Complejos-simpliciales-Teora-de-Galois-y-aplicaciones

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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ciencias
COMPLEJOS SIMPLICIALES, TEORÍA DE
GALOIS Y APLICACIONES
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
MATEMÁTICO
PRESENTA:
JUAN CARLOS FERNÁNDEZ MORELOS
DIRECTOR DE TESIS:
DR. CARLOS PRIETO DE CASTRO
2010
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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Hoja de datos del jurado
1. Datos del alumno
Fernández
Morelos
Juan Carlos
5584 6648
Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ciencias
Matemáticas
3-0012333-3
2. Datos del tutor
Dr.
Carlos
Prieto
de Castro
3. Datos del sinodal 1
Dr.
Marcelo Alberto
Aguilar
González de la Vega
4. Datos del sinodal 2
Dra.
Maŕıa del Carmen
Gómez
Laveaga
5. Datos del sinodal 3
Dr.
Francisco
Larrión
Riveroll
6. Datos del sinodal 4
Dr.
Hugo Alberto
Rincón
Mej́ıa
7. Datos del trabajo escrito
Complejos simpliciales, teoŕıa de Galois y aplicaciones
196 p.
2010
Agradecimientos
Agradezco a mis padres que creyeron y creen en mı́. Sin ellos y sin sus
cuidados no habŕıa sido capaz de llegar tan lejos.
A mis compañeros y amigos, que me han enseñado tanto.
A todos y cada uno de mis profesores que directa o indirectamente in-
fluyeron en mi formación académica y matemática.
A mis sinodales por sus apreciables correcciones que ayudaron a mejo-
rar este trabajo. Al Dr. Marcelo Aguilar por la mejoras en los caṕıtulos
5 y 7. Al Dr. Francisco Larrión cuyos comentarios ayudaron a reducir la
demostración del teorema 3.2.16. Al Dr. Hugo Rincón por sus observa-
ciones. Y en especial agradezco al Dr. Carlos Prieto y a la Dra. Carmen
Gómez Laveaga por su paciencia durante la elaboración de este trabajo y
por haberme tenido como alumno durante varios semestres.
A mis padres
Índice general
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Caṕıtulo 1. Conceptos básicos sobre categoŕıas 5
§ 1.1 El concepto de categoŕıa . . . . . . . . . . 5
§ 1.2 Funtores . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
§ 1.3 Diagramas . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Caṕıtulo 2. Grupos libres y productos libres 13
§ 2.1 Productos libres . . . . . . . . . . . . . . 13
§ 2.2 Grupos libres . . . . . . . . . . . . . . . 20
§ 2.3 Presentación por generadores y relaciones . . . 27
Caṕıtulo 3. La categoŕıa de los complejos simpliciales 33
§ 3.1 Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . 33
§ 3.2 Árboles . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
§ 3.3 Realización geométrica . . . . . . . . . . . 58
Caṕıtulo 4. Grupo fundamental 65
§ 4.1 El funtor grupo fundamental . . . . . . . . 65
§ 4.2 Teorema de Tietze . . . . . . . . . . . . . 71
Caṕıtulo 5. Complejos cubrientes 81
§ 5.1 Definiciones y teoremas básicos . . . . . . . 81
§ 5.2 El complejo KH . . . . . . . . . . . . . . 91
§ 5.3 Fibra y grupo fundamental . . . . . . . . . 97
Caṕıtulo 6. Complejos cubrientes y teoŕıa de Galois 103
§ 6.1 Conceptos preliminares . . . . . . . . . . . 103
§ 6.2 Teorema fundamental . . . . . . . . . . . 122
Caṕıtulo 7. Aplicaciones 143
§ 7.1 Un teorema importante . . . . . . . . . . 143
§ 7.2 Teorema de Nielsen-Schreier . . . . . . . . 159
§ 7.3 Teorema de Kurosh . . . . . . . . . . . . 173
§ 7.4 Resultados y comentarios adicionales . . . . . 182
Bibliograf́ıa 185
ix
1
Introducción
Los complejos simpliciales son objetos ubicuos en la matemática actual.
Tienen un papel central en la teoŕıa de homoloǵıa y en la teoŕıa de homo-
toṕıa en topoloǵıa algebraica gracias a que los espacios que admiten des-
composición en células son importantes teóricamente y son más sencillos
de manejar que aquéllos que no admiten una descomposición tal. Original-
mente, los n-simplejos eran los análogos n-dimensionales de un triángulo en
un espacio euclidiano. El desarrollo de la topoloǵıa algebraica y la topoloǵıa
combinatoria se debe fundamentalmente a H. Poincaré (1858-1912) al re-
stringir su atención a los espacios con descomposición en células, a los
que llamó polyèdres (poliedros). Para su estudio, Poincaré utilizó comple-
jos simpliciales determinados por matrices de incidencia que establećıan
cuándo un k-simplejo era parte de la frontera de un (k + 1)-simplejo y,
además, les agregó propiedades de subdivisión, conocidas como subdivisio-
nes baricéntricas.
Posteriormente, L. E. J. Brouwer (1881-1966) detectó la importancia de
la aproximación y descomposición simplicial para el estudio de variedades,
y de hecho, en su famoso trabajo Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten
(1911) definió las variedades de manera que las adaptó al contexto de
los métodos simpliciales. La importancia de los complejos simpliciales en
topoloǵıa era ya evidente. Sin embargo, a falta de una definición adecuada
y susceptible de mayor abstracción, los complejos simpliciales no encaja-
ban en los dominios del álgebra. Fue entonces que el matemático danés
P. Heegaard (1871-1948) introdujo el concepto de complejo simplicial de
forma que se pudieran usar algebraicamente. Primeramente, definió un n-
simplejo, σn como el conjunto de vectores A en Rn+p, p ≥ n de la forma
A = k0A0 + k1A1 + . . . + knAn
donde 0 < kn < 1,
∑
ki = 1, y los Ai son (n + 1) puntos (vectores)
linealmente independientes en Rn+p; luego definió las p-caras de σn, σp
simplemente como el conjunto de los puntos A = k0A0 +k1A1 + . . .+knAn,
tomando n−p de los escalares ki como cero; finalmente, definió un complejo
simplicial K como una colección finita de simplejos ajenos tal que si σ ∈ K,
2
entonces todas sus caras también lo están. Mediante esta definición fue
posible definir los complejos de cadenas que forman los objetos de estudio
del álgebra homológica.
Aśı, los complejos simpliciales aparecieron en álgebra. En este trabajo
nos enfocaremos en la relación entre los complejos simpliciales y la teoŕıa de
grupos. Sin embargo, no usaremos la definición de Heegaard de complejos
simpliciales, sino que utilizaremos una abstracción de la definición de com-
plejo simplicial, los llamados complejos simpliciales abstractos, definidos
como cierta familia de subconjuntos finitos de un conjunto arbitrario. Esto
simplificará un poco el planteamiento de las definiciones algebraicas que
usaremos.
En el caṕıtulo 1 se dan las definiciones básicas de categoŕıas y funtores,
aśı como ejemplos de los mismos. En el caṕıtulo 2 se da la teoŕıa básica
de grupos y productos libres, aśı como una pequeña introducción a gru-
pos presentados por generadores y relaciones. El caṕıtulo 3 presenta la
categoŕıa de los complejos simpliciales (abstractos), que serán los bloques
donde se fundamenta la presente tesis. La segunda sección de este caṕıtulo
está destinada a desarrollar las principales propiedades de dos tipos muy
especiales de complejos simpliciales: los árboles y los bosques. En especial,
se demuestra que todo complejo simplicial conexo K tiene un árbol máxi-
mo. En la última sección de este caṕıtulo se define el funtor realización
geométrica que relaciona los complejos simpliciales abstractos con sus pre-
decesores topológicos. Estos tres caṕıtulos constituyen los preliminares de
esta tesis.
La relación más importante entre los complejos simpliciales y la teoŕıa de
grupos se da en el caṕıtulo 4 al definir el grupo fundamental de un complejo
simplicial mediante el uso de trayectorias cerradas en el mismo. Una intro-
ducción alcálculo de grupos fundamentales se da en la segunda sección de
este caṕıtulo, al dotar al grupo fundamental de una presentación en gene-
radores y relaciones que utiliza aristas y árboles máximos. En particular, se
demuestra que el grupo fundamental de un 1-complejo es necesariamente
un grupo libre. El caṕıtulo 5 presenta el concepto de complejo cubriente,
que es el análogo combinatorio del concepto de aplicación cubriente en
topoloǵıa. De hecho, la primera definición de complejo cubriente la da J.
Rotman en el art́ıculo [R2], y realiza algunos ajustes de la misma en el
caṕıtulo 11 de su libro [R1]. La primera sección de este caṕıtulo desarrolla
este concepto, mientras que la segunda se dedica demostrar la existencia
de complejos cubrientes en complejos conexos arbitrarios. En la sección
5.3, se da una interpretación geométrica del ı́ndice del grupo fundamental
usando cardinalidades de fibras.
La parte más bella de la teoŕıa de los complejos cubrientes se presenta
en el caṕıtulo 6. Se desarrolla una teoŕıa con asombrosas similitudes con la
3
teoŕıa de Galois, donde los complejos cubrientes pasan a ser los conceptos
combinatorios análogos a extensiones de campos, pero, como se ve en la
primera sección de este caṕıtulo, esta teoŕıa resulta ser en realidad una
“co-teoŕıa”, pues en vez de inclusiones de campos tenemos proyecciones
cubrientes de complejos simpliciales. La similitud con la teoŕıa de Galois
para campos es tal, que esta co-teoŕıa tiene asimismo un teorema funda-
mental, a cuyo planteamiento y demostración está destinada la sección 6.2.
Esta teoŕıa presenta un segundo puente entre los complejos simpliciales y
la teoŕıa de grupos.
En el último caṕıtulo del presente trabajo se presenta un “puente” en
la dirección contraria. En la sección 7.1, dado un grupo arbitrario, se con-
struye un complejo conexo que lo tiene como grupo fundamental. Este re-
sultado es muy importante porque permite resolver problemas de teoŕıa de
grupos por métodos simpliciales. Como ejemplo del empleo de las técnicas
desarrolladas en los caṕıtulos 4 y 5, se demuestra el teorema de Nielsen-
Schreier que afirma que un subgrupo de un grupo libre es también libre.
Sin embargo, la verdadera fuerza de la teoŕıa de complejos simpliciales
surge al obtener una demostración del teorema de Kurosh sobre subgru-
pos de un producto libre de grupos. Finalmente, en la última sección, se
conjuntan la teoŕıa de complejos cubrientes y la construcción hecha en la
sección 7.1 para obtener algunos resultados adicionales, como por ejemplo
extender a grupos arbitrarios la interpretación geométrica del ı́ndice dada
en la sección 5.3.
Caṕıtulo 1
Conceptos básicos sobre categoŕıas
En este caṕıtulo presentamos las definiciones de categoŕıas y funtores.
Además, revisaremos de manera intuitiva el concepto de diagrama conmu-
tativo y diremos qué se entiende por una propiedad universal. Los conceptos
de “conjunto” y “clase” no se definirán, pero nos bastará saber que todo
conjunto es una clase (pequeña si se quiere) y que hay clases que no son
conjuntos, como las clases de todos los conjuntos, de todos los grupos, espa-
cios topológicos, etc. Intuitivamente las clases son “colecciones” de objetos
(sea lo que sea una “colección”).
§ 1.1 El concepto de categoŕıa
Definición 1.1.1. Una categoŕıa C consiste de lo siguiente:
a) Una clase de objetos que denotaremos Ob C.
b) Para cada par ordenado de objetos A y B, un conjunto HomC(A, B)
cuyos elementos llamaremos morfismos con dominio A y codominio B.
