Algebras-de-operadores-pseudodiferenciales-con-desplazamientos

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
ÁLGEBRAS DE OPERADORES
PSEUDODIFERENCIALES CON
DESPLAZAMIENTOS
Tesis de Maestŕıa
Alumno: Omar S. Vilchis Torres
Tutor: Dr. Yuri I. Karlovich
JUNIO 2010
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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Índice general
Resumen 3
Introducción 4
1. Preliminares 6
1.1. Funciones de variación acotada y absolutamente continuas . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Álgebras de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1. Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. El espacio de los ideales maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3. La frontera de Shilov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.4. Fibras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. C*-álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1. Algunas propiedades de C*-álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2. Fibras sobre C*-álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3. Principio local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Representaciones y Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5. Multiplicadores de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6. Operadores de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6.1. Propiedades básicas de los operadores de Fredholm . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.2. Operadores homotópicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2. Śımbolos oscilantes y sus aproximaciones 18
2.1. Funciones SO(R) y V (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2. Śımbolos L∞(R, V (R)), Cb(R, V (R)), S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3. Śımbolos lentamente oscilatorios E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4. Śımbolos especiales lentamente oscilatorios Ẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3. Álgebra de operadores pseudodiferenciales con śımbolos lentamente oscilato-
rios 29
3.1. Acotación y compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2. Operador formal adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3. Álgebra de los śımbolos de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4. Isomorfismos entre álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5. Teoŕıa de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1
4. Método de trayectoria local 40
4.1. Descripción del método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5. Álgebras de operadores pseudodiferenciales con desplazamientos 44
5.1. Funciones lentamente oscilatorias SOm(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.1.1. El espacio de ideales maximales de SOm(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2. Subclase de śımbolos oscilantes y sus aproximaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3. Teoŕıa de Fredholm para el álgebra Ap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3.1. El espacio de ideales maximales del álgebra Aπp . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4. La C∗-álgebra B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.4.1. Criterio de Fredholm para el álgebra B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4.2. Un caso particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5. La C∗-álgebra D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.5.1. Criterio de Fredholm para el álgebra D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Bibliograf́ıa 67
2
RESUMEN
Se estudian las C∗-álgebras B y D de B(L2(R)) generadas por todos los operadores pseu-
dodiferenciales con una subclase especial de śımbolos lentamente oscilatorios en el infinito y
por el rango de una representación unitaria de grupos dóciles (amenable). También se dan cri-
terios de Fredholm para tales álgebras aplicando el método de trayectoria local. Este método
está relacionado con el principio local de Allan-Douglas.
3
Introducción
El estudio de los operadores pseudodiferenciales surge en los años 60’s, teniendo su origen en
el estudio de operadores integro-diferenciales singulares. En realidad, Friedrichs y Lax utilizarón
el término operador pseudodiferencial en 1965 en su trabajo titulado ”Boundary Value Problems
for First Order Operator”[19]. A la fecha los operadores pseudodiferenciales han resultado útiles
en muchas áreas del análisis moderno y de la f́ısica matemática (ver por ejemplo, [44], [43], [45]).
El corazón de la teoŕıa de operadores pseudodiferenciales es el estudio de álgebras de śımbolos.
Tales álgebras nos determinan propiedades para los operadores pseudodiferenciales, como por
ejemplo, acotación, compacidad o la propiedad de Fredholm. Además provee una posibilidad de
construir soluciones a ecuaciones diferenciales asociadas a problemas con valores iniciales en la
frontera.
Sea B(L2(R)) la C∗-álgebra de todos los operadores lineales acotados actuando sobre el espa-
cio de Lebesgue L2(R). Consideramos los operadores unitarios de desplazamientos Ug definidos
sobre L2(R) por
(Ugf)(t) = g1/2f(gt), para t ∈ R
y g es un elemento del grupo discreto G := {kn : n ∈ Z}, donde k ∈ R positivo y k 6= 1. También
consideramos los operadores unitarios U
eg sobre L2(R) dados por
(U
egf)(t) = |g̃|1/2f(g̃t), para t ∈ R
y g̃ es un elemento del grupo discreto G̃ = {±g : g ∈ G}.
Sea A la C∗-subálgebra de B(L2(R)) generada por todos los operadores pseudodiferenciales
con śımbolos Ẽm, donde Ẽm es una subálgebra del álgebra Ẽ de śımbolos lentamente oscilatorios.
Las definiciones de Ẽm y Ẽ están en (5.10) y (2.33) respectivamente.
El objetivo de esta tesis es construir una teoŕıa de Fredholm para las C∗-álgebras no locales
(con desplazamientos)
B := C∗(A, UG), D := C∗(A, U eG), (1)
B,D ⊂ B(L2(R)), generada por todos los operadores A ∈ A y por todos los operadores de
desplazamiento Ug(g ∈ G) y Ueg(g̃ ∈ G̃) respectivamente. Equivalentemente nos planteamos
construir una teoŕıa de invertibilidad para la C∗-álgebras cocientes Bπ := B/K y Dπ := D/K,
donde K := K(L2(R)) es el ideal de todos los operadores compactos en B(L2(R)) (Por Lema
3.3.1 K ⊂ A ). Tomando Aπ := A/K vemos que Bπ y Dπ pueden ser vistas como las C∗-álgebras
Bπ = (Aπ, UπG) y Dπ = (Aπ, UπG), generadas por las clases Aπ(A ∈ A), Uπg (g ∈ G) y Uπeg (g̃ ∈ G̃),
respectivamente, donde Bπ = B +K para cada B ∈ B(L2(R)).
4
Para tal objetivo haremos uso de un método local. El método local elaborado por I. B.
Simonenko [41] (ver también [40]), es una poderosa herramienta para el estudio de diferentes
clases de operadores integrales. Este método fundamentalmente cambio la estrategia para el
estudio de invertibilidad y de Fredholm de ecuaciones con operadores y ejerce una gran influencia
sobre otras investigaciones. Las versiones de principios locales que le siguieron por G. R. Allan
[1], R.G. Douglas ([15, Teorema 7.47]), I. Gohberg and N. Krupnik [21, Caṕıtulo 5, Teoremas 1.1
y 1.2] tienen una esfera más amplia de aplicaciones.La más conveniente de ellas es el principio
local de Allan-Douglas (Caṕıtulo 1, Sección 1.3.3), que es una generalización a la teoŕıa de
invertibilidad de Gelfand. El método de trayectoria local elaborado en [26, 27] para el estudio de
la C∗-álgebra B̃ = alg(Ã, UG) generada por una C∗-subálgebra à y una representación unitaria
U de un grupo dócil (amenable) está relacionado con el principio local de Allan-Douglas.
Este trabajo esta organizado en la siguiente forma. En el Caṕıtulo 1, se exponen las de-
finiciones y algunos resultados y propiedades necesarios. En los Caṕıtulos 2 y 3 se describen
resultados del art́ıculo [28], donde se estudia una subálgebra de Banach A = Ap del álgebra
de Banach Bp, de todos los operadores lineales acotados que actúan sobre el espacio de Lebes-
gue Lp(R), generada por los operadores pseudodiferenciales a(x,D) con śımbolos V (R)-valuados
lentamente oscilatorios x 7→ a(x, ·) sobre R, donde V (R) es el álgebra de Banach de funciones
absolutamente continuas de variación acotada sobre R. Se dan condiciones suficientes para la
acotación y compacidad de operadores pseudodiferenciales con śımbolos en L∞(R, V (R)). Una
caracterización del operador formalmente adjunto es dada para el operador pseudodiferencial
con śımbolo en E (ver Sección 2.3). Se establece un isomorfismo entre el álgebra cociente de
Banach Aπ = A/K de operadores pseudodiferenciales y el álgebra de Banach  de sus śımbolos
de Fredholm. Un criterio de Fredholm y una fórmula del ı́ndice se establecen también, para los
operadores pseudodiferenciales A ∈ A en términos de sus śımbolos de Fredholm. En el Caṕıtulo 4
vemos el método de trayectoria local, de acuerdo al art́ıculo [26] (ver también [5]), que usaremos
para determinar un criterio de Fredholm para nuestras C∗-álgebras B y D definidas en (1).
En el Caṕıtulo 5 tenemos lo siguiente. Partiendo de una C∗-subálgebra SOm(R) de la C∗-
álgebra SO(R) que consiste de funciones lentamente oscilatorias en el infinito, tomamos una
subclase de śımbolos Ẽm, relacionada con lo definido en el Caṕıtulo 2. Haciendo uso del Caṕıtulo
3, expresamos la teoŕıa de Fredholm para la subálgebra de Banach Ap del álgebra de Banach Ap,
generada por todos los operadores pseudodiferenciales a(x,D) con śımbolos en Ẽm y describimos
el espacio de ideales maximales M(Aπ), donde Aπp = Ap/Kp, y Kp = K(Lp(R)). Del álgebra Ap
tomamos el caso p = 2 y la denotamos por A, donde A resulta ser una C∗-álgebra con respecto
al operador adjunto sobre el espacio de Hilbert L2(R). De aqúı construimos la C∗-álgebra B y
buscamos las condiciones del método de trayectoria local para el álgebra Bπ y obtenemos un
criterio de Fredholm. Como un caso particular consideramos el operador B ∈ B definido por
B = ae(x,D) + ag(x,D)Ug (2)
sobre L2(R), donde ae(x,D), ag(x,D) ∈ A y damos condiciones explicitas de Fredholm haciendo
uso de los art́ıculos [30] y [29]. Por último, por analoǵıa con la C∗ -álgebra B, damos un criterio
de Fredholm para la C∗-álgebra D.
5
Caṕıtulo 1
Preliminares
En este caṕıtulo se dan los conceptos y resultados que necesitamos para el desarrollo de
nuestro estudio. Para los śımbolos de los operadores pseudodiferenciales que trataremos usamos
las funciones, entre otras que veremos en los Caṕıtulos 2 y 5, de variación acotada y absoluta-
mente continuas (se pueden ver en [11] ). Dado que el objetivo es dar un criterio de Fredholm
para una C∗-álgebra se dan también los conceptos de álgebras de Banach [38], C∗-álgebras y
otros más relacionados con estos, como por ejemplo el espacio de ideales maximales y fibras,
tales conceptos y las propiedades que se darán se pueden ver en [6]. Además, consideramos las
representaciones y estados (ver [10]) que utilizaremos para aplicar el método de trayectoria local.
Dado que este método tiene relación con el principio local de Allan-Douglas y a la importancia
de poder utilizar esta técnica para obtener criterios de Fredholm se dará este resultado con
demostración. Tal demostración y la definición de operadores de Fredholm se puede ver también
en [6].
1.1. Funciones de variación acotada y absolutamente continuas
Una función en un intervalo se llama función de variación acotada cuando existe una cons-
tante C tal que, cualquiera que sea la partición del intervalo [a, b] por puntos
a = x0 < x1 < · · · < xn = b,
se cumple la desigualdad
n∑
k=1
| f(xk)− f(xk−1) |6 C. (1.1)
Sea f una función de variación acotada. La cota superior mı́nima de las sumas (1.1) corres-
pondientes a todas las particiones finitas del segmento [a, b] se denomina variación total de la
función f en el segmento [a, b] y se designa mediante V ba [f ]. De manera que
V ba [f ] = sup
n∑
k=1
| f(xk)− f(xk−1) | .
Una función f definida en toda la recta se llama función de variación acotada cuando las
magnitudes V ba [f ] están acotadas en su conjunto. En este caso,
ĺım
b→∞
a→−∞
V ba [b]
6
se llama variación total de la función f en la recta −∞ < x <∞ y se designa con V∞−∞[f ].
Una función F : R → R es absolutamente continua si para cada número positivo ε existe un
número positivo δ tal que Σi|F (ti)−F (si)| < ε se satisface, si {(si, ti)} es una sucesión finita de
intervalos abiertos disjuntos para los cuales Σi(ti − si) < δ.
Es claro que cada función absolutamente continua es continua y, además, uniformemente
continua. Sin embargo, hay funciones que son uniformemente continuas y de variación finita,
pero, que no son absolutamente continuas. Se puede también ver que una función absolutamente
continua es de variación finita sobre cada intervalo acotado cerrado, pero no es necesariamente
de variación finita sobre R (considere la función F definida por F (x) = x).
1.2. Álgebras de Banach
Para nuestro estudio es necesario considerar los espacios cocientes que a continuación se defi-
nen, además del espacio de ideales maximales, frontera de Shilov y fibras lo cuales son necesarios
para construir los śımbolos de Fredholm para nuestra álgebra de operadores pseudodiferenciales.
Un álgebra compleja es un espacio vectorial A sobre el campo complejo C en el cual está de-
finida una operación de multiplicación que satisface
x(yz) = (xy)z, (x+ y)z = xz + yz, x(y + z) = xy + xz
y
α(xy) = (αx)y = x(αy)
para todo x, y, y z en A y para todo escalar α.
Si está definida una norma en A, que hace de A un espacio lineal normado y la cual satisface
la desigualdad multiplicativa
‖xy‖ ≤ ‖x‖‖y‖ (x, y ∈ A), (1.2)
entonces A es una álgebra compleja normada. Si, además, A es un espacio métrico completo en
relación a esta norma, esto es, si A es un espacio de Banach, entonces diremos que A es un
álgebra de Banach.
Suponga que J es un subespacio de un espacio vectorial A, y asociamos con cada x ∈ A la
clase
φ(x) = x+ J = {x+ y : y ∈ J}. (1.3)
Si x1−x2 ∈ J , entonces φ(x1) = φ(x2). Si x1−x2 /∈ J , φ(x1)∩φ(x2) = ∅. El conjunto de todas
las clases de J es denotado por A/J y se le llama espacio cociente; este es un espacio vectorial
si definimos
φ(x) + φ(y) = φ(x+ y), λφ(x) = φ(λx) (1.4)
para x e y ∈ A y el escalar λ. Ya que J es un espacio vectorial, las operaciones (1.4) están bien
definidas; esto significa que si φ(x) = φ(x′) y φ(y) = φ(y′), entonces
φ(x) + φ(y) = φ(x′) + φ(y′), λφ(x) = λφ(x′).
