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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO POSGRADO EN ASTROFÍSICA ASTROFÍSICA TEÓRICA ANISOTROPÍA DE CENTROIDES DE VELOCIDAD Y EL IMPACTO DE LOS DIFERENTES MODOS MHD EN EL MEDIO INTERESTELAR TURBULENTO TESIS QUE PARA OPTAR POR EL GRADO DE: MAESTRO EN CIENCIAS (ASTROFÍSICA) PRESENTA: DAVID HERNÁNDEZ PADILLA TUTOR: DR. JOSÉ ALEJANDRO ESQUIVEL SALAZAR INSTITUTO DE CIENCIAS NUCLEARES CIUDAD UNIVERSITARIA, CD. MX., ENERO DE 2018 UNAM – Dirección General de Bibliotecas Tesis Digitales Restricciones de uso DERECHOS RESERVADOS © PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL Todo el material contenido en esta tesis esta protegido por la Ley Federal del Derecho de Autor (LFDA) de los Estados Unidos Mexicanos (México). El uso de imágenes, fragmentos de videos, y demás material que sea objeto de protección de los derechos de autor, será exclusivamente para fines educativos e informativos y deberá citar la fuente donde la obtuvo mencionando el autor o autores. Cualquier uso distinto como el lucro, reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el respectivo titular de los Derechos de Autor. II III «When I meet God, I am going to ask him two questions: Why relativity? And why turbulence? I really believe he will have an answer for the first.» Werner Karl Heisenberg V Agradecimientos Te doy gracias Dios por haberme permitido concluir satisfactoriamente este trabajo, que a mis escasas luces he realizado con todo mi esfuerzo y dedicación. A mis padres, David y María Carmen, por su apoyo incondicional y su compresión en todo momento. También a mis hermanos Aldo y Alejandro, que de una u otra manera pusieron su granito de arena en mi formación y en este trabajo. De igual manera, mi más grande muestra de agradecimiento a las familias Jáuregüi Padilla, Villagran Padilla y Hernández Aceves. A mi asesor Alejandro Esquivel, por guiarme a lo largo de la maestría y de esta tesis y por compartir conmigo esta experiencia académica. Al grupo de Astroplasmas quienes me brindaron su amistad y compañerismo a lo largo de esta maestría. A Anayeli, Ema y Daniel, que les ha tocado vivir toda esta travisía y también mis berrinches y momentos de mal humor que todo este trabajo me produjo. A Manolo, que a pesar de la distancia, me ha apoyado con su oración y recuerdo. Gracias, al Instituto de Ciencias Nucleares y al Posgrado en Astrofísica y a todos los profesores que intervinieron en mi formación. A todas las personas que voluntaria o involuntariamente participaron en mi formación académica y en la realización este trabajo y que no he mencionado en estas páginas, pero que están presentes en mi memoria: ¡GRACIAS! VII Índice general Agradecimientos V Resumen IX 1. Turbulencia 1 1.1. Naturaleza y características de la turbulencia . . . . . . . . . . 1 1.1.1. Número de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2. Características generales de los flujos turbulentos . . . 3 1.1.3. Origen de la turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Herramientas estadísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1. Función de Correlación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2. Función de Estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3. Espectro de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Turbulencia Homogénea e Isotrópica . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Modelo de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1. Cascada de energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2. Disipación de energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.3. Espectro de energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5. Turbulencia en el Medio Interestelar . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5.1. Distribución de densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5.2. Campos de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2. Magnetohidrodinámica 19 2.1. Ecuaciones de MHD ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1. Inducción Magnética (Límites difusivo y de conductividad perfecta) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.2. Fuerza de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2. Ondas Magnetohidrodinámicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1. Ondas puramente Magnéticas . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.2. Ondas Magnetoacústicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3. Turbulencia en MHD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.1. Turbulencia de Goldreich-Sridhar . . . . . . . . . . . . 30 2.3.2. Compresibilidad del ISM . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 VIII 3. Visión General y Metodología 33 3.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2. Visión General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3. Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3.1. Modelos Númericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3.2. Centroides de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3.3. Descomposición de los modos MHD . . . . . . . . . . . 42 3.3.4. Función de Estructura de los mapas bidimensionales . 46 3.3.5. Grado de Isotropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4. Resultados 47 4.1. Función de estructura de los centroides de velocidad . . . . . 47 4.2. Grado de Isotropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.3. Grado de Isotropía promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5. Conclusiones 65 A. Deducción de las ecuaciones MHD 67 A.1. Campo electromagnético en un fluido . . . . . . . . . . . . . . 67 A.2. Fluido en un campo magnético. Ecuaciones de la MHD ideal . 68 B. Descomposición de los modos MHD 71 C. Anisotropía de centroides. Formalismo General 75 Bibliografía 81 IX Universidad Nacional Autónoma de México Resumen Posgrado en Astrofísica Instituto de Ciencias Nucleares Maestro en Ciencias (Astrofísica) Anisotropía de Centroides de Velocidad y el impacto de los diferentes modos MHD en el Medio Interestelar Turbulento por David HERNÁNDEZ PADILLA Realizamos observaciones sintéticas de regiones de hidrógeno neutro (HI) utilizando un conjunto de simulaciones magnetohidrodinámicas (MHD). Las simulaciones se realizan en una malla Cartesiana (con 5133 celdas), resolviendo las ecuaciones de la MHD ideal compresible, con una ecuación de estado isotérmica. Estas inician con un campo magnético uniforme en el eje x y un medio homogéneo, con densidad ρ = 1. Ahí se fuerza externamente la turbulencia y se detiene la simulación cuando se llega a un estado estacionario. Tenemos 24 modelos (simulaciones) con diferentes números de Mach sónico (Ms) y de Alfvén (MA), a partir de los cuales generamos mapas de densidad columnar y de centroides de velocidad. A todos ellos se les calculó la función de estructura en 2D, y a partir de estas se midió un nivel de anisotropía. Adicionalmente, se descompuso el campo de velocidades en los diferentes modos MHD (de Alfvén, lento y rápido). Con estos nuevos campos de velocidades se calcularon nuevos mapas de centroides para estudiar la contribución de cada uno de estos modos MHD a la anisotropía observada. Como resultado encontramos que cuando la línea de visión es paralela al campo magnético los centroides son isotrópicos y dominados por los modos lentos. Cuando la línea de visión es perpendicular al campo, los centroides son dominados por los modos de Alfvén, los cuales son anisótropos. Para una orientación dada, los centroides de velocidad aumentan su nivel de anisotropía conforme aumenta el campo magnético (disminuye MA). Al mismo tiempo, la anisotropía medida en los modos de Alfvén es consistente con las predicciones analíticas de Kandel, Lazarian y Pogosyan (2017). http://www.university.com http://faculty.university.com http://department.university.com XI Para mis papás, hermanos y sobrino.. . . 1 Capítulo 1 Turbulencia 1.1. Naturaleza y características de la turbulencia Entender el comportamiento turbulento de un fluido es uno de losproblemas más importantes en la física clásica. Una gran parte de los fluidos son turbulentos y ocurren en muchos fenómenos a diferentes escalas. Por ejemplo, en el sistema circulatorio y respiratorio de los seres vivos, en fenómenos geofísicos como océanos y atmósferas y en astrofísica desde interiores estelares, nubes de gas y polvo en el medio interestelar, e incluso a escalas galácticas y extragalácticas. 1.1.1. Número de Reynolds El número de Reynolds (Re) se puede definir como el cociente entre las fuerzas inerciales (que en términos generales desordenan el fluido) y las fuerzas viscosas (que en términos generales lo ordenan), Re = ρU` µ (1.1) donde ρ y µ son la densidad y viscosidad dinámica (µ = ρν con ν la viscosidad cinética), U es una escala de velocidad (i.e., un valor “típico” de la velocidad, por ejemplo su promedio) y ` es una longitud de escala típica, dada por ejemplo por las dimensiones del sistema en que se encuentra el fluido. Cuando Re es grande, las fuerzas viscosas, y por consiguiente la disipación molecular, son pequeñas. Tales flujos son propensos a inestabilidades y turbulencia. Cuando Re es pequeño dominan las fuerzas viscosas que hacen el fluido más ordenado. En la Figura 1.1 se muestra un ejemplo ilustrativo de un experimento de un flujo a través de un obstáculo con forma de cilindro. En este caso las componentes del número de Reynolds (ec. 1.1) podrían identificarse como U 2 Capítulo 1. Turbulencia FIGURA 1.1: Flujo sobre un cilindro.: (a) Re < 1; (b) 5 < Re < 40; (c) 100 < Re < 200; (d) Re ∼ 104 y (e) Re ∼ 106. (Davidson, 2015) 1.1. Naturaleza y características de la turbulencia 3 la velocidad de avance del fluido, ` el diámetro del cilindro y ν la viscosidad del fluido. Para valores grandes de ν se tiene un fluido laminar (ver Fig. 1.1a). Conforme Re se aproxima a uno, el flujo después del cilindro genera una asimetría entre las direcciones a favor y en contra del flujo. En el rango Re ∼ 5 − 40 se encuentran vórtices estables unidos a la parte trasera del cilindro; estos vórtices son llamados vórtices gemelos (ver Fig. 1.1b). Cuando Re ∼ 40 se observa una inestabilidad en forma de oscilación en la estela, y para Re ∼ 100 los vórtices comienzan a desprenderse por detrás del cilindro de manera periódica (ver Fig. 1.1c). El fluido aún podría considerarse laminar pero con pérdida de simetría arriba y abajo del cilindro. Esta es la famosa calle de vórtices de Kármán. La calle laminar de Kármán persiste hasta Re ∼ 200 donde se desarrollan inestabilidades tresdimensionales. A números de Reynolds más altos hay desprendimiento de vórtices con más estructura, sin embargo, este desprendimiento es relativamente “ordenado” (periódico, ver Fig 1.1d). Finalmente, si se incrementa aún más el número de Reynolds se establece finalmente un estado turbulento (ver Fig. 1.1e). 