �
En adelante se usará la notación µ|ν para simbolizar Im µ = Nuc ν.
Teorema 2. Para la sucesión exacta corta E = (χ, σ) : A � B � C ∈ E, existe la
sucesión exacta
0 // Hom(C,G)
σ0 // Hom(B,G)
χ0 // Hom(A,G)
E0// Ext1
E
(C,G) σ
1
// Ext1
E
(B,G)
χ1 // Ext1
E
(A,G)
con E0(α) = αE, σ1(S ) = Sσ, χ1(S ) = Sχ. De forma dual, existe la sucesión exacta
0 // Hom(G, A)
χ0 // Hom(G, B)
σ0 // Hom(G,C)
E0// Ext1
E
(G, A)
χ1 // Ext1
E
(G, B)
σ1 // Ext1
E
(G,C)
con E0(α′) = Eα, χ1(S ) = χS , σ1(S ) = σS .
Demostración.
(χ0|E0)
(⊆) Si β ∈ Hom(B,G), entonces E0(χ0(β)) = E0(βχ) = (αχ)E ≡ β(χE) ≡ 0.
(⊇) Cuando α ∈ NucE0, existe el siguiente diagrama conmutativo
A
=
// χ //
α
��
B
=λ
��
σ // // C
G //
ιG // G ⊕C
ΠC // // C
y en consecuencia α = ΠGιGα = ΠGλχ = χ0(ΠGλ).
(E0|σ1)
(⊆) α ∈ Hom(A,G) implica σ1(E0(α)) = σ1(αE) = (αE)σ ≡ α(Eσ) ≡ 0.
(⊇) Si F = (χF , σF) ∈ Nuc σ1, se tienen los diagramas conmutativos
G
=
// χF // D
=
σF // // C
G //
ιG // G ⊕ B
λ
OO
ΠB // // B
σ
OOOO
1.2. EXTENSIONES PROPIAS 11
G //
χF // D
=
σF // // C
A //
χ // B
λιB
OO
σ // // C
Debido a que σFλιB χ = σχ, entonces existe el morfismo δ : A → G tal que
χFδ = λιB χ y por el corolario 5 del apéndice A, el morfismo de sucesiones
exactas cortas (δ, λιB, 1C) se factoriza de forma única mediante E → λE. Por lo
tanto λE ≡ F.
(σ1| χ1)
(⊆) F ∈ Ext1
E
(C,G) implica χ1(σ1(F)) = χ1(Fσ) = (Fσ)χ = 0.
(⊇) Sea F = (χF , σF) ∈ Nuc χ1, entonces se tiene el diagrama conmutativo
G
=
// χF // H
=
σF // // B
G //
ιG // G ⊕ A
λ
OO
ΠA // // A
OO
χ
OO
Además σFλιA = χΠAιA = χ y σσFλιA = 0, por lo tanto existe un morfismo
γ : H/A→ C tal que γη = σσF .
A
=
// λιA // H
=σF
����
η // // H/A
γ
��
A //
χ // B
σ // // C
Ahora se demostrará λ|γη. Sea ω : H → T tal que ωλ = 0. La expresión ωλιG =
ωχF = 0 implica que existe un morfismo ϕ : B → T con ϕσF = ω. Luego,
ϕχΠA = ϕσFλ = ωλ = 0, por lo tanto ϕχ = 0 y entonces existe un morfismo
ψ : C → T tal que ψσ = ϕ. En consecuencia ψγη = ψσσF = ϕσF = ω.
Por la observación 2, F′ = (ηλιG, γ) es exacta y por lo tanto F′σ ≡ F.
G
=
// ηλιG // H/A
=
γ // // C
G //
χF // H
σF // //
η
OO
B
σ
OOOO
�
Definición 4. La sucesión exacta S de longitud n en la categoríaA, de la forma
0 // A
βn // Bn−1
βn−1 // Bn−2
βn−2 // . . . β1 // B0
β0 // C // 0
es E-propia si cada βi es E-propio.
12 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
La sucesión anterior puede representarse mediante la composición de Yoneda como
S = En◦En−1◦· · ·◦E1, factorizando sus morfismos en una composición de n sucesiones
exactas cortas.
Para el morfismo γ : C′ → C se define la composición S γ = En ◦ En−1 ◦ · · · ◦ (E1γ)
y de la misma forma se define αS = (αEn) ◦ En−1 ◦ · · · ◦ E1 para α : A→ A′.
Por la proposición IX.4.1 de [8], S es E-propia si y sólo si cada Ei es E-propia.Definición 5. Dos sucesiones exactas propias de longitud n, S y S ′ son congruentes si
S ′ puede obtenerse de la primera sucesión mediante una cantidad finita de reemplazos
empleando las reglas siguientes:
(i) Se intercambia alguna Ei por una sucesión exacta corta congruente.
(ii) Si dos factores sucesivos tienen la forma E′′β ◦ E′, se reemplazan por E′′ ◦ βE′
con E′, E′′ ∈ E y β un morfismo.
(iii) Si dos factores sucesivos tienen la forma E′′ ◦ βE′, se cambian por E′′β ◦ E′ con
E′, E′′ ∈ E y β un morfismo.
En la segunda sección del apéndice A se demuestran algunas propiedades impor-
tantes de las sucesiones exactas largas.
Definición 6. Extn
E
(C, A) es el conjunto que tiene como elementos las clases de con-
gruencia de sucesiones exactas propias de A a C, de longitud n.
La definición anterior es posible al suponer el axioma IX.1 de [8]. Asimismo ocurre
que Extn
E
(C, A) es un bifuntor covariante en A y contravariante en C.
Proposición 5. La suma σ1 + σ2 está definida para σ1, σ2, en el mismo ExtnE(C, A) y
hace a Extn
E
(C, A) un grupo abeliano. Las propiedades distributivas
(σ1 + σ2)τ = σ1τ + σ2τ, σ(τ1 + τ2) = στ1 + στ2
y la propiedad asociativa ρ(στ) = (ρσ)τ se cumplen cuando las adiciones y composi-
ciones están definidas.
Demostración. La demostración es análoga al caso Extn
A
(ver apéndice A). �
Una categoría aditiva graduada G es una categoría en la cual cada homG(C, A) es el
conjunto unión de una familia de grupos abelianos {homn(C, A)}n∈N y la composición
induce un morfismo de grupos abelianos
hom(B,C) × hom(A, B)→ hom(A,C)
de grado 0 , tal que G es aditiva si se considera únicamente los morfismos hom0(C, A).
En particular, cada morfismo de una categoría aditiva graduada tiene un grado.
Ahora considérese una sucesión exacta larga S de longitud n, de A a C, como un
morfismo de grado n de C a A y el morfismo original de C a A de grado 0.
Proposición 6. Toda clase propia E en la categoría abeliana A determina una cate-
goría aditiva graduada EE(A) tal que sus objetos son los objetos deA y homn(A, B) =
Extn
E
(A, B); en particular con hom0(A, B) = HomA(A, B). En EE(A), la composición
se tiene por la composición de Yoneda . La adición se define por
cls(S 1 + S 2) = cls(∇B(S 1 ⊕ S 2)∆A)
1.2. EXTENSIONES PROPIAS 13
1.2.1. Sucesiones exactas largas inducidas
Dada E una clase propia enA, una categoría abeliana, las sucesiones exactas largas
propias congruentes S y S ′ son también congruentes como sucesiones exactas largas
impropias. Esto da una transformación natural de bifuntores
f n : Extn
E
(A, B)→ ExtnA(A, B)
y en particular, por la proposición 2 f 1 es un monomorfismo que manda Ext1
E
(A, B)
al subgrupo de Ext1
A
(A, B) formado por todas las sucesiones exactas cortas E-propias.
Para n>1 no necesariamente es cierto, ya que si S ◦ αS ′ es E-propia, no significa que
Sα ◦ S ′ lo es.
La E-proyectividad del objeto A, es equivalente a la condición
Extn
E
(A, B) = 0 ∀n ≥ 1, B ∈ Ob j(A)
Se cumple también que las sumas directas y sumandos directos de objetos E-
proyectivos son E-proyectivos. La E-proyectividad es equivalente a la condición de
que cualquier epi C � P ∈ Ee escinda. Para E-inyectivos se dan los resultados duales.
Como en el caso general, cualquier sucesión exacta en E da origen a dos sucesiones
exactas largas respecto al primer y segundo argumento, lo cual se puede demostrar sin
usar proyectivos ni inyectivos.
Si la sucesión exacta E = (χ, σ) : A� B� C es propia, se definen los morfismos:
χn(S ) = Sχ, con χn : Extn
E
(B,G)→ Extn
E
(A,G), S ∈ Extn
E
(B,G)
σn(S ) = Sσ, tal que σn : Extn
E
(C,G)→ Extn
E
(B,G), S ∈ Extn
E
(C,G)
En(S ) = (−1)nS E, si En : Extn
E
(A,G)→ Extn+1
E
(C,G), S ∈ Extn
E
(A,G)
De manera dual se definen:
χn(S ) = χS , con χn : ExtnE(G, A)→ Ext
n
E
(G, B), S ∈ Extn
E
(G, A).
σn(S ) = σS , tal que σn : ExtnE(G, B)→ Ext
n
E
(G,C), S ∈ Extn
E
(G, B)
En(S ) = (−1)nES , con En : ExtnE(G,C)→ Ext
n+1
E
(G, A), S ∈ Extn
E
(G,C)
En lo sucesivo se utilizará la siguiente notación: para una sucesión exacta corta F, los
morfismos χF , σF simbolizan su mono y epi correspondientes.
Lema 4. Si χn | En para toda sucesión E ∈ E, entonces En | σn+1 y σn+1 | χn+1.
Demostración.
(En | σn+1) (⊆) σn(En−1(S )) = σn((−1)n−1S E) = ((−1)n−1S E)σ = (−1)n−1S (Eσ) = 0.
(⊇) Sea S ∈ Nucσn+1. Luego, S se puede escribir de la siguiente manera S =
T F con F ∈ Ext1
E
y T ∈ Extn
E
.
Por hipótesis ImχnFσ = Nuc(Fσ)
n, lo que implica T ≡ UχFσ para alguna
extensión U ∈ Extn
E
. Además χFσFσ ≡ 0 (por la proposición 37, apéndice
A) y E0|σ1 (se demostró en el Teorema 2), por lo tanto χFσF ≡ E0(α) = αE
para algún morfismo α ∈ Ext0
E
. En consecuencia S ≡ UαE ≡ ±En(Uα).
14 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
(σn+1 | χn+1) (⊆) χn+1(σn+1(S )) = χn+1(Sσ) = Sσχ ≡ 0.
(⊇) Sea S ∈ Nucχn+1. Además S = T F para alguna extensión T ∈ Extn
E
, F ∈
Ext1
E
. De la hipótesis (Im(χFχ)n = Nuc(Fχ)n) se deduce T ≡ UχFχ para
alguna sucesión U ∈ Extn
E
. Pero χFχFχ = 0 y por hipótesis σ1| χ1, por lo
tanto χFχF ≡ σ1(Ê) para alguna extensión Ê ∈ Ext1E. Luego, S ≡ T F ≡
UÊσ.
�
Lema 5. Si F ∈ Ext1
E
(A,G), E ∈ Ext1
E
(C, A) son equivalentes
(i) F ≡ F′χE p.a. F′ ∈ Ext1E
(ii) E ≡ σF E′ p.a. E′ ∈ Ext1E
(iii) FE ≡ 0
(iv) Fα ≡ 0, E = αE′ p.a. α y p.a. E′ ∈ Ext1
E
Demostración.
(i)⇒(ii) Se tiene el diagrama conmutativo
G
=
// χF // D
=
��
µ
��
σF // // A��
χE
��
G //
χF′ // D′
σF′ // // B
σE
����
C
y además µ|σEσF′ por el razonamiento siguiente:
Si ρ : D′ → H tal que ρµ = 0, entonces ρµχF = ρχF′ = 0. Ésto implica la
existencia un morfismo λ : B → H con λσF′ = ρ. Luego, λχEσF = λσF′µ =
ρµ = 0 y por lo tanto λχE = 0. De lo que se infiere la existencia de ζ : C → H
tal que ζσE = λ, y en consecuencia ζσEσF′ = λσF′ = ρ.
