A-sub-h-correflexiones-y-fibraciones-de-Hurewicz

Vista previa del material en texto

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA 
 DE MÉXICO 
 
 FACULTAD DE CIENCIAS 
 
A (sub h) correflexiones y 
fibraciones de Hurewicz 
 
 
 
 
 
 
 
T E S I S 
 
 QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE: 
 M A T E M Á T I C O 
 P R E S E N T A : 
 
 ENRIQUE GUILLERMO BAZÚA DURÁN 
 
 
 
 
 
 
DIRECTOR DE TESIS: 
MAT. SAÚL ARCE ROCHA 
 
 
2012 
 
 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
Restricciones de uso 
 
DERECHOS RESERVADOS © 
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL 
 
Todo el material contenido en esta tesis esta protegido por la Ley Federal 
del Derecho de Autor (LFDA) de los Estados Unidos Mexicanos (México). 
El uso de imágenes, fragmentos de videos, y demás material que sea 
objeto de protección de los derechos de autor, será exclusivamente para 
fines educativos e informativos y deberá citar la fuente donde la obtuvo 
mencionando el autor o autores. Cualquier uso distinto como el lucro, 
reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el 
respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
 
 
Datos del Alumno 
Bazúa 
Durán 
Enrique Guillermo 
5556064818 
Universidad Nacional Autónoma de México 
Facultad de Ciencias 
Matemáticas 
0-9354133-6 
 