Si f ∈ HomC(A, B), escribiremos f : A → B ó A
f→ B. Nótese que para
que el dominio y el codominio estén bien definidos, necesitamos pedir que
(A, B) �= (C, D) ⇒ Hom(A, B) ∩ Hom(C, D) = ∅.
c) Para toda tripleta ordenada de objetos A, B y C, hay una función que
asigna a cada par de morfismos f : A → B, g : B → C un morfismo, su
composición
gf = g ◦ f : A → C
que satisface los siguientes axiomas:
Asociatividad. Si f : A → B, g : B → C, y h : C → D, entonces
h(gf) = (hg)f : A → D
Identidad. Para todo objeto A, hay un morfismo 1A : A → A tal que si
f : B → A y g : A → C, entonces 1Af = f y g1A = g.
5
6 Conceptos básicos sobre categoŕıas
Observaciones 1.1.2.
(1) Sólo se necesita que HomC(A, B) sea conjunto, en particular es
posible que HomC(A, B) = ∅ para algunos objetos A y B. Empero, el
axioma de identidad asegura siempre que HomC(A, A) �= ∅.
(2) Aunque hayamos denotado a los elementos de HomC(A, B) como
funciones, no es necesario que lo sean, puesto que A y B no están obligados
a ser conjuntos. En los ejemplos veremos una categoŕıa cuyos morfismos
no son funciones (aunque A y B śı serán conjuntos)
(3) El morfismo asegurado en el axioma de identidad es único, pues si
existiera otro morfismo tal, digamos 1′A, se tendŕıa que 1A = 1A1
′
A = 1
′
A.
A este morfismo único se le llama el morfismo identidad de A.
(4) Si la clase de objetos es un conjunto, la categoŕıa se llama pequeña .
Como sucede en varios tipos de estructuras, como por ejemplo en grupos
o en espacios vectoriales, las categoŕıas también tienen subestructuras. De-
cimos que C ′ es un subcategoŕıa de una categoŕıa C si
(i) Los objetos de C ′ son objetos de C, o abusando del lenguaje
Ob C ′ ⊆ Ob C.
(ii) Para todo par de objetos A y B en Ob C ′, HomC′(A, B) es un
subconjunto de HomC(A, B).
(iii) La composición de cualesquiera dos morfismos en C ′ es la misma
que la composición de morfismos en C.
(iv) Para todo A en Ob C ′, 1A en la categoŕıa C ′ es el mismo que en la
categoŕıa C.
En caso de que HomC′(A, B) = HomC(A, B) para cualesquiera objetos A
y B de C ′, decimos que C ′ es una subcategoŕıa plena de C.
Ejemplos 1.1.3.
1 La categoŕıa Set de los conjuntos, donde Ob Set consta de todos los
conjuntos, los morfismos entre dos conjuntos A y B son las funciones entre
ellos y la regla de composición es la composición de funciones. Esta cate-
goŕıa tiene como subcategoŕıa plena a la categoŕıa Setfin de los conjuntos
finitos.
2 Otra categoŕıa que se obtiene de Set es la categoŕıa de los “conjuntos
punteados”, Set∗, cuyos objetos son conjuntos con un “punto básico”, esto
es, parejas de la forma (A, a) donde A es conjunto y a ∈ A, y los morfismos
son las funciones que mandan el punto básico en el punto básico, o bien
expresado en śımbolos f ∈ Hom((A, a), (B, b)) si y sólo si f es una función
f : A → B, con f(a) = b. Esto último se denota abreviadamente como
f : (A, a) → (B, b).
3 La categoŕıa de los espacios topológicos, Top, dónde los objetos son
espacios topológicos, los morfismos las funciones continuas y la regla de
§ 1.1 El concepto de categoŕıa 7
composición la composición de funciones (pues composición de continuas
es continua y la identidad es continua).
De la misma manera que en la categoŕıa anterior, existe una categoŕıa
Top∗ llamada categoŕıa de los espacios topológicos punteados, donde
sus objetos son espacios topológicos junto con un punto básico, y los mor-
fismos son funciones continuas que mandan al punto básico en el punto
básico.
4 La categoŕıa de los grupos, Grp, cuyos objetos son grupos, los mor-
fismos son los homomorfismos y la regla de composición la composición de
funciones. Esta categoŕıa cuenta con una subcategoŕıa, Ab, de los grupos
abelianos, que de hecho es plena pues los homomorfismos entre dos grupos
abelianos coinciden con los homomorfismos de grupos que hay entre ellos.
5 Sea X un conjunto no vaćıo con un orden parcial ≤ (i.e. una relación
en los elementos de X que es reflexiva y transitiva). Sea C la categoŕıa con
Ob C = X, con morfismos para dos objetos x, x′ ∈ X
HomC(x, x
′) =
⎧⎨⎩ {(x, x
′)} si x ≤ x′,
∅ si x �≤ x′,
y regla de composición definida sólo cuando tres objetos cumplen que x ≤
x′ ≤ x′′ (pues se necesita que HomC(x, x′), HomC(x′, x′′) sean no vaćıos
para que tenga sentido tomar un morfismo en ellos) dada como sigue: Si
f = (x, x′) : x → x′, g = (x′, x′′) : x′ → x′′, es decir, x ≤ x′y x′ ≤ x′′
respectivamente, definimos gf = (x, x′′) : x → x′′, que está bien definida
pues por la transitividad x ≤ x′′. Cumple trivialmente la asociatividad
cuando está definido (para cuatro objetos x, x′, x′′, x′′′ ∈ X con x ≤ x′ ≤
x′′ ≤ x′′′), y el morfismo identidad para un objeto x ∈ X es 1x = (x, x)
y cumple que si x′, x′′ ∈ X con x′ ≤ x ≤ x′′ y f = (x′, x) : x′ → x,
g = (x, x′′) : x → x′′, entonces f1x = (x′, x) = f y 1xg = (x, x′′) = g.
Nótese que en esta categoŕıa los morfismos no son funciones de un objeto
x en otro objeto x′, y que al ser X conjunto, C es una categoŕıa pequeña.
6 Sea S un semigrupo con unidad e, y sea A un objeto arbitrario en
cualquier clase. Definimos C con Ob C = {A}, i.e., hay un sólo objeto; para
los morfismos hacemos HomC(A, A) = S, esto es, los morfismos son los
elementos de S; para la regla de composición tomamos el producto dado
en S. Ésta es en efecto una categoŕıa pues primeramente S es un conjunto,
la regla de composición es asociativa por ser el producto en un semigrupo
asociativo por definición, y finalmente al tener unidad, si hacemos 1A = e,
trivialmente se cumple el axioma de identidad. Observemos que si A es
conjunto, C es una categoŕıa pequeña, y que HomC(A, A) no necesariamente
es un conjunto de funciones.�
8 Conceptos básicos sobre categoŕıas
Hay ciertos morfismos especiales que debemos tomar en cuenta. Sea f :
A → B un morfismo, decimos que tiene inversa izquierda si existe un
morfismo g : B → A tal que gf = 1A; de la misma manera decimos que f
tiene inversa derecha si existe un morfismo h : B → A tal que fh = 1B.
De hecho, de existir ambas inversas g y h, éstas son iguales; en efecto,
gracias a la asociatividad se tiene
g = g1B = g(fh) = (gf)h = 1Ah = h,
de manera que podemos hablar de una inversa , denotada por f−1 : B →
A. Notemos que si f fuera una función entre conjuntos no vaćıos, el decir
que tiene inversa izquierda es equivalente a decir que es inyectiva, y el
decir que tiene inversa derecha es equivalente a decir que es suprayectiva.
Entonces podemos sospechar que hay una especie de “biyectividad” gene-
ralizada para un morfismo cuando exista una inversa bilateral. Tenemos la
siguiente
Definición 1.1.4. Dados dos objetos A y B de una categorá C, un morfis-
mo f : A → B es un isomorfismo, denotado f : A ≈ B, si f tiene inversa
bilateral. Decimos entonces que A y B son isomorfos, escrito como A ≈ B
si hay un isomorfismo entre ellos.
Hay que hacer notar que si f : A → B es isomorfismo, entonces la inversa
f−1 también es isomorfismo con f misma como inversa bilateral. Además,
la composición de isomorfismos es claramente isomorfismo, y la identidad
de un objeto A es asimismo un isomorfismo con inversa la misma identidad.
Entonces podemos hacer una especie de “relación” de equivalencia en la
clase Ob C (será relación en caso de que la clase sea conjunto) dada como
A relacionado con B si y sólo si A ≈ B. Si en una categoŕıa C podemos
tomar un representante de cada clase de isomorfismos, podemos formar una
subcategoŕıa plena con ellos, conocida como esqueleto de la categoŕıa
C. Sin embargo, cabe resaltar que si estamos tratando con clases propias
y no con conjuntos, no contamos con el axioma de elección para tomar
representantes de las clases de isomorfismos, por lo cual, esta construcción
no siempre es posible.
Ejemplos 1.1.5.
1 En la categoŕıa Set los isomorfismos son las funciones biyectivas. Un
esqueleto de esta categoŕıa es la subcategoŕıa de los cardinales, ya que cada
clase de conjuntos isomorfos consta de todos los conjuntos de la misma
cardinalidad y el cardinal correspondiente está en dicha clase.
2 Los homeomorfismos son los isomorfismos en la categoŕıa de espacios
topológicos. Si podemos tomar un representante de cada clase de objetos
homeomorfos, podemos formar un esqueleto en el cual si A �= B, entonces
§ 1.2 Funtores 9
A no es homeomorfo a B. Sin embargo, no es claro cómo tomar un repre-
sentante (y sólo uno) de cada una de estas clases.
3 Los isomorfismos en la categoŕıa Grp son precisamente los isomorfis-
mos de grupos. De la misma forma que en el ejemplo anterior, un esqueleto
de la categoŕıa de grupos constaŕıa de un grupo de cada clase de isomor-
fismos, por lo que dados dos objetos A y B de esta subcategoŕıa, A �= B
implica que A no es isomorfo a B. De nueva cuenta, no es para nada
claro cómo tomar representantes de las clases de isomorfismos. De hecho,
el clasificar a todos los grupos es un problema extremadamente complicado
y sólo tiene resultados parciales, como por ejemplo el teorema fundamen-
tal de grupos abelianos finitamente generados (ver [F] caṕıtulo 7, o [R1]
caṕıtulo 10).�
Otro concepto importante en categoŕıas es el de dualidad. Dada una
categoŕıa C, definimos su categoŕıa dual, Cop, con Ob Cop = Ob C, donde
si A es un objeto en C, Aop = A denotará al correspondiente objeto en
Cop; los morfismos f op de Cop son morfismos que están en correspondencia
biyectiva con los morfismos f de C, de modo que a cada f : A → B le
corresponde un morfismo f op : B = Bop → A = Aop y a las identidades
les corresponden identidades. En otras palabras, f op revierte la dirección
de f , HomCop(B
op, Aop) = HomC(A, B) y 1A 
→ 1Aop para todo objeto A.
Finalmente la composición de morfismos, ◦op, está dada por
f op ◦op gop = (gf)op.
Se suele identificar (Cop)op = C, (Aop)op = A y (f op)op = f . Muchas ve-
ces estaremos interesados en saber si existe un concepto dual a alguna
definición, o un resultado dual a algún teorema, es decir, si tiene senti-
do considerar la definición o el teorema “revirtiendo flechas”. Este será el
caso con algunos conceptos que veremos en la siguiente sección y con la
definición de producto libre que abordaremos en el caṕıtulo 2.