(ii)⇒(i) Existe el diagrama conmutativo
G //
χF // D
=χE′
��
σF // // A��
χE
��
D′
=σE′
����
σF′ // // B
σE
����
C C
y χE′χF |σF por el siguiente argumento:
1.2. EXTENSIONES PROPIAS 15
Sea ρ : H → D′ tal que σF′ρ = 0, Entonces σEσF′ρ = 0 implica que existe un
morfismo λ : H → D con χE′λ = ρ. Por otro lado χEσFλ = σF′χE′λ = σF′ρ = 0,
y dado que χE es mono, se tiene σFλ = 0. Por lo tanto, se deduce la existencia
de θ : H → G con χFθ = λ, de lo que se concluye χE′χFθ = χE′λ = ρ.
(ii)⇒(iii) E = σF E′ por hipótesis. Entonces FE = FσF E′ ≡ 0E′ = 0 por la proposición
37 del apéndice A.
(iii)⇒(ii) La expresión F ! E denotará que F y E satisfacen la propiedad (ii).
Si F0 = (1G, 0) : G � G � 0 y E0 = (0, 1C) : 0 � C � C, la composición
F0E0 ≡ 0 es el cero de Ext2E(C,G) y se cumple la relación F0 ! E0 pues
E0 ≡ σF0 E
′
0, donde E
′
0 : G� G ⊕C � C.
Nótese entonces, que por la definición de congruencia de sucesiones, para llegar
a F ! E es suficiente demostrar lo siguiente:
(a) F ! γE ⇒ Fγ! E
(b) Fγ! E ⇒ F ! γE
Demostración
(a) Supóngase F = F′χγE . Se demostrará Fγ = F′′χE .
Por hipótesis tenemos el diagrama conmutativo
A
=γ
��
// χE // B
=ρ
��
σE // // C
A′ //
χγE // B′
σγE // // C
y entonces ρχE = χγEγ, por consiguiente F′ρχE = F′χγEγ = Fγ.
(b) Considérese E = σFγE′ y el diagrama conmutativo
· //
χF // ·
σF // // ·
·
=
// χFγ // ·
=β
OO
σFγ // // ·
γ
OO
por lo tanto γE = γσFγ y E′ = σF βE′.
(ii)⇒(iv) Sea α = σF , entonces FσF ≡ 0 y E = σF E′.
(iv)⇒(ii) Supóngase F = (χF , σF) : G� D� A ∈ E, entonces por el teorema 2 existe la
sucesión exacta
Hom(L,G) // Hom(L,D)
(σF )1 // Hom(L, A)
F1 // Ext1
E
(L,G)
Si Fα ≡ 0 se deduce que existe el morfismo β ∈ Hom(L,D) tal que α =
(σF)1(β) = σF β. Por lo tanto E = αE′ = σF βE′.
�
16 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Lema 6. Para n ∈ N, S ∈ σ ∈ Extn
E
(A,G) y E ∈ Ext1(C, A) son equivalentes:
(i) S = S ′χE p.a. S ′ ∈ σ ∈ ExtnE
(ii) Sα ≡ 0, E = αE′ p.a. α ∈ Ext0
(iii) S E ≡ 0
Demostración. Por inducción sobre n, la longitud de S.
El caso para n=1 se tiene por el lema anterior. Supóngase ahora que la equivalencia
de los tres incisos se da para n-1. Ahora se demostrará para n.
(i)⇒(ii) Si S ′ = T F′, con F′ ∈ Ext1
E
se tiene S ≡ S ′χE ≡ T F′χE . Sea F = F′χE ,
entonces sededuce del lema 5 que E ≡ σF E′. Por lo tanto E = σF E′ y SσF =
S ′χEσF = T F′χEσF ≡ T FσF ≡ 0 (Proposición 37, apéndice A).
(ii)⇒(i) Considérese E ≡ αE′, Sα ≡ 0 y S = T F con T ∈ Extn−1
E
. Se deduce 0 ≡ T Fα =
(Fα)n−1(T ) y entonces, por hipótesis inductiva, existe la sucesión T ′ ∈ Extn−1
E
tal que T = (χFα)n−1(T ′) = T ′χFα. Luego, S ≡ T ′χFαF y como E ≡ αE′ se
llega a 0 ≡ χFαFαE′ ≡ χFαFE. Por el Teorema 2, χFαF ≡ F′χE para alguna
extensión F′ ∈ Ext1
E
y finalmente S ≡ T ′χFαF ≡ T ′F′χE .
(i)⇒(iii) Se sigue directamente de las hipótesis, pues S E = S ′χE E ≡ 0.
(iii)⇒(i) Sea S ! E la relación dada por (ii). El cero en Extn+1
E
(G,C) tiene una facto-
rización 0 ≡ Ŝ Ê con Ŝ = (1G, . . . , 0) : G � 0 → · · · → 0 � 0 ∈ ExtnE y
Ê = (0, 1C) : 0� C � C. Además existe el diagrama conmutativo
G
=
G
=
��
// 0
��
// . . . //
=
0
��
// //
=
0
χÊ
��
G G // 0 // . . . // C C
y también existe la sucesión S ′ ∈ Extn
E
tal que Ŝ = S ′χÊ . Entonces Ŝ ! Ê.
Por la definición de congruencia de sucesiónes exactas propias es suficiente de-
mostrar:
(a) S ! γE ⇒ S γ! E
(b) S γ! E ⇒ S ! γE
Demostración
(a) Se demostrará S γ = S ′′χE suponiendo S = S ′χγE .
El siguiente diagrama conmuta
·
γ
��
// χE //
=
·
λ
��
=
σE // // ·
· //
χγE // ·
σγE // // ·
y por lo tanto S γ = S ′χγEγ = S ′λχE .
1.2. EXTENSIONES PROPIAS 17
(b) Por hipótesis S γ ! E, es decir, existen α y E′ tales que S γα ≡ 0, E =
αE′. Si β = γα, se deduce S β ≡ 0 y también γE = γαE′ = βE′.
�
Proposición 7. Para una clase propia E en la categoría abeliana A y la sucesión
exacta propia E = (χ, σ) : A� B � C y G ∈ Ob j(A) existen las sucesiones exactas
de grupos abelianos
. . . Extn−1
E
(A,G)// E
n−1
// Extn
E
(C,G) σ
n
// Extn
E
(B,G) χ
n
// Extn
E
(A,G) E
n
//
y
. . . // Extn−1
E
(G,C)
En−1 // Extn
E
(G, A) χn // Extn
E
(G, B) σn // Extn
E
(G,C) En //
Demostración. Se probará que la primera sucesión es exacta pues la segunda se obtiene
al dualizar los lemas anteriores. Cuando n = 0, se tiene el caso de los morfismos usuales
y entonces σ0|χ0, χ0|E0 . Si n ≥ 1 se deduce χn | En por el lema anterior y del lema 4
se tiene el resultado. �
En caso de que E tenga suficientes proyectivos, de manera similar que en R-mód,
existe el isomorfismo dado en la siguiente proposición. Los conceptos y propiedades
homológicas mencionados en la prueba se han resumido en el apéndice B.
Teorema 3. Para la clase propia E con suficientes proyectivos, A ∈ Ob j(A) y X → C
una resolución proyectiva de C, existe el isomorfismo natural
ξ : Extn
E
(C, A) � Hn(HomA(X, A)) n ∈ N
Demostración. Sea S ∈ σ ∈ Extn
E
(C, A) una resolución de C. Entonces existe el mor-
fismo de cadenas g : X → S que factoriza a 1C : C → C.
δn+2 // Xn+1
=gn+1
��
δn+1 // Xn
==gn
��
δn // . . .
=
δ1 // X0
=g0
��
e // C // 0
0 // A
bn // . . . b1 // B0
b0 // C // 0
(1.2)
Luego, aplicando el funtor Hom se tiene el diagrama conmutativo
Hom(B0, A)
=g∗0
��
b∗1 // Hom(B1, A)
g∗1
��
b∗2 // . . . // Hom(Bn−1, A)
=g∗n−1
��
b∗n // Hom(A, A)
g∗n
��
Hom(X0, A)
δ∗1 // Hom(X1, A)
δ∗2 // . . . // Hom(Xn−1, A)
δ∗n // Hom(Xn, A)
y haciendo δn = (−1)n+1δ∗n+1 y b
n = (−1)n+1b∗n+1 se obtiene
Hom(B0, A)
=g∗0
��
b0 // Hom(B1, A)
g∗1
��
b1 // . . . // Hom(Bn−1, A)
=g∗n−1
��
bn−1 // Hom(A, A)
g∗n
��
Hom(X0, A)
δ0 // Hom(X1, A)
δ1 // . . . // Hom(Xn−1, A)
δn−1 // Hom(Xn, A)
18 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Ahora defínase
ξ(clsS ) = clsgn ∈ Hn(X, A) = Hn(Hom(K,G)) (1.3)
Obsérvese que gn es un cocíclo de X pues δn(gn) = (−1)n+1gnδn+1 = 0 (ver apéndice
B.4). Se demostrará que ξ está bien definida.
Si g′ : X → S es otra transformación de cadenas que factoriza la identidad me-
diante S entonces por el Teorema 10 del apéndice B, existe una homotopía t : g′∗ ' g∗,
tn+1 = (−1)n+1s∗n con t = {t
j : Hom(B j, A)→ Hom(X j−1, A)} tal que
g
′∗
j − g
∗
j = δ
j−1t j + t j+1b j (1.4)
Hom(B0, A)
g∗0
��
b0 // Hom(B1, A)
t1
s∗0
wwooo
ooo
ooo
oo
g∗1
��
b1 // . . . // Hom(Bn−1, A)
g∗n−1
��
bn−1 //
tn−1
s∗n−2
yyrrr
rrr
rrr
rr
Hom(A, A)
tn
s∗n−1
wwnnn
nnn
nnn
nnn
g∗n
��
Hom(X0, A)
δ0 // Hom(X1, A)
δ1 // . . . // Hom(Xn−1, A)
δn−1 // Hom(Xn, A)
y en particular cuando j = n
g′∗n − g
∗
n = δ
n−1tn + tn+1bn = δ∗ns
∗
n−1 + s
∗
nb
∗
n+1 = δ
∗
ns
∗
n−1 ∈ Imδ
∗
n = Imδ
n−1
por lo tanto g′n y gn son cohomólogos.
Por otro lado, si S ′ ≡ S , es suficiente suponer que existe el morfismo Λ (Proposi-
ción 41, apéndice A) en los dos casos siguientes:
1) Λ : S → S ′ , Λ = (1, . . . , 1). Entonces cualquier g : X → S da Λg : X → S ′ con
el mismo cocíclo gn = (Λg)n.
2) Λ : S ′ → S , Λ = (1, . . . , 1). Debido a que X es una resolución proyectiva se tiene
nuevamente que existe un morfismo de cadenas h : X → S ′ y por consiguiente
Λh : X → S es un morfismo de cadenas con (Λh)n cohomólogo a gn.
Para hallar el inverso de ξ se observa que el morfismo δn se puede factorizar de
forma única, salvo equivalencias como
(δ′n, χ) : Xn // // Im δn // // Xn−1
Si gn : Xn → A es un cocíclo entonces 0 = δn(gn) = (−1)n+1δ∗n+1gn = (−1)
n+1gnδn+1
Xn+1
δn+1 // Xn
gn
��
δ′n // Im δn
A
por lo tanto existe el morfismo único h : Im δn → A tal que hδ′n = gn y en consecuencia
1.2. EXTENSIONES PROPIAS 19
se tiene el diagrama conmutativo
Xn+1
δn+1 // Xn
δ′n
��
δn
##F
FF
FF
FF
FF
S n(C, X) : 0 // Imδn
h
��
χ // Xn−1
δn−1 // . . . δ2 // X1
δ1 // X0
e // C // 0
A C
con gn = hδ′n y δn = χδ
′
n el análisis de δn.
