Comportamiento-mecanico-de-la-formacion-guayabal-y-su-influencia-en-la-inestabilidad-de-pozos

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
PROGRAMA DE POSGRADO EN CIENCIAS DE LA TIERRA
INSTITUTO DE GEOLOGÍA
COMPORTAMIENTO MECÁNICO DE LA FORMACIÓN GUAYABAL Y
SU INFLUENCIA EN LA INESTABILIDAD DE POZOS
T E S I S
QUE PARA OPTAR EL GRADO DE
Maestro en Ciencias de la Tierra
PRESENTA
José Adalberto Morquecho Robles
TUTORES
M. en C. David Velázquez Cruz (Grupo TTANIS)
M. en C. Gustavo Espinosa Castañeda (Instituto Mexicano del Petróleo)
COMITÉ
Dr. Luis Mariano Cerca Martı́nez (Centro de Geociencias)
Dr. Francisco Ramón Zúñiga Dávila-Madrid (Centro de Geociencias)
Ciudad Universitaria, Cd. Mx. Enero 2019
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
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respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
Dedicado a
Mi esposa Sandivel.
Por tu apoyo incondicional y sobretodo por tu motivación constante a lo largo de este proyecto.
Mi hija Elisheba.
Mi princesa con la que comparto cada momento, por ser la fuerza más importante de mi vida.
**
Agradecimientos
A mis tutores el M. en C. David Velázquez Cruz y el M. en C. Gustavo Espinosa
Castañeda bajo cuya supervisión escogı́ este tema y comencé este proyecto, no habrı́a
sido posible sin su apoyo y su estı́mulo.
A los miembros del comité, el Dr. Luis Mariano Cerca Martı́nez y el Dr. Francisco Ramón
Zúñiga Dávila-Madrid por sus observaciones y recomendaciones realizadas a este trabajo,
gracias a ellos se mejoró significativamente.
Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologı́a (CONACYT ) por el soporte económico el
cual me brindó durante los dos años de la maestrı́a.
Al Instituto Mexicano del Petróleo, por el apoyo durante la elaboración de este proyecto
de tesis.
A la Universidad Nacional Autónoma de México, la cual me brindó la oportunidad de
desarrollarme tanto acádemica como culturalmente.
Al Posgrado en Ciencias de la Tierra de la UNAM por apoyarme en la realización de los
trámites del posgrado en cada semestre.
A mi esposa e hija por su amor, cariño, confianza y comprensión que fueron
determinantes en este camino acádemico y de investigación cientı́fica como fue la maestrı́a.
A mis abuelitos Flavia Soto y Salvador Robles que fueron las personas que se
preocupaban por mı́. Sus canas son sinónimo de sabidurı́a. Me enseñaron muchas cosas
vitales para la vida, y me encaminaron por el buen sendero.
A mis tios Adelaida Robles e Israel Robles. Me motivaron constantemente para alcanzar
mis anhelos. Muchos de mis logros se los debo a ustedes en los que se incluye este.
No puedo terminar sin agradecer a mis amigos Elena, Alexa, Perla, Citlali, Karen, Diana,
Carlos, Erick, Salvador, Jordan, Felipe, Andrés, Eder, Juan Carlos, sin excluir a ninguno, que
durante la dura realización de esta tesis ellos siempre estuvieron presentes apoyandome en
el proceso, gracias por su amistad.
Código de Ética
“Declaro conocer el Código de Ética de la Universidad Nacional Autónoma de México,
plasmado en la Legislación Universitaria. Con base en las definiciones de integridad y
honestidad ahı́ especificadas, aseguro mediante mi firma al calce que el presente trabajo
es original y enteramente de mi autorı́a. Todas las citas de, o referencias a, la obra de otros
autores aparecen debida y adecuadamente señaladas, ası́ como acreditadas mediante los
recursos editoriales convencionales. ”
José Adalberto Morquecho Robles
**
Índice general
Resumen 21
Abstract 23
1. Introducción 25
1.1. Justificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2. Hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4. Alcances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2. Fundamento teórico de geomecánica 31
2.1. Geomecánica y estabilidad mecánica de pozos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2. Teorı́a de elasticidad lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1. Deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.2. Fuerzas, vector tracción y esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.3. Propagación de ondas elásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.4. Anisotropı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3. Estado de esfuerzos en la corteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.1. Presión de poro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9
10 Índice general
2.3.2. Esfuerzo vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.3. Esfuerzos horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3. Metodologı́a para determinar la magnitud de los esfuerzos horizontales 63
3.1. Análisis de información del área de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2. Definición del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3. Determinación de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4. Determinación de los módulos elásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4.1. Calibración de los modelos de Li (2006) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.5. Cálculo del esfuerzo vertical y la presión de poro . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.6. Estimación de las deformaciones y determinación de los de esfuerzos
horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4. Caso de aplicación:
Determinación del estado de esfuerzos de la formación guayabal 89
4.1. Definición del área de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.1.1. Repartición geográfica y ubicación del área de estudio . . . . . . . . . . 90
4.1.2. Descripción litológica de la formación Guayabal . . . . . . . . . . . . . 92
4.2. Orientación de los esfuerzos horizontales en la formación Guayabal . . . . . . 93
4.3. Determinación de la magnitud de los esfuerzos en la formación Guayabal . . . 96
4.3.1. Análisis de la información del área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3.2. Definición del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.3.3. Determinación de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.3.4. Determinación de los módulos elásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.3.5. Cálculo del esfuerzo vertical y la presión de poro . . . . . . . . . . . . . 102
Índice general 11
4.3.6. Estimación de las deformaciones y determinación de los perfiles de
esfuerzos horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3.7. Análisis de incertidumbre de la magnitud de los esfuerzos horizontales 106
5. Discusión 117
6. Conclusiones y recomendaciones 125
Referencias 129
**
Índice de figuras
2.1. Representación “ideal” de la ventana operativa para mantener la estabilidad
del pozo. La zona sombreada que se encuentra entre la curva de presión
de colapso y el esfuerzo horizontal mı́nimo, en todo el perfil del pozo, es la
zona segura donde podemos variar la densidad del lodo de perforación sin
presentar pérdidas de circulación o brotes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32
2.2. Desplazamiento del sólido durante la deformación (modificado de Gurtin, 1982). 35
2.3. Conjunto de fuerzas internas y externas aplicadas en un cuerpo rı́gido
(modificado de Gurtin et al. 2010). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4. Representación del vector normal al área y la tracción en un punto P sobre el
área (Modificado de Gurtin et al. 2010). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5. Componentes del tensor de esfuerzos (Modificado de Gurtin et al. 2010). . . . 39
2.6. Teorema de reciprocidad de los esfuerzos cortantes (Modificado de Fjaer et
al., 2008). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.7. Tetraedro elemental entorno al paralelepı́pedo (Modificado de Fjaer et al., 2008). 41
2.8. Orientación del cubo mostrando la anulación de los esfuerzos cortantes
(Modificado de Hudson y Harrison, 2000). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.9. Representación matricial de anisotropı́a total donde se asume que el tensor
no tiene simetrı́a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
13
14 Índice de figuras
2.10.Representación gráfica de la relación lineal existente entre el esfuerzo σ y la
deformación ε. Se observa el aumento de energı́a de deformación acumulada
en de un sólido sometido a un esfuerzo (Wierzbicki, 2013). . . . . . . . . . . . 47
2.11.a) Representación de la roca donde las propiedades meánicas dependen de
la dirección en que son medidas; b) Estructura trı́clinica, representa un arreglo
donde las magnitudes de las aristas y los ángulos son diferentes. . . . . . . . . 49
2.12.a) Representación de la roca como un medio ortótropo donde sus
propiedades varı́an en tres direcciones ortogonales entre sı́; b) Estructura
ortorrómbica, representa un arreglo donde las magnitudes de las aristas son
diferentes y los ángulos iguales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.13.Representación de la roca como un medio con isotropı́a transversal vertical
(a) y horizontal (b); c) Estructura ortorrómbica caracterı́stica de un medio con
isotropı́a transversal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.14.a) Representación de la roca como un medio isótropo donde sus propiedades
son iguales en cualquier dirección; b)Estructura cúbica, representa un arreglo
donde las magnitudes de las aristas y los ángulos iguales. . . . . . . . . . . . 51
2.15.Estado de esfuerzos principales en la corteza (modificado de Zoback, 2007). . 54
2.16.Gráfico de presión vs profundidad representando la clasificación de las
presiones (modificado de Swarbrick, 2001). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.17.Esfuerzo de sobrecarga afectada por la presión de los fluidos y el esfuerzo
vertical efectivo (modificado de Velázquez et al., 2017). . . . . . . . . . . . . . 56
2.18.Clasificación del sistema de fallamiento de Anderson (1951) para magnitudes
relativas de esfuerzos en regimenes de falla normal, inversa y transcurrente
(modificado de Zoback, 2007). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1. Metodologı́a para determinar esfuerzos horizontales. . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2. Comparación de la velocidad de corte obtenida a partir del modelo de
Greenberg y Castagna (1992) y los valores obtenidos del registro de pozo. . . 67
Índice de figuras 15
3.3. Gráfico de dispersión de los datos de velocidad de corte contra velocidad
compresional (a) y velocidad de corte contra el contenido de arcilla (b). . . . . 69
3.4. Comparación de los modelos de Greenberg and Castagna (1992) y el modelo
obtenido de la regresión múltiple con las mediciones obtenidas de los registros
sónicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.5. Determinación de los parámetros de Thomsen del pozo P6 a partir de los
módulos elásticos obtenidos del registro sónico dipolar. . . . . . . . . . . . . . 76
3.6. Gráfico de dispersión del parámetro ε contra la velocidad compresional en
función del contenido de arcilla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.7. Gráfico de dispersión del parámetro γ contra la velocidad de corte en función
del contenido de arcilla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.8. Determinación de la presión de poro en un pozo mexicano utilizando el valor
del exponente propuesto por Eaton (Velázquez, 2017). . . . . . . . . . . . . . . 83
3.9. Procedimiento para determinar el área divergente a partir de registros de
pozo. (Velázquez, 2017). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.1. Ubicación de la cuenca Tampico-Misantla (Schlumberger, 2010). . . . . . . . . 90
4.2. Localización de la formación Guayabal en superficie (Modificado de Muir, 1936). 91
4.3. Ubicación del área de estudio en el Municipio de Álamo Temapache, Veracruz
(Tomado y editado de Servicio Geológico Mexicano). . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.4. Mapa de esfuerzos horizontales en México obtenidos de la base World Stress
Map. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.5. Orientación de los esfuerzos horizontales en el área de estudio obtenidos de
la base World Stress Map. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.6. Ubicación de pozos y afloramientos en el área de estudio. . . . . . . . . . . . . 96
4.7. Muestra cúbica obtenida de uno de los afloramientos. . . . . . . . . . . . . . . 97
16 Índice de figuras
4.8. Definición del tipo de anisotropı́a a partir del grafico de coeficientes elásticos
para las muestras A1, A2 y A3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.9. Determinación de las velocidad compresional (azul) y de corte (rojo) para el
pozo W-1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.10.Determinación de los parámetros de Thomsen (� azul) y (γ morado) para el
pozo W-1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.11.Identificación de la anisotropı́a presente en la formación Guayabal a partir de
los coeficientes de rigidez obtenidos de las muestras de afloramiento y los
pozos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.12.Cálculo del esfuerzo vertical para el pozo W-1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.13.Cálculo de la presión de poro para el pozo W-1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.14.Ventana operativa en términos de presiones (pista 1) y en términos de
gradiente (pista 2 y 3), ası́ como la relación entre los esfuerzos horizontales
(σH/σh) para el pozo W-1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.15.Identificación de valores atı́picos de los valores de σH a partir del gráfico de
densidad de probabilidad (Histograma). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.16.Identificación de valores atı́picos de los valores de σh a partir del gráfico de
densidad de probabilidad (Histograma). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.17.Histograma de frecuencias sin valores atı́picos, se observa una mejor
distribución más homogenea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.18.Histograma de frecuencias sin valores atı́picos, se observa una mejor
distribución más homogenea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.19.Representación del significado de precisión y exactitud en la teorı́a de errores
(Armenteros et al., 2010). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.20.Histograma de frecuencias de los valores obtenidos de las pruebas de goteo. . 115
5.1. Muestra A-1 y su representación como medio VTI. . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Índice de figuras 17
5.2. Determinación de la velocidad de corte con el modelo estimado con la
regresión múltiple mostrandoun buen ajuste respecto a los valores del registro
de pozo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.3. a) Análisis de los coeficientes de riguidez obtenidos de registros y pruebas de
laboratorio; b) Representación gráfica de los valores de rigidez afectados por
la frecuencia con el que son medidos (Modificado de Zoback, 2015). . . . . . . 120
5.4. Representación de los esfuerzos horizontales y su paralelismo con el plano
isótropo de la roca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.5. Análisis de sensibilidad del modelo de Eaton (verde claro) y el modelo para
medios VTI (azul) en la determinación del esfuerzo horizontal menor para el
pozo W-1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
**
Índice de tablas
1.1. Listado de los costos asociados con problemas de inestabilidad. . . . . . . . . 27
2.1. Reducción de subı́ndices utilizando la notación de Voigt (Schön, 2015). . . . . 45
2.2. Modelos para determinar el esfuerzo horizontal mı́nimo (modificado de
Zoback, 2007). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1. Estadı́stica descriptiva de los datos de la velocidad compresional, de corte y
del contenido de arcilla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2. Valores obtenidos para el sistema de ecuaciones normalizado para 35931
datos analizados (n=35931). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.1. Resultados de las velocidades medidas con el AutoScan y los módulos
elásticos obtenidos a partir de las velocidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2. Resumen de la estadı́stica descriptiva de los valores de ε y γ obtenidos de la
formación Guayabal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.3. Resumen de la estadı́stica descriptiva y rango de la magnitud de σH y σh
determinados para la formación Guayabal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.4. Resumen de la estadı́stica descriptiva y rango de la magnitud de σH y σh
determinados para la formación Guayabal sin valores atı́picos. . . . . . . . . . 110
4.5. Valores obtenidos de las pruebas de goteo (LOT) de pozos del area de estudio.114
19
20 Índice de tablas
4.6. Resumen de la estadı́stica descriptiva y rango de la magnitud de σh
determinados a partir de las pruebas de goteo (LOT). . . . . . . . . . . . . . . 114
Resumen
En este trabajo se presenta una metodologı́a que involucra la anisotropı́a del material
y las deformaciones horizontales presentes en el pozo, con la finalidad de determinar
y analizar la magnitud de los esfuerzos horizontales en lutitas a través de modelos
