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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ciencias
Algunos aspectos del grupo clásico modular
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
MATEMÁTICO
PRESENTA:
RUBÉN ANTONIO MOLINA HERNÁNDEZ
DIRECTOR DE TESIS:
DR. ANTONIO LASCURAIN ORIVE
2009
 
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Tesis Digitales 
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Agradecimientos
Quiero agradecer a todos mis profesores, sin ellos no hubiera po-
dido llegar hasta aqúı, principalmente al profesor César Guevara
por su constante apoyo, y al Doctor Antonio Lascurain por todo
lo que hizo por mi.
También estoy muy agradecido con mis amigos Guillermo e Ilian,
por su tiempo y su paciencia, gracias por no dejarme rendir a
medio camino.
Principalmente doy gracias a mis padres, por darme más que su
vida y sus constantes sacrificios. Todo esto por ustedes, para ti
mami, el śımbolo de fuerza y dedicación que siempre me gúıa, y
para ti padre muestra de verdadera responsabilidad y compromiso
invaluables. Finalmente, a mi hermana y mis niños, saben que mi
esfuerzo es para ustedes.
iii
Contenido
1. Preliminares 1
2. Números algebraicos 7
2.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Los anillos Z(i) y Z(ρ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3. El grupo modular 31
4. Subgrupos principales de congruencias 39
5. Regiones fundamentales para subgrupos de ı́ndice finito 51
5.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
v
Introducción
En este trabajo se estudian algunas propiedades del grupo clásico modular
y de algunos de sus subgrupos. Este grupo denotado por SL2 (Z) ha sido
estudiado por legiones de matemáticos en los últimos cien años desde distin-
tos puntos de vista por sus diversas aplicaciones en distintas ramas de las
matemáticas como lo son la teoŕıa de números y la geometŕıa hiperbólica.
Este grupo es también un subgrupo del grupo de Picard, este grupo es muy
importante, en parte, por sus conexiones con las variedades hiperbólicas de
dimensión 3 (cf. [2] y [9] p. 58).
En el primer caṕıtulo se estudian los grupos de transformaciones lineales
homogéneas (Aut (C2)) y su relación con las transformaciones de Möbius (es
decir, las transformaciones no homogéneas) y se obtienen fórmulas para los
puntos fijos en términos de los valores propios (Teorema 1.0.4).
En el segundo caṕıtulo, primero se prueba que un número algebraico de
grado n es ráız de un único polinomio primitivo de grado n (Teorema 2.1.2).
Posteriormente se estudian de manera general los campos cuadráticos de
la forma Q (
√
m) = {a + b√m | a, b ∈ Q m ∈ Z}, donde m es libre de
cuadrados, y se identifica a estos campos como Q (α), donde α es un número
algebraico de grado 2. Se prueba además que los enteros algebraicos de un
campo cuadrático forman un anillo. Para esto se obtiene una descripción de
los enteros algebraicos de Q (
√
m) dependiendo de si m es o no congruente
con 1 módulo 4 (Teorema 2.1.5). Se estudian además las propiedades de las
unidades, la conjugación y las normas para campos cuadráticos (Teoremas
2.1.7 y 2.1.8), que son temas básicos en la teoŕıa algebraica de los números.
Después de exhibir otra caracterización de Q (
√
m) (Proposición 2.1.9) se
prueba que Z (i) y Z (ρ), ρ = e2π/3 i constituyen anillos euclidianos de fac-
torización única (Teoremas 2.2.6 y 2.2.11). El caṕıtulo termina mostrando la
equivalencia entre dos definiciones de discriminante de un número algebraico
de grado 2 (lo que se utilizará en el siguiente caṕıtulo).
vii
viii CONTENIDO
En el caṕıtulo 3 se describen que elementos de Q (i) y Q (ρ) son puntos
fijos eĺıpticos de orden 2 y 3 del grupo modular (Teorema 3.0.12). También
se hace una descripción en términos del discriminante (Teorema 3.0.14).
En el caṕıtulo 4 se estudian los subgrupos principales de congruencias.
Usando el grupo de matrices SL2 (Zn) se calcula el ı́ndice de estos subgrupos
respecto al grupo modular (Teorema 4.0.19). De hecho se exhiben dos pruebas
distintas.
El último caṕıtulo se enfoca a cuestiones geométricas referentes a regiones
fundamentales. Se muestra una prueba formal de un teorema general sobre
grupos fuchsianos que establece que dado un poĺıgono fundamental convexo
R para un grupo G se puede construir otra región fundamental para un
subgrupo K de ı́ndice finito n, tomando representantes adecuados de las
clases laterales (sistema Schreier). La región fundamental del subgrupo con-
siste entonces en n copias de R pegadas adecuadamente (Teorema 5.0.24).
Cabe mencionar que este teorema es mencionado en textos importantes de
geometŕıa hiperbólica y teoŕıa de números como lo son el de W. Magnus [10]
y el de B. Schoeneberg [12], sin embargo las pruebas que se exhiben no son
muy formales.
La tesis concluye mostrando regiones fundamentales de varios ejemplos
de subgrupos modulares (Γ 2, Γ0 (2), Γ0 (3) y Γ [2]) que se construyen bajo
este método, empezando con la famosa región de grupo clásico modular, véase
las Figuras 5.5, 5.8, 5.11 y 5.16.
Caṕıtulo 1
Preliminares
Al conjunto S2 = {x ∈ R3 | |x| = 1} se le llama la esfera de Riemann y el
plano extendido consiste en Ĉ = C ∪ {∞}. Mediante la proyección estere-
ográfica
ψ : S2\{e3} 7−→ C, (x1, x2, x3) 7−→
x1 + ix2
x3
,
π : C 7−→ S2\{e3}, z 7→
(
z + z̄
|z|2 + 1
,
z − z̄
i(|z|2 + 1)
,
|z|2 − 1
|z|2 + 1
)
se identifica a S2 con Ĉ asociando a e3 con ∞. (Cf. [6] pp. 1–4).
GL2 (C) es el grupo de matrices de 2 × 2 sobre C cuyo determinante es
distinto de cero. Al subgrupo de matrices de determinante 1 (unimodulares)
se le denota por SL2 (C).
Una transformación de Möbius compleja es una función T : Ĉ −→ Ĉ
de la forma
T (z) =
az + b
cz + d
, a, b, c, d ∈ C , ad− dc 6= 0,
donde además se define
T (∞) = a
c
, T
(
−d
c
)
= ∞ si c 6= 0,
y
T (∞) = ∞ si c = 0.
Denotamos (provisionalmente) por µC al conjunto de transformaciones
de Möbius complejas. A cada matriz en SL2 (C) se le puede asociar una
1
2 Preliminares
transformación de Möbius de la siguiente manera: dada T = ( a bc d ) ∈ SL2 (C)
se le asocia T (z) = az+b
cz+d
. Además es fácil mostrar que esta asociación es un
epimorfismo de SL2 (C) sobre µC cuyo núcleo es {±Id }. Como el centro de
SL2 (C) es {±Id } y por definición PSL2 (C) es el cociente SL2 (C) / {±Id }
se sigue que la sucesión
{±Id } � SL2 (C) � PSL2 (C).
�
µC '
es exacta, y por el primer teorema de isomorfismo podemos identificar a µC
con PSL2 (C). De ahora en adelante identificamos a las transformaciones de
Möbius con PSL2 (C) (cf. [6] pp. 11–12). A las transformaciones de Möbius
complejas se les llama también transformaciones lineales no homogéneas.
Definición 1 Dada T ∈ GL2 (C); z, w ∈ C2 a la transformación lineal
LT : C2 −→,C2, definida por LT (z) = T z = w, se le llama transformación
lineal homogénea.
Afirmación 1 El conjunto de las transformaciones homogéneas, que se de-
nota por Aut (C2), es un grupo.
Afirmación 2 Sean T ∈ GL2 (C), z = (z1, z2), w = (w1, w2) ∈ C2;
z = z1
z2
, w = z1
z2
∈ C, z2 6= 0, w2 6= 0, (si z2 = 0, se toma z = ∞, etcétera).
Entonces, si LT (z) = w, se tiene que T (z) = w, donde T es el elemento en
PSL2 (C) asociado a T .
Demostración. La Afirmación 1 es evidente, probamos la Afirmación 2.
Para el caso z2 6= 0, w2 6= 0, esto se sigue, ya que como(
a bc d
) (
z1
z2
)
=
(
w1
w2
)
,
se tiene
w =
w1
w2
=
az1 + bz2
cz1 + dz2
,
por lo que
w =
w1
w2
=
a z1
z2
+ b
c z1
z2
+ d
=
az + b
cz + d
.
Preliminares 3
Probamos ahora los casos especiales.
Caso 1: c 6= 0
Subcaso 1a: z2 = 0
Se tiene z = ∞ y como T (∞) = a
c
(según se definió), y
w =
w1
w2
=
az1
cz1
=
a
c
,
se sigue la afirmación.
Subcaso 1b: w2 = 0
En este caso z2 6= 0, ya que de otra manera T (∞) = ∞, y c 6= 0, por lo
que de la ecuación cz1 + dz2 = 0, se sigue que
z1
z2
= −d
c
y T (−d
c
) = ∞.
Caso 2: c = 0
Como (
a b
0 d
) (
z1
z2
)
=
(
az1 + bz2
dz2
)
=
(
w1
w2
)
entonces z2 = 0 śı y sólo si w2 = 0, lo que implica que ∞ es un punto fijo
para T .
�
Afirmación 3 Si T ∈ SL2 (C), y u = (u1, u2) es un vector propio para el
valor propio λ, entonces u = u1
u2
es un punto fijo de T .
Demostración. Esto es claro ya que T u = λu, y entonces:
u =
u1
u2
=
λu1
λu2
=
au1 + bu2
cu1 + du2
=
au1
u2
+ b
cu1
u2
+ d
=
au+ b
cu+ d
= T (u).
�
Nótese además que las igualdades se cumplen incluso si u2 = 0, es decir
u = ∞.
Proposición 1.0.1 Sea A ∈ GL2 (C), con dos valores propios distintos λ1,
λ2, y vectores propios u = (u1, u2), v = (v1, v2), respectivamente. Entonces
SAS−1 =
(
λ2 0
0 λ1
)
, donde S−1 es la matriz cuyas columnas son los vectores
propios de A.
4 Preliminares
Demostración. El resultado es claro al recordar que la primera columna
de una matriz (vista como transformación lineal) es la imagen del vector
canónico e1, etcétera.
�
Proposición 1.0.2 Sea T ∈ PSL2 (C) distinta de la identidad con exacta-
mente dos puntos fijos, entonces existe λ ∈ C − {0, 1}, y ϕ ∈ PSL2 (C) tal
que ϕT = Sϕ, donde S (z) = λz.
Demostración. Sean z1, z2 6= 0 y ϕ (z) = z−z1z−z2 , o bien ϕ (z) = z − z1,
si z2 = ∞. La función ϕT ϕ−1 , fija 0 e ∞ por lo que es de la forma
z 7−→ λz.
�
Definición 2 Sea T ∈ PSL2 (C), tal que fija exactamente un punto, en-
tonces a T se le llama parabólica.
Definición 3 Sea T ∈ PSL2 (C) conjugada a S (z) = λz, se dice que
1. T es eĺıptica si |λ| = 1
2. T es hiperbólica si λ ∈ R+
3. T es loxodrómica si |λ| 6= 1, y λ ∈ C− R+.
Si T es conjugada a S (z) = λz en PSL2 (C), se dice que λ es el mul-
tiplicador de T . Si A = ( a bc d ) ∈ SL2 (C), se define la traza de A como
tr (A) = a + d. Por otra parte si T ∈ PSL2 (C) existen dos matrices uni-
modulares que difieren sólo en signo y que la definen (cf. [6] pp. 10–11),
entonces se define la traza de T como χT = ± a+d√ad−bc .
Proposición 1.0.3 Sea T = ( a bc d ) ∈ SL2 (C),
1. T es eĺıptica si y sólo si χT es real y |χT | ≤ 2
2. T es hiperbólica si y sólo si χT es real y |χT | ≥ 2
3. T es loxodrómica si y sólo si χT no es real,
4. T es parabólica si y sólo si χT es real y |χT | = 2.
Preliminares 5
Una prueba de este resultado se puede consultar en [6] pp. 40–41.
El siguiente teorema relaciona el grupo de tranformaciones no homogéneas,
con el grupo de transformaciones homogéneas, determinando fórmulas de los
puntos fijos de una transformación T ∈ PSL2 (C) en base a los valores pro-
pios de una matriz asociada T ∈ SL2 (C).
Teorema 1.0.4 Sea T = ( a bc d ) ∈ SL2 (C) distinta de la identidad con dos
valores propios distintos λ1, λ2, entonces:
1. Si b, c 6= 0, los puntos fijos de T son b
λ1−a =
λ1−d
c
y b
λ2−a =
λ2−d
c
.
2. Si c = 0, los puntos fijos de T son ∞ y b
d−a .
3. Si b = 0 (y c 6= 0), los puntos fijos de T son 0 y a−d
c
.
Demostración.
1) Como c 6= 0, ∞ no es un punto fijo y por lo tanto, si u = (u1, u2),
v = (v1, v2) son los vectores propios de T , se tiene que u2, v2 6= 0.
Si escribimos LT (ū) = λ1ū y LT (v̄) = λ2v̄, la Afirmación 3 nos dice que
los puntos u = u1
u2
y v = v1
v2
son puntos fijos de T .
