Apuntes de Viga Gerber - Pedro Mendoza

Vista previa del material en texto

ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9 ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA 
1
 
 
TEMA 9: VIGAS GERBER, CONCEPTO Y RESOLUCIÓN 
 
 
 
Í N D I C E 
 
 
 1.- CONCEPTO. Pág. 2 
 
 2.- APLICACIONES. Pág. 2 
 
 EJEMPLO 1. Pág. 3 
 
 EJEMPLO 2. Pág. 4 
 
 EJEMPLO 3. Pág. 5 
 
 EJEMPLO 4. Pág. 14 
 
 EJEMPLO 5. Pág. 22 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFÍA 
 
 
 Para la confección de este capítulo hemos utilizado los siguientes textos. 
 
 NORMA BÁSICA DE ESTRUTURA DE ACERO. 
 
 GERE Y TIMOSHENKO. 
 Mecánica de Materiales. 
 
 TIMOSHENKO. JAMES M. GERE. 
 Resistencia de Materiales. 
 
 PÁEZ, A. 
 Hormigón Armado. Tomo II. 
 
 RODRÍGUEZ-AVIAL AZCUNAGA, F. 
 Resistencia de Materiales. 
 
 ORTIZ BERROCAL, L. 
 Resistencia de Materiales. 
 
 SCHREYER, C. 
 Estática Gráfica de la Construcción. 
 
 VALLECILLO CAPILLA, A. y GARMENDIA GARCÍA, J. 
 Problemas Resueltos de Estructuras y Resistencia de Materiales. 
 
 VALLECILLO CAPILLA, A. y GARMENDIA GARCÍA, J. 
 Prácticas Resueltas de Estructuras I. 
 
 ZIGNOLI, V. 
 Construcciones Metálicas. 
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9 ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA 
2
 
 
TEMA 9: VIGAS GERBER, CONCEPTO Y RESOLUCIÓN 
 
 
 
 1.- CONCEPTO 
 
 Se conocen como vigas GERBER, concebidas por primera vez en 1878 por el Doctor Ingeniero H. 
Gerber, continuando con el estudio intuido por Clark y Fowler, a las vigas continuas que, aunque a priori 
serían hiperestáticas se le intercalan tantas rótulas como grados de hiperestatismo tuviera sin ellas. la 
localización de estas rótulas se hace de manera que la viga final sea resistente, o lo que es igual que no se 
configure como un mecanismo. 
 
 Por cada rótula que colocamos podemos plantear una nueva ecuación: el momento flector en ella es 
cero; de esta manera, podemos calcular el resto de reacciones aplicando las ecuaciones de equilibrio de la 
estática y así, determinar las leyes de esfuerzos. 
 
 La distribución de las articulaciones no se debe hacer de modo arbitrario. Se efectuará de manera 
que se obtenga una viga geométricamente deformable. En general, cuando el número de tramos es mayor 
de tres, se organizan las zonas extremas con articulación o sin ella, a voluntad, y en los intermedios se 
colocan dos o ninguna, de manera alternada. 
 
 así, por ejemplo, la viga que se representa es hiperestática de grado tres; si le intercalamos tres 
rótulas la convertimos en isostática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2.- APLICACIONES 
 
 En las vigas Gerber se consigue, con una adecuada colocación de las articulaciones, igualar los 
momentos flectores correspondientes a los apoyos con los máximos momentos de los tramos, y , en 
consecuencia establecer el efecto mínimo debido a la flexión, lo que permite reducir las dimensiones de las 
vigas. La separación de las articulaciones respecto a los puntos de apoyo, así como su disposición en los 
diversos tramos, depende de la clase de carga y de las distribución de los tramos. 
 
 La aplicación de estas vigas a las construcciones metálicas presenta gran interés, ya que la 
disminución de peso que con ellas s consigue, compensa el pequeño aumento de mano de obra que 
suponen la ejecución de las articulaciones. 
 