De lo anterior defínase η : Hn(X, A)→ Extn
E
(C, A) como
η(gn) = cls(hS n(C, X)) (1.5)
y dado que η es aditiva (apéndice A, Teorema 9), para ver que está bien definida se debe
demostrar que cualquier qn ∈ Imδn−1 implica que η(clsqn) = 0. Pero para qn = h′δ′n
se tiene la existencia del morfismo k ∈ Hom(Xn−1, A) tal que gn = δn−1(k). Luego,
h′δ′n = δ
n−1(k) = (−1)nδ∗n(k) = (−1)
nkδn = (−1)nkχδ′n y entonces por la Proposición 37,
apéndice A
hS n(C, X) = (−1)nkχS n(C, X) = 0 (1.6)
Por lo tanto η está bien definida y es un morfismo de grupos. �
Del diagrama 1.2, si α : A→ A′ entonces ξαn(S ) = cls(αgn) y como Hn(X, α) = α∗
es un bifuntor, se tiene α∗(ξ(S )) = α∗(clsgn) = cls(αgn), y así, ξ es natural en A.
Extn
E
(C, A)
=
ξ(A) //
Extn
E
(C,α)
��
Hn(X, A)
Hn(X,α)
��
Extn
E
(C, A′)
ξ(A′) // Hn(X, A′)
(1.7)
Cuando γ : C′ → C y �′ : X′ → C′ es una resolución proyectiva de C′ y f : X′ → X
factoriza γ, se tiene f ∗(ξ(S )) = f ∗(clsgn) = cls(gn f ). Además existe un morfismo
h : X′ → S γ tal que clshg = cls(gn fn) y por consiguiente ξ′γn(S ) = ξ′(S γ) = cls(gn fn).
Extn
E
(C, A)
=
ξ(A) //
Extn
E
(γ,A)
��
Hn(X, A)
Hn(X,γ)
��
Extn
E
(C′, A)
ξ(A′) // Hn(X′, A)
(1.8)
20 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
1.3. Algunas condiciones de cerradura
En esta sección se supone que A tiene límites directos exactos, sumas directas
infinitas y productos directos infinitos.
Considérense ahora las sucesiones exactas cortas E = (χ, σ) : A � B � C,
Ei = (χi, σi) : Ai � Bi � Ci y la suma de morfismos αi ⊕ α j = ιiαiΠAi + ι jα jΠA j :
Ai⊕A j → Bi⊕B j , con ι, Π las inclusiones y proyecciones canónicas respectivamente.
Lema 7. Para la clase propia E, E =
⊕k
i=0 Ei ∈ E si y sólo si Ei ∈ E ∀ i = 1, . . . , k.
Demostración.
(⇒) E ∈ E y se tiene el siguiente diagrama conmutativo:
Ai
=ιAi
��
// χi // Bi
ιBi
��
⊕Ai //
⊕χi // ⊕Bi
además ιAi ∈ Em por P1. Entonces ιBiχi = (⊕χi)ιAi ∈ Em, de manera que χi ∈ Em
por P3.
(⇐) Se deduce del lema 1.
�
Definición 7. Sea E clase propia entonces:
(a) E es ⊕-cerrada, si Ei ∈ E implica ⊕Eλ ∈ E
(b) E es Π−cerrada, si ΠEλ ∈ E cuando Eλ ∈ E
(c) E es cerrada inductivamente, si Eλ ∈ E implica lı́m
−−→
Eλ ∈ E
Observación 1. Para el grupo abeliano Z×Z (de rango 2), los grupos 〈(1, 0)〉 y 〈(1, 2)〉
son sumandos directos, es decir 〈(1, 0)〉 ↪→ Z ⊕ Z y 〈(1, 2)〉 ↪→ Z ⊕ Z escinden pero
〈(1, 0)〉 ⊕ 〈(1, 2)〉 ↪→ Z ⊕ Z no escinde.
Ahora considérese E = (χ, σ) : A � B � C con A = ⊕I Aλ, A
′
λ = ⊕ j,λA j.
Entonces se tiene el diagrama conmutativo
A′λ
=
_�
ιλ′
��
A′λ
χλ′
��
⊕Aλ //
χ //
Πλ
��
B
=σλ′��
σ // // C
Aλ B/A′λ
σλ // C
1.3. ALGUNAS CONDICIONES DE CERRADURA 21
Observación 2. Si χλ = σλ′χιλ, la sucesión Eλ = (χλ, σλ) : Aλ� B/A
′
λ � C es exac-
ta.
Demostración. χλ = σλ′χιλ es mono. Por otra parte, para cualquier morfismo γ :
B/Aλ′ → G, con γχλ = 0, se deduce la igualdad 0 = γχλΠλ = γσλ′χ, que implica la
existencia de un morfismo µ : C → G tal que µσλσλ′ = µσ = γσλ′ . En consecuencia
σλ ∈ Conucχλ.
�
Proposición 8. Si |I| < ∞ o la clase propia E es cerrada inductivamente, entonces
E ∈ E si y sólo si Eλ ∈ E.
Demostración.
(⇒) Supóngase E ∈ E. Para Πλ : ⊕Aµ → Aλ se tiene el morfismo inducido
(Πλ)1 : Ext1(C, A) → Ext1(C, Aλ). Si E′ = (Πλ)1(E) = ΠλE, se tiene el dia-
grama correspondiente con renglones exactos
A
=
// χ //
πλ
��
B
=
σ // //
k̂
��
C
Aλ
χ̂ // S
σ̂ // // C
y entonces el morfismo de sucesiones exactas cortas (πλ, σλ′ , 1C) se factoriza
mediante (πλ, k̂, 1C), lo que implica E
′
≡ Eλ (ver apéndice A, corolario 6). Por
lo tanto Eλ ∈ Ee.
(⇐) Si |I| < ∞ y Eλ ∈ E, considérese el diagrama conmutativo
⊕Aλ
=
// χ // B
⊕σλ′∆
��
⊕Aλ //
⊕χλ // ⊕B/A
′
λ
además por hipótesis ⊕χλ ∈ Em, de donde se deduce χ ∈ Em por el axioma P̂3.
Ahora considérese |I| = ∞, entonces para sumas directas finitas de sucesiones
Eλ el siguiente diagrama conmuta
⊕<∞Aλ
=
// χ̂ // B
��
⊕<∞Aλ //
⊕<∞χλ // ⊕<∞B/A
′
λ
luego, χ̂ ∈ Em por el caso anterior y en consecuencia χ = lı́m
−−→
χ̂ ∈ Em.
�
22 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Supóngase ahora A = ΠI Aλ, A′λ = Πµ,λAµ para las sucesiones E y Eλ dadas ante-
riormente.
Proposición 9. Si E es Π-cerrada, entonces E ∈ E si y sólo si Eλ ∈ E.
Demostración.
(⇐) Se tienen los morfismos
ΠAλ
ΠAλ // Aλ
χλ // B/A′λ
y los diagramas para toda λ
ΠAλ
χλΠ
A
λ
��
B/A′λ Π(B/A
′
λ)Π′λ
oo
B
σλ′
��
B/A′λ Π(B/A
′
λ)Π′λ
oo
entonces existe un morfismo único χ̂ : ΠAλ → Π(B/A′λ) tal que Π
′
λχ̂ = χλΠ
A
λ
y también existe un único σ̂ : B → Π(B/A′λ), con Π
′
λσ̂ = σλ′ . Por lo tanto
Π′λσ̂χ = σλ′χ = χλΠ
A
λ . Luego, σ̂χ = χ̂ y se tiene el diagrama conmutativo
ΠAλ
=
// χ // B
σ̂
��
ΠAλ //
χ̂ // Π(B/A′λ)
En consecuencia χ ∈ Em, por el axioma P̂3.
�
De forma dual, para C = ⊕Cλ y η = Nuc Πλ′σ existe el diagrama conmutativo con
columnas exactas
Cλ′
=
Cλ′
A
=
// χ // B
OOOO
σ // // C
Πλ′
OOOO
A //
χλ // Bλ
OO
η
OO
Cλ
OO
ιλ
OO
y si σλ = Πλση entonces dicha composición es epi y χλ ∈ Nuc σλ.
Sea ahora Eλ = (χλ, σλ) : A� Bλ � Cλ.
1.4. EJEMPLOS 23
Proposición 10. Si |I| < ∞ o si E es ⊕-cerrada, entonces E ∈ E si y sólo si Eλ ∈ E.
Demostración.
(⇒) Si E ∈ E, se tiene EΠλ ∈ E y del diagrama conmutativo
A
=
// // B
=
σ // // C
A // // Bλ
δ
OO
σλ
// // Cλ
Πλ
OO
se obtiene la congruencia EΠλ ≡ Eλ.
(⇐) Supóngase que Eλ ∈ E y E es ⊕-cerrada o |I| < ∞. Luego, por la propiedad
universal de la suma directa se tiene el diagrama conmutativo
B
σ // ⊕Cλ
=
⊕A // // ⊕Bλ
σ̂ // //
OO
⊕Cλ
por lo tanto σ ∈ Ee.
�
En el resultado anterior la suma directa no se puede reemplazar en general por el
producto (aunque E sea Π-cerrada). Como ejemplo considérese
S = {E ∈ S .E.C. | M ⊗ E es exacto ∀M ∈ R −mód}
De acuerdo con el lema 2, S es clase propia y además es Π-cerrada. Si R no es
coherente derecho, entonces para alguna familia de módulos planos izquierdos Cλ el
producto C = ΠCλ no es plano (ver página 43 de [15]). De esta manera, E obtenida
mediante el epimorfismo B� C con B libre, no es propia.
1.4. Ejemplos
1. La clase S0 de todas las sucesiones exactas cortas que escinden es una clase
propia. Si se consideran todas las sucesiones cortas, entonces también forman
una clase propia.
2. Dada AB la categoría de los grupos abelianos. La clase siguiente de sucesiones
exactas cortas de grupos abelianos es una clase propia:
E = {A� B� C | A es puro en B}.
24 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
3. Si {Ei}I son clases propias, entonces ∩Ei es una clase propia. La mínima clase
propia 〈E〉 que contiene a una clase arbitraria de sucesiones exactas cortas E se
dirá que es la clase propia generada por E. Así,
〈E〉 = ∩{Q | E ⊂ Q;Q clase propia}.
Un objeto A se dice coproyectivo en la clase propia E, si toda sucesión exacta
que termina en A es propia. La mínima clase propia para la cual cualquier ele-
mento de una familia fija de objetos O es coproyectivo se llamará la clase propia
generada coproyectivamente por O y se denotará k(O).
Se estudiará más adelante la clase propia máxima para la cual todos los elemen-
tos de una familia fija de objetos O, son proyectivos, denotada como π−1(O). De
la misma forma se definen los conceptos anteriores para inyectivos y coinyecti-
vos.
4. Dada una teoría de torsión hereditaria (T ,F ) en R-mód, se considera k(T ) los
objetos de torsión. Dicha clase propia se caracteriza en [10] y se estudian algunas
condiciones en las que hay suficientes proyectivos.
5. [6] Considérese R un anillo asociativo con unidad y S < R un subanillo. Todos
los R-módulos serán considerados también como S-módulos de forma natural.
Una sucesión exacta de R-morfismos de R-módulos ti : Mi → Mi−1 es (R,S)-
exacta, si para cada i el S-módulo Nuc ti es un sumando directo de Mi.
Del mismo modo, un R-módulo A se dice (R, S )-inyectivo si para cualquier su-
cesión (R,S)-exacta
U //
p // V
q // // W
y cualquier R-morfismo h : U → A, existe un R-morfismo h′ : V → A con
h′ ◦ p = h. Análogamente se definen los (R,S)-proyectivos. Así, existen las reso-
luciones (R,S)-proyectivas y (R,S)-inyectivas de un R-módulo M.
Cualquier pareja de R-morfismos A→ A′, B→ B′ induce un morfismo único
Extn(R,S )(A
′, B)→ Extn(R,S )(A, B
′)
Las propiedades de dichos morfismos inducidos hacen a Extn(R,S ) un funtor con-
travariante en el primer argumento y covariante en el segundo. Si S es semi-
simple (es decir, semisimple como S-módulo) cualquier sucesión R-exacta es
(R,S)-exacta y entonces
Extn(R,S )(A, B) = Ext
n
R(A, B)
Análogamente con Tor(R,S )n .
6. En R-mód, considérese K submódulo de B. Si A es un submódulo de B tal que
K∩A = 0 y es máximo respecto a esta propiedad, se dice que A es complemento
de K en B. La clase ComplR-mód definida como la familia de sucesiones exactas
cortas
A� B� C
tales que A es complemento de algún subobjeto K de B, es una clase propia[14].