fı́sico-matemáticos derivados de la teorı́a de la ley de Hooke. La metodologı́a utiliza
información básica de registros de pozo, es decir, se determinan los esfuerzos horizontales
a partir de valores de velocidad compresional, velocidad de corte y de contenido de arcilla lo
que resulta práctico para utilizarlo en la predicción. A partir de mediciones ultrasónicas,
se realizó un análisis de la variación de las propiedades mecánicas en tres muestras
representativas de la Formación Guayabal, clasificando el comportamiento mecánico de la
Formación como medio con isotropı́a transversal vertical (VTI). Utilizando la metodologı́a,
validamos que la relación que existe entre los esfuerzos horizontales máximo y mı́nimo se
encuentra en el rango de 1.03 a 1.05. El estado de esfuerzos horizontales obtenido para
la Formación Guayabal es σH = 0.0197 [MPa/m] (2.01 [g/cc]) con dirección N2◦S y σh =
0.0191 [MPa/m] (1.95 [g/cc]) con direcciónN92◦S. Las magnitudes de esfuerzos horizontales
obtenidos con la metodologı́a fueron validados con pruebas de goteo (equivalentes al
esfuerzo horizontal menor), donde se observó que los valores estimados con la metodologı́a
se encuentran en el rango de valores reales obtenidos de las pruebas de goteo.
Palabras clave: Comportamiento mecánico, inestabilidad de pozos en lutitas, esfuerzos
horizontales, coeficientes elásticos, isotropı́a transversal vertical.
21
**
Abstract
A methodology is presented in this work that involves the anisotropy of the material and
the horizontal deformations present in the well, to determine and analyze the magnitude of
horizontal stresses in shales through physical-mathematical models derived of the theory of
Hooke’s law. The methodology uses basic well log information, that is, horizontal stresses are
determined from values of compressional velocity, shear velocity and clay content which is
practical to use in the prediction. From ultrasonic measurements, an analysis of the variation
of mechanical properties was performed in three representative samples of the Guayabal
Formation, classifying the mechanical behavior of the Formation as a medium with vertical
transverse isotropy (VTI). Using the methodology, we validate that the relationship between
maximum and minimum horizontal stresses is in the range of 1.03 to 1.05. The state of
horizontal stresses obtained for Guayabal Formation is σH = 0.0197 [MPa/m] (2.01 [g/cc])
with direction N2◦S and σh = 0.0191 [MPa/m] (1.95 [g/cc]) with direction N92◦S. The
magnitudes of horizontal stresses obtained with the methodology were validated with Leak
of Test (equivalent to the minimum horizontal stress), where it was observed that the values
estimated with the methodology are in the range of real values obtained from the Leak of
Test.
Key words: Mechanical behavior, wellbore instability in shales, horizontal stresses, elastic
coefficients, vertical transverse isotropy.
23
**
Capı́tulo 1
Introducción
La determinación de los esfuerzos horizontales es parte fundamental para un análisis
geomecánico, sobre todo para estudios relacionados a la estabilidad mecánica de pozos. La
inestabilidad de pozos es uno de los principales problemas que enfrentan en la perforación
de pozos, ya que incrementan considerablemente los costos de la operación e incluso
puede ocasionar el abandono del pozo. Estimaciones muestran que los problemas como
atrapamiento de tuberı́a y resistencia en el agujero, asociados a la inestabilidad mecánica
del pozo, provocan aproximadamente el 40 % de todo el tiempo de inactividad de las
operaciones de perforación (Gala, 2010). Los costos estimados en la industria petrolera
por problemas derivados de la inestabilidad del pozo son del 15 al 25 % del costo total de la
operación (McAteer, 2016), por lo que se debe hacer énfasis en el estudio de la estabilidad
de pozos considerando las caracterı́sticas de las formaciones mexicanas.
Una roca se puede asumir que se comporta como un medio isótropo o anisótropo. Un
medio es isótropo cuando sus propiedades no varı́an respecto a la dirección en que son
medidas. En caso contrario, un medio es anisótropo cuando sus propiedades varı́an de
acuerdo con la dirección en que son medidas (Frydman, 2010).
Diversos autores como Chenevert y Gatlin (1964), Zhang (2005), Frydman (2010) y
Franquet et al. (2012) mencionan que en la mayorı́a de los análisis de estabilidad de pozos
la roca es modelada como un medio isótropo, aún inclusive cuando en las mediciones
25
26 Capı́tulo 1. Introducción
acústicas en muestras y en datos de registros de pozo muestren una gran diferencia entre
los valores medidos en las direcciones vertical y horizontal. Consideran al mismo tiempo
que los esfuerzos horizontales son iguales y que no existen deformaciones horizontales,
por consiguiente, los modelos generan errores en la predicción (Franquet et al., 2012). La
mayorı́a de las rocas sedimentarias, especialmente las lutitas, son anisótropas debido a
su estructura sus propiedades varı́an dependiendo de la dirección en las que se miden
(Ostadhassan, 2012). Las lutitas exhiben anisotropı́a en una sola dirección, es decir,
sus propiedades poseen los mismos valoresen todo el plano de estratificación y varı́an
perpendicular a este plano, dándole el carácter de material trasversalmente isótropo (Zhang,
2005; Frydman, 2010).
Por otra parte, existen diversas pruebas que se utilizan comúnmente para calibrar
los esfuerzos horizontales. Una prueba directa para determinar la magnitud del esfuerzo
horizontal mı́nimo es por medio de las pruebas de goteo. Las pruebas de goteo son pruebas
de presión que se realizan después de haber cementado la tuberı́a de revestimiento durante
la perforación. El valor de dicha prueba es considerado igual al esfuerzo horizontal mı́nimo
medido a una profundidad dada, por tanto, decimos que se determina la magnitud del
esfuerzo de manera puntual y podemos calibrar el perfil de esfuerzos calculado por algún
modelo matemático (López et al., 2011; Moronkeji, 2014).
A partir de las pruebas de goteo y al considerar la variación de las propiedades en la
roca, podemos estimar las deformaciones horizontales que actúan en el punto donde fue
medido el valor del esfuerzo horizontal menor (Moronkeji, 2014).
El propósito de la presente tesis es evaluar la influencia que tiene la anisotropı́a de
formaciones arcillosas sobre la determinación de los esfuerzos horizontales. Por lo que
se desarrolló una metodologı́a que considera la variación de las propiedades mecánicas
y las deformaciones en la determinación de la magnitud de los esfuerzos horizontales en
formaciones con alto contenido de arcilla, y ası́ mantener la estabilidad mecánica del pozo.
1.1. Justificación 27
1.1. Justificación
Las lutitas constituyen más del 75 % de las formaciones perforadas, y más del 70 %
de los problemas de perforación están relacionados con la inestabilidad en las lutitas
(Mohiuddin 2001). La mayorı́a de los problemas que aumentan los costos de las operaciones
de perforación están relacionados con la estabilidad del pozo. Las pérdidas económicas
asociadas a estos problemas de estabilidad mecánica en las lutitas a nivel mundial se han
ido incrementando por la falta de estudios que involucren el análisis geomecánico de las
lutitas como medios anisótropos (Zhang, 2005).
En la tabla 1.1, se enlistan algunos estimados de los costos ocasionados por la
inestabilidad de pozos según diversos autores en el periodo de 1996 al 2016, siendo
aproximadamente el 40 % del total de tiempos no productivos de las operaciones de
perforación.
Tabla 1.1: Listado de los costos asociados con problemas de inestabilidad.
Modelos convencionales como el de Hubbert y Willis (1957), Matthews y Kelly (1967),
Eaton (1969), Breckel and Van Eekelen (1982), Daines (1982), Zoback y Healy (1984) y
Holbrook (1990) no consideran la anisotropı́a y las deformaciones horizontales, ası́ también
asumen que los esfuerzos horizontales máximo y mı́nimo son iguales. Diversos estudios
realizados en laboratorio reportan que para condiciones estáticas y dinámicas las rocas
con alto contenido de arcilla presentan anisotropı́a tan alto como el 100 %. Por lo tanto, la
28 Capı́tulo 1. Introducción
anisotropı́a y la diferencia en las magnitudes de los esfuerzos máximo y mı́nimo no puede
ser despreciada (Amadei, 1996; Wang, 2001; Frydman, 2010).
1.2. Hipótesis
La incertidumbre en la determinación de los esfuerzos horizontales se puede reducir
considerando la variación de las propiedades mecánicas y las deformaciones horizontales
en el análisis de estabilidad de pozos.
1.3. Objetivo
Desarrollar una metodologı́a para determinar los esfuerzos horizontales a partir de
registros básicos de pozo que considere los efectos de la anisotropı́a y las deformaciones
horizontales en formaciones con alto contenido de arcilla.
1.4. Alcances
Determinar el tipo de anisotropı́a presente en muestras representativas de la formación
Guayabal a partir de mediciones ultrasónicas de laboratorio.
Definir los modelos fı́sico-matemáticos de esfuerzos horizontales de acuerdo al tipo de
anisotropı́a que presenta la Formación Guayabal.
Desarrollar un modelo de velocidad de corte determinada a partir de valores de
velocidad compresional y del contenido de arcilla.
Definir y calibrar los modelos de Li (2006) para obtener los módulos elásticos.
Estimar las deformaciones horizontales a partir de pruebas de goteo de la formación
Guayabal.
1.4. Alcances 29
Determinar los esfuerzos horizontales en la formación Guayabal utilizando los modelos
fı́sico-matemáticos de esfuerzos horizontales que consideran la anisotropı́a y las
deformaciones horizontales.
Realizar el análisis de incertidumbre de los valores obtenidos con la metodologı́a y de
los valores de las pruebas de goteo.
Realizar el análisis de sensibilidad de los modelos isótropos y anisótropos para
determinar los esfuerzos horizontales.
**
Capı́tulo 2
Fundamento teórico de geomecánica
2.1. Geomecánica y estabilidad mecánica de pozos
La ciencia encargada del estudio de la estabilidad mecánica de pozos es la geomecánica.
Esta disciplina se enfoca en elaborar modelos predictivos y consistentes de las propiedades,
esfuerzos y deformaciones en la roca. Por lo que integra diversas áreas como la mecánica de
rocas, geofı́sica, geologı́a, petrofı́sica, perforación y producción con el objetivo de cuantificar
el comportamiento de la roca debido a esfuerzos in-situ, presiones, temperatura y flujo
de fluidos (Trejo, 2009; Aadnoy et al., 2010). En el estudio del comportamiento mecánico
asumimos que las rocas siguen la teorı́a de la elasticidad lineal (Ley de Hooke). Un
medio sigue la teorı́a de elasticidad si las deformaciones asociadas con una carga vuelven
a su estado original al dejar de aplicar dicha carga, en las rocas este comportamiento
elástico se cumple cuando se someten a deformaciones pequeñas (Amadei, 1983). Es
fundamental entender el comportamiento mecánico de las formaciones para prevenir
problemas relacionados con la estabilidad del pozo (Davis y Selvadurai, 2005).
Durante las operaciones de perforación, existen diversos factores que influyen en la
inestabilidad del pozo, como son los esfuerzos in-situ existentes, las propiedades mecánicas
de la roca, la variación de la presión de poro, la densidad del lodo, el ángulo y dirección del
pozo y la anisotropı́a (Zeynali, 2012).
31
32 Capı́tulo 2. Fundamento teórico de geomecánica
Figura 2.1: Representación “ideal” de la ventana operativa para mantener la estabilidad del pozo. La
zona sombreada que se encuentra entre la curva de presión de colapso y el esfuerzo horizontal mı́nimo,
en todo el perfil del pozo, es la zona segura donde podemos variar la densidad del lodo de perforación
sin presentar pérdidas de circulación o brotes.
2.2. Teorı́a de elasticidad lineal 33
Al considerar los problemas de estabilidad de pozo que podrı́an ocurrir durante la
perforación, primero debemos entender lo que queremos decir con pozo estable y densidad
de lodo óptima. Los conceptos anteriores se esclarecerán con la definición de la ventana
operativa para la perforación, un término que hace referencia a la diferencia entre el peso
mı́nimo y máximo del lodo que se deberı́a usar cuando se perfora a una profundidad
determinada (figura 2.1).
Si la estabilidad del pozo no es una preocupación en un área determinada, la mı́nima
densidad de lodo se define igual a la presión necesaria para que un pozo no fluya durante la
perforación. Cuando se considera la estabilidad del pozo, el lı́mite inferior de la ventana de
lodo es la mı́nima densidad de lodo requerida para lograr el grado deseado de estabilidad
del pozo. En ambos casos, el lı́mite superior de la ventana operativa es la densidad de lodo
a la que se produce la pérdida de fluido debido al vencimiento del esfuerzo mı́nimo para
generar una fractura en la formación (Zoback, 2007).
La zona sombreada de la figura 2.1 se refiere a la zona estable, es decir, a las condiciones
de densidad de lodo seguras para trabajar sin que existaalgún riesgo como colapso
o pérdida de fluido. De manera que es de suma importancia determinar los perfiles de
presiones y esfuerzos considerando todos los factores que influyen sobre los mismos.
2.2. Teorı́a de elasticidad lineal
En 1660 Robert Hooke postuló una relación lineal entre la fuerza aplicada y su
correspondiente deformación debido a la acción de las fuerzas que actúan sobre el medio.
Las rocas como en la mayorı́a de los materiales sólidos tienen la capacidad de resistir y
recuperarse de deformaciones producidas por fuerzas externas (Davis y Selvadurai, 2005).
Los modelos más simples asumen una relación lineal entre la fuerza aplicada y su
deformación correspondiente, a esto se le conoce como elasticidad lineal. Bajo ciertas
condiciones, el comportamiento mecánico de las rocas sigue una suposición elástica lineal.
La teorı́a de la elasticidad lineal sigue la ley de Hooke, que relaciona el esfuerzo con la
deformación, es decir, la deformación es proporcional al esfuerzo aplicado como se muestra
34 Capı́tulo 2. Fundamento teórico de geomecánica
en la ecuación 2.1 (Gurtin, 1982; Gurtin et al., 2010; Cerca y Zúñiga, 2016).
σij = Cijklεkl (2.1)
Donde σij es el tensor de esfuerzos, εkl es el tensor de deformación y Cijkl es el tensor
de rigidez.
2.2.1. Deformación
Para cuerpos rı́gidos, la deformación es definida como el cambio de forma o posición
(Fjaer et al., 2008), es decir, es la relación que existe entre la diferencia de longitudes inicial
y final respecto la longitud inicial (ecuación 2.2).
ε =
li − lf
li
(2.2)
Existen dos tipos de deformación (Fjaer et al., 2008):
1. Externa: Produce cambios en la posición, pero no de su forma o de sus relaciones
geométricas y da como resultado una traslación o rotación del cuerpo.
2. Interna: Produce un cambio en su forma y en sus relaciones geométricas internas,
originando una distorsión dentro del cuerpo.
Tensor de deformación
Cuando un sólido se deforma, todos los puntos que lo constituyen cambian a una nueva
posición. Por ejemplo, en la figura 2.2 en algún punto (p) del cuerpo, al deformarse cambia
de posición y, por lo tanto, se representa como f(p). Ahora considerando dos puntos (p y q)
muy cercanos entre sı́, la distancia entre ellos antes de deformarse es O(p − q) y después
de la deformación es ∇(p)[p− q].
2.2. Teorı́a de elasticidad lineal 35
Figura 2.2: Desplazamiento del sólido durante la deformación (modificado de Gurtin, 1982).
Por lo tanto, las distancias antes y después de deformarse se expresan con las
ecuaciones 2.3 y 2.4 (Gurtin, 1982; Gurtin et al., 2010):
dl =
√
dx2i =
√
dx21 + dx
2
2 + dx
2
3 (2.3)
dl
′
=
√
dx
′2
i =
√
dx
′2
1 + dx
′2
2 + dx
′2
3 (2.4)
Donde:
O(p− q) =
√
dx2i (2.5)
∇(p)[p− q] =
√
dx
′2
i = dxi + dui (2.6)
36 Capı́tulo 2. Fundamento teórico de geomecánica
Sustituyendo dui = duidxj dxj en ecuación 2.6, tenemos:
√
dx
′2
i = dxi + dui
dx
′2
i = (dxi + dui)
2
= (dxi +
dui
dxj
dxj)
2
dx
′2
i = dx
2
i + 2
dui
dxj
dxjdxi +
dui
dxj
dui
dxk
dxjdxk (2.7)
Sabiendo que dl′2 = dx′2i y dl2 = dx2i , sustituimos en la ecuación anterior, resultando la
siguiente expresión:
dl
′2 = dl2 + 2
dui
dxj
dxjdxi +
dui
dxj
dui
dxk
dxjdxk (2.8)
En el tercer término intercambiamos los subı́ndices i y k para escribir la distancia entre
los puntos una vez deformado el cuerpo, resultando:
dl
′2 = dl2 + 2εijdxjdxi (2.9)
Donde εij es la deformación producida por la acción de las fuerzas actuando sobre el
cuerpo, y podemos representarlo con la ecuación 2.10.
εij =
1
2
(
dui
dxj
+
duj
dxi
+
duk
dxj
duk
dxi
) (2.10)
εij es un tensor de segundo orden positivo y simétrico (εij = εji). Mejor conocido como el
tensor de deformación. Sin embargo, en la mayorı́a de los casos se trata con deformaciones
muy pequeñas y al multiplicar las diferenciales son aproximadamente igual a cero, por lo
que podemos despreciar el tercer término de la ecuación 2.10. Por consiguiente, la ecuación
anterior queda de la siguiente manera:
2.2. Teorı́a de elasticidad lineal 37
εij =
1
2
(
dui
dxj
+
duj
dxi
) (2.11)
Podemos expresar la ecuación 2.11 de la forma matricial, donde i, j = 1 a 3.
εij =