Datos del tutor 
Mat. 
Saúl 
Arce 
Rocha 
 
Datos del sinodal 1 
Dr. 
Javier 
Páez 
Cárdenas 
 
Datos del sinodal 2 
Dr. 
Mario 
Eudave 
Muñoz 
 
Datos del sinodal 3 
Dr. 
Ángel Tamariz 
Mascarua 
 
Datos del sinodal 4 
Dr. 
Marcelo Alberto 
Aguilar 
González de la Vega 
 
Datos del trabajo escrito 
A (sub h) correflexiones 
y fibraciones de Hurewicz 
85 p 
2012 
Índice general
1. Preliminares 5
1.1. Inicialidad y finalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Productos y coproductos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Fibraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Espacios de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5. Ret́ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6. Subcategoŕıas de Top . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2. Subcategoŕıas correflexivas de Top 19
2.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Subcategoŕıas bicorreflexivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Espacios finitamente generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4. Espacios compactamente generados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5. Subcategoŕıa correflexiva inducida por una propiedad . . . . . . . . . . . . . 31
2.6. Caracterización de las subcategoŕıas bicorreflexivas . . . . . . . . . . . . . . 34
2.7. Descripción de la subcategoŕıa bicorreflexiva generada . . . . . . . . . . . . . 37
2.8. La ret́ıculade subcategoŕıas bicorreflexivas de Top . . . . . . . . . . . . . . . 39
3. Bicorreflexividad y clases de funciones 47
3.1. Producto fibrado en Top . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2. Definición de 0-clase y de 1-clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3. 1-clase generada por una 0-clase M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4. Top-clase asociada a una 0-clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5. 1-clases y bicorreflexividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4. La subcategoŕıa A(sub h) 61
4.1. E-fibraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2. Fibraciones de Hurewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3. Descripción de la subcategoŕıa A(sub h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3.1. A(sub h)-correflexiones y fibraciones de Hurewicz . . . . . . . . . . . 74
4.3.2. Espacios localmente conectables por trayectorias . . . . . . . . . . . . 79
4.3.3. Acotamiento de la topoloǵıa del A(sub h)-correflector. . . . . . . . . . 80
1
2 ÍNDICE GENERAL
A. Fundamentos 83
Introducción
El objetivo del presente trabajo es contextualizar una pregunta que Graciela Salicrup y
Roberto Vázquez formulan en el art́ıculo “Fibraciones y Correflexiones” [1]; concretamente,
saber si toda AH-correflexión es una fibración de Hurewicz.
De esto se desprendeŕıa inmediatamente, gracias a los resultados expuestos en dicho
art́ıculo, si AH es o no una h-subcategoŕıa bicorreflexiva de Top.
A fin de aclarar el contexto de la conjetura, se estudian las subcategoŕıas correflexivas de
Top desde dos perspectivas diferentes.
En el caṕıtulo 2 se da la definición de subcategoŕıa correflexiva de Top y algunos ejemplos
que ilustran un método para obtener subcategoŕıas correflexivas a partir de una propiedad
determinada.
En el caṕıtulo 3 se muestra un método para obtener subcategoŕıas correflexivas de Top
a partir de ciertas clases de funciones.
Por último en el caṕıtulo 4 se describe a un tipo particular de 1-clase, y a través de
una de ellas se define la subcategoŕıa AH. Se describe a dicha subcategoŕıa junto con sus
correflexiones y se formula la conjetura.
El caṕıtulo 1 tiene como objetivo servir de glosario, fijar notación, y en caso de ser
necesario, como recordatorio de ciertos conceptos o resultados.
No hay mejor introducción al art́ıculo ”Fibraciones y Correflexiones” [1], que la que
realizó Leticia Montoya en su trabajo homónimo [2], el presente texto sigue el orden de dicho
trabajo y se recomienda su lectura a quien encuentre poca claridad en alguna demostración
aqúı expuesta u omitida. Aśı mismo, si este trabajo parece abundar en detalles, se recomienda
la lectura directa del art́ıculo.
3
Caṕıtulo 1
Preliminares
El presente caṕıtulo tiene como objetivo servir de glosario, fijar notación, y en caso de
ser necesario, como recordatorio de ciertos conceptos o resultados. Se recomienda por tanto
iniciar la lectura en el caṕıtulo 2 y sólo consultar este cuando sea necesario.
Se entenderá, a lo largo de este texto, por Set a la categoŕıa que consta de:
1. la clase de todos los conjuntos, la cual se denotará por Ob(Set)
2. la clase de todas las funciones entre ellos, la cual se denotará por Mor(Set)
3. la clase de las funciones identidad, la que se denotará por Id(Set)
4. una ley de composición entre funciones, que es la composición usual de funciones.
Al hacer referencia a una función f cuyo dominio sea el conjunto X y cuyo contradominio
sea el conjunto Y , se abreviará todo esto con la siguiente notación: f ∈ Set(X, Y ).
A la función identidad de dominio X se le denotará por 1X .
Aśı mismo, a lo largo de este texto se entenderá por Top a la categoŕıa que consta de:
1. la clase de todos los espacios topológicos, la cual se denotará por Ob(Top)
2. la clase de todas las funciones continuas entre ellos, la cual se denotará por Mor(Top)
3. la clase de las funciones identidad de cada espacio en śı mismo, la que se denotará por
Id(Top)
4. una ley de composición entre funciones continuas, que es la composición usual de
funciones.
Cuando τ es una estructura topológica para el conjunto X, el espacio topológico corre-
spondiente se denotará por (X, τ ). En caso de no requerir especificar la estructura topológica
de que está dotado un conjunto, el espacio topológico se denotará únicamente con el śımbolo
asignado al conjunto subyacente; aśı, en vez de escribir (X, τ ) se escribirá simplemente X.
5
6 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Cuando se haga referencia a una función continua f cuyo dominio es el espacio topológico
(X, τ ) y cuyo contradominio es el espacio topológico (Y, σ), se abreviará todo esto con la
siguiente notación: f ∈ Top((X, τ ), (Y, σ)), o simplemente f ∈ Top(X, Y ).
Al conjunto de todas las topoloǵıas para un conjunto X, se le donotarápor Top[X].
A continuación se presentan algunas definiciones y resultados, todos sin demostración,
que en caso de ser necesario se pueden consultar en el libro “Introducción a la Topoloǵıa”
de Graciela Salicrup [3].
1.1. Inicialidad y finalidad
Definición 1.1 Una fuente de funciones es una clase de funciones con dominio común
(fi : X → Xi)I
donde I es una clase que puede ser vaćıa, singular o propia. Si
(fi : X → Xi)I
es una fuente y (Xi, τi)I es una clase de espacios topológicos, la topoloǵıa inicial de X
respecto a (fi, τi)I está dada por
τ = ı́nf {α ∈ Top [X] : ∀i ∈ I, fi ∈ Top ((X,α) , (Xi, τi))}
Un sumidero de funciones es una clase de funciones con codominio común
(fi : Xi → X)I
donde I es una clase que puede ser vaćıa, singular o propia. Si
(fi : Xi → X)I
es un sumidero y (Xi, τi)I es una clase de espacios topológicos, la topoloǵıa final de X
respecto de (τi, fi)I está dada por
τ = sup {α ∈ Top [X] : ∀i ∈ I, fi ∈ Top ((Xi, τi) , (X,α))}
Definición 1.2 Se dice que una fuente de funciones
(fi : X → Xi)I
1. separa puntos, si para cualesquiera x, y ∈ X, x �= y, existe i ∈ I tal que fi (x) �=
fi (y).
2. es una monofuente si para cualesquiera g, h ∈ Set (W,X) tales que para toda i ∈ I,
fig = fih, se tiene que g = h.
1.1. INICIALIDAD Y FINALIDAD 7
Proposición 1.1 Una fuente de funciones separa puntos si, y sólo si, es monofuente.
Definición 1.3 Se dice que un sumidero de funciones (fi : Xi → X)I
1. cubre puntos, si X =
⋃
i∈I
fiXi
2. es un episumidero si para cualesquiera g, h ∈ Set (X, Y ) tales que para toda i ∈ I ,
gfi = hfi, se tiene que g = h.
Proposición 1.2 Un sumidero de funciones cubre puntos si, y sólo si, es episumidero.
Teorema 1.1 Si (fi : (X, τ ) → (Xi, τi))I es una fuente de funciones entre espacios topológi-
cos, entonces son equivalentes
1. τ es inicial respecto a (fi, τi)I
2.
⋃
i∈I
f−1i τi :=
{
f−1i (U) ⊆ X : i ∈ I, U ∈ τi
}
es subbase de τ
3. Para toda i ∈ I , fi es continua y si g : (W,ω) → (X, τ ) es una función tal que fig es
continua para toda i ∈ I , entonces g es continua.
4. Para toda i ∈ I , fi es continua y, si conmuta el siguiente diagrama para toda i ∈ I ,
(X, τ )
(Y, σ)
(Xi, τi)
fi
gih
con h biyectiva y continua y gi continua, entonces h es un homeomorfismo.
Teorema 1.2 Si (fi : (Xi, τi) → (X, τ ))I es un sumidero de funciones entre espacios topológi-
cos, entonces son equivalentes
1. τ es final respecto a (τi, fi)I
2. τ =
{
U ⊆ X : f−1i (U) ∈ τi, para toda i ∈ I
}
3. Para toda i ∈ I , fi es continua y si g : (X, τ ) → (Y, σ) es una función tal que gfi es
continua para toda i ∈ I , entonces g es continua.
8 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
4. Para toda i ∈ I , fi es continua y, si conmuta el siguiente diagrama para toda i ∈ I ,
(X, τ )
(Y, σ)
(Xi, τi)
fi
gi h
con h biyectiva y continua y gi continua, para toda i ∈ I , entonces h es un homeomor-
fismo.
Teorema 1.3 Sean (fi : (X, τ ) → (Xi, τi))I y (gi : (Y, σ) → (Xi, τi))I dos fuentes de fun-
ciones continuas y f : (X, τ ) → (Y, σ) y una función continua tal que para toda i ∈ I
conmuta el siguiente diagrama
(X, τ )
(Y, σ)
(Xi, τi)
fi
gif
entonces se satisfacen:
1. Si τ es inicial respecto a (fi, τi)I , τ es inicial respecto a (f, σ).
2. Si τ es inicial respecto a (f, σ) y σ es inicial respecto a (gi, τi)I , τ es inicial respecto a
(fi, τi)I .
Teorema 1.4 Sean (fi : (Xi, τi) → (X, τ ))I y (gi : (Xi, τi) → (W,ω))I dos sumideros de fun-
ciones continuas y f : (W,ω) → (X, τ ) y una función continua tal que para toda i ∈ I
conmuta el siguiente diagrama
(X, τ )
(W,ω)
(Xi, τi)
fi
gi f
entonces se satisfacen:
1. Si τ es final respecto a (τi, fi)I , τ es final respecto a (f, ω).
2. Si τ es final respecto a (ω, f) y ω es final respecto a (τi, gi)I , τ es final respecto a
(τi, fi)I .
1.2. PRODUCTOS Y COPRODUCTOS 9
1.2. Productos y coproductos
Definición 1.4 Se dice que una fuente de funciones (fi : X → Xi)I cumple la propiedad
universal del producto si dada cualquiera otra fuente de funciones (gi : W → Xi)I existe
una única función f : W → X tal que conmuta el siguiente diagrama
X
W Xi
fi
gi
f
En caso de que I sea un conjunto, se dice que X es un producto cartesiano de (Xi)I con
proyecciones (fi)I .
Definición 1.5 Se dice que un sumidero de funciones (fi : Xi → X)I cumple la propiedad
universal del coproducto si dado cualquier otro sumidero de funciones (gi : Xi → Y )I
existe una única función g : X → Y tal que conmuta el siguiente diagrama
X
YXi
fi
gi
g
En caso de que I sea un conjunto, se dice que X es un coproducto cartesiano de (Xi)I
con coproyecciones (fi)I .
Teorema 1.5 Dadas cualesquiera dos fuentes (fi : X → Xi)I y (gi : Y → Xi)I que cumplen
la propiedad universal del producto (cartesiano) existe una única función h : X → Y biyectiva