Capítulo 2
Proyectivos Relativos
2.1. Clases Propias generadas proyectivamente
Definición 8. Para una clase de sucesiones exactas cortas E en la categoría abeliana
A y O ⊂ Ob j(A) se define lo siguiente:
(i) π(E) = {M | M es E-proyectivo}
(ii) π−1(O) = {E ∈ S .E.C. | Hom(M, E) es exacto ∀M ∈ O}
Las clases propias de esta forma se llaman generadas proyectivamente.
(iii) E = π−1(π(E)) es llamada la cerradura proyectiva de E.
Nótese que la clase propia π−1(O) es la máxima clase propia tal que todos los ele-
mentos de O son proyectivos relativos a dicha clase.
Proposición 11. Si E tiene suficientes proyectivos, entonces E = E
Demostración. Se sabe que E ⊂ π−1(π(E)). Por otra parte, supóngase E = (χ, σ) :
A � B � C ∈ π−1(π(E)). Además, por hipótesis existe un epi β : P � C ∈ Ee con
P ∈ π(E). En consecuencia existe el morfismo µ : P→ B tal que σµ = β �
El recíproco de esta proposición se revisará en la siguiente sección. Obsérvese que
en R-mód toda clase propia proyectivamente generada es Π-cerrada.
Lema 8. En el siguiente diagrama conmutativo con renglones exactos,
A
=
// χ // B
=
σ // // C
A1 //
χ1 //
α
OO
B1
σ1 // //
γ
OO
C1
β
OO
el morfismo β se factoriza a un morfismo C1 → B si y sólo si α se puede extender a
uno B1 → A.
25
26 CAPÍTULO 2. PROYECTIVOS RELATIVOS
Demostración.
(⇐) Supóngase que existe el morfismo ϕ : B1 → A con ϕχ1 = α, entonces se tiene
γχ1 = χα = χϕχ1 y por lo tanto (γ − χϕ)χ1 = 0 . Dado que χ1 es núcleo de
σ1 existe el morfismo ψ : C1 → B tal que ψσ1 = γ − χϕ. En consecuencia
σψσ1 = σγ − σχϕ = σγ = βσ1. El resultado se sigue de que σ1 es epi.
(⇒) Es dual a la anterior.
�
En la siguiente demostración se asumirá que la clase propia Q tiene suficientes
proyectivos.
Definición 9. Γ = { (F,U) | U � F � P ∈ S.E.C. , P ∈ O, F ∈ π(Q) }
Teorema4. Considérese E = π−1(O) ⊂ Q y E = (χ, σ) : A� B� C ∈ Q. Entonces
son equivalentes:
(i) E ∈ E
(ii) Para toda pareja (F,U) ∈ Γ cualquier morfismo U → A que se extiende a uno
F → B también se extiende a uno F → A.
Demostración.
(⇒) Sea E ∈ E = π−1(O) y del siguiente diagrama conmutativo con renglones exactos
se deduce la existencia de un morfismo β : F/U → C tal que βσ1 = σγ.
A
=
// χ // B
σ // // C
U //
χ1 //
α
OO
F
σ1 // //
γ
OO
F/U
Pero F/U ∈ O, por lo tanto existe δ : F/U → B con σδ = β. Por el lema 8 se
llega al resultado.
(⇐) Sea (F,U) ∈ Γ y β : F/U → C un morfismo. Como F es Q-proyectivo, entonces
existe γ : F → B tal que βσ1 = σγ.
A //
χ // B
=
σ // // C
U //
χ1 // F
σ1 // //
γ
OO
F/U
β
OO
Además σγχ1 = βσ1χ1 = 0, por lo tanto existe el morfismo α : U → A con
χα = γχ1 porque χ1 es núcleo de σ1. Por el lema 8 se tiene lo que se quiere
demostrar.
�
2.1. CLASES PROPIAS GENERADAS PROYECTIVAMENTE 27
Lema 9. Considérese la sucesión exacta corta E = (χ, σ) : A � B � C, entonces
son equivalentes:
(i) Para todo objeto K ≤ B, tal que A ≤ K y K/A ∈ O se tiene A D K.
(ii) Para cualquier S ∈ O y cualquier mono γ : S � B/A , la composición Eγ
escinde.
Demostración.
(i)⇒ (ii) Resulta del lema del 5º y del lema 8.
(ii)⇒ (i) Por hipótesis se tiene el diagrama conmutativo con renglones exactos
E1 : A
=
// χ1 // B
σ1 // // C
E2 : A //
χ2 // K
σ2 // //
γ
OO
K/A
luego, σ1γχ2 = 0; por lo tanto existe β : K/A → C con βσ2 = σ1γ. En consecuencia
E2 ≡ E1β. �
Proposición 12. Sea E = (χ, σ) : A � B � C una sucesión exacta. Si E ∈
π−1(O) p.a. O ⊂ Ob j(A), entonces se cumple (i) del lema anterior. Cuando la clase O
es cerrada bajo cocientes, la expresión (i) del lema anterior implica que E ∈ π−1(O).
Demostración. Si E ∈ E = π−1(O), se tiene para el morfismo β : S → C con S ∈ O
que existe µ : S → C tal que σ1µ = β. Por el lema 8, Eβ escinde.
Para el recíproco, supóngase S ∈ O y γ : S → C. Luego, γ se factoriza como
γ = CoimγImγ. Como Imγ : S → S ′ es epi, se deduce S ′ ∈ O. Puesto que Coimγ es
mono, por el lema del 5º y la equivalencia de los incisos (i) y (ii) se tiene el resultado.
A // //
=
B
=
// // C
A // // L
uu
OO
// // S ′
Coimγ
OO
S
Imγ
OO
�
Considérese E una clase propia y E
′
= π−1(O), con el conjunto O ⊂ π(E) y Q ⊃ E
′
.
Observación 3. La sucesión exacta E está en π−1(O) si y sólo si Eβ ≡ 0 para todo
morfismo β : S → B/A con S ∈ O.
Observación 4. Para cualquier objeto P ∈ O y todo morfismo β : P→ C, se tiene
Ext1E(C, A) ⊂ Nuc β
1
Q
con β1
Q
: Ext1
Q
(C, A)→ Ext1
Q
(P, A).
28 CAPÍTULO 2. PROYECTIVOS RELATIVOS
La observación se cumple pues Eβ ≡ 0 para toda sucesión exacta E ∈ Ext1
E
(C, A).
Se define el monomorfismo
ϕ : Ext1E(C, A) ↪→ K =
⋂
β:P→C,P∈O
Nucβ1
Q
y análogamente
ϕ
′
: Ext1
E
′ (C, A) ↪→ K
Observación 5. Si π−1(O) ⊂ Q, entonces⋂
β:P→C,P∈O
Nucβ1
Q
=
⋂
β:P→C,P∈O
Nucβ1
Teorema 5. SiA tiene sumas directas infinitas, son equivalentes:
(a) E = π−1(O)
(b) ϕ es un isomorfismo
(c) Para todo objeto A se cumple:
(i) ∃ P̂ ∈ Ob j(A) , P̂ = ⊕Pi con Pi ∈ O
(ii) ∃ β̂ : P̂→ C · 3· Ext1
E
(C, A) = Nuĉβ1
Demostración.
(b)⇒ (a) ϕ es la composición de ι : Ext1
E
(C, A) ↪→ Ext1
E′
(C, A) con ϕ′ . Si E , π−1(O),
entonces ϕ no es un isomorfismo.
(a)⇒(b) Si E = π−1(O), de la observación 5 se tiene
Ext1E(C, A) = Ext
1
E′ (C, A) =
⋂
β:P→C,P∈O
Nucβ1
Q
=
⋂
β:P→C,P∈O
Nucβ1
(c)⇒(a) Dado que ϕ es mono basta demostrar K ⊆ Nuc β̂1
Q
. Pero P̂ ∈ π(π−1(O)), por lo
tanto β̂1
Q
(E) ≡ 0, si E ∈ K.
(b)⇒(c) Sea P0 ∈ O y γ : P0 → C. Se cumple⋂
β:P→C,P∈O
Nucβ1
Q
= K ⊂ Nucγ1
Q
.
Supóngase ahora K ( Nucγ1
Q
. Además, si x ∈ Nucγ1
Q
con x < K, entonces
existen Px ∈ O y βx : Px → C tal que x < Nucβ1x. Luego, sea I el conjunto
formado por las Px elegidas y β̂ : P̂ → C, β̂ = γ +
∑
I βi con P̂ = P0 ⊕ (⊕I Px).
Entonces β cumple la igualdad
Ext1E(C, A) = K = Nuĉβ
1
Q
Demostración
2.2. CLASES PROPIAS CON SUFICIENTES PROYECTIVOS 29
(⊂) Si x ∈ Ext1
E
(C, A) = K, para todo objeto P ∈ π(E′) y todo morfismo λ :
P → C se cumple x ∈ Nucλ1. Por lo tanto, P̂ es E-proyectivo, entonces
x ∈ Nuĉβ1
Q
.
(⊃) Supóngase x ∈ Nuĉβ1
Q
y x < K, en consecuencia x ∈ Nuc γ1
Q
y existen
Px ∈ I, β1x : Px → C tal que x < Nucβ
1
x. Por lo tanto x < Nuĉβ
1
Q
, lo que
lleva a una contradicción.
�
Corolario 1. Considérese E una clase popia y O cerrada bajo cocientes con A,C ∈
Ob j(A) y {Ci} ⊂ O los subobjetos de C en O. Entonces
Ext1E(C, A) =
⋂
Ci∈O
Im p1i =
⋂
Ci∈O
Nuc ι1i
donde (ιi, pi) : Ci � C � C/Ci es exacta y E = π−1(O).
Demostración. E : (χ, σ) : A� B� C ∈ E si y sólo si, para todo β : P� C mono,
con P ∈ O existe el morfismo λ : P → B tal que σλ = β. Esto ocurre si y sólo si
Eβ = β1(E) escinde para todo mono β : P� C, con P ∈ O. �
Corolario 2. Bajo las hipótesis del corolario anterior, sea CO → C la imagen del
morfismo ⊕i∈ICi → C. Si D ≤ C con CO ≤ D, entonces
Imp1 ≤ Ext1E(C, A)
con (ι, p) : D� C� C/D exacta. Si CO ∈ O, se da la igualdad
Ext1E(C, A) = Imp
1
2.2. Clases Propias con suficientes proyectivos
Proposición 13. Si Q es una clase propia con suficientes proyectivos y
Q′ = {A� P� C ∈ Q |P ∈ π(Q)}
entonces Q = 〈Q′〉.
Demostración. Considérese la sucesión exacta corta (χ, σ) : A � B � C ∈ Q. Por
hipótesis existe el epi λ : P� B ∈ Qe con P ∈ π(Q), entonces σλ : P� C ∈ Qe es un
epi 〈Q〉-propio. Por consiguiente σ ∈ 〈Q′〉e. �
Proposición 14. Para cualquier clase de sucesiones exactas cortas Q se cumple la
igualdad
π(Q) = π(〈Q〉)
Demostración.
(⊇) Por definición se da la contensión Q ⊂ 〈Q〉, entonces π(Q) ⊃ π(〈Q〉).
30 CAPÍTULO 2. PROYECTIVOS RELATIVOS
(⊆) Se tiene que π−1(π(Q)) ⊇ Q y 〈Q〉 es la mínima clase propia que contiene a Q, en
consecuencia π(Q) ⊆ π(〈Q〉).
�
Se considera inicialmente en esta sección la categoría abelianaA con sumas direc-
tas infinitas. Para O ⊂ Ob j(A) defínase las siguientes clases de objetos:
O0 = {⊕i∈ICi|Ci ∈ O}
O1 = {B ∈ Ob j(A)|B D C,C ∈ O0}
Luego, se dan las contensiones O ⊂ O∑ ⊂ O′∑ ⊂ O = π(π−1(O)).
Teorema 6. Para E = π−1(O) son equivalentes
(a) E tiene suficientes proyectivos y O1 = O.
(b) Para todo objeto C, existe B ∈ O0 y un epimorfismo γ : B � C además de
S (C) ⊂ O un conjunto tal que todo morfismo ϕ : P→ C, con P ∈ O se factoriza
mediante algún objeto de S (C).
Demostración.
(⇒) Por hipótesis, para el objeto arbitrario C existe P ∈ π(E) = O1 y el epi propio
γ : P� C ∈ Ee. Entonces P es sumando directo de A, para algún objeto A ∈ O0 y
en consecuencia γΠP es un epi propio ya que la proyección natural ΠP : A � P
es propia. Sea S (C) = {A}. Para el morfismo ϕ : B → C con B ∈ O, por la
E-proyectividad de B existe el morfismo µ : B→ A con γΠpµ = ϕ.
