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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE CIENCIAS ANÁLISIS ESPECTRAL DE LA NEBULOSA PLANETARIA NGC 7009: DETERMINACIÓN DE ABUNDANCIAS QUÍMICAS Y VARIACIONES DE TEMPERATURA T E S I S QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE: FÍSICO P R E S E N T A : JUAN SALVADOR TAFOYA VARGAS DIRECTORA DE TESIS: DOCTORA SILVIA LINDA TORRES CASTILLEJA Ciudad Universitaria, Ciudad de México, México 2017 UNAM – Dirección General de Bibliotecas Tesis Digitales Restricciones de uso DERECHOS RESERVADOS © PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL Todo el material contenido en esta tesis esta protegido por la Ley Federal del Derecho de Autor (LFDA) de los Estados Unidos Mexicanos (México). El uso de imágenes, fragmentos de videos, y demás material que sea objeto de protección de los derechos de autor, será exclusivamente para fines educativos e informativos y deberá citar la fuente donde la obtuvo mencionando el autor o autores. Cualquier uso distinto como el lucro, reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el respectivo titular de los Derechos de Autor. 1. Datos del alumno Tafoya Vargas Juan Salvador 5951087183 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ciencias F́ısica 413095828 2. Datos del tutor Doctora Silvia Linda Torres Castilleja 3. Datos del sinodal 1 Doctor Manuel Peimbert Sierra 4. Datos del sinodal 2 Doctor Pablo Fabián Velázquez Brito 5. Datos del sinodal 3 Doctor Fabio De Colle 6. Datos del sinodal 4 Doctora Anabel Arrieta Ostos 7. Datos del trabajo escrito Análisis Espectral de la Nebulosa Planetaria NGC 7009: Determinación de Abundancias Qúımicas y Variaciones de Temperatura 99p 2017 DEDICATORIA A mis padres Juan y Lupita, y mi hermano Jesús: Han sido mi gúıa e inspiración para conseguir todo lo que he logrado y lo que está por venir; no estaŕıa aqúı si no fuera por ustedes y su inmensurable apoyo. Los amo desde el fondo de mi corazón. i Agradecimientos Agradezco a la Dra. Slvia Torres Castilleja por todas las oportunidades que me ha brindado y todo el tiempo que me ha dedicado. Indudablemente, estos años de trabajo fueron vitales para mi desarrollo, tanto en el ámbito cient́ıfico como el personal. Siempre le estaré agradecido. Al Dr. Manuel Peimbert por toda la atención que me ha prestado. Gracias a los seminarios aprend́ı a interpretar la f́ısica de forma distinta, y toda su experiencia no ha hecho más que nutrirme. A mis sinodales: Dr. Pablo Velázquez, Dr. Fabio de Colle y Dra. Anabel Arrieta. A pesar de sus apretadas agendas, me hicieron oportunas observaciones que me han permitido mejorar la calidad este trabajo. Al Instituto de Astronomı́a, por facilitarme el espacio y los recursos para el desarrollo de esta tesis. Al Dr. William Lee Alard́ın, gracias a quien pude acercarme a la investigación desde una temprana edad. Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnoloǵıa (CONACYT) y al Sistema Nacional de Investigadores (SNI), por otorgarme el nombramiento de ayudante de investigador de la Dra. Silvia Torres, y permitirme iniciar de manera formal mi camino en la investigación. Al Departamento de Computo del Instituto de Astronomı́a, por todo el apoyo que me brindaron para usar diversos programas computacionales. A la Dra. Gloria Delgado, por la ayuda y orientación que me prestó durante la parte computacional de este trabajo. A la Facultad de Ciencias de la UNAM, la cual me ha permitido dar el primer paso en mi formación como cient́ıfico a través de sus aulas. A la Dra. Magali Folch, quien me ha brindado su apoyo desde que llegué a la Facultad, y cuya gúıa ha contribuido en lo que he logrado hasta ahora. A la Dra. Catalina Stern, por impulsarme a conocer distintos modos de trabajo dentro y fuera del páıs. Mucho de lo que he aprendido no hubiera sido posible sin su apoyo. iii A Julienne Gallardo Thurlow, cuyo apoyo ha sido fundamental en mi última etapa de la licenciatura. A José Eduardo Méndez, con quien han surgido muchas ideas y proyectos que nos han enriquecido a ambos. Sin duda, hemos hecho un gran equipo. A mi familia, quien a pesar de pasar por momentos dif́ıciles ha hecho sacrificios por el bien de mi hermano y el mio, y quien siempre me han impulsado y dado su apoyo para seguir mis sueños. iv Índice general 1. Introducción 1 1.1. Trasfondo Histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Evolución Estelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3. Nebulosas Planetarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4. NGC 7009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4.1. Estrella Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4.2. Composición qúımica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2. Teoŕıa 9 2.1. Espectro de nebulosas gaseosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.1. Ĺıneas de excitación colisional o prohibidas . . . . . . . . . . . 10 2.1.2. Ĺıneas de recombinación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2. Equilibrio de fotoionización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.1. Fotoionización y recombinación de hidrógeno . . . . . . . . . . 12 2.2.2. Fotoionización de una nebulosa de hidrógeno y helio . . . . . . 18 2.2.3. Fotoionización de Elementos Pesados . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. Equilibrio térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3. Interpretación de las observaciones 25 3.1. Mecanismos de emisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.1. Interpretación de las observaciones de ĺıneas ópticas de recom- binación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.2. Interpretación de las observaciones de ĺıneas prohibidas . . . . 27 3.1.3. Poblaciones relativas de los distintos niveles de excitación . . . 27 3.2. Determinación de la temperatura y densidad electrónica . . . . . . . 31 3.2.1. Ĺıneas prohibidas sensibles a la temperatura . . . . . . . . . . 31 3.2.2. Ĺıneas prohibidas sensibles a la densidad . . . . . . . . . . . . 33 3.2.3. Diagrama de diagnóstico del plasma a partir de ĺıneas prohibidas 34 3.2.4. Diagnóstico a partir de la discontinuidad de Balmer y Paschen de H I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3. Determinación de la abundancia qúımica . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3.1. Inhomogeneidades de temperatura: el parámetro t2 . . . . . . 39 4. Análisis 43 4.1. Obtención y reducción del espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2. Identificación de ĺıneas de emisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.3. Enrojecimiento interestelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.3.1. Leyes de enrojecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 v ÍNDICE GENERAL 4.4. PyNeb: un código computacional para interpretar las intensidades de ĺıneas prohibidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.5. Determinación de la temperatura y densidad del plasma . . . . . . . 56 4.6. Determinación de abundancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.6.1. Determinación de abundancias a partir de ĺıneas prohibidas . 58 4.6.2. Determinación de abundancias a partir de ĺıneas de recombi- nación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.6.3. Determinación de la temperatura a partir de los saltos de Bal- mer y Paschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.6.4. Factor de Corrección de Ionización (FCI) y abundancia total . 65 4.7. Determinación del factor de inhomogeneidad de la temperatura . . . 69 5. Conclusiones 71 A. Algunos detalles del Espectro de NGC7009 observado por Fang y Liu 77 B. Tablas de Datos Detalladas 79 C. Glosario de Śımbolos 85 Resumen Este trabajoconsistió en una revisión cŕıtica de los principales resultados de los trabajos de 2011 y 2013 de X. Fang y X.-W. Liu, en los cuales realizaron el análi- sis qúımico de la brillante nebulosa planetaria NGC 7009, también conocida como Nebulosa Saturno. Partiendo del espectro de NGC 7009 observado y corregido fotométricamente por Fang y Liu, se siguió el tratamiento general que le dieron a los datos. Se realizó aśı la corrección de intensidades por enrojecimiento interestelar, la determinación de tem- peratura y densidad usando diversos pares de ĺıneas de excitación colisional (también llamadas prohibidas), seguido del cálculo de abundancias iónicas a partir de ĺıneas de recombinación y de excitación colisional, que posteriormente permitieron determinar la abundancia total de los elementos observados. Durante la revisión, se intentaron reproducir los resultados obtenidos por Fang y Liu usando los mismos parámetros e intensidades, lo cual no se logró en general. La principal diferencia se encuentra en las abundancias iónicas determinadas a partir de ĺıneas de excitación colisional, pues presentan diferencias que llegan a ser mayores a un factor de 2. Aunque todo el proceso de análisis fue revisado en múltiples ocasiones, las inconsis- tencias entre los resultados obtenidos en este trabajo y los publicados por Fang y Liu se mantuvieron, lo cuál pudo ser ocasionado por descuidos por parte de Fang y Liu al redactar su publicación. Caṕıtulo 1 Introducción 1.1. Trasfondo Histórico Los astros, misteriosos y a la vez hermosos objetos que a pesar de encontrarse tan distantes de quien los observa han causado fascinación en la humanidad y han for- mado parte importante de su historia. Las constelaciones son un ejemplo cotidiano de esto, agrupaciones de objetos celestes escogidos por dibujar un ser u objeto sobre el cielo, y cuya relación con la mitoloǵıa antigua de diversas culturas es estrecha. El conocimiento e identificación de ciertas estrellas llevó a su posterior uso como puntos de referencia para la navegación, lo cuál fue