Algunas-propuestas-actuales-en-la-filosofa-de-las-matematicas

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA 
 DE MÉXICO
FACULTAD DE CIENCIAS
ALGUNAS PROPUESTAS ACTUALES EN LA 
FILOSOFÍA DE LAS MATEMÁTICAS
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
MATEMÁTICA
P R E S E N T A :
ANDREA ARREDONDO DE LA TORRE
DIRECTOR DE TESIS: 
DR. ALEJANDRO RICARDO GARCIADIEGO 
DANTAN
2011
 
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ÍNDICE
Introducción.........……………………………………………………………………..…….1
Capítulo I. El trabajo de Gottlob Frege……………………………………………...………3
Capítulo II. Las tres escuelas: logicismo, intuicionismo y formalismo……………………..7
Capítulo III. Dos resultados matemáticos: John von Neumann y Ernst Zermelo………….17
Capítulo IV. Los descendientes: el Círculo de Viena, W.V.O. Quine y Nicolás Bourbaki…21
Capítulo V. Segunda mitad del siglo XX: los artículos de Paul Benacerraf……………….39
Capítulo VI. Las consecuencias del dilema de Benacerraf…………………….…………..56
6.1 Naturalismo: Penelope Maddy y John P. Burgess……………………………..……….56
6.2 Nominalismo: Charles Chihara y Hartry Field…………………………………….…..65
6.3 Realismo fisicalista: John Bigelow……………………………………………….…....73
6.4 Estructuralismo: Michael D. Resnik y Stewart Shapiro………………………….…….75
6.5 Estructuralismo modal: Geoffrey Hellman………………………………………...…..81
Algunas conclusiones………………………………………………………………………84
Bibliografía……………………………………………………………………….………..88
INTRODUCCIÓN
Las matemáticas han sido inspiración para un incontable número de investigaciones 
filosóficas a lo largo de la historia. Tanto el carácter abstracto y objetivo que los objetos 
matemáticos parecen poseer, como la incuestionabilidad con que sus verdades anuncian su 
presencia, han motivado a considerar a esta disciplina como un ejemplo representativo de 
que la obtención de conocimiento es posible. 
Sin embargo, son precisamente las cualidades anteriores las que también han 
obstaculizado un entendimiento absoluto de la naturaleza las matemáticas. Pues si esta 
disciplina trata sobre entidades que no pueden ser ubicadas en el tiempo y en el espacio y si 
sus verdades no dependen de las contingencias de nuestro mundo, entonces ¿cómo es 
posible que logremos obtener algún conocimiento de ellos? Y, más aún, ¿por qué podemos 
relacionarlas con casos particulares de las ciencias naturales? 
Desde los últimos años del siglo XIX, matemáticos y filósofos por igual han puesto 
especial énfasis en desenmascarar los enigmas que rodean los orígenes y los atributos de las 
matemáticas. Este trabajo surge a raíz de tales esfuerzos y tiene el propósito de hacer una 
caracterización de algunas de las perspectivas más influyentes que fueron desarrolladas 
para dar cuenta de la particular posición que las matemáticas ocupan dentro de la empresa 
del conocimiento.
El panorama que aquí se expone no pretende ser exhaustivo. Sin embargo, busca 
brindar una comprensión generalizada de los problemas y las soluciones que se ha 
planteado la filosofía de las matemáticas del siglo XX, así como una introducción a la 
1
interesante discusión que se desata como consecuencia de una de las actividades más 
importantes del intelecto humano: las matemáticas.
El desarrollo de esta tesis está dividido en siete secciones. La primera, explica un 
breve panorama del status de las matemáticas de la última década del siglo XIX, así como 
una exposición de las investigaciones del matemático Gottlob Frege, punto de partida para 
el planteamiento de los siguientes apartados. En la segunda sección, se exponen las 
perspectivas que surgieron como continuación del programa fregeano. En ella se hace una 
descripción de las escuelas logicista, intuicionista y formalista, las cuales permearon una 
parte importante tanto de las matemáticas, como de la filosofía de las matemáticas de la 
primera mitad del siglo XX. Como tercera sección, se presentan dos resultados que no sólo 
surgieron como consecuencia de la problemática en la que las tres escuelas se interesaron, 
sino que más tarde caracterizarían las preocupaciones de las investigaciones filosóficas 
sobre las matemáticas de la segunda mitad del siglo XX. La cuarta sección muestra las 
posturas de tres corrientes dominantes de la filosofía occidental, que recibirían el nombre 
de filosofía analítica. Éstas también heredaron gran parte de sus consideraciones de los 
trabajos de las tres escuelas. 
La quinta parte puede tomarse como el punto de inflexión entre la filosofía de las 
matemáticas de la primera mitad del siglo y aquella que se ha desarrollado desde entonces. 
En ella se exponen los artículos de Paul Benacerraf, quien proporcionó la línea de 
investigación que se sigue en las propuestas analizadas en la sexta sección. La séptima y 
última sección presenta algunas observaciones finales a manera de conclusión.
2
Capítulo I
El trabajo de Gottlob Frege
Desde la época de los griegos, hasta los primeros años del siglo XIX, la opinión general 
—incluyendo la de los matemáticos— consideraba a la geometría de Euclides como la 
rama más segura de las matemáticas y como la prueba más firme de la posibilidad de 
conocimiento certero. Más aún, el análisis matemático (el cálculo y sus derivaciones) 
obtenía su legitimidad de la relación que compartía con la geometría, la cual trataba sobre 
las propiedades exactas, eternas y certeras del espacio.
Sin embargo, el descubrimiento en el siglo XIX de la posibilidad de desarrollar otras 
geometrías (las geometrías no-euclidianas) y la aparición de funciones poco intuitivas en el 
análisis (como las funciones continuas que en ningún punto son diferenciables), dañaron la 
confianza que se tenía en la intuición geométrica sobre la que se basaban las matemáticas. 
Estos hallazgos incluso tuvieron consecuencias fuera del ámbito matemático. La 
posibilidad misma de obtener conocimiento alguno fue puesta en duda pues, desde tiempos 
de Platón, la geometría había sido el ejemplo de que el entendimiento humano podía 
alcanzar certezas. De manera que con la pérdida de certeza en la geometría no sólo se 
cuestionaba la solidez del cuerpo matemático, sino también la existencia de cualquier tipo 
de certeza. Así, los matemáticos del siglo XIX se dieron a la tarea de buscar los cimientos 
sobre los cuales se garantizara la firmeza y la fiabilidad de las matemáticas [Hersh 1997, 
137]. 
3
EL TRABAJO DE GOTTLOB FREGE
Para ese entonces, se pensaba que todas las matemáticas que existían hasta ese 
momento podían construirse a partir del concepto de número, por lo que la aritmética fue 
considerada como el nuevo fundamento. Así, para mostrar de una vez por todas el carácter 
definitivo e indubitable de las matemáticas, bastaba con encontrar la naturaleza indiscutible 
de la aritmética. El matemático alemán Gottlob Frege fue el primero en intentar dar un 
sustento sólido a la aritmética al ponerla bajo el abrigo de la lógica. Para Frege la lógica 
consistía en las reglas, intuitivamente obvias, del pensamiento correcto; estas normas tenían 
un carácter indubitable, certero e independiente de la mente o la experiencia de cualquierpersona. De manera que al probar que las leyes fundamentales de la aritmética podían ser 
probadas a partir de definiciones y de principios de la lógica, podía mostrarse también la 
naturaleza certera e indubitable de las entidades matemáticas de la aritmética (como los 
números) y de sus verdades [Hersh 1997, 142].
En Die Grundlagen der Arithmetik [Fundamentos de la aritmética], publicado en 
1884, Frege mostraba la construcción de los números naturales a partir de la lógica —que 
en ese entonces incluía también a la teoría de conjuntos. Sin embargo, su trabajo no fue 
tomado en cuenta sino hasta dieciséis años después de su publicación, cuando Russell, 
quien estaba interesado en el mismo tema, lo dio a conocer [Hersh 1997, 142].
La exposición formal de sus investigaciones sobre la aritmética y la lógica fue 
publicada en 1893 en Grundgesetze der Arithmetik [Leyes básicas de la aritmética]. Ahí, 
Frege presentaba a los números como objetos abstractos y no como objetos mentales o 
físicos. Es decir, las entidades matemáticas tenían la característica de ser eternas, 
invariables y ajenas al tiempo, al espacio, al pensamiento y a la materia [Resnik 1980, 14].
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EL TRABAJO DE GOTTLOB FREGE
Además, los números quedaban definidos como clases de equivalencias de clases 
bajo la relación de equivalencia de correspondencia biunívoca. 1 El concepto de clase 
utilizado en la lógica fregeana (como una colección de objetos definida por una propiedad 
que indica cuándo un objeto es o no miembro de la colección), existía de manera objetiva, 
atemporal, no espacial e independientemente de las personas.2 Así, el cero era la clase de los 
conjuntos equivalentes al conjunto de todos los objetos que son distintos a sí mismos.3 
Como ningún objeto es distinto a sí mismo, el cero es la clase de todos los conjuntos 
vacíos. Más aún, como todos los conjuntos vacíos poseen los mismos elementos (es decir, 
ningún elemento), no sólo son equivalentes, sino que también son todos un mismo 
conjunto, el conjunto vacío (∅). De manera análoga, el número uno es la clase de todos los 
conjuntos equivalentes al conjunto con un elemento, el dos la clase de todos los pares, el 
tres la clase de todos los conjuntos equivalentes al conjunto con tres elementos, etcétera.
