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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE 
MÉXICO 
FACULTAD DE CIENCIAS 
Algunos resultados sobre espacios de 
Banach Universales 
T E S I S 
QUE PARA OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE 
MATEMÁTICA 
PRESENTA 
CARMEN DENÍ MARTÍNEZ GÓMEZ 
DIRECTOR DE LA TESIS 
MAESTRO EN CIENCIAS PAVEL RAMOS MARTÍNEZ 
Ciudad Universitaria, Cd. Mx., 2017 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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mencionando el autor o autores. Cualquier uso distinto como el lucro, 
reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el 
respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
2
3
Agradecimientos y dedicatorias.
A mis padres Gonzalo y Patricia que me apoyaron durante todos mis estudios, preo-
cupados siempre por darme la mejor educación, a Viviana por su apoyo y empat́ıa.
A mis compaeros y amigos de la facultad: Martha, Ana, Alvaro, Isaac, David, Victorino,
Luciano, Alejandro, Jacinta, Bruno, Mariana y Octavio que hicieron de mi tiempo en la
facultad algo inolvidable.
Agradezco la comprensión de mis jefes y amigos Rodrigo Schulz y Carlos Vargas sin
cuyo apoyo no hubiera podido terminar este trabajo a tiempo.
Aśı mismo agradezco a mi asesor Pavel su infinita paciencia y a mis sinodales Miguel,
Natalia, Hugo y Carmen, el tiempo que dedicaron a escuchar y resolver mis dudas sobre los
temas tratados en esta tesis. Finalmente quiero agradecer el haber tenido la oportunidad
de formarme tanto academica como personalmente en la esta facultad, a la que le guardo
especial cariño.
4
Índice general
Introducción 7
1. Preliminares 9
1.1. Espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Operadores lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Teoremas clasicos en espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1. Teorema de Categoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2. Teorema de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.3. Teorema del mapeo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.4. Teorema de acotamiento uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4. El espacio dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.1. Operador adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.2. Reflexividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5. Topoloǵıa débil y débil*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.1. Topoloǵıa débil y convergencia débil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.2. Topoloǵıa débil* y convergencia débil*. . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6. Banach-Alouglu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.7. Bases de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.7.1. Definiciones y propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.7.2. La constante básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.8. Resultados de Bessaga y Zippin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.9. Teorema de Banach-Mazur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2. El resultado de Slenk 49
2.1. Índice de un espacio de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2. Resultado de Slenk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3. El resultado de Pelczinski 69
3.1. Los espacios de normas Bn y B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.1. Una distancia para Bn y B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2. Bases universales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3. El espacio universal de Pelczinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.4. Espacios de Banach con bases universales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.5. Ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5
6 ÍNDICE GENERAL
3.5.1. Inducción transfinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.5.2. Números ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.5.3. Buen orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.6. Otros resultados en espacios de Banach universales . . . . . . . . . . . . . . 112
Bibliograf́ıa 115
Introducción
Un espacio de Banach es un espacio vectorial X en el que esta definida una norma ‖ · ‖
y es completo con respecto a la métrica inducida por esta norma.
En los años 30’s los matemáticos Stanislaw Mazur y Stefan Banach probaron que
(C[0, 1], ‖ · ‖∞)
-el espacio de las funciones continuas en el intervalo cerrado [0, 1]- tiene la siguiente pro-
piedad:
Si X es un espacio de Banach separable entonces existe una isometŕıa
i : X → C[0, 1]
lineal sobre su imagen, esto es, C[0, 1] tiene la propiedad de contener una copia isométrica e
isomorfa de cualquier espacio de Banach separable (X, ‖·‖); decimos entonces que C[0, 1] es
universal para la familia de espacios de Banach separables. El resultado de Banach-Mazur
sugiere la siguiente pregunta: Dada la familia
F = {X|X es espacio de Banach y satisface la propiedad P}
¿Existe un X0 ∈ F con la propiedad universal de que si X es otro elemento de F entonces
existe
i : X → X0
lineal e isométrica sobre su imagen? es decir ¿Existe un elemento X0 en F tal que contiene
una copia isometrica e isomorfa de cualquier elemento X de la familia F?
Esta pregunta puede relajarse un poco planteandose de la siguiente manera: Dada
F = {X|X es espacio de Banach y satisface la propiedad p}
¿Existe un espacio de Banach X0, no necesariamente en F que contiene una copia isome-
tricamente isomorfa para todo espacio X en F?
De ser aśı, decimos que ”X0 es un espacio de Banach universal para F”.
Durante la segunda parte del siglo XX se ha trabajado de manera intensa en este problema,
analisando los diferentes resultados que podemos obtener, de manera afirmativa o negativa,
cuando variamos la propiedad P en la definición de F. En este trabajo estudiamos a las
siguientes familias:
7
Introducción ÍNDICE GENERAL
1. F1 = {X|X es espacio de Banach y es reflexivo}
2. F2 = {X|X es espacio de Banach y tiene una base de Schauder}
Veremos que F1 no tiene un elemento universal mientras que para F2 si podemos encon-
trarlo.
Para ver que no existe un espacio universal en la familia de todos los espacios de Banach
se separables y reflexivos estudiaremos el art́ıculo [15] donde se define el ı́ndice de un espa-
cio de Banach y apoyados en este concepto probaremos que si X es un espacio de Banach
universal para todos los espacios de Banach separables y reflexivos, entonces X∗ no es se-
parable, de donde se seguirá que no existe un espacio universal que tenga esas propiedades.
Para la segunda parte, basados en [1] estudiaremos el concepto de una base de Schauder
en un espacio X, discutiremos cómo son las sucesiones básicas, las proyecciones que éstas
definen, el concepto de bases equivalentes entre otras propiedades, y esto nos servirá para,
posteriormente, estudiar la familia de todas las normas definidas en un espacio de Banach,
definiendo una distancia entre ellas y aśı, probar que en un espacio de Banach X tiene una
base seminormalizada que es universal para todas las bases seminormalizadas y finalmente
concluir que existe un espacio de Banach X0 con una base de Schauder que es universal
para todos los espacios de Banach provistos con una base de Schauder. A manera de
conclusiónse hará una śıntesis de algunas soluciones adicionales y se comentará sobre la
dirección que en aos recientes han tomado las investigaciones sobre espacios de Banach
universales.
8
Caṕıtulo 1
Preliminares
1.1. Espacios de Banach
Definición 1.1. Sea X un espacio vectorial sobre R o C. Decimos que
‖ · ‖ : X −→ R
es una norma si:
1. ‖x‖ ≥ 0 y ‖x‖ = 0⇔ x = 0
2. ‖cx‖ = |c|‖x‖ para todo x ∈ X para todo c ∈ R
3. ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ para todo x, y ∈ X
y decimos que (X, ‖ · ‖) es un espacio normado.
Decimos que (X, ‖ · ‖) es de Banach si X es completo con la métrica
d(x, y) = ‖x− y‖.
Ejemplos:
1. (Rn, ‖ · ‖), 1 ≤ p ≤ ∞, donde:
‖(x1, x2, ..., xn)‖p =
(
n∑
i=1
|xi|p
) 1
p
es una norma.
Si p =∞ definimos:
‖(x1, x2, ..., xn)‖∞ = máx
1≤i≤n
|xi|
2. (B[0, 1], ‖ · ‖∞), donde
B[0, 1] = {f : [a, b] −→ R : f es acotada }
1.1 Caṕıtulo 1. Preliminares
y
‖f‖∞ = sup
a≤t≤b
|f(t)|
es un espacio de Banach.
3. (lp, ‖ · ‖p), con 1 ≤ p ≤ ∞, donde:
lp =
{
(xi)
∞
i=1 :
∞∑
i=1
|xi|p <∞
}
,
‖(xi)∞i=1‖p =
(
n∑
i=1
|xi|p
) 1
p
p ≥ 1
y
‖(xi)∞i=1‖∞ = sup
i∈N
|xi|si p =∞.
Proposición 1.2. Sea (X, ‖ · ‖) un espacio normado, entonces:
1. |‖x‖ − ‖y‖| ≤ ‖x± y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖
2. (x, y) 7→ x+ y es continua
3. (c, x) 7→ cx es continua en R×X.
Proposición 1.3. Sea (X, ‖ · ‖) un espacio de Banach y Y ≤ X un subespacio. Entonces
(Y, ‖ · ‖) es de Banach si y solo si Y es cerrado.
Definición 1.4. Sea X un espacio vectorial y ‖ · ‖, ‖ · ‖′ dos normas para X. Decimos que
‖ · ‖ es equivalente a ‖ · ‖′ si existen M,m > 0 tales que
m‖x‖′ ≤ ‖x‖ ≤M‖x‖′ para toda x ∈ X
y lo denotamos como
‖ · ‖ ∼ ‖ · ‖′.
Observación 1.5. Sea X un espacio vectorial y ‖ · ‖, ‖ · ‖′ dos normas equivalentes, en-
tonces:
1. xn −→ x con la norma ‖ · ‖ si y solo si xn −→ x con la norma ‖ · ‖′
2. (xn)
∞
n=1 es Cauchy con ‖ · ‖ si y solo si (xn)∞n=1 es Cauchy con ‖ · ‖′
3. La topoloǵıa inducida por ‖ · ‖ es la misma que la inducida por ‖ · ‖′ y (X, ‖ · ‖) es
espacio de Banach si y solo si (X, ‖ · ‖′) lo es.
Proposición 1.6. Sea X un espacio vectorial de dimensión finita, entonces,
dadas ‖ · ‖ y ‖ · ‖′, normas para X, estas son equivalentes.
10
Caṕıtulo 1. Preliminares 1.1
Algunos ejemplos de normas equivalentes:
Si (X, ‖ · ‖) y (Y, ‖ · ‖′) es un espacio normado, entonces en X × Y se pueden definir las
siguientes normas equivalentes:
‖(x, y)‖∞ = máx{‖x‖, ‖y‖′}
‖(x, y)‖1 = ‖x‖+ ‖y‖′
Y en general, para 1 ≤ p <∞:
‖(x, y)‖p = (‖x‖p + ‖y‖′p)
1
p
Teorema 1.7. (Complesión de un espacio normado) Sea (X, ‖ · ‖) un espacio norma-
do. Entonces existe un espacio de Banach X̃, con un subespacio W ≤ X̃ denso en X̃
isometricamente isomorfo a X, ademas es único salvo isometŕıas.
Definición 1.8. Sea (X, ‖ · ‖) un espacio normado y (xn)∞n=1 ⊂ X decimos que
∞∑
n=1
xn
converge si ĺım
m→∞
m∑
n=1
xn existe y lo denotamos
ĺım
m→∞
m∑
n=1
xn =
∞∑
n=1
xn.
Decimos que
∞∑
n=1
xn es absolutamente convergente si
∞∑
n=1
‖xn‖ <∞.
Definición 1.9. Sea (X, ‖ · ‖) un espacio normado y (xn)∞n=1 una sucesión de elementos
de X. Decimos que la serie converge incondicionalmente si
∞∑
n=1
xσ(n) converge para toda
permutación σ : N −→ N.
Proposición 1.10. Sea (X, ‖ · ‖) un espacio de Banach y (xn)∞n=1 una sucesion en X, las
siguientes condiciones son equivalentes:
1.
∞∑
n=1
xn converge incondicionalmente.
2.
∞∑
k=1
xnk converge para cualquier sucesion de naturales n1 < n2 < ...
3.
∞∑
n=1
gnxn converge para cualquier elección de gn = ±1 para toda n ∈ N
4. Para todo � > 0 ∃n ∈ N tal que
∥∥∥∥ ∑
i∈M
xi
∥∥∥∥ < � para todo M ⊂ N con n < mı́nM.
Proposición 1.11. Sea (X, ‖ · ‖) un espacio normado entonces:
1. Si
∞∑
n=1
xn y
∞∑
n=1
yn convergen entonces
∞∑
n=1
(xn + yn) converge y
∞∑
n=1
(xn + yn) =
∞∑
n=1
xn +
∞∑
n=1
yn
11
1.2 Caṕıtulo 1. Preliminares
2. Si c ∈ R y
∞∑
n=1
xn converge entonces
∞∑
n=1
cxn converge.
Proposición 1.12. Sea (X, ‖ · ‖) un espacio normado, entonces (X, ‖ · ‖) es un espacio
de Banach si y sólo si cada serie
∞∑
n=1
xn absolutamente convergente converge.
Teorema 1.13. Sea (X, ‖ · ‖) un espacio normado de dimensión finita, entonces X es un
espacio de Banach.
1.2. Operadores lineales
Definición 1.14. Sean X y Y espacios vectoriales y
T : X −→ Y
una función. Decimos que T es un operador lineal si para todo x, y ∈ X y t ∈ R:
T (tx+ y) = tTx+ Ty.
Definición 1.15. Sean X y Y espacios vectoriales y
T : X −→ Y
un operador lineal. Decimos que T es acotado si existe una c ∈ R tal que para todo x ∈ X
‖Tx‖ ≤ c‖x‖.
Definición 1.16. Sean X y Y espacios vectoriales y
T : X −→ Y
un operador lineal acotado entonces definimos
‖T‖ =: sup
x∈X, x6=0
‖Tx‖
‖x‖
.
Observación 1.17. De manera equivalente podemos escribir:
‖T‖ = ı́nf{M > 0 : ‖Tx‖ ≤M‖x‖ para toda x ∈ X},
= sup
‖x‖≤1
x6=0
‖Tx‖
= sup
‖x‖=1
‖Tx‖.
12
Caṕıtulo 1. Preliminares 1.3
Teorema 1.18. Si X y Y son espacios normados tal que dimX <∞ entonces
T : X → Y
es un operador lineal acotado.
Definición 1.19. Sean X y Y espacios vectoriales y un operador lineal
T : X −→ Y
Decimos que T es un operador continuo si T es continuo en x para toda x ∈ X.
Teorema 1.20. Sean X y Y espacios vectoriales y un operador lineal
T : X −→ Y
entonces:
1. T es un continuo en 0
2. T es continuo
3. T es acotado.
Definición 1.21. Sean (X, ‖ · ‖) y (Y, ‖ · ‖) espacios vectoriales y un operador lineal
T : X −→ Y
Decimos que T es un isomorfismo si es biyectivo y con inverso T−1 continuo. Si T es un
isomorfismo sobre Y ′, donde Y ′ es un subespacio de Y , decimos que T es un encaje de X
en Y ′.
