NM_mate1_Solucionario - Saúl Plutarco

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SERIE
NUEVAS
MIRADAS
Solucionario
Matemática
1
Gerente general
Claudio De Simony
Directora editorial 
Alina Baruj
Autores
Liliana Kurzrok (Coord.)
Manuela Gutiérrez Böhmer 
Editora
Nora Manrique
Jefa de arte
Eugenia Escamez
Coordinadora de arte y
diseño de maqueta
Lorena Morales
Diagramación
Sergio Israelson
Asistente editorial
Carolina Pizze
Producción editorial
Gustavo Melgarejo
 Solucionario Matemática 1
Gutiérrez Böhmer, Manuela 
 Solucionario matemática 1 : serie 
nuevas miradas / Manuela Gutiérrez 
Böhmer ; coordinación general de 
Liliana Edith Kurzrok. - 1a ed . - 
Ciudad Autónoma de Buenos Aires : 
Tinta Fresca, 2018.
 72 p. ; 28 x 21 cm.
 ISBN 978-987-759-127-9
 1. Guía del Docente. I. Kurzrok, 
Liliana Edith, coord. II. Título.
 CDD 371.1
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la amenaza que fotocopiar libros 
representa para el futuro de la 
escritura. En efecto, la fotocopia de 
libros provoca una disminución tan 
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y sobre cualquier tipo de soporte, 
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constituye un delito.
En español, el género masculino 
en singular y plural incluye ambos 
géneros. Esta forma propia de la 
lengua oculta la mención de lo 
femenino. Pero, como el uso explícito 
de ambos géneros dificulta la lectura, 
los responsables de esta publicación 
emplean el masculino inclusor en todos 
los casos. 
© Tinta fresca ediciones S. A.
 Corrientes 534, 2do piso
 (C1043AAS)
 Ciudad de Buenos Aires
Hecho el depósito que establece
la ley 11.723.
Libro de edición argentina. 
Impreso en la Argentina.
Printed in Argentina.
ISBN 978-987-759-127-9
Matemática 1 Solucionario 3
Capítulo 1. Los números naturales ....................... 4
Capítulo 2. Ángulos y triángulos ......................... 12
Capítulo 3. Los números racionales .................... 17
Capítulo 4. Los polígonos ................................... 23
Capítulo 5. Operaciones con números 
racionales ........................................................... 30
Capítulo 6. Iniciación a las prácticas 
algebraicas ......................................................... 38
Capítulo 7. Iniciación al estudio de funciones ..... 43
Capítulo 8. Relaciones de proporcionalidad ...... 50
Capítulo 9. Perímetros y áreas de figuras ........... 56
Capítulo 10. Cuerpos geométricos ..................... 61
Capítulo 11. Estadística y probabilidad .............. 66
 Índice
4
Capítulo 1
Los números naturales
Páginas 8 y 9. 
Lectura y escritura de números grandes
1. a. 20.500.000
b. 2 × 10 6 ; 20.000.000; 20,5 millones; 42.000.000.
c. i. 12.000.000. ii. 19.024.
2. a. 1869: Un millón ochocientos mil. 1895: Cuatro 
millones. 1914: Siete millones novecientos mil. 1947: 
Quince millones ochocientos mil. 1960: Veinte millones. 
1970: Veintitrés millones trescientos mil. 1980: Veinti-
siete millones ochocientos mil. 1991: Treinta y dos mi-
llones seiscientos mil. 2001: Treinta y seis millones dos-
cientos mil. 2010: Cuarenta millones ciento diecisiete 
mil noventa y seis.
b. Entre 1914 y 1947 creció más la población. Porque 
la cantidad de habitantes aumentó 7.900.000, que es la 
mayor diferencia entre un censo y el siguiente.
c. El país que tiene la mayor cantidad de habitantes es 
Brasil con 190.572.694 y el país con menor cantidad es 
Uruguay con 3.286.314 habitantes. 
d. Uruguay (3.286.314). Paraguay (6.672.631). Bolivia 
(10.059.856). Chile (16.572.475). Brasil (190.572.694).
3. a. 4.725.123: cuatro millones setecientos veinticin-
co mil ciento veintitres. 676.174: seiscientos seten-
ta y seis mil ciento setenta y cuatro.150 mil: 150.000. 
1,79 millones: 1.790.000, un millón setecientos noven-
ta mil. 1,26 millones: 1.260.000, un millón doscientos 
setenta mil. 382 mil: 382.000, trescientos ochenta y 
dos mil. 347 mil: 347.000, trescientos cuarenta y sie-
te mil.130.026: ciento treinta mil veintiseis. 4,39 millo-
nes: 4.390.000, cuatro millones trescientos noventa mil. 
535.000: quinientos treinta y cinco mil.
b. Se usó esa forma de escribir para ocupar menos es-
pacio, no escribir tantos ceros y que la lectura sea más 
directa o sencilla.
4. a. 99.990. b. 999.900. c. 10.100.000.
d. 900.000. e. 9.999.999. f. 4.200.043.
5. a. Por ejemplo: 100.000.039, 10.000.043, 10.000.050.
b. Por ejemplo: 100.000.009, 100.000.070, 100.000.099.
6. a. ii. 3.090.010. b. iii. 85.040.253.
7. a. 
1.000.000 1.200.000 1.600.000 1.750.000 2.000.000
 Solucionario 
b. 
c. 
Páginas 10 y 11. 
Composición y descomposición en 
potencias de 10
1. a. Ganó Camilo porque sacó 1.322 puntos, en cam-
bio Martina sacó 521 puntos.
b. Martina tiene que sacar 801 puntos y debe clavar 
8 dardos en la zona de 100 puntos y un dardo en la 
zona que suma 1 punto. En total debe tirar 9 dardos 
para igualar el puntaje de Camilo.
2. a. Beatriz sumó más, porque obtuvo 10.900 puntos; 
en cambio Alberto sumó 7.030.
b. Beatriz tiene que hacer como mínimo 896.130. Sí, 
ella tiene una única forma porque puede responder 
hasta 9 preguntas en cada nivel.
c. Sergio obtiene 2.222.222 puntos.
d. 
Participante Horacio Luisa Eduardo Estela Alejandro
Nivel 1 4 2 0 0 6
Nivel 2 5 6 2 4 6
Nivel 3 6 7 0 0 8
Nivel 4 4 8 8 6 7
Nivel 5 5 3 0 8 9
Nivel 6 2 0 3 1 0
3. a. 3.802.009. b. 5.008.040.
4. Dan como resultado 4.789.563 las cuentas b. y d.
5. Ordenados de menor a mayor: a, b, d y c.
6. a. 500.000. b. 80.000.000. c. 21.000. d. 345.000.
7. a. 7 × 10 6 . b. 1,8 × 10 7 . c. 4,5 × 10 10 . d. 2,3 × 10 8 .
8. a. La tierra está más cerca del Sol, a 150.000.000 de 
kilómetros y Marte, a 228.000.000 de kilómetros.
b. Neptuno está más lejos del Sol, a 4.495 millones de 
kmilómetros y Saturno, a 1.430 millones de kilómetros.
Página 11. 
Aprender con la calculadora
1. 1.300.000 + 536. 2.300.000 + 10.536. 
2.300.000 – 1.190.000. 
2. 37.486 + 100.
3.000.000 3.500.0003,08 millones 3,8 millones 4.000.000
5.999.9995.000.000
5.075.000 5.750.000
7.000.000
Matemática 1 Solucionario 5
3. Por ejemplo: 247.586 + 1.000. 247.586 – 10.000.
4. 875.987 – 75.900; 875.987 – 5.987; 875.987 – 75.987. 
5. 1.985.653 – 985.053.
6. 8.974.123.515 – 974.023.510.
7. 567.789.987 – 7.009.080.
8. 470.000 + 1.000.000.
9. Resolución personal.
Páginas 12 y 13. 
Multiplicación y división entre números 
naturales
1. a. Se ubican 36 deportistas en cada fila.
b. Sí, es posible. Se ubican en 30 filas de 60 deportistas 
cada una. Sí, en 40 filas de 45 deportistas cada una. No 
es posible que se ubiquen en 80 filas porque 1.800 no 
es múltiplo de 80.
2. a. Por ejemplo: 48 × 10, 240 × 2. Hay 12 productos 
diferentes porque 480 tiene 24 divisores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 
8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 32, 40, 48, 60, 80, 96, 120, 
160, 240 y 248. b. 137 × 1 es la única multiplicación 
posible porque 137 tiene solo 2 divisores: 1 y 137.
3. a. 16 baldosas por fila. b. 64 baldosas por fila. 
c. Alcanza para 8 filas. d. Por ejemplo: 192 filas de 
4 baldosas, 6 filas de 128 baldosas.
4. a. i. 92 × 42 = (184  : 2) × 42 = (184 × 42) : 2 = 7.728 : 2 = 
3.864.
ii. 184 × 7 = 184 × (42 : 6) = (184 × 42) : 6 = 7.728 : 6 = 1.288.
iii. 184 × 1 = 184 × (42  : 3) = (184 × 42) : 3 = 7.728  : 3 = 2.576.
iv. 92 × 84 = (184  : 2) × (42 × 2) = [ (184 × 42) : 2] × 2 = 
[7.728  : 2] × 2 = 7.728.
v. 46 × 21 = (184  : 4) × (42  : 2) = (184 × 42) : 4  : 2 = 
7.728  : 8 = 996.
b. Por ejemplo: 184 × 6; 92 × 21; 364 × 42.
5. El número es 20 porque 540 : 27 = 20, entonces 
27 × 20 = 540.
6. El número que se dividió es 6.750 porque 450 × 15 = 
6.750, entonces 6.750 : 15 = 450.
7. a. 945  : 27 = 35.
b. 945 : 35 = 27.
c. 35 × 27 = 35 × 9 × 3 = ( 35 × 3 ) × 9 = ( 105 )× 9 = 945   
entonces 945  : 9 = 105.
d. 35 × 27 = (7 × 5) × 27 = (27 × 5) × 7 = 135 × 7 = 945, 
entonces 945  : 7 = 135.
e. 35 × 27 = (7 × 5) × (3 × 9) = (5 × 9) × (7 × 3) = 
54 × 27 = 945, entonces 945  : 27 = 54
8. a. Sí. Como 18 = 9 × 2 entonces 
24 × 18 = 24 × 9 × 2 = ( 24 × 2 )   × 9 = 432. 
b. No, ni 24 ni 18 son múltiplos de 7, y 7 es un núme-
ro primo, no se puede componer con factores de 24 
y de 18.
c. Sí, porque 24 × 18 = ( 12 × 2 ) × 18 = 12 × ( 2 × 18 ) = 
12 × 36 = 432 .
d. Sí, porque 24 × 18 = 3 × 8 × 9 × 2 = 27 × 8 × 2 = 
27 × 18 = 432.
e. No, porque 21 es múltiplo de 7, pero ni 24 ni 18 son 
múltiplos de 7, y 7 es un número primo, no se puede 
componer con factores de 24 y de 18.
9. Se puede dividir por todos los divisores de 48: 1, 2, 
3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 y 48.
10. i. El dividendo es 165. Es la única posibilidad por-
que 9 × 17 + 12 = 165.
ii. Por ejemplo: el dividendo es 43 y el resultado 1. Se 
pueden proponer infinitas cuentas, porque el cociente 
puede ser cualquier número natural y el dividendo se 
obtiene multiplicando el cociente por 39 y sumando 4 
al resultado.
iii. Por ejemplo: el divisor es 48 y el resultado 1. Hay 
3 divisiones porque el producto entre el cociente y el 
divisor tiene que ser 63 – 15 = 48, y el divisor tiene que 
ser mayor que 15, que es el resto. Los únicos posibles 
son: 88 y 1, 24 y 2, y 16 y 3.
iv. Ninguna, porque el producto entre el cociente y el 
divisor tiene que ser 160 – 94 = 66, con lo cual el mayor 
divisor posible es 66, pero el divisor tiene que ser ma-
yor que 94, que es el resto.
v. Por ejemplo: el dividendo 503 y el divisor 18. Hay in-
finitas divisiones porque, el divisor debe ser mayor que 
17 y el dividendo = divisor × 27 + 17.
vi. Por ejemplo: 43 el divisor y 3 el resultado. Hay 2 di-
visiones posibles, porque el divisor por el cociente tiene 
que dar por resultado 134 – 4 = 129 y el divisor tiene que 
ser mayor a 5 que es el resto, las únicas multiplicaciones 
que cumples estas condiciones son: 43 × 3 y 129 × 1.