1 Las clases de equivalencia de un conjunto no vacío son los subconjuntos disjuntos en los que éste se 
descompone al vincular los elementos del conjunto bajo una relación de equivalencia, es decir, bajo una 
relación que cumple con ser reflexiva (todos los elementos del conjunto están relacionados con sí 
mismos), simétrica (si a y b son elementos del conjunto y a y b están relacionados, entonces b y a también 
están relacionados) y transitiva (si a, b, c son elementos del conjunto, a y b están relacionados y b y c 
también, entonces a y c están relacionados). Así, si a es un elemento del conjunto, su clase de equivalencia 
se formará al considerar el conjunto de todos los elementos que están relacionados con a. Por ejemplo, al 
pensar al Distrito Federal como un conjunto de habitantes, en donde a está relacionado con b si y sólo si a 
vive en la misma delegación que b (donde a y b son habitantes del D.F.), entonces podemos tomar las 
distintas delegaciones como las clases de equivalencias del D.F. Además, podemos elegir a un habitante de 
cada delegación como el representante de todos los habitantes de una misma delegación. 
2 A diferencia de las clases, los conjuntos se definen a partir de sus miembros y no de la propiedad que 
indica cuándo un objeto es o no un miembro de la colección [Hersh 1997, 146].
3 Dos conjuntos son equivalentes bajo la relación de correspondencia biunívoca si a los elementos del 
primer conjunto se los puede relacionar con un único elemento del segundo conjunto y no quedan 
elementos de ninguno de los conjuntos por relacionar.
5
EL TRABAJO DE GOTTLOB FREGE
Sin embargo, los intentos de Frege de asegurar a la aritmética bajo la certeza de la 
lógica quedaron derrotados justo cuando el segundo volumen de Grundgesetze estaba listo 
para ser publicado. En 1902, Russell escribió a Frege una carta en la que explicaba una 
inconsistencia encontrada en su definición de los números. De acuerdo con la Ley Básica V 
de Frege, “para cualquier propiedad que describamos a través de una fórmula abierta, existe 
un conjunto que posee tal propiedad” [Hersh 1997, 148]. Es decir, bastaba especificar una 
propiedad para garantizar la existencia de una clase que cumplía dicha propiedad. La 
inconsistencia, llamada la paradoja de Russell en nombre de su descubridor, se derivaba al 
considerar a la clase de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos.1
La paradoja no sólo representó un golpe para el trabajo de Frege, sino que 
nuevamente significó un fracaso para los intentos de mostrar a las matemáticas como un 
cuerpo objetivo e indubitable que partía de la lógica. Pocos años después fueron 
encontradas algunas otras antinomias que evidenciaron cómo la lógica era menos confiable 
de lo que se creía. La necesidad de solucionar estos problemas, llevó a varios matemáticos 
a proponer, durante las primeras décadas del siglo XX, diferentes perspectivas sobre el 
fundamento de las matemáticas.
1 Sea A la clase de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. Entonces:
1) Si A es miembro de sí mismo, entonces A no es miembro de a A. Por lo tanto, A no es miembro de sí 
mismo.
2) Si A no es miembro de sí mismo, entonces A es miembro de A. Por lo tanto, A es miembro de sí 
mismo.
 Ambos casos llevan a una contradicción.
6
Capítulo II
LAS TRES ESCUELAS: LOGICISMO, INTUICIONISMO Y 
FORMALISMO
El trabajo de Frege no sólo sentó las bases para un estudio más profundo sobre las clases y 
los conjuntos (tanto Frege como los matemáticos Cantor y Dedekind, son considerados 
como los iniciadores de la teoría de conjuntos), sino que también inauguró, junto con 
Russell, la línea de estudio que se conoce ahora como logicismo. Esta propuesta buscó la 
reformulación de la recién formada teoría de conjuntos para eliminar la paradoja de Russell 
y así, poder salvar el programa reduccionista original, es decir, establecer a la lógica como 
fundamento objetivo e indubitable de la aritmética y, por tanto, de las matemáticas. Como 
resultado de este proyecto, Russell publicó junto con su maestro Alfred North Whitehead 
los tres volúmenes de Principia Mathematica, en donde a partir de la formalización de las 
nociones y los axiomas de la teoría de conjuntos hicieron una detallada derivación de 
algunos de los principales teoremas de las matemáticas. 
Aunque el logicismo hizo importantes aportaciones al desarrollo de la lógica y la 
teoría de conjuntos, sus intentos por fundamentar a las matemáticas fracasaron. Pues para 
deshacerse de las paradojas, Russell y Whitehead introdujeron dos axiomas cuyo carácter 
lógico fue altamente criticado: el axioma de infinito, el cual afirmaba la existencia de un 
conjunto con una infinidad de elementos y el axioma de reducibilidad, el cual consistía en 
una formulación más complicada de la Ley Básica V de Frege que evitaba paradojas como 
la de Russell [Irvine 2010]. El problema de estos axiomas era que la teoría de conjuntos que 
7
LAS TRES ESCUELAS
se desarrollaba a partir de ellos, no podía ser ya identificada con la lógica pensada a la 
manera de Frege, es decir, entendida como el conjunto de reglas indubitables del 
pensamiento correcto. Esta formulación de la teoría de conjuntos podía utilizarse como 
fundamento para construir a las matemáticas, sin embargo, aquel fundamento no poseía el 
carácter objetivo e indudable que se atribuía a la lógica. 
El logicismo nunca logró recuperarse del daño que la paradoja de Russell impuso al 
programa original y finalmente,después de varios años, tanto Frege como Russell y 
Whitehead abandonarían su objetivo de establecer a la lógica como fundamento sólido e 
indiscutible de las matemáticas. 
Otra de las propuestas que surgió ante los problemas que presentaba la 
fundamentación de las matemáticas fue la de Brouwer. Su postura, fuertemente 
influenciada por el pensamiento de Kant, sugería una estrecha relación entre las 
matemáticas y la manera en que los seres humanos se aproximan al mundo. Para Brouwer, 
el pensamiento mismo se daba en términos matemáticos; así, el ser humano no era sólo un 
observador pasivo de la naturaleza, sino que desempeñaba un papel como organizador de la 
experiencia [Shapiro 2000, 175]. Además, al igual que para Kant, Brouwer consideraba que 
la mayoría de las verdades matemáticas no podían derivarse únicamente a partir del análisis 
de los conceptos que aparecían en las proposiciones de las matemáticas, es decir, para 
Brouwer las verdades matemáticas no eran proposiciones analíticas; más bien, ampliaban el 
contenido de los conceptos, es decir, las verdades matemáticas consistían en proposiciones 
8
LAS TRES ESCUELAS
sintéticas.1 Sin embargo, la verdad de estas proposiciones resultaba independiente de 
observaciones o de cualquier tipo de experiencia, por lo que, además, la verdad de las 
proposiciones matemáticas era a priori. 
Brouwer se alejaba en algunos puntos de la postura kantiana, la cual atribuía nuestra 
posibilidad de formular proposiciones sintéticas a priori a nuestra naturaleza. Es decir, el 
ser humano percibía las cosas de una manera determinada —de manera espacial y temporal
— debido a que en su propia constitución se encontraban las formas puras de la intuición 
que permitían ordenar las percepciones; tales formas son el espacio y el tiempo. En 
particular, era en la forma de percepción espacial en donde Kant había encontrado el 
fundamento de la geometría que existía en su momento histórico, es decir, de la euclidiana. 
Además, la geometría podía establecer principios universalmente válidos precisamente 
porque ésta trataba sobre el espacio, el cual no consistía en una propiedad de los objetos, 
sino en un elemento a priori independiente de todo componente empírico. Pero para 
Brouwer, el descubrimiento de las geometrías no-euclidianas era la prueba de que la 
intuición espacial de Kant era insostenible como cimiento de la geometría:
Esto mostró que los fenómenos usualmente descritos en el lenguaje de la geometría 
elemental pueden ser descritos con igual exactitud […] en el lenguaje de la geometría no-
euclidiana; por lo tanto, no sólo es imposible mantener que el espacio de nuestra 
experiencia tiene las propiedades de la geometría euclidiana, sino que tampoco tiene 
importancia el preguntarse por la geometría que sería verdadera para el espacio de nuestra 
experiencia [Brouwer 1912, 80].
1 Una proposición es analítica si su predicado está contenido en el sujeto. Así, su valor de verdad puede 
determinarse al considerar el significado de los términos que aparecen en la proposición. Ejemplos de 
estas proposiciones son: “Los triángulos tienen tres ángulos” y “Ningún soltero es casado”. Una 
proposición es sintética si su predicado no está contenido en el sujeto. Es decir, el análisis del significado 
de los términos que aparecen en la proposición, no basta para determinar su verdad. Ejemplos de estas 
proposiciones son: “Los ángulos de un triángulo suman 180 grados” y “La casa es verde”.
9
LAS TRES ESCUELAS
Sin embargo, Brouwer sí aceptó la concepción de Kant sobre la intuición temporal. 
Incluso tomó las formas de la percepción temporal como base tanto para los números 
naturales como para los números reales. De acuerdo con su propuesta, nuestra aprehensión 
del mundo se daba como una sucesión de momentos distintos, en la que un momento daba 
lugar a otro y éste último a otro más, y así sucesivamente. Y aunque cada momento era 
único, resultaba que, a la vez, se encontraba conectado de manera continua con los demás 
momentos. Es decir, la intuición temporal permitía adquirir las nociones de continuo y de 
discreto y, por tanto, quedaba establecida como el punto de partida para la obtención de los 
números naturales y de los reales. Era a partir de ellos de donde, según Brouwer, debían 
derivarse de manera constructiva todas las matemáticas, de manera que cualquier supuesto 
objeto que no se construyera a partir de los números naturales o de los reales carecía de 
significado. Las matemáticas eran, para Brouwer, el resultado de nuestra actividad mental. 