 Es preciso, sin embargo, advertir que esta disposición no debe, en general, aplicarse a aquellos 
elementos principales de la construcción que aseguran su rigidez longitudinal o transversal, como carreras 
jácenas, etc. Su aplicación más usual es la construcción de correas de cubiertas, cuyo estudio se realiza, 
empezando por el de una viga Gerber, cuyos campos tienen la misma longitud y que se halla sometida a 
una carga uniforme de “p” kilogramos por metro lineal. 
 
 
 
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9 ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA 
3
 
EJEMPLO 1 
 
 Dibujar sobre la estructura, de forma aproximada, las leyes de momentos flectores, cortantes, axiles 
, ley de giros y deformada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de Momentos Flectores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Diagrama de esfuerzos Cortantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Deformada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ley de Giros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L L/2L/2 L/22 L/2 
P 
PL/4 
-P/2 
P/2 
recta 
recta recta 
recta 
recta 
recta 
recta 
recta 
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9 ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA 
4
 
 EJEMPLO 2 
 
 Dibujar sobre la estructura, de forma aproximada, las leyes de Momentos Flectores, Cortantes, 
Axiles , ley de Giros y Deformada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ley de Momentos Flectores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ley de Cortantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Deformada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Diagrama de Giros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L L/2 L/2 L/22 L/2 L/2 
P 
-PL/2 
 
recta recta 
 
recta recta 
Tramo horizontal 
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9 ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA 
5
 
 EJEMPLO 3 
 
Dada la viga de la figura, se pide obtener las leyes de momentos flectores y esfuerzos cortantes, 
cuando una carga “α” se coloca alternativamente en los puntos A, B, C, D, E, F y G. 
 
Dibujar el diagrama de flectores y de cortantes para cada caso. 
 
Estructura: 
 
 
 
Datos: 
 
α = 4T 
 
RESOLUCIÓN CARGA EN A: 
 
 
 
 
 
 
 
Puesto que tenemos rótulas en la estructura podemos plantearnos el equilibrio de los distintos 
tramos de la estructura que nos definen estas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a = 4m 
b = 4m 
c = 6m 
d = 4m 
e = 2m 
f = 2m 
g = 2m 
h = 2m 
i = 3m 
j =3m 
k = 2m 
l= 2m 
4T 
2 m 2 m 
V1 V2 
H1 
∑FH = 0 ; H1 =0 
∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 
∑M = 0; -4×2 + 4V2 = 0 
 
V2= 2 T 
V1= 2 T 
4 m 6 m 2 m 
V3 V4 
2 T 
2 m 
V5 
V6 
∑FH = 0 ; 
∑FV = 0 ; V5 + V6 = 0 
∑M = 0; 2V6 = 0 
 
V5= 0 
V6= 0 
∑FH = 0 ; H1 =0 
∑FV = 0 ; V3 + V4 -2T = 0 
∑M = 0; -2×10 + 6V3 = 0 
 
V3= 3´33 T 
V4= -1´33 T 
4T 
2 m 
A B C ED F G
2 m 2 m 3 m 3 m 2 m 2 m 
4 m 6 m 4 m 4 m 
2 m 
ca 
g ie l
d
h j k
A B C ED F
f 
b 
G
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9 ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA 
6
MOMENTOS FLECTORES: 
 
 
ESFUERZOS CORTANTES: 
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
82)(
2)(
8
2
2
0
+−=
=
xxM
xxM
TmM
M
4)2(
0)0(
=
=
TmM
TmM
8)8(
4)2(
−=
=
0)(
66´18331́)(
18
14
14
8
=
−=
xM
xxM 0)14(
8)8(
=
−=
M
TmM
0)18(
0)14(
=
=
M
M
TxQ
TxQ
TxQ
TxQ
1)(
331́)(
2)(
2)(
18
14
14
8
8
2
2
0
=
=
−=
=
4T 
4 Tm 
Diagrama de Momentos Flectores 
-8 Tm 
2 T 
Diagrama de Esfuerzos Cortantes 
1´33 T
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9 ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA 
7
RESOLUCIÓN CARGA EN B: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MOMENTOS FLECTORES: 
 