1.1.2. Características generales de los flujos turbulentos Como tal no existe una definición exacta de la turbulencia, sin embargo en general, se tiene una idea de lo que es un movimiento turbulento. Ante la falta de una definición precisa se opta por describirla, enunciando sus propiedades más notorias, que son: 1. Irregularidad. Quizá sea la característica más notoria para cualquier observador. La irregularidad se puede presentar tanto en el espacio como en el tiempo. Los fluidos turbulentos son caóticos e impredecibles, sin embargo presentan ciertas regularidades que solo son evidentes utilizando herramientas estadísticas, algunas de las cuales se enunciaran más adelante. 2. Ocurrencia a números de Reynolds altos. Como ya se vio en la sección 1.1.1, la turbulencia aparece cuando Re es grande. De hecho, el número de Reynolds es uno de los parámetros que se utilizan para distinguir entre flujo laminar y turbulento. La turbulencia frecuentemente se origina como una serie de inestabilidades en los flujos laminares (lo cual se verá en la siguiente sección). 3. Aumento de los fenómenos de transporte. Los fenómenos de transporte de masa, de cantidad de movimiento y de energía son más eficientes por efecto de la turbulencia. 4 Capítulo 1. Turbulencia 4. Transferencia continua de energía. La turbulencia tiende a decaer (disiparse, por las pérdidas viscosas que ocurren a pequeñas escalas, en forma de calor). Para que la turbulencia se mantenga, es necesario un suministro constante de energía a escalas grandes. 5. Tridimensionalidad. La libertad de los fluidos de moverse en 3 dimensiones provee una mejor eficiencia de transferencia de energía que si se restringe a una dimensionalidad menor. Típicamente se considera en los modelos el transporte de energía por movimientos tridimensionales. Sin embargo, hay fluidos que no tienen tantos grados de libertad, por ejemplo debido a disparidad de escalas (como en un huracán que es mucho más ancho que largo) y que tienen que ser modelados de manera bidimensional o unidimensinal. La dinámica de la turbulencia es similar en los fluidos con el mismo número de Reynolds, independientemente de las propiedades moleculares del fluido en el que tiene lugar la turbulencia. 1.1.3. Origen de la turbulencia Para que un fluido sea estable es necesario que si se producen pequeñas perturbaciones, estas disminuyan con el tiempo. Por el contrario, si las pequeñas perturbaciones que se producen en el flujo tienden a aumentar con el tiempo, entonces el flujo es inestable (Landau y Lifshitz, 2001) y susceptible de volverse turbulento. Un fluido es laminar si es estable ante pequeñas perturbaciones, lo cual ocurre únicamente bajo ciertas condiciones. Por ejemplo, para fluidos viscosos y homogéneos en un conducto, la condición consiste en que el número de Reynolds sea menor que un cierto valor crítico. Cuando esto no se satisface, las perturbaciones crecen espontáneamente. En ocasiones estas perturbaciones pueden crecer hasta una amplitud finita y alcanzar un nuevo estado estacionario. Este nuevo estado puede ser de nuevo inestable frente a otro tipo de perturbaciones. Finalmente el flujo se puede convertir en una superposición de numerosas perturbaciones aleatorias y alcanzar una condición caótica. A esto se le conoce como turbulencia. 1.2. Herramientas estadísticas 5 1.2. Herramientas estadísticas Como se mencionó anteriormente, la irregularidad e impredecibilidad de los flujos turbulentos hace necesario el uso de herramientas estadísticas para su estudio. Aquí se definen algunas de estas herramientas. Consideremos una variable de estado escalar (por ejemplo, presión, densidad, velocidad) que puede ser escrita como un promedio más una parte fluctuante, esto es q(x, t) = q(x) + q′(x, t) (1.2) donde q(x, t) es dicha variable, q(x) es su promedio (en el tiempo) y q′(x, t) es la parte fluctuante; a esto se le conoce como la descomposición de Reynolds. A menudo se tiene turbulencia alrededor de un flujo medio, en esta situación q(x) se refiere al flujo medio y q′(x, t) a su fluctuación, de la cual se quiere estudiar las propiedades estadísticas. De la ec. 1.2 se tiene que q(x, t) = q(x, t) y q′(x, t) = 0. Alternativamente, se pueden considerar promedios espaciales a un tiempo dado como q(x, t) = 〈q(t)〉 + q′(x, t), donde es claro que se cumpliría que 〈〈q(x, t)〉〉 = 〈q(x, t)〉 y 〈q′(x, t)〉 = 0. A continuación se utiliza este tipo de promedios. 1.2.1. Función de Correlación Dado que los promedios de las fluctuaciones se anulan, Taylor (1935) sugirió considerar a modo de promedio la función de correlación espacial CF(r, t) = 〈q′(x, t)q′(x + r, t)〉 (1.3) (también llamada autocorrelación, donde r es un vector de desplazamiento espacial y 〈q′q′〉 un promedio espacial, usualmente obtenido a través de un producto escalar1). La función de correlación provee una medida de que tan bien una señal “recuerda” dónde ha estado; esto es una integral a lo largo del espacio de los valores de la señal a un tiempo dado, multiplicado por una copia con un argumento trasladado. Si la función de correlación no depende 1Producto escalar: 〈qs〉 ≡ ∞∫ −∞ q(x)s(x)dx. También se pueden construir funcionesde correlación temporales, tomando, para una posición dada, valores con desplazamientos en el tiempo, y promediando también en el tiempo. 6 Capítulo 1. Turbulencia del tiempo, se dice que la turbulencia es estacionaria, si no depende de la posición se dice que la turbulencia es estadísticamente homogénea. Si las fluctuaciones de q′(x) son estadísticamente independientes, entonces CF(x, t) = 0 (esto suele ocurrir cuando la separación r es mucho más grande que un tamaño típico del vórtice en la turbulencia). Los valores de la función de correlación, usualmente, se reescalan al intervalo (−1, 1). Si r = 0, entonces CF(0) = 〈q′2(x, t)〉, es una medida de la dispersión (varianza) de la cantidad en cuestión. 1.2.2. Función de Estructura Otra función que da información similar a la función de correlación, pero que en ocasiones da alguna ventaja cuando se trabaja con datos observacionales, es la función de estructura de orden p (aquí se muestra la espacial, pero se puede construir también con promedios temporales) consiste en promedios de las diferencias entre las cantidades medidas en diferentes posiciones en el flujo. Se definen, de manera similar, por SFp(r) = 〈[q(x + r)− q(x)]p〉, (1.4) Esta es la forma de la función de estructura aplicada comúnmente a cantidades escalares. Para cantidades vectoriales (por ejemplo, velocidad o vorticidad) se definen las funciones de estructura/correlación transversales y longitudinales. Por ejemplo, para las funciones de estructura transversales se consideran separaciones perpendiculares a la dirección que une los puntos de medida (perpendiculares a r). Es decir son calculadas como SFp⊥(r) = 〈[(q(x + r)− q(x)) · ê⊥]p〉, donde q(x) es el campo vectorial y ê⊥ es el vector unitario en la dirección transversal (perpendicular) con respecto a la dirección de r. La función de estructura longitudinal se define, análogamente, como SFp‖(r) = 〈[(q(x + r)− q(x)) · ê‖]p〉, donde ê‖ = r̂. Un caso particular, es la función de estructura de segundo orden que para una cantidad escalar, en este caso, la magnitud de la velocidad u(x) es SF2(r) = 〈[u(x + r)− u(x)]2〉. (1.5) 1.2. Herramientas estadísticas 7 Es fácil notar que la función de estructura de segundo orden está relacionada con la función de correlación mediante SF2(r) = 2[CF(0)− CF(r)]. (1.6) De forma análoga se pueden construir funciones de correlación, y espectros de potencias, transversales y longitudinales. 1.2.3. Espectro de Potencias Otra alternativa es trabajar con el número de onda en lugar del tamaño físico de los vórtices, usando la transformada de Fourier. En particular, se puede introducir una función, llamada el espectro de potencias N dimensional, dada por una transformada de Fourier de las fluctuaciones de la función de correlación PND(k) ≡ 1 (2π)N ∫ e−ik·rCF(r)dNr, (1.7) donde k es el vector de onda. El espectro de potencias de velocidad (en un régimen incompresible) tiene una importante representación física como la distribución de energía cinética (por unidad de masa) en función de la escala. Si u(r) es el campo de velocidad, el espectro de potencias es la energía en escalas entre k y k + δk, de esta manera, la energía total es proporcional a 〈u(r)2〉 = ∫ PND(k)dk. (1.8) Se ha de notar que la interpretación física es un tanto diferente si se trata del espectro de potencias de otra cantidad por ejemplo, del espectro de potencias de las fluctuaciones de densidad. (Esquivel y Lazarian, 2005). 