Por esta razón, su propuesta es conocida como intuicionismo.
Esta postura llevó a Brouwer al rechazo de toda afirmación matemática que no 
tuviera un proceso constructivo como sustento, entre ellas el principio del tercero excluido 
(la disyunción entre una proposición y su negación es siempre verdadera) y la ley de 
tricotomía (todo número real es o bien positivo, o bien negativo, o es cero). Para el caso de 
la tricotomía, Brouwer proporcionó un contraejemplo en el que el número propuesto no era 
ni positivo, ni negativo, ni cero. Sin embargo, su resultado no fue aceptado por la mayoría 
de la comunidad matemática, que defendió la validez de la ley de la tricotomía aún cuando 
no se supiera cómo determinar en cuál de los tres casos se encontraba el número de 
Brouwer. El ejemplo intuicionista es el siguiente:
10
LAS TRES ESCUELAS
Tómese al número π (la razón de la circunferencia de un círculo con su diámetro) en 
su expansión decimal (3.141592653589…). Considérese la aparición de una sucesión de 
cien ceros sucesivos en la expansión de π. Ahora defínase a π^ como el número cuya 
expansión decimal es idéntica a la de π hasta el primer cero de la aparición de la primera 
sucesión de cien ceros sucesivos en la expansión de π. Si la sucesión de ceros aparece en un 
lugar impar, entonces π^ acaba en ese lugar. Si la sucesión de ceros aparece en un lugar par, 
entonces agréguese un uno en el siguiente lugar impar y considérese a ese número como π^. 
Por ejemplo, si la sucesión de ceros comienza en el lugar 93 de la expansión de π, π^ 
tendrá 93 dígitos y será menor que π (π^ < π). Si la sucesión de ceros comienza en el lugar 
94 de la expansión de π, entonces π^ tendrá un uno en el lugar 95 y será mayor que π (π^ > 
π). Si la sucesión de ceros nunca aparece en la expansión de π, entonces π^ es igual a π (π^ 
= π). 
Ahora considérese la diferencia de π^ y π (π^ – π) y llámese Q al número resultante. 
De acuerdo con la ley de la tricotomía, Q debe ser positivo, o negativo, o cero aun cuando 
no se haya encontrado la sucesión de cien ceros al momento de considerar a Q. Pero para 
Brouwer, sólo hasta que pudiera ser determinado cuál de los tres era el caso, no podía 
decirse que Q era positivo, o negativo, o cero. Más aún, sólo podría saberse que Q es igual 
a cero si se tuviera la expansión completa de π, lo cual es imposible, pues al ser π un 
número irracional, su expansión es infinita [Hersh 1997, 156].
La crítica de Brouwer fue rechazada por varios matemáticos, pues la eliminación de 
principios como el del tercero excluido, significaba, entre otras cosas, el despojo de varios 
teoremas que se demostraban con una prueba común en el quehacer matemático: la prueba 
11
LAS TRES ESCUELAS
por contradicción o reducción al absurdo, la cual se basaba en el principio del tercero 
excluido para mostrar que debido a que la negación de la proposición que se quería 
demostrar llevaba a una contradicción, la proposición debía ser verdadera.
Hilbert fue uno de los matemáticos que no aceptó la propuesta de Brouwer y, en 
cambio, se convirtió en el principal representante del formalismo. Desde su perspectiva,los 
métodos matemáticos eran válidos y certeros, así que rechazar principios como el del 
tercero excluido significaba una equivocación. Además, Hilbert creía que las matemáticas 
trataban sobre elementos dados de manera independiente de la lógica y que había sido la 
creencia de que las matemáticas podían fundamentarse únicamente sobre bases lógicas, lo 
que había causado el fracaso del programa logicista de Frege y de Russell. 
 Hilbert pensaba que había una distinción entre elementos reales e ideales en las 
matemáticas, la cual consistía en la separación de aquellas partes de las matemáticas que 
tenían el propósito de expresar una realidad dada de manera independiente (las partes 
reales) y aquellas otras partes de las matemáticas que surgían como creaciones con la 
finalidad de preservar el razonamiento matemático en una forma simple y eficiente (las 
partes ideales) [Detlefsen 2005, 291]. Según su formalismo:
Algo debe ser dado en concepto, a saber, ciertos objetos extralógicos concretos que son 
intuidos como experiencia directa antes de todo pensamiento. Para que la deducción lógica 
sea cierta, debemos ser capaces de ver cada aspecto de aquellos objetos, y sus propiedades, 
diferencias, sucesiones, y contigüidades deben ser dadas, junto con los objetos mismos, 
como algo que no puede ser reducido a algo más [Shapiro 2000, 161].
Es decir, los conceptos que Hilbert identificaba como la parte real de las matemáticas eran 
construidos, a la manera kantiana, como una manifestación de una intuición a priori 
correspondiente al concepto, como una estructura inmediatamente clara y reconocible. Sin 
12
LAS TRES ESCUELAS
embargo, también permitía la formación de otros conceptos, los ideales, que podían ser 
introducidos sin interpretación o contenido alguno con el fin de servir como herramientas 
en el desarrollo de las teorías matemáticas. Por ejemplo, la introducción de los números 
imaginarios y complejos, como elementos que cumplen ciertas leyes, son una muestra de la 
construcción de conceptos ideales en la historia de las matemáticas. Aquellas leyes no se 
establecieron como resultado de alguna estructura dada previamente en la intuición, sino 
que fueron elegidas de cierta manera con el objetivo de maximizar su utilidad en los 
cálculos y, a la vez, preservar las leyes aritméticas de forma conveniente al razonamiento. Y 
aunque posteriormente se les dio una interpretación geométrica, lo importante para el 
formalismo era hacer notar el hecho de que cuando la conveniencia lo ha requerido, se han 
introducido elementos ideales para facilitar los resultados de alguna teoría [Detlefsen 2005, 
296].
En el formalismo de Hilbert, los conceptos se identificaban con el papel que 
desempeñaban en el pensamiento matemático y no era necesario que tuvieran contenido 
intuitivo para ser significativos. Hilbert aceptaba la manipulación de aquellos conceptos sin 
contenido a partir de una serie de reglas convenientes, siempre y cuando no se llegara a 
conclusiones que contradijeran al razonamiento con contenido, es decir, a las matemáticas 
reales. Las matemáticas ideales eran útiles en cuanto a que añadían contenido a las 
matemáticas reales. Sin embargo, el contenido de las conclusiones de las matemáticas 
ideales no podía ser justificado por las matemáticas ideales mismas, sino que debía ser 
proporcionado por juicios meta-matemáticos. Para mostrar que tales juicios resultaban 
posibles y confiables había que establecer de manera axiomática las reglas utilizadas para la 
13
LAS TRES ESCUELAS
construcción de las matemáticas ideales. Así, Hilbert desarrolló su ‘teoría de la prueba’ 
como una teoría de las meta-matemáticas que determinaba el contenido de las matemáticas 
ideales. [Detlefsen 2005, 298].
De manera que el objetivo principal del formalismo de Hilbert fue axiomatizar cada 
rama de las matemáticas para después probar que no había contradicción alguna contenida 
dentro del conjunto de sus verdades; es decir, Hilbert buscaba mostrar la consistencia de las 
matemáticas a partir de un método axiomático. La metodología de su programa, conocido 
como aritmética finitista, fue caracterizada por John von Neumann, uno de los matemáticos 
con quien trabajó, de la siguiente manera: 
(1) Enumerar todos los símbolos utilizados en las matemáticas y en la lógica 
[…];
(2) Caracterizar, de manera que no haya ambigüedades, a todas las combinaciones 
de estos símbolos que representen afirmaciones clasificadas como ‘significativas’
en las matemáticas clásicas.1 Estas combinaciones son llamadas ‘fórmulas’ […];
(3) Proporcionar un procedimiento de construcción que nos permita construir de 
manera sucesiva todas las fórmulas que correspondan a las afirmaciones 
‘probables’ de las matemáticas clásicas. En consecuencia, a este procedimiento se 
le llama ‘prueba’; y,
1 Las matemáticas clásicas se refieren a las matemáticas que incluyen dentro de sus sistemas lógicos a la ley 
del tercero excluso. Las matemáticas que excluyen a tal principio de su sistema son llamadas matemáticas 
intuicionistas.
14
LAS TRES ESCUELAS
(4) Mostrar (de manera finita) que aquellas fórmulas que correspondan a 
afirmaciones de las matemáticas clásicas que pueden ser verificadas por métodos 
aritméticos finitos pueden ser probadas […] por el proceso descrito en (3) si y 
sólo si la verificación de la afirmación correspondiente muestra que es verdadera. 
[Shapiro 2000, 165].
De acuerdo con el método formalista, era posible derivar las verdades matemáticas de 
manera rigurosa mediante una serie de pasos finitos verificables. Bastaba establecer de 
manera explícita un lenguaje formal con sus respectivas reglas de inferencia (lo cual ya 
había sido realizado en gran parte en los trabajos de Frege, Russell y Whitehead) para 
probar que ninguna contradicción podía derivarse del sistema. La consistencia resultaba ser 
un fundamento más débil que la verdad que la geometría había proporcionado en otro 
tiempo, o que la certeza indubitable que se había esperado de la lógica; sin embargo, al 
asegurar la certeza de los métodos matemáticos no sólo se recuperaba la confianza en el 
pensamiento matemático, sino que además garantizaba su fiabilidad.