11. El mínimo número que se le puede sumar es 11 por-
que, al sumárselo al resto anterior, el resultado es 25, 
que es el divisor. Entonces el nuevo cociente será una 
unidad mayor al anterior y el nuevo resto será 0.
12. a. El cociente 17 y el resto 14.
b. El cociente 23 y el resto 14.
13. a. El cociente 18 y el resto 19.
b. El cociente es 26 y el resto 1. Como 19 = 18 + 1, 
el cociente es 25 + 1 = 26 porque 18 entra una vez 
más y el resto es 1. 18 × 25 + 19 = 18 × 25 + 18 + 1 = 
18 × (25 + 1) + 1 = 18 × 26 + 1 = 469. 
6
14. a. El resto es 12.
b. El resto es 18. Porque 24 × 18 + 12 + 6 = 24 × 48 + 
12 = 1.170.
c. El cociente es 72. Porque 24 × 48 + 12 = 6 × 4 × 4 × 
12 + 12 = 4 × 4 × 4 × 12 + 12 = 16 × 72 + 12.
d. El cociente es 2. Porque 24 × 48 + 12 = 2 × 2 × 2 × 
3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 + 12 = 576 × 2 + 12. 
e. El resto es 8. Porque: 24 × 48 + 12 – 964 = 200, 
24 × 48 + 12 – 964 = 24 × 48 – 964 + 12 = 188 + 12 = 
48 × 3 + 44 + 12 = 48 × 3 + 56 = 48 × 3 + 48 + 8 = 
48 × 4 + 8 = 200. 
f. El resto es 48. Porque: 24 × 48 + 12 = 2 × 2 × 2 × 3 × 
2 × 2 × 2 × 2 × 3 + 12 = 1.164 y 24 × 48 + 12 + 36 = 2 × 2 × 
2 × 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 + 12 + 36= 64 × 18 + 48 = 1.200.
Página 13. 
Aprender con la calculadora
1. Son infinitas las opciones porque para obtenerlos 
hay que multiplicar 35 por un número y sumarle 16. Por 
ejemplo: 35 × 1 + 16 = 51.
2. Julián obtuvo el cociente y el resto de la división pero 
no siempre pasará lo mismo. Porque 43,5 no quiere de-
cir que tenga resto 5, esto solo sucede si se divide por 
10, ya que la mitad de 10 es 5: 
43,5 × 10 = (43 + 0,5) × 10 = 43 × 10 + 0,5 × 10 = 43 × 10 + 5 .
Por ejemplo: 15 : 2 = 7,5, pero
3. a. No, el resto es 1.
b. Porque 546 = 545 + 1 = 5 × 109 + 1, entonces el 
resto de dividir 546 por 5 es uno.
4. El resto de la división es 11. Si resuelven en la calcu-
ladora 487 : 17 = 28,647…. y 17 × 28 = 476. Entonces 
17 × 28 + 11 = 486. Por lo tanto el resto de la división es 11.
Páginas 14 y 15. 
Propiedades de las operaciones
1. a. 25.500. Porque 150 × 170 = 15 × 10 × 17 × 10 = 
15 × 17 × 10 × 10 = 255 × 10 × 10 = 25.500.
b. 510. Porque 30 × 17 = 15 × 2 × 17 = 15 × 17 × 2 = 
255 × 2 = 510.
c. 5.100. Porque 150 × 34 = 15 × 10 × 17 × 2 = 
255 × 10 × 2 = 15 × 17 × 19 × 2 = 255 × 2 × 10 = 
510 × 10 = 5100.
d. 25.500. Porque 750 × 34 = 75 × 10 × 17 × 2 = 
15 × 5 × 10 × 17 × 2 = 15 × 17 × 10 × 5 × 2 = 
15 × 17 × 10 × 10 = 255 × 10 × 10 = 25.500.
15
1
2
7
2. a. Hizo 12 × 15 = 180 y 2 × 180 = 360.
b. Resolución personal. c. Daría el mismo resultado 
porque 2 × 2 = 4 entonces: 360 × 2 × 2 = 360 × 4.
3. a. Verde: 10 × 5. Rojo: 10 × 4. Naranja: 3 × 5. Celeste: 
3 × 4. b. 13 × 9.
c.13 × 9 = 10 × 5 + 10 × 4 + 3 × 5 + 3 × 4 = 
50 + 40 + 15 + 12 = 90 + 27 = 117.
4. a. Sí, se pueden usar estas maneras para resolver 
cualquier cuenta de multiplicar por 9 y 99.
b. La propiedad distributiva y el producto por la unidad 
seguida de ceros.
c. i. 3.700 × 9 = 3.700 × ( 10 - 1 ) = 3.700 × 10 - 3.700 × 1 = 
37.000 - 3.700 = 33.300.
ii. 4.500 × 99 = 4.500 × ( 100 - 1 ) = 4.500 × 100 - 4.500 = 
450.000 - 4.500 = 445.500.
iii. 640 × 999 = 640 × ( 1.000 - 1 ) = 640 × 1.000 - 640 = 
640.000 - 640 = 639.360.
5. a. 7.500 × 900 = 7.500 × ( 1.000 - 100 ) = 7.500 × 
1.000 - 7.500 × 100 = 7.500.000 - 750.000 = 
6.750.000.
b. 256 × 1.001 = 256 × ( 1.000 + 1 ) = 256.000 + 256 = 
256.256
256 × 1.001 = ( 250 + 6 ) × 1.001 = 250 × 1.001 + 6 × 
1.001 = 250 × ( 1.000 + 1 ) + 6 × ( 1.000 + 1 ) = 256.256.
c. 850 × 990 = 850 × (1.000 - 10) = 850 × 1.000 - 
850 × 10 = 850.000 - 8.500 = 841.500.
850 × (990) = (900 - 50) × (990) = 900 × 990 - 
50 × 990 = 900 × (1.000 - 10) - 50 × (1.000 - 10) = 
(900 × 1.000 - 900 × 10) - (50 × 1.000 - 50 × 10) = 
(900.000 - 9.000) - (50.000 - 500) = 891.000 - 49.500 = 
841.500. 
d. 345 × 111 = 345 × (100 + 10 + 1) = 345 × 100 + 
345 × 10 + 345 × 1 = 34.500 + 3.450 + 345 = 
31.050 + 345 = 38.295.
345 × 111 = 345 × (101 + 10) = 345 × 101 + 345 × 10 = 
34.845 + 3.450 = 38.295. 
e. 970 × 999 = 970 × (1.000 - 1) = 970 × 1.000 - 970 = 
970.000 - 970 = 969.030
970 × 999 = (1.000 - 30) × 999 = 1.000 × 999 - 
30 × 999 = 999.000 - 30 × (1.000 - 1) = 999.000 - 
(30 × 1.000 - 30) = 999.000 - (30.000 - 30) = 999.000 - 
29.970 = 969.030 
f. 246 × 901 = 246 × (1.000 - 100 + 1) = 246 × 1.000 - 
246 × 100 + 246 = 246.000 - 24.600 + 246 = 221.400 + 
246 = 221.646. 
 246 × 901 = (250 - 4) × 901 = 250 × 901 - 4 × 901 = 
225.250 - 3.604 = 221.646. 
Matemática 1 Solucionario 7
Se usó la propiedad distributiva de la multiplicación 
respecto de la suma y la resta.
6. Los cálculos b. y e. Como 15 = 5 × 3. Entonces 
128 × 15 = 128 × 5 × 3. También 128 × 15 = 128 × 
 ( 10 + 5 ) = 128 × 10 + 128 × 5 y como 10 : 2 = 5, en-
tonces 128 × 10 + 128 × 5 = 128 × 10 + 128 × 10 : 2.
7. a. Sí. El resultado será 90 × 2 = 180.
b. Sí. El resultado será 90  :  3  :  3 = 30  :  3 = 10.
c. Sí. El resultado será 90 : 3 × 3 = 90.
d. No es posible. Porque necesito saber cuál es el pri-
mero de los números.
8. a. Aumentará en 50. b. Aumentará en 500.
9. Por ejemplo 34 × 101 = 34 × ( 100 + 1 ) = 34 × 100 + 
 34 = 3.400 + 34 = 3.434 . La particularidad es que el 
resultado será esas mismas cifras repetidas dos veces y 
esto sucederá con cualquier otro número de dos cifras.
10. a. 76 × 11 × 13 × 7 = 76 × 1.001 = 76 × 1.000 + 
76 × 1 = 76.000 + 76 = 76.076. El resultado es un 
número de 5 cifras formado por las dos cifras que for-
man el número seguido por un cero y nuevamente las 
mismas dos cifras. Esto sucederá también con cual-
quier otro número de dos cifras que se multiplique por 
11 por 13 y por 7.
b. 123 × 7 × 13 × 11 = 123 × 1.001 = 123 × ( 1.000 + 1 ) = 
123 × 1.000 + 123 = 123.000 + 123 = 123.123 . 
El resultado es un número de 6 cifras que está forma-
do por las tres cifras que forman el número seguido 
de las mismas dos cifras. Esto sucederá también con 
cualquierotro número de tres cifras que se multiplique 
por 7 por 13 y por 11.
c. Ocurrirá lo mismo porque al multiplicar por 13, el re-
sultado por 11 y el resultado por 7, es igual que multipli-
car por 7 al resultado por 13 y el resultado 11, porque la 
multiplicación es conmutativa.
Página 15. 
Aprender con la calculadora
1. a. Con la calculadora común el resultado obtenido 
es 115,5 y con la calculadora científica el resultado 
obtenido es 183. b. Lo que ocurre es que la calcula-
dora común resuelve las operaciones en el orden en 
que están, en cambio la calculadora científica resuelve 
primero la multiplicación y la división para luego sumar 
ambos resultados.
2. 1.000 + 1.000 + 1.000 + 1.000 + 1.000 – 10 – 1 – 1 – 1.
3. a. i. 422. ii. 577,5. 
b. En i. se puede guardar el resultado de la multiplica-
ción y el de la división presionando la tecla M+ luego 
de resolver cada uno de esos cálculos por separado y 
finalmente presionar la tecla MR para obtener la suma 
de ambos resultados guardados. En ii. se puede resol-
ver primero la división, al resultado obtenido sumarle 
12 y al resultado obtenido multiplicarlo por 35.
Páginas 16 y 17. 
Situaciones de conteo
1. 36.
2. 24.
3. 60.
4. Sí, es cierto, alcanza con hacer 3  × 5  ×  4 = 60.
5. 720
6. 1.200.
7. a. 60. b. 6.840.
8. El cálculo b., porque hay 10 opciones por cada cifra 
(del 0 al 9). Como el número tiene que ser de 3 cifras, 
la primera cifra no puede ser cero. Por lo tanto hay 9 
posibilidades para la primera cifra, la segunda cifra 
puede ser cero pero no la cifra ya usada, y hay ocho 
posibilidades para la tercera si no se cuentan las dos 
cifras ya usadas.
9. a. 10. b. 1.140.
10. a. 24. b. 12.
11. a. 125. Porque cada cifra tiene 5 opciones, entonces 
hay 5 × 5 × 5 números de tres cifras con esos 5 dígitos.
b. 25. Porque, como la primera cifra está fija, se pue-
den variar solamente las otras dos y hay 5 posibilida-
des para cada una, por lo tanto hay 5 × 5 opciones.
c. 25. Porque la primera y la última cifra deben ser igua-
les. Entonces se puede pensar que solo se pueden va-
riar la primera y la segunda cifra, con cinco opciones 
cada una, mientras que la tercera queda determinada 
por la primera. Por lo tanto hay 5 × 5 opciones.
12. 648. Porque de los 6 dígitos totales, 3 de ellos son 
impares. Las tres primeras cifras tienen 6 posibilidades 
cada una, mientras que la última tiene solamente 3 po-
sibilidades. Entonces hay 6 × 6 × 6 × 3 posibilidades.
13. a. 720. b. No, porque la letra A se repite, entonces 
se pueden armar la mitad de las posibilidades: 360.
14. 26.244. Porque hay 9 posibilidades para las pri-
meras 4 cifras y solo 4 para la última. Entonces son 
9 × 9 × 9 × 9 × 4 números totales.
15. 6.561.
16. 16.
17. 66.
8
Páginas 18 y 19. 
Potenciación y radicación
1. a. 81. b. 1.093.
2. a. 2 4 . b. 3 6 c. 10 5 . 
3. a. 1. b. 1.000.000.000. c. 512. d. 4096.
e. 2.401. f. 32.