8 Capítulo 1. Turbulencia 1.3. Turbulencia Homogénea e Isotrópica Bajo ciertas condiciones, la turbulencia puede ser homogénea y/o isotrópica. La turbulencia homogénea es tal que las propiedades estadísticas no cambian con una traslación espacial. La turbulencia isotrópica presenta estadísticas que son independientes de las rotaciones y las reflexiones (en otras palabras de la dirección). Cuando este no es el caso, la turbulencia se denomina anisotrópica. Si la turbulencia es homogénea e isotrópica, entonces se pueden deducir algunas propiedades de la función de correlación por simetría. Primeramente, el flujo medio 〈u(x)〉 es cero, ya que un flujo medio en una dirección no es consistente con la isotropía. Si la turbulencia es isotrópica, todas las direcciones son equivalentes y la función de correlación, la función de estructura y el espectro de potencias son independientes de la dirección de r, y solo dependen de su magnitud (y el espectro de potencias, similarmente, depende solo de la magnitud de k). De hecho es común promediar las diferentes direcciones y graficar las funciones de correlación, estructura y el espectro de potencias como función de la magnitud de la separación (r) o del número de onda (k), respectivamente. Más adelante se considerará una cascada anisotrópica, y por consiguiente habrá que mantener información acerca de la dirección de la separación r (o k). 1.4. Modelo de Kolmogorov 9 1.4. Modelo de Kolmogorov Ahora se introducirá, de forma simplificada, una de las teorías más importantes de la turbulencia. Una manera de estudiar el comportamiento de un fluido en estado turbulento es a través del modelo propuesto por A. N. Kolmogorov, también conocido como la teoría de Kolmogorov (en adelante, K41). Esta teoría fue publicada en una serie de tres artículos en 1941 como resultado de los primeros trabajos de A. N. Kolmogorov y A. M Obukhof. Se considera un fluido no magnetizado, incompresible y viscoso ν > 0 en 3D. De igual manera se supone un fluido homogéneo e isotrópico. Este modelo considera un campo de velocidad turbulenta como la superposición de estructuras (vórtices) caracterizadas por un escala espacial ` y el incremento del campo de velocidad asociado δu` = [u(x + `)− u(x)] · `/`. Ya que se supuso isotropía, los incrementos en el campo solamente dependen de la magnitud de la escala `, de esta manera se puede definir la velocidad característica del vórtice a través de la función de estructura de segundo orden u` = 〈δu2`〉1/2 = SF2(`)1/2 La teoría K41 describe, desde el punto de vista estadístico, la cantidad y variación de la energía cinética del fluido a lo largo de las diferentes escalas de longitud `. Se comienza desde las grandes escalas de longitud `0, donde fuerzas externas actúan sobre el fluido, hasta las escalas pequeñas a nivel molecular, donde la viscosidad del fluido disipa la energía. 1.4.1. Cascada de energía La llamada cascada de energía es la fragmentación de estructuras de vórtices grandes que se descomponen en vórtices más pequeños dentro del fluido turbulento. Este modelo está basado en que (en 3D) la transferencia de energía sucede de escalas grandes hacia escalas pequeñas. El modelo de cascada describe el proceso de inyección, transferencia y disipación de energía cinética en el fluido lo cual sucede a través de las diferentes escalas de longitud que intervienen en dicho proceso. Denotando por `0 la escala en la cual la energía cinética es introducida al sistema por una fuerza externa, con una tasa de inyección ε0. 10 Capítulo 1. Turbulencia El modelo de Kolmogorov supone que la transferencia de energía cinética desde grandes escalas de longitud hacia pequeñas escalas `0 > `2 > · · · > `1 � `D, se realiza a una tasa de transferencia constante εT y a través de estructuras de vórtices que se disocian en vórtices más pequeños hasta una escala de disipación viscosa `D, donde la energía cinética es transformada en calor a una tasa de disipación εD. · · · `0 `1 `T `2 `D Inyección de enerǵıa, tasa ε0 Transferencia de enerǵıa, tasa εT Disipación de enerǵıa, tasa εD FIGURA 1.2: Procesos de inyección, transferencia y disipación de energía cinética en un fluido. Para ilustrar los procesos de inyección, transferencia y disipación de energía cinética se presenta la Figura 1.2 que muestra la estructura de vórtices representada por círculos cuyos diámetros son las distintas escalas de longitud ordenadas en forma decreciente. A continuación se hace una descripción un poco más detallada de las escalas de longitud mencionadas anteriormente:I) La escala de inyección `0 (que corresponde a la escala más grande). Esta escala también se llama longitud característica del fluido, es la escala mayor a la cual la fuerza externa actúa sobre el fluido introduciendo energía cinética. II) Las escalas intermedias `0 � `T � `D (las cuales corresponden a la transferencia de energía). Cuando la energía cinética es introducida en el fluido a la escala `0, esta se transfiere a escalas más pequeñas de manera autosimilar, esto es, la energía cinética es transferida a las escalas más pequeñas de manera idéntica. Un fluido incompresible y viscoso entra en estado turbulento cuando la escala de inyección `0 es mucho más grande que la escala de disipación `D entonces: 1.4. Modelo de Kolmogorov 11 existe un intervalo de escalas intermedias `0 � `T � `D, conocido como rango inercial, en donde la energía cinética se puede transferir desde grandes a pequeñas escalas; además, para las escalas intermedias, las cuales son aún mucho mayores a la escala (`T � `D), los efectos de la viscosidad del fluido que se opone al movimiento, son despreciables. Entonces la energía se transfiere a una tasa constante sin ser disipada en el rango inercial. III) La escala de disipación o escala de Kolmogorov `D. A esta escala los efectos viscosos se vuelven importantes y la turbulencia empieza a ser disipada en forma de calor. El escalamiento propio del rango inercial ya no aplica para escalas iguales o menores a `D. 1.4.2. Disipación de energía El modelo K41 caracteriza la tasa a la cual se transfiere la energía como constante en el rango inercial. En el modelo K41 se tiene además que la tasa de inyección de energía es igual a la tasa de transferencia de energía, y también es igual a la tasa de disipación de energía. Es decir ε0 = εT = εD(= ε). (1.9) Además la tasa de transferencia de energía cinética en la escala inicial es ε0 ≈ u2`0 τ0 ≈ u 2 `0 `0/u`0 ≈ u 3 `0 `0 (1.10) donde τ0 es el tiempo característico asociado a la escala `0 que es la escala inicial y u`0 es la velocidad característica inicial. Entonces, del modelo de cascada de energía se tiene que la energía cinética es introducida a la escala inicial `0, en donde los vórtices de esta escala se fragmentan en vórtices de escala más pequeña (ver Fig. 1.2). Esta fragmentación transfiere la energía cinética introducida y se encuentra, de manera experimental, que la tasa de transferencia a la escala ` es ε ≈ u2`/τ`, donde τ` = `/u` es el tiempo de vida de los vórtices de la escala `. Ya que ε es constante, segun el modelo K41, se tiene que ε = ε0 ≈ u3` ` ≈ u 3 `0 `0 (1.11) 12 Capítulo 1. Turbulencia Visto de otra manera, esto provee una relación entre la velocidad de los elementos del fluido (u`) y sus separación (`) a saber, u` ∼ ε1/30 `1/3 ⇒ u` ∼ u`0 ( ` `0 )1/3 . (1.12) 1.4.3. Espectro de energía Los resultados anteriores se pueden expresar también en términos de espectros de potencias. Considerando un número de onda k = 2π/`, en el rango inercial (con k0 � k � kD) el espectro de potencias de la energía cinética (∼ u2` ) se puede escribir como E(k) ≈ Cεαkβ, (1.13) donde C > 0 es una constante que no depende de las características físicas del fluido, como su viscosidad por ejemplo, y por lo tanto es la misma para todos los fluidos incompresibles viscosos. Para encontrar los valores de los exponentes α y β en la ec. (1.13), se pueden analizar las dimensiones físicas de cada término de la ecuación. El espectro de energía tiene unidades de [E(k)] = L3/T 2 donde L es cualquier unidad de longitud y T es para la unidad temporal. Por otro lado las unidades de la tasa de disipación son [ε] = L2/T 3 y las unidades del número de onda son [k] = 1/L; por lo tanto las dimensiones de [εαkβ] son: [εαkβ] = L2α−β/T 3α. Así los exponentes α y β deben verificar las ecuaciones 2α− β = 3 y 3α = 2 de donde se obtiene que α = 2 3 y β = −5 3 . Entonces cuando el fluido se encuentra en estado turbulento, para las escalas en el rango de inercial, el espectro de energía cumple E(k) ≈ Cε 23k− 53 , (1.14) La Figura 1.3 muestra el espectro de energía para un fluido en estado turbulento según los distintos valores del número de onda k. Se tiene que para los número de onda intermedios k0 � k � kD, es decir en el rango inercial, donde ocurre la transferencia de energía, el espectro de energía está caracterizado por una ley de potencias con una pendiente logarítmica −5 3 . Si se integra la densidad espectral PND(k) (ver ec. 1.8) en dos dimensiones se obtiene un espectro de −8 3 ; si se integra en 3D da un espectro de −11 3 . 1.4. Modelo de Kolmogorov 13 log(E(k)) log(k) k0 kT kD Escala de Escala de ∝ k− 53 disipación inyección Rango Inercial FIGURA 1.3: Escalas de longitud de la turbulencia La Figura 1.3 muestra un bosquejo del espectro de energía cinética para un fluido en estado turbulento según los distintos valores del número de onda k ∝ 1/`. Se puede observar que a pesar de que la turbulencia tiene la característica de ser aleatoria o caótica, con el espectro de potencia se puede ver que la energía se distribuye de número de onda mayor a menor de manera siguiendo una ley de potencia con una pendiente logarítmica de −5/3. Más adelante se verá con más detalle. Esta figura corresponde a un Re muy grande en la escala `0 pues el rango inercial es relativamente grande. Así, el comportamiento del espectro de energía para Re pequeños que se sale del rango inercial corresponde a un flujo laminar. 14 Capítulo 1. Turbulencia 1.5. Turbulencia en el Medio Interestelar Anteriormente se han presentado algunos aspectos teóricos de la turbulencia. La comparación directa con la dinámica del Medio Interestelar (ISM, por sus siglas en inglés) no es trivial. A continuación se presentaran algunas evidencias observacionales que sustentan la noción de un ISM turbulento. El reconocimiento de un ISM turbulento data de la época de los 50’s con el trabajo de von Weizsäcker (1951) sobre la distribución espacial de estructuras densas en el plano del cielo. Reconoció una jerarquía en las estructuras y sugirió que el origen de dichas estructuras era la turbulencia. La identificación de movimientos turbulentos fue proporcionado poco después al medirse las dispersiones de velocidad (von Hoerner, 1951). Posteriormente, las observaciones y estudios teóricos que apoyan la noción de que el ISM está dominado por la turbulencia, han aumentado considera- blemente con el tiempo. 