7
1.2.1. Ideales
Sea A un álgebra de Banach compleja. Una subálgebra cerrada J de A se dice que es un
ideal izquierdo (derecho) cerrado de A si aj ∈ J ( ja ∈ J) para toda a ∈ A y j ∈ J . Los ideales
bilaterales cerrados de A son los ideales cerrados que son ideales izquierdo y derecho a la vez.
Un ideal izquierdo (derecho, bilateral) cerrado propio J de A se dice que es un ideal maximal
izquierdo (derecho, bilateral) si no está propiamente contenido en cualquier otro ideal izquierdo
(derecho, bilateral) propio de A.
Las siguientes propiedades se pueden ver en [6].
(a) En un álgebra de Banach con identidad cada ideal izquierdo (derecho, bilateral) cerrado
propio estácontenido en algún ideal maximal izquierdo (derecho, bilateral).
Los ideales maximales bilaterales para simplificar se referirán como ideales maximales. Si J
es un ideal bilateral cerrado propio de A, entonces el álgebra cociente A/J es un álgebra de
Banach bajo la norma ‖a+ J‖ := ı́nfj∈J ‖a+ j‖.
(b) Si A es conmutativa con identidad, y J es un ideal maximal de A entonces el álgebra
cociente A/J es un campo, esto es, cada elemento diferente del cero de A/J tiene un inverso.
El radical R(A) de A es la intersección de todos los ideales maximales izquierdos de A.
(c) Si A tiene identidad, entonces R(A) es un ideal bilateral cerrado de A y R(A) coincide
con la intersección de todos los ideales maximales derechos de A.
Un álgebra de Banach con identidad cuyo radical consiste sólo del elemento cero se lla-
mará semisimple.
1.2.2. El espacio de los ideales maximales
Sea A un álgebra de Banach conmutativa con identidad e. Un funcional lineal multiplicativo
sobre A es una transformación lineal continua m : A → C la cual preserva la multiplicación
m(ab) = m(a)m(b) para todo a, b ∈ A y toma el valor 1 en e, es decir, m(e) = 1. El kernel de m
es el conjunto de todos los elementos a ∈ A para los cuales m(a) = 0.
Se tiene una correspondencia biyectiva entre los funcionales lineales multiplicativos y los
ideales maximales de A: el kernel de cada funcional lineal multiplicativo es un ideal maximal y
cada maximal ideal es el kernel de algún funcional lineal multiplicativo determinado de manera
única. Por lo tanto no se hará distinción entre los funcionales lineales multiplicativos y los ideales
maximales. Denotaremos al conjunto de todos los funcionales lineales multiplicativos sobre A por
M(A). La fórmula â(m) = m(a) (m ∈ M(A)) asigna a cada a ∈ A una función â : M(A) → C.
Esta función es llamada la función de Gelfand de a. Sea  el conjunto de todas las funciones â,
para a ∈ A.
La topoloǵıa de Gelfand sobre M(A) es la topoloǵıa más débil sobre M(A) que toma todas
las funciones â ∈ Â continuas. Esta es la topoloǵıa inducida sobre M(A), pensando a M(A)
como un subconjunto del espacio dual A∗ que está provisto con la topoloǵıa ∗-débil [39, página
67]. De este modo, una base para esta topoloǵıa esta formada por los abiertos, para un punto
m0 ∈M(A), dados por
Ua1,...,an;ε(m0) =
{
m ∈M(A) : |âi(m)− âi(m0)| < ε para i = 1, ..., n},
donde a1, ..., an ∈ A y ε > 0. El conjunto M(A) equipado con la topoloǵıa de Gelfand es llamado
el espacio de los ideales maximales de A. M(A) es un espacio compacto de Hausdorff y  es una
8
subálgebra (no necesariamente cerrada) de C(M(A)) (ver en [39]), donde C(M(A)) denota al
conjunto de todas las funciones complejas continuas sobre el espacio de los ideales maximales.
La transformación Γ : A→ C(M(A)), a 7→ â se referirá como la tranformación de Gelfand.
Note que, en general, Γ no es inyectiva ni suprayectiva. El kernel de Γ coincide con el radical
de A. De este modo, si A es semisimple, entonces la tranformación de Gelfand es inyectiva y,
de aqúı, un isomorfismo (algebraico) de A sobre  ⊂ C(M(A)). Por lo tanto para simplificar
escribiremos a y A en vez de â y Â.
Finalmente, si A es un álgebra de Banach conmutativa con unidad (no necesariamente se-
misimple) y si a ∈ A, entonces la imagen de â coincide con el espectro spAa := {λ ∈ C :
a− λe no es invertible en A} y ‖â‖∞ ≤ ‖a‖, donde ‖â‖∞ := máxm∈M(A) |â(m)|.
1.2.3. La frontera de Shilov
Sea A un álgebra conmutativa con identidad e. Un subconjunto cerrado F ⊂ M(A) es
llamado una frontera si
máx
m∈M(A)
|â(m)| = máx
m∈F
|â(m)| para todo a ∈ A.
La intersección de todas las fronteras es también una frontera. Esta es llamada la frontera
de Shilov de A y denotada por ∂SM(A).
Damos a continuación dos propiedades que se pueden ver en [6].
(a) Un punto m0 ∈M(A) está en ∂SM(A) si y sólo si para cada vecindad abierta U ⊂M(A)
de m0 existe un â ∈ Â tal que
sup
m∈M(A)\U
|â(m)| < sup
m∈U
|â(m)|.
(b) Sea B una subálgebra cerrada de A y sea e ∈ B. Entonces cada ideal maximal m ∈
∂SM(B) está contenido en algún ideal maximal de M(A). En otras palabras, cada funcional
ideal multiplicativo sobre B en ∂SM(B) admite una extensión a un funcional lineal multiplicativo
sobre A.
1.2.4. Fibras
Sea A un álgebra de Banach conmutativa con identidad e y sea B una subálgebra cerrada
de A conteniendo a e. Considere la transformación
τ : M(A) →M(B), α 7→ α|B,
la cual asigna a cada funcional en M(A) su restricción a B. Se puede ver que τ es continuo.
Para β ∈M(B), tenemos
Mβ(A) = {α ∈M(A) : α|B = β}.
Mβ(A) es la fibra de M(A) sobre β. Dado que τ es continua y Mβ(A) = τ−1({β}), Mβ(A) es
siempre un subconjunto compacto de M(A). Puede pasar que Mβ(A) = ∅.
Hay dos situaciones de particular importancia.
(a) Supongamos que para cada β ∈M(B) la fibra Mβ(A) es vaćıa o sólo un punto. Entonces
τ es inyectivo y dado que M(A) es compacto, se sigue que τ es un homeomorfismo de M(A)
9
sobre el subconjunto compacto τ(M(A)) de M(B). Identificando M(A) con τ(M(A)), podemos
pensar a M(A) como un subconjunto de M(B).
(b) Suponga que A = C(Y ), donde Y es un espacio de Hausdorff compacto, y sea B una
subálgebra cerrada de A la cual contiene las funciones constantes y separa los puntos de Y .
Tenemos que M(A) = ∂SM(A) = Y (ver [39], página 283). Para β ∈M(B), la fibra
Mβ(A) = {y ∈ Y : b(y) = β(b), para todo b ∈ B},
es vaćıa o sólo un punto, ya que B separa los puntos de Y . Por lo tanto podemos considerar a
Y como un subconjunto compacto de M(B). Dado que ‖b‖ = máxy∈Y |b(y)| para toda b ∈ B,
la frontera de Shilov de B es un subconjunto cerrado de Y . De este modo, tenemos ∂SM(B) ⊂
Y ⊂M(B).
1.3. C*-álgebras
En esta sección damos las definiciones y algunas propiedades de las C∗-álgebras. Además,
del principio local.
Un mapeo a 7→ a∗ de un álgebra de Banach A en śı misma es llamado una involución sobre A
si a∗∗ = a, (a+ b)∗ = a∗+ b∗, (ab)∗ = b∗a∗, (λa)∗ = λ̄a∗ para toda a, b ∈ A y λ ∈ C. Un álgebra
de Banach A con involución a 7→ a∗ que satisface ‖aa∗‖ = ‖a‖2 para toda a ∈ A es llamada una
C∗-álgebra. Si Y es un espacio de Hausdorff compacto y H es un espacio de Hilbert, entonces
C(Y ) y B(H) son C∗-álgebras.
Un *-homomorfismo, también llamado *-morfismo, (ver en [10]) entre dos C∗-álgebras A y
B es una transformación π : a ∈ A 7→ π(a) ∈ B, definida para toda a ∈ A y tal que
(1) π(αa+ βb) = απ(a) + βπ(b)
(2) π(ab) = π(a)π(b)
(3) π(a∗) = π(a)∗
para toda a, b ∈ A y α, β ∈ C.
Un *-morfismo π de A a B es un *-isomorfismo si es inyectivo y sobre.
1.3.1. Algunas propiedades de C*-álgebras
Sea L(H) la C∗-álgebra de todos los operadores lineales acotados que actúan en un espacio
de Hilbert H. Para referencia de las siguientes propiedades consultar [6].
Propiedades 1.3.1 (a) (Gelfand- Naimark) Si A es una C∗-álgebra conmutativa con unidad,
entonces el mapeo de Gelfand es un ∗- isomorfismo isométrico de A sobre C(M(A)).
(b) (Gelfand- Naimark) Si A es cualquier C∗-álgebra, entonces existe un espacio de Hilbert
H tal que A es *-isomorfa e isométrica a alguna C∗-subálgebra de B(H).
(c) Si A es una C∗-álgebra conmutativa con unidad, entonces ∂SM(A) = M(A).
(d) Si A es una C∗-álgebra con identidad y B es una C∗-subálgebra de A conteniendo la
unidad, entonces un elemento a ∈ B es izquierdo (derecho, bilateral) invertible en A si y sólo si
también lo es en B.
10
(e) Sean A y B C∗-álgebras y sea ϕ : A → B un *-homomorfismo. Entonces ‖ϕ(a)‖ ≤ ‖a‖
para toda a ∈ A y la imagen de ϕ es cerrada en B. Si, además, ϕ es inyectivo, entonces
‖ϕ(a)‖ = ‖a‖ para toda a ∈ A.
(f) Sea A una C∗-álgebra y sea J un ideal bilateral cerrado de A. Entonces J es autoconjugado
(esto es, J∗ = J) y A/J provisto con la involución (a+ J)∗ := a∗+ J y la norma cociente usual
es una C∗-álgebra.
(g) Sea A una C∗-álgebra, sea B una C∗-subálgebra de A, y sea J un ideal bilateral cerrado
de A. Entonces B+ J es una C∗-subálgebra de A y las álgebras C∗ (B+ J)/J y B/(B∩ J) son
isométricamente ∗-isomorfas.
1.3.2. Fibras sobre C*-álgebras
Sea A un álgebra de Banach conmutativa con identidad y B una subálgebra cerrada de A
que contiene a la identidad.
(a) Por 1.2.3 (b), para β en la frontera de Shilov ∂SM(B) la fibra Mβ(A) no es vaćıa.
(b) En particular, si B es una C∗-subálgebra de A, entonces ∂SM(B) = M(B) y aśı,Mβ(A) 6=
∅ para cada β ∈M(B). Por medio
α1 ∼ α2 ⇔ α1|B = α2|B (α1, α2 ∈M(A)
se define una relación de equivalencia sobre M(A). La partición correspondiente de M(A) en
clases de equivalencias no es otra que la partición de M(A) en fibras sobre M(B). Este conjunto
de clases de equivalencia equipado con la topoloǵıa natural es homeomorfo a M(B).
1.3.3. Principio local
Definición 1
Sea A un álgebra de Banach con unidad e. El centro de A (Cen A) es el conjunto de todos
los elementos z ∈ A con la propiedad za = az para todo a ∈ A. Claramente, Cen A es una
subálgebra conmutativa cerrada de A. Sea B una subálgebra cerrada de Cen A conteniendo a
e. De este modo, B es también conmutativa. Si N ⊂ B es un ideal maximal de B, entonces JN
denotará el ideal bilateral cerrado más pequeño de A que contiene a N , esto es,
JN = clausA
{
m∑
k=1
xkak : m ∈ Z+, xk ∈ N, ak ∈ A
}
.
Por supuesto que puede pasar que JN = A. En el caso JN 6= A se denotará por AN el álgebra
cociente A/JN y, para a ∈ A, por aN la clase a + JN . Si JN = A, entonces AN se referirá al
álgebra {Θ} cuyo sólo el elemento Θ es simultáneamente el cero y la identidad; consideramos
entonces aN = Θ para cada a ∈ A y hacemos la convención de que aN ∈ GAN (es decir, aN es
invertible en AN ) y ‖aN‖ = 0 para cada a ∈ A. Note que en cualquier caso ‖aN‖ = dist (a, JN ).
Lema 1.3.1 Sea L un ideal maximal izquierdo, derecho o bilateral de A. Entonces L∩B es un
ideal maximal de B.
11
Demostración. Para concretar, supongamos que L es un ideal maximal izquierdo. Es claro
que L ∩B es un ideal bilateral propio (e /∈ L) de B y aśı continuamos con la prueba de que sea
maximal.
Sea z ∈ B\L. Entonces Iz := {l + az : l ∈ L, a ∈ A} es un ideal izquierdo de A que contiene
a L propiamente (z /∈ L). El hecho de que L es maximal implica que Iz = A, de aqúı e ∈ Iz, y se
sigue que z tiene un inverso módulo L (observe que a ∈ Cen A). Además, Kz := {a ∈ A : az ∈ L}
es un ideal izquierdo propio (e /∈ Kz) de A que contiene a L. Ya que L es maximal, tenemos
Kz = L. En particular, si y1, y2 son módulos inversos L de z, entonces y1 − y2 ∈ L. Aśı, los
módulos inversos L de z determinan un único elemento del espacio cociente A/L.