 
∑FH = 0 ; 
∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 
∑M = 0; -4×10 + 6V1 = 0 
 
V1= 6´66 T 
V2= -2´66 T 
4T 
6 m 4 m 
V1 V2 
164)(
0)(
8
4
4
0
+−=
=
xxM
xM
0)4(
0)0(
=
=
M
M
TmM
M
16)8(
0)4(
−=
=
0)(
24´37662́)(
18
14
14
8
=
−=
xM
xxM 0)14(
16)8(
=
−=
M
TmM
0)18(
0)14(
=
=
M
M
0)(
662́)(
4)(
0)(
18
14
14
8
8
4
4
0
=
=
−=
=
xQ
TxQ
TxQ
xQ
4T 
2 m 
A B C ED F G
2 m 2 m 3 m 3 m 2 m 2 m 
4 m 6 m 4 m 4 m 
2 m 
ESFUERZOS CORTANTES: 
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9 ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA 
8
 
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS:RESOLUCIÓN CARGA EN C: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4T 
Diagrama de Momentos Flectores 
-16 Tm 
Diagrama de Esfuerzos Cortantes 
2´66 T
-4 T 
∑FH = 0 ; 
∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 
∑M = 0; -4×8 + 6V1 = 0 
 
V1= 5´33 T 
V2= -1´33 T 
4T 
6 m 4 m 
V1 V2 
2 m 
4T 
2 m 
A B C ED F G
2 m 2 m 3 m 3 m 2 m 2 m 
4 m 6 m 4 m 4 m 
2 m 
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9 ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA 
9
MOMENTOS FLECTORES: 
 
 
ESFUERZOS CORTANTES: 
 
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
244)(
0)(
8
6
6
0
+−=
=
xxM
xM
0)6(
0)0(
=
=
M
M
TmM
M
8)8(
0)6(
−=
=
0)(
66´18331́)(
18
14
14
8
=
−=
xM
xxM 0)14(
8)8(
=
−=
M
TmM
0)18(
0)14(
=
=
M
M
0)(
331́)(
4)(
0)(
18
14
14
8
8
6
6
0
=
=
−=
=
xQ
TxQ
TxQ
xQ
4T 
Diagrama de Momentos Flectores 
-8 Tm 
Diagrama de Esfuerzos Cortantes 
1´33 T
-4 T 
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9 ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA 
10
RESOLUCIÓN CARGA EN D: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Luego como no existe ninguna reacción aparte de la producida en el propio apoyo no se producen 
esfuerzos cortantes ni momentos flectores en el resto de la viga, únicamente existe una reacción puntual. 
 
 
RESOLUCIÓN CARGA EN E: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MOMENTOS FLECTORES: 
 
∑FH = 0 ; 
∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 
∑M = 0; 6V2 = 0 
 
V2=0 
V1= 4 T
4T 
6 m 4 m 
V1 V2 
∑FH = 0 ; 
∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 
∑M = 0; -4×3 + 6V2 = 0 
 
V2=2 T 
V1=2 T 
6 m 4 m 
V1 V2 
4T 
3 m 3 m 
162)(
0)(
11
8
8
0
−=
=
xxM
xM 0)8(
0)0(
=
=
M
M
TmM
M
6)11(
0)8(
=
=
0)(
282)(
18
14
14
11
=
+−=
xM
xxM 0)14(
6)11(
=
=
M
TmM
0)18(
0)14(
=
=
M
M
4T
2 m 
A B C ED F G
2 m 2 m 3 m 3 m 2 m 2 m 
4 m 6 m 4 m 4 m 
2 m 
4T 
2 m 
A B C ED F G
2 m 2 m 3 m 3 m 2 m 2 m 
4 m 6 m 4 m 4 m 
2 m 
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9 ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA 
11
ESFUERZOS CORTANTES: 
 
 
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN CARGA EN F: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 En este caso ocurre igual que en el caso D, al tratarse de una carga aplicada sobre un apoyo, la 
única reacción que aparecerá será la del propio apoyo, con lo cual no se producen momentos flectores ni 
esfuerzos cortantes en la viga. 
 