de vital importancia en el es- tablecimiento de rutas maŕıtimas y en el descubrimiento de nuevas tierras. Por los ejemplos anteriores, entre muchas otras cosas, se generó un gran interés en descubrir qué eran aquellos puntos luminosos y por qué brillaban y se mov́ıan de la forma que lo hacen, llevando aśı al descubrimiento de planetas, estrellas y muchas cosas más. Con la invención del telescopio, hubo un avance acelerado en el estudio de los cuerpos celestes al que cada vez más gente se interesaba, lo que llevó no solo a un estudio más profundo de aquellos que ya se conoćıan, sino al descubrimiento de nuevos e inesperados objetos. Han sido muchos los que han contribuido de diversas formas con el desarrollo de la astronomı́a, pero por ahora se prestará especial atención al trabajo de los hermanos Herschel. William y Caroline Herschel fueron un par de hermanos de origen alemán con for- mación meramente de carácter art́ıstico, en el área de la música, que tras mudarse a Inglaterra a mediados de los 1700s, buscando adquirir las tendencias caracteŕısticas de este páıs, descubrieron que sus habilidades para construir instrumentos musicales también pod́ıan ser usados para construir telescopios. Eventualmente, los hermanos decidieron cambiar de área de ocupación, renunciando aśı a la música y convirtiéndo- se en astrónomos. En las diversas observaciones hechas por los hermanos Herschel con los telescopios que ellos mismos constrúıan se percataron de que en el cielo no solo hab́ıa estrellas, sino que exist́ıa un gran zoológico de objetos de diversas formas, colores y tamaños dispersos a lo largo del firmamento. Su fascinación fue tal que construyeron un teles- copio fijo para observar dichos objetos y catalogarlos tal como hizo Charles Messier 1 INTRODUCCIÓN (otro astrónomo de la misma época) en el catálogo que ahora lleva su nombre. Entre sus descubrimientos, se encontraban difusos y coloridos objetos de aspecto nebular que llamaban la atención de quien los observaban por su curiosa estructura. En los primeros intentos por explicar estas nubes, William pensó erróneamente que estas nubes pod́ıan ser zonas que posteriormente daŕıan lugar a un planeta, acuñándoles aśı el nombre Nebulosas Planetarias. Sin embargo, su verdadera natu- raleza permaneció oculta por alrededor de 100 años hasta que el 29 de agosto de 1864 William Huggins capturó con ayuda de un prisma el primer espectro de una ne- bulosa planetaria, siendo esta la nebulosa Ojo de Gato. Huggins esperaba encontrar un espectro continuo, como el que observó previamente en estrellas y galaxias, pero se encontró con que el espectro era discreto, compuesto por unas cuantas ĺıneas de emisión. Aśı, el gran misterio de las nebulosas planetarias se esclareció ligeramente, pues se concluyó que no se trataba de una agrupación de estrellas ni de planetas, y más bien teńıa un comportamiento espectral similar al de los gases. Fue aśı que estas nubes se volvieron un tema de estudio de gran interés. Cuando por fin se entendió el origen de las nebulosas, el cuál se discutirá más ade- lante, su estudio ganó gran popularidad, y con razón: las nebulosas planetarias son la etapa final de la vida de algunas estrellas. Aśı, las caracteŕısticas de una nebulosa pueden proveer de mucha información sobre su estrella predecesora, principalmente sobre su composición qúımica. Debido a que durante su vida las estrellas produ- cen elementos por medios de fusión, y que parte del gas en el cual se formó fue previamente procesado por otra estrella, la composición qúımica final, conocida co- mo abundancia al compararse la densidad de un elemento contra la densidad de hidrógeno (se explicará a detalle en la sección de teoŕıa), se vuelve un indicador importante de la estructura atómica de la estrella predecesora que se traduce en rastrear el origen de los elementos. El creciente interés en el estudio de las nebulosas planetarias ha creado toda una comunidad de astrónomos que les dedican gran parte de su vida, ya sea catalogándo- las y tomando observaciones, o creando modelos f́ısicos que permitan interpretar las observaciones. Estos astrónomos se encuentran dispersos a lo largo del planeta, y en particular en México hay cada vez más cient́ıficos que contribuyen de forma importante en esta área. 1.2. Evolución Estelar Las estrellas, como cualquier otro objeto, tuvieron un inicio y tendrán un final, lo que lleva a pensar en un proceso de evolución a lo largo de toda su vida. En la etapa de formación lo que se convertirá en una estrella no emite luz, es sim- plemente una nube de gas (compuesta principalmente de hidrógeno) esencialmente neutro que lentamente reduce su tamaño gracias a su mutua atracción gravitatoria, calentándose debido a la compresión. Cuando la temperatura es lo suficientemente alta, la probabilidad de que ocurran reacciones de fusión dentro del gas aumen- ta, ocurriendo cada vez con más frecuencia. Una vez que éstas han comenzado, la enerǵıa liberada por cada reacción da lugar otra más formando aśı una cadena au- 2 1.2. EVOLUCIÓN ESTELAR tosustentada de reacciones nucleares que poco a poco se propaga en el gas. Y es aśı, que en el centro de la nube nace una estrella. A pesar de que el mecanismo que le da su esencia de estrella ya está presente, al nuevo objeto aún no se considera como tal pues el continuo colapso gravitacional del gas no le permite alcanzar el equilibrio. El proceso de compresión continuará por un periodo hasta que la presión del gas es lo suficientemente grande como para igualar la fuerza gravitacional, empujando hacia afuera y deteniendo aśı el colapso, punto en el cual la estrella alcanza el equilibrio térmico-gravitacional, comenzando la etapa estable de su vida en lo que se conoce como secuencia principal. Dependiendo de su masa, la estrella vivirá en estaetapa desde algunos millones (siendo el caso de estrellas tipo O y B) hasta varias decenas de miles de millones de años (enanas cafes). Debido a que no es necesario un análisis general, a continuación se analizará únicamente el caso de estrellas con masa comparable a la del Sol. En la etapa de equilibrio las reacciones termonucleares ocurren de forma continua consumiendo poco a poco el hidrógeno disponible. Conforme ocurren las reacciones de fusión se generan especies cada vez más pesadas, dando lugar aśı a elementos (y sus isótopos) de mayor número atómico, partiendo de hidrógeno y llegando al car- bono. Éstos elementos son menos propicios a participar en una reacción de fusión, por lo que poco a poco se va acabando el combustible principal de la estrella. Cuan- do el hidrógeno se vuelve escaso entre el resto del gas, la estrella de desestabiliza permitiendo expanderse a las capas exteriores (donde se encuentra principalmente hidrógeno y helio), mientras que los elementos más pesados se mantienen en el cen- tro (que es donde se formaron). En esta etapa, la estrella se mantiene activa gracias al hidrógeno restante de la cáscara alrededor del núcleo, convirtiéndose aśı en una gigante roja. Cuando gran parte del hidrógeno se consume y la presión es vencida por la fuerza gravitacional, la estrella sufre un pequeño colapso similar al de la etapa de formación. La contracción ocurrirá hasta que el gas es lo suficientemente caliente como para permitir que la cantidad de reacciones nucleares de helio, las cuales siguen el proceso triple-α, se vuelve considerable “reviviendo” a la estrella. En esta etapa la tempera- tura aumenta junto con la presión térmica, manteniendo este comportamiento hasta que la cantidad de helio disponible disminuye considerablemente. Al llegar a su máximo de expansión (supergigante roja), la estrella expulsa las capas exteriores de gas, comenzando una corta etapa en que la estrella aumenta su tem- peratura dramáticamente. En esta etapa que se forman las nebulosas planetarias a partir del gas liberado, de las cuales se mencionará más en el texto posterior. Una forma de ubicar la etapa de evolución de una estrella es mediante el diagra- ma diseñado por Hertzprung y Russell, conocido como diagrama HR, o alguna de sus variaciones. Este diagrama permite mapear estrellas mediante su color (que se traduce a temperatura) y luminosidad, dos caracteŕısticas que se pueden medir con sus respectivos grados de dificultad, que combinadas arrojan información tan impor- tante como su etapa actual de evolución, aśı como reconstruir parte de su pasado y predecir su futuro. En la Figura 1.1 se muestra un diagrama HR en el que se especifica cada una de las etapas por la que una estrella similar al Sol pasaŕıa. En el diagrama se ilustra cada una de las etapas mencionadas previamente, asociadas 3 INTRODUCCIÓN Enana blanca Secuencia principal Sol ahora Supergigante roja Gigante roja Gigante amarilla Nebulosa Planetaria Secuencia principal Gigante roja Gigante amarilla Nebulosa Planetaria Enana blanca ~ 9 x 109 ~ 1 x 109 ~ 100 x 106 ~ 10,000 ~ 4.5 x 109 (ahora) ~ 12.2 x 109 ~ 12.3 x 109 ~ 12.3305 x 109 ~ 12.3306 x 10 9 Etapa Edad del sol (años) Vida por etapa (años) Temperatura L u m in o si d ad ( u n id ad es s o la re s) 10,000 5,000 3,00020,000100,000 10-1 1 102 103 104 101 10-2 SECUENCIA PRINCIPAL Figura 1.1: Diagrama HR, con la secuencia evolutiva de una estrella de masa similar a la del Sol. con su temperatura y luminosidad, aśı como el periodo de vida para cada una de ellas. 