Ahora supongamos que z − λe /∈ L para toda λ ∈ C. Sea yπ(λ) (únicamente determinado)
la clase de A/L que contiene los módulos inversos L de z − λe. Aseveramos que yπ : C → A/L
es una función anaĺıtica. Para ver esto, sea λ0 ∈ C y sea y0 ∈ yπ(λ0) cualquier módulo inverso
L de z − λ0e. Entonces, para |λ− λ0| < 1/‖y0‖, el elemento e− (λ− λ0)y0 es invertible en A y
se verifica fácilmente que y0[e− (λ− λ0)y0]−1 es un módulo inverso L de z − λe. De este modo,
para |λ− λ0| < 1/‖y0‖,
yπ(λ) = y0[e− (λ− λ0)y0]−1 + L,
lo cual implica que la función yπ sea anaĺıtica. Si |λ| > ‖z‖, entonces z−λe es realmente invertible
en A y, cuando |λ| → ∞,
‖yπ(λ)‖ ≤ ‖(z − λe)−1‖ = (1/|λ|)
∥∥∥∥ ∑
n≥0
zn/λn
∥∥∥∥ = o(1).
Por lo tanto, por el teorema de Liouville, yπ(λ) = 0 para toda λ ∈ C, contrario a la suposición
de que L es un ideal propio de A (para yπ(0) = 0 implicaŕıa que hay un y0 ∈ L con y0z− e ∈ L,
de aqúı que e ∈ L).
De lo anterior, hay algún λ ∈ C tal que z − λe ∈ L y, ya que z /∈ L, tenemos que λ 6= 0. Se
sigue que e = λ−1z + l para algún l ∈ L ∩B.
Ahora asumimos que existe un ideal bilateral I de B tal que L∩B ⊂ I y L∩B 6= I. Entonces
hay un elemento z ∈ I�(L ∩ B) ⊂ B�L y, por lo que ha sido probado anteriormente, existe
λ ∈ C�{0} y l ∈ L ∩B con e = λ−1z + l. Pero esto implica que e ∈ I y, de aqúı, I = B, lo cual
prueba que L ∩B es maximal. �
Teorema 1.3.1 (Allan-Douglas). Sea la situación como en la definición (1).
(a) Si a ∈ A, entonces a es invertible por la izquierda (derecha, bilateral) en A si y sólo si
aN es invertible por la izquierda (derecha, bilateral) en AN para toda N ∈M(B).
(b) El mapeo
M(B) → R+, N 7→ ‖aN‖,
es semicontinuo superior (por arriba). Si a ∈ A y aN0 ∈ GAN0, entonces aN ∈ GAN para toda
N en alguna vecindad abierta de N0.
(c) Si A es semisimple, entonces
⋂
N∈M(B) JN = {0}.
(d) Si A es una C∗-álgebra, entonces, para a ∈ A,
‖a‖ = máx
N∈M(B)
‖aN‖.
12
Demostración. (a) Se hará la demostración para la invertibilidad por la izquierda. La demos-
tración para la invertibilidad por la derecha es análoga.
Es claro que aN es invertible por la izquierda si a lo es. Para demostrar la implicación inversa
asumimos lo contrario, esto es, suponemos que aN es invertible por la izquierda en AN para toda
N ∈ M(B) pero a no es invertible por la izquierda en A. Denotamos por L el ideal maximal
izquierdo de A que contiene a I := {xa : x ∈ A} (observe que e /∈ I y utilizamos 1.2.1 (a)). Sea
N := L ∩B. Por el lema 1.3.1, N ∈M(B). Aseveramos que JN ⊂ L. En efecto, si x =
∑
xkak,
donde xk ∈ N = L ∩ B y ak ∈ A, entonces x =
∑
akxk (porque B ⊂ Cen A), y de aqúı x ∈ L
(porque L es un ideal izquierdo). De este modo JN ⊂ L. Por lo que asumimos, aN es invertible
por la izquierda en AN , esto es, existe un b ∈ A tal que ba− e ∈ JN , y ya que JN ⊂ L, tenemos
ba − e ∈ L. Por otro lado, ba ∈ I ⊂ L. Esto implica que e ∈ L, lo cual contradice el hecho de
que L es maximal.
(b) Sea N0 ∈M(B) y sea ε > 0. Tomamos a1, ..., an ∈ A y z1, ..., zn ∈ N0 tales que∥∥∥∥∥a+
n∑
j=1
ajzj
∥∥∥∥∥ < ‖aN0‖+ ε2 . (1.5)
Se define la vecindad abierta Uε ⊂M(B) de N0 como
Uε =
{
N ∈M(B) : |ẑj(N)| < ε
/(
2
n∑
j=1
‖aj‖+ 1
)
para j = 1, ..., n
}
y sea yj = zj − ẑj(N)e. Entonces yj ∈ N y aśı
‖aN‖ ≤
∥∥∥∥∥a+
n∑
j=1
ajyj
∥∥∥∥∥. (1.6)
Ahora, si N ∈ Uε, entonces de (1.5) y (1.6) tenemos
‖an‖ − ‖aN0‖ ≤ ‖a+
∑
ajyj‖ − ‖a+
∑
ajzj‖+ ε/2
≤ ‖
∑
aj(yj − zj)‖+ ε/2 = ‖
∑
ẑj(N)aj‖+ ε/2 < ε.
Esto demuestra la semicontinuidad superior de ‖aN‖ en N0. La segunda parte de la aseve-
ración sigue de [6, Teorema 1.31 (c)].
(c) Sea L cualquier ideal maximal izquierdo de A. Del Lema 1.3.1 sabemos que N := L ∩B
es un ideal maximal de B. Si x =
∑
zkak(zk ∈ N, ak ∈ A), entonces x =
∑
akzk ∈ L (porque
L es un ideal izquierdo), y se sigue que JN ⊂ L. Sea πN el homomorfismo canónico de A sobre
AN = A/JN . Claramente, πN (L) es un ideal izquierdo de AN . Si πN (L) no fuera propio, entonces
existiŕıa un y ∈ L tal que πN (y) = eN , de donde y − e ∈ JN ⊂ L, y de este modo e ∈ L, lo cual
contradice que L es maximal. Consecuentemente, πN (L) es un ideal izquierdo propio de AN .
Por 1.2.1 (a), πN (L) está contenido en algún ideal maximal izquierdo LN de AN . Aseveramos
que π−1N (LN ) = L. Es claro que L ⊂ π
−1
N (LN ) y que π
−1
N (LN ) es un ideal izquierdo de A. Si
la unidad e estuviera contenido en π−1N (LN ), entonces eN = πN (e) debeŕıa pertenecer a LN , lo
cual es imposible, ya que LN es maximal. De este modo, π−1N (LN ) es un ideal izquierdo propio
de A que contiene al ideal maximal izquierdo L, y esto implica que L = π−1N (LN ).
13
Ahora sea x ∈
⋂
N∈M(B)JN y sea L cualquier ideal maximal izquierdo de A. Por lo que ha
sido probado, hay un N ∈M(B) y un ideal maximal izquierdo LN de AN tal que L = π−1N (LN ).
Dado que πN (x) = 0, tenemos que πN (x) ∈ LN y de aqúı, x ∈ L. Aśı, x pertenece a cada ideal
maximal izquierdo de A y ya que A se supuso semisimple, entonces x = 0.
(d) Si A es una C∗-álgebra, entonces también lo es la suma directa
⊕
N∈M(B)AN . El homo-
morfismo canónico πN : A→ AN produce un ∗-homomorfismo
π : A→
⊕
N∈M(B)
AN , a 7→ (aN )N∈M(B).
Ya que una C∗-álgebra siempre es semisimple, la prueba anterior de la parte (c) implica que π
es inyectivo, y aśı 1.3.1 (e) muestra que π es un isomorfismo, es decir, ‖a‖ = supN∈M(B) ‖aN‖
para toda a ∈ A. Finalmente, en vista de la semicontinuidad superior de ‖aN‖ (parte (b)), el
supremo puede ser reemplazadopor el máximo. �
1.4. Representaciones y Estados
Una representación de una C∗-álgebra A se define como un par (H, π), donde π es un *-
homomorfismo de A en el conjunto de operadores lineales acotados sobre el espacio de Hilbert
H, denotado por B(H). Se dice que una representación (H, π) es fiel si π es un *-isomorfismo
entre A y π(A), esto es, si y sólo si ker π = {0}.
Las siguientes dos proposiciones se pueden ver en [10].
Proposición 1.4.1 Sea A un álgebra de Banach involutiva con identidad, B una C∗-álgebra, y
π un *-homomorfismo de A en B. Entonces π es continuo y
‖π(a)‖ ≤ ‖a‖
para toda a ∈ A.
Proposición 1.4.2 Sea (H, π) una representación de la C∗-álgebra A. La representación es fiel,
si y sólo si, se satisfacen cada una de las siguientes condiciones :
(1) ker π = {0};
(2) ‖π(a)‖ = ‖a‖ para toda a ∈ A.
Sea (Hα, πα)α∈I una familia de representaciones de la C∗-álgebra A, donde el conjunto I
puede ser o no numerable. La suma directa
H =
⊕
α∈I
Hα
de los espacios representativos Hα se define de la manera usual, y definimos la suma directa
representativa por
π =
⊕
α∈I
πα
haciendo π(A) igual al operator πα(A) sobre el subespacio componente Hα. Esta definición hace
de π(A) un operador acotado sobre H dado que ‖πα(A)‖ ≤ ‖A‖, para toda α ∈ I. Por lo que
14
se tiene que (H, π) es una representación y es llamada la suma directa de las representaciones
(Hα, πα)α∈I .
Denotamos el dual de una C∗-álgebra A por A∗, esto es, el espacio de los funcionales lineales
continuos sobre A, y definimos la norma de cualquier funcional f ∈ A por
‖f‖ = sup{|f(a)| : ‖a‖ = 1, a ∈ A}.
Un funcional lineal ω sobre un álgebra involutiva A es positivo si
ω(a∗a) ≥ 0
para todo a ∈ A. Un funcional lineal positivo ω sobre una C∗-álgebra A con ‖ω‖ = 1 es llamado
un estado.
Proposición 1.4.3 Un funcional lineal positivo sobre una C∗-álgebra es continuo.
El resultado anterior también se puede ver en [10].
Un funcional lineal positivo ω de una álgebra de Banach involutiva A, es llamado un estado
puro si para cada funcional lineal positivo ψ sobre A, tal que ψ(a∗a) ≤ ω(a∗a), es de la forma
λω, 0 ≤ λ ≤ 1.
1.5. Multiplicadores de Fourier
Para la construcción de una álgebra isomorfa al álgebra de operadores pseudodiferenciales
necesitamos considerar los multiplicadores de Fourier.
Definimos el operador Wa sobre L2(R) ∩ Lp(R), 1 < p <∞, por
(Waϕ)(t) := (F−1aFϕ)(t), ϕ ∈ L2(R) ∩ Lp(R),
donde F : L2(R) → L2(R) denota la transformada de Fourier dada por
(Fϕ)(x) = 1√
2π
∫
R
eixyϕ(y)dy, x ∈ R,
y F−1 su inversa. Una función a ∈ L∞ es llamada multiplicador de Fourier sobre Lp(R) si el
operador Wa se puede extender a un operador lineal acotado sobre Lp(R), y denotamos a este
operador nuevamente por Wa. Como es conocido [24], el conjunto Mp de los multiplicadores de
Fourier sobre Lp(R) es una álgebra de Banach con la norma
‖a‖Mp := ‖Wa‖B(Lp(R)).
1.6. Operadores de Fredholm
Sean X y Y espacios de Banach y sea A ∈ B(X,Y ), K(X,Y ) ⊂ B(X,Y ) el ideal bilateral
cerrado de todos los operadores compactos y C0(X,Y ) el conjunto de los operadores de rango
finito, esto es, F ∈ C0(X,Y ) si F ∈ B(X,Y ) y dim F (X) <∞. Tenemos
ker A = {x ∈ X : Ax = 0}, Im A = A(X).
15
El operador A es normalmente soluble si Im A es cerrada en Y . Un operador normalmente so-
lubleA ∈ B(X,Y ), es un φ+-operador (φ−-operador) si dim kerA <∞ (dim Coker:=dim(Y/ImA)
<∞). Si A es un φ+-operador y φ−-operador, entonces se dice que es un φ-operador (u operador
de Fredholm , u operador Noetheriano) y el entero
Ind A := dim ker A− dim Coker A
es el ı́ndice de A. La colección de todos los φ+-operadores de X a Y se denota por φ+(X,Y ),
y φ+(X,X) se abreviará por φ+(X). Se hace una definición similar para φ−(X,Y ), φ−(X) y
φ(X,Y ), φ(X).
1.6.1. Propiedades básicas de los operadores de Fredholm
Las siguientes propiedades se pueden ver en [6, 21].
a) Para A ∈ B(X,Y ) las siguientes afirmaciones son equivalentes
i) A ∈ φ(X,Y ).
ii) Existen operadores R,L ∈ B(Y,X) tales que
AR− IY ∈ K(Y ), LA− IX ∈ K(X).
iii) Existe un operador B ∈ B(Y,X) tal que
AB − IY ∈ C0(Y ), BA− IX ∈ C0(X),
donde IX , IY son los operadores de identidad sobre X y Y , respectivamente.
Cualquier operador B ∈ B(X,Y ) para el cual AB−IY ∈ K(Y ), BA−IX ∈ K(X) es llamado
un regularizador de A.
b) (Teorema de Atkinson) Sean X,Y, Z espacios de Banach y A ∈ φ(X,Y ), B ∈ φ(Y, Z).