Como LT (ū) = λ1ū se tiene que
au1 + bu2 = λ1u1, (1.1)
cu1 + du2 = λ1u2, (1.2)
de la ecuación (1.1) se sigue que u1
u2
= b
λ1−a , y de la ecuación (1.2), que
u1
u2
= λ1−d
c
. Puesto que los valores propios de T se obtienen de su polinomio
caracteŕıstico
(a− λ)(d− λ)− bc = 0, (1.3)
y como bc 6= 0, se sigue que λ1, λ2 6= a, d, y se cumple
b
λ1 − a
=
λ1 − d
c
.
Análogamente, de la ecuación LT (v̄) = λ2v̄, se sigue que
b
λ2 − a
=
λ2 − d
c
6 Preliminares
es el otro punto fijo, y que son distintos.
2) Si c = 0, se sigue de (1.3) que los valores propios de T son a y d, y
son distintos por hipótesis.
Un punto fijo es ∞ (caso 2 de la Afirmación 2), y el otro se obtiene
despejando z en T (z) = z, obteniéndose:
z =
b
d− a
.
3) Si b = 0 y c 6= 0, entonces nuevamente los valores propios de T son
a, d y son distintos. Despejando como en 2), un punto fijo de T es
z =
a− d
c
,
y claramente 0 es un punto fijo.
�
Si T ∈ SL2 (C) tiene dos valores propios λ1, λ2, se sigue de la Proposición
1.0.2 que existe ϕ ∈ PSL2 (C) tal que ϕT ϕ−1 = λz, donde λ ∈ C−{0, 1},
y de la Proposición 1.0.1 tenemos que si S es la matriz es la matriz cuyas
columnas son los vectores propios de T , entonces STS−1 =
(
λ2 0
0 λ1
)
, y por lo
tanto el multiplicador de T es λ = λ2
λ1
.
Además si z1, z2 ∈ C distintos y definimos
Gz1,z2 = {T ∈ PSL2 (C) | T (z1) = z1; T (z2) = z2},
entonces es claro que Gz1,z2 es un grupo con la composición y que Gz1,z2 es
isomorfo como grupo a G0,∞ (por conjugación). También es claro que G0,∞
es isomorfo al grupo multiplicativo C∗ = C\{0}.
Caṕıtulo 2
Números algebraicos
2.1. Generalidades
Recordemos que α ∈ C es un número algebraico si existe un polinomio
f(x) ∈ Z[x] distinto de cero, tal que f(α) = 0. Si el grado del polinomio
f(x), denotado por Gr(f(x)), es n y ningún polinomio de grado menor
tiene a α como ráız, (es decir, si g(x) es otro polinomio tal que g(α) = 0
entonces Gr(f(x)) ≤ Gr(g(x))) se dice que el grado de α es n.
Definición 4 Sea f(x) = anx
n + ...+ a1x+ a0 un polinomio, donde ai ∈ Z,
(a 6= 0). Se dice que f(x) es primitivo si an > 0 y (an, ..., a1, a0) = 1. Si f(x)
es un polinomio primitivo, entonces la ecuación f(x) = 0 se llama ecuación
primitiva.
Obsérvese que el polinomio f(x) = anx
n, an > 1 no es primitivo ya
que (an, 0) = an > 1. Nótese también que cualquier polinomio mónico es
primitivo.
Los siguientes resultados nos dicen que si α es un número algebraico,
entonces existe un único polinomio primitivo que es satisfecho por α. Para
este propósito necesitamos la siguiente definición.
Definición 5 Sean f(x), g(x) dos polinomios cuyos coeficientes son en-
teros f(x) = anx
n + ...+a1x+a0; g(x) = bmx
m + ...+b1x+b0, decimos que
f(x) es congruente con g(x) módulo p, p ∈ N, denotado por f(x) ≡p g(x),
si ai ≡ bi mod p para toda i.
Lema 2.1.1 Sean f(x), g(x) ∈ Z[x] y f(x)g(x) ≡p 0, p un número primo,
entonces f(x) ≡p 0, o, g(x) ≡p 0.
7
8 Números algebraicos
Demostración. Supongamos que no es cierto, es decir, f(x)g(x) ≡p 0 y
que f(x) 6≡p 0 y g(x) 6≡p 0.
Como f(x) 6≡p 0 existe un coeficiente de f(x) que no es congruente con
cero módulo p, consideremos el polinomio f1(x) definido por los coeficientes
de f(x) que no son divisibles por p. Análogamente se define g1(x).
Como f(x) − f1(x) es la parte de f(x) divisible por p se sigue que
f(x) ≡p f1(x), también g(x) ≡p g1(x). Entonces
f(x)g(x) ≡p f1(x)g1(x), (2.1)
ya que claramente f(x)g(x) ≡p f(x)g1(x) y f(x)g1(x) ≡p f1(x)g1(x).
Como ningún coeficiente de f1(x), ni de g1(x), es divisible por p, se
tiene que f1(x)g1(x) 6≡p 0, pues al menos el coeficiente principal (el de grado
máximo) de f1(x)g1(x) no es divisible por p. Sin embargo, por hipótesis
f(x)g(x) ≡p 0, lo que contradice (2.1), en consecuencia f(x) ≡p 0, o,
g(x) ≡p 0.
�
Teorema 2.1.2 Sean α un número algebraico de grado n, f(x) una
ecuación primitiva de grado n tal que f(α) = 0, y g(x) cualquier
ecuación primitiva tal que g(α) = 0. Entonces g(x) = f(x)h(x) para
algún polinomio primitivo h(x). Además α satisface un único polinomio
primitivo de grado n.
Demostración. Sea g(x) un polinomio primitivo tal que g(α) = 0, como
α es de grado n, Gr(g(x)) ≥ Gr(f(x)). Por el algoritmo de la división
existen polinomios p(x), r(x)∈ Q[x] tales que
g(x) = f(x)p(x) + r(x),
donde r(x) ≡ 0 o Gr(r(x)) < Gr(p(x)). Evaluando en α, tenemos
0 = g(α) = f(α)p(α) + r(α),
como f(α) = 0, se tiene que r(x) ≡ 0 (ya que α es de grado n), por
lo tanto g(x) = f(x)p(x).
Sea c el mı́nimo común múltiplo de los denominadores de los coeficientes
de p(x), entonces cg(x) = f(x)H(x), y H(x) ∈ Z[x]. Ahora sea d el
máximo común divisor de los coeficientes de H(x). Como d divide a todos
Generalidades 9
los coeficientes de H(x), entonces h(x) = H(x)
d
es un polinomio primitivo,
y se tiene c
d
g(x) = f(x)h(x). En consecuencia, como g(x) es primitivo, se
sigue que d|c.
Falta probar que c = d, en caso contrario existe p primo tal que p| c
d
.
Entonces c
d
g(x) ≡p 0, por lo que f(x)h(x) ≡p 0. Usando el Lema 2.1.1 se
sigue que f(x) ≡p 0, o, h(x) ≡p 0, lo cual contradice que estos polinomios
son primitivos. Por lo tanto c = d, y g(x) = f(x)h(x), donde f(x) y
h(x) son primitivos.
Por otra parte si α es un número algebraico de grado n, y f(x), g(x),
son dos polinomios primitivos de grado n, para los cuales α es ráız entonces,
g(x) = f(x)h(x), pero como Gr(g(x)) = Gr(f(x)) = n, se tiene que
Gr(h(x)) = 0, por lo que h(x) = c ∈ Z. Como g(x) es primitivo se sigue
que c = 1, y f(x) = g(x), es decir, f(x) es único.
�
Ahora definimos y estudiamos lo que es un campo cuadrático, aśı como
su anillo de enteros algebraicos. Sea α ∈ C, definimos Q(α), como la
mı́nima extensión de Q que contiene a α y a Q es decir, es el mı́nimo
subcampo de C que contiene a Q y a α.
Sea m ∈ Z, libre de cuadrados, definimos
Q(
√
m) = {a+ b
√
m | a, b ∈ Q}. (2.2)
En Q(
√
m) podemos definir una suma y un producto como sigue:
(a+ b
√
m) + (c+ d
√
m) = (a+ c) + (b+ d)
√
m
(a+ b
√
m)(c+ d
√
m) = (ac+ bdm) + (ad+ bc)
√
m.
Además es claro que el cero y el uno de Q son el cero y uno respectivos de
Q(
√
m)
0 = 0 + 0
√
m
1 = 1 + 0
√
m
Con las operaciones aśı definidas tenemos la siguiente proposición.
Proposición 2.1.3 Q(
√
m) es campo.
10 Números algebraicos
Demostración. Es claro que Q(
√
m) es un grupo abeliano con la suma
definida. También la asociatividad, conmutatividad y existencia del neutro
respecto al producto se heredan de R ó C, además vale la ley distributiva.
Basta comprobar la existencia de inversos multiplicativos.
Para encontrar el inverso de a+ b
√
m 6= 0 se escribe
(a+ b
√
m)(x+ y
√
m) = 1,
y entonces
(ax+ bym) + (ay + bx)
√
m = 1,
⇐⇒
ax + bmy = 1
bx + ay = 0.
Usando la regla de Cramer, este sistema tiene como soluciones
x =
a
a2 − b2m
y = − b
a2 − b2m
.
Nótese que si a+ b
√
m 6= 0, entonces a2 − b2m 6= 0, ya que de otra
manera b2 = a
2
m
y b /∈ Q.
�
Ahora supongamos que α es solución de la ecuación ax2 + bx+ c = 0
a, b, c números enteros (es decir, α es un número algebraico de grado 2),
se sigue que α = −b+
√
b2−4ac
2a
. Por el Teorema fundamental de la aritmética
b2 − 4ac = d2m donde m es libre de cuadrados, por lo que
α =
−b+ d
√
m
2a
y por lo tanto
√
m =
2aα+ b
d
de modo que cualquier campo que contenga a α y a Q debe contener
a
√
m, y rećıprocamente cualquier campo que contiene a
√
m y a Q
Generalidades 11
debe contener a α. Se sigue que Q(α) y Q(
√
m) son el mismo campo.
Bajo estás condiciones se dice que Q(α), (o bien Q(
√
m) ) es un campo
cuadrático.
Definición 6 Sea β ∈ C se dice que β es un entero algebraico si existe
un polinomio p (x) ∈ Z[x], distinto de cero y mónico tal que p (β) = 0.
Denotaremos por A(
√
m), al conjunto de enteros algebraicos de Q(
√
m).
El Teorema 2.1.2 tiene una consecuencia importante.
Corolario 2.1.4 Sea β un entero algebraico, supóngase también que el gra-
do de β como número algebraico es n. Entonces existe un único polinomio
primitivo de grado n mónico, para el cual β es ráız.
Demostración. Por definición, si β es un entero algebraico de grado
n, existe un polinomio mónico F (x) ∈ Z[x], de grado m ≥ n tal que
F (β) = 0. Por el Teorema 2.1.2, existe un único polinomio primitivo de grado
n, f(x) ∈ Z[x], tal que f(β) = 0. Como F (x) es primitivo se tiene que
F (x) = f(x)h(x), donde h(x) es un polinomio primitivo en Z[x] de grado
Gr(h(x)) = m− n.
Escribamos
f(x) = anx
n +
n−1∑
i=0
bix
i; h(x) = bm−nx
m−n +
m−(n+1)∑
j=0
bjx
j,
entonces
F (x) = f(x)h(x) = anbm−nx
n + ...
y como F (x) es mónico se sigue que anbm−n = 1, por lo que an = 1.
�
Un resultado importante acerca de los enteros algebraicos de un campo
cuadrático, es que estos forman un anillo. Mostraremos que este hecho es una
consecuencia del siguiente teorema.
Nótese que cualquier entero algebraico de grado 1 es un entero. Por otra
parte los números racionales son precisamente los números algebraicos de
grado 1. En particular, los racionales que son enteros algebraicos son enteros.
Teorema 2.1.5 Sea β un entero algebraico en Q(
√
m) como en (2.2),
entonces:
1) β = A+B
√
m, donde A,B ∈ Z, si m 6≡ 1 (mod 4),
2) β = A+Bτ , donde τ =
√
m−1
2
y A,B ∈ Z, si m ≡ 1 (mod 4).
12 Números algebraicos
Demostración. Sea
β =
a+ b
√
m
c
(2.3)
un entero algebraico. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que c > 0
y (a, b, c) = 1, a, b, c ∈ Z.
Si b es cero, entonces β = a
c
, y como (a, c) = 1, se sigue de la
observación previa al teorema que c = 1 y β ∈ Z.
Sin perder generalidad podemos suponer que b 6= 0. Como β = a+b
√
m
c
se sigue que cβ = a + b
√
m y por lo tanto (cβ − a)2 = b2m. De esta
manera tenemos que c2β2 − 2acβ + a2 −mb2 = 0, por lo que β es solución
de la ecuación
c2x2 − 2acx+ a2 −mb2 = 0. (2.4)
Sabemos que si β es un entero algebraico de grado 2, entonces es ráız
de un único polinomio primitivo mónico de grado 2, x2 + rx+ s. Se sigue
que cualquier otro polinomio de grado 2 que tiene por ráız a β es un
múltiplo (por una constante) de dicho polinomio primitivo, en consecuencia
c2x2 − 2acx+ a2 −mb2 = n(x2 + rx+ s)
por lo que n = c2, nr = −2ac, ns = a2 −mb2, de donde obtenemos que
c | 2a, c2 | a2 −mb2. (2.5)
Sea d = (a, c), entonces
d2 | a2 y d2 | c2. (2.6)
Ahora usando las ecuaciones (2.5) y (2.6), se tiene que d2 | a2 −mb2 y
d2 | mb2. Nótese que si d > 1, d no es un factor de b, ya que (a, b, c) = 1.