du1
dx1
1
2
(du1
dx2
+ du2
dx1
) 1
2
(du1
dx3
+ du3
dx1
)
1
2
(du2
dx1
+ du1
dx2
) du2
dx2
1
2
(du2
dx3
+ du3
dx2
)
1
2
(du3
dx1
+ du1
dx3
) 1
2
(du3
dx2
+ du2
dx3
) du3
dx3
 (2.12)
2.2.2. Fuerzas, vector tracción y esfuerzos
El término fuerza puede ser definido como cualquier acción que se ejerce sobre un
cuerpo capaz de modificar la cantidad de movimiento o la forma del medio. Se caracteriza
por un punto de aplicación, una magnitud y una dirección. En cuerpos rı́gidos, se considera
el volumen del cuerpo y también el hecho de que las fuerzas actúan sobre distintas
partı́culas, por lo tanto tienen distintos puntos de aplicación. Las fuerzas que actúan sobre
un cuerpo rı́gido se pueden dividir en dos grupos como se observa en la figura 2.3 (Hibbeler,
2004; Beer et al., 2007; Gurtin et al., 2010).
1. Fuerzas externas. Es aquella acción que ejercen otros cuerpos sobre el cuerpo rı́gido
en estudio. Este tipo de fuerzas causan que el cuerpo rote o se traslade. También se
denominan fuerzas de superficie.
2. Fuerzas internas. Es aquella acción que se ejerce en el interior del cuerpo rı́gido
provocadas por el exterior, causando que el cuerpo se deforme internamente, es decir,
las partı́culas cambien de posición, ocasionando un cambio de la forma del cuerpo.
También se denominan fuerzas de cuerpo.
Si consideramos un cuerpo sometido a un conjunto de fuerzas internas, podemos
representarla por medio de un vector denominado tracción (resultante de las fuerzas sobre
38 Capı́tulo 2. Fundamento teórico de geomecánica
el área). En cualquier punto dado del cuerpo podemos imaginar un plano cortando a través
del cuerpo sólido. Tal plano se encuentra en el interior del cuerpo como se observa en la
figura 2.4 (Jaeger et al., 2007; Cerca y Zúñiga, 2016). La tracción puede ser definida como
la fuerza resultante aplicada sobre un cuerpo por unidad de área y se representa con la
siguiente ecuación:
~T = ĺım
dA→0
d~F
dA
(2.13)
Donde ~F es la fuerza resultante aplicada y A es el área transversal.
Figura 2.3: Conjunto de fuerzas internas y externas aplicadas en un cuerpo rı́gido (modificado de Gurtin
et al. 2010).
En general, el vector tracción se encuentra en función de la localización del punto P( ~X),
donde ~X=(x,y,z). Por otro lado, en cualquier punto dado, la tracción es diferente en los
diferentes planos que intersectan dicho punto, entonces, el vector tracción se encuentra
en función del punto P( ~X) y del vector normal al plano n (figura 2.4).
El vector tracción es difı́cil de manejar debido a que es una función de dos vectores, por
lo que, en el año de 1823 el matemático francés Augustin Baron Cauchy dio a conocer el
concepto de esfuerzo, el cual es un tensor de segundo orden (Jaeger et al., 2007; Zang y
Stephansson, 2009).
2.2. Teorı́a de elasticidad lineal 39
Figura 2.4: Representación del vector normal al área y la tracción en un punto P sobre el área
(Modificado de Gurtin et al. 2010).
Cualquier vector tracción se descompone en esfuerzos normales al plano o área
transversal σ, y en esfuerzos cortantes paralelos al área transversal τ .
~T = ~Tnormal + ~Ttangencial (2.14)
Donde:
~Tnormal = σ y ~Ttangencial = τ (2.15)
Figura 2.5: Componentes del tensor de esfuerzos (Modificado de Gurtin et al. 2010).
40 Capı́tulo 2. Fundamento teórico de geomecánica
Si se considera un sistema cartesiano como referencia (figura 2.5) en un volumen
infinitesimal del cuerpo sometido a tracciones, un paralelepı́pedo (P) de aristas dx, dy y
dz. Sobre cada cara del paralelepı́pedo actuará un esfuerzo distinto cuyas componentes
normales serı́an perpendiculares a las caras y cuyas componentes cortantes paralelas a
las caras, en las direccionesde los ejes coordenados contenidos en las caras (Zang y
Stephansson, 2009; Cerca y Zúñiga, 2016).
De acuerdo con la figura 2.6 se tienen 18 componentes de esfuerzos. Asumiendo un
equilibrio mecánico en el paralelepı́pedo, es decir que no se desplace, se obtiene que los
esfuerzos cortantes en las caras opuestas deben ser iguales entre sı́, pero con sentido
contario. Por otra parte, para que el paralelepı́pedo no gire los momentos deben ser nulos
(Hudson y Harrison, 2000; Fjaer et al., 2008).
A esto se le conoce como teorema de reciprocidad de los esfuerzos cortantes y se
expresa de la siguiente manera:
τij = τji (2.16)
Figura 2.6: Teorema de reciprocidad de los esfuerzos cortantes (Modificado de Fjaer et al., 2008).
Donde i y j = x, y, z y, por lo tanto, esto implica que:
τxy = τyx
τxz = τzx
τyz = τzy
(2.17)
2.2. Teorı́a de elasticidad lineal 41
De lo anterior podemos decir que de los 18 vectores de esfuerzos, 6 son independientes.
Si cortamos el paralelepı́pedo en forma diagonal por la mitad obtendremos un tetraedro
como se muestra en la figura 2.7. En la cara oblicua tenemos las componentes del vector
tracción (~T ). Los esfuerzos están dados por la proyección del vector tracción a la normal del
plano, por lo que, podemos expresar los 6 vectores de esfuerzos independientes (Fjaer et
al., 2008; Zang y Stephansson, 2009).
Ti =
3∑
j=1
σij · nj (2.18)
Figura 2.7: Tetraedro elemental entorno al paralelepı́pedo (Modificado de Fjaer et al., 2008).
Para i = x, y, z tenemos:
Tx = σxx · nx + τxy · ny + τxz · nz
Ty = τyx · nx + σyy · ny + τyz · nz
Tz = τzx · nx + τzy · ny + σzz · nz
(2.19)
El tensor de esfuerzos podemos expresarlo en su forma matricial, en términos de los ejes
coordenados y aplicando el teorema de reciprocidad de los esfuerzos cortantes:
σij =