B
=
µ
��
β
��
A
γΠp
/ C
(⇐) Considérese el epi η : B� C con B ∈ O0 y S (C) ⊂ O un conjunto que satisface
las hipótesis. Defínase G =
(⊕
S (C) S
](Hom(S ,C))
)
⊕C y β : G → C la suma
β =
∑
s∈S (A)
 ∑
βs∈Hom(S ,A)
 βs + η
Entonces β es epi y G ∈ O0 por construcción.
Se demostrará que f es un epi E-propio: Por hipótesis , si δ : P → C existe un
objeto S ∈ S (C) y también los morfismos λ : P→ S , κ : S → C tal que κλ = β.
Pero S es sumando directo de G. Sea ι : S ↪→ G la inclusión natural de S en G.
Luego, βιλ = κλ = δ.
Finalmente, cuando C ∈ O, el morfismo β escinde, con lo que C ∈ O1.
2.2. CLASES PROPIAS CON SUFICIENTES PROYECTIVOS 31
P
λ
����
��
��
�
δ
��
S
ι
����
��
��
�
=
=
κ
��?
??
??
??
G
β
// // C
�
En R-mód se define lo siguiente:
O2∑ = {B ∈ Ob j(A)|B = ⊕(P ⊕ F), P ∈ O, F libre}
O3∑ = {B ∈ Ob j(A)|B D C,C ∈ O2∑}
y se tiene O1 ⊂ O2 ⊂ O3 ⊂ π(π−1(O)).
Definición 10. Supóngase que O ⊂ U ⊂ R-mód. Se dice que O es una base proyectiva
deU, siU ⊂ O3.
Observación 6. Si O es un conjunto y si para todo objeto C existe un epi γ : B � C
con C ∈ O0, se cumple la propiedad (b) del teorema 6 definiendo S (C) = O.
Proposición 15. Si O ⊂ R-mód es un conjunto, la clase propia E = π−1(O) tiene
suficientes proyectivos y O es una base proyectiva para la clase de todos los módulos
E-proyectivos.
Demostración.Sea O1 = O ∪ {R}, entonces para cualquier módulo C existe un epi
β : B� C con B en O01. Luego, por el teorema 6, π
−1(O1) tiene suficientes proyectivos
y como O31 = O
3, se cumple la igualdad π(π−1(O1)) = π(π−1(O)). En consecuencia
π−1(O) tiene suficientes proyectivos y por el teorema 6, O1 = π(π−1(O)) ⊂ O3. �
Observación 7. Si O es cerrado bajo imágenes homomórficas y para todo objeto C
existe un epi β : A � C con A ∈ O0, también se cumple el inciso (b) del teorema 6
al hacer S (C) = {H ⊂ A | H ∈ O} ya que S (A) ⊂ O0. Esto último sucede porque al
suponer que γ : P→ C es un morfismo con P ∈ O se tiene que γ(P) está en O.
A
P // //
γ
=
=={{{{{{{{
γ(P)
OO
Proposición 16. Si O ⊂ R−mód es una clase de módulos cerrada bajo el paso a
cocientes, entonces E = π−1(O) tiene suficientes proyectivos y O es base proyectiva de
los módulos E-proyectivos.
Demostración. La demostración es análoga a la anterior al hacer O1 = O. Por el teore-
ma 6, π−1(O) tiene suficientes proyectivos y O1 = π(π−1(O)) ⊂ O3. �
32 CAPÍTULO 2. PROYECTIVOS RELATIVOS
Teorema 7. Supóngase que E = π−1(O). Son equivalentes:
(a) E tiene suficientes proyectivos, con base O en la clase de los módulos E-
proyectivos.
(b) Si Q ⊃ E, entonces para cualquier objeto C, existe el epimorfismo γ : P → C ∈
Qe con P ∈ O2 y se satisface la igualdad Ext1E(C, A) = Nuc γ
1.
Demostración.
(a)⇒(b) Por hipótesis, para cualquier objeto C existe un epimorfismo propio γ : P � C
con P ∈ O2. La contensión Ext1
E
(C, A) ⊂ Nucγ1
Q
se tiene por la observación
4. Por otra parte, si E = (χ, σ) : A � B � C ∈ Nucγ1
Q
, entonces existe un
morfismo η : P → B tal que ση = γ. Si ϕ : S → C es un morfismo con S ∈ O,
existe δ : S → P con γδ = ϕ, pues γ es un epi E-propio. En consecuencia E es
una sucesión E-propia.
B
σ // // C
P
γ
OOOO
η
=
__???????
S
δ
oo
ϕ
=
__???????
(b)⇒(a) Supóngase que el epi γ : P � C es E-propio con P ∈ O2 y que satisfacen la
igualdad Ext1
E
(C, A) = Nucγ1
Q
. Como existe la sucesión exacta E′ = (µ, γ) :
A′ � P � C, entonces E′ está en Nucγ1
Q
y por lo tanto γ es un epimorfismo
E-propio. Además, si C ∈ π(π−1(O)), el morfismo γ escinde y en consecuencia
C ∈ O3.
�
Proposición 17. Si E es una clase propia con suficientes proyectivos, el R-módulo
izquiedo J es E-inyectivo si y sólo si para cualquier mono γ : A � P con P ∈ π(E),
cualquier morfismo A→ J se puede extender a uno P→ J.
Demostración.
(⇒) Por la definición de E-inyectividad se obtiene el resultado.
(⇐) Sea α : B� A mono y β : B→ Q. Por hipótesis existe el epi propio ϕ : P� A.
Defínase P
′
= ϕ−1(B), entonces existe el siguiente diagrama conmutativo con
renglones exactos
M
=
// γ // P
=
ϕ // // A
M //
ψ
// P
′
ι
OO
ϕ′
// // B
α
OO
Luego, si g = βϕ
′
, por hipótesis existe el morfismo δ : P → Q con δι = g
Además δγ = βϕ′ψ = 0, por lo tanto existe el morfismo η : A → Q tal que
ηϕ = δ. Dado que ηαϕ′ = βϕ
′
se tiene ηα = β.
�
2.2. CLASES PROPIAS CON SUFICIENTES PROYECTIVOS 33
La clase propia E es hereditaria si la propiedad de ser E-proyectivo se preserva para
submódulos propios.
Proposición 18. Toda clase propia con suficientes proyectivos E es hereditaria si y
sólo si Ext2
E
=0.
Demostración.
(⇒) Por hipótesis, para el objeto arbitrario C existe una sucesión exacta corta E′ =
(µ, γ) : A′ � P � C ∈ E con P ∈ π(E). Además por hipótesis A′ ∈ π(E) y de la
sucesión exacta de homología se tiene el resulatado.
(⇐) Si E = (χ, σ) : A� B� C ∈ E con B ∈ π(E), a partir de la sucesión exacta de
homología resulta la sucesión exacta
Ext1
E
(B,G) σ
1
// Ext1
E
(A,G) E
1
// Ext2
E
(C,G)
con ambos extremos iguales a 0.
�
El uso de resoluciones E-proyectivas propias en lugar de ordinarias permite definir
la dimensión proyectiva de un módulo relativo a E y por lo tanto la dimensión global
proyectiva de una clase propia. La siguiente proposición se demuestra como en el caso
general.
Proposición 19. Si E es una clase propia con suficientes proyectivos, son equivalentes:
(i) dimE ≤ n , donde dimE es la dimensión global proyectiva de E
(ii) Cualquier módulo tiene una resolucion proyectiva E-propia menor o igual a n.
(iii) Extp
E
= 0 para p > n
(iv) Extn+1
E
= 0
Capítulo 3
Teorías de Torsión
3.1. Subfuntores de la identidad
Supóngase que A es subcompleta y tiene suficientes proyectivos. En este capítulo
se considera el artículo [4].
Para una teoría de torsión, se estudiará la clase propia tal que los objetos de torsión
son proyectivos relativos.
Definición 11. Una teoría de torsión en A es una pareja de subclases (T ,F ) de
Ob j(A) que cumplen lo siguiente:
(i) T ∩F = 0
(ii) T es cerrada bajo cocientes.
(iii) F es cerrada bajo subobjetos.
(iv) Dado cualquier objeto B, existe una sucesión exacta corta
A� B� C
con A ∈ T ,C ∈ F
Los objetos en T se llaman de torsión y los de F se llaman libres de torsión.
Sea T el radical idempotente asociado a la teoría de torsión (T ,F ) que asigna a
cada objeto su subobjeto máximo de torsión.
Definición 12. D = {E ∈ S .E.C. | T (E) escinde}
35
36 CAPÍTULO 3. TEORÍAS DE TORSIÓN
Proposición 20. D = π−1(T )
Demostración.
(⊃) Si E ∈ π−1(T ), se tiene que EιC escinde mediante ciertos morfismos α y β, ya
que T (C) ∈ T .
A
=
// χ // B
=
σ // // C
A // χ1
// B′
β
uu
σ1
// //
OO
γ
OO
T (C)
α
uu OO
ιC
OO
Entonces para E1 = (α, β) exacta y ιA : T (A) � A, la sucesión E1ιA también
escinde
T (C)
=
// α // B′
=
β // // A
T (C) // // B
′′
OO
OO
// //
σ2rr
T (A)
χ2
tt OO
ιA
OO
por lo tanto, existe el siguiente diagrama conmutativo con renglones y columnas
exactas (lema 3x3):
A/T (A)
=
// // B/(T (A) ⊕ T (C))
=
// // C/T (C)
A
=
OOOO
// // B
=
OOOO
// // C
OOOO
T (A)
OO
OO
// // T (A) ⊕ T (C)
OO
OO
// // T (C)
OO
OO
pero T (B) = ∩{S ≤ B | B/S ∈ F } ≤ T (A) ⊕ T (C) y por lo tanto T (B) =
T (A) ⊕ T (C).
(⊂) Si E = (χ, σ) ∈ D, se tiene el diagrama conmutativo con renglones exactos
A
=
// χ // B
=
σ // // C
T (A) //
χ′ //
OO
ιA
OO
T (B) σ
′
// //
OO
ιB
OO
T (C)
OO
ιC
OO
y el renglón inferior escinde. Además, todo subobjeto λ : P � C con P ∈ T
es subobjeto de T . En consecuencia existe el morfismo µ : P → T (C) tal que
ιCµ = λ. Por la proposición 12 se tiene el resultado.
�
Corolario 3. Si A ≤D B, entonces:
(i) T (A) = A ∩ T (B)
3.1. SUBFUNTORES DE LA IDENTIDAD 37
(ii) T (B/A) = (T (B) + A)/A
Demostración.
(i) Se comprobará que E′ = (κ, σ′) : A ∩ T (B) ↪→ T (B)� T (C) es exacta. Consi-
dérese el diagrama conmutativo con renglones exactos
A ∩ T (B)
=κ
��
//α // B
=
β// // B/A ⊕ B/T (B)
��
T (B)
=
// ιB //
σ′
����
B // // B/T (B)
T (C) // δ // B
Sea h : H → T (B) tal que σ′h = 0. Luego, 0 = βδσ′h = βιB h y por lo tanto
existe el morfismo η : H → A ∩ T (B) tal que αη = ιBh. Pero αη = ιBκη, en
consecuencia h = κη.
(ii) Se sigue de que T (B) = T (A) ⊕ T (C).
�
Nótese que por la observación 7 hay suficientes D-proyectivos y cualquier objeto
D-proyectivo es un sumando directo de la suma directa de un proyectivo y un objeto de
torsión. Se denotará con Extn
D
al conjunto de representantes de la clase de equivalencia
de extensiones DT -propias. Entonces ExtnD(B,A) es un bifuntor de A en los grupos
abelianos y si la sucesión A � B � C es exacta D-propia, para G ∈ Ob j(A) existen
las sucesiones exactas largas
0→ Hom(G, A)→ Hom(G, B)→ Hom(G,C)
→ Ext1D(G, A)→ Ext
1
D(G, B)→ · · · → Ext
n
D(G,C)
→ Extn+1D (G, A)→ Ext
n+1
D (G, B)→ Ext
n+1
D (G,C)→ . . .
y
0→ Hom(C,G)→ Hom(B,G)→ Hom(A,G)
→ Ext1D(C,G)→ Ext
1
D(B,G)→ · · · → Ext
n
D(A,G)
→ Extn+1D (C,G)→ Ext
n+1
D (B,G)→ Ext
n+1
D (A,G)→ . . .
con los morfismos dados por la composición.