Definición 1.22. Sean (X, ‖ · ‖) y (Y, ‖ · ‖) espacios vectoriales y un operador lineal
T : X −→ Y
Decimos que T es un operador isométrico o una isometŕıa si
‖Tx‖ = ‖x‖.
Definición 1.23. Sean (X, ‖ · ‖) y (Y, ‖ · ‖) espacios vectoriales y un operador lineal
T : X −→ Y
Decimos que T es un isomorfismo isometrico si es cumple con las dos definiciones ante-
riores.
1.3. Teoremas clasicos en espacios de Banach
En esta sección estudiamos algunos teoremas clásicos en espacios de Banach que seran
de utilidad a lo largo de este trabajo.
13
1.3 Caṕıtulo 1. Preliminares
1.3.1. Teorema de Categoria
Definición 1.24. Sea (X, d) un espacio métrico y M ⊂ X. Decimos que M es
1. Denso en ninguna parte en X si el interior de M es vaćıo
2. De primera categoria en X si es la unión numerable de conjuntos densos en ninguna
parte
3. De segunda categoŕıa en X si M no es de primera categoŕıa en X.
Teorema 1.25. (Teorema de Categoria de Baire) Si un espacio metrico (X, d) 6= ∅ es
completo es de segunda categoria en si mismo.
Es decir, si X es completo y
X =
∞⋃
k=1
Ak Ak cerrado
entonces al menos un Ak contiene un subconjunto abierto.
1.3.2. Teorema de Hahn-Banach
Teorema 1.26. Hahn-Banach (Generalizado)
Sea X un espacio vectorial sobre R y p una funcional de valores en R tal que
p(x+ y) ≤ p(x) + p(y) y p(αx) = |α|p(x) para toda α ∈ R
Sea f una funcional lineal definida en un subespacio Z de X y que satisface
|f(x)| ≤ p(x) para toda x ∈ Z
Entonces f tiene una extensión f̃ : X −→ F que satisface
|f̃(x)| ≤ p(x) para toda x ∈ X.
Demostración. Sea
E =: {g : D(g)→ F : g �D(f)= f, g(x) ≤ p(x) para toda x ∈ D(g)} (1.1)
Donde D(g) denota el dominio de g. Claramente E 6= ∅ pues f ∈ E. Podemos definir un
orden parcial g ≤ h que significa que D(h) ⊃ D(g) y h �D(g)= g. Para toda C cadena,
C ⊂ E definimos a ĝ como:
ĝ(x) = g(x) si x ∈ D(g) (g ∈ C)
ĝ es una funcional lineal cuyo dominio es
D(ĝ) =
⋃
g∈C
D(g)
14
Caṕıtulo 1. Preliminares 1.3
el cual es un espacio vectorial dado que C es una cadena.
ĝ esta bien definida pues para x ∈ D(g1) ∩ D(g2), g1(x) = g2(x) pues C es una cadena,
entonces g1 ≤ g2 y g2 ≤ g1. Claramente g ≤ ĝ para toda g ∈ C por lo tanto ĝ es una cota
superior de C, dado que C es una cadena arbitraria, E tiene un elemento maximal f̂ . Por
la definición de E, f̂ es una extensión de f que satisface
f̂(x) ≤ p(x) x ∈ D(f̂)
f̂ esta definida en todo X pues si suponemos que existe y1 ∈ X −D(f̂) y consideremosel
espacio Y1 = S(D(f̂) ∪ {y1}). Para toda x ∈ Y1 puede ser escrita como:
x = y + αy1 y ∈ D(f̂)
y esta representación es única. Si definimos a una funcional g1 en Y1 esta definida como:
g1(y + αy1) = f̂(y) + αc (1.2)
donde c es una constante real. Claramente g1 es lineal. Si D(g1) ⊃ D(f̂)
Si probamos que
g1(x) ≤ p(x) para toda x ∈ D(g1) (1.3)
esto contradeciria la maximilidad de f̂ por lo tanto D(f̂) 6= X es falso y por tanto D(f̂) =
X.
Ahora probaremos que con una c adecuada en la ecuación 1.2 satisface 1.3
Consideramos a y, z ∈ D(f̂), como f̂ es subaditiva y menor a p para cada x:
f̂(y)− f̂(z) = f̂(y − z) ≤ p(y − z)
= p(y + y1 − y1 − z)
≤ p(y + y1) + p(−y1 − z)
entonces
−p(−y1 − z)− f̂(z) ≤ p(y + y1)− f̂(y) (1.4)
con y1 fijo.
Tomamos supremo sobre z ∈ D(f̂) del lado derecho:
m0 =: sup
z∈D(f̂)
−p(−y1 − z)− f̂(z)
y del lado derecho infimo sobre y ∈ D(f̂):
m1 =: ı́nf
y∈D(f̂)
p(y + y1)− f̂(y)
Sea m0 ≤ c ≤ m1 y entonces
−p(−y1 − z)− f̂(z) ≤ c (1.5)
15
1.3 Caṕıtulo 1. Preliminares
y
c ≤ p(y + y1)− f̂(y) (1.6)
En 1.5 remplazamos z por yα con α < 0
−p
(
−y1 −
1
α
y
)
− f̂
(
1
α
y
)
≤ c
mutiplicando por −α > 0 nos da:
αp
(
−y1 −
1
α
y
)
− f̂(y) ≤ −αc
entonces
αc+ f̂(y) ≤ −αp
(
−y1 −
1
α
y
)
por como definimos g1 y establecieno x = y + αy1:
g1(x) = f̂(y) + αc ≤ −αp
(
−y1 −
1
α
y
)
= p(αy1 + y) = p(x)
Si α = 0 no hay nada que porbar pues en este caso x ∈ D(f̂)
Si α > 0 usamos 1.6 y remplazamos y por 1αy para obtener
c ≤ p
(
1
α
y + y1
)
− f̂
(
1
α
y
)
y mutiplicando por α > 0 nos da
αc ≤ αp
(
1
α
y + y1
)
− f̂(y) = p(x)− f̂(y)
y entonces
g1(x) = f̂(y) + αc ≤ p(x).
Teorema 1.27. (Hahn-Banach) Sea (X, ‖·‖) un espacio normado y sea f una funcional
lineal acotada definida en Z un subespacio de X. Entonces existe una funcional lineal
acotada f̃ extensión de f con la misma norma:
‖f‖X = ‖f̃‖Z
donde
‖f̃‖X = sup
x∈X
‖x‖=1
|f̃(x)|
y
‖f‖Z = sup
x∈Z
‖x‖=1
|f(x)|
y en el caso trivial en que Z = 0, ‖x‖Z = 0.
16
Caṕıtulo 1. Preliminares 1.3
Demostración. Observamos que para toda x ∈ Z
|f(x)| ≤ ‖f‖Z‖x‖
asi que definimos
p(x) = ‖f‖Z‖x‖ para toda x ∈ X
que es en efecto una funcional sublineal pues
p(x+ y) = ‖f‖Z‖x+ y‖ ≤ ‖f‖Z‖x‖+ ‖f‖Z‖z‖ = p(x) + p(y)
y
p(αx) = ‖f‖Z‖αx‖ = |α|‖f‖Z‖x‖ = |α|p(x)
entonces aplicando el teorema de Hahn-Banach generalizado vemos que existe f̃ definida
en todo X que satisface
|f̃(x)| ≤ p(x) = ‖f‖Z‖x‖ para toda x ∈ X
Tomando el supremo sobre todas las x de norma 1 tenemos la siguiente desigualdad:
sup
x∈X,‖x‖=1
|f̃(x)| ≤ ‖f‖Z
de tal forma que obtenemos la sigueinte desigualdad:
‖f̃‖X ≤ ‖f‖Z
y dado que la norma de una extensión es mayor o igual a la de la funcional original:
‖f̃‖X ≥ ‖f‖Z
Por lo tanto podemos extender a f conservando la misma norma.
Teorema 1.28. Sea (X, ‖ · ‖) un espacio normado y x0 6= 0 en X. Entonces existe una
funcional lineal y acotada f̃ tal que:
‖f̃‖ = 1, f̃(x0) = ‖x0‖
Demostración. Consideramos el subespacio Z ⊂ X que consiste de todos los elementos
x = αx0 donde α es un escalar. En Z definimos una funcional lineal
f(x) = f(αx0) = α‖x0‖
f es acotada y tiene norma uno pues:
|f(x)| = |f(αx0)| = |α|‖x0‖ = ‖αx0‖ = ‖x‖
por el teorema 1.27 f tiene una extensión lineal f̃ definida en todo X de norma
‖f̃‖ = ‖f‖ = 1
y
f̃(x0) = f(x0) = ‖x0‖
17
1.3 Caṕıtulo 1. Preliminares
Corolario 1.29. Para toda x ∈ X tenemos:
‖x‖ = sup
f∈X∗
f 6=0
|f(x)|
‖f‖
Demostración. Del teorema 1.28 escribiendo x en lugar de x0:
sup
f∈X∗
f 6=0
|f(x)|
‖f‖
≥ |f̃(x)|
‖f‖
=
‖x‖
1
= ‖x‖
para la otra desigualdad tenemos de |f(x)| ≤ ‖f‖‖x‖:
‖x‖ ≥ |f(x)|
‖f‖
por lo tanto:
‖x‖ ≥ sup
f∈X∗
f 6=0
|f(x)|
‖f‖
1.3.3. Teorema del mapeo abierto
El siguiente lema es un resultado que utilizaremos en la prueba del Teorema del mapeo
abierto.
Lema 1.30. Sean (X, ‖ · ‖X) y (Y, ‖ · ‖Y ) espacios de Banach, S la bola abierta de radio
uno con centro en cero y
T : X −→ Y
un operador lineal acotado y sobre. Entonces T (S) contiene una bola abierta con centro
en 0 ∈ Y .
Demostración. Consideramos la bola S 1
2
entonces X =
⋃∞
k=1 kS 1
2
Como T es lineal y sobre
Y = T (X) = T
( ∞⋃
k=1
kS 1
2
)
=
∞⋃
k=1
kT
(
S 1
2
)
=
∞⋃
k=1
kT
(
S 1
2
)
Dado que Y es un espacio de Banach, Y no es magro y por el teorema 1.25 podemos
asegurar que existe una k ∈ N tal que kT
(
S 1
2
)
no es denso en ninguna parte y esto implica
18
Caṕıtulo 1. Preliminares 1.3
que T
(
S 1
2
)
contiene una bola abierta, con centro en algun y0 ∈ T
(
S 1
2
)
, S�(y0) Por tanto
S�(y0)− y0 = S�(0) ⊂ T (S 1
2
− y0
Ahora probaremos que S�(y0)− y0 ⊂ T (S 1
2
). Sea y ∈ T (S 1
2
)− y0, entonces y+ y0 ∈ T (S 1
2
)
y ademas y0 ∈ T (S 1
2
) tambien.
Como y4 y y estan en la cerradura de la imagen bajo T de S 1
2
existen sucesiones:
un = Twn ∈ T (S 1
2
) tal que un → y + y0
vn = Tzn ∈ T (S 1
2
) tal que vn → y0
Como wn, zn ∈ S 1
2
‖wn − zn‖ ≤ ‖wn‖+ ‖zn‖ <
1
2
+
1
2
= 1
entonces wn − zn ∈ S1(0) entonces
T (wn − zn) = Twn − Tzn = un − vn −→ y
lo que quiere decir que y ∈ T (S 1
2
).
Como ademas y ∈ T (S 1
2
)− y0 lo tomamos de manera arbitraria esto prueba:
S�(y0)− y0 ⊂ T (S 1
2
)
y ademas
S�(y0)− y0 = S�(0) ⊂ T (S1)
Ahora consideraremos las bolas abiertas S 1
2n
(0) ⊂ X.
Como T es lineal
T (S 1
2n
(0)) =
1
2n
T (S1
entonces
S �
2n
(0) ⊂ T (S 1
2n
(0))
Resta por probar que
S �
2
(0) ⊂ T (S1(0))
Sea y ∈ S �
2
Sabemos que y ∈ T (S1), entonces existe un v ∈ T (S1) tal que
‖v − y‖ < �
4
Como v ∈ T (S1) hay un x1 ∈ S1 tal que Tx1 = v y escribimos
‖Tx1 − y‖ <
�
4
19
1.3 Caṕıtulo 1. Preliminares
Esta desigualdad nos indica que Tx1− y esta en S �
22
y de manera analoga concluimos que
existe x2 ∈ S 1
22
tal que
‖(y − Tx1)− Tx2‖ <
�
8
si continuamos de la misma manera obtenemos:
‖y −
n∑
k=1
Txk‖ <
�
2n+1
(1.7)
Sea zn = x1 + x2 + ... + xn. Como cada xk ∈ S 1
2k
(0) se tiene ‖xk‖ < 12k y entonces para
n > m
‖zn − zm‖ ≤
n∑
k=m+1
‖xk‖ <
n∑
k=m+1
1
2k
Conforme m tiende a infinito el lado derecho de la ecuacuación anterior tiende a 0 y esto
nos indica que (zm)
∞
m=1 es e Cauchy y como X es completo zn → x con x ∈ S1(0) pues
n∑
k=1
‖xk‖ <
∞∑
k=1
1
2k
= 1
Como T es continua Tzn → Tx, por 1.7 tenemos que Tx = y. Por lo tanto y ∈ T (S1).
Teorema 1.31. (Teorema del mapeo abierto) Sean (X, ‖ · ‖X) y (Y, ‖ · ‖Y ) espacios de
Banach y
T : X −→ Y
un operador sobre Y lineal y acotado, entonces T es un operador abierto. Mas aún, si T
es inyectiva T−1 es continua y acotada.
Para probar que T es un operador abierto debemos probar que para todo A abierto
T(A) es abierto en Y, es decir que para todo y = Tx ∈ T (A), T (A) contiene una bola
abierta al rededor de y.
Como A es abierto contiene una bola abierta alrededor de cada x y A−x contiene una bola
abierta con centro en 0 de radio r, de esta manera 1r (A− x) contiene una bola abierta con
centro en 0 y raio 1. Por el lema anterior k(T (A)−Tx) contiene una bola abierta alrededor
del cero y esta propiedad se conserva para (T (A) − Tx) por lo tanto T (A) contiene una
bola abierta alrededor de Tx = y y como elegimos arbitrariamente a y ∈ T (A) concluimos
que T (A) es abierto.
Si T−1 : Y −→ X existe, lo anterior implica que es continuo y recordemos que esto es
equivalente con ser acotado para operaores lineales. T−1 es lineal pues X y Y son espacios
vectoriales y T es un operador lineal.
