Logo Studenta

Anisotropa-de-centroides-de-velocidad-y-el-impacto-de-los-diferentes-modos-MHD-en-el-medio-interestelar-turbulento

Vista previa del material en texto

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE
MÉXICO
POSGRADO EN ASTROFÍSICA
ASTROFÍSICA TEÓRICA
ANISOTROPÍA DE CENTROIDES DE VELOCIDAD Y EL
IMPACTO DE LOS DIFERENTES MODOS MHD EN EL
MEDIO INTERESTELAR TURBULENTO
TESIS
QUE PARA OPTAR POR EL GRADO DE:
MAESTRO EN CIENCIAS (ASTROFÍSICA)
PRESENTA:
DAVID HERNÁNDEZ PADILLA
TUTOR:
DR. JOSÉ ALEJANDRO ESQUIVEL SALAZAR
INSTITUTO DE CIENCIAS NUCLEARES
CIUDAD UNIVERSITARIA, CD. MX., ENERO DE 2018
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
Restricciones de uso 
 
DERECHOS RESERVADOS © 
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL 
 
Todo el material contenido en esta tesis esta protegido por la Ley Federal 
del Derecho de Autor (LFDA) de los Estados Unidos Mexicanos (México). 
El uso de imágenes, fragmentos de videos, y demás material que sea 
objeto de protección de los derechos de autor, será exclusivamente para 
fines educativos e informativos y deberá citar la fuente donde la obtuvo 
mencionando el autor o autores. Cualquier uso distinto como el lucro, 
reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el 
respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
II
III
«When I meet God, I am going to ask him two questions: Why relativity? And why
turbulence? I really believe he will have an answer for the first.»
Werner Karl Heisenberg
V
Agradecimientos
Te doy gracias Dios por haberme permitido concluir satisfactoriamente
este trabajo, que a mis escasas luces he realizado con todo mi esfuerzo y
dedicación.
A mis padres, David y María Carmen, por su apoyo incondicional y su
compresión en todo momento. También a mis hermanos Aldo y Alejandro,
que de una u otra manera pusieron su granito de arena en mi formación y en
este trabajo.
De igual manera, mi más grande muestra de agradecimiento a las familias
Jáuregüi Padilla, Villagran Padilla y Hernández Aceves.
A mi asesor Alejandro Esquivel, por guiarme a lo largo de la maestría y
de esta tesis y por compartir conmigo esta experiencia académica.
Al grupo de Astroplasmas quienes me brindaron su amistad y compañerismo
a lo largo de esta maestría.
A Anayeli, Ema y Daniel, que les ha tocado vivir toda esta travisía y
también mis berrinches y momentos de mal humor que todo este trabajo me
produjo.
A Manolo, que a pesar de la distancia, me ha apoyado con su oración y
recuerdo.
Gracias, al Instituto de Ciencias Nucleares y al Posgrado en Astrofísica y
a todos los profesores que intervinieron en mi formación.
A todas las personas que voluntaria o involuntariamente participaron
en mi formación académica y en la realización este trabajo y que no he
mencionado en estas páginas, pero que están presentes en mi memoria:
¡GRACIAS!
VII
Índice general
Agradecimientos V
Resumen IX
1. Turbulencia 1
1.1. Naturaleza y características de la turbulencia . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Número de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Características generales de los flujos turbulentos . . . 3
1.1.3. Origen de la turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Herramientas estadísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1. Función de Correlación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2. Función de Estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3. Espectro de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Turbulencia Homogénea e Isotrópica . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Modelo de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1. Cascada de energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2. Disipación de energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.3. Espectro de energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5. Turbulencia en el Medio Interestelar . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1. Distribución de densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.2. Campos de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2. Magnetohidrodinámica 19
2.1. Ecuaciones de MHD ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1. Inducción Magnética (Límites difusivo y de
conductividad perfecta) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2. Fuerza de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2. Ondas Magnetohidrodinámicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1. Ondas puramente Magnéticas . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2. Ondas Magnetoacústicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3. Turbulencia en MHD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.1. Turbulencia de Goldreich-Sridhar . . . . . . . . . . . . 30
2.3.2. Compresibilidad del ISM . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
VIII
3. Visión General y Metodología 33
3.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2. Visión General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3. Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.1. Modelos Númericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.2. Centroides de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.3. Descomposición de los modos MHD . . . . . . . . . . . 42
3.3.4. Función de Estructura de los mapas bidimensionales . 46
3.3.5. Grado de Isotropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4. Resultados 47
4.1. Función de estructura de los centroides de velocidad . . . . . 47
4.2. Grado de Isotropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3. Grado de Isotropía promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5. Conclusiones 65
A. Deducción de las ecuaciones MHD 67
A.1. Campo electromagnético en un fluido . . . . . . . . . . . . . . 67
A.2. Fluido en un campo magnético. Ecuaciones de la MHD ideal . 68
B. Descomposición de los modos MHD 71
C. Anisotropía de centroides. Formalismo General 75
Bibliografía 81
IX
Universidad Nacional Autónoma de México
Resumen
Posgrado en Astrofísica
Instituto de Ciencias Nucleares
Maestro en Ciencias (Astrofísica)
Anisotropía de Centroides de Velocidad y el impacto de los diferentes
modos MHD en el Medio Interestelar Turbulento
por David HERNÁNDEZ PADILLA
Realizamos observaciones sintéticas de regiones de hidrógeno neutro (HI)
utilizando un conjunto de simulaciones magnetohidrodinámicas (MHD).
Las simulaciones se realizan en una malla Cartesiana (con 5133 celdas),
resolviendo las ecuaciones de la MHD ideal compresible, con una ecuación
de estado isotérmica. Estas inician con un campo magnético uniforme en
el eje x y un medio homogéneo, con densidad ρ = 1. Ahí se fuerza
externamente la turbulencia y se detiene la simulación cuando se llega a
un estado estacionario. Tenemos 24 modelos (simulaciones) con diferentes
números de Mach sónico (Ms) y de Alfvén (MA), a partir de los cuales
generamos mapas de densidad columnar y de centroides de velocidad. A
todos ellos se les calculó la función de estructura en 2D, y a partir de estas
se midió un nivel de anisotropía. Adicionalmente, se descompuso el campo
de velocidades en los diferentes modos MHD (de Alfvén, lento y rápido).
Con estos nuevos campos de velocidades se calcularon nuevos mapas de
centroides para estudiar la contribución de cada uno de estos modos MHD a
la anisotropía observada. Como resultado encontramos que cuando la línea
de visión es paralela al campo magnético los centroides son isotrópicos y
dominados por los modos lentos. Cuando la línea de visión es perpendicular
al campo, los centroides son dominados por los modos de Alfvén, los cuales
son anisótropos. Para una orientación dada, los centroides de velocidad
aumentan su nivel de anisotropía conforme aumenta el campo magnético
(disminuye MA). Al mismo tiempo, la anisotropía medida en los modos
de Alfvén es consistente con las predicciones analíticas de Kandel, Lazarian
y Pogosyan (2017).
http://www.university.com
http://faculty.university.com
http://department.university.com
XI
Para mis papás, hermanos y sobrino.. . .
1
Capítulo 1
Turbulencia
1.1. Naturaleza y características de la turbulencia
Entender el comportamiento turbulento de un fluido es uno de losproblemas más importantes en la física clásica. Una gran parte de los fluidos
son turbulentos y ocurren en muchos fenómenos a diferentes escalas. Por
ejemplo, en el sistema circulatorio y respiratorio de los seres vivos, en
fenómenos geofísicos como océanos y atmósferas y en astrofísica desde
interiores estelares, nubes de gas y polvo en el medio interestelar, e incluso a
escalas galácticas y extragalácticas.
1.1.1. Número de Reynolds
El número de Reynolds (Re) se puede definir como el cociente entre las
fuerzas inerciales (que en términos generales desordenan el fluido) y las
fuerzas viscosas (que en términos generales lo ordenan),
Re =
ρU`
µ
(1.1)
donde ρ y µ son la densidad y viscosidad dinámica (µ = ρν con
ν la viscosidad cinética), U es una escala de velocidad (i.e., un valor
“típico” de la velocidad, por ejemplo su promedio) y ` es una longitud
de escala típica, dada por ejemplo por las dimensiones del sistema en
que se encuentra el fluido. Cuando Re es grande, las fuerzas viscosas, y
por consiguiente la disipación molecular, son pequeñas. Tales flujos son
propensos a inestabilidades y turbulencia. Cuando Re es pequeño dominan
las fuerzas viscosas que hacen el fluido más ordenado.
En la Figura 1.1 se muestra un ejemplo ilustrativo de un experimento
de un flujo a través de un obstáculo con forma de cilindro. En este caso las
componentes del número de Reynolds (ec. 1.1) podrían identificarse como U
2 Capítulo 1. Turbulencia
FIGURA 1.1: Flujo sobre un cilindro.: (a) Re < 1; (b) 5 < Re < 40; (c)
100 < Re < 200; (d) Re ∼ 104 y (e) Re ∼ 106. (Davidson, 2015)
1.1. Naturaleza y características de la turbulencia 3
la velocidad de avance del fluido, ` el diámetro del cilindro y ν la viscosidad
del fluido. Para valores grandes de ν se tiene un fluido laminar (ver Fig.
1.1a). Conforme Re se aproxima a uno, el flujo después del cilindro genera
una asimetría entre las direcciones a favor y en contra del flujo. En el rango
Re ∼ 5 − 40 se encuentran vórtices estables unidos a la parte trasera del
cilindro; estos vórtices son llamados vórtices gemelos (ver Fig. 1.1b). Cuando
Re ∼ 40 se observa una inestabilidad en forma de oscilación en la estela,
y para Re ∼ 100 los vórtices comienzan a desprenderse por detrás del
cilindro de manera periódica (ver Fig. 1.1c). El fluido aún podría considerarse
laminar pero con pérdida de simetría arriba y abajo del cilindro. Esta es la
famosa calle de vórtices de Kármán. La calle laminar de Kármán persiste hasta
Re ∼ 200 donde se desarrollan inestabilidades tresdimensionales. A números
de Reynolds más altos hay desprendimiento de vórtices con más estructura,
sin embargo, este desprendimiento es relativamente “ordenado” (periódico,
ver Fig 1.1d). Finalmente, si se incrementa aún más el número de Reynolds
se establece finalmente un estado turbulento (ver Fig. 1.1e).
1.1.2. Características generales de los flujos turbulentos
Como tal no existe una definición exacta de la turbulencia, sin embargo
en general, se tiene una idea de lo que es un movimiento turbulento. Ante
la falta de una definición precisa se opta por describirla, enunciando sus
propiedades más notorias, que son:
1. Irregularidad. Quizá sea la característica más notoria para cualquier
observador. La irregularidad se puede presentar tanto en el espacio
como en el tiempo. Los fluidos turbulentos son caóticos e impredecibles,
sin embargo presentan ciertas regularidades que solo son evidentes
utilizando herramientas estadísticas, algunas de las cuales se enunciaran
más adelante.