4. a. i. 128. ii. 128. iii. 16.384. iv. 97. v. 625. vi. 390.625. 
vii. 625.
b. i. y el ii. son iguales porque:
 2 3 × 2 4 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2) = 2 7 . 
También son iguales v. y vii. porque:
 (2 + 3) 4 = (5) 4 = 5 4 . 
5. El a. porque:
 ( 5 7 ) 2 = 5 7 × 5 7 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 
5 × 5 × 5 × 5 = 5 14 . 
O bien porque: ( 5 7 ) 2 = 5 ( 7 × 2 ) = 5 14 .
El b. porque: ( 5 2 ) 
7
 = 5 2 × 5 2 × 5 2 × 5 2 × 5 2 × 5 2 × 5 2 = 
5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 
5 14 . 
O bien porque: ( 5 2 ) 7 = 5 2 × 7 = 5 14 .
El e. porque:
 5 7 × 5 7 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 
5 × 5 = 5 14 . 
O bien porque 5 7 × 5 7 = 5 7 + 7 = 5 14 .
Y el g. porque 5 28 : 5 14 = 5 28 - 14 = 5 14 .
6. a. i. 81. ii. 27. iii. 81. iv. 10.000. v. 10.000. vi. 100.
b. Tienen el mismo resultado el i. y el iii. porque:
 3 6 : 3 2 = 3 6 - 2 = 3 4 . 
El iv. y el v. también tienen el mismo resultado porque: 
10 8 : 10 4 = 10 8 - 4 = 10 4 .
7. a. Falsa. Por ejemplo (2 + 3) 2 = 5 2 = 25 , pero
 2 2 + 3 2 = 4 + 9 = 13 .
b. Verdadera, porque:
(a × b)c = (a × b) × (a × b) ×… … …× (a × b)
 c veces
= a × a × … … × a × b × b × … … × b = ac × bc
 c veces c veces
c. Verdadero, porque:
 ( a __ b ) 
c = ( a __ b ) × ( 
a __ b ) × … … × ( 
a __ b ) = a × a × … … × 
a __ b × 
b × … … × b = a 
c ___ b c 
d. Verdadero, porque:
 a m x a n = a × a × … … × a × a × a × … … × a = a m+n 
8. a. y e. dan el mismo resultado porque: 
 (23 + 15) 4 = (23 + 15) 2 + 2 = (23 + 15) 2 × (23 + 15) 2 . 
También b. y f. dan elmismo resultado porque:
 18 5 × 18 2 = 18 5 + 2 = 18 7 . 
9. a. ii y iv. 
b. Sí, es correcto. Como 4 = 3 + 1, entonces, aplicando 
la propiedad distributiva:
 4 2 = (3 + 1) 2 = (3 + 1 ) × ( 3 + 1) = 3 × 3 + 3 × 1 + 1 × 3 + 1 × 1 
donde los primeros tres términos son múltiplos de 3 y se le 
suma 1, entonces el resultado será un múltiplo de 3 más 1.
 4 3 = (3 + 1) 3 = (3 + 1 ) × ( 3 + 1) × (3 + 1) = (múl-
tiplo  de  3 + 1) × (3 + 1) = múltiplo  de  3 × 3 + múlti-
plo de 3 × 1 + 3 × 1 + 1 × 1 = otro múltiplo de 3 +1.
Si continúan así, concluyen que pueden escribir cual-
quier 4 n como un múltiplo de 3 +1.
10. a. 3. b. 10. c. 2. d. 6.
12. a. √ 
_
 64 = 8 . b. 
3
 √ 
_
 262.144 = 64 . c. 
3
 √ 
_
 27 = 3. 
d. 
4
 √ 
_
 16 = 2. 
13. a. 9. b. 20. c. 20. d. 7. e. 2. f. 5.
El b. y el c. dan el mismo resultado.
14. a. Porque la radicación es distributiva respecto del 
producto entonces:
 √ 
_____________
 ( 55.255 × 16 ) = √ 
_______
 55.255 × √ 
___
 16 = 235 × 4. 
c. Porque la radicación es distributiva respecto de la 
división entonces:
 √ 
___________
 55.255 : 16 = √ 
_
 55.255 : √ 
_
 16 = 235 : 4 .
e. Porque la radicación es distributiva respecto del pro-
ducto entonces: 
 √ 
_
 2.209 × √ 
_
 25 = √ 
_
 2.209 × 25 = √ 
_
 55.255 = 235. 
15. No es cierto, porque la potenciación y la radicación 
no son distributivas de la suma y la resta.
Páginas 20 y 21. 
Múltiplos y divisores
1. Sí, son correctas. Paula determina si un número es 
divisor de otro mirando el resto del cociente entre am-
bas. Nico analiza si un número es múltiplo de otro a 
partir de los valores de las tablas.
2. a. y c., a. porque 1.200 = 12 × 1.000 y c. porque 
360 = 12 × 30.
3. Por ejemplo: 34, 68, 340, 1.700. Se pueden encontrar 
infinitos múltiplos de 17 porque se los obtiene multipli-
cando 17 por cualquier número natural.
4. a. Sí, porque 18 es par o porque 42 es par.
b. Sí, porque 25 es múltiplo de 5.
c. Sí, porque 42 es múltiplo de 7.
d. Sí, porque:
25 × 42 × 18 = 5 × 5 × 2 × 21 × 18 = 5 × 10 × 21 × 18.
e. Sí, porque:
25 × 42 × 18 = 25 × 14 × 3 × 9 × 2 = 25 × 14 × 27 × 2.
f. Sí, porque:
25 × 42 × 18 = 5 × 5 × 3 × 14 × 18 = 5 × 15 × 14 × 18.
Matemática 1 Solucionario 9
g. No, porque 25, 42 y 18 no son múltiplos de 11 y 11 
es primo.
h. No, porque 26 = 213, con lo cual como 25, 42 y 
18 no son múltiplos de 13, y 13 es primo, entonces el 
producto no es múltiplo de 13, con lo cual tampoco lo 
será de 26.
5. No es múltiplo de 6 porque el primer sumando lo es, 
pero, al sumarle 2, este será el resto de dividir el resul-
tado de toda la cuenta por 6.
6. El resto es 5.
7. Sí es múltiplo de 7, porque: 
 25.478 × 4 + 25.478 × 3 = 25.478 × ( 4 + 3 ) = 25.478 × 7 .
8. a. No, porque es mayor que 48.
b. Sí, porque 48 =12 × 4.
c. No, porque es mayor que 48.
d. y e. Sí, porque 6 × 8 = 48.
f. Sí, porque 1 es divisor de todos los números.
g. Sí, porque 48 = 24 × 2.
h. No, porque es mayor a 48.
9. a. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
b. Por ejemplo: 360, 6.000, 480.000.
c. Hay infinitos números que tienen más divisores que 
60, basta con multiplicar 60 por cualquier otro número 
naturalpara obtenerlos.
10. Sí, son ciertas ambas afirmaciones, porque los nú-
meros pares van de 2 en 2, y si se le suma 4 a un núme-
ro par se obtiene el siguiente par del siguiente.
11. Sí, porque en la justificación no se usan los núme-
ros como ejemplos, sino que se analiza la relación en-
tre ellos.
12. a. Falsa, por ejemplo 3 y 5 son impares y su suma 
(3 + 5) = 8 es par.
b. Verdadera, porque un número par es el producto de 
2 por otro número, al multiplicar dos pares entre sí el 
producto se va a poder escribir siempre como 2 por 
algún número natural.
c. Falsa, multiplicar por un número par da por resultado 
un número par.
d. Falsa.
13. Es siempre impar porque como ninguno de los nú-
meros es múltiplo de 2, el producto entre ellos no se 
podrá escribir como 2 por algún número natural.
14. Los números impares se pueden obtener como el 
siguiente de un número par, es decir 2 un número na-
tural +1. Al sumar tres impares, los tres números pares 
sumados van a dar par, pero al sumar tres veces 1, se 
obtiene un impar y sumado al resultado anterior va a dar 
impar. Lo mismo sucede si se suman 5 números o cual-
quier cantidad impar de números impares. Si se suman 4 
números impares, los cuatro pares sumados darán par, 
y los cuatro 1 sumados también, al sumarlos, se obtiene 
un número par.
15. 60 y 90, tienen 12 divisores.
16. a. Es correcto porque analiza todos los posibles di-
visores y verifica que ninguno tenga resto 0.
b. 83, 37, 57 y 29.
c. 36 = 2 × 2 × 3 × 3.
1.200 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5.
49 = 7 × 7.
68 = 2 × 2 × 17.
77 = 7 × 11.
1.235 = 5 × 13 × 19.
Hay una única manera porque los factores son núme-
ros primos y estos no se pueden escribir como produc-
to de otros primos.
Páginas 22 y 23. 
Problemas y cuentas
1. Dentro de 28 días.
2. Tendrá que distribuirlas en 28 sobres de 6 figuritas 
cada una.
3. a. Los equipos pueden estar formados por 8 chicos.
b. Se formarán 7 equipos.
4. 25 chicos tenían que formar para este acto.
5. Por ejemplo: 45 y 24. Para hallarlos se puede des-
componer 360 como producto de números primos. 
Los números propuestos son el producto de algunos 
de ellos de forma tal que aparezcan todos los factores 
primos tantas veces como en 360 en alguno de los dos 
números. En el ejemplo: 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5, 
45 = 3 × 3 × 5 y 24 = 2 × 2 × 2 × 3, donde los 3 factores 
2 del 360 aparecen en el 24, los dos factores 3 apare-
cen en el 45, y el único factor 5 aparece en el 45.
6. a. 22 y 55. Cada uno es el producto entre 11 por otro 
número primo. b. Sí, se pueden encontrar infinitos por-
que los números primos son infinitos. c. Por ejemplo: 3 y 
5. Se pueden encontrar infinitos porque cualquier par de 
números primos tienen como divisor común mayor el 1.
7. a. mcm (18.000, 16.200) = 243.453 = 162.000.
b. 15.200 = 255.219 y 57.500 = 225.423. mcm (15.200, 
57.500) = 25.541.923 = 8.740.000 Es el producto de 
todos los factores primos que aparecen en ambos nú-
meros, con el mayor exponente.
DCM (15.200, 57.500) = 2.252 = 100, es el producto de 
10
todos los factores primos comunes a ambos números, 
con el mínimo exponente.
8. Para que dos números sean coprimos, en su escri-
tura como producto de factores primos, no tienen que 
tener ningún primo en común, con lo cual, el único divi-
sor común a ambos es el 1.
9. a. 148.800 : 2 : 5. b. 163.700 – 148.800. c. iii. y iv.
10. a. iii. b. 1.153,6. 
c. ( 5.780 + 350 x 6 + 12.450 x 4 ) : 50. 
d. Tienen que venderlas a $576,8 cada una.
e. ( 5.780 + 350 x 6 + 12.450 x 4 ) : 100 .
11. Por ejemplo: 
a. Entre 8 hermanos decidieron comprarle una tele al 
padre. Tienen que pagar $ 9.000 al contado y 20 cuotas 
de $ 4.500 cada una. ¿Cuánto aporta en total cada uno?
b. Un comerciante debe a un banco 12 cuotas de 
$ 8.700, a otro 12 cuotas de $ 3.800 y a un amigo $ 800. 
¿Cuánto debe en total?
c. Una tienda de ropa para hombres va a comprar 50 
camisas a $1.200 cada una, 80 sacos a $ 1.300 cada 
uno, pero le devuelven al mayorista 30 corbatas que 
están falladas, con un costo de $ 200 cada una. ¿Cuán-
to tienen que pagar?
d. Julieta tiene en el banco $ 10.000 e hizo cuatro extrac-
ciones de $ 1.300 cada una, ¿cuánto dinero le queda?
Página 24. 
Cálculo estimativo
1. a. No alcanza, porque, por ejemplo, 
385 × 10 = 3.850 y 385 × 5 = 3.850  : 2 = 1.925. 
Entonces 385 × 15 = 3.850 + 1.925 = 5.775. Si las 
carpetas costasen $15 ya no alcanzaría el dinero para 
15 carpetas.
b. No alcanza, porque 1.250 × 4 = 5.000 y las campe-
ras cuestan más de $ 1.250.
c. Si alcanza porque 500 × 5 = 2.500, y los pantalones 
cuestan más de $ 500 y hay más dinero que $2.500.
2. c .