Pero el trabajo de Hilbert traía consecuencias problemáticas. Los críticos del 
formalismo hacían ver que bajo tal propuesta, las matemáticas ideales surgían como 
resultado de un simple juego de deducción lógica. La naturaleza de los axiomas de los que 
partían las matemáticas quedaba indefinida y la interpretación de los términos que 
aparecían en los axiomas era irrelevante, sólo importaban las deducciones lógicas que se 
derivaban de ellos. Para el formalismo, la deducción no dependía de la imagen mental que 
se asociara a los axiomas, sino sólo de las reglas de inferencia. Por tanto, daba lo mismo si 
15
LAS TRES ESCUELAS
se partía de puntos y de líneas, o de sombreros y de piedras para la determinación de algún 
resultado de las matemáticas. Es decir, las afirmaciones obtenidas a partir de la deducción 
(los teoremas) no eran ni verdaderas ni falsas, pues hacían referencia a términos 
indefinidos. Lo único que podía atribuirse a las matemáticas desde la postura de Hilbert, era 
la posibilidad de mostrar si un teorema se derivaba lógicamente de los axiomas, lo cual 
dejaba a las matemáticas libre de dudas y de errores, pues las pruebas que proponía el 
formalismo eran rigurosas y no permitían fisuras. 
Sin embargo, el objetivo de Hilbert se vio derrotado por los teoremas de 
incompletitud demostrados por el matemático austriaco Gödel en 1930. Dichos teoremas 
mostraban que ningún sistema formal que fuera lo bastante fuerte como para contener a la 
aritmética, podía probar su propia consistencia.Esto significaba que no podría encontrarse 
un sistema formal del que pudieran derivarse ‘todas’ las verdades matemáticas y ninguna 
falsedad. De manera que, como consecuencia de los resultados de Gödel, el programa 
formalista llegó a su fin.
Aunque tanto la lógica de Frege, de Russell y de Whitehead como las críticas de 
Brouwer y la teoría de Hilbert sobre las pruebas se convirtieron en puntos de partida para 
nuevas investigaciones matemáticas y filosóficas, el éxito de la búsqueda por los 
fundamentos no logró ser alcanzado. A pesar de esto, el sistema matemático siguió siendo 
utilizado por los matemáticos, pues, como von Neumann expresó, 
[…] después de todo, las matemáticas estaban produciendo resultados que eran a la vez 
elegantes y útiles y, aunque nunca más se pudiera estar absolutamente seguro de su 
fiabilidad, se sostenían al menos sobre un fundamento tan firme como, por ejemplo, la 
existencia del electrón. Por lo tanto, si alguien estuviera dispuesto a aceptar las ciencias, 
también podría aceptar el sistema de las matemáticas [Hersh 1997, 161].
16
Capítulo III
DOS RESULTADOS MATEMÁTICOS: JOHN VON 
NEUMANN Y ERNST ZERMELO
Además de los esfuerzos que los principales exponentes de las tres escuelas llevaron a cabo 
para resolver los problemas que surgían como consecuencia de sus investigaciones, otros 
personajes también se dedicaron a la tarea de buscar la solidez que los fundamentos de las 
matemáticas parecían necesitar. Dos de los resultados de aquellos trabajos fueron obtenidos 
a partir de los estudios de dos matemáticos cercanos a Hilbert: Zermelo y von Neumann.
Sus trabajos se relacionaron con el que Frege publicó en 1884, en donde mostraba a 
los números naturales como clases de equivalencias de clases. Así, por ejemplo, el dos era 
la clase de todos los pares. El problema era que para justificar aquella definición, había que 
garantizar la existencia de la ‘clase de todos los pares’. De no haber tal clase, entonces el 
número dos sería igual al conjunto vacío y, por tanto, la construcción de Frege no habría 
sido adecuada. 
La clase buscada no podía ser de números, pues eran precisamente los números lo 
que quería definirse. Tampoco podía ser de objetos físicos pues, por una parte, se quería 
eliminar el aspecto contingente que éstos implicaban; por otro lado, un número limitado de 
objetos como las entidades físicas, no podrían cubrir las definiciones de números muy 
grandes (o incluso de números infinitos). Y aunque para Frege las clases tenían una 
existencia innegable, tanto Zermelo como von Neumann partieron de la existencia de una 
clase menos problemática para la construcción de los números naturales. 
17
DOS RESULTADOS MATEMÁTICOS
Como respuesta a la controversia ocasionada por su trabajo en la teoría de 
conjuntos, Zermelo enunció en 1908 una serie de definiciones y de principios o axiomas 
(conocida como la axiomatización de Zermelo), a partir de los cuales se podía derivar la 
teoría de Cantor y de Dedekind.1 Dentro de su artículo, Zermelo exponía la sucesión de los 
números naturales como el conjunto cuyos elementos eran ∅, { }, {{ }}, {{{ }}}, …∅ ∅ ∅ 
(donde era el conjunto vacío) [van Heijenoort 1967, p. 204]. Es decir, su construcción∅ 
iniciaba con la clase de todos los conjuntos equivalentes al conjunto cuyos elementos eran 
distintos a sí mismos, es decir, con el conjunto vacío que había definido Frege 
anteriormente como el cero ( ). Una vez considerado el conjunto vacío, Zermelo obtuvo al∅ 
número uno al tomar en cuenta la clase de todos los conjuntos vacíos: como sólo hay un 
único conjunto vacío, la clase consistía de un único elemento. Así, el número uno era la 
clase de todos los conjuntos equivalentes al conjunto que tiene como único elemento al 
conjunto vacío ({ }). Para la obtención del número dos, Zermelo tomó la clase de todos∅ 
los conjuntos equivalentes al conjunto que tiene como único elemento al número anterior, 
es decir, al uno ({{ }}). Y de manera análoga, obtuvo los números siguientes. Así, la∅ 
relación propuesta por Zermelo era la siguiente:
0 = ∅
Sx = {x}
Donde S es una función que indica cómo obtener el sucesor de un número cualquiera 
1 De acuerdo con Gregory Moore, Zermelo propuso su axiomatización de 1908 a raíz de la polémica 
originada tanto por su demostración del teorema del buen orden (‘todo conjunto puede ser bien ordenado’) 
de 1904, como por la introducción de su Axioma de Elección (‘dada una colección de conjuntos con al 
menos un elemento, es posible formar un nuevo conjunto que tenga exactamente un elemento de cada uno 
de los conjuntos de la colección’).
18
DOS RESULTADOS MATEMÁTICOS
(función sucesor) y x es un número natural.1 Por lo que en su sucesión de naturales, un 
número era el conjunto unitario del número anterior. Es decir,
0 = ∅
1 = {0} = { }∅
2 = {1} = {{ }}∅
3 = {2} = {{{ }}}∅
…
n = {n –1}
n+1 = {n}
…
Aunque la axiomatización de Zermelo fue un trabajo importante para el desarrollo de la 
teoría de conjuntos, su definición de los números naturales no fue la única. En 1923, von 
Neumann desarrolló una construcción que se convirtió en la definición estándar de la 
sucesión de los naturales.
Al igual que Frege y Zermelo, von Neumann consideró al conjunto vacío ( ) como∅ 
punto de partida para su propuesta y lo definió como el cero. También procedió como 
Zermelo al obtener el número uno a partir de la clase de los conjuntos equivalentes al 
conjunto cuyo único elemento era el conjunto vacío ({ }). La diferencia surgía a partir del∅ 
número dos, para el cual consideró la clase de los conjuntos equivalentes al conjunto que 
tenía al cero y al uno como elementos ({ , { }}). Y para los siguientes números procedió∅ ∅ 
de manera análoga, tomando a la clase de los conjuntos equivalentes al conjunto que tenía a 
1 Una función es una relación entre un conjunto dado (domino) y otro conjunto (contradominio) en donde a 
cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del contradominio (aunque puede ocurrir 
que a más de un elemento del dominio se le asigne un mismo elemento del contradominio). Por ejemplo, 
si A={a, b, c} y B={x, y, z} entonces f: A → B tal que f(a) = x, f(b) = y, f(c) = z es una función y también lo 
es g: A → B tal que g(a) = z, g(b) = z, g(c) = z.
19
DOS RESULTADOS MATEMÁTICOS
los naturales anteriores como elementos. De manera que la relación propuesta por von 
Neumann era la siguiente:
0 = ∅
Sx = x U {x}
Donde S es una función sucesor y x es un número natural.
Así, cada natural resultaba ser el conjunto de todos los naturales anteriores a él. Es decir,
0 = ∅
1 = {0} = { }∅
2 = {0, 1} = { , { }}∅ ∅
3 = {0, 1, 2} = { , { }, { , { }}}∅ ∅ ∅ ∅
…
n = {0, 1, 2, …, n –1}
n + 1 = {0, 1, 2, …, n}
…
Así, tanto Zermelo como von Neumann presentaron dos construcciones diferentes de los 
números naturales. Sus propuestas, a diferencia de la de Frege, ya no necesitaban de la 
existencia de otro conjunto más que del vacío para la formación de los números. Sus 
resultados tuvieron importancia en la investigación matemática de su tiempo pero, además, 
se convertirían en el punto de partida para algunos trabajos en la filosofía de las 
matemáticas desarrollada a partir de los años sesenta. 
20
Capítulo IV
LOS DESCENDIENTES: EL CÍRCULO DE VIENA, W. V. O. 