2. Ocurrencia a números de Reynolds altos. Como ya se vio en la sección
1.1.1, la turbulencia aparece cuando Re es grande. De hecho, el número
de Reynolds es uno de los parámetros que se utilizan para distinguir
entre flujo laminar y turbulento. La turbulencia frecuentemente se
origina como una serie de inestabilidades en los flujos laminares (lo
cual se verá en la siguiente sección).
3. Aumento de los fenómenos de transporte. Los fenómenos de transporte
de masa, de cantidad de movimiento y de energía son más eficientes
por efecto de la turbulencia.
4 Capítulo 1. Turbulencia
4. Transferencia continua de energía. La turbulencia tiende a decaer
(disiparse, por las pérdidas viscosas que ocurren a pequeñas escalas,
en forma de calor). Para que la turbulencia se mantenga, es necesario
un suministro constante de energía a escalas grandes.
5. Tridimensionalidad. La libertad de los fluidos de moverse en 3
dimensiones provee una mejor eficiencia de transferencia de energía
que si se restringe a una dimensionalidad menor. Típicamente se
considera en los modelos el transporte de energía por movimientos
tridimensionales. Sin embargo, hay fluidos que no tienen tantos grados
de libertad, por ejemplo debido a disparidad de escalas (como en un
huracán que es mucho más ancho que largo) y que tienen que ser
modelados de manera bidimensional o unidimensinal.
La dinámica de la turbulencia es similar en los fluidos con el mismo
número de Reynolds, independientemente de las propiedades moleculares
del fluido en el que tiene lugar la turbulencia.
1.1.3. Origen de la turbulencia
Para que un fluido sea estable es necesario que si se producen pequeñas
perturbaciones, estas disminuyan con el tiempo. Por el contrario, si las
pequeñas perturbaciones que se producen en el flujo tienden a aumentar con
el tiempo, entonces el flujo es inestable (Landau y Lifshitz, 2001) y susceptible
de volverse turbulento.
Un fluido es laminar si es estable ante pequeñas perturbaciones, lo cual
ocurre únicamente bajo ciertas condiciones. Por ejemplo, para fluidos
viscosos y homogéneos en un conducto, la condición consiste en que el
número de Reynolds sea menor que un cierto valor crítico. Cuando esto
no se satisface, las perturbaciones crecen espontáneamente. En ocasiones
estas perturbaciones pueden crecer hasta una amplitud finita y alcanzar un
nuevo estado estacionario. Este nuevo estado puede ser de nuevo inestable
frente a otro tipo de perturbaciones. Finalmente el flujo se puede convertir
en una superposición de numerosas perturbaciones aleatorias y alcanzar una
condición caótica. A esto se le conoce como turbulencia.
1.2. Herramientas estadísticas 5
1.2. Herramientas estadísticas
Como se mencionó anteriormente, la irregularidad e impredecibilidad de
los flujos turbulentos hace necesario el uso de herramientas estadísticas para
su estudio. Aquí se definen algunas de estas herramientas.
Consideremos una variable de estado escalar (por ejemplo, presión,
densidad, velocidad) que puede ser escrita como un promedio más una parte
fluctuante, esto es
q(x, t) = q(x) + q′(x, t) (1.2)
donde q(x, t) es dicha variable, q(x) es su promedio (en el tiempo) y q′(x, t)
es la parte fluctuante; a esto se le conoce como la descomposición de Reynolds.
A menudo se tiene turbulencia alrededor de un flujo medio, en esta situación
q(x) se refiere al flujo medio y q′(x, t) a su fluctuación, de la cual se quiere
estudiar las propiedades estadísticas. De la ec. 1.2 se tiene que
q(x, t) = q(x, t) y q′(x, t) = 0.
Alternativamente, se pueden considerar promedios espaciales a un
tiempo dado como q(x, t) = 〈q(t)〉 + q′(x, t), donde es claro que se cumpliría
que 〈〈q(x, t)〉〉 = 〈q(x, t)〉 y 〈q′(x, t)〉 = 0. A continuación se utiliza este tipo
de promedios.
1.2.1. Función de Correlación
Dado que los promedios de las fluctuaciones se anulan, Taylor (1935)
sugirió considerar a modo de promedio la función de correlación espacial
CF(r, t) = 〈q′(x, t)q′(x + r, t)〉 (1.3)
(también llamada autocorrelación, donde r es un vector de desplazamiento
espacial y 〈q′q′〉 un promedio espacial, usualmente obtenido a través de un
producto escalar1). La función de correlación provee una medida de que tan
bien una señal “recuerda” dónde ha estado; esto es una integral a lo largo del
espacio de los valores de la señal a un tiempo dado, multiplicado por una
copia con un argumento trasladado. Si la función de correlación no depende
1Producto escalar: 〈qs〉 ≡
∞∫
−∞
q(x)s(x)dx. También se pueden construir funcionesde
correlación temporales, tomando, para una posición dada, valores con desplazamientos en
el tiempo, y promediando también en el tiempo.
6 Capítulo 1. Turbulencia
del tiempo, se dice que la turbulencia es estacionaria, si no depende de la
posición se dice que la turbulencia es estadísticamente homogénea.
Si las fluctuaciones de q′(x) son estadísticamente independientes, entonces
CF(x, t) = 0 (esto suele ocurrir cuando la separación r es mucho más
grande que un tamaño típico del vórtice en la turbulencia). Los valores de la
función de correlación, usualmente, se reescalan al intervalo (−1, 1). Si r = 0,
entonces CF(0) = 〈q′2(x, t)〉, es una medida de la dispersión (varianza) de la
cantidad en cuestión.
1.2.2. Función de Estructura
Otra función que da información similar a la función de correlación,
pero que en ocasiones da alguna ventaja cuando se trabaja con datos
observacionales, es la función de estructura de orden p (aquí se muestra
la espacial, pero se puede construir también con promedios temporales)
consiste en promedios de las diferencias entre las cantidades medidas en
diferentes posiciones en el flujo. Se definen, de manera similar, por
SFp(r) = 〈[q(x + r)− q(x)]p〉, (1.4)
Esta es la forma de la función de estructura aplicada comúnmente a
cantidades escalares. Para cantidades vectoriales (por ejemplo, velocidad o
vorticidad) se definen las funciones de estructura/correlación transversales
y longitudinales. Por ejemplo, para las funciones de estructura transversales
se consideran separaciones perpendiculares a la dirección que une los puntos
de medida (perpendiculares a r). Es decir son calculadas como
SFp⊥(r) = 〈[(q(x + r)− q(x)) · ê⊥]p〉,
donde q(x) es el campo vectorial y ê⊥ es el vector unitario en la dirección
transversal (perpendicular) con respecto a la dirección de r. La función de
estructura longitudinal se define, análogamente, como
SFp‖(r) = 〈[(q(x + r)− q(x)) · ê‖]p〉,
donde ê‖ = r̂.
Un caso particular, es la función de estructura de segundo orden que para una
cantidad escalar, en este caso, la magnitud de la velocidad u(x) es
SF2(r) = 〈[u(x + r)− u(x)]2〉. (1.5)
1.2. Herramientas estadísticas 7
Es fácil notar que la función de estructura de segundo orden está relacionada
con la función de correlación mediante
SF2(r) = 2[CF(0)− CF(r)]. (1.6)
De forma análoga se pueden construir funciones de correlación, y espectros
de potencias, transversales y longitudinales.
1.2.3. Espectro de Potencias
Otra alternativa es trabajar con el número de onda en lugar del tamaño
físico de los vórtices, usando la transformada de Fourier. En particular, se
puede introducir una función, llamada el espectro de potencias N dimensional,
dada por una transformada de Fourier de las fluctuaciones de la función de
correlación
PND(k) ≡
1
(2π)N
∫
e−ik·rCF(r)dNr, (1.7)
donde k es el vector de onda. El espectro de potencias de velocidad (en un
régimen incompresible) tiene una importante representación física como la
distribución de energía cinética (por unidad de masa) en función de la escala.
Si u(r) es el campo de velocidad, el espectro de potencias es la energía en
escalas entre k y k + δk, de esta manera, la energía total es proporcional a
〈u(r)2〉 =
∫
PND(k)dk. (1.8)
Se ha de notar que la interpretación física es un tanto diferente si se trata del
espectro de potencias de otra cantidad por ejemplo, del espectro de potencias
de las fluctuaciones de densidad. (Esquivel y Lazarian, 2005).
8 Capítulo 1. Turbulencia
1.3. Turbulencia Homogénea e Isotrópica
Bajo ciertas condiciones, la turbulencia puede ser homogénea y/o
isotrópica.
La turbulencia homogénea es tal que las propiedades estadísticas no cambian
con una traslación espacial.
La turbulencia isotrópica presenta estadísticas que son independientes de las
rotaciones y las reflexiones (en otras palabras de la dirección). Cuando este
no es el caso, la turbulencia se denomina anisotrópica.
Si la turbulencia es homogénea e isotrópica, entonces se pueden deducir
algunas propiedades de la función de correlación por simetría.
Primeramente, el flujo medio 〈u(x)〉 es cero, ya que un flujo medio en una
dirección no es consistente con la isotropía.
Si la turbulencia es isotrópica, todas las direcciones son equivalentes y la
función de correlación, la función de estructura y el espectro de potencias son
independientes de la dirección de r, y solo dependen de su magnitud (y el
espectro de potencias, similarmente, depende solo de la magnitud de k). De
hecho es común promediar las diferentes direcciones y graficar las funciones
de correlación, estructura y el espectro de potencias como función de la
magnitud de la separación (r) o del número de onda (k), respectivamente.
Más adelante se considerará una cascada anisotrópica, y por consiguiente
habrá que mantener información acerca de la dirección de la separación r (o
k).
1.4. Modelo de Kolmogorov 9
1.4. Modelo de Kolmogorov
Ahora se introducirá, de forma simplificada, una de las teorías más
importantes de la turbulencia. Una manera de estudiar el comportamiento
de un fluido en estado turbulento es a través del modelo propuesto por A.
N. Kolmogorov, también conocido como la teoría de Kolmogorov (en adelante,
K41). Esta teoría fue publicada en una serie de tres artículos en 1941 como
resultado de los primeros trabajos de A. N. Kolmogorov y A. M Obukhof.