1.5.1. Distribución de densidad La distribución de densidad es una de las principales consecuencias del carácter turbulento del ISM. En particular, de un medio turbulento se espera que la distribución de fluctuaciones de densidad (en realidad su espectro de potencias) siga una ley de potencias. Green (1993) estudió el espectro de potencias espacial de la emisión de HI de diferentes campos de la Galaxia. Obtuvo espectros de potencia con pendientes logarítmicas entre −2.2 y −2.8 en un rango de escala entre 35 pc y 200 pc. Posteriormente, Armstrong, Rickett y Spangler (1995) utilizaron como trazador de fluctuaciones de densidad el centelleo de la radiación de fondo en observaciones hacia pulsares (ISS, es decir, el cambio en el índice de refracción debido a los movimientos turbulentos en los componentes ionizados del ISM) para obtener el espectro de densidad a lo largo de la línea de visión (LOS, por sus siglas en inglés). Como método complementario, también se utilizan fluctuaciones de las mediciones de la medida de la rotación de Faraday2 (RM) en el plano del cielo para estimar las fluctuaciones de densidad (una vez que se conoce o supone conocer el campo magnético) 2La Rotación de Faraday es una interacción entre la luz y el campo magnético en un medio. El campo magnético cambia el índice de refracción para una onda electromagnética con diferentes polarizaciones, derecha e izquierda, provocando una rotación de su plano de polarización. Esta rotación es linealmente proporcional al producto de la componente del campo magnético en la dirección de propagacióny densidad electrónica. 1.5. Turbulencia en el Medio Interestelar 15 FIGURA 1.4: Espectro de potencias de densidad a lo largo de la LOS de diferentes conjunto de datos, la línea punteada es una referencia del espectro como de Kolmogorov en 3D (k−11/3), ver Armstrong, Rickett y Spangler (1995), gráfico extraído de Chepurnov y Lazarian (2010). 16 Capítulo 1. Turbulencia en la LOS. La combinación de datos proporcionan las fluctuaciones de densidad a lo largo de la LOS, para diferentes escalas, como se observa en la Figura 1.4. La turbulencia que se explora por ambos métodos (ISS y RM) presenta un espectro impresionante, con una pendiente consistente con la de Kolmogorov, a través de más de diez órdenes de magnitud en longitud de onda (escala). Miville-Deschênes y col. (2003) encontraron una ley de potencia en el ISM cercano a alta latitud galáctica con una pendiente de −3.6 (entre 0.1 pc y 25 pc). Roy y col. (2009) derivaron una ley de potencia con índice −2.7. Se han realizado estudios similares desde entonces, incluyendo otros trazadores de densidad tales como la emisión de nubes moleculares de CO y 13CO y también se han inferido las leyes de potencia (por ejemplo, Bensch, Stutzki y Ossenkopf, 2001 y Hill y col., 2008). De igual manera, se han hecho estudios para otras galaxias. Se caracterizó la turbulencia, utilizando las mismas técnicas, en la Nube Pequeña de Magallanes (ver Stanimirović y col., 1999; Stanimirović y Lazarian, 2001; Chepurnov y col., 2008; Burkhart y col., 2010) y reveló variaciones espaciales de la morfología de HI. Dutta y col. (2013) calcularon el espectro de potencias de la intensidad de fluctuaciones de HI para una muestra de 18 galaxias espirales y encontraron pendientes con rangos de −1.9 a −1.5. Un espectro tan plano, comparado con K41, puede ser evidencia de vórtices bidimensionales dominando la turbulencia a escalas más grandes que el espesor del disco. En general, se encuentra que las fluctuaciones de densidad tienen un espectro de potencias que sigue una ley de potencias, aunque con diversos índices espectrales. Esto es consistente con un ISM turbulento, los distintos índices para el espectro de densidad pueden atribuirse a una variedad de regímenes de la turbulencia (subsónico o supersónico, por ejemplo). 1.5.2. Campos de velocidad Aunque la densidad sugiere un medio turbulento es deseable contar con estadísticas de los campos de velocidad, los cuales se pueden relacionar más fácilmente con los modelos teóricos. Se pueden utilizar las observaciones de las líneas espectrales de diferentes especies con alta resolución espectral para inferir la distribución de velocidad de la turbulencia en las diferentes fases del ISM, tal como las líneas de 1.5. Turbulencia en el Medio Interestelar 17 hidrógeno (principalmente) y algunos iones para el ISM difuso (por ejemplo, Bowen y col., 2008) y también líneas espectrales moleculares (12CO y 13CO en muchos sondeos) de nubes moleculares. FIGURA 1.5: Dispersión de velocidades de nubes moleculares en función de la escala de longitud para 273 nubes de la Galaxia. La línea de ajuste es σν = S0.5 kms−1, donde S = ` la escala. (Solomon y col., 1987) Larson (1981) y Solomon y col. (1987) encontraron, empíricamente, escalamientos universales del ancho de línea y la distribución de masa en nubes moleculares. En particular, ambos trabajos compilaron las distribuciones de dispersión de velocidades observadas para varias nubes moleculares y determinaron una ley empírica de escalamiento σν ∝ `αν con α ∼ 0.3 − 0.5 y ν la frecuencia, como se muestra en la Figura 1.5. Modelos de turbulencia hidrodínamica subsónica, como el de Kolmogorov, predicen un α = 1/3, mientras que, si la distribución de densidad es dominada por choques (turbulencia altamente supersónica), α ≈ 1/2. Se llevaron acabo también estudios similares acerca de la distribución de velocidades en nubes moleculares, tales como el trabajo de Goldsmith y col. (2008); Yoshida y col. (2010); Qian, Li y Goldsmith (2012); Heyer y Brunt (2012) en la nube molecular de Tauro; Gustafsson y col. (2006) y Liu, Wu y Zhang (2012) para el conjunto molecular de la nube de Orión, entre otros. Chepurnov y Lazarian (2010) presentaron un análisis estadístico de la turbulencia de HI de alta latitud en la Vía Láctea basada en la técnica 18 Capítulo 1. Turbulencia del espectro de coordenadas de velocidad (VCS). Encontraron un espectro de potencias de velocidad Pu(k) ∝ k−3.8 y una escala de inyección de ∼ 140 ± 80 pc. La pendiente ligeramente más pronunciada, en comparación con K41, puede ser el resultado de la turbulencia dominada por choques, con un promedio de números de Mach sónico ∼ 7 − 8 (ver Figura 1.4 indicada con H-alpha (WHAM), Falceta-Gonçalves y col., 2014). 19 Capítulo 2 Magnetohidrodinámica El ISM además de ser turbulento, está magnetizado. Por esta razón se introducen, en este momento, las ecuaciones que describen el flujo de fluidos magnetizados (llamadas ecuaciones de la magnetohidrodinámica, MHD) para el caso ideal (es decir, ignorando los efectos viscosos y/o resistivos). 2.1. Ecuaciones de MHD ideal Las ecuaciones MHD ideal describen el movimiento de un fluido perfectamente conductor que interactúa con un campo magnético; la condición impuesta al fluido, de que sea un conductor eléctrico, implica la existencia de cargas libres o casi libres (comúnmente electrones), cuyo movimiento es afectado por efecto de los campos electromagnéticos presentes. Para que el sistema pueda ser descrito por la MHD se requiere: que las frecuencias de variación de los campos implicados debe ser mucho menor que la frecuencia efectiva de colisión de los electrones, es decir, que los tiempos característicos de variación de los campo deben ser mayores que los tiempos de recorrido libre medio de los electrones de conducción y del tiempo de giro de estos alrededor de las líneas de campo. Bajo esta hipótesis, la ley de Ohm es válida en su forma estacionaria y los electrones e iones se mueven de tal modo que no hay separación de cargas, pudiéndose describir el movimiento mecánico del sistema mediante un fluido conductor único. En este límite de bajas frecuencias, se puede despreciar la corriente de desplazamiento en la ley de Ampère (ver Apéndice A). Las ecuaciones MHD resultan de acoplar las ecuaciones del electro- magnetismo de Maxwell con las ecuaciones de la dinámica de gases. Para cerrar el sistema se utiliza, así como en el caso puramente hidrodinámico la ley de gases ideales, en el caso magnetohidrodinámico se añade la ecuación de Ohm. Entonces las ecuaciones MHD ideal son: 20 Capítulo 2. Magnetohidrodinámica ∂ρ ∂t +∇ · (ρu) = 0, Ecuación de continuidad (2.1) ∂ρu ∂t +∇ · (ρuu− 1 4π BB + P I) = 0, Ecuación momento (2.2) ∂E ∂t +∇ · [(E + P I)u− 1 4π B(B · u)] = 0, Ecuación de energía (2.3) ∂B ∂t −∇× (u×B) = 0, Ecuación de inducción (2.4) donde ρ es la densidad del fluido, u el campo de velocidad, B el campo magnético medio, P I es un tensor diagonal con componentes P = Pgas + B2/(8π) (donde I es el tensor identidad y Pgas es la presión del gas), E es la densidad de energía total dada por E = 1 2 ρu2 + P γ − 1 + B2 8π , (2.5) donde B2 = B · B. Estas ecuaciones están escritas de manera que la permitividad magnética sea µ = 1. 