Entonces BA ∈ φ(X,Z) y además
Ind BA = Ind B + Ind A.
c) φ(X,Y ) es un subconjunto abierto de B(X,Y ) y la aplicación
Ind : φ(X,Y ) → Z
es constante sobre las componentes conexas de φ(X,Y ). Si A ∈ φ(X,Y ) y K ∈ K(X,Y ) entonces
A+K ∈ φ(X,Y ) y Ind (A+K) = Ind A.
d) Sean X,Y, Z espacios de Banach y A ∈ B(X,Y ), B ∈ B(Y, Z). Entonces se tienen las
siguientes implicaciones:
i) A ∈ φ±(X,Y ), B ∈ φ±(Y, Z) ⇒ BA ∈ φ±(X,Z).
ii) BA ∈ φ+(X,Z) ⇒ A ∈ φ+(X,Y ).
iii) BA ∈ φ−(X,Z) ⇒ B ∈ φ−(Y, Z).
iv) A ∈ φ(X,Y ), BA ∈ φ(X,Z) ⇒ B ∈ φ(Y, Z).
v) B ∈ φ(Y, Z), BA ∈ φ(X,Z) ⇒ A ∈ φ(X,Y ).
16
e) La propiedad c) es valida si φ es reemplazado por φ+, φ−, y el ı́ndice puede tomar los
valores ±∞. Además, si A ∈ φ±(X,Y ) entonces
dim ker (A+ C) ≤ dim ker A, dim Coker (A+ C) ≤ dim Coker A
para C con norma suficientemente pequeña.
h) Tenemos A ∈ φ±(X,Y ) ⇔ A∗ ∈ φ±(Y ∗, X∗). Además, si A está en φ(X,Y ) entonces
dim ker A∗ = dim Coker A, dim Coker A∗ = dim ker A,
por lo que Ind A∗ = − Ind A.
1.6.2. Operadores homotópicos
Dos operadores A0, A1 ∈ B(X,Y ) se dicen homotópicos (en la clase de los operadores de
Fredholm φ(X,Y )) si existe una función operador continua A : [0, 1] → B(X,Y ) que posee las
siguientes dos propiedades:
(1) A(t) ∈ φ(X,Y ), para toda t ∈ [0, 1].
(2) A(0) = A0, A(1) = A1.
Para el siguiente teorema ver [33, pág. 113].
Teorema 1.6.1 Los operadores homotópicos tienen el mismo ı́ndice.
17
Caṕıtulo 2
Śımbolos oscilantes y sus
aproximaciones
En este caṕıtulo consideramos los śımbolos de los operadores pseudodiferenciales que se
describen en el Caṕıtulo 3, y que servirán de base para formar una subclase de śımbolos que
utilizaremos en el Caṕıtulo 5. Para la construcción de tales śımbolos se utilizan las funciones
lentamente oscilatorias en el infinito [13, pág. 122], de variación acotada y absolutamente conti-
nuas (ver Caṕıtulo 1, Sección 1.1). Se darán las demostraciones de los resultados de este caṕıtulo
dada la importancia para nuestro estudio. Estos resultados se obtienen del art́ıculo [28].
2.1. Funciones SO(R) y V (R)
Dada una función continua a : R → C, sea Cb(R) := C(R) ∩ L∞(R) y cmx(a) := cmx,1(a)
donde
cmx,�(a) := máx
{
|a(x+ h)− a(x)| : h ∈ R, |h| ≤ ε
}
(2.1)
es una oscilación local de a en un punto x ∈ R.
Una función a ∈ Cb(R) es llamada lentamente oscilatoria en ∞ si ĺım|x|→∞ cmx(a) = 0 o,
equivalentemente, ĺım|x|→∞ cmx,�(a) = 0 para cualquier � > 0. Sea SO(R) el conjunto de todas
las funciones en Cb(R) las cuales son lentamente oscilatorias en ∞. Por [13, Lema 10.4], SO(R)
es una C∗-álgebra porque es la cerradura en L∞(R) del álgebra
SO∞(R) := {a ∈ C∞b (R) : ĺım|x|→∞
a(j)(x) = 0, j = 1, 2, ...}.
Cada a ∈ SO(R) puede ser aproximada por funciones a� = φ� ∗ a ∈ SO∞(R) con �→ 0 donde
ϕ�(x) = �−1ϕ(x/�) para � > 0,
ϕ ∈ C∞0 (R), supp ϕ ⊂ [−1, 1], ϕ ≥ 0,
∫
R
ϕ(x)dx = 1. (2.2)
donde supp ϕ es el soporte de ϕ.
Sea a una función absolutamente continua sobre R de variación acotada V (a) (Caṕıtulo 1,
seccion 1.1). Se sabe (ver por ejemplo, [36], Caṕıtulo VIII, §3, Caṕıtulo IX, §4), que existen los
18
ĺımites finitos a(±∞) = ĺımx→±∞ a(x) y de este modo a es continua sobre R := [−∞,+∞].
Además
a′ ∈ L1(R), a(x) =
∫ x
−∞
a′(y)dy + a(−∞) para toda x ∈ R, y V (a) =
∫
R
|a′(y)|dy.
El conjunto V (R) de todas las funciones absolutamente continuas de variación acotada sobre R
es un álgebra de Banach equipada con la norma ‖a‖V := ‖a‖C +V (a) donde ‖a‖C := sup{|a(x)| :
x ∈ R} y ‖ab‖V ≤ ‖a‖V ‖b‖V .
2.2. Śımbolos L∞(R, V (R)), Cb(R, V (R)), S
En lo que sigue denotaremos por L∞(R, V (R)) al conjunto de todaslas funciones a : R×R →
C tal que x 7→ a(x, ·) es una función medible acotada V (R)-valuada sobre R. Por lo tanto,
a(·, λ) ∈ L∞(R) para cada λ ∈ R, y la función x 7→ ‖a(x, ·)‖V , donde
‖a(x, ·)‖V := máx
λ∈R
|a(x, λ)|+
∫
R
∣∣∣∂a
∂λ
(x, λ)
∣∣∣dλ, (2.3)
pertenece a L∞(R). Nótese que los ĺımites a(x,±∞) = ĺımλ→±∞ a(x, λ) existen en casi todo R.
L∞(R, V (R)) es un álgebra de Banach con la norma
‖a‖L∞(R,V (R)) := ess sup
x∈R
‖a(x, ·)‖V . (2.4)
Sea Cb(R, V (R)) el conjunto de todas las funciones a : R×R → C tal que x 7→ a(x, ·) es una
función continua acotada V (R)-valuada. Si a ∈ Cb(R, V (R)) , entonces las funciones x 7→ a(x, λ)
para toda λ ∈ R y la función x 7→ ‖a(x, ·)‖V dada por (2.3) pertenece a Cb(R). Cb(R, V (R)) ⊂
Cb(R× R) es un álgebra de Banach con la norma ‖a‖Cb(R,V (R)) := supx∈R ‖a(x, ·)‖V .
Sea S la subálgebra de Banach de todas las funciones a(x, λ) ∈ Cb(R, V (R)) tal que la
función V (R)-valuada x 7→ a(x, ·) es uniformemente continua sobre R y
ĺım
|h|→0
sup
x∈R
‖a(x, ·)− ah(x, ·)‖V = 0 (2.5)
donde ah(x, λ) := a(x, λ+ h) para todo (x, λ) ∈ R× R.
Teorema 2.2.1 [28, Teorema 2.1] Cada función a(x, λ) ∈ S puede ser aproximada en la norma
de Cb(R, V (R)) por funciones aε(x, λ) ∈ S (ε → 0) tal que ∂kx∂
j
λaε(x, λ) ∈ S para toda k, j =
0, 1, 2, ...
Demostración. Fijamos una función ϕ y definimos ϕε(x) como en (2.2). Para cada ε > 0,
Ik :=
∫
R
|ϕ(k)ε (x)|dx <∞ para k = 0, 1, 2, ... (2.6)
Siguiendo ([13], Caṕıtulo 3, lema 10.4) construimos las aproximaciones aε en la forma
aε(x, λ) =
∫ ∫
R2
ϕε(x− y)ϕε(λ− µ)a(y, µ)dy dµ, donde (x, λ) ∈ R× R. (2.7)
Sea k, j = 0, 1, 2, .... Dado que ϕε ∈ C∞0 (R), obtenemos
19
[∂kx∂
j
λaε](x, λ) =
∫ ∫
R2
ϕ(k)ε (y)ϕ
(j)
ε (λ− µ)a(x− y, µ)dy dµ. (2.8)
Por lo que de acuerdo a (2.2) y (2.6), y dado que a ∈ Cb(R, C(R)), se sigue que
‖[∂kx∂
j
λaε](x, ·)‖C ≤ Ij
∫
R
| ϕ(k)ε (y) | ‖a(x− y, ·)‖C dy
≤ máx
|y|≤ε
‖a(x− y, ·)‖C Ik Ij . (2.9)
Por otro lado, de (2.8), tenemos
[∂kx∂
j+1
λ aε](x, λ) =
∫ ∫
R2
ϕ(k)ε (y)ϕ
(j)
ε (λ− µ)∂µa(x− y, µ)dy dµ. (2.10)
De (2.10) y (2.6) obtenemos
V ([∂kx∂
j
λaε](x, ·)) ≤
∫
R
|ϕ(j)ε (λ− µ)|dλ
( ∫
R
|ϕ(k)ε (y)|dy
∫
R
|∂µa(x− y, µ)|dµ
)
≤ Ij
∫
R
|ϕ(k)ε (y)|V (a(x− y, ·))dy
≤ máx
|y|≤ε
V (a(x− y, ·))IkIj . (2.11)
Combinando (2.9) y (2.11) concluimos que
‖[∂kx∂
j
λaε](x, ·)‖V ≤ Ij
∫
R
| ϕ(k)ε (y) | ‖a(x− y, ·)‖V dy
≤ máx
|y|≤ε
‖a(x− y, ·)‖V Ik Ij . (2.12)
Como [∂kx∂
j
λaε]
h = ∂kx∂
j
λ(a
h)ε, la estimación (2.12) implica que
‖[∂kx∂
j
λaε](x1, ·)− [∂
k
x∂
j
λaε](x2, ·)‖V ≤ máx|y|≤ε
‖a(x1 − y, ·)− a(x2 − y, ·)‖V IkIj
y
‖[∂kx∂
j
λaε](x, ·)− [∂
k
x∂
j
λaε]
h(x, ·)‖V ≤ máx
|y|≤ε
‖a(x− y, ·)− ah(x− y, ·)‖V IkIj .
Por lo tanto, ∂kx∂
j
λaε ∈ Cb(R, V (R)) para toda k, j = 0, 1, 2, ..., y además,
ĺım
h→0
sup
|x1−x2|≤h
‖[∂kx∂
j
λaε](x1, ·)− [∂
k
x∂
j
λaε](x2, ·)‖V = 0
y
ĺım
|h|→0
sup
x∈R
‖[∂kx∂
j
λaε](x, ·)− [∂
k
x∂
j
λaε]
h(x, ·)‖V = 0
20
De este modo, todas las funciones V (R)-valuadas x 7→ [∂kx∂
j
λaε](x, ·) (para k, j = 0, 1, 2, ...) son
uniformemente continuas sobre R y satisfacen (2.5), esto es, pertenecen al álgebra S.
Ya que de acuerdo a (2.2),
∫ ∫
R
|ϕε(y)ϕε(µ)|dy dµ =
∫ ∫
R
ϕε(y)ϕε(µ)dy dµ
=
∫
R
ϕ(y)dy
∫
R
ϕ(µ)dµ = 1, (2.13)
entonces obtenemos
a(x, λ)− aε(x, λ) =
∫ ∫
R2
ϕε(x− y)ϕε(λ− µ)[a(x, λ)− a(y, µ)]dy dµ
=
∫ ∫
R2
ϕε(y)ϕε(λ− µ)[a(x, µ)− a(x− y, µ)]dy dµ
+
∫ ∫
R2
ϕε(x− y)ϕε(µ)[a(x, λ)− a(x, λ− µ)]dy dµ,
donde supp ϕε ⊂ [−ε, ε]. Por lo tanto,
‖a(x, ·)− aε(x, ·)‖C ≤
∫
R
| ϕε(y) | ‖a(x, ·)− a(x− y, ·)‖C dy
+
∫
R
| ϕε(µ) | ‖a(x, ·)− a−µ(x, ·)‖C dµ. (2.14)
Análogamente, la igualdad
∂λa(x, λ)− ∂λaε(x, λ) =
∫ ∫
R2
ϕε(y)ϕε(λ− µ)[∂µa(x, µ)− ∂µa(x− y, µ)] dy dµ
+
∫ ∫
R2
ϕε(x− y)ϕε(µ)[∂λa(x, λ)− ∂λa(x, λ− µ)] dy dµ
implica, considerando (2.13), que
V (a(x, ·)− aε(x, ·))
=
∫
R
|∂λa(x, λ)− ∂λaε(x, λ)|dλ
≤
( ∫
R
|ϕε(λ− µ)|dλ
)( ∫
R
|ϕε(y)|dy
∫
R
|∂µa(x, µ)− ∂µa(x− y, µ)|dµ
)
+
( ∫
R
|ϕε(x− y)|dy
)( ∫
R
|ϕε(µ)|dµ
∫
R
|∂λa(x, λ)− ∂λa(x, λ− µ)|dλ
)
=
∫
R
|ϕε(y)|V (a(x, ·)− a(x− y, ·))dy
+
∫
R
|ϕε(µ)|V (a(x, ·)− a−µ(x, ·))dµ. (2.15)
21
De (2.3), (2.14) y (2.15) se sigue que
‖a− aε‖Cb(R,V (R))
= sup
x∈R
‖a(x, ·)− aε(x, ·)‖V
≤ sup
( ∫
R
|ϕε(y)|‖a(x, ·)− a(x− y, ·)‖V dy
+
∫
R
|ϕε(µ)|‖a(x, ·)− a−µ(x, ·)‖V dµ
)
≤ sup
x∈R
máx
|y|≤ε
‖a(x, ·)− a(x− y, ·)‖V + sup
x∈R
máx
|h|≤ε
‖a(x, ·)− ah(x, ·)‖V .