que hace conmutativo al diagrama
X
Y
Xi
fi
gih
Debido a esto se habla de X como de el producto (cartesiano) del conjunto (Xi)I , y se denota
por
∏
i∈I
Xi.
Observación 1.1 Está notación generalmente se emplea para denotar al conjunto{
f ∈ Set
(
I,
⋃
i∈I
Xi
)
: f (i) ∈ Xi, para toda i ∈ I
}
10 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Es fácil probar que la fuente (de proyecciones canónicas)(
pi :
∏
i∈I
Xi → Xi
)
I
donde para toda i ∈ I
pi :
∏
i∈I
Xi → Xi
f �→ f (i)
cumple la propiedad universal del producto (cartesiano). Esto y el teorema anterior justifican
el empleo de esta notación.
Teorema 1.6 Dados cualesquiera dos sumideros (fi : Xi → X)I y (gi : Xi →W )I que cum-
plen la propiedad universal del coproducto (cartesiano) existe una única función h : W → X
biyectiva que hace conmutativo al diagrama
X
W
Xi
fi
gi
h
Debido a esto se habla de X como de el coproducto (cartesiano) del conjunto (Xi)I , y se
denota por
∐
i∈I
Xi.
Observación 1.2 Está notación generalmente se emplea para denotar al conjunto⋃
i∈I
(Xi × {i})
Es fácil probar que el sumidero (de coproyecciones canónicas o inclusiones canónicas)(
ιi : Xi →
∐
i∈I
Xi
)
I
donde para toda i ∈ I
ιi : Xi →
∐
i∈I
Xi
x �→ (x, i)
cumple la propiedad universal del coproducto (cartesiano). Esto y el teorema anterior justif-
ican el empleo de esta notación.
1.2. PRODUCTOS Y COPRODUCTOS 11
Definición 1.6 Dado un conjunto I, se dice que una fuente de funciones continuas (fi : X → Xi)I
cumple la propiedad universal del producto topológico si dada cualquiera otra fuente
de funciones continuas (gi : W → Xi)I existe una única función continua f : W → X tal
que conmuta el siguiente diagrama
X
W Xi
fi
gi
f
En tal caso se dice que X es un producto topológico de (Xi)I con proyecciones (fi)I .
Definición 1.7 Dado un conjunto I, se dice que un sumidero de funciones continuas (fi : Xi → X)I
cumple la propiedad universal del coproducto topológico si dada cualquier otro sum-
idero de funciones continuas (gi : Xi → Y )I existe una única función continua g : X → Y
tal que conmuta el siguiente diagrama
X
YXi
fi
gi
g
En tal caso se dice que X es un coproducto topológico de (Xi)I con coproyecciones
(fi)I .
Teorema 1.7 Dado un conjunto I y dadas cualesquiera dos fuentes de funciones contiuas
(fi : X → Xi)I y (gi : Y → Xi)I que cumplen la propiedad universal del producto topológico
existe un único homeomorfismo h : X → Y que hace conmutativo al diagrama
X
Y
Xi
fi
gi
h
Debido a esto se habla de X como de el producto topológico del conjunto (Xi)I , y se denota
por
∏
i∈I
Xi.
Teorema 1.8 Dado un conjunto I y dados cualesquiera dos sumideros de funciones con-
tinuas (fi : Xi → X)I y (gi : Xi →W )I que cumplen la propiedad universal del coproducto
12 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
topológico existe un único homeomorfismo h : W → X que hace conmutativo al diagrama
X
W
Xi
fi
gi
h
Debido a esto se habla de X como de el coproducto topológico del conjunto (Xi)I , y se denota
por
∐
i∈I
Xi.
Definición 1.8 Si (fi : Xi → Yi)I es un conjunto de funciones, el producto (cartesiano)
de (fi)I , que denotaremos por Πfi, es la única función que para toda i ∈ I hace conmutativo
el diagrama:
Xi
∏
m∈I
Xm∏
m∈I
Ym
Yi
pi qi
fi
∏
fm
Definición 1.9 Si (fi : Xi → Yi)I es un conjunto de funciones, el coproducto (carte-
siano) de (fi)I , que denotaremos por
∐
fi, es la única función que para toda i ∈ I hace
conmutativo el diagrama:
Xi
∐
m∈I
Xm
∐
m∈I
YmYi
ιi
κi
fi
∐
fm
Teorema 1.9 El producto cartesiano de funciones continuas es continuo.
Teorema 1.10 El coproducto cartesiano de funciones continuas es continuo.
Teorema 1.11 Sea I × J un conjunto de ı́ndices. Entonces:∏
i∈I
(∏
k∈J
X(i,k), τi
)
∼=
∏
I×J
(
X(i,j), τ(i,j)
)
donde τi es la topoloǵıa inicial para
∏
k∈J
X(i,k) respecto de las proyecciones canónicas; y
∐
i∈I
(∐
k∈J
X(i,k), τi
)
∼=
∐
I×J
(
X(i,j), τ(i,j)
)
donde τi es la topoloǵıa final para
∐
k∈J
X(i,k) respecto de las inclusiones canónicas.
1.3. FIBRACIONES 13
Teorema 1.12 Dados, un espacio topológico (X, τ ) y una partición (Xi)I de X en conjuntos
abiertos, se tiene que:
(X, τ ) ∼=
∐
i∈I
(Xi, τ |Xi)
Observación 1.3 Para simplificar la notación, y dado que la proyección canónica
p :
∐
i∈I
(Xi, τ |Xi) → (X, τ )
(x, i) �→ x
es un homeomorfismo, no se hará distinción entre ambos espacios.
Definición 1.10 Una función continua s : X → Y se llama sección en Top si existe
r : Y → X continua tal que rs = 1X .
Definición 1.11 Una función continua r : X → Y se llama retracción en Top si existe
s : Y → X continua tal que rs = 1Y .
Definición 1.12 Una función f : (X, τ ) → (Y, σ) se llama inmersión si es inyectiva y τ
es inicial respecto a (f, σ).
Definición 1.13 Una función p : (X, τ ) → (Y, σ) se llama identificación si es suprayec-
tiva y σ es final respecto a (τ, f).
Teorema 1.13 Toda sección es una inmersión.
Teorema 1.14 Toda retracción es un identificación.
1.3. Fibraciones
Definición 1.14 Un espacio topológico X es totalmente inconexo por trayectorias si
para toda x ∈ X, la componente por trayectorias de x es {x}.
Observación 1.4 I denotará al intervalo [0, 1] con su topoloǵıa usual.
Proposición 1.3 Dado un espacio topológico X, son equivalentes:
(i) X es totalmente inconexo por trayectorias.
(ii) Si f ∈ Top (I,X), entonces f es constante.
Definición 1.15 Dado {f, g} ⊆ Top (X, Y ), se dice que f es homotópica a g (f � g) si
existe H ∈ Top (X × I, Y ) tal que:
H |X×{0}= f y H |X×{1}= g
En este caso H es una homotoṕıa entre f y g, (f
H� g o H : f � g).
14 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Definición 1.16 Se dice que dos espacios topológicos X, Y son del mismo tipo de ho-
motoṕıa (X � Y ) si existen
f ∈ Top (X, Y ) y g ∈ Top (Y,X)
tales que
gf � 1X y fg � 1Y
En tal caso se dice que f y g son equivalencias homotópicas.
Definición 1.17 Un espacio topológico X es contráıble si 1X es homotópica a una con-
stante.
Definición 1.18 Dados {f, g} ⊆ Top (X, Y ) y A ⊆ X, se dice que f es homotópica a g
relativa a A (f � g relA) si existe H ∈ Top (X × I, Y ) tal que:
H |X×{0}= f y H |X×{1}= g y H |A×I= f |A
Definición 1.19 Se dice que f ∈ Top (X, Y ) tiene la propiedad del levantamiento
(único) de homotoṕıas respecto a un espacio topológico W si, dado el siguiente
diagrama:
W X
Y
h0 f
g
H
W × I
donde para toda w ∈ W,h0 (w) = (w, 0), existe (exactamente una) H̃ ∈ Top (X × I, Y ) tal
que
W X
Y
h0 f
g
H
H̃
W × I
En tal caso, la aplicación H̃ se llama levantamiento de H que empieza con g.
Definición 1.20 Una función continua p : E → B se llama fibración de Hurewicz si p
tiene la propiedad del levantamiento de homotoṕıas respecto a cualquier espacio topológico.
Proposición 1.4 Toda aplicación cubriente es una fibración de Hurewicz.
Proposición 1.5 Si un espacio topológico B es totalmente inconexo por trayectorias y b ∈
B, entonces {b} ↪→ B es una fibración de Hurewicz.
1.3. FIBRACIONES 15
Proposición 1.6 Si B y F son espacios topológicos, entonces la proyección p : B×F → B
es una fibración de Hurewicz que se llama fibración trivial.
Definición 1.21 Dados f ∈ Top ((X, τ ) , (Y, σ)) y y ∈ Y , la fibra de f sobre y es (f−1 (y) , τ |f−1(y)).
Observación 1.5 Las fibras de la fibración trivial p : B × F → B son homeomorfas a F ,
por lo tanto, si F no es discreto, entonces p no es aplicación cubriente.
Definición 1.22 Se dice que una fibración de Hurewicz p : E → B tiene la propiedad del
levantamiento único de trayectorias si dadas ω1, ω2 ∈ Top (I, E) se tiene que:
si pω1 = pω2 y ω1 (0) = ω2 (0) , entonces ω1 = ω2
Teorema 1.15 Si p : E → B es una fibración de Hurewicz, entonces son equivalentes:
1. p tiene la propiedad del levantamiento único de trayectorias.
2. Dados Y conexo por trayectorias, f, g ∈ Top (Y,E), y0 ∈ Y tal que f (y0) = g (y0) y
pf = pg, entonces f = g.
3. p tiene la propiedad del levantamiento único de homotoṕıa.
4. Para toda b ∈ B, p−1 (b) es totalmente inconexo por trayectorias.
Corolario 1.1 Si p : E → B es una fibración de Hurewicz con la propiedad del levantamien-
to único de trayectorias y ω1, ω2 son tales que ω1 (0) = ω2 (0) y pω1 � pω2 rel {0, 1}, entonces
ω1 � ω2 rel {0, 1}.
Proposición 1.7 La composición de fibraciones de Hurewicz (con la propiedad del levan-
tamiento único de trayectorias) es fibración de Hurewicz (con la propiedad del levantamiento
único de trayectorias).
Teorema 1.16 Si p ∈ Top (E,B) y E es localmente conectable por trayectorias, entonces
son equivalentes:
1. p es fibración de Hurewicz (con la propiedad del levantamiento único de trayectorias).
2. Para cada componente por trayectorias C de E, la restricción de p
p̃ : C → p (C)
c �→ p (c)
es fibración de Hurewicz (con la propiedad del levantamiento único de trayectorias) y
p (C) es componente por trayectorias de B.
16 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
1.4. Espacios de funciones
Definición 1.23 Dados X, Y espacios topológicos, A ⊆ X y B ⊆ Y , se define:
(A,B) := {f ∈ Top (X, Y ) : f (A) ⊆ B}
Definición 1.24 La topoloǵıa compacto abierta para Top ((X, τ ) , (Y, σ)), que será de-
notada por κ, es la que tiene por subbase a:
β :=
{
(K,U) ⊆ Top ((X, τ ) , (Y, σ)) : U ∈ σ y (K, τ |K) es compacto
}
El espacio (Top ((X, τ ) , (Y, σ)) , κ) será denotado por M ((X, τ ) , (Y, σ)). En caso de que se
denote a los espacios únicamente como X y Y , el espacio (Top (X, Y ) , κ) será denotado por
M (X, Y ).
Definición 1.25 Dados los conjuntos X, Y, Z, se definen:
ϕ : Set (X × Y, Z) −→ Set (X,Set (Y, Z))
f : X × Y → Z �−→ ϕ (f) : X → Set (Y, Z)
donde [ϕ (f)] (x) = f |{x}×Y y
ψ : Set (X,Set (Y, Z)) −→ Set (X × Y, Z)
g : X → Set (Y, Z) �−→ ψ (g) : X × Y → Z
donde [ψ (g)] (x, y) = [g (x)] (y).
Proposición 1.8 Dados los conjuntos X, Y, Z, se satisfacen:
ψϕ = 1Set(X×Y,Z) y ϕψ = 1Set(X,Set(Y,Z))
Proposición 1.9 Dados los espacios topológicos X, Y, Z, si Y es localmente compacto y
regular, entonces:
ϕ : Top (X × Y, Z) −→ Top (X,M (Y, Z))
es biyectiva.
Observación 1.6 Como I es localmente compacto y regular, entonces:
ϕ : Top (X × I, Z) −→ Top (X,M (I, Z))
es biyectiva.
Observación 1.7 Dado t ∈ I, la evaluación en t
et : M (I, Z) → Z
f �→ f (t)
es continua.
Observación 1.8 Dados los espacios topológicos X, Y y f ∈ Top (X, Y ), entonces Πf ∈
Set (M (I,X) ,M (I, Y )) es continua. Cabe aclarar que Πf no es precisamente el produc-
to de funciones, sino la restricción de dicho producto al dominio correspondiente, pero se
denotará de esta forma por simplificar la notación.
1.5. RETÍCULAS 17
1.5. Ret́ıculas
Definición 1.26 Si α es un orden parcial (i.e. es una relación binaria en X reflexivo, anti-
simétrico y transitivo) en un conjunto X, se dice que (X,α) es un conjunto parcialmente
ordenado (copo).
Definición 1.27 Si (X,α) es un copo y Y ⊆ X, entonces:
x ∈ X es un ı́nfimo para Y si, y solamente si, x es una cota inferior de Y (i.e.
(x, y) ∈ α, para toda y ∈ Y ) y es la más grande de las cotas inferiores de Y (i.e.
(z, y) ∈ α implica (z, x) ∈ α)
x ∈ X es un supremo para Y si, y solamente si, x es una cota superior de Y (i.e.