3. b., d. y e.
b. Porque al agregarle 100 a 6.006 se supera este nú-
mero y entonces también se supera el 6.000, y como 
100 es menor a 1.000 – 6 , que la diferencia entre 6.006 
y 7.000, al sumarlo el resultado será menor a 7.000.
c. Porque al restarle 10 a 6.600 el resultado será menor 
a 6.600 y por lo tanto será menor a 7.000. Y como 10 es 
menor a 300 que es la diferencia entre 6.600 y 7.000, 
entonces el resultado dará mayor a 6.000.
d. Porque al restarle a 7.600 un número mayor a 600 el 
resultado será menor a 7.000 y, como se le resta menos 
que 1.600, que es la diferencia entre 7.600 y 6.000, el 
resultado es mayor a 6.000.
4. a. 100. b. 9.010. c. 8.900. d. 1.200. e. 2.110.
5. a. iii. 589.987:10 porque entre las cuentas con ma-
yor dividendo es el que menor divisor tiene.
b. iv. Por la misma razón que a.
c. 198 × 10 8 . Porque la única multiplicación con una po-
tencia de 10 mayor es 4 × 10 9 , pero, si bien su exponente 
es uno más, el número 4 tiene dos cifras menos que 198.
Página 25. 
El sistema sexagesimal
1. Don Juan debe cobrar $760.
2. 16:41.
3. a. Falso, porque media hora es 0,5 horas, por lo tanto 
7 horas y media son 7,5 horas.
b. Verdadero, porque como una hora equivale a 60 mi-
nutos, entonces media hora equivale a 30 minutos.
c. Falso, porque 0,10 horas es 1 _ 10 de hora, no 
1 _ 6 .
d. Falso, porque 20 minutos es equivalente a 20 _ 60 hora, 
que es igual a 1 _ 3 de hora y no 
2 _ 3 .
e. Falso, porque 0,5 de hora son 30 minutos, no 50.
f. Verdadero, porque 0,75 = 75 _ 100 = 
3 _ 4 .
4. Entrenó más Ariel porque 3 __ 4 de hora equivale a 45 
minutos.
5. a. 30. b. 15. c. 1 _ 3 . d. 
5 _ 6 . e. 
7 _ 12 . f. 45.
6. Mide 13°  30´. Porque el doble de 13 es 26 y el doble 
de 30´ es 60´ y equivale a 1°.
7. a. 370´ < 3.600´ = 60° .
b. 28° 54´=1.734´>1.600´.
c. 245.000´´ = 68°  3´  20´´ < 68°  29´  19´´.
d. 126.000´´ = 35º < 35º 18´´.
8. 35° 14´.
9. En un octavo de vuelta gira 45° y en media vuelta 
gira 180°.
b. Si giró 90° recorrió 1 _ 4 giro porque 360° : 4 = 90°.
10. La medida de cada uno de ellos es 139° 35´.
Página 26. 
Aprender con la computadora. El 
programa Scratch
1. Resolución personal, por ejemplo: 
Pasos para subir una escalera.
• Pararse frente a la escalera.
• Levantar la pierna derecha.
Matemática 1 Solucionario 11
• Mover el pie derecho hacia adelante hasta que quede 
a la altura del primer escalón.
• Bajar el pie derecho hasta pisar el primer escalón.
• Levantar la pierna izquierda.
• Mover la pierna izquierda hasta la altura del segundo escalón.
• Bajar el pie izquierdo hasta pisar el segundo escalón.
• Repetir pasos b-g hasta que termine la escalera.
2. Resolución personal. Por ejemplo: 
Pasos a seguir para cocinar fideos.
• Agarrar una olla.
• Colocarla sobre una hornalla de la cocina.
• Encender el fuego de esa hornalla.
• Esperar que el agua hierva.
• Abrir el paquete de fideos.
• Colocar el contenido dentro de la olla con agua hirviendo.
• Esperar 8 minutos.
• Apagar el fuego.
• Agarrar un colador.
• Colocar el colador en la pileta de lavar de la cocina.
• Verter el contenido de la olla en el colador.
• Verter el contenido del colador en recipiente para servir.
3. Pasos necesarios para hacer una multiplicación de 
un número de 3 cifras por 15.
• Descomponer el número de 3 cifras como la suma de 
sus unidades, decenas y centenas.• Multiplicar por 10 cada uno de los tres números resul-
tantes de la descomposición anterior, para hacer esto 
basta con agregarle un cero a cada uno de los núme-
ros anteriores.
• Multiplicar por 10 nuevamente cada uno de los tres 
números resultantes de la descomposición anterior y 
calcular la mitad de cada uno de ellos.
• Sumar los 6 resultados de los dos pasos anteriores.
4. Abrir sesión en Scratch con un usuario y una contraseña. 
5. Crear proyecto.
6. Resolución personal.
7. Pasos para que camine 100 pasos, gire 90° y camine 
100 pasos hacia abajo:
• Al presionar.
• Caminar 100 pasos.
• Rotar 90%.
• Caminar 100 pasos.
Página 28. 
Integrar lo aprendido
1. a. 5.079.099. b. 49.500.230.
c. 1.923.000. d. 150.580.420.
2. Por ejemplo:
a. 8 × 10 5 + 7 × 10 4 + 6 × 10 3 + 4 × 10 2 + 2 × 10 + 6. 
b. 7 × 10 7 + 5 × 10 6 + 5 × 10 5 + 9 × 10 4 + 7 × 10 3 + 3 × 
10 2 + 2 × 10 + 5 .
c. 3 × 10 8 + 6 × 10 7 + 9 × 10 6 + 569 × 10 3 + 5 × 10 2 + 69 .
d. 98 × 10 6 + 26 × 10 + 2. 
3. a. i. 36 × 1.000.
ii. 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5. 
iii. 3 × 10 4 + 6 × 10 3 . 
b. i. 539 × 1.000 .
ii. 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 × 7 × 7 × 11. 
iii. 5 × 10 5 + 3 × 10 4 + 9 × 10 3 . 
c. i. 1.911×1.000.
ii. 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5 × 5 × 7 × 91. 
iii. 1 × 10 6 + 9 × 10 5 + 1 × 10 4 + 1 × 10 ³ .
4. Por ejemplo:
a. 432 × 100 : 2 = 432 : 2 × 100 = 
 [ ( 400 + 30 + 2 ) : 2] ×100 = 
 (400 : 2 + 30 : 2 + 2 : 2) × 100 = (200 + 15 + 1) × 100 = 
216 × 100 = 21.600. 
b. 586 × (10 + 2) = 586 × 10 + 586 × 2 = 5.860 + 
(500 × 2 + 80 × 2 + 6 × 2) = 5.860 + 1.000 + 160 + 12 = 
6.860 + 100 + 72 = 6.960 + 72 = 6.960 + 40 + 32 = 
7.000 + 32 = 7.032. 
c. 650 × (20 + 5) = 650 × 20 + 650 × 5 = 
650 × 10 × 2 + 650 × 5 = 6.500 × 2 + 650 × 10 : 2 = 
6.500 × 2 + 6500 : 2 = 13.000 + 3.250 = 16.250. 
d. 1.250 × 99 = 1.250 × (100 - 1) = 1.250 × 100 - 1.250 = 
125.000 - 1.250 = 12.375. 
5. 45.
6. 28.
7. a. 24. b. 256. c. 12. d. 128. e. El b. porque todos los 
dígitos pueden ocupar todas las ubicaciones.
8. Los números que tienen una cantidad impar de divi-
sores son cuadrados perfectos.
9. a. Por ejemplo: 75. b. La respuesta no es única. Hay 
infinitos que se pueden obtener multiplicando 25 por un 
número que sea coprimo con 4, de modo que no tenga 
otros factores en su descomposición que sean comu-
nes con el 100 además del 25, dado que 100 = 25 × 4.
10. a. Por ejemplo: 32.
 b. La respuesta no es única. 600 = 2 3 × 3 × 5 2 y 2.400 = 
2 5 × 3 × 5 2 , se puede ver que 160 = 2 5 × 5 y 96 = 2 5 × 3 
son otras respuestas posibles.
12
11. Tiene 95 figuritas.
12. Sí, es cierto. Pasa con todas las fechas porque un 
año que no es bisiesto hay 365 días y al dividir 365 : 7 
se obtiene 52 como cociente y 1 como resto. Este quie-
re decir que 365 días son 52 semanas y 1 día.
13. b. 468 es el doble de 234. Como se suma 2 veces 
más, lo que hace es restarle el doble de 234.
c. Sí. Porque 234 × 100 es sumar 234 veces el 100, que 
es igual a 234 centenas, y da por resultado 23.400.
d. i. 368 × 98 = 368 × (100 - 2) = 368 × 100 - 368 × 2 = 
36.800 - (300 + 60 + 8) × 2 = 36.800 - 600 - 120 - 16 = 
36.200 - 120 - 6 = 36.080 - 6 = 36.074 .
ii. 458 × 998 = 458 × (1.000 - 2) = 458 × 1.000 - 
(458 × 2) = 458.000 - (400 + 50 + 8) × 2 = 458.000 - 800 - 
100 - 16 = 457.200 - 100 - 16 = 457.100 - 16 = 457.084. 
iii. 975 × 980 = 975 × (1.000 - 20) = 975.000 - 975 × 20 = 
975.000 - 975 × 10 × 2 = 975.000 - 9.750 × 2 = 
975.000 - (9.000 + 700 + 50) × 2 = 975.000 - 9.000 - 1.400 - 
100 = 966.000 - 1.400 = 964.600. 
iv. 365 × 890 = 365 × (1.000 - 100 - 10) = 365 × 1.000 - 
365 × 100 - 365 × 10 = 365.000 - 36.500 - 3.650 = 365.000 - 
36.000 - 500 - 3.000 - 600 - 50 = 329.000 - 3.000 - 500 - 600 - 
50 = 326.000 - 1.000 - 150 = 325.000 - 150 = 324.850. 
Capítulo 2
Ángulos y triángulos
Páginas 30 y 31. 
Las primeras construcciones
1. 
2. 
3. a. Los puntos que están a 2 cm del centro.
b. Los puntos que están a una distancia menor a 1,5 cm 
del centro. 
c. Los puntos que están a una distancia mayor a 1 cm 
del centro.
d. Los puntos marcados están a una distancia menor o 
igual a 1,5 cm del centro del círculo de la izquierda y me-
nor o igual a 1 cm del centro del círculo de la derecha.
4. a. y b. Sí se puede construir. Hay un único triángulo 
en cada caso.
c. No se puede construir porque si se traza el lado de 
8 cm, los otros dos no se juntan. La suma de los lados 
de 3 cm y 4 cm es menor a 8 cm.
d. Hay infinitos triángulos, porque el tercer lado tiene que 
medir menos de 6 cm y hay infinitas medidas posibles.
árbol
1 m
Este punto está a 50 km de las dos plazas
Distancia entre las plazas: 80 km
Plaza principal
del pueblo
Plaza principal
del otro pueblo
Este punto está a 50 km de las dos plazas
50 km
50 km
Matemática 1 Solucionario 13
5. Sí, la circunferencia de 0,7 cm de radio marca todos 
los posibles puntos que están a esa distancia de ese 
centro que es vértice del triángulo; la circunferencia de 
1,4 cm de radio marca todos los puntos que están a esa 
distancia de ese centro que es otro vértice del triángulo. 
Y no hay ningún otro punto que esté a 0,7 cm de un 
vértice y a 1,4 cm del otro. Por lo tanto no se forma un 
triángulo porque falta el tercer vértice para que las me-
didas de los lados sean las del enunciado.
6. a. Uno solo, porque con esos tres datos el triángulo 
queda determinado. Se traza un lado, luego se miden 
50° a partir de un extremo de este y se traza una se-
mirrecta, se marca sobre esta el tercer vértice a una 
distancia igual que la medida del otro lado. Por último, 
se unen los vértices.
b. Hay infinitas posibilidades. Falta algún otro dato, o la 
medida de un lado o la amplitud de otro ángulo.
c. Uno solo, porque con esos tres datos el triángulo 
queda determinado. Se construye el lado de 4 cm y so-
bre cada uno de sus extremos se marca un ángulo de 
40° y 30° respectivamente, trazando dos semirrectas. 
El punto donde se cruzan las semirrectas es el tercer 
vértice.
d. Hay infinitas posibilidades. Falta algún otro dato, o la 
amplitud del ángulo que forman esos lados o la medida 
del otro lado.
e. No se puede construir. Si se traza el lado de 3 cm, 
sobre el extremo B se traza una circunferencia de radio 
1,5 cm y sobre el vértice A se traza una semirrecta con 
un ángulo de 40°. La circunferencia y la semirrecta no 
se cortan formando el tercer vértice.