§ 1.2 Funtores
Una vez definido el concepto de categoŕıa, observamos que en realidad
son clases con una cierta estructura, aśı como los grupos son conjuntos con
estructura algebraica, los espacios topológicos son conjuntos con estruc-
tura, etc. Entonces, aśı como hay homomorfismos entre grupos, funciones
continuas entre espacios topológicos, y homomorfismos entre semigrupos,
que preservan las estructuras definidas, uno podŕıa pensar en una especie
de correspondencia que conservara la “estructura” de categoŕıa, i.e. que re-
spetara flechas, composiciones de morfismos e identidades. Llegamos aśı al
siguiente concepto.
Definición 1.2.1. Sean C y C ′ categoŕıas. Un funtor covariante F :
C → C′ es una correspondencia que satisface:
10 Conceptos básicos sobre categoŕıas
(i) A cada objeto A en C le corresponde un objeto FA en C ′;
(ii) A cada morfismo f : A → B en C le corresponde un morfismo
Ff : FA → FB en C ′;
(iii) Si se tiene que A
f→ B g→ C en C, entonces F (gf) = FgFf en C ′;
(iv) F (1A) = 1FA para todo A en Ob C.
Tenemos inmediatamente el siguiente resultado.
Proposición 1.2.2. Sea F : C → C′ un funtor covariante. Si f : A → B
es isomorfismo entonces Ff también lo es.
Demostración. Si g : B → A es inversa bilateral, fg = 1B y gf = 1A,
entonces aplicando F se obtiene que FfFg = F (1B) = 1FB y FgFf =
F (1A) = 1FA, aśı Fg es la inversa bilateral de Ff , y consecuentemente
este último es isomorfismo. �
Dada la definición de funtor covariante, tenemos su definición dual, como
un funtor que “invierte flechas”.
Definición 1.2.3. Sean C y C ′ categoŕıas. Un funtor contravariante
F : C → C′ es una correspondencia que satisface:
(i) A cada objeto A en C le corresponde un objeto FA en C ′;
(ii) A cada morfismo f : A → B en C le corresponde un morfismo
Ff : FB → FA en C ′;
(iii) Si se tiene que A
f→ B g→ C en C, entonces F (gf) = FfFg en C ′;
(iv) F (1A) = 1FA para todo A en Ob C.
En otras palabras, un funtor contravariante F : C → C′ es un funtor
covariante F : Cop → C ′
Análogamente a la proposición anterior se tiene que si f : A → B es
isomorfismo y F : C → C ′ es funtor contravariante, entonces Ff : FB →
FA también es isomorfismo.
Ejemplos 1.2.4.
1 Definimos F : Grp→ Set, como F (G) = G, con G visto como el con-
junto subyacente, esto es, el conjunto sin estructura de grupo, y Ff = f
visto sólo como función. Por definición, esta asignación conserva la com-
posición pues en ambas categoŕıas Grp y Set la composición de morfismos
es la composición de funciones, manda la identidad en la identidad, y con-
serva la dirección de las flechas por lo que se trata de un funtor covariante.
Este funtor se llama el funtor que olvida . De manera análoga podemos
definir un funtor que olvida F : Top → Set, pidiendo que F “olvide” la
estructura de espacio topológico y de función continua.
2 Fijemos un objeto A en una categoŕıa C. Como para todo objeto B
en C, HomC(A, B) es conjunto, podemos definir un funtor covariante F =
Hom(A, ) : C → Set de la siguiente forma:
§ 1.3 Diagramas 11
(i) FB = HomC(A, B)
(ii) Si g : B → C, definimos Fg : HomC(A, B) → HomC(A, C) con la
regla f 
→ gf .
Esto hace de F un funtor covariante, ya que en efecto si B
g→ C h→ D,
entonces para todo f ∈ Hom(A, B) se tiene
F (hg)(f) = (hg)f = h(gf) = F (h)(gf) = F (h)(F (g)(f)) = (F (h)F (g)) (f),
y F (hg) = F (h)F (g); mientras que por otra parte, si f ∈ HomC(A, A),
F1A(f) = 1Af = f = 1FA(f), y de aqúı que F1A = 1FA.
3 Fijemos ahora B en C. La correspondencia F : C → Set dada por:
(i) FA = HomC(A, B)
(ii) Si f : A → A′, definimos Ff : HomC(A′, B) → HomC(A, B) con la
regla h 
→ hf .
De manera enteramente análoga al ejemplo anterior se prueba que F es
un funtor contravariante.
4 Para cualquier categoŕıa C hay un funtor contravariante F : C → Cop
que asigna a cada objeto A de C el objeto Aop de Cop, y a cada morfismo
f : A → B le asigna el morfismo f op : Bop → Aop.�
§ 1.3 Diagramas
Como los objetos y los morfismos se pueden visualizar como puntos y
flechas de un punto a otro, · → ·, los usaremos frecuentemente como dia-
gramas que nos servirán para ilustrar ciertas propiedades. Decimos que un
diagrama de objetos y flechas (morfismos) en una categoŕıa C conmuta
(o es conmutativo), si la composición de morfismos es independiente del
camino que se tome. Por ejemplo, el siguiente diagrama
A
f ��
g
��
B
i
��
j �� C
k����
��
��
�
D
h
�� E
conmuta si if = hg y si kj = i (esta última igualdad suele indicarse dicien-
do que el triángulo conmuta). En otros términos, podemos tomar cualquier
camino indicado por las flechas y componerlas obteniendo al final el mis-
mo morfismo. Algunas veces presentaremos problemas usando únicamente
propiedades ejemplificadas en diagramas para una cierta categoŕıa, donde
tendremos que buscar morfismos que hagan conmutar algún diagrama, por
ejemplo, dado el diagrama conmutativo
A
f ��
h
��
B
g
��
C
k
�� D
12 Conceptos básicos sobre categoŕıas
nos gustaŕıa encontrar un morfismo j : C → B tal que todo conmute, es
decir, tal que jh = f y que gj = k. Esta solución la expresaremos usando
una flecha punteada en el diagrama:
A
f ��
h
��
B
g
��
C
j
���
�
�
�
k
�� D
En algunas secciones de la presente tesis se presentan definiciones y pro-
piedades de algunos objetos junto con morfismos en las cuales se asegura
la existencia de un único morfismo que haga conmutar un diagrama o una
colección etiquetada de diagramas. En tales casos nos referiremos a tales
propiedades como propiedades universales. Veremos varios ejemplos
como la propiedad universal del producto libre o la del del grupo libre de
que se verán en el siguiente caṕıtulo, o la propiedad universal del complejo
cociente junto con su proyección natural que se verá en el caṕıtulo 3.
Caṕıtulo 2
Grupos libres y productos libres
Una de las categoŕıas con las que trataremos durante el desarrollo de la
presente tesis es la de los grupos, Grp. En este caṕıtulo se presentaran tópi-
cos que normalmente no se ven en un primer curso de álgebra moderna.
Primeramente se estudiará el concepto de producto libre definido mediante
una propiedad universal; a partir de él se definirá el concepto de grupo li-
bre como un caso especial de producto libre y por último se estudiará la
presentación de un grupo por generadores y relaciones. Para esto, se supon-
drán conocidos los conceptos de grupo, subgrupo, subgrupo normal, grupo
cociente, grupo generado por un subconjunto de un grupo, grupo ćıclico,
subgrupo conmutador y los teoremas de isomorfismo, aśı como productos
directos y la teoŕıa básica de grupos abelianos, principalmente sumas di-
rectas de grupos abelianos y la teoŕıa de grupos abelianos libres. Todos
estos tópicos son generalmente abordados en un primer curso de álgebra
moderna a nivel licenciatura. Como bibliograf́ıa básica sobre estos temas
se recomiendan [F] y [R1].
§ 2.1 Productos libres
En esta primera sección se estudiará una manera de construir un grupo
que tenga como algunos de sus subgrupos una familia arbitraria de grupos
dados, y que resultará ser dual al producto directo en la categoŕıa Grp.
Presentamos la definición como propiedad universal.
Definición 2.1.1. Sea {Ai | i ∈ I} una familia arbitraria de grupos. Un
producto libre de la familia {Ai}i∈I , es un grupo P y una familia de
homomorfismos ji : Ai → P , i ∈ I, tal que para todo grupo G y toda
familia de homomorfismos fi : Ai → G existe un único homomorfismo
ϕ : P → G con ϕji = fi para toda i ∈ I. Es decir, existe una única
13
14 Grupos libres y productos libres
ϕ : P → G tal que el diagrama
P
∃!ϕ
���
�
�
Ai
fi
��
ji
���������
G
conmuta para toda i ∈ I.
Observación 2. 1.2. En la teoŕıa de categoŕıas se tiene el concepto de
suma o coproducto de una familia de objetos {Ai | i ∈ I}, definido como
un objeto A junto con una familia de morfismos {ji : Ai → A}i∈I , llamados
inclusiones, tales que para cualquier otro objeto A′ de la categoŕıa y
una familia de morfismos {fi : Ai → A′}i∈I , existe un único morfismo
ϕ : A → A′ tal que ϕji = fi.
Aśı, el producto libre no es otra cosa más que el coproducto de la familia
{Ai | i ∈ I} en la categoŕıa Grp.
Dos consecuencias inmediatas de la definición son los siguientes resulta-
dos.
Proposición 2.1.3. Sea P el producto libre de {Ai | i ∈ I}. Luego, para
toda i ∈ I, los homomorfismos ji : Ai → P son monomorfismos.
Demostración. Bastará probar que existe un homomorfismo ϕi : P →
Ai tal que ϕiji = 1Ai . Para ello, consideremos i ∈ I fijo, y sean G = Ai
y {fk : Ak → Ai | k ∈ I} la familia de homomorfismos donde fk = 1Ai
si k = i, y fk es el homomorfismo trivial (que manda todo al neutro de
Ai) si k �= i. La definición del producto libre P nos asegura entonces la
existencia de un único homomorfismo
ϕi : P → Ai tal que ϕijk = fk
para toda k ∈ I. En especial, se cumple para k = i que
ϕiji = fi = 1Ai
como se queŕıa. �
Proposición 2.1.4. Sea {Ai | i ∈ I} una familia de grupos. Entonces
el producto libre es único salvo isomorfismo, es decir, si existen grupos P
y Q con familias de homomorfismos {ji : Ai → P | i ∈ I}, {ki : Ai →
Q | i ∈ I} respectivamente, que satisfacen la definición de producto libre,
entonces existe un único isomorfismo ϕ : P → Q tal que ϕji = ki para
toda i ∈ I.
Demostración. Consideremos P y Q grupos y familias de homomorfis-
mos {ji : Ai → P | i ∈ I}, {ki : Ai → Q; i ∈ I} de manera que sean dos
productos libres de la familia de grupos {Ai}i∈I .
§ 2.1 Productos libres 15
De la definición de producto libre para P junto con los morfismos ji,
tomando G = Q y fi = ki, obtenemos un único homomorfismo
ϕ : P → Q, tal que ϕji = ki, para toda i ∈ I,
es decir, tal que el diagrama,
P
ϕ
���
�
�
Ai
ki
��
ji
���������
Q
conmuta para toda i ∈ I. De la misma manera, usando ahora que Q junto
con los morfismos ki son un producto libre de la misma familia, se asegura
la existencia de un único homomorfismo
ψ : Q → P
tal que para toda i ∈ I se cumple que
ψki = ji.
Mostremos que ϕ y ψ son isomorfismos inversos.
Para ello consideremos el siguiente diagrama:
P
ψϕ, 1P
��
Ai ji
��
ji
���������
P
Observemos que tanto 1P como ψϕ lo hacen conmutar ya que ψϕji =
ψ(ϕji) = ψki = ji. Luego, porla propiedad universal del producto libre
usada ahora con G = P y las propias ji : Ai → P , se sigue de la unicidad del
homomorfismo que hace conmutar al diagrama que ψϕ = 1P . Procediendo
de manera análoga se obtiene que ϕψ = 1Q. Por lo tanto, P ∼= Q con un
(único) isomorfismo ϕ : P → Q tal que ϕji = ki para toda i ∈ I. �
Entonces podemos hablar sin problema de “el producto libre”, en vez de
“un producto libre” para {Ai | i ∈ I}.