20
Caṕıtulo 1. Preliminares 1.3
1.3.4. Teorema de acotamiento uniforme
Teorema 1.32. (Teorema del acotamiento uniforme) Sean (X, ‖ · ‖X) un espacio de Ba-
nach y (Y, ‖·‖Y ) un espacio normado sea (Tn) una sucesión de operadores lineales acotados
Tn : X −→ Y tales que (‖Tnx‖)∞n es acotado para toda x ∈ X, es decir
‖Tnx‖ ≤ cx n = 1, 2, ... (1.8)
entonces existe c > 0 tal que ‖Tn‖ ≤ c para toda n ∈ N.
Demostración. Para cada k ∈ N, sea Ak ⊂ X el conjunto de todas las x tales que
‖Tnx‖ ≤ k para toda n = 1, 2, ...
Ak es cerrado pues si tomamos (xj)
∞
j=1 ∈ Ak convergente a x:
‖Tnxj‖ ≤ k para cada n fija
por la continuidad de Tn y de la norma implica
‖Tnx‖≤ k para cada n fija
por lo tanto x ∈ Ak y Ak es cerrado. por 1.8 cada x ∈ X pertenece a un Ak, es decir
X =
∞⋃
k=1
Ak
y como X es completo existe al menos un Ak que contiene una bola abierta:
S0 = Sr(x0) ⊂ Ak0 (1.9)
donde x0 es el centro de la bola y r es el radio. Sea x ∈ X arbitrario no cero y sea
z = x0 + γx γ =
r
2‖x‖
(1.10)
Entonces ‖z − x0‖ ≤ r lo que implica que z ∈ Sr(xo) ⊂ Ak0 por lo tanto ‖Tnz‖ ≤ k0 para
toda n, entonces
x =
1
γ
(z − x0)
y entonces para toda n tenemos
‖Tnx‖
1
γ
‖(z − x0)‖ ≤
1
γ
(‖Tnz‖+ ‖Txx0‖) ≤
4
r
‖x‖k0 (1.11)
que implica
‖Tn‖ = sup
‖x‖=1
‖Tnx‖ ≤
4k0
r
(1.12)
es decir, que tenemos una cota que no depende de n para toda ‖Tn‖.
21
1.4 Caṕıtulo 1. Preliminares
Como corolario obtenemos el siguiente resultado:
Lema 1.33. Sea (X, ‖ · ‖X) un espacio de Banach y (Y, ‖ · ‖Y ) un espacio normado. sea
{Tn : X −→ Y }
una sucesión de operadores acotados tal que para cada x ∈ X se cumple que {Tnx} es
convergente en Y . Entonces existe un operador lineal acotado
T : X −→ Y
tal que T es el ĺımite de la sucesión {Tn} con la norma del operador.
1.4. El espacio dual
Definición 1.34. Sea X un espacio normado. Entonces el conjunto X∗ de funcionales
lineales y acotadas
f : X → R
constituye un espacio normado con norma definida de la siguiente manera:
‖f‖ = sup
x∈X
x6=0
|f(x)|
‖x‖
= sup
x∈X
‖x‖=1
|f(x)|.
Teorema 1.35. (Espacio dual) El espacio dual X∗ de un espacio normado X es un espacio
de Banach.
1.4.1. Operador adjunto
Definición 1.36. Sean (X, ‖ · ‖X) y (Y, ‖ · ‖Y ) espacios normados y sea
T : X −→ Y
un operador lineal acotado. Entonces el operador adjunto
T ∗ : Y ∗ −→ X∗
de T esta definido de la siguiente manera:
f(x) = (T ∗g)(x) = g(Tx) para g ∈ Y ∗
donde X∗ y Y ∗ son los espacios duales de X y Y respectivamente.
Teorema 1.37. Sean (X, ‖ · ‖X) y (Y, ‖ · ‖Y ) espacios normados y sea
T : X −→ Y
un operador lineal acotado. Entonces el operador adjunto
T ∗ : Y ∗ −→ X∗
es lineal y acotado y
‖T ∗‖ = ‖T‖.
22
Caṕıtulo 1. Preliminares 1.4
1.4.2. Reflexividad
Definición 1.38. Sea X un espacio vectorial. Sea X ′ el conjunto de todas las funcionales
lineales que tienen a X como dominio. Llamamos a X ′ el dual algebraico de X. A X ′′ =
(X ′)′ lo llamamos el espacio doble dual algebraico de X
Definición 1.39. Sea X un espacio vectorial. Definimos al mapeo canonico para x ∈ X
de la siguiente manera
C : X −→ X ′′
x 7−→ gx
donde
gx(f) = f(x) paraf ∈ X ′
Observación 1.40. C es un operador lineal e inyectivo
Definición 1.41. Sea X un espacio vectorial. Definimos al mapeo canonico para x ∈ X
de la siguiente manera
C : X −→ X∗∗
x 7−→ gx
donde
gx(f) = f(x) paraf ∈ X∗.
Definición 1.42. Sea (X, ‖ · ‖) un espacio normado. Decimos que X es reflexivo si
C : X −→ X∗∗
es sobreyectivo, donde C es la funcion sobre el espacio de funcionales acotadas que defi-
nimos en 1.41.
Teorema 1.43. Sea (X, ‖ · ‖) un espacio normado reflexivo, entonces X es completo.
Teorema 1.44. Sea (X, ‖ · ‖) un espacio normado de dimensión finita, entonces X es
reflexivo.
Lema 1.45. Sea Y un subespacio cerrado propio de un espacio normado (X, ‖ ‖). Si
x0 ∈ X \ Y y
δ = d(x0, Y ) = ı́nf{d(x0, y) | y ∈ Y },
entonces existe F ∈ X∗ tal que
‖F‖ = 1, F (y) = 0 para toda y ∈ Y , F (x0) = δ. (1.13)
23
1.4 Caṕıtulo 1. Preliminares
Demostración. Consideremos Z = s(Y ∪ {x0}) y definamos f : Z → R dada por
f(z) = αδ
si z ∈ Z y z = y + αx0 para algún α ∈ R, y ∈ Y .
f esta bien definida pues Z es un subespacio de X. La linealidad de f se obtiene de
un calculo directo.
Dado que Y es cerrado y x0 ∈ X \ Y entonces δ > 0 y por tanto, f 6= 0.
Ahora α = 0 implica f(y) = 0 para toda y ∈ Y y si α = 1 junto con y = 0 obtenemos
f(x0) = δ.
Sea α 6= 0. Si z = y + αx0, con α ∈ R, y ∈ Y entonces
|f(z)| = |α|δ = |α| ı́nf
y∈Y
‖y − x0‖ ≤ |α|
∥∥∥∥− 1αy − x0
∥∥∥∥ = ‖y + αx0‖
por lo tanto f es acotado y ‖f‖ ≤ 1.
Más aún ‖f‖ ≥ 1 y el siguiente argumento muestra por qué. Existe (yn)∞n=1 ⊂ Y tal
que ‖yn − x0‖ → δ, si zn = yn − x0 por definición de f se tiene que f(zn) = −δ y por
tanto,
‖f‖ = sup
z 6=0
|f(z)|
‖z‖
≥ |f(zn)|
‖zn‖
=
δ
‖zn‖
→ δ
δ
= 1
si n→∞. Por tanto, ‖f‖ = 1.
Aplicando el Teorema de Hahn−Banach a f encontramos una extensión de f , F ∈ X∗
tal que ‖F‖ = 1 y que cumple las propiedades descritas en (1.13).
El siguiente teorema será se gran importancia en el caṕıtulo 2:
Teorema 1.46. Si el espacio dual X∗ de un espacio normado (X, ‖ ‖) es separable en-
tonces X es separable.
Demostración. Supongamos que X∗ es separable. Si denotamos a la esfera unitaria en X∗
por
B∗ = {f ∈ X∗ | ‖f‖ = 1}
también es separable, es decir existe una sucesión (fn)
∞
n=1 densa en B
∗. Debido a que
fn ∈ B∗ existe xn ∈ X tal que ‖xn‖ = 1 y
|fn(xn)| ≥
1
2
para toda n ∈ N.
Sea Y = [xn]
∞
n=1 la cerradura del subespacio s(xn)n. Y es separable pues la cerradura
del conjunto de todas las combinaciones lineales de los x′ns con coeficientes racionales es
Y .
Afirmamos que Y = X. Supongamos que Y 6= X entonces Y es un subespacio cerrado
propio de X usando el Lema 1.45 encontramos F ∈ X∗ tal que ‖F‖ = 1 y F (y) = 0 para
toda y ∈ Y . Debido a que xn ∈ Y también F (xn) = 0 para toda n, es aśı que
1
2
≤ |fn(xn)| = |fn(xn)− F (xn)| = |(fn − F )(xn)| ≤ ‖fn − F‖‖xn‖
24
Caṕıtulo 1. Preliminares 1.5
Recordando que ‖xn‖ = 1 obtenemos que existe F ∈ X∗ tal que ‖fn − F‖ ≥ 12 para toda
n ∈ N lo cual es una contradicción a que (fn)∞n=1 es denso en B∗. Por tanto, Y = X y X
es separable.
1.5. Topoloǵıa débil y débil*.
Definición 1.47. Sea X un conjunto no vaćıo. Una base para una topoloǵıa es una familia
B de subconjuntos de X tales que
1. Para toda x ∈ X existe Bx ∈ B tal que x ∈ Bx.
2. Para cualesquiera B1, B2 ∈ B y x ∈ B1 ∩ B2 existe B3 también en B y cumple que
x ∈ B3 ⊂ B1 ∩B2.
De la definición anterior se puede obtener una topoloǵıa τB para X de la siguiente
manera: Un subconjunto U de X está en τB si para todo x ∈ U existe B ∈ B tal que
x ∈ B ⊂ U . La demostración de que τB es una topoloǵıa para X se sigue inmediatamente
de como se definen los elementos de τB. Más aún si X ya posee una topoloǵıa τ se dice
que B genera a τ si τB = τ .
Si τ y τ ′ son dos topoloǵıas para un espacio X decimos que τ es más débil que τ ′ si
τ ⊂ τ ′ (también se dice en este caso que τ ′ es más fuerte que τ).
A continuación definimos los espacios vectoriales topológicos que generalizan a los
espacios de Banach.
Definición 1.48. Sea X un espacio vectorial con una topoloǵıa τ . Diremos que (X, τ)
es un espacio vectorial topológico si las operaciones de suma y producto por escalar son
funciones continuas de X ×X a X y de R×X a X respectivamente.
1.5.1. Topoloǵıa débil y convergencia débil.
Si (X, ‖ ‖) es un espacio normado también es un espacio vectorial topológico pues
podemos inducir una topoloǵıa para X a partir de la norma de la siguiente manera: Sean
r > 0, x ∈ X y B(x, r) = {y ∈ X | ‖x− y‖ < r}. La familia
B1 = {B(r, x) | r > 0, x ∈ X}
es una base para una topoloǵıa sobre X. En esta sección definiremos una topoloǵıa en X
que llamaremos topoloǵıa débil y a la dada por la norma la llamaremos topoloǵıa fuerte,
en general estas dos son distintas.
Proposición 1.49. Sea (X, ‖ ‖) un espacio normado. La siguiente familia de subconjuntos
de X es una base para una topoloǵıa sobre X
B2 = {Ux,f1,...,fk,a1,...,ak | x ∈ X, f1, . . . , fk ∈ X
∗, a1, . . . , ak > 0, k ∈ N}
donde Ux,f1,...fk,a1,...,ak = {y ∈ X | |fi(y − x)| < ai, 1 ≤ i ≤ k}.1
1En realidad esta proposición se puede enunciar para el caso más general donde X es un espacio vectorial
topológico pues cada elemento de B2 se define en terminos de funciones continuas de X en R las cuales
dependen únicamente de la topoloǵıa de X.
25
1.5 Caṕıtulo 1. Preliminares
A la topoloǵıa generada por la base B2 se le llama topoloǵıa débil para X y la deno-
taremos por σ(X,X∗), también se dice que es la topoloǵıa débil para X generada por X∗,
sus elementos son las vecindades debiles.Observación 1.50. La topoloǵıa débil definida en un espacio normado X tiene las si-
guientes propiedades:
1. σ(X,X∗) esta estrictamente contenida en la topoloǵıa generada por la norma pues
cada elemento de B2 se puede escribir como
Ux,f1,...,fk,a1,...,ak =
k⋂
i=1
f−1i (−ai + fi(x), ai + fi(x))
que es abierto en X con respecto a la topoloǵıa fuerte pues fi es continua para toda
i = 1, . . . k.
2. σ(X,X∗) es la topoloǵıa más débil respecto a la propiedad de que si f es continua
respecto a la topoloǵıa fuerte entonces f es continua respecto a σ(X,X∗).
3. (X,σ(X,X∗)) es un espacio vectorial topológico de Hausdorff.
Definición 1.51. Sean (X, ‖ ‖) un espacio normado y (xn)∞n=1 una sucesión en X. De-
cimos que (xn)
∞
n=1 converge débilmente a x0 si para toda vecindad débil Ux0 de x0 existe
N ∈ N tal que si n > N entonces xn ∈ Ux0. Esta convergencia será denotada por
xn
w→ x0.
Proposición 1.52. Sea (X, ‖ ‖) un espacio normado. Una sucesión (xn)∞n=1 en X conver-
ge débilmente a x0 si y sólo si la sucesión (f(xn))
∞
n=1 converge a f(x0) para toda f ∈ X∗.
Demostración. Antes de comenzar con la prueba observemos que basta probar el enunciado
para el caso x0 = 0, pues si esto si pasara y x0 6= 0 obtendŕıamos:
xn
w→ x0 si y sólo si xn−x0
w→ 0 si y sólo si f(xn−x0)→ 0 para toda f ∈ X∗ si y sólo
si f(xn)→ f(x0) para toda f ∈ X∗.
Supongamos x0 = 0.
⇐] Sabemos que para toda f ∈ X∗ f(xn) → 0 si n → ∞. Sea U0 una vecindad débil
del 0 de la forma
U0 = {x ∈ X | |f1(x)| < �1, . . . , |fk(x)| < �k}
donde fi ∈ X∗ y �i > 0 para toda i = 1, . . . , k.
Por hipótesis existen Ni ∈ N tal que si n > Ni entonces |f(xn)| < �i para toda
i = 1, . . . k.
Si N = máx1≤i≤k{Ni} y n > N del párrafo anterior se deduce que xn ∈ U0. Es decir
xn
w→ 0.