Por lo que ĺımε→0 ‖a − aε‖Cb(R,V (R)) = 0 de acuerdo a la continuidad uniforme de la función
V (R)-valuada x 7→ a(x, ·) sobre R y a (2.5). �
2.3. Śımbolos lentamente oscilatorios E
Análogamente a (2.1), definimos
cmCx (a) := max{‖a(x+ h, ·)− a(x, ·)‖C : h ∈ R, |h| ≤ 1}. (2.16)
Sea E el subconjunto de todas las funciones a : R×R → C en S que satisfacen la condición
ĺım
|x|→∞
cmCx (a) = 0. (2.17)
De este modo, E está contenido en SO(R, C(R)), la C∗-álgebra de todas las funciones con-
tinuas acotadas C(R)-valuadas sobre R que oscilan lentamente en el ∞. Cada función a ∈
SO(R, C(R)) es automáticamente uniformemente continua sobre R y para cada λ ∈ R la fun-
ción x 7→ a(x, λ) pertenece a SO(R). El conjunto E = S∩SO(R, C(R)) es un álgebra de Banach
si la equipamos con la norma ‖a‖E := ‖a‖Cb(R,V (R)).
Teorema 2.3.1 [28, Teorema 2.2] Cada función a(x, λ) ∈ E puede ser aproximada en la norma
de Cb(R, V (R)) por funciones aε ∈ E (si ε → 0) tal que ∂kx∂
j
λaε(x, λ) ∈ E para toda k, j =
0, 1, 2, ... y, en particular, para toda k > 0,
ĺım
|x|→∞
‖[∂kx∂
j
λaε](x, ·)‖C = 0. (2.18)
Demostración. Por Teorema 2.2.1, todas las derivadas ∂kx∂
j
λaε (para k, j = 0, 1, 2, ...) de las
funciones aε (con ε > 0) dadas por (2.7) están en S. Además, aε y todas sus derivadas, de
acuerdo a (2.17), (2.16) y (2.9), satisfacen la condición
ĺım
|x|→∞
cmCx (∂
k
x∂
j
λaε) = ĺım|x|→∞
cmCx (a) = 0 (2.19)
y por lo tanto pertenecen a E . Además, si k > 0, entonces
∫
R ϕ
(k)
ε (y)dy = 0, porque ϕε = 0 para
|x| > ε. Por lo que,
22
[∂kx∂
j
λaε](x, λ) =
∫ ∫
R
ϕ(k)ε (y)ϕ
(j)
ε (λ− µ)[a(x− y, µ)− a(x, µ)]dydµ.
De esto tenemos
‖[∂kx∂
j
λaε](x, ·)‖C ≤ máx|y|≤ε
‖a(x, ·)− a(x− y, ·)‖CIkIj ,
lo cual, junto con (2.19), implica (2.18) para toda k = 1, 2, ... y j = 0, 1, 2, .... �
Corolario 2.3.1 [28, Corolario 2.3] Si ∂kxa(x, λ) ∈ E para k = 0, 1, entonces se tiene que
ĺım|x|→∞ ‖∂xa(x, ·)‖C = 0.
Demostración. Por el Teorema 2.3.1, la función a(x, λ) puede ser aproximada en la norma
de Cb(R, V (R)) por las funciones
aε(x, λ) = [ϕε(x)ϕε(λ)] ∗ a(x, λ) ∈ E (2.20)
tal que ĺım|x|→∞ ‖∂xaε(x, ·)‖C = 0. Dado que ∂xa(x, λ) ∈ E , de (2.20) se sigue que
∂xaε(x, λ) = [ϕε(x)ϕε(λ)] ∗ ∂xa(x, λ) ∈ E .
Por lo que la función ∂xa(x, λ) se aproximá en la norma de Cb(R, V (R)) por las funciones
∂xaε(x, λ), lo cual implica que ĺım|x|→∞ ‖∂xa(x, ·)‖C = 0. �
Sea M(A) el espacio de los ideales maximales de una C∗-álgebra A con unidad. Identificando
los puntos t ∈ R con los funcionales de evaluación t(f) = f(t) para f ∈ C(R), donde f(±∞) =
ĺımx→±∞ f(x). Entonces obtenemos M(C(R)) = R. Consideremos las fibras
M±∞(SO(R)) := {ξ ∈M(SO(R)) : ξ|C(R) = ±∞}
del espacio de los ideales maximales M(SO(R)) sobre los puntos t = ±∞.
Por analoǵıa con [3, Proposición 5],[4, Proposición 4.1] y [6, Proposición 3.29], se puede
probar lo siguiente.
Proposición 2.3.1 [28, Proposición 2.4] Tenemos que
M−∞(SO(R)) ∪M+∞(SO(R)) = (clausSO∗R)\R (2.21)
donde clausSO∗R es la cerradura débil-* de R en SO∗(R), el espacio dual SO(R).
Similarmente a ([4], Corolario 4.3), la Proposición 2.3.1 implica lo siguiente.
Proposición 2.3.2 [28, Proposición 2.5] Sea {ak}∞k=1 un subconjunto numerable de SO(R).
Para cada ξ ∈M±∞(SO(R)) existe una sucesión {xn} ⊂ R± tal que xn → ±∞ con n→∞ y
ξ(ak) = ĺım
n→∞
ak(xn) para toda k = 1, 2, ... (2.22)
Inversamente, si {xn} ⊂ R±, xn → ±∞ con n → ∞, y los ĺımites ĺımn→∞ ak(xn) existen para
toda k = 1, 2, ..., entonces existe un ξ ∈M±∞(SO(R)) tal que se satisface (2.22).
23
En lo que sigue denotemos a(ξ) := ξ(a). Usando el proceso diagonal y la segunda parte de
la Proposición 2.3.2 obtenemos lo siguiente.Proposición 2.3.3 [28, Proposición 2.6] Sea {ak}∞k=1 un subconjunto numerable de SO(R).
Para cada sucesión {yn} ⊂ R± tal que yn → ±∞ con n→∞ existe una subsucesión {xn} y un
punto ξ ∈M±∞(SO(R)) para el cual se satisface (2.22).
Lema 2.3.1 [28, Lema 2.7] Para cada ξ ∈ M±∞(SO(R)) y para cada función V (R)-valuada
a ∈ E existe una sucesión xn → ±∞ y una función a(ξ, ·) ∈ V (R) tal que
a(ξ, λ) = ĺım
n→∞
a(xn, λ) para todo λ ∈ R (ĺımite puntual), (2.23)
‖a(ξ, ·)‖V 6 sup
x∈R
‖a(x, ·)‖V , (2.24)
ĺım
n→∞
‖[a(xn, ·)− a(ξ, ·)]ϕ(·)‖V = 0 para cada ϕ ∈ C∞0 (R). (2.25)
Demostración. Para cada λ ∈ R las funciones x 7→ a(x, λ) pertenecen a SO(R). Por lo tanto
por la Proposición 2.3.2, para cada ξ ∈ M±∞(SO(R)) existe una sucesión {xn} ⊂ R± tal que
xn → ±∞ y existen los limites
a(ξ, λ) := ĺım
n→∞
a(xn, λ) para cada racional λ ∈ R y λ = ±∞. (2.26)
Dado que las funciones a(x, ·) son equicontinuas con respecto a x ∈ R debido a (2.5) y dado
que {a(xn, λ)}n∈N son sucesiones de Cauchy para todo racional λ ∈ R y λ = ±∞ de acuerdo a
(2.26), concluimos que {a(xn, λ)}n∈N son sucesiones de Cauchy para toda λ ∈ R. Por lo tanto
los limites puntuales (2.26) existen para cada λ ∈ R, lo cual da (2.23).
La equicontinuidad de las funciones a(x, ·) para x ∈ R y (2.23) implican que la función a(ξ, ·)
es uniformemente continua sobre R. Además a(ξ, ·) ∈ Cb(R) dado que
‖a(ξ, ·)‖C ≤ ĺım inf
n→∞
‖a(xn, ·)‖C ≤ sup
x∈R
‖a(x, ·)‖C <∞. (2.27)
Además, la sucesión {a(xn, ·} converge a a(ξ, ·) uniformemente sobre compactos de R. En
efecto, fijemos un compacto K ⊂ R y ε > 0. Por (2.23), para cada punto λ ∈ K existe un
número nλ ∈ N tal que |a(xn, λ)−a(ξ, λ)| < ε para toda n > nλ. De acuerdo a la continuidad de
la función a(ξ, ·) y la equicontinuidad de las funciones a(x, ·) para toda x ∈ R, para cada λ ∈ K
existe una vecindad abierta Uλ ⊂ R tal que
|a(xn, µ)− a(ξ, µ)| < 2ε para toda µ ∈ Uλ y toda n > nλ.
Consideramos la cubierta abierta {Uλ : λ ∈ K} del compacto K y fijamos su subcubierta finita
{Uλm : m = 1, 2, ...,M}. Sea N = máx{nλm : m = 1, 2, ...,M}. Entonces |a(xn, λ)−a(ξ, λ)| < 2ε
para toda λ ∈ K y toda n > N , y por lo tanto
ĺım
n→∞
máx
λ∈K
|a(xn, λ)− a(ξ, λ)| = 0. (2.28)
Aproximando la función a ∈ E por funciones aεm ∈ E tal que ∂λaεm ∈ E y εm → 0 si m→∞
(ver Teorema 2.3.1), podemos tomar la sucesión {xn} tal que para toda racional λ ∈ R, λ = ±∞
y toda m = 1, 2, ...,
24
aεm(ξ, λ) = ĺımn→∞ aεm(xn, λ), ∂λaεm(ξ, λ) = ĺımn→∞ ∂λaεm(xn, λ). (2.29)
Por lo tanto las relaciones (2.29) se satisfacen para toda λ ∈ R y m = 1, 2, ..., donde la conver-
gencia es uniforme sobre compactos de R, y aεm(ξ, ·), ∂λaεm(ξ, ·) ∈ Cb(R).
Por (2.12) y (2.13), para toda n,m ∈ N,
‖aεm(xn, ·)‖V ≤ sup
x∈R
‖a(x, ·)‖V . (2.30)
Aplicando el teorema de Fatou para la sucesión {V (aεm(xn, ·))}n∈N, deducimos de (2.27) y (2.29)
y (2.30) que para toda m ∈ N,
‖aεm(ξ, ·)‖V ≤ ĺım infn→∞ ‖aεm(xn, ·)‖C + ĺım infn→∞ V (aεm(xn, ·))
≤ ĺım inf
n→∞
‖aεm(xn, ·)‖V ≤ sup
x∈R
‖a(x, ·)‖V . (2.31)
Por lo tanto aεm(ξ, ·) ∈ V (R) para toda m ∈ N y, por (2.31),
‖aεm(ξ, ·)− aεk(ξ, ·)‖V ≤ sup
x∈R
‖aεm(x, ·)− aεk(x, ·)‖V .
De este modo, {aεm(ξ, ·)}m∈N es una sucesión de Cauchy en V (R) y, por lo tanto existen los
ĺımites b(ξ, ·) = ĺımm→∞ aεm(ξ, ·) ∈ V (R). Por otro lado, de la estimación
|b(ξ, λ)− a(ξ, λ)| ≤ |b(ξ, λ)− aεm(ξ, λ)|+ |aεm(ξ, λ)− aεm(xn, λ)|
+ |aεm(xn, λ)− a(xn, λ)|+ |a(xn, λ)− a(ξ, λ)| (λ ∈ R)
se sigue que a(ξ, ·) = b(ξ, ·). Por lo que a(ξ, ·) ∈ V (R) y (2.31) implica que
‖a(ξ, ·)‖V = ĺım
m→∞
‖aεm(ξ, ·)‖V ≤ sup
x∈R
‖a(x, ·)‖V ,
lo cual da (2.24). Nótese que a(ξ, ·) ∈ C(R) dado que a(ξ, ·) ∈ V (R), pero, en general, la
convergencia de a(xn, λ) a a(ξ, λ) no es uniforme con respecto a λ ∈ R.
Análogamente a (2.28) concluimos de (2.29) que para cada compacto K ⊂ R,
ĺım
n→∞
sup
λ∈K
|∂λaεm(xn, λ)− ∂λaεm(ξ, λ)| = 0 para toda m ∈ N,
lo cual implica que
ĺım
n→∞
∫
K
|∂λ[aεm(xn, λ)− aεm(ξ, λ)]|dλ = 0.
Por lo que, de acuerdo a
ĺım
m→∞
‖aεm − a‖Cb(R,V (R)) = 0 y ĺımm→∞ ‖aεm(ξ, ·)− a(ξ, ·)‖V = 0,
Tenemos
25
ĺım
n→∞
∫
K
|∂λ[a(xn, λ)− a(ξ, λ)]|dλ = 0.
Esto y (2.28) implica (2.25). �
De este modo con cada función a ∈ E y cada ξ ∈ M±(SO(R)), asociamos la función aξ =
a(ξ, ·) ∈ V (R) que satisface (2.23)-(2.25).
2.4. Śımbolos especiales lentamente oscilatorios Ẽ
Sea a(x, λ) ∈ Cb(R, V (R)). Tomando en cuenta el hecho de que ∂λa(x, λ) ∈ Cb(R, L1(R)),
para M ∈ R hacemos
V +∞M (a(x, ·)) :=
∫ +∞
M
∣∣∣∂a
∂λ
(x, λ)
∣∣∣dλ, VM−∞(a(x, ·)) := ∫ M
−∞
∣∣∣∂a
∂λ
(x, λ)
∣∣∣dλ. (2.32)
Al construir la teoŕıa de Fredholm para operadores pseudodiferenciales, necesitamos intro-
ducir el siguiente subconjunto de śımbolos lentamente oscilatorios:
Ẽ :=
{
a ∈ E : ĺım
M→−∞
sup
x∈R
VM−∞(a(x, ·)) = ĺım
M→+∞
sup
x∈R
V +∞M (a(x, ·)) = 0
}
. (2.33)
Ẽ es una subálgebra de Banach del álgebra de Banach E ⊂ Cb(R, V (R)).