1.3. Nebulosas Planetarias Como ya se mencionó, las nebulosas planetarias son la etapa final de la vida de una estrella con masa similar a la del Sol (siendo más precisos, con una masa entre 0.8 y 8 masas solares [M�]). Consisten, esencialmente, en una nube de gas que emite radiación gracias al calentamiento por parte de la estrella en el centro de ésta. En el gas de la nebulosa se pueden encontrar los principales productos genera- dos por la estrella predecesora a lo largo de su vida, tales como helio, carbono, ox́ıgeno, nitrógeno, entre muchos otros; siendo siempre dominados (en número) por el hidrógeno. Todos estos elementos se encuentran dispersos de forma más o menos uniforme sobre la nube, y presentan diversos estados de ionización (i.e. con distin- tas cargas atómicas) que dependen de la fuente central de radiación (la estrella). Además, en la nube se puede encontrar polvo que, en vez de contribuir en la emisión general de la nebulosa, sirve como atenuador de esta, modificando la interacción estrella-gas, y aśı sus respectivas observaciones. Debido a los largos tiempos de vida de las nebulosas planetarias, usualmente se considera que se encuentra en un estado estacionario, lo que facilita enormemente su análisis. Aún aśı, se han desarrollado análisis donde se considera que esto no es 4 1.4. NGC 7009 del todo cierto, y se estudian aśı sus consecuencias sobre el comportamiento general. 1.4. NGC 7009 Este trabajo de tesis se desarrollará teniendo como objeto de estudio la nebulo- sa planetaria NGC 7009, también conocida como Nebulosa Saturno, aprovechando que gracias a su constante análisis se dispone de espectros de alta resolución y por tanto resulta fácil consultar observaciones de alta calidad hechas previamente. An- tes de entrar de lleno al análisis de ésta nebulosa, se mencionará un poco de sus caracteŕısticas generales. La que hoy se conoce como NGC 7009 fue una de las primeras nebulosas descubier- tas por William Herschel, observándola por primera vez en el año 1782. Recibió el nombre de Nebulosa Saturno por Lord Rosse en al década de 1840, quien tras obser- varlo con los telescopios de la época notó similaridades con Saturno y Urano, siendo las más determinantes su caracteŕıstico color verdoso y el par de manijas opuestas entre śı. En la Figura 1.2 se aprecia una fotograf́ıa reconstruida de NGC 7009 a partir de tomas con filtros en longitud de onda 502nm (O2+), 631nm (O0), 673nm (S+) y 658nm (N+). Ésta observación fue hecha por el telescopio espacial Hubble el 28 de abril de 1996 con la cámara planetaria y de gran angular (Wide-Field Planetary Camera) número 2. Como se puede apreciar, la estrella central se encuentra envuelta en una densa nube de gas rojo (S+ y N+) y azul (O2+) con forma elipsoidal, que a su vez es cubierta por una capa ciĺındrica de gas verde suavemente (O0) distribuido. A mayores distancias se aprecian dos protuberancias rojas de baja densidad que asemejan un par de manijas, las cuales se conectan con el resto del gas mediante jets de material. La Nebulosa Saturno se encuentra en las coordenadas con ascensión recta 21h 4min y declinación −11◦ 21′, en la constelación de Acuario, entre las estrellas Altair (de Águila) y Fomalhaut (de Pez Austral). La nebulosa tiene un brillo aparente de mV = 8.0 y un tamaño angular de 0.4 ′× 1.6′. Diversos astrónomos han aproximado la distancia a la cual se encuentra ésta nebulosa, encontrando que ésta puede estar entre los 2400 y 3900 años luz (736 a 1195 parsecs, respectivamente), que a su vez indican un diámetro máximo de la nube de entre 0.42 y 0.68 años luz. Considerando el trabajo de Sabbadin y col. (2004) sobre la estructura y evolución de NGC 7009 en 3 dimensiones, la etapa de completa ionización del cascarón principal comenzó hace alrededor de 1000 años y sigue hasta nuestros d́ıas, lo que junto con su caliente estrella central contribuye en la riqueza del espectro de ésta. 1.4.1. Estrella Central En el centro de la nebulosa se encuentra la estrella remanente de la progenitora. Se trata de una estrella en camino a convertirse en enana blanca que actualmente tiene una magnitud aparente de 11.5 y 55000 K de temperatura, lo que junto a la 5 INTRODUCCIÓN Figura 1.2: NGC 7009 Crédito de la imagen: Bruce Balick (University of Washington), Jason Alexander (Uni- versity ofWashington), Arsen Hajian (U.S. Naval Observatory), Yervant Terzian (Cornell University), Mario Perinotto (University of Florence, Italy), Patrizio Patriarchi (Arcetri Observatory, Italy), NASA/ESA. estimación de distancia previamente mencionada permite determinar una magnitud absoluta de 1.5, y una luminosidad 20 veces mayor a la del Sol. Como otras estrellas del mismo tipo, el astro predecesor teńıa una masa relativamente baja que le per- mitió vivir en la secuencia principal por un largo periodo, liberando el material de sus capas más exteriores y dando lugar a la nebulosa hace alrededor de 6000 años. 1.4.2. Composición qúımica Debido a la riqueza de ĺıneas de emisión, se han realizado muchos trabajos sobre NGC 7009 considerando distintos puntos de vista e interpretaciones de las observa- ciones. En particular, resultan relevantes varios de los resultados obtenidos por Fang y Liu en sus art́ıculos de 2011 y 2013, pues este trabajo de tesis será una revisión cŕıtica de estos. A partir del análisis de ĺıneas de excitación colisional, se determina- ron una temperatura electrónica de 10000 K y una densidad de 4300 cm−3. A partir del análisis de diversas ĺıneas de emisión, determinaron las abundancias qúımicas totales de la Tabla 1.1. 6 1.4. NGC 7009 Como en todo resultado obtenido en la astronomı́a, la comparación con los resultados obtenidos con distintos procesos es muy importante, y por tal resulta interesante una breve comparación a resultados de otros autores. Por ejemplo, en el trabajo de Hyung y Aller (1995), encontraron una temperatura de 10500 K y densidad de 5600 cm−3, mientras que en el de Aller y Epps (1975) tienen un valor de 10600 K (en el anillo brillante) y diversas densidades dependiendo de la región. Las abundancias que determinaron en ambos art́ıculos también se muestren en la Tabla 1.1. X/HA X/HB X/HC Elemento LECs LORs LECs LORs LECs LORs He - 0.112 - 0.118 - 0.120 C 1.64×10−4 8.93×10−4 1.33×10−4 - - - N 7.14×10−5 4.92×10−4 1.16×10−4 - 3.162×10−4 - O 3.60×10−4 1.67×10−3 3.78×10−4 - 5.754×10−4 - Ne 1.58×10−4 8.40×10−4 1.33×10−4 - 1.549×10−4 - Mg - 3.18×10−5 - - - - Si - 8.28×10−6 - - - - S 1.30×10−5 - 7.65×10−6 - 1.905×10−5 - Cl 1.93×10−7 - 1.65×10−7 - - - Ar 2.57×10−6 - 2.62×10−6 - 2.512×10−6 - K 4.24×10−8 - 6.49×10−8 - - - Ca - - 1.73×10−7 - - - Tabla 1.1: Abundancias totales determinadas por Fang y Liu (2013) (A) a 10000 K y 4300 cm−3, Aller y Epps (1975) (B) a 10500 K y 5600 cm−3, y Aller y Epps (1975) (C) 10600 K y 6000 cm−3, a partir de ĺıneas de excitación colisional (LECs) y de recombina- ción (LORs). 7 Caṕıtulo 2 Teoŕıa A lo largo de éste Caṕıtulo se desarrollarán de forma breve los fundamentos f́ısicos que se usan para explicar los diversos mecanismos presentes en una nebulosa plane- taria. En particular, se hará énfasis en aquellos que fundamentan el modelo f́ısico empleado para describir el objeto a analizar en este trabajo, la nebulosa NGC 7009. Una gran parte de la teoŕıa que se mencionará a continuación se encuentra plasmada en el libro de Donald E. Osterbrock y Gary J. Ferland “Astrophysics of Gaseous Ne- bulae and Active Galactic Nuclei” (Osterbrock y Ferland 2006), referido de aqúı en adelante como AGN2. A lo largo de este Caṕıtulo y parte del siguiente, se desarro- llará la teoŕıa presentada en los Caṕıtulos 2, 3 y 4 de AGN2 bajo el mismo trata- miento plasmado en este, y utilizando la misma notación para evitar confusiones y permitir una fácil comparación con la referencia original. Antes de empezar, cabe destacar que debido a que la gran cantidad de śımbolos empleados para representar diversas constantes (y sus posibles similaridades) puede llevar fácilmente a la confusión, en el Apéndice C se muestra un glosario con los śımbolos empleados a lo largo de este trabajo. 2.1. Espectro de nebulosas gaseosas Como ya se ha mencionado, el espectro de una nube de gas consiste en un conjunto de ĺıneas de emisión, y no un continuo como en el caso de una estrella. Esto permite identificar el origen de varias ĺıneas, y compararlas entre śı para obtener un poco de información sobre las condiciones en las que se generaron. Por tal razón, es muy importante determinar el mecanismo que dio origen a las ĺıneas de interés, y entenderlo para poder describirlo mediante un modelo f́ısico. Hay diversas interacciones que pueden generar los fotones que son observados al estudiar una nebulosa, pero todos son consecuencia de un principio fundamental: la conservación de la enerǵıa. Ésta se puede manifestar de diversas formas, pues aparece en transiciones entre distintos niveles de excitación, colisiones inelásticas, y muchos otros fenómenos de los que se hablará más adelante. A continuación, se da una descripción breve de los dos tipos de ĺıneas de emisión sobre los que se 9 TEORÍA desarrollarán cálculos posteriores. 