σx τxy τxz
τxy σy τyz
τxz τyz σz
 (2.20)
42 Capı́tulo 2. Fundamento teórico de geomecánica
Nótese que el tensor de esfuerzos es simétrico respecto a la diagonal principal, es decir,
los esfuerzos cortantes que se encuentran encima de la diagonal principal son equivalente
a los esfuerzos cortantes respectivos de la parte inferior. Dicha matriz muestra esta simetrı́a
después de haber tenido en cuenta la igualdad de los componentes de esfuerzos cortantes
respectivos.
Esfuerzos principales
Las magnitudes de las componentes de esfuerzos normales y de corte en un cuerpo
sometido a una tracción dependerán de la orientación del cubo dentro del propio cuerpo
(figura 2.8). Por lo tanto, para llegar a un estado de esfuerzos principales debemos
considerar las direcciones en las que las componentes de esfuerzos normales toman valores
máximos y mı́nimos (Hudson y Harrison, 2000).
Figura 2.8: Orientación del cubo mostrando la anulación de los esfuerzos cortantes (Modificado de
Hudson y Harrison, 2000).
Esfuerzos efectivos
Hasta el momento solo hemos hablado de cuerpos rı́gidos, sin embargo, nuestro objeto
de estudio son rocas sedimentarias, las cuales poseen cierta porosidad. Por lo tanto, pueden
contener fluidos a una presión diferente que los esfuerzos que actúan sobre los granos
sólidos (Mouchet y Mitchell, 1989; Zoback, 2007).
2.2. Teorı́a de elasticidad lineal 43
En 1923, Terzagui propuso el término de esfuerzos efectivos. Demostró que la carga
ejercida en una roca se distribuye tanto en el fluido como en la matriz (Selley et al., 2005).
Podemos expresar lo anterior con la ecuación 2.21.
σ
′
ij = σji − δijPp (2.21)
Donde σ′ij es el esfuerzo efectivo, σij es el tensor de esfuerzos, δij es la delta de Kroneker
y Pp es la presión de poro. La expresión anterior fue propuesta para arcillas, rocas con alto
porcentaje de porosidad. Para rocas con menos contenido de arcilla, Biot (1955) tomó en
consideración que la presión de los poros también desempeñan un papel importante en la
deformación (Mitchell y Mouchet, 1989; Zoback, 2007). La ecuación 2.21 ahora se expresa
como sigue:
σ
′
ij = σji − δijαPp (2.22)
Donde α es el coeficiente de Biot, y define la relación de la compresibilidad de la matriz
Km y la compresibilidad total de la roca Kt (Zoback, 2007). El coeficiente de Biot se puede
expresar como:
α = 1− (Km/Kt) (2.23)
2.2.3. Propagación de ondas elásticas
Podemos definir a las ondas elásticas como perturbaciones mecánicas que se propagan
a través de un material. Las ondas elásticas en las rocas se propagan con una cierta
velocidad que dependen principalmente de la densidad de la roca (Fjaer et al., 2008). Los
módulos elásticos dinámicos se determinan a partir de las velocidades compresional y de
corte con la que se propagan las ondas elásticas en el medio. Usualmente, en la mayoria
de los problemas de la mecánica de rocas, suponemos que la roca se encuentra bajo la
acción de efuerzos estáticos. Sin embargo, hay una serie de situaciones importantes en las
que los esfuerzos son de naturaleza dinámica y se debe considerar la propagación de estos
esfuerzos a través de la roca como una onda (Jaeger et al., 2008).
44 Capı́tulo 2. Fundamento teórico de geomecánica
En la corteza podemos definir a dos tipos de ondas: compresionales o longitudinales Vp
y de corte o cizalla Vs. Las ondas compresionales, como su nombre lo indica comprimen
y dilatan al medio en dirección de la onda. Por otro lado las ondas de cizalla son ondas
en las cuales el desplazamiento es transversal a la dirección de propagación. En un medio
isótropo y homogéneo la velocidad de propagación de las ondas compresionales y de cizalla
se puede determinar a partir de los módulos elásticos como son: el módulo de Young E y la
relación de Poisson ν o a partir de los coeficientes de rigidez C33 y C44.
Vp =
√√√√E(2 + ν(1− 2ν))
ρ(1 + ν)
=
√
C33
ρ
(2.24)
Vs =
√
E
2ρ(1 + ν)
=
√
C44
ρ
(2.25)
2.2.4. Anisotropı́a
Si la respuesta elástica de un material depende de su orientación para un campo de
esfuerzos dado, se dice que el material se comporta como un medio anisótropo, es decir,
varı́an sus propiedades fı́sicas según la dirección en la que se miden (Nauroy, 2011).
El concepto de anisotropı́a, en la mecánica de rocas, se refiere a la variación de
los módulos elásticos (Cijkl) en sus diferentes direcciones. Los principales factores que
generan anisotropı́a en las rocas sedimentarias son: la alineación de cristales, alineación
de los sedimentos, presencia de fracturas, grietas y porosidad, que pueden detectarse
a microescala, y por la formacion de estratos o laminas en formaciones que podemos
identificar a nivel macroescala (Koesoemadinata y McMechan, 2004).
Anisotropı́a de acuerdo a la simetrı́a del tensor de rigidez
En el caso más general, un tensor de rigidez tiene 81 módulos elásticos, debido a que
Cijkl es un tensor de cuarto orden y los subı́ndices van de 1 a 3, por lo tanto, se tienen 34 =
81 constantes elásticas (Fjaer et al., 2008). Se asume que no existe simetrı́a en los tensores,
es decir, al intercambiar el par de subı́ndices conlleva a alterar el signo del tensor.
2.2. Teorı́a de elasticidad lineal 45
Cijkl 6= Cjikl y Cijkl 6= Cjilk (2.26)
En la figura 2.9, se representa el caso general de forma matricial donde se tienen las 81
constantes elásticas.
Figura 2.9: Representación matricial de anisotropı́a total donde se asume que el tensor no tiene
simetrı́a.
Para aplicaciones prácticas, es posible simplificar el tensor de rigidez (Fjaer et al., 2008;
Schön, 2015). El tensor de rigidez es simétrico debido a que los tensores de esfuerzo
y deformación son simétricos. Para este caso, la matriz se reduce a una sola con 36
coeficientes. Dado que al intercambiar el par de subı́ndices en cualquier posición el tensor
no se ve alterado y es equivalente a:
Cijkl = Cjikl y Cijkl = Cjilk (2.27)
Tabla 2.1: Reducción de subı́ndices utilizando la notación de Voigt (Schön, 2015).
Ahora, utilizando la notación de Voigt, como se muestra en la tabla 2.1, podemos facilitar
el uso de la ecuaciónconstitutiva. La notación se basa en la simetrı́a del tensor para
considerar solo los valores no repetidos y lograr una representación con menos valores
(Schön, 2015).
46 Capı́tulo 2. Fundamento teórico de geomecánica
Por lo tanto, de nuestra expresión general con cuatro subı́ndices (i, j, k, l) ahora tenemos
solamente dos(i, j) facilitando el uso del tensor para estudios relacionados con la mecánica
de rocas.
σij = Cjiklεkl ⇒ σi = Cjiεj (2.28)
De tal manera que nuestra expresión matricial la representamos ahora con solo dos
subı́ndices i y j.