0)(
2)(
2)(
0)(
18
14
14
11
11
8
8
0
=
−=
=
=
xQ
TxQ
TxQ
xQ
4T
Diagrama de Esfuerzos Cortantes 
2 T 
-2 T 
Diagrama de Momentos Flectores 
6 Tm 
∑FH = 0 ; 
∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 
∑M = 0; 6V1 = 0 
 
V1=0 
V2= 4 T 
4T
2 m 
A B C ED F G
2 m 2 m 3 m 3 m 2 m 2 m 
4 m 6 m 4 m 4 m 
4T
6 m 4 m 
V1 V2 
2 m 
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9 ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA 
12
 
RESOLUCIÓN CARGA EN G: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MOMENTOS FLECTORES: 
 
 
 
 
ESFUERZOS CORTANTES: 
 
 
 
∑FH = 0 ; 
∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 
∑M = 0; -4×8 -+6V2 = 0 
 
V2= 5´33 T 
V1=-1´33 T 
4T
2 m 
A B C ED F G
2 m 2 m 3 m 3 m 2 m 2 m 
4 m 6 m 4 m 4 m 
6 m 4 m 
V1 V2 
4T
664.10331́)(
0)(
14
8
8
0
+−=
=
xxM
xM 0)8(
0)0(
=
=
M
M
TmM
M
8)14(
0)8(
−=
=
0)(
644)(
18
16
16
14
=
−=
xM
xxM 0)16(
8)14(
=
−=
M
TmM
0)18(
0)14(
=
=
M
M
2 m 
2 m 
0)(
4)(
331́)(
0)(
18
16
16
14
14
8
8
0
=
=
−=
=
xQ
TxQ
TxQ
xQ
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9 ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA 
13
 
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4T
Diagrama de Esfuerzos Cortantes 
2 T 
-2 T 
Diagrama de Momentos Flectores 
-8 Tm 
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9 ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA 
14
 EJEMPLO 4 
 
Dada la viga de la figura, se pide obtener las leyes de momentos flectores y esfuerzos cortantes, 
cuando una carga “α” se coloca alternativamente en los puntos A, B, C, D, E, F y G. 
 
Dibujar el diagrama de flectores y de cortantes para cada caso. 
 
Estructura: 
 
 
 
Datos: 
 
α = 4T 
 
RESOLUCIÓN CARGA EN A: 
 
 
 
 
 
 
 
 
La única reacción que aparecerá será V1 = 4T, con lo cual no se producen momentos flectores ni 
esfuerzos cortantes sobre la viga. 
 
RESOLUCIÓN CARGA EN B: 
 
 
 
 
 
 
 
Puesto que tenemos rótulas en la estructura podemos plantearnos el equilibrio de los distintos tramos de la 
estructura que nos definen estas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a = 4m 
b = 4m 
c = 6m 
d = 4m 
e = 2m 
f = 2m 
g = 2m 
h = 2m 
i = 2m 
j =2m 
k = 2m 
l= 2m 
4T 
2 m 2 m 
V1 V2 
H1 
∑FH = 0 ; H1 =0 
∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 
∑M = 0; -4×2 + 4V2 = 0 
 
V2= 2 T 
V1= 2 T 
ca 
g i e l
d
h j k
A B C E D F
f 
b 
m
G
4T 
2 m 
A B C E D F G
2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 
4 m 6 m 4 m 4 m 
2 m 2 m 
4T 
2 m 
A B C E D F G
2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 
4 m 6 m 4 m 4 m 
2 m 2 m 
V1 
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9 ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA 
15
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MOMENTOS FLECTORES: 
 
 
 