QUINE Y NICOLÁS BOURBAKI
Además de haberse convertido en una importante influencia para el desarrollo de las 
matemáticas, las tres escuelas también tuvieron un impacto en el ámbito filosófico. La 
pregunta por el fundamento de las matemáticas motivaba el cuestionamiento sobre la 
naturaleza de los números, los conjuntos, las clases y las demás entidades matemáticas y 
nuestro conocimiento de ellas. Para Frege era claro que todas aquellas entidades existían 
independientementede los matemáticos y eran ajenas al tiempo y al espacio. Pero para 
otros, como Brouwer y Hilbert, las matemáticas eran construcciones mentales que se 
relacionaban con un aspecto específico del pensamiento humano. Pero en la década de los 
años veinte, un grupo de filósofos autodenominados como el Círculo de Viena, atribuiría un 
carácter metafísico a la pregunta por la naturaleza de los objetos matemáticos. 
Aquella corriente de pensamiento, encabezada por Carnap, fue conocida también 
como empirismo lógico y se convertiría en una de las más influyentes para la filosofía 
occidental. Siguiendo el empirismo de Hume, el cual no sólo proponía a la experiencia 
como la única base de todo conocimiento, sino que también admitía la posibilidad del 
acceso inmediato a los datos de la experiencia (es decir, a través de los sentidos —y 
ninguna otra mediación— se podía obtener conocimiento auténtico de las cosas), Carnap 
relegó la pregunta general (y fuera de contexto) por la existencia de los números como una 
21
LOS DESCENDIENTES
discusión sin sentido, pues no podía llegarse a una respuesta a partir de alguna observación 
empírica.
Su postura, junto con la del resto de los integrantes del Círculo de Viena, encontraba 
en la ciencia la mejor manera, y quizás la única, de alcanzar la verdad. Por tal razón, 
cualquier pregunta o proposición debía estar expresada en términos científicos para ser 
significativa, de lo contrario, debía relevarse como una cuestión metafísica. Sólo las 
proposiciones verificables por la experiencia podían considerarse científicas y, por tanto, 
significativas y como la discusión (fuera del contexto de las matemáticas) sobre la 
naturaleza de los objetos matemáticos no lo era, entonces resultaba no científica y, por 
tanto, carente de significado y como un tema de la metafísica.
Además de la base empirista de su pensamiento, Carnap y el grupo de empiristas 
lógicos tomaron los Principia de Russell y Whitehead como punto de partida para lograr el 
establecimiento de una filosofía científica. Dicha filosofía utilizaría a la lógica como la 
herramienta para resolver el problema de cómo distinguir entre proposiciones con y sin 
significado y así conseguir la eliminación de todo aquello que resultara irrelevante para los 
objetivos de la ciencia. De acuerdo con Carnap, el análisis sobre la existencia de números 
requería un ‘marco lingüístico’ con una gramática precisa que indicara cuándo las 
expresiones eran proposiciones legítimas dentro del mismo marco lingüístico y con reglas 
que mostraran cómo utilizar tales proposiciones. Algunas de aquellas reglas podían ser 
empíricas, de tal manera que se aceptaba la afirmación de ciertas proposiciones 
dependiendo de si se tenía cierto tipo de experiencias. Pero también podía haber reglas 
lógicas que indicaran qué inferencias estaban permitidas y qué proposiciones podían ser 
22
LOS DESCENDIENTES
afirmadas independientemente de las experiencias. Carnap retomó, al igual que Brouwer, la 
distinción kantiana entre proposiciones analíticas y sintéticas. Llamó verdades analíticas a 
las proposiciones enunciadas sólo a partir de las definiciones dadas en el marco y de 
manera independiente de la experiencia y sintéticas a aquellas que surgían como resultado 
de la experiencia.
Con base en el marco de referencia, entonces podía hacerse una distinción entre dos 
tipos de preguntas sobre existencia. El primer tipo, las preguntas internas, consistían en las 
preguntas sobre la existencia de ciertas entidades dentro del marco. Las segundas, las 
preguntas externas, se referían a la existencia o realidad del sistema de entidades como un 
todo. 
Las preguntas internas y sus posibles respuestas son formuladas con la ayuda de nuevas 
formas de expresiones. Las respuestas pueden encontrarse por métodos puramente lógicos 
o por métodos empíricos dependiendo de si el marco es lógico o fáctico. Una pregunta 
externa es de carácter problemático y necesita de un examen más detenido [Carnap 1950, 
23].
Así, si se preguntaba por la existencia de los números primos partiendo del marco de los 
números naturales, la pregunta resultaba interna y significativa e, incluso, era posible dar 
una respuesta afirmativa de su existencia y proporcionar ejemplos de tales números. Lo que 
resultaba carente de significado, era la pregunta externa relativa a la realidad de los 
números independientemente de cualquier marco lingüístico. 
Las matemáticas debían considerarse en su aspecto pragmático: el objetivo de la 
empresa científica consistía en describir y predecir los fenómenos de la experiencia, así 
como en lograr un control del mundo físico; la pregunta pragmática sobre las matemáticas, 
23
LOS DESCENDIENTES
al ser parte de esta empresa, era el cuestionamiento sobre cuáles de los marcos 
desarrollados servían mejor o peor para lograr los propósitos de la ciencia. Para Carnap, no 
se requería de ninguna otra justificación, la investigación sobre la naturaleza metafísica de 
los números y demás entidades matemáticas sólo producía pseudo-preguntas [Shapiro 
2000, 128].
En cuanto a la adquisición de conocimiento matemático, Carnap y los demás 
empiristas lógicos asumieron una postura logicista. Las verdades matemáticas no sólo eran 
conocidas independientemente de la experiencia, es decir, eran conocidas de manera a 
priori, sino que además tenían un carácter necesario. Sin embargo, su posición empirista les 
llevaba a sostener que como ninguna proposición con contenido fáctico era necesaria, las 
verdades matemáticas no poseían contenido fáctico alguno, es decir, no proporcionaban 
información sobre el mundo. 
Las verdades matemáticas surgían a partir de las reglas enunciadas en los marcos. 
Bastaba conocer las reglas de uso de un determinado marco, para lograr el conocimiento de 
las proposiciones matemáticas. Así, por ejemplo, la geometría euclidiana estaba construida 
bajo un marco lingüístico de los que Carnap sugería. Los teoremas de tal geometría 
resultaban ser proposiciones analíticas conocidas de manera a priori, sólo a partir de las 
definiciones. La discusión sobre la preferencia de aquél marco en lugar de otros marcos, 
como los de las geometrías no-euclidianas, era una cuestión pragmática y no matemática. 
A pesar de los intentos del empirismo lógico de establecer una filosofía científica 
basada en los desarrollos de la lógica de Russell y Whitehead, el Círculo de Viena no 
lograría superar las críticas que desencadenarían sus tesis. Por una parte, la propuesta de 
24
LOS DESCENDIENTES
Carnap acerca de la analiticidad de las matemáticas se volvió insostenible tras la 
demostración de los mismos teoremas de incompletitud de Gödel que habían puesto fin al 
programa formalista de Hilbert. De acuerdo con Carnap, a partir de un marco lingüístico 
podían derivarse ‘todas’ las proposiciones que se pudieran desprender de ese marco. Sin 
embargo, el primer teorema de incompletitud de Gödel enunciaba que en un sistema 
deductivo que contuviera un cierto contenido de aritmética, podía construirse una 
afirmación que no pudiera ser demostrada ni refutada dentro del mismo sistema. Por tal 
razón, se requería de una estructura o un sistema más rico desde el que se pudieran mostrar 
los valores de verdad de aquellas afirmaciones que el primer sistema no podía determinar. 
Por otro lado, su propio principio de verificación que identificaba el carácter 
significativo de una proposición con su posibilidad de ser verificada por la experiencia o 
con su carácter analítico, anulaba la misma postura empirista. La proposición ‘un enunciado 
es significativo si y sólo si es analítico o es verificable por la experiencia’ no es analítica, 
puessu verdad no puede determinarse sólo a partir del significado de los términos (o 
palabras) que contiene; pero tampoco es verificable, pues su verdad no puede ser verificada 
a partir de la experiencia. Por lo tanto, tal proposición, que representa la posición principal 
mantenida por el empirismo lógico, resulta carente de significado de acuerdo con el criterio 
sostenido por el mismo Círculo de Viena y, por tanto, debe ser relegado como una 
proposición metafísica. Aunque hubo varios intentos por salvar la postura empirista 
mediante modificaciones más débiles del principio de verificación, el empirismo lógico 
sería sustituido por otras propuestas que lograrían una mayor adecuación con la práctica 
matemática y científica en general.
25
LOS DESCENDIENTES
Uno de los críticos más influyentes del empirismo lógico fue Quine. Además de 
haber hecho su tesis doctoral bajo la supervisión de Whitehead y de haber mantenido 
correspondencia con Russell, Quine conoció a Gödel y a algunos de los integrantes del 
Círculo de Viena, entre ellos a Carnap, quien, además, fue su maestro. 
Quine acusaba de poca claridad e inadecuación a la definición de analiticidad de 
Carnap. Desde su punto de vista, no había conocimiento a priori ni distinción alguna entre 
proposiciones analíticas y proposiciones sintéticas. La creencia del empirismo lógico en tal 
distinción era considerada por Quine como un ‘dogma’. Su postura, que recibió el nombre 
de naturalismo, afirmaba que no había una separación estricta entre el papel que el lenguaje 
y la experiencia desempeñan en la determinación de la verdad o la falsedad de 
proposiciones significativas. Su naturalismo proponía una perspectiva ‘holística’ en la que 
el lenguaje, la observación, la teoría y las proposiciones matemáticas se encontraban 
estrechamente relacionados; tomarlos como elementos ajenos no bastaba para el 
entendimiento global de la ciencia, había que considerarlos como una unidad. Por ejemplo, 
la proposición ‘Clinton fue presidente’ es verdadera por el significado que tienen las 
palabras ‘Clinton’, ‘fue’ y ‘presidente’, por la estructura de la proposición y por ciertos 
hechos del mundo extra-lingüístico (por ejemplo, los resultados de una elección 
presidencial). De tal manera que el valor de verdad podría ser distinto si el significado de 
las palabras fuera diferente (por ejemplo, si ‘Clinton’ significara ‘Tom Sawyer’) o si los 
hechos hubieran sido diferentes (por ejemplo, si Clinton no hubiera ganado las elecciones). 