⇒] Sea f ∈ X∗ y � > 0. Claramente U = {x ∈ X | |f(x)| < �} es vecindad débil de 0
y por hipótesis existe N ∈ N tal que si n > N entonces xn ∈ U y por tanto, |f(xn)| < �.
Es decir f(xn)→ 0 si n→∞.
26
Caṕıtulo 1. Preliminares 1.5
Corolario 1.53. Si (xn)
∞
n=1 es una sucesión en un espacio normado X que converge
débilmente a x0 entonces x0 es único.
Una pregunta que surge inmediatamente es: ¿Qué relación existe entre la convergencia
débil y la fuerte? Resulta que si (xn)
∞
n=1 es una sucesión que converge fuertemente a x0 en
un espacio normado X también converge débilmente en X pues si f ∈ X∗ se deduce que
|f(xn)− f(x0)| = |f(xn − x0)| ≤ ‖f‖‖xn − x0‖ → 0
si n→∞.
Lo que no pasa en general es que la convergencia débil implique la convergencia fuerte,
pero veremos que si el espacio normado es de dimensión finita entonces estos dos tipos de
convergencia son equivalentes.
Teorema 1.54. Sean (X, ‖ ‖) un espacio normado y (xn)∞n=1 una sucesión en X. Si X es
dimensión finita entonces (xn)
∞
n=1 converge débilmente si y sólo si converge fuertemente.
Demostración. Supongamos que xn
w→ x cuando n → ∞ y además que dimX = p con
base {e1, . . . ep}. Para cada n ∈ N podemos escribir
xn = a
n
1e1 + . . .+ a
n
pep
de la misma manera
x = a1e1 + . . . apep,
por hipótesis f(xn) → f(x) cuando n → ∞ para toda f ∈ X∗. En particular para las
funcionales linelaes fj : X → R definidas en los elementos de la base por
fj(ei) =
{
1 si i = j
0 si i 6= j
para toda i, j = 1, . . . , p. Obtenemos que fj(xn)→ fj(x), es decir anj → aj si n→∞ para
toda j = 1, . . . , p. De esta forma deducimos facilmente que
‖xn − x‖ =
∥∥∥∥∥
p∑
i=1
(ani − ai)ei
∥∥∥∥∥ ≤
p∑
i
|ani − ai|‖ei‖ → 0
cuando n→∞. Lo cual muestra que (xn)∞n=1 converge fuertemente a x.
Es importante hacer notar que la equivalencia entre convergencia débil y fuerte no
implica que el espacio sea de dimensión finita
1.5.2. Topoloǵıa débil* y convergencia débil*.
En la sección anterior vimos que si X es un espacio normado, entonces se puede definir
la topoloǵıa débil mediante el uso de su dual X∗. De una manera análoga se define la
topoloǵıa débil para X∗ como la generada por X∗∗ y que se denota por σ(X∗, X∗∗). sin
27
1.6 Caṕıtulo 1. Preliminares
embargo, la mayoria de los resultados que veremos no hacen uso de esta topoloǵıa, hacen
referencia a la toploǵıa débil* la cual definimos en seguida.
Sabemos que si X es un espacio normado entonces C : X → X∗∗ dada por C(x)(f) =
x̂f = f(x) para toda f ∈ X∗ es un encaje. Es decir podemos ver a X como un subespacio
de X∗∗. Con esta observación definimos la topoloǵıa débil* para X∗ como:
Definición 1.55. Sea (X, ‖ ‖) un espacio normado. Sean x1, . . . , xk ∈ X y �1, . . . , �k > 0.
Un conjunto de la forma
Uf,x1,...,xk,�1,...,�k = {g ∈ X
∗ | |(f − g)(xi)| = |x̂i(f − g)| < �i ∀i = 1, . . . , k}
es un abierto para la topoloǵıa débil* sobre X∗. La familia
B3 = {Uf,x1,...,xk,�1,...,�k | f ∈ X
∗, xi ∈ X, �i > 0 , k ∈ N}
es la base que genera la topoloǵıa debil* para X∗.
La topoloǵıa débil* es usualmente denotada por σ(X∗, X). Cabe hacer notar que las
topoloǵıas débil y débil* para X∗ no siempre coinciden, de hecho son iguales si y sólo si
X es reflexivo. De la misma forma estas topoloǵıas se pueden generalizar para X∗∗, es
decir σ(X∗∗, X∗∗∗) denota la topoloǵıa débil para X∗∗ mientras que σ(X∗∗, X∗) denota la
topoloǵıa debil* para X∗∗.
Definición 1.56. Sea (X, ‖ ‖) un espacio normado. (fn)∞n=1 una sucesión en X∗ converge
débilmente* a f ∈ X∗ si (fn)n=1 converge a f con la topoloǵıa debil*. Esta convergencia
sera denotada por
fn
w∗→ f
si n→∞.
Proposición 1.57. Sea (X, ‖ ‖) un espacio normado. (fn)∞n=1 una sucesión en X∗ con-
verge debilmente* a f ∈ X∗ si y sólo si (fn(x))∞n=1 converge a f(x) para toda x ∈ X.
1.6. Banach-Alouglu
Observación 1.58. Sea K un compacto con la topologia τ y τ ′ una topologia Hausdorff
de K tal que τ ′ ⊆ τ , entonces τ y τ ′ coinciden.
Demostración. Sea A ∈ τ , B = Ac y IdK : (K, τ) −→ (K, τ ′).
τ ′ ⊆ τ entonces IdK es una función continua y B ⊆ K, entonces B es cerrado y ademas
τ -compacto por estar contenido en K, entonces IdK(B) es τ
′-compacto implica que es
τ ′-cerrado, pues τ ′ es Hausdorff, Que B sea τ ′-cerrado implica A ∈ τ ′. i.e. τ ⊆ τ ′
Nota: En los siguientes resultados llamare ρ a la topologia usualmente de notada como
σ(X∗, X).
Teorema 1.59. (Banach-Alouglu). Sea (X, ‖·‖) un espacio de Banach separable, entonces
S∗, la bola cerrada unitaria es compacta y metrizable con la topologia τ∗w.
28
Caṕıtulo 1. Preliminares 1.6
Demostración. Sea D = (xn)
∞
n=1 ⊂ S, un subconjunto denso en la esfera abierta unitaria
de X.
Dados los conjuntos
V�(x
∗
0;x1, ..., xN , �) = {x∗ ∈ X∗ : |x∗0(xi)− x∗(xi)| < �, i = 1, ..., N}
definimos a ρ como la topoloǵıa que tiene a dichos conjuntos como base.
Sea
d(x∗, y∗) =
∞∑
i=1
(
1
2i
)
|x∗(xi)− y∗(xi)|
1 + |x∗(xi)− y∗(xi)|
-Afirmo que ρ es metrizable y que la topologia inducida por d es exactamente ρ.
A la topoloǵıa inducida por d la denotaremos con ρd.
Para mostrar que las topologias son equivalentes, dado V ∈ ρ y x∗ ∈ V queremos encontrar
� > 0 tal que U�(x
∗) ⊆ V , donde
U�(x
∗) = {y∗ : d(x∗, y∗) < �}
y de manera simetrica, dados U ∈ ρd y x∗ ∈ U busco � > 0 y N ∈ N que me permitan
asegurar que V (x∗;x1, ..., xN , �) ⊆ U .
Sea V ∈ ρ, un abierto alrededor de cero. Como X∗ es un espacio vectorial topológico
solo es necesario probar lo anterior para vecindades alrededor del cero.
Dado x∗ ∈ V queremos U ∈ ρd tal que U ⊆ V .
Sea x∗ ∈ V entonces existen � > 0, N ∈ N tales que W = W (x∗;x1, ...xN , �) ⊆ V .
Propongo �0 =
�
2N+1
y U = U�0(x
∗) ∈ ρd
U ⊆W :
y∗ ∈ U ⇔
∞∑
i=1
(
1
2i
)
|x∗(xi)− y∗(xi)|
1 + |x∗(xi)− y∗(xi)|
< �0
Sea y∗ /∈W entonces |x∗(xi0)− y∗(xi0)| ≥ � = 2N+1�0 p.a.i0 ∈ {1, ..., N}
entonces
∞∑
i=1
(
1
2i
)
|x∗(xi)− y∗(xi)|
1 + |x∗(xi)− y∗(xi)|
≥
(
1
2i0
)
|x∗(xi0)− y∗(xi0)|
1 + |x∗(xi0)− y∗(xi0)|
>
(
1
2i0
)
|x∗(xi0)− y∗(xi0)|
1 + 1
=
|x∗(xi0)− y∗(xi0)|
2i0+1
≥ 2
N+1�0
2i0+1
≥ �0
entonces y∗ /∈ U por lo tanto U ⊆W , es decir, al rededor de cualquier punto pertene-
ciente a un basico de ρ puedo insertar un abierto de ρd.
29
1.7 Caṕıtulo 1. Preliminares
SeaU = U�(x
∗) ∈ ρd, donde 0 < � ≤ 1 entonces existe N ∈ N tal que
N = sup{n ∈ N : 2n ≤ �}
Proponemos V = V (x∗;x1, ..., xN−1;
�
2)
Veamos que V ⊆ U : Sea y∗ ∈ V entoces
|x∗(xi)− y∗(xi)| <
�
2∑N−1
i=1
|x∗(xi)−y∗(xi)|
2i
<
∑N−1
i=1
�
2
2i
< �2
Además
|x∗(xi)−y∗(xi)|
(2i)(1+|x∗(xi)−y∗(xi)|) ≤
|x∗(xi)−y∗(xi)|
2i
para todo i
entonces
N−1∑
i=1
|x∗(xi)− y∗(xi)|
(2i)(1 + |x∗(xi)− y∗(xi)|)
<
�
2
(1.14)
y por otro lado:
∞∑
i=N
|x∗(xi)− y∗(xi)|
(2i)(1 + |x∗(xi)− y∗(xi)|)
<
�
2
(1.15)
y de 1.14 y 1.15 tenemos
∑∞
i=1
|x∗(xi)−y∗(xi)|
(2i)(1+|x∗(xi)−y∗(xi)|) < �
por lo que y∗ ∈ U i.e. V ⊆ U por lo tanto ρd = ρ es decir ρ es metrizable. Ademas ya que
ρ ⊆ τw∗ ,por la observación 1.58
ρ = τw∗ .
1.7. Bases de Schauder
En esta sección estudiaremos el concepto de base de Schauder probando algunos resul-
tados importantes para los siguientes caṕıtulos.
1.7.1. Definiciones y propiedades básicas
Definición 1.60. Sea (xn)
∞
n=1 una sucesión en un espacio de Banach (X, ‖ · ‖).
Se dice que (xn)
∞
n=1 es una base de Schauder para X si para todo x ∈ X existe una
única sucesión de reales (an)
∞
n=1 tales que x =
∞∑
n=1
anxn. Además, decimos que (xn)
∞
n=1 es
una sucesión básica si esta sucesión es una base para el subespacio cerrado generado por
(xn)
∞
n=1.
30
Caṕıtulo 1. Preliminares 1.7
Observación 1.61. Sea (xn)
∞
n=1 una base de Schauder para un espacio de Banach (X, ‖ · ‖).
Entonces {xn : n ∈ N} es un conjunto linealmente independiente y su generado es denso
en X. Ademas, de manera inmediata vemos que X es separable pues{
n∑
i=1
aixi : a1, ..., an ∈ Q, n ∈ N
}
es numerable y denso.
Definición 1.62. Llamamos delta de Kronecker a las siguientes funciones
δij =
{
0 si i = j
1 si i 6= j
para todo i, j ∈ N.
Ejemplos
1. El conjunto (ej)
∞
j=1 donde ej = (δij)
∞
i=1 es una base para l
p y c0 con 1 ≤ p <∞
2. l∞ no es separable, por tanto no puede tener una base de Schauder.
1.7.2. La constante básica
Definición 1.63. Sea (X, ‖ · ‖) un espacio vectorial. Un operador lineal
π : X −→ X
es una proyección si
π(πx) = πx para x ∈ X,
es decir
π2 = π.
Observación 1.64. Una proyección es un operador lineal e idempotente.
Dado un espacio de Banach (X, ‖ · ‖) con base de Schauder se pueden definir unas
proyecciones particulares. Vamos a ver que son operadores acotados.
Teorema 1.65. Sea (X, ‖ · ‖) un espacio de Banach con una base (xn)∞n=1. Para toda
n ∈ N definimos la función πn : X → X como:
πn(x) =
n∑
i=1
aixi
para todo x ∈ X, x =
∞∑
i=1
aixi.
Entonces πn es un operador lineal acotado para todo n ∈ N y
K = sup
n∈N
‖πn‖ <∞.
31
1.7 Caṕıtulo 1. Preliminares
Demostración. Afirmación 1:πn es lineal:
Si x =
∞∑
i=1
aixi, y =
∞∑
i=1
bixi y c ∈ R, entonces:
πn(x+ cy) = πn(
∞∑
i=1
(ai + cbixi)) =
n∑
i=1
(ai + cbixi) =
n∑
i=1
aixi + c
n∑
i=1
bixi
Definimos la siguiente norma para X
‖x‖∗ = sup
n∈N
‖πnx‖ para todo x ∈ X
Afirmación 2: ‖ · ‖∗ esta bien definida.
Como πnx converge a x cuando n tiende a infinito, para � > 0 existe una N ∈ N tal que
si n > N :
‖πnx− x‖ < �,
‖πnx‖ − ‖x‖ < �,
‖πnx‖ < �+ ‖x‖
Por tanto ‖πnx‖ esta acotada para toda n y tiene sentido hablar de su supremo.
Dado que sup{0} = 0 y el supremo saca escalares positivos y abre sumas, las propie-
dades de norma se cumplen para ‖ · ‖∗
La dinámica de la demostración es la siguiente: daremos una cota Mx para cada
‖πnx‖ para cada n ∈ N usando el teorema del mapeo abierto, con estas cotas y usando el
teorema del acotamiento uniforme podremos dar una cota que nos sirva para toda x, para
esto, primero tenemos que probar que (X, ‖ · ‖∗) es un espacio de Banach.
Afirmación 3: (X, ‖ · ‖∗) es en efecto un espacio de Banach.