 
ESFUERZOS CORTANTES: 
 
 
 
 
 
4 m 6 m 2 m 
V3 V4 
2 T 
2 m 
V5 
V6 
∑FH = 0 ; 
∑FV = 0 ; V5 + V6 = 0 
∑M = 0; 2V6 = 0 
 
V5= 0 
V6= 0 
∑FH = 0 ; H1 =0 
∑FV = 0 ; V3 + V4 -2T = 0 
∑M = 0; -2×10 + 6V3 = 0 
 
V3= 3´33 T 
V4= -1´33 T 
82)(
2)(
8
2
2
0
+−=
=
xxM
xxM
TmM
M
4)2(
0)0(
=
=
TmM
TmM
8)8(
4)2(
−=
=
0)(
66´18331́)(
18
14
14
8
=
−=
xM
xxM 0)14(
8)8(
=
−=
M
TmM
0)18(
0)14(
=
=
M
M
TxQ
TxQ
TxQ
TxQ
1)(
331́)(
2)(
2)(
18
14
14
8
8
2
2
0
=
=
−=
=
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9 ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA 
16
 
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN CARGA EN C: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4T 
4 Tm 
Diagrama de Momentos Flectores 
-8 Tm 
2 T 
Diagrama de Esfuerzos Cortantes 
1´33 T
∑FH = 0 ; 
∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 
∑M = 0; -4×10 + 6V1 = 0 
 
V1= 6´66 T 
V2= -2´66 T 
4T 
6 m 4 m 
V1 V2 
4T 
2 m 
A B C E D F G
2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 
4 m 6 m 4 m 4 m 
2 m 2 m 
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9 ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA 
17
 
MOMENTOS FLECTORES: 
 
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
164)(
0)(
8
4
4
0
+−=
=
xxM
xM
0)4(
0)0(
=
=
M
M
TmM
M
16)8(
0)4(
−=
=
0)(
24´37662́)(
18
14
14
8
=
−=
xM
xxM 0)14(
16)8(
=
−=
M
TmM
0)18(
0)14(
=
=
M
M
0)(
662́)(
4)(
0)(
18
14
14
8
8
4
4
0
=
=
−=
=
xQ
TxQ
TxQ
xQ
4T 
Diagrama de Momentos Flectores 
-16 Tm 
Diagrama de Esfuerzos Cortantes 
2´66 T
-4 T 
ESFUERZOS CORTANTES 
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9 ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA 
18
RESOLUCIÓN CARGA EN D: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MOMENTOS FLECTORES: 
 
 
ESFUERZOS CORTANTES: 
 
 
 
 
∑FH = 0 ; 
∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 
∑M = 0; -4×8 + 6V1 = 0 
 
V1= 5´33 T 
V2= -1´33 T 
4T 
6 m 4 m 
V1 V2 
2 m 
244)(
0)(
8
6
6
0
+−=
=
xxM
xM
0)6(
0)0(
=
=
M
M
TmM
M
8)8(
0)6(
−=
=
0)(66´18331́)(
18
14
14
8
=
−=
xM
xxM 0)14(
8)8(
=
−=
M
TmM
0)18(
0)14(
=
=
M
M
0)(
331́)(
4)(
0)(
18
14
14
8
8
6
6
0
=
=
−=
=
xQ
TxQ
TxQ
xQ
4T 
2 m 
A B C E D F G
2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 
4 m 6 m 4 m 4 m 
2 m 2 m 
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9 ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA 
19
 
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN CARGA EN E: (El dibujo está mal designado, la carga debe estar sobre el apoyo y 
éste debería designarse por “E”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Luego como no existe ninguna reacción aparte de la producida en el propio apoyo no se producen 
esfuerzos cortantes ni momentos flectores en el resto de la viga, únicamente existe una reacción puntual. 
 