Para Quine, los factores lingüísticos y los hechos fácticos están tan entrelazados, que no 
26
LOS DESCENDIENTES
tiene sentido decir que una proposición es verdadera sólo en virtud del lenguaje [Shapiro 
2000, 213].
Un segundo ‘dogma’ defendido por el empirismo lógico y rechazado por Quine, era 
el del reduccionismo. Éste aseguraba la posibilidad de expresar una proposición 
significativa como una combinación lógica de afirmaciones que resultaban directamente 
verificables en la experiencia. Al contrario del Círculo de Viena, Quine mantenía que las 
proposiciones sobre el mundo no se enfrentaban al tribunal de la experiencia de manera 
aislada, sino que lo hacían junto con otro grupo de afirmaciones. Es decir, nuestro sistema 
de creencias funcionaba como una red, en la que cada ‘nodo’ (creencia) se relacionaba 
estrechamente con un gran número de otros nodos de la red. Algunas de las relaciones que 
unían a los nodos eran de carácter lógico, en el sentido de que el consentimiento de ciertas 
creencias requería del consentimiento de otras creencias, y otras relaciones eran de carácter 
lingüístico debido a que se guiaban por el lenguaje. Los nodos que se relacionaban 
directamente con la experiencia, que podían ser confirmados por las observaciones, se 
encontraban en los bordes de la red.
La idea detrás de la red de creencias estaba dirigida a la motivación de un estudio 
científico de la ciencia. Quine defendió varios puntos que se alejaban del empirismo lógico, 
sin embargo, compartió con éste la consideración de que la ciencia era la mejor herramienta 
que tenemos para proporcionar explicaciones válidas y convincentes acerca del mundo. A 
su vez, pensaba que, además, era el mejor instrumento para la investigación de la ciencia 
misma.
27
LOS DESCENDIENTES
Por esta razón, Quine rechazaba la búsqueda de una filosofía primera o superior a la 
ciencia desde la cual se pudiera pensar a la empresa científica. Al ser la ciencia quien 
proporciona el mayor grado de certeza a las investigaciones, el estudio de la ciencia 
obtendría resultados con el grado máximo de certeza si se llevaba a cabo de manera 
científica. El naturalista, según Quine, debía asumir la tarea de tratar de “mejorar, clarificar 
y entender a la ciencia desde dentro” [Maddy 2005, 440]. 
Aunque para Quine la ciencia más fundamental era la física, la adopción de sus 
teorías se unía a las de las demás ciencias de las que el cuerpo científico se compone para 
formar el punto de partida de la investigación, siempre en curso, dedicada a explicar nuestra 
capacidad para obtener conocimiento auténtico acerca del mundo, “[...] cómo es que 
nosotros animales humanos hemos podido llegar a la ciencia” [Quine 1975, 72].
Además, las proposiciones afirmadas por la ciencia debían tener una adecuación con 
la realidad de la experiencia para poder ser consideradas como verdaderas explicaciones, 
pues las teorías, de acuerdo con Quine, funcionaban como aparatos de la red de creencias 
que servían para organizar y predecir hechos. Para asegurar aquellas descripciones y 
predicciones fueran acertadas y se lograra el objetivo de mejorar, clarificar y entender a la 
ciencia, la red debía ser continuamente revisada. Las revisiones habían de ser guiadas por la 
‘máxima de mínima mutilación’, es decir, por “nuestra tendencia natural de alterar lo 
menos posible el sistema total” [Maddy 2005, 441]. Resultaba mejor hacer cambios en las 
afirmaciones sobre hecho simples (como por ejemplo, acerca de objetos físicos 
observables), que sobre leyes generales que implicaran una mayor alteración en la red 
completa de creencias. Sin embargo, los cambios realizados en la teoría también debían ser 
28
LOS DESCENDIENTES
congruentes con la experiencia, la cual confirmaba o contradecía a la teoría. Así, las 
revisiones proporcionaban nuevas observaciones que producían cambios dentro de la red a 
través de los numerosos vínculos que había entre los nodos, hasta que se alcanzara algún 
equilibrio en la red. 
Quine había notado que dentro de la red también había teorías, como la teoría 
molecular, en donde la validación de la experiencia o de hechos observables resultaba poco 
evidente, pero que, aún así, eran aceptadas. La justificación de que teorías como la 
molecular ocuparan un lugar dentro de la red se centraba en los beneficios que la 
aceptación de tales teorías proporcionaba a la empresa del conocimiento. Por ejemplo, la 
adopción de una teoría podía apoyar al entendimiento global del mundo al suministrar 
simplicidad (capacidad para organizar y explicar diversos fenómenos con el menor número 
o la menor complejidad de supuestos), alcance (aplicaciones que abarca la teoría), 
generalidad (capacidad de incluir el mayor número de casos en las explicaciones de la 
teoría) y refutabilidad (la posibilidad de discutir sus limitaciones), así como una de las 
ventajas más importantes, a saber, adecuación empírica (concordancia entre las 
consecuencias de la teoría y los resultados obtenidos en la observación y la 
experimentación). Ésta última virtud permitiría mostrar cómo “las consecuenciascomprobables de la teoría que se han probado han salido bien, excluyendo excepciones 
escasas que con buena conciencia pueden atribuirse a interferencias inexplicables” [Maddy 
2005, 441]. 
Así, la dificultad que se encontraba en la validación de algunas teorías por medio de 
la experiencia quedaba compensada por las virtudes teóricas que éstas ofrecían. Además, la 
29
LOS DESCENDIENTES
negación de la existencia de objetos de los que no poseemos evidencias claras de verdad, 
podía implicar el riesgo de negar la existencia misma de las cosas más cotidianas. 
Nos volvimos dudosos de la realidad de las moléculas porque la declaración del físico de 
que hay moléculas tomó el aspecto de una mera conveniencia para suavizar las leyes de la 
física. Luego notamos que los cuerpos de sentido-común están epistémicamente muy a la 
par con las moléculas, e inferimos la irrealidad de los mismos objetos de sentido-común 
[Maddy 2005, 442].
De manera que la existencia de ciertos objetos ayuda a la organización de la experiencia a 
través de la cual se confirman las teorías y, para Quine, las virtudes teóricas eran la base 
del conocimiento del mundo y, en particular, del conocimiento matemático.
Las matemáticas formaban parte de la red de creencias y, como tal, resultaban ser 
partícipes del desarrollo de la mejor guía que poseemos para explicar lo que existe —la 
ciencia. Incluso, éstas se encuentran tan entretejidas en las teorías científicas, que es casi 
imposible dar sentido a sus resultados sin el uso de las matemáticas. Por esta razón, para 
Quine el cuerpo matemático tenía el mismo status que las partes más teóricas de la ciencia. 
Siguiendo su postura, se tenía que aunque las matemáticas se encontraran lejos de los 
bordes de la red, donde la observación desempeñaba un papel más directo, las teorías 
matemáticas quedaban confirmadas en la misma medida y por las mismas razones que 
hacían válidas a las teorías donde éstas participaban. Y de manera análoga que en el caso de 
teorías como la molecular, las virtudes teóricas que el uso de las matemáticas proporciona 
al cuerpo científico, eran razón para Quine para confirmar la existencia de las entidades con 
las que trabajan (como los números, conjuntos, funciones, etc.). Esta justificación, conocida 
como el ‘argumento de indispensabilidad’, implica que sólo hay un sentido de existencia: 
30
LOS DESCENDIENTES
tanto las mesas, como los planetas, los átomos y los números, existen de la misma manera 
en el sentido de que todos ellos tienen una utilidad para la empresa científica. 
La perspectiva quineana dio un giro a la concepción tradicional de las matemáticas, 
pues su naturalismo no coincidía con la visión de las verdades matemáticas como un 
conjunto de proposiciones necesarias cuyo conocimiento era a priori. Para Quine, la 
totalidad de la red de creencias, es decir, todo el conocimiento, se basaba únicamente en la 
experiencia sensible. Al no haber otra fuente de conocimiento fuera de la contingencia del 
mundo, no había tampoco verdades necesarias, ni absolutamente certeras. Todo 
conocimiento, incluyendo el matemático, podía ser revisado y corregido por las 
experiencias futuras. La errónea conclusión de que las verdades matemáticas son necesarias 
se obtenía, de acuerdo con Quine, por el hecho de que no podemos imaginar los resultados 
matemáticos (al menos a los más simples) siendo de otra manera. Más aún, la red de 
creencias —en particular las partes que involucran teorías científicas— está tan impregnada 
de matemáticas, en el sentido de que desempeñan un papel importante en cada recoveco de 
la red, que es menos probable que las tomemos como candidatas para las revisiones basadas 
en observaciones. La ‘máxima de mínima mutilación’ sugeriría entonces que si un 
científico se encontrara con datos que refuten alguna parte de una teoría, debe buscar la 
manera de modificar las partes más experimentales de la teoría y no las matemáticas, pues 
la modificación de éstas podría provocar serios daños en el resto de la red, con lo cual sería 
difícil alcanzar un equilibrio entre la totalidad de las creencias. Sin embargo, la razón 
pragmática por la que la revisión de las matemáticas no se haga, no significa que no sea 
posible hacerlo cuando sea requerido.