Notación 2.1.5. Al grupo P se le denota como P = ∗
i∈I
Ai. En lo sucesivo
nos referiremos a P como un producto libre, considerándolo como el grupo
junto con la familia de morfismos correspondiente.
La definición de producto libre es categórica y de ella no es inmediato dar
ejemplos. Además, notemos que la definición no dice nada sobre la exis-
tencia del producto libre dada una familia arbitraria de grupos {Ai}i∈I . El
siguiente teorema asegura dicha existencia, y de paso, usando la proposi-
ción anterior, sabremos cómo son todos los productos libres, de lo cual
quedará impĺıcito que hay una enorme cantidad de ejemplos.
16 Grupos libres y productos libres
Teorema 2.1.6. Dada {Ai}i∈I una familia arbitraria de grupos, su pro-
ducto libre existe.
Demostración. Vamos a construir el producto libre. Para ello, definimos
una palabra, con alfabeto la unión ajena de los grupos Ai, como una
sucesión finita
(x1, x2, . . . , xn)
donde cada xi pertenece a alguno de los grupos Ai, cualesquiera dos térmi-
nos consecutivos pertenecen a diferentes grupos (i.e., si xk ∈ Ai para alguna
i ∈ I, entonces xk−1, xk+1 /∈ Ai), y ningún término de la sucesión es el
elemento neutro de los grupos Ai. Al entero n se le llama la longitud de
la palabra. Definimos además la palabra vaćıa como la única palabra de
longitud 0, y la denotamos como ( ). Sea W el conjunto de tales palabras
(incluyendo la palabra vaćıa).
Fijemos i ∈ I. Sea 1i el neutro de Ai. Para g ∈ Ai, definimos una función
g : W → W
dada por
g(x1, x2, . . .) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
(x1, x2, . . . , xn) si g = 1i
(g, x1, x2, . . . , xn) si g �= 1i y x1 /∈ Ai
(gx1, x2, . . . , xn) si g �= 1i, x1 ∈ Ai y gx1 �= 1i
(x2, . . . , xn) si g �= 1i, x1 ∈ Ai y gx1 = 1i
En particular, g( ) = (g) si g �= 1i y g(x1) = ( ) si gx1 = 1i.
Nótese que ésta función está bien definida, pues está dada de forma
que no aparezcan los neutros de los grupos Ai, y de forma que elementos
consecutivos de la sucesión estén en grupos distintos, por lo que manda
palabras en palabras.
Tenemos que para cada g ∈ Ai, la función g es biyectiva. Primero, si
g = 1i, es claro que 1i = 1W . Ahora, dada g : W → W definida a partir
de g ∈ Ai, g �= 1i, existe h : W → W donde h �= 1i ∈ Ai es el inverso de
g tal que g ◦ h = 1W = h ◦ g. Para mostrar que h ◦ g = 1W , consideremos
(x1, x2, . . . , xn) ∈ W ; se presentan tres posibilidades:
(1) Si x1 /∈ Ai, luego
h ◦ g(x1, . . . , xn) = h(g, x1, . . . , xn)
= (x1, x2, . . . , xn)
donde la última igualdad se da al estar g ∈ Ai, y hg = 1i.
(2) Si x1 ∈ Ai y gx1 �= 1i, entonces
h ◦ g(x1, . . . , xn) = h(gx1, x2, . . . , xn)
= (x1, . . . , xn)
ya que h(gx1) = 1ix1 = x1 �= 1i.
§ 2.1 Productos libres 17
(3) Si x1 ∈ Ai y gx1 = 1i, la unicidad del inverso de g implica que
x1 = h, por lo cual
h ◦ g(x1, x2, . . . , xn) = h(x2, . . . , xn)
= (h, x2, . . . , xn)
= (x1, . . . , xn)
puesto que x2 /∈ Ai y x1 = h.
Aśı, h ◦ g = 1W . De manera análoga se prueba que g ◦ h = 1W . Por
tanto, para cada g ∈ Ai, la función g es una biyección del conjunto W
en śı mismo. Esto implica que la asignación ji : g 
→ g del grupo Ai
en el grupo de permutaciones de W , SW , está bien definida. Más aún, la
asignación es inyectiva, pues si g = h, al aplicar estas funciones a la palabra
vaćıa se obtiene g() = (g) = (h) = h(), y por la igualdad en sucesiones
se sigue que h = g. De hecho ji es un homomorfismo de grupos, pues
se muestra fácilmente (por casos) que gh = g ◦ h para todo g, h ∈ Ai.
Consecuentemente, para cada i ∈ I, ji : Ai → SW es una inclusión, por lo
que existe un subgrupo de SW que es una copia isomorfa de Ai, a saber
ji(Ai). Podemos entonces considerar el grupo
P =
〈⋃
i∈I
ji(Ai)
〉
≤ SW ,
es decir, el subgrupo de SW generado por la unión de los grupos ji(Ai).
Mostremos que P junto con la familia de homomorfismos {ji : Ai → P |
i ∈ I} es el producto libre de la familia {Ai | i ∈ I}, para lo cual tenemos
que mostrar que tiene la propiedad universal de la definición 2.1.1.
Para tal efecto, veamos que todo elemento g ∈ P , g �= 1, tiene una única
representación de la forma
g = x1 ◦ x2 ◦ · · · ◦ xn
de modo que la sucesión (x1, x2, . . . , xn) esté en W , es decir, que cada xi
está en algún Ai, dos xi consecutivos están en distintos grupos Ai, y cada
xi es distinto del neutro de Aj, para toda j ∈ I.
Sea g �= 1 en P ; al ser P subgrupo del grupo SW , se tiene que g es una
permutación de W , y al mismo tiempo, g = y1 ◦ y2 ◦ . . . ◦ ym donde cada
yk es una permutación de W que está en algún ji(Ai) ∼= Ai, ya que P
es el subgrupo generado por la unión de estos grupos. Podemos reducir
aún más la expresión de g, eliminando yk del producto si yk = 1W , y
agrupando yk’s consecutivos que estén en el mismo subgrupo ji(Ai), i.e.,
si tenemos que en la expresión ocurre la aparición de yk1 ◦ yk2 ◦ · · · ◦ ykr
de modo que ykj ∈ ji(Ai) para toda j = 1, 2, . . . , r, lo sustituimos por
xk = yk1 ◦ yk2 ◦ · · · ◦ ykr ∈ ji(Ai). De esta manera, escribimos en forma
18 Grupos libres y productos libres
reducida
g = x1 ◦ x2 ◦ · · · ◦ xn
con n ≤ m, y para cada k = 1, · · · , n, xk �= 1W , xk ∈ ji(Ai) para alguna
i ∈ I, y xk’s consecutivas están en diferentes grupos ji(Ai). Como para
toda i ∈ I, ji : Ai → ji(Ai) es isomorfismo, dado xk ∈ ji(Ai), existe un
elemento xk �= 1i ∈ Ai tal que xk 
→ xk bajo ji, por lo que si el producto
x1 ◦ . . . ◦ xn cumple las condiciones dadas arriba, (x1, x2, . . . , xn) es una
palabra en W y g tiene la representación deseada.
Para verificar que esta expresión es única, observemos que podemos e-
valuar g = x1 ◦ x2 ◦ · · · ◦ xn en g( ) por ser ésta una permutación de W . Si
g = x1 ◦ x2, puesto que el producto de SW es la composición de funciones,
se tiene que
g( ) = x1x2( ) = x1(x1) = (x1, x2)
ya que x1 y x2 pertenecen a distintos ji(Ai), lo que implica que x1 y x2 están
en distintos Ai. Por inducción se sigue fácilmente que si g = x1◦x2◦· · ·◦xn,
entonces
g( ) = (x1, x2, . . . , xn).
De aqúı que si g = y1 ◦ y2 ◦ · · · ◦ ym es otra representación de g tal
que (y1, y2, . . . , ym) ∈ W , g( ) = (y1, y2, . . . , ym) y (y1, y2, . . . , ym) =
(x1, x2, . . . , xn), por lo que la igualdad de sucesiones nos asegura que n =
m, y que xi = yi para toda i = 1, . . . , n, concluyendo que xi = yi y que la
expresión es única.
Ahora ya es fácil probar que P es el producto libre de la familia {Ai}i∈I .
Sean G un grupo y {fi : Ai → G | i ∈ I} una familia de homomorfismos.
Definimos un homomorfismo ϕ : P → G de la siguiente manera:
Dado g ∈ P , g �= 1, expresado como
g = x1 ◦ · · · ◦ xn, xk ∈ Aik , 1 ≤ k ≤ n,
hacemos
ϕ(g) = fi1(x1)fi2(x2) · · · fin(xn),
y para g = 1,
ϕ(1) = 1.
Ésta es una función bien definida por la unicidad de la descomposición
de g, y es un homomorfismo por definición de la multiplicación de P y
porque para cada i ∈ I fi es homomorfismo. Además, para cada i ∈ I, si
xi ∈ Ai,
ϕ(ji(xi)) = ϕ(xi) = fi(xi),
§ 2.2 Grupos libres 19
es decir, ϕ hace conmutar el diagrama
P
ϕ
���
�
�
Ai
fi
��
ji
����������
G.
Finalmente para ver que este homomorfismo es el único que hace con-
mutar el diagrama, notemos que si ϕ′ : P → G es otro homomorfismo tal,
para cada i ∈ I y para cualquier xi ∈ Ai se tiene que
ϕ′(xi) = fi(xi) = ϕ(xi),
y la escritura única de un elemento g ∈ P como producto de los xk’s implica
que ϕ = ϕ′. Aśı, P junto con la familia de homomorfismos ji : Ai → P ,
i ∈ I es el producto libre de {Ai | i ∈ I}. �
Resaltemos, con notación más relajada, cómo son los elementos del pro-
ducto libre y como es el homomorfismo único construido,estableciéndolos
como corolarios.
Corolario 2.1.7. Si g ∈ ∗
i∈I
Ai, g �= 1, entonces g se factoriza de manera
única como
g = x1x2 · · ·xn,
donde factores adyacentes yacen en distintos grupos Ai, xi �= 1i para toda
i ∈ {1, 2 . . . n} y n ∈ N.
Demostración. Ya visto en el teorema, sólo hay que observar que pode-
mos tomar los xk en vez de xk por ser jiAi ∼= Ai para cada i ∈ I. �
Corolario 2.1.8. Sean G = ∗
i∈I
Ai junto con la familia de homomorfismos
{ji : Ai → G | i ∈ I} el producto libre de la familia de grupos {Ai}i∈I,
H un grupo y {fi : Ai → H}i∈I una familia de homomorfismos. Entonces
el único homomorfismo ϕ : G → H tal que ϕji = fi para cada i ∈ I,
está dado de la siguiente manera: dado g = x1x2 · · ·xn ∈ G = ∗
i∈I
Ai con
xk ∈ Aik ,
ϕ(g) = fi1(x1)fi2(x2) · · · fin(xn).�
Observación 2. 1.9. Si Card I ≥ 2, entonces ∗
i∈I
Ai no es conmutativo,
ya que si x1, x2 yacen en grupos distintos, x1x2 �= x2x1 por la unicidad de
la escritura. Nótese que esto pasa incluso si los grupos Ai son abelianos.
En la siguiente sección veremos un ejemplo muy importante de produc-
to libre: los grupos libres. Con estos definiremos el concepto de grupos
presentados por generadores y relaciones, que es una herramienta que nos
permitirá manipular los elementos de algunos grupos con mayor facilidad.