Por lo que (d2, b2) = 1 y se tendŕıa d2 | m, lo cual es una contradicción.
Por consiguiente d = 1, y (a, c) = 1. Como c | 2a, se tiene que c = 1, 2.
Si c = 2, entonces como c2 | a2 −mb2, se tiene que 4 | a2 −mb2 y por
lo tanto a2 ≡ mb2 (mod 4).
Como (a, c) = 1 se sigue que a es impar, y a2 ≡ 1 (mod 4). De esta
manera
mb2 ≡ 1 (mod 4). (2.7)
Ahora, ya que 4|mb2 − 1 se tiene que
Generalidades 13
mb2 = 4r + 1 (2.8)
y entonces m y b2 son impares, por lo cual b es impar. Escribiendo
b = 2t + 1, de nuevo b2 ≡ 1 (mod 4). Además m ≡ 1 (mod 4): si
m ≡ 3 (mod 4), se tendŕıa mb2 ≡ 3 (mod 4) lo cual contradice (2.7).
Para concluir la prueba se toman dos casos.
CASO I: m ≡ 1 (mod 4)
Primero notemos que τ =
√
m−1
2
es un entero algebraico de A(
√
m), ya
que es ráız del polinomio primitivo mónico x2 + x+ 1−m
4
= 0.
Subcaso Ia: c = 2.
Como se mostró a y b son impares y
β =
a+ b
√
m
2
=
(a+ b) + b
√
m− b
2
=
a+ b
2
+ b
(√
m− 1
2
)
=
a+ b
2
+ bτ,
y como a+ b = 2k (a, b son impares), se tiene
β = A+Bτ A,B ∈ Z.
Subcaso Ib: c = 1.
Tenemos
β = a+ b
√
m
= (a+ b) + b
√
m− b
= (a+ b) + 2b
(√
m− 1
2
)
= A+Bτ,
donde A,B ∈ Z.
CASO II: m 6≡ 1 (mod 4).
Como ya se mostró antes, si c = 2, entonces m ≡ 1 (mod 4), por lo
que se tiene c = 1. Por lo cual β = a+ b
√
m, a, b ∈ Z.
�
14 Números algebraicos
Corolario 2.1.6 A(
√
m) es un anillo.
Demostración. Como todos los elementos de A(
√
m), son de la forma
a + bτ , o bien de la forma a + b
√
m, según m sea o no congruente con
uno módulo cuatro, es claro que A(
√
m) es un grupo abeliano con la suma.
Por lo cual basta mostrar que el producto es una operación cerrada en este
conjunto.
Para el caso m 6≡ 1 (mod 4) la afirmación es evidente, ya que
(a+ b
√
m)(c+ d
√
m) = (ac+ bdm) + (ad+ bc)
√
m.
Para el caso m ≡ 1 (mod 4), sólo debemos mencionar queτ 2 =
(√
m− 1
2
)2
=
m+ 1− 2
√
m
4
=
(m− 1) + 2− 2
√
m
4
=
m− 1
4
+
2− 2
√
m
4
=
m− 1
4
− τ
= h− τ,
para algún h ∈ Z. De esta manera, si a + bτ y c + dτ son dos enteros
algebraicos en A(
√
m), entonces
(a+ bτ)(c+ dτ) = (ac+ bdτ 2) + (ad+ bc)τ
= (ac+ bd(h− τ)) + (ad+ bc)τ
= A+Bτ, donde A,B ∈ Z.
�
En lo que sigue, cuando hablemos de números y enteros algebraicos nos
referimos siempre a un campo cuadrático.
Definición 7 Sea ε ∈ Q(
√
m) se dice que ε es una unidad si existe
ε′ ∈ A(
√
m ), tal que εε′ = 1.
Generalidades 15
Definición 8 Sea β ∈ Q(
√
m), el conjugado de β = p + q
√
m, es
β = p− q
√
m.
Definición 9 Sea β ∈ Q(
√
m) se define la norma de β como ‖β‖ = ββ.
El siguiente teorema muestra que la norma y conjugados en campos
cuadráticos se comportan de manera semejante a la norma y conjugados
complejos
Teorema 2.1.7 Sean β, γ ∈ Q(
√
m) entonces:
1) β γ = β γ
2) ‖β γ‖ = ‖β‖‖γ‖
Demostración.
1) Si β, γ ∈ Q(
√
m) entonces β = a+ b
√
m, γ = c+ d
√
m, por lo
que:
β γ = (a+ b
√
m)(c+ d
√
m)
= (ac+ bdm) + (ad+ bc)
√
m
= (ac+ bdm)− (ad+ bc)
√
m
También
β γ = (a+ b
√
m) (c+ d
√
m)
= (a− b
√
m)(c− d
√
m)
= (ac+ bdm)− (ad+ bc)
√
m
es decir, β γ = β γ.
2)
‖β γ‖ = (βγ)(β γ)
= (β γ)(β γ)
= (β β)(γ γ)
= ‖β‖‖γ‖.
�
16 Números algebraicos
Obsérvese que en la demostración del Teorema 2.1.5 obtuvimos que todo
número algebraico β = a+b
√
m
c
en Q(
√
m) es ráız del polinomio cuadrático
p (x) = x2 − 2a
c
x + a
2−b2m
c2
= 0. Como p (x) tiene las ráıces β = a+b
√
m
c
y
β = a−b
√
m
c
, se sigue que si β es un entero algebraico, entonces su conjugado
también lo es.
Nótese también que la norma de un entero algebraico, β es un número
entero. Esto nuevamente es un corolario de la demostración del Teorema
2.1.5, ya que
‖β‖ =
(
a+ b
√
m
c
) (
a− b
√
m
c
)
=
a2 − b2m
c2
∈ Z.
Lema 2.1.8 Sea ε ∈ A(
√
m), entonces ε es unidad si y solamente si
‖ε‖ = ±1.
Demostración. Si ‖ε‖ = ±1, entonces εε = ±1, como ε ∈ A(
√
m), se
sigue que ε es unidad.
Supongamos que ε es unidad, entonces existe ε′ ∈ A(
√
m), tal que
εε′ = 1. Como
‖εε′‖ = ‖ε‖‖ε′‖ = 1
y, ya que tanto ε, como ε′ son enteros algebraicos, sus normas son enteros
racionales, se sigue que ‖ε‖ = ±1.
�
Una forma alterna para describir al campo Q(
√
m) es la siguiente. De-
notemos por R(
√
m) al conjunto de las funciones racionales con coeficientes
enteros evaluadas en
√
m, es decir
R(
√
m) =
{
f(
√
m)
g(
√
m)
∣∣ f(x), g(x) ∈ Z[x], g(√m) 6= 0} .
Es fácil ver que R(
√
m) es un campo definiendo las operaciones suma y
producto de la siguiente manera:
f1(
√
m)
g1(
√
m)
+
f2(
√
m)
g2(
√
m)
=
f1(
√
m)g2(
√
m) + f2(
√
m)g1(
√
m)
g1(
√
m)g2(
√
m)
,(
f1(
√
m)
g1(
√
m)
) (
f1(
√
m)
g1(
√
m)
)
=
f1(
√
m)f2(
√
m)
g1(
√
m)g2(
√
m)
De hecho tenemos la siguiente proposición.
Generalidades 17
Proposición 2.1.9 Q(
√
m) = R(
√
m).
Demostración. Primero mostremos que Q(
√
m) ⊆ R(
√
m). Por defini-
ción Q(
√
m) es el mı́nimo campo que contiene a Q y a
√
m, además
R(
√
m) es un campo que contiene a Q (ya que contiene a los cocientes
de polinomios constantes), y a
√
m (f(x) = x, g(x) = 1 ∈ Z[x]), en conse-
cuencia Q(
√
m) ⊆ R(
√
m).
Para mostrar la otra contención basta observar que
√
m es de grado
2, ya que es ráız del polinomio mónico p (x) = x2 −m.
Sea f(x) ∈ Z[x], por el algoritmo de la división, existen dos polinomios
q(x), r(x) ∈ Q[x] tales que f(x) = q(x)p(x) + r(x), donde además se
cumple r(x) = tx + s, t, s ∈ Q o bien r(x) = 0. Como consecuencia
tenemos que f(
√
m) = t
√
m+ s o f(
√
m) = 0.
Consideremos f(
√
m)
g(
√
m)
∈ R(
√
m), se sigue de las observaciones anteriores
que
f(
√
m)
g(
√
m)
=
t1
√
m+ s1
t2
√
m+ s2
t1, t2, s1, s2 ∈ Q. (2.9)
Por lo tanto
f(
√
m)
g(
√
m)
=
t1
√
m+ s1
t2
√
m+ s2
t2
√
m− s2
t2
√
m− s2
=
(t1s2 − s1t2)
√
m+ (s1s2 − t1t2m)
s22 − t22m
= u
√
m+ v u, v ∈ Q.
es decir f(
√
m)
g(
√
m)
∈ Q(
√
m).
�
Sabemos que todo campo cuadrático Q(
√
m) tiene un anillo de en-
teros algebraicos A(
√
m), la proposición anterior nos sugiere que el campo
Q(
√
m) no es otro más que el campo de cocientes de A(
√
m), para mostrar
esto último lo único que falta es ver que todo elemento de Q(
√
m) puede es-
cribirse como el cociente de dos elementos de A(
√
m). Primero necesitamos
las dos siguientes afirmaciones que son el rećıproco del Teorema 2.1.5.
Afirmación 4 Sea m ≡ 1 (mod 4), τ =
√
m−1
2
y a + bτ ∈ Q(
√
m), donde
a, b ∈ Z, entonces a+ bτ es un entero algebraico.
18 Números algebraicos
Demostración. Basta hallar un polinomio primitivo y mónico de grado 2,
p(x) tal que p(a+ bτ) = 0.
Escribiendo α = a + bτ , se tiene α = a − b
2
+ b
2
√
m, por lo que(
α−
(
a− b
2
))2
= b
2
4
m, y se sigue que el número algebraico a + bτ es
ráız del polinomio p(x) = x2 + (b − 2a)x + (a2 − ab) − b2(m−1
4
). Como
m ≡ 1 (mod 4), m−1
4
∈ Z y el polinomio tiene coeficientes enteros.
�
Afirmación 5 Sea m 6≡ 1 (mod 4), a+ b
√
m ∈ Q(
√
m), donde a, b ∈ Z,
entonces a+ b
√
m es un entero algebraico.
Demostración. Nuevamente hallaremos un polinomio primitivo y mónico,
para el cual a+ b
√
m es ráız.
Escribiendo α = a + b
√
m se tiene (α − a)2 = b2m, por lo cual
a+ b
√
m es ráız del polinomio p(x) = x2− 2ax+ a2− b2m que es mónico
y tiene coeficientes enteros.
�
En virtud de las dos afirmaciones anteriores resulta muy sencillo mostrar
que todo elemento de Q(
√
m) es el cociente de dos enteros algebraicos.
Primero obsérvese que si tenemos un cociente de la forma a
′+b′
√
m
c′+d′
√
m
, donde
a′, b′, c′, d′ son enteros, entonces podemos obtener una expresión de la forma
a+bτ
c+dτ
, donde a, b, c, d ∈ Z, ya que
a′ + b′
√
m
c′ + d′
√
m
=
2a′ + 2b′
√
m
2c′ + 2d′
√
m
=
2a+ b(
√
m− 1)
2c+ d(
√
m− 1)
=
a+ bτ
c+ dτ
,
donde a = a′ + b′, c = c′ + d′, b = 2b′ y d = 2d′.
Proposición 2.1.10 Sea β ∈ Q(
√
m), entonces
a) Si m ≡ 1 (mod 4), β = a+ bτ
c+ dτ
, a, b, c, d ∈ Z, c + dτ 6= 0,
donde τ =
√
m−1
2
,
b) Si m 6≡ 1 (mod 4), β = a+ b
√
m
c+ d
√
m
, a, b, c, d ∈ Z, c+d
√
m 6= 0.
Demostración. Por la observación precedente basta demostrar b). Si
β ∈ Q(
√
m), en virtud de (2.9) se sigue que β se puede expresar como
Los anillos Z(i) y Z(ρ) 19
(
v1v2
v1v2
) (
t1
√
m+ s1
t2
√
m+ s2
)
=
a+ b
√
m
c+ d
√
m
, a, b, c, d ∈ Z,
donde vi es el mı́nimo común múltiplo de los denominadores de ti y si,
i = 1, 2.
�
2.2. Los anillos Z(i) y Z(ρ)
En esta sección estudiaremos detalladamente a los anillos Z (i) y Z (ρ),
donde ρ = e2π/3 i. El resultado principal es que en estos dos anillos de
enteros algebraicos se cumple el teorema fundamental de la aritmética.
Definición 10 Sean R un anillo, y, a, b, p, u ∈ R
a) decimos que a divide a b, denotado por a|b, si existe c ∈ R
tal que ac = b,
b) diremos que p es un elemento primo o irreducible, si cada vez que
se tiene p = ab, a, b ∈ R entonces a es unidad o b es unidad
c) si u es unidad de R, entonces decimos que au es un asociado
de a.
Definición 11 Sea D un dominio entero. Decimos que D es euclidiano
si existe una función d : D −→ N , tal que para todo a, b ∈ D − {0},
existen p, r ∈ D tales que a = pb + r, donde además r = 0 o
d(r) < d(b).
El ejemplo t́ıpico de dominio euclidiano es Z, ahora demostraremos que
Z(i) y Z(ρ) lo son.