σ1
σ2
σ3
τ4
τ5
τ6

=

C11 C12 C13 C14 C15 C16
C21 C22 C23 C24 C25 C26
C31 C32 C33 C34 C35 C36
C41 C42 C43 C44 C45 C46
C51 C52 C53 C54 C55 C56
C61 C62 C63 C64 C65 C66


ε1
ε2
ε3
γ4
γ5
γ6

(2.29)
Aplicando las condiciones de preservación de energı́a podemos reducir aún más las
constantes de rigidez, dando otro tipo de simetrı́a en la matriz de rigidez. La densidad de
energı́a de deformación se refiere al aumento de energı́a interna acumulada en el interior
de un sólido deformable por acción del trabajo realizado derivado de la fuerza que provoca
la deformación (figura 2.10). Dicho de otro modo, la densidad de energı́a de deformación es
igual al área bajo la recta que define la relación entre el esfuerzo y la deformación. Por lo
que el sólido depende principalmente de sus propiedades mecánicas (Wierzbicki, 2013).
La expresión se obtiene de la integración de la ecuación 2.12 y se expresa como se
muestra en la ecuación 2.30.
ψ(εij) =
∫
σij∂εij =
∫
Cijklεkl∂εij =
1
2
Cijklεklεij (2.30)
Aplicando el teorema de Clairaut y asumiendo que podemos calcular la derivada sin
importar el orden de derivación, es decir, existen las derivadas cruzadas y son continuas.
2.2. Teorı́a de elasticidad lineal 47
Figura 2.10: Representación gráfica de la relación lineal existente entre el esfuerzo σ y la deformación
ε. Se observa el aumento de energı́a de deformación acumulada en de un sólido sometido a un esfuerzo
(Wierzbicki, 2013).
Entonces,
∂2ψ(εij)
∂εkl∂εij
=
∂
∂εkl
[
∂
∂εij
ψ(εij)
]
=
∂
∂εkl
[
∂
∂εij
(
1
2
Cijklεklεij
)]
=
∂
∂εkl
(Cijklεkl)
⇒ ∂
2ψ(εij)
∂εkl∂εij
= Cijkl (2.31)
∂2ψ(εkl)
∂εij∂εkl
=
∂
∂εkl
[
∂
∂εij
ψ(εkl)
]
48 Capı́tulo 2. Fundamento teórico de geomecánica
=
∂
∂εij
[
∂
∂εkl
(
1
2
Cklijεijεkl
)]
=
∂
∂εij
(Cklijεij)
⇒ ∂
2ψ(εkl)
∂εij∂εkl
= Cklij (2.32)
Como asumimos que existı́a continuidad en la derivación cruzada, en consecuencia:
Cijkl = Cklij (2.33)
Podemos concluir que existe simetrá en el tensor de rigidez. Por lo tanto, de nuestra
matriz de 36 constantes ahora se reduce a solo 21 constantes (ecuación 2.34).