20 Grupos libres y productos libres
§ 2.2 Grupos libres
Por razones didácticas, no daremos la definición de un grupo libre como
un caso particular de producto libre, sino que lo definiremos por medio
de una propiedad universal y luego lo construiremos. Concluiremos descri-
biendo cómo deben ser todos los grupos libres.
La idea detrás de un grupo libre, es la de construir a partir de cualquier
conjunto un grupo, de manera que sus elementos formen una especie de
“base” que lo genere. Esto se asemeja al concepto de base en los espacios
vectoriales. Formalmente lo expresamos como sigue.
Definición 2.2.1. Sea F un grupo y X un subconjunto de F . Se dice que
F es un grupo libre con base X, si para todo grupo G y toda función
f : X → G (de conjuntos), existe un único homomorfismo ϕ : F → G
que extiende f , es decir, si i : X ↪→ F es la función inclusión, entonces
ϕ|X = ϕi = f . O bien en un diagrama conmutativo:
F
∃ ! ϕ
���
�
�
�
X
��
i
��
f �� G
Obsérvese que ésta es una definición que apela a una propiedad uni-
versal, por lo que no es clara siquiera la existencia de los grupos libres,
aunque, de existir, estos serán únicos como lo veremos más adelante. Tam-
bién observemos que con esta definición, los homomorfismos que salen de
un grupo libre se comportan como las transformaciones lineales que salen
de un espacio vectorial a otro: basta definirlas en la base para asegurar
una (única) transformación lineal. Aśı, para definir un homomorfismo que
sale de un grupo libre, basta definirlo en la base.
Pasemos a la justificación de la existencia de grupos libres.
Teorema 2. 2.2. Dado un conjunto arbitrario X �= ∅, existe un grupo
libre F tal que tiene a X como base.
Demostración. Sea X un conjunto no vaćıo y consideremos para cada
x ∈ X el grupo Ax = 〈x〉, es decir, el grupo ćıclico infinito generado por x
(o sea, Ax ∼= Z, con Z el grupo de los enteros con la suma). Sea
F = ∗
x∈X
Ax
el producto libre de la familia de grupos ćıclicos infinitos {Ax | x ∈ X},
considerándolo junto con la familia de monomorfismos {jx | x ∈ X}. Afir-
mamos que F es libre con base X ⊆ F .
Sea G un grupo arbitrario y sea f : X → G una función. Queremos
encontrar un único homomorfismo ϕ : F → G que haga conmutar el
§ 2.2 Grupos libres 21
diagrama
F
ϕ
���
�
�
�
X
��
i
��
f �� G
.
Para ello, notemos que un elemento en Ax es de la forma x
n para algún
n ∈ Z; de aqúı que, para cada x ∈ X, la función fx : Ax → G dada por
fx(x) = f(x) determine un homomorfismo que satisface
fx(x
n) = f(x)n.
Luego, considerando la familia de homomorfismos {fx : Ax → G | x ∈ X},
la propiedad universal del producto libre F nos asegura la existencia de un
único homomorfismo ϕ : F → G tal que para cada x ∈ X conmutan los
diagramas
F
ϕ
���
�
�
Ax
fx
��
� �
jx
����������
G,
por lo cual, para cada x ∈ X
ϕ(x) = ϕjx(x) = fx(x) = f(x),
y ϕ es un homomorfismo que extiende a f .
Para ver que es el único homomorfismo que extiende a f , recordemos
que el corolario 2.1.7 nos asegura la escritura única de los elementos g ∈ F
como g = y1y2 · · · yn, con yk ∈ Axk , yk �= 1xk , y yk adyacentes pertenecen
a distintos grupos. Ahora bien, como cada grupo Ax es ćıclico infinito,
cada yk es una potencia de xk ∈ X y g se escribe de manera única como
g = xm11 x
m2
2 · · ·xmnn con xk ∈ X, mk ∈ Z, mk �= 0.
De esta manera, si ϕ′ : F → G es otro homomorfismo que extiende a f ,
para cada x ∈ X se cumple que
ϕ′(x) = f(x) = ϕ(x),
y al ser ambos homomorfismos, se cumple a su vez que
ϕ′(xn) = f(x)n = ϕ(xn),
por lo que la escritura única de los elementos de F implica finalmente que
ϕ′ = ϕ y que F es un grupo libre con base X. �
Observaciones 2.2.3.
(1) El grupo libre con base X construido en el teorema no es más que
el producto libre de Z tantas veces como elementos hay en X, escribiendo
a Z como grupo multiplicativo. En otras palabras, F ∼= ∗
x∈X
Z.
22 Grupos libres y productos libres
(2) Si X tiene un solo elemento, F es un grupo ćıclico infinito, i.e
F ∼= Z.
(3) Si Card(X) ≥ 2, el grupo libre F construido en el teorema no es
abeliano, según lo observado en 2.1.9.
(4) Por lo visto en la demostración, todo elemento del grupo libre cons-
truido en el teorema anterior se escribe de manera única como
xm1i x
m2
2 · · ·xmnn
xi ∈ X, mi ∈ Z y xi’s adyacentes distintos.
Ya tenemos justificada la existencia de los grupos libres y, de paso, hemos
mostrado que la clase de todos los grupos es una clase propia, pues para
conjuntos de distintas cardinalidades tenemos grupos de distintas cardinali-
dades, y por tanto no isomorfos (esto se justifica con detalle más adelante).
Si bien los grupos libres son abundantes, no todo grupo es libre: como vi-
mos en el teorema y en las observaciones anteriores, un grupo libre es, por
necesidad, infinito, lo que implica que ningún grupo finito es libre. Sin em-
bargo śı se cumple que todos los grupos son imagen bajo un homomorfismo
de un grupo libre.
Corolario 2.2.4. Todo grupo es cociente de un libre.
Demostración. Sean G un grupo, X = {xg | g ∈ G} un conjunto
de la misma cardinalidad que G y F un grupo libre con base X, cuya
existencia fue probada en el teorema 2.2.2. Consideremos la función f :
X → G dada por xg 
→ g. Al ser F libre de base X, existe un único
homomorfismo ϕ : F → G que extiende f . Pero como f es suprayectiva, de
hecho biyectiva, entonces ϕ es epimorfismo y consecuentemente, el primer
teorema de isomorfismo para grupos asegura que
G = Im ϕ ∼= F/ ker ϕ,
demostrando que G es cociente de un libre (o bien, que es imagen de un
grupo libre). �
Pasemos ahora a otra cuestión. En el teorema 2.2.2, construimos un
grupo libre dado un conjunto arbitrario X �= ∅. Una pregunta natural es si
esta construcción es única, i.e., si cualquier otro grupo libre con base X es
isomorfo al ya construido en el teorema. De ser aśı, todos los grupos libres
seŕıan productos libres de Z. Se tiene que la respuesta a esta pregunta es
afirmativa, y de hecho es aún más fuerte.
Teorema 2.2.5. Sean F y G grupos libres con bases X y Y respectiva-
mente. Entonces F ∼= G si y sólo si Card(X) =Card(Y ).
Observación 2.2.6. El teorema anterior clasifica a todos los grupos libres,
pues nos está diciendo que si un grupo G es libre con base X, éste es
isomorfo al grupo libre F con la misma base construido en el teorema
§ 2.2 Grupos libres 23
2.2.2. Más aún, por las observaciones 2.2.3, G ∼= ∗
x∈X
Z, por lo que que
todo grupo libre es producto libre de grupos ćıclicos infinitos.
Aún no estamos en condiciones de demostrar el teorema 2.2.5. Para ello,
necesitamos recurrir a algunos resultados de la teoŕıa de grupos abelianos
libres, generalmente estudiados en unprimer curso de álgebra moderna.
Para su demostración, se refiere al lector a [R1] caṕıtulo 10.
Recordemos la definición de grupo abeliano libre.
Definición 2.2.7. Un grupo F es abeliano libre si es suma directa de
grupos ćıclicos infinitos (aditivos), i.e. F ∼=
⊕
i∈I
Z, donde I es un conjunto
no vaćıo de ı́ndices.
De la definición es sencillo demostrar que si F es abeliano libre, entonces
existe X ⊆ F , llamado base donde cada elemento x ∈ X tiene orden
infinito y
F ∼=
⊕
x∈X
〈x〉 ∼=
⊕
i∈I=|X|
Z.
También se demuestra la propiedad universal que dice que un grupo
abeliano F es abeliano libre con base X si y sólo si dado cualquier grupo
abeliano A y cualquier función f : X → A existe un único homomorfismo
ϕ : F → A que extiende f , esto es, para cada x ∈ X, ϕ(x) = f(x). En un
diagrama conmutativo
F
∃ ! f
���
�
�
�
X
��
i
��
f �� A,
donde i : X ↪→ F es la función inclusión. Nótese que el diagrama es exac-
tamente el mismo que el diagrama de la definición de grupo libre, salvo
que aqúı se restringe la propiedad universal a los objetos de la subcategoŕıa
(plena) de grupos abelianos.
El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración, es la versión “a-
belianizada” del teorema 2.2.5.
Teorema 2.2.8. Dos grupos abelianos libres F =
⊕
x∈X
〈x〉, G = ⊕
y∈Y
〈y〉,
son isomorfos si y sólo si Card(X) =Card(Y )
Para poder demostrar el teorema 2.2.5 hay que “abelianizar” los grupos
libres y usar el teorema anterior. Presentamos con este fin dos lemas. El
primero es un lema técnico que será de gran utilidad en secciones poste-
riores, y el segundo nos dirá cómo “abelianizar” a los grupos libres.
24 Grupos libres y productos libres
Lema 2.2.9. Sean G y H grupos y N subgrupo normal de G. Sea f :
G → H un homomorfismo tal que N ≤ kerf . Entonces f induce un homo-
morfismo f∗ : G/N → H tal que f∗(aN) = f(a).
Demostración. Basta mostrar que f∗ está bien definida. Supongamos
para ello que aN = bN , esto es ab−1 ∈ N ≤ kerf , por lo cual 1 = f(ab−1) =
f(a)f(b)−1, o bien f(a) = f(b). �
Lema 2.2.10. Considérense F un grupo libre con base X y F ′ el conmu-
tador de F . Luego F/F ′ es un grupo abeliano libre con base
X ′ = {xF ′ | x ∈ X}.
Demostración. Sean A un grupo abeliano y f ′ : X ′ → A una función
arbitraria. Con el fin de mostrar que F/F ′ es abeliano libre, extenderemos
f ′ a un único homomorfismo ϕ∗ : F/F
′ → A.
Definimos f : X → A dada por f(x) = f ′(xF ′). Al ser F libre con
base X, existe un único homomorfismo ϕ : F → A tal que para todo
x ∈ X, ϕ(x) = f(x). Observemos que F ′ ≤ kerϕ ya que si tomamos
un generador aba−1b−1 de F ′, entonces el que A sea abeliano implica que
ϕ(aba−1b−1) = ϕ(a)ϕ(b)ϕ(a−1)ϕ(b−1) = 0A. Se sigue del lema anterior que
ϕ induce un homomorfismo ϕ∗ : F/F
′ → A dado por ϕ∗(zF ) = ϕ(z),
donde z ∈ F . En especial para todo x ∈ X ⊆ F , se tiene que ϕ∗(xF ) =
ϕ(x) = f(x) = f ′(xF ′), por lo que extiende a f ′.
Para la unicidad, supongamos que existe otro homomorfismo θ : F/F ′ →
A que extiende a f ′. Si π : F → F/F ′ es el epimorfismo natural, π(z) =
zF ′, entonces ϕ = ϕ∗π y θπ : F → A es un homomorfismo tal que para
toda x ∈ X
θπ(x) = θ(xF ′) = f ′(xF ′) = f(x),
i.e., extiende a f . Pero por la unicidad de ϕ, θπ = ϕ = ϕ∗π y dado que π
es suprayectiva, se sigue que θ = ϕ∗. �
Ya está todo listo para demostrar el teorema 2.2.5.