(y, x) ∈ α, para toda y ∈ Y ) y es la más grande de las cotas superiores de Y (i.e.
(y, z) ∈ α implica (x,z) ∈ α)
Definición 1.28 Una ret́ıcula es un copo en el que toda pareja de elementos tiene ı́nfimo
y supremo.
Definición 1.29 Una ret́ıcula es completa si todo subconjunto tiene ı́nfimo o supremo (una
implica a la otra).
Definición 1.30 En una ret́ıcula completa (X,α) los elementos ı́nfX y supX reciben los
nombres de elemento cero y elemento uno, respectivamente, y se denotan por 0 y 1,
respectivamente.
1.6. Subcategoŕıas de Top
Definición 1.31 Una subcategoŕıa de Top es la categoŕıa A que consta de:
1. una clase de espacios topológicos, la cual se denotará por Ob(A) y cuyos elementos se
llamarán A-espacios.
2. una clase de funciones continuas entre ellos, la cual se denotará por Mor(A).
3. la clase de las funciones identidad de cada A-espacio en śı mismo, la que se denotará por
Id(A).
4. una ley de composición entre funciones continuas, que es la composición usual de
funciones.
Definición 1.32 Dada A una subcategoŕıa de Top, se dice que es:
1. plena si dados dos A-espacios cualesquiera X, Y se tiene que f ∈ Top (X, Y ) implica
f ∈Mor(A).
2. repleta si Ob(A) es cerrada bajo homeomorfismos.
18 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Caṕıtulo 2
Subcategoŕıas correflexivas de Top
Puede pensarse a la Topoloǵıa como el estudio de las propiedades que se preservan bajo
transformaciones continuas. Bajo esta idea, el asociar a cada una de estas propiedades una
clase de espacios topológicos podŕıa ayudar a entenderlas y clasificarlas.
Las subcategoŕıas correflexivas logran en cierto modo esto, y tal vez el origen de su estudio
sea precisamente ese.
A continuación se presentan las definiciones de dichas clases, algunos resultados y dos
ejemplos.
2.1. Definiciones
Definición 2.1 Una Top-clase es una clase A de espacios topológicos cerrada bajo home-
omorfismos. Los elementos de la Top-clase A se llaman A-espacios.
Observación 2.1 Al considerar a las subcategoŕıas plenas y repletas de Top, se puede ob-
servar que esencialmente no existe diferencia entre dichas subcategoŕıas, las propiedades
topológicas y las Top-clases.
Definición 2.2 Dada A una Top-clase, una A-correflexión de un espacio topológico
X es una función continua c : A → X que satisface: (i) A ∈ A; (ii) Para toda A′ ∈ A y
para toda f ∈ Top (A′, X), existe una, y solamente una, g ∈ Top (A′, A) tal que cg = f . Es
decir, se tiene el siguiente diagrama conmutativo:
XA′
A
c
g
f
En tal caso se dice que X es A-correflejable y que A es su A-correflector.
19
20 CAPÍTULO 2. SUBCATEGORÍAS CORREFLEXIVAS DE TOP
Ejemplo 2.1 Si A es cualquier Top-clase y A es cualquier A-espacio, se tiene que la fun-
ción
1A : (A, α) → (A, α)
a �→ a
es una A-correflexión de A.
Ejemplo 2.2 Si A es cualquier Top-clase y h un homeomorfismo cuyo dominio es un A-
espacio, se tiene que h es una A-correflexión de su codominio.
Definición 2.3 Si la Top-clase A es tal que cualquier espacio topológico X es A-correfleja-
ble, entonces, a la subcategoŕıa plena y repleta cuya clase de objetos es precisamente A, se le
llama una subcategoŕıa correflexiva de Top, que por abuso de notación se denotará como
A.
Proposición 2.1 El A-correflector de un espacio X es único salvo homeomorfismos.
Demostración: Sean c y c′ A-correflexiones de X. Entonces se tienen los siguientes dia-
gramas conmutativos
XA
A′
c′
h
c
A′ c
′
X
A
ch
′
donde h y h′ son las funciones continuas únicas que existen por ser A y A′ A-correflectores.
Siendo aśı, la composición h′h es una función continua de A en A tal que
c (h′h) = (ch′)h = c′h = c
por lo que se tiene el siguiente diagrama conmutativo
X
A
A
c(h′h)
1A c
Por lo tanto
h′h = 1A.
Análogamente se puede probar que hh′ = 1A′ . Por lo tanto, h es un homeomorfismo.
Proposición 2.2 Todo espacio homeomorfo al A-correflector del espacio X es también un
A-correflector de X.
2.2. SUBCATEGORÍAS BICORREFLEXIVAS 21
Demostración: Sea A un A-correflector de X y sea h : A′ → A un homeomorfismo.
Sea f : B → X cualquier función continua, con B ∈ A; entonces existe una función con-
tinua única g : B → A tal que cg = f . Entonces tenemos el siguiente diagrama conmutativo:
XAA′
B
f
ch
h−1g g
en el cual vemos que:
(ch)
(
h−1g
)
= c
(
hh−1
)
g = f
es decir, ch es una A-correflexión, pues h−1g es única por la unicidad de g.�
Proposición 2.3 ({∅} , {1∅} , {1∅} , ◦) es la mı́nima subcategoŕıa correflexiva de Top.
Demostración Para cualquier espacio topológico X se tiene el siguiente diagrama conmu-
tativo:
X
∅
∅
∅∅
∅
del cual queda claro que ({∅} , {1∅} , {1∅} , ◦) es una subcategoŕıa correflexiva de Top. Que
es mı́nima, se sigue de que el único correflector del espacio ∅ es él mismo.�
Observación 2.2 En adelante se denotará a ({∅} , {1∅} , {1∅} , ◦) como {∅}, a fin de sim-
plificar la notación.
2.2. Subcategoŕıas bicorreflexivas
Teorema 2.1 Si A es cualquier subcategoŕıa correflexiva cuya clase de objetos tiene ele-
mentos no vaćıos, entonces toda A-correflexión debe ser biyectiva.
Demostración. Dados X ∈ Top, c : A → X una A-correflexión de X y B ∈ A tenemos
el siguiente diagrama conmutativo para cualquier f ∈ Top (B,X)
X
A
B
g
c
f
22 CAPÍTULO 2. SUBCATEGORÍAS CORREFLEXIVAS DE TOP
Si X = ∅ entonces c = φ y por tanto biyectiva.
De otro modo, si x ∈ X y f es tal que f (b) = x para toda b ∈ B, entonces f es continua
y para toda b ∈ B:
c (g (b)) = f (b) = x
Por lo tanto, c es suprayectiva.
Si a1, a2 ∈ A son tales que c (a1) = c (a2) y f tal que f (b) = c (a1) para toda b ∈ B,
entonces, como f es continua, g debe ser única y tal que:
c (g (b)) = f (b) = c (ai) , para i ∈ {1, 2}
Def́ınase
gi : B → A
b �→ ai
y nótese que gi es continua y satisface que para toda b ∈ B,
c (gi (b)) = f (b) , para i ∈ {1, 2}
Entonces g1 = g2, y por tanto a1 = a2, por lo cual c es inyectiva.�
Debido a lo anterior, se tiene la siguiente
Definición 2.4 Se llama subcategoŕıa bicorreflexiva a toda subcategoŕıa correflexiva de
Top con elementos no vaćıos.
Observación 2.3 Si A es una subcategoŕıa bicorreflexiva de Top y (X, τ ) es cualquier es-
pacio topológico, entonces una de las A-correflexiones de (X, τ ) es de la forma 1X .
Demostración. Supóngase que
c : (A, α) → (X, τ )
es una A-correflexión de (X, τ ), sea
τ ′ = {V ⊆ X : c (U) = V para algún U ∈ α}
Como c es biyectiva, τ ′ es una topoloǵıa para X y
c−1 : (X, τ ′) → (A, α)
se vuelve continua pues τ ′ es en realidad la topoloǵıa inicial para X correspondiente a
c−1 : X → (A, α) y a α, es decir,
τ ′ =
{
V ∈ Pot (X) : (c−1)−1 (U) = V para algún U ∈ α}
= {V ∈ Pot (X) : c (U) = V para algún U ∈ α}
2.3. ESPACIOS FINITAMENTE GENERADOS 23
En consecuencia,
c−1 : (X, τ ′) → (A, α)
es un homeomorfismo. Por lo tanto, (X, τ ′) ∈ A y, por la proposición 2.2,
cc−1 = 1X
es una A-correflexión de (X, τ ).�
Teorema 2.2 La Top-clase de los espacios discretos es la clase de objetos de la mı́nima
subcategoŕıa bicorreflexiva de Top.
Demostración. Sea D la subcategoŕıa plena y repleta de Top cuya clase de objetos es la
Top-clase de los espacios discretos.
(a) D es bicorreflexiva: Se tiene el siguiente diagrama conmutativo:
(X, τ )
(X,Pot(X))
(W,Pot(W)) f
1X
f
donde cada función es continua, pues el dominio es discreto. Además Ob (D) tiene elementos
no vaćıos; por lo tanto D es bicorreflexiva.
(b) D es la mı́nima bicorreflexiva: Sea A cualquier subcategoŕıa bicorreflexiva de Top y
X cualquier espacio topológico discreto. Entonces existe una A-correflexión
c : A→ X
que, como se sabe, es continua y biyectiva. Como X es discreto, también c−1 es continua;
por lo tanto c es un homeomorfismo y X ∈ A. Por lo tanto, D ⊆ A.�
Ahora es posible, a través de un par de ejemplos, ilustrar una técnica para asociar una
subcategoŕıa correflexiva de Top a una propiedad que se preserva bajo funciones continuas.
2.3. Espacios finitamente generados
Definición 2.5 Un espacio topológico (X, τ ) está finitamente generado si es final el sum-
idero de inclusiones del conjunto de subespaciosfinitos de (X, τ ). Es decir, τ es la topoloǵıa
más fina para X que hace continuas a las inclusiones de los subespacios finitos de (X, τ ).
Definición 2.6 Al conjunto de subespacios finitos de (X, τ ) se le denotará como PotF (X, τ );
es decir:
PotF (X, τ ) := {F ⊆ X : F es finito}
24 CAPÍTULO 2. SUBCATEGORÍAS CORREFLEXIVAS DE TOP
Ejemplo 2.3 Todo espacio discreto está finitamente generado.
En efecto, las inclusiones son continuas y τ = sup Top [X]. �
Ejemplo 2.4 Todo espacio indiscreto está finitamente generado.
En efecto, sea τ la topoloǵıa indiscreta para X y considérese el sumidero
(ιF : (F, τ |F ) ↪→ (X, τ ))PotF(X,τ )
de inclusiones de los subespacios finitos de (X, τ ). Hay que probar que en este caso la
topoloǵıa final para X correspondiente a (τ |F )PotF(X,τ ) y a (ιF )PotF(X,τ ) es la topoloǵıa indisc-
reta. Sea τ ′ dicha topoloǵıa; se procederá por reducción al absurdo suponiendo que hay un
subconjunto propio de X, no vaćıo y miembro de τ ′. Sea U tal subconjunto de X; entonces,
para toda F ∈ PotF (X, τ )
ι−1F (U) ∈ τ |F
Por ser no vaćıo existe al menos un x ∈ U . Por ser subconjunto propio, tampoco X − U es
vaćıo, por lo que existe y ∈ X − U ; entonces x �= y y el subespacio de X({x, y} , τ ∣∣{x,y} )
es un subespacio finito (e indiscreto) y miembro del conjunto (F, τ |F )PotF(X,τ ) de subespacios
finitos de (X, τ ). Sin embargo, para la inclusión correspondiente
ι :
({x, y} , τ ∣∣{x,y} ) ↪→ (X, τ )
se tiene que
ι−1 (U) = {x} /∈ τ ∣∣{x,y}
lo cual contradice el hecho de que U es miembro de la topoloǵıa final. Luego U = X, lo que
significa que τ es la topoloǵıa final. Por lo tanto
(ιF : (E, τ |F ) ↪→ (X, τ ))PotF(X,τ )
es final y (X, τ ) está finitamente generado.�
Teorema 2.3 Sea (X, τ ) cualquier espacio topológico; son equivalentes:
(a) (X, τ ) está finitamente generado.
(b) Las intersecciones arbitrarias de abiertos son abiertas.
(c) Las uniones arbitrarias de cerrados son cerradas.
(d) Si (Ai)I es cualquier familia de subconjuntos de X, entonces
∪
i∈I
Ai = ∪
i∈I
Ai.
2.3. ESPACIOS FINITAMENTE GENERADOS 25
Demostración.
(a) ⇒ (b) : Sea (Ai)I cualquier conjunto de subconjuntos abiertos de (X, τ) y sea A = ∩i∈IAi.
Por (a), U ∈ τ si, y solamente si, U ∩F ∈ τ |F , para todo F ∈ PotF (X, τ ). En consecuencia,
para cada F que se fije, se tiene que
A ∩ F = ∩
i∈I
(Ai ∩ F )
es una intersección finita de abiertos de F (posiblemente de muchos intersectandos repetidos).
Luego, para toda F ∈ PotF (X, τ )
A ∩ F ∈ τ |F
Por lo tanto, A ∈ τ .
(b) ⇒ (a) : Hay que probar que es final el sumidero de inclusiones del conjunto de subespacios
finitos de (X, τ )
S = (ιF : (F, τ |F ) ↪→ (X, τ ))PotF(X)
para lo cual basta demostrar que si U ⊆ X es tal que U ∩F ∈ τ |F para todo F ∈ PotF (X),
entonces U ∈ τ . Escójase U con esas caracteŕısticas y un punto x ∈ U . Por (b), x posee una
vecindad abierta mı́nima V (x) según τ ; a saber:
V (x) = ∩{W ∈ τ : x ∈W}
Ahora bien, si ocurriese que V (x) − U �= ∅, entonces se podŕıa escoger
y ∈ V (x)− U
y formar el subespacio finito {x, y}. Entonces