σ1
σ2
σ3
τ4
τ5
τ6

=

C11 C12 C13 C14 C15 C16
C12 C22 C23 C24 C25 C26
C13 C23 C33 C34 C35 C36
C14 C24 C34 C44 C45 C46
C15 C25 C35 C45 C55 C56
C16 C26 C36 C46 C56 C66


ε1
ε2
ε3
γ4
γ5
γ6

(2.34)
Nótese que existe simetrı́a en la expresión 2.34 respecto a la diagonal principal. En
las rocas se define como la variación de las propiedades en cualquier dirección, se debe
principalmente a la constitución del material y a las fracturas presentes en el la formación
(figura 2.11a). Este tipo de anisotropı́a se debe al tipo de arreglo molecular que compone al
sólido. En este caso, corresponde a una estructura trı́clinica donde el arreglo está definido
en la figura 2.11b. Actualmente, determinar o modelar un comportamiento mécanico de una
roca considerando una anisotropı́a con estructura trı́clinica es costoso, por lo que, para fines
prácticos se reducen los coeficientes de rigidez asumiendo estructuras menos complejas.
2.2. Teorı́a de elasticidad lineal 49
Figura 2.11: a) Representación de la roca donde las propiedades meánicas dependen de la dirección
en que son medidas; b) Estructura trı́clinica, representa un arreglo donde las magnitudes de las aristas
y los ángulos son diferentes.
Si ahora consideramos el tipo de estructura del material podemos reducir aún más las
constantes. Un material ortótropo tiene tres ejes ortogonales entre sı́, de doble simetrı́a
rotacional, de forma que sus propiedades mecánicas son, en general, diferentes en las
direcciones de cada uno de esos ejes (figura 2.12).
Una de las justificaciones más comunes para asumir a un material como ortótropo en
las rocas es una combinación de fracturas verticales paralelas con estratos horizontales. Si
la roca tiene un conjunto de fracturas perpendiculares, se va a comportar como un medio
ortótropo. Usando la notación matricial, para una estructura ortorrómbica, se puede reducir
a 9 coeficientes de rigidez como se muestra en la ecuación 2.35 (Franquet et al., 2012).
Figura 2.12: a) Representación de la roca como un medio ortótropo donde sus propiedades varı́an
en tres direcciones ortogonales entre sı́; b) Estructura ortorrómbica, representa un arreglo donde las
magnitudes de las aristas son diferentes y los ángulos iguales.
50 Capı́tulo 2. Fundamento teórico de geomecánica

σ1
σ2
σ3
τ4
τ5
τ6

=

C11 C12 C13 0 0 0
C12 C22 C23 0 0 0
C13 C23 C33 0 0 0
0 0 0 C44 0 0
0 0 0 0 C55 0
0 0 0 0 0 C66


ε1
ε2
ε3
γ4
γ5
γ6

(2.35)
Las rocas con alto contenido de arcilla presentan una estructura laminar, normalmente
las capas de estratificación o laminas oscilan desde unos pocos milı́metros hasta cientos
de metros (Davidson, 1999). Esta estructura tı́pica en las lutitas se debe a los minerales
arcillosos que le dan sus propiedades mecánicas únicas (Sharma, 2004). Este tipo de
estructura es caracterizado como un medio isótropo transversal (figura 2.13). En este caso,
la matriz de rigidez se reduce a 6 constantes elásticas y dependiendo de la dirección del eje
paralelo al plano isótropo se definirá como isotropı́a transversal vertical (VTI) u horizontal
(HTI) como se muestra en la figura 2.13a y 2.13b, respectivamente.
Figura 2.13: Representación de la roca como un medio con isotropı́a transversal vertical (a) y horizontal
(b); c) Estructura ortorrómbica caracterı́stica de un medio con isotropı́a transversal.
Por consiguiente, la matriz de rigidez dependerá de la dirección del eje de simetrı́a
perpendicular al plano isótropo como se muestra en las ecuaciones 2.36 para un VTI y
2.37 para un HTI (Zhang, 2005; Frydman, 2010).
2.2. Teorı́a de elasticidad lineal 51

σ1
σ2
σ3
τ4
τ5
τ6

=

C11 C12 C13 0 0 0
C12 C11 C13 0 0 0
C13 C13 C33 0 0 0
0 0 0 C44 0 0
0 0 0 0 C44 0
0 0 0 0 0 C66


ε1
ε2
ε3
γ4
γ5
γ6

(2.36)

σ1
σ2
σ3
τ4
τ5
τ6

=

C11 C13 C13 0 0 0
C13 C33 C23 0 0 0
C13 C23 C33 0 0 0
0 0 0 C44 0 0
0 0 0 0 C66 0
0 0 0 0 0 C66


ε1
ε2
ε3
γ4
γ5
γ6

(2.37)
Para el caso más general, donde no varı́an sus propiedades respecto a la dirección
medida, la matriz de constitutividad se reduce a tan solo 3 constantes elásticas. Debido
a que solo se deben determinar dos de estas tres, ya que la tercera variable depende de
las otras dos, es la manera más práctica para modelar el comportamiento meánico de las
formaciones. La figura 2.14 representa a una roca isótropa debido a su estructura cúbica.
Figura 2.14: a) Representación de la roca como un medio isótropo donde sus propiedades son iguales
en cualquier dirección; b)Estructura cúbica, representa un arreglo donde las magnitudes de las aristas
y los ángulos iguales.
Por lo tanto, la expresión matricial de la ley de elasticidad lineal para un medio isótropoqueda de la siguiente manera.
52 Capı́tulo 2. Fundamento teórico de geomecánica