Demostración (Teorema 2.2.5). Supongamos primero que F ∼= G.
Si F ′, G′ son los subgrupos conmutadores de F y G respectivamente, en-
tonces también se cumple que F/F ′ ∼= G/G′ y, según quedó establecido
en el lema 2.2.10, ambos grupos cocientes son abelianos libres con genera-
dores X ′ y Y ′. Luego, como consecuencia del teorema 2.2.8, se tiene que
Card(X ′) =Card(Y ′). Además, también se cumple que Card(X) =Card(X ′)
porque si x1 �= x2 ∈ X, entonces x1 · x−12 /∈ F ′ y x1F ′ �= x2F ′. Para probar
esto último, notemos que si sucediera que x1x
−1
2 = aba
−1b−1 ∈ F , entonces
x1 = aba
−1b−1x2, y podŕıamos definir una función f : X → Z tal que
f(x1) = n y f(x2) = m con n, m ∈ N y n �= m; de aqúı que al extender a
§ 2.2 Grupos libres 25
f a un homomorfismo f̂ : F → Z se tenga que
m = f̂(aba−1b−1x2) = f̂(x1) = n,
lo que es una contradicción a la elección de n y m. Aśı, x1x
−1
2 no puede
ser un conmutador. De la misma forma se prueba que x1x
−1
2 no puede ser
producto de conmutadores. Por consiguiente x1x
−1
2 /∈ F ′ y Card(X) =
Card(X ′). Análogamente se prueba que Card(Y ) =Card(Y ′). Por lo tanto,
Card(X) =Card(Y ).
Supongamos ahora que Card(X) =Card(Y ). Sean ix : X ↪→ F , iy : Y ↪→
G las funciones inclusión, y f : X → Y una función biyectiva. Al ser F
libre con base X, la función iY f : X → G se puede extender a un único
homomorfismo ϕ : F → G. Del mismo modo, usando ahora que G es libre,
se puede extender la función iXf
−1 : Y → F a un único homomorfismo
ψ : G → F . Para probar que ϕ, ψ son isomorfismos inversos, consideremos
el diagrama
F
ψϕ,1F
���
�
�
�
X
��
iX
��
� �
iX
�� F,
que es conmutativo puesto que para toda x ∈ X, ψϕ(x) = ψf(x) =
f−1(f(x)) = x = 1F (x). Se tienen entonces dos homomorfismos de F en
śı mismo que extienden a iX , por lo que la unicidad de un tal homomorfismo
en grupos libres implica que ψϕ = 1F . De manera semejante se prueba que
ϕψ = 1G, y F ∼= G. �
Del teorema anterior se sigue la buena definición del concepto de rango
de un grupo libre F como la cardinalidad su base.
Estamos en condiciones de justificar el término “base de un grupo libre”.
Corolario 2.2.11. Si F es un grupo libre con base X, entonces F = 〈X〉.
En otros términos, X genera a F .
Demostración. Según los teoremas 2.2.2 y 2.2.5, F puede verse como
el producto libre de Z tantas veces como elementos hay en X. La escritura
única resaltada en el corolario 2.1.7 muestra entonces que F es generado
por X. �
En la próxima sección haremos uso del siguiente resultado, que nos dice,
como es de esperarse, que el producto libre de grupos libres es un grupo
libre.
Proposición 2. 2.12. Sea {Xi}i∈I una familia de conjuntos no vaćıos
ajenos dos a dos y sean, para cada i ∈ I, Fi grupos libres con base Xi.
Luego ∗
i∈I
Fi es un grupo libre con base la unión (ajena)
⋃
i∈I
Xi.
26 Grupos libres y productos libres
Observación 2. 2.13. Podemos debilitar un poco las hipótesis, pidiendo
simplemente que los conjuntos Xi no vaćıos, pues siempre podemos hacerlos
ajenos, por ejemplo, tomando para cada i ∈ I el conjunto X ′i = X × {i},
cuya cardinalidad es exactamente la misma que la de Xi, y considerando
el grupo libre con base X ′i que es isomorfo al generado por Xi en virtud
del teorema 2.2.5. De esta forma, el tomar i, j ∈ I con i �= j, implica que
Xi ×{i}∩Xj ×{j} = ∅, por lo que recuperamos las hipótesis del teorema.
Demostración. Sea F el grupo libre con base
⋃
i∈I
Xi. Daremos un iso-
morfismo entre F y ∗
i∈I
Fi usando las propiedades universales respectivas.
Para tal efecto, consideremos el producto libre ∗
i∈I
Fi de {Fi | i ∈ I}, con
sus correspondientes inclusiones fi : Fi → ∗
i∈I
Fi, fi(x) = x para toda i ∈ I.
Consideremos el diagrama
F
⋃
i∈I
Xi
��
j
��
f
�� ∗
i∈I
Fi
donde j :
⋃
i∈I
Xi → F es la función inclusión, y f :
⋃
i∈I
Xi → ∗
i∈I
Fi es una
función definida como f(x) = fi(x) si x ∈ Xi (bien definida al ser los
Xi ajenos dos a dos). Por la propiedad universal de grupo libre, existe un
único homomorfismo ϕ : F → ∗
i∈I
Fi que extiende a f , esto es, que hace
conmutar el diagrama
F
ϕ
���
�
�
�
�
⋃
i∈I
Xi
��
j
��
f
�� ∗
i∈I
Fi.
Por otro lado, como para cada i ∈ I Fi es libre y Xi ⊆
⋃
i∈I
Xi, pode-
mos usar las inclusiones canónicas ji = j|Xi : Xi ↪→ F para obtener un
único homomorfismo ĵi : Fi → F que extiende a ji, es decir, tal que haga
conmutar el diagrama
Fi
ĵi
���
�
�
�
Xi
��
��
ji
�� F.
Tenemos pues un grupo F y una familia de homomorfismos {ĵi : Fi → F},
de manera que la propiedad universal de producto libre nos asegura la
§ 2.3 Presentación por generadores y relaciones 27
existencia de un único homomorfismoψ : ∗
i∈I
Fi → F tal que para cada
i ∈ I conmute el diagrama
∗
i∈I
Fi
ψ
���
�
�
Fi
ĵi
��
fi
		��������
F.
Para verificar que son homomorfismos inversos, consideremos por un lado
el diagrama
F
ψϕ,1F
	
		
		
		
		
	
⋃
i∈I
Xi
��
j
��
� �
j
�� F.
Claramente 1F lo hace conmutar; el homomorfismo ψϕ también lo hace
conmutar, pues dada x ∈ ⋃
i∈I
Xi, x ∈ Xi para alguna i ∈ I, de donde se
sigue que ψf(x) = ψfi(x) = ĵi(x) = ji(x) = j(x) y por ende (ψϕ)j =
ψ(ϕj) = ψf = j. Por la unicidad del homomorfismo que hace conmutar el
diagrama se tiene que ψϕ = 1F .
Por otra parte, para ver que ϕψ = 1 ∗
i∈I
Fi consideramos para cada i ∈ I
el diagrama
∗
i∈I
Fi
ϕψ,1 ∗
i∈I Fi
��
Fi
fi
��
fi
����������� ∗
i∈I
Fi.
De nuevo, es claro que 1 ∗
i∈I
Fi lo hace conmutar; para ver que conmuta
con ϕψ, consideremos un elemento x ∈ Xi, entonces ϕĵi(x) = ϕji(x) =
ϕj(x) = f(x) = fi(x). Dado que Xi genera a Fi, ϕĵi(g) = fi(g) para toda
g ∈ Fi, por lo cual ϕĵi = fi y (ϕψ)fi = ϕ(ψfi) = ϕĵi = fi. La unicidad del
homomorfismo asegura entonces que ϕψ = 1 ∗
i∈I
Fi .
Por lo tanto ∗
i∈I
Fi ∼= F y ∗
i∈I
Fi es un grupo libre con base
⋃
i∈I
Xi. �
§ 2.3 Presentación por generadores y relaciones
Para finalizar la teoŕıa de grupos libres, veremos una introducción a
grupos presentados por generadores y relaciones.
28 Grupos libres y productos libres
Definición 2. 3.1. Sean X un conjunto, F grupo libre con base X, y
Δ ⊆ F . Un grupo G tiene generadores X y relaciones Δ si G ∼= F/R,
donde R = 〈Δ〉N es el subgrupo normal de F generado por Δ. A la pareja
〈X|Δ〉 se le llama presentación de G por generadores y relaciones.
Por el corolario 2.2.4, si G es un grupo, G ∼= F/ ker ϕ, donde F es
un grupo libre con una base X de la misma cardinalidad que G, y ϕ :
F → G es un epimorfismo, de manera que siempre podemos darle a G
una presentación 〈X|Δ〉, con Δ = ker ϕ ⊆ F . Nótese que en este caso el
subgrupo normal de F generado por Δ es el mismo conjunto por ser kerϕ
un subgrupo normal.
Veamos un ejemplo concreto.
Ejemplo 2.3.2. El grupo diédrico D2n, n ∈ N es el grupo con presentación
D2n = 〈x, y| xn, y2, yxyx〉,
es decir, D2n ∼= F/Δ, donde F es el grupo libre con base {x, y} y Δ =
{xn, y2, yxyx}. A los elementos de D2n los podemos ver como palabras en
x y y (esto es, como productos finitos arbitrarios de estos dos elementos),
pero con la condición de que xn, y2, yxyx y productos finitos arbitrarios
de los tres elementos anteriores sean el elemento neutro del grupo. Aśı, por
ejemplo, el elemento
yxyxn+1yxy2
en D2n no es otra cosa que
yx,
y
(xn)(y2)(yxyx)y6 = 1.
Este grupo se puede ver como el grupo de simetŕıas de un n-ágono regular
tomando al elemento x como una rotación de 2π
n
radianes, y a y como
una reflexión en la mediatriz de un lado n-ágono. Nótese que éste es un
grupo finito de orden 2n, a pesar de que el grupo libre con base {x, y} sea
infinito.�
En el ejemplo anterior, dijimos intuitivamente que D2n “puede ser visto
como” (es decir “es isomorfo a”) un grupo de simetŕıas, cuyos elementos
son generados por una rotación y una reflexión. La idea intuitiva surge
del hecho de que una rotación R de 2π
n
radianes compuesta n veces es
la identidad, que la inversa de una reflexión L es la reflexión misma, y
que en un n-ágono regular, si L es la reflexión indicada en el ejemplo, se
satisface que L ◦ R ◦ L ◦ R = Id, por lo que los elementos de este grupo
“se comportan” de la misma forma que los elementos del grupo diédrico.
En otras palabras, el grupo de simetŕıas del n-ágono regular y el grupo
diédrico D2n tienen la misma presentación, aunque los elementos R y L
del primero sean distintos de los generadores de x y y del segundo.
§ 2.3 Presentación por generadores y relaciones 29
Generalicemos y formalicemos esta idea.
Teorema 2.3.3. Sean G y G′ grupos con presentaciones 〈X|Δ〉 y 〈X ′|Δ′〉
respectivamente, tales que hay una biyección f : X → X ′ y Δ = {ri | i ∈
I}, Δ′ = {sj | j ∈ J } tienen los mismos ı́ndices. Si el isomorfismo
ϕ : F → F ′ es el determinado por f entre los grupos libres de base X y
X ′ respectivamente, y cumple que ϕ(ri) = si para toda i ∈ I, entonces ϕ
induce un isomorfismo ϕ∗ : G → G′.
Observación 2. 3.4. La existencia de un isomorfismo ϕ : F → F ′ queda
asegurada por la demostración del teorema 2.2.5 al existir una biyección
f : X → X ′.