Definimos Z(i) = {a+ bi | a, b ∈ Z}. El Teorema 2.1.5 nos dice que el
anillo de enteros algebraicos de Q(i) es A(
√
−1) = {a+ b
√
−1 | a, b ∈ Z}
ya que −1 6≡ 1 (mod 4), es decir Z(i) es el anillo de enteros algebraicos
de Q(i). La primera observación importante es que la conjugación en Z(i)
como números algebraicos coincide con la conjugación compleja.
Afirmación 6 La norma en Z(i) es positiva.
Demostración. Sea a+ bi ∈ Z(i), entonces
20 Números algebraicos
‖a+ bi‖ = (a+ bi)(a− bi)
= (a+ b
√
−1)(a− b
√
−1)
= a2 + b2 ≥ 0.
�
Afirmación 7 Las unidades de Z(i) son ±1,±i.
Demostración. Sea a + bi ∈ Z(i), entonces por el Lema 2.1.8 z es
unidad si y sólo si ‖z‖ = 1, es decir, si ysólo si a2 + b2 = 1.
Como a, b ∈ Z, a2, b2 ≥ 0, por lo que a2 + b2 = 1 si y sólo si a2 = 0
o b2 = 0, es decir z = ±1,±i.
�
Teorema 2.2.1 Sea z ∈ Z(i), y ‖z‖ = p, p un primo en Z, entonces
z es un primo en Z(i).
Demostración. Supongamos que z = uv, entonces
‖z‖ = ‖uv‖ = ‖u‖‖v‖ = p.
Como ‖u‖, ‖v‖ ∈ Z, entonces ‖u‖ = 1 o ‖v‖ = 1, por lo tanto, en
virtud del Lema 2.1.8, z es primo en Z(i).
�
Debemos tener cuidado con algunas consideraciones respecto al Teorema
2.2.1. Por ejemplo no es cierto que todo primo en Z(i) tenga por norma
un número primo en Z. En Z(i), 3 es primo, sin embargo ‖3‖ = 9.
Para verificar que efectivamente 3 es primo en Z(i) escribamos
3 = (a+ bi)(c+ di). Por el Teorema 2.1.7 se tiene que
‖3‖ = ‖a+ bi‖‖c+ di‖ = 9,
esto es 9 = (a2 + b2)(c2 + d2). Si tanto a + bi, como c + di no son
unidades, entonces se tendŕıa
a2 + b2 = c2 + d2 = 3,
lo cual es una contradicción ya que x2 + y2 = 3 no tiene solución en Z.
Nótese también que no es cierto que todo primo en Z es primo en Z(i),
por ejemplo 17 es primo en Z, sin embargo 17 = (4 + i)(4− i).
Los anillos Z(i) y Z(ρ) 21
Teorema 2.2.2 Sea z ∈ Z(i) − {0} tal que z no es unidad. Entonces
existe p ∈ Z(i), primo tal que p|z.
Demostración. Sea z como en las hipótesis, si z es primo en Z(i)
no hay nada que probar. Supongamos que z = x1y1, donde x1, y1 no
son unidades, entonces ‖z‖ = ‖x1‖‖y1‖, y ‖x1‖ < ‖z‖. Si x1 es primo
en Z(i) habremos terminado la prueba, si no, podemos iterar el proceso,
obteniendo aśı una cadena
‖z‖ > ‖x1‖ > ‖x2‖ > . . . > 0.
Como {‖z‖, ‖x1‖, . . . , ‖xn‖, . . .} es un conjunto de enteros positivos no
vaćıo, tiene un elemento menor, digamos ‖p‖. Se afirma que p es primo
en Z(i). Si no lo fuera, existiŕıa u, v no unidades tales que p = uv y
‖p‖ = ‖u‖‖v‖, donde ‖u‖ < ‖p‖, lo cual contradice la minimalidad de
‖p‖.
�
Corolario 2.2.3 Sea z ∈ Z(i)− {0} tal que z no es unidad, entonces
z puede escribirse como un producto finito de primos en Z(i).
Demostración. La demostración es una sencilla aplicación de la inducción
matemática sobre la norma de z.
Podemos suponer que ‖z‖ = n > 2, ya que, si ‖z‖ = 1, entonces el
Lema 2.1.8 nos dice que z es unidad, y si ‖z‖ = 2, entonces por el
Teorema 2.2.1 z es primo.
Supongamos que la afirmación es cierta para todo elemento w ∈ Z(i),
tal que ‖w‖ ≤ ‖z‖. Sea z como en la hipótesis, por el teorema anterior
existe p ∈ Z(i) primo tal que p|z. Se tiene entonces que z = pw, donde
‖w‖ ≤ ‖z‖. Por la hipótesis de inducción w puede escribirse como un
producto finito de primos, por lo tanto z = p1 . . . pn.
�
El siguiente teorema es pieza clave en la demostración del teorema fun-
damental de la aritmética en Z(i).
Teorema 2.2.4 (Algoritmo de la división en Z(i)) Dados a, b ∈ Z(i)
distintos de cero, existen p, r ∈ Z(i) tales que a = pb+ r, donde r = 0
o ‖r‖ ≤ ‖b‖.
22 Números algebraicos
Demostración. Sean a, b ∈ Z(i) distintos de cero, entonces
a
b
= R + Si, R, S ∈ Q,
por lo cual existen m,n ∈ Z tales que |R−m| ≤ 1
2
, |S − n| ≤ 1
2
.
En consecuencia
∥∥∥a
b
− (m− ni)
∥∥∥ = ‖(R− Si)− (m− ni)‖
= ‖(R−m) + (S − n)i‖
= (R−m)2 + (S − n)2 ≤ 1
4
+
1
4
=
1
2
Finalmente , denotamos p = m+ni y r = a− bp. Si a = bp, r = 0
y se sigue el teorema. De otra manera
‖r‖ = ‖a− bp‖
=
∥∥∥(a
b
− p
)
b
∥∥∥
= ‖a− bp‖‖b‖ ≤ 1
2
‖b‖
por lo que ‖r‖ ≤ ‖b‖.
�
Nótese que en contraste con el algoritmo de la división en Z, el algoritmo
en Z(i) no habla de la unicidad de p y r, ya que si u es una unidad
de Z(i), entonces ‖up‖ = ‖p‖ y ‖ur‖ = ‖r‖, por lo que los asociados
de p y r también satisfacen las condiciones del Teorema 2.2.4.
Otra consecuencia importante del Teorema 2.2.4 es que éste implica la
existencia de un máximo común divisor en Z(i).
Definición 12 Sea D un dominio euclidiano, a, b ∈ D. Decimos que
d es un máximo común divisor de a y b si
i) d|a y d|b,
ii) dado c tal que c|a y c|b, entonces c|d.
Definición 13 Sea D un dominio euclidiano, a, b ∈ D. decimos que a
y b son primos relativos, si un máximo común divisor es una unidad.
Los anillos Z(i) y Z(ρ) 23
Denotaremos por (a, b) a cualquier máximo común divisor de a y
b. Nótese que si a, b son primos relativos, el neutro multiplicativo es un
máximo común divisor. También obsérvese que en virtud del algoritmo de la
división (a, b) se puede expresar como combinación lineal de a y b.
Lema 2.2.5 Sea D un dominio euclidiano, a, b ∈ D primos relativos,
y supongamos que a|bc, entonces a|c.
Demostración. Como 1 = (a, b), existen λ, µ ∈ D tales que
1 = λa+ µb
por lo cual c = λac+ µbc. Puesto que a|bc se tiene
c = λac+ µat
c = a(λc+ µt),
por lo que a|c.
�
En vitud de este lema, ahora podemos demostrar que Z(i) es un dominio
de factorización única.
Teorema 2.2.6 (Fundamental de la aritmética en Z(i)) Sea a ∈ Z(i),
donde a no es unidad, entonces a puede escribirse como el producto de
primos en Z(i). Este producto es único salvo asociados.
Demostración. Sea a ∈ Z(i) como en las hipótesis, en virtud del
Corolario 2.2.3, basta demostrar solamente la unicidad de dicho producto.
Dicha demostración es por inducción sobre el mı́nimo número de primos en
la descomposición de a.
Supongamos que la descomposición en primos de a con el mı́nimo número
de términos consiste en un primo p y sea {q1, . . . , qm} otra descomposición
de a. Entonces
a = p = q1 . . . qm
y se sigue del Lema 2.2.5 que p|qj para alguna j. Renombrando
podemos suponer que p|q1, por lo que q1 = up donde u es unidad.
En consecuencia p − (up)q2 . . . qm = 0 y puesto que Z(i) es dominio
entero se obtiene 1 = uq2 . . . qm, de donde se concluye que los qj son
unidades.
24 Números algebraicos
Supongamos que la descomposición de a en factores primos con el
mı́nimo número de términos es {p1, . . . , pn−1}, y sea {q1, . . . , qm}, otra
descomposición de a, por lo cual n− 1 ≤ m.
Escribiendo
a = p1 . . . pn−1 = q1 . . . qm,
se sigue del Lema 2.2.5, que p1|qj para alguna j. Podemos suponer, sin
pérdida de generalidad que p1|q1, por lo cual q1 = u1p1 y se tiene que
p2 . . . pn−1 = u1q2 . . . qm.
Procediendo inductivamente, concluimos que m = n − 1 y los primos son
los mismos salvo asociados.
�
Algunas demostraciones de los teoremas correspondientes para Z(ρ)
son completamente equivalentes, sin embargo existen detalles que deben
aclararse.
Por el Teorema 2.1.5 el anillo de enteros algebraicos de Q(
√
−3), esto
es, A(
√
−3) es
{
a+ b
(
−1+
√
−3
2
)
| a, b ∈ Z
}
, ya que −3 ≡ 1 (mod 4). Se
tiene que −1+
√
−3
2
es una ráız cúbica de la unidad que denotamos por ρ.
Por lo cual A(
√
−3) = {a + bρ|a, b ∈ Z}, a este anillo lo denotamos por
Z(ρ). El siguiente resultado es análogo a la Afirmación 6.
Afirmación 8 La norma en Z(ρ) es positiva.
Demostración. Obsérvese que ρ = ρ2, y que si z = a + bρ ∈ Z(ρ)
entonces z es a+ bρ, esto se sigue, ya que
z = (a+ bρ)
=
(
a+ b
√
−3
2
− b
2
)
= a− b
√
−3
2
− b
2
= a+ ρb = a+ ρ2
Los anillos Z(i) y Z(ρ) 25
En consecuencia
‖z‖ = zz = (a+ bρ)(a+ bρ2)
= a2 + (ρ+ ρ2)ab+ b2ρ3
= a2 + (ρ+ ρ)ab+ b2.
Esto es
‖z‖ = a2 − ab+ b2. (2.10)
Finalmente
a2 − ab+ b2 =
(
a2 − ab+ b
2
4
)
+ b2 − b
2
4
=
(
a− b
2
)2
+
3
4
b2 ≥ 0.
�
Siguiendo el camino que trazamos para Z(i), ahora continuamos con la
afirmación siguiente.
Afirmación 9 Las unidades de Z(ρ) son ±1,±ρ, y ± (1 + ρ) = ∓ρ2.
Demostración. Sea z = a + bρ ∈ Z(ρ), en virtud del Lema 2.1.8
sabemos que z es unidad si y sólo si ‖z‖ = 1, usando (2.10), esto es,
a2 − ab+ b2 = 1. (2.11)
Las soluciones evidentes de la ecuación (2.11) son a = 0 y b = ±1,
también a = ±1 y b = 0, o bien a = b = ±1, por lo cual ±1,±ρ, y ±
(1 + ρ) son unidades. Nótese además que ρ2 = −(1 + ρ), esto se sigue ya
que −(1 + ρ) es inverso multiplicativo de ρ:
−(1 + ρ)ρ = −(ρ+ ρ2)
= −(ρ+ ρ)
= 1.
Para concluir la demostración basta observar que estas soluciones son las
únicas. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que en (2.11) |a|, |b|
26 Números algebraicos
son mayores que 1 por lo cual a2, b2 > 1y en este caso se tiene ab > 0.
Se concluye que a, b tienen la misma paridad.
No puede ser que a = b, ya que (2.11) implica que a2 = 1, lo cual
contradice que |a| > 1. Nuevamente de (2.11) tenemos que
a2 + b2 − 2ab+ ab = 1,
es decir, (a− b)2 + ab = 1 lo cual es imposible, ya que a, b ∈ Z, a 6= b y
ab > 0.
�
Los respectivos enunciados de los Teoremas 2.2.1 y 2.2.2 y del Coro-
lario 2.2.3, reemplazando Z(i) por Z(ρ) son igualmente válidos, y la de-
mostración es la misma (nótese que en dichas demostraciones sólo se utilizó el
hecho de que ‖x‖ ≥ 0.) Enunciamos estos resultados sin prueba.
Teorema 2.2.7 Sea z ∈ Z(ρ), y ‖z‖ = p, p un primo en Z, entonces
z es un primo en Z(ρ).
Teorema 2.2.8 Sea z ∈ Z(ρ) − {0} tal que z no es unidad. Entonces
existe p ∈ Z(ρ), primo tal que p|z.
Corolario 2.2.9 Sea z ∈ Z(ρ)− {0} tal que z no es unidad, entonces
z puede escribirse como un producto finito de primos en Z(ρ).
Otra vez debemos tener cuidado con el Teorema 2.2.7, ya que su rećıproco
tampoco es cierto en Z(ρ). Afirmamos que 2 es primo en Z(ρ), sin
embrago ‖2‖ = 4.