2.1.1. Ĺıneas de excitación colisional o prohibidas Hay diversas ĺıneas de emisión que no pueden ocurrir por simple transición es- pontánea, pues provienen de niveles energéticos que el ion dif́ıcilmente visitaŕıa sin ayuda externa. Debido a esto, estas transiciones tienen probabilidades muy bajas de ocurrir y es por lo que se conocen como prohibidas. Aśı, para que el ion pueda alcanzar este estado excitado de mayor enerǵıa, necesita principalmente de la ayuda de los electrones libres. Éstos transferirán parte de su enerǵıa cinética al ion por medio de colisiones, aumentando aśı su estado de excitación. Desde éste, el ion vol- verá a su estado de menor enerǵıa por medio de transiciones radiativas, las cuales generarán los fotones sobre los que se centrará el estudio. Debido a la complejidad de su estudio y diversas limitantes en las observaciones, estas ĺıneas se emplean para estudiar unos cuantos elementos, como lo son C, N y O. 2.1.2. Ĺıneas de recombinación Cuando un átomo ionizado se encuentra con un electrón libre, éste pueden, bajo las condiciones adecuadas, volver a combinarse para formar un ion una vez me- nos ionizado que el original, y es a esto a lo que se le llama recombinación. El electrón capturado dejará al nuevo ion en un cierto estado de excitación, del cual buscará alcanzar el estado base por medio de transiciones radiativas. Cada una de estas transiciones generará un fotón con enerǵıa espećıfica a la transición, las cuales están cuantizadas, generando aśı las ĺıneas que serán objeto de estudio. Estas transi- ciones son, en general, más débiles (menos intensas) que las prohibidas, y permiten estudiar distintos elementos con mayor facilidad, como lo son el He, C o incluso Mg. 2.2. Equilibrio de fotoionización La observación de nebulosas planetarias es posible debido al fenómeno de re-emisión generada en la nube de gas por la fotoionización producida por los fotones de su- ficiente enerǵıa emitidos por la estrella (o estrellas) central. Para poder plantear una descripción f́ısica, se asume la existencia de un estado estacionario, i.e. que las condiciones f́ısicas no cambian en el tiempo. Si se consideran dos fenómenos estre- chamente relacionados, la ionización y recombinación, un primer acercamiento a su descripción lleva a plantear un equilibrio local en cada punto de la nebulosa dado como un balance entre el número fotoionizaciones y el de recombinaciones. Para entender el razonamiento detrás del modelo empleado, resulta conveniente construir su estructura a partir del caso más sencillo e ir añadiendo grados de com- plejidad hasta obtener una descripción que podŕıa llamarse completa. Entonces, siguiendo el desarrollo del Caṕıtulo 2 de AGN 2, considérese primero el caso de una sola estrella central rodeada por una nube compuesta únicamente de H, para la cuál se puede plantear una ecuación de equilibrio de fotoionización dada por 10 2.2. EQUILIBRIO DE FOTOIONIZACIÓN n(H0) ∫ ∞ ν0 4πJν hν aν(H 0)dν = n(H0)Γ(H0) = nenpα(H 0, T ) [cm−3s−1], (2.1) donde ν0 es la frecuencia deionización del hidrógeno (ν0 = 3.29 × 1015 s−1, co- rrespondiente a una enerǵıa de 13.6 eV), Jν es la intensidad media de radiación en unidades de enerǵıa por tiempo por ángulo sólido por intervalo de frecuencia en el punto analizado, aν(H 0) la sección transversal de ionización de H para fotones de frecuencia ν (y por tanto mayor a ν0). Las cantidades n(H 0), ne y np corresponden respectivamente a las densidades de H neutro, electrones y protones, mientras que α(H0, T ) representa el coeficiente de recombinación a temperatura T . Haciendo un análisis rápido de la ecuación 2.1 se puede ver que Φ = 4πJν/hν es el número de fotones incidentes con enerǵıa ν por unidad de área, por unidad de tiempo, por unidad de frecuencia, y por tanto la integral Γ(H0) = ∫ ∞ ν0 Φνaν(H 0)dν representa el número de fotoionizaciones por átomo de H y por unidad de tiempo. Aśı, la Ecuación 2.1 iguala el número de ionizaciones (lado izquierdo) con el de recombinaciones (lado derecho) por elemento de volumen por unidad de tiempo. Como una primera aproximación, se supone que la intensidad media Jν es simple- mente la radiación emitida por la estrella central sin ser afectada en su trayectoria por fenómenos secundarios, y que sólo se ve reducida por dilución geométrica si- guiendo la ley del cuadrado inverso. Aśı, para una estrella de radio R, flujo πFν(0) y luminosidad Lν se tiene que 4πJν = R2 r2 πFν(0) = 4R2πFν(0) 4πr2 = Lν 4πr2 [erg cm−2 s−1 Hz−1]. (2.2) T́ıpicamente, el H de cualquier punto común en una nebulosa se encuentra casi com- pletamente ionizado debido a la intensidad del campo de radiaciones y las corres- pondientes secciones transversales. Para ver esto, considérese el ejemplo numérico mencionado en el Caṕıtulo 2 de AGN2: sea un punto con densidad de 10 átomos de H (e iones) por cm−3 a 5 pc de una estrella central tipo O7.5 con T∗ = 19700 K, valores para los cuales se pueden adoptar valores aproximados de Q(H0) = ∫ ∞ ν0 Lν hν dν ≈ 1× 1049 [fotones s−1], aν(H 0) ≈ 6× 10−18 [cm2],∫ ∞ ν0 Lν hν aν(H 0)dν ≈ 10−8 = τ−1ph [s−1], α(H0, T ) ≈ 4× 10−13 [cm3 s−1], con τph la vida media de un átomo neutro antes de ser ionizado. Tomando ξ como la fracción de H que queda neutro y considerando que por ser hidrógeno la cantidad 11 TEORÍA de electrones, aśı como la de hidrógeno ionizado es la misma, se puede escribir ne = np = n(H +) = (1 − ξ)n(H) = n(H) − ξn(H) = n(H) − n(H0) y de aqúı se encuentra que ξ ≈ 4× 10−4, es decir, el H está casi totalmente ionizado. Considérese ahora que el número de fotones emitidos por la estrella es finito, y por tanto existe un ĺımite en la cantidad de gas que pueden ionizar. Esto da lugar una forma de clasificar a las nebulosas planetarias de acuerdo al alcance de los fotones ionizantes de la estrella central bajo un par de etiquetas, y estas son acotadas por ionización (ionization bounded) y acotadas por densidad (density bounded). En el primero, todos los fotones ionizantes son absorbidos dentro de la nube de gas y ninguno logra escapar, dejando una cáscara externa de H neutro (pensando en una nebulosa compuesta únicamente de hidrógeno). En el segundo caso, por otro lado, todo el gas de la nube se encuentra completamente ionizado y permite que fotones ionizantes escapen. Éstas dos situaciones llevan a definir lo que es conocido como “esfera de Strömgren”, una esfera cuyo radio determina el alcance de los fotones ionizantes, y la cual puede ser de mayor o menor tamaño que la nube de gas, dependiendo de cómo se encuentra acotada y en algunos casos de su forma. En nebulosas planetarias acotadas por ionización resulta de interés conocer, además del radio de la esfera de Strömgren, el tamaño de la zona de transición entre la zona ionizada y la neutra (llamadas zona H+ y H0 respectivamente, en nubes de hidrógeno). Se estima que su espesor debe ser el mismo que el de un camino libre medio l de un fotón ionizante (l ≈ [n(H0)aν ]−1 cm). Aśı, para los mismos parámetros de antes y con ξ = 0.5 se tiene un espesor de d ≈ 1 n(H0)aν ≈ 0.1 pc, de modo que la zona de transición resulta ser delgada teniendo en cuenta el tamaño de la nube y el radio de Strömgren (el cuál se discutirá a detalle más adelante). 2.2.1. Fotoionización y recombinación de hidrógeno Los átomos que componen la nube se encuentran en diversos estados de excitación, los cuales son cuantizados y bien definidos. Considérese por ejemplo un átomo de H. Para que un cambio de estado de excitación ocurra, este necesita cumplir ciertas condiciones siendo una de las más importantes la regla de selección, i.e. ∆L = ±1 (L el momento angular). En la Figura 2.1 se muestra el diagrama de niveles de enerǵıa para un átomo de H neutro, donde cada estado se identifica con un nombre del tipo nL con n el número cuántico principal y L denotado en el formato S, P, D, F, ... (correspondientes a L = 0, 1, 2, 3, ... respectivamente). Todas las transiciones permitidas se muestran con ĺıneas sólidas. La presencia de niveles más estables que otros resulta como consecuencia de que no todas las transiciones ocurran con la misma probabilidad. Para analizar esto se emplea la cantidad AnL,n′L′ , conocida como el Coeficiente de Transición de Einstein, y que denota la probabilidad de transición espontánea entre el estado nL y el n′L′, que en el caso de los niveles de más baja enerǵıa de H va del orden de 104 a 108 s−1. Éste coeficiente está dado en unidades de s−1, la cual se puede interpretar como 12 2.2. EQUILIBRIO DE FOTOIONIZACIÓN la cantidad de veces que ocurre tal transición en 1 segundo, y por tal su inverso equivale al tiempo que el ion está en el estado nL antes de caer al n′L′. Aśı, la vida media de un estado de excitación determinado depende de todos los niveles a los cuales puede ocurrir una transición con sus respectivas probabilidades de transición espontanea, y está dada por τnL = 1∑ n′<n ∑ L′=L±1 AnL,n′L′ , (2.3) donde la suma del denominador contempla todas las posibles transiciones para un determinado estado sin recibir enerǵıa de una fuente externa, dando aśı tiempos de vida en estos estados excitados del orden de 10−4 a 10−8 s. La única transición mostrada que no sigue esta regla de selección es 2 2S → 1 2S que ocurre mediante la emisión de dos fotones con probabilidad 8.23 s−1, y por tanto vida media de 0.12 s, que comparando con la vida media de un átomo de H (τph ≈ 108 s) es extremadamente pequeña (en una nebulosa con estas condiciones). Aśı, se puede construir una aproximación nebular realizando una serie de consideraciones: Casi todo el H0 está en su estado base 1 2S. Por la ecuación de equilibrio, todas las ionizaciones del nivel base son seguidas de recombinación a cualquiera de los niveles. La recombinación a cualquier nivel excitado es seguida rápidamente de tran- siciones radiativas hacia el nivel base. E n er g ía [ eV ] n=5 n=4 n=3 n=22s 2p 3s 4s 5s 3p 4p 5p 3d 4d 5d 4f 5f 5g l=0 l=1 l=2 l=3 l=4 1s n=1 Figura 2.1: Diagrama de niveles de enerǵıa para H0. Considérese ahora el fenómeno de fotoionización. Dado que el electrón depende de la enerǵıa transportada por el fotón para escapar del átomo, no responderá de la misma forma ante uno muy energético que ante otro que tiene solo la cantidad justa de enerǵıa como para arrancarlo. Este comportamiento se ve descrito por la sección 13 TEORÍA transversal de fotoionización, que para átomos hidrogenoides de carga nuclear Z está dada por aν(Z) = A0 Z2 (ν1 ν )4 exp(4− [(4 tan−1 �)/�]) 1− exp(−2π/�) , (2.4) donde A0 = 29π 3e4 ( 1 137.0 ) πa20 = 6.30× 10−18 [cm2], � = √ ν ν1 − 1, hν1 = Z 2hν0 = Z 2 (13.6 eV). En la Figura 2.2 se muestra la dependencia de aν de la frecuencia para diversos átomos. Es importante destacar los fotones con frecuencia ligeramente mayor a la frecuencia de ionización serán mas propensos a ser capturados por el electrón a aquellos de frecuencia extremadamentegrande. Aśı, para H por ejemplo, un fotón de frecuencia 3.30×1015 s−1 (13.65 eV) tendrá mayor probabilidad de ser capturado (y por tanto, ionizar) que uno de frecuencia 2.00× 1016 s−1 (82.71 eV). 