2.1.1. Inducción Magnética (Límites difusivo y de conductividad perfecta) La ec. (2.4) es la ecuación de conservación del flujo magnético para el caso ideal que se obtiene sustituyendo la ecuación de Ohm (j = σ(E + (u/c)×B), ec. A.3) en la ecuación de Faraday, suponiendo una conductividad infinita (1/σ → 0). En el caso no ideal, si se preserva el término resistivo se tiene 1 c ∂B ∂t = −∇× E = −∇× [ j σ − u c ×B ] , y sustituyendo la ecuación de la corriente eléctrica de la ecuación de Ampère j = (c/4π)(∇×B), ver ec. (A.2), se obtiene la ecuación de inducción siguiente ∂B ∂t = ∇× (u×B) + η∇2B, (2.6) donde η = c2/(4πσ) es el coeficiente de difusión magnética. Se observa que el cambio temporal del campo magnético tiene dos términos,el primero se conoce como término de convección y el segundo como término de difusión. Esta ecuación describe la evolución del campo magnético. Si se comparan los términos de la derecha de la ec. (2.6) se puede definir un número de Reynolds 2.1. Ecuaciones de MHD ideal 21 magnético, RM ∣∣∣∣∇× (u×B)η∇2B ∣∣∣∣ ∼ u0l0η ≡ RM . En el ISM, típicamente se tiene la situación que Re � 1 y RM � 1. Si RM � 1, en la ec. (2.6), predomina el término difusivo, es decir, ∂B ∂t = η∇2B. Lo que quiere decir que, si ∂B/∂t es proporcional a ∇2B las variaciones espaciales del campo a una escala ` serán disipadas en un tiempo del orden de un tiempo de difusión, τ. Este tiempo se puede estimar haciendo un análisis de las magnitudes características, B/τ ∼ ηB/`2, o τd = `2 η , (2.7) En astrofísica, las longitudes características son muy grandes, lo que lleva a que los tiempos de difusión τ0 = `20/η sean muy largos y por lo tanto la resistividad sea poco eficiente. Ahora bien, si se supone conductividad infinita (σ → ∞ ⇒ η = c2/(4πσ) = 0) predomina el término convectivo respecto al difusivo teniendo un RM � 1, aunque la conductividad no sea tan grande, pero las escalas espaciales son suficientemente grandes, el término difusivo es despreciable al lado del convectivo, entonces la ec. (2.6) se puede aproximar como ∂B ∂t = ∇× (u×B). (2.8) Aquí se puede aplicar el teorema de Alfvén de congelamiento de flujo: En un plasma perfectamente conductor, o donde la escala de longitudes es suficientemente grande como para despreciar el término difusivo, el flujo magnético a través de una superficie rodeada por una curva cerrada que se mueve en el plasma permanece constante en el tiempo. De aquí se deduce que el campo magnético se comporta como si las líneas de campo se movieran junto con el plasma. Entonces suele decirse que las líneas de B están “congeladas” al plasma. En el caso general los dos términos de la ecuación de inducción contribuirán de manera que las líneas de campo serán parcialmente arrastradas y parcialmente difundidas. 22 Capítulo 2. Magnetohidrodinámica 2.1.2. Fuerza de Lorentz La ecuación de momento (ec. 2.2) es la que describe cómo influye una configuración dada del campo B sobre el movimiento del plasma. Si se supone que no hay otras fuerzas, la ecuación de momento es (ver Apéndice A) ρ ( ∂u ∂t + (u · ∇)u ) +∇P = 1 4π (B · ∇)B−∇ ( B2 8π ) , (2.9) donde el segundo término de la derecha al actuar a través de un gradiente (como la fuerza de presión), se conoce como presión magnética pM = B2 8π . El primer término de la derecha de la ec. (2.9), 1/4π(B · ∇)B, tiene un valor distinto de cero solo cuando las líneas de B están curvadas y tiene una tendencia a “enderezarlas”. Este término se conoce como tensión magnética, TM . Parámetro β del plasma Un parámetro adimensional importante en MHD es el parámetro β definido como el cociente entre la presión del gas y la presión magnética, es decir β ≡ P PM = P0 B20/8π . (2.10) De manera que si β � 1, la fuerza de Lorentz influye más que el gradiente de presiones en el movimiento del plasma y, por lo tanto, el plasma está dominado dinámicamente por el campo magnético; mientras que si β � 1, significa que la dinámica del plasma está regida por la hidrodinámica. 2.2. Ondas Magnetohidrodinámicas 23 2.2. Ondas Magnetohidrodinámicas Las ondas magnetohidrodinámicas (ondas MHD) son perturbaciones del plasma que se propagan a través de este. Se producen por diferentes fuerzas de restitución, por ejemplo, el gradiente de presión, la fuerza de Lorentz, etc. A continuación de analizan estas ondas. 2.2.1. Ondas puramente Magnéticas Se utilizan las ecuaciones de la MHD ideal (ecs. 2.1 - 2.4) y se toma en cuenta solo la contribución del campo B a través de la fuerza de Lorentz, despreciando todas las demás fuerzas. B B0 u1 B1 k z a) k u1 B0B z B1 b) FIGURA 2.1: Perturbaciones a) transversales y b) paralelas en campo magnético al campo uniforme B0. Si se analiza la fuerza de Lorentz (ec. 2.9) como una fuerza por unidad de área transmitida desde un elemento del plasma a otro, aparecen los dos términos de presión magnética (PM = B2/(8π)) y de tensión magnética (TM = (B · ∇)B/(4π)), la primera actúa como una presión normal a la superficie de separación entre dos parcelas del plasma, es decir que la fuerza sobre el elemento de volumen tendrá una contribución no nula de la presión cuando existe una variación neta en la intensidad de B (que actúa desde regiones de alta a baja presión magnética), y la segunda actúa a lo largo de las líneas de inducción, es decir una componente no nula de la tensión cuando las líneas presenten curvatura. La tensión y la presión magnética actúan como fuerzas restauradoras para las ondas magnéticas que son de dos tipos: las ondas de corte de Alfvén, o cizalla (o simplemente de Alfvén) y las ondas compresivas de Alfvén. Para analizarlas en una primera instancia se desprecian todas las fuerzas salvo la fuerza de Lorentz y se supone un plasma con conductividad infinita. 24 Capítulo 2. Magnetohidrodinámica Se puede observar gráficamente dos casos simples (ver Fig. 2.1). Suponiendo un campo B0 uniforme en la dirección z y una perturbación B1 del campo tal que: a) B1 es perpendicular a B0, variando en la dirección de B0 (lo que da la dirección de z que indica cómo se propaga la perturbación, ver Fig. 2.1a), b) B1 en la dirección de B0 y variando perpendicularmente a B0 (ver Fig. 2.1b). Suponiendo pequeñas perturbaciones en el caso a), el valor del campo no varía (B1 � B0) y puede despreciarse la presión magnética. Pero las líneas están curvadas y hay una resultante neta de la tensión que está dirigida hacia el centro de curvatura de las líneas. Por lo tanto aparece una velocidad u1 perpendicular a B0: el plasma oscila arrastrando las líneas debido al congelamiento. Se tiene entonces k ‖ B0 ⊥ u1 ‖ B1. En el caso b) como la presión es mayor donde el campo de inducción es mayor aparece una fuerza sobre el plasma desde la zona de mayor densidad de líneas a la de menor densidad y una velocidad del plasma perpendicular a B0, el plasma oscila arrastrando las líneas. Se tiene entonces k ‖ u1 ⊥ B0 ‖ B1. Estos son dos casos límite, el primero corresponde a las ondas de corte de Alfvén y el segundo, a las ondas de compresión de Alfvén. Si se toman las ecuaciones de continuidad (2.1), momento (2.2) e inducción (2.4) y se perturban (linealmente) considerando las condiciones iniciales en equilibrio estático con densidad e inducción magnética uniformes y velocidad nula (es decir, ρ = ρ0 +ρ1, B = B0 +B1 y u = u1) a primer orden en las fluctuaciones, se obtiene ∂ρ1 ∂t +∇ · (ρ0u1) = 0, (2.11) ρ0 ∂u1 ∂t = 1 4π (∇×B1)×B0 = 0, (2.12) ∂B1 ∂t = ∇× (u1 ×B0). (2.13) Derivando respecto del tiempo la ec. (2.12) y reemplazando la ec. (2.13), se tiene ρ0 ∂2u1 ∂t2 = 1 4π [∇×∇× (u1 ×B0)]×B0. (2.14) 2.2. Ondas Magnetohidrodinámicas 25 Para la ec. (2.14) se propone una solución de onda plana monocromática de la forma u1(r, t) = ũ1 exp[i(k · r− ωt)]; donde r es el vector posición, ũ1 la amplitud y ω la frecuencia angular; de igual manera se propone una solución similar para las demás cantidades ya que se están considerando perturbaciones lineales. Si sustituye en la ec. (2.14) finalmente se obtiene ω2u1 + 1 4πρ0 [ (k ·B0)(u1 ·B0)− (k · u1)B20 ] k + 1 4πρ0 (k ·B0)(k · u1)B0 − 1 4πρ0 (k ·B0)2u1 = 0. (2.15) Una propiedad de las ondas planas es que, cuando hay una perturbación del campo magnético, el campo magnético perturbado es perpendicular a la dirección de propagación de la onda (lo que resulta de∇ ·B1 = 0) y, por lo tanto k ·B1 = 0. (2.16) Cabe notar que este resultado proviene de que ∇ · B = ∇ · B1 = 0. Si se multiplica la ec. (2.15) de manera escalar por B0 se obtiene u1 ·B0 = 0, (2.17) lo que significa que, a primer orden, las ondas magnéticas son tales que la velocidad de perturbación del plasma es perpendicular al campo magnético inducido B0. Si ahora se multiplica la ec. (2.15) escalarmente por k y tomandoen cuenta la ec. (2.17) se obtiene (ω2 − k2υ2A)(k · u1) = 0, (2.18) donde se ha definido la velocidad del Alfvén como υA = B0 (4πρ0)1/2 . (2.19) Entonces, para que se satisfaga la ec. (2.18) se debe cumplir que : k · u1 = 0, o (2.20) ω2 − k2υ2A = 0. (2.21) a) Si k · u1 = 0, se tiene que estas ondas son incompresibles (∇ · u1 = 0). 26 Capítulo 2. Magnetohidrodinámica De la ecuación de continuidad linealizada (ec. 2.11) resulta ∂ρ1/∂t = 0 que, para ondas planas, implica que ρ1 = 0 y si se supone un sistema adiabático P1 = 0 también; a estas ondas se les conoce como ondas de corte de Alfvén, que son una perturbación incompresible, sin variación en densidad y presión, en las que solo la velocidad y la inducción magnética se modifican siendo ambas perturbaciones perpendiculares a la dirección de la propagación de la onda (es decir son ondas transversales). Para obtener la relación entre ω y k, en la ec. (2.15) se toman las ecs. (2.17) y (2.20) quedando la ecuación de dispersión ω2 − (k · υA)2 = 0, o bien ω = ±kυA cos(θ), (2.22) donde θ es el ángulo entre la dirección de propagación y B0. Para la relación de u1 y B1 se hace uso de la ec. (2.13) tomando en cuenta la ec. (2.20) resultando B1 = − (k ·B0) ω u1, (2.23) y usando la ecuación de dispersión (2.22) u1 = ± B1 (4πρ0)1/2 , donde los signos indican si la velocidad de fase está proyectada positiva o negativamente en la dirección de B0. Esto es, si se toma en cuenta el signo, que corresponde al de (k·B0) en la ec. (2.23), se puede obtener que u1 y B1 están en contrafase. Este resultado es importante, pues permite distinguir las ondas de Alfvén del resto, ya que las componentes de la perturbación del campo B1 están en contrafase con las componentes de la perturbación de la velocidad u1. Si se elige, sin pérdida de generalidad, el eje z (es decir, k = kzêz) en la dirección de B0, la ec. (2.22) se reduce a ω = ±υAkz y la velocidad de grupo queda como vg = ∇kω = ±υAêz resultando que vg = ±υA. Las ondas de Alfvén son causadas por la tension de las