4T 
Diagrama de Momentos Flectores 
-8 Tm 
Diagrama de Esfuerzos Cortantes 
1´33 T
-4 T 
∑FH = 0 ; 
∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 
∑M = 0; 6V2 = 0 
 
V2=0 
V1= 4 T 
4T 
6 m 4 m 
V1 V2 
 
2 m 
A B ED F G
2 m 2 m 3 m 3 m 2 m 2 m 
4 m 6 m 4 m 4 m 
2 m 
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9 ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA 
20
RESOLUCIÓN CARGA EN F: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MOMENTOS FLECTORES: 
 
ESFUERZOS CORTANTES: 
 
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑FH = 0 ; 
∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 
∑M = 0; -4×2 + 6V2 = 0 
 
V2=1´33 T 
V1=2´67 T 
8331́)(
672́)(
6
2
2
0
+−=
=
xxM
xxM TmM
M
345́)2(
0)0(
=
=
0)6(
345́)2(
=
=
M
TmM
331́)(
67´2)(
6
2
2
0
−=
=
xQ
xQ
4T
Diagrama de Esfuerzos Cortantes 
2´67 T
-1´33 T 
Diagrama de Momentos Flectores 
5´34 Tm
2 m 
A B C E D F G
2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 
4 m 6 m 4 m 4 m 
2 m 2 m 
4T
6 m 4 m 
V1 V2 
4T 
2 m 2 m 2 m 
6 m 4 m 
X
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9 ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA 
21
 
RESOLUCIÓN CARGA EN G: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MOMENTOS FLECTORES: 
 
ESFUERZOS CORTANTES: 
 
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑FH = 0 ; 
∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 
∑M = 0; -4×4+6V1 = 0 
 
V1=0 
V2= 4 T 
2 m 
A B C E D F G
2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 
4 m 6 m 4 m 4 m 
2 m 2 m 
4T
4T 
6 m 4 m 
V1 V2 
4 m 
1667´2)(
331́)(
6
4
4
0
+−=
=
xxM
xxM TmM
M
345́)4(
0)0(
=
=
0)6(
345́)4(
=
=
M
TmM
67´2)(
331́)(
6
4
4
0
−=
=
xQ
xQ
4T
Diagrama de Esfuerzos Cortantes 
1´33 T
-2´67 T 
Diagrama de Momentos Flectores 
5´34 Tm
6 m 4 m 
X
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9 ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA 
22
 
 EJEMPLO 5 
 
Dada la viga de la figura, se pide obtener las leyes de momentos flectores y esfuerzos cortantes, 
cuando un momento “M” se coloca alternativamente en los puntos A, , C, D, E y G. 
Dibujar el diagrama de flectores y de cortantes para cada caso. 
 
Estructura: 
 
 
 
Datos: 
 
M = 4Tm 
 
RESOLUCIÓN MOMENTO EN A: 
 
 
 
 
 
 
Puesto que tenemos rótulas en la estructura podemos plantearnos el equilibrio de los distintos 
tramos de la estructura que nos definen estas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a = 2m 
b = 2m 
c = 4m 
d = 4m 
e = 1m 
f = 1m 
g = 1m 
h = 1m 
i = 2m 
j =2m 
k = 2m 
l= 2m 
∑FH = 0 ; H1-HB =0; 
∑FV = 0 ; V1 – VB = 0; 
∑M = 0; -4-M - 2VB = 0 
 
H1=HB=0 
V1=VB=0 
M= -4 Tm 
∑FH = 0 ; HF=0 
∑FV = 0 ; VF + V2 = 0 
∑M = 0; 4V2 = 0 
 
V2= 0 
VF= 0 
∑FH = 0 ; HB=HF=0 
∑FV = 0 ; VD+VB+VF = 0 
∑M = 0; 2VD - 6VF = 0 
 
VD=0 
VB=0 
ca 
g ie l
d
h j k
A B C ED F
f 
b 
G
4Tm 
1 m 
A B C ED F G
1 m 1 m 2 m 2 m 2 m 2 m 
4 m 4 m 2 m 2 m 
1 m 
V1 
H1 
4Tm 
1 m 
A B 
1 m 
2 m 
M 
HB 
VB 
V2 
VF 
F G 
2 m 2 m 
4 m 
HF 
B C E D F
1 m 2 m 2 m 
4 m 2 m 
1 m 
VB 
HB 
VD 
VF 
HF 
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9 ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA 
23
 