8 6 4 2 20 40 60 80 α ν [1 0 -1 8 c m 2 ] Energía [eV] H0 He0 He+ 13.6 24.6 Figura 2.2: Sección transversal de fotoionización para H0, He0 y He+. Una vez que los electrones se separan del átomo por la acción de un fotón de fre- cuencia ν, adquirirán una enerǵıa cinética dada por 1 2 mev 2 = h(ν − ν0). La ca- pacidad que estos tendrán para dispersarse mediante colisiones viene dada por su correspondiente sección transversal, la cual para una velocidad u es del orden de 14 2.2. EQUILIBRIO DE FOTOIONIZACIÓN 4π(e2/mu2)2 ≈ 10−13 cm2, gigantesca en comparación a cualquier otra sección trans- versal presente en la nebulosa. Dada la naturaleza de la fotoionización, los electrones liberados tienen una distribución inicial de enerǵıa que depende de Jνaν/hν. Sin em- bargo, la diferencia de magnitudes entre secciones transversales hace que una buena aproximación sea la distribución de enerǵıa de Maxwell-Boltzmann. De este modo, todos los procesos colisionales ocurren por cantidades definidas por la temperatura local definida por esa Maxwelliana. Si se considera la sección transversal de recombi- nación σn 2L(H 0, u) para el nivel n 2L del átomo de H neutro, se tiene un coeficiente de recombinación dado por αn 2L(H 0, T ) = ∫ ∞ 0 uσn 2L(H 0, u)f(u)du [cm3 s−1], (2.5) con f(u) la función de distribución de Maxwell-Boltzmann definida como f(u) = 4√ π ( m 2kT )3/2 u2 exp ( − m 2kt u2 ) . (2.6) Considerando que las secciones transversales vaŕıan de forma aproximada como u−2, la integral es proporcional a αn 2L(H 0, T ) ∝ ∫ ∞ 0 ( m 2kT )3/2 u exp ( −mu2 2kT ) du ∝ [( m 2kT )1/2 exp ( −mu2 2kT )]∞ 0 [cm3s−1] y por tanto αn 2L(H 0, T ) vaŕıa de forma aproximada como T−1/2. Recordando la aproximación nebular previamente descrita, todos los electrones cap- turados por recombinación caerán mediante transiciones radiativas al estado base. Se define aśı un coeficiente de recombinación total αA resultado de sumar las capturas a todos los niveles, dado por αA = ∑ n,L αn 2L(H 0, T ) = ∑ n n−1∑ L=0 αnL(H 0, T ) = ∑ n αn(H 0, T ) (2.7) con αn el coeficiente de recombinación sobre todos los niveles con número cuántico n. Considérese entonces el caso idealizado de una única estrella ionizando una nube estática de H. Se tiene entonces que la Ecuación 2.1 describe el equilibrio de ioniza- ción local. Para analizar la transferencia de radiación en un punto determinado, se define la ecuación dIν ds = −n(H0)aνIν + jν (2.8) 15 TEORÍA para radiación con frecuencia ν ≥ ν0, donde Iν/ds representa el cambio de la in- tensidad espećıfica de radiación en la superficie y jν corresponde al coeficiente de emisión local en unidades de enerǵıa por volumen por tiempo por ángulo solido por frecuencia. Una forma práctica de analizar el campo de radiación es considerando la contribución de la radiación estelar Iνs y la de radiación difusa (re-emisión por parte del gas) Iνd por separado, de modo que Iν = Iνs + Iνd. (2.9) Por otro lado, el efecto de la reducción del flujo tanto por la ley del cuadrado inverso como por absorción se puede describir con 4πJνs = πFνs(r) = πFνs(R) R2 r2 exp(−τν) [erg cm−2 s−1 Hz−1], (2.10) donde R corresponde al radio de la estrella, r la distancia a ésta, y τν la profundidad óptica a distancia r descrita por τν = ∫ r 0 n(H0, r′)aνdr ′, (2.11) que con ayuda de la Ecuación 2.4 se puede reescribir como τν(r) = aν aν0 τ0(r), (2.12) donde τ0 corresponde a la profundidad óptica en ν0. Considerando únicamente la radiación difusa, la ecuación de transferencia se trans- forma en dIν0 ds = −n(H0)aνIν0 + jν (2.13) y si se considera que kT � hν0, entonces la única fuente de radiación ionizante es la recaptura de electrones desde el continuo al estado base. El coeficiente de emisión para esta radiación para frecuencias mayores a la de ionización está dado por jν(T ) = 2hν3 c2 ( h2 2πmkT )3/2 aν exp [ −h(ν − ν0) kT ] npne [erg cm −2 s−1 Hz−1 sr−1], (2.14) 16 2.2. EQUILIBRIO DE FOTOIONIZACIÓN la cual presenta un pico evidente cuando ν = ν0. Aśı, el número total de fotones generados por recombinación al estado base están dados por la ecuación de equilibrio entre las emisiones en todas las direcciones y las recombinaciones, dado por 4π ∫ ∞ ν0 jν hν dν = npneα1(H 0, T ) [cm−3 s−1], (2.15) donde el coeficiente de recombinación al estado base es menor al coeficiente de recombinación promedio i.e. α1 = α1s < αA. Por esto, el campo difuso Jνd es menor al estelar Jνs en promedio, y aún más, en nubes ópticamente delgadas es posible despreciar a la radiación difusa dado que Jνd ≈ 0. Si la nebulosa es ópticamente gruesa, se puede hacer una primera aproximación suponiendo que está acotada por ionización y por tanto los fotones ionizantes no logran escapar. Entonces, todos los fotones del campo de radiación difusa seŕıan capturados en otra parte de la nebulosa, i.e. 4π ∫ V jν hν dV = 4π ∫ V n(H0) aνJνd hν dV (2.16) con V el volumen de toda la nebulosa. La aproximación on-the-spot, en la que los fotones son capturados inmediatamente después de haber sido emitidos, permite igualar los integrandos y notar aśı que Jνd = jν n(H0)aν . (2.17) Teniendo en cuenta que los fotones del campo de radiación difusa tienen ν ≈ ν0, la sección transversal en ésta región es grande (como se puede apreciar en la Figura 2.2), y por tal el camino libre medio antes de la absorción se vuelve pequeño. Debido a esto, la aproximación on-the-spot permite una buena primera descripción. Considerando la aproximación on-the-spot, se pueden usar las Ecuaciones 2.10 y 2.15 para reescribir a la Ecuación 2.1 como n(H0)R2 r2 ∫ ∞ ν0 πFν(R) hν aν exp(−τν)dν = npneαB(H0, T ), (2.18) donde el coeficiente de recombinación se define por αB(H 0, T ) = αA(H 0, T )− α1(H0, T ) = ∞∑ 2 αn(H 0, T ). (2.19) 17 TEORÍA Nótese que para cualquier distribución de temperatura T (r) y de densidad nH(r) = n(H 0, r) + np(r), es posible determinar tanto n(H0, r) como np(r) = ne(r) usando las Ecuaciones 2.12 y 2.19. Como ya se ha mencionado, la zona completamente ionizada y la neutra se encuen- tran separadas por una zona de transición de hidrógeno parcialmente ionizado, que representa una abrupta cáıda en la cantidad de H ionizado respecto a la cantidad total de éste, por lo que bien se puede hablar de un radio de Strömgren r1, y por tal resulta de interés conocer su valor. Re-escribiendo al Ecuación 2.12 como dτν dr = n(H0)aν y usando esta expresión en la Ecuación 2.19 para integrar sobre r se obtiene que∫ ∞ 0 npneαBr 2dr = R2 ∫ ∞ ν0 πFν(R) hν dν ∫ ∞ 0 d[− exp(−τν)] = R2 ∫ ∞ ν0 πFν(R) hν dν. Multiplicando ambos extremos de la igualdad por 4π, usando que por hipótesis np = ne ≈ n(H) con r < r1 y np = ne ≈ 0 cuando r > r1, y recordando la definición de Lν y Q(H 0) la expresión anterior se convierte en 4 3 πr31n 2 HαB = 4πR 2 ∫ ∞ ν0 πFν hν dν = ∫ ∞ ν0 Lν hν dν = Q(H0), de modo que el número de fotones ionizantes por unidad de tiempo está dado por Q(H0) = 4π 3 r31n 2 HαB. (2.20) Esta última expresión se puede interpretar como el balance entre la cantidad total de fotones ionizantes emitidos por la estrella y el número total de recombinaciones a niveles excitados dentro del volumen 4 3 πr31 i.e. la esfera de Strömgren. 2.2.2. Fotoionización de una nebulosa de hidrógeno y helio Ya que se ha entendido un poco el funcionamiento de una nebulosa compuesta úni- camente de hidrógeno, es posible aplicar conceptos similares considerando también la presencia del segundo elemento más abundante (en número) correspondiente al 10 % respecto al hidrógeno: el helio. Los potenciales de ionización del helio se encuentran por encima de los dehidrógeno, siendo de hν2 = 24.6 eV para He, mientras que el de He + es 54.4 eV. Aśı, todos los fotones con enerǵıa superior a 13.6 eV pueden ionizar a H mientras que todos aquellos con enerǵıa mayor a 23.6 eV pueden ionizar tanto a H como a He. 18 2.2. EQUILIBRIO DE FOTOIONIZACIÓN Para poder determinar qué tantos fotones interactúan con cada ion, resulta conve- niente recordar la sección transversal de fotoionización graficada en la Figura 2.2. Como ya se mencionó, los fotones con enerǵıa entre 13.6 eV y 24.6 eV podrán ser capturados únicamente por H. Aquellos con enerǵıa entre 24.6 eV y 54.4 eV serán capturados tanto por H como por He, sin embargo éste último tiene una mayor capacidad de captura de estos. En el caso de fotones con enerǵıa ligeramente por encima de 24.6 eV (frecuencia sobre ν2), la razón de fotones adquiridos por el H está dada por y = n(H0)aν2(H 0) n(H0)aν2(H 0) + n(He0)aν2(He 0) . Es importante notar que, dado que el coeficiente recombinación tiene un comporta- miento similar al de la Figura 2.2 (haciendo a grosso modo el cambio de frecuencia ν a velocidad u o temperatura T con correspondientes enerǵıas) gran parte de los fotones emitidos por la recombinación al estado base de He tendrán enerǵıa ligera- mente mayor a 24.6eV y por tal contribuirán tanto en la ionización de He como de H. La recombinación a niveles excitados de He, por otro lado, emitirá fotones con la capacidad de ionizar a H. Las recombinaciones a niveles excitados de He son distribuidos a tripletes y singletes de forma similar a los de hidrógeno, i.e. alrededor de 3/4 se van a los primeros y 1/4 a los segundos. Todas las capturas a tripletes llevan eventualmente a 2 3S, el cual a pesar de ser metaestable puede llegar mediante una transición prohibida por las leyes de selección a 1 1S emitiendo un fotón de 19.8 eV con probabilidad de transición de 1.26× 10−4 s−1, que compite con la excitación colisional a los