Se considera un fluido no magnetizado, incompresible y viscoso ν > 0
en 3D. De igual manera se supone un fluido homogéneo e isotrópico. Este
modelo considera un campo de velocidad turbulenta como la superposición
de estructuras (vórtices) caracterizadas por un escala espacial ` y el
incremento del campo de velocidad asociado δu` = [u(x + `)− u(x)] · `/`. Ya
que se supuso isotropía, los incrementos en el campo solamente dependen
de la magnitud de la escala `, de esta manera se puede definir la velocidad
característica del vórtice a través de la función de estructura de segundo
orden
u` = 〈δu2`〉1/2 = SF2(`)1/2
La teoría K41 describe, desde el punto de vista estadístico, la cantidad y
variación de la energía cinética del fluido a lo largo de las diferentes escalas
de longitud `. Se comienza desde las grandes escalas de longitud `0, donde
fuerzas externas actúan sobre el fluido, hasta las escalas pequeñas a nivel
molecular, donde la viscosidad del fluido disipa la energía.
1.4.1. Cascada de energía
La llamada cascada de energía es la fragmentación de estructuras de
vórtices grandes que se descomponen en vórtices más pequeños dentro del
fluido turbulento.
Este modelo está basado en que (en 3D) la transferencia de energía sucede
de escalas grandes hacia escalas pequeñas. El modelo de cascada describe
el proceso de inyección, transferencia y disipación de energía cinética en
el fluido lo cual sucede a través de las diferentes escalas de longitud que
intervienen en dicho proceso. Denotando por `0 la escala en la cual la energía
cinética es introducida al sistema por una fuerza externa, con una tasa de
inyección ε0.
10 Capítulo 1. Turbulencia
El modelo de Kolmogorov supone que la transferencia de energía cinética
desde grandes escalas de longitud hacia pequeñas escalas `0 > `2 > · · · >
`1 � `D, se realiza a una tasa de transferencia constante εT y a través de
estructuras de vórtices que se disocian en vórtices más pequeños hasta una
escala de disipación viscosa `D, donde la energía cinética es transformada en
calor a una tasa de disipación εD.
· · ·
`0 `1 `T `2 `D
Inyección de enerǵıa, tasa ε0
Transferencia de enerǵıa, tasa εT
Disipación de enerǵıa, tasa εD
FIGURA 1.2: Procesos de inyección, transferencia y disipación de
energía cinética en un fluido.
Para ilustrar los procesos de inyección, transferencia y disipación de
energía cinética se presenta la Figura 1.2 que muestra la estructura de
vórtices representada por círculos cuyos diámetros son las distintas escalas
de longitud ordenadas en forma decreciente.
A continuación se hace una descripción un poco más detallada de las
escalas de longitud mencionadas anteriormente:I) La escala de inyección `0 (que corresponde a la escala más grande). Esta
escala también se llama longitud característica del fluido, es la escala
mayor a la cual la fuerza externa actúa sobre el fluido introduciendo
energía cinética.
II) Las escalas intermedias `0 � `T � `D (las cuales corresponden a la
transferencia de energía). Cuando la energía cinética es introducida en el
fluido a la escala `0, esta se transfiere a escalas más pequeñas de manera
autosimilar, esto es, la energía cinética es transferida a las escalas más
pequeñas de manera idéntica. Un fluido incompresible y viscoso entra
en estado turbulento cuando la escala de inyección `0 es mucho más
grande que la escala de disipación `D entonces:
1.4. Modelo de Kolmogorov 11
existe un intervalo de escalas intermedias `0 � `T � `D,
conocido como rango inercial, en donde la energía cinética se
puede transferir desde grandes a pequeñas escalas; además,
para las escalas intermedias, las cuales son aún mucho mayores
a la escala (`T � `D), los efectos de la viscosidad del fluido que
se opone al movimiento, son despreciables. Entonces la energía se
transfiere a una tasa constante sin ser disipada en el rango inercial.
III) La escala de disipación o escala de Kolmogorov `D. A esta escala los
efectos viscosos se vuelven importantes y la turbulencia empieza a ser
disipada en forma de calor. El escalamiento propio del rango inercial ya
no aplica para escalas iguales o menores a `D.
1.4.2. Disipación de energía
El modelo K41 caracteriza la tasa a la cual se transfiere la energía como
constante en el rango inercial.
En el modelo K41 se tiene además que la tasa de inyección de energía es igual
a la tasa de transferencia de energía, y también es igual a la tasa de disipación
de energía. Es decir
ε0 = εT = εD(= ε). (1.9)
Además la tasa de transferencia de energía cinética en la escala inicial es
ε0 ≈
u2`0
τ0
≈ u
2
`0
`0/u`0
≈ u
3
`0
`0
(1.10)
donde τ0 es el tiempo característico asociado a la escala `0 que es la escala
inicial y u`0 es la velocidad característica inicial.
Entonces, del modelo de cascada de energía se tiene que la energía
cinética es introducida a la escala inicial `0, en donde los vórtices de esta
escala se fragmentan en vórtices de escala más pequeña (ver Fig. 1.2). Esta
fragmentación transfiere la energía cinética introducida y se encuentra, de
manera experimental, que la tasa de transferencia a la escala ` es ε ≈ u2`/τ`,
donde τ` = `/u` es el tiempo de vida de los vórtices de la escala `.
Ya que ε es constante, segun el modelo K41, se tiene que
ε = ε0 ≈
u3`
`
≈ u
3
`0
`0
(1.11)
12 Capítulo 1. Turbulencia
Visto de otra manera, esto provee una relación entre la velocidad de los
elementos del fluido (u`) y sus separación (`) a saber,
u` ∼ ε1/30 `1/3 ⇒ u` ∼ u`0
(
`
`0
)1/3
. (1.12)
1.4.3. Espectro de energía
Los resultados anteriores se pueden expresar también en términos de
espectros de potencias. Considerando un número de onda k = 2π/`, en el
rango inercial (con k0 � k � kD) el espectro de potencias de la energía
cinética (∼ u2` ) se puede escribir como
E(k) ≈ Cεαkβ, (1.13)
donde C > 0 es una constante que no depende de las características físicas
del fluido, como su viscosidad por ejemplo, y por lo tanto es la misma para
todos los fluidos incompresibles viscosos.
Para encontrar los valores de los exponentes α y β en la ec. (1.13), se
pueden analizar las dimensiones físicas de cada término de la ecuación. El
espectro de energía tiene unidades de [E(k)] = L3/T 2 donde L es cualquier
unidad de longitud y T es para la unidad temporal. Por otro lado las
unidades de la tasa de disipación son [ε] = L2/T 3 y las unidades del
número de onda son [k] = 1/L; por lo tanto las dimensiones de [εαkβ] son:
[εαkβ] = L2α−β/T 3α. Así los exponentes α y β deben verificar las ecuaciones
2α− β = 3 y 3α = 2 de donde se obtiene que α = 2
3
y β = −5
3
.
Entonces cuando el fluido se encuentra en estado turbulento, para las escalas
en el rango de inercial, el espectro de energía cumple
E(k) ≈ Cε 23k− 53 , (1.14)
La Figura 1.3 muestra el espectro de energía para un fluido en estado
turbulento según los distintos valores del número de onda k.
Se tiene que para los número de onda intermedios k0 � k � kD, es decir
en el rango inercial, donde ocurre la transferencia de energía, el espectro
de energía está caracterizado por una ley de potencias con una pendiente
logarítmica −5
3
.
Si se integra la densidad espectral PND(k) (ver ec. 1.8) en dos dimensiones
se obtiene un espectro de −8
3
; si se integra en 3D da un espectro de −11
3
.
1.4. Modelo de Kolmogorov 13
log(E(k))
log(k)
k0 kT kD
Escala de
Escala de
∝ k− 53
disipación
inyección
Rango Inercial
FIGURA 1.3: Escalas de longitud de la turbulencia
La Figura 1.3 muestra un bosquejo del espectro de energía cinética para
un fluido en estado turbulento según los distintos valores del número de
onda k ∝ 1/`. Se puede observar que a pesar de que la turbulencia tiene
la característica de ser aleatoria o caótica, con el espectro de potencia se
puede ver que la energía se distribuye de número de onda mayor a menor
de manera siguiendo una ley de potencia con una pendiente logarítmica de
−5/3. Más adelante se verá con más detalle. Esta figura corresponde a un Re
muy grande en la escala `0 pues el rango inercial es relativamente grande.
Así, el comportamiento del espectro de energía para Re pequeños que se sale
del rango inercial corresponde a un flujo laminar.
14 Capítulo 1. Turbulencia
1.5. Turbulencia en el Medio Interestelar
Anteriormente se han presentado algunos aspectos teóricos de la
turbulencia. La comparación directa con la dinámica del Medio Interestelar
(ISM, por sus siglas en inglés) no es trivial. A continuación se presentaran
algunas evidencias observacionales que sustentan la noción de un ISM
turbulento.
El reconocimiento de un ISM turbulento data de la época de los 50’s
con el trabajo de von Weizsäcker (1951) sobre la distribución espacial de
estructuras densas en el plano del cielo. Reconoció una jerarquía en las
estructuras y sugirió que el origen de dichas estructuras era la turbulencia.
La identificación de movimientos turbulentos fue proporcionado poco
después al medirse las dispersiones de velocidad (von Hoerner, 1951).
Posteriormente, las observaciones y estudios teóricos que apoyan la noción
de que el ISM está dominado por la turbulencia, han aumentado considera-
blemente con el tiempo.
1.5.1. Distribución de densidad
La distribución de densidad es una de las principales consecuencias del
carácter turbulento del ISM. En particular, de un medio turbulento se espera
que la distribución de fluctuaciones de densidad (en realidad su espectro
de potencias) siga una ley de potencias. Green (1993) estudió el espectro de
potencias espacial de la emisión de HI de diferentes campos de la Galaxia.
Obtuvo espectros de potencia con pendientes logarítmicas entre −2.2 y −2.8
en un rango de escala entre 35 pc y 200 pc.
Posteriormente, Armstrong, Rickett y Spangler (1995) utilizaron como
trazador de fluctuaciones de densidad el centelleo de la radiación de fondo
en observaciones hacia pulsares (ISS, es decir, el cambio en el índice
de refracción debido a los movimientos turbulentos en los componentes
ionizados del ISM) para obtener el espectro de densidad a lo largo de la línea
de visión (LOS, por sus siglas en inglés). Como método complementario,
también se utilizan fluctuaciones de las mediciones de la medida de la rotación
de Faraday2 (RM) en el plano del cielo para estimar las fluctuaciones de
densidad (una vez que se conoce o supone conocer el campo magnético)
2La Rotación de Faraday es una interacción entre la luz y el campo magnético en un medio.
El campo magnético cambia el índice de refracción para una onda electromagnética con
diferentes polarizaciones, derecha e izquierda, provocando una rotación de su plano de
polarización. Esta rotación es linealmente proporcional al producto de la componente del
campo magnético en la dirección de propagacióny densidad electrónica.
1.5. Turbulencia en el Medio Interestelar 15
FIGURA 1.4: Espectro de potencias de densidad a lo largo de la LOS
de diferentes conjunto de datos, la línea punteada es una referencia del
espectro como de Kolmogorov en 3D (k−11/3), ver Armstrong, Rickett
y Spangler (1995), gráfico extraído de Chepurnov y Lazarian (2010).