31
LOS DESCENDIENTES
Como consecuencia de su holismo y de su empirismo, Quine aceptaba como 
verdaderas únicamente a aquellas partes de las matemáticas que pudieran ser aplicadas en 
la ciencia. Es decir, la admisión de alguna rama de las matemáticas dentro de la red —
incluyendo las entidades utilizadas en sus proposiciones—, dependía sólo de la conexión 
que ésta tuviera con las teorías científicas que sí se relacionan con la experiencia. De no 
haber alguna conexión, resultaba innecesaria la inclusión de tal rama en la red de creencias. 
Aunque Quine aceptaba algunos resultados de las matemáticas puras por su función 
organizadora y simplificadora en las matemáticas que sí eran utilizadas en la ciencia, se 
oponía a la admisión de teorías matemáticas cuya aplicación en la ciencia era desconocida; 
por ejemplo, una teoría de conjuntos avanzada. La conclusión de esta perspectiva era que el 
trabajo de los matemáticos quedaba supeditado a la aplicación de sus teorías y los 
resultados no aplicados en la ciencia perdían cualquier interés y sentido. Este punto 
debilitaba la propuesta quineana en cierta medida, pues no tomaba en cuenta los casos de 
las matemáticas puras que no habían aparecido inicialmente como un intento por facilitar 
alguna teoría científica y cuyos beneficios o aplicaciones proporcionados a la ciencia sólo 
habían sido descubiertos posteriormente al desarrollo de la teoría matemática. De cualquier 
manera, la importancia que la filosofía de Quine alcanzó, llegó a colocarlo como uno de los 
filósofos más distinguidos e influyentes del siglo XX y su trabajo se tomaría como punto de 
partida para varias investigaciones posteriores de la filosofía de las matemáticas. 
Mientras Quine desarrollaba su trabajo en Estados Unidos, en Francia surgía otra 
muestra de la influencia que las investigaciones de las tres escuelas tuvieron en la filosofía 
de las matemáticas. Las obras de Nicolás Bourbaki son un ejemplo de la popularidad que 
32
LOS DESCENDIENTES
alcanzó el formalismo de Hilbert y sus seguidores. A mediados de la década de los años 
treinta, un grupo de matemáticos franceses (al cual más tarde se adhirió el matemático 
polaco Eilenberg, el único de distinta nacionalidad) encabezados por los matemáticos 
Dieudonné y Weil publicaron una serie de artículos bajo el pseudónimo de Bourbaki, e 
iniciaron un proyecto (similar al de las tres escuelas) cuyo objetivo era describir los 
principios más generales de los que partían las matemáticas.1 
Su enfoque quedó explícitamente establecido en un artículo publicado en 1950 con 
el nombre de The Architecture of Mathematics [La arquitectura de las matemáticas]. En el 
artículo, Bourbaki comenzaba explicando cómo desde la época de Pitágoras, la aparición de 
los irracionales había dado inicio a la separación de la ‘matemática’ en ‘matemáticas’. Es 
decir, en vez de considerar a las matemáticas como un cuerpo unificado, se había pasado a 
mirarlas como un grupo consistente de disciplinas opuestas: por un lado estaba la 
geometría, que se ocupaba de lo continuo; y, por otro lado, se encontraba la aritmética, que 
estudiaba las magnitudes discretas. Finalmente, después del fracaso en los intentos por 
encontrar un fundamento de las matemáticas ocurrido a finales del siglo XIX y principios 
del XX, parecía que los intentos de concebir a las matemáticas como una ciencia 
1 La historia de Nicolás Bourbaki está rodeada de anécdotas y leyendas. Los mismos integrantesdel grupo 
“encuentra su propia broma tan divertida que sus historias acerca de ellos mismos son apócrifas y 
mutuamente conflictivas” [Halmos 1957, 90]. Una de aquellas anécdotas se dio en la década de los años 
cuarenta, cuando el editor de la revista Mathematical Reviews, Ralph P. Boas, hizo una breve mención en 
el libro anual de la Enciclopedia Británica refiriéndose a Bourbaki como un grupo. Poco tiempo después, 
los editores de la Enciclopedia Británica recibieron una carta firmada por Bourbaki acusando a Boas por 
su declaración de la inexistencia de Bourbaki. Un miembro del Departamento de Matemáticas de la 
Universidad de Chicago (universidad en la que Weil trabajaba como docente) aumentaría la confusión al 
escribir una carta en la que de manera astuta implicaba (pero sin afirmar) la verdadera existencia de 
Bourbaki. Finalmente, el grupo de los Bourbaki hizo “circular el rumor de que Boas no existía. Boas, 
decía Bourbaki, es el pseudónimo colectivo de un grupo de jóvenes matemáticos norteamericanos que 
actúan en corporación como los editores de Mathematical Reviews” [Halmos 1957, 94].
33
LOS DESCENDIENTES
caracterizada por un propósito y un método específicos habían sido abandonados. Las 
matemáticas, en su lugar, fueron consideradas como una colección de disciplinas que se 
basaban en conceptos particulares y que se interrelacionaban a través de sus respectivos 
métodos para beneficiar a una o más de las otras disciplinas. Pero al contrario de lo que 
había parecido, desde la perspectiva del grupo Bourbaki los desarrollos matemáticos de las 
primeras décadas del siglo XX habían provocado la unificación de las diferentes partes de 
las matemáticas. La característica distintiva de aquel avance era el estudio sistemático de 
las relaciones existentes entre las distintas teorías, lo cual, además, había dado lugar al 
método axiomático [Bourbaki 1950, 222]. 
De acuerdo con el grupo francés, las matemáticas consistían en una concatenación 
de proposiciones que se encontraba en conformidad con las normas del sistema lógico 
formulado desde la época de Aristóteles, conocido como ‘lógica formal’. Su método de 
razonamiento a través de cadenas de silogismos —el método deductivo—, era para 
Bourbaki un “mecanismo de transformación” [Bourbaki 1950, 223] aplicable a cualquier 
conjunto de proposiciones. Sin embargo, sólo funcionaba como un vehículo por medio del 
cual los matemáticos expresan su pensamiento, es decir, como un lenguaje, mas no servía 
para caracterizar a las proposiciones. Por esta razón, este método no era un principio 
unificador para las matemáticas, y tampoco se le debía atribuir algún otro significado más 
que el de un simple vehículo. En donde sí podía encontrarse la caracterización de las 
matemáticas de acuerdo con los Bourbaki, y como anteriormente lo había propuesto 
Hilbert, era en el método axiomático. Según esta nueva versión formalista, la 
axiomatización permitía localizar las ideas comunes dentro de las distintas teorías 
34
LOS DESCENDIENTES
matemáticas. La base común resultaba ser una serie de estructuras subyacentes a las teorías 
que, una vez esclarecidas, facilitaban el desarrollo de la teoría en la que se quisiera trabajar. 
Para definir una estructura, “uno toma como dada una o varias relaciones en la que 
los elementos entran” [Bourbaki 1950, 225]. Es decir, las estructuras consistían en un 
conjunto de relaciones que cumplían condiciones (o axiomas) explícitamente establecidos; 
dichas relaciones se comportaban como lugares o posiciones que eran ocupadas por 
conjuntos de objetos y conjuntos de conjuntos cuya naturaleza no había sido especificada. 
Así, las consecuencias lógicas que se deducían a partir de los axiomas, las relaciones y los 
elementos relacionados no dependían de la naturaleza de los elementos. Las estructuras 
funcionaban como herramientas para los matemáticos, pues una vez que éstos habían 
reconocido entre los elementos con los que trabajaban a las relaciones que satisfacían 
ciertos axiomas, entonces podían disponer de todo el cuerpo de teoremas generales que 
pertenecían a las estructuras correspondientes a los respectivos axiomas. Por esta razón, una 
de las características más importantes del método axiomático era que podía proporcionar 
una “economía de pensamiento” [Bourbaki 1950, 227].
De acuerdo con los Bourbaki, había tres tipos de estructuras —las estructuras-madre
— a partir de las cuales se construían las matemáticas. En primer lugar estaban las 
estructuras algebraicas, en las que las relaciones eran ‘leyes de composición’; es decir, 
relaciones entre tres elementos en donde el tercer elemento se determinaba únicamente en 
términos de los otros dos (por ejemplo, la suma y la multiplicación). Otro tipo de 
estructuras eran las de orden, en las que las relaciones eran, como su nombre lo indica, de 
orden (por ejemplo, la relación ‘mayor que’ o ‘menor que’ de los números naturales). 
35
LOS DESCENDIENTES
Finalmente, estaban las estructuras topológicas las cuales presentaban “una 
formulación abstracta de los conceptos intuitivos de vecindad, límite y continuidad, a los 
que somos guiados por nuestra idea de espacio” [Bourbaki 1950, 227].
Cada estructura-madre consistía en una base para la formación de nuevos tipos de 
estructura que podían obtenerse al añadir axiomas complementarios. También podían 
obtenerse nuevas y distintas estructuras al combinar las estructuras-madre a través de uno o 
más axiomas que las conectaran. Por tanto, las estructuras se convertían en los únicos 
objetos o entidades de las matemáticas. Pero esta nueva base no era inamovible, las 
estructuras no representaban edificios acabados y, además, podían surgir nuevas estructuras. 
De acuerdo con los Bourbaki, los desarrollos matemáticos futuros podían incrementar el 
número de las estructuras básicas o, incluso, cambiar el contenido de éstas al incluir nuevos 
axiomas o nuevas combinaciones de axiomas. Con ello, sería posible conectar los 
resultados aislados a los que no había podido asignarse una estructura conocida. 