Sea (yk)
∞
k=1 una sucesión Cauchy con respecto a ‖ · ‖∗. Por la definición de esta norma:
‖πnyi − πnyj‖ = ‖πn(yi − yj)‖ ≤ ‖yi − yj‖∗ para toda n ∈ N (1.16)
por lo que para toda � > 0 existe una N tal que si i, j > N
‖πnyi − πnyj‖ < � para toda n ∈ N (1.17)
por lo tanto, para toda n ∈ N se tiene que (πnyk)∞k=1 es una sucesión convergente en el
espacio de Banach (X, ‖ · ‖).
Sea zn = ĺım
k→∞
πnyk con la norma ‖ · ‖ entonces por 1.17 y por la continuidad de la norma
dado � > 0 existe N tal que si i, j > N :
ĺım
j→∞
‖πnyi − πnyj‖ = ‖πnyi − ĺım
j→∞
πnyj‖ = ‖πnyi − zn‖leq� para toda n ∈ N (1.18)
Probaremos que (zn)
∞
n=1 es una sucesión de Cauchy:
Sea � > 0 y k > N .
Por la desigualdad del triangulo
‖zm − zn‖ ≤ ‖zn − πnyk‖+ ‖πnyk − πmyk‖+ ‖zm − πmyk‖ (1.19)
32
Caṕıtulo 1. Preliminares 1.7
por 1.18
‖zm − zn‖ ≤
2�
3
+ ‖πnyk − πmyk‖ (1.20)
como πnyk
n→∞−→ yk obtenemos ‖zm − zn‖ < �, para n suficientemente grande.
(zn)
∞
n=1 es entonces una sucesión de Cauchy en (X, ‖ · ‖) existe z = ĺımn→∞ zn ∈ X y
πmz = ĺım
n→∞
zn = zm
Por tanto, y de nuevo por 1.18
‖yk − z‖∗ = sup
n∈N
‖πn(yk − z)‖ = sup
n∈N
‖πnyk − πnz‖ = sup
n∈N
‖πnyk − zn‖
k→∞−→ 0
Por lo tanto (yk)
∞
k=1 converge con la norma ‖ · ‖∗. Dado que (yk)∞k=1 fue una sucesión de
Cauchy arbitraria con la norma ‖ · ‖∗ concluimos que (X, ‖ · ‖∗) es un espacio de Banach.
Sea I : (X, ‖ · ‖∗) −→ (X, ‖ · ‖).
Afirmación 4: la función identidad antes definida es continua:
‖x‖ = ĺım
n→∞
‖πnx‖ ≤ sup
n∈N
‖πnx‖ = ‖x‖∗ (1.21)
Como tenemos una función continua I entre dos espacios de Banach, por el teorema del
mapeo abierto I−1 : (X, ‖ · ‖)→ (X, ‖ · ‖∗) es continua y por tanto existe M tal que:
‖πnx‖ ≤ ‖x‖∗ ≤M‖x‖ =: Mx para toda n ∈ N (1.22)
El teorema del acotamiento uniforme nos dice que existe una K ∈ R para la cual:
‖πn‖ ≤ K para toda n ∈ N.
Definición 1.66. Sea (X, ‖ · ‖) un espacio de Banach con base (xn)∞n=1. A la constante
K = sup
n∈N
‖πn‖
le llamamos la constante básica.
Si K = 1 decimos que (xn)
∞
n=1 es una base monótona.
Observación 1.67. Sea (X, ‖ · ‖) un espacio de Banach con base (xn)∞n=1. Las siguientes
condiciones son equivalentes:
1. K = sup
n∈N
‖πn‖ = 1
2. Para toda sucesión de reales (ai)
∞
i=1 tal que
∞∑
i=1
aixi converge y para toda n ∈ N,
∥∥∥∥ n∑
i=1
aixi
∥∥∥∥ ≤∥∥∥∥ ∞∑
i=1
aixi
∥∥∥∥
33
1.7 Caṕıtulo 1. Preliminares
3. Para toda sucesión de reales (ai)
∞
i=1 y n,m ∈ N con n < m se tiene que
∥∥∥∥ n∑
i=1
aixi
∥∥∥∥ ≤∥∥∥∥ m∑
i=1
aixi
∥∥∥∥.
Demostración. La equivalencia entre 2. y 3. es clara.
1 implica 2:
Si sup
n∈N
‖πn‖ = 1 entonces:
‖πnx‖ ≤ 1 · ‖x‖ para toda n ∈ N∥∥∥∥ n∑
i=1
aixi
∥∥∥∥ ≤ ∥∥∥∥ ∞∑
i=1
aixi
∥∥∥∥
2 implica 1:
Supongamos
∥∥∥∥ n∑
i=1
aixi
∥∥∥∥ ≤ ∥∥∥∥ ∞∑
i=1
aixi
∥∥∥∥.
Es claro entonces que 1 ∈
{
M :
∥∥∥∥ n∑
i=1
aixi
∥∥∥∥ ≤M∥∥∥∥ ∞∑
i=1
aixi
∥∥∥∥} y dado que ‖πn‖ es el infimo
de este conjunto 1 ≤ ‖πn‖.
Sea Xn =
{
x ∈ X : x =
∞∑
i=1
aixi con ai = 0 si i > n
}
.
Xn ⊂ X entonces
‖πn‖ = sup
x∈X
x6=0
∥∥∥∥ n∑
i=1
aixi
∥∥∥∥∥∥∥∥ ∞∑
i=1
aixi
∥∥∥∥ ≥ supx∈Xnx6=0
∥∥∥∥ n∑
i=1
aixi
∥∥∥∥∥∥∥∥ ∞∑
i=1
aixi
∥∥∥∥ = 1
Por lo tanto de donde ‖πn‖ ≥ 1 para cada n ∈ N y por lo tanto ‖πn‖ = 1 para cada
n ∈ N.
Teorema 1.68. Sea (X, ‖ · ‖) un espacio de Banach. Una sucesión (xn)∞n=1 es una base
para X si y sólo si
1. xn 6= 0 para todo n ∈ N.
2. Existe una constante K tal que para toda sucesión de reales (ai)
∞
i=1 si n < m se tiene∥∥∥∥ n∑
i=1
aixi
∥∥∥∥ ≤ K∥∥∥∥ m∑
i=1
aixi
∥∥∥∥
3. s(xn)∞n=1 = X.
34
Caṕıtulo 1. Preliminares 1.7
Demostración. Supongamos que (xn)
∞
n=1 es una base para X. Sea (an)
∞
n=1 una suceśıon de
reales. Usando el operador acotado πn que definimos anteriormente:∥∥∥∥ n∑
i=1
aixi
∥∥∥∥ = ∥∥∥∥πn
(
m∑
i=1
aixi
)∥∥∥∥ ≤ ‖πn‖∥∥∥∥ m∑
i=1
aixi
∥∥∥∥ ≤ K∥∥∥∥ m∑
i=1
aixi
∥∥∥∥
Además, por la observación 1.61, s(xn) = X y como (xn)
∞
n=1 es linealmente independiente
por tanto xn 6= 0 para todo n
Ahora mostraremos que si (xn)
∞
n=1 cumple 1.,2. y 3. entonces es una base para (X, ‖ · ‖)
Sea (xn)
∞
n=1 que cumple 1.,2. y 3.
Definimos
Y =:
{ ∞∑
i=1
aixi : ai ∈ R
}
cada xi ∈ Y entonces, por 3. X ⊂ Y si Y fuese cerrado tendŕıamos que cada x ∈ X es de
la forma
∞∑
i=1
aixi.
Teorema 1.69. Sea (X, ‖ · ‖) un espacio de Banach con base (xn)∞n=1. Definimos la
siguiente norma para X:
‖x‖∗= supm∈N{‖πmx‖}
Entonces (xn)
∞
n=1 es una base monótona para (X, ‖ · ‖∗).
Demostración. queremos mostrar entoces que para toda x =
∑∞
i=1 y para m ≤ n:
‖
m∑
i=1
aixi‖∗ ≤ ‖
n∑
i=1
aixi‖∗
esto se sigue de que:{
‖πk
(
m∑
i=1
aixi‖∗
)
: k ∈ N
}
⊂
{
‖πk
(
n∑
i=1
aixi‖∗
)
: k ∈ N
}
implica
sup
k∈N
{
‖
m∑
i=1
aixi‖∗
}
≤ sup
k∈N
{
‖
n∑
i=1
aixi‖∗
}
por lo tanto (xi)i es monótona en (X, ‖ · ‖∗).
Proposición 1.70. El espacio de Banach (C[0, 1], ‖ · ‖∞) tiene una base de Schauder
normalizada y monótona.
Demostración. Sea (ϕn)
∞
n=1 definida de la siguiente manera
ϕ0(t) = 1, ϕ1(t) = t
ϕ2k+r(t) =

0 si t /∈ (2r−2
2k+1
, 2r
2k+1
),
1 si t = 2r−1
2k+1
,
lineal en otro caso.
35
1.7 Caṕıtulo 1. Preliminares
para r = 1, 2, ..., 2k; k = 0, 1, 2, ... Observamos que las funciones ϕn ∈ C[0, 1] tienen todas
norma 1.
Enumeramos a los racionales diadicos de la siguiente manera: t0 = 0, t1 = 1 y para n > 1:
tn =
{
2k+1−2
2k+1
si n = 2k, k ∈ N
2(2k+r)−1
2k+1
− 1 si n = 2k + r, k ∈ N y 0 < r ≤ 2k − 1.
Aśı definidos ϕn y tn, tenemos que si m < n, ϕm(tn) = 0 y fn(tn) = 1 para todon ∈ N.
Para probar que (ϕn)
∞
n=1 es linealmente independiente tomamos un subconjunto finito
{fk1 , ..., fkn} y tomamos {ak1 , ..., akn}, reales tales que:
n∑
i=1
akiϕki = 0
Podemos reordenar nuestros ı́ndices para que se cumpla ak1 < ... < akn .
Vemos entonces que
ak1 =
n∑
i=1
akiϕki(tk=1) = 0
repetimos este paso para ak2 , ak3 y asi sucesivamente, de donde encontramos que ak1 =
ak2 = ... = akn = 0 y por lo tanto (ϕn)
∞
n=1 es linealmente independiente.
Sea n ∈ N y
A2n = {g ∈ C[0, 1] : g es poligonal con vertices en t =
k
2n
para toda k = 0, 1, ..., 2n}
el cual es subespacio de C[0, 1].
Notemos que s(ϕ0, ..., ϕ2n) = A2n .
Lo siguiente que vamos a probar es que s(ϕ0, ..., ϕ2n) = A2n .
Sean f ∈ C[0, 1] y � > 0. Dado que f es uniformemente continua en [0, 1] existe N ∈ N tal
que para todo |x− y| < c 1
2N
se tiene que |f(x)− f(y)| < �2 .
Definimos una función poligonal g de la siguiente manera:
g(x) =
{
f( k
2N
) si x = k
2N
para k = 0, 1, ..., 2N
lineal si x ∈ ( k
2N
, k+1
2N
)
Aśı definida g, es claro que g ∈ A2N que implica g ∈ s(ϕn)∞n=1.
Sea x ∈ [0, 1] entonces existe 0 ≤ k ≤ 2N − 1 tal que x ∈
(
k
2N
, k+1
2N
)
y por tanto,
|f(x)− g(x)| ≤ |f(x)− f( k
2N
)|+ |f( k
2N
)− g(x)| ≤ �
2
+
�
2
+
�
2
= �
Por lo tanto ‖f − g‖∞ < � Eso queire decir que
s(ϕn)∞n=1 = C[0, 1]
Por el teorema 1.68 (ϕn)
∞
n=1 es una base. Dado que ϕ toma solo valores entre 0 y 1 ‖ϕn‖ = 1
asi que es una base normalizada.
36
Caṕıtulo 1. Preliminares 1.8
Proposición 1.71. Sea (X, ‖ · ‖) un espacio de Banach con base (xn)∞n=1. Definimos para
cada n ∈ N
x∗n : X → R
∞∑
i=1
aixi 7→ an
Entonces x∗n es una funcional lineal y continua, que cumple:
‖x∗n‖ ≤
2K
‖xn‖
para todo n ∈ N
donde K es la constante basica de (xn)
∞
n=1.
Demostración. Sean x, y ∈ X, c ∈ R, entonces
x∗n(c · x+ y) = x∗n
( ∞∑
i=1
(c · ai + bi)xi
)
= c · an + bn = c · x∗n(x) + x∗n(y)
por lo tanto x∗n es lineal para toda n ∈ N.
Como xn 6= 0 para todo n ∈ N, si x =
∞∑
i=1
aixi ∈ R entonces por el teorema 1.68:
|x∗n(x)| = |an| =
‖anxn‖
‖xn‖
=
‖πn(x)− πn−1(x)‖
‖xn‖
≤ 2K
‖xn‖
‖x‖
Por lo tanto ‖x∗n‖ ≤ 2K‖xn‖ para todo n ∈ N.
Definición 1.72. Sea (X, ‖ · ‖) un espacio de Banach con base (xn)∞n=1. La sucesión de
funcionales continuas (x∗n)
∞
n=1 dadas por:
x∗n : X → R
∞∑
i=1
aixi 7→ an
se llama sucesión de funcionales biortogonales asociadas a (xn)
∞
n=1.
Observación 1.73. La sucesión (x∗n)
∞
n=1 de funcionales biortogonales continuas asociadas
a una base (xn)
∞
n=1 satisface que
x∗n(xm) = δnm.
1.8. Resultados de Bessaga y Zippin.
En esta sección probaremos resultados sobre las bases que nos serán de utilidad en el
caṕıtulo 3
Para los resultados que aqui presentamos nos basamos en los articulos [17], [3], [12]
Establecemos ahora una relación entre bases.
37
1.8 Caṕıtulo 1. Preliminares
Definición 1.74. Decimos que dos bases (xn)
∞
n=1 ⊂ X y (yn)∞n=1 ⊂ Y en espacios de
Banach X y Y respectivamente son equivalentes si dada una sucesión de escalares (cn)
∞
n=1∑
n
cnxn converge si y solo si
∑
n
cnyn converge
Denotamos que dos bases (xn)
∞
n=1 y (yn)
∞
n=1 son equivalentes como
(xn)
∞
n=1 ' (yn)∞n=1.
Lema 1.75. (xn)
∞
n=1 es una sucesión básica si y solo si existe una constante K ≥ 1 tal
que
‖t1x1 + ...tpxp‖ ≤ K‖t1x1 + ...tpxp + ...+ tqxq‖
se satisface para enteros arbitrarios positivos p, q con p ≤ q y reales arbitrarios t1, t2, ..., tq.