U ∩ {x, y} = {x} ∈ τ ∣∣{x,y}
lo cual implicaŕıa que este abierto relativo {x} debeŕıa producirse también al intersectar
el abierto absoluto más chico que contiene a x con {x, y}. Pero esto seŕıa falso, porque
V (x) ∩ {x, y} = {x, y} ∇
◦
. Por lo tanto, V (x) ⊆ U ; por lo que, U ∈ τ y S es final.
(b) ⇒ (c) : Sea (Ai)I cualquier familia de subconjuntos cerrados de (X, τ ) y sea A = ∪i∈IAi.
Por (b),
X − A = ∩
i∈I
(X − Ai) ∈ τ
Por lo tanto, A es cerrado.
(c) ⇒ (d) : Sea (Ai)I una familia arbitraria de subconjuntos de (X, τ ). Claramente, para
toda i ∈ I
Ai ⊆ Ai ⊆ ∪
i∈I
Ai
por lo tanto
∪
i∈I
Ai ⊆ ∪
i∈I
Ai ⊆ ∪
i∈I
Ai
26 CAPÍTULO 2. SUBCATEGORÍAS CORREFLEXIVAS DE TOP
Tomando cerraduras y aplicando (c) se obtiene
∪
i∈I
Ai ⊆ ∪
i∈I
Ai ⊆ ∪
i∈I
Ai
que es lo que se queŕıa.
(d) ⇒ (b) : Sea (Ai)I una familia cualquiera de subconjuntos abiertos de (X, τ ) y sea
A = ∩
i∈I
Ai
Por (d),
X − A = ∪
i∈I
X − Ai
pero
X − Ai = X − Ai
Por lo tanto
∪
i∈I
X − Ai = ∪
i∈I
(X − Ai) = X −A
O sea que X − A es cerrado y A es abierto, como se queŕıa probar.�
Proposición 2.4 Sea (X, τ ) un espacio topológico arbitrario. Si
τ ′ = {U ⊆ X : U ∩ F ∈ τ |F , para toda F ∈ PotF (X)}
entonces τ ′ es una topoloǵıa para X y es más fina que τ .
Demostración. Considérese el sumidero de inclusiones
S = (ιF : (F, τ |F ) ↪→ X)PotF(X)
τ hace continua a cada inclusión y τ ′ es final. Por lo tanto
τ ⊆ τ ′.�
Proposición 2.5 Sean (X, τ ) un espacio topológico arbitrario y
τ ′ = {U ⊆ X : U ∩ F ∈ τ |F , para toda F ∈ PotF (X)}
Entonces:
(a) (X, τ ′) está finitamente generado.
(b) Si f : (W,ω) → (X, τ ) es continua y (W,ω) está finitamente generado, entonces
f : (W,ω) → (X, τ ′)
es continua.
2.3. ESPACIOS FINITAMENTE GENERADOS 27
Demostración de (a). (X, τ ′) está finitamente generado porque el sumidero
S = (ιF : (F, τ
′ |F ) ↪→ (X, τ ′))PotF(X)
es final.
Demostración de (b). Sea f : (W,ω) → (X, τ ) una función continua cuyo dominio (W,ω)
está finitamente generado, entonces el sumidero de inclusiones
S = (ιF : (F, ω |F ) ↪→ (W,ω))PotF(W )
es final. Por otro lado, debido a la continuidad de la función f : (W,ω) → (X, τ ), para toda
F ∈ PotF (W ) resulta continua la restricción
f̃ : (F, ω |F ) →
(
f (F ) , τ
∣∣
f(F )
)
w �→ f (w)
Pero F ∈ PotF (W ) implica f (F ) ∈ PotF (X); entonces como consecuencia de la definición
de τ ′, para todo F ∈ PotF (W ) resulta continua la inclusión
(ι)f(F ) :
(
f (F ) , τ
∣∣
f(F )
)→ (X, τ ′)
Entonces, puesto que el diagrama
(F, ω |F ) (W,ω)
(f(F ), τ |f(F )) (X, τ ′)
f̃ f
ιF
ιf(F )
conmuta para todo F ∈ PotF (W ), resulta que la composición
(F, ω |F ) ιF→ (W,ω) f→ (X, τ ′)
es continua, para todo F ∈ PotF (W ). Esto implica, debido a la finalidad de ω respecto a
(ιF )PotF(W ) y a (ω |F )PotF(W ), y al teorema 1.2, que
f : (W,ω) → (X, τ ′)
es continua, como se queŕıa demostar.�
Como corolario de los dos últimos resultados se tiene que a un espacio topológico arbi-
trario (X, τ ) se le puede dotar siempre de una nueva topoloǵıa τ ′ que lo hace un espacio
finitamente generado; este nuevo espacio (X, τ ′) es llamado espacio finitamente gene-
rado asociado a (X, τ ).
Corolario 2.1 La Top-clase de los espacios finitamente generados es la clase de objetos de
una subcategoŕıa bicorreflexiva de Top, la cual se denotará por F.
28 CAPÍTULO 2. SUBCATEGORÍAS CORREFLEXIVAS DE TOP
2.4. Espacios compactamente generados.
Definición 2.7 Un espacio topológico (X, τ ) se dice que está compactamente generado
si es final el sumidero de inclusiones del conjunto de subespacios compactos de (X, τ ).
Definición 2.8 Definición 2.9 Al conjunto de subespacios compactos de (X, τ ) se le de-
notará como PotK (X, τ ); es decir:
PotK (X, τ ) := {C ⊆ X : C es compacto}
Proposición 2.6 Si (X, τ ) es cualquier espacio topológico, son equivalentes:
(a) (X, τ ) está compactamente generado.
(b) U ∈ τ si, y solamente si, U ∩ C ∈ τ |C , para toda C ∈ PotK (X, τ ).
Demostración.
(a) ⇒ (b): Por (a), es final el sumidero
(ιC : (C, τ |C ) ↪→ (X, τ ))PotK(X,τ )
Por lo tanto, para toda C ∈ PotK (X, τ ), U ∈ τ si, y solamente si, ι−1C (U) ∈ τ |C ; es decir,
para toda C ∈ PotK (X, τ ),
U ∈ τ si, y solamente si, U ∩ C ∈ τ |C
(b) ⇒ (a): De acuerdo a la definición de sumidero final, (b) significa que τ es la topoloǵıa
final corespondiente a (ιC)PotK(X,τ ) y (τ |C )PotK(X,τ ). Por lo tanto, el sumidero
(ιC : (C, τ |C ) ↪→ (X, τ ))PotK(X,τ )
es final y (X, τ ) está compactamente generado.�
Ejemplo 2.5 Todo espacio finitamente generado está compactamente generado.
En efecto, sean (X, τ ) un espacio topológico finitamente generado y U ⊆ X tal que, para
toda C ∈ PotK (X, τ ), U ∩ C ∈ τ |C . En particular, dado que cualquier subespacio finito de
(X, τ ) es compacto, se tiene que para toda F ∈ PotF (X), U ∩ F ∈ τ |F . Por tanto, U ∈ τ y,
por la proposición anterior, (X, τ ) está compactamente generado.�
Proposición 2.7 Sea (X, τ) un espacio topológico arbitrario. Si
τκ = {U ⊆ X : U ∩ C ∈ τ |C , para toda C ∈ PotK (X, τ )}
entonces τκ es una topoloǵıa para X más fina que τ .
2.4. ESPACIOS COMPACTAMENTE GENERADOS. 29
Demostración. Considérese el sumidero de inclusiones
S = (ιC : (C, τ |C ) ↪→ X)PotK (X,τ )
τ hace continua a cada inclusión y τκ es final. Por lo tanto
τ ⊆ τκ.�
Corolario 2.2 Si (X, τ ) es cualquier espacio topológico y τκ es la topoloǵıa para X de la
proposición anterior, entonces (C, τ |C ) es compacto en (X, τ ) si, y sólo si, (C, τκ |C ) es
compacto en (X, τκ).
Demostración. Si (C, τ |C ) es compacto en (X, τ ) y (Uj)J ⊆ τκ es una cubierta de C ;
entonces, de acuerdo con la definición de τκ, para toda j ∈ J se tiene que
Uj ∩ C ∈ τ |C
En consecuencia, para toda j ∈ J existe Vj ∈ τ tal que
Vj ∩ C = Uj ∩ C
Entonces
C =
⋃
j∈J
(Uj ∩ C) =
⋃
j∈J
(Vj ∩ C)
Esto implica que (Vj)J es una cubierta abierta de C según τ y, por consiguiente, puede
extraerse de ella una subcubierta finita (Vj)J0 de (Vj)J . Pero entonces
C =
( ⋃
j∈J0
Vj
)
∩ C = ⋃
j∈J0
(Vj ∩ C) =
⋃
j∈J0
(Uj ∩ C)
lo cual significa que (Uj)J0 es una subcubierta fnita de (Uj)J . Por lo tanto (C, τκ |C ) es
compacto en (X, τκ) .
Rećıprocamente, puesto que por la proposición anterior κ es más fina que τ , se tiene que
1X : (X, τκ) → (X, τ ) ;
es continua; por lo tanto cualquier compacto C de (X, τκ) es aplicado por 1X en un compacto
de (X, τ ), pero ese compacto es C ; por lo que C es compacto en (X, τ ).�
Proposición 2.8 Sea (X, τ ) cualquier espacio topológico. Si τκ es la topoloǵıa para X de la
proposición 2.7, entonces:
(a) (X, τκ) está compactamente generado.
(b) Si f : (W,ω) → (X, τ ) es cualquier función continua, donde (W,ω) está compactamente
generado, entonces f : (W,ω) → (X, τκ) es continua.
30 CAPÍTULO 2. SUBCATEGORÍAS CORREFLEXIVAS DE TOP
Demostración de (a). De acuerdo con la definición de τκ, es final el sumidero de inclusiones
de los subespacios compactos de (X, τ ), es decir:
ιC : ((C, τ |C ) ↪→ (X, τκ))PotK(X,τ )
es un sumidero final; por lo tanto (X, τκ) está compactamente generado, pues PotK (X, τ ) =
PotK (X, τκ).
Demostración de (b). La prueba es análoga a la de la proposición 2.5 �
Obsérvese nuevamente la importancia de estos dos últimos resultados al asegurar que a
un espacio topológico arbitrario (X, τ ) se le puede dotar siempre de una nueva topoloǵıa τκ
que lo haga un espacio compactamente generado, a este nuevo espacio (X, τκ) se le suele
denotar por 〈X〉 y es llamado el espacio compactamente generado asociado a (X, τ ) .
Corolario 2.3 La Top-clase de los espacios compactamente generados es la clase de objetos
de una subcategoŕıa bicorreflexiva de Top, la cual se denotá por K.
Enseguida se verán algunos ejemplos de espacios que están compactamente generados.
Ejemplo 2.6 Todo espacio topológico localmente compacto está compactamente generado.
En efecto, sea (X, τ ) un espacio topológico localmente compacto. Sea U ⊆ X tal que
para toda C ∈ PotK (X, τ ) se satisface que
U ∩ C ∈ τ |C
Sea x ∈ U y sea C0 una vecindad compacta de x; entonces
x ∈ U ∩ C0 ∈ τ |C0
Por tanto, existe alguna V ∈ τ para la cual
V ∩ C0 = U ∩ C0
Entonces
x ∈ U ∩ C0 = V ∩ C0 ⊆ U
y como tanto C0 como V son vecindades de x, entonces C0∩V es una vecindad de x contenida
en U ; por tanto U ∈ τ .�
Teorema 2.4 Sea (X, τ ) cualquier espacio topológico; son equivalentes:
a) (X, τ ) está compactamente generado.
b) Si f : (X, τ ) → (Y, σ) es una función tal que f |C : C → (Y, σ) es continua, para todo
subespacio compacto C de (X, τ ), entonces f es continua en (X, τ ).
2.5. SUBCATEGORÍA CORREFLEXIVA INDUCIDA POR UNA PROPIEDAD 31
Demostración. Se tiene el siguiente diagrama conmutativo
(C, τ |C)
(X, τ )
(Y, σ)f̃
f
ιC
el cual muestra que τ es final respecto de (τ |C , ιC)PotK (X,τ ).�
2.5. Subcategoŕıa correflexiva inducida por una propie-
dad
Los dos ejemplos anteriores ilustran una técnica para generar subcategoŕıas correflexivas
de Top a partir de una propiedad dada, siempre que ésta se preserve bajo funciones continuas.
Los objetos de la subcategoŕıa correflexiva S℘ serán los elementos de la clase de espacios
cuyas topoloǵıas sean finales respecto del sumidero de inclusiones de los subespacios que
satisfacen la propiedad ℘. El correflejo de un espacio topológico (X, τ ) será un espacio (X, τ℘)
con el mismo conjunto subyacente X, estructurado por una topoloǵıa τ℘ que satisfaga las
tres condiciones siguientes: Que sea más fina que la topoloǵıa original (i.e. τ ⊆ τ℘), que al
topologizar a X dé lugar a un S℘-espacio (i.e. (X, τ℘) ∈ Ob (S℘)), y que sea la mı́nima que
satisfaga estas dos condiciones.
A continuación se define y construye lo antes mencionado:
Definición 2.10 Una propiedad ℘ es una clase de espacios topológicos, es decir, ℘ ⊆
Ob (Top).
Definición 2.11 Se dice que un espacio topológico (X, τ ) tiene la propiedad ℘ si y sola-
mente si (X, τ ) ∈ ℘.
Ahora se define a la familia de subespacios de un espacio dado que tienen la propiedad
y a la topoloǵıa que es coherente con cada uno de ellos, y que resulta ser una identificación
bajo la proyección canónica.
Definición 2.12 Dados, el espacio topológico (X, τ ) y ℘ ⊆ Ob (Top) una propiedad, se
define:
PotP (X, τ ) := {P ⊆ X : (P, τ |P ) ∈ ℘}
y
τ℘ := {U ⊆ X : P ∩ U ∈ τ |P , para toda P ∈ PotP (X, τ )}
La siguiente observación será relevante en la siguiente sección.
32 CAPÍTULO 2. SUBCATEGORÍAS CORREFLEXIVAS DE TOP
Observación 2.4 La coproyección canónica
p :
∐
PotP(X,τ )
(P, τ |P ) → (X, τ℘)
x �→ x
es una identificación.
Al ser (X, τ℘) un espacio de identificación, τ℘ es final respecto de la coproyección canónica
y de la topoloǵıa del coproducto y, por tanto, del sumidero de inclusiones (P, τ |P ) ↪→ (X, τ℘).
Es importante advertir que lo que se busca es que (X, τ℘) ∈ Ob (S℘), para lo cual es nece-
sario que τ℘ sea final respecto del sumidero de inclusiones de los elementos de PotP (X, τ℘).
A continuación se verá que ambos conjuntos coinciden bajo ciertas restricciones.
Proposición 2.9 Dada P ∈ PotP (X, τ ) se tiene que τ |P = τ℘ |P
Demostración. (⊆) Es claro que τ ⊆ τ℘, y por tanto, τ |P ⊆ τ℘ |P .