7. a. Lo que dicen los chicos es correcto, porque tres 
datos que cumplan ciertas condiciones determinan un 
único triángulo.
b. Se necesitan las longitudes de los tres lados, cada 
lado tiene que ser menor a la suma de los otros dos 
y mayor que su diferencia. Se necesitan dos ángulos, 
cuya suma sea menor que 180°, y la longitud de un 
lado. Se necesitan las longitudes de dos lados y el án-
gulo común a ellos que sea menos que 180°.
Páginas 32 y 33. 
Construir triángulos
1. a. Se puede construir un único triángulo. Porque los 
tres lados y los tres ángulos quedan determinados por 
los datos.
b. Resolución personal.
2. a. Resolución personal.
b. Sí, es cierto, porque la recta s es perpendicular a la 
recta r, y la recta r es perpendicular al segmento ‾ CD . 
Por lo tanto la recta s es paralela al segmento ‾ CD . 
c. Sí, es cierto porque: un lado es igual a ‾ CD , los seg-
mentos ‾ CK y ‾ CJ miden igual que ‾ AB por ser radios de 
un círculo con radio ‾ AB y la distancia entre la recta s y 
la recta que pasa por los puntos C y D es igual a ‾ GH , y 
cómo K y J están sobre la recta s, los segmentos per-
pendiculares al segmento ‾ CD que pasan por K y por J 
miden igual que ‾ GH y son las alturas correspondientes 
a ‾ CD en cada triángulo.
d. Los triángulos no son iguales porque uno tiene sus 
tres ángulos agudos y el otro tiene un ángulo obtuso.
3. a. y b. Resolución personal.
c. Queda dividido en dos triángulos rectángulos.
d. Los dostriángulos rectángulos son iguales.
e. Siempre se forman dos triángulos rectángulos e igua-
les. Los triángulos formados son rectángulos porque la 
altura es perpendicular al lado diferente. Los triángulos 
son iguales porque tiene el ángulo recto igual, el lado 
formado por la altura lo comparten y, como es un trián-
gulo isósceles, los lados iguales son, cada uno, lado de 
uno de los triángulos formados por la altura.
f. No sucede lo mismo con cualquier triángulo. Por 
ejemplo:
4. a. Se pueden construir infinitos, porque los ángulos 
dados suman 180°. Se puede elegir cualquier número 
como longitud de un lado, determinar cuáles son los 
ángulos con vértices en sus extremos y, a partir de 
esas elecciones, construir un único triángulo.
14
b. No se puede construir ninguno, porque esos ángulos 
suman 170°, menos de 180°.
c. Se pueden construir infinitos. Es el mismo argumento 
que en a.
d. No se puede construir ninguno, porque esos ángulos 
suman 200°, más de 180°.
e. Se pueden construir infinitos, porque el tercer ángulo 
mide 30° y podemos argumentar de igual manera que 
en a.
f. No se puede construir ninguno, porque la suma de 
esos ángulos es 180° y no puede haber un tercer ángu-
lo que mida más de 0° porque la suma de los tres sería 
más de 180°.
5. Es cierto lo que dicen ambos porque, se puede elegir 
cualquier número como longitud de un lado, determinar 
cuáles son los ángulos con vértices en sus extremos y, 
a partir de esas elecciones construir un único triángulo.
6. a. Uno solo, porque, como el triángulo es isósceles, 
los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales y, 
como el tercer ángulo mide 120°, los otros miden 30° 
cada uno. Si se traza el segmento ‾ AB y en cada uno 
de sus extremos se marcan semirrectas formando un 
ángulo de 30° con ese lado, el vértice opuesto quedará 
determinado.
b. Infinitos, porque la información brindada solo permite 
averiguar la amplitud de los ángulos interiores, que se-
rán 90°, 45° y 45°, no se da la longitud de ningún lado.
c. Ninguno, porque en los triángulos equiláteros, los 
tres ángulos miden 60°.
d. Infinitos, porque la información brindada solo permite 
averiguar la amplitud de los ángulos interiores, que serán 
100°, 40° y 40°, no se da la longitud de ningún lado.
e. Uno solo, porque, como el triángulo es isósceles, el 
ángulo opuesto al lado desigual mide 80°. Si se traza el 
segmento ‾ AC y en cada uno de sus extremos se mar-
can semirrectas formando un ángulo de 50° con ese 
lado, el vértice opuesto quedará determinado.
f. Uno solo, porque los tres datos que se dan determi-
nan un triángulo. Si se traza el segmento ‾ AB y en B se 
marca una semirrecta formando un ángulo de 90° con 
ese lado y sobre la semirrecta se ubica el punto C a 
5 cm de B. Los tres vértices del triángulo quedan de-
terminados.
7. a. Miden 60° cada uno, porque como los tres la-
dos son iguales, los tres ángulos también son iguales. 
Como tienen que sumar 180°, entonces cada uno mide: 
180° : 3 = 60°.
b. Uno solo, porque si tuviera más de uno, la suma de 
los tres ángulos daría más de 180°.
c. Uno solo, por la misma razón que en b.
d. Puede tener 2 o 3, porque la suma puede dar 180°.
8. Miden 50°, porque si un ángulo mide 80°, los otros 
dos suman 100°, y como son iguales, cada uno mide 
la mitad, 50°.
9. Los ángulos de un triángulo isósceles miden 90°, 45° 
y 45°. Porque si es un triángulo rectángulo, uno de 
sus ángulos mide 90°, los otros dos tienen que su-
mar 180° - 90° = 90°. Además, como es isósceles, 
esos ángulos tienen que medir lo mismo, por lo tan-
to, cada uno medirá 90° : 2 = 45°.
10. 90°, 45° y 45°. Porque la suma de los dos ángulos 
iguales más el desigual da 180°; como el ángulo que mide 
el doble que los otros dos es igual a la medida de uno de 
los otros por dos, entonces si se suma 4 veces la medida 
de los ángulos iguales, el resultado es 180°, y cada uno de 
los dos ángulos iguales medirá 180° : 4 = 45° y el desigual, 
que es el doble, medirá 90°.
Páginas 34 y 35. 
Marcar puntos particulares
1. Porque hay infinitos puntos que están a la misma dis-
tancia de las dos casas. En general, dados dos puntos, 
hay infinitos puntos del plano que equidistan de ellos.
2. b. Es cierto, porque los puntos sobre los que trazó 
la recta están a la misma distancia de los puntos A y 
B, porque las circunferencias tienen ambas el mismo 
radio ( ‾ AB ). 
3. a. Resolución personal.
b. Porque cualquier punto de la semirrecta 
⟶
 OE cons-
truida en a. con un punto de cada lado del ángulo, tales 
que estén a la misma distancia del vértice, quedan de-
terminados dos triángulos iguales. Porque tienen dos 
lados iguales entre sí y un ángulo de 90° cada uno.
4. Tracen una circunferencia con centro O que corte a 
la semirrecta 
⟶
 OA en M y a la semirrecta 
⟶
 OB en N. Tra-
cen desde N un arco con radio ‾ MN . Llamen C al punto 
de intersección del arco con la circunferencia inicial. La 
semirrecta 
⟶
 OC es el otro lado del ángulo.
5. Sí, es cierto, porque, eligiendo cualquier punto de 
la bisectriz y uniéndolo con un punto de cada lado del 
ángulo que esté a la misma distancia del vértice, que-
dan determinados dos triángulos iguales. Esto es así 
porque tienen dos lados iguales entre sí y un ángulo de 
90° cada uno. En particular, tiene iguales los ángulos 
Matemática 1 Solucionario 15
que están formados por cada lado del ángulo y la bi-
sectriz y forman el ángulo total, entonces cada uno de 
esos lados es la mitad del ángulo total. 
6. a. Resolución personal.
b. O es el centro de la circunferencia.
Página 36. 
El programa Geogebra
1. Resolución personal.
2. Por ejemplo: Trazar una recta perpendicular a la rec-
ta r por el punto A con el comando “Recta perpendicu-
lar”, nombrarla s. Marcar el puntos de intersección de 
ambas rectas con el comando “intersección” y nom-
brarlo C. Trazar una circunferencia con centro en C y 
radio ‾ AC . El punto de intersección de la circunferencia 
con la recta s es el punto B buscado. 
3. Se pueden construir infinitos triángulos, porque no se 
tienen más datos que uno de los lados.
4. Por ejemplo: Trazar el segmento con el comando 
“Segmento”. Con centro en A trazar una circunferencia 
de radio ‾ AB con el comando “Circunferencia (centro-
radio). Con centro en B trazar una circunferencia de ra-
dio AB con el comando “Circunferencia (centro-radio). 
Marcar la intersección de las dos circunferencias con 
el comando “Intersección”, llamar C a uno de esos pun-
tos. El triángulo ABC es el triángulo buscado.
5. a. b. Producción de los alumnos en el programa.
c. d. Sí, las tres alturas se cortan en un solo punto.
e. Las alturas de cualquier triángulo se cortan en un 
único punto.
6. a. b. Resolución personal.
c. d. Sí, las tres mediatrices se cortan en un solo punto.
e. Las mediatrices se cortan en un mismo punto. Este 
punto está a igual distancia de los 3 vértices del trián-
gulo, por lo tanto será el centro de una circunferencia 
que pase por los tres vértices del triángulo.
7. a. b. Resolución personal.
c. d. Sí, las tres bisectrices se cortan en un solo punto.
e. Las bisectrices se cortan en un mismo punto. Este 
punto está a igual distancia de los 3 lados del triángulo, 
por lo tanto será el centro de una circunferencia que 
corta a cada uno de los lados del triángulo en un único 
punto.
8. Por ejemplo: Trazar un segmento ‾ AB con el coman-
do “Segmento”. Trazar con centro en A una circunfe-
rencia de radio ‾ AB con el comando “Circunferencia 
(centro,radio) y con centro en B una circunferencia con 
radio ‾ AB con el comando “Circunferencia (centro,radio). 
Marcar los puntos donde se cortan las dos circunferen-
cias y llamarlos C y D. La recta que pasa por C y D es 
la mediatriz del segmento ‾ AB .
9. Por ejemplo: Trazar un ángulo A ^ B C con el comando 
“Ángulo” y las semirrectas que forman sus lados. Tra-
zar con centro en el vértice B del ángulo, una circun-
ferencia con cualquier radio. Marcar las intersecciones 
de esas circunferencias con cadauno de los lados del 
ángulo. Llamarlas D y E. Con centro en D y radio ‾ DE 
una circunferencia y otra con centro en E y radio ‾ DE . 
Marcar los puntos donde estas dos circunferencias se 
cortan. Llamarlos F y G. La semirrecta 
⟶
 BF es la bisectriz 
del ángulo A ^ B C.
Página 37. 
Programar en Scratch
1. Cambiar el objeto a lápiz:
2. a. Pasos para construir un triángulo equilátero:
• Al presionar “bandera verde”.
• Bajar lápiz (para empezar a dibujar).
• Mover 100 pasos (100 pasos para que sea visible, no 
por algo en especial).
• Girar 120 grados.
• Mover 100 pasos.
• Girar 120 grados.
• Mover 100 pasos.
• Subir lápiz (cierra el dibujo).
b. 
16
c. Se trata de un triángulo equilátero también.
d. Porque el giro completo es de 360° y para que se cons-
truya un triángulo equilátero, el giro completo queda dividi-
do en 3 partes iguales, por lo tanto: 360° : 3 = 120°.
Página 38. 
Integrar lo aprendido
1. a. Para la construcción hay que trazar dos rectas 
perpendiculares y sobre ellas segmentos de 7 cm y 
5 cm. Hay un único triángulo posible porque los 3 vérti-
ces quedan determinados con los datos.
b. Para la construcción hay que trazar un segmento ‾ AB 
de 6 cm, trazar una semirrecta 
⟶
 AP que forme un ángulo 
de 40° con el segmento ‾ AB y una recta perpendicular 
al segmento ‾ AB que pase por B. El punto donde se cor-
tan la recta y la semirrecta trazadas es el tercer vértice 
del triángulo. Hay un único triángulo posible porque los 
tres vértices quedan determinados con los datos.
2. b. ‾ BD es un segmento sobre la bisectriz del ángulo ^ B .
c. ‾ DE es un segmento sobre la mediatriz del segmento 
‾ BC .
d. PJ es un arco de circunferencia con centro en A y 
radio 2 cm, ‾ DE es un segmento sobre la mediatriz del 
segmento ‾ BC .