Teorema 1.76. (Bessaga) Sean (X, ‖·‖) un espacio de Banach, β = (xi)∞i=1 una sucesión
básica y (yi)
∞
i=1 una sucesión ambas contenidas en X. Si (yi) satisface:
∞∑
n=1
‖xn − yn‖‖x∗n‖ = δ < 1 (1.23)
entonces (yn)
∞
n=1 es una sucesión básica y (xn)
∞
n=1 y (yn)
∞
n=1 son equivalentes.
Demostración. Notamos que para toda p ∈ N
|ti| = |x∗i (t1x1 + ...+ tpxp)| ≤ ‖t1x1 + ...+ tpxp‖‖x∗i ‖ para i ≤ p (1.24)
y tambien
‖t1y1 + ...+ tpyp‖ = ‖(t1y1 + ...+ tpyp) + (t1x1 + ...+ tpxp)− (t1x1 + ...+ tpxp)‖
≤ ‖t1x1 + ...+ tpxp‖+
∥∥∥∥∥
p∑
i=1
ti(yi − xi)
∥∥∥∥∥
≤ ‖t1x1 + ...+ tpxp‖+
p∑
i=1
|ti|‖(yi − xi)‖
que implican
‖t1y1 + ...+ tpyp‖ ≤ ‖t1x1 + ...+ tpxp‖+
p∑
i=1
|ti|‖xi − yi‖
≤ ‖t1x1 + ...+ tpxp‖+
p∑
i=1
‖t1x1 + ...+ tpxp‖‖x∗i ‖‖xi − yi‖
≤ ‖t1x1 + ...+ tpxp‖+
∞∑
i=1
‖t1x1 + ...+ tpxp‖‖x∗i ‖‖xi − yi‖
≤ (1 + δ)‖t1x1 + ...+ tpxp‖
38
Caṕıtulo 1. Preliminares 1.8
y de manera similar para p ≤ q:
‖t1x1 + ...+ tpxq‖ ≤ ‖t1y1 + ...+ tpyq‖+
q∑
i=1
|ti|‖xi − yi‖‖t1x1 + ...+ tpxq‖
(1− δ)‖t1x1 + ...+ tqxq‖ ≤ ‖t1y1 + ...+ tqyq‖
con estas dos desigualdades obtenemos una desigualdad entre cocientes:
‖t1y1 + ...+ tpyp‖
‖t1y1 + ...+ tqyq‖
≤ (1 + δ)‖t1x1 + ...+ tpxp‖
(1− δ)‖t1x1 + ...+ tqxq‖
(1.25)
Como β = (xi)
∞
i=1 es una base existe una Kβ tal que para enteros arbitrarios positivos
p ≤ q y reales arbitrarios t1, ..., tq
‖t1x1 + ...+ tpxp‖ ≤ Kβ‖t1x1 + ...+ tpxq‖
por lo que podemos reordenar 1.25 para obtener:
‖t1y1 + ...+ tpyp‖ ≤ ‖t1y1 + ...+ tqyq‖Kβ
1 + δ
1− δ
(1.26)
Por lo tanto (yi) es una base y además (yi) es equivalente con (xi) pues por hipotesis
∞∑
n=1
|‖xn‖ − ‖yn‖|‖fn‖ ≤
∞∑
n=1
‖xn − yn‖‖fn‖ = δ < 1.
Teorema 1.77. Sea S un espacio metrico compacto. Si un espacio de Banach separable
X contiene un subespacio Y isomorfo a C(S), entonces existe un subespacio Z ≤ Y tal que
Z es isomorfo a C(S) y existe una proyección π : X → Z sobreyectiva.
Demostración. Ver articulo [12].
Lema 1.78. Sea (E, ‖ · ‖) un espacio de Banach de dimensión n y X, Y subespacios de E
de dimensión n-1. Entonces existe un isomorfismo lineal T : X → Y sobreyectivo tal que
para toda x ∈ X
1
3
‖x‖ ≤ ‖Tx‖ ≤ 3‖x‖. (1.27)
Demostración. Existe una proyección π : X → X ∩ Y y π′ : Y → X ∩ Y con ‖π‖ ≤ 2 y
‖I − π‖ = 1, respectivamente ‖π′‖ ≤ 2 y ‖I − π′‖ = 1 Sea x0 un vector unitario en X y y0
un vector unitario en Y tales que π(x0) = 0 y π
′(y0) = 0.
Sea T : X −→ Y una transformación definida de la siguiente manera T (m+ax0) = m+ay0
39
1.8 Caṕıtulo 1. Preliminares
para a ∈ R y m ∈ X ∩ Y T es lineal y además:
‖T (m+ ax0)‖ = ‖m+ ay0‖
≤ ‖m‖+ |a|
= ‖π(m+ ax0)‖+ ‖(I − π)(m+ ax0)‖
≤ 3‖m+ ax0‖
Notamos que T−1 : Y −→ X esta definida como T−1(m + ay0) = m + ax0 para a ∈ R y
m ∈ X ∩ Y y entonces de manera similar tenemos:
‖m+ ax0‖ = ‖T−1(m+ ay0)‖
≤ ‖m‖+ |a|
= ‖π(m+ ay0)‖+ ‖(I − π′)(m+ ay0)‖
≤ 2‖m+ ay0‖+ 1‖m+ ay0‖
= 3‖m+ ay0‖
= 3‖T (m+ ay0)‖.
Lema 1.79. Sea (X, ‖ · ‖) un espacio de Banach y (xn)∞n=1 una base para X. Para cada
k ≥ 1 suponemos que
{yi}p(k+1)i=p(k)+1
es una base para [xi]
p(k+1)
i=p(k)+1 donde {p(k)}
∞
k=1 es una sucesión creciente de enteros positivos
y p(1) = 0.
Supongamos tambien que existe una M > 0 tal que para cualquier sucesión
{ai}p(k+1)i=p(k)+1
de escalares y p(k) < m < n ≤ p(k + 1) se cumple:∥∥∥∥ m∑
i=p(k)+1
aiyi
∥∥∥∥ ≤M∥∥∥∥ n∑
i=p(k)+1
aiyi
∥∥∥∥ (1.28)
entonces la sucesión {yi}∞i=1 forma una base en X.
Demostración. Tenemos que [yi]
p(k+1)
i=p(k)+1 = [xi]
p(k+1)
i=p(k)+1 entonces [yi]
∞
i=1 = [xi]∞
i=1 = X.
Como {xn}∞n=1 es una base, existe N ≥ 1 tal que para toda sucesión {ci}∞i=1 y s ≥ r∥∥∥∥ r∑
i=1
cixi
∥∥∥∥ ≤ N∥∥∥∥ s∑
i=1
cixi
∥∥∥∥ (1.29)
40
Caṕıtulo 1. Preliminares 1.8
supongamos que j < m, p(j) < r ≤ p(j + 1) y p(m) < s ≤ p(m+ 1) .
Sea
p(k+1)∑
i=p(k)+1
bixi la representación de
p(k+1)∑
i=p(k)+1
aiyi con respecto de la base {xn}∞n=1 para
k = 1, 2, ...,m− 1 y
p(m+1)∑
i=p(m)+1
bixi la representación de
s∑
i=p(m)+1
aiyi.
Notamos que por 1.29∥∥∥∥∥∥
p(j+1)∑
i=p(j)+1
aiyi
∥∥∥∥∥∥ =
∥∥∥∥∥∥
p(j+1)∑
i=1
aiyi −
p(j)∑
i=1
aiyi
∥∥∥∥∥∥
≤
∥∥∥∥∥∥
p(j+1)∑
i=1
aiyi
∥∥∥∥∥∥+
∥∥∥∥∥∥
p(j)∑
i=1
aiyi
∥∥∥∥∥∥
≤
∥∥∥∥∥∥
p(j+1)∑
i=1
aiyi
∥∥∥∥∥∥+
∥∥∥∥∥∥
p(j)∑
i=1
bixi
∥∥∥∥∥∥
≤
∥∥∥∥∥∥
p(j+1)∑
i=1
aiyi
∥∥∥∥∥∥+N
∥∥∥∥∥∥
p(j+1)∑
i=1
bixi
∥∥∥∥∥∥
=
∥∥∥∥∥∥
p(j+1)∑
i=1
aiyi
∥∥∥∥∥∥+N
∥∥∥∥∥∥
p(j+1)∑
i=1
aiyi
∥∥∥∥∥∥
= (1 +N)
∥∥∥∥∥∥
p(j+1)∑
i=1
aiyi
∥∥∥∥∥∥
entonces
∥∥∥∥ r∑
i=1
aiyi
∥∥∥∥ ≤ ∥∥∥∥ p(j)∑
i=1
aiyi
∥∥∥∥+ ∥∥∥∥ r∑
i=p(j)+1
aiyi
∥∥∥∥
≤
∥∥∥∥ p(j)∑
i=1
bixi
∥∥∥∥+M∥∥∥∥ p(j+1)∑
i=p(j)+1
aiyi
∥∥∥∥
≤ N
∥∥∥∥ p(m+1)∑
i=1
bixi
∥∥∥∥+ (1 +N)M∥∥∥∥ p(j+1)∑
i=1
aiyi
∥∥∥∥
≤ 2N(1 +N)M
∥∥∥∥ p(m+1)∑
i=1
bixi
∥∥∥∥ = 2N(1 +N)M∥∥∥∥ s∑
i=1
aiyi
∥∥∥∥
esto para toda sucesión {ai}∞i=1 y s ≥ r.
Por lo tanto {yi}∞i=1 es una base para X.
41
1.9 Caṕıtulo 1. Preliminares
Lema 1.80. (Zippin) Sea (X, ‖ · ‖) un espacio de Banach y (xn)∞n=1 una base para X.
Supongamos que ỹ =
p(k+1)∑
i=p(k)+1
aixi donde {p(k)}∞k=1 es una sucesión creciente de enteros
positivos y P (1) = 0, ỹ 6= 0.
Entonces existe una base {zi}∞i=1 en X tal que para cada K ≥ 1
zp(k+1) = ỹ.
Demostración. Denotamos como Ik a la función identidad en el espacio [xi]
p(k+1)
i=p(k)+1 Para
toda k ≥ 1 existe una proyección
πk : [xi]
p(k+1)
i=p(k)+1
sobre→ Ek,
(donde Ek es un subespacio de dimension p(k+1)−(p(k)+1)) tal que πk(ỹ) = 0, ‖πk‖ ≤ 2
y ‖I − πk‖ = 1, k = 1, 2, ..., Ik
Por el lema 1.78, existe un isomorfismo lineal
Tk : [xi]
p(k+1)
i=p(k)+1
sobre→ Ek
que satisface 1.27.
Definimos
zi =
{
Tk(xi), si p(k) < i ≤ p(k + 1)− 1;
ỹ, si i = p(k + 1);
Como {xi}∞i=1 es una base en X, existe M > 0 tal que para toda m < n y a1, a2, ..., an∥∥∥∥ m∑
i=1
aixi
∥∥∥∥ ≤M∥∥∥∥ n∑
i=1
aixi
∥∥∥∥
Entonces para cualquier m < p(k + 1) y cualquier sucesión bp(k)+1, bp(k)+2, ..., bp(k+1)∥∥∥∥ m∑
i=p(k)+1
bizi
∥∥∥∥ = ∥∥∥∥ m∑
i=p(k)+1
biTk(xi)
∥∥∥∥
≤ 3
∥∥∥∥ m∑
i=p(k)+1
bixi
∥∥∥∥
≤ 3M
∥∥∥∥ p(k+1)−1∑
i=p(k)+1
bixi
∥∥∥∥
≤ 9M
∥∥∥∥πk
 p(k+1)∑
i=p(k)+1
bixi
∥∥∥∥
≤ 18M
∥∥∥∥ p(k+1)∑
i=p(k)+1
bizi
∥∥∥∥
Entonces por el lema 1.29 {zi}∞i=1 es una base en X.
42
Caṕıtulo 1. Preliminares 1.9
1.9. Teorema de Banach-Mazur.
Es a partir de este teorema que los matemáticos del siglo XX comienzan a preguntarse
sobre los espacios Universales.
Definición 1.81. Sea F una clase de espacios de Banach. Decimos que X ∈ F es universal
si cada elemento de F es isomorfo a un subespacio de X. Además decimos que X es
isometricamente universal si cada elemento de de F es isometricamente isomorfo a un
subespacio de X.
Proposición 1.82. Toda expansión ternaria de x ∈ (0, 1) es única o de las formas:
x = 0.a1a2...aN−1aN222... ó y = 0.a1a2...aN−1aNaN+1000... para alguna N ∈ N.
Proposición 1.83. Sea Λ el conjunto de Cantor. Entonces existe una función
ψ : Λ→ [0, 1]N
biyectiva y continua.
Demostración. Consideremos al función:
h : Λ −→ [0, 1]
h
( ∞∑
k=1
ak
3k
)
=
∞∑
k=1
ak
2k+1
Primero vemos que h esta bien definida. Sean x, y ∈ Λ y supongamos x = y entonces x y
y tienen expresiones de la forma:
x =
∞∑
k=1
ak
3k
y y =
∞∑
k=1
bk
3k
donde ak, bk ∈ {0, 1}
Caso 1: Si ak = bk para toda k entonces :
h(x) =
ak
2k+1
=
bk
2k+1
= h(y)
Caso 2: Supongamos ak 6= bk para alguna k ∈ N entonces por la proposición 1.82 existe
N ∈ N tal que:
x = 0.a1a2...aN−1aN222... y y = 0.a1a2...aN−1aN+1000...
Entonces ai = bi para i = 1, 2, ..., (N − 1) y bN = aN + 1 pero como aN , bN son o 0 ó 2,
bN = aN + 1 no es posible, por lo tanto no existe N ∈ N tal que aN 6= bN . Por lo tanto h
esta bien definida.
Veamos ahora que h es continua en Λ.
43
1.9 Caṕıtulo 1. Preliminares
Sea � > 0, x ∈ Λ y (xi)∞i=0 ⊂ Λ una sucesión convergente a x.
Escogemmos N ∈ N tal que
1
2N
< �.
Como (xi)
∞
i=0 converge a x existe M ∈ N, M > N tal que
|x− xi| <
1
3M
< � para i > M
Entonces x y xi estanen el mismo intervalo Ii, para toda i > M . Eso quiere decir que la
expacion terciaria de 0’s y 2’s de x y xi es la misma para los primeros M terminos, por
esto:
|h(x)− h(xi)| <
∞∑
k=M+1
1
2k
<
1
2M
<
1
2N
< � para toda i > M.