líneas del campo magnético, las cuales tienden a restaurar su forma inicial (ver Figura 2.2), por lo tanto el gradiente de la presión magnética es nulo. De modo que la energía de la onda de Alfvén se propaga en la dirección de la inducción magnética cualquiera que sea la dirección de k. 2.2. Ondas Magnetohidrodinámicas 27 k u1 B0 x y z B0 +B1 FIGURA 2.2: Onda de Alfvén. b) Si ω2 − k2υ2A = 0, la ec. (2.18) es ω = ±kυA. En este caso no hay incompresibilidad (k · u1 6= 0) así ρ1 y P1 son distintos de cero entonces se tienen las ondas de compresión de Alfvén. De la ec. (2.15) se puede ver que el factor que multiplica a u1 es distinto de cero y, por lo tanto, que u1, k y B0 se encuentran en el mismo plano. Además, de la ec. (2.13) resulta B1 = −(k ·B0)u1 + (k · u1)B0 ω , en donde se observa que B1 también esta en el plano. Así, para toda onda magnética plana monocromática B1 ⊥ k y u1 ⊥ B0. En el caso particular cuando k ⊥ B0 (es decir, cuando θ = π/2) se tiene que B1 ‖ B0 y u1 ‖ k. En este caso solo actúa la presión magnética, pero cuando θ 6= π/2, B1 tiene componente en la dirección perpendicular a B0 y la líneas de inducción son curvas dando lugar a la acción de la tensión magnética. También se puede notar que la velocidad de fase y de grupo coinciden: vf = vg = ±υA k |k| 2.2.2. Ondas Magnetoacústicas Estas ondas aparecen cuando no se desprecian la fuerza de Lorentz ni el gradiente de presión, así la ecuación de momento queda ρ ∂u ∂t + ρ(u · ∇)u = −∇P + 1 4π (∇×B)×B. También son necesarias las ecuaciones de conservación de masa, de inducción, de adiabaticidad y∇ ·B = 0. Si ahora se linealizan las ecuaciones alrededor del estado de equilibrio (B = B0, P = P0, ρ = ρ0 y u0 = 0) y siguiendo el procedimiento anterior (ver Sección 2.2.1) y se propone una 28 Capítulo 2. Magnetohidrodinámica onda plana como solución resulta (ω2 − k2υ2A cos2(θ))u1 + (k · u1)kυ2A cos(θ)B̂0 − [ (υ2A + c 2 s)(k · u1)− kυ2A cos(θ)(B̂0 · u1) ] k = 0 (2.24) El nuevo término que aparece respecto al caso puramente magnético es c2s(k · u1)k y viene de haber considerado el gradiente de presión del gas en la ecuación de movimiento; θ es el ángulo entre B0 y k, y B̂0 es el vector unitario en la dirección del campo B0. Así (u1 ·B0) 6= 0. La relación de dispersión se obtiene multiplicando de manera escalar la ec. (2.24) por k y por B0, del cual se llega a un sistema homogéneo de ecuaciones en (k · u1) y (B̂0 · u1) para las cuales la solución trivial corresponde a la solución de las ondas de Alfvén. La condición para que existan soluciones no triviales es tomar el determinante del sistema y que este sea nulo, entonces se obtiene [ ω2 − k2(υ2A + c2s) ] ω2 + k4υ2Ac 2 s cos 2(θ) = 0 cuyas soluciones son ω2 k2 = υ2A + c 2 s 2 ± 1 2 √ (υ2A + c 2 s) 2 − 4υ2Ac2s cos2(θ). (2.25) El signo positivo corresponde a los llamados modos rápidos y el signo negativo a los llamados modos lentos. (υ2A + c 2 s) 1/2 B0 k vf,r vf,l vf,A θ (υ2A + c 2 s) 1/2 B0 k θ υA > cs υA < cs Modo rápido Modo lento Modo Alfvén Modo rápido Modo lento Modo Alfvén β � 1 β � 1 FIGURA 2.3: Velocidad de fase de las ondas magnetoacústicas. El punto rojo representa cs y el punto verde, la υA. 2.2. Ondas Magnetohidrodinámicas 29 El término dentro de la raíz cuadrada es positivo para todo θ y para θ = 0 y θ = π/2 resulta ω2 k2 (θ = 0) = υ2A + c 2 s 2 ± 1 2 |υ2A − c2s| = { si υ2A > c 2 s → υ2A → +, c2s → − si υ2A < c 2 s → c2s → +, υ2A → − ω2 k2 ( θ = π 2 ) = υ2A + c 2 s 2 ± 1 2 |υ2A + c2s| = { υ2A + c 2 s 0 En la Figura 2.3 se grafica la velocidad de fase vf = ω/k. Entonces la velocidad de fase de las ondas de Alfvén tiene valores que van entre la velocidad magnetoacústica lenta y la rápida. Si υA � cs o β � 11, esto dice que el gradiente de presión domina sobre la fuerza de Lorentz, entonces la onda acústica se transforma un poco dando lugar a la onda magnetoacústica rápida y la magnetoacústica lenta da lugar a la onda magnética de compresión, Por el contrario, si υA � cs o β � 1, entonces la fuerza de Lorentz domina sobre el gradiente de presión, es decir, la onda de compresión se transforma dando lugar a la onda magnetoacústica rápida y en lugar de la onda de sonido aparece la onda magnetoacústica lenta. Si υA ∼ cs no se puede distinguir si las ondas rápidas y lentas provienen de la onda de sonido modificada o de la de Alfvén de compresión modificada (Costa, Schneither y Cécere, 2015). De la Figura 2.3 también se puede observar que los modos lentos y de Alfvén se propagan principalmente a lo largo del campo magnético medio, mientras que los modos rápidos se propagan en cualquier dirección del espacio, es decir, de manera isotrópica. 1β = PPM considerando γ = 1, β ∼ c 2 s/υ 2 A. 30 Capítulo 2. Magnetohidrodinámica 2.3. Turbulencia en MHD En las últimas décadas, para formular una teoría para estudiar la turbulencia MHD se ha tratado de adaptar el modelo K41 a fluidos con un campo magnético. A continuación se presenta el modelo más aceptado de turbulencia MHD. 2.3.1. Turbulencia de Goldreich-Sridhar Se considera el caso de un plasma inmerso en un campo magnético uniforme B0 de origen externo. De la misma manera, se considera un forzamiento débil, de modo que las excitaciones turbulentas fundamentales sean perturbaciones ondulatorias de pequeña amplitud que se propagan a lo largo del campo medio. En 1995, Goldreich y Sridhar propusieron una teoría para un fluido MHD, incompresible y anisotrópico (teoría GS95) en la que argumentan que los vórtices son fuertemente anisotrópicos; alargados a lo largo de las líneas de campo magnético, debido a que el plasma se mueve con mayor facilidad a lo largo de las líneas de campo que perpendicular a estas. Como consecuencia, el tiempo de distorsión (el tiempo de transferencia de energía) es del orden de un tiempo de cruce requerido para que dos vórtices en movimiento opuesto se pasen entre sí. Suponiendo que el vórtice tiene un tamaño transversal`⊥ (donde `⊥ denota la escala del vórtice medida de manera perpendicular al campo magnético local2), y un tamaño paralelo al campo `‖ (donde `‖ es la escala paralela al campo). Ambas escalas se relacionan mediante la llamada condición de balance crítico, propuesta por Goldreich y Sridhar (1995), quienes igualan el tiempo característico del vórtice, τ⊥ = `⊥/u`⊥ , en la dirección perpendicular a B0 y el periodo correspondiente a los movimientos a lo largo del campo magnético, que corresponden a ondas de Alfvén, es decir τ‖ = `‖/υA. Haciendo uso de u`⊥ ∼ ` 1/3 ⊥ , esto es por que los movimientos del plasma ocasionados por las ondas de Alfvén (de corte) son perpendiculares al campo, y al ser incompresibles tendrán un escalamiento igual al de Kolmogorov, mientras que a lo largo de B la velocidad característica es justamente υA, ver ec. (1.12) se puede obtener `‖ ∼ `2/3⊥ . Esto refleja la tendencia de los vórtices a ser cada 2En el trabajo original del GS95 se considera el campo magnético global, pero luego fue enmendado por Lazarian y Vishniac (1999) quienes hacen ver que la descripción correcta es respecto al campo magnético local a cada vótice. 2.3. Turbulencia en MHD 31 vez más alargados cuando la cascada de energía va a escalas más pequeñas. La teoría GS95 supone una inyección de energía isotrópica a la escala `0 con una velocidad de inyección del orden de la velocidad de Alfvén en el fluido, es decir, MA = u`0/υA ∝ 1 donde MA es el llamado número de Mach de Alfvén y u`0 es la velocidad de inyección. Esto proporciona la descripción de la turbulencia trans-Alfvénica. Poco después, el modelo se generalizó para los casos sub-Alfvénico, es decir MA < 1, y super-Alfvénico, MA > 1 (ver Lazarian y Vishniac, 1999 y Lazarian, 2006, respectivamente). De hecho, si MA > 1, en lugar de la escala de transferencia `T , se puede utilizar otra escala, a saber, `A = `T (υA/u`T ) 3 = `TM−3A , la cual es la escala a la que la velocidad de la turbulencia es igual a υA. Para MA � 1, los campos magnéticos no son dinámicamente importantes a grandes escalas y la turbulencia a estas escalas sigue la cascada de isotropía de Kolmogorov u` ∼ `1/3 sobre el rango de escalas [`T , `A]. Al mismo tiempo, si MA < 1, la turbulencia obedece el escalamiento GS95 (llamado también turbulencia “fuerte” MHD) no de la escala `T , sino de la escala pequeña `t dada por `t ∼ `T (u`T /υA)2 ≡ `TM2A. Mientras que en el rango [`T , `t] la turbulencia es débil (Burkhart y Lazarian, 2013). El espectro de energía correspondiente, es EGS(k⊥) = |δuk⊥|2k⊥ ∝ k −5/3 ⊥ (2.26) Este espectro coincide con el espectro de Kolmogorov (ec. 1.14) de la turbulencia incompresible del fluido no magnetizado. El espectro de velocidad y la anisotropía dependiente de la escala ha sido verificados en varios experiemntos numéricos y están de acuerdo con espectros astrofísicos observado e inferidos (ver Cho y Vishniac, 2000; Maron y Goldreich, 2001; Cho, Lazarian y Vishniac, 2002a; Cho, Lazarian y Vishniac, 2003). El modelo de GS95, al igual que el de Kolmogorov supone un medio incompresible lo cual es algo cuestionable en el ISM. 32 Capítulo 2. Magnetohidrodinámica 2.3.2. Compresibilidad del ISM Como se mencionó en la sección 1.4, la teoría de Kolmogorov proporciona un ley de escala para la turbulencia hidrodinámica, no magnetizada e incompresible. El rango de aplicación de esta teoría abarca desde la investigación en ingeniería hasta la meteorología (ver Monin y Yaglom, 1975). A diferencia de la turbulencia de laboratorio, la turbulencia astrofísica es magnetizada y altamente compresible. Sin embargo los fluidos astrofísicos muestran escalamientos similares a los de Kolmogorov, el modelo de GS95 también arroja estos escalamientos, lo cual da cuenta del hecho que el ISM está magnetizado, pero deja abierta la pregunta sobre la compresibilidad. Sin embargo, se ha de notar que el modelo GS95 es precisamente para los modos de Alfvén, que son incompresibles, y ciertamente están presentes en el ISM por la presencia del campo magnético. En diversos experimentos numéricos (por ejemplo Beresnyak, Lazarian y Cho, 2005), se ha encontrado un acoplamiento débil entre los distintos modos (Alfvén, lentos y rápidos) lo cual garantiza que cada modo siga su propia cascada. También se ha encontrado que para un amplio rango de parámetros, la cascada de los modos de Alfvén contiene mayor energía que los demás modos (Kowal y Lazarian, 2010). De esta forma es natural que el ISM muestre la cascada de los modos de Alfvén, con los del modelo GS95. Sin embargo en muchas instancias se vuelve indispensable la compresibilidad de dicha turbulencia, por ejemplo para formación de estructura de alta densidad dentro de nubes moleculares. La turbulencia compresible a detalle es un problema sin resolver hasta el momento, incluso en ausencia de campos magnéticos. 