16 Capítulo 1. Turbulencia
en la LOS. La combinación de datos proporcionan las fluctuaciones de
densidad a lo largo de la LOS, para diferentes escalas, como se observa en
la Figura 1.4. La turbulencia que se explora por ambos métodos (ISS y RM)
presenta un espectro impresionante, con una pendiente consistente con la de
Kolmogorov, a través de más de diez órdenes de magnitud en longitud de
onda (escala).
Miville-Deschênes y col. (2003) encontraron una ley de potencia en el ISM
cercano a alta latitud galáctica con una pendiente de −3.6 (entre 0.1 pc y
25 pc). Roy y col. (2009) derivaron una ley de potencia con índice −2.7. Se
han realizado estudios similares desde entonces, incluyendo otros trazadores
de densidad tales como la emisión de nubes moleculares de CO y 13CO y
también se han inferido las leyes de potencia (por ejemplo, Bensch, Stutzki
y Ossenkopf, 2001 y Hill y col., 2008).
De igual manera, se han hecho estudios para otras galaxias. Se caracterizó
la turbulencia, utilizando las mismas técnicas, en la Nube Pequeña de
Magallanes (ver Stanimirović y col., 1999; Stanimirović y Lazarian, 2001;
Chepurnov y col., 2008; Burkhart y col., 2010) y reveló variaciones espaciales
de la morfología de HI. Dutta y col. (2013) calcularon el espectro de
potencias de la intensidad de fluctuaciones de HI para una muestra de 18
galaxias espirales y encontraron pendientes con rangos de −1.9 a −1.5. Un
espectro tan plano, comparado con K41, puede ser evidencia de vórtices
bidimensionales dominando la turbulencia a escalas más grandes que el
espesor del disco.
En general, se encuentra que las fluctuaciones de densidad tienen un
espectro de potencias que sigue una ley de potencias, aunque con diversos
índices espectrales. Esto es consistente con un ISM turbulento, los distintos
índices para el espectro de densidad pueden atribuirse a una variedad de
regímenes de la turbulencia (subsónico o supersónico, por ejemplo).
1.5.2. Campos de velocidad
Aunque la densidad sugiere un medio turbulento es deseable contar con
estadísticas de los campos de velocidad, los cuales se pueden relacionar más
fácilmente con los modelos teóricos.
Se pueden utilizar las observaciones de las líneas espectrales de diferentes
especies con alta resolución espectral para inferir la distribución de velocidad
de la turbulencia en las diferentes fases del ISM, tal como las líneas de
1.5. Turbulencia en el Medio Interestelar 17
hidrógeno (principalmente) y algunos iones para el ISM difuso (por ejemplo,
Bowen y col., 2008) y también líneas espectrales moleculares (12CO y 13CO en
muchos sondeos) de nubes moleculares.
FIGURA 1.5: Dispersión de velocidades de nubes moleculares en
función de la escala de longitud para 273 nubes de la Galaxia. La línea
de ajuste es σν = S0.5 kms−1, donde S = ` la escala. (Solomon y col.,
1987)
Larson (1981) y Solomon y col. (1987) encontraron, empíricamente,
escalamientos universales del ancho de línea y la distribución de masa en
nubes moleculares. En particular, ambos trabajos compilaron las distribuciones
de dispersión de velocidades observadas para varias nubes moleculares
y determinaron una ley empírica de escalamiento σν ∝ `αν con α ∼
0.3 − 0.5 y ν la frecuencia, como se muestra en la Figura 1.5. Modelos
de turbulencia hidrodínamica subsónica, como el de Kolmogorov, predicen
un α = 1/3, mientras que, si la distribución de densidad es dominada
por choques (turbulencia altamente supersónica), α ≈ 1/2. Se llevaron
acabo también estudios similares acerca de la distribución de velocidades en
nubes moleculares, tales como el trabajo de Goldsmith y col. (2008); Yoshida
y col. (2010); Qian, Li y Goldsmith (2012); Heyer y Brunt (2012) en la nube
molecular de Tauro; Gustafsson y col. (2006) y Liu, Wu y Zhang (2012) para
el conjunto molecular de la nube de Orión, entre otros.
Chepurnov y Lazarian (2010) presentaron un análisis estadístico de la
turbulencia de HI de alta latitud en la Vía Láctea basada en la técnica
18 Capítulo 1. Turbulencia
del espectro de coordenadas de velocidad (VCS). Encontraron un espectro de
potencias de velocidad Pu(k) ∝ k−3.8 y una escala de inyección de ∼ 140 ±
80 pc. La pendiente ligeramente más pronunciada, en comparación con K41,
puede ser el resultado de la turbulencia dominada por choques, con un
promedio de números de Mach sónico ∼ 7 − 8 (ver Figura 1.4 indicada con
H-alpha (WHAM), Falceta-Gonçalves y col., 2014).
19
Capítulo 2
Magnetohidrodinámica
El ISM además de ser turbulento, está magnetizado. Por esta razón se
introducen, en este momento, las ecuaciones que describen el flujo de fluidos
magnetizados (llamadas ecuaciones de la magnetohidrodinámica, MHD)
para el caso ideal (es decir, ignorando los efectos viscosos y/o resistivos).
2.1. Ecuaciones de MHD ideal
Las ecuaciones MHD ideal describen el movimiento de un fluido
perfectamente conductor que interactúa con un campo magnético; la
condición impuesta al fluido, de que sea un conductor eléctrico, implica
la existencia de cargas libres o casi libres (comúnmente electrones), cuyo
movimiento es afectado por efecto de los campos electromagnéticos presentes.
Para que el sistema pueda ser descrito por la MHD se requiere: que las
frecuencias de variación de los campos implicados debe ser mucho menor
que la frecuencia efectiva de colisión de los electrones, es decir, que los
tiempos característicos de variación de los campo deben ser mayores que
los tiempos de recorrido libre medio de los electrones de conducción y
del tiempo de giro de estos alrededor de las líneas de campo. Bajo esta
hipótesis, la ley de Ohm es válida en su forma estacionaria y los electrones e
iones se mueven de tal modo que no hay separación de cargas, pudiéndose
describir el movimiento mecánico del sistema mediante un fluido conductor
único. En este límite de bajas frecuencias, se puede despreciar la corriente de
desplazamiento en la ley de Ampère (ver Apéndice A).
Las ecuaciones MHD resultan de acoplar las ecuaciones del electro-
magnetismo de Maxwell con las ecuaciones de la dinámica de gases. Para
cerrar el sistema se utiliza, así como en el caso puramente hidrodinámico la
ley de gases ideales, en el caso magnetohidrodinámico se añade la ecuación
de Ohm. Entonces las ecuaciones MHD ideal son:
20 Capítulo 2. Magnetohidrodinámica
∂ρ
∂t
+∇ · (ρu) = 0, Ecuación de continuidad (2.1)
∂ρu
∂t
+∇ · (ρuu− 1
4π
BB + P I) = 0, Ecuación momento (2.2)
∂E
∂t
+∇ · [(E + P I)u− 1
4π
B(B · u)] = 0, Ecuación de energía (2.3)
∂B
∂t
−∇× (u×B) = 0, Ecuación de inducción (2.4)
donde ρ es la densidad del fluido, u el campo de velocidad, B el campo
magnético medio, P I es un tensor diagonal con componentes P = Pgas +
B2/(8π) (donde I es el tensor identidad y Pgas es la presión del gas), E es la
densidad de energía total dada por
E =
1
2
ρu2 +
P
γ − 1 +
B2
8π
, (2.5)
donde B2 = B · B. Estas ecuaciones están escritas de manera que la
permitividad magnética sea µ = 1.
2.1.1. Inducción Magnética (Límites difusivo y de
conductividad perfecta)
La ec. (2.4) es la ecuación de conservación del flujo magnético para el caso
ideal que se obtiene sustituyendo la ecuación de Ohm (j = σ(E + (u/c)×B),
ec. A.3) en la ecuación de Faraday, suponiendo una conductividad infinita
(1/σ → 0). En el caso no ideal, si se preserva el término resistivo se tiene
1
c
∂B
∂t
= −∇× E = −∇×
[
j
σ
− u
c
×B
]
,
y sustituyendo la ecuación de la corriente eléctrica de la ecuación de Ampère
j = (c/4π)(∇×B), ver ec. (A.2), se obtiene la ecuación de inducción siguiente
∂B
∂t
= ∇× (u×B) + η∇2B, (2.6)
donde η = c2/(4πσ) es el coeficiente de difusión magnética. Se observa que
el cambio temporal del campo magnético tiene dos términos,el primero se
conoce como término de convección y el segundo como término de difusión.
Esta ecuación describe la evolución del campo magnético. Si se comparan los
términos de la derecha de la ec. (2.6) se puede definir un número de Reynolds
2.1. Ecuaciones de MHD ideal 21
magnético, RM ∣∣∣∣∇× (u×B)η∇2B
∣∣∣∣ ∼ u0l0η ≡ RM .
En el ISM, típicamente se tiene la situación que Re � 1 y RM � 1.
Si RM � 1, en la ec. (2.6), predomina el término difusivo, es decir,
∂B
∂t
= η∇2B.
Lo que quiere decir que, si ∂B/∂t es proporcional a ∇2B las variaciones
espaciales del campo a una escala ` serán disipadas en un tiempo del orden
de un tiempo de difusión, τ. Este tiempo se puede estimar haciendo un
análisis de las magnitudes características, B/τ ∼ ηB/`2, o
τd =
`2
η
, (2.7)
En astrofísica, las longitudes características son muy grandes, lo que lleva
a que los tiempos de difusión τ0 = `20/η sean muy largos y por lo tanto la
resistividad sea poco eficiente.
Ahora bien, si se supone conductividad infinita (σ → ∞ ⇒ η =
c2/(4πσ) = 0) predomina el término convectivo respecto al difusivo teniendo
un RM � 1, aunque la conductividad no sea tan grande, pero las escalas
espaciales son suficientemente grandes, el término difusivo es despreciable
al lado del convectivo, entonces la ec. (2.6) se puede aproximar como
∂B
∂t
= ∇× (u×B). (2.8)
Aquí se puede aplicar el teorema de Alfvén de congelamiento de flujo: En un
plasma perfectamente conductor, o donde la escala de longitudes es suficientemente
grande como para despreciar el término difusivo, el flujo magnético a través de una
superficie rodeada por una curva cerrada que se mueve en el plasma permanece
constante en el tiempo. De aquí se deduce que el campo magnético se comporta
como si las líneas de campo se movieran junto con el plasma. Entonces suele
decirse que las líneas de B están “congeladas” al plasma.
En el caso general los dos términos de la ecuación de inducción contribuirán
de manera que las líneas de campo serán parcialmente arrastradas y
parcialmente difundidas.