Si suponemos que 2 no es primo en Z(ρ) entonces podemos escribir
2 = (a+ bρ)(c+ dρ), y por la Definición 9 y la Afirmación 8, se tiene que
4 = ‖2‖ = (a2 − ab+ b2)(c2 − cd+ d2).
Como suponemos que 2 no es primo, entonces tanto a+bρ, como c+dρ
no son unidades y a2−ab+b2, c2−cd+d2 6= 1, 4. Puesto que a, b, c, d ∈ Z,
se tiene
a2 − ab+ b2 = c2 − cd+ d2 = 2.
Ya que a ∈ Z, la ecuación (2.10) nos dice que
b(b− a) = 2− a2.
Los anillos Z(i) y Z(ρ) 27
Siguiendo la demostración de la Afirmación 9 podemos suponer, sin pérdida
de generalidad que 0 ≤ a ≤ b, y en consecuencia 2− a2 ≥ 0, de lo cual
se concluye que a = 0, 1, lo cual no sucede ya que a+ bρ no es unidad.
Nótese además que 3 es primo en Z, sin embargo no es primo en
Z(ρ). Para demostrar esta afirmación, observemos que 1− ρ, 2+ ρ ∈ Z(ρ),
y que 2 + ρ = 1 + (1 + ρ) = 1− ρ2. De esta forma
(1− ρ)(2 + ρ) = (1− ρ)(1− ρ2)
= 1− (ρ+ ρ2) + ρ3 = 3.
Los siguientes dos teoremas son la versión de los Teoremas 2.2.4, y 2.2.6
en el anillo Z(ρ).
Teorema 2.2.10 (Algoritmo de la división en Z(ρ)) Dados a, b ∈ Z(ρ)
distintos de cero, existen p, r ∈ Z(ρ) tales que a = pb+ r, donde r = 0
o ‖r‖ ≤ ‖b‖.
Demostración. Sean a, b ∈ Z(ρ) distintos de cero y denotemos por
a
b
= R + S ρ, donde R,S ∈ Q,.
Sea m,n ∈ Z tales que |R−m| ≤ 1
2
, |S − n| ≤ 1
2
, entonces
∥∥∥a
b
− (m− nρ)
∥∥∥ = ‖(R− Sρ)− (m− nρ)‖
= ‖(R−m) + (S − n)ρ‖
= (R−m)2 − (R−m)(S − n) + (S − n)2
≤ (R−m)2 − |R−m||S − n|+ (S − n)2,
por lo cual
∥∥a
b
− (m− nρ)
∥∥ < 3
4
.
Finalmente, sea p = m+nρ y r = a−bp. Si a = bp, entonces r = 0
y se sigue el teorema. De otra manera
‖r‖ = ‖a− bp‖
=
∥∥∥(a
b
− p
)
b
∥∥∥
= ‖a− bp‖‖b‖ ≤ 3
4
‖b‖
por lo que ‖r‖ ≤ ‖b‖.
�
28 Números algebraicos
Teorema 2.2.11 (Fundamental de la aritmética en Z(ρ)) Sea a ∈ Z(ρ),
donde a no es unidad, entonces a puede escribirse como el producto de
primos en Z(ρ). Este producto es único salvo asociados.
La demostración de este teorema es análoga a la se se exhibe para el Teorema
2.2.6.
Para finalizar esta sección introducimos el concepto de discriminante de
un número algebraico en los campos Q(i) y Q(ρ).
Definición 14 Sea β ∈ Q(
√
m), donde m = −1,−3 y β 6= 0. Si
β = w1
w2
, donde w1, w2 ∈ A(
√
m), se define el discriminante de β,
denotado por ∆(β), como
∆(β) =
[
w1w2 − w1w2
‖(w1, w2)‖
]2
.
Obsérvese que ∆(β) es siempre un número racional, esto se sigue, ya
que ‖(w1, w2)‖ es un entero, y como
w1w2 − w1w2 = w1w2 − w1w2,
este número es de la forma k
√
m donde k ∈ Z.
Una observación importante del máximo común divisor es la siguiente.
Sean β, γ ∈ A(
√
m) donde m = −1,−3, y d = (β, γ), supóngase
también que δ ∈ A(
√
m), entonces
δd = (δβ, δγ). (2.12)
Esto se deriva, ya que claramente δd | δβ y δd | δγ; también d es una
combinación lineal de β y γ, digamos
d = λβ + µγ λ, µ ∈ A(
√
m),
por lo cual
δd = λδβ + µδγ λ, µ ∈ A(
√
m).
Finalmente, si t | δβ y t | δγ, entonces t | δd.
El discriminante de un número algebraico β es independiente de la
elección de los números w1, w2, tales que β =
w1
w2
. Para mostrar esto sea
Los anillos Z(i) y Z(ρ) 29
β = w1
w2
= z1
z2
, entonces como β 6= 0, se tiene que w1, w2, z1, z2 6= 0, y en
consecuencia w1 = w2
z1
z2
, de esta manera usando (2.12)
∆(β) =
[
w1w2 − w1w2
‖(w1, w2)‖
]2
=

(
w2
z1
z2
)
w2 −
(
w2
z1
z2
)
w2
‖(w2 z1z2 , w2)‖
2
=
(
z2z2
‖z2‖
)2 ‖w2‖
(
z1
z2
− z1
z2
)
‖(w2 z1z2 , w2)‖
2 = [‖w2‖(z1z2 − z1z2)
‖z2(w2 z1z2 , w2)‖
]2
=
[
‖w2‖(z1z2 − z1z2)
‖(w2z1, w2z2)‖
]2
=
(
‖w2‖
‖w2‖
)2 (
z1 z2 − z1 z2
‖(z1, z2)‖
)2
=
[
z1 z2 − z1 z2
‖(z1, z2)‖
]2
.
Una última observación acerca del discriminante de un número algebraico
β, es que éste es el discriminante en el sentido usual del polinomio cuadrático
primitivo
1
‖(w1, w2)‖
(
‖w2‖x2 − (w1w2 + w1w2)x+ ‖w1‖
)
, (2.13)
donde β = w1
w2
. Esto es claro, ya que por definición el discriminante de
dicho polinomio es
1
‖(w1, w2)‖2
(
(w1w2 + w1w2)
2 − 4‖w1‖‖w2‖
)
=
1
‖(w1, w2)‖2
(w1w2 − w1w2)2
=
[
w1w2 − w1w2
‖(w1, w2)‖
]2
,
que es el discriminante de β con la representación w1
w2
. Dado que el
discriminante del número β no depende de la elección de los números w1,
w2 podemos suponer, sin perder generalidad que (w1, w2) = 1. Bajo estas
condiciones la ecuación (2.13) se convierte en
‖w2‖x2 + (w1w2 + w1w2)x+ ‖w1‖, (2.14)
y tenemos la siguiente afirmación
30 Números algebraicos
Afirmación 10 Los coeficientes de (2.14) son primos relativos.
Demostración. Como (w1, w2) = 1 se tiene que (‖w1‖, ‖w2‖) = 1.
Sea t un divisor común de ‖w1‖, ‖w2‖, w1w2 + w1w2, puesto que
t | ‖w1‖ y t | ‖w2‖
se sigue que
t | w1 o t | w1 y t | w2 o t | w2
y puesto que (w1, w2) = 1, tenemos los dos casos siguientes
t | w1 y t | w2, t | w1 y t | w2.
En el primer caso se tiene que t | w1w2 y t | w1w2 +w1w2, por lo cual
t | w1w2 lo que contradice la hipótesis inicial. El segundo caso es análogo y
se puede concluir que los coeficientes de (2.14) son primos relativos.
�
Caṕıtulo 3
El grupo modular
En este caṕıtulo estudiamos algunos aspectos del grupo modular y su acción
en el semiplano H2 = {z ∈ C | Im(z) > 0}. Análogamente a como se
hizo con GL2 (C), se puede definir SL2 (Z) como el grupo de matrices
de 2 × 2 sobre Z con determinante 1, y PSL2 (Z) como el grupo de
transformaciones de Möbius asociadas.
Denotamos por Γ a SL2 (Z) y por Γ a PSL2 (Z), que llamaremos el
grupo de transformaciones modulares no homogéneas. Si T ∈ Γ, denotamos
por LT ( como en la Definición 1) a la transformación modular homogénea
y por T a la transformación modular no homogénea.
El grupo Γ, preserva tanto H2, como el conjunto R de los números
reales y el conjunto Q de los números racionales (cf. [6], pp. 32-33). Además
Γ no contiene transformaciones loxodrómicas por la Proposición 1.0.3.
Si T ∈ Γ, T = ( a bc d ) entonces su polinomio caracteŕıstico está dado por
pT (x) =
∣∣∣∣ a− x bc d− x
∣∣∣∣ = x2 − tr (T )x+ 1,
donde tr (T ) = a+ d, dicho polinomio tiene por ráıces a
λ1, λ2 =
tr (T )±
√
tr2 (T )− 4
2
. (3.1)
Si T es parabólica, |tr (T )| = 2 y λ1 = λ2 = ±1, por lo que λ1λ2 = 1.
Si T es eĺıptica |tr (T )| ≤ 2, y tr2 (T ) ≤ 4 por lo cual λ1 = λ2 como
números complejos. También, si T es hiperbólica, entonces |tr (T )| ≥ 3
y es claro que λ2 = λ1 como números algebraicos, ya que tr
2 (T )− 4 no
31
32 El grupo modular
es un cuadrado, esto último se sigue, ya que si |m| ≥ 3, m ∈ Z
|m2 − (m− 1)2| = |2m− 1| ≥ 2|m| − 1 ≥ 5.
Si T es eĺıptica o hiperbólica λ1λ2 =
tr2 (T )−(tr2 (T )−4)
4
= 1. λ1, λ2 son
unidades en el anillo A
(
tr (T )±
√
tr2 (T )−4
2
)
= A(
√
tr2 (T )− 4).
Puesto que tr (T ) ∈ Z, | tr (T ) | sólo puede tomar los valores 0,1,2,
o bien ser mayor o igual a 3, esto nos permite hacer la siguiente clasificación
de las transformaciones en el grupo modular no homogéneo.
I. El conjunto Ei de las transformaciones para las cuales tr (T ) = 0.
Estas sontransformaciones eĺıpticas para las cuales la matirz asociada T
tiene valores propios i,−i (por la ecuación (3.1) ). Son transformaciones
de orden 2, puesto que el multiplicador λ = λ2
λ1
= −1 genera un grupo de
orden 2 (véase la parte final del Caṕıtulo 1).
II. El conjunto Eρ de las transformaciones para las cuales | tr (T ) |= 1.
Estas son transformaciones eĺıpticas, para las cuales las correspondientes ma-
trices ±T tienen valores propios
−1±
√
−3
2
si tr (T ) = 1,
1±
√
−3
2
si tr (T ) = −1,
es decir −1±
√
3i
2
o 1±
√
3i
2
, o sea ρ, ρ, en el primer caso, o −ρ, −ρ en
el segundo, donde ρ = e2πi/3
Éstas son transformaciones de orden 3, ya que el multiplicador
λ =
ρ
ρ
=
ρ
ρ2
=
1
ρ
= ρ2
genera un grupo de orden 3. El otro caso es análogo.
III. El conjunto P de las transformaciones para las cuales | tr (T ) |= 2.
Se trata de transformaciones parabólicas.
El grupo modular 33
IV. El conjunto H de las transformaciones para las cuales | tr (T ) |≥ 3.
Transformaciones hiperbólicas, cuyas matrices asociadas tienen por valores
propios dos números algebraicos conjugados.
Esta clasificación es útil, pues nos permite analizar como actúa Γ en H2.
En particular estamos interesados en estudiar los puntos fijos de Ei y de Eρ.
Teorema 3.0.12
a) El conjunto de puntos fijos de P es Q∗ = Q ∪ {∞},
b) el conjunto de puntos fijos de Ei consiste exactamente en las parejas
de los números ±i−d
c
∈ Q(i), donde d2 ≡ −1 (mod c),
c) el conjunto de puntos fijos de Eρ consiste exactamente en las parejas
de los números ρ
±1−d
c
∈ Q(ρ), donde d2 + d+ 1 ≡ 0 (mod c).
Demostración.
a) Claramente el conjunto de puntos fijos de P está contenido en Q∗.
Además ∞ es punto fijo de T (z) = z + 1.
Sea p/q ∈ Q, (p, q) = 1, entonces existen enteros r, s tales que
pr − qs = 1, por lo que la matriz A = ( p sq r ) cumple A(∞) = pq .
Consideremos la matriz U = ATA−1 donde T = ( 1 10 1 ), entonces
U
(
p
q
)
= AT A
−1
(
p
q
)
=
p
q
.
Como
U =
(
1− pq p2
−q2 1 + pq
)
,
se tiene que U ∈ P .
b) Sea U ∈ Ei, los valores propios de U = ( a bc d ) son ±i, y se sigue
del Teorema 1.0.4, que los puntos fijos de U son ±i−d
c
. Como det(U) = 1
y tr(U) = 0, se sigue que −d2 − bc = 1, por lo cual d2 ≡ −1 (mod c).
Por otra parte sea ±i−d
c
∈ Q(i), c, d ∈ Z, tal que d2 ≡ −1 (mod c).