singletes 2 1S y 2 1P o cuya probabilidad de ocurrir es mayor. Considerando que la tasa de transiciones por átomo es neq(2 3S, 2 1L) = ne ∫ ∞ 1 2 mu2=χ uσ(2 3S, 2 1L)f(u)du, entonces se define una densidad cŕıtica nc, correspondiente a aquella en la que tanto las transiciones colisionales como las radiativas ocurren con la misma probabilidad, y dada por nc(2 3S) = A(2 3S, 1 1S) q(2 3S, 2 1S) + q(2 3S, 2 1P o) (2.21) que adquiere los valores mostrados en la Tabla 2.1, consultada en AGN2. Aśı, con densidades ne << nc, el nivel 2 3S es despoblado por transición a 1 1S. En una nebulosa de alta densidad electrónica ne >> nc, por otro lado, la mayoŕıa de los átomos son transferidos por colisiones a los niveles 2 1S y 2 1P o antes de emitir un fotón. Entonces, recordando los valores de la Tabla 2.1, a 10000 T, para el caso de alta densidad se puede aproximar que el 0.83 de las transiciones llevan a 2 1S mientras que el 0.17 restante llevan a 2 1P o. Si se toman en cuenta las transiciones a 1 1S, las fracciones de antes se convierten en 0.78 y 0.16, respectivamente. Siguiendo un análisis simple como el mostrado en la página 30 de AGN2, es posible 19 TEORÍA T (K) q(2 3S, 2 1S) q(2 3S, 2 1P o) nc(cm −3) 6000 1.95× 10−8 2.34× 10−9 6.2× 103 8000 2.45× 10−8 3.64× 10−9 4.6× 103 10000 2.60× 10−8 5.92× 10−9 3.9× 103 15000 3.05× 10−8 7.83× 10−9 3.3× 103 20000 2.55× 10−8 9.23× 10−9 3.3× 103 25000 2.68× 10−8 9.81× 10−9 3.4× 103 Tabla 2.1: Valores de densidad cŕıtica de para 2 3S de He+ a distintas temperaturas, con q dadas en cm3 s−1 aproximar la fracción de fotones aprovechados en cada posible transición, y deter- minar aśı el comportamiento de los fotones ionizantes. Aśı, se tiene que en el ĺımite de baja densidad una fracción p = 0.96 de los fotones generados por recombinación de He+ son absorbidos on-the-spot, mientras que en el ĺımite de alta densidad ésta se reduce a p = 0.66 Aśı, aproximación on-the-spot, las ecuaciones de ionización se convierten en n(H0)R2 r2 ∫ ∞ ν0 πFν(R) hν aν(H 0) exp(−τν)dν + yn(He+)neα1(He0, T ) +pn(He+)neαB(He 0, T ) = npneαB(H 0, T ) (2.22) y n(He0)R2 r2 ∫ ∞ ν2 πFν(R) hν aν(He 0) exp(−τν)dν + (1− y)n(He+)neα1(He0, T ) = n(He+)neαA(H 0, T ), (2.23) donde dτν dr = n(H0)aν(H 0) cuando ν1 < ν < ν2, dτν dr = n(H0)aν(H 0) + n(He0)aν(He 0) cuando ν2 < ν, y ne = np + n(He +). Como una primera aproximación del tamaño r2 de la zona de He +, se puede despre- ciar la absorción por H en la zona de He+ i.e. y = 0 y n(H0) = n(H0, r > r2) en esta región. Entonces, de forma análoga al caso donde solo se teńıa hidrógeno, se obtiene Q(He0) = ∫ ∞ ν2 Lν hν dν = 4π 3 r32n(He +)neαB(He 0). (2.24) 20 2.2. EQUILIBRIO DE FOTOIONIZACIÓN Además, en estas condiciones se tiene p ≈ 1, por lo que la absorción por He no reduce de forma considerable los fotones que pueden ionizar a H, entonces Q(H0) = ∫ ∞ ν0 Lν hν dν = 4π 3 r31n(H +)neαB(H 0). (2.25) Si se considera ahora que la zona de He+ es mucho más pequeña que la de H+, entonces la mayoŕıa de los electrones de la zona de H+ vienen de la ionización de H, mientras que los de la zona de He+ provienen tanto de la ionización de H como de He, de modo que ( r1 r2 )3 = Q(H0) Q(He0) n(He) n(H) ( 1 + n(He) n(H) ) αB(He 0) αB(H0) si r2 < r1, (2.26) donde se puede apreciar el efecto de la abundancia relativa de helio, y la diferencia entre los tamaños de las zonas ionizadas. Por ejemplo, un cambio de abundancia de n(He)/n(H) = 0.15 a n(He)/n(H) = 0.10 se ve reflejado en un crecimiento de alrededor del 16 % del cociente r2/r1. Siguiendo un desarrollo similar, es posible tomar en consideración ahora a He+ dentro de la estructura de emisión, y repetir los cálculos anteriores. Es importante recordar que el modelo descrito corresponde a la aproximación on-the-spot, por lo que debe de usarse solo como una primera aproximación a la distribución de ionización y temperatura en la nebulosa. 2.2.3. Fotoionización de Elementos Pesados Ya que se tiene una idea del razonamiento general, es posible involucrar elementos más pesados, como O, C, Ne, N, y otros, cuyas cantidades son menores que 10−3 la de H (en número). Análogo a lo descrito previamente, para un elemento X en estado de ionización i, se describe el equilibrio de ionización mediante n(X i+) ∫ ∞ νi 4πJν hν aν(X i+)dν = n(X(i+1)+)neαG(X i+, T ) (2.27) donde νi es el potencial de ionización, y αG(X i+, T ) el coeficiente de recombinación total al estado base de X(i+1)+ a todos los niveles de X i+. Debido a la baja presencia de los elementos más pesados (en relación a la de hidrógeno y helio), éstos no contribuyen de manera significativa en el campo de radiación difusa, y por tal se pueden despreciar en la intensidad media Jν , siendo las únicas contribuciones relevantes las de H, He y He+. La consideración de elementos pesados afecta ligeramente a la profundidad óptica, pero para frecuencias bajas esta se puede volver importante. Para tomar en cuenta 21 TEORÍA su contribución, basta con realizar una pequeña modificación a las ecuaciones que se hab́ıan encontrado para los sistemas más simples, con lo que se tiene dτν dr = n(H0)aν(H 0) + ∑ X,i n(X i+)aν(X i+) con ν0 < ν < ν2 (2.28) y dτν dr = n(H0)aν(H 0) + n(He0)aν(He 0) + ∑ X,i n(X i+)aν(X i+) con ν2 < ν. (2.29) Fuera de estas consideraciones, hay una serie de fenómenos asociados a los iones más complejos (como las cáscaras de carga alrededor el ion y la separación de los coeficientes de recombinación en sus partes radiativas y dielectrónicas) en los que no se profundizará. Esto debido a que el propósito de éste trabajo de tesis está en- focado a la parte “práctica”, y no tiene como finalidad realizar un desarrollo teórico profundo. 2.3. Equilibrio térmico La temperatura cinética de la distribución de velocidades en una nebulosa estacio- naria se encuentra determinada por el calentamiento por medio de fotoionizaciones, equivalente a la ganancia de electroneslibres, y el enfriamiento por la pérdida de estos y/o la disminución de sus enerǵıas cinéticas. Se definen aśı los términos G y L como la ganancia y pérdida, respectivamente. La fotoionización representa la fuente principal de electrones libres dentro de la nebulosa, pues es uno de los mecanismos dominantes en ésta. Para que una fotoio- nización ocurra, es necesario que llegue un fotón con enerǵıa (hν) mayor al de la brecha de ionización (hν0). La diferencia de enerǵıa será transferida al electrón libre que se genera en el proceso siguiendo la ley de conservación de la enerǵıa. Siguiendo el tratamiento descrito en el Caṕıtulo 3 de AGN2 para una nebulosa com- puesta únicamente de hidrógeno, los electrones creados por fotoionización tendrán una enerǵıa cinética 1 2 meu 2 = h(ν − ν0), (2.30) mientras que la ganancia de electrones por fotoionizaciones se describe mediante G(H) = n(H0) ∫ ∞ ν0 4πJν hν h(ν − ν0)aν(H0)dν [erg cm−3 s−1], (2.31) 22 2.3. EQUILIBRIO TÉRMICO ecuación que resulta familiar en este punto, y que describe la cantidad total de enerǵıa ganada por fotoionizaciones por volumen por segundo. Como mecanismos de pérdida, se encuentran varios fenómenos cuya relevancia de- pende de las condiciones generales de la nebulosa. La fuente más obvia de pérdida es la recombinación, dado que cada vez que ocurre este fenómeno un electrón libre se asocia a un ion junto con su enerǵıa cinética. Para tomar en cuenta toda la pérdida de enerǵıa ocasionada por la recombinación a cualquiera de los niveles, y para un electrón con cualquier enerǵıa cinética, se define βnL(H 0, T ) = 1 kT ∫ ∞ 0 uσnL(H 0, T ) 1 2 u2f(u)du, (2.32) cuya forma es similar al coeficiente de recombinación αnL(H 0, T ) previamente men- cionado. A partir de éste, se puede calcular un coeficiente de recombinación efectivo para pérdida de enerǵıa con βA(H 0, T ) = ∞∑ n=1 n−1∑ L=0 βnL(H 0, T ) [cm3 s−1], (2.33) y por tal las pérdidas por recombinación se pueden describir con LR = nenpkTβA(H 0, T ) [erg cm−3 s−1] (2.34) que también debe resultar familiar. La radiación libre-libre (también conocida como free-free o Bremsstrahlung), aunque no tan importante como otras, es un factor de pérdidas que debe ser considerado debido a que siempre puede ocurrir. Este fenómeno consiste en el frenado repentino de un electrón, manteniéndose libre antes y después de esta aceleración, resultando en la disminución de su enerǵıa cinética y la emisión de un electrón con frecuencia correspondiente a este cambio de enerǵıa. Lo anterior es equivalente a 1 2 meu 2 1 = 1 2 meu 2 2 + hν (2.35) donde u1 > u2. Cabe destacar que debido a que la enerǵıa del electrón no está dis- cretizada por ningún mecanismo, la radiación libre-libre da lugar a un espectro continuo. La fuente de enfriamiento más importante es la excitación colisional de niveles de baja enerǵıa de iones comunes, pues con cada excitación un electrón libre le transfie- re parte de su enerǵıa cinética al ion con el que interactuó. Recordando la Ecuación 2.35, ∆E es la enerǵıa correspondiente el potencial de excitación entre los dos ni- veles por los cuales pasa el ion. Esta fuente de enfriamiento resulta particularmente importante debido a que la enerǵıa promedio de los electrones (kT ) es del orden de los potenciales de excitación (0.86 eV con T = 10, 000 K). En la Tabla 2.2 se muestran las probabilidades de transición para unas cuantas ĺıneas de algunos de 23 TEORÍA los iones más comunes, y que por tal contribuyen más en el enfriamiento, junto con la longitud de onda correspondiente. Ion Transición A(s−1) λ( Å) O+ 4S3/2 →2 D5/2 3.6× 10−5 3729 O+ 4S3/2 →2 D3/2 1.5× 10−5 3726 O2+ 3P 02 →1 D2 2.0× 10−2 5007 N+ 3P 01 →1 D2 9.8× 10−4 6548 Tabla 2.2: Ejemplo de probabilidades de transición y longitudes de onda correspondien- tes. Un ion excitado no se mantendrá indefinidamente en ese estado, pues encuentra la estabilidad en los niveles de más baja enerǵıa. Debido a esto, una serie de transi- ciones ocurren en la que cae a niveles de excitación cada vez más bajos, emitiendo en cada proceso un fotón de determinada frecuencia, hasta alcanzar el estado ba- se. Considerando aún una nebulosa compuesta únicamente por hidrógeno, desde el estado base 1 2S, domina la excitación al nivel 2 2P 0 seguida de la emisión de un fotón Lα de enerǵıa hν = 10.2eV al volver al estado base, seguida de la transición a 2 2S que genera un par de fotones de enerǵıa hνa+hνb = 10.2eV (y aśı un continuo) durante la des-excitación 2 2S → 1 2S. 24 Caṕıtulo 3 Interpretación de las observaciones 3.1. Mecanismos de emisión Siguiendo el Caṕıtulo 4 de AGN2, a continuación se describirán brevemente los me- canismos involucrados en las diversas formas de emisión. Debido a que el origen del continuo de radiación ya se ha explicado con anterioridad, no se volverá a mencionar en esta sección. En cambio, se explicará un poco más sobre las ĺıneas con las que se trabajará más adelante: ĺıneas de recombinación y de excitación colisional. 