A
D
B
rojo
C
A
E
D
B
C
azul
A
E
J
D
B
P
2
C
verde
3. Para dibujar el ángulo de 42° basta con trazar la bi-
sectriz del ángulo de 84° como en 3. a.
4. a. Construyan un triángulo equilátero, sus ángulos 
miden 60°. Tracen la bisectriz de uno de sus ángulos. 
Esta determina dos ángulos de 30°.
b. Construyan un ángulo de 90°, que puede ser a partir 
de un segmento y su bisectriz. Al ángulo anterior có-
pienle y agréguenle, el ángulo de 30° construido en 4.a.
c. Construyan un ángulo de 90°, que puede ser a partir 
de un segmento y su bisectriz. Tracen la bisectriz que 
determina dos ángulos de 45°.
5. a. No se puede construir porque no cumple con la 
propiedad triangular. b. Sí, se puede construir uno solo. 
Dibujen un segmento de 6 cm. Sobre cada extremo 
midan un ángulo de 70°. Donde se unen los lados de 
los ángulos queda determinado el tercer vértice. c. Sí, 
se puede construir uno solo. Dibujen un segmento de 
8cm. Con centro en uno de sus extremos tracen una 
circunferencia de radio 6 cm y sobre el otro, una de 
radio 3 cm. Donde se cortan las circunferencias queda 
determinado el tercer vértice. d. No se puede construir. 
Los triángulos equiláteros tiene sus tres ángulos igua-
les, y como tienen que sumar 180°, cada uno mide 60°.
6. Prolongar la semirrecta 
⟶
 CM . Con centro en M trazar 
una circunferencia con radio ‾ CM . Llamar A el punto 
donde se corta la circunferencia trazada con la 
semirrecta.
7. a. Se traza la mediatriz del lado ‾ AD , E y F son los 
puntos donde la mediatriz corta los lados ‾ AD y ‾ CB . Los 
puntos que cumplen la condición son los puntos inte-
riores del rectángulo DEFC.
b. Se traza la mediatriz del lado ‾ AD , E y F son los pun-
tos donde la mediatriz corta a los lados ‾ AD y ‾ CB . Los 
puntos que cumplen la condición son los puntos inte-
riores del rectángulo ABFE.
c. Se traza la mediatriz del lado ‾ AD , E y F son los pun-
tos donde la mediatriz corta a los lados ‾ AD y ‾ CB . Se 
A
azul
E F
D
B
C
Matemática 1 Solucionario 17
traza una circunferencia con centro en A y radio de 2cm, 
G y J son los puntos donde la circunferencia corta a los 
lados AD y al segmento de la mediatriz que está dentro 
del cuadrado. Los puntos que cumplen la condición son 
los puntos interiores de la figura GDCFJ. (En caso de que 
el cuadrado tenga un lado mayor a 4cm, los puntos que 
cumplen la condición serán los mismos que en 7. a.).
8. Sí, es correcto. La mediatriz del lado distinto en un trián-
gulo isósceles determina dos triángulos rectángulos igua-
les, porque siempre se forman dos triángulos rectángulos 
e iguales. El vértice opuesto al lado diferente está a igual 
distancia de los otros dos vértices porque el triángulo ori-
ginal es isósceles y pertenece, entonces, a la mediatriz 
de ese lado. Por esto se puede asegurar que las figuras 
formadas son dos triángulos y no otras figuras. Los trián-
gulos formados son rectángulos porque la mediatriz es 
perpendicular al lado diferente. Los triángulos son iguales 
porque tiene los tres lados iguales entre sí. Entonces sus 
ángulos son iguales, en particular son iguales los ángulos 
que están formados por uno de los lados y la mediatriz, es 
decir, será la bisectriz del ángulo opuesto al lado desigual.
9. Sí, es cierto, tanto para el cuadrado como para el rom-
bo, ya que el cuadrado es un rombo. Al trazar una diago-
nal en un rombo, quedaban determinados dos triángulos 
isósceles, como las diagonales del rombo son perpen-
diculares, la otra diagonal resulta la mediatriz del ángulo 
opuesto y, por lo tanto, la bisectriz de su ángulo opuesto, 
por lo expuesto en 8.
10. En los paralelogramos, los ángulos consecutivos su-
man 180°. Al trazar las bisectrices, los ángulos que deter-
minan cada una de ellas con los lados del paralelogramo 
son iguales por lo tanto, la suma de cada una de las mita-
des dará 90°. Las dos bisectrices se cortan en un punto 
formando un triángulo con los vértices A y D, donde dos 
de sus ángulos ya suman 90°, por lo tanto, por la propie-
dad de suma de ángulos internos de un triángulo, el otro 
ángulo medirá 90°.
A
E
G
F
D
B
2
J
C
verde
Capítulo 3
Los números racionales
Páginas 40 y 41. 
Los repartos
1. a. Le dará a cada uno 7 globos. Le quedan 2 globos 
sin repartir. b. No, porque los globos no se pueden di-
vidir en partes.
2. a. Le dará 7 a cada uno y sobran 2. b. Los que so-
bran pueden repartirse, porque los alfajores sí pueden 
dividirse en partes.
3. a. Pondrá 15 en cada caja y quedarán sin guardar 
2 libros. b. Cada pulsera usará 15 y 1 _ 2 cm y no sobra 
alambre. c. Las chicas tienen razón porque los pro-
blemas anteriores se resuelven ambos con la cuenta 
62 : 4. Pero en el primero no se puede seguir dividien-
do el resto de la división y, en el segundo, sí. d. Dana 
puede repartir el alambre que sobra porque el metro de 
alambre puede cortarse, en cambio los libros no pue-
den cortarse.
4. a. Lleva 22 huevos a cada pizzería y quedan 2 hue-
vos sin repartir. b. Llevará 22 y 1 _ 2 huevo a cada pizzería.
c. Cuando los huevos están hervidos pueden dividirse 
en parte más pequeñas, cuando están crudos, no es 
tan fácil.
5. a. i. 250 botellas. ii. 334 botellas. 
b. En i. Se llenan todas completamente. En ii. queda 
una sin llenar completamente, para que se llenen todas 
hay que agregar 2 litros.
6. El cociente de la división indica la cantidad de cho-
colates enteros que le da a cada chico. Como sobran 
4, para repartirlos va a tener que dividir esos cuatro 
que sobraron entre los 7 chicos. Por lo tanto, cada chi-
co recibirá 3 y 4 _ 7 .
7. a. Los dos tienen razón. Porque, si cada maestra se 
lleva 8 panes enteros, luego los 2 que sobran se divi-
den en 6, y cada una se lleva dos de esas partes; es la 
misma cantidad de pan que si cada uno de los panes 
se divide en 6 partes y cada maestra se lleva una de 
esas partes de cada pan, por lo tanto se estaría llevan-
do 50 _ 6 . b. 8 y 
2 _ 6 . Porque 50 dividido 6 da por resultado 8 
y sobran 2. Esos 2 que sobran se tienen que dividir en 
6 para poder repartir el resto. c. Sí, es cierto porque si 
un pan se divide en 6 partes iguales y una maestra se 
lleva2 de esas partes, se está llevando lo mismo que 
si al pan se lo divide en 3 partes iguales y la maestra 
se lleva una de esas partes. Esto es así porque al par-
18
tir el pan en 3, cada una de las partes es el doble de 
grande que las partes que quedan si el pan se corta 
en 3 partes.
8. a. 21 y 6 _ 7 . b. Sí, es el resultado exacto de la cuenta.
9. a. 9. b. 9. c. 7. d. 3. e. 6 _ 13 . f. 4. g. 9.
Páginas 42 y 43. 
Repartos equivalentes
1. a. Resolución personal. b. Cada uno le dio la misma 
cantidad a cada persona, pero Julián no terminó de 
repartir toda la pizza, se quedó con 4 porciones de 1 _ 2 .
c. 9 porciones de 1 _ 4 es igual a 8 porciones de 
1 _ 4 y una 
porción más de 1 _ 4 . Las 8 porciones de 
1 _ 4 son 2 pizzas 
enteras. Entonces quedan 2 pizzas enteras y 1 _ 2 . 
Lo de Julián no es correcto, no le quedó la misma can-
tidad que a los otros. En este reparto, 1 _ 2 es lo mismo 
que 2 _ 4 , por lo tanto cada persona recibe una pizza en-
tera y 3 _ 4 .
2. Por ejemplo: 2 y 1 _ 2 pastafrolas para cada uno o 
15 _ 6 de 
pastafrola para cada uno.
3. a. Tiene que partirlos en 3 partes, porque hay que re-
partirlos entre 3 chicos, le da 2 _ 3 a cada uno. b. Es cierto, 
porque 6 _ 3 forman dos chocolates enteros, y le da 
2 _ 3 más 
para cada uno. c. Le dio un entero a cada uno, des-
pués repartió los otros 5 en 3 partes iguales cada uno y 
le dio 5 de esas partes a cada chico.
4. a. Resolución personal. b. Sí, porque cada porción 
de Julián tiene dos barritas, entonces Julián le dio, en 
total, 6 barritas a cada uno, que es lo mismo que les 
dio Natalia.
5. Sí, Para repartir 30 alfajores entre 8 personas se pue-
de dar 3 alfajores enteros a cada uno y a los 6 restantes 
partirlos en 8 partes iguales, se les da una parte de 
cada alfajor a cada uno, por lo tanto cada uno recibe 
3 6 _ 8 . Para repartir 15 alfajores entre 4 personas se pue-
de: dar 3 alfajores enteros a cada uno y partir los 3 que 
sobran, cada uno en 4 partes iguales y entonces cada 
uno recibirá 3 y 3 _ 4 . Los 
3 _ 4 representan 3 partes de 
1 _ 4 . 
Pero si a cada parte de 1 _ 4 se la divide en dos partes 
iguales, se obtienen 2 partes de 1 _ 8 . Entonces cada uno 
recibe 3 veces 2 partes de 1 _ 8 . Es decir, 
6 _ 8 , cada uno re-
cibe 3 6 _ 8 de alfajor, que es lo mismo que en el otro caso.
6. a. c. y e. En el a. al repartir 4 alfajores entre 3 chicos, 
se le puede dar un alfajor a cada uno y el que queda 
partirlo en 3 partes iguales. Cada uno recibe 1 1 _ 3 . En c. 
al repartir 12 alfajores entre 9 chicos, se le puede dar 
un alfajor entero a cada uno y a los 3 que quedan, partir 
en 3 a cada uno, quedan así 9 partes de 1 _ 3 . Cada uno 
recibe entonces 1 1 _ 3 . En el e. al repartir 20 alfajores entre 
15 chicos, se le puede dar uno entero a cada uno y a 
los 5 restantes, partirlos en 3 partes iguales a cada uno, 
quedan así 15 partes de 1 _ 3 . Cada uno recibe entonces 
1 1 _ 3 .
b. y d. Al repartir 21 alfajores entre 8, se le puede dar 2 
enteros a cada uno y partir los 5 restantes, en 8 partes 
cada uno, y se le da a una parte de cada alfajor a cada 
chico. Entonces cada uno recibe 2 5 _ 8 .
Al repartir 42 alfajores entre 16, se le puede dar 2 en-
teros a cada uno y partir los 10 restantes, en 8 partes 
cada uno, quedan entonces 16 partes de 1 _ 8 y se le da 
una de esas partes a cada uno. Entonces cada chico 
recibe 2 5 _ 8 .
7. Son equivalentes: a. y d., b. y e., c. y f.
a. y d. en ambas se tiene la mitad del total. 
En e. al repartir 5 entre 40 se puede dividir cada uno de 
los 5 en 8 partes, quedando 40 partes de 1 _ 8 , entonces 
cada uno recibe 1 _ 8 que es lo mismo que en b.
En f. al repartir 9 entre 45, se puede partir en 15 cada 
uno de esos 9, quedando 135 partes de 1 _ 15 , se le da a 
cada uno 3 de esas partes. Por lo tanto cada uno reci-
be 3 _ 15 , que es lo mismo que en c.
8. Hay infinitos números fraccionarios equivalentes 
para cada número. Por ejemplo: a. 26 _ 18 y 
39 _ 27 . b. 
7 _ 4 y 
14 _ 8 
c. 142 _ 48 y 
710 _ 240 . d. 
13 _ 11 y 
650 _ 550 . e. 
1 _ 17 y 
3 _ 51 .f. 
46 _ 182 y 
230 _ 910 .
Página 44. 