Llamemos b = −d2+1
c
, entonces la matriz
U =
(
−d b
c d
)
34 El grupo modular
cumple tr(U) = 0 y det(U) = −d2 − bc = −d2 + d2 + 1 = 1, por lo cual
U ∈ Ei. Por el Teorema 1.0.4 los puntos fijos de U son ±i−dc .
c) Sea U ∈ Eρ sin perder generalidad se puede tomar una matriz
U ∈ Γ, U = ( a bc d ) que determine a U cuya traza es −1. Como los
valores propios son ρ, ρ−1, se sigue nuevamente del Teorema 1.0.4, que los
puntos fijos son ρ
±1−d
c
, además, dado que tr(U) = −1 y det(U) = 1, se
tiene que a + d = −1, por lo cual (−1 − d)d − bc = 1, y por lo tanto
d2 + d+ 1 ≡ 0 (mod c).
Sea ahora ρ
±1−d
c
, d2 + d + 1 ≡ 0 (mod c), y llamemos b = −d2+d+1
c
.
La matriz
U =
(
−d− 1 b
c d
)
satisface tr(U) = −1, y además
det(U) = (−d− 1)d− bc = (−d2 − d) + (d2 + d+ 1) = 1,
por lo tanto U ∈ Eρ. Nótese además que los puntos fijos de U , en virtud
del Teorema 1.0.4 son ρ
±1−d
c
.
�
El siguiente teorema nos proporciona otra forma de clasificar a los puntos
fijos de transformaciones eĺıpticas. Para demostrarlo requerimos el siguiente
lema.
Lema 3.0.13 Sean p, q, r enteros, q, r 6= 0
a) si −p2 − qr = 1, entonces (q, r, 2p) = 1,
b) si p2 + p+ qr = −1, entonces (q, r, 2p+ 1) = 1.
Antes de probar el lema, nótese que en Z(i) y Z(ρ), si t|u + v y
t|u, entonces t|v, la demostración de este hecho es idéntica a la de Z.
Demostración del Lema 3.0.13.
a) Si −p2 − qr = 1, entonces es claro que (p, q) = (p, r) = 1. Sea
h = (q, r, 2p) y
r = hm q = hn. (3.2)
Como h | 2p y (q, p) = 1 se sigue que h | 2. Si h = 2, como p
es impar se tiene usando (3.2)
1 = −p2 − qr = −(2s+ 1)2 − 4mn
El grupo modular 35
= −4(s2 + s)− 1− 4mn,
y en consecuencia −4(s2 + s+mn) = 2, lo cual no es posible. Por lo tanto
h = 1.
b) Igual que en el caso anterior, si p2 + p+ qr = −1 se sigue que
(p, q) = (p, r) = (p+ 1, q) = (p+ 1, r) = 1 (3.3)
Sea h = (q, r, 2p+ 1), entonces
q = hm y r = hn (3.4)
Ahora p2 + p+ 1 = −qr, lo cual implica que h | p2 + p+ 1 y puesto
que p2 + p + 1 = p(p − 1) + (2p + 1), se sigue que h | p(p − 1), y por
la ecuación (3.3) h | p− 1. Nótese además que 2p + 1 = 2(p− 1) + 3 y
como h | p− 1, se sigue que h | 3.
Si h = 3, entonces
p− 1 = 3k, p = 3k + 1 y p+ 1 = 3k + 2,
por hipótesis p(p+ 1) + qr = −1, lo que implica (usando (3.4) )
(3k + 1)(3k + 2) + 9mn = −1
9(k2 + k +mn) + 2
lo cual es imposible, en consecuencia h = 1.
�
Teorema 3.0.14
a) El conjunto de puntos fijos de Ei consiste exactamente en las parejas
de los números β = i−d
c
y β, d2 ≡ −1 mod c donde ∆(β) = −4,
b) El conjunto de puntos fijos de Eρ consiste exactamente en las
parejas de los números β = ρ−d
c
y β, d2 + d + 1 ≡ 0 mod c donde
∆(β) = −3.
Demostración. En virtud del Teorema 3.0.12, en ambos casos, basta de-
mostrar la condición del discriminante.
36 El grupo modular
a) Sea β =
i− d
c
un punto fijo de una transformación eĺıptica en Ei,
se tiene que β es ráız del polinomio
c
[
(x− β)(x− β)
]
= cx2 − ((−i− d) + (i− d))x+ c
(
i− d
c
) (
−i− d
c
)
= cx2 + 2dx− b.
donde b = −d
2 + 1
c
. El discriminante de dicho polinomio es
(2d)2 − 4(c)(−b) = 4d2 − 4c
(
d2 + 1
c
)
= −4.
Este es el discriminante de β, ya que en virtud del lema anterior
(2d, c, b) = 1,
ya que los números b, c, d satisfacen la ecuación
−d2 − bc = −d2 + (d2 + 1) = 1.
Rećıprocamente consideremos γ = ±ib
′−d
c
∈ Q(i), supóngase además
que ∆(γ) = −4 y que (b′, c, d) = 1. Según la Definición 14, dado que
(±ib′ − d)c−
(
∓ib′ − d
)
c = ±2ib′c
se tiene
−4 = −4(b
′c)2
‖δ‖2
donde δ = (±ib′ − d, c),
en consecuencia b′c = ±‖δ‖. Sea ahora p un primo en Z(i) que divide
a b′. Puesto que p | b′ entonces p | δ o bien p | δ.
Si p | δ, entonces, p | c, y como p | b′, p | d, lo cual contradice
la hipótesis de que (b′, c, d) = 1. Análogamente si p | δ, p | c, y puesto
que p | b′, se tiene p | d, lo cual nuevamente contradice la hipótesis de
que (b′, c, d) = 1. En consecuencia b′ = 1, y los números en Q(i) de
discriminante −4 son de la forma ±i−d
c
.
El grupo modular 37
b) Sea β =
ρ±1 − d
c
un punto fijo de una transformación eĺıptica en
Eρ, se sigue que β es ráız del polinomio
c
[
(x− β)(x− β)
]
= cx2 − ((ρ− d) + (ρ− d))x+ c ρ− d
c
ρ− d
c
= cx2 + (2d+ 1)x− b.
donde b = −d
2 + d+ 1
c
. El discriminante de dicho polinomio es
(2d+ 1)2 − 4(c)(−b) = 4d2 + 4d+ 1− 4c d
2 + d+ 1
c
= −3.
Se sigue del Lema 3.0.13 que este es el discriminante de β ya que
(1 + 2d, c, b) = 1,
y los números b, c, d satisfacen la ecuación
d2 + d+ bc = d2 + d− (d2 + d+ 1) = −1.
Rećıprocamente sea γ = ρb
′−d
c
∈ Q(ρ), (el caso en que γ es la forma
ρ−d
c
está incluido en este), supóngase además que ∆(γ) = −3 y que
(b′, c, d) = 1. Según la Definición 14, dado que
(ρb′ − d)c−
(
ρb′ − d
)
c = b′c
√
3i
se tiene
−3 =
(
b′c
√
3i
)2
‖δ‖
donde δ = (ρb′ − d, c),
en consecuencia b′c = ±‖δ‖. Consideremos ahora p un primo en Z(ρ)
que divide a b′. Puesto que p | b′ entonces p | δ o bien p | δ.
Si p | δ, entonces, p | c, y como p | b′, p | d, lo cual contradice
la hipótesis de que (b′, c, d) = 1. Análogamente si p | δ, p | c, y puesto
que p | b′, se tiene p | d, lo cual nuevamente contradice la hipótesis de
que (b′, c, d) = 1. En consecuencia b′ = 1, y los números en Q(ρ) de
discriminante −3 son de la forma ρ±1−d
c
.
�
Caṕıtulo 4
Subgrupos principales de
congruencias
En este caṕıtulo estudiaremos algunos aspectos de ciertos subgrupos del
grupo modular llamados subgrupos principales de congruencias. Como re-
sultado principal calculamos el orden de los grupos SL2 (ZN), aśı como el
ı́ndice de PSL2 (ZN) en PSL2(Z).
Como antes, denotemos a SL2 (Z) por Γ y a PSL2 (Z) por Γ.
Consideremos Γ1 un subgrupo de Γ. Sabemos que existe un morfismode
grupos ϕ : Γ −→ Γ tal que
T =
(
a b
c d
)
7−→ T (z) = az + b
cz + d
.
Esta ϕ induce un epimorfismo de Γ1 sobre ϕ (Γ1) cuyo núcleo es
{±Id}, si −Id ∈ Γ1, y es un isomorfismo si −Id 6∈ Γ1. Denotemos por
Γ1 a ϕ (Γ1). También, si Γ1 es un subgrupo de Γ entonces ϕ
−1 (Γ1)
es un subgrupo de Γ que contiene a −Id, sin embargo existen subgrupos
de Γ que no contienen a −Id. Por ejemplo el subgrupo principal de
congruencias de nivel N se define como
Γ (N) =
{(
a b
c d
) ∣∣∣∣ ( a bc d
)
≡
(
1 0
0 1
)
modN
}
,
donde ( a bc d ) ≡ ( 1 00 1 ) modN significa
a ≡ 1 modN b ≡ 0 modN
c ≡ 0 modN d ≡ 1 modN.
39
40 Subgrupos principales de congruencias
Es claro que en este subgrupo −Id 6∈ Γ (N) si N > 2.
Si Γ1 es un subgrupo de Γ que no contiene a −Id, entonces el grupo
Γ1 ∪ (−Id)Γ1 es un subgrupo de Γ que contiene propiamente a Γ1.
Afirmación 11 No existe un subgrupo Γ1 ≤ Γ tal que −Id 6∈ Γ1 y
ϕ (Γ1) = Γ.
Demostración. Sea Γ1 un subgrupo de Γ tal que ϕ (Γ1) = Γ. La
transformación S (z) = −1
z
es la imagen bajo ϕ de alguna de las matrices
S =
(
0 1
−1 0
)
o bien − S =
(
0 −1
1 0
)
,
en cualquier caso
(−S)2 = S2 =
(
0 1
−1 0
) (
0 1
−1 0
)
=
(
−1 0
0 −1
)
,
por lo que −Id ∈ Γ1.
�
Afirmación 12 Si Γ1 es un subgrupo de Γ de ı́ndice finito y µ (Γ1)
denota el ı́ndice [Γ : Γ1], y µ (Γ1) se define de forma análoga, se tiene
µ (Γ1) = µ (Γ1) si − Id ∈ Γ1
2µ (Γ1) = µ (Γ1) si − Id 6∈ Γ1.
Una demostración de este hecho puede consultarse en [6] p. 97.
Ahora calculamos el ı́ndice de los subgrupos Γ (N) en Γ. Sea N ∈ Z
fijo, y consideremos la función ϕN : Z −→ ZN definida por a 7−→ aN ,
donde aN es la reducción de a módulo N , entonces ϕN es un morfismo
de anillos, ya que la reducción módulo N respeta sumas y productos. De
hecho aśı se define la suma y producto en ZN . Si ΓN denota el grupo
SL2 (ZN) este morfismo de anillos induce un morfismo de grupos
ϕ̂N : Γ −→ ΓN (4.1)
definido por
ϕ̂N
(
a b
c d
)
=
(
aN bN
cN dN
)
,
Subgrupos principales de congruencias 41
cuyo núcleo es precisamente Γ (N). Una consecuencia inmediata es que los
subgrupos Γ (N) son normales en Γ. Para calcular el ı́ndice de Γ (N)
en Γ primero mostraremos que el morfismo (4.1) es un epimorfismo de
grupos. Requerimos el siguiente lema.
Lema 4.0.15 Supóngase que los enteros a, b, c, d satisfacen la ecuación
ad− bc ≡ 1 modN,
entonces existen a′ ≡ a, b′ ≡ b, c′ ≡ c, d′ ≡ d modN tales que
a′d′ − b′c′ = 1
Demostración. Sea A = ( a bc d ). La estrategia es encontrar una matriz E
en SL2 (Z) tal que AE ≡ Id modN , ya que entonces A ≡ E−1 modN
y E−1 es la matriz buscada.
Un primer paso es reducir el primer renglón de A a enteros que son
primos relativos, es decir, si g = (a, b) entonces a = a1g, b = b1g y
existen enteros c1, d1 tales que
B =
(
a1 b1
c1 d1
)
∈ Γ.
Este truco nos permite encontrar una matriz triangular inferior ya que
AB−1 =
(
a b
c d
) (
d1 −b1
−c1 a1
)
=
(
a2 0
c2 d2
)
.
Mas aún, como det(AB−1) = det(A) ≡ 1 modN , se tiene
a2d2 − 1 = kN, k ∈ Z. (4.2)
Esta última identidad nos sugiere usar alguna matriz relacionada con
C =
(
a2 N
k d2
)
∈ Γ,
de hecho
AB−1C−1 =
(
a2 0
c2 d2
) (
d2 −N
−k a2
)
≡
(
1 0
d2(c2 − k) 1
)
mod N.
42 Subgrupos principales de congruencias
Finalmente, si
D =
(
1 0
d2(c2 − k) 1
)
∈ Γ,
entonces AB−1C−1D−1 ≡ Id modN , por lo que se sigue el lema.
�
Como una sencilla consecuencia podemos demostrar el siguiente teorema.
Teorema 4.0.16 El morfismo de anillos (4.1) es suprayectivo, además
Γ/Γ (N) ∼= ΓN ,
donde ΓN denota el grupo SL2 (ZN).
Demostración. Sea A ∈ ΓN deseamos encontrar una matriz A′ ∈ Γ
tal que ϕ (A′) = A.
Si A = ( a bc d ) ∈ ΓN , entonces ad−bc ≡ 1 modN , y por el lema anterior
exiten a′, b′, c′, d′ ∈ Z tales que a′ ≡ a, b′ ≡ b, c′ ≡ c, d′ ≡ d modN y
a′d′ − b′c′ = 1,
aśı la matriz A′ =
(
a′ b′
c′ d′
)
∈ Γ y es claro que ϕ (A′) = A.