σ1
σ2
σ3
τ4
τ5
τ6

=

C11 C12 C12 0 0 0
C12 C11 C12 0 0 0
C12 C12 C11 0 0 0
0 0 0 C44 0 0
0 0 0 0 C44 0
0 0 0 0 0 C44


ε1
ε2
ε3
γ4
γ5
γ6

(2.38)
Tipo de anisotropı́a
Existen dos tipos de anisotropı́a que se pueden presentar en una roca sedimentaria:
intrı́nseca e inducida. La anisotropı́a intrı́nseca se debe al resultado de la orientación
preferencial de los granos y los poros de la roca que pueden generarse por la composición
del sedimento, el tamaño y forma del grano, mientras que la anisotropı́a inducida es
originada por la tensión que sufre la roca asociada con los esfuerzos in-situ sobre las
fracturas y el proceso de diagénesis (Wang, 2001).
La anisotropı́a en las rocas se desarrolla durante la deposición y durante los procesos
que tienen lugar después de esta. En los sedimentos clásticos, la anisotropı́a puede surgir
durante y después de la depositación. Por ejemplo, en carbonatos la anisotropı́a esá
controlada principalmente por fracturas y procesos diagenéticos, y por lo tanto, la anisotropı́a
tiende a surgir después de la depositación. Muchas causas de la anisotropı́a inducida
se agrupan bajo los procesos de diagénesis: la alteración fı́sica, quı́mica o biológica del
sedimento durante y después de la compactación de los sedimentos. La compactación
debida al esfuerzo de sobrecarga puede causar la rotación de los ejes de grano respecto al
plano horizontal (Anderson et al., 1994, Koesoemadinata y McMechan, 2004).
En la naturaleza existe la estratificación que origina una forma de anisotropı́a intrı́nseca,
en muchas estructuras sedimentarias como en las lutitas o formaciones con alto contenido
de arcilla, la anisotropı́a se desarrolla cuando se tiene algún grado de uniformidad
y homogeneidad, es decir, cuando varı́a la composición, tamaño, forma, orientación y
compactación de los sedimentos las lutitas desarrollarán anisotropı́a intrı́nseca (Anderson
et al., 1994).
2.3. Estado de esfuerzos en la corteza 53
Grado de anisotropı́a
El grado de anisotropı́a se define como la medición de la influencia de la anisotropı́a
respecto a mediciones de velocidades compresional y de corte en las direcciones vertical
y horizontal, es decir, se determina la desviación con respecto a la isotropı́a del medio
(Tsvankin, 2010). Thomsen (1986) introdujo los parámetros anisótropos para medios de
isotropı́a transversal vertical (VTI), con la finalidad de describir el comportamiento de las
velocidades en las diferentes direcciones. El parámetro epsilon (ε) se utiliza para percibir
la diferencia de las ondas compresionales que viajan horizontal y verticalmente (ecuación
2.39). De igual manera se utiliza el parámetro gamma (γ) pero para las ondas de corte
(ecuación 2.40). Por último, el parámetro delta (δ) es una combinación de constantes
elásticas que denota la diferencia de velocidades en ángulos de 0, 45 y 90 grados (ecuación
2.41).
ε =
C11 − C33
2C33
(2.39)
γ =
C66 − C44
2C44
(2.40)
δ =
(C13 + C44)
2 − (C33 − C44)2
2C33(C33 − C44)
(2.41)
Los tres parámetros de Thomsen y las velocidades compresionales y de corte son
utilizados para determinar la velocidad de fase con la que se propaga una onda en función
del ángulo para medios anisótropos. La determinación de las velocidades de fase es útil
para visualizar la propagación de la onda en el espacio tridimensional en un medio VTI.
2.3. Estado de esfuerzos en la corteza
En las rocas, como en todos los sólidos, la magnitud de los esfuerzos no necesariamente
es igual en todas sus direcciones ortogonales. Los esfuerzos en la corteza son
representados por tres esfuerzos principales que se encuentran `̀ casi´́ en equilibrio como
se muestra en la figura 2.15 (Zoback, 2007; Zang y Stephansson, 2009; Velázquez et al.,
2017).
54 Capı́tulo 2. Fundamento teórico de geomecánica
Figura 2.15: Estado de esfuerzos principales en la corteza (modificado de Zoback, 2007).
A estos tres esfuerzos in-situ se les asume que están actuando de manera vertical y
horizontal. Lo anterior ha sido validada por muchos investigadores basandose en mediciones
directas de esfuerzos in situ, donde destacan Bulin (1971), Worotnicki y Walton (1976),
Amadei (1983), Klein y Brown (1983), Li (1986), Zoback (1989), Myrvang (1993) y Zang
y Stephansson (2009).
Al considerar las orientaciones horizontales y vertical, las magnitudes de los esfuerzos
principales pueden estimarse utilizando correlaciones que consideran la presión de poro,
el esfuerzo vertical y la profundidad que serán presentados en las siguientes secciones
(Zoback, 2007).
2.3.1. Presión de poro
La presión de poro se puede definir como aquella presión ejercida por los fluidos
contenidos en los espacios porosos de las rocas, ya sea agua, aceite o gas.
La presión de poro la podemos clasificar en (Swarbrick, 2001; Velázquez et al., 2017):
Presion de poro normal : Es igual a la presión hidrostática, esto se debe a que los
fluidos son expulsados conforme se compacta la roca.
2.3. Estado de esfuerzos en la corteza 55
Presion de poro anormal : Es aquella presión del fluido diferente a la hidrostática. Si
la presión excede a la presión hidrostática se le denomina sobrepresión o presión
anormal alta. En caso contrario, si es menor que la presión normal, se le denomina
subpresión o presión anormal baja. El origen de las presiones de poro anormal puede
ser causada principalmente por eventos mecánicos (por ejemplo desequilibrio en la
compactación), quı́micos (por ejemplo fenómenos osmóticos) o térmicos (por ejemplo
expansión de agua debido al incremento de temperatura).
Figura 2.16: Gráfico de presión vs profundidad representando la clasificación de las presiones
(modificado de Swarbrick, 2001).
Una correcta predicción de la presión de poro es un factor fundamental para calcular
adecuadamente los esfuerzos horizontales. La predicción de la presión de poro implica
cuantificarla a partir de la variación de las propiedades de la roca, en particular, los cambios
en la velocidad sónica o en la resistividad (Mouchet y Mitchell, 1989; Song, 2012).
56 Capı́tulo 2. Fundamento teórico de geomecánica
2.3.2. Esfuerzo vertical
El esfuerzo vertical, también llamado esfuerzo de sobrecarga, es un esfuerzo principal
y se define como el peso acumulado de los sedimentos en una cuenca sedimentaria. Está
en función de la densidad, la gravedad y la profundidad (Song, 2012). Se determina con la
siguiente expresión:
σv =
∫ z
0
ρr(z)g dz (2.42)
Donde ρr(z) es la densidad de cada estrato de roca, g es la gravedad, dz es el espesor
de cada estrato. En cualquier profundidad dada las rocas varı́an tanto en litologı́a como en
porosidad, sin embargo, para el cálculo del esfuerzo vertical se debe considerar que que las
formaciones se compactan normalmente y que la pérdida de porosidad está en función de
la profundidad. Por lo tanto, la densidad también varı́a en función de la profundidad. Cuando
los fluidos no lograron escapar de los poros se tiene una presión generada por dicho fluido,
lo cual provoca que el esfuerzo de sobrecarga este en función de la sumatoria del esfuerzo
sometido entre grano y grano más la presión de poro como se muestra en la figura 2.17
(Velázquez et al., 2017).
Figura 2.17: Esfuerzo de sobrecarga afectada por la presión de los fluidos y el esfuerzo vertical efectivo
(modificado de Velázquez et al., 2017).
Existen predicciones erróneas del esfuerzo de sobrecarga, cuando se utilizan los datos
directamente del registro de densidad debido a la presencia de los fluidos en los poros,
la calidad del agujero y la presencia de presiones anormales. Esto ocasiona que se tengan
2.3. Estado de esfuerzos en la corteza 57
frecuentemente valores atı́picosde densidades. Para corregir estos valores se debe modelar
la densidad únicamente considerando los efectos de compactación mecánica. Además, el
registro de densidad no se mide a menudo hasta la superficie. Por lo tanto, es necesario
extrapolar densidades para obtener la sobrecarga en función de la profundidad (Velázquez,
2017).
2.3.3. Esfuerzos horizontales
Al igual que el esfuerzo de sobrecarga, los esfuerzos horizontales son esfuerzos
principales que actúan horizontalmente en las formaciones. Ocurren debido a eventos
tectónicos de compresión y tensión. Por décadas, se han utilizado varios modelos
tratando de determinar los esfuerzos horizontales. Sin embargo, estos modelos no son
métodos directos para medir los esfuerzos. Por lo tanto, tienden a tener un cierto grado
de incertidumbre. Zoback (2007) menciona que los esfuerzos horizontales pueden ser
determinados directamente a partir de pruebas de mini-frac y Leak off Test (LOT) o también
llamadas pruebas de goteo.
Modelos convencionales para determinar el esfuerzo horizontal mı́nimo
En esta sección, se realizó una revisión general de modelos que se utilizan actualmente
para determinar la magnitud del esfuerzo horizontal mı́nimo para casos en donde no se
dispone de mediciones directas del esfuerzo horizontal mı́nimo a partir de las pruebas de
goteo y mini-fracs.
Inicialmente, Hubbert y Willis (1957) propusieron una expresión empı́rica para determinar
el esfuerzo horizontal mı́nimo (ecuación 2.43). Con base en los datos experimentales del
laboratorio, Hubbert y Willis sugirieron que el esfuerzo horizontal mı́nimo en formaciones
poco profundas es aproximadamente un tercio del esfuerzo vertical.
σh = 0.3(σv − Pp) + Pp (2.43)
Sin embargo, en la parte del Golfo de México el modelo subestimaba los valores medidos,
58 Capı́tulo 2. Fundamento teórico de geomecánica
posteriormente Hubbert y Willis adoptaron un coeficiente empı́rico de 0.5 que indica que
los valores observados se adaptan mejor para determinar el esfuerzo horizontal menor en
el Golfo de México (Zoback y Healy, 1984; Velázquez et al., 2017). Dicha constante se
obtuvo a partir de la relación que involucra el coeficiente de fricción (µ), entonces, podemos
representar la ecuación 2.43 de la siguiente manera:
σh =
1 + sinµ
1− sinµ
(σv − Pp) + Pp (2.44)
Posteriormente, Matthews y Kelly (1967) propusieron una relación similar para la presión
de fractura. Como esto requiere la propagación de una fractura hidráulica, este valor es
esencialmente equivalente al esfuerzo principal menor.
σh = Ki(z)(σv − Pp) + Pp (2.45)
El coeficiente Ki(z) depende de la profundidad y fue determinado mediante relaciones
obtenidas en la costa del golfo de Lousiana y el golfo de Texas. A dicho coeficiente se
le denomina como coeficiente de esfuerzo matricial que relaciona el esfuerzo horizontal
mı́nimo y el esfuerzo vertical (Zoback, 2007).
Ki(Z) =
σ
′
h
σ′v
=
LOT − Pp
σv − Pp
(2.46)
Matthews y Kelly propusieron que el coeficiente variaba de forma no lineal de 0.4 a 0.48 a
600 metros a valores que superaban 0.7 a profundidades superiores a 3,000 metros (Zoback
2007). La aplicación de este método en zonas distintas de la Costa del Golfo de México
requiere variaciones locales en el coeficiente Ki(z), que se determinan en relación con la
profundidad. Debido a la relativa escasez de datos, en pocas regiones en el mundo se
determina el coeficiente Ki(z) (Mouchet y Mitchell, 1989).
Eaton (1969) considera el principio de la mecánica de rocas y asume a la roca como un
medio elástico, remplaza el coeficiente matricial Ki(z) del modelo de Matthews y Kelly por
la relación de Poisson.
2.3. Estado de esfuerzos en la corteza 59
σh = (
ν
1− ν
)(σv − Pp) + Pp (2.47)
Esta relación se deriva de un problema de elasticidad lineal conocido como restricción
bilateral. A pesar del uso generalizado de esta relación, incluso el autor reconoció que
era necesario utilizar una relación de Poisson efectiva determinada empı́ricamente que se
obtiene de la calibración de las mediciones obtenidas de las pruebas de goteo.