33 Capítulo 3 Visión General y Metodología 3.1. Objetivo El objetivo de esta tesis es el análisis de la anisotropía de los centroides de velocidad utilizando las funciones de estructura de mapas de estos. Aplicamos estas funciones a observaciones sintéticas1 (ver Esquivel, Lazarian y Pogosyan, 2015) para caracterizar la contribución de los diferentes modos MHD, a saber, modo de Alfvén, modo lento y modo rápido descritos en la Sección 2.2.2. Con las estadísticas de las simulaciones, comparamos con el estudio analítico realizado por Kandel, Lazarian y Pogosyan (2017), ver Apéndice C. 3.2. Visión General Actualmente es aceptado, de manera general, que la turbulencia es uno de los procesos que gobiernan la formación de estructura y evolución del ISM, es bien reconocida su importancia en muchos procesos astrofísicos. Como ya se mencionó anteriormente, las técnicas estadísticas son la manera adecuada para caracterizar la turbulencia del ISM. La herramienta más común es el espectro de potencias espacial, ya que da información sobre la naturaleza de la cascada de turbulencia y sobre la escala de inyección, rango inercial y escala de disipación de la turbulencia. Para muchas observaciones, las cuales no necesariamente están ordenadas en una malla cartesiana (la cual es necesaria para pasar al espacio de Fourier con una Transformada rápida de Fourier) resulta conveniente usar funciones de estructura, que pueden obtenerse directamente en el espacio real. Por esta razón hacemos nuestro estudio en términos de funciones de estructura. 1Observaciones sintéticas se refiere a datos similares a los que se obtienen en observaciones pero construidos a base de simulaciones numéricas. 34 Capítulo 3. Visión General y Metodología En general, la mejor estrategia para estudiar la turbulencia interestelar es combinando conocimientos teóricos, simulaciones numéricas y datos observacionales mediante los estudios estadísticos de manera conjunta. En este sentido, se puede obtener una visión más completa y confiable. En las últimas décadas se han desarrollado técnicas para el estudio de la turbulencia. Estas técnicas se pueden probar empíricamente, usando parámetros de estudio de simulaciones numéricas o con la ayuda de predicciones analíticas. Los parámetros a variar incluyen el número de Reynolds, los números de Mach sónico (Ms) y de Alfvén (MA), la escala de inyección, la ecuación de estado y, para el estudio de nubes moleculares, la transferencia radiativa y la autogravedad. La información mínima necesaria para obtener una visión de la cascada local de turbulencia MHD aplicable al ISM es: la compresibilidad, magneti- zación y la rapidez de la cascada (dada por el espectro). Algunas técnicas recientes que estudian estos parámetros incluyen el estudio de las funciones de distribución de probabilidad (PDFs por sus siglas en inglés) y otros métodos más elaborados como, función de correlación espectral (SCF, por sus siglas en inglés), espectro, wavelets, etc. Como ya se mencionó anteriormente, el medio interestelar es turbulento y está magnetizado y por lo tanto, las perturbaciones de Alfvén son importantes. Los estudios numéricos en Cho y Lazarian(2002) y Cho y Lazarian (2003) muestran que las perturbaciones de Alfvén desarrollan una cascada independiente, la cual no es afectada por la compresibilidad del fluido. Estas observaciones corresponden a lo esperado teóricamente de la teoría GS95 (ver Sección 2.3). En años recientes, se han realizado muchos trabajos referentes al estudio del espectro de potencias de densidad/velocidad en cubos de datos de posición-posición-velocidad (PPV) de HI tanto en la Galaxia como en las nubes de Magallanes, por ejemplo. Se ha observado que en ellos el ISM es turbulento desde escalas más pequeñas que un parsec hasta algunos kiloparsecs (ver Crovisier y Dickey, 1983; Stanimirović y col., 1999; Deshpande, Dwarakanath y Goss, 2000; Elmegreen y Scalo, 2004; Burkhart y col., 2010). La pendiente del espectro de potencias de las perturbaciones de densidad no solo tiene información sobre la rapidez de la cascada, sino que también depende del número de Mach sónico. 3.2. Visión General 35 El espectro de la densidad columnar espacial puede dar información de las fluctuaciones de densidad, ya que, en el caso ópticamente delgado, se elimina cualquier información sobre la velocidad. Sin embargo el espectro de velocidad da información más relevante para la comparación de modelos teóricos de turbulencia. Afortunadamente, se han desarrollado varias técnicas para estudiar el espectro de potencias de la velocidad de las observaciones. Algunas de ellas son: • Análisis de Canales de Velocidad (VCA) en el cual se analizan los cortes del espectro de velocidad en los cubos de datos PPV cambiando gradualmente el espesor (resolución en velocidad) del corte con el fin de encontrar los índices espectrales de velocidad y densidad de los movimientos turbulentos (ver Lazarian y Pogosyan, 2004). • Centroides de velocidad (VC) (Esquivel y Lazarian (2005), efectivos solo para turbulencia subsónica), que es el estudio del índice espectral de mapas de centroides, los cuales se pueden obtener fácilmente de observaciones espectroscópicas. • Espectro de Coordenadas de Velocidad (VCS) el cual utiliza la estadística del ensanchamiento de las líneas espectrales por efecto Doppler, relacionando el espectro de fluctuaciones medido a lo largo del eje de velocidad en los cubos de datos PPV con los espectros de potencia subyacentes de las fluctuaciones de velocidad/densidad, para lo cual no es necesario que el volumen turbulento esté resuelto espacialmente (ver Lazarian y Pogosyan, 2006). Una de las aplicaciones de este tipo de técnicas fue realizada por Chepurnov y Lazarian (2010) quienes presentaron una primera prueba del poder de la técnica VCS con los datos de HI de altas latitudes galácticas (ver Figura 1.4). Lo que hicieron fue, en lugar de primero corregir el ensanchamiento térmico del gas y luego ajustar la ley de potencia en el espectro VCS (como se discute en Lazarian y Pogosyan, 2006) usaron las expresiones analíticas para encontrar el modelo (el cual depende de la temperatura, la escala de inyección y la energía de la turbulencia) que se ajusta al conjunto de datos correspondientes al VCS para datos con diferente resolución espacial2. Los resultados muestran un modelo de turbulencia con espectro de mayor pendiente que el de Kolmogorov (Eu ∼ k−1.9), con una temperatura del gas 2La resolución para los VCS juega un papel similar que para el espesor de los cortes de velocidad ∆u de la VCA y por lo tanto lo cubos de datos PPV a diferentes resoluciones no están trivialmente relacionados, en lo que se refiere al análisis del VCS 36 Capítulo 3. Visión General y Metodología de alrededor de 130 K y una escala de inyección de 100 pc. Lo importante de este método es que se puede recuperar la temperatura del gas, la escala de inyección y la energía de la turbulencia, ya que estos parámetros son ingredientes fundamentales para muchas cuestiones astrofísicas como la tasa de formación estelar, el calentamiento del ISM, entre otras. Un punto importante de la teoría GS95 es que los movimientos de mezcla asociados con la turbulencia de Alfvén inducen anisotropías dependientes de la escala, las cuales incrementan conforme avanza la cascada. La anisotropía se observa fuertemente en movimientos perpendiculares al campo y aumenta con el incremento del campo magnético. Este efecto se puede ver del análisis de las funciones de estructura de mapas de centroides de velocidad, los cuales están disponibles en observaciones y observaciones sintéticas. Esquivel y Lazarian (2011) obtuvieron las funciones de estructura de los mapas de velocidad de observaciones sintéticas y encontraron que la anisotropía observada se puede utilizar para determinar la intensidad de la componente perpendicular del campo magnético. El método descrito en Esquivel y Lazarian (2011) consiste en: calcular la función de estructura de los mapas de centroides de velocidad y cuantificar el grado de anisotropía tomando la razón de las funciones de estructura en las direcciones perpendiculares y paralelas al campo magnético. La función de estructura es una distribución bidimensional cuyos isocontornos tienden a ser aproximadamente circulares para la turbulencia isotrópica y elípticos para la turbulencia anisotrópica (ver ejemplo en la Figura 3.1). Cuando se observa paralelamente al campo magnético medio, los contornos son aproximadamente circulares, mientras que, cuando se observa de manera perpendicular al campo magnético medio, las estructuras se vuelven más anisotrópicas. De los resultados, es claro que el grado de anisotropía depende del número de Mach de Alfvén: a medida que los valores del campo magnético aumentan, el nivel de anisotropía también aumenta. En el mismo se encontró que los centroides anisotrópicos también muestran una débil dependencia con Ms, pero solo para los modelos de moderada a baja magnetización. Se puede atribuir tal dependencia a fluctuaciones en la densidad original (es decir, ocasionada por modos compresibles). 