Proposición 21. Para cualesquiera objetos A y B la siguiente sucesión es exacta
0→ Hom(B/T (B), A)→ Hom(B, A)→ Hom(T (B), A)
→ Ext1(B/T (B), A)→ Ext1D(B, A)→ 0
38 CAPÍTULO 3. TEORÍAS DE TORSIÓN
Demostración. Dado que Ext1
D
(T (B), A) = 0, entonces Ext1
D
(B, A) = Nucχ1 y toda
sucesión exacta que termina en un objeto libre de torsión esD-propia. �
Proposición 22. Si F ∈ F y A ∈ Obj(A), entonces
Ext1D(A, F) � Ext
1(A/T (A), F)
Demostración. Por la proposición anterior se tiene la sucesión exacta
0 = Hom(T (A), F)→ Ext1(A/T (A), F)→ Ext1D(A, F)→ 0
�
Proposición 23. Si L/T (L) tiene una resolución proyectiva de longitud n, entonces L
tiene una resoluciónD-proyectiva de longitud n.
Demostración. La demostración se hará por inducción sobre n.
Si A/T (A) tiene una resolución proyectiva de longitud n=0, entonces dicho obje-
to es proyectivo y A � T (A) ⊕ A/T (A). Por lo tanto A es D-proyectivo y tiene una
resoluciónD-proyectiva de longitud n=0.
Supóngase ahora que n>0 y que el teorema se cumple para objetos libres de torsión
que tienen resolución proyectiva de longitud menor a n. Sea
0 // Pn−1
dn−1 // Pn−2
dn−2 // . . . d1 // P0
d0 // A/T (A) // 0
una resolución proyectiva de A/T (A). Considérese k0 = Nucd0 y la sucesión exacta
E′ : T (A)� A � A/T (A), entonces E′d0 escinde pues P0 ∈ π(D). Por lo tanto existe
el siguiente diagrama conmutativo con renglones y columnas exactos:
K0
=
// k0 // P0
=
d0 // // A/T (A)
K0 // // P0 ⊕ T (A)
=
OOOO
d̂0 // // A
OOOO
T (A)
OO
OO
T (A)
OO
OO
con d̂0 un epiD-propio. En consecuencia K tiene una resoluciónD-proyectiva de lon-
gitud n-1. �
Proposición 24. Si para todo objeto N ∈ F existe un epimorfismo P� N con P ∈ F
proyectivo, entonces
ExtnD(L,M) = Ext
n(L/T (L),M) ∀n > 1
3.1. SUBFUNTORES DE LA IDENTIDAD 39
Demostración. Como T (L)� L � L/T (L) ∈ D y T (L) es D-proyectivo, de la suce-
sión exacta de homología relativa se tiene el isomorfismo
ExtnD(L/T (L),M) � Ext
n
D(L,M)
con n estrictamente mayor a 1. AdemásD tiene suficientes proyectivos y por hipótesis
existe una resolución proyectiva de L/T (L) con cada proyectivo libre de torsión
. . . // P2 // P1 // P0 // L/T (L) // 0
que se puede factorizar en sucesiones exactas cortas con cada objeto libre de torsión
y por lo tanto cada sucesión exacta corta es D-propia. Luego, la resolución proyectiva
anterior esD-proyectiva y entonces
ExtnD(L/T (L),M) = Ext
n(L/T (L),M)
para n mayor o igual a cero. �
Corolario 4. Si las hipótesis de la proposición anterior se cumplen, entonces el objeto
N esD-proyectivo si y sólo si N/T (N) es proyectivo.
Demostración.
(⇒) Por hipótesis existe d0 : P � N/T (N) con P ∈ F proyectivo. Considerando
k0 ∈ Nucd0 se tiene el siguiente diagrama
K //
k0 // P
d0// // N/T (N)
T (N) // i // N
p // // N/T (N)
y dado que N es D-proyectivo existe el morfismo h : N → P tal que d0h = p.
Además d0hi = pi = 0, por lo tanto existe η : T (N) → K tal que k0η = hi. Pero
η = 0 pues K ∈ F , entonces hi = 0 y por el lema 8 existe λ : N/T (N)→ P con
d0λ = 1N/T (N). Así, cualquier sucesión exacta corta D-propia que termina en
N/T (N) escinde. El resultado final se obtiene de la igualdad Ext1(N/T (N), A) =
Ext1
D
(N/T (N), A).
(⇐) Como N/N(N) es proyectivo, entonces
Ext1D(N/T (N), A) = Ext
1(N/T (N), A) = 0
y de la sucesión exacta de homología D-relativa se tiene el resultado pues T (N)
también esD-proyectivo.
�
Proposición 25. M esD-inyectivo si y sólo si Ext1(L,M) = 0 para todo L ∈ F .
Demostración.
40 CAPÍTULO 3. TEORÍAS DE TORSIÓN
(⇒) De la proposición 21, Ext1(L/T (L),M) = Ext1
D
(L,M) = 0
(⇐) Por la proposición 21 se tiene para cada objeto B
Ext1D(B/T (B),M) = Ext
1(B/T (B),M) = 0
y por lo tanto Ext1
D
(L,M) = 0.
�
Proposición 26. Supóngase que los proyectivos son libres de torsión. Entonces cual-
quier objetoD-inyectivo tiene dimensión inyectiva menor o igual a 1.
Demostración. Sean L,M ∈ Ob j(A) y M un objeto D-inyectivo, entonces existe la
sucesión exacta corta K � P� L con P proyectivo. Se tiene la sucesión exacta
Ext1(K,M)→ Ext2(L,M)→ Ext2(P,M)
con Ext1(K,M) = 0 pues K es libre de torsión y también Ext2(P,M) = 0. �
3.2. Pureza
Considérese A con sumas y productos infinitos, y F un generador proyectivo. Sea
O un conjunto de objetos cocientes de F, con F ∈ O.
Definición 13. Una sucesión exacta corta es O-pura si está en π−1(O).
De la observación 6, se sabe que hay suficientes proyectivos O-puros y como son.
Las dos proposiciones siguientes se encuentran en el artículo [4] y sólo serán enuncia-
das para comodidad del lector.
Definición 14. SeanU,V ⊂ A, entonces
L(U) = {B ∈ Ob j(A) | Hom(B, A) = 0∀A ∈ U}
R(U) = {A ∈ Ob j(A) | Hom(B, A) = 0∀B ∈ U}
Asimismo se definen T = LR, F = RL.
Proposición 27.
(i) U ∩ L(U) = {0}, U ∩ R(U) = {0}
(ii) U ⊆ LR(U),U ⊆ RL(U)
(iii) U ⊆ V ⇒ L(U) ⊇ L(V)
(iv) LRL = L, RLR = R
(v) T = LR y F = RL son idempotentes.
La claseV se dice T -cerrada si T (V) = V y F-cerrada si F(V) = V.
3.2. PUREZA 41
Proposición 28. Son equivalentes:
(i) (T ,F ) es una teoría de torsión paraA
(ii) T es T-cerrada y R(T ) = F
(iii) F es F-cerrada con L(F ) = T
(iv) R(T ) = F y L(F ) = T
Ahora, sea O′ = O \ {F} y T = LR(O′) con F = R(O′). Entonces F(F ) =
RLR(O′) = F y L(F ) = LR(O′) = T . Por la proposición anterior (T ,F ) es una
teoría de torsión. Se dirá que los elementos de T son de O-torsión y los elementos de
F son O-libres de torsión.
Nótese que el objeto M es O-libre de torsión si y sólo si Hom(P,M) = 0 para todo
objeto P ∈ O′. El subfuntor de la identidad radical e idempotente asociado a esta teoría
de torsión se denotará por TO.
TO(N) puede ser descrito como el subobjeto O-puro de N más pequeño tal que
cualquier morfismo P→ N con P ∈ O′ se factoriza a través de este.
Proposición 29. Son equivalentes:
(a) L es O-puro en M y contiene a TO(M)
(b) M/L es O-libre de torsión.
Demostración.
(a)⇒(b) Sea h : P → M/L tal que P ∈ O′. Por lo tanto existe el morfismo η : P → M
con ση = h
E : L //
χ // M
σ // // M/L
TO(M)
λ
=
ddJJJJJJJJJ OO
i
OO
P
h
OO
y como P ∈ O′ ⊂ T , entonces existe η̂ : P → TO(M) tal que îη = η. En
consecuencia h = σîη = σχλ̂η = 0.
(b)⇒(a) Como Hom(P,M/L) = 0 para todo objeto P ∈ O′, entonces E ∈ π−1(O′). Ahora
considérese h : TO(M)→ M la inclusión natural. Luego, σh = 0
L //
χ // M
σ // // M/L
TO(M)
h
OO
y entonces existe el morfismo λ : TO(M) → L con χλ = h. Por lo tanto λ es
mono.
�
42 CAPÍTULO 3. TEORÍAS DE TORSIÓN
Proposición 30. Si F esO-libre de torsión, entonces para el objeto N son equivalentes:
(a) N es O-libre de torsión.
(b) Cualquier sucesión exacta corta L� M � N es O-pura.
(c) Existe una sucesión O-pura L� M � N con M O-libre de torsión.
Demostración.
(a)⇒(b) Se sigue de la proposición anterior.
(b)⇒(c) Por hipótesis existe el epimorfismo ⊕F � N.
(c)⇒(a) Como M ∈ F , entonces TO(M) ≤ L. Por lo tanto N ∈ F por la proposición
anterior.
�
Definición 15. Se dice que M ∈ Ob j(A) es de tipo O si existe un epimorfismo ⊕Pi →
M tal que Pi ∈ O′ .
Nótese que cualquier objeto M contiene un subobjeto máximo único t(M) de tipo
O y entonces se puede definir t un subfuntor de la identidad idempotente. M es libre de
O-torsión si y sólo si t(M) = 0. Se sigue que T puede ser descrito como el radical más
pequeño que contiene a t.
Si O′ es cerrado bajo cocientes, entonces M ∈ Ob j(O) es de tipo O si y sólo si
M = ⊕Ni ; Ni � Pi, Pi ∈ O′.
3.3. Pext
La notación es la misma que en la sección anterior. Además se supondrá que los
proyectivos son O-libres de torsión. Pextn denotará el funtor relativo correspondiente
a la clase propia de sucesiones O-puras. D denotará a la clase de sucesiones exactas
cortas tal que se escinden bajo el funtor de O-torsión T y Extn
D
será su funtor relativo
correspondiente.
Dado que cualquier objeto en O esD-proyectivo, entonces
Ext1D(L,M) ⊂ Pext
1(L,M)
para cualesquiera objetos L, M.
Se ha demostrado en el capítulo 3 que M es D-proyectivo si y sólo si M/T (M) es
proyectivo y del capítulo de proyectivos se tiene la siguiente proposición.
Proposición 31. Si O′ es cerrado bajo cocientes y {L j}J es el conjunto de subobjetos
de L que están en O′, entonces para cualquier objeto M
Pext1(L,M) =
⋂
J
Im f 1j
con f 1j : Ext
1(L/L j,M)→ Ext1(L,M).
3.3. PEXT 43
Proposición 32. Si L es O-libre de torsión, entonces para el objeto arbitrario M
ExtnD(L,M) = Pext
n(L,M) = Extn(L,M) n ∈ N
Demostración. Para el objeto L existeuna resolución proyectiva. Como los proyecti-
vos son O-libres de torsión, entonces tal resolución es D-propia, que además es una
resolución proyectiva O-pura ya que O′ ⊂ T .
�
Proposición 33. Supóngase que para todo objeto L ∈ T existe una sucesión O-pura
0 → K → P → L → 0, donde P ∈ T es un objeto proyectivo O-puro de torsión y
K ∈ T . Si M es O-libre de torsión, entonces
ExtnD(N,M) = Pext
n(N,M) = Extn(N/TO(N),M) ∀ n,N ∈ Ob j(A)
Demostración. Si L es de torsión, entonces Extn
D
(L,M) = Extn(L/TO(L),M) = 0.