Sea SO(R, V (R)) el conjunto de todas las funciones continuas acotadas V (R)-valuadas sobre
R que oscilan lentamente en el infinito, esto es (de (2.17) y (2.16)), que satisfacen la condición
ĺım
|x|→∞
cmVx (a) = 0, cm
V
x (a) := máx
{
‖ a(x+ h, ·)− a(x, ·) ‖V : h ∈ [−1, 1]
}
. (2.34)
SO(R, V (R)) es una subálgebra de Banach de Cb(R, V (R)) y aśı lo es el álgebra de Banach
EV := S ∩ SO(R, V (R))(⊂ E = S ∩ SO(R, C(R))). (2.35)
Teorema 2.4.1 [28, Teorema 2.8] Cada función a ∈ Ẽ pertenece a EV y puede ser aproximada
en la norma de Cb(R, V (R)) por funciones aε ∈ Ẽ (ε→ 0) tal que
∂kx∂
j
λaε(x, λ) ∈ Ẽ para toda k, j = 0, 1, 2, ... (2.36)
y, para toda k > 0, ĺım|x|→∞ ‖[∂kx∂
j
λaε](x, ·)‖V = 0.
Demostración. Por Teorema 2.3.1, cada función a ∈ E puede ser aproximadada en Cb(R, V (R))
por funciones aε ∈ E tales que ∂kx∂
j
λaε(x, λ) ∈ E para toda k, j = 0, 1, 2, ..., y (2.18) se satisface
si k > 0. Análogamente a (2.11) para cada M > 0 y cada ε > 0 tenemos
V +∞M ([∂
k
x∂
j
λaε](x, ·))
≤
∫
R
|ϕ(k)ε (x− y)|dy
( ∫
R
|ϕ(j)ε (µ)|dµ
∫ +∞
M
|∂λa(y, λ− µ)|dλ
)
26
≤ sup
x∈R
V +∞M−ε(a(x, ·))IkIj , (2.37)
donde Ik y Ij están dados por (2.6). Similarmente,
V −M−∞ ([∂
k
x∂
j
λaε](x, ·)) ≤ sup
x∈R
V −M+ε−∞ (a(x, ·))IkIj . (2.38)
Finalmente, (2.37), (2.38) y (2.33) satisface (2.36).
Además de (2.18) y la estimación
V ([∂kx∂
j
λaε](x, ·)) ≤ 2M‖[∂
k
x∂
j+1
λ aε](x, ·)‖C + (V
−M
−∞ + V
+∞
M )([∂
k
x∂
j
λaε](x, ·)),
se sigue que ĺım|x|→∞ ‖[∂kx∂
j
λaε](x, ·)‖V = 0 para toda k = 1, 2, ... y toda j = 0, 1, 2, ..., lo cual
implica que todas las funciones ∂kx∂
j
λaε con k, j = 0, 1, 2, ... pertenecen a SO(R, V (R)). Dado
que ĺımε→∞ ‖a−aε‖Cb(R,V (R)) = 0 y SO(R, V (R)) es una subálgebra de Banach de Cb(R, V (R)),
la función a ∈ Ẽ también pertenece a SO(R, V (R)). Finalmente, a ∈ EV dado que EV = E ∩
SO(R, V (R)) de acuerdo a (2.35). �
Lema 2.4.1 [28, Lema 2.9] Si a ∈ Ẽ, entonces para cada ξ ∈M±∞(SO(R)) existe una sucesión
xn → ±∞ tal que
ĺım
n→∞
‖a(xn, ·)− a(ξ, ·)‖V = 0, (2.39)
e inversamente, cada sucesión yn → ±∞ contiene una subsucesión xn → ±∞ tal que (2.39) se
cumple para algún ξ ∈M±∞(SO(R)).
Demostración. Fijamos a ∈ Ẽ y consideramos las funciones
ã(x, λ) := a(x,−∞)ζ−(λ) + a(x,+∞)ζ+(λ), ζ±(λ) :=
1
2
(1± tanh λ). (2.40)
Sea ξ ∈ M±∞(SO(R)). Por el Lema 2.3.1, existe una sucesión {xn} ⊂ R± tal que xn → ±∞ si
n → ∞, y se satisfacen las relaciones (2.23) y (2.25). Por lo que, deducimos de (2.40) y (2.23)
que para toda λ ∈ R,
ĺım
n→∞
ã(xn, λ) = ã(ξ, λ) := a(ξ,−∞)ζ−(λ) + a(ξ,+∞)ζ+(λ).
Claramente ã(ξ, ·) ∈ V (R) y
ĺım
n→∞
‖ã(xn, ·)− ã(ξ, ·)‖V = 0. (2.41)
Además, de acuerdo a (2.40), para cada M > 0 tenemos
V −M−∞ (ã(x, ·)) = V +∞M (ã(x, ·)) =
1
2
|a(x,+∞)− a(x,−∞)|(1− tanhM). (2.42)
Fijamos ε > 0. Por (2.33) y (2.42) existe M > 0 tal que
γM (x) := máx{V −M−∞ (a(x, ·)− ã(x, ·)), V +∞M (a(x, ·)− ã(x, ·))} < ε. (2.43)
Dado que a(x,±∞)− ã(x,±∞) = 0 para toda x ∈ R por (2.40), obtenemos de (2.43) que
27
máx
|λ|≥M
|a(x, λ)− ã(x, λ)| ≤ γM (x) < ε. (2.44)
Sea ϕ ∈ C∞0 (R), supp ϕ ⊂ [−M − 1,M + 1], ϕ(λ) = 1 para λ ∈ [−M,M ],y sea ϕ monótona
sobre los segmentos [−M − 1,−M ] y [M,M + 1]. Considere la función
bϕ(x, λ) := [a(x, λ)− ã(x, λ)][1− ϕ(λ)]. (2.45)
Obviamente, (2.43), (2.44) y (2.45) implican que para cada x ∈ R,
‖bϕ(x, ·)‖V = ‖bϕ(x, ·)‖C + V (bϕ(x, ·))
≤ 3 máx
|λ|≥M
|a(x, λ)− ã(x, λ)|
+ (V −M−∞ (a(x, ·)− ã(x, ·)) + V +∞M (a(x, ·)− ã(x, ·))) < 5ε. (2.46)
Entonces de (2.46) y (2.24) se sigue que
‖bϕ(ξ, ·)‖V ≤ sup
x∈R
‖bϕ(x, ·)‖V < 5ε. (2.47)
Combinando las ecuaciones (2.25), (2.41), (2.47) y la desigualdad
‖a(xn, ·)− a(ξ, ·)‖V = ‖[a(xn, ·)− a(ξ, ·)]ϕ(·)‖V + ‖bϕ(xn, ·)‖V
+ ‖[ã(xn, ·)− ã(ξ, ·)][1− ϕ(·)]‖V + ‖bϕ(ξ, ·)‖V ,
obtenemos (2.39).
Finalmente, por la proposición 2.3.3, para cada sucesión {yn} en R± tal que yn → ±∞ si
n→∞ existe una subsucesión {xn} y un punto ξ ∈M±∞(SO(R)) para los cuales las relaciones
(2.26) y (2.29) se satisfacen. Entonces, de acuerdo a la demostración del Lema 2.3.1, tenemos
(2.23) y (2.25), por lo que, de acuerdo a lo que se ha demostrado, obtenemos (2.39). �
28
Caṕıtulo 3
Álgebra de operadores
pseudodiferenciales con śımbolos
lentamente oscilatorios
En este caṕıtulo consideramos propiedades de acotación, compacidad, adjunto y de Fredholm
para los operadores pseudodiferenciales con śımbolos considerados en caṕıtulo anterior. Se da un
isomorfismo entre un álgebra cociente generada por operadores pseudodiferenciales y el álgebra
de sus śımbolos de Fredholm. Algunos resultados se darán con demostración dado que son
necesarios para nuestro objetivo. Todo esto se puede ver en el art́ıculo [28].
3.1. Acotación y compacidad
Sea f ∈ C∞0 (R) y su transformada de Fourier dada por
(Ff)(λ) := f̂(λ) :=
∫
R
f(x)e−ixλdx, . (3.1)
Para −∞ < a < b < +∞, consideramos los operadores de la suma parcial S(a,b) dados por
(S(a,b)f)(x) =
1
2π
∫ b
a
f̂(λ)eixλdλ, para x ∈ R.
Tales operadores pueden ser representados en la forma (ver [17])
S(a,b) = F−1χ(a, b)F =
1
2
[eiaxSRe−iaxI − eibxSRe−ibxI] (3.2)
donde χ(a, b) es la función caracteŕıstica del intervalo (a, b) y SR es el operador singular integral
de Cauchy definido para funciones ϕ ∈ Lp(R) por
(SRϕ)(x) = ĺım
ε→0
1
πi
∫
R\(x−ε,x+ε)
ϕ(t)
t− x
dt, para x ∈ R. (3.3)
Dado que el operador SR es acotado sobre todos los espacios Lp(R) con 1 < p <∞ (ver, por
ejemplo, [7], [21], [17]), de (3.2) se sigue que los operadores S(a,b) también son acotados sobre
esos espacios.
29
De acuerdo al famoso teorema de Carleson-Hunt sobre la convergencia en casi todos los pun-
tos (más precisamente, por la analoǵıa integral para Lp(R), ver [12], [31]), el operador maximal
S∗ dado por
(S∗f)(x) = sup
−∞<a<b<+∞
|(S(a,b)f)(x)|, para x ∈ R,
es acotado sobre cada espacio Lp(R) con 1 < p < ∞ (ver también [18, Caṕıtulo 2, §2.2]; [17,
pág. 18] ). En particular, para casi toda x ∈ R,
sup
λ∈R
|(S(0,λ)f)(x)| 6 (S∗f)(x) <∞. (3.4)
Sea C∞0 (R) el conjunto de las funciones en C∞(R) con soporte compacto.
Teorema 3.1.1 [28, Teorema 3.1] Si a ∈ L∞(R, V (R)), entonces el operador pseudodiferencial
a(x,D) definido para funciones u ∈ C∞0 (R) por la integral iterada
[a(x,D)u](x) =
1
2π
∫
R
dλ
∫
R
a(x, λ)ei(x−y)λu(y)dy, x ∈ R, (3.5)
se extiende a un operador lineal acotado sobre cada espacio de Lebesgue Lp(R), p ∈ (1,∞), y
‖a(x,D)‖B(Lp(R)) ≤ 2‖a‖L∞(R,V (R)) ‖ S∗ ‖B(Lp(R)) .
Para la compacidad tenemos los siguientes resultados.
Teorema 3.1.2 [28, Teorema 4.1] El operador pseudodiferencial σ(x,D) con śımbolo σ(x, λ) ∈
L∞(R, V (R)) es compacto sobre cada espacio de Lebesgue Lp(R) con 1 < p <∞ si
σ(x,±∞) = 0 para casi todo x ∈ R, ĺım
|x|→∞
V (σ(x, ·)) = 0, (3.6)
y
ĺım
M→∞
ess sup
|x|6N
∫
R\[−M,M ]
∣∣∣∣∂σ∂λ (x, λ)
∣∣∣∣dλ = 0 para cada N > 0. (3.7)
Teorema 3.1.3 [28, Teorema 4.4] Si σ(x, λ) ∈ S, entonces el operador pseudodiferencial σ(x,D)
es compacto sobre cada espacio de Lebesgue Lp(R) con 1 < p <∞ a condición de que
ĺım
x2+λ2→∞
σ(x, λ) = 0.
Para la compacidad de semi-conmutadores utilizaremos la siguiente notación:
∂η =
∂
∂η
, Dη = −i∂η, 〈Dη〉2 = I − (∂η)2, 〈η〉−2 = (1 + η2)−1.
30
Lema 3.1.1 [28, Lema 8.1] Si ∂jλa(x, λ), ∂
k
xb(x, λ) ∈ Cb(R× R), (k, j = 0, 1, 2, 3) entonces
σAB(x, λ) = a(x, λ)b(x, λ) + r(x, λ),
donde
r(x, λ) =
1
2π
∫ 1
0
dθ
∫∫
R2
〈Dη〉2{〈η〉−2Dηa(x, λ+ η)}
× 〈y〉−2〈Dy〉2{∂xb(x+ θy, λ)}e−iyηdydη (3.8)
y σAB(x, λ) := Os[a(x, λ+ η)b(x+ y, λ)e−iyη] es la double integral oscilatoria (ver [28, Sección
6]).
Teorema 3.1.4 [28, Teorema 8.3] Si a(x, λ), b(x, λ) ∈ E, entonces el operador pseudodiferencial
r(x,D) = a(x,D)b(x,D)− σ(x,D),
donde σ(x, λ) = a(x, λ)b(x, λ), es compacto en todos los espacios de Lebesgue Lp(R), 1 < p <∞.
Si a(x, λ), b(x, λ) ∈ E , entonces ambos semi-conmutadores
a(x,D)b(x,D)− σ(x,D) y b(x,D)a(x,D)− σ(x,D)
son compactos en los espacios Lp(R) (1 < p <∞).
Corolario 3.1.1 [28, Corolario 8.4] Si a(x, λ), b(x, λ) ∈ E, entonces el conmutador
a(x,D)b(x,D)− b(x,D)a(x,D)
es compacto en todos los espacios de Lebesgue Lp(R), 1 < p <∞.
3.2. Operador formal adjunto
Sea a(x,D) ∈ Cb(R, V (R)). Por Teorema 3.1.1, el operador pseudodiferencial A = a(x,D)
definido para funciones u ∈ C∞0 por la integral iterada (3.5) se extiende a un operador lineal
acotado sobre cada espacio de Lebesgue Lp(R) con 1 < p < ∞. Por lo tanto existe el operador
adjunto A∗ ∈ B(Lq(R)) definido por las relaciones
(Au, v) = (u,A∗v) para toda u ∈ Lp(R) y v ∈ Lq(R), (3.9)
donde (u, v) =
∫
R u(x)v(x)dx y 1/p + 1/q = 1. L
p(R) y Lq(R) en (3.9) puede ser reemplazado
por el conjunto C∞0 (R), el cual es denso en todos los espacios de Lebesgue Lp(R) con 1 < p <∞.