22 Capítulo 2. Magnetohidrodinámica
2.1.2. Fuerza de Lorentz
La ecuación de momento (ec. 2.2) es la que describe cómo influye una
configuración dada del campo B sobre el movimiento del plasma. Si se
supone que no hay otras fuerzas, la ecuación de momento es (ver Apéndice
A)
ρ
(
∂u
∂t
+ (u · ∇)u
)
+∇P = 1
4π
(B · ∇)B−∇
(
B2
8π
)
, (2.9)
donde el segundo término de la derecha al actuar a través de un gradiente
(como la fuerza de presión), se conoce como presión magnética
pM =
B2
8π
.
El primer término de la derecha de la ec. (2.9), 1/4π(B · ∇)B, tiene un valor
distinto de cero solo cuando las líneas de B están curvadas y tiene una
tendencia a “enderezarlas”. Este término se conoce como tensión magnética,
TM .
Parámetro β del plasma
Un parámetro adimensional importante en MHD es el parámetro β
definido como el cociente entre la presión del gas y la presión magnética,
es decir
β ≡ P
PM
=
P0
B20/8π
. (2.10)
De manera que si β � 1, la fuerza de Lorentz influye más que el gradiente
de presiones en el movimiento del plasma y, por lo tanto, el plasma está
dominado dinámicamente por el campo magnético; mientras que si β � 1,
significa que la dinámica del plasma está regida por la hidrodinámica.
2.2. Ondas Magnetohidrodinámicas 23
2.2. Ondas Magnetohidrodinámicas
Las ondas magnetohidrodinámicas (ondas MHD) son perturbaciones del
plasma que se propagan a través de este. Se producen por diferentes fuerzas
de restitución, por ejemplo, el gradiente de presión, la fuerza de Lorentz, etc.
A continuación de analizan estas ondas.
2.2.1. Ondas puramente Magnéticas
Se utilizan las ecuaciones de la MHD ideal (ecs. 2.1 - 2.4) y se toma en
cuenta solo la contribución del campo B a través de la fuerza de Lorentz,
despreciando todas las demás fuerzas.
B
B0
u1
B1
k
z
a)
k
u1
B0B
z
B1
b)
FIGURA 2.1: Perturbaciones a) transversales y b) paralelas en campo
magnético al campo uniforme B0.
Si se analiza la fuerza de Lorentz (ec. 2.9) como una fuerza por unidad
de área transmitida desde un elemento del plasma a otro, aparecen los dos
términos de presión magnética (PM = B2/(8π)) y de tensión magnética
(TM = (B · ∇)B/(4π)), la primera actúa como una presión normal a la
superficie de separación entre dos parcelas del plasma, es decir que la fuerza
sobre el elemento de volumen tendrá una contribución no nula de la presión
cuando existe una variación neta en la intensidad de B (que actúa desde
regiones de alta a baja presión magnética), y la segunda actúa a lo largo
de las líneas de inducción, es decir una componente no nula de la tensión
cuando las líneas presenten curvatura. La tensión y la presión magnética
actúan como fuerzas restauradoras para las ondas magnéticas que son de
dos tipos: las ondas de corte de Alfvén, o cizalla (o simplemente de Alfvén)
y las ondas compresivas de Alfvén.
Para analizarlas en una primera instancia se desprecian todas las fuerzas
salvo la fuerza de Lorentz y se supone un plasma con conductividad infinita.
24 Capítulo 2. Magnetohidrodinámica
Se puede observar gráficamente dos casos simples (ver Fig. 2.1). Suponiendo
un campo B0 uniforme en la dirección z y una perturbación B1 del campo
tal que:
a) B1 es perpendicular a B0, variando en la dirección de B0 (lo que da la
dirección de z que indica cómo se propaga la perturbación, ver Fig. 2.1a),
b) B1 en la dirección de B0 y variando perpendicularmente a B0 (ver Fig.
2.1b).
Suponiendo pequeñas perturbaciones en el caso a), el valor del campo
no varía (B1 � B0) y puede despreciarse la presión magnética. Pero las
líneas están curvadas y hay una resultante neta de la tensión que está dirigida
hacia el centro de curvatura de las líneas. Por lo tanto aparece una velocidad
u1 perpendicular a B0: el plasma oscila arrastrando las líneas debido al
congelamiento. Se tiene entonces k ‖ B0 ⊥ u1 ‖ B1.
En el caso b) como la presión es mayor donde el campo de inducción es
mayor aparece una fuerza sobre el plasma desde la zona de mayor densidad
de líneas a la de menor densidad y una velocidad del plasma perpendicular
a B0, el plasma oscila arrastrando las líneas. Se tiene entonces k ‖ u1 ⊥ B0 ‖
B1.
Estos son dos casos límite, el primero corresponde a las ondas de corte de
Alfvén y el segundo, a las ondas de compresión de Alfvén.
Si se toman las ecuaciones de continuidad (2.1), momento (2.2) e
inducción (2.4) y se perturban (linealmente) considerando las condiciones
iniciales en equilibrio estático con densidad e inducción magnética uniformes
y velocidad nula (es decir, ρ = ρ0 +ρ1, B = B0 +B1 y u = u1) a primer orden
en las fluctuaciones, se obtiene
∂ρ1
∂t
+∇ · (ρ0u1) = 0, (2.11)
ρ0
∂u1
∂t
=
1
4π
(∇×B1)×B0 = 0, (2.12)
∂B1
∂t
= ∇× (u1 ×B0). (2.13)
Derivando respecto del tiempo la ec. (2.12) y reemplazando la ec. (2.13), se
tiene
ρ0
∂2u1
∂t2
=
1
4π
[∇×∇× (u1 ×B0)]×B0. (2.14)
2.2. Ondas Magnetohidrodinámicas 25
Para la ec. (2.14) se propone una solución de onda plana monocromática de
la forma
u1(r, t) = ũ1 exp[i(k · r− ωt)];
donde r es el vector posición, ũ1 la amplitud y ω la frecuencia angular; de
igual manera se propone una solución similar para las demás cantidades ya
que se están considerando perturbaciones lineales. Si sustituye en la ec. (2.14)
finalmente se obtiene
ω2u1 +
1
4πρ0
[
(k ·B0)(u1 ·B0)− (k · u1)B20
]
k
+
1
4πρ0
(k ·B0)(k · u1)B0 −
1
4πρ0
(k ·B0)2u1 = 0.
(2.15)
Una propiedad de las ondas planas es que, cuando hay una perturbación del
campo magnético, el campo magnético perturbado es perpendicular a la dirección
de propagación de la onda (lo que resulta de∇ ·B1 = 0) y, por lo tanto
k ·B1 = 0. (2.16)
Cabe notar que este resultado proviene de que ∇ · B = ∇ · B1 = 0. Si se
multiplica la ec. (2.15) de manera escalar por B0 se obtiene
u1 ·B0 = 0, (2.17)
lo que significa que, a primer orden, las ondas magnéticas son tales que la
velocidad de perturbación del plasma es perpendicular al campo magnético inducido
B0.
Si ahora se multiplica la ec. (2.15) escalarmente por k y tomandoen cuenta la
ec. (2.17) se obtiene
(ω2 − k2υ2A)(k · u1) = 0, (2.18)
donde se ha definido la velocidad del Alfvén como
υA =
B0
(4πρ0)1/2
. (2.19)
Entonces, para que se satisfaga la ec. (2.18) se debe cumplir que :
k · u1 = 0, o (2.20)
ω2 − k2υ2A = 0. (2.21)
a) Si k · u1 = 0, se tiene que estas ondas son incompresibles (∇ · u1 = 0).
26 Capítulo 2. Magnetohidrodinámica
De la ecuación de continuidad linealizada (ec. 2.11) resulta ∂ρ1/∂t = 0
que, para ondas planas, implica que ρ1 = 0 y si se supone un sistema
adiabático P1 = 0 también; a estas ondas se les conoce como ondas de
corte de Alfvén, que son una perturbación incompresible, sin variación en
densidad y presión, en las que solo la velocidad y la inducción magnética
se modifican siendo ambas perturbaciones perpendiculares a la dirección
de la propagación de la onda (es decir son ondas transversales).
Para obtener la relación entre ω y k, en la ec. (2.15) se toman las ecs. (2.17)
y (2.20) quedando la ecuación de dispersión
ω2 − (k · υA)2 = 0,
o bien
ω = ±kυA cos(θ), (2.22)
donde θ es el ángulo entre la dirección de propagación y B0. Para la
relación de u1 y B1 se hace uso de la ec. (2.13) tomando en cuenta la ec.
(2.20) resultando
B1 = −
(k ·B0)
ω
u1, (2.23)
y usando la ecuación de dispersión (2.22)
u1 = ±
B1
(4πρ0)1/2
,
donde los signos indican si la velocidad de fase está proyectada positiva o
negativamente en la dirección de B0. Esto es, si se toma en cuenta el signo,
que corresponde al de (k·B0) en la ec. (2.23), se puede obtener que u1 y B1
están en contrafase. Este resultado es importante, pues permite distinguir
las ondas de Alfvén del resto, ya que las componentes de la perturbación
del campo B1 están en contrafase con las componentes de la perturbación
de la velocidad u1. Si se elige, sin pérdida de generalidad, el eje z (es decir,
k = kzêz) en la dirección de B0, la ec. (2.22) se reduce a ω = ±υAkz y la
velocidad de grupo queda como vg = ∇kω = ±υAêz resultando que
vg = ±υA.
Las ondas de Alfvén son causadas por la tension de las líneas del campo
magnético, las cuales tienden a restaurar su forma inicial (ver Figura 2.2),
por lo tanto el gradiente de la presión magnética es nulo. De modo que la
energía de la onda de Alfvén se propaga en la dirección de la inducción
magnética cualquiera que sea la dirección de k.
2.2. Ondas Magnetohidrodinámicas 27
k
u1
B0
x
y
z
B0 +B1
FIGURA 2.2: Onda de Alfvén.
b) Si ω2 − k2υ2A = 0, la ec. (2.18) es ω = ±kυA. En este caso no hay
incompresibilidad (k · u1 6= 0) así ρ1 y P1 son distintos de cero entonces se
tienen las ondas de compresión de Alfvén. De la ec. (2.15) se puede ver que
el factor que multiplica a u1 es distinto de cero y, por lo tanto, que u1, k y
B0 se encuentran en el mismo plano. Además, de la ec. (2.13) resulta
B1 =
−(k ·B0)u1 + (k · u1)B0
ω
,
en donde se observa que B1 también esta en el plano. Así, para toda onda
magnética plana monocromática B1 ⊥ k y u1 ⊥ B0. En el caso particular
cuando k ⊥ B0 (es decir, cuando θ = π/2) se tiene que B1 ‖ B0 y
u1 ‖ k. En este caso solo actúa la presión magnética, pero cuando θ 6= π/2,
B1 tiene componente en la dirección perpendicular a B0 y la líneas de
inducción son curvas dando lugar a la acción de la tensión magnética.