Finalmente, ϕ̂N es un epimorfismo y por el primer teorema de isomor-
fismo de grupos
Γ/Γ (N) ∼= ΓN .
�
En virtud de este último teorema, el ı́ndice de Γ (N) es el orden del grupo
ΓN , aśı el problema de calcular µ (ΓN) es equivalente a calcular
∣∣ΓN ∣∣.
Antes analizamos el morfismo de reducción de ZN a Zd, donde d|N ,
d,N ∈ N. Consideremos a ∈ Z, entonces por el algoritmo de la división
a = p1N + q1, 0 ≤ q1 < N.
Ahora q1 = p2d+ q2, donde 0 ≤ q2 < d, por lo cual a = kd+ q2, k ∈ Z,
también a = sd + t, 0 ≤ t < d y se sigue de la unicidad del algoritmo de
la división que q2 = t. Se define entonces ϕ : ZN −→ Zd como
ϕ (a) = t,
Subgrupos principales de congruencias 43
donde a ∈ ZN y t ∈ Zd. Claramente ϕ está bien definida, ya que si
b ≡ a modN , entonces b ≡ a mod d. También por la forma en que se
definió ϕ el siguiente diagrama es conmutativo
Z rN−→ ZN
↘rd ↙ϕ
Zd
donde rN denota la reducción módulo N y rd es la reducción módulo
d. Esta función en un morfismo de anillos: probamos primero
ϕ (ab) = ϕ (a)ϕ (b),
sin perder generalidad 0 ≤ a < N , 0 ≤ b < N y
a = q1d+ t1, 0 ≤ t1 < d,
b = q2d+ t2, 0 ≤ t2 < d,
por lo cual ab ≡ t1t2 mod d y
ϕ (ab) = ϕ (ab) = t1t2
= t1t2 = ϕ (a)ϕ (b).
La suma se sigue de manera análoga.
Lema 4.0.17 Sea N = pn11 . . . p
nk
k , pi primo, entonces
SL2 (ZN) ∼=
k∏
i=1
SL2 (Zpnii )
Demostración. Sin perder generalidad podemos suponer que N = N1N2,
donde (N1, N2) = 1, el caso general se sigue por inducción. Definamos
λ : Sl2 (ZN) −→ SL2 (ZN1)× SL2 (ZN2)
por medio de (
a b
c d
)
7−→
((
a1 b1
c1 d1
)
,
(
a2 b2
c2 d2
))
44 Subgrupos principales de congruencias
donde ai (bi, ci, di) es la clase de a, (b, c, d) ∈ ZN módulo Ni. Debemos
mostrar que λ es un isomorfismo de grupos.
Sea A = ( a bc d ), entonces ad− bc ≡ 1 modN , por lo cual
ad− bc ≡ 1 mod N1
ad− bc ≡ 1 mod N2.
Ahora, como
a ≡ a1 modN1, b ≡ b1 modN1,
c ≡ c1 modN1, d ≡ d1 modN1
se tiene
a1d1 − b1c1 ≡ ad− bc ≡ 1 mod N1.
Análogamente a2d2 − b2c2 ≡ 1 modN2. También λ es un morfismo de
grupos, esto se sigue, ya que por la observación precedente al teorema la
operación de reducir en ZN módulo N1 (o N2) respeta sumas y productos,
y en la multiplicación matricial sólo intervienen estas dos operaciones.
Para demostrar que λ es un monomorfismo mostraremos que su núcleo
es trivial. Supongamos que λ (A) = (Id1, Id2), donde Idi es la identidad
en SL2 (ZNi). Escribiendo A = ( a bc d ), se tiene
a, d ≡ 1 mod N1, N2
b, c ≡ 0 mod N1, N2,
y puesto que (N1, N2) = 1, entonces
a, d ≡ 1 mod N
b, c ≡ 0 mod N,
es decir A = ( 1 00 1 ) en SL2 (ZN).
Finalmente, λ es un epimorfismo por el teorema chino del residuo. Dada((
a1 b1
c1 d1
)
,
(
a2 b2
c2 d2
))
∈ SL2 (ZN1)× SL2 (ZN2)
podemos plantear 4 sistemas de congruencias lineales, por ejemplo
x ≡ a1 mod N1,
x ≡ a2 mod N2,
Subgrupos principales de congruencias 45
que tiene una única solución a módulo N (en este paso podemos pensar a
a1, a2 como representantes). Si se plantean sistemas equivalentes para cada
una de las entradas restantes, encontramos una matriz A = ( a bc d ) tal que
A se proyecta en
((
a1 b1
c1 d1
)
,
(
a2 b2
c2 d2
))
. Sólo falta probar que dicha matriz
pertenece a SL2 (ZN).
Puesto que
a ≡ a1 modN1 b ≡ b1 modN1
c ≡ c1 modN1 d ≡ d1 modN1,
y
a ≡ a2 modN2 b ≡ b2 modN2
c ≡ c2 modN2 d ≡ d2 modN2,
entonces
ad− bc ≡ 1 modN1, y
ad− bc ≡ 1 modN2
por lo cual ad− bc ≡ 1 modN y A ∈ SL2 (ZN).
�
Teorema 4.0.18 Sea N = pn11 . . . p
nk
k , pi primo, entonces∣∣∣SL2 (ZN)∣∣∣ = N3 k∏
i=1
(
1− 1
p2
)
Demostración. En virtud del lema anterior basta demostrar que la afir-
mación es cierta para SL2 (Zpn) donde p es un primo, ya que en este caso∣∣SL2 (Zpn)∣∣ = p3n (1− 1/p2).
Nótese que dos matrices en SL2 (Zpn) son distintas, si al menos una
de las entradas correspondientes no son congruentes módulo pn, es decir,
dos matrices A1, A2 ∈ SL2 (Zpn) representan soluciones incongruentes de
la ecuación
ad− bc ≡ 1 mod pn, (4.3)
46 Subgrupos principales de congruencias
si al menos dos entradas correspondientes no son congruentes módulo pn.
Aśı el problema de calcular
∣∣SL2 (Zpn)∣∣ es equivalentea encontrar el número
de soluciones incongruentes módulo pn de la ecuación (4.3).
Sea A = ( a bc d ) ∈ SL2 (Zpn), entonces para a fijo puede suceder que
a ≡ 0 mod pn, o bien a 6≡ 0 mod pn.
Caso 1. a 6≡ 0 mod pn.
Si φ (n) denota la función φ de Euler, entonces existen
φ (pn) = pn − pn−1
elementos en Zpn tales que a 6≡ 0 mod pn. Si b, c ∈ Zpn son arbitrarios,
la ecuación
ax− bc ≡ 1 mod pn
tiene una única solución módulo pn, ya que (a, pn) = 1. La cardinalidad
del conjunto de estas ecuaciones que generan distintas soluciones incongru-
entes de (4.3) es
φ (pn)pnpn = φ (pn)p2n.
Caso 2. a ≡ 0 mod pn.
Si a ≡ 0 mod pn, entonces la ecuación (4.3) tienen sentido si y sólo
si −bc ≡ 1 mod pn, ya que ad ≡ 0 mod pn para cualquier d ∈ Zpn .
Además, nótese que bc ≡ 1 mod pn si y sólo si b 6≡ 0 mod pn.
Dados a, b, d ∈ Zpn tales que a ≡ 0 mod pn, d es cualquier número
y b 6≡ 0 mod pn, la ecuación
ad− bx ≡ 1 mod pn
tiene una única solución módulo pn. Por lo tanto la cantidad de soluciones
incongruentes que generan estas últimas ecuaciones es
φ (pn)pn−1pn = φ (pn)p2n−1,
(φ (pn) por las b, pn−1 por las a y pn por las d). Por consiguiente la
cantidad de soluciones incongruentes módulo pn de la ecuación (4.3) es
φ (pn)p2n + φ (pn)p2n−1 =
(
pn − pn−1
) (
p2n + p2n−1
)
= pn
(
1− 1
p
)
p2n
(
1 +
1
p
)
= p3n
(
1− 1
p2
)
,
Subgrupos principales de congruencias 47
como queŕıamos demostrar.
�
Una vez demostrado este teorema es muy sencillo calcular µ (Γ (N)).
Definamos Γ [N ] = Γ (N) ∪ (−Id)Γ (N), es claro que Γ [2] = Γ (2), y si
N > 2, Γ [N ] contiene propiamente a Γ (N). Nótese que Γ [N ] = Γ (N),
y que
2µ (Γ [N ]) = µ (Γ (N)), N > 2.
De estas observaciones y de la Afirmación 12 puede concluirse que el ı́ndice
µ (Γ (N)) satisface las relaciones que se enuncian en el siguiente teorema.
Teorema 4.0.19 El ı́ndice del subgrupo principal de congruencias Γ (N)
N ≥ 2, respecto al grupo modular está dado por µ (Γ (N)), donde
µ (Γ (N)) =

µ (2) = 6 si N = 2,
1
2
µ (Γ (N)) =
N3
2
k∏
i=1
(
1− 1
p2
)
si N > 2.
Para concluir esta sección damos una prueba alterna del Teorema 4.0.18,
esta demostración tiene la ventaja de tener un generalización para SLm (Z).
De hecho, este resultado y el Teorema 4.0.16 son válidos en SLm (Z) cf [13].
Lema 4.0.20 Sea p un primo, entonces el número de bases ordenadas de
Zp × Zp como Zp-espacio vectorial es
p(p− 1)(p2 − 1)
Demostración. Sea V el espacio vectorial sobre Zp, Zp×Zp entonces
la cardinalidad de V es p2. En V tenemos p2− 1 elementos distintos
de cero, sea v1 uno de tales elementos y denotemos por 〈v1〉 el subespacio
generado por v1. Nótese que la cardinalidad de 〈v1〉 es p, esto se sigue ya
que si v1 = (a, b), pv1 = (pa, pb) = (0, 0), y si k < p, (ka, k b) 6= (0, 0).
Para completar v1 a una base de V necesitamos encontrar un vector v2
linealmente independiente a v1, en otras palabras elegimos v2 ∈ V − 〈v1〉.
Puesto que el número de elementos en V − 〈v1〉 es p2 − p, se sigue que el
número de bases ordenadas de V como Zp-espacio vectorial es
(p2 − p)(p2 − 1) = p(p− 1)(p2 − 1).
�
48 Subgrupos principales de congruencias
Una generalización de este lema aparece en [11] p. 219. Obsérvese
que en el anillo GL2 (ZN), no es cierto que si det (A) 6= 0, entonces
A es invertible. Por ejemplo, si A = ( 3 00 1 ) ∈ GL2 (Z6) entonces tiene
determinante 3 6= 0 en Z6, sin embargo A no es invertible, ya que,
recordando la forma en que se invierte una matriz (cf. [5] p. 196) se tendŕıa
A−1 =
1
det(A)
(
1 0
0 3
)
,
sin embargo det (A) = 3 y 3 no tiene inverso en Z6 ya que es un divisor
de 0 por lo cual, no es invertible y en consecuencia A−1 no existe. Nótese
que este ejemplo muestra que las matrices invertibles en GL2 (Zm) deben
tener como determinante una unidad.
Lema 4.0.21
∣∣GL2 (ZN)∣∣ = φ (N)∣∣SL2 (ZN)∣∣, donde φ es la función de
Euler.
Demostración. Denotemos por UN al grupo multiplicativo de ZN , es
decir, las unidades en ZN , y consideremos la función
det : GL2 (ZN) −→ UN .
Es claro que det es un morfismo de grupos, ya que en general se cumple
para cualquier anillo conmutativo con uno que det(AB) = det(A)det(B),
cf. [5] p. 196. Además esta función es un epimorfismo pues dado u ∈ UN ,
entonces la matriz ( u 00 1 ) ∈ GL2 (ZN).
El núcleo de det es precisamente SL2 (ZN) y por el primer teorema
de isomorfismo de grupos se tiene
GL2 (ZN)/SL2 (ZN) ∼= UN ,
como GL2 (ZN) es un grupo finito, se sigue que∣∣GL2 (ZN)∣∣ = ∣∣UN ∣∣∣∣SL2 (ZN)∣∣,
y como
∣∣UN ∣∣ = φ (N), se sigue el lema.
�
Finalmente, exhibimos otra demostración del Teorema 4.0.18. Nueva-
mente en virtud del Lema 4.0.17, basta calcular
∣∣SL2 (Zpn)∣∣ para p un
número primo.
Subgrupos principales de congruencias 49
Si n = 1 entonces Zp es un campo y V = Zp×Zp es un Zp-espacio
vectorial de dimensión 2. Es fácil ver que el conjunto de transformaciones
lineales no singulares de V está en correspondencia biyectiva con el conjun-
to de bases ordenadas de V , y dichas transformaciones son precisamente
GL2 (Zp), se sigue del Lema 4.0.20 que∣∣GL2 (Zp)∣∣ = p(p− 1)(p2 − 1)
y puesto que φ (p) = p− 1 se tiene
∣∣GL2 (Zp)∣∣ = φ (p)p3 (1− 1
p2
)
.
Se sigue del Lema 4.0.21 que
∣∣SL2 (Zp)∣∣ = p3(1− 1/p2).
Supongamos que n > 1 y definamos
ϕ : SL2 (Zpn) −→ SL2 (Zp)
por medio de (
a b
c d
)
7−→
(
ap bp
cp dp
)
la reducción entrada por entrada módulo p. Es claro que ϕ es un morfismo
de grupos.