Retomando una observación hecha anteriormente por Hilbert, Weil incluso afirmó que 
“cada avance importante en las matemáticas está relacionado con la simplificación de 
métodos, con la desaparición de viejos procedimientos que han perdido su utilidad y con la 
unificación de ramas que han sido hasta entonces ajenas entre sí” [Hall 1960, 252].
Finalmente, había un último elemento que desempeñaba un papel importante en el 
trabajo de los matemáticos según Bourbaki, éste era una intuición especial. Tal intuición era 
para el matemático como una “especie de adivinación directa (antes de cualquier 
razonamiento) de la conducta normal que parece tener el derecho de esperar de los seres 
matemáticos, con los que una larga relación le ha hecho tan familiar como con los seres del 
36
LOS DESCENDIENTES
mundo real” [Bourbaki 1950, 227]. Esto significaba que, como resultado de sus 
investigaciones, los matemáticos tenían el privilegio de conocer y de esperar ciertos 
comportamientos de los objetos matemáticos, con los cuales se habían familiarizado tanto 
como lo habían hecho con los objetos no matemáticos. A su vez, era la intuición la que 
dominaba en la generación de descubrimientos, por lo que al utilizar la teoría de las 
estructuras (estructuralismo), el matemático podía adquirir las herramientas que ésta le 
proporcionara. La intuición podría abarcar ahora grandes dominios, los cuales quedaban 
unificados por el método axiomático.
Entonces, las matemáticas resultaban ser una colección de estructuras (entendidas 
como formas abstractas)construidas a partir de otras estructuras básicas. Además, 
determinados aspectos del mundo empírico encajaban en aquellas formas, aun cuando no 
supiéramos por qué. De acuerdo con los Bourbaki, aunque tales formas o estructuras 
tuvieran originalmente un contenido intuitivo definido, era precisamente la supresión de ese 
contenido lo que había hecho posible desarrollar el poder de las estructuras en toda su 
magnitud. 
El trabajo del grupo Bourbaki dejaba explícita la posición que tenían con respecto a 
la fundamentación de las matemáticas, Dieudonné explicaba,
Creemos en la realidad de las matemáticas, pero por supuesto cuando los filósofos nos 
atacan con sus paradojas corremos a escondernos detrás del formalismo y decimos, ‘las 
matemáticas son sólo una combinación de símbolos sin significado’, y luego traemos los 
capítulos 1 y 2 sobre la teoría de conjuntos. Finalmente nos quedamos en paz para regresar 
a nuestras matemáticas y hacer lo que siempre hemos hecho, con el sentimiento que cada 
matemático tiene de que está trabajando con algo real. Esta sensación es probablemente 
una ilusión, pero es muy conveniente. Esa es la actitud de Bourbaki hacia los fundamentos 
[Hersh 1997, 40].
37
LOS DESCENDIENTES
La perspectiva Bourbakista fue muy popular en las décadas de los años cincuenta y 
sesenta debido al impacto que sus publicaciones tuvieron en la educación de las 
matemáticas. Sin embargo, la falta de referencias a los resultados de Gödel en sus obras (lo 
cual impedía conocer todos los resultados que se derivaban de un sistema consistente) y la 
dificultad que implicaba para la enseñanza el alto grado de rigor que llevaban a cabo en su 
desarrollo de las teorías matemáticas, hizo que, con el tiempo, el trabajo de los Bourbaki 
perdiera seguidores.
38
Capítulo V
SEGUNDA MITAD DEL SIGLO XX: LOS ARTÍCULOS DE 
PAUL BENACERRAF
La línea de investigación seguida por la filosofía de las matemáticas de la segunda mitad 
del siglo XX, quedaría marcada por la publicación de dos artículos del filósofo de 
nacionalidad francesa Benacerraf. El primero de aquellos artículos, What Numbers Could 
Not Be [Qué no podrían ser los números] publicado en 1965, no sólo retomaba la cuestión 
considerada desde la época de Frege sobre la naturaleza de los números naturales sino que, 
además, contenía una fuerte influencia Bourbakista. 
Para desarrollar su postura, Benacerraf comenzaba explicando la situación de dos 
niños, Ernie y Johnny. En vez de aprender a contar a través de la aritmética como las demás 
personas, los niños habían iniciado su educación matemática con el estudio de la teoría de 
conjuntos (la cual además de ser identificada con la lógica en el tiempo de Frege, también 
era el punto de partida del que, de acuerdo con el logicismo, podían derivarse las demás 
ramas de las matemáticas). 
Una vez estudiado teoría de conjuntos, Ernie y de Johnny habían aprendido los 
números. Esta tarea había sido fácil para ellos, pues bastaba con que se les señalara “qué 
aspecto o parte de lo que los niños ya sabían, bajo otros nombres, era lo que la gente común 
llamaba “números”” [Benacerraf 1965, 48]. Es decir, aprender los números era aprender tan 
sólo los nombres por los que se conocían ciertos conjuntos que los niños ya habían 
estudiado. Finalmente, los niños habían aprendido las propiedades, las operaciones y las 
39
SEGUNDA MITAD DEL SIGLO XX
aplicaciones ‘extra-matemáticas’ (como contar canicas) que podían hacerse con los 
números naturales. Los niños ahora sabían qué conjuntos eran los números.
Debido al entusiasmo que los niños tenían con lo que habían aprendido, habían 
empezado a probar teoremas acerca de los números. Sin embargo, el problema llegaba 
cuando se daban cuenta que sus resultados eran diferentes. Mientras que para Ernie el 3 
pertenecía al 17, para Johnny tal cosa no ocurría. Para defender su punto, Ernie hacía 
referencia a su teorema de que para cualesquiera dos números x y y, x era menor que y si y 
sólo si x pertenecía a y y x era un subconjunto propio de y.1 De manera que como el 3 era 
menor que 17, el 3 pertenecía al 17. Pero para Johnny tal teorema era incorrecto, pues para 
él dados dos números x y y, x pertenecía a y si y sólo si y era el sucesor de x y como el 17 
no era el sucesor del 3, entonces el 3 no pertenecía al 17 [Benacerraf 1965, 54]. Después de 
observar la incompatibilidad de sus teoremas, los niños compararon sus respectivas 
definiciones de los números naturales y descubrían la razón de la diferencia de resultados. 
Para Ernie, el sucesor de un número natural x era el conjunto que consistía en la 
unión de x con todos los números anteriores a x. Es decir, la construcción que había 
aprendido era la de von Neumann, en la que:
0 = ∅
y Sx = x U {x}
Con S una función sucesor y x un número natural cualquiera. 
1 Un subconjunto x de un conjunto y es propio si cada elemento de x pertenece también a y, pero x es 
distinto de y. Es decir, y tiene al menos un elemento que no pertenece a x.
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SEGUNDA MITAD DEL SIGLO XX
A diferencia de Ernie, Johnny había aprendido la construcción de Zermelo, en 
donde:
0 = ∅
y Sx = {x}
Con S una función sucesor y x un número natural cualquiera.
Por lo que las sucesiones de los naturales eran:1
(i) , { }, { , { }}, { , { }, { , { }}}, … para Ernie, y∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅
(ii) , { }, {{ }}, {{{ }}}, … para Johnny.∅ ∅ ∅ ∅
Es decir que tanto Ernie como Johnny presentaban dos reducciones diferentes —con 
características diferentes— de los números naturales a la teoría de conjuntos. Y siendo que 
cada niño había aprendido desarrollos que daban cuenta de manera correcta de los números 
naturales, resultaba imposible determinar cuál de las dos opciones era mejor. 
Este hecho, era muestra para Benacerraf de que no había tal cosa como un 
argumento definitivo que mostrara lo que los números son. Desde su perspectiva, las 
definiciones utilizadas en las matemáticas eran de cierta manera, dependiendo de las 
necesidades que se tuvieran en la teoría en la que se estuviera interesado. Para Benacerraf, 
“quien identifica al 3 con un conjunto en particular, lo hace con el propósito de presentar 
alguna teoría y no pretende haber descubierto qué objeto es realmente el 3” [Benacerraf 
1965, 68]. 
1 Nótese que las sucesiones de los números naturales aprendidas por los niños, representan las 
construcciones de los naturales propuestas por Ernst Zermelo y John von Neumann (los nombres de los 
niños hacen referencia a los dos matemáticos, aún cuando la definición aprendida por cada uno de ellos no 
corresponde a la del matemático del mismo nombre).
41
SEGUNDA MITAD DEL SIGLO XX
La búsqueda por establecer una caracterización de la naturaleza de los números que 
excluyera a cualquier otra y que resolviera, al fin, la cuestión de cuáles conjuntos son 
realmente los números, resultaba inútil para Benacerraf. Pues si el número 3 era realmente 
un conjunto específico (y no alguno otro), debía ser posible dar una razón contundente para 
pensar así. Pero como el ejemplo de Ernie y Johnny lo mostraba, no era posible probar que 
un número particular era un determinado conjunto y no otro.
Bajo una clara influencia de la obra de los Bourbaki, Benacerraf señalaba que el 
punto importante de las dos construcciones de los naturales que los niños presentaban no 
era la individualidad de cada número, sino la estructura que ambas exhibían en la sucesión 
de los naturales. Para él, los números no sólo no eran clases de equivalencia de clases como 
lo habían apuntado tanto Frege como von Neumann y Zermelo, sino que tampoco había tal 
cosa como números. La pregunta sobre qué objetos eran los números, quedaba resuelta 
cuando Benacerraf afirmaba que, en realidad, los números