Entonces (h(xi))
∞
i=1 converge a h(x), por lo tanto h es continua en Λ.
Lema 1.84. El conjunto de Cantor es homeomorfo al producto numerable de el mismo,
es decir:
Λ ∼= ΛN
Demostración.
Λ ∼= ({0, 2}N)N ∼= {0, 2}NN ∼= {0, 2}N ∼= Λ
Proposición 1.85. Existe una función ψ biyectiva y continua Λ −→ [0, 1]N
Demostración. Por el lema 1.84, existe una función C continua y biyectiva tal que
C(x) = (x1, x2, ...) con xi ∈ Λ.
Consideremos entonces a la función:
H : ΛN −→ [0, 1]N
x 7−→ (h(x1), h(x2), ...)
donde h es la función que definimos en la proposición 1.9. Dado que h y C son biyectivas
y continuas ψ = C ◦ h tambien lo es.
44
Caṕıtulo 1. Preliminares 1.9
Teorema 1.86. (Banach-Mazur) Sea (X, ‖ · ‖) un espacio de Banach separable. En-
tonces existe una isometŕıa de (X, ‖ · ‖) a un subespacio de (C[0, 1], ‖ · ‖∞)
u : X ↪→ C[0, 1].
Demostración. La prueba es una consecuencia de las siguientes afirmaciones:
Afirmación 1: Si X es un espacio de Banach separable entonces existe un compacto
metrizable K tal que existe una inmersión isometrica de X a C(K).
X ↪→ C(K)
Afirmación 2:Si K es un compacto metrizable entonces existe una inmersión isome-
trica de C(K) en C[0, 1].
C(K) ↪→ C[0, 1]
De ambas afirmaciones tenemos
X ↪→ C(K) ↪→ C[0, 1].
Por lo que nos disponemos entonces a construir las 2 isometŕıas que necesitamos:
Prueba de la afirmación 1:
Tenemos X un espacio de Banach separable. Tomamos K = S∗ = {x∗ ∈ X∗|‖x∗‖ ≤ 1} por
el teorema 1.59 es compacto con la topoloǵıa τw∗ y metrizable. Proponemos la siguiente
isometŕıa:
g : X → C(K)
g(x) = fx
fx(x
∗) = x∗(x)
Veamos que en efecto g es una isometŕıa:
‖fx‖ = sup
x∗∈X∗
x6=0
|x∗(x)|
‖x∗‖
y por el corolario 1.29
‖fx‖ = ‖x‖
Prueba de la afirmación 2:
Esta prueba a su vez esta dividida en 2 partes:
- Concideremos a [0, 1]N con la topoloǵıa producto. Si K es un espacio compacto y metri-
zable entonces existe una inmersión isométrica de K en [0, 1]N:
En efecto, si K es compacto y metrizable contiene un subconjunto denso y numerable
(sn)
∞
n=1 y una métrica ρ que induce su topoloǵıa, (podemos conciderar que esta métrica
cumple 0 ≤ ρ ≤ 1 ya que si alcanzará valores mayores que 1 podŕıamos redefinir una
45
1.9 Caṕıtulo 1. Preliminares
ρ′(k) = ρm con m = máxk∈K
ρ(k)).
Definimos
θ : K → [0, 1]N
como
θ(x) = (ρ(x, sn))
∞
n=1
θ es continua ya que x 7→ ρ(x, sn) es continua para toda n.
θ es inyectiva:
Supongamos que x 6= y
Afirmamos que ρ(sn, x) 6= ρ(sn, y) para alguna n.
Como K es un espacio de Hausdorff, existe � > 0 tal que B�(x) ∩B�(y) = ∅. Que (sn) sea
denso significa que su interesección con cualquier abierto es no vaćıa, es decir que existen
r, t ∈ N tales que sr ∈ B�(x) y st ∈ B�(y) y además sr /∈ B�(y) y st /∈ B�(x).
Lo anterior expresado en términos de distancias se veŕıa asi:
� > ρ(x, sr) y ρ(x, st) > �, � > ρ(y, st) y ρ(y, sr) > �
se sigue entonces que en particular para t:
ρ(x, st) 6= ρ(y, st).
θ es entonces una función biyectiva sobre su imagen, esta definida sobre un compacto
y ademas [0, 1]N es Hausdorff. Por lo tanto θ es un homeomorfismo sobre su imagen.
- Si E es un subconjunto cerrado de [0, 1] entonces existe una inmersión de C(E), las
funciones continuas definidas en E, en C[0, 1].
Para probar esto definimos
A : C(E) −→ C[0, 1]
que cumpla que
A(f)|E = f para toda f ∈ C(E).
Notamos que [0, 1]\E es la unión numerable de intervalos disjuntos, abiertos con la topo-
loǵıa relativa de[0, 1], es decir
[0, 1]\E
∞⋃
i=1
(ai, ai+1)
Definimos ahora una función Af continua en [0, 1]:
Si (ai, ai+1) ⊂ [0, 1]\E, y ninguno de ellos es 0 o 1 definimos a A(f) para x ∈ (ai, ai+1)
como
Af(x) = f(ai) +
f(ai+1)− f(ai)
ai+1 − ai
(x− ai)
y si ai = 0 f(x) =: ai si ai+1 = 1 f(x) =: ai+1.
A es un operador lineal de norma 1:
Sean f, g ∈ C(E), t ∈ R
Ahora veamos A(tf + g)(x) = tAf(x) +Ag(x) para toda x ∈ [0, 1].
46
Caṕıtulo 1. Preliminares 1.9
Dividimos la prueba en 3 casos:
-Si x ∈ E
A(tf + g)(x) = (tf + g)(x) = tf(x) + g(x),
-si x /∈ E entonces x ∈ (ai, ai+1) para algun i ∈ N. si ai = 0 entonces
Af(x) = f(ai+1) para toda x ∈ (ai, ai+1)
y
A(tf + g)(x) = (tf + g)(ai+1) = tf(ai+1) + g(ai+1) = tAf(x) + g(x)
pues ai+1 ∈ E y usamos el caso anterior. analogamente cuando ai+1 = 1.
Si x /∈ E y x ∈ (ai, ai+1) con ai 6= 0 y ai+1 6= 1 entonces
A(tf + g)(x) = (tf + g)(ai) +
(tf + g)(ai+1)− (tf + g)(ai)
ai+1 − ai
(x− ai)
= tf(ai) +
tf(ai+1)− tf(ai)
ai+1 − ai
(x− ai) + g(ai) +
g(ai+1)− g(ai)
ai+1 − ai
(x− ai)
= tAf(x) +Ag(x) para toda x ∈ (ai, ai+1)
por lo tanto A es lineal.
‖f‖ ≥ ‖Af‖ pues sup{f(ai) + f(ai+1)−f(ai)ai+1−ai (x− ai) : x ∈ (ai, ai+1)} = máx{f(ai), f(ai+1)}
y ‖f‖ ≤ ‖Af‖ pues f(E) ⊂ Af([0, 1]).
por lo tanto
A : C(E) ↪→ C[0, 1]
es una ismetŕıa sobre su imagen.
Habiamos visto ya que θ es un homeomorfismo sobre θ(K) ⊂ [0, 1]N, esto nos va a servir
para construir un mapeo i que lleve a K de manera homeomorfa dentro de [0, 1].
La proposición 1.83 nos asegura la existencia de un mapeo ψ : Λ→ [0, 1]N continuo y
biyectivo. Sea K ′ = θ(K) ⊂ [0, 1]N entonces
E =: ψ−1(K ′) ⊂ Λ ⊂ [0, 1]
es un cerrado de [0, 1].
Por último, dado que
i : K
θ−→ K ′ ψ
−1
−→ E
es una función continua proponemos
i′ : C(K) ↪→ C(E)
f 7→ f ◦ (θ−1 ◦ ψ)
Si g es la isometŕıa que usamos para demostrar la afirmaición 1:
u : X
g
↪→ C(K) i
′
↪→ C(E)
ϕ
↪→ C[0, 1]
es justo la isometŕıa X ↪→ C[0, 1] que estabamos buscando.
47
1.9 Caṕıtulo 1. Preliminares
48
Caṕıtulo 2
El resultado de Slenk
El matemático Polaco W. Slenk en el año de 1968 encuentra en [15] que la clase de
los espacios de Banach separables y reflexivos no contiene ningun espacio universal, es
decir, ninguno de los espacios ah́ı contenidos tiene subespacios isomorfos a cada uno de
los demás espacios de Banach contenidos en la clase. En éste art́ıculo se define un ordinal
asociado a cada espacio de Banach, a este número le llamaremos ı́ndice y esta acotado por
el primer ordinal no numerable.
Éste ı́ndice es una función monótona (un subespacio tiene un ı́ndice menor o igual que
el espacio total), además si un espacio Y es isomorfo a un subespacio de X, el ı́ndice
de Y es menor o igual que el de X, con esto en mente nos interesa probar que para los
espacios de Banach separables el ı́ndice siempre es un ordinal numerable, en particular esto
sucede para cualquier espacio que fuese universal para los espacios de Banach reflexivos y
separables y que por otro lado, para cada ordinal numerable existe un espacio reflexivo y
separable cuyo ı́ndice es ése ordinal de tal manera que la existencia de un espacio universal
para esta clase nos llevaŕıa a una contradicción.
2.1. Índice de un espacio de Banach
Durante esta sección X y Y denotarán espacios de Banach, X∗ el espacio dual de X.
Si u : X → Y es un operador lineal, denotaremos a el oprerador adjunto de u,
u∗ : Y ∗ → X∗.
Definición 2.1. Sean G ⊂ X, y T ⊂ X∗ conjuntos acotados, y T w∗-compacto. Sea � > 0.
A cada ordinal numerable α asignamos por inducción transfinita el conjunto Pα(�;G,T ) ⊂
X∗ de la siguiente manera:
1. P0(�;G,T ) = T
2. Si α′ es el predecesor de α entonces Pα(�; , G, T ) = {f ∈ X∗ : existe xm ∈ G y
fm ∈ Pα′(�;G,T ) tal que xm
w→ 0 para m = 1, 2, ..., fm
w∗→ f y ĺım sup
m
|fm(xm)| ≥ �}
2.1 Caṕıtulo 2. El resultado de Slenk
3. Si α no tiene predecesor
Pα(�;G,T ) =
⋂
ξ<α
Pξ(�;G,T )
También def́ınimos
η(�;G,T ) = sup{α < ω1 : Pα(�;G,T ) 6= ∅}.
Proposición 2.2. Si �1 > �2 > 0, G1 ⊂ G2 ⊂ G, acotados y T1 ⊂ T2 ⊂ X∗ w∗−compactos,
entonces para cada α:
1. Pα(�1;G1, T1) ⊂ Pα(�2;G2, T2)
2. η(�1;G1, T1) ≤ η(�2;G2, T2).
Demostración. Por induccion transfinita: Si α = 0 entonces:
Pα(�1;G1, T1) = T1
⊂ T2 = Pα(�2;G2, T2).
Sea α un ordinal. Supongamos que la propiedad se cumple para todo ξ < α.
Supongamos primero que α no es un ordinal líımite y tiene un predecesor α′. Sea f ∈
Pα(�1;G1, T1) entonces existen (xm) ∈ G1 ⊂ G2, (fm) ∈ Pα′(�1;G1, T1) ⊂ Pα′(�2;G2, T2)
tales que
ĺım sup
m
|fm(xm)| ≥ �2
, por tanto f ∈ Pα(�2;G2, T2).
Si α no tiene predecesor Pα(�1;G1, T1) =
⋂
ξ<α
Pξ(�1;G1, T1).
Como
Pξ(�1;G1, T1) ⊂ Pξ(�2;G2, T2) para todo ξ < α,
Pα(�1;G1, T1) ⊂
⋂
ξ<α
Pξ(�2;G2, T2) = Pα(�2;G2, T2).
Para probar
η(�1;G1, T1) ≤ η(�2;G2, T2)
basta observar que
A1 =: {α < ω1 : Pα(�1;G1, T1) 6= ∅} ⊂ {α < ω1 : Pα(�2;G2, T2) 6= ∅} =: A2
Supongamos α ∈ A1 con α /∈ A2.
α /∈ A2 es equivalente a Pα(�2;G2, T2) = ∅ pero por la primera afirmación f ∈ Pα(�1;G1, T1)
implica f ∈ Pα(�2;G2, T2) = ∅, que es, evidentemente, una contradicción.
Proposición 2.3. Si �, G y T son como en 2.1 y u : X → Y es un isomorfismo entonces
1. Pα(�;G,T ) = u
∗(Pα(�;uG, (u
∗)−1T )) para 0 ≤ α < ω1
50
Caṕıtulo 2. El resultado de Slenk 2.1
2. η(�;G,T ) = η(�;uG, (u∗)−1T )
3. En particular si a > 0 y b > 0, entonces η(�; aG, bT ) = η( �ab ;G,T ).
Demostración. Recordemos que si
u : X −→ Y
es u isomorfismo entonces
u∗ : Y ∗ −→ X∗
es biyectiva.
La prueba la haremos por inducción transfinita: Para α = 0
P0(�;G,T ) =u
∗(P0(�;uG, (u
∗)−1T ))
si y sólo si T =u∗((u∗)−1T )
Supongamos que la igualdad se cumple para toda ξ < α. Si α no tiene predecesor
Pα(�;G,T ) =
⋂
Pξ(�;G,T )
=
⋂
u∗(Pξ(�;uG, (u
∗)−1T ))
= u∗(
⋂
Pξ(�;uG, (u
∗)−1T ))
= u∗(Pα(�;uG, (u
∗)−1T ))
Para el caso en que α = α′ + 1 procederemos por doble contención:
Sea f ∈ u∗(Pα(�;uG, (u∗)−1T )).
Afirmamos que f ∈ Pα(�;G,T ), es decir, queremos encontrar sucesiones (hm) ⊂ P ′α(�;G,T )
y (xm) ⊂ X tales que
1. hm
w∗→ f
2. xm
w→ 0
3. ĺım supm→∞ |fm(xm)| ≥ �
Si f ∈ u∗(Pα(�;uG, (u∗)−1T )) entonces existe g ∈ Pα(�;uG, (u∗)−1T ) tal que f = u∗(g).
Esto implica que existen (gm)m ∈ P ′α(�;uG, (u∗)−1T ), (ym)m ⊂ uG tales que
1. gm
w∗→ g
2. ym
w→ 0
3. ĺım supm→∞ |gm(ym)| ≥ �
51
2.1 Caṕıtulo 2. El resultado de Slenk
Proponemos hm = u
∗(gm) para m = 1, 2, ... y xm = u
−1(ym) para m = 1, 2, ....