Los números fraccionarios para medir
1. En los rectángulos a. b. y c. se sombrearon 3 _ 8 . 
En todos los casos hay que dividir los rectángulos en 
partes iguales y analizar cuántas de esas partes están 
sombreadas.
a. Se pintaron 3 partes de 8 partes iguales.
b. Se pintaron 3 partes de 8 partes iguales.
Matemática 1 Solucionario 19
c. Se pintaron 3 partes de 8 partes iguales.
d. En este rectángulo se pintaron 3 _ 4 y una parte que es 
menor a 1 _ 4 , entonces no se sombreó lo mismo que en 
los rectángulos anteriores.
2. En a., b., d., y f. En a. y en d. se pintó 1 parte de 3 
partes iguales. Por lo tanto se pintó 1 _ 3 . 
En b. se puede dividir el rectángulo en 6 partes iguales 
a las sombreadas, y como hay 2 partes sombreadas de 
6 partes iguales, se pintaron 2 _ 6 que es equivalente a 
1 _ 3 . 
En c. hay una de 4 partes iguales, por lo tanto se pintó 1 _ 4 
y no 1 _ 3 .
En e. se dividió el círculo en 3 partes pero no son igua-
les.
En f. se puede dividir el rectángulo en 12 partes iguales 
a las pintadas, y como hay 4 partes sombreadas de 12 
partes iguales, se pintaron 4 _ 12 que es equivalente a 
1 _ 3 .
3. a. 2 _ 9 . b. 
5 _ 12 . c. 
3 _ 16 . 
4. Resolución personal. Por ejemplo:
a. 
b. 
c. 
5. a. Resolución personal. b. Lo que dice Bruno es 
correcto, pero la medida de Natalia es mucho más 
exacta que la de él. Cuando se mide hay que elegir una 
unidad de medida que se toma como referencia, en 
este caso la unidad que usaron para medir el segmento 
es el palito. Entonces Denise tiene razón, la unidad de 
medida es el palito. 
6. b. i. ‾ AB = 2 unidades. ii. ‾ CD = 1 _ 2 de unidad.
iii. ‾ EF = 2  unidades y 2 _ 5 de unidad.
7. a. i. 1 unidad. ii. 2 unidades. iii. 1 y 1 _ 2 unidades.
iv. 1 _ 2 de unidad. v. 
1 _ 4 de unidad.
b. 1 _ 2 .
c. No, entra una vez y media.
d. i. 4 unidades. ii. 8 unidades. iii. 6 unidades. 
iv. 2 unidades. v. 1 unidad.
8. a. y b. Resolución personal.
9. a. B entra 2 _ 3 vez en A. b. A entra 1 y 
1 _ 2 veces en B.
Página 46. 
Las partes y los enteros
1. Le quedaron 4 _ 5 del total de caramelos. 50 entra 5 ve-
ces en 250, como su hermano se queda con 50, enton-
ces Manuel se queda con 4 de estas partes.
2. 18 huevos.
3. Le sobraron $50.
4. a. Resolución personal. b. Bruno no tiene razón por-
que no se sabe cuánta plata tenía Julián ni cuánta plata 
tenía Natalia. 
5. 17 panqueques.
6. Entre 5 amigos porque, 28 _ 5 es el resultado exacto de 
la división 28 : 5. Por lo tanto repartió los 28 chocolates 
entre 5 amigos.
7. a. y b. No hay una única opción porque no se sabe 
cuántos amigos ni cuántos alfajores repartieron. Por 
ejemplo, podrían haber sido 5 alfajores y 4 amigos, en-
tonces recibe un alfajor entero cada uno y el que sobra 
lo parten en 4 partes iguales y cada uno se queda con 
una de esas partes. Cada uno recibe 1 1 _ 4 de alfajor.
También podría haber sido 10 alfajores y 8 amigos, en-
tonces recibe un alfajor entero cada uno y a los 2 res-
tantes se los parte en 4 porciones cada uno. Quedan 
así 8 porciones de 1 _ 4 . Si cada uno recibe una de esas 
porciones, entonces en total recibe 1 1 _ 4 alfajor cada uno. 
Página 47. 
Las fracciones decimales
1. a. Los que pueden escribirse como fracciones equi-
valentes con denominador 10, 100, 1.000, etcétera, 
son: i. 2 _ 5 = 
4 _ 10 , iii. 
3 _ 8 = 
375 _ 1.000 , v. 
7 _ 25 = 
28 _ 100 y viii. 
63 _ 45 = 
14 _ 10 .
b. Los que pueden escribirse como expresión decimal 
con una cantidad finita de decimales son los que puedenescribirse como fracción decimal. Es decir, los de ítem a.
20
2. a. Hay diferentes formas de resolver el proble-
ma. Por ejemplo: 2 jugos y 3 chupetines, que suma 
9,25 × 2 + 1,50 × 3 = 33. Le alcanza justo y por lo tan-
to no le dan vuelto. O 1 alfajor, 1 paquete de figuritas, 
1 chupetín y 12 caramelos, que suman 14,50  +  4,50  +  
1,50  +  12  ×  0,20 =  21,90. Le dan $ 0,10 de vuelto.
b. No le alcanza, le faltan $ 2,25.
3. a. Resolución personal, por ejemplo:
i. 5 monedas de $ 1 y 7 de 1 centavo o 10 monedas de 
50 centavos y 7 de 1 centavo.
ii. 3 monedas de $ 1 y 1 moneda de 25 centavos o 
6 monedas de 50 centavos, 2 de 10 centavos y 5 de 
1 centavo.
iii. 2 monedas de $ 1, 3 de 10 centavos y 4 de 1 centavo 
2 monedas de $ 1, 1 de 25 centavos y 9 de 1 centavo.
iv. 8 monedas de $ 1, 1 de 50 centavos y 4 de 1 cen-
tavo o 3 monedas de $ 1, 11 de 50 centavos y 4 de 
1 centavo.
v. 4 monedas de $ 1, 2 de 10 centavos y 4 de 1 centavo 
u 8 monedas de 50 centavos, 4 de 5 centavos y 4 de 
1 centavo.
b. La opción subrayada de las anteriores es la que usa 
la menor cantidad de monedas.
4. a. 72,8 décimos. 728 centésimos.
b. 2,8 décimos. 28 centésimos. 
c. 34 décimos. 340 centésimos.
d. 982,3 décimos. 9823 centésimos. 
e. 1,43 décimos y 14,3 centésimos.
5. Es cierto. Se podría pensar en que para pagar justo 
$0,39 se usan 39 monedas de 1 centavo.
6. a. 7. b. 74. c. 7. d. 5; 73. e. 57. f. 457.
Página 48. 
Ubicar en la recta numérica
1. a. 3 1 _ 3 o 
10 _ 3 . b. 7 
2 _ 3 o 
23 _ 3 . c. 7.
2. 
3. 
4. 
5. a. A = 3 _ 5 , B =1. b. A = 0,33, B = 0,36.
1
2
1
4
9
10
0 1
0 0,31
6
1
3
1
2
0 0,2 0,54
10
6. 
7. a. 20 cm, para que 1 _ 20 sea 1 cm, porque 20 es el 
múltiplo común menor entre todos los denominadores.
b. 18 cm, para que 1 _ 18 sea 1 cm, porque 18 es el múlti-
plo común menor entre todos los denominadores.
c. 12 cm, para que 1 _ 12 sea 1 cm, porque 12 es el múlti-
plo común menor entre todos los denominadores.
Página 49. 
Comparar números racionales 
fraccionarios
1. Juan comió más porque comió tres porciones como 
la que comió Florencia, comió 3 de 1 _ 5 .
2. Lucas dividió el chocolate en 9 partes y Pedro divi-
dió un chocolate igual en 7 partes. Pedro comió más 
porque, a pesar de que ambos comieron 2 porciones, 
como Pedro dividió el chocolate en menos partes, esas 
porciones son más grandes que las de Lucas.
3. ii. Porque son 16 porciones de un total de 27 partes 
en las que se dividió el entero. No se llega a completar 
el entero.
iv. Porque son 63 porciones de un total de 90 partes en 
las que se dividió el entero. No se llega a completar el 
entero.
En las demás, la cantidad de porciones es más que 
el total de partes en la que se dividió el entero, por lo 
tanto, esos números son mayores a 1.
4. i. 3 _ 20 > 
3 _ 40 . ii. 
67 _ 18 < 
67 _ 85 . iii. 
2 _ 9 = 
18 _ 81 . iv. 
1 _ 27 < 
5 _ 12 . 
v. 3 _ 7 > 
2 _ 5 . vi. 
2 _ 3 < 
5 _ 6 . vii. 
9 _ 4 > 
25 _ 81 . viii. 
13 _ 27 < 
3 _ 5 . 
Páginas 50 y 51. 
Orden y densidad
1. i. 98 y 99. ii. 56 y 57. iii. 23 y 24. iv. 45 y 46.
2. a. 2,55; 2,555; 23 _ 9 ; 2,65.
b. 1,0253; 1,205; 1,25401; 1,254.
c. 153 _ 20 = 7,65 = 7,650; 7,065.
d. 18 _ 8 = 2,25; 2,205; 2,025; 2,0025.
e. 6,01; 5,83; 291 _ 50 = 5,82.
f. 3,25; 3,0045; 2,54.
3. a. 2,5 = 2,50. b. 0,15 > 0,015. c. 100 ______ 1.000 = 0,1.
d. 0,59 < 0,6. e. 44 _ 100 > 0,43. f. 8,002 > 8,01.
4. Resolución personal, por ejemplo: 
a. 1,9; 2, y 2,5. 
b. 4,28; 4,29 y 4,295. 
0 1
0,57
6
10
Matemática 1 Solucionario 21
c. 0,402; 0,403 y 0,409.
d. 3,074; 3,076 y 3,078.
e. 0,022; 0,027 y 0,029.
f. 1,00354; 1,00357 y 1,00359.
g. 10,02; 10,07 y 10,08.
h. 0,00254; 0,00256 y 0,00259.
5. a. y b. i. No existen tres números naturales entre 8 
y 10, porque solamente el 9 es un número natural que 
está entre 8 y 10.
ii. 8 = 72 _ 9 y 10 = 
90 _ 9 . Los números fraccionarios que se 
encuentran entre 8 y 10, con denominador 9 son: 
 73 _ 9 ; 
74 _ 9 ; 
75 _ 9 ; 
76 _ 9 ; 
77 _ 9 ; 
78 _ 9 ; 
79 _ 9 ; 
80 _ 9 ; 
81 _ 9 ; 
82 _ 9 ; 
83 _ 9 ; 
84 _ 9 ; 
85 _ 9 ; 
86 _ 9 ; 
87 _ 9 ; 
88 _ 9 
y 89 _ 9 .   Son 17 en total.
iii. Hay infinitos números fraccionarios entre 8 y 9. Por 
ejemplo: 17 _ 2 ; 
18 _ 2 y 
19 _ 2 . Al buscar fracciones equivalentes 
a 8 y a 9 con otros denominadores en común, vamos 
a encontrar, en cada caso, más números fraccionarios 
que se encuentren entre 8 y 9.
6. a. i. 6 _ 4 ; 
7 _ 4 y 
9 _ 4 . No hay más números fraccionarios en-
tre 5 _ 4 y 
9 _ 4 que tengan denominador 4.
ii. Desde 11 _ 8 hasta 
17 _ 8 , con el numerador entre 11 y 17. 
Son 7 en total.
b. Hay infinitos números fraccionarios entre 5 _ 4 y 
9 _ 4 . Al 
buscar fracciones equivalentes a 5 _ 4 y a 
9 _ 4 con otros de-
nominadores en común, vamos a encontrar, en cada 
caso, más números fraccionarios que se encuentren 
entre estos dos.
7. a. i. 4 _ 9 . Es el único número fraccionario que cumple lo 
pedido. ii. Por ejemplo: 7 _ 18 . Hay infinitos.
b. Hay infinitos. Al buscar fracciones equivalentes a 1 _ 3 y 
a 5 _ 9 con otros denominadores en común, vamos a en-
contrar, en cada caso, más números fraccionarios que 
se encuentren entre estos dos.
8. a. i. No hay ninguno porque 2 _ 3 = 
6 _ 9 , y entre 
6 _ 9 y 
5 _ 9 no 
hay números fraccionarios con denominador 9, ya que 
no hay un numerador entre 6 y 5.
ii. 11 _ 18 . Es el único porque 
5 _ 9 = 
10 _ 18 y 
2 _ 3 = 
12 _ 18 , y el único 
numerador entre 10 y 12 es 11.
b. Hay infinitos. Al buscar fracciones equivalentes a 2 _ 3 y 
a 5 _ 9 con otros denominadores en común, vamos a en-
contrar, en cada caso, más números fraccionarios que 
se encuentren entre estos dos.