3.1.1. Interpretación de las observaciones de ĺıneas ópticas de recombinación Como ya se ha mencionado anteriormente, las ĺıneas de recombinación aparecen cuando un átomo ionizado captura un electrón libre, el cual deja al ion con un cierto estado de excitación desde el cual decae al estado base por medio de transiciones radiativas. Se usan para estudiar principalmente a los iones de H y He debido a la gran intensidad de sus ĺıneas. Sin embargo, un estudio similar se puede hacer para iones más pesados (como C, N y O), con la desventaja de que sus respectivas ĺıneas de recombinación son muy débiles. Para estudiar una ĺınea de emisión particular, es necesario analizar las formas en que el ion puede visitar los niveles de enerǵıa involucrados en la transición corres- pondiente. Si se considera el caso de baja densidad, despreciando aśı el efecto de las colisiones, para un nivel nL se tiene una ecuación de equilibrio npneαnL(T ) + ∞∑ n′>n ∑ L′ nn′L′An′L′,nL = nnL n−1∑ n′′=1 ∑ L′′ AnL,n′′L′′ , (3.1) donde el lado izquierdo describe los mecanismos con los que el nuevo ion puede visitar el nivel nL, y el derecho las formas en que lo puede dejar. En esta expresión, nnL corresponde a la población relativa del ion en ese nivel i.e. indica qué fracción 25 INTERPRETACIÓN DE LAS OBSERVACIONES del ion se encuentra en ese nivel bajo una situación de equilibrio, de lo cual se hablará con más detalle en la Subsección 3.1.3. El nivel de ocupación de cada nivel depende de su peso estad́ıstico, dado por 2L+1, por lo que la población de un nivel se puede describir con nnL = nnLnpne(2L+ 1)bnL ( h2 2πmkT )3/2 exp(Xn/kT ), (3.2) donde Xn es el potencial de ionización del nivel nL, y bnL es un factor que generaliza la ecuación, y cuyo valor es bnL = 1 en el equilibrio termodinámico. Se puede determinar que el coeficiente de emisión está dado por jnn′ = hνnn′ 4π npneα eff nn′ = hνnn′ 4π n−1∑ L=0 ∑ L′=L±1 nnLAnL,n′L′ , (3.3) donde αeffnn′ es el coeficiente de recombinación efectivo, el cual ya considera todos los posibles caminos con los que se podŕıa generar la transición nn′ a partir de recombinaciones, y cuyos valores para cada ĺınea se pueden consultar en diversas referencias. Para nebulosas de mayor densidad electrónica la des-excitación colisional se vuelve importante, por lo que es necesario considerarla dentro de la ecuación de equilibrio de cada nivel. Para esto, solo hay que recordar que una transición está dada por nnLnpqnL,n′L′ (para una nebulosa de solo hidrógeno) por qnL,n′L′(T ) = ∫ ∞ 0 uσ(nL→ n′L′)f(u)du [cm3 s−1], (3.4) de modo que considerando las reglas de selección, la Ecuación 3.1 se convierte en npneαnL(T ) + ∞∑ n′>n ∑ L′=L±1 nn′L′An′L′,nL + ∑ L′=L±1 nn′L′npqnL′,nL = nnL n−1∑ n′′=n0 ∑ L′′=L±1 AnL,n′′L′′ + ∑ L′′=L±1 nn′L′npqnL,nL′′ (3.5) donde n0 vale1 para el caso A (donde todos los fotones emitidos escapan de la nebulosa) y 2 para el caso B (donde todos los fotones son re-capturados dentro de la nebulosa), y se desarrolla de forma similar al caso ya mostrado. El análisis bajo estas condiciones resulta particularmente importante para H y He, aunque para iones más pesados estas no tienen un efecto significativo. Una descripción más detallada sobre el caso de los elementos más pesados se muestra en la Subsección 3.3.1. 26 3.1. MECANISMOS DE EMISIÓN 3.1.2. Interpretación de las observaciones de ĺıneas prohibi- das Contrario al análisis que se ha desarrollado para ĺıneas de excitación, se partirá pri- mero de un caso de alta densidad (ne >> nc) de modo que las des-excitaciones por transición espontanea se vuelven despreciables respecto a las colisionales. Entonces, los principales mecanismos para reducir la población de 2 3S son transiciones coli- sionales a 2 1S y a 2 1P 0. Aśı, se puede definir a la ecuación de equilibrio entre las recombinaciones al nivel 2 3S y las des-excitaciones a 2 3S como nen(He +)αB(He 0, n3L) = nen(2 3S)[q2 3S,2 1S + q2 3S,2 1P 0 ], (3.6) de donde n(2 3S) = n(He+) q2 3S,2 1S + q2 3S,2 1P 0 αB(He 0, n3L). (3.7) Entonces, para 2 3P 0, se tiene nen(2 3S)q2 3S,2 3P 0 = nen(He +)q2 3S,2 3P 0 q2 3S,2 1S + q2 3S,2 1P 0 αB(He 0, n3L). (3.8) Para considerar un caso de menor densidad en que tanto las transiciones espontáneas como la des-excitación compiten, se puede realizar un proceso similar tras modificar la ecuación de equilibrio. Es importante notar que el helio se analiza únicamente mediante ĺıneas de recombi- nación. Para iones más complejos, por otro lado, se presentan menores potenciales de ionización con mayores secciones transversales, lo que aumenta considerablemen- te la intensidad de sus ĺıneas de emisión. Un caso particular de estos es O2+, que emite una de las ĺıneas más intensas de todo el espectro: [O III] λ5007. Para estos iones, se puede desarrollar un análisis similar considerando todos sus niveles en la ecuación de equilibrio y encontrando sus respectivas poblaciones. El interés de estudiar las ĺıneas prohibidas surge de la gran cantidad de información que contienen. Empleándolas de la forma correcta, permiten determinar la abundan- cia qúımica de un ion, aśı como los valores de temperatura y densidad electrónica de la nebulosa. 3.1.3. Poblaciones relativas de los distintos niveles de exci- tación Previamente, se ha hablado de las poblaciones de los distintos niveles de excitación de un ion, pero no se han descrito claramente. La población de un nivel corresponde 27 INTERPRETACIÓN DE LAS OBSERVACIONES a la fracción del ion que se encuentra en ese estado de excitación, y como se ha visto es fundamental para determinar la tasa de emisión. Para estudiar las pobla- ciones de un ion particular, se considera que el ion se compone solo de unos cuantos niveles iniciando en el estado base, suponiendo que los electrones libres no son lo suficientemente energéticos como para obligarlo a visitar los niveles superiores (no contemplados en los niveles estudiados) con regularidad, y por tal sus efectos sobre los niveles de interés son despreciables. La selección de la cantidad de niveles de- pende en gran medida del ion y suele ser obvia, pues tienden a tener unos cuantos niveles a bajas enerǵıas, los cuales son seguidos por una gran brecha energética para alcanzar el siguiente nivel de excitación. Sin embargo, hay ocasiones en que el átomo es muy complejo (como en el caso de Fe) por lo que tienen una gran cantidad de niveles a bajas enerǵıas, de modo que sólo se estudian solo unos cuantos a la vez a condición de perder precisión. Considérese por ejemplo un ion compuesto únicamente por dos niveles, 1 y 2 (i.e. sólo se conforma por el estado base y un estado excitado), con poblaciones n1 y n2 respectivamente, las cuales cumplen que n1 + n2 = 1. (3.9) Entre estos dos niveles se tiene un coeficiente de colisión σ12 que se puede expresar en función de las fuerzas de oscilador (o colisionales) Ω(1, 2), de la velocidad u de los electrones libres y de los pesos estad́ısticos ωi de cada nivel por medio de σ12(u) = πh2Ω(1, 2) m2eu 2ω1 con 1 2 meu 2 > χ. (3.10) En dos niveles, las poblaciones quedan definidas tanto por la tasa de excitación y des-excitación colisionales (ambas por unidad de tiempo por unidad de volumen), neq12 y neq21, como por el coeficiente de transición espontánea A21. Entonces, la ecuación de equilibrio entre los dos niveles se encuentra definido por n1neq12 = n2neq21 + n2A21, (3.11) de donde se obtiene inmediatamente que n2 n1 = neq12 neq21 + A21 = neq12 A21 1 1 + neq21 A21 y que junto a la Ecuación 3.9 se reduce a n2 = neq21 + A21 neq21 + A21 + neq12 , (3.12a) 28 3.1. MECANISMOS DE EMISIÓN n1 = 1− n2 = neq12 neq21 + A21 + neq12 . (3.12b) Si se consideran ahora un ion de 3 niveles, las poblaciones cumpliŕıan n1 + n2 + n3 = 1, (3.13) mientras que el sistema de ecuaciones adquiriŕıa la forma n1neq13 + n2neq23 = n3neq31 + n3A31 + n3neq32 + n3A32, (3.14a) n1neq12 + n3neq32 + n3A32 = n2neq21 + n2A21 + n2neq23. (3.14b) Resulta útil notar que tanto las ecuaciones para 2 y 3 niveles se pueden reescribir como las poblaciones ni multiplicadas por un factor B e igualadas a 0, i.e. en el caso de 3 niveles se tiene n1B1 + n2B2 + n3B3 = 0, (3.15) lo cual resulta particularmente útil al resolver un sistema N niveles, de modo que se reduce a resolver un sistema de ecuaciones lineales, que junto a la expresión de la suma de poblaciones n1 + n2 + · · ·+ nN = 1 forman un sistema de N expresiones con N incógnitas, lo que se traduce a una matriz del tipo B1,1 · · · B1,N ... . . . ... BN−1,1 · · · BN−1,N 1 · · · 1 n1 ... nN−1 nN = 0 ... 