Fundamentalmente, el método se deriva asumiendo que el origen del esfuerzo horizontal
es debido unicamente al esfuerzo vertical. Si aplicamos un esfuerzo de sobrecarga
instantáneo a un medio poroelástico, la roca experimentará un aumento en el esfuerzo
horizontal en todas las direcciones, como se define en la ecuación 2.47, señalando, que ν
se define rigurosamente como la relación de Poisson y no como un coeficiente empı́rico. La
razón por la cual el esfuerzo horizontal aumenta a medida que se aplica un esfuerzo vertical
es debido a que la roca desea expandirse lateralmente (el efecto de Poisson), mientras
longitudinalmente se está compactando la roca (Zoback, 2007).
Breckel and Van Eekelen (1982) establecieron una correlación entre el esfuerzo
horizontal mı́nimo, la presión de poro y la profundidad a partir de datos de gradiente de
fractura, no solo de la costa del Golfo de México sino también de Venezuela, Brunei y del
Mar del Norte.
σh = 0.197
1.145 + 0.46(Pp − Ph) + Pp (2.48)
σh = 1.167− 4596 + 0.46(Pp − Ph) + Pp (2.49)
Donde z es la profundidad, pies; Pp es la presión de poro, psi; y Ph es la presión
hidrostática, psi. La ecuación 2.48 se utiliza para profundidades menores a 11500ft y la
ecuación 2.49 se utiliza para profundidades mayores a 11500ft. Implı́citamente, el modelo
supone un aumento especı́fico en el ritmo de cambio de presión de poro con la profundidad,
ası́ como una densidad de sobrecarga promedio.
Daines (1982), retomo el modelo de Eaton y lo modificó, introduciendo un parámetro al
60 Capı́tulo 2. Fundamento teórico de geomecánica
cual denominó factor tectónico (σt). El valor de la relación de Poisson se puede determinar
a partir de pruebas de goteo y se considera constante para toda la profundidad del pozo.
Además del efecto de los esfuerzos tectónicos, Daines enfatiza la importancia de la litologı́a
en el cálculo del esfuerzo horizontal mı́nimo.
σh = (
ν
1− ν
)(σv − Pp) + Pp + σt (2.50)
La determinación de σt, a partir de una prueba de goteo es aproximada, especialmente
cuando el valor de ν elegido para el cálculo puede ser erróneo (Mouchet y Mitchell, 1989;
Velázquez, 2017).
Más tarde, Zoback y Healy (1984) se basaron en el concepto de equilibrio friccional.
Analizaron los esfuerzos in-situ y los datos de presión de la Costa del Golfo de México en
un intento de mostrar que el estado de esuerzos también está controlado por la fuerza de
fricción de las fallas normales activas en la zona.
σh = (
√
µ2 + 1 + µ)−2(σv − Pp) + Pp (2.51)
Para terminar, Holbrook (1990) presenta un modelo donde sustituye la constate empı́rica
del modelo de Hubbert y Willis (ecuación 2.1). El modelo está en función de la porosidad (φ)
como se muestra en la ecuación 2.52.
σh = (1− φ)(σv − Pp) + Pp (2.52)
Cabe señalar que son los modelos más conocidos y usados en la industria petrolera.
Sin embargo, existen más modelos los cuales se basan principalmente en los modelos
mencionados anteriormente. Se observa que en los modelos presentados no consideran
la anisotropı́a y desprecian las deformaciones horizontales, razón por la cual los modelos
presentan errores en la prognosis de los esfuerzos horizontales.
De los modelos antes mencionados, el modelo que se ha utilizado ampliamente para
la estimación del esfuerzo horizontal menor es el modelo de Eaton (1969), el cual puede
utilizar la relación de Poisson calculada a partir de las velocidades compresional y de corte
2.3. Estado de esfuerzos en la corteza 61
medidas en el pozo como se observa en la tabla 2.2.
A continuación se presenta la tabla 2.2 resumiendo los modelos descritos en esta
sección.
Tabla 2.2: Modelos para determinar el esfuerzo horizontal mı́nimo (modificado de Zoback, 2007).
Modelos convencionales para determinar el esfuerzo horizontal máximo
El esfuerzo horizontal máximoes el tercer esfuerzo in-situ que es importante
determinarlo, ya que es un párametro fundamental en un análisis de estabilidad mecánica
del pozo. Debido a que no se tiene una forma directa de medir la magnitud del esfuerzo
horizontal máximo se han desarrollado métodos indirectos para estimar el esfuerzo
horizontal máximo, por lo que, se tiene que inferir a partir de pruebas u observaciones del
sistema de fallas actuales.
Una manera de estimar la magnitud del esfuerzo horizontal es por medio del modelo de
Anderson (ecuación 2.53).
σH = σh +Ki(Sv − Sh) (2.53)
62 Capı́tulo 2. Fundamento teórico de geomecánica
Donde Ki es un parámetro de ajuste según el ambiente geológico del área. Si se tiene
un régimen pasivo con sistema de fallas normales se usan valores que se encuentran
en el rango de entre 0.01 ≤ Ki ≤ 0.5. En caso contrario, si existe movimiento tectónico
considerable y sistema de fallas inversas se deben usar valores de Ki mayores a 1. Cabe
destacar que la magnitud del esfuerzo horizontal máximo debe coincidir con el sistema de
fallamiento de Anderson (1951) que podemos observar en la figura 2.18.
Figura 2.18: Clasificación del sistema de fallamiento de Anderson (1951) para magnitudes relativas de
esfuerzos en regimenes de falla normal, inversa y transcurrente (modificado de Zoback, 2007).
Otro modelo es el de Hubbert and Willis (1957) y es utilizado para determinar el esfuerzo
horizontal máximo asume que el esfuerzo horizontal mı́nimo es igual a la presión de cierre
de fractura y tiene una dirección perpendicular al plano de la fractura. Considerando que la
presión del fluido en el agujero es igual a la presión de fractura, Pw = Pfr, e implementando
el criterio de falla por tensión, donde el esfuerzo que actúa en la pared del pozo (Zoback,
2007):
σθ = −To (2.54)
Siendo To la resistencia a la tensión de la roca. En la ecuación 2.55 el esfuerzo horizontal
máximo está dado por (Zoback, 2007):
σH = 3σh − Pfr − Pp + To (2.55)
Capı́tulo 3
Metodologı́a para determinar la
magnitud de los esfuerzos horizontales
En este capı́tulo se presenta la metodologı́a para determinar los esfuerzos horizontales
considerando la influencia de la anisotropı́a y las deformaciones horizontales. La figura
3.1 muestra el flujo de trabajo para determinar los esfuerzos horizontales asumiendo la
anisotropı́a, donde ya no solo se determinan dos constantes elásticas sino que ahora
depende del tipo de simetrı́a. También, para determinar con mayor precisión la magnitud
de los esfuerzos horizontales, se deben considerar las deformaciones horizontales.
Figura 3.1: Metodologı́a para determinar esfuerzos horizontales.
63
64 Capı́tulo 3. Metodologı́a para determinar la magnitud de los esfuerzos horizontales
3.1. Análisis de información del área de estudio
Es esencial, en primera instancia, la obtención de muestras de roca debido a que estas
definirán el modelo a utilizar en la determinación de los esfuerzos horizontales. Al realizar
pruebas directas a las muestras, aclaramos el comportamiento del medio y la anisotropı́a
que presentarı́a. Lo adecuado es obtener muestras cúbicas para evaluar y considerar las
tres direcciones de los esfuerzos in-situ. Las pruebas pueden variar de acuerdo a las
condiciones y caracteristicas que presenten las muestras, lo recomendable es someterlas
a pruebas true triaxial para representar los tres esfuerzos principales a sus condiciones
originales y realizar mediciones ultrasónicas en las diferentes caras del cubo para obtener
las respectivas velocidades.
Al realizar las pruebas en las muestras representativas podemos definir el
comportamiento mecánico del material y definir las variaciones de sus propiedades
mecánicas en las diferentes direcciones que presenta las muestras. En el caso de las
lutitas, debido a su naturaleza es difı́cil obtener muestras integras, y por lo tanto, realizar
pruebas destructivas es complicado. Por otro lado, podemos realizar pruebas ultrasónicas
en diferentes direcciones y en las diferentes caras de las muestras a 0, 45 y 90 grados,con
la finalidad de obtener los módulos elásticos y caracterizar al medio.
Ası́ también, es importante contar con registros sónicos dipolares de pozo para
correlacionar las constantes medidas en el laboratorio, sin embargo, estos registros son
costosos y en pocas ocasiones se llegan a utilizar. Por lo que en esta metodologı́a se
desarrollaron y calibraron modelos empı́ricos para obtener información que no pudo ser
derivada directamente de los registros.
3.2. Definición del modelo
Para una predicción correcta de los esfuerzos horizontales debemos caracterizar al
medio de acuerdo a su comportamiento mecánico. En otras palabras, dependiendo de la
variación de las propiedades mecánicas se seleccionarán los modelos adecuados para
determinar los esfuerzos horizontales con mayor certeza.
3.2. Definición del modelo 65
Las expresiones para obtener los módulos elásticos de la diagonal principal a partir de la
velocidad compresional y de la velocidad de corte son:
C11 = ρV
2
px (3.1)
C22 = ρV
2
py (3.2)
C33 = ρV
2
pz (3.3)
C44 = ρV
2
syz (3.4)
C55 = ρV
2
sxz (3.5)
C66 = ρV
2
sxy (3.6)
Los términos no diagonales de la matriz de rigidez (C12, C13 y C23) también se pueden
obtener a partir de las mediciones ultrasónicas en muestras representativas de la Formación.
La relación entre los términos no diagonales con respecto al resto de los términos de la
matriz de rigidez se simplifica cuando las mediciones acústicas oblicuas se realizan en la
muestra en ángulos de 45 grados. Por lo tanto, las ecuaciones quedan en función de las
velocidades medidas a 45 grado y los módulos elásticos de la diagonal principal (Franquet
et al., 2012).
C12 =
√
(2ρV 2pxy45 − C66 −
C22
2
− C11
2
)2 − 1
4
(C22 − C11)2 − C66 (3.7)
C13 =
√
(2ρV 2pxz45 − C55 −
C11
2
− C33
2
)2 − 1
4
(C11 − C33)2 − C55 (3.8)
C23 =
√
(2ρV 2pyz45 − C44 −
C22
2
− C33
2
)2 − 1
4
(C22 − C33)2 − C44 (3.9)
Al analizar los módulo elásticos obtenidos, a partir de las ecuaciones anteriores,
podemos definir el tipo de simetrı́a que presenta el medio y, por lo tanto, caracterizar a
la roca ya sea como un medio ortótropo, isótropo transversal o isótropo.
El análisis de las variaciones en las propiedades mecánicas en las diferentes direcciones
es importante cuando no conocemos la anisotropı́a en la formación. Cuando existan estudios
previos y se tenga identificada el tipo de anisotropı́a que presenta la roca, podemos omitir
este paso y determinar los perfiles de esfuerzos horizontales con modelos adecuados que
consideren el tipo de anisotropı́a.
66 Capı́tulo 3. Metodologı́a para determinar la magnitud de los esfuerzos horizontales
3.3. Determinación de velocidades
Para la obtención del perfil de esfuerzos horizontales se deben determinar los modulos
elásticos a partir de las velocidades compresional y de corte. De registros sónicos
monopolares se obtienen los valores del tiempo de tránsito compresional. A partir de estos
valores se puede calcular la velocidad compresional con la ecuación 3.10.
Vp =
1
DTC
∗ a (3.10)
Donde Vp es la velocidad compresional en [m/s], DTC es el tiempo de tránsito
compresional en [µ/ft] y a es un factor de conversión equivalente a 304800.
Por otro lado, para determinar la velocidad de corte se requieren de registros dipolares,
sin embargo, para áreas que no cuentan con estos registros se utilizan modelos empı́ricos
que parten de parámetros como la velocidad compresional para determinar la velocidad de
corte.
Greenberg y Castagna (1992) desarrollaron varios modelos que determinan la velocidad
de corte a partir de registros, sı́smica y datos experimentales medidos en laboratorio.
Demostraron que existe una relación entre las velocidades compresionales y de corte.
Desarrollando correlaciones lineales para distintas litologı́as como lutitas, arenas y
dolomitas, para calizas encontraron