También se puede notar que la velocidad de fase y de grupo coinciden:
vf = vg = ±υA
k
|k|
2.2.2. Ondas Magnetoacústicas
Estas ondas aparecen cuando no se desprecian la fuerza de Lorentz ni el
gradiente de presión, así la ecuación de momento queda
ρ
∂u
∂t
+ ρ(u · ∇)u = −∇P + 1
4π
(∇×B)×B.
También son necesarias las ecuaciones de conservación de masa, de
inducción, de adiabaticidad y∇ ·B = 0. Si ahora se linealizan las ecuaciones
alrededor del estado de equilibrio (B = B0, P = P0, ρ = ρ0 y u0 = 0)
y siguiendo el procedimiento anterior (ver Sección 2.2.1) y se propone una
28 Capítulo 2. Magnetohidrodinámica
onda plana como solución resulta
(ω2 − k2υ2A cos2(θ))u1 + (k · u1)kυ2A cos(θ)B̂0
−
[
(υ2A + c
2
s)(k · u1)− kυ2A cos(θ)(B̂0 · u1)
]
k = 0
(2.24)
El nuevo término que aparece respecto al caso puramente magnético es
c2s(k · u1)k y viene de haber considerado el gradiente de presión del gas en
la ecuación de movimiento; θ es el ángulo entre B0 y k, y B̂0 es el vector
unitario en la dirección del campo B0. Así (u1 ·B0) 6= 0.
La relación de dispersión se obtiene multiplicando de manera escalar la ec.
(2.24) por k y por B0, del cual se llega a un sistema homogéneo de ecuaciones
en (k · u1) y (B̂0 · u1) para las cuales la solución trivial corresponde a la
solución de las ondas de Alfvén. La condición para que existan soluciones no
triviales es tomar el determinante del sistema y que este sea nulo, entonces
se obtiene [
ω2 − k2(υ2A + c2s)
]
ω2 + k4υ2Ac
2
s cos
2(θ) = 0
cuyas soluciones son
ω2
k2
=
υ2A + c
2
s
2
± 1
2
√
(υ2A + c
2
s)
2 − 4υ2Ac2s cos2(θ). (2.25)
El signo positivo corresponde a los llamados modos rápidos y el signo negativo
a los llamados modos lentos.
(υ2A + c
2
s)
1/2
B0
k
vf,r
vf,l
vf,A
θ
(υ2A + c
2
s)
1/2
B0
k
θ
υA > cs υA < cs
Modo rápido
Modo lento
Modo Alfvén
Modo rápido
Modo lento
Modo Alfvén
β � 1 β � 1
FIGURA 2.3: Velocidad de fase de las ondas magnetoacústicas. El punto
rojo representa cs y el punto verde, la υA.
2.2. Ondas Magnetohidrodinámicas 29
El término dentro de la raíz cuadrada es positivo para todo θ y para θ = 0
y θ = π/2 resulta
ω2
k2
(θ = 0) =
υ2A + c
2
s
2
± 1
2
|υ2A − c2s| =
{
si υ2A > c
2
s → υ2A → +, c2s → −
si υ2A < c
2
s → c2s → +, υ2A → −
ω2
k2
(
θ =
π
2
)
=
υ2A + c
2
s
2
± 1
2
|υ2A + c2s| =
{
υ2A + c
2
s
0
En la Figura 2.3 se grafica la velocidad de fase vf = ω/k. Entonces
la velocidad de fase de las ondas de Alfvén tiene valores que van entre
la velocidad magnetoacústica lenta y la rápida. Si υA � cs o β � 11,
esto dice que el gradiente de presión domina sobre la fuerza de Lorentz,
entonces la onda acústica se transforma un poco dando lugar a la onda
magnetoacústica rápida y la magnetoacústica lenta da lugar a la onda
magnética de compresión, Por el contrario, si υA � cs o β � 1, entonces
la fuerza de Lorentz domina sobre el gradiente de presión, es decir, la onda
de compresión se transforma dando lugar a la onda magnetoacústica rápida
y en lugar de la onda de sonido aparece la onda magnetoacústica lenta. Si
υA ∼ cs no se puede distinguir si las ondas rápidas y lentas provienen de
la onda de sonido modificada o de la de Alfvén de compresión modificada
(Costa, Schneither y Cécere, 2015).
De la Figura 2.3 también se puede observar que los modos lentos y de Alfvén
se propagan principalmente a lo largo del campo magnético medio, mientras
que los modos rápidos se propagan en cualquier dirección del espacio, es
decir, de manera isotrópica.
1β = PPM considerando γ = 1, β ∼ c
2
s/υ
2
A.
30 Capítulo 2. Magnetohidrodinámica
2.3. Turbulencia en MHD
En las últimas décadas, para formular una teoría para estudiar la
turbulencia MHD se ha tratado de adaptar el modelo K41 a fluidos con un
campo magnético. A continuación se presenta el modelo más aceptado de
turbulencia MHD.
2.3.1. Turbulencia de Goldreich-Sridhar
Se considera el caso de un plasma inmerso en un campo magnético
uniforme B0 de origen externo. De la misma manera, se considera un
forzamiento débil, de modo que las excitaciones turbulentas fundamentales
sean perturbaciones ondulatorias de pequeña amplitud que se propagan a lo
largo del campo medio.
En 1995, Goldreich y Sridhar propusieron una teoría para un fluido MHD,
incompresible y anisotrópico (teoría GS95) en la que argumentan que los
vórtices son fuertemente anisotrópicos; alargados a lo largo de las líneas de
campo magnético, debido a que el plasma se mueve con mayor facilidad a lo
largo de las líneas de campo que perpendicular a estas. Como consecuencia,
el tiempo de distorsión (el tiempo de transferencia de energía) es del orden de
un tiempo de cruce requerido para que dos vórtices en movimiento opuesto
se pasen entre sí.
Suponiendo que el vórtice tiene un tamaño transversal`⊥ (donde `⊥ denota
la escala del vórtice medida de manera perpendicular al campo magnético
local2), y un tamaño paralelo al campo `‖ (donde `‖ es la escala paralela al
campo). Ambas escalas se relacionan mediante la llamada condición de balance
crítico, propuesta por Goldreich y Sridhar (1995), quienes igualan el tiempo
característico del vórtice, τ⊥ = `⊥/u`⊥ , en la dirección perpendicular a B0 y el
periodo correspondiente a los movimientos a lo largo del campo magnético,
que corresponden a ondas de Alfvén, es decir τ‖ = `‖/υA. Haciendo uso
de u`⊥ ∼ `
1/3
⊥ , esto es por que los movimientos del plasma ocasionados
por las ondas de Alfvén (de corte) son perpendiculares al campo, y al ser
incompresibles tendrán un escalamiento igual al de Kolmogorov, mientras
que a lo largo de B la velocidad característica es justamente υA, ver ec. (1.12)
se puede obtener `‖ ∼ `2/3⊥ . Esto refleja la tendencia de los vórtices a ser cada
2En el trabajo original del GS95 se considera el campo magnético global, pero luego fue
enmendado por Lazarian y Vishniac (1999) quienes hacen ver que la descripción correcta es
respecto al campo magnético local a cada vótice.
2.3. Turbulencia en MHD 31
vez más alargados cuando la cascada de energía va a escalas más pequeñas.
La teoría GS95 supone una inyección de energía isotrópica a la escala `0 con
una velocidad de inyección del orden de la velocidad de Alfvén en el fluido,
es decir, MA = u`0/υA ∝ 1 donde MA es el llamado número de Mach de
Alfvén y u`0 es la velocidad de inyección. Esto proporciona la descripción de
la turbulencia trans-Alfvénica. Poco después, el modelo se generalizó para
los casos sub-Alfvénico, es decir MA < 1, y super-Alfvénico, MA > 1 (ver
Lazarian y Vishniac, 1999 y Lazarian, 2006, respectivamente). De hecho, si
MA > 1, en lugar de la escala de transferencia `T , se puede utilizar otra
escala, a saber,
`A = `T (υA/u`T )
3 = `TM−3A ,
la cual es la escala a la que la velocidad de la turbulencia es igual a υA.
Para MA � 1, los campos magnéticos no son dinámicamente importantes
a grandes escalas y la turbulencia a estas escalas sigue la cascada de isotropía
de Kolmogorov u` ∼ `1/3 sobre el rango de escalas [`T , `A]. Al mismo tiempo,
si MA < 1, la turbulencia obedece el escalamiento GS95 (llamado también
turbulencia “fuerte” MHD) no de la escala `T , sino de la escala pequeña `t
dada por
`t ∼ `T (u`T /υA)2 ≡ `TM2A.
Mientras que en el rango [`T , `t] la turbulencia es débil (Burkhart y Lazarian,
2013).
El espectro de energía correspondiente, es
EGS(k⊥) = |δuk⊥|2k⊥ ∝ k
−5/3
⊥ (2.26)
Este espectro coincide con el espectro de Kolmogorov (ec. 1.14) de la
turbulencia incompresible del fluido no magnetizado.
El espectro de velocidad y la anisotropía dependiente de la escala ha
sido verificados en varios experiemntos numéricos y están de acuerdo con
espectros astrofísicos observado e inferidos (ver Cho y Vishniac, 2000; Maron
y Goldreich, 2001; Cho, Lazarian y Vishniac, 2002a; Cho, Lazarian y Vishniac,
2003).
El modelo de GS95, al igual que el de Kolmogorov supone un medio
incompresible lo cual es algo cuestionable en el ISM.
32 Capítulo 2. Magnetohidrodinámica
2.3.2. Compresibilidad del ISM
Como se mencionó en la sección 1.4, la teoría de Kolmogorov proporciona
un ley de escala para la turbulencia hidrodinámica, no magnetizada e
incompresible. El rango de aplicación de esta teoría abarca desde la
investigación en ingeniería hasta la meteorología (ver Monin y Yaglom,
1975). A diferencia de la turbulencia de laboratorio, la turbulencia astrofísica
es magnetizada y altamente compresible. Sin embargo los fluidos astrofísicos
muestran escalamientos similares a los de Kolmogorov, el modelo de GS95
también arroja estos escalamientos, lo cual da cuenta del hecho que el ISM
está magnetizado, pero deja abierta la pregunta sobre la compresibilidad.
Sin embargo, se ha de notar que el modelo GS95 es precisamente para los
modos de Alfvén, que son incompresibles, y ciertamente están presentes
en el ISM por la presencia del campo magnético. En diversos experimentos
numéricos (por ejemplo Beresnyak, Lazarian y Cho, 2005), se ha encontrado
un acoplamiento débil entre los distintos modos (Alfvén, lentos y rápidos)
lo cual garantiza que cada modo siga su propia cascada. También se ha
encontrado que para un amplio rango de parámetros, la cascada de los
modos de Alfvén contiene mayor energía que los demás modos (Kowal
y Lazarian, 2010). De esta forma es natural que el ISM muestre la cascada
de los modos de Alfvén, con los del modelo GS95.