0 1 (3.16) donde para el sistema de 3 niveles de antes se tiene B1,1 = neq13 = A, B1,2 = neq23 = B, B1,3 = −neq31 − A31 − neq32 − A32 = C, B2,1 = neq12 = D, B2,2 = −neq21 − A21 − neq23 = E y B2,3 = neq32 + A32 = F . Entonces, para resolver este sistema se tiene A B CD E F 1 1 1 → 1 B/A C/AD E F 1 1 1 → 1 B/A C/A0 E −DB/A F −DC/A 0 1−B/A 1− C/A → 1 B/A C/A0 1 (F −DC/A)/(E −DB/A) 0 1−B/A 1− C/A → 29 INTERPRETACIÓN DE LAS OBSERVACIONES 1 0 C/A− (B/A)(F −DC/A) E −DB/A 0 1 F −DC/A E −DB/A 0 0 1− C/A− (1−B/A)(F −DC/A) E −DB/A . Nótese que, aunque el sistema no es homogéneo, lo anterior es válido debido a que el último renglón (correspondiente a la ecuación no-homogénea) no se usó para modificar el resto de las ecuaciones. Entonces, el sistema original de ecuaciones se reduce a n1 + n3[C/A− (B/A)(F −DC/A)/(E −DB/A)] = 0, n2 + n3[(F −DC/A)/(E −DB/A)] = 0, n3[1− C/A− (1−B/A)(F −DC/A)/(E −DB/A)] = 1; de modo que las poblaciones son de la forma n3 = AE −BD AE − AF −BD +BF + CD − CE , (3.17a) n1 = BF − CE AE − AF −BD +BF + CD − CE , (3.17b) n2 = CD − AF AE − AF −BD +BF + CD − CE , (3.17c) donde solo es necesario sustituir los valores de A, B, C, D, E y F para calcular los valores numéricos de n1, n2 y n3. Cabe recordar que estos 6 parámetros NO son constantes, pues tienen una cierta dependencia con la temperatura y densidad electrónica. Para ver esto, solo hay que recordar que todos estos factores dependen expĺıcitamente de ne, mientras que qij tiene la forma qij = 8.629× 10−6 1 T 1/2 Υ(i, j) ωi [s−1], (3.18) con Υ(1, 2) el promedio de Ω(1, 2) sobre todas las velocidades i.e. Υ(1, 2) = ∫ ∞ 0 Ω(1, 2;E) exp(−E/kT )d(E/kT ). (3.19) Para resolver sistemas con un número mayor de niveles, se aplica el mismo principio. Todo se reduce a plantear las ecuaciones de equilibrio para cada nivel y resolver el sistema. Sin embargo, conforme el número de niveles aumenta, la expresión para la ocupación de cada nivel se vuelve cada vez más complicada, lo que hace que su manejo no sea amigable (lo cual ya se puede ver en las ecuaciones 3.17). Por 303.2. DETERMINACIÓN DE LA TEMPERATURA Y DENSIDAD ELECTRÓNICA tal, se usa la ayuda de algún programa computacional para determinar los valores numéricos, sin necesariamente obtener la solución general para cada nivel. Tras conocer la población de los niveles analizados, es posible determinar la inten- sidad de una ĺınea particular en función de la temperatura y densidad. Para esto, hay que recordar que la emisión de una ĺınea (correspondiente a la transición i→ j) pueda ocurrir, es necesario que el ion Xa+ se encuentre en el estado de excitación i, lo cual ya se encuentra considerado en qij(T ). Entonces, se tiene que el coeficiente de emisión está dado por 4πjijλ = n(X a+)nehνijqij(T ) (3.20) y aśı, la intensidad de la ĺınea seŕıa proporcional al coeficiente de emisión Iλij ∝ jij (3.21) en un factor que depende de las condiciones de observación y arreglo del sistema de detección, el cuál no cambia entre mediciones realizadas bajo las mismas condiciones. 3.2. Determinación de la temperatura y densidad electrónica La intensidad de una ĺınea de emisión particular depende directamente de la pobla- ción de un ion en un determinado estado de excitación, y por tal depende tanto de la temperatura como de la densidad de los electrones libres. Aśı, es posible determinar el valor de estos dos parámetros electrónicos comparando pares de ĺıneas de emisión del mismo ion. A continuación se explica un poco del método de selección de estas ĺıneas. 3.2.1. Ĺıneas prohibidas sensibles a la temperatura Considérese un par de ĺıneas de emisión de un mismo ion generadas por transicio- nes con potenciales de excitación muy diferentes entre si. Como la enerǵıa necesaria para excitar al ion proviene de la enerǵıa cinética de los electrones libres, y la dis- tribución de esta depende de Te, la gran brecha energética hace que la temperatura electrónica tenga un efecto importante sobre la frecuencia con que ocurre cada una de las transiciones (y aśı, sobre la intensidad de cada ĺınea). En la Figura 3.1 se representan las transiciones generadoras de las ĺıneas usadas en el diagnóstico dado por [O III](λ4959 +λ5007)/λ4363 y [N II](λ6548 +λ6584)/λ5754, expresadas en un sistema de 5 niveles. Supóngase un caso en el que la densidad se encuentra muy por debajo de la den- sidad cŕıtica, de modo que las des-excitaciones colisionales son despreciables, para 31 INTERPRETACIÓN DE LAS OBSERVACIONES N IIO III 1D 2 3P 0,1,2 λ5754 1S 0 λ6548 λ6584 1D 2 3P 0,1,2 λ4363 1S 0 λ4959 λ5007 122 μm 205 μm λ2331 Figura 3.1: Diagrama de enerǵıas de O+2 y O+ (configuración electrónica 2p1), donde se muestran las ĺıneas empleadas en el diagnóstico. Transición λ( Å) A(s−1) 1S0 →1 D2 4363 1.6 1S0 →3 P2 2331 6.1× 10−4 1S0 →3 P1 2321 2.3× 10−1 1D2 →3 P2 5007 2.0× 10−2 1D2 →3 P1 4959 6.8× 10−3 1D2 →3 P0 4931 1.7× 10−6 Tabla 3.1: Probabilidades de transición espontanea en O+2. las transiciones de O+2 de la Figura 3.1 descritas en la Tabla 3.1. Como primer acercamiento, se pueden considerar los niveles 1S, 1D y 3P sin las subdivisiones energéticas, y por tal el modelo de 3 niveles que se ha construido antes se puede aplicar para obtener las poblaciones. Un gran problema a este punto es que se desconoce tanto la constante de propor- cionalidad previamente mencionada como la densidad del elemento, a los cuales la intensidad es directamente proporcional. Debido a esto, se dividen ambas intensi- dades entre śı de modo que estas dependencias desaparezcan. Tras esto, se pueden tomar en consideración los subniveles 0, 1 y 2 de 3P , tomando como la frecuencia del fotón al promedio de las transiciones individuales, pesadas por sus respectivos coeficientes de transición espontánea. Como se puede apreciar en la Tabla 3.1, las ĺıneas λ5007, λ4959 y λ4931 son generadas como transiciones del nivel 1D2 a sub- niveles de 3P , pero dada la relativamente baja probabilidad de la transición a 3P0 la ĺınea λ4931 es muy débil y por tal se puede ignorar en el análisis. Considerando todo esto, y sustituyendo los parámetros atómicos necesarios, es posible escribir el cociente de las intensidades en función de la temperatura y densidad. Aunque la descripción anterior es matemáticamente correcta, no es completamente clara en el sentido de entender qué está pasando realmente en el ion. Para explicar más sobre esto, se tomará la justificación alterna mencionada en AGN2. Primero hay que tomar en cuenta lo que ya se mencionó sobre las transiciones de 1D a 3P , con particular énfasis en la baja probabilidad de transición hacia 3P0. La des-excitación de 1S0 puede darse por la transición a 1D2 (λ4363) o 3P1 (λ2321) 32 3.2. DETERMINACIÓN DE LA TEMPERATURA Y DENSIDAD ELECTRÓNICA (a 3P1 se puede ignorar debido a su relativamente baja probabilidad de ocurrir), por lo que la fracción de fotones emitidos en λ4363 es fλ4364 = A(1S,1D) A(1S,1D) + A(1S,3 P ) . Por otro lado, hay que notar que la transición 1S →1 D puede ser seguida de una transición al 3P y por tal contribuir tanto en λ5007 como en λ4959. Sin embargo, la probabilidad de que ésta ocurra es tan baja que puede ser ignorada. Entonces, se tiene que el cociente de intensidades está dado por jλ4959 + jλ5007 jλ4363 = Υ(3P,1D) Υ(3P,1 S) [ A(1S,1D) + A(1S,3 P ) A(1S,1D) ] ν̄(3P,1D) ν(1D,1 S) exp(∆E/kT ), (3.22) con ν̄ el promedio de las frecuencias pesadas por sus probabilidades de transición i.e. ν̄(3P,1D) = A(1D2, 3 P2)ν(λ5007) + A( 1D2, 3 P1)ν(λ4959) A(1D2,3 P2) + A(1D2,3 P1) . (3.23) A partir de esta penúltima expresión, solo hay que sustituir los parámetros atómicos que se pueden consultar en tablas para llegar a una expresión del tipo jλ4959 + jλ5007 jλ4363 = 7.90 exp(3.29× 104/T ) 1 + 4.5× 10−4neT−1/2 , (3.24) donde se puede apreciar el bajo efecto de la densidad, respecto a la temperatura, sobre la relación de intensidades. Cabe recordar que este desarrollo tiene como base el suponer que la densidad electrónica es baja. Para mayores densidades, se realiza un análisis similar, pero considerando ahora que la des-excitación colisional tiene un efecto apreciable sobre el mecanismo de emisión. 3.2.2. Ĺıneas prohibidas sensibles a la densidad Considérese ahora un par de transiciones de un mismo ion con enerǵıas de excitación muy similares (y por tanto corresponden a fotones de longitud de onda muy cercana entre śı) pero distintos coeficientes de des-excitación colisional. Debido a la cercańıa entre longitudes de onda se comportan prácticamente de la misma forma ante la enerǵıa cinética de los electrones libres (y por tanto, no muestran gran diferencia de comportamiento respecto a Te). Sin embargo, la diferencia en los coeficientes de des-excitación se volverá fuertemente dependiente de ne pues los electrones son res- ponsables de la transición. En la Figura 3.2 se muestran los diagramas de transición 33 INTERPRETACIÓN DE LAS OBSERVACIONES O II S II 2P 1/2,3/2 2D 3/2,5/2 4S 3/2 4S 3/2 2D 5/2,3/2 2P 3/2,1/2 λ7320 λ7330 λ3729 λ7326 λ6716 λ6731 λ10320 λ10337 λ10370 λ10286 λ7331 λ7319 Figura 3.2: Diagrama de enerǵıas de O+ y S+ (configuración electrónica 2p2), donde se muestran las ĺıneas empleadas en el diagnóstico. electrónica para un conjunto de ĺıneas comúnmente usado, [O II]λ3726/3729 y [S II]λ6731/6716. Estos iones se pueden analizar considerando 3 o 5 niveles, siendo 3 lo más común debido a su casi nula dependencia de la temperatura. Aśı, solo se suelen considerar los niveles 4S3/2, 2D5/2 y 2D3/2, dejando a 2P fuera del análisis. El procedimiento es exactamente el mismo al que se desarrolló previamente, de modo que a partir de la expresión 3.17 se pueden determinar las poblaciones, y posteriormente los coeficientes de emisión. Aśı, considerando solo los primeros tes niveles de O+, se resolveŕıa un sistema de 3 ecuaciones como el que ya se ha mostrado antes, con lo que se obtiene que el cociente del
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