3.2. Visión General 37 FIGURA 3.1: Ejemplo de isocontornos de la función de correlación de un modelo con MA ∼ 0.7 y Ms ∼ 2.3. Los primeros dos páneles a) y b) corresponden a las correlaciones de mapas de velocidad media (esta corresponde a centroides calculados con una densidad uniforme, lo cual es equivalente a obtener la velocidad promedio a lo largo de la LOS) y los páneles c) y d) son las correlaciones de los mapas de centroides de velocidad. En las figuras de la columna izquierda (páneles a) y c) la LOS es paralela al campo magnético medio. En la columna derecha (páneles b) y d)) la LOS es perpendicular al campo magnético medio, que en este caso esta alineado con el eje horizontal (Esquivel y Lazarian, 2011). 38 Capítulo 3. Visión General y Metodología 3.3. Metodología La metodología que seguimos para este trabajo fue primeramente obtener las simulaciones para diferentes valores de υA y Pgas (en realidad solo fue necesario correr 9 modelos adicionales a los utilizados en Esquivel, Lazarian y Pogosyan, 2015). Con los resultados se obtienen los centroides de velocidad de los 24 modelos. Posteriormente se realiza la descomposición de los modos MHD para obtener las funciones de estructura asociadas a cada modo, finalmente obtenemos un grado de isotropía para cada modo, y lo comparamos con el formalismo de anisotropía de centroides realizado por Kandel, Lazarian y Pogosyan (2017), ver Apéndice C). 3.3.1. Modelos Númericos Para los modelos que usamos en esta tesis, se utilizó una malla de simulaciones MHD compresible, isotérmicas y con turbulencia completamente desarrollada3. La malla es una extensión de la usada en Esquivel, Lazarian y Pogosyan (2015), con una resolución de 5123 celdas. Las simulaciones se obtuvieron con un método esencialmente no oscilatorio (ENO por sus siglas en inglés) híbrido de segundo orden4, el cual elimina las oscilaciones producidas por los esquemas de alto orden. El código resuelve las ecuaciones de MHD ideal con un término de turbulencia forzada en una caja cartesiana periódica (ver Cho, Lazarian y Vishniac,2002b). El forzamiento es puramente solenoidal (es decir, incompresible) y es impuesto en el espacio de Fourier, a un número de onda fijo k = 2.5 (que corresponde a la escala 1/2.5 del dominio computacional). El campo magnético está compuesto por una base constante B0 más una parte fluctuante B1 (esto es B = B0 + B1). Las simulaciones comienzan con un medio homogéneo de densidad constante ρ0 = 1 y un campo magnético uniforme alineado con el eje x (es decir, B0 = B0x̂; además inicialmente, B1 = 0). 3Al inicio el espectro de potencias de la simulación es una delta de Dirac localizada en el número de onda de inyección, conforme evoluciona se van desarrollando todas las longitudes de onda hasta que se establece el espectro de potencias completo. Es decir cuando se tiene la escala de inyección, la escala inercial y la escala de disipación, es este momento se dice que la turbulencia está completamente desarrollada. 4El método ENO híbrido de segundo orden consiste en combinar dos esquemas del tipo ENO. Este tipo de métodos utiliza un número cambiante de celdas para hacer una reconstrucción de variables, necesaria para calcular los flujos numéricos a segundo y tecer orden, dependiento de la suavidad local de la solución. El código usado (basado en Cho, Lazarian y Vishniac, 2002b), utiliza el código pesado ENO de Jiang y Wu (1999) en las regiones suaves y cambia al ENO convexo de Liu y Osher (1998) en donde se encuentran gradientes importantes. 3.3. Metodología 39 CUADRO 3.1: Parámetros de las simulaciones MHD. Modelo υA,0 Pgas,0 MA Ms β M1 0.1 0.0049 ∼ 8.3 ∼ 11.9 ∼ 0.49 M2 0.1 0.0100 ∼ 7.7 ∼ 7.7 ∼ 1.0 M3 0.1 0.0250 ∼ 7.4 ∼ 4.7 ∼ 2.5 M4 0.1 0.0500 ∼ 7.6 ∼ 3.4 ∼ 5.0 M5 0.1 0.1000 ∼ 8.2 ∼ 2.6 ∼ 10.0 M6 0.1 0.7000 ∼ 7.6 ∼ 0.9 ∼ 70.0 M7 0.1 2.0000 ∼ 7.0 ∼ 0.5 ∼ 200.0 M8 1.0 0.0049 ∼ 0.8 ∼ 10.8 ∼ 0.0049 M9 1.0 0.0077 ∼ 0.8 ∼ 8.6 ∼ 0.0077 M10 1.0 0.0100 ∼ 0.7 ∼ 7.4 ∼ 0.01 M11 1.0 0.0250 ∼ 0.8 ∼ 4.8 ∼ 0.025 M12 1.0 0.0500 ∼ 0.8 ∼ 3.4 ∼ 0.05 M13 1.0 0.1000 ∼ 0.8 ∼ 2.7 ∼ 0.1 M14 1.0 0.7000 ∼ 0.8 ∼ 1.0 ∼ 0.7 M15 1.0 2.0000 ∼ 0.7 ∼ 0.5 ∼ 2.0 M16 2.0 0.0100 ∼ 0.4 ∼ 7.6 ∼ 0.0025 M17 2.0 0.1000 ∼ 0.4 ∼ 2.7 ∼ 0.025 M18 2.0 1.0000 ∼ 0.5 ∼ 1.0 ∼ 0.25 M19 3.0 0.0100 ∼ 0.3 ∼ 8.2 ∼ 0.001 M20 3.0 0.1000 ∼ 0.3 ∼ 2.6 ∼ 0.01 M21 3.0 1.0000 ∼ 0.3 ∼ 1.0 ∼ 0.1 M22 5.0 0.0100 ∼ 0.2 ∼ 9.0 ∼ 0.0004 M23 5.0 0.1000 ∼ 0.2 ∼ 2.7 ∼ 0.004 M24 5.0 1.0000 ∼ 0.2 ∼ 0.9 ∼ 0.04 Las simulaciones se desarrollan, evolucionan constantemente, hasta que alcanzan un estado estacionario. Los parámetros que caracterizan cada uno de los modelos son: el número de Mach sónico Ms = 〈uL/cs〉 y el número de Mach Alfvénico MA = 〈uL/υA〉, donde uL = urms es la velocidad a grandes escalas, cs la velocidad del sonido, υA = |B|/ √ 4πρ0 la velocidad de Alfvén y 〈· · · 〉 denota el promedio sobre todo el dominio computacional. Estos parámetros que se calculan al finalizar la simulación son, a su vez, controlados por los valores de la velocidad de Alfvén inicial υA,0 = |B0|/ √ 4πρ0 y la presión inicial del gas, Pgas,0. Cuando las simulaciones alcanzan el estado estacionario, las fluctuaciones del campo magnético pueden ser del orden del campo uniforme, pero en promedio este permanece alineado en la dirección original (a lo largo del eje x). Los diferentes modelos se encuentran resumidos en el Cuadro 3.1 donde se listan las condiciones iniciales y los valores resultantes de los números de Mach. Los parámetros usados cubren un gran rango entre los 40 Capítulo 3. Visión General y Metodología regímenes turbulentos subsónicos y supersónicos junto con sub-Alfvénicos y super-Alfvénicos. En el Cuadro 3.1 también se muestra el parámetro β (medido comoM2A/M2s) del plasma (ec. 2.10) de cada modelo, el cual cubre casos en los cuales domina de manera dinámica el campo magnético (β � 1,) y casos donde este no importa dinámicamente (β � 1). 3.3.2. Centroides de velocidad Como se mencionó antes, la anisotropía de la turbulencia MHD (dependiente de la escala), descrita en la teoría GS95, solo puede ser interpretada en un campo magnético local para cualquier vórtice turbulento. En las observaciones, sin embargo, no se puede estudiar directamente la anisotropía local porque no se tiene acceso a la distribución espacial del material emisor en 3D. Por ejemplo, en observaciones espectroscópicas se obtiene más bien la distribución del material emisor en cierta posición (o conjunto de posiciones) en el plano del cielo, en función de la velocidad a lo largo de la LOS. Y, como a una velocidad dada se puede tener contribución del material emitiendo en cualquier posición a lo largo de la LOS, la anisotropía medida correspondería al campo magnético global. En Esquivel y Lazarian (2011), y en Burkhart y col. (2014) se estudió la anisotropía de los centroides de velocidad en un marco de referencia global y se encontró que la anisotropía es mayormente independiente de la escala, en el rango inercial. En un trabajo reciente de Kandel, Lazarian y Pogosyan (2016) se extiende al marco teórico del Análisis de Canales de Velocidad (Lazarian y Pogosyan, 2000) para estudiar las estadísticas y anisotropía en canales de velocidad desde una perspectiva analítica. La descripción teórica de los mismos, permitió un seguimiento natural para abordar la anisotropía de centroides de velocidad también desde una perspectiva analítica (Kandel, Lazarian y Pogosyan, 2017). En este trabajo revisamos los estudios anteriores en Esquivel y Lazarian (2011) y Burkhart y col. (2014) de la anisotropía en observaciones sintéticas para comparar con las predicciones de Kandel, Lazarian y Pogosyan (2017). Además estudiaremos los modos MHD y su contribución por separado a la anisotropía observada. Para hacer eso tomamos los resultados de las simulaciones MHD, construimos mapas de densidad columnar y de centroides de velocidad integrando (es decir, considerando diferentes LOS) a lo largo de las coordenadas x, y y z. Por ejemplo, si la LOS coincide con el eje z, y suponiendo un medio ópticamente delgado cuya emisividad es 3.3. Metodología 41 proporcional a la densidad, la intensidad integrada resultantes es Iz(x, y) = ∫ dz ρ(x, y, z), (3.1) que corresponde a la densidad columnar. Bajo las mismas suposiciones, la velocidad media en la LOS se puede calcular como Vz(x, y) = 1 Nz ∫ dz υz(x, y, z), (3.2) donde Nz es el número de celdas utilizadas para descretizar z. Cabe mencionar que esta velocidad promedio no se puede obtener directamente de las observaciones. Los centroides de velocidad han sido ampliamente utilizados para relacionar su estadística con la velocidad, su forma convencional es Cz(x, y) ≡ ∫ dz ρ(x, y, z)υz(x, y, z)∫ dz ρ(x, y, z) . (3.3) La ecuación anterior es la definición de centroides de velocidad normalizados. El denominador de la ec. (3.3) introduce una complicación algebraica cuando se realiza un análisis directo de las estadísticas de dos puntos (ver Esquivel y Lazarian, 2005). Entonces, por simplicidad, consideramos el centroide de velocidad no normalizado Cz(x, y) = ∫ dz ρ(x, y, z)υz(x, y, z). (3.4) Notamos que la ec. (3.4) tienen unidades de densidad por velocidad y no solo de velocidad. Con la finalidad de estimar las contribuciones individuales de los modos MHD a la anisotropía general descompondremos la velocidad de los distintos modos MHD (Alfvén, lentos y rápidos), obteniendo un campo de velocidades para cada uno. Con estos campos de velocidad construimos nuevos mapas de velocidad media proyectada sobre la LOS y nuevos centroides de velocidad. Denotaremos a la densidad columnar como ILOS (LOS se denota por x, y, z según sea el caso) y con un subíndice adicional “A”, “s” y “f” para los modos de Alfvén, lentos y rápidos, respectivamente (por ejemplo, Vz,A es la velocidad media en la LOS para el modo de Alfvén integrado en z y Cx,f es el mapa de centroides de velocidad con la velocidad del modo rápido, integrado en x). 42 Capítulo 3. Visión General y Metodología A continuación describimos brevemente el proceso de descomposición de modos. 3.3.3. Descomposición de los modos
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