De este modo, A∗ es únicamente determinado por las relaciones
(Au, v) = (u,A∗v) para toda u, v ∈ C∞0 (R). (3.10)
además, (3.10) implica que el operador A∗ ∈ B(Lq(R)) adjunto al operador pseudodiferencial
A = a(x,D) ∈ B(Lp(R)) tiene la misma forma sobre cada espacio de Lebesgue Lq(R) con
1 < p < ∞. El operador A∗ considerado sobre el mismo espacio Lp(R) como el operador A
y determinado por (3.10) es llamado el operador formal adjunto al operador A = a(x,D).
Caracterizamos tal operador por el siguiente teorema
Teorema 3.2.1 [28, Teorema 9.7] Si a(x, λ) ∈ E, entonces el operador pseudodiferencial A∗ −
a(x,D) es compacto sobre cada espacio de Lebesgue Lp(R) con 1 < p <∞.
31
3.3. Álgebra de los śımbolos de Fredholm
Dado p ∈ (1,∞), sea B = B(Lp(R)) el álgebra de Banach de todos los operadores lineales
acotados que actúan sobre el espacio de Banach Lp(R), K = K(Lp(R)) es el ideal bilateral
cerrado de todos los operadores compactos en B, y sea Bπ = B/K el álgebra de Calkin de las
clases Aπ = A+K donde A ∈ B.
Sea A = Ap la mı́nima subálgebra de Banach de B(Lp(R)) que contiene todos los operadores
pseudodiferenciales a(x,D) con śımbolos a ∈ Ẽ , donde el álgebra Ẽ esta definida por (2.33).
Lema 3.3.1 Para cada p ∈ (1,∞), el álgebra de Banach Ap contiene todos los operadores
compactos K ∈ B(Lp(R).
Demostración. Análogamente a [22] y [3] se puede probar que cada operador compacto sobre
el espacio Lp(R+) puede ser uniformemente aproximado en B(Lp(R+)) por operadores de la
forma
(Tϕ)(x) =
n∑
j=1
aj(x)
(
i− x
i+ x
SR+ − SR+
i− y
i+ y
I
)
(bjϕ),
donde aj y bj son funciones continuas sobre R+ = (0,∞) con soporte compacto, y el operador
singular integral de Cauchy SR+ está dado por (3.3) con R reemplazado por R+. De este mo-
do, cada operador compacto sobre el espacio Lp(R) puede ser uniformemente aproximado en
B(Lp(R)) por los operadores V TV −1 donde V es el isomorfismo isométrico
V : Lp(R+) → Lp(R), (V ϕ)(x) = ex/pϕ(ex), para x ∈ R.
Dado que V SR+V
−1 = w(D) donde w : λ 7→ coth[λ+ i/p] ∈ V (R), se concluye que V TV −1
es una suma de productos de operadores pseudodiferenciales con śımbolos en Ẽ . Por lo tanto,
V TV −1 pertenece al álgebra de Banach Ap, y de aqúı todos los operadores que son compactos
sobre Lp(R) están en Ap. �
Sea Mp el álgebra de Banach de los multiplicadores de Fourier sobre Lp(R), y sea Cp(R) la
cerradura en Mp del conjunto de todas las funciones de variación acotada que son continuas
sobre R. Claramente,Cp(R) es una subálgebra de Banach de Mp. Además , por [40, Lema 1.1]
Cp(R) es la clausura de V (R) en Mp. Introducimos el álgebra de Banach Cb(R, Cp(R)) de todas
las funciones x 7→ a(x, ·) continuas acotadas Cp(R)-valuadas equipadas con la norma
‖a‖Cb(R,Cp(R)) = sup
x∈R
‖a(x, ·)‖Mp . (3.11)
También consideramos la subálgebra de Banach SO(R, Cp(R)) de Cb(R, Cp(R)) que consiste
de todas las funciones Cp(R)-valuadas x 7→ a(x, ·) que oscilan lentamente en el ∞. Lo anterior
significa que ĺım|x|→∞ cm
Mp
x (a) = 0 donde
cm
Mp
x := máx{‖a(x+ h, ·)− a(x, ·)‖Mp : h ∈ R, |h| 6 1}.
Sea C±0 (R, Cp(R)) el ideal bilateral cerrado de Cb(R, Cp(R)) que consiste de todas las funcio-
nes a ∈ Cb(R, Cp(R)) tales que ĺımx→±∞ ‖a(x, ·)‖Mp = 0. Obviamente, los conjuntos C±0 (R, Cp(R))
32
son también ideales bilaterales cerrados del álgebra de Banach SO(R, Cp(R)). Considere las álge-
bras cocientes
SO±(R, Cp(R)) := SO(R, Cp(R))/C±0 (R, Cp(R))
equipadas con la norma
‖a±‖SO±(R,Cp(R)) := ı́nf
q∈C±0 (R,Cp(R))
(
sup
x∈R
‖a(x, ·)− q(x, ·)‖Mp
)
= ĺım sup
x→±∞
‖a(x, ·)‖Mp . (3.12)
Considere las álgebras de Banach EV y Ẽ dadas por (2.35) y (2.33) respectivamente. Se puede
ver que las clausuras Ep y Ẽp de las álgebras EV y Ẽ en la norma de Cb(R, Cp(R)) son subálgebras
de Banach de SO(R, Cp(R)).
A cada función a ∈ EV asociamos la familia â la cual consiste de las funciones a± : x 7→
a(x,±∞) en SO(R) y las clases a± ∈ SO±(R, Cp(R)) (con referencia [37]). Sea ÊV el conjunto de
todas las familias â = {a±, a±} para a ∈ EV . Equipamos este conjunto con las operaciones usuales
de suma, multiplicación, y multiplicación por escalares. Entonces ÊV resulta ser una álgebra
conmutativa. Además, la involución â 7→ â, donde â = {a±, a±} y a± = a+C±0 (R, Cp(R)), hace
de ÊV un álgebra involutiva. Para â ∈ ÊV se definen las normas
‖â‖p = máx {‖a±‖Cb(R), ‖a
±‖SO±(R,Cp(R))}. (3.13)
Por la desigualdad de Stechkin (ver [42] y también [16, Teorema 2.11] o bien [6, §2.5]),
‖b‖Mp 6 cp‖b‖V para cada b ∈ V (R), (3.14)
donde ‖b‖V = ‖b‖C + V (b) y
cp := ‖SR‖B(Lp(R)) = máx
{
tan
π
2p
, cot
π
2p
}
para 1 < p <∞
(ver [32, Teorema 5.2] ). Dado que V (R) ⊂Mp para todo p ∈ (1,∞) debido a (3.14), concluimos
que ÊV con la norma (3.13) es un álgebra normada no-cerrada, conmutativa e involutiva.
Claramente, el conjunto Ê := {â ∈ ÊV : a ∈ Ẽ} es una subálgebra no-cerrada conmutativa
involutiva de ÊV . Sea  = Âp la clausura de Ê en la norma (3.13). De este modo,  es un álgebra
de Banach conmutativa involutiva.
Lema 3.3.2 [28, Lema 10.2] Para cada â ∈ Âp existe una función a(x, λ) ∈ Ẽp ⊂ SO(R, Cp(R))
tal que â = {a±, a±}, donde
a± = a(·,±∞) ∈ SO(R), a± = a+ C±0 (R, Cp(R)) ∈ SO
±(R, Cp(R)). (3.15)
3.4. Isomorfismos entre álgebras
Una sucesión {An} de operadores An ∈ B(X,Y ) se dice que converge fuertemente a un
operador A ∈ B(X,Y ) y se denota por s-limn→∞An = A, si ‖Anx−Ax‖Y → 0.
33
Lema 3.4.1 [28, Lema 11.4] Sea 1 < p < ∞ y ∂jλa(x, λ) ∈ EV para j = 0, 1, 2. Entonces para
cada ξ ∈M±∞(SO(R)) existe una sucesión hn ⊂ R± tal que hn → ±∞ y
s-lim
n→∞
[τ−1hn a(x,D)τhn ] = aξ(D) donde aξ = a(ξ, ·) ∈ V (R), (3.16)
y τh ∈ B(Lp(R)) son los operadores de traslación isométricos dados por (τhu)(x) = u(x − h)
para x, h ∈ R.
Lema 3.4.2 [28, Lema 11.6] Sea 1 < p < ∞ , a(x, λ) ∈ E y eh = eixh (h ∈ R). Entonces para
cada sucesión hn → ±∞,
s-lim
n→∞
(e−hna(x,D)ehnI) = a±I, donde a± = a(·,±∞) ∈ SO(R). (3.17)
Lema 3.4.3 [28, Lema 11.9] Si a ∈ Ẽ, entonces para cada ξ ∈M±∞(SO(R)),
sup
ξ∈M±∞(SO(R))
‖a(ξ, ·)‖Mp = ĺım sup
x→±∞
‖a(x, ·)‖Mp (3.18)
y
ı́nf
ξ∈M±∞(SO(R))
mı́n
λ∈R
|a(ξ, λ)| = ĺım inf
x→±∞
mı́n
λ∈R
|a(x, λ)|. (3.19)
Demostración. Fijamos a ∈ Ẽ . Por la desigualdad de Stechkin (3.14),
‖a(xn, D)− a(ξ,D)‖Bp = ‖a(xn, ·)− a(ξ, ·)‖Mp ≤ cp‖a(xn, ·)− a(ξ, ·)‖V .
Por lo que, del Lema 2.4.1 se sigue que para cada ξ ∈ M±∞(SO(R)) existe una sucesión xn →
±∞ tal que
ĺım
n→∞
‖a(xn, D)− a(ξ,D)‖Bp = 0; (3.20)
e, inversamente, cada sucesión yn → ±∞ contiene una subsucesión xn → ∞ tal que (3.20) se
satisface para alguna ξ ∈M±∞(SO(R)). Esto inmediatamente implica (3.18).
Por otro lado, de (3.20) se sigue que
ĺım
n→∞
‖a(xn, ·)− a(ξ, ·)‖C ≤ ĺım
n→∞
‖a(xn, D)− a(ξ,D)‖Bp = 0,
lo cual implica (3.19) por analoǵıa con (3.18). �
Para el isomorfismo necesitamos el siguiente resultado.
Teorema 3.4.1 [28, Teorema 11.10] Si 1 < p < ∞ y ∂jλa(x, λ) ∈ Ẽ para j = 0, 1, 2, entonces
existe una constante Cp que depende de p tal que
‖â‖p 6 ‖aπ(x,D)‖ 6 Cp‖â‖p. (3.21)
Teorema 3.4.2 [28, Teorema 11.11] El álgebra cociente Aπ := A/K es un álgebra de Banach
conmutativa e involutiva que es isomorfa al álgebra de Banach Â, donde la involución es dada
por a(x,D)π 7→ a(x,D)π.
34
Demostración. La conmutatividad del álgebra de Banach Aπ se sigue del teorema 3.1.4. La
involutividad de Aπ se sigue del teorema 3.2.1.
Por el Teorema 2.4.1, cada función a ∈ Ẽ puede ser aproximada en Cb(R, V (R)) por funciones
aε ∈ Ẽ tales que ∂jλaε(x, λ) ∈ Ẽ para j = 0, 1, 2. Consecuentemente, deducimos del Teorema 3.4.1
que (3.21) se satisface para toda a(x, λ) ∈ Ẽ . Tomando en cuenta el hecho de que A es la clausura
en B(Lp(R)) del conjunto de todos los operadores a(x,D) con śımbolos a ∈ Ẽ , deducimos de
(3.21) que ‖â‖p 6 ‖Aπ‖ 6 Cp‖â‖p para toda A ∈ A, donde â = ĺımn→∞ ân en la norma (3.13) si
A = ĺımn→∞ an(x,D) en B(Lp(R)). De este modo, las álgebras de Banach Aπ y  son isomorfas.
�
3.5. Teoŕıa de Fredholm
Sea A un álgebra con unidad la cual está contenida en un álgebra con unidad B. El álgebra
A se llama inversamente cerrada en B (ver por ejemplo, [23, §1.1.2] ) si cada elemento a ∈ A
invertible en B es también invertible en A.
Dado que V (R) es inversamente cerrada en Cb(R), las álgebras de Banach Cb(R, V (R)), S y
EV equipadas con la norma de Cb(R, V (R)) son inversamente cerradas en Cb(R×R). En efecto,
esto se sigue directamente de la estimación para una función a ∈ Cb(R, V (R)) invertible en
Cb(R× R):
‖a−1(x, ·)‖V 6
(
mı́n
λ∈R
|a(x, λ)|
)−1
+ V (a(x, ·))
(
mı́n
λ∈R
|a(x, λ)|
)−2
6 ‖a(x, ·)‖V
(
mı́n
λ∈R
|a(x, λ)|
)−2
, (3.22)
‖a−1(x1, ·)− a−1(x2, ·)‖V 6 ‖a(x1, ·)− a(x2, ·)‖V ‖a−1(x1, ·)‖V ‖a−1(x2, ·)‖V
6 |a(x1, ·)− a(x2, ·)‖V ‖a‖2Cb(R,V (R)) sup
x,λ∈R
|a(x, λ)|−4 ,
y
‖a−1(x, ·)− (a−1)h(x, ·)‖V 6 ‖a(x, ·)− ah(x, ·)‖V ‖a‖2Cb(R,V (R)) sup
x,λ∈R
|a(x, λ)|−4.
Por lo tanto, si a ∈ EV satisface la condición
ı́nf
x∈R
|a(x,±∞)| > 0, ĺım inf
r→∞|x|>r
mı́n
λ∈R
|a(x, λ)| > 0, (3.23)
entonces el elemento (â)−1 pertenece a ÊV junto con â.