Tenemos que como u es biyectiva:
hm
w∗−→ f
si y sólo si u∗(gm)
w∗−→ u∗g
si y sólo si (u∗gm)(x) −→ (u∗g)(x) para toda x ∈ X
si y sólo si gm(u(x)) −→ g(u(x)) para toda x ∈ X
si y sólo si gm(y) −→ g(y) para toda y ∈ Y
si y sólo si gm
w∗−→ g
por lo que se cumple la primera condición. Además:
xn
w−→ 0
si y sólo si x∗(xn) −→ 0 para todo x∗ ∈ X∗
si y sólo si para toda y∗ ∈ Y ∗ u∗(y∗)(xn) −→ 0
si y sólo si para toda y∗ ∈ Y ∗ y∗(u(xn)) −→ 0
si y sólo si para toda y∗ ∈ Y ∗ y∗(ym) −→ 0
si y sólo si ym
w−→ 0
Como
ĺım sup
m→∞
|hm(xm)| = ĺım sup
m→∞
|u∗(gm)(u−1ym)|
= ĺım sup
m→∞
|(gm(u(u−1ym))|
= ĺım sup
m→∞
|gm(ym)|
≥ �
(hm) y (xm) cumplen con las condiciones 2.1 lo que implica que f ∈ Pα(�;G,T ). La
demostración de la otra contención es muy similar.
Ahora mostraremos que η(�;G,T ) = η(�;u(G), (u∗)−1T ):
Para esto mostramos que para toda α, Pα(�;G,T ) 6= ∅ si y sólo si Pα(�;u(G), (u∗)−1T ) 6= ∅.
esta es una implicacion inmediata del inciso anterior pues si hubiese un f ∈ Pα(�;G,T ) =
u∗(Pα(�;u(G), (u
∗)−1T ), entonces (u∗)−1(f) ∈ Pα(�;u(G), (u∗)−1T .
De manera similar, si g ∈ Pα(�;u(G), (u∗)−1T ) entonces (u∗)(g) ∈ Pα(�;G,T ).
Por ultimo demostraremos que si a > 0 y b > 0, entonces η(�; aG, bT ) = η( �ab ;G,T ):
probaremos que para todo ordinal α Pα(�; aG, bT ) 6= ∅ si y sólo si Pα( �ab ;G,T ) 6= ∅. Para
esto observamos que f ′ = bf ∈ Pα(�; aG, bT ) implica que existe (f ′m) = (bfm) que converge
debilmente a f ′, (x′m) = (axm) que converge debilmente a 0 y que ĺım supm→∞ |f ′m(xm)| ≥
52
Caṕıtulo 2. El resultado de Slenk 2.1
�.
Dado que b > 0
bfm
w∗−→ bf si y sólo sifm
w−→ f,
como a > 0
axm
w−→ ax si y sólo si xm
w−→ x
y ademas
� ≤ ĺım sup
m→∞
|f ′m(x′m)|
= ĺım sup
m→∞
|bfm(axm)|
= ĺım sup
m→∞
|ab||fm(xm)|
= ab ĺım sup
m→∞
|fm(xm)|
si y sólo si
�
ab
≤ ĺım sup
m→∞
|fm(xm)|
Dado que u∗ es un operador biyetivo Pα(�;G,T ) = ∅ si y sólo si P (�;uG, (u∗)−1T ) = ∅
entonces
η(�;G,T ) = η(�;u(G), (u∗)−1T ).
Lema 2.4. (Teorema de Cantor-Baire) Sea Y un espacio métrico separable y Φ = {F1 ⊃
F2 ⊃ ...Fξ ⊃ Fξ+1 ⊃ ...} una familia bien ordenada de conjuntos cerrados entonces existe
α ≤ ω1 tal que
Fα = Fλ para toda λ ≥ α,
es decir {Fα}α.
Demostración. Dado que Y es separable tiene una base numerable para la topoloǵıa in-
ducida por la métrica. Sea entonces γ = {Un}∞n=1 una base numerable para Y . Sea
Ω = {α : Fα − Fα+1 6= ∅}
Afirmo que |Ω| = |N| :
Si Fα−Fα+1 6= ∅ existe un punto pα ∈ Fα−Fα+1 y dado que Fα−Fα+1 es abierto relativo
a Fα tenemos tambien Un∩Fα ⊂ Fα−Fα+1: un básico relativo a Fα, pues por la definición
de base de una topoloǵıa, en cada abierto puedo encontrar un básico que contenga a un
punto dado. Sea
Cα = {n : Un ∩ Fα ⊂ Fα − Fα+1, Un ∈ {Un}∞n=1}
y
n(α) = mı́nCα
53
2.1 Caṕıtulo 2. El resultado de Slenk
Definimos:
f : Ω −→ N
α 7−→ n(α)
Entonces f bien definida pues Cα 6= ∅ para todo α ∈ Ω y siempre tiene un mı́nimo pr ser
subconjunto de N
f es inyectiva:
Sean ξ 6= η ∈ Ω, suponemos sin perdida de generalidad que ξ < η mostraremos que
Uη 6= Uξ.
Tenemos : Un(ξ) ∩ Fξ ⊂ Fξ − Fξ+1 ⊂ Fξ − Fη
Supongamos que Uη = Uξ. Tenemos entonces
Un(η) ∩ Fξ ⊂ Fξ − Fη
entonces, como Fη ⊂ Fξ
∅ 6= Un(η) ∩ Fη ⊂ Fξ − Fη
esto ultimo significa que existe x ∈ Fξ tal que x ∈ Fη y x /∈ Fη
La contradicción vino de suponer que Uη 6= Uξ. Por lo tanto f es una función inyectiva de
Ω en N, es decir Φ es numerable.
Para poder aplicar el resultado anterior a los Pα(�) y probar que es una familia nu-
merable hemos de probar que es una familia decreciente de conjuntos cerrados, para esto
tenemos los dos resultados siguientes.
Teorema 2.5. (Gillespie) Sea A un conjunto compacto y (si)
∞
i=1 una sucesion de funciones
continuas definidas en A tales que para toda x ∈ A y para alguna constante M
0 ≤ si(x) ≤M
y
ĺım
i→∞
si(x) = 0
y � > 0 entonces el conjunto A′ = {x ∈ A : si(x) ≥ � para toda i = 1, 2, ...} es un conjunto
propio de A, cerrado y denso en ninguna parte en A.
Demostración. Ver articulo [8].
Lema 2.6. Sean G y T acotados, subconjuntos de X y X∗ respectivamente, con X∗
separable y T ω∗-compacto.
Sea α un cardinal numerable, sea � > 0.
El conjunto Pα(�) = Pα(�;G,T ) tiene las siguientes propiedades:
1. Pα(�) es ω
∗- compacto
54
Caṕıtulo 2. El resultado de Slenk 2.1
2. Pα+1(�) es denso en nigun parte en Pα(�)
3. Pα+1(�) ⊂ Pα(�).
Demostración. Para probar que cada Pα(�) es compacto procedemos por inducción.
Para α = 0 la condición se cumple por que tenemos por hipotesis hipotesis que T es ω∗-
compacto.
Supongamos que el resultado es cierto para todo ξ < α. Si α no tiene predecesor Pα(�) =⋂
ξ<α
Pξ(�) entonces Pα(�) es un cerrado que esta contenido en un compacto pues cualquier
Pξ(�) es compacto. Por lo tanto es compacto.
En el caso en que α tiene predecesor α′, sea fm ∈ Pα(�),m = 1, 2, ... con fm
ω∗→ f vamos a
demostrar que efectivamente f esta en Pα(�).
Por como definimos Pα(�) por cada fm existe (fn,m)n ⊂ Pα′(�) y (xn,m)n ⊂ G tales que
fn,m
ω∗→ f (m), xn,m
ω→ 0 y
ĺım sup
n
|fn,m(xn,m)| ≥ �.
Dado que G y T son acotados, las topologias τω y τω∗ son metrizables y podemos elegir
un par de enteros (nk,mk) para m = 1, 2, ... de la siguiente manera:
Para cada fm tomamos de (fn,m) y (xn,m) unicamente los miembros (fnk,m) y (xnk,m)
que cumplan que
ĺım
k→∞
|fnk,m(xnk,m)| ≥ �
y para aligerar la notación seran esas las sucesiones que tomare en cuenta como aquellas
que definen a cada fm como elemento de Pα(�)
De tal manera que escribimos (fnk,m) como (fn,m) y (xnk,m) como (xn,m) Tomamos r ∈ N:
Sea dw∗ la métrica que hace metrizable a la topoloǵıa τw∗ entonces por la convergencia
debil de (fm)m a f podemos escoger una subsucesion (mr) que cumpla que:
dw∗(f, fmr) <
1
2r
y para cada mr por la convergencia de fn,mr a fmr puedo escoger un nr que cumpla:
dw∗(fmr , fnr,mr) <
1
2r
de tal suerte que para toda x, para toda r ∈ N tenemos:
dw∗(f, fnr,mr) ≤ dw∗(fmr , fnr,mr) + dw∗(f, fmr)
≤ 1
2r
+
1
2r
<
1
r
55
2.1 Caṕıtulo 2. El resultado de Slenk
definimos entonces fr =: fnr,mr y xr =: xnr,mr para r = 1, 2, ..., entonces (fr)r ⊂ Pα′(�),
fr
w∗−→ f y xr
w−→ 0.
Como desde un principio nos quedamos unicamente con las sucesiones cuyo valor limite
de |fr(xr)| era mayor que �
ĺım sup
r→∞
|fr(xr)| = ĺım
r→∞
|fr(xr)| ≥ �
y f ∈ Pα(�), es decir, Pα(�) es cerrado con la topologia debil estrella, además esta contenido
en T que es un conjunto w∗-compacto, por lo tanto Pα(�) tambien es w∗-compacto.
Para probar 2. observamos que a Pα(�) lo definimos o bien como una interseccion o
como un conjunto de puntos de acumulacion de Pα′ , que acabamos de ver que es cerrado,
todo cerrado contiene a sus puntos de acumulacion, de lo que se sigue:
Pα(�) ⊂ Pα′(�).
Por último demostramos que Pα(�) es denso en ninguna parte en Pα′ :
Supongamos que esto no es cierto, es decir,suponemos que existe F = Dr(h) ∩ Pα′(�)
contenido tambien en Pα(�).
Sea (fm)
∞
m=1 ⊂ F denso en F . Esta sucesion existe dado que X∗ es separable. Por como
esta definido Pα(�), para cada m = 1, 2, ... existen
(fn,m)n ⊂ Pα′(�) y (xn,m)n ⊂ G
tales que
fn,m
ω∗→ fm,
xn,m
ω→ 0 y
ĺım sup
n
|fn,m(xn,m)| ≥ � param = 1, 2, ...
Tomamos una sucesión (xm) =: (xi+nm,m) escogiendo nm para cada m = 1, 2... de tal
manera que
xm
w→ 0
Podemos entonces ver a (xm)m ⊂ X∗∗ como una sucesion de funciones continuas definidas
en un compacto que tiende puntualmente a cero, es decir:
para toda f ∈ X∗ y para toda � > 0 existe N ∈ N tal que si n > N
|xn(f)| < �
|f(xn)| < �
Sea
Q(�) = {f ∈ Pα′(�) : ∃ (gm) ∈ Pα′ tal que gm
ω∗→ f y ĺım sup
m
|gm(xm)| ≥ 0}
Donde Q(�) es un conjunto donde la oscilacion de cada funcion continua xm es mayor o
igual que � para m = 1, 2, ....
56
Caṕıtulo 2. El resultado de Slenk 2.1
Observamos que Q(�) ⊂ Pα(�) ⊂ Pα′(�) y por el teorema 2.5 Q(�) esta contenido propia-
mente, es cerrado y denso en ninguna parte en Pα(�).
Observamos tambien que fm ∈ Q(�) para m = 1, 2, ....
Veamos que (fm)m densa en F implica F ⊂ Q(�): Sea f ∈ F , como (fm)m es densa en F
para toda r > 0 existe mr tal que
dw(fmr , f) <
1
r
es decir:
ĺım
r→∞
fmr = f
y como Q(�) es cerrado f ∈ Q(�), es decir F ⊂ Q(�) pero F es una bola cerrada con la
topoloǵıa relativa a Pα(�) esto contradice que Q(�) es denso en ninguna parte en Pα(�).
Por lo tanto Pα′(�) no es denso en ninguna parte en Pα(�).
Lema 2.7. Sean G y T acotados, subconjuntos de X y X∗ respectivamente y T ω∗-
compacto. Si � > 0 existe un ordinal α < ω1 tal que
Pα(�;G,T ) 6= ∅ y Pα+1(�;G,T ) = ∅.
Demostración. Supongamos que para α = ω1 tuviesemos
Pα(�;G,T ) 6= ∅ y Pα+1(�;G,T ) = ∅
esto querria decir que la familia {Pα(�;G,T )} es no numerable, contradiciendo asi al lema
2.4. Por lo tanto α < ω1.
Proposición 2.8. Sean G y T acotados, subconjuntos de X y X∗ respectivamente, T
ω∗-compacto y X∗ es separable, entonces
η = η(�;G,T ) < ω1 y Pη(�;G,T ) 6= ∅.
Demostración. Es inmediato de 2.7.
Notación: En adelante (X, ‖ · ‖), (Y, ‖ · ‖) denotarán espacios de Banach. y X1 sera un
sub espacio de X.
Denotamos como S = {x ∈ X : ‖x‖ ≤ 1} y S∗ = {f ∈ X∗ : ‖f‖ ≤ 1}.
Y S, S∗, S1, S
∗
1 , S
′, S′∗ las bolas unitarias cerradas de los espacios X,X∗, X1, X
∗
1 , Y yY
∗
respectivamente.
Definición 2.9. Para � > 0, definimos
η(�;X) = η(�;S, S∗)
como el �-indice de X y
η(X) = sup
�>0
η(�;X)
como el ı́ndice de X.
57
2.1 Caṕıtulo 2. El resultado de Slenk
Proposición 2.10. Si X∗ es separable, entonces
η(X) = sup
n
η
(
1
n
;X
)
< ω1.
Demostración. Para demostrar la proposición mostraremos que sup
�>0
η(�;X) = sup
n
η( 1n ;X)
Lo probaremos con una doble desigualdad.
Sea � > 0, mostraremos que existe