MOMENTOS FLECTORES: ESFUERZOS CORTANTES: 
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN MOMENTO EN C: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0)x(M
0)x(M
Tm4)x(M
12
2
2
1
1
0
=
=
−= 0)x(Q
12
0
=
Diagrama de Esfuerzos Cortantes 
4Tm 
1 m 
A B C ED F G
1 m 1 m 2 m 2 m 2 m 2 m 
4 m 4 m 2 m 2 m 
1 m 
-4 Tm 
Diagrama de Momentos Flectores 
4Tm 
1 m 
A B C ED F G
1 m 1 m 2 m 2 m 2 m 2 m 
4 m 4 m 2 m 2 m 
1 m 
∑FV = 0 ; VF + V2 = 0 
∑M = 0; 4V2 = 0 
 
V2= 0 
VF= 0 
V2 
VF 
F G 
2 m 2 m 
4 m 
B C E D F
1 m 2 m 2 m 
4 m 2 m 
1 m 
VB 
VD 
VF 
∑FV = 0 ; VD+VB+VF = 0 
∑M = 0; 2VD +4+4VF = 0 
 
VD=2 T 
VB=-2 T 
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9 ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA 
24
 
 
 
 
 
 
 
MOMENTOS FLECTORES: ESFUERZOS CORTANTES: 
 
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8x2)x(M
4x2)x(M
4
3
3
0
+−=
+−=
Tm2)3(M
0)2(M
Tm4)0(M
−=
=
=
0)x(Q
T2)x(Q
T2)x(Q
12
4
4
3
3
0
=
−=
−=
V1 
H1 
4Tm 
1 m 
A B 
1 m
2 m 
M 
VB ∑FH = 0 ; H1 =0; 
∑FV = 0 ; V1 – VB = 0; 
∑M = 0; -M - 2VB = 0 
 
V1=VB=-2 T 
M= 4 Tm
0)x(M 12
4
=
0)4(M
Tm2)3(M
=
=
4Tm 
1 m 
A B C ED F G
1 m 1 m 2 m 2 m 2 m 2 m 
4 m 4 m 2 m 2 m 
1 m 
4 Tm 
Diagrama de Momentos Flectores 
2 Tm 
-2 Tm 
-2 T 
Diagrama de Esfuerzos Cortantes 
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9 ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA 
25
 
RESOLUCIÓN MOMENTO EN D: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MOMENTOS FLECTORES: ESFUERZOS CORTANTES: 
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4x2)x(M 4
0
+−=
Tm4)4(M
0)2(M
Tm4)0(M
−=
=
=
0)x(Q
T2)x(Q
12
4
4
0
=
−=
4Tm 
1 m 
A B C ED F G
1 m 1 m 2 m 2 m 2 m 2 m 
4 m 4 m 2 m 2 m 
1 m 
V1 
H1 
1 m 
A B 
1 m
2 m 
M 
VB 
∑FH = 0 ; H1 =0; 
∑FV = 0 ; V1 – VB = 0; 
∑M = 0; -M - 2VB = 0 
 
V1=VB=-2 T 
M= 4 Tm 
∑FV = 0 ; VF + V2 = 0 
∑M = 0; 4V2 = 0 
 
V2= 0 
VF= 0 
V2 
VF 
F G 
2 m 2 m 
4 m 
∑FV = 0 ; VD+VB+VF = 0 
∑M = 0; 2VD +4+4VF = 0 
 
VD=2 T 
VB=-2 T 
0)x(M 12
4
=
4Tm 
1 m 
A B C ED F G
1 m 1 m 2 m 2 m 2 m 2 m 
4 m 4 m 2 m 2 m 
1 m 
4 Tm 
Diagrama de Momentos Flectores 
-4 Tm 
B C E D F
1 m 2 m 2 m 
4 m 2 m 
1 m 
VB 
VD 
VF 
4Tm 
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9 ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA 
26
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN MOMENTO EN E: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MOMENTOS FLECTORES: ESFUERZOS CORTANTES: 
 