(⊇) Sea U ∈ τ℘ |P0 ; entonces existe alguna V ∈ τ℘ tal que:
V ∩ P0 = U
En consecuencia, para toda P ∈ PotP (X, τ ) se tiene que:
P ∩ V ∈ τ |P y V ∩ P0 = U
de lo cual se sigue que:
V ∩ P0 ∈ τ |P0 y V ∩ P0 = U
Por lo tanto, U ∈ τ |P0 .�
Definición 2.13 Se dice que una propiedad ℘ ⊆ Ob (Top) se preserva bajo funciones
continuas si para todo espacio topológico (X, τ ) y para toda f ∈ Top ((X, τ ) , (Y, σ)) se
tiene que:
(X, τ ) ∈ ℘ implica (f (X) , σ ∣∣f(X)) ∈ ℘
Proposición 2.10 Si ℘ ⊆ Ob (Top) es una propiedad que se preserva bajo funciones con-
tinuas, entonces PotP (X, τ ) = PotP (X, τ℘).
Demostración.(⊆) Es inmediato, pues τ |P = τ℘ |P .
(⊇) Dado P ∈ PotP (X, τ℘), como τ ⊆ τ℘ se tiene que 1P : (P, τ℘ |P ) → (P, τ |P ) es contin-
ua. Por tanto, como (P, τ℘ |P ) satisface ℘, también (P, τ |P ) la satisface. Consecuentemente,
P ∈ PotP (X, τ ).�
Corolario 2.4 Dados, un espacio topológico (X, τ ) y ℘ ⊆ Ob (Top) una propiedad que se
preserva bajo funciones continuas, entonces τ℘ es final respecto del sumidero:
(ιP : (P, τ℘ |P ) → (X, τ℘))PotP (X,τ )
2.5. SUBCATEGORÍA CORREFLEXIVA INDUCIDA POR UNA PROPIEDAD 33
Definición 2.14 Dada ℘ ⊆ Ob (Top) una propiedad, se define:
S℘ :=
{
(X, τ ) ∈ Ob (Top) : (ιP : (P, τ |P ) → (X, τ ))PotP(X,τ ) es final
}
Teorema 2.5 Dada ℘ ⊆ Ob (Top) una propiedad, si ℘ se preserva bajo funciones continuas,
entonces S℘ es una subcategoŕıa correflexiva de Top.
Demostración. (i) Dados (X, τ ) ∈ Ob (S℘) y un espacio topológico (Y, σ) tales que
(X, τ )
h∼= (Y, σ), entonces PotP (X, τ ) ∼= PotP (Y, σ) por ser ℘ una propiedad que se preserva
bajo funciones continuas, y además se tiene el diagrama conmutativo:
(P, τ |P ) (X, τ )
(h(P ), σ |h(P )) (Y, σ)
h̃ h
ιP
κh(P )
del cual es inmediato que (Y, σ) ∈ Ob (S℘); por lo tanto, S℘es una Top-clase.
(ii) Dado un espacio topológico (X, τ ), se tiene que (X, τ℘) ∈ Ob (S℘) y además que
1X : (X, τ℘) → (X, τ ) es una correflexión, pues dada cualquier f ∈ Top ((W,ω) , (X, τ )) con
(W,ω) ∈ Ob (S℘), se tiene el siguiente diagrama conmutativo:
(P, ω |P ) (W,ω)
(f(P ), τ |f(P )) (X, τ℘)
f̃ f
ιP
κf(F )
con P ∈ PotP (W,ω) y κf(P ), ιP son las inclusiones canónicas. Como la restricción
f̃ : P → f (P )
x �→ f (x)
es continua, entonces
(
f (P ) , τ |f(P )
) ∈ ℘ y, por tanto, f (P ) ∈ PotP (X, τ℘). De aqúı que
κf(P ) sea continua y, como para toda P ∈ PotP (W,ω) se satisface que:
κf(P )f̃ = ιP f
y ω es final respecto de (ω |P , ιP )PotP(W,ω) se tiene que f ∈ Top ((W,ω) , (X, τ℘)).�
Corolario 2.5 (X, τ ) ∈ Ob (S℘) si y solamente si (X, τ ) ∼= (X, τ℘).
Demostración. Todo S℘-espacio es su propio correflector y S℘ es cerrada bajo homeomorfismos.�
Hasta el momento sólo se han asociado subcategoŕıas correflexivas de Top a propiedades
que se preservan bajo funciones continuas, pero observando que S℘ se obtiene formando
identificaciones de coproductos de espacios que satisfacen la propiedad ℘, se puede generalizar
la técnica.
34 CAPÍTULO 2. SUBCATEGORÍAS CORREFLEXIVAS DE TOP
2.6. Caracterización de las subcategoŕıas bicorreflexi-
vas
Proposición 2.11 Si r : X → Y es una retracción y r = gf , donde
f : X → Z y g : Z → Y
son continuas, entonces g es una retracción.
Demostración. Como r es retracción existe una función continua s : Y → X tal que
rs = 1Y ; puesto que r = gf , entonces
1Y = rs = gfs
es decir, fs es un inverso derecho continuo de la función g. Luego g es retracción.�
Proposición 2.12 Toda retracción inyectiva es homeomorfismo.
Demostración. r : X → Y es una biyección continua con inversa continua s : Y → X.�
Definición 2.15 Se dice que una subcategoŕıa A de Top está cerrada bajo la formación
de retracciones (ó de identificaciones) si el hecho de que r : A→ B sea una retracción
(ó una identificación) con A ∈ Ob (A) implica que B ∈ Ob (A).
Lema 2.1 Toda subcategoŕıa bicorreflexiva de Top está cerrada bajo la formación de retrac-
ciones.
Demostración. Sean, un espacio topológico (X, τ ), A una subcategoŕıa bicorreflexiva de
Top, un A-espacio (A, α) y r : (A, α) → (X, τ ) una retracción.
Sea (X, τ ′) el correflector de (X, τ ) en A. Entonces tenemos el siguiente diagrama con-
mutativo:
(X, τ )
(X, τ ′)
(A, α)
r
1X
r
Por las dos proposiciones anteriores, 1X es una retracción inyectiva y, por tanto, es un
homeomorfismo.�
Observación 2.5 Nótese que{
(X, τ ) ∈ Ob (Top) : τ = Pot (X) o τ = {X, ∅}}
es una Top-clase que no es una clase de objetos para ninguna subcategoŕıa bicorreflexiva de
Top.
2.6. CARACTERIZACIÓN DE LAS SUBCATEGORÍAS BICORREFLEXIVAS 35
Proposición 2.13 Dada una función continua y suprayectiva f : (X, τ ) → (Y, σ), existen
un espacio topológico (Z, ρ) y un par de funciones continuas h y p que hacen conmutar el
diagrama:
(X, τ )
(Z, ρ)
(Y, σ)
p
h
f
con p una identificación y h biyectiva.
Demostración. Basta tomar (Z, ρ) = (X /∼f , τ̃) donde para cualesquiera puntos x1, x2 ∈
X
x1 ∼f x2 ⇔ f (x1) = f (x2)
y τ̃ es la topoloǵıa final para X /∼f respecto (τ, p), siendo p la proyección canónica
p : X → X /∼f
x �→ [x]
y definir
h : (X /∼f , τ̃ ) → (Y, σ)
mediante h [x] = f (x)�
Teorema 2.6 Sea A cualquier subcategoŕıa bicorreflexiva de Top. Entonces:
(a) A está cerrada bajo la formación de identificaciones.
(b) A está cerrada bajo la formación de coproductos.
Demostración. Sean, (Ai, αi)I ⊆ Ob (A) , un conjunto X y un sumidero (fi : Ai → X)I .
Si τ es final respecto a (αi, fi)I , se tiene que (X, τ ) es homeomorfo al coproducto de (Ai, αi)I ,
que es un espacio de identificación cuando � (I) = 1.
Sea (X, τ ′) el correflector de (X, τ ).
Entonces, dado que para toda i ∈ I se cumple que 1−1X fi = fi, por la finalidad del
sumidero
(fi : (Ai, αi) → (X, τ ))I
1−1X es continua y, por lo tanto, 1X es homeomorfismo.�
Teorema 2.7 Sea A una subcategoŕıa de Top cuya clase de objetos tiene elementos no
vaćıos. Son equivalentes:
a) A es bicorreflexiva.
b) A está cerrada bajo la formación de identificaciones y coproductos.
36 CAPÍTULO 2. SUBCATEGORÍAS CORREFLEXIVAS DE TOP
Demostración.
(a) ⇒ (b): Es el teorema anterior.
(b) ⇒ (a): Sea (X, τ ) un espacio topológico. Si X = ∅, entonces (X, τ ) es un A-espacio ya
que es el coproducto vaćıo de A-espacios.
Supóngase X no vaćıo. Sea S la clase de funciones continuas con dominio un A-espacio
y codominio (X, τ ), es decir:
S = [Top ((A, α) , (X, τ ))]Ob(A)
Nótese que S es un episumidero (pues entre sus elementos están las funciones constantes).
Sea I una clase de ı́ndices tal que S = (fi)I . Obsérvese el siguiente diagrama conmutativo:
(X, τ )
(Z, ρ)
(Ai, αi)
ph
f
(
∐
m∈I
Am, α)
fi ιi
donde (ιi)I son las inclusiones canónicas en el coproducto, α es la topoloǵıa final respecto de
(αi, ιi), f es la función continua que existe por la definición 1.7 y p y h son la identificación y
la biyección que existen por la proposición2.13. En caso de ser (Z, ρ) un A-espacio, se tendŕıa
que (Z, ρ) es un correflector de (X, τ ) y h una correflección.
Se verá que (Z, ρ) es un A-espacio.
Para cada x ∈ X considérese un A-espacio (Ax, αx) no vaćıo tal que f (Ax) = x. Para
cada V ∈ Pot (Z) − ρ considérese un A-espacio (AV , αV ) tal que ι−1V (p−1 (V )) /∈ αV ; tal
A-espacio existe debido a la finalidad de ρ. Sea
K = X � (Pot (Z) − ρ) ;
entonces
p̃ :
∐
k∈K
(Ak, αk) → (Z, ρ)
a �→ p (a)
es una identificación, ya que:
al ser cada (Ax, αx) un cofactor, p̃ es suprayectiva
al ser p̃ una restricción de p y p continua, p̃ es continua
si V /∈ ρ, p̃−1 (V ) no es abierto en ∐
k∈K
(Ak, αk) porque ι
−1
V (p̃
−1 (V )) /∈ αV .�
2.7. DESCRIPCIÓN DE LA SUBCATEGORÍA BICORREFLEXIVA GENERADA 37
2.7. Descripción de la subcategoŕıa bicorreflexiva ge-
nerada
Observación 2.6 Obsérvese que la intersección de subcategoŕıas correflexivas de Top, tam-
bién es una subcategoŕıa correflexiva de Top.
En efecto, dicha intersección es plena y repleta, y está cerrada bajo identificaciones y
coproductos.
Esta observación y el hecho de que Top es una subcategoŕıa correflexiva de Top justifica
la siguiente definición.
Definición 2.16 La subcategoŕıa correflexiva generada por una Top− claseA es la
intersección de todas las subcategoŕıas correflexivas cuyas clases de objetos contienen a A.
Lema 2.2 Sean (
(Ai, αi)
fi→ (A, α)
)
I
y
(
(Xi, τi)
gi→ (X, τ )
)
I
coproductos topológicos arbitrarios. Si para toda i ∈ I existe una identificación
ci : (Ai, αi) → (Xi, τi)
entonces existe una única función continua c : (A, α) → (X, τ ) que para toda i ∈ I hace
conmutar el diagrama
(X, τ )(Xi, τi)
(Ai, αi) (A, α)
gi
cci
fi
y es una identificación.
Demostración. (gici)I es un sumidero, por lo que existe una función continua que hace
conmutar el diagrama, por la definición 1.7.
Sean, un espacio topológico (Y, σ) y h ∈ Set (X, Y ) tal que hc es continua.
Entonces, para toda i ∈ I se tiene que
hcfi = (hgi) ci
es continua; y como cada ci es una identificación y (gi)I es un sumidero final, resulta que h
es continua.
Por lo tanto, τ es final respecto de (α, c). Por lo tanto, c es una identificación.�
38 CAPÍTULO 2. SUBCATEGORÍAS CORREFLEXIVAS DE TOP
Teorema 2.8 Sea A una subcategoŕıa de Top arbitraria. Entonces:
à := {(X, τ ) ∈ Ob (Top) : (X, τ ) es una identificación de un coproducto de A-espacios}
es la clase de objetos de la subcategoŕıa correflexiva generada por A.
Demostración. Consideremos el siguiente diagrama conmutativo:
(X, τ )
(
∐
m∈I
Am, α)
(Ai, αi)
(Y, σ)
h c
ιi
donde (Ai, αi)I ⊆ A, α es final respecto de (αi, ιi) y c es una identificación.
Entonces (X, τ ) ∈ Ã.
(a) Si h es homeomorfismo, entonces (Y, σ) ∈ Ã pues hc es una identificación. Por tanto
à es una Top-clase.
(b) Si h es una identificación, entonces (Y, σ) ∈ Ã pues hc es una identificación. Por tanto
à es cerradabajo identificaciones.
(c) Sea I × J un conjunto de ı́ndices y sea (A(i,j), α(i,j))I×J ⊆ Ob (A). Considérese el
diagrama conmutativo:
(Xi, τi)
(
∐
k∈J
A(i,k), αi)
(A(i,j), α(i,j))
c
ιi
(
∐
I×J
A(i,j), α(i,j))
(
∐
m∈I
Xm, τ )
ι(i,j)
ι(i,j)
ci
κi
donde αi es la topoloǵıa final para
∐
k∈J
A(i,k) respecto de las inclusiones ι(i,j), τi son las
topoloǵıas finales para Xi respecto de las identificaciones ci, τ es la topoloǵıa final para∐
m∈I
Xm respecto de las inclusiones ιi, ι(i,j) son las inclusiones canónicas del teorema 1.11 y
donde las inclusiones κi existen por la definición 1.7. Entonces, c es la identificación que
2.8. LA RETÍCULADE SUBCATEGORÍAS BICORREFLEXIVAS DE TOP 39
existe por el lema 2.2. Luego,
( ∐
m∈I
Xm, τ
)
es identificación de un coproducto de A-espacios
y, por lo tanto, Ã está cerrada bajo coproductos.
Esto prueba que à es una Top-clase con la siguiente propiedad: Al añadir todos los
morfismos entre sus elementos, las identidades respectivas y la ley de composición, se obtiene
una subcategoŕıa bicorreflexiva que contiene a A y que, por construcción, es mı́nima.�
Se seguirá cometiendo un abuso de notación en la siguiente
Definición 2.17 Se denota por à a la subcategoŕıa correflexiva generada por A.
Aśı, se tienen dos métodos para obtener subcategoŕıas correflexivas a partir de propiedades
determinadas.
Observación 2.7 Para una propiedad ℘ ⊆ Top que se preserva bajo transformaciones con-