Demostración. Sea R el subgrupo normal de F generado por Δ y R′
el subgrupo normal de F ′ generado por Δ′. Sean q : F → F/R y q′ :
F ′ → F ′/R′ los epimorfismos canónicos. Por hipótesis, si ri ∈ Δ, entonces
ϕ(ri) = si ∈ Δ′ ⊆ R, por lo que q′ ◦ ϕ(ri) = siR = 1R. Luego R ≤ ker q′ϕ,
y por el lema 2.2.9, q′ϕ induce un homomorfismo ϕ∗ : F/R → F ′/R′ tal
que ϕ∗(xR) = q
′ϕ(x), es decir, tal que el siguiente diagrama
F
ϕ ��
q
����
F ′
q′����
F/R
ϕ∗ ��
 F ′/R′
conmuta. Claramente, el que ϕ sea isomorfismo implica que ϕ∗ también lo
es y G = F/R ∼= F ′/R′ = G′. �
En la sección anterior vimos que el producto libre de grupos libres es un
grupo libre con base la unión ajena de las bases de los primeros. Ahora,
como la definición de grupos presentados por generadores y relaciones uti-
liza el concepto de grupo libre, surge la pregunta natural de si el producto
libre de una familia de grupos presentados con generadores y relaciones
tendrá una presentación que involucre a la unión de los generadores y a la
unión de las relaciones. Esta pregunta encuentra una respuesta afirmativa
en el siguiente resultado.
Teorema 2.3.5. Sea {Ai}i∈I una familia de grupos y sea 〈Xi|Δi〉 una pre-
sentación por generadores y relaciones para cada Ai, donde los conjuntos
Xi son ajenos dos a dos. Luego, ∗
i∈I
Ai tiene una presentación 〈
⋃
i∈I
Xi|
⋃
i∈I
Δi〉.
Demostración. Para cada i ∈ I, sea Fi el grupo libre con base Xi.
Sean ∗
i∈I
Fi el producto libre de los grupos Fi y F el grupo libre con base
la unión ajena
⋃
i∈I
Xi. La proposición 2.2.12 asegura que F ∼= ∗
i∈I
Fi, por lo
que el primer grupo es un producto libre y podemos considerar la familia
30 Grupos libres y productos libres
de monomorfismos {ki : Fi → F}i∈I que lo determinan. Sea ∗
i∈I
Ai junto
con la familia de monomorfismos {ji : Ai → ∗
i∈I
Ai} el producto libre de los
grupos Ai. Para toda i ∈ I, consideremos los subgrupos normales Ri de Fi
generados por Δi, y sean qi : Fi → Fi/Ri ∼= Ai los epimorfismos naturales.
Como para cada i ∈ I, Fi y Ai son grupos isomorfos a subgrupos del pro-
ducto libre correspondiente, podemos simplificar la notación considerando
a los monomorfismos ji y ki como inclusiones, de manera que ki(x) = x si
x ∈ Fi, y ji(a) = a si a ∈ Ai.
Ahora, para cada i ∈ I, ji ◦ qi : Fi → ∗
i∈I
Ai es un homomorfismo y
por la propiedad universal del producto libre F ∼= ∗
i∈I
Fi existe un único
homomorfismo ϕ : F → ∗
i∈I
Ai tal que el diagrama
F
ϕ
���
�
�
Fi
ki
		���������
ji◦qi
�� ∗
i∈I
Ai
conmuta para toda i ∈ I.
Nótese que ϕ es un epimorfismo ya que cada qi lo es y cada ji : Ai →
ji(Ai) es isomorfismo. Entonces, en virtud del primer teorema de isomor-
fismo para grupos se tiene que
F/ ker ϕ ∼= im ϕ = ∗
i∈I
Ai.
Afirmamos que ker ϕ = R, el subgrupo normal de F generado por
⋃
i∈I
Δi,
con lo cual el teorema quedará demostrado.
Por un lado, según vimos en el corolario 2.1.7, todo elemento de F se
escribe como un producto x1x2 · · ·xn donde cada xr ∈ Fir , r = 1, 2, . . . , n,
y factores adyacentes se encuentran en distintos grupos Fi, de manera que
un elemento x ∈ ker ϕ se expresa como x = x1x2 · · ·xn, y por ende
ϕ(x1, x2 · · ·xn) = ϕ(ki1(x1))ϕ(ki2(x2)) · · ·ϕ(kin(xn))
= ji1(qi1(x1))ji2(qi2(x2)) · · · jin(qin(xn))
= 1.
Pero factores adyacentes jirqir(xr) de ϕ(x1x2 · · ·xn) ∈ ∗
i∈I
Ai están en
jir (Air) = Air distintos al ser yacer los xi adyacentes en diferentes Xi,
por lo que la unicidad de la factorización en el producto libre dada en el
corolario 2.1.7 nos asegura que cada uno de estos factores debe ser igual
a 1, es decir, para cada r = 1, 2, . . . , n, jirqir(xr) = 1. Como cada jir es
monomorfismo,lo anterior sucede si y sólo si qir(xr) = 1Rir , 1 ≤ r ≤ n, o
§ 2.3 Presentación por generadores y relaciones 31
lo que es lo mismo, si xr ∈ ker qir = Rir = 〈Δir〉N para cada r = 1, . . . , n.
Por lo tanto x1x2 · · ·xn ∈ 〈
⋃
i∈I
Δi〉N = R y ker ϕ ⊆ R.
Por otro lado, si x ∈ R, por definición de subgrupo normal generado por⋃
i∈I
Δi, x =
m∏
r=1
arbra
−1
r con ar ∈ F y br ∈
⋃
i∈I
Δi, de modo que para mostrar
que x ∈ ker ϕ, basta ver que para cada r = 1, 2, . . . m, arbra−1r ∈ ker ϕ.
Esto último se satisface porque si br ∈
⋃
i∈I
Δi, entonces br ∈ Δi para algún
i ∈ I y en consecuencia br ∈ Ri ker qi ≤ Fi, por lo que la conmutatividad
del diagrama implica que
ϕ(br) = ϕ(ki(br)) = ji ◦ qi(br) = ji(1Ri) = 1,
y aśı br ∈ ker ϕ. Finalmente, al ser ϕ homomorfismo de grupos, también
se cumple que arbra
−1
r ∈ ker ϕ, y que x ∈ ker ϕ. Por lo tanto, R ⊆ ker ϕ y
R = ker ϕ como se queŕıa. �
En el caṕıtulo 7 ampliaremos el estudio de grupos libres y de productos
libres dando dos importantes teoremas que nos dirán de qué forma son los
subgrupos de este tipo de grupos. Las pruebas serán relativamente sencillas,
pero usarán métodos que distan mucho de ser puramente algebraicos.
Caṕıtulo 3
La categoŕıa de los complejos
simpliciales
En este caṕıtulo definiremos los objetos con los que trabajaremos: los
complejos simpliciales y los morfismos entre ellos. En la primera sección
definiremos estos conceptos, daremos algunos ejemplos y describiremos al-
gunas de las construcciones que se pueden hacer a partir de complejos
simpliciales dados, como por ejemplo, sus intersecciones y uniones. Poste-
riormente, se dará el concepto de conexidad, que es análogo al concepto
de conexidad por trayectorias en topoloǵıa y se darán algunos resultados
básicos. En la segunda sección centraremos nuestra atención en un tipo
muy particular de complejos simpliciales, llamados árboles, y estudiare-
mos sus propiedades básicas, aśı como la forma de construirlos a partir de
otros dados. Finalmente, la última sección está destinada a justificar las
representaciones geométricas que hagamos de los complejos simpliciales y
de sus simplejos. Los resultados de esta última sección no se aplican en el
resto de la presente tesis.
§ 3.1 Conceptos básicos
En esta sección definiremos la categoŕıa de los complejos simpliciales
abstractos. Comencemos describiendo los objetos. Como referencia se re-
comienda [S] y [R2].
Definición 3.1.1. Un complejo simplicial (o simplemente complejo)
(K, V (K)) es un conjunto V (K), a cuyos elementos se les llama vértices,
junto con una familia de subconjuntos finitos no vaćıos de V (K), llamados
simplejos, tales que
(i) Si v ∈ V (K), entonces {v} es un simplejo;
(ii) Si s es un simplejo, entonces todo subconjunto no vaćıo de s también
lo es.
33
34 La categoŕıa de los complejos simpliciales
En la literatura, los complejos simpliciales definidos aqúı también se
conocen como complejos simpliciales abstractos.
En lo sucesivo, denotaremos simplemente como K a un complejo simpli-
cial en vez de (K, V (K)), mencionando el conjunto de vértices separada-
mente, y utilizaremos frecuentemente la notación s ∈ K para indicar que
s es un simplejo de K. En otras palabras, identificaremos a la familia de
simplejos con K.
Ejemplos 3.1.2.
1 El conjunto vaćıo es un complejo simplicial con vértices V (K) = ∅.
2 Dado un conjunto X �= ∅, si tomamos V (K) = X y definimos los
simplejos como {{x} | x ∈ X}, formamos un complejo K cuyos simplejos
están en correspondencia biyectiva con el conjunto X. Geométricamente
K es un conjunto discreto de puntos, uno por cada elemento de X. De
esta manera, podemos hacer de todo conjunto un complejo simplicial, lo
que muestra que la clase de todos los complejos simpliciales es una clase
propia (no es un conjunto).
3 Sea X �= ∅ un conjunto arbitrario. Podemos construir un complejo
simplicial K definiendo como conjunto de vértices a V (K) = X, y como
simplejos a todos los subconjuntos finitos no vaćıos de X. En efecto K es
un complejo simplicial ya que dado x ∈ X, {x} es un subconjunto finito
no vaćıo de V (K), por lo que es un simplejo, y dado s ⊆ X finito, sus
subconjuntos no vaćıos son aśı mismo finitos y por ende simplejos. Nótese
que este ejemplo generaliza al anterior.
4 Consideremos el conjunto de vértices V (K) = {u, v, w}. Podemos
construir diferentes complejos simpliciales con los siguientes simplejos:
K1 = {{u}, {v}, {w}},
K2 = {{u}, {v}, {w}, {u, v}},
K3 = {{u}, {v}, {w}, {u, v}, {v, w}, {u, w}},
K4 = {{u}, {v}, {w}, {u, v}, {v, w}, {u, w}, {u, v, w}}.
Geométricamente esto se ve como sigue:
§ 3.1 Conceptos básicos 35
Al final de la sección justificaremos esta interpretación geométrica.�
Definamos ahora los morfismos y su composición.
Definición 3.1.3. Sean K y K ′ complejos simpliciales, una aplicación
de complejos simpliciales (o simplemente aplicación) f : K → K ′, es
una función f : V (K) → V (K ′) tal que si
s = {v0, v1, . . . , vn}
es simplejo de K, entonces
f(s) = {f(v0), f(v1), . . . , f(vn)}
es un simplejo de K ′ (donde f(vi) y f(vj) pueden coincidir, 0 ≤ i, j ≤ n).
Definimos la regla de composición como la composición usual de fun-
ciones.
Una aplicación f : K → K ′ es un isomorfismo si existe una aplicación
g : K ′ → K de complejos simpliciales que sea inversa bilateral, es decir,
tal que fg = 1′K y gf = 1K . Decimos que dos complejos K y K
′ son
isomorfos, denotado como K ∼= K ′, si existe un isomorfismo entre ellos.
Nota 3. 1.4. Por comodidad, denotaremos una aplicación simplemente
como f : K → K ′, definiendo cómo se aplican los vértices de K en los
vértices de K ′, en vez de recurrir expĺıcitamente a la función f : V (K) →
V (K ′). En otros términos, identificaremos la aplicación f : K → K ′ con
la función f : V (K) → V (K ′) que la genera, a menos que haya riesgo de
confusiones.