-2 T 
Diagrama de Esfuerzos Cortantes 
Tm4)x(M
4x2)x(M
6
4
4
0
−=
+−=
Tm4)4(M
0)2(M
Tm4)0(M
−=
=
=
0)x(Q
T2)x(Q
12
4
4
0
=
−=
4Tm 
1 m 
A B C ED F G
1 m 1 m 2 m 2 m 2 m 2 m 
4 m 4 m 2 m 2 m 
1 m 
V1 
H1 
4Tm 
1 m 
A B 
1 m
2 m 
M 
VB 
∑FH = 0 ; H1 =0; 
∑FV = 0 ; V1 – VB = 0; 
∑M = 0; -M - 2VB = 0 
 
V1=VB=-2 T 
M= 4 Tm 
∑FV = 0 ; VF + V2 = 0 
∑M = 0; 4V2 = 0 
 
V2= 0 
VF= 0 
V2 
VF 
F G 
2 m 2 m 
4 m 
4Tm 
B C E D F
1 m 2 m 2 m 
4 m 2 m 
1 m 
VB 
VD 
VF 
∑FV = 0 ; VD+VB+VF = 0 
∑M = 0; 2VD +4+4VF = 0 
 
VD=2 T 
VB=-2 T 
0)x(M 12
6
=
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9 ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA 
27
 
DIBUJODE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN MOMENTO EN G: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4Tm 
1 m 
A B C ED F G
1 m 1 m 2 m 2 m 2 m 2 m 
4 m 4 m 2 m 2 m 
1 m 
-2 T 
Diagrama de Esfuerzos Cortantes 
Diagrama de Momentos Flectores 
4 Tm 
-4 Tm 
4Tm 
1 m 
A B C ED F G
1 m 1 m 2 m 2 m 2 m 2 m 
4 m 4 m 2 m 2 m 
1 m 
V1 
H1 
4Tm 
1 m 
A B 
1 m
2 m 
M 
2T 
∑FH = 0 ; H1 =0; 
∑FV = 0 ; V1 – 2T = 0; 
∑M = 0; M +4Tm = 0 
 
V1=2T 
M= -4 Tm 
∑FV = 0 ; VF + V2 = 0 
∑M = 0; 4V2 -4= 0 
 
V2= 1T 
VF= -1T 
B C E D F
1 m 2 m 2 m 
4 m 2 m 
1 m 
VB 
VD 
1T ∑FV = 0 ; VD+VB+1T= 0 
∑M = 0; 2VD +6 = 0 
 
VD=-3 T 
VB=2 T 
V2 
VF 
F G 
2 m 2 m 
4 m 
4Tm 
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9 ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA 
28
 
MOMENTOS FLECTORES: ESFUERZOS CORTANTES: 
 
 
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8x)x(M
4x2)x(M
10
4
4
0
+−=
−=
Tm4)4(M
0)2(M
Tm4)0(M
=
=
−=
12x)x(M 12
10
+−=
4Tm 
1 m 
A B C ED F G
1 m 1 m 2 m 2 m 2 m 2 m 
4 m 4 m 2 m 2 m 
1 m 
Diagrama de Esfuerzos Cortantes 
Diagrama de Momentos Flectores 
Tm2)10(M
0)8(M
Tm4)4(M
−=
=
=
0)12(M
Tm2)10(M
=
=
T1)x(Q
T1)x(Q
T2)x(Q
12
10
10
4
4
0
−=
−=
=
2 T 
-1 T 
2 Tm 
-4 Tm 
4 Tm 
-2 Tm