tinuas se tiene que ambos métodos generan la misma subcategoŕıa correflexiva de Top, es
decir, S℘ = ℘̃.
Observación 2.8 Sea ℘ ⊆ Ob (Top) la propiedad de ser finito y sea ℘′ ⊆ Ob (Top) la
propiedad de ser finitamente generado, entonces es claro que S℘ = S℘′ .
En resumen, a toda Top-clase se le puede asociar una propiedad que se preserva bajo
homeomorfismo, a saber, ella misma; ésta, a su vez, nos define una subcategoŕıa correflexiva
de Top, a saber, su generada, pero no necesariamente es la única que lo hace.
2.8. La ret́ıculade subcategoŕıas bicorreflexivas de Top
Al estar cerradas bajo intersecciones y ordenadas por la contención, resulta que las sub-
categoŕıas bicorreflexivas de Top forman una ret́ıcula, cuyo elemento 0 es {∅} y cuyo elemento
1 es Top.
Se muestran a continuación algunos ejemplos más de subcategoŕıas correflexivas y se dan
los primeros elementos de la ret́ıcula.
Ejemplo 2.7 Como un primer ejemplo de subcategoŕıa correflexiva generada, se tiene a la
generada por la subcategoŕıa vaćıa ∅. Puesto que {∅} es la subcategoŕıa correflexiva más chica
de Top, y puesto ∅ ⊆ {∅}, resulta que
∅̃ = {∅}
Ejemplo 2.8 La subcategoŕıa D, cuyos objetos son los espacios discretos es la subcategoŕıa
bicorreflexiva generada por la Top-clase de los espacios singulares.
40 CAPÍTULO 2. SUBCATEGORÍAS CORREFLEXIVAS DE TOP
En efecto, sea
Am =
{
(Xλ, τλ) ∈ Ob (Top) : Xλ = {xλ} o Xλ = ∅, con λ ∈ Λ
}
siendo Λ cierta clase de ı́ndices.
Sea (Xi, τi)I ⊆ Am y considérese el siguiente diagrama conmutativo:
(Xi, τi)
c
ιi
(
∐
k∈I
Xk, τ )
(X, τ ′)
Como las flechas del sumidero (ιi)I siempre son continuas, τ es discreta. Como τ es discreta,
si c es una identificación, entonces τ ′ es discreta. Por tanto, Ãm ⊆ D; y como D es la mı́nima
subcategoŕıa bicorreflexiva de Top, se tiene que Ãm = D.�
Ejemplo 2.9 Sea I2 la Top-clase cuyos elementos son todos los espacios indiscretos con dos
puntos, y sea IL la subcategoŕıa plena y repleta de Top cuya clase de objetos son todos los
espacios topológicos cuyos conjuntos abiertos son cerrados. Entonces, IL es una subcategoŕıa
bicorreflexiva de Top tal que IL = Ĩ2.
En efecto: (a) Sea (A, α) ∈ Ob
(
Ĩ2
)
; entonces existen un conjunto (Xi, τi)I ⊆ I2 y una
identificación:
p :
∐
i∈I
(Xi, τi) → (A, α)
Sea U ∈ α; entonces, para toda i ∈ I :
p−1 (U) ∩Xi = ∅ o p−1 (U) ∩Xi = Xi
De aqúı que, para toda i ∈ I :
p−1 (A− U) = Xi o p−1 (A− U) = ∅
Por lo tanto, A−U ∈ α, de lo cual se concluye que (A, α) ∈ Ob (IL) y, por lo tanto, Ĩ2 ⊆ IL.
(b) Sea (X, τ ) un IL-espacio. Def́ınase, para cada x ∈ X:
Bx := ∩{U ∈ τ : x ∈ U}
2.8. LA RETÍCULADE SUBCATEGORÍAS BICORREFLEXIVAS DE TOP 41
Nótese que para toda x ∈ X se tiene que
Bx ∈ τ y τ | Bx = {Bx, ∅}
y que para cualesquiera x, y ∈ X
Bx ∩By = ∅ o Bx = By
Por tanto:
(X, τ ) ∼= ∐
i∈I
(Bxi, τ | Bxi)
donde (xi)I es un conjunto de representantes de las componentes indiscretas.
Entonces, para demostrar que Ob (IL) ⊆ Ob
(
Ĩ2
)
, basta expresar a cada Bxi como una
identificación de coproductos de I2-espacios.
Si � (Bxi) = 1, considérese la constante.
De otro modo, def́ınase:
�Bxi :=
{
B ⊆ Bxi : � (B) = 2 y xi ∈ B
}
y sea
p :
∐
B∈�Bxi
(B, {B, ∅}) → (Bxi, τ | Bxi)
donde p es la coproyección canónica, es decir, coincide con la identidad en cada cofactor.
Entonces p es suprayectiva y es continua.
Sea V ⊆ Bxi tal que p−1 (V ) es abierto; entonces, para toda B ∈ �Bxi , p−1 (V ) es abierto
en B; y por tanto, para toda B ∈ �Bxi se tiene alguna de las siguientes igualdades:
p−1 (V ) = B o p−1 (V ) = ∅
Dist́ınganse dos casos, a saber:
Si xi ∈ V se tiene que para toda B ∈ �Bxi se satisface que:
p−1 (V ) ∩B = B
y por tanto V = Bxi.
Si xi /∈ V se tiene que para toda B ∈ �Bxi se satisface que:
p−1 (V ) ∩B = ∅
y por tanto V = ∅.
Consecuentemente, V ∈ τ | Bxi, de lo cual se sigue que p es una identificación.�
IL es la subcategoŕıa de los espacios localmente indiscretos. Este nombre obedece a
que cada punto tiene una vecindad indiscreta..
42 CAPÍTULO 2. SUBCATEGORÍAS CORREFLEXIVAS DE TOP
Proposición 2.14 Toda subcategoŕıa bicorreflexiva de Top distinta de D tiene entre sus
objetos a los espacios indiscretos de dos puntos.
Demostración. Sea A una subcategoŕıa bicorreflexiva de Top distinta de D. Sea (2, τ ) el
A-correflector de (2, {∅, 2}), donde 2 = {0, 1}.
Sea (A, α) un A-espacio tal que α no es discreta. Entonces existe B � A tal que B /∈ α.
Considérese el siguiente diagrama conmutativo
(2, {0, 2})
12
fi
(2, τ )
(A, α)
fi
donde para i ∈ 2 se define
fi : A → 2
mediante
fi (a) =
{
i, si a ∈ B
(i+ 1)mod 2 , si a /∈ B
Para i ∈ 2, fi : (A, α) → (2, {∅, 2}) es continua, porque el codominio es indiscreto; por
lo tanto, para i ∈ 2, fi : (A, α) → (2, τ ) es la única función continua que hace conmutar el
diagrama.
Nótese que
f−1i {i} = B /∈ α
Por lo tanto, para i ∈ 2, {i} /∈ τ , de lo cual se sigue que τ = {∅, 2}.�
Como consecuencia de la proposición anterior se puede asegurar que IL es la subcategoŕıa
bicorreflexiva inmediatamente superior a D según el orden dado por la contención ⊆ entre
categoŕıas plenas; esta situación entre D e IL quedará indicada escribiendo
D � IL.
�
Definición 2.18 Sea
Σ :=
{
(X, τ ) ∈ Ob (Top) : � (X) = 2 y � (τ ) = 3}
es decir, es la clase de los espacios topológicos homeomorfos al espacio de Sierpinski (i.e.
({0, 1} , {∅, {0} , {0, 1}}), que se puede escribir como (2, 3)), debido a lo cual la denotaremos
por Σ.
Lema 2.3 Dadas, (Xi, τi)I ⊆ Σ,
(∐
i∈I
Xi, τ
)
, donde τ es final con respecto al sumidero de
inclusiones, y U ∈ τ , si x ∈ Xj, {x} /∈ τj y x ∈ U , entonces U ∩Xj = Xj .
2.8. LA RETÍCULADE SUBCATEGORÍAS BICORREFLEXIVAS DE TOP 43
Demostración. Si U ∈ τ , entonces para toda i ∈ I
U ∩Xi ∈ τi
Por tanto, si U ∩Xj �= ∅ y {x} /∈ τj , entonces U ∩Xj = Xj .�
Recuérdese que F denota a la subcategoŕıa bicorreflexiva de los espacios finitamente
generados, es decir, aquéllos para los que resulta final el sumidero de inclusiones de los
subespacios finitos.
Proposición 2.15 Σ̃ = F.
Demostración. (⊆) Por ser finito, el espacio de Sierpinski está finitamente generado, por
lo que Σ ⊆ Ob (F); consecuentemente, Σ̃ ⊆ F.
(⊇) (a) Primeramente se verá que todo espacio finito (F, ϕ) es identificación de un co-
producto de Σ-espacios, para lo cual se aplicará inducción sobre el número cardinal de F .
Si � (F ) = 0, entonces el coproducto vaćıo de Σ-espacios es (F, ϕ), con ϕ = {∅}.
Si � (F ) = 1, entonces la constante desde (2, 3) a F es una identificación.Supóngase que (F, ϕ) es identificación de un coproducto de Σ-espacios, cuando � (F ) = k.
Sean, F un conjunto cuyo número cardinal es k + 1, ϕ ∈ Top [F ] y W ⊆ F tal que
ϕ |W= {W,∅}; tal conjunto existe por ser finito F .
1. Si W = F , basta observar que
c : (2, 3)
⊔
(2′, 3′) → (2, {0, 2})
dada por
c (0) = c (1′) = 0 y c (1) = c (0′) = 1
es una identificación y que, en consecuencia, I2 ⊆ ⊀̃ y, por tanto, IL = Ĩ2 ⊆ ⊀̃. De
aqúı que F ∈ Ob
(
⊀̃
)
, pues F ∈ Ob (IL).
2. Si W �= F , sea V := ⋃ {U ∈ ϕ : W ∩ U = ∅}. Si F −V = W , entonces la coproyección
canónica:
c : W
⊔
V → F
resulta un cociente. Para ver esto hay que tener en cuenta que F es finito y, por con-
siguiente, cada punto tiene una vecindad abierta mı́nima que se obtiene intersectando
todas las vecindades abiertas de dicho punto, la cual estará completamente contenida
en cualquier conjunto abierto de W
⊔
V que tenga al punto. Ahora se examinará el
caso en el que F − (W ∪ V ) �= ∅. Sean Y := F − (W ∪ V ), Ay :=
(
W ∪ {y} , ϕ |W∪{y}
)
,
donde y ∈ Y y
c : (F −W )
⊔(∐
y∈Y
Ay
)
→ F
la coproyección canónica, que resulta un cociente, nuevamente debido a que cada punto
tiene una vecindad abierta mı́nima. Por hipótesis de inducción, F −W y cada Ay son
identificaciones de coproductos de ⊀-espacios.
44 CAPÍTULO 2. SUBCATEGORÍAS CORREFLEXIVAS DE TOP
(b) Ahora se verá que todo F-espacio es identificación de un coproducto de un conjunto
de espacios finitos.
Sea (X, τ ) un F-espacio; entonces se tiene el siguiente diagrama conmutativo:
(F, τ |F ) (X, τ )
(X, τ ′)
c
ιF
1Xι
′
F
(
∐
F∈PotF(X)
(F, τ |F )
donde
c :
∐
F∈PotF(X)
(F, τ |F ) → (X, τ ′)
(x, F ) �→ x
y τ ′ es final para X respecto a c y a la topoloǵıa de
∐
F∈PotF(X)
(F, τ |F ). Puesto que cada
F-espacio es su propio correflector, (X, τ ) ∼= (X, τ ′).
∴ F ⊆ Σ̃
Entonces queda probado que
Σ̃ = F
�
Proposición 2.16 Todo espacio localmente indiscreto está finitamente generado, pero no
rećıprocamente.
Demostración. Es claro que IL ⊆ F. Para mostrar que lo rećıproco es falso, basta pensar en
el espacio de Sierpinski que está finitamente generado pero que, claramente, no es localmente
indiscreto.�
Proposición 2.17 Toda subcategoŕıa bicorreflexiva que contenga propiamente a IL tiene
entre sus objetos al espacio de Sierpinski.
Demostración. Si A es una subcategoŕıa bicorreflexiva que contiene propiamente a IL,
entonces existen un A-espacio A y un abierto U ⊆ A que no es cerrado. Sea
pU : A → {0, 1}
dada por
pU (a) =
{
0, si a ∈ U
1, si a /∈ U
Por lo tanto, la identificación inducido por pU es el espacio de Sierpinski.�
Como consecuencia de las dos proposiciones anteriores se tiene el siguiente
2.8. LA RETÍCULADE SUBCATEGORÍAS BICORREFLEXIVAS DE TOP 45
Corolario 2.6 IL � F. �
Los resultados anteriores pueden sintetizarse escribiendo
{∅} � D � IL � F ⊂ K
Una descripción casi completa de la ret́ıcula de las subcategoŕıas bicorreflexivas de Top puede
encontrarse en [5].
46 CAPÍTULO 2. SUBCATEGORÍAS CORREFLEXIVAS DE TOP
Caṕıtulo 3
Bicorreflexividad y clases de funciones
En el caṕıtulo anterior se mostraron dos métodos para obtener subcategoŕıas correflexivas
de Top, y se mostró a su vez que la única que no es bicorreflexiva es {∅}. Horst Herrlich
menciona en un art́ıculo [5] que el primer método es demasiado particular para obtener por
medio de él a todas las subcategoŕıas bicorreflexivas de Top y desarrolla un método, por
medio de operadores ĺımite, para obtenerlas todas, además de establecer una biyección entre
las subcategoŕıas bicorreflexivas de Top y los operadores ĺımite idempotentes.
Graciela Salicrup y Roberto Vázquez muestran en su art́ıculo [1] otra forma de obtener
a todas las subcategoŕıas bicorreflexivas de Top, de esto trata el presente caṕıtulo.
Iniciamos con el concepto de producto fibrado.
3.1. Producto fibrado en Top
Definición 3.1 Un cuadrado conmutativo de funciones continuas:
f0
f1
g0
g1
X A
A0
A1
se llama cuadrado cartesiano si, dadas cualesquiera dos funciones continuas
ai : W → Ai, i ∈ {0, 1}
tales que
g0a0 = g1a1
47
48 CAPÍTULO 3. BICORREFLEXIVIDAD Y CLASES DE FUNCIONES
exista una única función continua
f : W → X
tal que conmuta el diagrama:
f0
f1
g0
g1
X A
A0
A1
W
a0
a1
f
En tal caso se hablará de la fuente:
fi : X → Ai, i ∈ {0, 1}
como de un producto fibrado del sumidero:
gi : Ai → A, i ∈ {0, 1}
en Top y se dirá que la pareja de funciones (fi)i∈{0,1} tiene la propiedad universal del
producto fibrado.
Observación 3.1 Todo producto fibrado es una monofuente.1
En efecto, obsérvese el siguiente diagrama conmutativo
f0
f1
g0
g1
X A
A0
A1
W
a0
a1
f
h