En efecto, por (3.23), existe un r > 0 tal que la restricción de la función a(x, λ) ∈ EV al
conjunto U := (R × R)\((−r, r) × R) es invertible en EV |U . Sea b(x, λ) ∈ EV |U la inversa de la
función a(x, λ) sobre el conjunto U . Resta extender b(x, λ) al conjunto R×R como una función
en EV . Con este fin definimos b̃(x, λ) para (x, λ) ∈ [−r, r]× R por las formulas:
b̃(x, λ) = b(−r, λ)r − x
2r
+ b(r, λ)
r + x
2r
+ c−(x)ζ−(λ) + c+(x)ζ+(λ) , (3.24)
donde ζ± := 12(1± tanh λ) y
c±(x) = b(x,±∞)− b(−r,±∞)
r − x
2r
− b(r,±∞)r + x
2r
para x ∈ [−r, r]. (3.25)
35
De aqúı se satisface
b̃(x,±∞) = b(x,±∞) para x ∈ [−r, r], b̃(±r, λ) = b(±r, λ) para λ ∈ R,
y por lo tanto la función b(x, λ) se extiende a una función en C(R × R) haciendo b(x, λ) =
b̃(x, λ) sobre (−r, r)×R. De (3.24)-(3.25) se sigue que, en realidad, la función b(x, λ) constrúıda
anteriormente pertenece a EV . De este modo la dupla b̂ = {b±, b±} ∈ ÊV es la inversa de la dupla
â ∈ ÊV .
Note que la segunda condición en (3.23) significa que las funciones λ 7→ a(x, λ) son invertibles
en Cb(R) y, de aqúı, en V (R) y Cp(R) para toda suficientemente grande |x|, lo cual es equivalente
a la invertibilidad de las clases a± = a+C±0 (R, Cp(R)) en las álgebras cocientes SO±(R, Cp(R)).
Aqúı tomamos en cuenta el hecho de que el álgebra de Banach Cp(R) es inversamente cerrada
en Cb(R) (ver por ejemplo, [40, Teorema 3.9] ) y de aqúı el álgebra de Banach SO(R,Cp(R))
es inversamente cerrada en Cb(R × R). De este modo, si a ∈ EV , entonces el elemento â =
{a±, a±} ∈ ÊV es invertible en ÊV si y sólo si
ı́nf
x∈R
|a±(x)| > 0, ĺım inf
x→±∞
mı́n
λ∈R
|a(x, λ)| > 0. (3.26)
Se puede ver de (3.22) que si a ∈ Ẽ y la dupla â es invertible en ÊV , esto es, si a ∈ Ẽ satisface
(3.26), entonces la dupla (â)−1 pertenece a Ê junto con â.
Considere ahora una sucesión de Cauchy de las duplas ân = {a±,n, a±n } ∈ Ê . Esta sucesión
tiene un limite â ∈ Â de la forma â = {a±, a±} donde
a± = ĺım
n→∞
a±,n ∈ SO(R), a± = ĺım
n→∞
a±n ∈ SO±(R, Cp(R)).
Aqúı la sucesión de Cauchy de las clases a±n = an + C
±
0 (R, Cp(R)) con an(x, λ) ∈ Ẽ tiene
un ĺımite a± ∈ SO±(R, Cp(R)) de la forma a± = a + C±0 (R, Cp(R)) donde a(x, λ) es una
función en Ẽp ⊂ SO(R, Cp(R)) determinada por el Lema 3.3.2 . Observando que la función
a(x, λ) no está determinada únicamente por la dupla â ∈ Â, dado que las álgebras de Banach
SO(R, Cp(R)) con 1 < p <∞ son inversamente cerradas en Cb(R×R), las clases a± son inverti-
bles en SO±(R, Cp(R)) si y sólo si ĺım infx→∞mı́nλ∈R |a(x, λ)| > 0 para algún (equivalentemente,
cualquiera) representate a(x, λ) ∈ SO(R, Cp(R)) de la dupla â ∈ Â.
De este modo , tomando en cuenta el carácter inversamente cerrado de Ê y la densidad de Ê
en  llegamos a la siguiente conclusión.
Proposición 3.5.1 [28, Proposición 12.1] El álgebra  es inversamente cerrada en el álgebra
{â = {a±, a±} : a± ∈ SO(R), a± ∈ SO±(R, Cp(R))}. (3.27)
Un elemento â ∈  es invertible en  si y sólo si (3.26) se satisface para alguna (cualquier)
función a ∈ Ẽp ⊂ SO(R, Cp(R)) asociada con â ∈ Â.
Teorema 3.5.1 [28, Teorema 12.2] El operador pseudodiferencial A = a(x,D) ∈ A con śımbolo
a(x, λ) ∈ Ẽ es un operador de Fredholm sobre el espacio de Lebesgue Lp(R), con 1 < p <∞, si
y sólo si se cumple (3.26).
36
Demostración. Necesidad. Ya que el conjunto {a(x,D) ∈ A : ∂jλa(x, λ) ∈ Ẽ , j = 0, 1, 2} es
denso en A, del Lema 3.4.1 se sigue que para cada operador a(x,D) ∈ A con śımbolo a(x, λ) ∈ Ẽ
y para cada ξ ∈ M±∞(SO(R)) existe una sucesión {hn} ⊂ R± tal que hn → ±∞ y (3.16) se
satisface.
Sea A = a(x,D) Fredholm sobre el espacio Lp(R). Entonces hay operadores B ∈ B(Lp(R))
y K ∈ K(Lp(R)) tales que BA = I +K. Por lo tanto, para cada u ∈ Lp(R),
(τ−1hn Bτhn)(τ
−1
hn
Aτhn)u = u+ (τ
−1
hn
Kτhn)u,
de aqúı
‖τ−1hn Aτhnu‖Lp(R) > C(‖u‖Lp(R) − ‖τ
−1
hn
Kτhnu‖Lp(R)), (3.28)
donde C = ‖B‖−1Bp . Ya que
‖τ−1hn Aτhnu‖Lp(R) 6 ‖aξ(D)u‖Lp(R) + ‖[τ
−1
hn
Aτhn − aξ(D)]u‖Lp(R) (3.29)
y ya que, como es conocido (ver, por ejemplo, [8, Lema 18.9 ]), si K ∈ K(Lp(R)), entonces
s-lim
n→∞
(τ−1hn Kτhn) = 0 para toda hn → ±∞ (3.30)
y debido a (3.16),
ĺım
n→∞
‖τ−1hn Kτhn)u‖Lp(R) = 0, ĺımn→∞ ‖[τ
−1
hn
Aτhn − aξ(D)]u‖Lp(R) = 0,
deducimos de ( 3.28) y (3.29) pasando a los ĺımites cuando hn → ±∞ que
ı́nf
ξ∈M±∞(SO(R))
‖aξ(D)u‖Lp(R) > C‖u‖Lp(R).
Consecuentemente
ı́nf
ξ∈M±∞(SO(R))
ı́nf
‖u‖Lp(R)=1
‖aξ(D)u‖Lp(R) > C > 0. (3.31)
Por (3.31), para todo ξ ∈M±∞(SO(R)), los operadores de convolución
aξ(D) = F−1a(ξ, ·)F
son normalmente solubles y tienen kernel trivial. Por esto, mı́nλ∈R |a(ξ, λ)| > 0 para toda ξ ∈
M±∞(SO(R)). En efecto, si, por lo contrario, mı́nλ∈R |a(ξ, λ)| = 0 para algún ξ ∈M±∞(SO(R)),
se pueden encontrar operadores de convolución bξ(D), los cuales están cerca a aξ(D) y tienen
kernel de dimensión infinita. Por otro lado, esto es imposible porque cualquier operador bξ(D)
en una vecindad suficientemente pequeña de aξ(D) es normalmente soluble y tiene kernel trivial
(ver, por ejemplo, [21], volumen 1, § 4.15). De este modo, para todo ξ ∈ M±∞(SO(R)) los
operadores de convolución aξ(D) son invertibles sobre el espacio Lp(R). Entonces, por (3.31),
|(a(ξ, λ))−1| 6 ‖(aξ(D))−1‖Bp =
(
ı́nf
‖u‖Lp(R)=1
‖aξ(D)u‖Lp(R)
)−1
6 C−1 <∞
para toda ξ ∈M±∞(SO(R)) y toda λ ∈ R. De aqúı,
ı́nf
ξ∈M±∞(SO(R))
mı́n
λ∈R
|a(ξ, λ)| > ı́nf
ξ∈M±∞(SO(R))
ı́nf
‖u‖Lp(R)=1
‖aξ(D)u‖Lp(R) > 0,
37
lo cual en vista de (3.19) da la segunda desigualdad en (3.26).
Además, análogamente a (3.28) y (3.29), deducimos que para toda u ∈ Lp(R),
‖a±u‖Lp(R) + ‖[e hnAehn − a±I]u‖Lp(R) > C(‖u‖Lp(R) − ‖e hnKehnu‖Lp(R)),
donde C = ‖B‖−1Bp . Pasando aqúı a los ĺımites cuando hn → ±∞ y tomando en cuenta el hecho
de que para cada operador K ∈ K(Lp(R)) y cada sucesión hn →∞,
s-lim
n→∞
(e−hnKehnI) = 0 (3.32)
(ver por ejemplo, [25], Lema 5.2), y (3.17), concluimos que ‖a±u‖Lp(R) > C‖u‖Lp(R) para toda
u ∈ Lp(R). De aqúı, las funciones a± son invertibles en SO(R), lo cual da la primer desigualdad
en (3.26).
Suficiencia. Si (3.26) se satisface, entonces por la Proposición 3.5.1 existe una función
b(x, λ) ∈ Ẽp tal que el elemento b̂ ∈ Â es el inverso para â ∈ Â. En vista del carácter in-
versamente cerrado de Ê , concluimos que realmente b(x, λ) ∈ Ẽ . Dado que la función
σ(x, λ) := a(x, λ)b(x, λ)− 1 ∈ Ẽ
satisface (3.6), de los teoremas 3.1.3 y 3.1.4 se sigue que
a(x,D)b(x,D) = I +K1, b(x,D)a(x,D) = I +K2
donde K1 y K2 son operadores compactos sobre Lp(R). De aqúı se deduce que el operador
A = a(x,D) es de Fredholm sobre el espacio Lp(R). �
Teorema 3.5.2 [28, Teorema 12.5] Si el operador pseudodiferencial A = a(x,D) ∈ A con śımbo-
lo a(x, λ) ∈ Ẽ es de Fredholm sobre el espacio Lp(R), entonces
Ind A = ĺım
r→∞
1
2π
{arg a(x, λ)}(x,λ)∈∂Πr (3.33)
donde Πr = [−r, r] × R y {arg a(x, λ)}(x,λ)∈∂Πr denota el incremento de arg a(x, λ) cuando el
punto (x, λ) traza la frontera ∂Πr de Πr en contra de las manecillas del reloj.
Demostración. Dado que A = a(x,D) es de Fredholm sobre el espacio Lp(R), el Teorema
3.5.1 implica que para r > 0 suficientemente grande, la función a(x, λ) es continua sobre ∂Πr y
separada del cero. Sea a(x, λ) tal que posee esa propiedad para toda r > r0 > 0. Sea
ãr(x, λ) = a(−r, λ)ζ−(x) + a(r, λ)ζ+(x) + c−(x)ζ−(λ) + c+(x)ζ+(λ) (3.34)
donde las funciones ζ± ∈ Cp(R) y c± ∈ C(R) son dadas, respectivamente, por
ζ±(λ) =
1
2
(1± tanh λ), (3.35)
y
c±(x) =

[a±(−r)− a±(r)]ζ+(x) si x < −r,
a±(x)− a±(−r)ζ−(x)− a±(r)ζ+(x) si x ∈ [−r, r],(
a±(r)− a±(−r)
)
ζ−(x) si x > r.
(3.36)
38
Por (3.34) y (3.36),
ãr(x,±∞) =

a±(−r) si x < −r,
a±(x) si x ∈ [−r, r],
a±(r) si x > r
(3.37)
y, dado que c±(+∞) = c±(−∞) = 0, tenemos
ãr(±∞, λ) = a(±r, λ) para toda λ ∈ R. (3.38)
De (3.34)-(3.38) se sigue que ãr ∈ C(R× R) y, en particular, ãr es continua sobre ∂(R× R).
Además, de [16, Teorema 7.7], se sigue que para toda r > 0 suficientemente grande el operador
ãr(x,D) es Fredholm sobre el espacio Lp(R) porque |ãr(x, λ)| > 0 para todo (x, λ) ∈ ∂(R × R)
debido a (3.37),(3.38) y (3.26); y el ı́ndice del operador ãr(x,D) es calculado por la fórmula
Ind ãr(x,D) =
1
2π
{arg a(x, λ)}(x,λ)∈∂Πr . (3.39)
Sea ã(−1)r (x,D) un regularizador del operador ãr(x,D). Entonces el operador ã
(−1)
r (x,D)
pertenece a A y su śımbolo ã(−1)r (x, λ) ∈ Ẽ es de la forma ã−1r (x, λ) para λ = ±∞ y todo
(x, λ) ∈ ((−∞,−r] ∪ [r,+∞))× R. Por lo tanto, el operador
a(x,D)ã(−1)r (x,D) = b(x,D) +K (3.40)
donde K es un operador compacto, el operador b(x,D) ∈ A es Fredholm sobre Lp(R), y su
śımbolo b(x, λ) ∈ Ẽ posee las propiedades: b(x,±∞) = 1 para todo (x, λ) ∈ [−r, r] × R, b(x, λ)
está separada del cero para todo (x, λ) ∈ ((−∞,−r] ∪ [r,+∞)) × R, y b(x±n , λ) están cerca a 1
para toda λ ∈ R y alguna sucesión x±n → ±∞. Debido a tales propiedades y a la continuidad
de b(x, λ) sobre R×R, el operador b(x,D) es homotópico al operador identidad I en la clase de
operadores pseudodiferenciales de Fredholm con śımbolos en Ẽ . De aqúı, Ind b(x, λ) = 0 y, por
lo tanto, por (3.40),
Ind a(x,D) = Ind ãr(x,D) (3.41)
(el Ind ãr(x,D) es estabilizado para r > 0 suficientemente grande). Finalmente, de (3.41) y
(3.39) se sigue que (3.33) se satisface. �
39
Caṕıtulo 4
Método de trayectoria local
En este caṕıtulo veremos el método que aplicaremos para obtener un criterio de Fredholm
para la C∗-álgebra que consideraremos en el Caṕıtulo 5. Los resultados dados