También, si A = ( a bc d ) ∈ SL2 (Zp), entonces por el Lema 4.0.15
existen a′ ≡ a, b′ ≡ b, c′ ≡ c, d′ ≡ d mod p tales que a′d′ − b′c′ = 1,
por lo cual la matriz A′ =
(
a′ b′
c′ d′
)
∈ SL2 (Z). Sea B =
(
a′ b′
c′ d′
)
, la matriz
que se obtiene de A′ reduciendo entrada por entrada módulo pn−1, esta
matriz está en SL2 (Zpn), ya que a′d′ − b′c′ = 1, usando los argumentos
descritos antes del Lema 4.0.17, se tiene que ϕ (B) = A, por lo que ϕ
es un epimorfismo de grupos.
Ahora
Ker (ϕ) =
{(
a b
c d
)
∈ SL2 (Zpn)
∣∣∣∣ ( a bc d
)
≡
(
1 0
0 1
)
mod p
}
,
bajo estas condiciones, para cualesquiera b, c, d ∈ Zpn , tales que b, c ≡ 0,
d ≡ 1 mod p, existe una única a ∈ Zp tal que
ad− bc ≡ 1 mod p.
50 Subgrupos principales de congruencias
También, si q ∈ Zpn , entonces se cumple alguna de las dos relaciones
(q, p) = 1, o (q, p) 6= 1.
Si (q, p) 6= 1, entonces q ≡ 0 mod p, y p|q. El número de elementos
r ∈ Zpn tales que q ≡ 0 mod p es pn−1.
Nótese que q ≡ 1 mod p si y sólo si q = kp + 1, para alguna
k ∈ Z. Si q ∈ Zpn , 0 ≤ q < pn, entonces k sólo puede tomar los valores
1, 2, . . . pn−1. Finalmente, el número de elementos en el núcleo de ϕ es∣∣Ker (ϕ)∣∣ = p3(n−1),
(pn−1 por las b, pn−1 por las c, y también pn−1 por las d).
Por el primer teorema de isomorfismo de grupos se tiene
SL2 (Zpn)/Ker (ϕ) ∼= SL2 (Zp),
por lo tanto ∣∣SL2 (Zpn)∣∣ = ∣∣Ker (ϕ)∣∣∣∣SL2 (Zp)∣∣
= p3(n−1)p3
(
1− 1
p2
)
= p3n
(
1− 1
p2
)
�
Caṕıtulo 5
Regiones fundamentales para
subgrupos de ı́ndice finito
En este caṕıtulo enunciamos y demostramos un teorema que exhibe una
forma para construir regiones fundamentales para un subgrupo K de ı́ndice
finito de un grupo fuchsiano G. Concluimos exhibiendo algunos ejemplos
para el caso del grupo modular
Antes de enunciar el resultado principal necesitamos algunos teoremas
previos cuya demostración pueden consultarse en [1] Caṕıtulo 9.
Definición 15 Sea G un grupo fuchsiano, una región fundamental para
la acción de G en H2 es un conjunto R tal que
1. cualesquiera dos puntos z1, z2 ∈ R no son G– equivalentes;
2. dado w ∈ H2, existe z ∈ R̃ y T ∈ G, tal que T (z) = w, donde
R̃ denota la cerradura de R en H2;
3. ∂R tiene medida bidimensional de Lebesgue cero.
Definición 16 Sea G un grupo fuchsiano actuando en H2 y R
una región fundamental para G. Se dice que R es localmente finita
si cualquier subconjunto compacto de H2 interseca sólo un número finito
de G– imágenes de R.
Nótese que si la región fundamental R es h–convexa y g(R̃) ∩ R̃ 6= ∅,
entonces g(R̃) ∩ R̃ consiste de un arco de geodésica o de un punto.51
52 Regiones fundamentales para subgrupos de ı́ndice finito
Definición 17 Un lado de una región fundamental R es un arco de geodésica
de la forma g(R̃) ∩ R̃. Un vértice es un punto en H2 de la forma
f(R̃) ∩ g(R̃) ∩ R̃, g 6= f , f, g 6= Id.
Obsérvese que si s es un lado de R, entonces existe una única gs ∈ G
tal que gs(R̃) ∩ R̃ = s, por lo cual g−1s (s) = R̃ ∩ g−1s (R̃) = s′ es otro lado
de R. Se dice que la transformación gs es un apareamiento de los lados
s y s′. Nótese que no se excluye la posibilidad de que s = s′.
Teorema 5.0.22 Sea R una región fundamental localmente finita y con-
vexa de un grupo fuchsiano G, entonces
G∗ = {g ∈ G | g(R̃) ∩ R̃ es un lado de R},
generan a G.
Una demostración de este hecho puede consultarse en [1] p. 220
Nótese que si R es una región fundamental convexa, dado un punto
interior de un lado s′, el único punto al cual es equivalente en R̃ es a su
correspondiente punto en s. Esta afirmación se sigue de la definición de lado
(cf. [1] pp. 217–219).
En la siguiente discusión se considera a un grupo fuchsiano G actuando
en H2 y R una región fundamental localmente finita y h–convexa.
Afirmación 13 Dado un punto interior h (z) de un lado h (s′), éste sólo
puede ser equivalente a puntos de la forma f (z) o f (gs (z)) en la teselación
definida por R, z ∈ s′.
Demostración. Si h (z) ∼ f (z1), z1 ∈ ∂R, entonces existe ϕ ∈ G tal
que
ϕ (h (z)) = f (z1),
por lo cual f−1ϕh (z) = z1 y se sigue de la observación anterior que
f−1ϕh =
{
Id, y z1 = z
gs, y z1 = gs (z).
�
Regiones fundamentales para subgrupos de ı́ndice finito 53
z1
f (R)
f (z)
h (R)
h (z)
gs (z)
Figura 5.1: Prueba de la Afirmación 13
En el contexto de la afirmación anterior ϕ = f h−1 o f gsh
−1, por lo
que
ϕ (h (s′)) =
{
f (s′)
f (gs (s
′)),
es decir, ϕ manda todo el lado que contiene a h (z) en todo el lado que
contiene a f (z). Nótese también que estas funciones son las únicas que
aparean estos puntos, ya que los puntos interiores de los lados no son puntos
fijos.
Definición 18 Un ciclo c = {z1, . . . , zn} en R̃, es la intersección de
una G–órbita con R̃. La longitud del ciclo es n. También se define el
orden de c que denotamos por ord (c), como |Gj|, donde Gj es el
estabilizador de zj.
Nótese que el orden de un ciclo está bien definido ya que los estabilizadores
de los elementos del ciclo son conjugados (cf. [6] p. 105.)
Para ilustrar estas ideas consideremos el grupo modular Γ, cuya región
fundamental es el conjunto
R = {z ∈ H2 | |Re (z)| < 1/2, |z| > 1}, (5.1)
véase Figura 5.2. Una demostración de este hecho es encuentra en [6] p. 164.
Los lados son los arcos de geodésica
s′1 = {z ∈ H2 | Re (z) = −1/2, |z| ≥ 1},
54 Regiones fundamentales para subgrupos de ı́ndice finito
s1 = {z ∈ H2 | Re (z) = 1/2, |z| ≥ 1},
s′2 = {z ∈ H2 | −1/2 ≤ Re (z)| ≤ 0, |z| = 1},
s2 = {z ∈ H2 | 0 ≤ Re (z) ≤ 1/2, |z| = 1},
los vértices son los puntos ρ = 1/2+i
√
3/2, −ρ, e i. Las transformaciones
que aparean s′1 y s1, y s
′
2 y s2 son
T (z) = z + 1 y S (z) = −1
z
,
respectivamente. Como consecuencia del Teorema 5.0.22 las transformaciones
S y T generan Γ.
T
s1s
′
1
i
ρ−ρ
S
s2s
′
2
0 1 2−1−2
Figura 5.2: Región fundamental del grupo modular
A continuación consideramos un grupo abstracto G con generadores
g1, . . . , gn, y K un subgrupo de ı́ndice finito de G. Sea {sj}mj=1 un sis-
tema de representantes de clases laterales derechas de K en G, donde cada
palabra sj en los generadores g1, . . . , gn está escrita en forma reducida.
Diremos que el sistema {sj}mj=1 es un sistema Schreier de representantes,
si el segmento inicial de cualquier palabra sj, es un representante. Si el
subgrupo K tiene un sistema de representantes dado y w es una palabra
en G, la asignación w 7−→ w, donde w denota al representante de la
clase lateral de w, se llama función de representantes de clases laterales.
Es claro que w = 1 si y sólo si w ∈ K, también w = v si w y v están
en la misma clase lateral.
Regiones fundamentales para subgrupos de ı́ndice finito 55
Afirmación 14 wv = wv
Demostración. Basta observar que las clases laterales K (wv) y K (wv)
son iguales. Esto se sigue ya que
(wv)(wv)−1 = ww−1,
y como w ∈ Kw, entonces w = kw para alguna k ∈ K, por lo cual
ww−1 = k ∈ K.
�
Teorema 5.0.23 Sea G un grupo finitamente generable y K un sub-
grupo propio de ı́ndice finito de G, entonces existe un sistema Schreier de
representantes para K.
Demostración. Construiremos un sistema de representantes Schreier para
K de la siguiente manera. Podemos elegir como representante para la clase
lateral K la palabra vaćıa 1.
Como el subgrupo K es propio, existe un generador g1 de G tal que
g1 6∈ K. Denotemos por K1 la clase lateral de g1 y elijamos a éste último
como representante. Si el ı́ndice de K en G es 2 hemos terminado la
prueba.
Supongamos que [G : K] > 2. Se afirma que existe un generador
g2 6= g−11 tal que g1 g2 6∈ K ∪K1. Si g1 g2 ∈ K ∪K1 para todo generador
g2, entonces todas las palabras de longitud 3 están en K∪K1, esto último
se sigue ya que en virtud de la Afirmación 14 se tiene
g1 g2 g3 = g1 g2 g3
= g g3,
donde g = g1, o g = 1. Por lo cual las palabras de longitud 3 son elemen-
tos enK ∪ K1. De manera semejante se muestra que todas las palabras de
longitud mayor a 3 están en K ∪K1, por lo cual K tiene ı́ndice 2, lo que
contradice la hipótesis de que [G : K] > 2. Si K2 es la clase lateral de
g1 g2, podemos elegir a esta última palabra como representante de K2. Si
[G : K] = 3 hemos terminado, sino procediendo inductivamente se obtiene
un sistema de representantes Schreier para K.
�
56 Regiones fundamentales para subgrupos de ı́ndice finito
Consideremos ahora a G un grupo fuchsiano y K un subgrupo de ı́ndice
finito n. Supongamos que G tiene una región fundamental localmente finita
y h–convexa R, y que {fi}, i = 0, . . . , n − 1 es un sistema Schreier de
representantes de clases laterales derechas para K, donde
f0 = Id, f1 = gs1 , f2 = gs1 gs2 , f3 = gs1 gs2 gs3 , . . .
y sj es el lado R̃ ∩ gsj (R̃).
Afirmación 15 Si fk−1 = gs1 . . . gsk−1 y fk = gs1 . . . gsk en el sistema
Schreier, entonces
fk−1 (R̃) ∩ fk (R̃) = fk−1 (sk) = fk (s′k).
Demostración. Se tiene por biyectividad que
gs1 . . . gsk−1 (R̃) ∩ gs1 . . . gsk (R̃) = gs1 . . . gsk−1
(
R̃ ∩ gsk (R̃)
)
= fk−1 (sk) = fk−1 (gsk (s
′
k))
= fk (s
′
k).
�
gsk (R̃)
fk (R̃) = fk−1
(
gsk (R̃)
)
fk−1 (R̃)
fk (s
′
k
)
fk−1 (sk)
sk
gsk (s
′
k
)
s′
k
R
Figura 5.3: Prueba de la Afirmación 15
Regiones fundamentales para subgrupos de ı́ndice finito 57
A continuación probamos uno de los principales resultados de la tesis.
Teorema 5.0.24 Sea G un grupo fuchsiano actuando en H2 y R una
región fundamental localmente finita y h–convexa de G. Sea K un subgrupo
de ı́ndice finito de G y fj, j = 1, . . . , n un sistema de representantes
Schreier de clases laterales derechas para K. Si
F =
n⋃
i=1
fi (R̃),
entonces D = (F )◦ es una región fundamental para K.
Demostración. Primero probaremos que ∂D tiene medida de Lebesgue
cero. Como R tiene un número finito de lados, cualquier G– imagen de R
tiene un número finito de lados. Puesto que ∂D es la unión de una cantidad
finita de estos lados que tienen medida cero, se sigue que ∂D tiene medida
de Lebesgue cero.
Ahora mostraremos que todo punto z ∈ H2 es K– equivalente a un
punto en D̃. Como R es región fundamental de G, existe w ∈ R̃ y
g ∈ G tales que
z = g (w). (5.2)
También G = ∪ni=1Kfi, por lo que g = ϕfj para alguna j y alguna
ϕ ∈ K, sustituyendo en (5.2) tenemos
z = ϕ (fj (w)), fj (w) ∈ F = D̃,
lo cual demuestra la afirmación.
La demostración de que no existen puntos K– equivalentes en D la
realizamos descartando casos.
Caso I. Es claro que de existir 2 puntos K– equivalentes en ∪ni=1 fi(R),
estos no pueden estar ambos en fj(R) para alguna j, ya que R es región
fundamental para G. Aśı tales puntos deben encontrarse en imágenes de
R distintas.
Caso II. Supongamos que z y w están en fi(R) y fj(R),