Observación 3. 1.5. No es necesariamente cierto que si f : K → K ′ es
una aplicación biyectiva, entonces f es isomorfismo, puesto que su función
inversa no necesariamente es una aplicación.
Ejemplo: Consideremos los complejos K1 y K4 del inciso 4 de los ejem-
plos 3.1.2. Aqúı, V (K1) = {u, v, w} = V (K4), aśı que la función f :
V (K1) → V (K4) tal que f(u) = u, f(v) = v y f(w) = w es una biyec-
ción entre los vértices y además define una aplicación pues f({x}) = {x}
con x = u, v ó w. Sin embargo, a pesar de ser biyección entre vértices,
no es una biyección entre los simplejos, pues, dado el simplejo {u, v} de
K4, f
−1({u, v}) = f({u, v}) = {u, v} no es simplejo de K1, y por tanto
f−1 : K4 → K1 no es aplicación.
Pasemos ahora a ver algunos ejemplos de aplicaciones.
Ejemplos 3.1.6.
1 La función f : K1 → K4 dada en la observación anterior es una
36 La categoŕıa de los complejos simpliciales
aplicación de complejos simpliciales. De la misma forma f define una apli-
cación de Ki en Kj si i ≤ j con i, j = 1, 2, 3, 4. Esta función es una especie
de inclusión. Más adelante formalizaremos este concepto.
2 Sea K = ∅ el complejo vaćıo y K ′ cualquier otro complejo (incluido
K mismo). Por vacuidad, la función vaćıa f = ∅ : K → K ′ es una apli-
cación de complejos, y de hecho, es la única función que se puede definir
con dominio vaćıo. Entonces K = ∅ cumple la siguiente propiedad: dado
cualquier complejo K ′, existe una única aplicación f = ∅ : K → K ′. En
lenguaje categórico, se dice que K = ∅ es un objeto inicial (siempre hay
un único morfismo que sale de el).
3 Dualicemos el ejemplo anterior. Consideremos un conjunto arbitrario
X y un complejo simplicial K con vértices V (K) = {X} y un único simple-
jo {{X}}. Sea K ′ un complejo arbitrario no vaćıo. Definimos f : V (K ′) →
V (K) como f(v) = X para toda v ∈ V (K ′), esto es, f es una función
constante. Por ser {X} el único simplejo de K, esta función induce clara-
mente una aplicación f : K ′ → K y, además, es la única aplicación posible
entre K ′ y K. En caso de que K ′ = ∅, también existeuna única aplicación
(vaćıa) entre K ′ y K. De este modo, K cumple que para cualquier complejo
K ′, existe una única aplicación de K ′ en K. A un tal objeto se le conoce en
teoŕıa de categoŕıas como un objeto final, y es el concepto dual de objeto
inicial. Nótese que para complejos simpliciales hay un sólo objeto inicial
(el vaćıo) mientras que hay una infinidad de objetos finales (uno para cada
conjunto X). Sin embargo, se puede considerar que hay uno sólo, ya que
estos complejos son obviamente isomorfos por tener un sólo vértice y un
sólo simplejo.
4 Sean u, v, u′, v′ conjuntos distintos. Sean V (K) = {u, v}, V (K ′) =
{u′, v′} y formemos los complejos K = {{u}, {v}} y K ′ = {{u′}, {v′}}.
Entonces la función f : K → K ′ tal que f(u) = u′ y f(v) = v′ es una
aplicación, y de hecho, es un isomorfismo al existir una aplicación inversa
g : K ′ → K, dada por g(u′) = u, g(v′) = v que satisface que fg = 1K′ , gf =
1K .�
Veamos ahora que la regla de composición satisface los axiomas de la
definición 1.1.1.
Proposición 3.1.7. Sean K, K ′, K ′′ complejos simpliciales. Luego:
(i) Si f : K → K ′, g : K ′ → K ′′ son aplicaciones, entonces gf =
g ◦ f : K → K ′′ también lo es.
(ii) La composición de aplicaciones es asociativa.
(iii) La identidad 1K : K → K es aplicación.
Demostración. Si s es un simplejo de K, entonces f(s) es simplejo de
K ′ por ser f aplicación, y a su vez, el que g también lo sea implica que
gf(s) = (g ◦ f)(s) = g(f(s)) es simplejo de K ′′, probando aśı (i). El inciso
§ 3.1 Conceptos básicos 37
(ii) es inmediato del hecho de que la composición de funciones es asociativa.
Para (iii) basta observar que si s es un simplejo de K, entonces 1K(s) = s.
�
Tenemos entonces que los complejos simpliciales y aplicaciones forman
una categoŕıa, que denotaremos por K. Existe una categoŕıa asociada, la
categoŕıa de los complejos simpliciales “punteados”, K∗, donde los objetos
son complejos simpliciales K con un vértice distinguido v ∈ V (K), lla-
mados complejos simpliciales punteados y denotados como (K, v),
y los morfismos son aplicaciones de complejos simpliciales que mandan
vértices distinguidos en vértices distinguidos, es decir, si tenemos dos com-
plejos punteados (K, v) y (K ′, v′), una aplicación de complejos sim-
pliciales punteados f : (K, v) → (K ′, v′), es una aplicación de complejos
f : K → K ′ tal que f(v) = v′.
Continuemos con algunas definiciones que nos darán una mayor intuición
geométrica de lo que son los complejos simpliciales y como están formados.
Definición 3.1.8. Se dice que un simplejo s = {v0, v1, . . . , vn} tiene di-
mensión n, denotado dim s = n, si todos sus vértices son distintos, es
decir, si Card(s) = n + 1. A un simplejo de dimensión n se le llama n-
simplejo. Un complejo K tiene dimensión n, denotado como dim K = n,
si n = sup{dim s | s es simplejo de K}. A un complejo K de dimensión
n, se le llama n-complejo. Un 1-complejo recibe el nombre especial de
gráfica.
Observación 3. 1.9. Por definición, la dimensión de K puede ser ser
infinita, pero a lo más numerable por ser el supremo de un conjunto de
números naturales. No aśı la dimensión de los simplejos, la cual siempre
es finita.
Nótese además que la definición de dimensión no contempla al complejo
vaćıo. Definimos su dimensión como dim ∅ = −1.
Tenemos la siguiente interpretación geométrica de los n-simplejos: un
0-simplejo lo vemos como punto; un 1-simplejo es un segmento de recta
determinado por dos puntos v0 y v1; un 2-simplejo es un triángulo deter-
minado por sus vértices v0, v1 y v2; un 3-simplejo es un tetraedro formado
por 4 vértices, y aśı sucesivamente. En un dibujo
38 La categoŕıa de los complejos simpliciales
Aśı, interpretamos geométricamente a un complejo simplicial como un ob-
jeto construido a partir de puntos, rectas, triángulos, etc., dispuestos de
manera “adecuada” compartiendo a lo más vértices, aristas, caras, etc.
En esta categoŕıa, varias de las construcciones hechas con conjuntos
darán lugar a nuevos complejos simpliciales.
(a) Subcomplejos
Sea K un complejo simplicial. Un complejo simplicial L es un subcom-
plejo de K si V (L) ⊆ V (K) y si todo simplejo de L es también simplejo
de K. Nótese que con esta definición, la inclusión i : V (L) ↪→ V (K) es una
aplicación. Se dice que un subcomplejo L de K es pleno si cada vez que
un simplejo de K tenga todos sus vértices en L, entonces éste también es
simplejo de L.
Ejemplos 3.1.10.
1 Podemos considerar a los simplejos de un complejo simplicial K co-
mo subcomplejos plenos de la siguiente manera: a partir de un simplejo s
de K, definimos un nuevo complejo ṡ con vértices V (ṡ) = s y simplejos
los subconjuntos no vaćıos de s. Esto hace de ṡ un complejo ya que dado
un vértice v ∈ s ⊆ V (K), {v} ⊆ s, y dado un simplejo t de ṡ, sus sub-
conjuntos no vaćıos son a su vez subconjuntos no vaćıos de s, por lo que
son simplejos de ṡ. Por lo tanto, ṡ aśı definido es un complejo simplicial,
y es un subcomplejo pleno de K, pues V (s) ⊆ V (K) y porque si t es un
simplejo de K con todos sus vértices en ṡ, entonces t ⊆ s.
2 Sean K un complejo simplicial y W ⊆ V (K) un conjunto no vaćıo de
vértices. Definimos el complejo pleno generado por W , K(W ), como
el subcomplejo de K que tiene a W como conjunto de vértices y simplejos
K(W ) = {s ∈ K | s ⊆ W}.
En efecto es un complejo simplicial pues en primer lugar si v ∈ W , entonces
v ∈ V (K) y {v} ⊆ W es simplejo de K; también, K(W ) es una familia
de subconjuntos finitos no vaćıos de W , pues cada simplejo s de K es un
subconjunto finito no vaćıo de V (K); por último, si s es un simplejo de
§ 3.1 Conceptos básicos 39
K(W ), también lo es de K, y por ende, todos los subconjuntos no vaćıos
de s cumplen con ser simplejos de K y, por tanto, de K(W ). El que K(W )
sea pleno, viene dado por definición, puesto que si s es un simplejo de K
con vértices en K(W ), entonces s ⊆ W .
3 Otro ejemplo importante de subcomplejos de un complejo K lo pro-
porcionan los n-esqueletos , n ≥ 0, denotados como K(n), que son los
complejos simpliciales con conjuntos de vértices V (K(n)) = V (K) y sim-
plejos
K(n) = {simplejos s ∈ K | dim s ≤ n}.
Observemos que si dimK ≤ n, K(n) = K y si dim K = ∞, entonces existen
n-esqueletos de K para todo n en N. Es claro que son subcomplejos de K,
y que, de hecho, para toda n ∈ N, K(n) es subcomplejo de K(n+1). Sin
embargo no son plenos, pues si dim K > n, entonces debe existir al menos
un simplejo s con dim s > n que no está en K(n), a pesar de que todos sus
vértices están en V (K(n)) = V (K). Un ejemplo concreto de 0 y 1 esqueletos
los proporcionan los subcomplejos K1 y K3 de K = K4 definidos en el inciso
4 de los ejemplos 3.1.2.�
(b) Uniones
Sea {Ki | i ∈ I} una familia de complejos. Definimos el complejo
unión,
⋃
i∈I
Ki, como el complejo con vértices
⋃
i∈I
V (Ki) y simplejos la unión
de los simplejos de todas los Ki. Éste es en efecto un complejo simplicial
ya que dado v ∈ ⋃
i∈I
V (Ki), entonces v ∈ V (Ki) para algún i ∈ I y en
consecuencia {v} es simplejo de Ki y por ende de
⋃
i∈I
Ki; además, dado un
simplejo s de la unión, éste es un simplejo de algún Ki, por lo que todos
sus subconjuntos no vaćıos son simplejos de Ki, y por tanto de
⋃
i∈I
Ki.
Una construcción derivada de ésta es la unión de subcomplejos de un
complejo dado. Expĺıcitamente, sea K un complejo simplicial y sea {Li |
i ∈ I} una familia de subcomplejos de K, donde I es un conjunto no vaćıo
de ı́ndices. Entonces el complejo unión
⋃
i∈I
Li es el complejo con vértices⋃
i∈I
V (Li) y simplejos
⋃
i∈I
Li = {s ∈ K | s ∈ Li para alguna i ∈ I}.
Es inmediato ver que éste es un subcomplejo de K.
(c) Intersecciones Sea K un complejo simplicial y sea {Li | i ∈ I} una
familia de subcomplejos de K. Definimos la intersección de los complejos
40 La categoŕıa de los complejos simpliciales
Li como el complejo simplicial con vértices
⋂
i∈I
V (Li) y simplejos⋂
i∈I
Li = {s ∈