donde (fi)i∈{0,1}es un producto fibrado de (gi)i∈{0,1}. Entonces, por la propiedad universal
del producto fibrado, f = h.�
1Véase la definición .
3.1. PRODUCTO FIBRADO EN TOP 49
Descripción del producto fibrado en Top.
Proposición 3.1 En Top cualesquiera dos funciones de codominio común tienen un pro-
ducto fibrado.
Demostración. Sea (gi : Ai → A)i∈{0,1} un sumidero de funciones continuas y sea:
X =
{
x ∈ ∏
i∈2
Ai : g0 (p0 (x)) = g1 (p1 (x))
}
Sean W ∈ Top y a0, a1 dos funciones continuas tales que conmuta el diagrama
p0
p1
g0
g1
X A
A0
A1
W
a0
a1
Entonces, se tiene el diagrama conmutativo
ai
∏
j∈2
Aj
Ai
W
pi
f
donde f existe y es única por la propiedad universal del producto topológico.
Dado w ∈ W , g0a0 (w) = g1a1 (w); por lo tanto, f (W ) ⊆ X y conmuta el siguiente
diagrama:
p0
p1
g0
g1
X A
A0
A1
W
a0
a1
f
Por abuso del lenguaje, se dice que X es el producto fibrado de la pareja (gi)i∈{0,1}.�
50 CAPÍTULO 3. BICORREFLEXIVIDAD Y CLASES DE FUNCIONES
Observación 3.2 El producto fibrado también puede ser definido en Set.
Proposición 3.2 El producto fibrado es único salvo homeomorfismo.
Demostración. Dado el Top-sumidero
(fi : Ai → A)i∈{0,1}
sean
(gi : X → Ai)i∈{0,1} , (hi : Y → Ai)i∈{0,1}
productos fibrados de (fi)i∈{0,1}; entonces se tiene el siguiente diagrama conmutativo:
h0
h1
f0
f1
Y A
A0
A1
X
g0
g1
G
H
donde G y H existen y son únicas por la propiedad universal del producto fibrado. En
consecuencia para todo i ∈ {0, 1}
giHG = gi1X y hiGH = hi1Y
Además, como (gi)i∈{0,1}, (hi)i∈{0,1} son monofuentes:
HG = 1X y GH = 1Y
Por lo tanto, X ∼= Y .�
Proposición 3.3 Si
(fi : X → Ai)i∈{0,1}
es un producto fibrado de (gi : Ai → A)i∈{0,1} y h : W → X es un homeomorfismo, entonces
(fih)i∈{0,1} es un producto fibrado de (gi)i∈{0,1}.
3.2. DEFINICIÓN DE 0-CLASE Y DE 1-CLASE 51
Demostración. Sean, un espacio topológico V y para toda i ∈ {0, 1}, vi ∈ Top (V,Ai)i∈{0,1}
tales que hacen conmutar al diagrama
f0
f1
g0
g1
X A
A0
A1
W
v0
v1
h
V
Entonces existe una única f : V → X tal que para toda i ∈ {0, 1}:
fif = vi
Entonces para toda i ∈ {0, 1}:
(fih)
(
h−1f
)
= vi
donde h−1f es única, por la unicidad de f . Por lo tanto, (fih)i∈{0,1} es un producto fibrado
de (gi)i∈{0,1}�.
Ahora se puede definir a un tipo especial de clases de funciones que servirá para construir
subcategoŕıas bicorreflexivas de Top.
3.2. Definición de 0-clase y de 1-clase
Definición 3.2 Una 0-clase es cualquier clase de funciones continuas y suprayectivas.
Definición 3.3 Una 0-clase M se llama 1-clase si para todo cuadrado cartesiano en Top
f
g
X
YX ′
Y ′
, el hecho de tener f en M implica que g pertenece a M.
52 CAPÍTULO 3. BICORREFLEXIVIDAD Y CLASES DE FUNCIONES
Ejemplo 3.1 La 0-clase máxima:
Mmáx := {f ∈Mor (Top) : f es suprayectiva}
es 1-clase y, por lo tanto, es la 1-clase máxima.
En efecto, considérese el siguiente cuadrado cartesiano:
f0
f1
X A
A0
A1
g0
g1
Si g0 ∈Mmáx y a1 ∈ A1, entonces existe a0 ∈ A0 tal que g0(a0) = g1(a1).
Para i ∈ {0, 1} sea
wi : {∅} → Ai
∅ �→ ai
Entonces existe f : {∅} → X tal que, para i ∈ {0, 1}, fif = wi. Por lo tanto, f1f (∅) = a1.
Por lo tanto, f1 ∈ Mmáx�
Observación 3.3 La unión de 0-clases es una 0-clase.
Lema 3.1 La intersección de 1-claseses 1-clase.
Demostración. Sea J una clase y para toda j ∈ J sea Mj una 1-clase; considérese el
siguiente diagrama conmutativo:
f0
f1
X A
A0
A1
g0
g1
Si es un cuadrado cartesiano y g0 ∈
⋂
j∈J
Mj , entonces para toda j ∈ J , f1 ∈ Mj y, conse-
cuentemente, f1 ∈
⋂
j∈J
Mj . Por lo tanto
⋂
j∈J
Mj es una 1-clase.�
3.3. 1-CLASE GENERADA POR UNA 0-CLASE M 53
3.3. 1-clase generada por una 0-clase M
Definición 3.4 M̃ denotará a la intersección de todas las 1-clases que contienen a una
0-clase arbitraria M y se hablará de M̃ como de la 1-clase generada por la 0-clase M.
Definición 3.5 Dada M una 0-clase, sea M ′ la clase de funciones f ′ tales que existe un
cuadrado cartesiano:
f
f ′
X
YX ′
Y ′
con f ∈M .
Lema 3.2 M ′ es 1-clase y M ′ = M̃ .
Demostración: (i) Supóngase que se tiene el siguiente cuadrado cartesiano:
f
f ′
X
YX ′
Y ′
a
a′
con f ∈M ′. Entonces existe un cuadrado cartesiano:
g
f
W
ZX
Y
b
b′
54 CAPÍTULO 3. BICORREFLEXIVIDAD Y CLASES DE FUNCIONES
con g ∈M . Entonces, el siguiente diagrama:
g
f ′
W
ZX
Y ′
ba
b′a′
es un cuadrado cartesiano y, por lo tanto, f ′ ∈M ′. Consecuentemente, M ′ es una 1-clase.
(ii) Sea N una 1-clase tal que M ⊆ N y sea f ′ ∈ M ′. Entonces existe un cuadrado
cartesiano:
f
f ′
X
YX ′
Y ′
con f ∈M . Entonces, f ′ ∈ N y, por tanto, M ′ ⊆ N . Consecuentemente, M ′ ⊆ M̃ .
(iii) Dada f ∈M , es claro que el siguiente diagrama:
f
f
X
YX
Y
1X
1Y
es un cuadrado cartesiano. Por lo tanto, M ⊆ M ′. Por lo tanto, M̃ ⊆M ′.�
3.4. Top-clase asociada a una 0-clase
Definición 3.6 Sea M una 0-clase; se define:
A (M) := {A ∈ Ob (Top) : para toda f ∈M , si cod (f) = A entonces f es identificación}
3.4. TOP-CLASE ASOCIADA A UNA 0-CLASE 55
es decir, A (M) consta de los espacios topológicos que nunca son codominio de algún elemento
de M , o bien, de los que cada vez que aparecen como codominio de alguna función de M ,
dicha función es una identificación.
Observación 3.4 Para cualquier 0-clase M se tiene que A (M) contiene a los espacios
singulares. Por lo tanto, no toda propiedad está asociada a una 0-clase.
Proposición 3.4 Si M es una 1-clase, entonces A(M) es una Top-clase.
Demostración. Sean, A un A(M)-espacio, A
h∼= B y f ∈M tal que cod (f) = B.
Considérese el siguiente cuadrado cartesiano:
fh′
A
Y
X B
f ′ h
Como f ∈M , entonces f ′ ∈M , por lo que f ′ es una identificación.
Sean, C un espacio topológico y g ∈ Set (B,C) tal que gf es continua; entonces, gfh′ es
continua y, por lo tanto, ghf ′es continua. Por lo tanto, g es continua, de lo cual se sigue que
f es una identificación.�
Entonces, se puede pensar que cada 1-clase describe una propiedad topológica; de hecho,
se puede decir todav́ıa más, como se verá más adelante.
Observación 3.5 En general, no es cierto que A (M) es una Top-clase, pero si lo es, se
indicará escribiendo A (M).
Ejemplos de Top-clases asociadas a 0-clases.
Ejemplo 3.2 Si M es la clase de todos los homeomorfismos, entonces dado cualquier espacio
topológico A y dado cualquier homeomorfismo f : X → A se tiene que f es una identificación.
Por lo tanto A(M) = Ob (Top) .
Ejemplo 3.3 Si M es la clase de todas las retracciones, entonces M es una 0-clase y para
todo espacio topológico A, cualquier retracción r : X → A es una identificación. Es decir,
A(M) = Ob (Top).
Ejemplo 3.4 Sea A una subcategoŕıa bicorreflexiva de Top y sea M la clase de todas las
A-correflexiones; entonces A(M) = Ob (A).
56 CAPÍTULO 3. BICORREFLEXIVIDAD Y CLASES DE FUNCIONES
En efecto, sea X un espacio topológico; entonces
X ∈ A(M) implica X ∈ Ob (A)
porque A es cerrada bajo identificaciones.
Rećıprocamente
X ∈ Ob (A) implica X ∈ A(M)
porque toda A-correflexión de un A-espacio es un homeomorfismo.
Ejemplo 3.5 Si M = ∅ entonces es una clase de funciones continuas y suprayectivas y
además:
A (∅) = {A ∈ Ob (Top) : para toda f , si f ∈ ∅ y cod (f) = A entonces f es identificación}
Puesto que es falso que f ∈ ∅, se tiene que todo espacio topológico A satisface la condición
de pertenencia a A (∅). Por lo tanto M es una 0-clase tal que A(M) = Ob (Top) .
Observación 3.6 Obsérvese que si M y M ′ son 0-clases tales que M ⊆ M ′ entonces
A(M ′) ⊆ A(M).
En efecto, si A ∈ A(M ′) y f : X → A es un miembro de M , entonces f ∈ M ′ y por lo
tanto f es una identificación. Por lo tanto A ∈ A(M).
Lema 3.3 Sea I una clase y para toda i ∈ I sea Mi una 0-clase; entonces se tiene que
A
(⋃
i∈I
Mi
)
=
⋂
i∈IA (Mi)
Demostración. (⊆) Para toda i ∈ I,
Mi ⊆
⋃
m∈I
Mm
por tanto, para toda i ∈ I,
A
( ⋃
m∈I
Mm
)
⊆ A (Mi)
de lo cual se sigue que
A
(⋃
i∈I
Mi
)
⊆ ⋂i∈IA (Mi)
(⊇) Supóngase que B ∈ ⋂i∈IA (Mi); entonces, para toda i ∈ I, si:
f ∈Mi y cod (f) = B
entonces f es una identificación. Por tanto, si:
f ∈ ⋃
i∈I
Mi y cod (f) = B
entonces f es una identificación. Por consiguiente:
B ∈ A
(⋃
i∈I
Mi
)
�
3.5. 1-CLASES Y BICORREFLEXIVIDAD 57
Lema 3.4 Siendo J un conjunto de ı́ndices arbitrario, si (Bj)J es una partición de un
conjunto Y y f : X → Y es una función suprayectiva, entonces siendo Aj = f−1(Bj), j ∈ J ,
se tendrá que (Aj)J es una partición de X.
Demostración. Se tiene que
⋃
j∈J
Aj =
⋃
j∈J
f−1(Bj) = f−1
(⋃
j∈J
Bj
)
= f−1(Y ) = X
Debido a la suprayectividad de f tenemos que para cualquier j ∈ J y cualquier b ∈ Bj,
existe x ∈ X tal que f(x) = b. Por lo tanto, Aj �= ∅, para toda j ∈ J. Finalmente, si para
j, k ∈ J se tiene que x ∈ Aj ∩ Ak, entonces x ∈ [f−1(Bj) ∩ f−1(Bk)] = f−1(Bj ∩ Bk). Por
lo tanto f (x) ∈ Bj ∩ Bk. Por lo tanto, Bj = Bk y Aj = Ak. Esto prueba que (Aj)J es una
partición de X.�
Proposición 3.5 Dado un conjunto de espacios topológicos no vaćıos y ajenos dos a dos
(Aj, αj)J y una función continua y suprayectiva
f : (X, τ ) → ∐
j∈J
(Aj, αj)
entonces, siendo Xj = f
−1(Aj) y τj = τ |Xj , se tiene que (X, τ ) =
∐
j∈J
(Xj , τj).
Demostración. Por el lema anterior, X =
∐
j∈J
Xj . Además, para toda j ∈ J :
Xj = f
−1(Aj) ∈ τ
Por lo tanto, (X, τ ) =
∐
j∈J
(Xj , τj), con τj = τ |Xj .�
Ahora se cuenta con todos los elementos que permiten mostrar la relación existente entre
las 1-clases y las subcategoŕıas bicorreflexivas.
3.5. 1-clases y bicorreflexividad
Teorema 3.1 Si M es una 1-clase, entonces A(M) es la clase de objetos de una subcategoŕıa
bicorreflexiva de Top.
Demostración. (a) Sea (Ai, αi)I una clase de A(M)-espacios, y sea f ∈ M , con f :
(X, τ ) → ∐
i∈I
(Ai, αi); def́ınase, para cada i ∈ I , Xi := f−1(Ai). Entonces:
(X, τ ) =
∐
i∈I
(Xi, τi)
58 CAPÍTULO 3. BICORREFLEXIVIDAD Y CLASES DE FUNCIONES
con τi = τ |Xi. Se tiene el siguiente diagrama conmutativo
(Xi, τi) (
∐
m∈I
Am, αm)
(Ai, αi)
(
∐
m∈I
Xm, τm)
f
f̃
ιi
κi
que para cada i ∈ I es un cuadrado cartesiano. Entonces, para cada i ∈ I , es una M-flecha
la restricción
f̃ : (Xi, τi) → (Ai, αi)
x �→ f (x)
por ser M una 1-clase, y como Ai ∈ A(M), se tiene que f̃ es una identificación. Por tanto,
f es una identificación. Por tanto
∐
i∈I
(Ai, αi) ∈ A(M).
(b) Sean, (A, α) un A(M)-espacio, c : (A, α) → (X, τ ) una identificación y f : (W,ω) →
(X, τ ) una M-flecha. Se construye el producto fibrado (c′, f ′) de (c, f):
(X, τ )(Y, σ)
(W,ω)
(A, α)
f
f ′ c
c′
f ′ es una identificación porque es una M-flecha de codominio en A(M); también c es una
identificación; consecuentemente, también f es una identificación. Por lo tanto, (X, τ ) ∈
A(M).
Al formar la subcategoŕıa plena y repleta de Top cuya clase de objetos es A(M), ésta
resulta ser cerrada bajo coproductos e identificaciones, como se ha visto en (a) y (b); por lo
tanto, es bicorreflexiva.�
Observación 3.7 Como ha venido haciéndose, se abusará de la notación denotando a la
subcategoŕıa bicorreflexiva de Top inducida por una 1-clase M por A(M).
Proposición 3.6 Si A es una subcategoŕıa bicorreflexiva de Top y M̃ es la 1-clase generada
por la clase de las A-correflexiones, entonces A = A(M̃ ).
3.5. 1-CLASES Y BICORREFLEXIVIDAD 59
Demostración. Sea M la clase de las A-correflexiones