La prueba de que Pextn(L,M) = 0 se hará por inducción sobre n. Para n=0 se sigue
inmediatamente. Supóngase ahora que la propiedad se cumple para n, entonces de la
sucesión exacta de homología relativa se tiene
// Pextn(K,M) // Pextn+1(L,M) // Pextn+1(P,M) //
pero Pextn(K,M) = 0 por hipótesis inductiva y P ∈ π(π−1(O′)), por lo tanto en este
caso se tiene el resultado.
Ahora considérese el objeto arbitrario N. De la sucesión exacta corta D-propia
TO(N)� N � N/TO(N) se obtiene la sucesión exacta
// Pextn(N/TO(N),M) // Pextn(N,M) // Pextn(TO(N),M) //
Además, de la demostración del párrafo anterior Pextn(TO(N),M) = 0 para toda n, por
lo tanto
Pextn(N/TO(N),M) � Pextn(N,M)
Por otro lado, también existe la sucesión exacta
// Extn
D
(N/TO(N),M) // ExtnD(N,M) // Ext
n
D
(TO(N),M) //
y dado que TO(N) ⊂ π(D), se llega al isomorfismo
ExtnD(N/TO(N),M) � Ext
n
D(N,M)
De la proposición 32 se concluye lo que se quiere demostrar. �
Apéndice A
Sucesiones exactas
A.1. Sucesiones exactas cortas
La sucesión exacta corta A� B� C también se llamará extensión de A a C. Un
morfismo Γ : E = (χ, σ) → E′ = (χ′, σ′) de extensiones es una terna Γ = (α, β, γ) de
morfismos en la categoríaA tal que el diagrama siguiente conmuta
A
=
// χ //
α
��
B
=
σ // //
β
��
C
γ
��
A′ //
χ′ // B′
σ′ // // C′
Se dice que dos sucesiones exactas cortas E = (χ, σ) : A� B� C, E′ = (χ′, σ′) :
A� D� C son congruentes, si existe un morfismo θ : B→ D con θχ = χ′, σ′θ = σ.
Entonces se define Ext1
A
(C, A) como el conjunto de todas las clases de congruencia de
sucesiones exactas cortas de A a C (ver [8]). Se considera que una extensión E escinde
si existe un morfismo α : C → B con σα = 1C .
Proposición 34. Si E = (χ, σ) es una extensión de A a C con γ : C′ → C un morfismo,
entonces existe E′ una sucesión exacta corta de A a C′ y Γ = (1A, β, γ) : E′ → E. La
pareja (Γ, E′) es única salvo congruencias.
Demostración. Sea E = (χ, σ) : A� B � C con γ : C′ → C. Dados los morfismo γ
y σ existe el producto fibrado de ellos, es decir, existen D, σ′ : D→ C′ y β : D→ B
tal que γσ′ = σβ. Para el cuadro conmutativo
A
=
0 //
χ
��
C′
γ
��
B σ
// C
existe el morfismo χ′ : A → D único, que cumple 0 = σ′χ′, χ = βχ′. Queda por
demostrar que la sucesión E′ = (χ′, σ′) es exacta.
45
46 APÉNDICE A. SUCESIONES EXACTAS
Sea ξ : G → D tal que σ′ξ = 0. Entonces σβξ = γσ′ξ = 0, por lo tanto existe el
morfismo α : G → A con βχ′α = χα = βξ. Además σ′ξ = σ′χ′α = 0 implica ξ = χ′α
por la couniversalidad del producto fibrado. En consecuencia χ′ ∈ Nucσ′.
A //
χ′ // D
σ′ // //
β
��
C′
γ
��
A //
χ // B
σ // // C
�
De lo anterior se define la composición Eγ como Eγ = E′.
Corolario 5. Suponiendo las mismas hipótesis de la proposición anterior, todo mor-
fismo Γ1 = (α1, β1, γ) : E1 → E se escribe de forma única como
E1
(α1,β′,1)// Eγ
(1,β,γ) // E
(i.e. Γ1 se puede factorizar mediante Γ : Eγ → E de forma única).
Demostración. Sea E1 = (χ1, σ1) : 0 → A1 → B1 → C1 → 0 con C1 = C′ . Por
la proposición anterior existe (1, β, γ) : Eγ → E , además, como el cuadro siguiente
conmuta
B1
=β1
��
σ1 // C1
γ
��
B σ
// C
existe un morfismo único β′ : B1 → D que cumple ββ′ = β1, σ′β′ = σ1. La igualdad
χ′α1 = β
′χ1 también se sigue de σχα1 = γσ1χ1, pues la última determina un cuadrado
conmutativo. Si Γ′′ = (1A, β′′, γ) : E′′ → E, entonces tiene la factorización (1, β′′, γ) =
(1, β, γ)(1, β′, 1) con el factor (1, β′, 1) : E′′ → E′ una congruencia. �
Así, se tienen las congruencias:
E1C ≡ E, E(γγ′) ≡ (Eγ)γ′
Proposición 35. Si E = (χ, σ) es una extensión de A a C, con α : A→ A′ un morfismo,
entonces existe una sucesión exacta corta de A′ a C y Γ = (α, β, 1C) : E → E′. La
pareja (Γ, E′) es única salvo congruencias.
En este caso, se define αE como αE = E′.
Corolario 6. Bajo las hipótesis de la proposición anterior, todo morfismo Γ1 =
(α, β1, γ1) : E → E1 se escribe de forma única como
E
(α,β,1) // αE
(1,β′,γ1) // E1
(i.e. Γ1 se puede factorizar mediante Γ : E → αE).
A.1. SUCESIONES EXACTAS CORTAS 47
Por lo tanto, se tienen las congruencias
1AE ≡ E, (α′α)E ≡ α′(αE)
siempre que las composiciones tengan sentido.
Proposición 36. Para α, γ, E como en las proposiciones anteriores existe la congruen-
cia α(Eγ) ≡ (αE)γ.
Demostración. Por la definición de las composiciones Eγ, αE, existen los morfismos
Eγ
(1,β1,γ) // E
(α,β2,1)// αE
con la composición (α, β2β1, γ) : Eγ → αE. Y entonces, por la proposición 34, la
extensión (αE)γ es couniversal para tales morfismos, esto es (α, β2β1, γ) tiene una fac-
torización
Eγ
(α,β′,1)// (αE)γ
(1,β,γ) // αE
Además el morfismo izquierdo está en la clase de los morfismos que se usan para definir
α(Eγ) a partir de Eγ y entonces por unicidad se tiene el resultado. �
Proposición 37. Para E = (χ, σ) las extensiones χE y Eσ escinden.
Demostración. Sea ν : B → B ⊕ C, ν = ιB + ιCσ, entonces el siguiente diagrama es
conmutativo
A
=χ
��
// χ // B
=ν
��
σ // // C
B //
ιB // B ⊕C
ΠC // // C
Así, χE es congruente al renglón inferior del diagrama, por lo tanto escinde. La otra
demostración es dual. �
Proposición 38. Cualquier morfismo de sucesiones exactas cortas Γ1 = (α, β, γ) :
E → E′ implica la congruencia αE ≡ E′γ.
Demostración. Por la propiedad universal de αE , Γ1 se puede factorizar mediante
Γ : E → αE como Γ1 = Γ2Γ, con Γ2 = (1A′ , β′, γ) : αE → E′. Éste morfismo
caracteriza a αE como E′γ por el corolario 5. �
Para α : A→ A′, γ : C → C′ se tiene el morfismo α⊕ γ : A⊕C → A′ ⊕C′, α⊕ γ =
ι1αΠ1 + ι2γΠ2; el morfismo diagonal, ∆ = ∆C : C → C ⊕C,∆ = ι1 + ι2 y la codiagonal
∇C = Π1 + Π2 : C ⊕C → C
La suma directa las sucesiones exactas cortas E, E′ definidas anteriormente es la
sucesión exacta corta E ⊕ E′ : A ⊕ A′ //
χ⊕χ′ // B ⊕ B′
σ⊕σ′ // // C ⊕C′ .
Proposición 39. Para las sucesiones exactas Ei : Ai � Bi � Ci y los morfismos
αi : Ai → A′i , γi : C
′
i → Ci con i=1,2, se tiene lo siguiente:
48 APÉNDICE A. SUCESIONES EXACTAS
(i) (α1 ⊕ α2)(E1 ⊕ E2) ≡ α1E1 ⊕ α2E2
(ii) (E1 ⊕ E2)(γ1 ⊕ γ2) ≡ E1γ1 ⊕ E2γ2
(iii) α∇ = ∇(α ⊕ α)
(iv) ∆γ = (γ ⊕ γ)∆
(v) Si λA = ι2Π1 + ι1Π2 : A1 ⊕ A2 → A2 ⊕ A1 entonces
λA(E1 ⊕ E2) = (E2 ⊕ E1)λC
(vi) ∆E1 ≡ (E1 ⊕ E1)∆
(vii) E1∇ ≡ ∇(E1 ⊕ E1)
(viii) (∆C ⊕ 1C)∆C = (1C ⊕ ∆C)∆C
(ix) ∇(∇ ⊕ 1A) = ∇(1A ⊕ ∇) : A ⊕ A ⊕ A→ A
Demostración.
(i) Por la Proposición. 35, existe un morfismo único Γ′ : E1 ⊕ E2 → (α1 ⊕α2)(E1 ⊕
E2) y por el corolario 6, el morfismo Γ = (α1 ⊕ α2, β1 ⊕ β2, 1C1⊕C2 ) : E1 ⊕ E2 →
α1E1 ⊕ α2E2 da la congruencia
(α1 ⊕ α2)(E1 ⊕ E2) ≡ α1E1 ⊕ α2E2
(ii) La demostración es dual a (i).
(iii) ∇(α ⊕ α) = (Π1 + Π2)(ι1αΠ1 + ι2αΠ2) = α∇.
(iv) (γ ⊕ γ)∆ = (ι1γΠ1 + ι2γΠ2)(ι1 + ι2) = (ι1γ + ι2γ)∆γ.
(v) Si λA = ι2Π1 + ι1Π2 para cualquier objeto A, entonces el morfismo (λA, λB, λC)
por la proposición anterior se da la congruencia
λA(E1 ⊕ E2) ≡ (E2 ⊕ E1)λC .
(vi),(vii) Por la proposición 38 , para los morfismos (∆A,∆B,∆C), y (∇A,∇B,∇C) se tienen
las congruencias
∆AE1 ≡ (E1 ⊕ E1)∆C , E1∇C ≡ ∇A(E1 ⊕ E1).
(viii) Considérense los morfismos
(∆C ⊕ 1C)∆C : C → C ⊕C → (C ⊕C) ⊕C
(1C ⊕ ∆C)∆C : C → C ⊕C → C ⊕ (C ⊕C)
y dado que C ⊕ (C ⊕C) = (C ⊕C) ⊕C, se sigue la igualdad
(ιC⊕C∆CΠC + ιCΠC)(ιC + ιC) = (ιCΠC + ιC⊕C∆CΠC)(ιC + ιC).
A.1. SUCESIONES EXACTAS CORTAS 49
(ix) La demostración es idéntica a la anterior para los morfismos
∇C(1C ⊕ ∇C) : C ⊕ (C ⊕C)→ C ⊕C → C
∇C(∇C ⊕ 1C) : (C ⊕C) ⊕C → C ⊕C → C
�
Teorema 8. Para cualesquiera objetos A y B, Ext1(C, A) es un grupo abeliano bajo
las operaciones que asigna a las clases de congruencia de extensionesE1, E2 la clase
de congruencia de la extensión
E1 + E2 = ∇A(E1 ⊕ E2)∆C (A.1)
La clase de A→ A⊕C → C es el elemento cero del grupo y el inverso de E es (−1A)E.
Para α : A→ A′, γ : C′ → C
α(E1 + E2) ≡ αE1 + αE2 , (E1 + E2)γ ≡ E1γ + E2γ (A.2)
(α1 + α2)E ≡ α1E + α2E , E(γ1 + γ2) ≡ Eγ1 + Eγ2 (A.3)
La composición (A.1) se conoce como la suma de Baer y las expresiones anteriores
muestran que γ1 : Ext1(C, A) → Ext1(C′, A) y α1 : Ext1(C, A) → Ext1(C, A′) son
morfismos de grupos.