9. Entre dos números fraccionarios cualesquiera hay 
siempre infinitos números fraccionarios. Basta con bus-
car fracciones equivalentes con otros denominadores 
en común, para hallar cada vez más números que es-
tén entre ellos.
 
10. a. Resolución personal. Se pueden encontrar infini-
tos. Por ejemplo: i. 1,4. ii. 1,2. iii. 1,1. iv. 1,08.
b. Hay infinitos números fraccionarios entre otros dos. 
Basta con cambiar la cifra correspondiente a los déci-
mos por un número menor a 5 o agregar al menor de 
los números cifras decimales iguales a cero, salvo la 
última y manteniendo las primeras cifras iguales.
11. a. 0,254. Se pueden encontrar infinitos, basta con 
agregar al menor de los números cifras decimales, man-
teniendo las primeras cifras. b. No hay ninguna expresión 
decimal con dos cifras decimales entre 0,25 y 0,26.
12. a. Por ejemplo:
 3,25 = 325 _ 100 = 
3.250 _ 1.000 y 3,26 = 
326 _ 100 = 
3.260 _ 1.000 . 
Por lo tanto 3.256 _ 1.000 está entre 3,25 y 3,26.
b. Por ejemplo: 3,254 y 3,259.
c. Por ejemplo: 3,258.
13. Es incorrecto lo que dice Julián porque hay infinitos 
números decimales entre ellos, por ejemplo: 4,500002; 
4,59 y 4,50000000007.
14. a. i. 1,5 y 1,6. Hay infinitos. ii. 1,4. Hay infinitos.
iii. 1,1. Hay infinitos.
b. No, porque siempre se podrán agregar al 1 cifras 
decimales iguales a 0 menos la última y se conseguirá 
un número mayor a 1. También será menor al número 
hallado antes si, conservando las primeras cifras igua-
les, le agregamos más cifras decimales iguales a cero 
en el número que propongamos.
c. Entre 1,6 y 2 podemos encontrar, por ejemplo, el 
número 1,9. Entre 2 y 1,9 podemos encontrar, por 
ejemplo, al número 1,92. Y entre el número 1,92 y el 
2, podemos encontrar, por ejemplo, el número 1,9204. 
Podemos concluir que entre dos números cualesquiera 
podemos encontrar infinitos números decimales.
15. Hay infinitos. Si A y B son dos números cualesquiera 
y A es menor a B, siempre se podrán agregar a A cifras 
decimales iguales a 0 menos la últimay se conseguirá un 
número mayor a A y a la vez será menor a B, si se conser-
van las primeras cifras iguales a las de A y le se le agregan 
más cifras decimales iguales a cero que las que tiene B 
antes de su última cifra decimal distinta de cero.
Página 52. 
Programar en Scratch
1. Siguiendo los pasos indicados sucede que: El unicor-
nio dice “Hola” avanza unos pasos, luego dice “Hola” 
de nuevo y, por último, el globito “Hola” desaparece.
2. a. La herramienta “repetir” repite n cantidad de ve-
ces las instrucciones que encierra. En nuestro caso la 
22
cantidad de veces es 2. Y las instrucciones que repite 
son “Decir hola por 1,5 segundos”, “Mover 100 pasos” 
y “borrar” (borrar es una herramienta que permite bo-
rrar del pizarrón lo “dibujado” hasta el momento).
b. Si cambiamos el 2 por el 6, lo que se logra es que el 
unicornio diga hola y avance 6 veces.
c. Si cambiamos el 2 por 3.5 repite 5 veces.
3. La herramienta “decir” muestra un texto en pantalla. 
a. Si cambiamos el texto, en vez de “Hola” aparece el 
texto escrito.
b. Si cambiamos el tiempo con distintos números el tex-
to permanece en pantalla la cantidad de segundos in-
dicados, recién al terminar esa cantidad de segundos 
se pasa a la siguiente instrucción que es “mover 100 
pasos”.
c. Si cambiamos 1,5 por 3, el texto permanece 3 se-
gundos.
4. a. La herramienta “mover pasos” mueve el objeto la 
cantidad de pasos ingresados.
b. Cuanto mayor es el número más distancia se mue-
ve, cuanto menor es el número el paso se hace más 
pequeño.
5. Variable: “Repetir”.
6. Variables: tiempo, mover, decir.
7. a. La diferencia es que hay variables que son dis-
cretas y variables que son continuas. Si son discretas 
entonces están representadas por números enteros y si 
son continuas pueden ser representadas por cantida-
des fraccionarias.
b. Los números naturales son un conjunto de números 
no densos, entre dos consecutivos no hay otro número 
natural. El conjunto de los números racionales, o el con-
junto de los números que se pueden representar con 
expresiones decimales, es denso, entre dos números 
cualquiera hay infinitos.
8. El cambio de disfraz es un cambio de imagen en el 
objeto, al hacer el cambio reemplaza una imagen por la 
otra, por ejemplo, si al unicornio le pongo un disfraz con 
anteojos (por ejemplo) en el momento que agrego la he-
rramienta “Cambiar disfraz” le “aparecen” los anteojos.
Página 54. Integrar lo aprendido
1. a. 41 _ 5 = 8 y 
1 _ 5 . b. 
1 _ 7 . c. 
28 _ 4 = 7 . d. 
89 _ 3 = 29 y 
2 _ 3 .
2. a. Por ejemplo:
b. Hay infinitas posibilidades. Como el triángulo repre-
senta 2 _ 5 , para completar el entero le faltan 
3 _ 5 . Hay que 
agregar, o tres triángulos más iguales a la mitad del 
triángulo del enunciado que representan 1 _ 5 cada uno, 
o bien un triángulo y medio igual al del enunciado. Hay 
infinitas formas de ubicar esos triángulos.
3. 105 figuritas.
4. Se queda con 1 _ 4 . Porque es 
1 _ 2 de la mitad del premio.
5. No se puede saber cuánta plata le queda porque ha-
bría que saber cuál es el sueldo. Solo podemos saber 
que le quedan 4 _ 15 del sueldo, pero no sabemos cuánta 
plata es.
6. a. y f. 2 _ 5 = 0,40 . b. y c. 
3 _ 9 = 
2 _ 6 = 
1 _ 3 .
7. a. Dos cifras, porque 9 _ 50 = 
18 _ 100 , que al dividir por 100 
se corren dos lugares la coma quedando dos cifras de-
cimales. b. Una cifra como 73 no es divisible por 2, en-
tonces el resultado dará un número entero y una mitad, 
por lo tanto el resultado tendrá solo un 5 en el lugar de 
los décimos. c. Tres cifras. Porque 97 _ 8 = 
12.125 _ 1.000 . 
d. Una cifra. Porque 8 _ 5 = 
16 _ 10 .
8. a. 2 _ 10 = 0,2. b. 
47 _ 10 > 0,48. 
c. 5 _ 1.000 < 0,05. d. 
70 _ 10 > 0,7. 
9. a. 2 _ 3 ; 
7 _ 3 ; 
15 _ 3 ; 
231 _ 3 . b. 
3 _ 231 ; 
3 _ 15 ; 
3 _ 7 ; 
3 _ 2 . c. 
1 _ 4 ; 
5 _ 15 ; 
3 _ 8 ; 
1 _ 2 . 
d. 3 _ 15 ; 
1 _ 4 ; 
13 _ 8 ; 
7 _ 3 . 
10. No, porque hay infinitos números entre 1,8 y 1,85.
11. Por ejemplo: 
a. 0,65; 0,7 y 0,73. 
b. 1,32; 1,37 y 1,39.
c. 4,891; 4,895 y 4,898. 
d. 0,33; 0,35 y 0,39.
e. 7,0311; 7,035 y 7,0388. 
f. 7 _ 8 , 
10 _ 12 y 
11 _ 12 .
g. 5 _ 12 ; 
6 _ 12 y 
5 _ 9 .
h. 111 _ 1.000 ;   
23 _ 1.000 y 
97 _ 1.000 .
i. 65 _ 100 ; 
67 _ 100 y 
69 _ 100 . 
12. a. i. 234 _ 1.000 . ii. 
154 _ 100 . iii. 
25 _ 10 . iv. 
205 _ 100 . v. 
25 _ 10 . vi. 
234 _ 100 .
 vii. 9.203 _ 1.000 . viii. 
9.203 _ 100 . ix. 
154 _ 100 . 
b. iii. y v. Son equivalentes.
ii. y ix. Son equivalentes.
Matemática 1 Solucionario 23
Capítulo 4
Los polígonos
Página 56 y 57. 
Los cuadriláteros
1. Resolución personal.
2. a. Hay infinitas construcciones posibles.
b. Hay una única figura posible.
c. Hay una única figura posible.
d. Hay infinitas construcciones posibles.
e. Bruno tiene razón porque los cuadrados son rombos 
por ser paralelogramos con todos sus lados iguales. 
Natalia tiene razón porque el cuadrado es un paralelo-
gramo, rombo y rectángulo, por tener todos sus ángu-
los rectos. Julián tiene razón porque los cuadrados tie-
nen todos sus ángulos determinados y los rombos no.
3. a. Paralelogramo: dos lados consecutivos y un án-
gulo comprendido; o dos lados consecutivos y la dia-
gonal correspondiente; o dos diagonales y el ángulo 
comprendido entre ellas; o un lado, una diagonal y el 
ángulo comprendido. b. Un rectángulo: dos lados; o un 
lado y una diagonal; o la diagonal y el ángulo que forma 
con un lado; o la diagonal y el ángulo comprendido en-
tre las diagonales. c. Rombo: un lado y un ángulo inte-
rior; o un lado, una diagonal y el ángulo comprendido; o 
las dos diagonales. d. Cuadrado: El lado o la diagonal.
4. a. Resolución personal. b. Rectángulo. Cuadrado. 
Rectángulo.
5. a. Resolución personal. b. Sí, porque la circunferen-
cia tiene infinitos diámetros, si el ángulo entre ambas 
diagonales cambia, entonces voy a tener diferentes 
rectángulos posibles.
6. a. Tracen un segmento ‾ AC de 6 cm. Tracen la media-
triz y llamen O al punto medio del segmento ‾ AC . Tracen 
una circunferencia de centro O y cualquier radio. Lla-
men B y D a los puntos de intersección de la circunfe-
rencia y la mediatriz. ABCD es el rombo pedido. Hay 
infinitos posibles porque la medida de la otra diagonal 
puede tomar cualquier longitud. b. Tracen un segmen-
to ‾ AC de 6 cm. Tracen la mediatriz y llamen O al punto 
medio del segmento ‾ AC . Tracen una circunferencia de 
centro O y radio 2 cm. Llamen B y D a los puntos de 
intersección de la circunferencia y la mediatriz. ABCD 
es el rombo pedido. Hay un único rombo. c. Tracen un 
segmento ‾ AC de 5 cm. Tracen la mediatriz y llamen O 
al punto medio del segmento ‾ AC . Tracen una circun-
ferencia de centro O y radio 2,5 cm. Llamen B y D los 
puntos de intersección de la circunferencia y la media-
triz. ABCD es el cuadrado pedido. Hay un único cua-
drado. d. Tracen un segmento ‾ AC de 8 cm. Llamen O 
el punto medio del segmento ‾ AC . Tracen una circunfe-
rencia de centro O y radio de 6 cm. Tracen un diámetro 
de la circunferencia que no esté sobre el segmento ‾ AC 
. Llamen B y D los puntos de intersección del diámetro 
con la circunferencia. ABCD es el paralelogramo pedi-
do. Hay infinitos paralelogramos porque el ángulo entre 
las diagonales puede variar.
7. a. Falso. En 6. d. se construyó un paralelogramo con 
diagonales que miden 6 cm y 8 cm. b. Verdadera. Con-
sideren el paralelogramo ABCD y llamen O el punto de 
intersección de las diagonales ‾ AC y ‾ BD .
Los triángulos BAD y BCD son iguales porque tienen 
sus tres lados iguales entre sí. Por lo tanto los ángulos 
A 
^
 D B y D 
^
 B C son iguales. Los triángulos ADC y CBA son 
iguales porque tienen sus tres lados iguales entre sí. 
Los ángulos D 
^
 A C y A 
^
 C B son iguales. 
Los triángulos