Sin embargo en muchas instancias se vuelve indispensable la compresibilidad
de dicha turbulencia, por ejemplo para formación de estructura de alta
densidad dentro de nubes moleculares.
La turbulencia compresible a detalle es un problema sin resolver hasta el
momento, incluso en ausencia de campos magnéticos.
33
Capítulo 3
Visión General y Metodología
3.1. Objetivo
El objetivo de esta tesis es el análisis de la anisotropía de los centroides
de velocidad utilizando las funciones de estructura de mapas de estos.
Aplicamos estas funciones a observaciones sintéticas1 (ver Esquivel, Lazarian
y Pogosyan, 2015) para caracterizar la contribución de los diferentes modos
MHD, a saber, modo de Alfvén, modo lento y modo rápido descritos en
la Sección 2.2.2. Con las estadísticas de las simulaciones, comparamos con
el estudio analítico realizado por Kandel, Lazarian y Pogosyan (2017), ver
Apéndice C.
3.2. Visión General
Actualmente es aceptado, de manera general, que la turbulencia es uno
de los procesos que gobiernan la formación de estructura y evolución del
ISM, es bien reconocida su importancia en muchos procesos astrofísicos.
Como ya se mencionó anteriormente, las técnicas estadísticas son la
manera adecuada para caracterizar la turbulencia del ISM. La herramienta
más común es el espectro de potencias espacial, ya que da información
sobre la naturaleza de la cascada de turbulencia y sobre la escala de
inyección, rango inercial y escala de disipación de la turbulencia. Para
muchas observaciones, las cuales no necesariamente están ordenadas en una
malla cartesiana (la cual es necesaria para pasar al espacio de Fourier con
una Transformada rápida de Fourier) resulta conveniente usar funciones de
estructura, que pueden obtenerse directamente en el espacio real. Por esta
razón hacemos nuestro estudio en términos de funciones de estructura.
1Observaciones sintéticas se refiere a datos similares a los que se obtienen en
observaciones pero construidos a base de simulaciones numéricas.
34 Capítulo 3. Visión General y Metodología
En general, la mejor estrategia para estudiar la turbulencia interestelar
es combinando conocimientos teóricos, simulaciones numéricas y datos
observacionales mediante los estudios estadísticos de manera conjunta. En
este sentido, se puede obtener una visión más completa y confiable.
En las últimas décadas se han desarrollado técnicas para el estudio de
la turbulencia. Estas técnicas se pueden probar empíricamente, usando
parámetros de estudio de simulaciones numéricas o con la ayuda de
predicciones analíticas. Los parámetros a variar incluyen el número de
Reynolds, los números de Mach sónico (Ms) y de Alfvén (MA), la escala
de inyección, la ecuación de estado y, para el estudio de nubes moleculares,
la transferencia radiativa y la autogravedad.
La información mínima necesaria para obtener una visión de la cascada
local de turbulencia MHD aplicable al ISM es: la compresibilidad, magneti-
zación y la rapidez de la cascada (dada por el espectro). Algunas técnicas
recientes que estudian estos parámetros incluyen el estudio de las funciones
de distribución de probabilidad (PDFs por sus siglas en inglés) y otros
métodos más elaborados como, función de correlación espectral (SCF, por
sus siglas en inglés), espectro, wavelets, etc.
Como ya se mencionó anteriormente, el medio interestelar es turbulento
y está magnetizado y por lo tanto, las perturbaciones de Alfvén son
importantes. Los estudios numéricos en Cho y Lazarian(2002) y Cho
y Lazarian (2003) muestran que las perturbaciones de Alfvén desarrollan
una cascada independiente, la cual no es afectada por la compresibilidad del
fluido. Estas observaciones corresponden a lo esperado teóricamente de la
teoría GS95 (ver Sección 2.3).
En años recientes, se han realizado muchos trabajos referentes al estudio
del espectro de potencias de densidad/velocidad en cubos de datos de
posición-posición-velocidad (PPV) de HI tanto en la Galaxia como en
las nubes de Magallanes, por ejemplo. Se ha observado que en ellos
el ISM es turbulento desde escalas más pequeñas que un parsec hasta
algunos kiloparsecs (ver Crovisier y Dickey, 1983; Stanimirović y col., 1999;
Deshpande, Dwarakanath y Goss, 2000; Elmegreen y Scalo, 2004; Burkhart
y col., 2010). La pendiente del espectro de potencias de las perturbaciones de
densidad no solo tiene información sobre la rapidez de la cascada, sino que
también depende del número de Mach sónico.
3.2. Visión General 35
El espectro de la densidad columnar espacial puede dar información
de las fluctuaciones de densidad, ya que, en el caso ópticamente delgado,
se elimina cualquier información sobre la velocidad. Sin embargo el
espectro de velocidad da información más relevante para la comparación
de modelos teóricos de turbulencia. Afortunadamente, se han desarrollado
varias técnicas para estudiar el espectro de potencias de la velocidad de las
observaciones. Algunas de ellas son:
• Análisis de Canales de Velocidad (VCA) en el cual se analizan los cortes
del espectro de velocidad en los cubos de datos PPV cambiando
gradualmente el espesor (resolución en velocidad) del corte con el fin
de encontrar los índices espectrales de velocidad y densidad de los
movimientos turbulentos (ver Lazarian y Pogosyan, 2004).
• Centroides de velocidad (VC) (Esquivel y Lazarian (2005), efectivos solo
para turbulencia subsónica), que es el estudio del índice espectral
de mapas de centroides, los cuales se pueden obtener fácilmente de
observaciones espectroscópicas.
• Espectro de Coordenadas de Velocidad (VCS) el cual utiliza la estadística
del ensanchamiento de las líneas espectrales por efecto Doppler,
relacionando el espectro de fluctuaciones medido a lo largo del eje de
velocidad en los cubos de datos PPV con los espectros de potencia
subyacentes de las fluctuaciones de velocidad/densidad, para lo cual
no es necesario que el volumen turbulento esté resuelto espacialmente
(ver Lazarian y Pogosyan, 2006).
Una de las aplicaciones de este tipo de técnicas fue realizada por
Chepurnov y Lazarian (2010) quienes presentaron una primera prueba del
poder de la técnica VCS con los datos de HI de altas latitudes galácticas
(ver Figura 1.4). Lo que hicieron fue, en lugar de primero corregir el
ensanchamiento térmico del gas y luego ajustar la ley de potencia en el
espectro VCS (como se discute en Lazarian y Pogosyan, 2006) usaron las
expresiones analíticas para encontrar el modelo (el cual depende de la
temperatura, la escala de inyección y la energía de la turbulencia) que se
ajusta al conjunto de datos correspondientes al VCS para datos con diferente
resolución espacial2.
Los resultados muestran un modelo de turbulencia con espectro de mayor
pendiente que el de Kolmogorov (Eu ∼ k−1.9), con una temperatura del gas
2La resolución para los VCS juega un papel similar que para el espesor de los cortes de
velocidad ∆u de la VCA y por lo tanto lo cubos de datos PPV a diferentes resoluciones no
están trivialmente relacionados, en lo que se refiere al análisis del VCS
36 Capítulo 3. Visión General y Metodología
de alrededor de 130 K y una escala de inyección de 100 pc. Lo importante
de este método es que se puede recuperar la temperatura del gas, la escala
de inyección y la energía de la turbulencia, ya que estos parámetros son
ingredientes fundamentales para muchas cuestiones astrofísicas como la tasa
de formación estelar, el calentamiento del ISM, entre otras.
Un punto importante de la teoría GS95 es que los movimientos de mezcla
asociados con la turbulencia de Alfvén inducen anisotropías dependientes de
la escala, las cuales incrementan conforme avanza la cascada. La anisotropía
se observa fuertemente en movimientos perpendiculares al campo y aumenta
con el incremento del campo magnético. Este efecto se puede ver del análisis
de las funciones de estructura de mapas de centroides de velocidad, los cuales están
disponibles en observaciones y observaciones sintéticas. Esquivel y Lazarian
(2011) obtuvieron las funciones de estructura de los mapas de velocidad de
observaciones sintéticas y encontraron que la anisotropía observada se puede
utilizar para determinar la intensidad de la componente perpendicular del
campo magnético.
El método descrito en Esquivel y Lazarian (2011) consiste en: calcular la
función de estructura de los mapas de centroides de velocidad y cuantificar
el grado de anisotropía tomando la razón de las funciones de estructura en
las direcciones perpendiculares y paralelas al campo magnético. La función
de estructura es una distribución bidimensional cuyos isocontornos tienden
a ser aproximadamente circulares para la turbulencia isotrópica y elípticos
para la turbulencia anisotrópica (ver ejemplo en la Figura 3.1).
Cuando se observa paralelamente al campo magnético medio, los
contornos son aproximadamente circulares, mientras que, cuando se observa
de manera perpendicular al campo magnético medio, las estructuras se
vuelven más anisotrópicas. De los resultados, es claro que el grado de
anisotropía depende del número de Mach de Alfvén: a medida que los
valores del campo magnético aumentan, el nivel de anisotropía también
aumenta. En el mismo se encontró que los centroides anisotrópicos también
muestran una débil dependencia con Ms, pero solo para los modelos
de moderada a baja magnetización. Se puede atribuir tal dependencia
a fluctuaciones en la densidad original (es decir, ocasionada por modos
compresibles).
3.2. Visión General 37
FIGURA 3.1: Ejemplo de isocontornos de la función de correlación de
un modelo con MA ∼ 0.7 y Ms ∼ 2.3. Los primeros dos páneles a) y
b) corresponden a las correlaciones de mapas de velocidad media (esta
corresponde a centroides calculados con una densidad uniforme, lo cual
es equivalente a obtener la velocidad promedio a lo largo de la LOS) y
los páneles c) y d) son las correlaciones de los mapas de centroides de
velocidad. En las figuras de la columna izquierda (páneles a) y c) la LOS
es paralela al campo magnético medio. En la columna derecha (páneles
b) y d)) la LOS es perpendicular al campo magnético medio, que en este
caso esta alineado con el eje horizontal (Esquivel y Lazarian, 2011).
38 Capítulo 3. Visión General y Metodología
3.3. Metodología
La metodología que seguimos para este trabajo fue primeramente obtener
las simulaciones para diferentes valores de υA y Pgas (en realidad solo
fue necesario correr 9 modelos adicionales a los utilizados en Esquivel,
Lazarian y Pogosyan, 2015). Con los resultados se obtienen los centroides de
velocidad de los 24 modelos. Posteriormente se realiza la descomposición de
los modos MHD para obtener las funciones de estructura asociadas a cada
modo, finalmente obtenemos un grado de isotropía para cada modo, y lo
comparamos con el formalismo de anisotropía de centroides realizado por
Kandel, Lazarian y Pogosyan (2017), ver Apéndice C).