Demostración. Por la proposición anterior
α(E1 + E2) ≡ α∇(E1 ⊕ E2)∆ ≡ ∇(α ⊕ α)(E1 ⊕ E2)∆ ≡ ∇(αE1 ⊕ αE2)∆ ≡ αE1 + αE2
(E1 + E2)γ ≡ ∇(E1 ⊕ E2)∆γ ≡ ∇(E1 ⊕ E2)(γ ⊕ γ)∆ ≡ ∇(E1γ ⊕ E2γ)∆ = E1γ + E2γ
(α′ + α′′)E = [∇A′ (α′ ⊕ α′′)∆A]E ≡ ∇A′ (α′ ⊕ α′′)(E ⊕ E)∆C ≡ ∇A′ (α′E ⊕ α′′E)∆C)
E(γ′ + γ′′) = E(∇(γ′ ⊕ γ′′)∆) = ∇(E ⊕ E)(γ′ ⊕ γ′′)∆ = ∇(Eγ′ ⊕ Eγ′′)∆
La asociatividad se cumple por lo siguiente
E1 + (E2 + E3) = E1 + ∇(E2 ⊕ E3)∆ = ∇[E1 ⊕ ∇(E2 ⊕ E3)∆]∆
= ∇[(1 ⊕ ∇)(E1 ⊕ (E2 ⊕ E3))(1 ⊕ ∆)]∆ = (∇(1 ⊕ ∇))(E1 ⊕ (E2 ⊕ E3))((1 ⊕ ∆)∆)
= (∇(∇ ⊕ 1))((E1 ⊕ E2) ⊕ E3)((∆ ⊕ 1)∆) = ∇[∇(E1 ⊕ E2)∆ ⊕ E3]∆.
Además ∇AλA = (Π1 +Π2)(ι2Π1 +ι1Π2) = ∇A y λC∆C = (ι2Π1 +ι1Π2)(ι1 +ι2) = ∆C
y por lo tanto
E1 + E2 = ∇(E1 ⊕ E2)∆ = ∇λ(E1 ⊕ E2)∆ ≡ ∇(E2 ⊕ E1)λ∆ ≡ ∇(E2 ⊕ E1)∆ = E2 + E1
La sucesión exacta que escinde E0 es el neutro del grupo bajo la suma que se
definió, ya que para toda sucesión exacta E = (χ, σ) existe el diagrama conmutativo
A
=0
��
// χ // B
=ν
��
σ // // C
A //
ιA // A ⊕C
ΠC // // C
50 APÉNDICE A. SUCESIONES EXACTAS
con ν = ιCσ. Entonces por el corolario 6, E0 ≡ 0AE. Luego, E + E0 ≡ 1AE + 0AE ≡
(1A + 0A)E ≡ E. Para E, el inverso es (−1A)E :
E + (−1A)E ≡ 1AE + (−1A)E ≡ (0A)E ≡ E0
�
Por los resultados anteriores Ext es aditivo y en consecuencia se dan los isomorfis-
mos naturales
Ext1(C, A1 ⊕ A2) � Ext1(C, A1) ⊕ Ext1(C, A2) (A.4)
Ext1(C1 ⊕C2, A) � Ext1(C1, A) ⊕ Ext1(C2, A) (A.5)
A.2. Extn
En esta sección se define una relación de congruencia para sucesiones exactas lar-
gas de forma que para sucesiones exactas cortas coincida con la definición de con-
gruencia dada en la sección anterior y también que la nueva congruencia sea la me-
nor en cierto sentido. La composición de Yoneda de dos sucesiones exactas cortas
E1 = (ξ, σ) : A� B1 � K1, E0 = (λ, µ) : K1 � B0 � C es la sucesión exacta
E ◦ E0 = (ξ, λσ, µ) : 0→ A→ B1 → B0 → C → 0.
De la misma manera se define la composición de sucesiones exactas largas. Por otro
lado, toda sucesión exacta (ξ, η, µ) : 0 → A → B1 → B0 → C → 0 se puede factorizar
mediante K = Nucµ y del mismo modo una sucesión exacta larga S arbitraria se puede
factorizar como una composición de sucesiones exactas cortas
S = En ◦ En−1 ◦ · · · ◦ E1
donde los Ei son únicos salvo isomorfismo.
Definición 16. Dos sucesiones exactas largas de A a C de la misma longitud
S = En ◦ En−1 ◦ · · · ◦ E1 y S ′ = E′n ◦ E
′
n−1 ◦ · · · ◦ E
′
1
se dicen congruentes si S ′ se obtiene de S mediante una cantidad finita de reemplazos
de los siguientes tipos:
(i) Se intercambia cualquier Ei por una sucesión exacta corta congruente.
(ii) Cuando dos factores sucesivos tienen la forma E′′β ◦ E′ se reemplazan por la
expresión E′′ ◦ βE′.
(iii) Si dos factores consecutivos tienen la forma E′′ ◦ βE′ se intercambian por la
expresión E′′β ◦ E′.
A.2. SUCESIONES EXACTAS LARGAS 51
Además, para los morfismos α : A→ A′, β : C′ → C se definen las composiciones
αS = α(En ◦ · · · ◦ E1) = (αEn) ◦ En−1 ◦ · · · ◦ E1
S γ = (En ◦ · · · ◦ E1)γ = En ◦ · · · ◦ E2 ◦ (E1γ)
Si S , S ′ son de longitud n y S ′ va de A′ a C′, un morfismo Γ : S → S ′ es un conjunto
de n+2 morfismos (α, . . . , β) que hacen al siguiente diagrama conmutativo:
S : 0 // A
=
//
α
��
Bn−1
=
��
// . . .
=
// B0 //
=
��
C //
β
��
0
S ′ : 0 // A′ // B′n−1 // . . . // B
′
0
// C′ // 0
Así, las composiciones αS , S γ están definidas por los morfismos de sucesiones exactas
largas S → αS , S β→ S .
Proposición 40. El morfismo de sucesiones exactas largas de longitud n que inicia en
α y termina en γ , Γ = (α, . . . , γ) : S → S ′ da la congruencia αS ≡ S ′γ.
Demostración. Para el diagrama
S : 0 // Bn
=µn
��
// Bn−1
=
//
µn−1
��
. . .
=
// B0
=µ0
��
// B−1
µ−1
��
// 0
S ′ : 0 // B′n // B
′
n−1
// . . . // B′0 // B
′
−1
// 0
defínase Ki = Nuc(Bi−1 → Bi−2) , K′i = Nuc(B
′
i−1 → B
′
i−2). Luego, existe el diagrama
conmutativo
Ei: Ki
=
// //
βi
��
Bi−1
=
// //
µi−1
��
Ki−1
βi−1
��
E′i : K′i // // B
′
i−1
// // K′i−1
Por la proposición 38, el diagrama anterior implica la congruencia
βiEi ≡ E′iβi−1.
y por lo tanto
µnS = (βnEn) ◦ En−1 · · · ◦ E1 ≡ (E′nβn−1) ◦ En−1 ◦ · · · ◦ E1
≡ E′n ◦ (βn−1En−1) ◦ · · · ◦ E1 ≡ E
′
n ◦ (E
′
n−1βn−2) ◦ · · · ◦ E1
≡ · · · ≡ S ′β0 = S ′µ−1
�
52 APÉNDICE A. SUCESIONES EXACTAS
Proposición 41. La congruencia de dos sucesiones exactas S ≡ S ′ de longitud n, de
A a C se da si y sólo si existe un entero k y hay 2k morfismos de sucesiones exactas
largas de longitud n que inician en 1A y terminan en 1C .
S = S 0 → S 1 ← S 2 → · · · ← S 2k = S ′
Demostración.
(⇒) Los morfismos alternados se obtienen debido a que para dos sucesiones exactas
cortas arbitrarias E, F, la relacion Eβ ◦ F ≡ E ◦ βF define el morfismo Eβ ◦ F →
E ◦ βF
(⇐) Dado que todas los morfismos inician en 1A y terminan en 1C , S i ≡ S i+1 por la
proposición 40.
�
Se define Extn
A
(C, A) como el conjunto de las clases de congruencia σ = clsS de
sucesiones exactas largas de longitud n que inician en A y terminan en C. Algunas veces
se escribe S ∈∈ Extn(C, A) para denotar S ∈ σ ∈ Extn(C, A) y si T ∈ τ ∈ Extm(D,C′),
entonces S ◦ T está definida cuando C = C′. Además S ◦ T ∈∈ Extn+m(D, A) y la clase
de tal composición está determinada por σ y τ
La suma directa y la suma de Baer de dos sucesiones exactas largas de A a C
S ∈ σ, S ′ ∈ σ′ de longitud n se define de la misma forma que se hizo para sucesiones
exactas cortas.
Lema 10. La clase de congruencia de S ⊕ S ′ con S ∈ σ, S ′ ∈ σ′ depende únicamente
de σ y σ′.
Demostración. El resultado se deriva de las siguientes congruencias para la sucesiones
exactas cortas E, E′, F, F′:
(Eλ ⊕ F) ◦ (E′ ⊕ F′) ≡ (E ⊕ F)(λ ⊕ 1F) ◦ (E′ ⊕ F′)
≡ (E ⊕ F) ◦ (β ◦ 1)(E′ ⊕ F′) ≡ (E ⊕ F) ◦ (βE′ ⊕ F′)
�
Lema 11. Si σ,σ′ ∈ Extn
E
, τ, τ′ ∈ Extm
E
se cumple lo siguiente
(i) (σ ⊕ σ′)(τ ⊕ τ′) = στ ⊕ σ′τ′
(ii) σ∇ = ∇(σ ⊕ σ)
(iii) ∆τ = (τ ⊕ τ)∆
(iv) λ(σ ⊕ σ′) = (σ′ ⊕ σ)λ con λ : A ⊕ A′ → A′ ⊕ A el isomorfismo natural.
Demostración.
A.2. SUCESIONES EXACTAS LARGAS 53
(i) Cuando σ y τ tienen grado cero, se tiene la composición usual de morfismos.
En caso de que σ y τ tengan grado positivo la expresión es una composición de
sucesiones exactas y la igualdad se da por el lema 10. Si σ tiene grado cero y τ
grado positivo, entonces σ y σ′ operan como el último factor de τ y τ′ lo cual se
ha demostrado en la proposición 39.(i). Asimismo, cuandoσ tiene grado positivo
y τ grado cero la expresión a demostrar se reduce a la proposición 39.(ii).
(ii) En el caso de que σ tenga grado 0, ya se ha demostrado α∇ = ∇(α ⊕ α) (Pro-
posición 39.(iii)). Si el grado de σ es 1, entonces la expresión se convierte en
(Proposición 39(vii)) E∇ ≡ ∇(E ⊕ E) y cuando σ tiene grado igual a 2, por lo
anterior
(E2 ◦ E1)∇ = E2 ◦ (E1∇) ≡ E2 ◦ ∇(E1 ⊕ E1) ≡ ∇(E2 ⊕ E2) ◦ E1 ⊕ E1
En caso de grado mayor a 2 la demostración es la misma.
(iii) Análogo al inciso anterior.
(iv) Se obtiene del morfismo (λA, . . . , λC) : S 1 ⊕ S 2 → S 2 ⊕ S 1 y de la regla (Propo-
sición 40)
λ(S 1 ⊕ S 2) ≡ (S 2 ⊕ S 1)λ
�
Teorema 9. La suma σ1 + σ2 = ∇A(σ1 ⊕ σ2)∆C para σ1, σ2 en el mismo Extn hace a
Extn
A
un grupo abeliano. Además es un bifuntor aditivo.
Las propiedades distributivas
(σ1 + σ2)τ = σ1τ + σ2τ, σ(τ1 + τ2) = στ1 + στ2 (A.6)
y la propiedad asociativa ρ(στ) = (ρσ)τ se cumplen cuando la suma y composición
están definidas.
Demostración.
σ(τ1 + τ2) = σ(∇(τ1 ⊕ τ2)∆) ≡ ∇(σ ⊕ σ)(τ1 ⊕ τ2)∆ ≡ ∇(στ ⊕ στ2)∆ = στ1 + στ2
(σ1 + σ2)τ = (∇(σ1 ⊕ σ2)∆)τ ≡ ∇(σ1 ⊕ σ2)(τ ⊕ τ)∆ ≡ ∇(σ1τ ⊕ σ2τ)∆ = σ1τ + σ2τ
La demostración de asociatividad es similar a la del Teorema

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