3.3.1. Modelos Númericos
Para los modelos que usamos en esta tesis, se utilizó una malla de
simulaciones MHD compresible, isotérmicas y con turbulencia completamente
desarrollada3. La malla es una extensión de la usada en Esquivel, Lazarian
y Pogosyan (2015), con una resolución de 5123 celdas. Las simulaciones
se obtuvieron con un método esencialmente no oscilatorio (ENO por sus
siglas en inglés) híbrido de segundo orden4, el cual elimina las oscilaciones
producidas por los esquemas de alto orden. El código resuelve las ecuaciones
de MHD ideal con un término de turbulencia forzada en una caja cartesiana
periódica (ver Cho, Lazarian y Vishniac,2002b). El forzamiento es puramente
solenoidal (es decir, incompresible) y es impuesto en el espacio de Fourier,
a un número de onda fijo k = 2.5 (que corresponde a la escala 1/2.5 del
dominio computacional). El campo magnético está compuesto por una base
constante B0 más una parte fluctuante B1 (esto es B = B0 + B1). Las
simulaciones comienzan con un medio homogéneo de densidad constante
ρ0 = 1 y un campo magnético uniforme alineado con el eje x (es decir,
B0 = B0x̂; además inicialmente, B1 = 0).
3Al inicio el espectro de potencias de la simulación es una delta de Dirac localizada
en el número de onda de inyección, conforme evoluciona se van desarrollando todas las
longitudes de onda hasta que se establece el espectro de potencias completo. Es decir cuando
se tiene la escala de inyección, la escala inercial y la escala de disipación, es este momento se
dice que la turbulencia está completamente desarrollada.
4El método ENO híbrido de segundo orden consiste en combinar dos esquemas del tipo
ENO. Este tipo de métodos utiliza un número cambiante de celdas para hacer una
reconstrucción de variables, necesaria para calcular los flujos numéricos a segundo y tecer
orden, dependiento de la suavidad local de la solución. El código usado (basado en Cho,
Lazarian y Vishniac, 2002b), utiliza el código pesado ENO de Jiang y Wu (1999) en las
regiones suaves y cambia al ENO convexo de Liu y Osher (1998) en donde se encuentran
gradientes importantes.
3.3. Metodología 39
CUADRO 3.1: Parámetros de las simulaciones MHD.
Modelo υA,0 Pgas,0 MA Ms β
M1 0.1 0.0049 ∼ 8.3 ∼ 11.9 ∼ 0.49
M2 0.1 0.0100 ∼ 7.7 ∼ 7.7 ∼ 1.0
M3 0.1 0.0250 ∼ 7.4 ∼ 4.7 ∼ 2.5
M4 0.1 0.0500 ∼ 7.6 ∼ 3.4 ∼ 5.0
M5 0.1 0.1000 ∼ 8.2 ∼ 2.6 ∼ 10.0
M6 0.1 0.7000 ∼ 7.6 ∼ 0.9 ∼ 70.0
M7 0.1 2.0000 ∼ 7.0 ∼ 0.5 ∼ 200.0
M8 1.0 0.0049 ∼ 0.8 ∼ 10.8 ∼ 0.0049
M9 1.0 0.0077 ∼ 0.8 ∼ 8.6 ∼ 0.0077
M10 1.0 0.0100 ∼ 0.7 ∼ 7.4 ∼ 0.01
M11 1.0 0.0250 ∼ 0.8 ∼ 4.8 ∼ 0.025
M12 1.0 0.0500 ∼ 0.8 ∼ 3.4 ∼ 0.05
M13 1.0 0.1000 ∼ 0.8 ∼ 2.7 ∼ 0.1
M14 1.0 0.7000 ∼ 0.8 ∼ 1.0 ∼ 0.7
M15 1.0 2.0000 ∼ 0.7 ∼ 0.5 ∼ 2.0
M16 2.0 0.0100 ∼ 0.4 ∼ 7.6 ∼ 0.0025
M17 2.0 0.1000 ∼ 0.4 ∼ 2.7 ∼ 0.025
M18 2.0 1.0000 ∼ 0.5 ∼ 1.0 ∼ 0.25
M19 3.0 0.0100 ∼ 0.3 ∼ 8.2 ∼ 0.001
M20 3.0 0.1000 ∼ 0.3 ∼ 2.6 ∼ 0.01
M21 3.0 1.0000 ∼ 0.3 ∼ 1.0 ∼ 0.1
M22 5.0 0.0100 ∼ 0.2 ∼ 9.0 ∼ 0.0004
M23 5.0 0.1000 ∼ 0.2 ∼ 2.7 ∼ 0.004
M24 5.0 1.0000 ∼ 0.2 ∼ 0.9 ∼ 0.04
Las simulaciones se desarrollan, evolucionan constantemente, hasta que
alcanzan un estado estacionario. Los parámetros que caracterizan cada
uno de los modelos son: el número de Mach sónico Ms = 〈uL/cs〉 y
el número de Mach Alfvénico MA = 〈uL/υA〉, donde uL = urms es la
velocidad a grandes escalas, cs la velocidad del sonido, υA = |B|/
√
4πρ0
la velocidad de Alfvén y 〈· · · 〉 denota el promedio sobre todo el dominio
computacional. Estos parámetros que se calculan al finalizar la simulación
son, a su vez, controlados por los valores de la velocidad de Alfvén inicial
υA,0 = |B0|/
√
4πρ0 y la presión inicial del gas, Pgas,0.
Cuando las simulaciones alcanzan el estado estacionario, las fluctuaciones
del campo magnético pueden ser del orden del campo uniforme, pero en
promedio este permanece alineado en la dirección original (a lo largo del
eje x). Los diferentes modelos se encuentran resumidos en el Cuadro 3.1
donde se listan las condiciones iniciales y los valores resultantes de los
números de Mach. Los parámetros usados cubren un gran rango entre los
40 Capítulo 3. Visión General y Metodología
regímenes turbulentos subsónicos y supersónicos junto con sub-Alfvénicos
y super-Alfvénicos. En el Cuadro 3.1 también se muestra el parámetro β
(medido comoM2A/M2s) del plasma (ec. 2.10) de cada modelo, el cual cubre
casos en los cuales domina de manera dinámica el campo magnético (β � 1,)
y casos donde este no importa dinámicamente (β � 1).
3.3.2. Centroides de velocidad
Como se mencionó antes, la anisotropía de la turbulencia MHD
(dependiente de la escala), descrita en la teoría GS95, solo puede ser
interpretada en un campo magnético local para cualquier vórtice turbulento.
En las observaciones, sin embargo, no se puede estudiar directamente la
anisotropía local porque no se tiene acceso a la distribución espacial del
material emisor en 3D. Por ejemplo, en observaciones espectroscópicas se
obtiene más bien la distribución del material emisor en cierta posición (o
conjunto de posiciones) en el plano del cielo, en función de la velocidad a lo
largo de la LOS. Y, como a una velocidad dada se puede tener contribución
del material emitiendo en cualquier posición a lo largo de la LOS, la
anisotropía medida correspondería al campo magnético global. En Esquivel
y Lazarian (2011), y en Burkhart y col. (2014) se estudió la anisotropía de los
centroides de velocidad en un marco de referencia global y se encontró que la
anisotropía es mayormente independiente de la escala, en el rango inercial.
En un trabajo reciente de Kandel, Lazarian y Pogosyan (2016) se extiende al
marco teórico del Análisis de Canales de Velocidad (Lazarian y Pogosyan,
2000) para estudiar las estadísticas y anisotropía en canales de velocidad
desde una perspectiva analítica. La descripción teórica de los mismos,
permitió un seguimiento natural para abordar la anisotropía de centroides
de velocidad también desde una perspectiva analítica (Kandel, Lazarian
y Pogosyan, 2017).
En este trabajo revisamos los estudios anteriores en Esquivel y Lazarian
(2011) y Burkhart y col. (2014) de la anisotropía en observaciones sintéticas
para comparar con las predicciones de Kandel, Lazarian y Pogosyan (2017).
Además estudiaremos los modos MHD y su contribución por separado
a la anisotropía observada. Para hacer eso tomamos los resultados de
las simulaciones MHD, construimos mapas de densidad columnar y de
centroides de velocidad integrando (es decir, considerando diferentes LOS)
a lo largo de las coordenadas x, y y z. Por ejemplo, si la LOS coincide con
el eje z, y suponiendo un medio ópticamente delgado cuya emisividad es
3.3. Metodología 41
proporcional a la densidad, la intensidad integrada resultantes es
Iz(x, y) =
∫
dz ρ(x, y, z), (3.1)
que corresponde a la densidad columnar. Bajo las mismas suposiciones, la
velocidad media en la LOS se puede calcular como
Vz(x, y) =
1
Nz
∫
dz υz(x, y, z), (3.2)
donde Nz es el número de celdas utilizadas para descretizar z. Cabe
mencionar que esta velocidad promedio no se puede obtener directamente
de las observaciones.
Los centroides de velocidad han sido ampliamente utilizados para relacionar
su estadística con la velocidad, su forma convencional es
Cz(x, y) ≡
∫
dz ρ(x, y, z)υz(x, y, z)∫
dz ρ(x, y, z)
. (3.3)
La ecuación anterior es la definición de centroides de velocidad normalizados.
El denominador de la ec. (3.3) introduce una complicación algebraica cuando
se realiza un análisis directo de las estadísticas de dos puntos (ver Esquivel
y Lazarian, 2005). Entonces, por simplicidad, consideramos el centroide de
velocidad no normalizado
Cz(x, y) =
∫
dz ρ(x, y, z)υz(x, y, z). (3.4)
Notamos que la ec. (3.4) tienen unidades de densidad por velocidad y no solo
de velocidad.
Con la finalidad de estimar las contribuciones individuales de los
modos MHD a la anisotropía general descompondremos la velocidad de
los distintos modos MHD (Alfvén, lentos y rápidos), obteniendo un campo
de velocidades para cada uno. Con estos campos de velocidad construimos
nuevos mapas de velocidad media proyectada sobre la LOS y nuevos
centroides de velocidad.
Denotaremos a la densidad columnar como ILOS (LOS se denota por x, y,
z según sea el caso) y con un subíndice adicional “A”, “s” y “f” para los
modos de Alfvén, lentos y rápidos, respectivamente (por ejemplo, Vz,A es la
velocidad media en la LOS para el modo de Alfvén integrado en z y Cx,f
es el mapa de centroides de velocidad con la velocidad del modo rápido,
integrado en x).
42 Capítulo 3. Visión General y Metodología
A continuación describimos brevemente el proceso de descomposición de
modos.
3.3.3. Descomposición de los modos

Otros materiales